(完整版)二次函数知识点汇总(全)
二次函数知识要点
二次函数知识要点一、定义和性质二次函数是一种形式为$f(x)=ax^2+bx+c$的函数，其中$a \neq 0$，且$a, b, c$为常数。
二次函数的定义域是实数集$\mathbb{R}$。
1. 抛物线二次函数的图像为抛物线，开口方向取决于系数$a$的正负。
若$a>0$，则抛物线开口向上；若$a<0$，则抛物线开口向下。
2. 零点二次函数的零点是函数图像与$x$轴的交点，表示方程$f(x)=0$的解。
二次函数的零点个数不超过2个。
3. 预备知识求一个二次函数的图像需要知道抛物线的顶点、开口方向以及与$x$轴的交点等信息，这些信息可以通过转化二次函数的标准形式$f(x)=a(x-h)^2+k$来获得。
二、顶点和轴对称性1. 顶点二次函数的顶点坐标为$(h, k)$，其中$x=h$时取得极值，$k$为函数的最小值（当$a>0$）或最大值（当$a<0$）。
2. 轴对称性二次函数的图像关于直线$x=h$对称。
直线$x=h$称为二次函数的对称轴。
三、更多的性质1. 单调性当$a>0$时，二次函数在开区间$(-\infty, h)$和$(h, +\infty)$上递增，在闭区间$[h, +\infty)$上递减；当$a<0$时，二次函数在开区间$(-\infty,h)$和$(h, +\infty)$上递减，在闭区间$[h, +\infty)$上递增。
2. 函数值的范围对于一般的二次函数，当$a>0$时，函数值的范围为$[k, +\infty)$；当$a<0$时，函数值的范围为$(-\infty, k]$。
3. 极值点若$a>0$，则二次函数的最小值为$k$，对应于顶点$(h, k)$；若$a<0$，则二次函数的最大值为$k$，对应于顶点$(h, k)$。
四、解析式和一般形式1. 解析式二次函数的标准形式为$f(x)=a(x-h)^2+k$，其中$h$和$k$为顶点坐标，$a$决定了开口方向和抛物线的缩放比例。
初中二次函数知识点总结(全面)
初中二次函数知识点总结(全面)初中二次函数知识点总结(全面)二次函数知识点（一）、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数yax2bxc的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．（二）、二次函数yax2bxc的性质b4acb2b1.当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x，顶点坐标为，．2a4a2a 当xbb时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大；当2a2a4acb2b．x 时，y有最小值4a2a2.当a0时，抛物线开口向下，对称轴为xb，顶点坐标为2ab4acb2bb 时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增，．当x4a2a2a2a4acb2b大而减小；当x时，y有最大值．4a2a（三）、二次函数解析式的表示方法1.一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）；2.顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；3.两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.练习1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)()A.B.C.D.2.函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是()A.(1，-4)B.(-1，2)C.(1，2)D.(0，3)3.抛物线y=2(x-3)2的顶点在()A.第一象限B.第二象限C.x轴上D.y轴上4.抛物线的对称轴是()A.x=-2B.x=2C.x=-4D.x=45.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是()A.ab>0，c>0B.ab>0，c10.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是()A.C.二、填空题1、下列函数中，哪些是二次函数？（1）yx20（3）yx2（2）y(x2)(x2)(x1)2B.D.1（4）yx22x3x2、二次函数y2(x3)25的图象开口方向，顶点坐标是，对称轴是；3、当k为何值时，函数y(k1)xk2k1为二次函数？画出其函数的图象．3、函数yx(23x)，当x为时，函数的最大值是；14、二次函数yx22x，当x时，y0;且y随x的增大而减2小；5.二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________.6.若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则y=________.7.若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为_________.8.抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.9、二次函数yx2x的对称轴是．10二次函数y2x2x1的图象的顶点是，当x时，y随x的增大而减小．11抛物线yax4x6的顶点横坐标是-2，则a=．12、抛物线yax2xc的顶点是(,1)，则a、c的值是多少？222213．已知抛物线y=125x－３x－22（１）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（２）求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；（３）画出草图（４）观察草图，指出x为何值时，y＞0,y＝0,y＜0.14、（20xx年宁波市）如图，已知二次函数y12xbxc2的图象经过A（2，0）、B（0，－6）两点。
二次函数知识点(大全)
二次函数知识点1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.(2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，. 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于y 轴(或重合)的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线ab x 2-=. (2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用(1)a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样. (2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线ab x 2-=,故： ①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧； ③0<a b(即a 、b 异号)时,对称轴在y 轴右侧.(3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0，c )：①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab .11.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.(2)顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.12.直线与抛物线的交点(1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0)(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).(3)抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程 02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切；③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.(4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.(5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组⎩⎨⎧++=+=c bx ax y n kx y 2的解的数目来确定： ①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.(6)抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故 a c x x a b x x =⋅-=+2121, ()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121 13．二次函数与一元二次方程的关系：(1)一元二次方程c bx ax y ++=2就是二次函数c bx ax y ++=2当函数y 的值为0时的情况．(2)二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当0=y 时自变量x 的值，即一元二次方程02=++c bx ax 的根．(3)当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程cbx ax y ++=2有两个不相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根14.二次函数的应用：(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值；(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．15.解决实际问题时的基本思路：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；(3)用函数表达式表示出它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等．。
初中二次函数知识点汇总(史上最全)
二次函数知识点一、根本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2=++〔a b cy ax bx ca≠〕的函数，叫做二次函数。
，，是常数，0这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、根本形式1. 二次函数根本形式：2=的性质：y axa2. 2=+的性质：〔上加下减〕y ax cy a x h=-的性质：〔左加右减〕4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律在原有函数的根底上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移〞．概括成八个字“左加右减，上加下减〞． 方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上〔下〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2〔或m c bx ax y -++=2〕⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左〔右〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2〔或c m x b m x a y +-+-=)()(2〕四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比拟从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，〔假设与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点〕.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a =-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++〔a ，b ，c 为常数，0a ≠〕；2. 顶点式：2()y a x h k =-+〔a ，h ，k 为常数，0a ≠〕；3. 两根式：12()()y a x x x x =--〔0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标〕. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非全部的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异〞 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式确实定：根据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 抛物线顶点或对称轴或最大〔小〕值，一般选用顶点式；3. 抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称〔即：抛物线绕顶点旋转180°〕2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状肯定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择适宜的形式，习惯上是先确定原抛物线〔或表达式的抛物线〕的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系〔二次函数与x 轴交点情况〕：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特别情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴肯定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大〔小〕值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置推断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号推断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和一点对称的点坐标，或与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是〔 〕y y y y 1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
二次函数知识点汇总(全)
二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2.2y ax c=+的性质： 上加下减。
3.()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项cc>时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑴当0c=时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑵当0c<时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．⑶当0总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．总之，只要a b c二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x轴对称2=---；y ax bx cy ax bx c=++关于x轴对称后，得到的解析式是2()2y a x h ky a x h k=---；=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()22. 关于y轴对称2=-+；y ax bx cy ax bx c=++关于y轴对称后，得到的解析式是2()2y a x h k=++；=-+关于y轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k3. 关于原点对称2=-+-；y ax bx cy ax bx c=++关于原点对称后，得到的解析式是2()2=-+-；y a x h ky a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()24. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：y=-2x22y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)22-32十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x，求这条抛物线的解析式。
二次函数知识点汇总(全)
二次函数知识点 (第一讲 )一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y2ax bx c （ a ，b ，c 是常数， a 0 ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0 ，而 b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．22. 二次函数y ax bx c的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式， x 的最高次数是 2．⑵ a ，b ，c 是常数，a是二次项系数， b 是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y ax2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a 的符号开口方向顶点坐对称标性质轴x 0 时，y随x的增大而增大； x0 时，y随a 0向上0，0y 轴x 的增大而减小；x 0 时，y有最小值 0 ．x 0 时，y随x的增大而减小； x0 时，y随a 0向下0，0y 轴x 的增大而增大；x 0 时，y有最大值 0 ．2.2c 的性质：（上加下减）y axa 的符号开口方向顶点坐对称性质标轴x0 时，y随x的增大而增大； x0 时，y随a0向上0，c y 轴x 的增大而减小；x 0 时，y有最小值c．x0 时，y随x的增大而减小； x0 时，y随a0向下0，c y 轴x 的增大而增大；x 0 时，y有最大值c．3. y a x h 2 的性质：（左加右减）a 的符号开口方向顶点坐对称 性质标轴x h 时， y 随 x 的增大而增大； xh 时， y 随a 0向上h ，0 X=hx 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 0 ．x h 时， y 随 x 的增大而减小； xh 时， y 随a 0向下h ，0X=hx 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 0 ．4. y a x2k 的性质：ha 的符号开口方向顶点坐对称 性质标轴x h 时， y 随 x 的增大而增大； xh 时， y 随a 0向上h ，k X=hx 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 k ．x h 时， y 随 x 的增大而减小； xh 时， y 随a 0向下 h ，kX=hx 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 k ．三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y a x h 2h ，k ；k ，确定其顶点坐标 ⑵ 保持抛物线 yax 2 的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下：向上 ( k>0)【或向下 ( k<0) 】平移 |k|个单位y=ax2y=ax 2+k向右 ( h>0) 【或左 (h<0) 】 向右 (h>0)【或左 (h<0)】 向右 (h>0) 【或左 ( h<0) 】 平移 |k| 个单位平移 |k|个单位平移 |k|个单位向上 (k>0)【或下 (k<0)】平移 |k|个单位y=a (x-h)2向上 (k>0)【或下 (k<0)】平移 |k|个单位y=a( x-h)2+k2. 平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移 ”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴ y ax 2bx c 沿y轴平移:向上（下）平移m 个单位， y ax2bx c 变成y ax2bx c m （或 y ax 2bx c m ）⑵ y ax 2bx c 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， y ax2bx c 变成y a(x m) 2b( x m) c （或 y a( x m) 2b(x m) c ）四、二次函数y a x h2k 与 y ax2bxc 的比较从解析式上看， y a x h 2k 与 y ax2bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到2b2b，k4ac b2前者，即 y a x b4ac，其中 h．2a4a2a4a五、二次函数 y ax 2bx c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2bx c 化为顶点式 y a( x h)2k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点0，c、以及 0，c关于对称轴对称的点2h ，c 、与x轴的交点x1，0 ，x2，0（若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与 y 轴的交点.六、二次函数 y ax2bx c 的性质1.当 a0 时，抛物线开口向上，对称轴为x b，顶点坐标为 b ，4ac b 2．2a2a4a当 x b时， y 随 x 的增大而减小；当xb时， y 随 x 的增大而增大；当xb时， y 有2a2a2a最小值4acb2．4a2.当 a0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x b，顶点坐标为 b ，4ac b2．当 x b时， y2a2a4a2a随 x 的增大而增大；当x b时， y 随 x 的增大而减小；当x b时， y 有最大值4acb2．2a2a4a 七、二次函数解析式的表示方法1.一般式： y2 ax2.顶点式： y a( x3.两根式： y a(x bx c （a， b ，c为常数， a0 ）；h) 2k （a， h ， k 为常数， a0 ）；x1 )( x x2 ) （ a 0 ， x1， x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式， 但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b 2 4ac 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化 .八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数 y ax 2 bx c 中， a 作为二次项系数，显然 a 0 ．⑴ 当 a 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大； ⑵ 当 a0 时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在 a0 的前提下，当 b0 时，b 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2a当 b0 时，b 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b 0 时，b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧．2a⑵ 在 a0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b0 时，b 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2a当 b 0 时，b 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b 0 时，b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧．2a总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定： 对称轴 xb在 y 轴左边则 ab 0 ，在 y 轴的右侧则 ab0 ，概括的说就2a是“左同右异” 总结：3. 常数项 c⑴ 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ； ⑶ 当 c0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于 x 轴对称2关于轴对称后，得到的解析式是y ax 2bx c；y a x b x c xy a x2y a2 hk 关于x轴对称后，得到的解析式是x hk ；2.关于 y 轴对称y2b x 关c于y轴对称后，得到的解析式是y ax2bx c ；a xy a x2y a x h2hk 关于y轴对称后，得到的解析式是k ；3.关于原点对称y ax2bx c关于原点对称后，得到的解析式是y ax2bx c ；2关于原点对称后，得到的解析式是2；y a x h y a x h kk4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）y2 b x 关c于顶点对称后，得到的解析式是y ax2bx b2a x c；2ay a x2k 关于顶点对称后，得到的解析式是y a x h2．h k5. 关于点m，n 对称22k y a x hk 关于点 m，n 对称后，得到的解析式是 y a x h 2m2n根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程 ax2bx c 0 是二次函数 y ax2bx c 当函数值 y0时的特殊情况 .图象与 x 轴的交点个数：① 当b24ac0 时，图象与x轴交于两点 A x1，0，B x2，0( x1x2 ) ，其中的 x1，x2是一元二次方程 ax2bx c 0 a 0 的两根．这两点间的距离 AB x2x1b24ac .a② 当0 时，图象与x轴只有一个交点；③ 当0 时，图象与x轴没有交点.1'当 a0 时，图象落在x轴的上方，无论x 为任何实数，都有y 0 ；2'当 a0 时，图象落在x轴的下方，无论x 为任何实数，都有y0 ．2. 抛物线y ax2bx c 的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0 ， c) ；3.二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数y ax2bx c 中a， b ，c的符号，或由二次函数中 a ，b， c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2bx c(a 0) 本身就是所含字母x 的二次函数；下面以 a0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0抛物线与 x 轴有二次三项式的值可正、一元二次方程有两个不相等实根两个交点可零、可负0抛物线与 x 轴只二次三项式的值为非一元二次方程有两个相等的实数根有一个交点负0抛物线与 x 轴无二次三项式的值恒为一元二次方程无实数根 .交点正二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以 x 为自变量的二次函数y ( m 2)x 2m2m 2 的图像经过原点，则m的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y kx b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数y kx2bx 1 的图像大致是（）y y y y110 x o-1 x0 x0 -1 xA B C D3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3) ， (4,6) 两点，对称轴为x 5，求这条抛物线的解析式。
(完整版)初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a(x-x₁)(x-x ₂) [仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y 轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
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二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：2 bx c a b c a y ax 是常数，〔1〕一般一般式：( , , 0)2〔2〕两根当抛物线y ax bx c 与x轴有交点时，即对应二次好方程 2 bx c ax x1 x2有实根和存在时，依照二次三项式的分解因式2 bx c a x x x x 2ax y ax bx c( 1)( 2 )，二次函数可转变为两根式y a( x x1 x x2)( ) 。
若是没有交点，那么不能够这样表示。
a 的绝对值越大，抛物线的张口越小。
2 k a h k a y a x h是常数，〔3〕极点式：( ) ( , , 0)知识点八、二次函数的最值若是自变量的取值范围是全体实数，那么函数在极点处获取最大值〔或最小值〕2b 4ac bx y，即当时，。
最值2a 4ab 若是自变量的取值范围是x1 x x2 ，那么，第一要看可否在自变量取值范2a2b 4ac b围x1 x x2 内，假设在此范围内，那么当 x= 时，；假设不在此范围y最值2a 4a内，那么需要考虑函数在x1 x x2 范围内的增减性，若是在此范围内， y随x的增大而2 2增大，那么当x x2 时，y最大ax bx c，当x x1时，y ax bx1 c；如最小2 2 12果在此范围内， y随x的增大而减小，那么当x x1时，y ax bx1 c，当最大x x212时，y ax bx2 c。
最小2知识点九、二次函数的性质1 、二次函数的性质二次函数函数 2 bx c a b c ay ax ( , , 是常数，0)a>0 a<0yy图像0 x 0 x〔1〕抛物线张口向上，并向上无量延伸；〔1〕抛物线张口向下，并向下无量延伸；b b〔2〕对称轴是 x= ，极点坐标是〔2a 2ab〔2〕对称轴是 x= ，极点坐标是〔2a24ac b ，〕；4a2 b 4ac b，〕；2a 4a性b〔3〕在对称轴的左侧，即当 x< 时，y随2ab〔3〕在对称轴的左侧，即当 x< 时，y2a x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当 x随x的增大而增大；在对称轴的右侧，质b b> 时，y随x的增大而增大，简记左即当x> 时，y随x的增大而减小，2a 2a减右增；简记左增右减；b 〔4〕抛物线有最低点，当 x= 时，y有最2ab 〔4〕抛物线有最高点，当 x= 时，y有2a小值，y最小值4ac4ab 2最大值，y最大值4ac4ab 22 bx c a b c a2、二次函数y ax ( , , 是常数， 0) 中，a、b、c 的含义：a a表示张口方向： >0 时，抛物线张口向上a <0 时，抛物线张口向下b b 与对称轴有关：对称轴为 x=2ac c表示抛物线与 y轴的交点坐标：〔 0，〕3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 x轴的交点坐标。
二次函数知识点总结(详细)
1、已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列四个结论：20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<，其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ． ①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤3、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式中错误．．的是（ ） A ．a ＜0 B ．c ＞0 C ．ac b 42-＞0D ．c b a ++＞0 4、图12为二次函数2y ax bx c =++的图象，给出下列说法：①0ab <；②方程20ax bx c ++=的根为1213x x =-=，；③0a b c ++>；④当1x >时，y 随x 值的增大而增大；⑤当0y >时，13x -<<．其中，正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）11 1- OxyyxO1 －15、已知=次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图．则下列5个代数式：ac ，a+b+c ，4a －2b+c ，2a+b ，2a －b 中，其值大于0的个数为（ ） A ．2B 3C 、4D 、5四、二次函数解析式的确定 例4. 求二次函数解析式：（1）抛物线过（0，2），（1，1），（3，5）； （2）顶点M （-1，2），且过N （2，1）；（3）已知抛物线过A （1，0）和B （4，0）两点，交y 轴于C 点且BC ＝5，求该二次函数的解析式。
练习：根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式 （1） 当x=3时，y 最小值=－1，且图象过（0，7）（2） 图象过点（0，－2）（1，2）且对称轴为直线x=32（3） 图象经过（0，1）（1，0）（3，0）五、二次函数与x 轴、y 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）例5、 已知抛物线y ＝x 2-2x-8，（1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，且它的顶点为P ，求△ABP 的面积。
二次函数知识点总结及相关典型题目(含答案)
二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分二次函数基础知识相关概念及定义二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc （a b c ，，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．二次函数2yaxbxc 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二次函数各种形式之间的变换二次函数c bx axy 2用配方法可化成：k hx a y2的形式，其中abac kab h4422，.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y ；②k axy2；③2h x a y ；④k hx a y2；⑤c bx axy 2.二次函数解析式的表示方法一般式：2y axbx c （a ，b ，c 为常数，0a ）；顶点式：2()y a x h k （a ，h ，k 为常数，0a ）；两根式：12()()ya xx x x （0a，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 二次函数2ax y 的性质二次函数2y ax c 的性质二次函数2ya x h 的性质：二次函数2ya x hk 的性质抛物线2yaxbx c 的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a 的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作2b xa.特别地，y 轴记作直线0x .顶点坐标坐标：），（a bac a b4422顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 抛物线c bx axy 2中，c b a ,,与函数图像的关系二次项系数a 二次函数2yaxbxc 中，a 作为二次项系数，显然0a．⑴当0a 时，抛物线开口向上，a 越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵当0a 时，抛物线开口向下，a 越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．⑴在0a 的前提下，当0b 时，02ba ，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b 时，02ba，即抛物线的对称轴就是y 轴；a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a向上00，y 轴0x 时，y 随x 的增大而增大；0x 时，y随x 的增大而减小；0x 时，y 有最小值0．0a 向下00，y 轴0x 时，y 随x 的增大增大而减小；0x 时，y 随x 的增大而增大；0x 时，y 有最大值0．a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质性质a向上0c，y 轴0x时，y 随x 的增大而增大；0x时，y随x 的增大而减小；0x 时，y 有最小值c ．a 向下0c ，y 轴0x时，y 随x 的增大而减小；0x时，y随x 的增大而增大；0x 时，y 有最大值c ．a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a向上h ，X=hxh 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 有最小值0．0a向下h ，X=hxh 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 随x的增大而增大；xh 时，y 有最大值0．a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a向上h k，X=hxh 时，y 随x 的增大而增大；xh 时，y 随x 的增大而减小；xh 时，y 有最小值k ．a 向下h k，X=hxh 时，y 随x 的增大而减小；xh 时，y 随x 的增大而增大；xh 时，y 有最大值k ．当0b 时，02ba，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵在0a的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b 时，02b a ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b 时，02b a ，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．总结：常数项c⑴当0c 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵当0c 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶当0c时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．求抛物线的顶点、对称轴的方法公式法：abac abxa cbx axy 442222，∴顶点是），（ab ac a b4422，对称轴是直线ab x2.配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为k hx a y 2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x .运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 用待定系数法求二次函数的解析式一般式：c bx axy 2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.顶点式：k h x a y2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：21x x x xa y.直线与抛物线的交点y 轴与抛物线c bx axy2得交点为(0, c ).与y 轴平行的直线h x与抛物线c bx axy2有且只有一个交点(h ,c bh ah2).抛物线与x 轴的交点:二次函数c bx axy2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02cbx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点0抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）0抛物线与x 轴相切；③没有交点抛物线与x 轴相离.平行于x 轴的直线与抛物线的交点可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax2的两个实数根.一次函数0k n kx y 的图像l 与二次函数02ac bx axy的图像G 的交点，由方程组2y kx n yaxbx c的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时l 与G 只有一个交点；③方程组无解时l 与G 没有交点. 抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx axy2与x 轴两交点为0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02c bx ax的两个根，故ac x x a b x x 2121,aaac bac ab x x x x x x x x AB444222122122121二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达关于x 轴对称2ya xb xc 关于x 轴对称后，得到的解析式是2y axbx c ；2y a x hk 关于x 轴对称后，得到的解析式是2y a xhk ；关于y 轴对称2y a x b x c 关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bxc ；2ya x hk 关于y 轴对称后，得到的解析式是2y a x h k ；关于原点对称2y a x b x c 关于原点对称后，得到的解析式是2y axbx c ；2ya xhk 关于原点对称后，得到的解析式是2y a x hk ；关于顶点对称2y a x b x c关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbx ca；2ya xhk 关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk ．关于点m n ，对称2y a x hk 关于点m n ，对称后，得到的解析式是222y a x h m n k总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图象的平移平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk ，确定其顶点坐标h k ，；⑵保持抛物线2yax 的形状不变，将其顶点平移到h k ，处，具体平移方法如下：向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h )2+ky=a(x-h )2y=ax 2+ky=ax2平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。
初中二次函数知识点汇总(史上最全)
二次函数知识点一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b ca≠）的函数，叫做二次函数。
，，是常数，0这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c=+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
二次函数知识点汇总(全)
二次函数知识点（第一讲）、二次函数概念:1. 二次函数的概念：一般地，形如y=aχ2∙bx ∙c （ a , b , C是常数，a =O ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a = 0 ,而b ,c可以为零•二次函数的定义域是全体实数.2. 二次函数y =aχ2∙bx C的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量X的二次式，X的最高次数是2 .⑵a ,b ,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，C是常数项.二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y =aχ2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. y =aχ2 C的性质：（上加下减）23. y =a (x —h )的性质：(左加右减)a 的符号 开口方向顶点坐 标 对称 轴性质a >0向上(h ,0) X=hx>h 时，y 随X 的增大而增大；Xeh 时，y 随X 的增大而减小；X = h 时，y 有最小值0 .a cθ向下(h ,0) X=hx>h 时，y 随X 的增大而减小；XVh 时，y 随X 的增大而增大；X = h 时，y 有最大值0 .24. y=a(x —h)+k 的性质:a 的符号 开口方向顶点坐 标 对称 轴性质a >0向上(h, k ) X=hx>h 时，y 随X 的增大而增大；XCh 时，y 随X 的增大而减小；x=h 时，y 有最小值k .a v0向下 (h, k ) X=hXAh 时，y 随X 的增大而减小；XVh 时，y 随X 的增大而增大；X = h 时，y 有最大值k .三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y =a X -∙h j 亠k ，确定其顶点坐标 h , k ； ⑵ 保持抛物线y =aχ2的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上 h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减, 上加下减”.y=ax 2* y=ax 2+k向上(k>0)【或下(k<0)] y=a (x-h)2向右(h>0)【或左(h<0)] 平移|k|个单位y=a(x-h)2+k向上(k>0)【或向下(k<0)】平移Ikl 个单位向上(k>0)【或下(k<0)]平移|k 个单位向右(h>0)【或左(h<0)] 平移Kl 个单位向右(h>0)【或左(*0)] 平移Ikl 个单位平移∣k ∣个单位方法二：⑴y = ax 2 bx c 沿y 轴平移：向上(下)平移 m 个单位，y = ax 2 ∙ bx ∙ c 变成2 卜 2y = ax bx C m (或 y = ax bx c - m )⑵y =ax 2 ∙ bx C 沿轴平移：向左(右)平移 m 个单位，y = ax 2 bx C 变成2 卜 2y = a(x m) b(x m) c (或 y = a(x _ m) b(x _ m) c )四、二次函数y =a X _h i 亠k 与y =aχ2 bx c 的比较2从解析式上看，y =a X _h ］亠k 与y =aχ2 ∙ bx C 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到五、二次函数y =aχ2 bx c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y =aχ2 bx C 化为顶点式y=a(x-h)2 ∙k ，确定其开口方 向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图 •一般我们选取的五点为： 顶点、与y 轴的交点O, c 、以及O,c 关于对称轴对称的点 2h ，C 、与X 轴的交点x 1, 0，X 2，O (若与X 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点)画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 X 轴的交点，与y 轴的交点•六、二次函数y =ax 2 bx c 的性质随X 的增大而增大；当 ^-―时，y 随X 的增大而减小；当X b 时,2a2a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： y =ax bx c ( a , b , C 为常数，a =O )；2.顶点式： y =a(x-h) k ( a , h , k 为常数，a =O )；3.两根式： y =a(x -x ι)(x -X 2) ( a =O , X i , X 2是抛物线与X 轴两交点的横坐标)前者，即y =a,其中Ta24ac — b 4a1.当a O 时，抛物线开口向上，对称轴为X b,顶点坐标为2ab 4ac-b 2— ，2a 4a当X 时，y 随X 的增大而减小；当X^ 时,2a2a最小值4ac "2 .4ay随X 的增大而增大；当X=E 时，y 有2.当a ：：：0时，抛物线开口向下, X =-b,顶点坐标为( b 4ac-b 2•当X ：：」时,I ■—, 2a2a 4a2ay 有最大值4ac - b 2 4a对称轴为 y注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式， 但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与X 轴有交点，即b 2_4ac_o 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数 解析式的这三种形式可以互化•八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数y =aχ2 ∙ bx ∙ c 中，a 作为二次项系数，显然 a 厂0 .⑴当a 0时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大； ⑵ 当a ：：：0时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大. 总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小.2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴. ⑴在a 0的前提下，当b 0时，一卫：：：0 ,即抛物线的对称轴在 y 轴左侧;2a当b =0时，一丄=0 ,即抛物线的对称轴就是 y 轴；2a当b <0时，—b .0,即抛物线对称轴在 y 轴的右侧.2a⑵ 在a <0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b 0时，—卫∙0 ,即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；2a当b =0时，—b =O ,即抛物线的对称轴就是 y 轴；2a当b <0时，一P ：：： 0 ,即抛物线对称轴在 y 轴的左侧.2a总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置.Kab 的符号的判定：对称轴X —在y 轴左边则ab • 0,在y 轴的右侧则ab ：：： 0 ,概括的说就2a是“左同右异” 总结： 3. 常数项C总结起来，C 决定了抛物线与y 轴交点的位置.总之，只要a, b , C 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法•用待定系数法求二次函数的解析式必 须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便•一般来说，有如下几种情况：⑴当C 0时，抛物线与 y 轴的交点在X 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正; ⑵当C =0时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ; ⑶当C <0时，抛物线与 y 轴的交点在X 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负.1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与X轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于X轴对称y = aX ∙ bx关于X轴对称后，得到的解析式是y - -aχ2 -bx -C ;2 2y=ax-h］亠k关于X轴对称后，得到的解析式是y - -a X -h k ;2. 关于y轴对称^aX bx关于y轴对称后，得到的解析式是y =aχ2 -bx ∙ c ;2 2y=ax-h「k关于y轴对称后，得到的解析式是y = a X^i ^k ;3. 关于原点对称y = ax2 bx C关于原点对称后，得到的解析式是y =-aχ2∙ bx-c ;2 2y = a X- h ■关于原点对称后，得到的解析式是y - -a X ∙ h k ;4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）y=aX ∙ bx关汙顶点对称后，得到的解析式是y»bx c 卫;2a2y =a x-h k关于顶点对称后，得到的解析式是2y = -a X - h j 亠k •5. 关于点m, n对称2 2y =a X -h i亠k关于点m , n 对称后，得到的解析式是y = -a x ■ h —2m i亠2n —k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变•求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程:1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与X轴交点情况）：一元二次方程ax2 bx C 0是二次函数y=aχ2 bx G当函数值y =O时的特殊情况• 图象与X轴的交点个数：①当厶-b2 -4ac 0时，图象与X轴交于两点Axl，0 , B X2 , 0 （X^-X2），其中的X i，X2是一元次方程ax2 bx C =0 a十0的两根.这两点间的距离②当=0时，图象与X轴只有一个交点；③当.—：：0时，图象与X轴没有交点•1'当a 0时，图象落在X轴的上方，无论X为任何实数，都有y ∙0 ;2'当a ：：：0时，图象落在X轴的下方，无论X为任何实数，都有y：：：0 .2.抛物线y =aχ2 bx C的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，C）;3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与X轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数y =aχ2∙ bx ∙ c中a，b，C的符号，或由二次函数中a，b，C的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与X轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2 bx C（^--=0）本身就是所含字母X的二次函数；下面以a 0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：Δ>0抛物线与X轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根A =0抛物线与X轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根A <0抛物线与X轴无交占二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.AB = X2 - X i I =b 4ac二次函数考查重点与常见题型1. 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如:已知以X为自变量的二次函数y = (m「2)x2∙ m2「m「2的图像经过原点，则m的值是___________2 .综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y =kx ∙ b的图像在第一、二、三象限内，那么函数3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：5已知一条抛物线经过(0,3) , (4,6)两点，对称轴为X ,求这条抛物线的解析式。
(完整版)初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系:y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数,a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。
）则称y为x的二次函数.二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II。
二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)顶点式：y=a（x—h)^2+k ［抛物线的顶点P(h，k）］交点式:y=a(x-x₁）（x—x ₂) ［仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和B（x₂,0）的抛物线］注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:h=—b/2a k=（4ac—b^2）/4a x₁，x₂=（-b±√b^2—4ac）/2aIII。
二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P （—b/2a ，(4ac—b^2）/4a ）当—b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上。
3。
二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口;当a＜0时，抛物线向下开口.|a|越大，则抛物线的开口越小。
4。
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左;当a与b异号时（即ab＜0),对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于(0，c）6.抛物线与x轴交点个数Δ= b^2—4ac＞0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2—4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
二次函数知识点、考点、典型试题集锦(带详细解析答案)
二次函数知识点、考点、典型试题集锦(带详细解析答案)考点1：二次函数的图象和性质一、考点讲解：1．二次函数的定义：形如c bx ax y ++=2（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的函数为二次函数．2．二次函数的图象及性质：⑴ 二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y 轴；当a ＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a ＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大．y=a(x －h)2＋k 的对称轴是x=h ，顶点坐标是（h ，k ）。
⑵ 二次函数c bx ax y ++=2的图象是一条抛物线．顶点为（－2b a ，244ac b a -），对称轴x=－2b a；当a ＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x ＞－2b a ，y 随x 的增大而增大，x ＜－2b a，y 随x 的增大而减小；当a ＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x ＞－2b a ，y 随x 的增大而减小，x ＜－2b a，y 随x 的增大而增大． ⑶ 当a ＞0时，当x=－2b a 时，函数有最小值244ac b a -；当a ＜0时，当 x=－2b a时，函数有最大值244ac b a-。
3．图象的平移：将二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象进行平移，可得到y=ax 2＋c ，y=a(x －h)2，y=a(x －h)2＋k 的图象．⑴ 将y=ax 2的图象向上(c ＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax 2＋c 的图象．其顶点是（0,c ），形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑵ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x －h)2的图象．其顶点是（h ，0），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑶ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x －h)2 +k 的图象，其顶点是（h ，k ），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．注意：二次函数y=ax 2 与y =－ax 2 的图像关于x 轴对称。
(完整版)初中二次函数知识点详解最新助记口诀
1、二次函数的性质
函数
二次函数
图像
a>0
a<0
y
0 x
y
0 x
性质
（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；
（2）对称轴是xΒιβλιοθήκη ，顶点坐标是（ ， ）；（3）在对称轴的左侧，即当x< 时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x> 时，y随x的增大而增大，简记左减右增；
（4）抛物线有最低点，当x= 时，y有最小值，
知识点一、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
一般地，如果特 ，特别注意a不为零
那么y叫做x的二次函数。
叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法
五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴
绝对值大开口小，开口向下A负数。
抛物线有对称轴，增减特性可看图。
线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。
如果要画抛物线，描点平移两条路。
提取配方定顶点，平移描点皆成图。
列表描点后连线，三点大致定全图。
若要平移也不难，先画基础抛物线，
顶点移到新位置，开口大小随基础。
【注】基础抛物线
（2）求抛物线 与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
初中二次函数知识点汇总(史上最全)
二次函数知识点一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b ca≠）的函数，叫做二次函数。
，，是常数，0这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c=+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
(完整版)高考二次函数
二次函数知识梳理知识点1 二次函数的图象和性质1.二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义形如：f(x) = ax2+ bx+ c (a^ 0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式的三种形式①一般式：f (x) = ___ ax2+ bx+ c ( a* 0) ______ .②顶点式：f (x) = __ a (x- m) + n(a*0) ________ .③零点式：f(x) = ____ a (x —x i)( x-X2) ( a*0) __________________ .点评：.求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求.①已知三个点的坐标时，宜用一般式.②已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式③已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求 f (x)更方便. 2.nb 4ac — b 2 ②顶点：(—2a ，二^)3.二次函数f (x ) = ax 2 + bx + c ( a *0)，当A = b 2— 4ac >0时，图象与x 轴有两个交点M (x i,O)、M (X 2,O), I MM | = |x i — X 2| =f —1 a|2ax bx c 0的实根分布问题，用图象求解,有如下结论:令f(x) ax bx c ( a 0)(同理讨论a 0的结论)知识点2 二次函数、 •兀二次方程及一兀二次不等式之间的关系当f(x)2 2ax bx c 的图像与x 轴无交点 ax bxc 0无实根ax 2 bxc 0( 0)的解集为 或者是R;当 0f(x)2 2ax bx c 的图像与x 轴相切 ax bx c0有两个相等的实根ax 2 bxc 0( 0)的解集为 或者是R;当f(x)2ax bx c 的图像与x 轴有两个不同的交点ax 2 bx c 0 有两个不等的实根ax 2 bx c 0( 0)的解集为(，)()或者是( ,)U(,)。
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二次函数知识点(第一讲)一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。