高中数学同步测试卷(十一)北师大数学1-1!

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北师大版高中数学选修1-1：模块检测卷.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧 *整理制作模块检测卷选修 1－1时间 120 分钟，满分 150 分。

一、选择题 (本大题共10 个小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U＝R， A? U ， B? U，如果命题p： a∈(A∩ B)，则命题 ?p 为 ()A ． a∈ A B． a∈ ?U BC．a∈ (A∪ B)D． a∈ (?U A∪ ?U B)[答案] D[解析 ]p： a∈ (A∩ B)，?p： a?(A∩B)即 a∈ ?U(A∩ B)，又 ?U(A∩ B)＝ ?U A∪?U B，所以选 D.2．“ (m－ 1)(a－ 1)>0 ”是“ log a m>0”的 ()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案 ] B[解析 ] 由 (m－ 1)( a－ 1)>0m>1 m<1log a m>0 等价于m>1等价于或a<1，由或a>1 a>10<m<1B.，所以条件仅具有必要性，故选0<a<13．已知椭圆 C 的两个焦点分别为F1(－ 1,0)、 F2(1,0) ，短轴的两个端点分别为B1、 B2，若△ F1B1B2为等边三角形，则椭圆 C 的方程为 ( )A ． 4x2＋ 3y2＝ 1 B． 4y2＋ 3x2＝ 13x2 2 2 3y2C. 4＋3y ＝1 D．3x ＋4＝ 1[答案 ] Cx 2 y 2a ＝ 2b24 [解析 ] 设椭圆 C 的方程为 a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0) ．根据题意知 a 2－ b 2＝ 1 ，解得 a ＝3，2 1 ，故椭圆 C 的方程为 x 2 y 2 3x 2 2b ＝＋＝ 1，即 4 ＋ 3y ＝ 1.3 4 1 3 34．已知曲线 y ＝x 2－ 3lnx 的一条切线的斜率为－ 1，则切点的横坐标为 ()4 2A ． 3B ． 2C ．1D ． 12[答案 ] B[解析 ]∵ y ＝ x 2 x 3x － 3 1－3ln x(x>0)，∴ y ′＝－ .再由导数的几何意义，有2 x ＝－，解得 x4 2 x2＝2 或 x ＝－ 3( 舍去 )．25．双曲线x 2－ y＝ 1 的离心率大于 2的充分必要条件是 ( m1A ． m>2B ． m ≥ 1C ．m>1D ． m>2[答案 ]C21＋ mc ， e 2 ＝c2[解析 ] ＝ 1 >2 ，得 1＋ m>2，所以依题意， e ＝ a a)m>1，选 C.6． (2015 湖·南文， 8)设函数 f(x)＝ ln(1 ＋ x)－ ln(1 － x)，则 f(x) 是( )A ．奇函数，且在 (0,1) 上是增函数B ．奇函数，且在 (0,1) 上是减函数C ．偶函数，且在 (0,1) 上是增函数D ．偶函数，且在 (0,1) 上是减函数[答案]A[解析 ]求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．函数 f(x)＝ ln(1 ＋ x)－ ln(1 － x)，函数的定义域为 (－ 1,1)，函数 f(－ x)＝ ln(1 － x)－ ln(1 ＋ x)＝－ [ln(1＋x)－ln(1 －x)] ＝－ f(x)，所以函数是奇函数． f ′ (x)＝1＋ 1＝ 22，已知在 (0,1)上f ′( x) 1＋ x 1－x 1－ x＞0，所以 f(x)在 (0,1) 上单调递增，故选A.7．(2013 ·南安阳中学高二期末河)f(x)是定义在 (0，＋∞ )上的非负可导函数，且满足 xf ′ (x)＋f(x)≤ 0，对任意正数 a 、 b ，若 a<b ，则必有 ()A ． af( b)≤ bf(a)C ．af(a)≤ f(b)[答案]AB ． bf(a)≤ af(b)D ． bf(b)≤ f(a)[解析 ]令F(x)＝xf(x)，(x>0)，则F′ (x)＝xf′ (x)＋f(x)≤0，∴ F(x)在(0，＋∞ )上为减函数，∵0<a<b，∴ F(a)>F( b)，即 af( a)> bf(b)，与选项不符；由于 xf ′ (x)＋ f(x) ≤0 且 x>0， f(x)≥ 0，∴ f ′ (x)≤－f x≤ 0，∴ f(x)在 (0，＋∞ )上为减 x函数，∵0<a<b，∴ f(a)>f(b)，∴bf(a)>af(b)，结合选项知选 A.8．已知三次函数 f(x)＝ 1 x3－ (4m－ 1)x2＋(15m2－ 2m－ 7)x＋2 在R上是增函数，则m 的3取值范围是 ( )A ． m<2 或 m>4 B．－ 4<m<－2C．2< m<4 D．以上皆不正确[答案 ] D[解析 ] f ′ (x)＝ x2－2(4m－ 1)x＋ 15m2－ 2m－7，由题意得 x2－ 2(4m－1)x＋ 15m2－ 2m－ 7≥ 0 恒成立，∴＝4(4m－1)2－4(15m2－2m－7) ＝64m2－ 32m＋ 4－ 60m2＋ 8m＋ 28＝4(m2－6m＋ 8)≤ 0，∴2≤m≤ 4，故选 D.19． (2015 浙·江文， 5)函数 f(x)＝ x－x cos x(－π≤ x≤ π且 x≠ 0)的图像可能为() A．B．C． D.[答案 ] D1 1[解析 ] 因为 f(－ x)＝ (－ x＋x)cos x＝－ (x－x) ·cos x＝－ f(x)，故函数是奇函数，所以排1 1除 A ，B；取 x＝π，则 f( π)＝( π－ )cos ＝π－ ( π－ )<0 ，故选 D.ππx2 y210．(2014 江·西文， 9)过双曲线C：a2－b2＝ 1 的右顶点作 x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线相交于 A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A、O 两点 (O 为坐标原点 )，则双曲线C的方程为()x2－ y2＝1 B． x2－ y2＝1A. 4 12 7 9C.x2－ y2＝1 D． x2 －y2＝18 8 12 4[答案 ] Ab [解析 ] 如图设双曲线的右焦点F，右顶点 B，设渐近线 OA 方程为 y＝a x，由题意知，以 F 为圆心， 4 为半径的圆过点O，A，∴|FA|＝ |FO|＝ r＝ 4.∵ AB⊥ x 轴， A 为 AB 与渐近线 y＝bx 的交点，a∴可求得 A 点坐标为 A(a， b)．∴在 Rt△ABO 中， |OA |2＝OB2＋ AB2＝ a2＋ b2＝ c＝ |OF|＝ 4，∴△ OAF 为等边三角形且边长为4， B 为 OF 的中点，从而解得|OB|＝ a＝2， |AB|＝ b＝2 3，∴双曲线的方程为x2－ y2 ＝ 1，故选 A.4 12二、填空题 (本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分，将正确答案填在题中横线上)11． (2014 深·圳高级中学月考)给出如下四个命题：①若“ p 或 q”为假命题，则p， q 均为假命题；②命题“若 x≥ 2 且 y≥ 3，则 x＋ y≥ 5”的否命题为“若x<2 且 y<3，则 x＋ y<5”；③在△ ABC 中，“ A>45°”是“ sinA> 2”的充要条件；2④命题“若x＝ y，则 sinx＝ siny”的逆否命题为真命题．其中正确命题的个数是________．[答案] 2[解析 ]①若“ p或q”为假命题，则p，q 均为假命题，所以①正确．②同时否定条件和结论得原命题的否命题是：“若 x<2 或 y<3，则 x＋ y<5”，所以②错误．③在△ABC 中，当 A ＝ 150°时， sinA< 2，所以③错误．④因为命题 “若 x ＝ y ，则 sinx ＝ siny ”是真命题，所2以它的逆否命题也是真命题，所以④正确．则正确命题的个数为 2.12． (2014 福·建安溪一中、养正中学联考 )曲线 y ＝ x(3ln x ＋ 1)在点 (1,1) 处的切线方程为 ________．[答案 ] 4x － y － 3＝ 0[解析 ]y ′ |x ＝ 1＝ (3ln x ＋ 4)|x ＝ 1＝ 4，∴切线方程为 y － 1＝ 4(x －1) ，即 4x － y － 3＝ 0.13． (2014 福·建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)已知函数 f(x)＝ x 3－ax 2 － 3x 在区间 [1，＋∞ )上是增函数，则实数 a 的取值范围是 ________．[答案 ](－∞， 0][解析 ]∵ f(x)＝ x 3 －ax 2－ 3x ，∴ f ′ (x)＝ 3x 2－ 2ax － 3，又因为 f(x)＝ x 3－ ax 2－ 3x 在区间 [1，＋ ∞)上是增函数， f ′ (x) ＝3x 2－2ax － 3≥0 在区间 [1，＋ ∞ )上恒成立，a≤1，解得 a ≤0，∴3f ′ 1 ＝ 3× 12－ 2a － 3≥ 0，故答案为 (－∞，0]．x 2 y 214．已知椭圆 25＋16＝ 1 内有两点 A(1,3) ，B(3,0)，P 为椭圆上一点，则 |PA|＋ |PB|的最大值为 ________．[答案 ] 15[解析 ]在椭圆中，由 a ＝ 5，b ＝ 4 得 c ＝ 3，故焦点坐标为 (－ 3,0)和 (3,0) ，则点 B 是右焦点，记另一焦点为C( － 3,0)，则由椭圆定义得 |PB|＋ |PC|＝ 10，从而 |PA|＋ |PB|＝ 10＋ |PA|－ |PC|，又 ||PA|－ |PC||≤ |AC|＝ 5，故当点 P ，A ，C 共线时， |PA|＋ |PB|取得最大值，最大值为 15.n15．对正整数 n ，设曲线 y ＝x (1－ x)在 x ＝ 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ，则数a n列 n ＋ 1 的前 n 项和是 ________．[答案 ] 2n ＋1－2[解析 ]nnnn － 1n∵ y ＝ x (1－ x)，∴ y ′ ＝ (x )′(1 － x)＋ (1－ x)′ ·x ＝ n ·x (1 － x)－ x .f ′ (2) ＝－ n ·2n － 1－ 2n ＝ (－n － 2) ·2n －1.在点 x ＝2 处点的纵坐标为y ＝－ 2n .∴切线方程为 y ＋2n ＝ (－ n － 2) ·2n －1(x － 2)．令 x ＝ 0 得， y ＝ (n ＋ 1) ·2n ， ∴ a n ＝ (n ＋ 1) ·2n ，a n 的前 n 项和为 2 2 n－ 1 n ＋1∴数列＝ 2－ 2.n ＋ 1 2－ 1三、解答题 (本大题共 6 小题，共 75 分，前 4 题每题 12 分， 20 题 13 分， 21 题 14 分) 16．(1) 设集合 A ＝ { x|－ 2－ a<x<a ，a>0} ．命题 p ：1∈ A ；命题 q ：2∈ A.若 p ∨ q 为真命题， p ∧ q 为假命题，求 a 的取值范围；(2)已知 p ： 4x ＋ m<0， q ： x 2－ x － 2>0，且 p 是 q 的充分条件，求实数 m 的取值范围．[解析 ] (1)若命题 p 为真，则－ 2－ a<1<a ，解得 a>1 ；若命题 q 为真，则－ 2－ a<2< a ，解得 a>2. 因为 p ∨ q 为真， p ∧ q 为假，所以 p ， q 一真一假．当 p 真 q 假时， 1<a ≤ 2；当 p 假 q 真时， a 的值不存在．所以 a 的取值范围是 (1,2] ．(2)由 x 2－ x － 2>0 ，得 x>2 或 x<－ 1，令 A ＝ { x|x>2 或 x<－ 1} ；由 4x ＋ m<0，得 x<－m4，令 B ＝ { x|x<－ m4 } ．因为 p 是 q 的充分条件，所以B? A ，于是－ m≤ －1，得 m ≥ 4，所以实数 m 的取值范4围是 [4，＋ ∞)．4 17．已知双曲线过点P(－32， 4)，它的渐近线方程为y ＝ ± x.3(1)求双曲线的标准方程；(2)设 F 1 和 F 2 为该双曲线的左、右焦点，点 P 在此双曲线上，且 |PF 1| |PF · 2|＝ 41，求∠F 1PF 2 的余弦值．22(2)9[答案 ](1)x － y ＝ 19 1641[解析 ] (1)由渐近线方程知双曲线中心在原点，且渐近线上横坐标为－ 3 2的点 P ′的纵坐标的绝对值为4 2.∵ 4 2>4 ，∴双曲线的焦点在 x 轴上，22xy设方程为 a 2－ b 2＝ 1.∵双曲线过点 P(－ 3 2， 4)，18 － 16∴ 2 2＝1 ① a b又∵ b a ＝ 43 ②，由①②，得 a 2＝ 9，b 2＝ 16，22∴所求的双曲线方程为 x－ y＝ 1.9 16(2)设 |PF 1|＝ d 1， |PF 2|＝ d 2，则 d 1·d 2＝ 41.又由双曲线的几何性质知 |d 1－ d 2|＝ 2a ＝ 6.由余弦定理得d 12＋ d 22－ |F 1F 2 |2cos ∠ F 1PF 2＝2d 1d 222＝ d 1－ d 2＋2d 1 d 2－|F 1F 2| ＝ 92d 1d 241.1 2x18． (2014 成·都质量检测 )已知函数 f(x)＝－ x＋ 2x － ae .2(1)若 a ＝ 1，求 f(x)在 x ＝1 处的切线方程；(2)若 f(x)在 R 上是增函数，求实数a 的取值范围．11[答案 ] (1)y ＝ (1－ e)x ＋ 2(2)( －∞，－ e 3][解析 ](1)当 a ＝ 1 时， f(x)＝－ 1x 2＋ 2x － e x ，2则 f(1) ＝－12× 12＋ 2× 1－ e ＝32－e ，f ′ (x)＝－ x ＋ 2－ e x ， f ′ (1) ＝－ 1＋ 2－ e ＝ 1－ e ，故曲线 y ＝ f(x)在 x ＝1 处的切线方程为y －(32－ e)＝ (1－ e)(x － 1)，即 y ＝ (1－ e)x ＋12.(2)∵ f(x)在 R 上是增函数，∴ f ′ (x)≥ 0 在 R 上恒成立，∵ f(x)＝－ 1x 2＋ 2x － ae x ， f ′ (x) ＝－ x ＋ 2－ae x ，2 于是有不等式－ x ＋ 2－ ae x ≥ 0 在 R 上恒成立，2－ x即 a ≤ e x 在 R 上恒成立，令 g(x)＝2－ xx － 3x，则 g ′ (x)＝ x ，ee令 g ′ (x)＝ 0，解得 x ＝ 3，列表如下：x (－∞ ， 3)3 (3，＋ ∞ )g ′( x)－＋g(x)1减极小值－ e 3 增故函数 g(x)在 x ＝ 3 处取得极小值，亦即最小值，即 g(x)＝－1133mine ，所以 a ≤ － e ，1即实数 a 的取值范围是 (－ ∞，－ e 3]．219．(2013 ·淀区高二期中海 )已知函数 f(x) ＝ax 3 － 2ax 2＋bx ，其中 a 、 b ∈ R ，且曲线 y ＝3f(x)在点 (0， f(0)) 处的切线斜率为 3.(1) 求 b 的值；(2) 若函数 f(x)在 x＝ 1 处取得极大值，求 a 的值．[答案 ] (1)3 (2)1[解析 ] (1)f ′(x)＝ a2x2－ 4ax＋ b，由题意 f ′(0) ＝ b＝ 3.(2)∵函数 f(x)在 x＝ 1 处取得极大值，∴f ′ (1) ＝ a2－ 4a＋ 3＝ 0，解得 a＝ 1 或 a＝ 3.①当 a＝ 1 时， f ′ (x)＝ x2－ 4x＋3＝ (x－ 1)(x－ 3)，x、 f ′ (x)、 f(x)的变化情况如下表：x (－∞， 1) 1 (1,3) 3 (3，＋∞ )f ′ (x) ＋0 －0 ＋f(x) 极大值极小值由上表知，函数f(x)在 x＝ 1 处取得极大值，符合题意．②当 a＝ 3 时， f ′ (x)＝ 9x2－ 12x＋ 3＝ 3(3x－ 1)(x－ 1)，x、 f ′ (x)、 f(x)的变化情况如下表：x ( －∞，1)1 1， 1) 1 (1，＋∞ ) 3 3(3f ′ (x) ＋0 －0 ＋f(x) 极大值极小值由上表知，函数f(x)在 x＝ 1 处取得极小值，不符合题意．综上所述，若函数f(x)在 x＝1 处取得极大值， a 的值为 1.3 2 3 x2 y220．若直线 l： y＝3 x－ 3 过双曲线a2 －b2 ＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行．(1)求双曲线的方程；(2)若过点 B(0， b) 且与 x 轴不平行的直线与双曲线相交于不同的两点M ，N， MN 的垂直平分线为 m，求直线 m 在 y 轴上截距的取值范围．3 2 3得 c＝2，b＝3，结合 a2＋ b2＝ c2，[解析 ] (1)由 y＝3 x－3 a 3解得 a＝3， b＝ 1.2故双曲线的方程为x －y2＝1.3(2)由 (1) 知 B(0,1)，依题意可设过点 B 的直线方程为y＝ kx＋ 1(k≠ 0)，M(x1， y1)， N(x2，y2)．马鸣风萧萧y ＝ kx ＋122 26k由x － y 2＝ 1得 (1－3k )x － 6kx － 6＝ 0，所以 x 1＋ x 2＝ 1－ 3k 2，3＝ 36k 2＋ 24(1－3k 2)＝ 12(2－ 3k 2)>0? 0< k 2<2，且 1－ 3k 2≠ 0? k 2≠1.33设 MN 的中点为 Q(x ， y＝ x 1＋ x 2＝3k 2， y ＝kx ＋ 1＝1 20)，则 x 02 1－ 3k 01－3k .故直线 m 的方程为 y － 12＝－ 1 (x － 3k2)，即 y ＝－ 14 2.kk x ＋1－3k 1－ 3k1－ 3k所以直线 m 在 y 轴上的截距为42，1－ 3k由 0<k 2 2 21 得 1－3k 2< ，且 k≠∈ (－ 1,0)∪ (0,1)，334所以 1－ 3k 2∈ (－ ∞ ，－ 4) ∪(4，＋ ∞ )．即直线 m 在 y 轴上的截距的取值范围为(－∞ ，－ 4)∪ (4，＋ ∞ )．21． (2013 ·州文博中学高二期末福 )设 f(x)＝ lnx ， g(x)＝ f(x)＋f ′ (x)．(1)求 g(x)的单调区间和最小值；1(2)讨论 g(x)与 g(x )的大小关系；(3)求 a 的取值范围，使得g(a)－ g(x)< 1对任意 x>0 成立．a1[答案 ] (1)减区间 (0,1) 增区间 (1，＋∞ ) 最小值 1(2)0< x<1 时， g(x)> g( x ) x>1 时，1 1g(x)<g(x )x ＝ 1 时， g(x)＝ g( x ) (3)(0 ，e)1 [解析 ](1)由题设知 g(x) ＝lnx ＋ x ，∴ g ′ (x)＝ x － 1x 2 ，令 g ′ (x)＝ 0，得 x ＝ 1.当 x ∈ (0,1)时， g ′ (x)<0，故 (0,1)是 g(x)的单调递减区间．当 x ∈ (1，＋ ∞ )时， g ′ (x)>0 ，故 (1，＋ ∞ )是 g(x)的单调递增区间，因此， x ＝ 1 是 g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)＝ 1.1(2)g( x ) ＝－ ln x ＋ x ，设 h(x)＝ g(x)－ g(1)＝ 2ln x － x ＋ 1，则xx h ′ (x)＝－ x － 1 2x 2 .当 x＝ 1 时， h(1) ＝ 0，即 g(x)＝ g(1 x)．当 x∈ (0,1)∪ (1，＋∞ )时， h′(x)<0， h′ (1)＝ 0，因此， h(x)在 (0，＋∞ )内单调递减．1当 0<x<1 时， h(x)>h(1)＝ 0，即 g(x)>g(x)，当 x>1 时， h(x)<h(1) ＝0，即 g(x)<g(1 x)．(3)由 (1) 知 g( x)的最小值为1，所以 g(a)－g(x)< 1对任意x>0 成立 ? g(a)－ 1<1，a a即 lna<1 ，从而得0<a<e，即 a 的取值范围为 (0， e)．11 / 12马鸣风萧萧12 / 12。

北师大版高中数学选修1-1测试题及答案

高二文科数学周练试题一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分） 1．已知命题 :p x ∀∈R ，sin 1x …，则（）A ．:p x ⌝∃∈R, sin 1x …B ．:p x ⌝∀∈R, sin 1x …C ．:p x ⌝∃∈R, sin 1x >D ．:p x ⌝∀∈R, sin 1x > 2．“p ∨q 为真”是“⌝p 为假”的（）A ．充分不必要条件.B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．“220x x +-=”成立的一个充分而不必要条件是（）A ．1x =．B ．1x =-．C ．1x =或2x =-．D ．1x =-或2x =4.平面内有一长度为2的线段AB 和一动点P,若满足|PA|+|PB|=8,则|PA|的取值范围是( )A.[1,4];B.[2,6];C.[3,5 ];D. [3,6].5．椭圆x 2m + y 24 = 1 的焦距为2,则m 的值等于（）A ．5或3B ．8C ．5D ．35或6．设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分而不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要而不充分条件，那么丁是甲的（） A ．充分不必要条件. B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7．已知P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F 1 、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|P F 1 |=3，则|P F 2|= （）A ．7B ．6C ．5D ．3 8．△ABC 一边的两个顶点为B （-3，0），C （3，0）另两边所在直线的斜率之积为λ （λ 为常数），则顶点A 的轨迹不．可能落在下列哪一种曲线上（） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 9.曲线f(x)=x 3+x －2在P 0点处的切线平行于直线y=4x －1，则P 0点坐标为（） A.(1,0); B.(2,8); C.(1,0)和(－1,－4); D.(2,8)和(－1,－4)10.若方程15222=-+-ky k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是（） A.2<k<5 ； B.k>5 ； C.k<2或k>5； D.以上答案均不对11.已知双曲线13622=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上,且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( ) A.563； B.665 ； C.56 ； D.6512、一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A 、7米/秒B 、6米/秒C 、5米/秒D 、8米/秒二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）13．抛物线y x =2的焦点到准线的距离为______________.14．命题“若a =1, 则a 2=1”的逆命题是______________.15．设21,F F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足02190=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是____________________16．若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，线段21F F 被抛物线bxy 22=的焦点F 分成5﹕3的两段，则此椭圆的离心率为 .三、解答题 17、（本小题满分12分）设命题:p “方程012=++mx x 有两个实数根”，命题:q “方程244(2)10x m x +-+=无实根”，若p q ∧为假，q ⌝为假，求实数m 的取值范围．18、已知双曲线与椭圆2216439x y +=共焦点，且以x y 34±=为渐近线，求双曲线的标准方程和离心率19、（本小题满分12分）已知函数2()ln f x x x x =+ （Ⅰ）、求这个函数的导数()f x ' （Ⅱ）、求这个函数在1x =处的切线方程20、抛物线C 的顶点在原点，焦点F 与双曲线16322=-y x 的右焦点重合，过点P （2，0）且斜率为1的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点。

北师大版高中数学选修1-1 同步练习第1章章末复习

章末复习学习目标 1.梳理本章知识,构建知识网络.2.掌握命题的等价性与充要条件的判定及其有关的应用.3.会解决有一些逻辑联结词与量词的简单的综合性问题．1．四种命题及其关系(1)四种命题命题表述形式原命题若p,则q逆命题若q,则p否命题若綈p,则綈q逆否命题若綈q,则綈p(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系．2．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q,那么称p是q的充分条件,q是p的必要条件．(2)分类：①充要条件：p⇒q且q⇒p,记作p⇔q;②充分不必要条件：p⇒q且q⇏p.③必要不充分条件：p⇏q且q⇒p.④既不充分又不必要条件：p⇏q且q⇏p.3．全称命题与特称命题(1)全称命题与特称命题真假的判断方法①判断全称命题为真命题,需严格的逻辑推理证明,判断全称命题为假命题,只需举出一个反例．②判断特称命题为真命题,需要举出正例,而判断特称命题为假命题时,要有严格的逻辑证明．(2)含有一个量词的命题否定的关注点全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题．否定时既要改写量词,又要否定结论．4．简易逻辑联结词“且、或、非”的真假判断可以概括为口诀：“p与綈p”一真一假,“p或q”一真即真,“p且q”一假就假.p q 綈p p或q p且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假1．“所有奇数都是质数”的否定“至少有一个奇数不是质数”是真命题．( √)2．命题“若p,则q”与命题“若綈p,则綈q”的真假性一致．( ×)3．已知命题p：存在x∈R,x－2＞0,命题q：对于任意x∈R,x2＞x,则命题p或(綈q)是假命题．( ×)题型一命题及其关系例1 (1)有下列命题：①“若x＋y>0,则x>0且y>0”的否命题;②“矩形的对角线相等”的否命题;③“若q≤1,则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题;④不等边三角形的三个内角相等．其中是真命题的是( )A．①②③B．②③④C．①③④D．①③考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案 D(2)设a,b,c是非零向量,已知命题p：若a·b＝0,b·c＝0,则a·c＝0;命题q：若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是( )A．p或q B．p且qC．(綈p)且(綈q) D．p或(綈q)考点“p或q”形式的命题题点判断“p或q”形式命题的真假答案 A解析由向量数量积的几何意义可知,命题p为假命题;命题q中,当b≠0时,a,c一定共线,故命题q是真命题．故p或q为真命题．反思感悟 1.互为逆否命题的两命题真假性相同．2．“p与綈p”一真一假,“p或q”一真即真,“p且q”一假就假．跟踪训练1 命题“若x2>1,则x<－1或x>1”的逆否命题是( )A．若x2>1,则－1≤x≤1B．若－1≤x≤1,则x2≤1C．若－1<x<1,则x2>1D．若x<－1或x>1,则x2>1考点四种命题题点四种命题概念的理解答案 B解析条件与结论交换位置,并且分别否定．题型二充分条件与必要条件命题角度1 充分条件与必要条件的判断例2 (1)设x∈R,则“x2－3x>0”是“x>4”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件(2)已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点四种条件题点识别四种条件答案(1)B (2)C解析(1)∵x2－3x>0⇏x>4,x>4⇒x2－3x>0,故x2－3x>0是x>4的必要不充分条件．(2)∵a>0且b>0⇔a＋b>0且ab>0,∴a>0且b>0是a＋b>0且ab>0的充要条件．反思感悟条件的充要关系的常用判断方法 (1)定义法：直接判断若p 则q,若q 则p 的真假．(2)等价法：利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A,B ⇒A 与綈A ⇒綈B,A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A ⊆B,则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件;若A ＝B,则A 是B 的充要条件．跟踪训练2 使a>b>0成立的一个充分不必要条件是( ) A ．a 2>b 2>0 B ．12log a >12log b >0C ．ln a>ln b>0D ．x a>x b且x>0.5考点四种条件题点识别四种条件答案 C解析设条件p 符合条件,则p 是a>b>0的充分条件,但不是a>b>0的必然结果,即有“p ⇒a>b>0,a>b>0⇏p ”． A 选项中,a 2>b 2>0⇏a>b>0,有可能是a<b<0,故A 不符合条件; B 选项中,12log a >12log b >0⇔0<a<b<1⇏a>b>0,故B 不符合条件;C 选项中,ln a>ln b>0⇔a>b>1⇒a>b>0,而a>b>0⇏a>b>1,符合条件;D 选项中,x a>x b且0<x<1时a<b;x>1时a>b,无法得到a,b 与0的大小关系,故D 不符合条件．命题角度2 充分条件与必要条件的应用例3 设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0,其中a>0,命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1,且p 且q 为真,求实数x 的取值范围;(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围．考点充分、必要条件与充要条件的综合应用题点由四种条件求参数的范围解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a)(x －a)<0. 又a>0,所以a<x<3a,当a ＝1时,1<x<3, 即p 为真命题时,实数x 的取值范围是1<x<3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x<－4或x>2.即2<x ≤3.所以q 为真时,实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p 且q 为真,则⎩⎪⎨⎪⎧1<x<3，2<x ≤3⇔2<x<3,所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)方法一綈p 是綈q 的充分不必要条件, 即綈p ⇒綈q 且綈q ⇏綈p.设綈p ：A ＝{x|x ≤a 或x ≥3a},綈q ：B ＝{x|x ≤2或x>3}, 则A ?B.所以0<a ≤2且3a>3,即1<a ≤2. 所以实数a 的取值范围是(1,2]．方法二因为綈p 是綈q 的充分不必要条件, 所以q 是p 的充分不必要条件, 则{x|2<x ≤3}?{x|a<x<3a},所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a>3，解得1<a ≤2.所以实数a 的取值范围是(1,2]．反思感悟利用条件的充要性求参数的范围(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p 是綈q 的充分不必要(必要不充分、充要)条件,则p 是q 的必要不充分(充分不必要、充要)条件．跟踪训练3 已知命题：p ：2x 2－9x ＋a<0,q ：2<x<3且綈q 是綈p 的必要条件,求实数a 的取值范围．考点充分、必要条件与充要条件的综合应用题点由四种条件求参数的范围解 ∵綈q 是綈p 的必要条件, ∴q 是p 的充分条件, 令f(x)＝2x 2－9x ＋a,则⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤0，f (3)≤0，解得a ≤9,∴实数a 的取值范围是(－∞,9]．题型三逻辑联结词与量词的综合应用例4 已知p ：任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12,2x<m(x 2＋1),q ：函数f(x)＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点,若“p 且q ”为真命题,则实数m 的取值范围是__________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，1 解析由2x<m(x 2＋1),可得m>2x x 2＋1,又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12时,⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x 2＋1max ＝45, 故当p 为真时,m>45;函数f(x)＝4x＋2x ＋1＋m －1＝(2x ＋1)2＋m －2,令f(x)＝0,得2x ＝2－m －1, 若f(x)存在零点, 则2－m －1>0,解得m<1, 故当q 为真时,m<1.若“p 且q ”为真命题,则实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫45，1. 反思感悟解决逻辑联结词与量词的综合应用问题首先理解逻辑联结词的含义,掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系．其次要善于利用等价关系,如：p 真与綈p 假等价,p 假与綈p 真等价,将问题转化,从而谋得最佳解决途径．跟踪训练4 已知命题p ：“任意x ∈[0,1],a ≥e x”,命题q ：“存在x ∈R,x 2＋4x ＋a ＝0”,若命题“p 且q ”是真命题,则实数a 的取值范围是________．考点逻辑联结词与量词的综合应用题点由复合命题的真假求参数范围答案 [e,4]解析 p ：a ≥e,q ：a ≤4,∵p 且q 为真命题,∴p 与q 均为真, 则e ≤a ≤4.转化与化归思想的应用典例已知函数f(x)＝x 2,g(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m.(1)若对任意x 1∈[－1,3],x 2∈[0,2],使得f(x 1)≥g(x 2)成立,求实数m 的取值范围; (2)若对任意x 2∈[0,2],存在x 1∈[－1,3],使得f(x 1)≥g(x 2)成立,求实数m 的取值范围．解 (1)由题设知,f(x 1)min ≥g(x 2)max ,∵f(x)在[－1,0]上是减少的,在(0,3]上是增加的, ∴f(x 1)min ＝f(0)＝0, 又∵g(x)在[0,2]上是减少的, ∴g(x 2)max ＝g(0)＝1－m, ∴有0≥1－m,得m ≥1, ∴m 的取值范围为[1,＋∞)．(2)由题设知,f(x 1)max ≥g(x 2)max , ∴有f(3)≥g(0),即9≥1－m, ∴m 的取值范围是[－8,＋∞)．[素养评析] 从中我们可以看到面对形同质不同的问题,要善于从已有的问题或概念本身出发去加以辨析和研究,将抽象的问题具体化,如此才能更为准确地把握问题的内涵.1．若p 是真命题,q 是假命题,则( ) A ．p 且q 是真命题 B ．p 或q 是假命题 C ．綈p 是真命题 D ．綈q 是真命题答案 D解析根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D 正确．2．已知命题p ：0<a<4,q ：函数y ＝ax 2－ax ＋1的值恒为正,则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件考点充分、必要条件与充要条件的综合应用题点识别四种条件答案 A解析 ∵函数y ＝ax 2－ax ＋1的值恒为正, ∴①当a ＝0时y ＝1恒成立,②⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝a 2－4a<0，∴0<a<4,综上可得q ：0≤a<4, 故{a|0<a<4}?{a|0≤a<4}．3．已知命题p ：对任意x ∈R,总有2x＞0;q ：“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( ) A ．p 且q B ．(綈p)且(綈q) C ．(綈p)且q D ．p 且(綈q)考点 “p 且q ”形式的命题题点判断“p 且q ”形式命题的真假答案 D解析根据指数函数的性质可知,对任意x ∈R,总有2x＞0成立,即p 为真命题,“x ＞1”是“x ＞2”的必要不充分条件,即q 为假命题,则p 且(綈q)为真命题．4．对任意x ∈[－1,2],x 2－a ≥0恒成立,则实数a 的取值范围是________．考点全称命题题点由全称命题的真假求参数的范围答案 (－∞,0]解析由x 2－a ≥0,得a ≤x 2,故a ≤(x 2)min ,得a ≤0. 5．已知p ：x 2＋2x －3>0;q ：13－x>1.若“(綈q)且p ”为真命题,求x 的取值范围．考点 “p 且q ”形式的命题题点已知p 且q 命题的真假求参数范围解因为“(綈q)且p ”为真,所以q 假p 真．而当q 为真命题时,有x －2x －3<0,即2<x<3,所以当q 为假命题时有x ≥3或x ≤2; 当p 为真命题时,由x 2＋2x －3>0, 解得x>1或x<－3,由⎩⎪⎨⎪⎧x>1或x<－3，x ≥3或x ≤2，解得x<－3或1<x ≤2或x ≥3.所以x 的取值范围为(－∞,－3)∪(1,2]∪[3,＋∞)1．否命题和命题的否定是两个不同的概念(1)否命题是将原命题的条件否定作为条件,将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题．(2)命题的否定只是否定命题的结论,常用于反证法．若命题为“若p,则q ”,则该命题的否命题是“若綈p,则綈q ”;命题的否定为“若p,则綈q ”．2．四种命题的三种关系,互否关系,互逆关系,互为逆否关系,只有互为逆否关系的命题是等价命题． 3．判断p 与q 之间的关系时,要注意p 与q 之间关系的方向性,充分条件与必要条件方向正好相反,不要混淆．4．注意常见逻辑联结词的否定一些常见逻辑联结词的否定要记住,如：“都是”的否定“不都是”,“全是”的否定“不全是”,“至少有一个”的否定“一个也没有”,“至多有一个”的否定“至少有两个”．。

2019—2020年新课标北师大版高中数学选修1-1全册综合考点学习与测试及答案答案解析.docx

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1综合学习与测试(一)一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分)1．以下四个命题，判断正确的是( )(1)原命题：若一个自然数的末位数字为零，则这个自然数能被5整除．(2)逆命题：若一个自然数能被5整除，则这个自然数的末位数字为零．(3)否命题：若一个自然数的末位数字不为零，则这个自然数不能被5整除．(4)逆否命题：若一个自然数不能被5整除，则这个自然数末位数字不为零．A.(1)与(3)为真，(2)与(4)为假B.(1)与(2)为真，(3)与(4)为假C.(1)与(4)为真，(2)与(3)为假D.(1)与(4)为假，(2)与(3)为真2．若a，b∈R,且a2+b2≠0，则(1)a、b全为零；(2)a、b不全为零；(3)a、b全不为零；(4)a、b至少有一个不为零，其中真命题的个数为( )A.0B. 1C.2D.33．设命题p：已知a、b为实数，若a+b是无理数．则a是无理数或b是无理数．则下列结论中正确的是( )A.p为真命题B．p的逆命题为真命题C.p 的否命题为真命题D. p 的逆否命题为假命题4．抛物线2y x =的焦点坐标是（）A ．()1,0B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ． 1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭5.若抛物线22(0)y px p =>上横坐标为6的点到焦点的距离等于8，则焦点到准线的距离是（）A ．6B ．2C ．8D ．46. 对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“b a =”是“bc ac =”充要条件；②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件③“a>b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件.其中真命题的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 7．若椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是（）A ．4B ．194C ．94D ．148.下列命题是真命题的是 ( )A “a(a-b)≤0”是“b a≥1”的必要条件 B “x ∈{1，2}”是“1-x =0”的充分条件C “A ∩B ≠φ”是“A ⊂B ”的充分条件D “x>5”是“x>2”的必要条件9.抛物线28x y =-的准线方程是（） A 132x = B.y ＝2 C.14x = D.y=4 10.双曲线229436x y -=-的渐近线方程是（） A 23y x =± B.32y x =± C.94y x =± D.49y x =± 二,填空题:(每小题5分,共20分)11．命题: 若a 、b 都是偶数，则a+b 是偶数. 其逆否命题为_______________.12．下列命题: ①5≥5 ②5>1且1<2 ③3>4或3<4 ④. x,y ∈R. “若x 2+y 2=0，则x,y 全为0”的否命题 ⑤“全等三角形是相似三角形”的逆命题 ⑥若ac 2>bc 2，则a>b. 其中假命题的序号是_______________.13．当a+b=10, c=25时的椭圆的标准方程是.14．已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ’，则线段PP ’的中点M 的轨迹方程为.三、解答题：15．（本小题满分5分）求经过点P（―3，27）和Q（―62，―7）且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程。

高中数学同步测试卷(十)北师大数学选修1-1(2021学年)

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高中同步测试卷(十）单元检测函数的单调性与极值（时间:1２0分钟,满分：1５０分)一、选择题(本大题共１2小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．设ｆ(x）＝ｘ2（2－x）,则f(x)的递增区间是( )A。

错误!ﻩB．错误!C.(－∞，0) Ｄ.(－∞，０）∪错误!2．函数f（x）＝错误!ｘ3－x２+x+a的极值点有( )A．0个B．1个Ｃ．2个ﻩD．与ａ的取值有关3.已知函数f（x）=ｘ＋ln ｘ,则有（ )A.ｆ(２)<ｆ(e）〈f（3) Ｂ.f(e）〈f(2)〈f(３)C.f(3)〈ｆ(e）<ｆ（２）D.f（ｅ）<ｆ（３）＜f（２)4。

如图,在半径为H的半圆形中，阴影部分的面积S是h的函数（0≤h≤Ｈ），则该函数的图像是( )5.已知实数a,ｂ，c,d成等比数列,且曲线ｙ＝3x-ｘ3的极大值点坐标为（b，c)，则ad等于( )A．2 ﻩＢ.1C.－1 ﻩD．－２6。

已知f(ｘ) 的定义域为R,ｆ(ｘ)的导函数f′(x)的图像如图所示,则( )Ａ．ｆ(ｘ）在x=1处取得极小值B．f（x)在x＝1处取得极大值C.f(x)是R上的增函数D．f（x）是（-∞,1）上的减函数,(1，+∞)上的增函数7．若函数f（x)＝-x3+ａx２-x－1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是( )A.（－∞，-错误!]∪［错误!,＋∞)ﻩB.［－错误!，错误!］Ｃ.(-∞，-3）∪(３，＋∞)ﻩD．(－＼ｒ(3),错误!)8.函数f(x）的定义域为R，f(-1）=2，对任意x∈Ｒ,f′(x)＞2,则f(x)〉２ｘ＋4的解集为( )A.（－1，1）ﻩB．(－１，+∞)C.(-∞，-1）ﻩD．(-∞,＋∞）９．设a〉0，b>0，ｅ是自然对数的底数（）Ａ.若eａ＋2a＝e b＋3ｂ，则ａ>ｂB．若ｅａ+２a=e b+3ｂ,则ａ<bC．若e a－2a=eｂ－３b，则a〉b D．若e a-2a=e b-3b，则a＜b10.已知函数f(ｘ）＝x3+ａｘ2＋bx+c有两个极值点x１,x2,若f(x1）=x1〈x2,则关于x的方程３（f（x)）2＋２ａf（x)＋b＝０的不同实根个数为（）A．3 ﻩ B.4Ｃ.5 ﻩＤ.611.若函数ｆ(x)＝kｘ－ln ｘ在区间(1,＋∞）上单调递增,则k的取值范围是( )A.(-∞，-2］Ｂ．(－∞,-１］Ｃ．［２,+∞） D.［１，＋∞）１２.f(ｘ）是定义在（0,＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′（ｘ)+f(x）≤0,对任意正数a，b，若ａ<b,则必有( )A．ａf(a)≤f(b) B．bf（ｂ)≤f（a)C.af(b)≤bｆ(a）ﻩD.bｆ(a)≤aｆ(b)题号１23４567891０１１12答案二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共2０分，把答案填在题中横线上)13.已知函数f(ｘ)=x(ｘ－c）2在x=2处有极大值,则c的值为__＿_＿___.1４。

北师大版高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》测试题(含答案解析)

一、选择题1．已知斜率为16的直线l 与双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>:相交于B 、D 两点，且BD 的中点为(1,3)M ，则C 的离心率为（）A ．2B C ．3 D2．已知()5,0F 是双曲线()2222:=10,0x y C a b a b->>的右焦点，点(A .若对双曲线C 左支上的任意点M ，均有10MA MF +≥成立，则双曲线C 的离心率的最大值为（）A B ．5C ．52D ．63．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆()2223x y -+=截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A ．3B ．2C D4．已知斜率为(0)k k >的直线l 与抛物线2:4C y x =交于,A B 两点，O 为坐标原点，M 是线段AB 的中点，F 是C 的焦点，OFM ∆的面积等于3，则k =（）A ．14B ．13C ．12D ．35．直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点，则k 的取值有（）个A ．1B ．2C ．3D ．46．已知M 是抛物线2:C x y =上一点，记点M 到抛物线C 的准线的距离为1d ，到直线:3490l x y ++=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知1F 、2F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左右焦点，点P 在双曲线右支上且不与顶点重合，过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为A ，O 为坐标原点，若OA =，则该双曲线的离心率为（）A B C ．2 D 8．已知圆2221:(3)(7)C x y a a ++=>和222:(3)1C x y -+=，动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切，P 是12MC C 的内心，且12123PMC PMC PC C SSS+=，则a 的值为（）A ．9B ．11C ．17D ．199．已知抛物线2:C x y =，点()2,0A ，()0,2B -，点P 在抛物线上，则满足PAB △为直角三角形的点P 的个数有（） A ．2B ．4C ．6D ．810．过抛物线24y x =的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，若AB 的中点的纵坐标为2，则AB 等于（） A ．4B ．6C ．8D ．1011．“04a <<”是“方程2214x y a a+=-表示为椭圆”的（）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件12．已知点P 在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上，点()2,0A a ，当PA 最小时，点P不在顶点位置，则该双曲线离心率的取值范围是（）A ．)+∞B ．)+∞C ．(D ．(二、填空题13．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右焦点(c,0)F 关于直线2y x =的对称点Q 在双曲线上，则双曲线的离心率是______．14．设点P 是椭圆2213x y +=的短轴的一个上端点，Q 是椭圆上的任意一个动点，则线段PQ |∣长的最大值是________．15．知直线m 过抛物线()220y px p =>的焦点F ，且交抛物线于A 、B 两点，交其准线l于点C .若6AF =，2CB BF =，则p =____________16．已知点F 为抛物线2:2C x y =的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则4AB DE +的最小值为_________.17．如图，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，B 为椭圆C 的上顶点，若12BF F △的外接圆的半径为23b，则椭圆C 的离心率为________.18．已知抛物线C ：2y x =的焦点为F ，A ()00,x y 是C 上一点，054AF x =，则0x =________.19．已知双曲线M ：22221x y a b-=（0a >，0b >），ABC 为等边三角形．若点A 在y轴上，点B ，C 在双曲线M 上，且双曲线M 的实轴为ABC 的中位线，则双曲线M 的离心率为________．20．已知下列几个命题：①ABC 的两个顶点为(4,0)A -，(4,0)B ，周长为18，则C 点轨迹方程为221259x y +=； ②“1x >”是“||0x >”的必要不充分条件；③已知命题:33p ≥，:34q >，则p q ∨为真，p q ∧为假，p ⌝为假；④双曲线221916x y -=-的离心率为54．其中正确的命题的序号为_____．三、解答题21．已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点F 与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于P ，Q 两点. （1）求椭圆的方程；（2）当直线l 的斜率为2时，求POQ △的面积；（3）在线段OF 上是否存在点M (m ，0)，使得MPQ 为等腰三角形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2:20C x py p =>，过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线相交于M ､N 两点.（1）若l 与y 轴垂直，且OMN 的周长为425+C 的方程；（2）在第一问的条件下，过点()1,2P 作直线m 与抛物线C 交于点A ，B ，若点P 是AB 的中点，求直线m 的方程.23．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>左右焦点分别为()12(,0),,0F c F c -，点Р为椭圆C 上一点，满足1290F PF ∠=︒，且12F PF △的面积为2c .（1）求椭圆C 的离心率；（2）已知直线()122y x =-与椭圆C 交于,M N 两点，点Q 坐标为()2,0，若3MQ NQ =，求椭圆C 的方程.24．已知点M 是圆222:(2)(2)C x y r r -+=>与x 轴负半轴的交点，过点M 作圆C 的弦MN ，并使弦MN 的中点恰好落在y 轴上．（1）求点N 的轨迹方程；（2）设点N 的轨迹为曲线E ，延长NO 交直线2x =-于点A ，延长NC 交曲线E 于点B ，曲线E 在点B 处的切线交y 轴于点D ，求证：AD BD ⊥．25．（1）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦距为1F 、2F 为左、右焦点，M 为椭圆E 上一点，且123F MF π∠=，12F MF S =△，求椭圆E 的方程．（2）过点()()00P m m a <<,的直线交椭圆E 于A 、B 两点，交直线4x m=于点M ，设MA AP λ=，MB BP μ=，求λμ+的值．26．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，过左顶点与上顶点的直线与圆2243x y +=相切. （1）求椭圆C 的方程﹔ （2）已知斜率为k 的直线l 在y 轴上的截距为()0m m b <<，l 与椭圆交于,A B 两点，是否存在实数k 使得2OA OB k k k ⋅=成立?若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】设()()1122,,B x y D x y 、，用“点差法”表示出a 、b 的关系，即可求出离心率【详解】设()()1122,,B x y D x y 、,则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差得：22221212220x xy y a b---=，整理得：()()()()2121221212y y y y b a x x x x +-=+-BD 的中点为(1,3)M ，且直线l 的斜率为16 ，代入有：22611262b a =⨯=即22212c a a -=，解得62cea . 故选：D 【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．2．C解析：C 【分析】设E 是双曲线的左焦点，利用双曲线的定义把MF 转化为ME 后易得MA ME +的最小值，从而得a 的最小值，由此得离心率的最大值．【详解】设E 是双曲线的左焦点，M 在左支上，则2MF ME a -=，2MF ME a =+，22MA MF MA ME a EA a +=++≥+，当且仅当E A M ,,三点共线时等号成立．则222(5)(11)210EA a a +=-++≥，2a ≥，所以552c e a a ==≤．故选：C ．思路点睛：本题考查双曲线的定义的应用．在涉及双曲线上的点与一个焦点和另外一个定点距离和或差的最值时，常常利用双曲线的定义把到已知焦点的距离转化为到另一焦点的距离，从而利用三点共线取得最值求解．3．D解析：D 【分析】设双曲线C 的渐近线方程为y kx =，其中bk a=±，利用圆的半径、渐近线截圆所得弦长的一半、弦心距三者满足勾股定理可求得k的值，再利用e =可求得双曲线C 的离心率e 的值. 【详解】设双曲线C 的渐近线方程为y kx =，其中b k a=±，圆()2223x y -+=的圆心坐标为()2,0，半径为r =圆心到直线y kx =的距离为d =另一方面，由于圆的半径、渐近线截圆所得弦长的一半、弦心距三者满足勾股定理，可得d ===，解得1k =±，1ba∴=，因此，双曲线C的离心率为c e a ===== 故选：D. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.4．B解析：B 【分析】先求出F ,设出A 、B 、M ，用“点差法”找出121202y y k x x y -==-，利用OFM ∆的面积等于3计算出0y ，求出斜率k .由抛物线2:4C y x =知：焦点()1,0F设()()()112200,,,,,,A x y B x y M x y因为M 是线段AB 的中点，所以0121222x x x y y y =+⎧⎨=+⎩将2114y x =和2224y x =两式相减可得：()2212124y y x x -=-，即121202y y k x x y -==- ∵000k y >∴>∴00113,62OFM S y y ∆=⨯⨯=∴=, 022163k y ∴===.故选：B 【点睛】“中点弦”问题通常用“点差法”处理.5．D解析：D 【分析】将直线方程与双曲线的方程联立，得出关于x 的方程，根据直线与双曲线只有一个公共点，求出对应的k 值，即可得解. 【详解】联立22341169y kx k x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 并整理得()()()2221693243164390k x k k x k ⎡⎤-+-+-+=⎣⎦，由于直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点，所以，21690k -=或()()()222216903243641694390k k k k k ⎧-≠⎪⎨⎡⎤⎡⎤∆=----+=⎪⎣⎦⎣⎦⎩，解得34k =±或2724250k k +-=，对于方程2724250k k +-=，判别式为22447250'∆=+⨯⨯>，方程2724250k k +-=有两个不等的实数解.显然34k=±不满足方程2724250k k+-=.综上所述，k的取值有4个.故选：D.【点睛】方法点睛：将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解．6．B解析：B【分析】作出图形，过点M分别作抛物线C的准线l和直线3490x y++=的垂线，垂足分别为点B、A，由抛物线的定义得出1d MB MF==，可得出12d d MF MA+=+，利用FM与直线3490x y++=垂直时，12d d+取最小值，然后计算出点F到直线3490x y++=的距离，即为所求.【详解】如下图所示：过点M分别作抛物线C的准线l和直线3490x y++=的垂线，垂足分别为点B、A，由抛物线的定义可得1d MB MF==，则12d d MF MA+=+，当且仅当FM与直线3490x y++=垂直时，12d d+取最小值，点F到直线3490x y++=的距离为22130494234d⨯+⨯+==+，因此，12d d +的最小值为2. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题求出抛物线上一点到准线和定直线的距离之和最小值问题，解题的关键就是利用F 、A 、M 三点共线取最小值，结合抛物线的定义转化求解.7．B解析：B 【分析】延长2F A 交1PF 于点Q ，可得1223QF OA b ==，结合双曲线的定义可得,a b 的关系，从而求得离心率．【详解】延长2F A 交1PF 于点Q ，∵PA 是12F PF ∠的平分线，∴2AQ AF =，2PQ PF =，又O 是12F F 中点，所以1//QF AO ，且1223QF OA b ==，又11122QF PF PQ PF PF a =-=-=，∴223a b =，222233()a b c a ==-，∴233c e a ==．故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的关系，解题方法是延长2F A 交1PF 于点Q ，利用等腰三角形的性质、平行线的性质得出123QF b =，然后由双曲线的定义得出关系式，从而求解．8．C解析：C 【分析】先判断出圆1C 与2C 内含，根据条件可得动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切，从而得出121216MC MC a C C +=+>=，即动点M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴为1a +的椭圆，又设12MC C 的内切圆的半径为r ' ，由12123PMC PMC PC C SSS+=，有12121113222MC r MC r C C r ''+⨯=⨯⨯⨯'⨯，从而得出答案. 【详解】由圆2221:(3)(7)C x y a a ++=>和222:(3)1C x y -+=，可得圆1C 的圆心()13,0C -，半径为1r a =，圆2C 的圆心()23,0C ，半径为21r = 由121261C C a r r =<-=-所以圆1C 与2C 内含，由动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切. 所以动圆M 与圆1C 内切，与圆2C 外切，设动圆M 的半径为R 则11MC r R a R =-=-，221MC r R R =+=+ 所以121216MC MC a C C +=+>=所以动点M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴为1a +的椭圆，设其方程为22221(0)x y m n m n +=>> 所以12a m +=，设22c m n =-，则3c = 由P 是12MC C 的内心，设12MC C 的内切圆的半径为r ' 由12123PMC PMC PC C SSS+=，有12121113222MC r MC r C C r ''+⨯=⨯⨯⨯'⨯ 即1212318MC MC C C +==，又由椭圆的定义可得121MC MC a +=+ 所以118a +=，则17a = 故选：C 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，考查根据圆与圆的相切求动圆圆心的轨迹，考查椭圆的定义的应用，解答本题的关键的由条件得出圆1C 与2C 内含，由动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切，进一步由条件得出121216MC MC a C C +=+>=，即得出动点M 的轨迹，属于中档题.9．B解析：B 【分析】分三个角为直角分别进行讨论，通过数形结合即得结果. 【详解】(1)若APB ∠为直角，如下图，即以AB 为直径的圆与抛物线的交点为P ，易见有O ，P 两个点符合题意；（2）若PAB ∠为直角，则过A 作直线垂直AB ，如下图，易见有P ，P '两个点符合题意；（3）若PBA ∠为直角，则过B 作直线垂直AB ，如上图，易见无交点，不存在点P 符合题意.综上，共有4个点符合题意. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于对三个角为直角进行分类讨论，再结合数形结合思想即突破难点.10．C解析：C 【分析】先根据抛物线的定义将焦点弦长问题转化为中点到准线距离的两倍，进而用中点横坐标表示，设直线AB 的方程为：1x my =+(m 为常数),与抛物线方程联立消去x ,得到关于y 的一元二次方程，利用中点公式和韦达定理求得m 的值，进而得到中点的横坐标，从而求得线段AB 的长度. 【详解】抛物线24y x =的焦点坐标F (1,0),准线方程:1l x =-,设AB 的中点为M ,过A ,B ,M 作准线l 的垂线，垂足分别为C ,D ,N ,则MN 为梯形ABDC 的中位线，()02|21AB AF BF AC BD MN x ∴=+=+==+,∵直线AB 过抛物线的焦点F ,∴可设直线AB 的方程为：1x my =+(m 为常数), 代入抛物线的方程消去x 并整理得：2440y my --=,设A ,B 的纵坐标分别为12,y y ,线段AB 中点()00,M x y , 则120222y y y m +===,1m ∴=, ∴直线AB 的方程为1x y =+,001213x y ∴=+=+=,()2318AB ∴=+=，故选：C.【点睛】本题考查抛物线的焦点弦长问题，涉及抛物线的定义，方程，线段中点坐标公式，直线与抛物线的交点问题，属中档题，关键是灵活使用抛物线的定义，将焦点弦长问题转化为中点坐标问题，注意直线方程的设法：过点(a ,0)，斜率不为零的直线方程可以设为x =my +a 的形式，不仅避免了讨论，而且方程组消元化简时更为简洁.11．C解析：C 【分析】根据方程2214x y a a +=-表示椭圆求出实数a 的取值范围，然后利用集合的包含关系可判断出“04a <<”是“方程2214x y a a+=-表示椭圆”的条件.【详解】若方程2214x y a a+=-表示椭圆，则0404a a a a >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解得02a <<或24a <<，记为{}02,24A a a a =<<<<或，又记{}04B a a =<<，AB则“04a <<”是“方程2214x y a a+=-表示椭圆”的必要不充分条件.故选：C.关键点点睛：本题的关键是求出方程为椭圆的充分必要条件.12．C解析：C 【分析】把P 的坐标表示出来，PA 转化为二次函数，利用二次函数最值取得条件求离心率的范围．【详解】设00(,)P x y ，则||PA ==又∵点P 在双曲线上，∴2200221x y a b -=，即2222002b x y b a=-，∴||PA ===．当PA 最小时，0224202a ax e e -=-=>．又点P 不在顶点位置，∴22aa e>，∴22e <，∴e < ∵双曲线离心率1e >，∴1e <<故选：C ．【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．二、填空题13．【分析】由题意可得Q 点坐标代入双曲线方程计算即可得出离心率【详解】设则中点由题意可得由在双曲线上可得两边同除可得解得（舍）故答案为：【点睛】关键点点睛：齐次式方程两边同除可得关于离心率的方程即可求出由题意可得Q 点坐标，代入双曲线方程，计算即可得出离心率. 【详解】设(,)Q m n ，则FQ 中点(,)22+m c n，=-FQ n k m c由题意可得325224215c nm c m n c n m c +⎧⎧=-=⨯⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪⨯=-=⎪⎪-⎩⎩，由(,)Q m n 在双曲线上，可得222242242222234()()91655119502502525()--=⇒-=⇒-+=-c c c c c a c a a b a c a 两边同除4a ，可得42950250e e -+=，解得3==e e （舍）【点睛】关键点点睛：齐次式方程，两边同除可得关于离心率的方程，即可求出离心率.本题考查了计算能力和逻辑推理能力，属于中档题目.14．【分析】设出根据点在椭圆上点的坐标满足椭圆方程得到利用两点间距离公式求得结合的范围求得其最大值【详解】由已知得到或由于对称性不妨设设是椭圆上的任一点所以所以又因为所以当时长度取得最大值且最大值为故答解析：2【分析】设出(,)Q x y ，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，得到223(1)x y =-，利用两点间距离公式求得PQ =y 的范围，求得其最大值.【详解】由已知得到(0,1)P 或(0,1)P -，由于对称性，不妨设(0,1)P ，设(,)Q x y 是椭圆上的任一点，所以223(1)x y =-，所以PQ ====又因为11y -≤≤，所以当12y时，PQ |∣2=，故答案为：322. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关椭圆上的点到短轴端点的距离的最值问题，解题思路如下：（1）根据题意，设出点(,)Q x y ，取好点P ；（2）利用两点间距离公式写出PQ |∣，配方，结合椭圆上点坐标的范围求得结果.15．3【分析】过作准线的垂线垂足分别为过作的垂线垂足为根据结合抛物线的定义可得据此求出再根据抛物线的定义可求出【详解】如图：过作准线的垂线垂足分别为过作的垂线垂足为因为所以因为所以所以所以在直角三角形中解析：3 【分析】过A 、B 作准线l 的垂线，垂足分别为,N M ，过F 作AN 的垂线，垂足为D ，根据2CB BF =结合抛物线的定义可得30DFA MCB ∠=∠=，据此求出||3AD =，再根据抛物线的定义可求出p . 【详解】如图：过A 、B 作准线l 的垂线，垂足分别为,N M ，过F 作AN 的垂线，垂足为D ，因为2CB BF =，所以||2||CB BF =，因为||||BF BM =，所以||2||CB BM =，所以30MCB ∠=，所以30DFA ∠=，在直角三角形ADF 中，因为||6AF =，所以||3AD =，因为||||6AN AF ==，且||||3AN AD p p =+=+，所以63p =+，所以3p =. 故答案为：3 【点睛】关键点点睛：利用抛物线的定义求解是解题关键.16．18【分析】设直线的方程为联立方程组分别求得和结合基本不等式即可求得的最小值得到答案【详解】由题抛物线的焦点准线方程为设直线的方程为联立方程组则设可得由抛物线的定义可得由可将上式中的换为可得则当且仅解析：18 【分析】设直线1l 的方程为12y kx =+，联立方程组，分别求得222AB k =+和22||2DE k=+，结合基本不等式，即可求得4AB DE +的最小值，得到答案. 【详解】由题，抛物线2:2C x y =的焦点10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为12y 设直线1l 的方程为12y kx =+，0k ≠，联立方程组2212x y y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，则2210x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，可得122x x k +=，()21212121112122y y kx kx k x x k +=+++=++=+由抛物线的定义可得212||122AB y y k =++=+，由12l l ⊥，可将上式中的k 换为1k -，可得22||2DE k=+，则224102102184AB DE k k ⎛⎫+=++≥+⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当k = 则4AB DE +的最小值为18 故答案为：18 【点睛】方法点睛：本题考查抛物线的焦点弦，考查基本不等式的应用，与抛物线的焦点有关问题的解题策略：1、与抛物线的焦点有关的问题，一般情况下都与抛物线的定义有关：“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径；2、特别提醒：主要灵活运用抛物线上一点(,)P x y 到焦点F 的距离：2PF px =+或2PF p y =+. 17．【分析】由题意可得的外接圆的圆心在线段上可得在中由勾股定理可得：即结合即可求解【详解】由题意可得：的外接圆的圆心在线段上设圆心为则在中由勾股定理可得：即所以即所以所以故答案为：【点睛】方法点睛：求椭解析：12【分析】由题意可得12BF F △的外接圆的圆心在线段OB 上，1OF c =，123bMF BM ==，可得 13OM b =，在1OMF △中，由勾股定理可得：22211MF OM OF =+，即222233b b c ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合222b ac =-即可求解. 【详解】由题意可得：12BF F △的外接圆的圆心在线段OB 上，1OF c =，设圆心为M ，则2133OM OB BM b b b =-=-=，在1OMF △中，由勾股定理可得：22211MF OM OF =+，即222233b b c ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以223b c =，即2223a c c -=，所以2a c =，所以12c e a ==，故答案为：12. 【点睛】方法点睛：求椭圆离心率的方法：（1）直接利用公式c e a=；（2）利用变形公式221b e a=-；（3）根据条件列出关于,a c 的齐次式，两边同时除以2a ，化为关于离心率的方程即可求解.18．【分析】根据焦半径公式可得：结合抛物线方程求解出的值【详解】由抛物线的焦半径公式可知：所以故答案为：【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）（1）焦点在轴正半轴抛物线上任意一点则；（2 解析：1【分析】根据焦半径公式可得：00524x p x +=，结合抛物线方程求解出0x 的值. 【详解】由抛物线的焦半径公式可知：0015224AF x x =+=，所以01x =，故答案为：1. 【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =+；（2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =-+；（3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =+；（4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =-+. 19．【分析】可根据实轴为的中位线得出再根据对称性及为等边三角形表示出的坐标代入双曲线方程得到关系式求解离心率【详解】实轴长为则关于轴对称不妨设在双曲线左支则其横坐标为根据为等边三角形可得故将的坐标代入双【分析】可根据实轴为ABC 的中位线，得出BC ，再根据对称性及ABC 为等边三角形，表示出B 的坐标，代入双曲线方程，得到,a b 关系式求解离心率. 【详解】实轴长为2a ，则4BC a =，BC 关于y 轴对称不妨设B 在双曲线左支，则其横坐标为2a ，根据ABC 为等边三角形，60ABC ∠=可得B y =故()2,B a，()2,C a -，将B 的坐标代入双曲线方程有2222431a a a b-=，则a b =，则c =故e =【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．20．③④【分析】根据椭圆定义可对①进行判断；根据必要不充分条件定义可对②进行判断；根据复合命题的真假可对③进行判断；根据双曲线的离心率公式可对④进行判断【详解】①的两个顶点为周长为18则C 点轨迹方程为当解析：③④ 【分析】根据椭圆定义可对①进行判断；根据必要不充分条件定义可对②进行判断；根据复合命题的真假可对③进行判断；根据双曲线的离心率公式可对④进行判断. 【详解】①ABC 的两个顶点为(4,0)A -，(4,0)B ，周长为18，则C 点轨迹方程为221259x y +=(5)x ≠±，当5x =±时，构不成三角形，错误； ②当0.1x =时，1x <，所以||0x >不一定有1x >，错误；③已知命题:33p ≥是真命题，:34q >是假命题，根据复合命题的真假判断，p q ∨为真，p q ∧为假，p ⌝为假，正确；④双曲线221916x y -=-，2216,9a b ==，所以22225c a b =+=，54c e a ==，正确．其中正确的命题的序号是③④，故答案为：③④. 【点睛】本题考查了椭圆定义、双曲线离心率、必要不充分条件及复合命题真假的判断，属于基础题.三、解答题21．（1）2212x y +=；（2）9；（3）存在102m <<，理由见解析.【分析】（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，根据题意得1b c ==，即可求出a ，从而求出椭圆方程；（2）根据题意得直线l 的方程为2(1)y x =-，设()11,P x y ，()22,Q x y ，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可求出弦PQ ，再利用点到直线的距离公式求出高，即可取出面积；（3）假设在线段OF 上存在点(,0)(01)M m m <<，使得以MPQ 为等腰三角形，联立直线与椭圆，分别计算即可判断；【详解】解：（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，根据题意得1b c ==，所以2222a b c =+=，所以椭圆的方程为2212x y +=.（2）根据题意得直线l 的方程为2(1)y x =-，即220x y --=，与2212x y +=联立，得：291660x x -+=设()11,P x y ，()22,Q x y ，则12169x x +=，1223x x ⋅=.所以12|9PQ x x =-=，点O 到l 的距离为d =，所以 1122 9ABC PQ d S ===⨯△. （3）存在，102m <<. 假设在线段OF 上存在点(,0)(01)M m m <<，使得以MPQ 为等腰三角形，若直线l 与x 轴不垂直，直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()11,MP x m y =-，()22,MQ x m y =-，由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222)202142(-=+-+x k x k k ，所以2122421k x x k ，21222221k x x k -⋅=+. ①当||||MP MQ =时设PQ 的中点为N ，则2222,2121k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又1MN k k ⋅=-，所以22211212k m k k ==++，所以102m <<. ②|||PQ MP ≠，|||MQ PQ ≠∣.∵()1222224||221221k PQ a e x x k k =-+=⋅=++MP==>>∴不可能|||PQ MP=.同理，根据椭圆对称性，也不可能||||MQ PQ=.所以当12m<<时MPQ为等腰三角形；【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22．（1）24x y=；（2）230x y-+=.【分析】（1）将将2py=代入抛物线C的方程可求得,M N坐标，得,,MN OM ON，由OMN的周长参数p，得抛物线方程；（2）设点211,4xA x⎛⎫⎪⎝⎭，222,4xB x⎛⎫⎪⎝⎭，由,A B坐标表示出直线斜率，结合中点坐标即得直线斜率，得直线方程．【详解】解：（1）由题意，焦点0,2pF⎛⎫⎪⎝⎭，将2py=代入抛物线C的方程可求得,2pM p⎛⎫-⎪⎝⎭，,2pN p⎛⎫⎪⎝⎭，∴2MN p=，OM ON p===，所以QMN的周长为24p+=+2p=，故抛物线方程为24x y=.（2）设点211,4xA x⎛⎫⎪⎝⎭，222,4xB x⎛⎫⎪⎝⎭，直线m的斜率为2212121244x xx xx x-+=-，由条件1212x x+=，故直线m的斜率为12，从而直线m的方程为230x y-+=.【点睛】关键点点睛：本题考查求抛物线方程，求中点弦所在直线方程．已知弦中点坐标，一般设弦两端点坐标为1122(,),(,)x y x y代入圆锥曲线方程相减即可得中点坐标与直线斜率关系．这称为“点差法”．23．（1）2；（2）答案见解析. 【分析】（1）利用椭圆定义122PF PF a +=和1290F PF ∠=︒求得2122PF PF b =，再根据12F PF △的面积为2c 求解；（2）椭圆方程2222x y a +=与直线1(2)2y x =-联立，由韦达定理得到2121244,36a y y y y -+=-=，再根据3MQ NQ =，分3MQ NQ =和3MQ NQ =-求解. 【详解】（1）由椭圆定义可得122PF PF a +=，① 又1290F PF ∠=，所以222124PF PF c +=，②①和②可得2122PF PF b ⋅=，所以12F PF △的面积为2b ，所以22b c =，即222a c =，所以椭圆C 的离心率为2；（2）椭圆方程可化为2222x y a +=，与1(2)2y x =-联立可得： 226840y y a ++-=，由()2642440a ∆=-->可得243a >，设()()1122,,,M x y N x y ，所以2121244,36a y y y y -+=-=，③又直线1(2)2y x =-过点Q ，且3MQ NQ =，()112,MQ x y =--，()222,NQ x y =--.（i ）当3MQ NQ =时，即123y y =时，则122443y y y +==-，可得213y =-，则2212214336a y y y -===，可得2423a =>，所以椭圆C 的方程为2212x y +=；（ii ）当3MQ NQ =-，即123y y =-时，则122423y y y +=-=-，则223y =，可得22212224433336a y y y -⎛⎫=-=-⨯=-= ⎪⎝⎭，解得24123a =>，所以椭圆C 的方程为221126x y +=.【点睛】方法点睛：求椭圆的标准方程有两种方法：①定义法：根据椭圆的定义，确定2a 、2b 的值，结合焦点位置可写出椭圆方程； ②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a 、b ；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为()2210,0,Ax By A B A B +=>>≠．24．（1）28(0)y x x =>；（2）证明见解析. 【分析】（1）设(,)N x y ，利用N 在圆上及弦MN 的中点在y 轴上可得点N 的轨迹方程，也可以利用垂径定理得到点N 的轨迹方程，注意范围．（2）设()11N x y ,，()22,B x y ，直线NB 的方程为2x my =+，点B 的处的切线方程为()22y y k x x -=-，联立切线方程和抛物线方程，利用判别式为0可求切线方程，从而得到D 的坐标，求出直线ON 的方程后可得A 的坐标，再联立直线NB 的方程与抛物线的方程，利用韦达定理化简可得1AD BD k k ⋅=-，从而得到要求证的垂直关系．我们也可以设()()000,0N x y x ≠，利用导数和韦达定理可求D 的坐标，同样可得1AD BD k k ⋅=-．【详解】（1）解法一：由题意知(2,0)C ，(2,0)M r -，设(,)N x y 是222:(2)(2)C x y r r -+=>上的任意点，弦MN 的中点2,22r x y -+⎫⎛⎪⎝⎭恰好落在y 轴上， 202r x-+∴=，2r x ∴=+，222(2)(2)x y x ∴-+=+，整理得28y x =，2r >，0x ∴>，∴点N 的轨迹方程为28(0)y x x =>．解法二：设(,)N x y ，弦MN 的中点为0,2y Q ⎫⎛ ⎪⎝⎭，(,0)M x -，因为M 在x 轴的负半轴上，故0x >． ()2,,2,2y CQ MN x y ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，由垂径定理得CQ MN ⊥，故22220,8(0)2y x y x x -⨯+=∴=>．（2）证法一：设直线NB 的方程为2x my =+，则由282y x x my ⎧=⎨=+⎩，消去x ，整理得28160y my --=，264640m ∆=+>．设()11N x y ,，()22,B x y ，则128y y m +=，1216y y =-，11ON y k x ∴=，∴直线ON 的方程为11y y x x =， ∴令2x =-，则112y y x -=，1122,y A x ⎫⎛-∴-⎪ ⎝⎭．设点B 的处的切线方程为()22y y k x x -=-，与28y x =相切，由()2228y y k x x y x⎧-=-⎨=⎩，消去x ，整理得()222880ky y y kx -+-=，22220k x ky ∴∆=-+=，()22222220408y k ky y k -+=⇒-=，24BDk y ∴=， ∴直线()2224:BD y y x x y -=-，令0x =，则 222222244x x y y y y y --+=+=22222484x x x y y -+==，2240,x D y ⎫⎛∴⎪ ⎝⎭， 212122*********24AD x y x y y k y x y x y ⎫⎛∴=+=+=+⎪ ⎝⎭12113244y y y y +==， 121244161AD BD k k y y y y ∴⋅=⋅==-，AD BD ∴⊥．证法二：设()()000,0N x y x >，则直线ON 的方程为00y y x x =，0022,y A x ⎫⎛∴--⎪ ⎝⎭，设直线NB 的方程为2x my =+，则由282y x x my ⎧=⎨=+⎩，消去x ，整理得28160y my --=，264640m ∆=+>，设()11,B x y ，则101200016321616,y y y B y y y ⎫⎛=-⇒=-⇒-⎪ ⎝⎭，由抛物线的对称性，不妨设B 在x 轴下方，则由曲线28y x =，得y y '=-⇒=-=，切线的斜率为4y k ===-，切线方程为020016324y y x y y ⎫⎛+=--⎪ ⎝⎭，则080,D y ⎫⎛⎪ ⎝⎭，020000283282,,y AD BD x y y y ⎫⎫⎛⎛⋅=-⋅-⎪⎪ ⎝⎝⎭⎭22000000641664641664088AD BD y x y x x x =-+-=-+-=⇒⊥．【点睛】思路点睛：（1）求动点的轨迹方程，几何法、动点转移法、参数法等．（2）直线与抛物线的位置关系中的定值问题，一般联立直线方程和抛物线的方程，利用韦达定理化简目标代数式，涉及到切线范围，可借助导数来求切线的斜率．25．（1）22:142x y E +=；（2）0．【分析】（1）首先根据题意得到c =11MF r =，22MF r =，得到122r r a +=，再根据123F MF S =△和余弦定理即可得到24a =，22b =，从而得到椭圆的标准方程. （2）首先设直线x ky m =+，与椭圆联立得到222(2)240k y kmy m +++-=，从而得到1221224y y km y y m +=--，联立4x m x ky m⎧=⎪⎨⎪=+⎩，得到244m M m km ⎛⎫- ⎪⎝⎭,.再根据MA AP λ=，MB BP μ=，得到2141m kmy λ-=-和2241m kmy μ-=-，计算λμ+即可. 【详解】（1）由已知得2c =，即c =设11MF r =，22MF r =，得到122r r a +=. 在12F MF △中，121213sin 23F MF r r S π==△，解得1283r r =.(22212122cos3r r r r π=+-，化简得：()2121283r r r r =+-，288433a =-⨯，解得24a =.所以2242b =-=，椭圆22:142x y E +=.（2）由（1）知22:142x y E +=，()()002P m m <<,，设直线x ky m =+，联立2224x ky m x y =+⎧⎨+=⎩得：222(2)240k y kmy m +++-=12222km y y k +=-+，212242m y y k-=+ 所以1221224y y km y y m +=-- 联立4x m x ky m⎧=⎪⎨⎪=+⎩，得244m M m km ⎛⎫- ⎪⎝⎭,.21144,m MA x y m km ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，()11AP m x y =--,由MA AP λ=，得2114m y y km λ--=-，得2141m kmy λ-=-. 同理MB BP μ=得2241m kmy μ-=-. 222212212124444222204y y m m m m kmkmy kmy km y y km m λμ+-----+=+-=⋅-=⋅-=-.【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题.本题中直线方程代入椭圆方程整理后得到1221224y y km y y m +=--和利用向量关系得到2141m kmy λ-=-和2241m kmy μ-=-为解决本题的关键，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．26．（1）22142x y +=；（2）存在，2k =±. 【分析】（1）根据题意可得c e a ==，222b a c =-，根据相切列出方程，解得,,c a b 进而可得椭圆的方程．（2）假设存在实数k 满足题意，直线l 的方程为y kx m =+，设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆的方程，可得关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得1212,x x x x +，化简计算2OA OB k k k ⋅=，即可解得k 的值．【详解】（1）2c e a ==， a ∴=又222,b a c =-,b c ∴=。

2020-2021学年北师大版高中数学选修1-1《命题》同步练习及答案

（新课标）最新北师大版高中数学选修1-1命题同步练习一,选择题:1.下面的命题正确的是： ( )（1）220,x y x y +≠“若、不全为零”的否命题。

（2）“正多边形都相似”的逆命题。

（3）.",,0"的逆否命题则若ad ac d c a <><（4）“若a 是无理数”的逆否命题。

A ．（1）（2）（3） B ．(1)(4) C ．(2)(3)(4) D ．(1)(3)(4)2．设原命题：若a+b ≥2，则a,b 中至少有一个不小于1.则原命题与其逆命题的真假情况是（）A ．原命题真，逆命题假B ．原命题假，逆命题真C ．原命题与逆命题均为真命题D ．原命题与逆命题均为假命题 3．命题：“若a 2+b 2=0（a , b ∈R ），则a=b=0”的逆否命题是（）A ．若a ≠b ≠0（a , b ∈R ），则a 2+b 2≠0B ．若a=b ≠0（a , b ∈R ），则a 2+b 2≠0C ．若a ≠0且b ≠0（a , b ∈R ），则a 2+b 2≠0D ．若a ≠0或b ≠0（a , b ∈R ），则a 2+b 2≠04.给出以下四个命题:（1）若0232=+-x x ，则21==x x 或（2）若0)3)(2(,32≤--<≤-x x x 则;(3) 若0==y x ，则022=+y x(4)若x 、y *∈N ，y x +是奇数，则x 、y 中一个是奇数，一个是偶数. 则（）A.（1）的逆命题真B.（2）的否命题真C.（3）的逆否命题假D.(4)的逆命题假5．下列四个命题中是真命题的是（）A.Φ=B A I ，则Φ=A 或Φ=BB.两条对角线相等的四边形是正方形C.U B U A U U B A ===或则为全集),(ID ．如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角互补.6.用反证法证明命题:若整数系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根,那么 a b c 、、中至少有一个是偶数,下列假设中正确的是: ( )A ．假设a b c 、、都是偶数B ．假设a b c 、、至多有个是偶数C ．假设a b c 、、都不是偶数D ．假设a b c 、、至多有两个是偶数7．命题“若a=0,则ab=0”的逆否命题是（）A、若ab=0,则a=0B、若a≠0，则ab≠0C、若ab=0,则a≠0D、若ab≠0，则a≠08．若x2－3x+2≠0是x≠1的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么A⌝的（）⌝是BA、充分条件B、必要条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件10.设命题甲：|x－2|＜3：命题乙：0＜x＜5；那么甲是乙的( )A．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C．充要条件 D.既不充分也不必要条件11.给定两个命题p、q，则可组成四个复合命题“┐p”、“┐q”、“p或q”、“p且q”,这四个复合命题中，真命题的个数为a，假命题的个数为b，则a、b的大小关系是（）A．a>b B．a<b C．a=b D．以上都不对12. 命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个13. “p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14．下列命题①“等边三角形的三内角均为60°”的逆命题②若k>0，则方程x 2+2x －k=0有实根“的逆命题 ③“全等三角形的面积相等”的否命题④“若ab ≠0，则a ≠0”的逆否命题，其中真命题的个数是（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个15. 如图电路中，规定“开关A 的闭合”为条件M ，“灯泡B 亮”为结论N ，观察以下图1和图2，可得出的正确结论分别是（）A ．M 是N 的充分而不必要条件.B 。

2019—2020年新课标北师大版高中数学选修1-1全册模块综合练习及答案答案解析.docx

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1模块同步练测建议用时实际用时满分实际得分45分钟一、选择题（每小题5分）1.下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②“若xy＝0，则|x|＋|y|＝0”的逆命题；③“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题；④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题.其中真命题共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.下列判断正确的是( )A.设x是实数，则“x＞1”是“｜x｜＞1”的充分不必要条件B.p:“x∈R,≤0”则有p:不存在x∈R,＞0C.命题“若=1,则x=1”的否命题为：“若=1，则x≠1”D.x∈(0,+∞),＞为真命题3.若集合A={1,},B={3,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.过点（2，4）作直线与抛物线=8x只有一个公共点，这样的直线有( )A.一条B.两条C.三条D.四条5.已知对任意的k∈R，直线y-kx-1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是( )A.（0，1）B.（0，5）C.［1，5）∪（5，+∞）D.［1，5）6.已知抛物线y=-+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A，B，则AB等于( )A.3B.4C.3D.47.已知抛物线=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-28.若原点到直线bx+ay=ab的距离等于+1，则双曲线-=1（a＞0，b＞0）的半焦距的最小值为( )A.2B.3C.5D.69.已知函数f(x)的导数为f′(x)＝4－4x，且f(x)的图象过点(0，－5)，当函数f(x)取得极大值－5时，x的值应为( )A．－1 B．0 C．1 D．±110.若函数f(x)＝a－3x在(－1,1)上单调递减，则实数a的取值范围是( )A．a＜1 B．a≤1C．0＜a＜1 D．0＜a≤1二、填空题（每小题5分）11.已知命题p:x∈R,a+2x+3≥0，如果命题p为真命题，则实数a的取值范围是.12.函数f(x)=-+3+9x+a在区间[-2,2]上的最大值是20,则它在该区间上的最小值是.13.下列四个结论中，正确的有(填序号).①若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件；②“是“一元二次不等式a＋bx＋c≥0的解集为R”的充要条件；③“x≠1”是“≠1”的充分不必要条件；④“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件.三、解答题14.（10分）设动点P（x，y）（y≥0）到定点F（0，1）的距离和它到直线y=-1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程.（2）设圆M过A（0，2），且圆心M在曲线C上，EG是圆M在x轴上截得的弦，试探究当M运动时，|EG|是否为定值?为什么?15.（12分）设p：实数x满足－4ax+3＜0，其中a＞0；q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.16.（12分）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝(1)写出年利润W(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)17.（14分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，2），点C满足=α+β，其中α，β∈R，且+=1.（1）求点C的轨迹方程；（2）过点D（2，0）的直线l和点C的轨迹交于不同的两点M，N，且M在D，N之间，=λ，求λ的取值范围1.B 解析：①是假命题，②是真命题，③是真命题，④是假命题.2.A 解析：A中x＞1|x|＞1,|x|＞1x＞1或x＜-1，所以正确;B中p:x∈R,＞0;C中否命题为：“若≠1，则x≠1”;D中x=时是错误的.3.A 解析：若m=2，A={1,4}，则A∩B={4}；反之，若A∩B={4}，则需=4，即m=±2.故“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件.4.B 解析：因为点（2，4）在抛物线上，则过点（2，4）的抛物线的切线只有一条.当斜率为0时，直线和对称轴平行，这时也只有一个公共点，则符合题意的直线有两条.5.C 解析：直线恒过定点（0，1），若直线与椭圆恒有公共点，只需点（0，1）在椭圆上或在椭圆内部，∴≤1.又m＞0且m≠5，∴m≥1且m≠5.6.C 解析：设A（，3-），B（，3-），由于A，B关于直线x+y=0对称，所以解得或设直线AB的斜率为k，则k=1，所以AB=|-|=3，故选C.7.B 解析：设A（，），B（，），则有=2p，=2p，两式相减得（-）（+）=2p（-）.又因为直线的斜率为1，所以=1，所以有+=2p.又线段AB的中点的纵坐标为2，即+=4，所以p=2，所以抛物线的准线方程为x=-=-1.8.D 解析：双曲线的半焦距c=（c＞0），由题意得=+1，∴ab=+c.∵+≥2ab，∴ab≤，∴≥+c.又∵c＞0，∴c≥6.故选D.9.B 解析：可以设f(x)＝－2＋c，其中c为常数．由于f(x)过(0，－5)，所以c＝－5.由f′(x)＝0，得极值点为x＝0或x＝±1.当x＝0时，f(x)＝－5，故x的值为0.10.B 解析：f′(x)＝3a－3，由题意知f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立．若a≤0，显然有f′(x)＜0；若a＞0，由f′(x)≤0，得－≤x≤，于是≥1，∴0＜a≤1.综上知a≤1.11.a＜解析：∵p为真命题，∴p为假命题.又当p为真命题时，需a+2x+3≥0恒成立，显然a=0时不正确，则需∴a≥，∴当p为假命题时，a＜.12.-7 解析：f′(x)＝－3+6x+9.令f′(x)＝0,得x＝-1或x＝3.∴f(x)在[-1,2]上单调递增.又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减,f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,∴f(2)＞f(-2).∴f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值.于是有22+a＝20,解得a＝－2.∴f(x)＝-+3+9x-2.∴f(-1)＝1+3-9-2＝－7,即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.13.①②④解析：∵原命题与其逆否命题等价，∴若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件.x≠1≠1，反例：x＝－1＝1，∴“x≠1”是“≠1”的不充分条件.x≠0x＋|x|＞0，反例：x＝－2x＋|x|＝0.但x＋|x|＞0x＞0x≠0，∴“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件.14.解：（1）如图，依题意知，动点P到定点F（0，1）的距离等于点P到直线y=-1的距离，故曲线C是以原点为顶点，F（0，1）为焦点的抛物线.∵=1，∴p=2.∴曲线C的方程是=4y.（2）设圆M的圆心为M（a，b），∵圆M过A（0，2），∴圆的方程为+=+.令y=0得-2ax+4b-4=0.设圆与x轴的两交点分别为（，0），（，0）.方法一：不妨设＞，由求根公式得=，=.∴-=.又∵点M（a，b）在抛物线=4y上，∴=4b.∴-==4，即|EG|=4.∴当M运动时，弦长|EG|为定值4.方法二：∵+=2a，·=4b-4，∴=-4·=-4（4b-4）=4-16b+16.又∵点M（a，b）在抛物线=4y上，∴=4b，∴=16，|-|=4，∴当M运动时，弦长|EG|为定值4.15.解：由－4ax+3＜0，得(x－3a)(x－a)＜0.又a＞0，所以a＜x＜3a.（1）当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3.由得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3.若p∧q为真，则p真q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3.（2）若p是q的充分不必要条件，即q，且p.设A={x|p},B={x|q},则A B，又A={x|p}={x|x≤a或x≥3a}，B={x|q}={x|x≤2或x＞3}，则有0＜a≤2且3a＞3，所以实数a的取值范围是1＜a≤2.16. 解：(1)当0<x≤10时，W(x)＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－－10；当x>10时，W(x)＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x.∴W(x)＝(2)①当0<x≤10时，由W′(x)＝8.1－＝0，得x＝9，且当x∈(0,9)时，W′(x)>0；当x∈(9,10］时，W′(x)<0，∴当x＝9时，W(x)取最大值，且＝8.1×9－×－10＝38.6.②当x>10时，W(x)＝98－(＋2.7x)≤98－2＝38，当且仅当＝2.7x，即x＝时，W()＝38，故当x＝时，W(x)取最大值38.综合①②知当x＝9时，W(x)取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．17.解：（1）设点C（x，y），∵=α+β，∴（x，y）=α（1，0）+β（0，2），∴即代入+=1，得点C的轨迹方程为+=1.（2）由已知得0＜λ＜1，设M（，），N（，），则由=λ，可得（-2，）=λ（-2，），∴即∵M，N在椭圆上，∴消去，得+（1-）=1，即-=1-.利用平方差公式整理得=（λ≠1）.∵||≤1，∴||≤1，解得≤λ≤3，且λ≠1. 又0＜λ＜1，∴λ的取值范围是[，1).。

2020-2021学年北师大版高中数学选修1-1《椭圆》同步练测及解析

（新课标）最新北师大版高中数学选修1-11 椭圆同步练测1.已知椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（）A.14 B.12C.2D.4 2.已知椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，O 为原点，F 为右焦点，点M 是椭圆右准线l 上（除去与x 轴的交点）的动点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，则线段ON 的长为（）A.cB.bC.aD.不确定 3.已知曲线C 上的动点M(x,y)和向量a=(x+2,y), b=(x-2,y)满足|a|+|b|=6,则曲线C 的离心率是( )A.23 B. D.134.平面内有两定点,A B 及动点，设命题甲：“||PA +是定值”，命题乙：“点的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆”，那么（）A.甲是乙成立的充分不必要条件B.甲是乙成立的必要不充分条件C.甲是乙成立的充要条件D.甲是乙成立的既不充分也不必要条件5.如果椭圆上两点间的最大距离是，那么（） A.32B.16C.8D.46.中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为12，则椭圆方程为（）A.B. C.D.7.已知点P 是椭圆221625400x y +=上一点，且在x 轴上方，12F ,F 分别是椭圆的左、右焦点，直线2PF的斜率为-12PF F △的面积是（） A. B. C. D.8.椭圆222212x y a a +=与连接两点的线段没有公共点，则正数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）9.椭圆22221(0)x y a b a b+>>＝的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于A,B 两点，若FAB △的周长最大时，FAB △的面积为ab ，则椭圆的离心率为.10.若焦点在轴上的椭圆2221(0)45x y b b+=>上存在一点，它与两焦点的连线互相垂直，则的取值范围是.11.已知点1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，是圆22142：F x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭(为圆心)上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹方程为．12.已知椭圆长轴上一个顶点为，以为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则该三角形的面积是．三、解答题（本题共3小题，共36分）13.（本小题满分12分）已知椭圆221259y x +＝的上、下焦点分别为2F 和1F ，点(13)A -，.（1）在椭圆上有一点M ，使2F M MA +的值最小，求最小值；（2）当2F M MA +取最小值时，求2AMF △的周长14.（本小题满分12分）已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且离心e . （1）求椭圆的方程；（2）直线（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点，且线段中点的横坐标为12-，求直线倾斜角的取值范围.15.（本小题满分12分）已知向量，，，(其中是实数).又设向量，，且∥，点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程；（2）设直线与曲线交于两点，当||MN时，求直线的方程一、选择题1.A 解析：椭圆方程可化为22111x y m+=,短半轴长为1，所14m =. 2.C 解析：由题意可设(0)F c ，，点2a M ,m c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2OM mc k a =.由题意可得OM FN ⊥，∴ FN 的方程为20()a y x c mc-=--，整理方程，得2()a my x c c =--，即22a my x a c+=.①∵ 过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，∴ ON NM ⊥，即1ON NM k k =-•.设()N x y ，，则21y y m •a x x c-=--.整理，得222a x y x my c +=+.② 联立①②，得2222a x y x my a c+=+=，∴ON a ．3.A 解析：|a|+|b|=6表示动点M 到两定点(-2,0),(2,0)的距离之和为6,所以曲线C 是以(-2,0),(2,0)为焦点,以6为长轴长的椭圆,故离心率e==.4.B 解析：若点的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆,则是定值；当时，是定值，但此时点的轨迹是线段,所以甲是乙成立的必要不充分条件.5.B 解析：由题意得.将椭圆方程化为2214x y k k +=.由04kk >>，得. 6.C 解析：由题意设椭圆方程为221(0)50x y m m m +=>+,与直线方程联立，得22150320x y m m x y ⎧+=⎪+⎨⎪--=⎩，，消去并整理，得.由弦的中点的横坐标为12,可得1211050mm =+,解得.所以椭圆方程为2212575x y +=. 7.C 解析：∵ 椭圆221625400x y +=化成标准形式为22=12516x y +，∴ 222516a b ==，，可得3c .∴ 椭圆的焦点为130F -（，），230F （，）. 设位于椭圆x 轴上方弧上的点为(,)m n，则22=12516 0=3m n n m ⎧+⎪⎪⎨-⎪-⎪-⎩，解得52m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，（负值舍去）.∴ △12PF F的面积162S =⨯⨯8.A 解析：由题意得，当点在椭圆222212x y a a +=的外部或点在椭圆222212x y a a +=的内部时，椭圆222212x y a a +=与连接两点的线段没有公共点，所以221412a a +>或224912a a +<,解得或. 二、填空题解析：设椭圆的右焦点E ．由椭圆的定义得FAB △的周长为(2)(2)AB AF BF AB a AE a BE ++=+-+-4a AB AE BE =+--.∵ AE BE AB +≥,∴ 0AB AE BE --≤，当AB 过点E 时取等号.∴ FAB △的周长44AB AF BF a AB AE BE a ++=+--≤. ∴ FAB △的周长的最大值是4a .此时FAB △的面积为21222b c ab a⨯⨯=，∴ 22a bc =.平方,得42224()a a c c =-,即424410e e -+=，∴e10.⎛ ⎥⎝⎦解析：设椭圆222145x y b +=的上顶点为，焦点为,椭圆2221(0)45x y b b +=>上存在一点与两焦点的连线互相垂直,则1290F AF ∠︒≥.由余弦定理可得2222112|||||0AF AF F F +-≤，即22240a a c +-≤,所以222222()a c a b =-≤，即2245b ≤，解得0b <. 11.22413x y +=解析：由题意可得.又，所以点的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，其中12c =，,213144b =-=,所以椭圆方程为22413x y +=. 12.1625解析：原方程可化为2214x y +=,，，所以，，.不妨设A 为右顶点，设所作的等腰直角三角形与椭圆的一个交点为，可得，代入曲线方程得45y =，所以21162225S y =⨯=.三、解答题13.解：由题意知534a ,b ,c ===，1(04)F -，，2(04)F ，，1AF =∵ M 是椭圆上任一点，∴ 12210MF MF a +==，∴2111210()1010≥=F M MA a MF MA MF MA AF +=-+=----. 等号当且仅当11MF MA AF -=时成立，此时点1M ,A,F 共线． ∴ 2F M MA +的最小值为10（2）当2F M MA +取最小值时，点1M ,A,F 共线．2AMF △的周长221010l MF MA AF =++=+=- 14.解：（1）设椭圆方程为22221y x a b+=.，c a ，所以，所以. 故所求椭圆方程为2219y x +=.（2）设直线的方程为，代入椭圆方程整理，得.由题意得222122(2)4(9)(9)0,21,9kb k b kbx x k ⎧=-+->⎪⎨+=-=-⎪+⎩∆解得或. 又直线与坐标轴不平行，故直线倾斜角的取值范围是πππ2π,,3223⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U .15.解：（1）由题意得22(0,),x x =+=m，(,0)(x x =-=n .因为∥m n2(((0x x -+=，即所求曲线的方程是2212x y +=.（2）由22121x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去，得，解得12240,12kx x k ==-+.由12MN x -=,解得. 所以直线的方程为或。

北师大版高三数学选修1-1《1.2充分条件》同步测试卷及答案

北师大版高三数学选修1-1《1.2充分条件》同步测试卷及答案充分条件同步练习一、选择题：1．有三个语句：⑴2x <；⑵210x -=；⑶20,()x x R <∈，其中是真命题的为（）A ．⑴ ⑵B ．⑴ ⑶C ．⑵D ．⑶2．下列语句中是命题的为（）A ．你到过北京吗？B ．对顶角难道不相等吗？C ．啊！我太高兴啦！D 2是无理数3．有下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形；④方程21x =的解1x =±。

其中，复合命题有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．“220a b +≠”的含义为（）A ．,a b 不全为0B ． ,a b 全不为0C ．,a b 至少有一个为0D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为5．若命题“⌝p ”与命题“p ∨q ”都是真命题，那么（）A ．命题p 与命题q 的真值相同B ．命题q 一定是真命题C ．命题q 不一定是真命题D ．命题p 不一定是真命题6．命题p ：若A B B =，则A B ⊆；命题q ：若A B ⊄，则A B B ≠。

那么命题p 与命题q 的关系是（）A ．互逆B ．互否C ．互为逆否命题D ．不能确定7．若A ：a ∈R,|a |<1, B ：x 的二次方程x 2+(a +1)x +a －2=0的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．有下列四个命题：①“若x+y=0 , 则x ,y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1 ,则x 2 + 2x+q=0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题为（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④9．设集合A={x |x 2+x －6=0},B={x |m x +1=0} ,则B 是A 的真子集的一个充分不必要的条件是（）A ．11,23m ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭B ．m=21-C ．110,,23m ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭D ．10,3m ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭10．设集合M={x| x>2},P={x|x<3},那么“x ∈M,或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：11．命题“若△ABC 不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是；12．已知各个命题A 、B 、C 、D ，若A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充分必要条件，试问D 是A 的条件（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）；13．“△ABC 中,若∠C=90°,则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为；14．用“充分、必要、充要”填空：①p ∨q 为真命题是p ∧q 为真命题的______条件；②⌝p 为假命题是p ∨q 为真命题的______条件；③A ：|x － 2 |<3, B ：x 2－ 4x － 15<0, 则A 是B 的_____条件.三、解答题：15．写出下列命题的“⌝P ”命题：（1）正方形的四边相等。

2019—2020年新课标北师大版高中数学选修1-1全册质量试题试题及答案答案解析.docx

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1高二数学选修1－1质量检测试题（卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至6页。

考试结束后. 只将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 顶点在原点，且过点(4,4)-的抛物线的标准方程是A.24y x=- B.24x y=C.24y x=-或24x y= D.24y x=或24x y=-2. 椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为A.22110084x y+= B.221259x y+=C.22110084x y+=或22184100x y+= D.221259x y+=或221259y x+=3.如果方程22143x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 A.34m << B. 72m >C. 732m <<D.742m << 4.“5,12k k Z αππ=+∈”是“1sin 22α=”的 A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分又不必要条件5. 已知函数2sin y x x =，则y '＝A. 2sin x xB.2cos x x C. 22sin cos x x x x + D. 22cos sin x x x x +6. 已知(2)2f =-，(2)(2)1f g '==，(2)2g '=，则函数()()g x f x 在2x =处的导数值为A. 54-B.54C.5-D. 5 7. 已知两定点1(5,0)F ，2(5,0)F -，曲线上的点P 到1F 、2F 的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为 A.221916x y -= B.221169x y -= C.2212536x y -= D. 2212536y x -= 8.设P 是椭圆221169x y +=上的点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF +的值为A. 10B. 8C. 6D. 49.命题“a, b 都是偶数，则a 与b 的和是偶数”的逆否命题是A. a 与b 的和是偶数，则a, b 都是偶数B. a 与b 的和不是偶数，则a, b 都不是偶数C. a, b 不都是偶数，则a 与b 的和不是偶数D. a 与b 的和不是偶数，则a, b 不都是偶数10 .若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为210x y +-=，则A. 00()f x '>B. 00()f x '<C. 00()f x '=D. 0()f x '不存在11．以下有四种说法，其中正确说法的个数为：（1）“m 是实数”是“m 是有理数”的充分不必要条件；（2）“a b >”是“22a b >”的充要条件；（3） “3x =”是“2230x x --=”的必要不充分条件；（4）“A B B =”是“A φ=”的必要不充分条件.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个12. 双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为A ．6B ．5C ．3D ．2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

北师大版高中数学选修1-1同步练测：第一章§1命题(含答案详解).docx

一、选择题（本题共6小题，每小题8分，共48分）1.命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A.若一个数是负数，则它的平方不是正数B.若一个数的平方是正数，则它是负数C.若一个数不是负数，则它的平方不是正数D.若一个数的平方不是正数，则它不是负数2. 命题“若a＞b，则a－1＞b－1”的逆否命题是( )A.若a－1≤b－1，则a≤bB.若a＜b，则a－1＜b－1C.若a－1＞b－1，则a＞bD.若a≤b，则a－1≤b－13.命题“若∠A=60°,则△AAA是等边三角形”的否命题是( )A.假命题B.与原命题同真同假C.与原命题的逆否命题同真同假D.与原命题的逆命题同真同假4.用反证法证明命题“√2+√3是无理数”时,假设正确的是（）A.假设√2是有理数B.假设√3是有理数C.假设√2或√3是有理数D.假设√2+√3是有理数5.原命题为“圆内接四边形是等腰梯形”,则下列说法正确的是( )A.原命题是真命题B.逆命题是假命题C.否命题是真命题D.逆否命题是真命题6.与命题“若A∈A,则A∉A”等价的命题是（）A.若A∉A,则A∉AB.若A∉A，则A∈AC.若A∉A，则A∈AD.若A∈A，则A∉A二、填空题（本题共2小题，每小题4分，共8分）7.给出下列命题：①原命题为真,它的否命题为假；②原命题为真,它的逆命题不一定为真；③若命题的逆命题为真,则它的否命题一定为真；④若命题的逆否命题为真,则它的否命题一定为真；⑤“若A>1，则AA2−2(A+1)A+A+3>0的解集为R”的逆命题.其中真命题是________.(把你认为正确命题的序号都填在横线上)8.命题“正方形的四条边相等”的否命题是 .三、解答题（本题共3小题，共44分）9.（本小题满分14分）分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假. （1）若A<1，则方程A2+2A+A=0有实根；（2）若A2+A2=0,则实数A,A全为零. 10.（本小题满分14分）已知下列三个方程：A2+ 4AA−4A+3=0,A2+ (A−1)A+A2= 0，A2+2AA−2A=0，其中至少有一个方程有实数根，求实数A的取值范围.11.（本小题满分16分）已知函数A(A)是(−∞,+∞)上的增函数，A，A∈A,若A(A)+A(A)≥A(−A)+A(−A),求证：A+A≥0.答题纸得分：_________一、选择题二、填空题7.______________ 8.______________三、解答题9.解：10.解：11.解：参考答案一、选择题1.B 解析：一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．2. A 解析：由逆否命题的定义可得.要注意“＞”的否定是“≤”.3.D 解析：“若∠A=60°,则△AAA是等边三角形”的否命题是真命题，且否命题与逆命题同真同假.4.D 解析：用反证法证明命题时，先假设命题结论不成立，即假设√2+√3是有理数.5.C 解析：圆内接四边形也可能是矩形，故原命题不正确；逆命题：“等腰梯形是圆内接四边形”是真命题，所以否命题也是真命题，故选C.6.D 解析：因为原命题与逆否命题是等价命题，所以只需找出原命题的逆否命题即可．故选D.二、填空题7.②③⑤解析：原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题的两个命题同真同假，故①④错误，②③正确．因为不等式AA2−2(A+1)A+A+3>0的解集为R，所以由{A=4(A+1)2−4A(A+3)<0，A>0，解得A>1.故⑤正确．8. “若一个四边形不是正方形，则它的四条边不都相等”解析：因为一个命题的否命题是将原命题的条件与结论都否定，因此否命题为“若一个四边形不是正方形，则它的四条边不都相等”.三、解答题9.解：（1）逆命题：若方程A2+2A+A=0有实根，则A<1，假命题.否命题：若A≥1，则方程A2+2A+A=0无实根，假命题.逆否命题：若方程A2+2A+A=0无实根，则A≥1，真命题.（2）逆命题：若实数A,A全为零，则A2+A2=0，真命题.否命题：若A2+A2≠0，则实数A,A不全为零，真命题.逆否命题：若实数A,A不全为零，则A2+A2≠0，真命题．10.解：假设三个方程A2+4AA−4A+3=0,A2+ (A−1)A+A2=0，A2+2AA−2A=0都没有实数根，则有{(4A)2−4(−4A+3)<0，(A−1)2−4A2<0，(2A)2−4(−2A)<0，解得{−32<A<12，A>13或A<−1，−2<A<0，即−32<A<−1.因此若三个方程中至少有一个方程有实数根，则A的取值范围是{A|A≥−1或A≤−32}.11.证明：若A+A<0,则A<−A，A<−A.因为函数A(A)是(−∞,+∞)上的增函数，所以A(A)<A(−A)，A(A)<A(−A).所以A(A)+A(A)<A(−A)+A(−A).这表明，原命题的逆否命题为真命题，所以原命题为真命题.。

北师大版高中数学选修1-1模块同步练测.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作模块同步练测（北京师大版选修1-1）建议用时实际用时满分实际得分45分钟一、选择题（每小题5分）1.下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②“若xy＝0，则|x|＋|y|＝0”的逆命题；③“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题；④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题.其中真命题共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.下列判断正确的是( )A.设x是实数，则“x＞1”是“｜x｜＞1”的充分不必要条件B.p:“x∈R,≤0”则有p:不存在x∈R,＞0C.命题“若=1,则x=1”的否命题为：“若=1，则x≠1”D.x∈(0,+∞),＞为真命题3.若集合A={1,},B={3,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.过点（2，4）作直线与抛物线=8x只有一个公共点，这样的直线有( )A.一条B.两条C.三条D.四条5.已知对任意的k∈R，直线y-kx-1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是( )A.（0，1）B.（0，5）C.［1，5）∪（5，+∞）D.［1，5）6.已知抛物线y=-+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A，B，则AB等于( )A.3B.4C.3D.47.已知抛物线=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-28.若原点到直线bx+ay=ab的距离等于+1，则双曲线-=1（a＞0，b＞0）的半焦距的最小值为( )A.2B.3C.5D.69.已知函数f(x)的导数为f′(x)＝4－4x，且f(x)的图象过点(0，－5)，当函数f(x)取得极大值－5时，x的值应为( )A．－1 B．0 C．1 D．±110.若函数f(x)＝a－3x在(－1,1)上单调递减，则实数a的取值范围是( )A．a＜1 B．a≤1C．0＜a＜1 D．0＜a≤1二、填空题（每小题5分）11.已知命题p:x∈R,a+2x+3≥0，如果命题p为真命题，则实数a的取值范围是.12.函数f(x)=-+3+9x+a在区间[-2,2]上的最大值是20,则它在该区间上的最小值是.13.下列四个结论中，正确的有(填序号).①若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件；②“是“一元二次不等式a＋bx＋c≥0的解集为R”的充要条件；③“x≠1”是“≠1”的充分不必要条件；④“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件.三、解答题14.（10分）设动点P（x，y）（y≥0）到定点F（0，1）的距离和它到直线y=-1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程.（2）设圆M过A（0，2），且圆心M在曲线C上，EG是圆M在x轴上截得的弦，试探究当M运动时，|EG|是否为定值?为什么?15.（12分）设p：实数x满足－4ax+3＜0，其中a＞0；q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.16.（12分）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝(1)写出年利润W(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)17.（14分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，2），点C满足=α+β，其中α，β∈R，且+=1.（1）求点C的轨迹方程；（2）过点D（2，0）的直线l和点C的轨迹交于不同的两点M，N，且M在D，N之间，=λ，求λ的取值范围1.B 解析：①是假命题，②是真命题，③是真命题，④是假命题.2.A 解析：A中x＞1|x|＞1,|x|＞1x＞1或x＜-1，所以正确;B中p:x∈R,＞0;C中否命题为：“若≠1，则x≠1”;D中x=时是错误的.3.A 解析：若m=2，A={1,4}，则A∩B={4}；反之，若A∩B={4}，则需=4，即m=±2.故“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件.4.B 解析：因为点（2，4）在抛物线上，则过点（2，4）的抛物线的切线只有一条.当斜率为0时，直线和对称轴平行，这时也只有一个公共点，则符合题意的直线有两条.5.C 解析：直线恒过定点（0，1），若直线与椭圆恒有公共点，只需点（0，1）在椭圆上或在椭圆内部，∴≤1.又m＞0且m≠5，∴m≥1且m≠5.6.C 解析：设A（，3-），B（，3-），由于A，B关于直线x+y=0对称，所以解得或设直线AB的斜率为k，则k=1，所以AB=|-|=3，故选C.7.B 解析：设A（，），B（，），则有=2p，=2p，两式相减得（-）（+）=2p（-）.又因为直线的斜率为1，所以=1，所以有+=2p.又线段AB的中点的纵坐标为2，即+=4，所以p=2，所以抛物线的准线方程为x=-=-1.8.D 解析：双曲线的半焦距c=（c＞0），由题意得=+1，∴ab=+c.∵+≥2ab，∴ab≤，∴≥+c.又∵c＞0，∴c≥6.故选D.9.B 解析：可以设f(x)＝－2＋c，其中c为常数．由于f(x)过(0，－5)，所以c＝－5.由f′(x)＝0，得极值点为x＝0或x＝±1.当x＝0时，f(x)＝－5，故x的值为0.10.B 解析：f′(x)＝3a－3，由题意知f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立．若a≤0，显然有f′(x)＜0；若a＞0，由f′(x)≤0，得－≤x≤，于是≥1，∴0＜a≤1.综上知a≤1.11.a＜解析：∵p为真命题，∴p为假命题.又当p为真命题时，需a+2x+3≥0恒成立，显然a=0时不正确，则需∴a≥，∴当p为假命题时，a＜.12.-7 解析：f′(x)＝－3+6x+9.令f′(x)＝0,得x＝-1或x＝3.∴f(x)在[-1,2]上单调递增.又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减,f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,∴f(2)＞f(-2).∴f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值.于是有22+a＝20,解得a＝－2.∴f(x)＝-+3+9x-2.∴f(-1)＝1+3-9-2＝－7,即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.13.①②④解析：∵原命题与其逆否命题等价，∴若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件.x≠1≠1，反例：x＝－1＝1，∴“x≠1”是“≠1”的不充分条件.x≠0x＋|x|＞0，反例：x＝－2x＋|x|＝0.但x＋|x|＞0x＞0x≠0，∴“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件.14.解：（1）如图，依题意知，动点P到定点F（0，1）的距离等于点P到直线y=-1的距离，故曲线C是以原点为顶点，F（0，1）为焦点的抛物线.∵=1，∴p=2.∴曲线C的方程是=4y.（2）设圆M的圆心为M（a，b），∵圆M过A（0，2），∴圆的方程为+=+.令y=0得-2ax+4b-4=0.设圆与x轴的两交点分别为（，0），（，0）.方法一：不妨设＞，由求根公式得=，=.∴-=.又∵点M（a，b）在抛物线=4y上，∴=4b.∴-==4，即|EG|=4.∴当M运动时，弦长|EG|为定值4.方法二：∵+=2a，·=4b-4，∴=-4·=-4（4b-4）=4-16b+16.又∵点M（a，b）在抛物线=4y上，∴=4b，∴=16，|-|=4，∴当M运动时，弦长|EG|为定值4.15.解：由－4ax+3＜0，得(x－3a)(x－a)＜0.又a＞0，所以a＜x＜3a.（1）当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3.由得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3.若p∧q为真，则p真q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3.（2）若p是q的充分不必要条件，即q，且p.设A={x|p},B={x|q},则A B，又A={x|p}={x|x≤a或x≥3a}，B={x|q}={x|x≤2或x＞3}，则有0＜a≤2且3a＞3，所以实数a的取值范围是1＜a≤2.16. 解：(1)当0<x≤10时，W(x)＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－－10；当x>10时，W(x)＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x.∴W(x)＝(2)①当0<x≤10时，由W′(x)＝8.1－＝0，得x＝9，且当x∈(0,9)时，W′(x)>0；当x∈(9,10］时，W′(x)<0，∴当x＝9时，W(x)取最大值，且＝8.1×9－×－10＝38.6.②当x>10时，W(x)＝98－(＋2.7x)≤98－2＝38，当且仅当＝2.7x，即x＝时，W()＝38，故当x＝时，W(x)取最大值38.综合①②知当x＝9时，W(x)取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．17.解：（1）设点C（x，y），∵=α+β，∴（x，y）=α（1，0）+β（0，2），∴即代入+=1，得点C的轨迹方程为+=1.（2）由已知得0＜λ＜1，设M（，），N（，），则由=λ，可得（-2，）=λ（-2，），∴即∵M，N在椭圆上，∴消去，得+（1-）=1，即-=1-.利用平方差公式整理得=（λ≠1）.∵||≤1，∴||≤1，解得≤λ≤3，且λ≠1.又0＜λ＜1，∴λ的取值范围是[，1).。

高中数学同步测试卷(九)北师大数学选修1-1

高中同步测试卷(九)章末检测变化率与导数 (时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )在x ＝a 处有导数，则lim h →af （h ）－f （a ）h －a为( )A ．f (a )B ．f ′(a )C ．f ′(h )D ．f (h )2．下列求导正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x 2′＝2x cos x ＋sin x ·x 2x 4B ．(ln x )′＝log a xC ．(x 3e x)′＝3x 2e x＋x 3e xD ．(e －x·sin x )′＝e 2x·cos x3．曲线y ＝x 2＋3x 在点A (2，10)处的切线的斜率是( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．74．设某商品的需求函数为Q ＝100－5P ，其中Q ，P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQEP 大于1，其中EQ EP ＝－Q ′QP ，Q ′是Q 的导数，则商品价格P 的取值范围是( ) A ．(0，10) B ．(10，20) C ．(20，30)D ．(20，＋∞)5．过点(－1，0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( ) A ．2x ＋y ＋2＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝06．设a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为( )A ．y ＝3x ＋1B ．y ＝－3xC ．y ＝－3x ＋1D ．y ＝3x7．设质点M 作匀速圆周运动，其角速度为ω rad/s ，则它在x 轴上的射影的运动速度为(设圆的半径为R )( )A ．v x ＝R cos ωtB ．v x ＝－R sin ωtC ．v x ＝－Rωsin ωtD ．v x ＝－R sin t8．若函数y ＝exx在x ＝x 0处的导数值与函数值互为相反数，则x 0的值( )A ．等于0B ．等于1C ．等于12D ．不存在9．设a ∈R ，函数f (x )＝e x＋a ·e －x的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数．若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( )A ．ln 2B ．－ln 2 C.ln 22D ．－ln 2210．设函数y ＝x sin x ＋cos x 的图像上的点(x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，若k ＝g (x 0)，则函数k ＝g (x 0)的图像大致为( )11．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，则在一段时间[1，1＋Δt ]内质点运动的平均速度为( )A ．3Δt ＋6B ．－3Δt ＋6C ．3Δt －6D ．－3Δt －612．若函数f (x )＝－x 2＋10的图象上一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，314及邻近一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx ，314＋Δy ，则Δy Δx ＝( )A ．3B ．－3C ．－3－(Δx )2D ．－Δx －3题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案13．如图所示，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则f (f (0))＝________；函数f (x )在x ＝1处的导数f ′(1)＝________．14．G (x )表示函数y ＝2cos x ＋3的导函数，在区间[－π3，π]上，随机取值a ，则G (a )<1的概率P为________．15．若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则α＝________．16．曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1，1)处的切线方程为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)质点的运动方程是s(t)＝1t4(其中s的单位：m，t的单位：s)，求质点在t＝3时的速度．18．(本小题满分12分)设函数f(x)在x＝2处可导，且f′(2)＝1，求limh→a f（2＋h）－f（2－h）2h.19.(本小题满分12分)已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，是否存在实数x，使x满足f′(x)＋g′(x)≤0?20．(本小题满分12分)设f()x＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′()x满足f′()1＝2a，f′()2＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f()x在点()1，f()1处的切线方程．21.(本小题满分12分)已知曲线y＝x3－6x2－x＋6，(1)求曲线上斜率最小的切线方程及切点P的坐标；(2)求证：曲线关于点P对称．22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)求证：曲线y ＝f (x )上任意一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．参考答案与解析1．解析：选B.由f (x )在x ＝a 处有导数知f ′(a )＝lim h →af （h ）－f （a ）h －a.2．解析：选C.(x 3e x)′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x.3．解析：选D.由导数的几何意义知，曲线y ＝x 2＋3x 在点A (2，10)处的切线的斜率就是函数y ＝x 2＋3x 在x ＝2时的导数，y ′|x ＝2＝7，故选D.4．解析：选B.Q ′＝－5，EQ EP ＝5P 100－5P ，由题意5P100－5P>1，即5P >100－5P >0，所以10<P <20.5．[导学号06140053] 解析：选D.y ′＝2x ＋1，设切点坐标为(x 0，y 0)，则切线的斜率为2x 0＋1，且y 0＝x 20＋x 0＋1，所以切线方程为y －x 20－x 0－1＝(2x 0＋1)(x －x 0)．又因为点(－1，0)在切线上，代入切线方程，可解得x 0＝0或x 0＝－2，经验证，可知D 正确．6．解析：选B.因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －3为偶函数，所以a ＝0，所以f (x )＝x 3－3x ，f ′(0)＝－3，所以所求切线方程为y ＝－3x ，故选B.7．解析：选C.质点的运动轨迹是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝R cos ωt ，y ＝R sin ωt ，则v x ＝－Rωsin ωt .8．[导学号06140054] 解析：选C.由于y ＝e xx ，所以f (x 0)＝e x 0x 0.又因为y ′＝e x ·x －e x x 2＝e x（x －1）x 2，所以f ′(x 0)＝e x 0（x 0－1）x 2，依题意f (x 0)＋f ′(x 0)＝0，所以e x 0x 0＋e x 0（x 0－1）x 2＝0. 所以2x 0－1＝0，所以x 0＝12，故选C.9．解析：选A.函数f (x )＝e x＋a ·e －x的导函数是f ′(x )＝e x －a ·e －x.又f ′(x )是奇函数，所以f ′(x )＝－f ′(－x )，即e x －a ·e －x ＝－(e －x －a ·e x )，则e x (1－a )＝e －x(a －1)，所以(e 2x ＋1)(1－a )＝0，解得a ＝1.所以f ′(x )＝e x －e －x .令e x －e －x ＝32，解得e x ＝2或e x＝－12(舍去，因为e x＞0)，所以x ＝ln 2.10．[导学号06140055] 解析：选A.y ′＝(x sin x ＋cos x )′＝(x sin x )′＋(cos x )′＝sin x ＋x (sin x )′－sin x ＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，k ＝g (x 0)＝x 0cos x 0为奇函数，排除B 、C ；当x 0∈(0，π2)时，k >0，排除D.故选A. 11．解析：选D.因为Δs ＝5－3(1＋Δt )2－(5－3×12)＝－3(Δt )2－6Δt ，所以v ＝Δs Δt ＝－3（Δt ）2－6ΔtΔt＝－3Δt －6.12．解析：选D.因为Δy ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－3Δx －(Δx )2，所以Δy Δx ＝－3Δx －（Δx ）2Δx＝－3－Δx .13．解析：f (0)＝4，f (f (0))＝f (4)＝2，当x ∈(1，2)时，f (x )＝－2x ＋4，f ′(x )＝－2，所以f ′(1)＝－2.答案：2 －214．解析：y ′＝(2cos x ＋3)′＝－2sin x ，G (x )＝－2sin x ，由G (a )<1得sin a >－12，又a ∈[－π3，π]，所以－π6<a ≤π，故P ＝π－（－π6）π－（－π3）＝78.答案：7815．解析：因为y ′＝α·xα－1，所以在点(1，2)处的切线斜率k ＝α，则切线方程为y－2＝α(x －1)．又切线过原点，故0－2＝α(0－1)，解得α＝2.答案：216．解析：因为y ′＝3ln x ＋1＋3，所以曲线在点(1，1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.答案：y ＝4x －317．[导学号06140056] 解：由s (t )＝1t4得s ′(t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 4′＝(t －4)′＝－4t －5，所以s ′(3)＝－4×3－5＝－4243m/s.所以质点在t ＝3时的速度为－4243(m/s)．18．解：由已知条件和导数的定义得： lim Δx →0f （2＋Δx ）－f （2）Δx＝f ′(2)＝1.当Δx ＝h 时，lim h →0f （2＋h ）－f （2）h ＝lim h →0 f （2）－f （2－h ）h＝1，所以lim h →0f （2＋h ）－f （2－h ）2h ＝lim h →0 f （2＋h ）－f （2）＋[f （2）－f （2－h ）]2h＝12×(1＋1)＝1. 19．解：假设存在满足f ′(x )＋g ′(x )≤0的x . 因为f ′(x )＝－sin x ，g ′(x )＝1，且f ′(x )＋g ′(x )≤0，所以－sin x ＋1≤0，故sin x ≥1. 因此只有当sin x ＝1时可满足条件，故x ＝2k π＋π2(k ∈Z )．所以存在x ＝2k π＋π2(k ∈Z )，使f ′(x )＋g ′(x )≤0成立．20．解：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b .由已知f ′(1)＝2a ，因此3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.又令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，由已知f ′(2)＝－b ，因此12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.因此f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又f ′(1)＝2×(－32)＝－3，故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －(－52)＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.21．[导学号06140057] 解：(1)y ′＝3x 2－12x －1＝3(x －2)2－13，当x ＝2时，y ′min ＝－13，所以切线斜率最小值为－13，此时切点为P (2，－12)，切线方程为y ＋12＝－13(x －2)，即13x ＋y －14＝0.(2)证明：设M 1(x 1，y 1)为曲线上任一点，M 1关于P (2，－12)的对称点为M 2(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝－24，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4－x 1，y 2＝－24－y 1. 因为M 1(x 1，y 1)为曲线上任一点，所以y 1＝x 31－6x 21－x 1＋6，又x 32－6x 22－x 2＋6＝(4－x 1)3－6(4－x 1)2－(4－x 1)＋6＝－(x 31－6x 21－x 1＋6)－24＝－y 1－24＝y 2，所以y 2＝x 32－6x 22－x 2＋6，所以M 2也在曲线上，从而命题得证．22．[导学号06140058] 解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，即f (2)＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任意一点，由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程y－y 0＝(1＋3x 20)(x －x 0)，即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20)(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得到切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0)．令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得到切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0，2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12×|－6x 0|×|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任意一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为6.。