第42课时——不等式的证明(2)
《不等式的证明》课件
练习与拓展
练习题
通过练习题巩固对不等式的理解 和运用，提升解题能力。
应用案例
通过实际应用案例，将不等式与 实际问题相结合，展示不等式在 实际中的应用价值。
拓展阅读
推荐一些经典的数学书籍，深入 了解不等式的更多内容和应用。
总结与展望
不等式作为数学中的重要概念，具有广泛的应用价值。今后的学习方向可以 包括更复杂的不等式证明和更广泛的不等式应用，为自己的数学发展铺就坚 实的基础。
常见不等式与证明
平均值不等式
通过平均值不等式，可以证明两个数的平均值 大于等于它们的几何平均数。
阿姆-高斯不等式
阿姆-高斯不等式是一种描述算术平均数和几何 平均数之间关系的不等式。
柯西-施瓦茨不等式
柯西-施瓦茨不等式是一种描述向量内积的不等 式，可以用于证明其他数学不等式。
杨辉不等式
杨辉不等式是由杨辉三角形引出的一类不等式， 可以用于证明数列的性质。
《不等式的证明》PPT课 件
这是一门关于不等式证明的课件，通过简洁明了的排版和生动的图像来讲解 不等式的定义、性质、证明方法以及常见的不等式及其证明。
什么是不等式？
不等式是数学中用于表达两个数或两个数集之间关系的一种表示方法。不等式与等式有所不同，不等式可以描 述丰富的数值关系，而等式只表示相等关系。
不等式的证明方法
1
数学归纳法
通过归纳递推法证明不等式的成立，逐步展示每个步骤的正确性。
2
反证法
通过假设不等式不成立，推导出矛盾结论，从而证明不等式的正确性。
3
差值法
通过构造适当的差值，将不等式转化为易于证明的形式。
4
替换法
通过替换不等式中的数值或变量，将不等式转化为已知的等式或不等式。
不等式的性质证明
不等式的性质证明不等式是数学中常见的概念，它描述了两个数、两个算式或两个函数之间的大小关系。
在数学研究和实际问题中，不等式的性质具有重要的意义。
本文将深入探讨不等式的基本性质，并进行相应的证明。
一、不等式的基本性质1. 传递性：对于任意的实数a、b、c，若a < b，b < c，则有a < c。
即如果一个数小于另一个数，而另一个数又小于另一个数，那么第一个数一定小于第三个数。
证明：设a < b，b < c，用反证法。
假设a ≥ c，那么由于a < b，根据传递性得知b ≥ c，与b < c矛盾。
故假设不成立，得证。
2. 加法性：对于任意的实数a、b、c，若a < b，则有a + c < b + c。
即两个不等式的同侧同时加上一个相同的数，不等号的方向不变。
证明：设a < b，用反证法。
假设a + c ≥ b + c，那么由于a < b，根据传递性得知a + c < b + c，与假设矛盾。
故假设不成立，得证。
3. 乘法性：对于任意的实数a、b和正数c，若a < b且c > 0，则有ac < bc。
即两个不等式的同侧同时乘上一个正数，不等号的方向不变；若c < 0，则有ac > bc，即两个不等式的同侧同时乘上一个负数，不等号的方向反向。
证明：设a < b，用反证法。
假设ac ≥ bc，若c > 0，则由于a < b，根据乘法性得知ac < bc，与假设矛盾；若c < 0，则有ac > bc，同样与假设矛盾。
故假设不成立，得证。
二、不等式中的常见定理及证明1. 加法定理：对于任意的实数a，b和c，若a < b，则有a + c < b + c。
证明：设a < b，令d = b - a，根据传递性得知0 < d。
由于c > 0，根据乘法性可得0 < c × d。
高三数学不等式的证明2
反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理， 导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而 肯定原结论是正确的证明方法。
换元法：换元法是指结构较为复杂、量与量 之间关系不很明了的命题，通过恰当引入新 变量，代换原题中的部分式子，简化原有结 构，使其转化为便于研究的形式。 用换元法证明不等式时一定要注意新元的约 束条件及整体置换策略
山沟里几个自然村，居住着清一色的朝鲜族。初去的时候，我感觉像似到了朝鲜国。 朝鲜族居住的房子，屋檐很宽。房子正面的屋檐下砌了台阶，人进屋的时候，要将鞋脱在屋外的台阶上。屋子里是一整面的大炕，没有屋地，炕的一头有一溜活动的地板，地板头上与大炕一平的是做饭 的锅灶。做饭的时候，要掀开地板，蹲到下面去烧火。饭做好，再将地板铺好。 鲜族人爱干净，讲究的人家都有一个被厨，每天早起，将被子整整齐齐的叠进去，屋子里便显得清净，舒爽。刚到生产队时，有一户人家搬到山外去了，我们便住了那房子，房子挺大，也是满屋炕，中 间一道拉门，女同学住一间，我们住一间。晚上，隔着纸糊的拉门，有点儿响动，相互听得清清楚楚。我们早起不叠被，只将被子连同褥子一起卷起来，靠墙边上。一些村民看了直摇头，大概是嫌我们 不利索吧。我们都不在意，每日劳动，精疲力尽的，哪顾得上这些。有同学说：成大事，不拘小节！
[思维点拔] 用反证法证明命题时，推导 出的矛盾可能多种多样。有的与已知矛 盾，有的与假设矛盾，有的与事实相违 背等等，推导出的矛盾必须是明显的。
例4、（1）设 x, y R，且 x 2 y 2 1 ，
求证：| x 2 2xy y 2 | 2 ；
（2）设 a, b, c R，且a b c 1，
4. 构造法：构造二次方程用“Δ”，构造函数 用函数单调性，构造图形用数形结合方法。
【作业布置】
不等式的证明课件
古代数学中的不等式
古希腊数学家开始研究不等式，如欧几里得在《几何原本》中提 到了一些简单的不等式。
19世纪的发展
19世纪初，数学家开始系统地研究不等式，特别是几何和三角不 等式，并取得了一系列重要成果。
20世纪的进展
20世纪初，数学家开始深入研究代数和积分不等式，并发展了多 种证明方法和技巧。
不等式在现代数学中的地位和作用
题目2
已知 a > b > 0，求证：√a > √b。
题目3
已知 a > b > 0，求证：a^3 > b^3。
进阶练习题
1 2
题目4
已知 a > b > c，且 a + b + c = 0，求证：a^2 > b^2 + c^2。
题目5
已知 a > b > c > 0，求证：(a - b)(b - c) > 0。
效率。
在经济中的应用
资源配置
不等式可以用来描述经济资源的不等分配，例如 劳动力、资本和土地等资源的配置。
市场需求预测
不等式可以用来预测市场需求的变化范围，帮助 企业制定生产和销售计划。
投资决策
在投资决策中，不等式可以用来评估投资的风险 和收益，帮助投资者做出明智的决策。
04 不等式的扩展知识
不等式的分类
02 不等式的证明方法
代数方法
01
02
03
代数基本不等式
利用代数基本不等式，如 AM-GM不等式、 Cauchy-Schwarz不等式 等，可以证明一些不等式 。
放缩法
通过放缩法，将原不等式 转化为易于证明的形式， 从而得出结论。
不等式的性质与不等式的证明
不等式的性质与不等式的证明不等式是数学中重要的概念，它描述了数之间的大小关系。
在不等式中，我们需要根据已知条件推导出新的不等式，这就需要借助不等式的性质进行证明。
本文将重点介绍不等式的性质以及不等式的证明方法。
1.不等式的性质(1)传递性：如果a<b，b<c，那么可以推出a<c。
这个性质可以简单地通过比较大小关系来理解，如果a比b小，b比c小，那么a当然比c 小。
(2)加法性：如果a<b，那么对于任意的c，有a+c<b+c。
这个性质也比较直观，如果a比b小，那么加上同一个正数c，a+c就会变得小于b+c。
同样地，如果a>b，那么对于任意的c，有a+c>b+c。
(3)乘法性：如果a<b，那么对于任意的正数c，有a×c<b×c。
这个性质也比较直观，正数的乘法会拉大不等式之间的差距。
同样地，如果a>b，那么对于任意的正数c，有a×c>b×c。
需要注意的是，如果c是负数，那么不等号的方向会发生翻转。
(4)反身性：任何数a都满足a=a。
这个性质是显然的，每个数都等于它自己。
2.不等式的证明方法(1)数学归纳法：对于一些给定的自然数n，如果我们可以证明当n=1时不等式成立，且对于任意的n=k时成立，那么我们就可以证明当n=k+1时不等式也成立。
这种方法通常用于证明关于自然数的不等式，其中k为任意自然数。
(2)反证法：假设不等式不成立，然后通过推理推导出矛盾的结论，从而证明不等式是正确的。
反证法通常用于证明数学问题中的一些结论。
(3)矛盾法：假设不等式不成立，然后通过推理推导出矛盾的前提，从而证明不等式是正确的。
矛盾法通常用于证明的过程中需要排除一些条件才能得到结论的情况。
(4)代入法：将不等式中的符号用具体的数值代入，通过对具体的数值进行计算来验证不等式的正确性。
代入法相对于其他方法来说，更直观、容易理解。
不等式的证明(二)课件
几何不等式的应用
解决实际问题
在建筑、工程、航海等领域中， 利用几何不等式解决实际问题。
数学竞赛
在数学竞赛中，几何不等式是常见 的考点和题目类型。
数学教育
在数学教育中，通过几何不等式培 养学生的逻辑思维和推理能力。
04
三角不等式证明
三角不等式的定义
三角不等式定义
在任何三角形ABC中，角A、B、C所 对的边分别为a、b、c，则有a≤b+c ，b≤a+c，c≤a+b。
三角不等式证明方法
三角不等式的应用
在几何学、三角函数、不等式证明等 领域有广泛应用。
利用三角形的性质和余弦定理进行证 明。
三角不等式的证明方法
三角形的性质
三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
余弦定理
在任意三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有 a²=b²+c²-2bc*cosA。
反证法
通过假设不等式不成立， 然后推导出矛盾来证明不 等式。
综合法
通过已知的不等式和已知 的数学性质来推导新的不 等式。
实例解析
01
02
03
04
实例1
证明 a^2 + b^2 ≥ 2ab
分析
通过比较 a^2 + b^2 和 2ab 的差，利用完全平方公式进行
证明。
实例2
证明 log_a(mn) = log_a m + log_a n
反证法
01
总结词
通过假设原不等式不成立，然后推导出矛盾，从而证明原 不等式成立。
02 03
详细描述
反证法是一种间接证明方法，通过假设原不等式不成立， 然后推导出一些矛盾或与已知事实相违背的结论，从而证 明原不等式成立。反证法的关键在于找到合适的矛盾，以 否定假设并证明原不等式。
不等式的证明(2)
练习册P21 习题2.5 A 组3~5 B组2
证明结论转化为判定这些条件是否成立的问题，如果能够判定这些条件都
成立，那么就可以断定原结论成立。
这种证明方法称为分析法。
分析：
1、综合法： 由因 导果
从已知条件出发，利用各种已知的定理和运算性质作为依据，推导出要证 的结论。
2、分析法： 执果 索因
从要证的结论出发，经过适当的变形，分析出使这个结论成立的条件，把 证明结论转化为判定这些条件是否成立的问题，如果能够判定这些条件都 成立，那么就可以断定原结论成立说明：
作差比较法，适用于任意的两实数； 作商比较法，适用于同号的两实数。
思考：
除了用作差比较法来证明外，还有什么方法？
1、综合法的定义：
从已知条件出发，利用各种已知的定理和运算性质作为依据，推导出要证 的结论。 这种证明方法称为综合法。
2、分析法的定义：
从要证的结论出发，经过适当的变形，分析出使这个结论成立的条件，把
不等式的证明(二)PPT课件
7、已知a、b、c是正数，求证：
111 1 1 1 2a 2b 2c a b b c c a
8、已知x＞0且x≠1，n∈N，求证： (1+xn)(1+x)n＞2n+1xn
三、练习： 课本14页1、2 四、总结： 1、不等式的又一种证明方法---综合法 2、综合法经常证明什么样的不等式
不等式的证明（二）
一、不等式的证明 1、比较法 （1）比较法证明不等式的步骤 （2）比较法经常证明什么样的不等式 （3）作差之后变形的思维 2、综合法 （1）定义 （2）综合法经常证明什么样的不等式 （3）综合法经常证明不等式时经常用到：
（1）a2 ≥ 0 （2）｜a｜≥ 0 （3）若a、b∈R，那么a2+b2≥2ab
3、已知a＞0、b＞0，c＞0，求证： bc ac ab a b c ab c
4、已知a、b、c是正数，且a+b+c=1，求证：
（1）(1-a)(1-b)(1-c) ≥8abc
1 （2）ab+bc+ca≤ 3
5、已知a、b、c是正数，求证：
a2 b2 c2 a b c bca
6、已知a、b、c是正数，求证：
（4） 如果是a、b正数，那么 a b ≥ 2
ab（Biblioteka ）（a+b）2 ≥4ab（6）
a2
b2 2
a
2
b
2
二、综合法证明不等式应用举例 1、已知a、b、c是不全相等的正数，求证：
a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)＞ 6abc 2、已知a、b、c是正数，证明：
111 1 1 1 a b c ab bc ca
不等式的证明2 高中数学课堂教学ppT课件2
(3) ln x x ex, x 0
证明分三个步骤：一是构造差函数；二是对函数求导，判断函数的 单调性；三是求此函数的最值，得出结论。 解答题要用切线不等式得要证明哦！
例2.已知函数f (x) 1 x2 3x 2 ln x, g(x) (x2 2x)ex, 2
证明：对任意的x1 (0, 2],均存在x2 (0, 2]，使得 f (x1) g(x2 )成立.
需要注意的几点
分数单身狗1
对数单身狗2
数学课安排
1. 不等式的证明1
2. 构造（左-右）函数
例1.利用函数的单调性，证明下列不等式。
(1)sin x x, x (0， )
(2)ex x 1, x 0
要证：f (x) g(x),只需要构造h(x) f (x) g(x), 证明h(x)min 0即可。
构造函数法 把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性 或求最值的问题，从而证明不等式，而如何根据不等式的结构特 征构造一个可导函数是利用导数证明不等式的关键.
不等式的证明(PPT)2-2
证明：因为 3 7和2 5都是正数 ,
所以为了证明 3 7 2 5，
只需证明( 3 7 )2 (2 5)2 ,
展开得10 2 21 20,
即2 21 10,
21 25,
因为21<25成立，所以 ( 3 7 )2 (2 5)2 成立.
一、分析法： 从求证的不等式出发，分析使这个
不等式成立的充分条件，把证明不等式 转化为判定这些充分条件是否具备的问 题。如果能够肯定这些充分条件都已具 备，那么就可以断定原不等式成立，这 种证明方法叫做分析法。
思ห้องสมุดไป่ตู้过程：结论
条件
即证明了 3 7 2 5.
径小于,千米，轨道倾角小于.度。伽利略卫星由伽利略和西门·马里乌斯同时期发现的颗卫星，轨道在,千米至,,千米，有一些是太阳系中最大的卫 星。撒米斯图群这是单独一颗卫星的群组，轨道介于伽利略卫星和希马利亚群半途的中间位置。希马利亚群一个紧密的族群，轨道距离在,,千米 至,,千米。卡普群另一个单一卫星的群，在亚南克群的内缘，以顺行方向绕着木运转。亚南克群逆行轨道的群，这群的边界相当模糊，平均距离 木星,7,千米，平均轨道倾角为9度。加尔尼群相当明显的逆行群组，平均距离木星,,千米，平均轨道倾角度。帕西法尔群分散、特征含糊的逆行集 团，涵盖所有最外层的卫星。表面磁场编辑木星的磁场强度是地球的倍，范围从赤道的.高斯（.mT）到极区的至高斯（.-.mT），是太阳系最强 的磁场（除了太阳黑子）。这个场被认为是由涡流产生的－旋流运动的导电材料－核心的液态金属氢。在埃欧卫星的火山释放出大量的二氧化硫， 形成沿着卫星轨道的气体环。这些气体；淘小铺 在磁层内被电离，生成硫和氧的离子。它们与源自木星大气层的氢离 子，在木星的赤道平面形成等离子片。这些片状的等离子与行星一起转动，造成进入磁场平面的变形偶极磁场。在等离子片内的电流产生强大的 无线电讯号，造成范围在.至MHz的爆发。木星磁层的范围大而且结构复杂，在距离木星-7万公里之间的巨大空间都是木星的磁层；而地球的磁层 只在距地心~7万公里的范围内。木星的四个大卫星都被木星的磁层所屏蔽，使之免遭太阳风的袭击。地球周围有条称为范艾伦带的辐射带，木星 周围也有这样的辐射带。美国的“旅行者号”还发现木星背向太阳的一面有万公里长的北极光。98年初，当“旅行者号”早已离开木星磁层飞奔 土星的途中，曾再次受到木星磁场的影响。由此看来，木星磁尾至少拖长到了万公里以外。木星的磁气圈分布范围比地球磁气圈的范围大上多倍， 是太阳系中最大的磁气圈。由于太阳风和磁气圈的作用木星也和地球一样在极区有极光产生，强度约为地球的倍。[]星体运动编辑木星是行星中 唯一与太阳的质心位于太阳本体之外的，但也只在太阳半径之外7%。木星至太阳的平均距离是7亿78万千米（大约是地球至太阳距离的.倍，或. 天文单位），公转太阳一周要.8地球年。这是土星公转周期的五分之二，也就是说太阳系最大的两颗行星之间形成：的共振轨道周期。木星的椭 圆轨道相对于地球轨道倾斜.°，因为离心率.8，因此近日点和远日点的距离相差7,万千米。木星的转轴倾角相较于地球和火星非常小，只有.°， 因此
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2008届高三理科数学第一轮复习讲义 第42课时
课题：不等式的证明（2）
教学目标：了解用反证法、换元法、放缩法等方法证明简单的不等式． 教学重点：证题思路的探求.
（一） 主要知识和方法：
1.反证法的一般步骤：反设——推理——导出矛盾（得出结论）；
2.换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性； 常用的换元有三角换元有：
已知222a y x =+，可设θθsin ,cos a y a x ==；
已知122≤+y x ，可设θθsin ,cos r y r x ==(10≤≤r )； 已知122
22=+b
y a x ，可设θθsin ,cos b y a x ==； 已知122
22=-b
y a x ，可设θθtan ,sec b y a x ==； 3.放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析、多次尝
试得出,要注意放缩的适度。
常用的方法是： ①添加或舍去一些项，如：a a >+12，n n n >+)1(，22
131242a a ⎛⎫⎛⎫++>+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ ②将分子或分母放大（或缩小） ③真分数的性质：“若0a b <<，0m >，则
a a m
b b m
+<+” ④利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )2
5lg 3lg (5lg 3log 2=<=+<⋅； 2)1()1(++<+n n n n ⑤利用函数的单调性 ⑥利用函数的有界性：如：sin x ≤1()x R ∈；2x x -≥14
()x R ∈；20x >()x R ∈ ⑦利用常用结论：
2
=>=()*,1k N k ∈>，
2
=<=()*,1k N k ∈> Ⅱ、k k k k k 111)1(112--=-< ； 111)1(112+-=+>k k k k k
（程度大） Ⅲ、)1111(21)1)(1(111122+--=+-=-<k k k k k k ； （程度小） ⑧绝对值不等式：a b -≤a b ±≤a b +；⑨应用二项式定理.
4.构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式.
（二）典例分析：
问题1.求证：21
<++<()*n N ∈（多种证法）
问题2.()1设2()13f x x x =-+，1x a -<，求证：
()()()21f x f a a -<+；
()2求证：2231111
12212n n n -<++⋅⋅⋅+<-+(n ≥2)
问题3.已知332x y +=，求证：2x y +≤．
问题4.已知 1≤22x y +≤2，求证：
12
≤22x xy y -+≤3
问题5.在数列{}n a 中，23sin sin 2sin 3sin 2222
n n n a αααα=++++ ，对正整数,m n 且m n >，求证：12
m n n a a -<．
问题6.设1a b c ++=，2221a b c ++=，a b c >>，求证：103
c -
<<．
（三）课后作业：
1.设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是
.A 1,)+∞ .B (1]-∞ .C 1,)+∞ .D (1]-∞
2.已知221x y +=，求证：y ax ≤-≤
3.下列三个式子22a c -，22b a -，22(,,)c b a b c R -∈中
.A 至少有一式小于1- .B 都小于1- .C 都大于等于1-，.D 至少有一式大于等于1-
4.设0,0,,111x y x y x y A B x y x y
+>>=
=+++++，则,A B 的大小关系是
5.,,
x x y R x y y
∈=-，则x 的取值范围是
6.求证：3
11112≤+--≤
-x x x
7.求证：
122x x x <-()0x ≠
8.求证：2221111223n
++++<
9.
||||||1||1||1||
a b a b a b a b +≤+++++
10.已知01x <<，01a <<，试比较|log (1)|a x -和|log (1)|a x +的大小
11.设,,a b c 为三角形的三边，求证：
3a b c b c a a c b a b c ++≥+-+-+-
12. （07临汾二模）设关于x 的实系数一元二次方程2110n n a x a x +-+=有两根n α，n β，且满足()()1120n n n n n αβαβ--+= ，1,2,3n =，…，11a =. ()1试用n a 表示1n a +；()2求数列{}n a 的通项公式；()3设1211n T a a =
++…1n a +， 求证：1≤2n T <()
*n N ∈
（四）走向高考：
13.（07浙江）已知数列{}n a 中的相邻两项21k a -，2k a 是关于x 的方程
2(32)320
k k x k x k -++= 的两个根，且21k a -≤2(123)k a k = ，，，． ()1求1a ，2a ，3a ，7a ；()2求数列{}n a 的前2n 项和2n S ；
()3记sin 1()32sin n f n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(2)(3)(4)(1)
123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++…， 求证：1
6≤n T ≤5
24()n N ∈*．。