胡运权运筹学第七章习题解
清华大学运筹学教程胡运权主编课后习题答案
第29页/共66页
max Z 4x1 x2
3x1 x2 3
(3)
st
4x1 3x2 x3 6
x1
2x2
x4
4
x j 0（, j 1,,4）
29
第30页/共66页
方法一：大M法 引入人工变量x6和x7,线性规划问题变为：
max Z 4 x1 x2 Mx5 Mx6
x5 x6
14 2
x1 , x2 , x3 , x41 , x42 , x6 0
3
第4页/共66页
min Z 2x1 2x2 3x3
(2)
st
x1 x2 x3 4 2x1 x2 x3 6
x1 0, x2 0, x3无约束
解：令W Z , x11 x1 , x31 x32 x3 同时引入松弛变量x4，则标准形式为：
0 [5/3] -1
0
5/3 0
0
5/3
-1
0 -1 -1
i
x4
x5
x6
0
10
1
0
0 1 3/2
1
00
4
0
00
0 1/3 0 3
0 -4/3 1 6/5 1 -1/3 0 9/5 0 -7/3 0
第35页/共66页
cj
0
CB
7.运筹学之目标规划(胡运权版)
第七章目标规划
§1 目标规划的提出
线性规划问题是讨论一个给定的线性目标函数在一组线性约束条件下的最大值或最小值问题。对于一个实际问题,管理科学者根据管理层决策目标的要求，首先确定一个目标函数以衡量不同决策的优劣，且根据实际问题中的资源、资金和环境等因素对决策的限制提出相应的约束条件以建立线性规划模型；然后用计算机软件求出最优方案并作灵敏度分析以供管理层决策之用。而在一些问题中,决策目标往往不只一个，且模型中有可能存在一些互相矛盾的约束条件的情况，用已有的线性规划的理论和方法无法解决这些问题。因此，1961年美国学者查恩斯（A。Charnes）和库柏(W。W。Coopor）提出了目标规划的概念与数学模型，以解决经济管理中的多目标决策问题。
我们将通过几个例子来说明在实际应用中线性规划存在一系列的局限性.
例1某厂生产A、B两种产品每件所需的劳动力分别为4个人工和6个人工，所需设备的单位台时均为1。已知该厂有10个单位机器台时提供制造这两种产品，并且至少能提供70个人工。又，A、B产品的利润，每件分别为300元和500元。试问：该厂各应生产多少件A、B产品，才能使其利润值最大?
解设该厂能生产A、B产品的数量分别为
,x x件，则有
12
12
1212max 30050010..4670
0, 1,2.j
z x x x x s t x x x j =+⎧+≤⎪+≥⎨⎪≥=⎩ 图解法求解如下：
由上图可得，满足约束条件的可行解集为∅,即机时约束和人工约束之间产生矛盾，因而该问题无解.但在实际中,该厂要增加利润，不可能不生产A 、B 两种产品,而由线性规划模型无法为其找到一个合适的方案。
《运筹学(胡运权)》第五版课后习题答案
=0.95a1+0.97a2+0.94a3+1.5b3+2.1c1-0.05b1-0.11a4-0.05a5
s.t.
5a1+10b1≤6000
7a2+b2+12c1≤10000
6a3+8a3≤4000
4a4+11c1≤7000
A1 1200.000000 0.000000
A2 0.000000 9.640000
A3 285.714294 0.000000
B3 10000.0000000.000000
C1 0.000000 15.900000
B1 0.000000 0.230000
A4 342.857147 0.000000
6) 0.0000000.008571
7) 0.000000 0.110000
8) 0.000000 -1.500000
NO. ITERATIONS= 6
计算lindo截屏
2.1a:
对偶问题为：
maxz=2y1+3y2+5y3
s.t.
y1+2y2+y3≤2
3y3+y2+4y3≤2
运筹学教程（第二版）（胡运权）课后答案（清华大学出版社）
运筹学教程（第⼆版）（胡运权）课后答案（清华⼤学出版社）
运筹学教程（第⼆版）
习题解答
第⼀章习题解答
运筹学教程
1.1 ⽤图解法求解下列线性规划问题。并指出问题具有惟⼀最优解、⽆穷多最优解、⽆界解还是⽆可⾏解。
1 2
x , x ≥ 0 ? ≤ 2 2 1 ? .? 2 x 1 - x 2 ≥ 2
st
- 2 x + 3x (4) max Z = 5 x 1 + 6 x 2
≤ 8
2 5 ≤ x ? 1 ? 5 ≤ x ≤ 10 .?max Z = x 1 + x 2
6 x 1 + 10 x 2 ≤ 120
st ?
(3) 1 2 x , x ≥ 0 ? 2 1 ? ? ? 4 x 1 + 6 x 2 ≥ 6
st .?
2 x + 2 x ≥ 4 (1) min Z = 2 x 1 +
3 x 2
1 2 ? ≥ 12 2 1 ? x , x ≥ 0 .? ?2 x 1 + x 2 ≤ 2
st ?
3x + 4 x (2) max Z = 3x 1 + 2 x 2
x , x ≥ 0 1 2
该问题⽆解
≥ 12 2 1 ? ? 2 x 1 + x 2 ≤ 2
st .?
3 x +
4 x ( 2 ) max Z = 3 x 1 + 2 x 2
第⼀章习题解答
3 2 1
x = 1, x = 1
, Z = 3是⼀个最优解⽆穷多最优解，
1 2
x , x ≥ 0 ? 2 1 ? ? ? 4 x 1 + 6 x 2 ≥ 6
st .?
2 x + 2 x ≥ 4 (1) min Z = 2 x 1 +
3 x 2
该问题有⽆界解
运筹学(胡运权)第五版课后答案-运筹作业
运筹学(胡运权)第五版课后答案-运筹作业
47页1.1b
用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解47页1.1d
无界解
1 2 3 4
5
4
3
2
1
-
1
-6 -5 -4 -3 -2
X2
X1
2x1-
-2x1+3x
1 2 3 4
4
3
2
1
X1
2x1+x2=2
3x1+4x2=
X
1.2（b）
约束方程的系数矩阵A= 1 2 3 4
2 1 1 2
P1 P2 P3 P4
基
基解
是否可行解目标函数值X1 X2 X3 X4
P1 P2 -4 11/2 0 0 否
P1 P3 2/5 0 11/5 0 是43/5 P1 P4 -1/3 0 0 11/6 否
P2 P3 0 1/2 2 0 是 5 P2 P4 0 -1/2 0 2 否
P3 P4 0 0 1 1 是 5
最优解A=(0 1/2 2 0)T和(0 0 1 1)T
49页13题
设Xij为第i月租j个月的面积
minz=2800x11+2800x21+2800x31+2800x41+4500x12+4500x22+4500x32+6000x1 3 +6000x23+7300x14
s.t.
x11+x12+x13+x14≥15
x12+x13+x14+x21+x22+x23≥10
x13+x14+x22+x23+x31+x32≥20
x14+x23+x32+x41≥12
Xij≥0
用excel求解为：
( )
用LINDO求解：
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION V ALUE
1) 118400.0
V ARIABLE V ALUE REDUCED COST
《运筹学》课堂作业及答案
《运筹学》课堂作业及答案
第⼀部分绪论
第⼆部分线性规划与单纯形法
1 判断下列说法是否正确：
(a)图解法同单纯形法虽然求解的形式不同，但从⼏何上理解，两者是⼀致的；
(b)线性规划模型中增加⼀个约束条件，可⾏域的范围⼀般将缩⼩，减少⼀个约束条件，可⾏域的范围⼀般将扩⼤；
(c)线性规划问题的每⼀个基解对应可⾏域的⼀个顶点；
(d)如线性规划问题存在可⾏域，则可⾏域⼀定包含坐标的原点；
(e)对取值⽆约束的变量x i，通常令其中
，在⽤单纯形法求得的最优解中有可能同时出现
(f)⽤单纯形法求解标准型的线性规划问题时，与对应的变量都可以被选作换⼊变量；
(g)单纯形法计算中，如不按最⼩⽐值原则选取换出变量，则在下⼀个解中⾄少有⼀个基变量的值为负；
(h)单纯形法计算中，选取最⼤正检验数δk对应的变量x k作为换⼊变量，将使⽬标函数值得到最快的增长；
(i)⼀旦⼀个⼈⼯变量在迭代中变为⾮基变量后，则该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，⽽不影响计算结果；(j)线性规划问题的任⼀可⾏解都可以⽤全部基可⾏解的线性组合表⽰；
(k)若x1，x2分别是某⼀线性规划问题的最优解，则
也是该线性规
划问题的最优解，其中λ1，λ2可以为任意正的实数；
(1)线性规划⽤两阶段法求解时，第⼀阶段的⽬标函数通常写为
X ai为⼈⼯变量)，但也可写为，只要所有
k i均为⼤于零的常数；
(m)对⼀个有n个变量、m个约束的标准型的线性规划问题，其可⾏域的顶点恰好
为个；
(n)单纯形法的迭代计算过程是从⼀个可⾏解转转换到⽬标函数值更⼤的另⼀个可⾏解；
清华大学《运筹学教程》胡运权主编课后习题答案
page 16 13 April 2021
16
School of Management
运筹学教程
第一章习题解答
解：上界对应的模型如下（c,b取大，a取小）
max Z 3x1 6x2
st
.21xx1142xx22
12 14
x1, x2 0
最优值（上界）为：21
page 17 13 April 2021
min Z 2x1 3x2
(1)
st
4 .2
x1 x1
6x2 2x2
6 4
x1, x2 0
max Z 3x1 2x2
(2)
st
.32xx11
x2 2 4x2 12
x1, x2 0
max Z x1 x2
(3)
st
6 .
x1 10x2 5 x1
120 10
5 x2 8
x2
x3
x4
0.5 2
0
0
1
1
0 11/5 0
Z 5 5 43/5
11
School of Management
运筹学教程
第一章习题解答
1.4 分别用图解法和单纯形法求解下述
线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基
可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。
max Z 10x1 5x2
(完整word版)运筹学(胡运权)第五版课后答案,运筹作业
47页1.1b
羅
蕿用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解
薅47页1。1d
蒂无界解
（b）
衿1.2
蕿约束方程的系数矩阵A=1234莇2112
蚄P1P2P3P4
,运筹作业
肀最优解A=（01/220）T和(0011）T
页13题
肆49
膃设Xij为第i月租j个月的面积
羄
minz=2800x11+2800x21+2800x31+2800x41+4500x12+4500x22+4500x32+6000x13+6000x23+7300x 14
螁s.t.
聿x11+x12+x13+x14≥15
膃x12+x13+x14+x21+x22+x23≥10
膀x13+x14+x22+x23+x31+x32≥20
艿x14+x23+x32+x41≥12
袇Xij≥0
芃用excel求解为：
薁用LINDO求解：
羁LPOPTIMUMFOUNDATSTEP3
薆OBJECTIVEFUNCTIONVALUE 蚇1)118400.0
羂VARIABLEVALUEREDUCEDCOST 荿Z0.0000001。000000
虿X113.0000000。000000
螇X210。0000002800。000000莃X318。0000000.000000
肁X410.0000001100。000000莈X120.0000001700.000000袆X220.0000001700。000000螄X320.0000000。000000
蕿X130.000000400.000000
膇X230。0000001500。000000
袆X1412.0000000.000000
运筹学____胡运权_课后答案
i1
yi 0 yi无约束
( j 1,..., n1)
( j n1 1,..., n) (i 1,...m1) (i m1 1,...m)
2.4
y1 2y2 y3 2
3y1
y2 4 y3 2
4 y1 3y2 3y3 4
y1 0, y2 0, y3取值无约束
对偶问题：
m
min w bi yi i 1
m
aij yi c j
i1
m
aij yi c j
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习题讲解
（1，2章）
图解法：
当x2
2x1
1 5
z
经过点（1，3 ）时，z最大。 2
单纯形法：添加松弛变量化为标准形式，
max z 10x1 5x2 0x3 0x4
35xx11
4x2 2x2
x3
x4
9 8
x
j
0
( j 1, 2,3, 4)
1.6（a）
1.7
1.8
（P36公式）表1-24中，x1，x5为基变量，g=1， h=0，l=0。
《运筹学(胡运权)》第五版课后习题答案
B2 10000.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 0.168000
3) 0.000000 1.500000
4) 0.000000 0.075000
5) 5628.571289 0.000000
X2 1.000000 2.000000 INFINITY
X3 4.000000 1.000000 1.500000
X1,X2,X3 0.000000 0.000000 INFINITY
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
x41+x42+x43+x44+x45=1
x11+x21+x22+x23=1
x12+x22+x32+x42=1
x13+x23+x33+x43=1
x14+x24+x34+x44=1
x15+x25+x35+x45=1
xij=1或0（i=1,2,3,4 j=1,2,3,4,5）
由excel计算得出；张游仰泳，王游蛙泳，赵游自由泳，预期总成绩为126.2s.
胡运权运筹学第七章习题解
7.3某厂每月生产某种产品最多600件，当月生产的产品若未销出，就需贮存（刚入库的产品下月不付存储费）月初就已存储的产品需支付存储费，每100件每月1000元。已知每100件产品的生产费为5千元，在进行生产的月份工厂支出经营费4千元，市场需求如表7-19所示，假定1月初及4月底库存量为零，试问每月应生产多少产品，才能在满足需求条件下，
解：
设阶段变量：k=1,2,3
状态变量：k x 第k 个月初的库存量 决策变量：k d 第k 个月的生产量 状态转移方程：1
k k k k
x x r d
阶段指标：(,)k k k k v x d c d
由于在4月末，仓库存量为0，所以对于k=4阶段来说有两种决策：
5+4=9 40x
4()f x =
1 41x
对K=3 334()54()f x x f x
K=2
解得：第一个月生产500份，第二个月生产600份，第三个月生产0份，第四个月生产0份。
7.4某公司有资金4万元，可向A ，B ，C 三个项目投资，已知各项目不同投资额的相应效益值如表7-20所示，问如何分配资金可使总效益最大。 表 7-20
解：
设阶段变量k ，{
}4,3,2,1∈k ，每一个项目表示一个阶段;
状态变量S k，表示可用于第k阶段及其以后阶段的投资金额；
决策变量Ｕk，表示在第k阶段状态为S k下决定投资的投资额；
决策允许集合：0≤Ｕk≤S k
状态转移方程：S k+1=S k-Ｕk;
阶段指标函数：V k(S kＵk)；
最优指标函数：f k(S k)=max{ V k(S kＵk)+ f k+1(S k+1)}
《运筹学》胡运权清华版-7-01动态规划
E1 4
A
5
8
D2
3
2
F
C3 4
1
E2 3
B2 7
8 D3 3
7
C4 4
1
2ppt课件
3
4
5
19
例:W先生每天驾车去公司上班。 如图，W先生的住所位于A，公司 位于F，图中的直线段代表公路， 交叉点代表路口，直线段上的数 字代表两路口之间的平均行驶时 间。现在W先生的问题是要确定一 条最省时的上班路线。
第七章 动 态 规 划
1. 多阶段决策问题 2. 动态规划的基本概念和基本原理 3. 动态规划模型的建立 4. 逆推解法与顺推解法 5. 动态规划应用举例
ppt课件
1
第一节 多阶段决策问题
ppt课件
2
多阶段决策问题
在实际生产经营活动中，存在着一类将过程划分 为若干个相互联系的阶段，而每个阶段都需要做出决 策，并且一个阶段的决策确定后，常影响下一阶段的 决策，即多阶段决策问题。
ppt课件
20
C3 4 D3 5 E2 2 F
1
2
3
4
B2 2 C2 3 D2 4 E1
4
5
3
2
A 3 B1 4 C1 3
D1
ppt课件
21
4 A3
4 1 C3
B2
(完整版)运筹学基础及应用第四版胡运权主编课后练习答案【精】
运筹学基础及应用习题解答习题一P46
1.1
(a)
x2
4
4x1 2 x24
3
2
1
0123x1
4x1 6 x26
该问题有无量多最优解，即满足 4 x16x26且
0x2
1
x1 ,x2，此时目标函数值
的所有
2
z 3 。
(b)
x2
3
2
014x1
用图解法找不到满足所有拘束条件的公共范围，因此该问题无可行解。
1.2
(a)拘束方程组的系数矩阵
1236300
A814020
300001
基基解可否基可行解目标函数值
x1x2x3x4x5x6
p1p 2p3
0167
000
否3
-
6
p1p 2p 40 100700是10
p1p 2p5
03007
是3 2
p1p 2p 67
400021否
44
p1p3p4
005
800
否2
p1p3p5
003
080
是3 2
p1p3p6
101
003
否2
p1p 4p50 00350是0
p1p 4p 65
002015否
44最优解 x0,10,0,7,0,0T
。
(b)拘束方程组的系数矩阵
1 2 34
A
2 2 12
基基解
x1x2x3x4
p1p2
411
00 2
p1p32
011
55
p1p41
0011
36
p2p3
01
20 2
p2p 4
01
02 2
p3p 40011
211T
,0
最优解 x,0,
。
55
1.3
(a)
(1)图解法可否基可行解目标函数值否
是43
5
否
是5
否
是5
x 2
4 3 2 1 0
1
2
3
x 1
最优解即为
3x 1 4x 2
9
的解 x
1,
3
，最大值 z
35
5x 1 2 x 2 8
2
2
(2) 单纯形法
第一在各拘束条件上增加废弛变量，将问题转变为标准形式 max z
10x 1 5x 2 0 x 3 0x 4
运筹学课程07-动态规划(胡运权 清华大学)
NEUQ
示例3 （连续生产过程的控制问题）：
一般化工生产过程中，常包含一系列完成
生产过程的设备，前一工序设备的输出则是后
一工序设备的输入，因此，应该如何根据各工
序的运行工况，控制生产过程中各设备的输入 和输出，以使总产量最大。
示例4、最短路径问题
NEUQ
给定一个交通网络图如下，其中两点之间的数字表示距离 （或花费），试求从A点到G点的最短距离（总费用最小）。
s1
u1 1
s2
u2 2
s3
sk
uk k
sk+1
能用动态规划方法求解的多阶段决策过程是一类特殊的多 阶段决策过程，即具有无后效性的多阶段决策过程。
无后效性(马尔可夫性) NEUQ 如果某阶段状态给定后，则在这个阶段以后过程的发展不 受这个阶段以前各段状态的影响；
过程的过去历史只能通过当前的状态去影响它未来的发展；
u k , ,u n
Vk ,n (sk , uk , sk 1 , uk 1 , , sn1 )
可递推
k [ sk , uk , Vk 1, n ( sk 1 , uk 1 , , sn 1 )]
指标函数形式: 和、 积
NEUQ
原过程的一个后部子过程： 对于任意给定的k（1 ≤ k≤n），从第k段到第n段的过 程称为原过程的一个后部子过程
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7.3某厂每月生产某种产品最多600件，当月生产的产品若未销出，就需贮存（刚入库的产品下月不付存储费）月初就已存储的产品需支付存储费，每100件每月1000元。已知每100件产品的生产费为5千元，在进行生产的月份工厂支出经营费4千元，市场需求如表7-19所示，假定1月初及4月底库存量为零，试问每月应生产多少产品，才能在满足需求条件下，
解：
设阶段变量：k=1,2,3
状态变量：k x 第k 个月初的库存量 决策变量：k d 第k 个月的生产量 状态转移方程：1
k k k k
x x r d
阶段指标：(,)k k k k v x d c d
由于在4月末，仓库存量为0，所以对于k=4阶段来说有两种决策：
5+4=9 40x
4()f x =
1 41x
对K=3 334()54()f x x f x
K=2
解得：第一个月生产500份，第二个月生产600份，第三个月生产0份，第四个月生产0份。
7.4某公司有资金4万元，可向A ，B ，C 三个项目投资，已知各项目不同投资额的相应效益值如表7-20所示，问如何分配资金可使总效益最大。 表 7-20
解：
设阶段变量k ，{
}4,3,2,1∈k ，每一个项目表示一个阶段;
状态变量S k，表示可用于第k阶段及其以后阶段的投资金额；
决策变量Ｕk，表示在第k阶段状态为S k下决定投资的投资额；
决策允许集合：0≤Ｕk≤S k
状态转移方程：S k+1=S k-Ｕk;
阶段指标函数：V k(S kＵk)；
最优指标函数：f k(S k)=max{ V k(S kＵk)+ f k+1(S k+1)}
终端条件：f4(x4)=0；
K=4, f4(x4)=0
k=3, 0≤Ｕ3≤S3
k=2, 0≤Ｕ2≤S2
k=1, 0≤Ｕ1≤S1
所以根据以上计算，可以得到获得总效益最大的资金分配方案为（1，2，1）.
7.5为了保证某设备正常运行,须对串联工作的三种不同零件A 1,A 2,A 3,分别确定备件数量。若增加备用零件数量，可提高设备正常运转的可靠性，但费用要增加，而总投资额为8千元。已知备用零件数和他的可靠性和费用关系如表所视，求
解：设第k 阶段的状态为S k ；第k 阶段决定投入的备件为X k ;C k (X k )为第k 阶段选择k 个零件的费用；R k (X k )为第k 个阶段选择k 个零件的可靠性。
状态转移方程为：S k+1=S k - C k (X k ) 递退方程：
11443
1()max{()()}()1()(1)k k K k k k K k K i i
k f s R x f s f s C x S C =+=+⎧
⎪=⎪⎪
=⎨⎪⎪≤-⎪⎩
∑
所以有上可知当A 1；A 2；A 3；分别为k=1;k=2;k=3时S 1=8; S 2=5,6,7; S 3=1,2,3,4;
由上表可知，最优解的可靠性为0.042；此时X1=1；X2=1；X3=3。
7.7 某工厂接受一项特殊产品订货，要在三个月后提供某种产品1000kg，一次交货。由于该产品用途特殊，该厂原无存货，交货后也不留库存。已知生产费用与月产量关系为：C=1000+3d+0.005d2，其中d为月产量（kg），C为该月费用（元）。每月库存成本为2元/kg，库存量按月初与月末存储量的平均数计算，问如何决定3个月的产量是总费用最小。解：用动态规划法求解
阶段k：每一个月为一个阶段k=1,2,3
状态变量s
k
：第k个月初的库存量
决策变量d
k
：第k个月的生产量
状态转移方程：s
1+
k = s
k
+d
k
最优指标函数：f
k ( s
k
)：第k个月状态为s
k
时到第3个
月末的总费用最小
则第k个月的库存费用为：E
k = （s
k
+s
1+
k
）/2⨯2= s
k
+s
1+
k =2 s
k
+d
k
s 1=0，d
1
+d
2
+d
3
=1000 当k=3时
f 3(s
3
)=min{E
3
+C
3
}
=min{2s
3
+d
3
+1000+ 3d
3
+0.005d2
3
}
= min{3000+ 2d
3
+0.005d2
3
}
= 3000+2(1000- s
3
)+0.005(1000- s
3
)2当k=2时
f 2(s
2
)=min{E
2
+C
2
+ f
3
(s
3
)}
=min{2s
2
+d
2
+1000+3d
2
+0.005d2
2
+3000+2(1000-
s
3
)+0.005(1000- s
3
)2}
=min{2s
2
+1000+4d
2
+0.005d2
2
+3000+2(1000-s
2
-d
2
)
+0.005(1000- s
2
-d
2
)2}
=min{6000+2d
2
+0.005d2
2
+0.005(1000- s
2
-d
2
)2}
只有当d*
2=1000- s
2
时f
2
(s
2
)取最小值6000+2（1000-
s
2）+0.005（1000- s
2
）2
f 1(s
1
)=min{E
1
+C
1
+ f
2
(s
2
)}
=min{2 s
1
+ d
1
+1000+3 d
1
+0.005d2
1
+6000+2
（1000- s
2
）+0.005（1000- s
2
）2}
=min{9000+4 d
1
+0.005d2
1
+0.005（1000- d
1
）2}
=min{14000-6d
1
+0.01d2
1
}
只有当d*
1=300时f
1
(s
1
)取最小值13100元
此时s
2= d
1
+ s
1
=300