胡运权运筹学第七章习题解

7.3某厂每月生产某种产品最多600件，当月生产的产品若未销出，就需贮存（刚入库的产品下月不付存储费）月初就已存储的产品需支付存储费，每100件每月1000元。

已知每100件产品的生产费为5千元，在进行生产的月份工厂支出经营费4千元，市场需求如表7-19所示，假定1月初及4月底库存量为零，试问每月应生产多少产品，才能在满足需求条件下，解：设阶段变量：k=1,2,3状态变量：k x 第k 个月初的库存量 决策变量：k d 第k 个月的生产量 状态转移方程：1k k k kx x r d阶段指标：(,)k k k k v x d c d由于在4月末，仓库存量为0，所以对于k=4阶段来说有两种决策：5+4=9 40x4()f x =1 41x对K=3 334()54()f x x f xK=2解得：第一个月生产500份，第二个月生产600份，第三个月生产0份，第四个月生产0份。

7.4某公司有资金4万元，可向A ，B ，C 三个项目投资，已知各项目不同投资额的相应效益值如表7-20所示，问如何分配资金可使总效益最大。

表 7-20解：设阶段变量k ，{}4,3,2,1∈k ，每一个项目表示一个阶段;状态变量S k，表示可用于第k阶段及其以后阶段的投资金额；决策变量Ｕk，表示在第k阶段状态为S k下决定投资的投资额；决策允许集合：0≤Ｕk≤S k状态转移方程：S k+1=S k-Ｕk;阶段指标函数：V k(S kＵk)；最优指标函数：f k(S k)=max{ V k(S kＵk)+ f k+1(S k+1)}终端条件：f4(x4)=0；K=4, f4(x4)=0k=3, 0≤Ｕ3≤S3k=2, 0≤Ｕ2≤S2k=1, 0≤Ｕ1≤S1所以根据以上计算，可以得到获得总效益最大的资金分配方案为（1，2，1）.7.5为了保证某设备正常运行,须对串联工作的三种不同零件A 1,A 2,A 3,分别确定备件数量。

若增加备用零件数量，可提高设备正常运转的可靠性，但费用要增加，而总投资额为8千元。

已知备用零件数和他的可靠性和费用关系如表所视，求解：设第k 阶段的状态为S k ；第k 阶段决定投入的备件为X k ;C k (X k )为第k 阶段选择k 个零件的费用；R k (X k )为第k 个阶段选择k 个零件的可靠性。

状态转移方程为：S k+1=S k - C k (X k ) 递退方程：114431()max{()()}()1()(1)k k K k k k K k K i ik f s R x f s f s C x S C =+=+⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪≤-⎪⎩∑所以有上可知当A 1；A 2；A 3；分别为k=1;k=2;k=3时S 1=8; S 2=5,6,7; S 3=1,2,3,4;由上表可知，最优解的可靠性为0.042；此时X1=1；X2=1；X3=3。

7.7 某工厂接受一项特殊产品订货，要在三个月后提供某种产品1000kg，一次交货。

由于该产品用途特殊，该厂原无存货，交货后也不留库存。

已知生产费用与月产量关系为：C=1000+3d+0.005d2，其中d为月产量（kg），C为该月费用（元）。

每月库存成本为2元/kg，库存量按月初与月末存储量的平均数计算，问如何决定3个月的产量是总费用最小。

解：用动态规划法求解阶段k：每一个月为一个阶段k=1,2,3状态变量sk：第k个月初的库存量决策变量dk：第k个月的生产量状态转移方程：s1+k = sk+dk最优指标函数：fk ( sk)：第k个月状态为sk时到第3个月末的总费用最小则第k个月的库存费用为：Ek = （sk+s1+k）/2⨯2= sk+s1+k =2 sk+dks 1=0，d1+d2+d3=1000 当k=3时f 3(s3)=min{E3+C3}=min{2s3+d3+1000+ 3d3+0.005d23}= min{3000+ 2d3+0.005d23}= 3000+2(1000- s3)+0.005(1000- s3)2当k=2时f 2(s2)=min{E2+C2+ f3(s3)}=min{2s2+d2+1000+3d2+0.005d22+3000+2(1000-s3)+0.005(1000- s3)2}=min{2s2+1000+4d2+0.005d22+3000+2(1000-s2-d2)+0.005(1000- s2-d2)2}=min{6000+2d2+0.005d22+0.005(1000- s2-d2)2}只有当d*2=1000- s2时f2(s2)取最小值6000+2（1000-s2）+0.005（1000- s2）2f 1(s1)=min{E1+C1+ f2(s2)}=min{2 s1+ d1+1000+3 d1+0.005d21+6000+2（1000- s2）+0.005（1000- s2）2}=min{9000+4 d1+0.005d21+0.005（1000- d1）2}=min{14000-6d1+0.01d21}只有当d*1=300时f1(s1)取最小值13100元此时s2= d1+ s1=300那么d *2=1000- s 2=700，f 2(s 2)=9850元 d *3=1000-d 1-d 2=0，f 3(s 3)=3000元即：三个月的产量分别为300、700、0时，总费用最小。

7-11.某工厂生产三种产品，各产品重量与利润关系如表。

现将此三种产品运往市场出售，运解：设:k X ：第K 种产品的数目；k V ：第K 种产品的利润；k S ：第K 种产品之初的总重量；1k k k k S S X W +=-; k f (k S )：第K~3种产品的总价值； k f （k S ）=max{k X k V +`1k f +(1k S +)}且4f (4S )=0K=3：333013344()max {()}x f S V X f S ≤≤=+3013max {80}x X ≤≤=K=2：222022233()max {()}x f S V X f S ≤≤=+2022332max {130(3)}x X f S X ≤≤=+-K=1：111031122()max {()}x f S V X f S ≤≤=+1031211max {80(2)}x X f S X ≤≤=+-答:故最大利润为260，产品数目为“0，2，0”或“1，0，1”。

7.12 某公司需要对某产品决定未来4个月内每个月的最佳存储量，以使总费用最小。

已知各月对该产品的需求量和单位订货费用、存储费用如表7-23所示。

假定每月初订货于月末到货并入库，下月开始销售。

解：阶段k ：月份 k=1，2，3，4，5状态变量X k ：第k 个月初的存量决策变量r ：第k 个月的订货量 状态转移方程：X k+1=X k +r k -d k决策允许集合：r k （X k ）=｛r k ︱r k ≥0 d k+1≤X k+1｝ =｛r k ︱d k+1≤X k +r k -d k ｝阶段指标：C k r k +P k X kf5（X5）=0 X5=0f k（X k）=min｛V k(X k, r k)+f k+1(X k+1)｝=min｛C k r k+ P k X k+ f k+1(X k+r k-d k)｝对于k=4 X5=0 r4=0 X4=d4f4（X4）=min｛V4(X4, r4)+f5(X5)｝=min｛30 X4｝=900对于k=3F3（X3）=min｛V3(X3, r3)+f4(X4)｝=min｛C3r3+ P3X3+ f4(X4)｝=min｛40r3+ 40X3+ 900｝=min{775r3+40x3+900}d4=x4则d4=x3+r3-d3 r3+d3+d4-x3=70-x3f3(x3)=min{775(70-x3)+40x3+900}=min{63250-735x3}当k=2时f2（x2）=min｛C2r2+ P2x2+ f3(x3)｝=min{850r2+20x2+63250-735(x2+r2-d2)}=min{850r2+20x2+63250-735x2-735r2+33075}=min{96325-715x2+115r2}R2(x2)={r2r2≥0 d3≤x2+r3-d2 }={r2r2≥0 d3+d2 -x2≤r3 }={r2r2≥0 85-x2≤r3 }f2（x2）=min｛96325-715x2+115 x2+9775｝=min{106100-830x2}当k=1时f1（x1）=min｛850r1+30x1+106100-830(x1+r1-50)｝=min{147600-800x1+20r1}r1（x1）=｛r1︱r1≥0 d2+d1﹣x1≤r1｝=｛r1︱r1≥0 95﹣x1≤r1｝f1（x1）=min｛147600-800 x1+20（95﹣X1）｝=min｛149500-820 x1｝根据题意x1=0 r1*=95﹣x1f1（x1）=149500 r1*=95r1*=95x2 =x1+r1-d1 =45f2（x2）= 68750r2*=85﹣45=40x3 =x2+r2-d2=45+40-45=40f3（x3）=33850x 4 = d 4=30 f 4（x 4）=9007.13 某罐头制造公司在近5周内需要一次性地购买一批原料，估计未来5周内价格有波动，其浮动价格及概率如表7-24所示，试求各周的采购策略，使采购这批原料价格的数学期望值最小。

表7-24设阶段变量k ，{}5,4,3,2,1∈k ,每一周表示一个阶段; 状态变量S k ，表示第k 阶段的实际价格；决策变量Ｕk ，当Ｕk =1，表示第k 周决定采购；当Ｕk =0，表示第k 周决定等待。

S kE 表示第k 周决定等待，而在以后采用最优决策时采购价格的期望值；f k (S k )表示第k 周实际价格为S k 时，从第k 周至第五周采用最优决策所得的最小期望值。

因而可写出逆序递推关系式为f k (S k )=min{ S k , S kE } S k ∈{9,8,7} (1) 由S kE 和f k (S k )的定义可知S kE =E f k+1 (S k+1)=0.4f k+1 (9)+0.3 f k+1 (8)+ 0.3 f k+1(7), (2) k=5因为如果在第五周原材料尚未购买，则不管实际价格如何，都必须采取采购策略。

f 5(S 5)= S 5 , 即f 5(7) =7，f 5(8)=8， f 5(9)=9 k=4S 4E =0.4f 5 (9)+0.3 f 5 (8)+ 0.3 f 5(7)=8.1f 4(S 4)=min{ S 4, S 4E }=min{ S 4, 8.1}=⎪⎩⎪⎨⎧===7,78,89,1.8444s s s所以在第四周如果价格为9，则等待下周购买，如果价格为8或7，则选择采购 k=3S 3E =0.4f 4 (9)+0.3 f 4(8)+ 0.3 f 4(7)=7.74f 3(S 3)=min{ S 3, S 3E }=min{ S 3, 7.74}=⎪⎩⎪⎨⎧===7,78,74.79,74.7333s s s所以在第三周如果价格为9或8，则等待下周购买，如果价格为7，则选择购买 k=2S 2E =0.4f 3(9)+0.3 f 3(8)+ 0.3 f 3(7)=7.518f 2(S 2)=min{ S 2, S 2E }=min{ S 2, 7.518}=⎪⎩⎪⎨⎧===7,78,518.79,518.7222s s s所以在第二周如果价格为9或8，则等待下周购买，如果价格为7，则选择购买 k=1S 1E =0.4f 2(9)+0.3 f 2(8)+ 0.3 f 2(7)=7.3626f 1(S 1)=min{ S 1, S 1E }=min{ S 1, 7.518}=⎪⎩⎪⎨⎧===7,78,3626.79,3626.7111s s s所以在第一周如果价格为9或8，则等待下周购买，如果价格为7，则选择购买7.14 某企业有1000万元资金可在三年内每年初对项目A 、B 投资，若每年初投资项目A ，则年末以0.6的概率回收本利2000万元或以0.4的概率丧失全部资金；若投资项目B ，则年末以0.1的概率回收本利2000万元或以0.9的概率回收1000万元。