几何定值问题
(完整)解析几何中的定点和定值问题
解析几何中的定点定值问题考纲解读:定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。
此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆,圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。
考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。
一、定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系,通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。
例1、已知A 、B 是抛物线y 2=2p x (p 〉0)上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β,当α、β变化且α+β=4π时，证明直线AB 恒过定点,解析： 设A （121,2y p y ),B （222,2y py ）,则212tan ,2tan y py p ==βα，代入1)tan(=+βα 得221214)(2p y y y y p -=+ (1） 又设直线AB 的方程为b kx y +=，则022222=+-⇒⎩⎨⎧=+=pb py ky pxy bkx y ∴kpy y kpby y 2,22121=+=，代入(1）式得pk p b 22+= ∴直线AB 的方程为)2(2p x k p y +=- ∴直线AB 过定点(-)2,2p p说明：本题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从已知出发，把所求的定点问题转化为求直线AB ，再从AB 直线系中看出定点。
例2．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切． ⑴求椭圆C 的方程；⑵设(4,0)P ,M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围;⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．解析：⑴由题意知c e a ==,所以22222234c a b e a a -===，即224a b =，又因为1b ==，所以224,1a b ==，故椭圆C 的方程为C ：2214x y +=．⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =- ①联立22(4)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得:2222(41)324(161)0k x k x k --+-=, 由2222(32)4(41)(644)0k k k ∆=-+->得21210k -<， 又0k =不合题意,所以直线PN的斜率的取值范围是0k <<或0k <<． ⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ,则11(,)M x y -，直线ME 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--， 令0y =,得221221()y x x x x y y -=-+，将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理,得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②由得①2212122232644,4141k k x x x x k k -+==++代入②整理，得1x =， 所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)．【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中，点M到点()1,0F，)2,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程;⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系,并证明直线l 过定点．解:⑴∵点M到(),0，),0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4,焦点在x轴上焦中为的椭圆，其方程为2214x y +=．⑵将y kx b =+，代入曲线C 的方程，整理得22(14)40k x +++= ,因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+> ①设()11,P x y ,()22,Q x y ，则1228214k x x k +=-+，122414x x k =+ ② 且2212121212()()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++，显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+．由0AP AQ ⋅=，得1212(2)(2)0x x y y +++=．将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -⋅-=，即2b k =或65b k =．经检验,都符合条件①，当2b k =时,直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点．即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6556y kx k k x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．显然,此时直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点，且不过点A ．综上，k 与b 的关系是:65b k =,且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点．【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图,已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F.设过点T(m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ,其中m 〉0,0,021<>y y .(1）设动点P 满足422=-PB PF ，求点P 的轨迹； （2）设31,221==x x ，求点T 的坐标; （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关)。
解析几何中定点、定值、定直线问题
解析几何中定点、定值、定直线问题解析几何中定点定值问题例1 已知椭圆)1(1222>=+a y ax 的上顶点为M （0，1），过M的两条动弦MA 、MB 满足MA ⊥MB 。
对于给定的实数)1(>a a ，证明：直线AB 过定点。
解：由MA MB ⋅=u u u r u u u r知MA MB ⊥，从而直线MA 与坐标轴不垂直，故可设直线MA 的方程为1y kx =+，直线MB 的方程为11y x k=-+ 将1y kx =+代入椭圆C 的方程，整理得 2222(1)20a k x a kx ++=解得0x =或22221a kx a k -=+，故点A 的坐标为222222221(,)11a k a k a k a k--++同理，点B 的坐标为22222222(,)a k k a k a k a -++ 知直线l 的斜率为2222222222222211221k a a k k a a k a k a kk a a k ---++--++=221(1)k a k-+ 直线l 的方程为22222222212()(1)k a k k a y x a k k a k a --=-++++，即222211(1)1k a y x a k a --=-++∴直线l 过定点2210,1a a ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭例3 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，+与)1,3(-=a 共线.（1）求椭圆的离心率；即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ ①由（I ）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+))((33.8321212121222222221c x c x x x y y x x c ba b a c a x x --++=+∴=+-=∴.0329233)(3422222121=+-=++-=c c c c c x x x x又222222212133,33b y x b y x=+=+又，代入①得 .122=+μλ故22μλ+为定值，定值为1.例4 设21,F F 是椭圆134:22=+y x C 的左右焦点，B A ,分别为左顶点和上顶点，过右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于N M ,两点，直线AN AM ,分别与已知直线4=x 交于点Q P ,，试探究以PQ 为直径的圆与直线l 的位置关系.高二数学作业（13）1.过双曲线22143x y -=左焦点1F 的直线交曲线的左支于M N，两点，2F 为其右焦点，则22MFNF MN+-的值为______．82.AB 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中不平行于对称轴的一条弦，M是AB 的中点，O 是椭圆的中心，OMABk k ⋅=______22ab -3.在椭圆2212x y +=上，对不同于顶点的任意三个点,,M A B ，存在锐角θ，使OB OA OM θθsin cos +=．则直线OA 与OB 的斜率之积为 . 12-4.如图，AB 是平面α的斜线段．．．，A 为斜足，若点P 在平面α内运动，使得ABP △的面积为定值，则动点P 的轨迹是 椭圆5.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:221=-y x C .椭圆14:222=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值.解：当直线ON 垂直于x 轴时，|ON|=1，|OM|=22，则OA B P α （第4到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时， 设直线ON 的方程为kxy =（显然22||>k ），则直线OM 的方程为x y k1-=.由⎩⎨⎧=+=1422y x kxy ，得⎪⎩⎪⎨⎧==++22242412k k k y x ，所以22412||k kON ++=.同理121222||-+=k k OM .设O 到直线MN 的距离为d ，因为22222||||)|||(|ON OM d ON OM =+，所以3133||1||1122222==+=++k k ON OM d ，即d=33.综上，O 到直线MN 的距离是定值.6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22143x y +=若点A ，B分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l于点.M 设过点M 垂直于PB 的直线为m .求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标.证明：直线BP 的斜率为1212y kx =-，直线m 的斜率为112mx ky -=,则直线m 的方程为112(2)x y yx y --=-，111101111222(2)4(2)2x x x y y x y x y y y x ---=-+=-++ABMPOlxym2211111122(4)4(2)x x y x y x y --+=++2211111122(4)123(2)x x x x y x y --+-=++=111122x x x y y --+=112(1)xx y-+， 所以直线m 过定点(1,0)-．7.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，且过点)21,22(P ，记椭圆的左顶点为.A（1）求椭圆的方程；（2）设垂直于y 轴的直线l 交椭圆于B ，C 两点，试求ABC ∆面积的最大值；（3）过点A 作两条斜率分别为1k ，2k 的直线交椭圆于D ，E两点，且221=k k ，求证：直线DE 恒过一个定点.高二数学教学案（13）例1 已知椭圆)1(1222>=+a y ax 的上顶点为M （0，1），过M的两条动弦MA 、MB 满足MA ⊥MB 。
(完整版)数学培优竞赛新方法(九年级)-第23讲几何定值
第23讲 几何定值知识纵横几何定值，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些集合性质或位置关系不变。
解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量和变量，运用极端位置、特殊位置、直接计算等方法，先探求出定值，再给出一般情形下的证明。
例题求解【例1】 （1）如图1，圆内接ABC ∆中，CA BC AB ==，OE OD ,为圆O 的半径，BC OD ⊥于点F ，AC OE ⊥于点G ，求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是ABC ∆的面积的31. （2）如图2，若DOE ∠保持︒120角度不变，求证：DOE ∠绕着O 点旋转时，由两条半径和ABC ∆的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是ABC ∆的面积的31．（广东省中考题）思路点拨 对于（1），连OC OA 、，则要证明ABC OAC S S ∆∆=31，只需证明OCF OAG ∆≅∆；对于（2），类比（1）的证明方法证明。
【例2】如图，⊙1O 和⊙2O 外切于点A ，BC 是⊙1O 和⊙2O 的公切线，C B ,为切点． （1）求证：AC AB ⊥；（2）过点A 的直线分别交⊙1O 和⊙2O 于点E D ,，且DE 是连心线时，直线DB 与直线EC 交于点F ．请在图中画出图形，并判断DF 与EF 是否互相垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；（3）在（2）的其他条件不变的情况下，将直线DE 绕点A 旋转（DE 不与点C B A ,,重合），请另画出图形，并判断DF 与EF 是否互相垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．（沈阳市中考题）思路点拨 按题意画出图形，充分运用角的知识证明若︒=∠90DFE ，则EF DF ⊥这一位置关系不变。
【例3】如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足，求证：不管ST 滑到什么位置，SPM ∠是一定角．（第18届加拿大数学竞赛题）思路点拨 不管ST 滑到什么位置，弧ST 及SOT ∠的度数都是定制，从探寻SPM ∠与SOT ∠的关系入手。
几何定值问题证明示例
Ｅ ＭＬＡ Ｂ予 Ｍ Ｅ ＮＬＡ Ｃ
于 Ｊ，过 尸作 Ｐ Ⅳ Ｇ￣ＭＥ于
Ｇ。Ｐ ＨＬＥ Ｎ亍 Ｈ．
Ｃ
显 然 四边 形 Ｐ ＤＭＧ，
‘ Ｐ ：＝ ：ｓ Ｂ ＝ Ｓ Ｐ ＾ｃ＝
・ ＰＤ ， Ｓ ＝ ＢＣ ・ ＰＥ ８
・ ＰＦ ， ＡＢ ＝ ＢＣ ＝ ＡＣ ，
问题 １ 如 图 ， ＡＡ Ｃ中 ， Ｂ＝ Ａ Ｐ是 Ｂ 在 Ｂ Ａ Ｃ， Ｃ上 任 意一 点 ， Ｍ上 尸
Ａ Ｂ于 Ｍ，Ｐ ＮＬＡ Ｃ千 Ｎ．
求证 ：Ｐ ＋ Ⅳ 的值 为定值 ． Ｍ Ｐ
分 析 ：Ｐ是 Ｂ Ｃ上 任 意一 点 ，意味 着 点 Ｐ为
ＢＣ上 的 动 点．随着 点 Ｐ位 置 的变 化 ，Ｐ Ｐ Ｎ 的值 也 随之 变化 ，而ＡＡ Ｃ 的各 条边 和每 个 角 Ｂ
即 Ｐ ＋ Ⅳ ＝ ＢＧ ．
●●●读写算・ 中考版■
成 功 的人 是 跟 别 人 学 习经 验 ， 失败 的 人 只 跟 自己学 习经 验 。 张 凯 ＱＱ： ８２ ４ ３ ３０５４２
。
的高 ，是定 值 ，．Ｐ Ｐ 的值 为定值 ． 。 Ｍ＋ Ｎ ．
Ｐ．
’ Ｐ 一 ＡＢ ・ ＰＭ ：Ｓ ８
，
ＢＣ
图２
，
：Ａ Ｄ，Ｐ 为
上任 意一 点 ，过 Ｐ作 Ｐ ＥＺＡ 于 Ｄ
过 Ｐ作 刚 ｊ 于 Ⅳ．由 －Ｍ
上 ｃ于 Ｆ．试 说 明：
方法 １ 如 图 ｌ ，过 Ａ作
＋ 为 定值 ． 朋
ｊ Ｃ于 －
问题 ｌ 法 ｌ 方 可得 Ｐ 阿 ＝
‘
．
’ Ｍ 为 定值 ， ． ＋ 为定 值 ． Ａ ‘ ． 船
(完整word)重点高中自招必备九年级专题24平面几何的定值问题
专题24平面几何的定值问题【阅读与思考】所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内变化时，与它有关的元素的量保持不变（或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变）.几何定值问题的基本特点是：题设条件中都包含着变动元素和固定元素，变动元素是指可变化运动的元素，固定元素也就是“不变量”，有的是明显的，有的是隐含的，在运动变化中始终没有发生变化的元素，也就是我们要探求的定值.解答定值问题的一般步骤是：1.探求定值；2.给出证明.【例题与求解】—^ PA + PC .【例1】如图，已知P为正方形ABCD的外接圆的劣弧AD上任意一点.求证：一后一为定值.PB解题思路：线段的和差倍分考虑截长补短，利用圆的基本性质，证明三角形全等.【例2】如图，AB为。
O的一固定直径，它把。
O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD±AB，Z OCD的平分线交。
O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（）A.到CD的距离保持不变B.位置不变C.等分DBD.随C点的移动而移动（济南市中考试题）解题思路：添出圆中相关辅助线，运用圆的基本性质，用排除法得出结论.【例3】如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点，P是S对AB作垂线的垂足.求证：不管ST滑到什么位置，Z SPM是一定角.（加拿大数学奥林匹克试题）解题思路：不管ST滑到什么位置，Z SOT的度数是定值.从探寻Z SPM与Z SOT的关系入手.【例4】如图，扇形OAB的半径OA=3,圆心角/AOB=90°.点C是箫上异于A, B的动点，过点C作CD±OA于点D,作CE±OB于点E.连接DE,点G, H在线段DE上，且DG=GH=HE.(1)求证：四边形OGCH是平行四边形；(2)当点C在箫上运动时，在CD, CG, DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；(3)求证：CD 2+3 CH2是定值. (广州市中考试题)解题思路：延长OG交CD于N,利用题中的三等分点、平行四边形和三角形中位线的性质，实现把线段ON转化成线段CH的倍分关系，再以及△ OND为基础，通过勾股定理，使问题得以解决.【例5】如图1,在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴的正半轴上，。
解析几何中的定值问题探究
Your text2:
解： AOB 的面积为定值,证明如下：
2b 2
a 2
证明：由题意知
e
c a
a 2 b2
3 2 c2
解得
b c
1
3
所以椭圆的方程为 y 2 x 2 1 4
（1）当直线 AB 斜率不存在时，即 x1
x2 , y1
y2 ,由 m n 0 得 x12
由
y
2
4
x2
得（k 2
1
4)x2Βιβλιοθήκη 2kbx b24
0 所以 x1
x2
2kb k 2 4 , x1x2
b2 k2
4 4
得 由 m n 0
x1 x2
y1 y2 4
0
即
x1 x2
（k x1
b)(kx2 4
b)
0 代入整理得： 2b2
k2
0) 处的切线， l
与双曲线 C 交于不同的两点 A, B ，证明： AOB的大小为定值.
Your text2:
二.斜率定值（倾斜角定值）
例
2.
已知椭圆
C：
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) 的离心率为
3 ，且过点 2
A(2,1)．若 P，Q 是椭圆 C 上的两个动点，且使∠PAQ 的角平分线总垂
解：设定圆圆心 M a,b，半径为 r ，动点 P x, y ，由题意知 MP 2r ， 即 x a2 y b2 4r2 ，
例谈解析几何中的定值问题
㊀㊀㊀例谈解析几何中的定值问题◉福建省莆田第六中学㊀苏雪晶㊀㊀摘要:定值问题是解析几何中的常见问题,因其涉及的题型多,灵活性强,对运算能力要求高,所以为了促进学生的深度学习,本文中选例做到活而不空㊁深而不偏,以研究定值问题常见题型的解题策略．关键词:定值;定点;深度学习;解题１引言定值问题和定点问题是解析几何高考题中的热点题型．本研究重点探究定值问题中如何转化,优化运算,提高解题效率等问题．定值问题一般涉及与曲线上的动点㊁线系等有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长㊁面积㊁横(纵)坐标㊁长度比值,掌握了定值求值规律和技巧,会更好地解决这一类问题,做到由此及彼㊁触类旁通．２定值问题题型分析解题过程中,要总结解题方法,理解解题策略,通过有效的方法来分析,达到掌握通性通法,面对相关问题都可以轻松应对．在解题时要引入核心变量,将所求表达式用核心变量表示,通过推理㊁计算,消去变量,从而得到定值．定值的确定是解题的根本,也是解题的最终目标．当然实践是检验真理的唯一标准,我们要深入掌握这类题型的解题方法,必须勤加练习,积累解题经验,优化解题过程,不断调整解题策略,下面让我们通过几个典型例题来小试牛刀．２．１题型一:斜率定值问题例１㊀已知抛物线C:y２＝a x(a＞０)上一点P t,１２æèçöø÷到焦点F的距离为２t．(１)求抛物线C的方程;(２)抛物线C上一点A的纵坐标为１,过点Q(３,－１)的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合),设直线AM,A N的斜率分别为k１,k２,求证:k１k２为定值．解析:(１)抛物线C的方程为y２＝x．(过程略)(２)因为点A在抛物线C上,且纵坐标y A＝１,所以A(１,１)．设过点Q(３,－１)的直线方程为x－３＝m(y＋１),即x＝m y＋m＋３．①式①代入y２＝x,得y２－m y－m－３＝０．设M(x１,y１),N(x２,y２),由韦达定理得y１＋y２＝m,y１y２＝－m－３．所以k１k２＝y１－１x１－１y２－１x２－１＝y１y２－(y１＋y２)＋１m２y１y２＋m(m＋２)(y１＋y２)＋(m＋２)２＝－１２．因此,k１k２为定值．反思:解答时要明确解答的思路,这点并不困难,难点在于联立方程后结合条件化简运算．在解题时,不仅要明确题目中的已知数据和要求,还要掌握联立方程后结合韦达定理进行化简运算,提高计算能力,掌握计算技巧．２．２题型二:面积定值问题例２㊀已知双曲线C:x２a２－y２b２＝１(a＞０,b＞０)的一个焦点坐标为(３,０),其中一条渐近线的倾斜角的正切值为２２,O为坐标原点．(１)求双曲线C的方程;(２)直线l与x轴正半轴相交于一点D,与双曲线C右支相切(切点不为右顶点),且l分别交双曲线C的两条渐近线于M,N两点,证明:әO MN的面积为定值,并求出该定值．解析:(１)由双曲线C的一个焦点坐标为(３,０),其中一条渐近线的倾斜角的正切值为２２,得c＝３,ba＝２２,a２＋b２＝c２,ìîíïïïï解得a２＝１,b２＝８．{因此,双曲线C的方程为x２－y２８＝１．(２)因为直线l与双曲线C右支相切(切点不为右顶点),所以直线l的斜率存在且不为０．设直线l的方程为y＝k x＋m,因为双曲线两条渐近线倾斜角的正切值分别为２２,－２２,所以kʂʃ２２．直线l与x轴正半轴相交于一点D,则mʂ０．由y＝k x＋m,x２－y２８＝１{消去y,得６５复习备考学习交流㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年７月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀(８－k ２)x ２－２k m x －m ２－８＝０．由直线与双曲线右支相切得,Δ＝４k ２m ２－４(８－k ２)(－m ２－８)＝０,即８－k ２＝－m ２．由于直线l 与x 轴正半轴交于一点D ,令y ＝０,代入直线l 的方程得x ＝－m k ,即|O D |＝－mk．所以S әM O N ＝S әM O D ＋S әN O D ＝１２|O D | |y M －y N |＝－m２k|k | |x M －x N |．双曲线两条渐近线方程为y ＝ʃ２２x ,联立y ＝２２x ,y ＝k x ＋m ,{可得M m ２２－k ,２２m ２２－k æèçöø÷．同理,易得N －m ２２＋k ,２２m ２２＋k æèçöø÷．S әM O N ＝－m２k |k | m ２２－k ＋m ２２＋k＝１２|－m | ４２m ８－k ２＝－２２m ２８－k２＝２２．故әO MN 的面积为定值２２．反思:本题考查了双曲线方程的求解以及直线和双曲线(或其渐近线)相交时产生的相关面积定值问题．解答时要注意结合图形的几何特征合理使用公式．本题需要选择表示三角形面积的最佳路径,从而将面积转化为坐标关系继而解答,化简整理时,运算比较繁杂,要十分细心．２．３题型三:相关比值定值问题例３㊀已知椭圆C :x ２a ２＋y ２b２＝１(a ＞b ＞０)的离心率是１２,A ,B 分别为椭圆C 的左㊁右顶点,F 是右焦点,过F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ,Q ,当直线l 垂直于x 轴时,四边形A P B Q 面积是６．(１)求椭圆C 的方程;(２)若直线l 的斜率为k (k ʂ０),线段P Q 的垂直平分线与x 轴交于点M ,求证:|M F ||P Q |为定值．解析:(１)由x ２a ２＋y ２b２＝１,令x ＝c ,得y ＝ʃb ２a ,所以,当l 垂直x 轴时,|P Q |＝２b２a．于是S 四边形A P B Q ＝１２|A B | |P Q |＝１２ˑ２a ˑ２b ２a＝２b ２＝６,得b ２＝３．又因为e ＝c a ＝１２,a ２＝b ２＋c２,所以a ２＝４．所以,椭圆C 的方程为x ２４＋y ２３＝１．(２)证明:由题意可知,F (１,０),直线l 的方程为y ＝k (x －１)．由x ２４＋y ２３＝１,y ＝k (x －１){消去y ,得(４k ２＋３)x ２－８k ２x ＋４k ２－１２＝０．设P (x １,y １),Q (x ２,y ２),则x １＋x ２＝８k ２４k ２＋３,x １x ２＝４k ２－１２４k ２＋３,y １＋y ２＝k (x １＋x ２)－２k ＝－６k４k ２＋３．设P Q 的中点为N ,则N ４k ２４k ２＋３,－３k ４k ２＋３æèçöø÷．于是直线MN 的方程为y ＋３k ４k ２＋３＝－１k x －４k ２４k ２＋３æèçöø÷．令y ＝０,得M k ２４k ２＋３,０æèçöø÷．所以|M F |＝３(k ２＋１)４k ２＋３．又|P Q |＝１＋k ２ (x １＋x ２)２－４x １x ２＝１＋k ２８k ２４k ２＋３æèçöø÷２－４(４k ２－１２)４k ２＋３＝１２(k ２＋１)４k ２＋３．所以|M F ||P Q |＝１４为定值．反思:解题过程中要明确解题方法和其中包含的数学思想．认真审题,分析解题用到的数学思想方法,学会借助韦达定理来表示每一条线段长．当解题思路明晰时,会发现线段长都用核心变量表示出来后就能求出定值．分析时要寻找题目中已经给出来的已知信息,判断不同数据之间的逻辑关系,在推理中把握联系,形成客观性认识,明确思路,快速解题．３总结以上几种思维策略是高中数学中常用方法,对于较为复杂的问题,可先采用特殊位置(如直线斜率不存在或为０)或者对称关系求出定值,进而给后面一般情形指明方向;运算中尽量利用变量之间关系(如点的坐标符合曲线方程等)做到整体代入,设而不求,简化运算．要想在高考中运用自如,需要在平常的解题过程中多加实践,不断理清思路,积累经验,提升逻辑思维能力和运算能力,最终达到对此类题型熟能生巧㊁胸有成竹．７５２０２２年７月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀学习交流复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
初中数学竞赛：几何的定值与最值(附练习题及答案)
初中数学竞赛：几何的定值与最值几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明． 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法；2．几何定理(公理)法；3．数形结合法等．注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、 逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．【例题就解】【例1】 如图，已知AB=10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为 ．思路点拨 如图，作CC ′⊥AB 于C ，DD ′⊥AB 于D ′，DQ ⊥CC ′，CD 2=DQ 2+CQ 2，DQ=21AB 一常数，当CQ 越小，CD 越小，本例也可设AP=x ，则PB=x 10，从代数角度探求CD 的最小值．注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：(1)中点处、垂直位置关系等；(2)端点处、临界位置等．【例2】 如图，圆的半径等于正三角形ABC 的高，此圆在沿底边AB 滚动，切点为T ，圆交AC 、BC 于M 、N ，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN 为的度数（ ）A ．从30°到60°变动B ．从60°到90°变动C ．保持30°不变D ．保持60°不变⌒思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点C 时，其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断．注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，研究的量取得定值与最值．【例3】 如图，已知平行四边形ABCD ，AB=a ，BC=b (a >b )，P 为AB 边上的一动点， 直线DP 交CB 的延长线于Q ，求AP+BQ 的最小值．思路点拨 设AP=x ，把AP 、BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式ab b a 222≥+ (当且仅当b a =时取等号)来求最小值．【例4】 如图，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A 、B 的点M ，设直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N ，证明：线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关． 思路点拨 即要证AK ·BN 是一个定值，在图形中△ABC 的边长是一个定值，说明AK ·BN 与AB 有关，从图知AB 为△ABM 与△ANB 的公共边，作一个大胆的猜想，AK ·BN=AB 2，从而我们的证明目标更加明确．⌒注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题．【例5】已知△XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的三个顶点分别在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的三边上，求△ABC直角边长的最大可能值．思路点拨顶点Z在斜边上或直角边CA(或CB)上，当顶点Z在斜边AB上时，取xy的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点Z在(AC或CB)上时，设CX=x，CZ=y，建立x，y的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值．注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解．常见的解题途径是：(1)利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值；(2)构造二次函数求几何最值．专题训练1．如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为，最小值为．2．如图，∠AOB=45°，角内有一点P，PO=10，在角的两边上有两点Q，R(均不同于点O)，则△PQR的周长的最小值为．3．如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC=8，B 到MN 的距离BD=5，CD=4，P 在直线MN 上运动，则PB PA -的最大值等于 ． 4．如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是弧AN 的中点，P 点是直径MN 上一动点，⊙O 的半径为1，则AP+BP 的最小值为( )A ．1B ．22 C ．2 D ．13-5．如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为4的正方形，动点P 从A 点出发，沿看圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短距离是( )A ．212π+B ．2412π+C ．214π+D ．242π+6．如图、已知矩形ABCD ，R ，P 户分别是DC 、BC 上的点，E ，F 分别是AP 、RP 的中点，当P 在BC 上从B 向C 移动而R 不动时，那么下列结论成立的是( )A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减小C ．线段EF 的长不改变D ．线段EF 的长不能确定7．如图，点C 是线段AB 上的任意一点(C 点不与A 、B 点重合)，分别以AC 、BC 为边在直线AB 的同侧作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，AE 与CD 相交于点M ，BD 与CE 相交于点N ．(1)求证：MN ∥AB ；(2)若AB 的长为l0cm ，当点C 在线段AB 上移动时，是否存在这样的一点C ，使线段MN 的长度最长?若存在，请确定C 点的位置并求出MN 的长；若不存在，请说明理由．(2002年云南省中考题)8．如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足，求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角．9．已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，BT 为⊙O 的切线，B 为切点，P 为直线AB 上一点，过点P 作BC 的平行线交直线BT 于点E ，交直线AC 于点F ．(1)当点P 在线段AB 上时(如图)，求证：PA ·PB=PE ·PF ；(2)当点P 为线段BA 延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗?如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由．10．如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE ，其中AF=2，BF=l ，在AB 上的一点P ，使矩形PNDM 有最大面积，则矩形PNDM 的面积最大值是( )A ．8B ．12C ．225D ．1411．如图，AB 是半圆的直径，线段CA 上AB 于点A ，线段DB 上AB 于点B ，AB=2；AC=1，BD=3，P 是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB 的最大面积是( )A ．22+B ．21+C ．23+D ．23+12．如图，在△ABC 中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB 、AC 上分别取点D 、E ，使线段DE 将△ABC 分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度．13．如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，AV与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值．14．利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水．已知每个喷水器的喷水区域是半径为l0米的圆，问如何设计(求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽)，才能使矩形花坛的面积最大?15．某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场(平面图如图所示)．其中，正方形MNPQ与四个相同矩形(图中阴影部分)的面积的和为800平方米．(1)设矩形的边AB=x(米)，AM=y(米)，用含x的代数式表示y为．(2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元；在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为105元；在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元．①设该工程的总造价为S(元)，求S关于工的函数关系式．②若该工程的银行贷款为235000元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务?若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由．③若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金73000元，问能否完成该工程的建设任务?若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由．16．某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地ABCDE，边长和方向如图，欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积(精确到1m2)．参考答案。
高考数学解析几何中的定点定值定线问题
◆直线与圆锥曲线的定点、定值、定线问题一、定点问题定点问题，一般是直线系（或者曲线系）恒过定点的问题，这类问题一般解法是根据曲线的动因，先选择适当的参数，用参数表示出直线系（或者曲线系）方程，然后按参数整理，并令参数的系数为0得方程组，解方程方程组求出定点坐标.例如：（1）直线系1y kx =+中，当k 变化时，恒过定点(0,1)；（2）直线系2(1)y k x +=-中，当k 变化时，恒过定点(1,2)-；（3）已知直线1:40l x y +-=，2:270l x y +-=，则过1l ，2l 交点的直线可以设为(4)(27)0x y m x y +-++-=，即(21)(1)7m x m y m +++--=.直线系(21)(1)740m x m y m +++--=恒过1l ，2l 的交点.1．如图，等边三角形OAB的边长为且其三个顶点均在抛物线上．（1）求抛物线E 的方程；（2）设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线1y =-相交于点Q ．证明：以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．2.一条直线l 与抛物线22y px =（0p >）交于A 、B 两点，OA OB ⊥（O 为坐标原点）.求证直线l 恒过定点，并求出定点的坐标.3.222122221223231311(0)45|PF |=3|MN|=4.(1)C a b C xC C C y C C yx yab+=>>=已知椭圆：的右焦点F 与抛物线：的焦点重合，椭圆与抛物线在第一象限的交点为P ，，圆C 的圆心T 是抛物线上的动点，圆C 与轴交于M,N 两点，且求椭圆的方程。
（2）证明：无论点T 运动到何处，圆C 恒经过椭圆上一点二、定值问题定值问题的主要处理方法是函数方法，首先，选择适当的量为变量，然后把证明为定值的量表示为上述变量的函数（可能含多元），最后把得到的函数解析式化简，消去变量得到定值.消去变量的过程中，经常要用到点在曲线上进行坐标代换消元.有时先从特殊情形入手，求出定值，再对一般情形进行证明，这样可使问题的方向更加明确.另外关注图形的几何性质可简化计算.例如（1）椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为定值；（2）双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为定值；（3）抛物线上任意一点到焦点的距离与到准线的距离的比等于 1.（4）过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 作直线与抛物线交于A 、B 两点，则A 、B 两点的横坐标之积为定值4221p x x =，纵坐标之积为定值y 1y 2=-p 2.；11AF BF +为定值2p . 【顺便记住)(21x x p AB ++== 2p sin 2θ.】4.已知椭圆2214y x +=的左，右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 双曲线．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ．（1）求曲线C 的方程；（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，求证：12x x ⋅为定值，并求出此定值．5.设000(,)A x y 是曲线2:4C x y =上的一个定点，过点0A 任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线C 相交于另外两点P 、Q .证明：直线PQ 的斜率为定值.三.定直线（轨迹）问题证明动点在某一直线上（或某轨迹上）的问题，可以转化为求动点的轨迹问题，基本的方法有直接法和消参法。
例谈解析几何中定点和定值问题的解法
众所周知，解析几何中定值和定点问题的难度较大，常以压轴题的形式出现在各类试题中.解答解析几何中的定值和定点问题，需结合题目中所给的信息，灵活运用所学的知识，找出题目中各个参变量之间的等量关系，以消去变量；或证明定点、定值与变量无关.这类题目的综合性较强，需要灵活运用一些数学思想，如数形结合思想、函数思想、方程思想、分类讨论思想、设而不求思想、一般与特殊思想等来辅助解题.接下来，通过几个例题，介绍一下这两类问题的解法.一、定点问题定点问题一般是有关动直线或动圆的问题.解答这类问题的一般步骤为：（1）选取并设出合适的变量、参数，如动直线的斜率、截距，动圆方程中的参数等；（2）根据题目中给出的信息列方程，通过推理、运算得到关于定点的方程；（3）根据方程ax=b有任意实数解的充要条件a=0、b=0，建立关系式，求得定点的坐标.例1.已知四点P1(1,1),P2(0,1),P3P4中恰有三点在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l不经过P2点，且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明：直线l过定点.解：(1)椭圆C的方程为：x24+y2=1（过程略）；(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1、k2；若直线l与x轴垂直，则l：x=t,t≠0，且|t|<2，此时Aæèççøt,Bæèççøt,，由k1+k2=-1,得t=2（不满足题意，舍去），设l:y=kx+m(m≠1),将其代入x24+y2=1中，得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0，又直线l与椭圆C相交于A，B两点，所以Δ=16(4k2-m2+1)>0,设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=-8km4k2+1,x1x2=4m2-44k2+1所以k1+k2=y1-1x1+y2-1x2=2kx1x2+(m-1)(x1+x2)x1x2=-1，可得k=-m+12，当m>-1时，Δ>0,则l:y=-m+12x+m，即y+1=-m+12(x-2)，可知直线l过定点(2,-1).我们只需设出直线的方程，将其与椭圆的方程联立，构造一元二次方程，便可根据判别式Δ>0和韦达定理，建立关系式，求得k的值，进而确定直线l的方程.最后将直线的方程化为点斜式，根据一元一次方程有任意实数解，即可求得定点的坐标.二、定值问题定值问题主要是一些几何变量，例如面积、线段的比值、斜率、距离等为定值的问题.要证明这些几何变量为定值，就需先求得目标式，然后证明该式不随某些量的变化而变化.解答定值问题，可以用特殊与一般思想，先从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；还可以直接设出变量，通过推理、计算，消去变量，得到定值.例2.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(0,-1),且离心率为.（1）求椭圆E的方程；（2）经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于P,Q两点(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.解：(1)椭圆E的方程为：x22+y2=1（过程略）；(2)设直线PQ的方程为：y=k(x-1)+1(k≠2)，将其代入椭圆的方程中得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0，设P(x1,y1),Q(x2y2)，且x1x2≠0，则x1+x2=4k(k-1)2k2+1,x1x2=2k(k-2)2k2+1，可得k AP+k AQ=y1+1x1+y2+1x2=2k+(2-k)4k(k-1)2k(k-2)=2k-2(k-1)=2，则直线AP与AQ的斜率之和为2.先联立椭圆和直线的方程，再根据韦达定理得到交点的坐标的关系式，进而通过恒等变换，消去参数k，得到定值.对于这类有关直线与圆锥曲线的定值问题，都需通过联立圆锥曲线与直线的方程，根据韦达定理进行化简，才能得到定值.求解解析几何中的定值或者定点问题，都要在动点、动直线、动曲线变化的过程中寻找到不变的量，我们要根据已知信息，尽量找到更多的等量关系，以消去变量，得到定值.（作者单位：江苏省沭阳高级中学）探索探索与与研研究究55。
八年级上册数学几何定值问题
八年级上册数学几何定值问题
几何定值问题的分类
定值问题大致分为两类：一类是定量问题（如定长度、定角、定弧、定比……）；一类是定形问题（如定点、定线、定圆或弧、定方向…）解决这类问题要通过题目中元素动静结合，特殊与一般结合，数形结合的特点去分析，把定值找出来，再有的放矢地进行论证。
（1）定量问题：解决定量问题的关键在探求定值，一旦定值被找出，就转化为熟悉的几何证明题了。
探求定值的方法一般有运动法、特殊值法及计算法。
（2）定形问题：定形问题是指定直线、定角、定向等问题。
在直角坐标平面上，定点可对应于有序数对，定向直线可以看作斜率一定的直线，实质上这些问题是轨迹问题
（3）其他特殊问题：以静制动；特殊位置猜测结论；一般位置给出证明。
解析几何中的定值问题
解析几何中的定值问题定值问题是解析几何中的一种常见问题，基本的求解思想是：先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题。
求定值问题常见的方法有两种：（1） 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2） 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值。
例题1 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB +与(3,1)a =-共线。
（1） 求椭圆的离心率；（2） 设M 为椭圆上任意一点，且(,)OM OA OB R λμλμ=+∈，证明：22λμ+为定值。
例题2 已知，椭圆C过点A（1，3），两个焦点为（-1,0），（1,0）2（1）求椭圆C的方程；（2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。
同步练习：1. 已知椭圆的中心在原点，焦点F 在y 轴的非负半轴上，点F 到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点F 距离的最大值是6.（1） 求椭圆的标准方程；（2） 若'F 为焦点F 关于直线32y =的对称点，动点M 满足'||||MF e MF =，问是否存在一个定点A ，使M 到点A 的距离为定值？若存在，求出点A 的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。
2.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，P（2,0）为定点。
（1）若点P为抛物线的焦点，求抛物线C的方程；（2）若动圆M过点P，且圆心M在抛物线C上运动，点A、B是圆M与y 轴的两个交点，试推断是否存在一条抛物线C，使|AB|为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，说明理由。
解析几何中定点定值问题
O
2
2
Q
A
x
Q'
y
P' M
P
O
Q
A
x
Q'
由题意， P(－a,0),Q(a,0),设 M(x0,y0),直线 PM、 MQ y0 y0 y02 的斜率分别为 k1，k2,k1k2= . = 2 2,（*） x0+a x0－a x0 －a x0 y0 x0 2 2 ∵ 2 ＋ 2 ＝1,∴y0 =b (1－ 2 ),代入（*）化简得: a b a b k1k2=－ 2． a
策略二
设直线PM和MQ方程
（斜率k1， k2）
求点P′、Q′坐标
写出圆C方程
寻找定点
解：设直线 PM、MQ 的斜率分别为 k1， k2，则 k1k2＝－1， 直线 PM 的方程为 y＝k1(x＋1)，令 x＝3，则点 P′(3，4k1)， 直线 MQ 的方程为 y＝k2(x－1)，令 x＝3，则点 Q′(3，2k2)， 以 P′Q′为直径的圆的方程为: (x－3)(x－3)＋(y－4k1)(y－2k2)＝0， 1 即(x－3) ＋y －8－2(2k1－ )y＝0. k2
2 2
令 y＝0， 得 x＝3± 2 2， 所以圆 C 经过定点，定点坐标为(3± 2 2，0).
探究一
4t 2t 解法一：P′(3， ),Q′(3， ), s＋ 1 s－ 1 解法二：P′(3，4k1)，Q′(3，2k2).
4t 2t 8t2 y1 y2= = 2 =－8. s＋ 1 s－ 1 s － 1
题意分析
（1）“动因”是什么？ （2）“恒成立”的式 子是什么？ （3）如何寻找定点？
制定策略
设点M坐标
写出直线PM和MQ方程
解析几何中的定值问题
解析几何中的定值问题
在几何中，定值问题的概念可以说是比较复杂的，即让学生得出正确的结果，必须要综合运用几何中的相关规则，同时考虑到当前就件事物的特殊因素，就是找到合适的方法来应对定值问题。
通常情况下，定值问题应用程序能够帮助学生们更好地理解几何要素，例如形状、大小、位置、形状变换，以及复杂变化中相互联系的因素之间的关系。
比如：三角形中角度的和是180°，一个正三角形的边长之和两倍角的内锥角的余弦。
此外，如果学生了解几何概念的相关例子，他们可以学习到如何应用它们来解决定值问题。
此外，高级学生可以使用形式化几何学方法来解决定值问题，比如用符号表示变量和方程组，利用形式推理证明定值问题的结论，以及计算和联系多个变量的结果的方法。
总的来说，解决定值问题取决于学生的专业能力，只有具备了相应的几何知识和技巧，才有可能在学习定值问题的过程中取得成功。
当然，学生在尝试解决定值问题时，也可以借助一些常用解决方法，如试探法和排除法等。
此外，学生可以通过分析几何规定，应用化简、变换和复合算法等解决定值问题。
因此，几何定值问题不仅需要学生具备几何知识，而且还需要有一定的创新能力，以帮助学生在运用固定的解决方案之外，能够尝试发挥独特的想象力，实现几何知识的拓展与应用，实现几何定值问题的极致解决。
解析几何中定值与定点问题(最新整理)
y2 b2
1上的点( x0 , y0 )处的椭圆切线方程是
x0 x a2
y0 y b2
1,证明直线
AB 恒过椭圆的右
焦点 F2 ;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，试探究 1 1 的值是否恒为常数,若是,求出此常数;若不是,请 | AF2 | | BF2 |
说明理由.
x2 4、椭圆 C : a2
y2 b2
【实例探究】 题型 1：定值问题:
例 1：已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线
的
焦点，离心率等于 （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）过椭圆 C 的右焦点作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，交 y 轴于 M 点，若
为定值.
解：（I）设椭圆 C 的方程为
，则由题意知 b = 1.
解析几何中定值与定点问题 【探究问题解决的技巧、方法】
(1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要 解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．
(2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再 视具体情况进行研究．
( 3
k2
t,
1 k
1)
1 1 1 ( 1 1) k 2
k 3k
直线SA的方程为y 2x 1 A(1 ,0) 2
同理 B( 3 ,0) 2
cos CSD cos ASB SA2 SB2 AB2 3
sin CSD 4
2SB SA
3 ,过 F1 且垂直 2
于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,连接 PF1, PF2 ,设 F1PF2 的角平分线 PM 交
专题44 动态几何之定值(恒等)问题(压轴题)
《中考压轴题》专题42：动态几何之定值（恒等）问题一、解答题1.阅读材料：如图1，在△AOB中，∠O=90°，OA=OB，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF=OA．（此结论不必证明，可直接应用）（1）【理解与应用】如图2，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB 于点F，则PE+PF的值为．（2）【类比与推理】如图3，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=4，AD=3，点P在AB边上，PE∥OB交AC于点E，PF∥OA交BD于点F，求PE+PF的值；（3）【拓展与延伸】如图4，⊙O的半径为4，A，B，C，D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．2.已知二次函数图象的顶点坐标为（0，1），且过点（﹣1，54），直线y=kx+2与y 轴相交于点P ，与二次函数图象交于不同的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．（1）求该二次函数的解析式．（2）对（1）中的二次函数，当自变量x 取值范围在﹣1＜x ＜3时，请写出其函数值y 的取值范围；（不必说明理由）（3）求证：在此二次函数图象下方的y 轴上，必存在定点G ，使△ABG 的内切圆的圆心落在y 轴上，并求△GAB 面积的最小值．（注：在解题过程中，你也可以阅读后面的材料）附：阅读材料任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比．即：设一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2，则：1212bc x x x x a a+=⋅=能灵活运用这种关系，有时可以使解题更为简单．例：不解方程，求方程x 2﹣3x=15两根的和与积．解：原方程变为：x 2﹣3x ﹣15=0∵一元二次方程的根与系数有关系：1212b c x x x x a a +=⋅=∴原方程两根之和=331--=，两根之积=15151-=-．3.给定直线l ：y=kx ，抛物线C ：y=ax 2+bx+1．（1）当b=1时，l 与C 相交于A ，B 两点，其中A 为C 的顶点，B 与A 关于原点对称，求a 的值；（2）若把直线l 向上平移k 2+1个单位长度得到直线r ，则无论非零实数k 取何值，直线r 与抛物线C 都只有一个交点．①求此抛物线的解析式；②若P 是此抛物线上任一点，过P 作PQ ∥y 轴且与直线y=2交于Q 点，O 为原点．求证：OP=PQ．4.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数5y x m 4=+的图象与x 轴交于A （﹣1，0），与y 轴交于点C ．以直线x=2为对称轴的抛物线C 1：y=ax 2+bx+c （a≠0）经过A 、C 两点，并与x 轴正半轴交于点B ．（1）求m 的值及抛物线C 1：y=ax 2+bx+c （a≠0）的函数表达式．（2）设点D （0，2512），若F 是抛物线C 1：y=ax 2+bx+c （a≠0）对称轴上使得△ADF 的周长取得最小值的点，过F 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线C 1于M 1（x 1，y 1），M 2（x 2，y 2）两点，试探究1211M F M F +是否为定值？请说明理由．（3）将抛物线C 1作适当平移，得到抛物线C 2：()221y x h 4=--，h ＞1．若当1＜x≤m 时，y 2≥﹣x 恒成立，求m的最大值．5.如图，正方形OABC 的边OA ，OC 在坐标轴上，点B 的坐标为（﹣4，4）．点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向点O 运动；点Q 从点O 同时出发，以相同的速度沿x 轴的正方向运动，规定点P 到达点O 时，点Q 也停止运动．连接BP ，过P 点作BP 的垂线，与过点Q 平行于y 轴的直线l 相交于点D ．BD 与y 轴交于点E ，连接PE ．设点P 运动的时间为t （s ）．（1）∠PBD 的度数为，点D 的坐标为（用t 表示）；（2）当t 为何值时，△PBE 为等腰三角形？（3）探索△POE 周长是否随时间t 的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．6.如图，已知直线AB ：y kx 2k 4=++与抛物线21y x 2=交于A 、B 两点，（1）直线AB 总经过一个定点C ，请直接写出点C 坐标；（2）当1k 2=-时，在直线AB 下方的抛物线上求点P ，使△ABP 的面积等于5；（3）若在抛物线上存在定点D 使∠ADB ＝90°，求点D 到直线AB 的最大距离.7.如图，在矩形ABCD 中，把点D 沿AE 对折，使点D 落在OC 上的F 点，已知AO=8．AD=10．（1）求F 点的坐标；（2）如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与该抛物线仅有一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线经过点O ，F ，且直线y=6x ﹣36是该抛物线的切线，求抛物线的解析式；（3）直线()35y k x 34=--与（2）中的抛物线交于P 、Q 两点，点B 的坐标为（3，354-），求证：11PB QB +为定值．（参考公式：在平面直角坐标系中，若M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则M ，N 两点间的距离为|MN|=．8.数学活动﹣求重叠部分的面积（1）问题情境：如图①，将顶角为120°的等腰三角形纸片（纸片足够大）的顶点P 与等边△ABC 的内心O 重合，已知OA=2，则图中重叠部分△PAB 的面积为．（2）探究1：在（1）的条件下，将纸片绕P 点旋转至如图②所示位置，纸片两边分别与AC ，AB 交于点E ，F ，图②中重叠部分的面积与图①重叠部分的面积是否相等？如果相等，请给予证明；如果不相等，请说明理由．（3）探究2：如图③，若∠CAB=α（0°＜α＜90°），AD 为∠CAB 的角平分线，点P 在射线AD 上，且AP=2，以P 为顶点的等腰三角形纸片（纸片足够大）与∠CAB 的两边AC ，AB 分别交于点E 、F ，∠EPF=180°﹣α，求重叠部分的面积．（用α或2的三角函数值表示）9.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线过2y ax bx c(a 0)=++≠过O 、B 、C 三点，B 、C 坐标分别为（10，0）和（185，245-），以OB 为直径的⊙A 经过C 点,直线l 垂直于x 轴于点B.（1）求直线BC 的解析；（2）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点M 是⊙A 上一动点（不同于O ，B ），过点M 作⊙A 的切线，交y 轴于点E ，交直线l 于点F ，设线段ME 长为m ，MF 长为n ，请猜想m n ⋅的值，并证明你的结论；（4）点P 从O 出发，以每秒1个单位速度向点B 作直线运动，点Q 同时从B 出发，以相同速度向点C 作直线运动，经过t(0<t )秒时恰好使△BPQ 为等腰三角形，请求出满足条件的t 值.10.某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8.问题思考：如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE.（1）在点P运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果时求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值.（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点A，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由.问题拓展：（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8.若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向D点运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长.（4）如图（3），在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BM=1，点G、H分别是边CD、EF的中点.请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值.11.如图，二次函数22y a x 2()mx 3m =--（其中a ，m 是常数，且a>0，m>0）的图象与x 轴分别交于点A ，B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C(0，－3)，点D 在二次函数的图象上，CD ∥AB ，连接AD ．过点A 作射线AE 交二次函数的图象于点E ，AB 平分∠DAE ．（1）用含m 的代数式表示a ；（2）)求证：AD AE为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F ．探索：在x 轴的负半轴上是否存在点G ，连接CF ，以线段GF 、AD 、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G 即可，并用含m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．12.如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ＞0，c ＜0）交x 轴于点A ，B ，交y 轴于点C ，设过点A ，B ，C 三点的圆与y 轴的另一个交点为D ．（1）如图1，已知点A ，B ，C 的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；①求此抛物线的表达式与点D 的坐标；②若点M 为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM 面积的最大值；（2）如图2，若a=1，求证：无论b ，c 取何值，点D 均为定点，求出该定点坐标．13.已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处.（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP，OP，OA.①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1:4，求边AB的长；（2）若图1中的点P恰巧是CD边的中点，求∠OAB的度数；（3）如图2，在（1）条件下，擦去折痕AO、线段OP，连结BP.动点M在线段AP上（点M与点P、A 不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E.试问当点M，N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求线段EF的长度.14.在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；（2）如图②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）（3）如图③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（4）如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最小值．15.如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．（1）求B、C两点的坐标；（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．16.如图，在平面坐标系中，直线y=﹣x+2与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ，动点P （a ，b ）在第一象限内，由点P 向x 轴，y 轴所作的垂线PM ，PN （垂足为M ，N ）分别与直线AB 相交于点E ，点F ，当点P （a ，b ）运动时，矩形PMON 的面积为定值2．（1）求∠OAB 的度数；（2）求证：△AOF ∽△BEO ；（3）当点E ，F 都在线段AB 上时，由三条线段AE ，EF ，BF 组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S 1，△OEF 的面积为S 2．试探究：S 1+S 2是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．17.如图1，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在边BC 上，若∠AEF=900，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．（1）图1中若点E 是边BC 的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF ，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；（2）如图2，若点E 在线段BC 上滑动（不与点B ，C 重合）．①AE=EF 是否总成立？请给出证明；②在如图2的直角坐标系中，当点E 滑动到某处时，点F 恰好落在抛物线2y x x 1=-++上，求此时点F 的坐标．18.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，对称中心为点P ，点F 为BC 边上一个动点，点E 在AB 边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC 成轴对称，设它们的面积和为S 1．（1）求证：∠APE=∠CFP ；（2）设四边形CMPF 的面积为S 2，CF=x ，12S y S ．①求y 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围，并求出y 的最大值；②当图中两块阴影部分图形关于点P 成中心对称时，求y的值．19.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（0，4），点B 的坐标为（4，0），点C 的坐标为（﹣4，0），点P 在射线AB 上运动，连结CP 与y 轴交于点D ，连结BD ．过P ，D ，B 三点作⊙Q 与y 轴的另一个交点为E ，延长DQ 交⊙Q 于点F ，连结EF ，BF．（1）求直线AB 的函数解析式；（2）当点P 在线段AB （不包括A ，B 两点）上时．①求证：∠BDE=∠ADP ；②设DE=x ，DF=y ．请求出y 关于x 的函数解析式；（3）请你探究：点P 在运动过程中，是否存在以B ，D ，F 为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P 的坐标：如果不存在，请说明理由．20.已知，如图(a)，抛物线2y ax bx c =++经过点A(x 1，0)，B(x 2，0)，C(0，－2)，其顶点为D.以AB 为直径的⊙M 交y 轴于点E 、F ，过点E 作⊙M 的切线交x 轴于点N 。
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几何定值问题探究浙江省象山县丹城中学 王赛英 王珠凤 315700在几何问题中，当一些几何元素按照一定的规律在确定的范围内变化时,与它相关另一些几何元素的某些量或其数量关系保持不变，这种几何问题称之为几何定值问题. 定值问题由于所求证的问题不明确、具体,而使人难已下手,给问题解决带来困难.近年来,该类问题在各省市中考试题中频频出现,为便于广大师生复习教学,现对其归类例析.一、线段长度为定值 例1．如图1,在半径为6,圆心角为900的扇形OAB 的AB 上,有一个动点P, PH ⊥OA, 垂足为H, △OPH 的重心为G .（1）求证: 线段GH 长度为定值. （2）略. (3)略.(2000年上海市中考题)分析:解决此题时,首先要根据线段GH 的特征,添出辅助线,找 出与其有关的长度为定值的线段间的联系,从而获得问题的解决.解:(1) 延长HG 交OP 于点E.∵ G 是△OPH 的重心, ∴ GH=HE=× OP=2. ∴GH 的长度为定值,其定值为2.例2.如图2,等腰Rt △ABC 的直角边AB=2, 点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发,以相同的速度作直线运动. 已知点P 沿射线AB 运动, 点Q 沿边BC 的延长线运动, PQ 与直线AC 相交于点D.（1）略. （2）)略.（3）作PE ⊥AC 于点E,求证：当点P 、Q 运动时， 线段DE 的长度是定值.（2002年荆门市中考题）分析: 此题是关于450角的直角三角形问题,故可选定一条线段，用字母表示其长度,再找出有关线段与其之间的数量关系,使一些复杂关系简单化、明了化,然后通过割补法获解决.解: (3) 证明:作PF ∥BC 交AC 或延长线于F, 则AP=PF=CQ, ∴△PFD ≌△QCD. ∴FD=CD= CF,设AP=x, 则AE=EF= x . ∵AB=2 , ∴AC= 2√2. 1．当点P 在线段AB 上时, 如图2(1). ∵CF=AC-AF= 2√2 -√2 x , FD=CF=√2 - x,图一A图二图3∴DE=EF+FD= x+√2- x=√2;2．当点P 在线段AB 的延长线上时, 如图2(2), ∵CF = AF - AC =√2x-2√2 ,FD=CF= x- √2, ∴DE=EF-FD = x-( x- √2) = √2.故当点P 、Q 运动时，线段DE 的长度为定值，始终等于√2.二、线段的长度和、倒数和为定值.例3. 已知：如图3（1）所示，在直角坐标系中，⊙O 1.经 过坐标原点，分别与x 轴正半轴、y 轴正半轴交于点A 、B.（1）略.（2）若点O 到动直线AB 的距离为 ，过点A 的切线与y 轴交于点C , 过点O 的切线交AC 于点D, 过点B 的切线交OD 于点E,求证: + 为定值.（3）如图3（2）所示,若⊙O 1.经过点M(2,2),设△BOA 内切圆的直径为d,求证: d+AB 为定值.(2003年武汉市中考题)分析:要证 + 为定值,首先我们要从式子的的特征进行联想: 以前在解题时, 什么时候碰到过类似的问题?其需要什么样的题设条件?于是,不难想到添辅助线的方法, 构造出基本图形,从而达到问题的解决.要证 d+AB 为定值,先要进行转化.由于d 、AB 分别为三角形内切圆的直径与这个三角形的一边,于是,不难发现: d+AB=OA+OB,然后,再转化为求证一条线段长度为定值的问题.解:(2)延长BE 交x 轴于点F,过点O 作OG ⊥AB 于G. ∵DO=DA, ∴∠DOA=∠DAO , ∴∠COD=∠DCO , ∴DO=DA=DC .同理可证:EB=EO=EF. 又∵AC ∥OG ∥BF ,∴ 1, , ∵OG , ∴ . ∴ 为定值, 定值为 .(3)设△AOB 的内切圆半径为r,且分别切OA 、OB 、AB 于点P 、Q 、T ，则OP=OQ=r , BQ=BT , AP=AT , ∴d+AB=OQ+OP+QB+PA=OA+OB.在x 轴上取一点N,使AN=OB.连结OM 、BM 、AM 、MN.∵OM平分∠AOB,∴∠BOM=∠MON=450,AM=BM.又∵∠MAN=∠OBM,OB=AN,∴△BOM≌△ANM,∴OM=MN,∠MNA=∠BOM =450 ,∴∠OMN=900 ,∴OA+OB =ON=√OM2+MN2 = √2 OM =4,∴d+AB 为定值,其定值为4.三、线段长度的积为定值例4．如图6，已知：在直角坐标系中，点E从O点出发，以1个单位/秒的速度沿x 轴正方向运动，点F从O点出发，以2个单位/秒的速度沿y轴正方向运动.B(4,2),以BE为直径作⊙O1.（3）若点E提前2秒出发,点F再出发.当点F出发后,E点在A点左侧时,设BA⊥x轴于A点,连接AF交⊙O1于点P,求证:AP•AF为定值.（2002年武汉市中考题）分析:要求证AP•AF为定值,在拥有圆与割线的背景下,应优先考虑圆幂定理,但于本道题无济于事. 于是想到构造相似三角形来求解.由于要求的是AP与AF的积,故AB与AF不能是所构造的相似的对应边.而AP与AE是△PAE的两条边,故作∠HFA=∠PEA交x轴于H.易证△HFA∽△PEA, △FHO∽△EBA, 从而使问题获证.解: (3)连结PE , 作∠HFA=∠PEA交x轴于H ,∵∠FAH=∠EAP, ∴△HFA∽△PEA, ∴, ∠ FHO=∠EPA.∵P、E、A、B四点共圆，∴∠EPA=∠B，∴∠FHO=∠B，∵BE为直径, ∴∠BAE=900=∠FOH，∴△HFO∽△BEA. ∴设OE=2+t, 则OF=2 t , ∵OA=4，∴AE=4-（2+t）=2- t,∴ OH×(2- t)= 2t×2, ∴OH= , ∴AH=OH+OA=+4= ,∴AP•AF=AE•AH=(2- t)×=8 .∴AP•AF为定值, 定值为8.四、线段长度的比为定值例5.设抛物线C的解析式为:y=x2-2kx+(√3+k)k,k为常数.(1)略.(2)任意给定k的三个不同实数值,请写出三个对应的顶点坐标;试说明当k变化时,抛物线C的顶点在一条定值线l上,求出直线l的解析式并画出图象.(3)在第一象限有任意两圆O 1、O 2相外切,且都与x 轴和(2)中的直线l 相切.设两圆在x轴上的切点分别为A 、B(OA<OB).求证: 是定值.(4)略. (2003年长沙市中考题)解: (2) (0,0), (1,√3), (2,2√3),得出直线l : y=√3x. 画图象,略. (3)依题意作出图7.在直线l : y=√3 x 上取一点(1, √3)可得tan ∠DOA==√3 ,即∠DOA=600.又O 1O 2在∠DOA 的平分线上，∴∠AOO 1=∠HO 1O 2=300, 设⊙O 1、、 ⊙O 2半径分别为r 1、r 2，由Rt △AO O 1∽△HO 1O 2 ，有 = = = , 即= ①,在Rt △HO 1O 2中, 由sin300= == ,得r 2=3r 1 ② 把②代入①得，=, 即为定值. 定值为. 五、角的度数为定值例6. 如图8,已知△ABC 中，AC=BC ，∠CAB=α（定值），⊙O 的圆心O 在AB 上,并分别与AC 、BC 相切于点P 、Q.(1)求∠POQ 的大小(用α表示);(2)设D 是CA 延长线上的一个动点, DE 与圆O 相切于点M, 点E 在CB 的延长线上, 求证: ∠DOE 的度数为定值.(3)略.(1999年上海市中考题)分析：要求证∠DOE 的度数为定值，只须证明∠ODE 与∠OED 和为定值,而OD 、OE 分别为∠CDE 与∠CED 的平分线, 故只须证∠CDE 与∠CED 和为定值,由三角形的内角和定理易证.解:(1)易得∠POQ=2α.(2)连结OM. 由切线长定理, EM=EQ. 又∵OM=OQ , OE=OE,∴△OEM ≌△OEQ , ∴∠MOE=∠QOE. 同理,∠MOD=∠POD.∴ ∠DOE=(∠POM+∠QOM)= (3600-∠POQ)=1800-α. ∵α为定值, ∴∠DOE 的大小为定值. 定值为1800-α. 六、面积为定值例7. 如图7(1),正方形ABCD 的对角线相交于点O ，O 是正方形A'B'C'O 的一个顶点,如果两个正方形的边长为a ,求证：正方形A'B'C'O 绕点O 无论怎样转动，两个正方形重叠部图8Q M PO DC BA分的面积总是一个定值.(人教版几何第二册)分析:由于重叠部分图形形状的不确定性, 要求证这重叠部分面积为定值,关键是探明这个定值为何值,这可用特殊位置法获得.如图,把正方形旋转到特殊位置图7(2),易得其面积的定值为 a 2, 然后,设法证明两种情形下的面积相等.证明: 如图7(1)，在正方形ABCD 与正方形A'B'C'O 中 ,∵OB=OC, ∠EBO=∠FCO=450, ∠EOF=∠BOC=900,∴∠EOB=∠FOC , ∴△OBE ≌△OCF, ∴S △OBE =S △OCF ,∴S 四边形OEBF =S △OBC , ∵ S △OBC = a 2 ∴S 四边形OEBF = a 2 ,所以不论正方形A'B'C'O 绕点O 怎样转动两个正方形重叠部分的面积总是一个定值. 定值为 a 2..定值问题的类型当然不止这一些，限于篇幅不一一陈述.从上述几何定值问题的解决中不难发现解决几何定值问题的常见策略有:直接转化为长度为定值的线段或度数为定值的角的问题; 构造全等或相似三解形或转化为其本图形问题来解决;设辅助变量,找出图形中各有关量与该变量间的联系,通过数形结合的方法来解决.图10图9C'。