永顺培英理科数学导数单元测试
专题1第一章导数及其应用单元检测题〖基础题〗(解析版)(选修2-2)
专题1人教A 版第一章导数及其应用单元检测题〖基础题〗（解析版）一、单选题1．下列求导结果正确的是（ ） A ．cossin 66ππ'⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()133x x x -'=C ．()22log log ex x'= D ．()sin 2cos 2x x '=【答案】C 【分析】利用导数的求导法则以及复合函数的求导法则可判断各选项的正误. 【详解】对于A 选项，cos 06π'⎛⎫= ⎪⎝⎭，A 选项错误； 对于B 选项，()33ln 3x x '=，B 选项错误；对于C 选项，()22log 1log ln 2e x x x'==，C 选项正确； 对于D 选项，()()sin 2cos 222cos 2x x x x ''=⋅=，D 选项错误. 故选：C.2．曲线ln y ax x =+在点()()1,1f 处的切线斜率为3，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】首先对函数求导，根据函数图象在某个点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数，从而将相应的量代入，求得结果. 【详解】函数()+ln f x ax x =，可得1()+f x a x'=， 所以切线的斜率为(1)+13k f a '===，解得2a =， 故选：B.A ．2,4a b ==B ．2,4a b =-=C ．8,1a b ==D ．8,1a b ==-【答案】B 【分析】将()1,a -代入切线方程求出a ，再由导数的几何意义求出b . 【详解】将()1,a -代入860x y -+=，得2a =- 又因为1b y abx -'=所以()1218,4b b b ---==.故选：B4．已知函数()()2,2xe f e x f x x '=-为()f x 的导函数，若()()f a f a '=，则a =（ ） A ．0 B ．1- C ．2 D ．0或2【答案】D 【分析】求导，再由()()f a f a '=解方程得出a 的值. 【详解】()x f x e ex '=-，根据条件得22a a ee a e ea -=-，解得0a =或2.故选：D5．函数3y x x =+的递增区间是（ ） A ．(0,)+∞ B ．(,1)-∞ C ．(,)-∞+∞ D ．(1,)+∞【答案】C 【分析】利用导数的性质进行求解即可. 【详解】3'2，因为'在整个实数集上恒成立，所以函数3的递增区间是(,)-∞+∞. 故选：C6．若函数()f x 在R 上可导，且()()()222f x x f x m m R '=++∈，则（ ）A ．()()05f f <B ．()()05f f =C ．()()05f f >D ．以上答案都不对【答案】C 【分析】由已知等式两边同时求导，取2x =，求出()2'2f 的值．利用二次函数的对称性和单调性即可解决问题． 【详解】()()22'2f x x f x m =++， ()()'22'2f x x f ∴=+, ()()22222f f ∴=⨯'+', ()24f ∴'=-,()28f x x x m ∴=-+，图象为开口向上的抛物线，其对称轴方程为：4x =，()()05f f ∴>.故选C ． 【点睛】本题考查导数的运算，求出()2f '的值是关键，属于中档题．7．函数()2y f x x ==在区间[]00x x x +∆，上的平均变化率为1k ，在区间[]00x x x -∆，上的平均变化率为2k ，则1k 与2k 的大小关系为（ ）A ．12k k >B ．12k k <C ．12k k =D ．不能确定【答案】A 【分析】根据函数的平均变化率的定义表示1k 与2k ，作差可得选项.因为函数()2y f x x ==在区间[]00x x x +∆，上的平均变化量为2200000()()()()(2)f x x f x x x x y x x x =+∆-=+∆-=∆+∆∆，所以102.yk x x x∆==+∆∆， 函数()2y f x x ==在区间[]00x x x -∆，上的平均变化量()2200000()()()(2)f x f x x x x x x x x y =--∆=--∆=∆-∆∆，所以202yk x x x∆==-∆∆，所以122,k k x -=∆，又0x ∆>，所以12k k >， 故选：A.8．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()y f x '=的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】根据导函数大于0，原函数单调递增；导函数小于0，原函数单调递减；即可得出正确答案. 【详解】由导函数得图象可得：0x >时，()0f x '<，所以()f x 在(),0-∞单调递减， 排除选项A 、B ，当0x >时，()f x '先正后负，所以()f x 在()0,∞+先增后减， 因选项C 是先减后增再减，故排除选项C ，9．定积分()22xedx +⎰的值为（ ）A ．1B ．2eC ．24e +D ．23e +【答案】D 【分析】求出2xy e =+的原函数()2xf x e x c =++，再计算()()20f f -即可.【详解】2x y e =+的原函数为()2xf x e x c =++()()()2220220413xedx f f e e +=-=+-=+⎰故选：D10．已知函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数()y f x =在区间(),a b 内的极小值点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【分析】通过读图由()y f x '=取值符号得出函数()y f x =的单调区间，从而求出函数的极值点，得出答案． 【详解】由图象，设()'f x 与x 轴的两个交点横坐标分别为c 、d 其中c d <，知在(,)c -∞，(),d +∞上()0f x '≥，所以此时函数()f x 在(,)c -∞，(,)d +∞上单调递增，所以x c =时，函数取得极大值，x d =时，函数取得极小值． 则函数()y f x =的极小值点的个数为1． 故选: A11．一物体做直线运动，其位移s 与时间t 的关系是22s t t =+，则物体在2t =时的瞬时速度为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．10【答案】B 【分析】利用导数的物理意义可直接求导得到结果. 【详解】由22s t t =+得：22s t '=+，当2t =时，6s '=，即物体在2t =时的瞬时速度为6. 故选：B.12．函数()y f x =在区间[],a b 上的最大值是M ，最小值是m ，若m M =，则()f x '（ ） A ．小于0 B ．等于0C ．大于0D ．以上都有可能【答案】B 【分析】由最大最小相等，可得()y f x =是常数函数，即可得出结论. 【详解】∵()y f x =在区间[],a b 上的最大最小相等， ∴()y f x =是常数函数，∴()0f x '=， 故选：B.二、填空题13．函数3()3f x x x =-在区间[]1,3-上的最小值为__________． 【答案】2- 【分析】由3()3f x x x =-，得2()33f x x '=-. 令0fx，解得11x =-，21x =.()f x 在区间[]1,1-上单调递减，在区间[]1,3上单调递增，所以最小值为(1)2f =-. 故答案为：-2. 【点睛】在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．14．若曲线562x y e x =-+的一条切线与直线l ：60x y -+=互相垂直，则该切线的方程为_________. 【答案】70x y +-= 【分析】设切点，利用导数的几何意义，结合直线互相垂直的性质进行求解即可.【详解】设曲线562xy e x =-+的切点坐标为000(,562)xx e x -+，'56256x x y e x y e =-+⇒=-，所以过该切点的切线的斜率为056x e -，因为直线l ：60x y -+=的斜率为1，过该切点的切线与直线l 互相垂直，所以00(56)110xe x -⋅=-⇒=，所以切点坐标为：(0,7)，过该切点的切线的斜率为1-，所以过该切点的切线的方程为：7y x =-+，化为一般式为：70x y +-=.故答案为：70x y +-=15．函数32123y x x mx =+++是R 上的单调函数，则m 的范围是_________. 【答案】[1,)+∞【分析】32123y x x mx =+++是R 上的单调函数，则导函数恒大于等于0或恒小于等于0，32123y x x mx =+++是R 上的单调函数，则导函数恒大于等于02'20y x x m =++≥则440m ∆=-≤，m 1≥ 故答案为：[1,)+∞ 【点睛】若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到． 16．曲线[]()sin 0,y x x π=∈与x 轴所围成的图形面积为______． 【答案】2 【分析】直接利用定积分0sin S xdx π=⎰求解.【详解】 由题得00sin (cos )|cos (cos 0)112S xdx x πππ==-=---=+=⎰.所以所求的图形的面积为2. 故答案为：2 【点睛】方法点睛：求定积分的方法：(1)代数法：利用微积分基本原理求；（2）几何法：数形结合利用面积求.三、解答题17．已知函数3()395f x x x =-+. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）求函数()f x 在[]3,3-上的最大值和最小值. 【答案】（1）()1,1-；（2）最大值为59，最小值为49- 【分析】（1）求出()f x '，令()0f x '<，得到函数()f x 的单调递减区间； （2）求出函数在[]3,3-的单调性，根据极值和端点值，求得最值.（1）()2999(1)(1)f x x x x =-+-'=，x ∈R令()0f x '<，得11x -<<，所以()f x 的减区间为()1,1-.（2）由（1），令()0f x '>，得1x <-或1x >知：[]3,1x ∈--，()f x 为增函数，[]1,1x ∈-，()f x 为减函数，[]1,3x ∈，()f x 为增函数.()349f -=-，()111f -=，()11f =-，()539f =.所以()f x 在区间[]3,3-上的最大值为59，最小值为49-. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，属于基础题. 18．已知函数f (x )＝x ＋4x，g (x )＝2x ＋a . （1）求函数f (x )＝x ＋4x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域； （2）若∀x 1∈1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∃x 2∈[2，3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，求实数a 的取值范围.【答案】（1）[5,17]2；（2）1a ≤. 【分析】（1）先求导数，判断函数单调性，结合单调性求解值域；（2）把条件转化为()()12min min f x g x ≥，分别求解()()12,f x g x 的最小值可得实数a 的范围. 【详解】（1）()222441x f x x x -'=-=，因为1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()0f x '<，即函数()f x 为减函数，因为()51217,12f f ⎛⎫==⎪⎝⎭，所以值域为[5,17]2. （2）因为∀x 1∈1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∃x 2∈[2，3]，使得f (x 1)≥g (x 2)， 所以()()12min min f x g x ≥，因为2[2,3]x ∈，所以()2224a g x a ≥+=+，所以54≥+a ，即1a ≤.19．（1）求导：33cos 243ln xy x x x =+-+（2）求函数ln y x x =在1x =处的导数. 【答案】（1）233sin 6(2ln 2)4xy x x x'=-+-⋅+；（2）1； 【分析】（1）直接根据导数的运算法则，即可得答案； （2）求导后可得ln 1y x ，再将1x =代入即可得答案；【详解】（1）233sin 6(2ln 2)4xy x x x'=-+-⋅+； （2）ln 1(1)1y x y ''=+⇒=；【点睛】本题考查导数的四则运算，属于基础题.20．函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx +c ，曲线y ＝f （x ）上点P （1，f （1））处的切线方程为y ＝3x +1（1）若y ＝f （x ）在x ＝﹣2时有极值，求函数y ＝f （x ）在[﹣3，1]上的最大值； （2）若函数y ＝f （x ）在区间[﹣2，1]上单调递增，求b 的取值范围． 【答案】(1) f （x ）在[﹣3，1]上最大值为13 (2) [0，+∞）． 【分析】（1）由f （x ）＝x 3+ax 2+bx +c 求导数，利用导数几何意义结合切线方程及函数f （x ）在x ＝﹣2时有极值即可列出关于a ，b ，c 的方程，求得a ，b ，c 的值，从而得到f （x ）的表达式，求函数的导数f ′（x ），通过f ′（x ）＞0，及f ′（x ）＜0，得出函数的单调性，进一步得出函数的最值即可．（2）方法一：求出导函数，令导函数大于大于0在区间[﹣2，1]上恒成立，通过对对称轴与区间位置关系的讨论，求出f ′（x ）的最小值，令最小值大于等于0，求出b 的范围． 方法二：求出导函数，令导函数大于大于0在区间[﹣2，1]上恒成立，分离出参数b ，构造新函数m （x ），利用基本不等式求出m （x ）的最大值，令b 大于等于m （x ）的最大值即可．解：（1）由f （x ）＝x 3+ax 2+bx +c ，求导数得f ′（x ）＝3x 2+2ax +b ，过y ＝f （x ）上点P （1，f （1））的切线方程为：y ﹣f （1）＝f ′（1）（x ﹣1） 即y ﹣（a +b +c +1）＝（3+2a +b ）（x ﹣1）故32321a b a b c ++=⎧⎨++-=⎩，即203a b a b c +=⎧⎨++=⎩，∵有y ＝f （x ）在x ＝﹣2时有极值，故f ′（﹣2）＝0，∴﹣4a +b ＝﹣12，则203412a b a b c a b +=⎧⎪++=⎨⎪-+=-⎩，解得a ＝2，b ＝﹣4，c ＝5，f （x ）＝x 3+2x 2﹣4x +5．f ′（x ）＝3x 2+2ax +b ＝3x 2+4x ﹣4＝（3x ﹣2）（x +2）f （x ）极大＝f （﹣2）＝（﹣2）3+2（﹣2）2﹣4（﹣2）+5＝13,f （1）＝13+2×1﹣4×1+5＝4∴f （x ）在[﹣3，1]上最大值为13．（2）方法一：y ＝f （x ）在区间[﹣2，1]上单调递增，又f '（x ）＝3x 2+2ax +b ，由（1）知2a +b ＝0，∴f '（x ）＝3x 2﹣bx +b ， 依题意f '（x ）在[﹣2，1]上恒有f '（x ）≥0， 即g （x ）＝3x 2﹣bx +b ≥0在[﹣2，1]上恒成立．①在x 6b=≥1时，即b ≥6，g （x ）最小值＝g （1）＝3﹣b +b ＞0，∴b ≥6， ②在x 6b=≤-2时，即b ≤﹣12，g （x ）最小值＝g （﹣2）＝12+2b +b ≥0，则b ∈∅，③在﹣26b ＜＜1时，即﹣12＜b ＜6，g （x ）最小值21212b b -=≥0，综合上述讨论可知，b 取值范围是：[0，+∞）． 解法二：（1）y ＝f （x ）在区间[﹣2，1]上单调递增，又f '（x ）＝3x 2+2ax +b ，由（1）知2a +b ＝0，∴f '（x ）＝3x 2﹣bx +b ，依题意f '（x ）在[﹣2，1]上恒有f '（x ）≥0，即g （x ）＝3x 2﹣bx +b ≥0在[﹣2，1]上恒成立∴b 231x x ≥=-3（x ﹣1）31x ++-6（x ≤1），令m （x ）＝3（x ﹣1）31x +=--3[﹣（x ﹣1）+（11x --）]≤﹣3（＝﹣6，（x ≤1），∴3（x ﹣1）31x ++-6最大值为0，∴（231x x -）max ＝0，∴b ≥0，∴b 取值范围是：[0，+∞）． 【点评】本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性等基本知识，考查计算能力，属于中档题． 21．(本题满分16分) 已知函数2233()[(log )(log )](log )(log )=+--a x a x f x k x a x a ,2()(3)(log log )=-+a x g x k x a ,(其中1a >)，设log log =+a x t x a .（Ⅰ）当(1,)(,)∈+∞x a a 时,试将()f x 表示成t 的函数()h t ,并探究函数()h t 是否有极值（Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，若存在0(1,)x ∈+∞，使00()()f x g x >成立，试求k 的范围. 【答案】（Ⅰ）32()32,(2)h t t kt t k t =-++->；当94k >时()h t 在定义域内有且仅有一个极值，当94k ≤时()h t 在定义域内无极值；（Ⅱ）12k <或12k >. 【详解】【分析】log log a x t x a =+由，可得2222(log )(log )(log log )22a x a x x a x a t +=+-=-333(log )(log )3a x x a t t +=-，进而将()()f x t h t 表示成关于的函数，进而利用导数法。
导数单元测试(含答案)doc资料
导数单元测试【检测试题】一、选择题1. 设函数y二f(x)可导，则lim丄I x)-f(1)等于( ).I 3A x1A . f '(1)B . 3f'(1) C. — f '(1) D .以上都不对32. 已知函数f(x)=ax2+ c,且f (1)=2,则a的值为( )A.1B. 2C. —1D. 03 . f (x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x), g(x)满足f'(x) = g'(x),则f (x)与g(x)满足( )A f(x) =2g(x)B f(x)-g(x)为常数函数C f(x)=g(x)=0D f(x) g(x)为常数函数4. 三次函数y=ax3在内是增函数，贝U ( )1A. a 0B. a 0C. a=1D. a=—335. 已知函数y = x -3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c=( )(A ) -2 或 2 ( B) -9 或 3 ( C) -1 或 1 ( D) -3 或 16. f'(x0)=0是可导函数y=f(x)在点x=X0处有极值的()A.充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .非充分非必要条件7.曲线f (x) = x3+ x- 2在p0处的切线平行于直线y = 4x- 1，贝U P0点的坐标为( )A (1,0)B (2,8)C (1,0)和(-1,旳D&设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(X)，且函数y=(1_x)f'(x)的图像如题(8)图所示，则下列结论中一定成立的是( )(A )函数f(x)有极大值f (2)和极小值f(1)(B)函数f(X)有极大值f(—2)和极小值f(1)(C) 函数f (x)有极大值f⑵和极小值f ( _2)(D) 函数f(x)有极大值口一2)和极小值彳⑵9.已知函数y = f (x), y二g(x)的导函数的图象如下左图，那么y = f (x) , y二g(x)的图象可能是二、填空题13.函数y =x 3 -x 2 -x 的单调区间为14•已知函数f(x) =x 3 ax 在R 上有两个极值点，则实数 a 的取值范围是15•已知函数f(x)=ax —lnx ，若f(x )A1在区间(1,址)内恒成立，则实数 a 的范围为 ___________________________316. f (x ) = ax — 3x +1 对 x € [ —1,1]总有 f (x ) >0 成立，则 a = ____________ . 三、解答题： 17.如图，一矩形铁皮的长为 8cm,宽为5cm,在四个角上截去 四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长 为多少时，盒子容积最大？318•已知函数 f(x)二 ax 3(a 2)x 2 6x-3 2(1)当a 2时，求函数f (x)极小值；2=2x 上两点A(x 1, y 1) > B(x 2, y 2)关于直线y = X ■ m 对称，且x 1 x 2于( )C .11.设点P 在曲线点Q 在曲线y = ln(2x)上，则PQ 最小值为((A)1 -I n2(C) 1 In 2(D)辽(1 In2)12.已知函数f(x) =ax 3-3x 2 • 1，若f (x)存在唯一的零点X o ，且X o > 0，则a 的取值范围为(A . (2, + g)B . (a, -2)C . (1, + g)D . (a, -1)10 .抛物线 『即CM(2)试讨论曲线鸟二f(X)与X轴公共点的个数。
导数测试试卷及答案
导数测试试卷及答案(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--导数测试试卷 第I 卷（选择题，共60分）一 、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1.函数y =2)13(1-x 的导数是 A.3)13(6-x B.2)13(6-x C.－3)13(6-x D.－2)13(6-x2.若f (x )在［a ,b ］上连续，在(a ,b )内可导，且x ∈(a ,b )时，f ′(x )>0,又f (a )<0,则(x )在［a ,b ］上单调递增，且f (b )>0 (x )在［a ,b ］上单调递增，且f (b )<0 (x )在［a ,b ］上单调递减，且f (b )<0(x )在［a ,b ］上单调递增，但f (b )的符号无法判断 3.若f (x )=sin α－cos x ,则f ′(α)等于α α α+cos α α4下列说法正确的是.A.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极大值B.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极小值C.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极值D.当f (x 0)为函数f (x )的极值且f ′(x 0)存在时，则有f ′(x 0)=0 5.下列说法正确的是A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值6.物体运动方程为s =41t 4－3,则t =5时的瞬时速率为m/s m/s m/s m/s7. 下列求导运算正确的是 ( )A.211()1x x x B.21(log )ln 2x x C. 2(cos )2sin x x x x D. 3(3)3log x x e8. 函数21x y x的导数为 ( )A.2221(1)x yx B.3211x x yx C.2211x yx D.211x y x 9.下列求导数运算正确的是 A.（x +x 1）′=1+21xB.(log 2x )′=2ln 1xC. (3x )′=3x log 3eD.(x 2cos x )′=－2x sin x 10.过曲线y =11+x 上点P （1，21）且与过P 点的切线夹角最大的直线的方程为－8x +7=0+8x +7=0 +8x －9=0－8x +9=011.函数y =sin32x 的导数为 (cos32x )·32x ·ln3B.(ln3)·32x ·cos32x·cos32x12．已知函数)(()(x f x f x y ''=其中的图象如右图所示))(的导函数是函数x f ，下面四个图象中)(x f y =的图象大致是 （ ）A B C D第II 卷（非选择题，共90分）二 填空题：本题共4小题，共16分，把答案填在题中的横线上13.函数y =(1+sin3x )3是由___________两个函数复合而成. 14.函数f (x )=cos 2x 的单调减区间是___________.15.与直线2x －6y +1=0垂直，且与曲线y =x 3+3x 2－1相切的直线方程是____ 16.函数y =2x 3－3x 2－12x +5在［0，3］上的最小值是___________ 三 解答题：本 大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
导数单元测试题(含答案)
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导数测试题(含答案)
导数测试题姓名 班别 座号 分数一、选择题答题卡：二．填空题答题卡13. 14.15. 16.1.曲线x y e =在点A （0,1）处的切线斜率为（ ）A.1B.2C.eD.1e2.设x x x x f ln 42)(2--=，则0)('>x f 的解集为（ ）A. ),0(+∞B. ),2()0,1(+∞-C. ),2(+∞D.)0,1(- 3.已知曲线()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（ ）A ．9B ．6C ．-9D ．-64. 设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．35.函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为（ ）（A ）（-1,1] （B ）（0,1] （C.）[1，+∞） （D ）（0，+∞）6.设函数f （x ）=2x +lnx 则 （ ） A ．x=12为f(x)的极大值点 B ．x=12为f(x)的极小值点C ．x=2为 f(x)的极大值点D ．x=2为 f(x)的极小值点 7.曲线3ln 2y x x =++在点0P 处的切线方程为410x y --=,则点0P 的坐标是 （ ）A ．(0,1)B ．(1,1)-C ．(1,3)D ．(1,0)8.设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是（ ）9.设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则点P 横坐标的取值范围为 ( ) A ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．[]1,0- C ．[]0,1 D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦10.已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 （ ）（A ）21y x =- （B ）y x = （C ）32y x =- （D ）23y x =-+11.设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为 （ ）A ．4B ．14-C ．2D ．12- 12.设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则12n x x x ⋅⋅⋅的值为 （ ） (A) 1n (B) 11n + (C) 1n n + (D) 1 二．填空题13.曲线y=x 3-x+3在点（1，3）处的切线方程为 ．14.若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴,则a =____________. 15.若函数2()1x a f x x +=+在1x =处取极值，则a =16.已知函数32()42f x x ax x =-+-=在处取得极值,若,[1,1],()()m n f m f n '∈-+则的最小值是_______.三．解答题17.函数()2ln 2x f x k x =-，0k >． （I ）求()f x 的单调区间和极值；（II ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(上仅有一个零点．。
(完整版)导数单元测试题(含答案)
导数单元测试题〔实验班用〕一、选择题1．曲线323y x x =-+在点(1,2)处的切线方程为( )A .31y x =-B .35y x =-+C .35y x =+D .2y x = 2．函数21()e x f x x +=⋅,[]1,2-∈x 的最大值为( )．A .14e -B . 0C .2eD . 23e 3.假设函数3()3f x x x a 有3个不同的零点，那么实数a 的取值范围是〔 〕A.(2,2)B.2,2C.(,1)D.(1,)4.假设函数3()63f x x bxb 在(0,1)内有极小值，那么实数b 的取值范围是〔 〕A.1(0,)2B. (,1)C. (0,)D. (0,1)5.假设2a >，那么函数321()13f x x ax 在区间(0,2)上恰好有( )A ．0个零点B ．3个零点C ．2个零点D ．1个零点6．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为〔 〕Ａ．294eＢ．22eＣ．2eＤ．22e7．函数()f x 的图象如下图，以下数值排序正确的选项是( )．A .(3)(2)0(2)(3)32f f f f -''<<<-B .(3)(2)0(3)(2)32f f f f -''<<<-C . (3)(2)0(3)(2)32f f f f -''<<<-D .(3)(2)0(2)(3)32f f f f -''<<<-8设(),()f x g x 分别是R 上的奇函数和偶函数, 当0x时,''()()()()0f x g x f x g x ,且(3)0g ，那么不等式()()0f x g x 解集是( )A ．(3,0)(3,) B ．(3,0)(0,3) C ．(,3)(3,) D ．(,3)(0,3)9．函数ln ln ()a x f x x+=在1,上为减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．a eB ．0a eC ．a eD ．10ea <<10．假设函数)(x f 的导数是)1()(+-='x x x f ，那么函数()(1)g x f x =--的单调减区间是( )A ．(1,0)-B ．(,1),(0,)-∞-+∞C ．(2,1)--D ．(,2),(1,)-∞--+∞ 11．二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，那么(1)'(0)f f 的最小值为〔 〕 A ．3 B ．52 C ．2 D ．3212．函数2()ln 22a f x x x x =--存在单调递减区间，那么a 的取值范围是〔 〕(A)[1,)-+∞ (B) (1,)-+∞ (C) (,1)-∞- (D) (,1]-∞- 二、填空题13.假设函数2()2ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函数，那么实数k 的取值范围是 . 14．点P 在曲线323+-=x x y 上移动，设在点P 处的切线的倾斜角为为α，那么α的取值范围是15．函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，那么M m -=_________16．函数()f x 的定义域为[]15,-，局部对应值如下表，()f x 的导函数()y f x '=的图象如下图. 以下关于()f x 的命题： ①函数()f x 的极大值点为0，4； ②函数()f x 在[]02,上是减函数；③如果当[]1x ,t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点； ⑤函数()y f x a =-的零点个数可能为0，1，2，3，4个． 其中正确命题的序号是 ． 三、解答题17．函数)0()(23≠++=a cx bx ax x f ，当1-=x 时()f x 取得极值5，且11)1(-=f ．〔1〕求()f x 的单调区间和极小值；〔2〕证明对任意12,x x )3,3(-∈，不等式32|)()(|21<-x f x f 恒成立． 18．函数)1ln(2)(2++=x ax x f ,其中a 为实数． 〔1〕假设()f x 在1=x 处有极值，求a 的值；(2) 假设()f x 在]32[，上是增函数，求a 的取值范围． 19．函数2()ln(1)()f x x ax a x a R =---∈． 〔1〕当1=a 时，求函数)(x f 的最值； 〔2〕求函数)(x f 的单调区间．20．某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的本钱20元，并且每公斤蘑菇的加工费为x －1 0 4 5 ()f x1221t 元〔t 为常数，且25)t ≤≤，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x 元〔2540x ≤≤〕，根据市场调查，日销售量q 与e x成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．〔1〕求该工厂的每日利润y 元与每公斤蘑菇的出厂价x 元的函数关系式；〔2〕假设5=t ，当每公斤蘑菇的出厂价x 为多少元时，该工厂的利润y 最大，求最大值．21．函数1ln ()x f x x+=．〔1〕假设函数在区间1(,)2a a +(0)a >上存在极值，求实数a 的取值范围；〔2〕如果当1≥x 时，不等式()1≥k f x x +恒成立，求实数k 的取值范围．22．设函数2()(1)2ln(1).f x x x =+-+ 〔1〕求函数()f x 的单调区间；〔2〕当11,1xe e时,()f x m 不等式<恒成立，求实数m 的取值范围； 〔3〕假设关于x 的方程2()f x x x a =++在0,2上恰有两个相异实根，求实数a 的取值范围．导数单元测试题答案一、选择题 ACAAD DBDAA CB 二、填空题13.312k14.30,,2415.32 16. ①②⑤三、解答题17.解：〔1〕2()32(0)f x ax bx c a '=++≠，由题意得(1)11(1)5(1)0f f f =-⎧⎪-=⎨⎪'-=⎩ ，即115320a b c a b c a b c ++=-⎧⎪-+-=⎨⎪-+=⎩ ，解得139a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，，.因此x x x x f 93)(23--=，2()3693(1)(3)f x x x x x '=--=+-．当 ),3()1,(+∞--∞∈ x 时，'()0f x >；当)3,1(-∈x 时，'()0f x <． 所以函数()f x 的单调增区间为)1,(--∞和),3(+∞；单调减区间为)3,1(-. 故函数()f x 在3=x 处取得极小值，()(3)27f x f ==-极小值．〔2〕由〔Ⅰ〕知32()39f x x x x =--在)1,3(--上递增，在)3,1(-上递减， 所以max ()(1)5f x f =-=；min ()(3)27f x f =±=-．所以，对任意12,x x )3,3(-∈恒有 12|()()||5(27)|32f x f x -<--=．18．解：〔1〕由得()f x 的定义域为)1(∞+-，. 又2()2,1f x ax x '=++ 因为()f x 在1=x 处有极值，(1)210f a '∴=+=，解之得 1.2a =-〔2〕依题意得()0≥f x '对[23]x ∀∈，恒成立， 即 201≥ax x 2++对[23]x ∀∈，恒成立． 221111()24a x x x ∴>=---++ 对[23]x ∀∈，恒成立．211[23]()24x x ∈∴-++，， [12,6],∈-- 41)21(12++-∴x 11[,],612∈-- 112≥a ∴-．19．解：〔1〕函数2()ln(1)()f x x ax a x a =---∈R 的定义域是(1,)+∞．当1a =时，32()12()2111x x f x x x x -'=--=--， 所以()f x 在3(1,)2为减函数在3(,)2+∞为增函数，所以函数()f x 的最小值为33()ln 224f =+.〔2〕22()2()211a x x a f x x a x x +-'=--=--， ①假设0a ≤时，那么22()221,()21a x x a f x x +-+=-≤>0在(1,)+∞恒成立， 所以()f x 的增区间为(1,)+∞．②假设20,12a a +>>则，故当2(1)2a x +∈，，22()2()01a x x f x x +-'=-≤； 当2[,)2a x +∈+∞时，22()2()01a x x f x x +-=-≥． 所以当0a >时，()f x 的减区间为2(1,)2a +，()f x 的增区间为2(,)2a ++∞.20．解：〔1〕设日销量3030,100,100e e e则x k k q k ==∴=, ………………2分所以日销量30100e e xq =．30100e (20)(2540)e x x t y x --∴=≤≤．………………7分〔2〕当5=t 时，30100e (25)exx y -=． ………………8分30100e (26)e xx y -'∴=． ………………9分026由得y x '≥≤，026由得,y x '≤≥[2526][2640]在，上单调递增，在，上单调递减.y ∴4max 26,100e 当时x y ∴==．………………11分当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为4100e 元．……12分 21．解：〔Ⅰ〕因为1ln ()x f x x +=， x >0，那么2ln ()x f x x'=-，当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<． 所以()f x 在〔0，1〕上单调递增；在(1,)+∞上单调递减， 所以函数()f x 在1x =处取得极大值． 因为函数()f x 在区间1(,)2a a +〔其中0a >〕上存在极值，所以1,11,2a a <⎧⎪⎨+>⎪⎩ 解得112a <<． 〔Ⅱ〕不等式(),1k f x x +≥即为(1)(1ln ),x x k x ++≥记(1)(1ln )(),x x g x x ++=那么min (), 1.k g x x ≤≥所以2[(1)(1ln )](1)(1ln )()x x x x x g x x '++-++'=2ln x xx-=． 令()ln h x x x =-，那么1()1h x x'=-，1x ≥，()0,h x '∴≥[()h x ∴在[1,)+∞上单调递增，min ()(1)10h x h ∴==>，从而()(1)0h x h >≥，所以()0g x '>，故()g x 在[1,)+∞上也单调递增， 所以min ()(1)2g x g ==． 所以2k ≤．22．解：〔2〕函数的定义域为。
导数练习题带答案
导数及其应用一、选择题1.一点的导数值为0是函数yf （x ）在这点取极值的（A.成正比，比例系数为 C C.成反比，比例系数为 cB.成正比，比例系数为2C D.成反比，比例系数为2C,）上是单调函数，则实数a 的取值范围是(,、3) (-3, )D .0 3)7. —点沿直线运动，如果由始点起经过刻是A. 1秒末B. 0秒8. 下列等于1的积分是A 充分条件B 必要条件C 充要条件D 必要非充分条件2.y=2x 2 ±一点，则p 处的瞬时变化率为1A . 2 B. 4C. 6 D.-2A.・1 B . 0 C ・1 4.已知函数f （X ） a x 1(x 0） ，右lim f （x ）存在，则 f( 2)x a(x 0)xuA. 4ln25c.2D.R4323•设函数f （X ）二X ・X ，则f （1）的值为（ ） 5•设球的半径为时间t 的函数R t o 若球的体积以均匀速度已知点P(1,2)是曲线()D.5 11】I1I24c 增长，则球的表面积的增长速度与球半径 A (,3][3, )B. [ .3, 3]1 A. xdx1 B. 0(x 1)dx 1C. 1dx函数y f(x)在)6.已知函数f （X ）3x ax 2x 1 在( t 秒后的距离为s it 44C. 4秒末平那么速度为零的时 3（）D. 0,1,4 秒末9叽10;.——- 的值是A.不存在B.0C.2D.10110. o (e x e x)dx =1 2 1A. eB. 2eC.D. e -e e e二、填空题11. ___________________________________________________________ 设f(x) (1 x)6(1 X)5，则函数f(x)中X?的系数是___________________________________________ 。
12. 过原点作曲线y ex的切线，则切点的坐标为_________________ ，切线的斜率为13. 曲线y=x3在点(1,1)切线方程为_______________ •1 32 ，”14. 函数f(x) —ax 2ax x在R上单调递增，则实数a的取值范围为________________________3三、解答题2215. 设函数f(x) (1 x) ln(1 x)(1) 求函数f (x)的单调区间；1(2) 若当x ［1,e 1 ］时，不等式f (x) m恒成立，求实数m的取值范围；e(3) 若矢于X的方程f (x) x2 x a在区间［0,2］上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围。
导数单元测试题.doc
导数单元测试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．下列求导正确的是（ ）A ．ln ln 1()x x x x-'=B ．222()(12)x x xe e x --'=+C ．(6cos )6sin x x '=D ．2ln )2x x'=2．已知直线1y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．－1D ．－23．已知3()f x x ax =-在[1,]+∞上是增函数，则a 的最大值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为（ ）A ．21y x =-B ．y x =C ．32y x =-D ．23y x =-+5．已知函数2()23y f x x x ==--+在区间[,2]a 上的最大值为154，则a 等于（ ） A ．32-B ．12C ．12-D ．1322-或6．已知()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，那么()f x 的图象最有可能是（ ）7．函数32()f x x x x =--的单调减区间是（ ）A ．1(,)3-∞-B ．(1,)+∞C ．1(,),(1,)3-∞-+∞D ．1(,1)3-8．已知32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围为（ ）A ．12a -<<B ．36a -<<C ．12a a <->或D ．36a a <->或9．设a R ∈，若函数3,axy e x x R =+∈有大于零的极值点，则（ ）A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <-10．等比数列{}n a 中，132,4a a ==，函数128()()()()f x x x a x a x a =---…，(0)f '等于（ ）A ．26B ．29C ．212D ．215二、填空题（共20分）11．设()f x 是偶函数，若曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线的斜率为1，则该曲线在点(1,(1))f --处的切线的斜率为 。
2020年湖南省湘西市永顺县第一中学高一数学理模拟试题含解析
【解答】解：由A中不等式变形得：2﹣3＜2﹣x＜2﹣1，即﹣3＜﹣x＜﹣1，
解得：1＜x＜3，即A={x|1＜x＜3}，
由B中不等式变形得：log2（x﹣2）＜1=og22，即0＜x﹣2＜2，
解得：2＜x＜4，即B={x|2＜x＜4}，
A．（1）（2）（3）B．（1）（4）C．（1）（2）（4）D．（2）（4）
参考答案：
C
试题分析：如图（1）所示，在平面内不可能由符合题的点；
如图（2），直线 到已知平面的距离相等且所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符合题意的点；
如图（3），直线 所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线，
因此， 的最小值为 ，
故选： ．
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．
二、
11.已知 与 均为单位向量，它们的夹角为 ，那么 等于______
参考答案：
略
12.若集合M={x| x2+x-6=0}，N={x| kx+1=0}，且N M，则k的可能值组成的集合为.
故选：D．
【点评】本题主要考查映射的定义，对应A中任意元素都有元素和之对应，而且对应是唯一的．
7.全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={1，3，5，7}，N={2，5，8}则（?UM）∩N=( )
A．UB．{1，3，7}C．{2，8}D．{5}
参考答案：
C
【考点】交、并、补集的混合运算．
可得 = =0，
可得 =4．
故答案为：4．
三、
18.盐化某厂决定采用以下方式对某块盐池进行开采：每天开采的量比上一天减少p%，10天后总量变为原来的一半，为了维持生态平衡，剩余总量至少要保留原来的 ，已知到今天为止，剩余的总量是原来的 ．
2020年湖南省湘西市永顺第一高级中学高二数学理模拟试卷含解析
2020年湖南省湘西市永顺第一高级中学高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 平面α，β及直线l满足：α⊥β，l∥α，则一定有A．l∥β B．l?β C．l与β相交 D．以上三种情况都有可能参考答案：D略2. 在二项式的展开式中存在常数项，则n的值不可能为（）A．12 B．8 C．6 D．4参考答案：C【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】求出展开式的通项，化简后，从x 的指数分析解答．【解答】解：二项式的展开式通项为=，因为二项展开式中存在常数项，所以3n﹣4r=0成立，所以n的值不可能为6；故选：C．【点评】本题考查了二项展开式的特征项求法；关键是正确写出展开式的通项，化简后从字母的指数进行分析．3. 若复数为纯虚数，则实数的值为（）A． B．0 C．2D．或2参考答案：A略4. 函数的单调递减区间为 ( )A．（1,1] B．（0,1] C．[1，+∞）D．（0，+∞）参考答案：B略5. 在区域内任取一点P，则点P落在单位圆x2＋y2＝1内的概率为( )A. B. C. D.参考答案：D略6. 已知抛物线C：x2=4y，点M（x0，y0）满足＜4y0，则直线l：x﹣x0=t（y﹣y0），（t∈R）与抛物线C公共点的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．1或2参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意，点M（x0，y0）满足，M在抛物线的内部，即可得出结论．【解答】解：由题意，点M（x0，y0）满足，M在抛物线的内部，∵直线l：x﹣x0=t（y﹣y0），（t∈R），∴直线l：x﹣x0=t（y﹣y0），（t∈R）与抛物线C公共点的个数是1或2．7. 抛物线在点处的切线的倾斜角是( )A. 30B.45C.60 D. 90参考答案：B8. 直线平面，，则与的关系为（）A．，且与相交 B．，且与不相交C． D．与不一定垂直参考答案：C略9. 9．某工程的工序流程如图所示，现已知工程总时数为10天，则工序c所需工时为天．A．3 B.4 C.5 D.6参考答案：B略10. 已知集合，，则（）A． B． C． D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 三段论式推理是演推理的主要形式，“函数的图像是一条直线”这个推理所省略的大前提是参考答案：一次函数图象是一条直线12. 设随机变量服从正态分布,若,则参考答案：略13. 下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：设第个图有个树枝，则与之间的关系是______________参考答案：14. 已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+ y2 = 16相切，则p的值为_________.参考答案：2略15. 已知直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围为参考答案：且略16. 抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下:则成绩较为稳定的那位运动员成绩的方差为.参考答案：2.略17. 某校高三年级的学生共1000人，一次测验成绩的分布直方图如图所示，现要按如图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取50人了解情况，则在80～90分数段应抽取人数为．参考答案：20【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】根据分层抽样知在各层抽取的比例是：，把条件代入，再由抽取人数，求出在80～90分数段应抽取人数．【解答】解：根据题意和分层抽样的定义知，在80～90分数段应抽取人数为×50=20．故答案为：20．【点评】本题考查了频率分布直方图，分层抽样方法的应用，即根根据题意求出抽取比例和在各层抽取的个体数．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
高中数学单元达标之导数综合问题单元过关检测卷+详细解答
高中数学单元达标之导数综合问题单元过关检测卷+详细解答一、单选题（共60分，每题5分）1．32+=x x y 的导数是( )A ．()2236+-x x xB ．362++x x xC ．()223+x x D ． 22)3(6++x x x 2．给出下列五个导数式：①()434x x '=；②()cos sin x x '=；③()22ln 2x x '=；④()1ln x x '=-；⑤211x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭. 其中正确的导数式共有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．设()f x 在2x =处有导数，则0(2)(2)lim 2x f x f x x∆→+∆--∆=∆( )A ．2(2)f 'B ．1(2)2f ' C ．()2f 'D ．4(2)f '4．函数()f x 的导数为()'f x ，对任意的正数x 都有()()2'f x xf x >成立，则（ ） A ．()()9243f f > B ．()()9243f f <C ．()()9243f f =D ．()92f 与()43f 的大小不确定5．已知函数()ln f x x =，()f x '是()f x 的导数，()f x '的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知函数22(1)sin ()1x xf x x ++=+，其中()f x '为函数()f x 的导数，则(2018)(2018)(2019)(2019)f f f f ''+-+--=（ ）A ．2B ．2019C ．2018D ．07．若函数f (x )于x 0处存在导数，则()()000limh f x h f x h→+-( )A ．与x 0，h 都有关B ．仅与x 0有关而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0，h 均无关 8．函数在处的导数的几何意义是（ ）A ．在处的函数值B ．在点处的切线与x 轴所夹锐角的正切值C ．曲线在点处的切线斜率D ．点与点（0,0）连线的斜率 9．设分别是函数的导数，且满足，.若ABC ∆中，C ∠是钝角，则A ．(sin ).(sin )(sin ).(sin )f A gB f B g A > B ．(sin ).(sin )(sin ).(sin )f A g B f B g A <C ．(cos ).(sin )(sin ).(cos )f A g B f B g A >D ．(cos ).(sin )(sin ).(cos )f A g B f B g A <10．已知函数()2bf x x ax =+的导数()23f x x '=+，则数列()()*12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N 的前n项和是（ ）A ．1nn +B ．()121n n -+C ．()22n n +D ．()()12nn n ++11．如图，00(,())P x f x 是函数()y f x =图像上一点，曲线()y f x =在点P 处的切线交x 轴于点A ，PB x ⊥轴，垂足为B ，若PAB ∆的面积为12，0'()f x 为函数()f x 在o x x =处的导数值，则 0'()f x 与0()f x 满足关系式（ ）A ．00f x f x ='()()B ．200f x f x ⎡⎤=⎣⎦'()() C ．00f x f x =-'()() D ．200f x f x ⎡⎤=⎣⎦'()()12．对于三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()'f x 是函数()y f x =的导数，()f x "是()'f x 的导数，若方程()0f x "=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数()3211533212g x x x x =-+-，则122018(201920192019g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭) A ．2016B ．2017C ．2018D ．2019二、填空题（共20分，每题5分）13．已知函数()xf x xe =，()1'f x 是函数()f x 的导数，若()1n f x +表示()'n f x 的导数，则()2017f x =__________．14．设()1cos f x x =，定义()1n f x +为()n f x 的导数，即()()'1n n f x f x +=，n ∈+N ，若ABC的内角A 满足()()()1220140f A f A f A ++⋅⋅⋅+=，则sin A =______.15．已知函数()3f x x =，设曲线()y f x =在点()()11P x f x ，处的切线与该曲线交于另一点()()22Q x f x ，，记()f x '为函数()f x 的导数，则()()12f x f x ''的值为_____．16．设fx 是函数()y f x =的导数，()f x ''是fx 的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心.设()32182233f x x x x =-++，则数列{}n a 的通项公式为1007n a n =-，则()20171ii f a ==∑__________．三、解答题（共70分） 17．（10分）已知函数211()ln()4f x x x x a a=-++，其中常数0a >． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）已知102a <<，()f x '表示()f x 的导数，若1212,(,),x x a a x x ∈-≠，且满足12()()0f x f x ''+=，试比较12()f x x '+与(0)f '的大小，并加以证明．18．（12分）已知函数()()21ln 22f x ax f x ⎛⎫+⎪⎝⎭'= ()a R ∈，()f x '为()f x 的导数. （1）若曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为20x y +=，求a 的值； （2）已知2a =-，求函数()f x 在区间1,22e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值. 19．（12分）已知函数，其中常数．（1）当时，求函数的单调区间； （2）已知，表示的导数，若，且满足，试比较与的大小，并加以说明．20．（12分）已知函数()3223332xf x e x x =+-+，()()g x f x '=，()f x '为()f x 的导数.()1求证：()g x '在区间[]0,1上存在唯一零点；（其中，()g x '为()g x 的导数） ()2若不等式()()2331g x x a x ≥+-+在[)1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.21．（12分）已知函数2()()ln 2a x f x x +=+（a ∈R ）.（Ⅰ）若函数()()(1)ln h x f x x a x =--+，讨论()h x 的单调性；（Ⅱ）若函数()f x 的导数()f x '的两个零点从小到大依次为1x ，2x ，证明：()1222x x f x +<. 22．（12分）对于三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()'f x 是函数()y f x =的导数，()''f x 是()'f x 的导数，若方程()''0f x =有实数解0x ，则称点()()0,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若()3211533212f x x x x =++-，请你根据这一发现. （1）求函数()3211533212f x x x x =++-对称中心；（2）求1234201320142014201420142014f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.高中数学单元达标之导数综合问题单元过关检测卷+详细解答一、单选题（共60分，每题5分）1．32+=x x y 的导数是( )A ．()2236+-x x xB ．362++x x xC ．()223+x x D ． 22)3(6++x x x【答案】D【解析】()()()()()()()2222222'33'236'333x x x x x x x x xy x x x +-++-+===+++.故D 正确.2．给出下列五个导数式：①()434x x '=；②()cos sin x x '=；③()22ln 2x x '=；④()1ln x x '=-；⑤211x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭. 其中正确的导数式共有（ ） A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个【答案】A 【解析】①正确；②改为()cos sin x x '=- ；③正确；④改为()1ln x x'=；⑤改为211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭故正确的有2个，故选A. 3．设()f x 在2x =处有导数，则0(2)(2)lim 2x f x f x x∆→+∆--∆=∆( )A ．2(2)f 'B ．1(2)2f ' C ．()2f 'D ．4(2)f '【答案】C【解析】根据导数的定义可知，()()()()()0022222limlim x x f x f f x f f x x∆→∆→-∆-⎡⎤+∆-⎣⎦'==∆-∆， 所以0(2)(2)lim2x f x f x x ∆→+∆--∆=∆()()()()022221lim 2x f x f f f x x∆→+∆-+--∆∆()()()()0022221lim lim 2x x f x f f f x x x ∆→∆→+∆---∆⎡⎤=+⎢⎥∆∆⎣⎦()()()02212lim 2x f x f f x ∆→-∆-⎡⎤'=+⎢⎥-∆⎣⎦()()1222f f ''=+⎡⎤⎣⎦()2f '=. 故选：C4．函数()f x 的导数为()'f x ，对任意的正数x 都有()()2'f x xf x >成立，则（ ） A ．()()9243f f > B ．()()9243f f <C ．()()9243f f =D ．()92f 与()43f 的大小不确定【答案】A【解析】由()()2'f x xf x >，得()()'20xf x f x -<，设2()()f x g x x =，则()()243()2()2()x f x xf x xf x f x g x x x ''--'==， 因为x 是正数，所以30x >，又()()'20xf x f x -<，所以()0g x '<， 所以()g x 在0,上单调递减，所以(2)(3)g g >，即22(2)(3)23f f >， 即9(2)4(3)f f >. 故选：A5．已知函数()ln f x x =，()f x '是()f x 的导数，()f x '的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为函数()ln f x x =的定义域为(0,)+∞，所以1()f x x'=的定义域也为(0,)+∞，所以其图象为所比例函数在第一象限的部分，故应选C.6．已知函数22(1)sin ()1x xf x x ++=+，其中()f x '为函数()f x 的导数，则(2018)(2018)(2019)(2019)f f f f ''+-+--=（ ）A ．2B ．2019C ．2018D ．0【答案】A【解析】22222(1)sin 21sin 2sin ()1111x x x x x x xf x x x x ++++++===++++ 令()22sin 1x xg x x +=+，则有()()()1,()f x g x f x g x ''=+= 因为()g x 的定义域是R ，()()22sin 1x xg x g x x ---==-+ 所以()g x 是奇函数，所以()g x '是偶函数所以(2018)(2018)0g g +-=，()()201920190g g ''--= 所以(2018)(2018)(2019)(2019)f f f f ''+-+--()()()()2018120182019201921g g g g =++-++''--=故选：A7．若函数f (x )于x 0处存在导数，则()()000limh f x h f x h→+-( )A ．与x 0，h 都有关B ．仅与x 0有关而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0，h 均无关【答案】B【解析】依据导数的定义，函数f (x )在x 0处可导，其导数仅与x 0有关，故选B ． 答案：B 8．函数在处的导数的几何意义是（ ）A ．在处的函数值B ．在点处的切线与x 轴所夹锐角的正切值C ．曲线在点处的切线斜率D ．点与点（0,0）连线的斜率【答案】C 【解析】由导数的几何意义可知，函数在的导数为曲线在点处的切线的斜率． 9．设分别是函数的导数，且满足，.若ABC ∆中，C ∠是钝角，则A ．(sin ).(sin )(sin ).(sin )f A gB f B g A > B ．(sin ).(sin )(sin ).(sin )f A g B f B g A <C ．(cos ).(sin )(sin ).(cos )f A g B f B g A >D ．(cos ).(sin )(sin ).(cos )f A g B f B g A < 【答案】C 【解析】 因为()()()()()()()'2[]0f x f x g x f x g x g x g x -=>⎡⎤⎦'⎣'在0x >时成立，所以()()f xg x 在()0,+∞为增函数，又因为C ∠为钝角，所以ππ0,22A B B A <+<<-，则cos sin 0A B >>，所以()()()()cos sin cos sin f A f B g A g B >，所以()()()()cos .sin sin .cos f A g B f B g A >.故选C.10．已知函数()2bf x x ax =+的导数()23f x x '=+，则数列()()*12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N 的前n项和是（ ）A ．1nn +B ．()121n n -+C ．()22n n +D ．()()12nn n ++【答案】C 【解析】()2b f x x ax =+，()21223b f x bx a x -'∴=+=+，则223b a =⎧⎨=⎩，得31a b =⎧⎨=⎩，()23f x x x ∴=+，()()()2111112321212f n n n n n n n ∴===-+++++++，因此，数列()()*12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N 的前n 项和111111233412n S n n =-+-++-++()112222nn n =-=++. 故选：C.11．如图，00(,())P x f x 是函数()y f x =图像上一点，曲线()y f x =在点P 处的切线交x 轴于点A ，PB x ⊥轴，垂足为B ，若PAB ∆的面积为12，0'()f x 为函数()f x 在o x x =处的导数值，则 0'()f x 与0()f x 满足关系式（ ）A ．00f x f x ='()()B ．200f x f x ⎡⎤=⎣⎦'()() C ．00f x f x =-'()() D ．200f x f x ⎡⎤=⎣⎦'()() 【答案】B【解析】切线方程是()()000x x x f y y -'=-，令0=y ，得()000x f y x x A '-=，()000x f y x x AB A '=-=，那么()2121210200='⨯=⨯⨯=x f y y AB S ，得到()()[]20200x f y x f =='，故选B ．12．对于三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()'f x 是函数()y f x =的导数，()f x "是()'f x 的导数，若方程()0f x "=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数()3211533212g x x x x =-+-，则122018(201920192019g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭) A ．2016 B ．2017C ．2018D ．2019【答案】C【解析】函数()3211533212g x x x x =-+-， 函数的导数()2'3g x x x =-+，()'21g x x =-， 由()0'0g x =得0210x -=， 解得012x =，而112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故函数()g x 关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称，()()12g x g x ∴+-=，故设122018...201920192019g g g m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则201820171...201920192019g g g m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相加得220182m ⨯=，则2018m =，故选C. 二、填空题（共20分，每题5分）13．已知函数()xf x xe =，()1'f x 是函数()f x 的导数，若()1n f x +表示()'n f x 的导数，则()2017f x =__________． 【答案】()2017xx e +【解析】依题意()()11x x xf x e xe x e '=+=+，()()()()2112x x x xf x x e e x e x e '⎡⎤=+=++=+⎣⎦，()()()()3223x x x xf x x e e x e x e '⎡⎤=+=++=+⎣⎦，以此规律，可推出()()20172017x f x x e =+，故答案为()2017x x e +.14．设()1cos f x x =，定义()1n f x +为()n f x 的导数，即()()'1n n f x f x +=，n ∈+N ，若ABC的内角A 满足()()()1220140f A f A f A ++⋅⋅⋅+=，则sin A =______.【答案】2【解析】1()cos f x x =，1()()n n f x f x +='，21()()sin f x f x x ∴='=-， 32()()cos f x f x x ='=-， 43()()sin f x f x x '==， 54()()cos f x f x x ='=， 65()()sin f x f x x ='=-，1()()n n f x f x +∴='，具备周期性，周期为4．且1234()()()()cos sin cos sin 0f x f x f x f x x x x x +++=--+=，因为2014=4503+2⨯， 1()f A 2()f A +2014()f A +⋯+0=，1()f A ∴2()f A +cos sin 0,tan 1,0A A A A π=-=∴=<<4A π∴=，所以sin A =15．已知函数()3f x x =，设曲线()y f x =在点()()11P x f x ，处的切线与该曲线交于另一点()()22Q x f x ，，记()f x '为函数()f x 的导数，则()()12f x f x ''的值为_____．【答案】14【解析】因为函数()3f x x =，所以()23f x x '=；则曲线()y f x =在点11(,())P x f x 处的切线斜率为()21113k f x x =='，所以曲线()y f x =在点11(,())P x f x 处的切线方程为：321113()y x x x x -=-，联立()3f x x =得：32321111320()(2)0x xx x x x x x -+=⇒-+=，即212x x =-，所以()22221312f x x x=='，则()()1214f x f x =''，故答案为14.16．设fx 是函数()y f x =的导数，()f x ''是fx 的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心.设()32182233f x x x x =-++，则数列{}n a 的通项公式为1007n a n =-，则()20171ii f a ==∑__________．【答案】4034【解析】对函数求导()2843f x x x =-+'，再求导()24f x x ='-'．由题可得拐点()2,2，三次函数有对称中心()2,2．则有()()()22224f x f x f -++==．则()()()()()120171006100510041003...(1007)i i f a f f f f f =∑=-+-+-+-+++(1008)(1009)(1010)f f f ++＝()()()()()()()1006(1010)1005(1009)1004(1008)1003...132f f f f f f f f f f -++-++-++-++++()1008424034f =⨯+=．故本题应填4034．三、解答题（共70分） 17．（10分）已知函数211()ln()4f x x x x a a=-++，其中常数0a >． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）已知102a <<，()f x '表示()f x 的导数，若1212,(,),x x a a x x ∈-≠，且满足12()()0f x f x ''+=，试比较12()f x x '+与(0)f '的大小，并加以证明．【答案】（1）当a =()f x 在()+∞上为增函数；当a >时， ()f x 在(0,)+∞，22(,)a a a --上为增函数，在22(,0)a a -上为减函数；当0a <<时， ()f x 在22(,)a a -+∞，(,0)a -上为增函数，在22(0,)a a-上为减函数；（2）12()f x x '+<(0)f '，证明见解析．【解析】（1）求出()f x 的导数)(x f '并因式分解，按照202,2<<>=a a a 和三种情况讨论在()f x 定义域内各个区间上导数的符号，从而判断函数()f x 的单调性；（2）把)(x f '设为一个新函数)(x g ，用导数判断出其在）（a a ,-上的单调性，根据0)0(='f 和12()()0f x f x ''+=代入化简得到21x x +的范围和21x x ，的关系，整理12()f x x '+，把令t a x =+1构造新函数)(t h 再判断其单调性，从而使问题得到解答．试题解析：解：（1）函数()f x 的定义域为(,)a -+∞，2111(2)()(,0)22()x ax a f x x x a a a x a a x a -+'=-+=>->++由()0,f x '=得10x =，222a x a-=，当a =2()0f x '=≥，所以()f x在()+∞上为增函数；当a > 2220a a x a --<=<，所以()f x 在(0,)+∞，22(,)a a a --上为增函数；在22(,0)a a-上为减函数；当0a <<时，220a a ->，所以()f x 在22(,)a a -+∞，(,0)a -上为增函数；在22(0,)a a-上为减函数；（2）令111()()()2g x f x x a x a a x a'==-+-<<+ 则22211()2()2()2()x a g x x a x a +-'=-=++ 221,02,()41(0)2a x a x a a x a a a -<<∴<+<∴+<<<<，()0,()g x g x '∴<∴在(,)a a -上为减函数，即()f x '在(,)a a -上为减函数以题意，不妨设12x x <，又因为12(0)0,()()0f f x f x '''=+=， 所以，120a x x a -<<<<，所以，10,x a a <+<且12a x x a -<+<， 由12()()0f x f x ''+=，得12122112x x a x a x a+=--++， 12121211()2x x f x x a x x a+'∴+=-+++， 12121111a x x a x a x a=+--++++， 令1t x a =+，221111()(0)h t t a a t x t x a=+--<<++ 则22222222222222()(2)11()0()()()t x t t x x h t t x t t x t t x t+-+'=-+==>++⋅+⋅， 所以，()h t 在(0,)a 内为增函数，又因为1(0,)t x a a =+∈所以，()()0h t h a <==，即：121211110a x x a x a x a+--<++++ 所以，)0()(21f x x f '<+'．18．（12分）已知函数()()21ln 22f x ax f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭'= ()a R ∈，()f x '为()f x 的导数. （1）若曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为20x y +=，求a 的值； （2）已知2a =-，求函数()f x 在区间1,22e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值. 【答案】(1) 2a =.(2) max ()f x=1ln 22-+min ()f x =213e -+.【解析】分析：（1）由()()21ln 22f x ax f x ⎛⎫+⎪⎝⎭'=，得11222f af ''⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由切线斜率得12,2f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，从而得解； （2）先求导得1223f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝，进而得()83x x f x x⎛- ⎝⎭⎝⎭'=，分析导数正负得函数单调性，进而得()max f x f =⎝⎭，比较12f ⎛⎫⎪⎝⎭和2e f ⎛⎫⎪⎝⎭，进而得最小值. 详解：（1） ()()21ln 22f x ax f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=， ∴ ()1122f x axf x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭''，11222f af ''⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为20x y +=，∴ 12,2f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭从而有222a -=-+，解得2a =.（2）2a =-时，()()212ln 22fx x f x ⎛⎫=-+⎝'⎪⎭，∴ ()1142f x x f x⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭''，从而112222f f ⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''得1223f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝，∴ ()813x f x x -'=+=2833x x-+=83x x x⎛-+ ⎝⎭⎝⎭当1,24x ⎡∈⎢⎣⎭时，()0f x '>，()f x 为增函数；当x ∈,42e ⎛⎤⎥ ⎝⎦时，()0f x '<，()f x 为减函数.所以()max f x =()f x ⎡⎤⎣⎦极大值=f ⎝⎭=1ln 22-+. 又12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=13-，2e f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=213e -+，21133e -+<-， ∴ ()minf x =213e -+ 19．（12分）已知函数，其中常数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）已知，表示的导数，若，且满足，试比较与的大小，并加以说明．【答案】（1）在，上为增函数，在上为减函数；（2）【解析】（1）首先求出函数的定义域为，然后再根据导数在函数单调性中的应用，即可求出函数的单调性； （2）设函数()()y g x a x a =-<<的图象与函数()()y f x a x a ='-<<的图象关于原点对称，利用作差、分解因式的方法得出()()f x g x '>，然后用单调性的定义证明()f x '在()a a -，上单调递减，在这两点基础上结合函数的单调性与奇函数的性质，证出()()120f x x f '+<'． 试题解析：解：（1）函数的定义域为，，由得，，当时，，所以在，上为增函数，在上为减函数， （2）令，则，∵，∴，∴， ∴，∴在上为减函数，即在上为减函数， 依题意，不妨设，又因为，， 所以，∴且，由，得，∴，令，，则，所以在内为增函数，又因为，所以，即，所以．20．（12分）已知函数()3223332xf x e x x =+-+，()()g x f x '=，()f x '为()f x 的导数.()1求证：()g x '在区间[]0,1上存在唯一零点；（其中，()g x '为()g x 的导数） ()2若不等式()()2331g x x a x ≥+-+在[)1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】()1证明见解析；()2(],2e -∞-. 【解析】解：()1证明：()3223332x f x e x x =+-+， ∴()()223x g x f x e x x '==+-，则()43xg x e x '=+-，显然，函数()g x '在区间[]0,1上单调递增. 又()01320g '=-=-<，()14310g e e '=+-=+>， ∴()g x '在区间[]0,1上存在唯一零点.()2由()1知，()223x g x e x x =+-，∴不等式()()2331g x x a x ≥+-+即为()2223331xe x x x a x +-≥+-+，即1x e a x x x≤--在[)1,+∞上恒成立，令()1x e h x x x x=--则()()()222111111x x e x e x h x x x x--+'=+-=-， 当1x ≥时，()1,()10xxu x e x u x e =--'=->，()u x 在[1,)+∞是增函数，()(1)20,10x u x u e e x ∴≥=->∴≥+>∴当1x ≥时，()()2111x e x h x x -+'=-≥()()211110x x x +-+-=，则()h x 在[)1,+∞单调递增，故()()min 12h x h e ==-，故2a e ≤-，∴实数a 的取值范围是(],2e -∞-.21．（12分）已知函数2()()ln 2a x f x x +=+（a ∈R ）.（Ⅰ）若函数()()(1)ln h x f x x a x =--+，讨论()h x 的单调性；（Ⅱ）若函数()f x 的导数()f x '的两个零点从小到大依次为1x ，2x ，证明：()1222x x f x +<. 【答案】（Ⅰ）函数单调性见解析；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）∵2()()ln 2a x h x a x x +=--+∴(1)()()x x a h x x -+'=（0x >）.当0a ≥时，()01h x x '>⇒>，()001h x x '<⇒<< ∴()h x 在(1,)+∞上单调递增，在(0,1)上单调递减；当10a -<<时，()01h x x '>⇒>或0x a <<-，()01h x a x '<⇒-<< ∴()h x 在(1,)+∞，(0,)a -上单调递增，在(,1)a -上单调递减； 当1a <-时，()0h x x a '>⇒>-或01x <<，()01h x x a '<⇒<<- ∴()h x 在(,)a -+∞，(0,1)上单调递增，在(1,)a -上单调递减；当1a =-时，()0h x '≥在(0,)+∞上恒成立，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增； 综上所述：当0a ≥时，()h x 在(1,)+∞上单调递增，在(0,1)上单调递减；当10a -<<时，()h x 在(1,)+∞，(0,)a -上单调递增，在(,1)a -上单调递减； 当1a <-时，()h x 在(,)a -+∞，(0,1)上单调递增，在(1,)a -上单调递减； 当1a =-时，()h x 在(0,)+∞上单调递增.（Ⅱ）∵21()x ax f x x++'=（0x >）.且()f x '的两个零点从小到大依次为1x ，2x∴1x ，2x 是方程210x ax ++=的两个根，∴12121x x a x x +=-⎧⎨=⎩又1>0x ，20x >且12x x <所以1201x x <<<欲证()1222x x f x +<，即证()22122ln 22x a x x x +++< 只需证1211111ln22x x x x ++<令21()ln 222x x g x x x =---（01x <<），()221(21)()2x x g x x--'= ∴()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，∴1()02g x g ⎛⎫≤< ⎪⎝⎭， 即()1222x x f x +<成立. 22．（12分）对于三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()'f x 是函数()y f x =的导数，()''f x 是()'f x 的导数，若方程()''0f x =有实数解0x ，则称点()()0,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若()3211533212f x x x x =++-，请你根据这一发现. （1）求函数()3211533212f x x x x =++-对称中心；（2）求1234201320142014201420142014f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.【答案】（1）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）2013. 【解析】（1）三次函数的对称中心是()0f x ''=的实根，解得12x =，再代入求12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即求得函数的对称中心；（2）根据（1）的结果可知函数的对称中心是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，即任何()()12f x f x -+=，所以12013220142014f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，以此类推，123201310071......1006220122013201420142014201420142f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⨯+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,或采用倒序相加法求和.试题解析：（1）()()2'3,''21f x x x f x x =-+=-，由()''0f x =，即210x -=，解得12x =. 3211111153123222212f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 由题中给出的结论可知，函数()3211533212f x x x x =-+-对称中心为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）由（1）知，函数()3211533212f x x x x =-+-对称中心为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以11222f x f x ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x +-=. 故12013220122,22014201420142014f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 32011100610082,,22014201420142014f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以12342013112012220132014201420142014201422f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=⨯⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.。
《导数》单元测试题.doc
《导数》单元测试题班级 _______________ 姓名 _______________一、选择题：（每小题5分，共50分）1、函数/（兀）在x = x （）处导数f * （x （））的儿何意义是 A. 在点X = X Q 处的斜率；B. 在点（x （）, / （Xo ））处的切线与兀轴所夹的锐角正切值;C. 点（兀°, / （%0 ））与点（0,0）连线的斜率；D. 曲线y = /（无）在点（心，/（◎））处的切线的斜率.A. 函数在闭区间上的极小值一定比极大值小;B. 函数在闭区间上的最人值一定是极人值；C. /（x ）在［d,b ］上一定有最大值；D. /U ） = X 3 + /9X 2+2x4-1,若 |〃|<般，则/（兀）无极值.6、对于R 上可导的任意函数/（兀），若满足（x —1） /（x ）>0,则必有 A. /(0) 4- /(2) <2/(1)； B. /(0) + /(2) <2/(1)；2、 3、 曲线y = x 2-3x 上点P 处切线平行与兀轴，则P 点坐标为 3 9 3 9 3 9 A. （— — , — ）； B. （—，— — ）； C.（——2 4 2 4 2 4函数/（兀）=血3 * * + ］有极值的充要条件是A. a>0 ；B ・ >0； C. QV O ；D.4、设函数/（x ）在定义域内可导，y=f （x ）的图象如图1所示, 图象可能为则导函数y = f\x ）的5.下列说法中正确的是 图1C. f (0) + f (2) >2/(1)；D. / (0) + f (2) >2/(1).7、函数y二兀cosx—sinx在下面哪个区间内是增函数yr、冗A. （ —， 一 ）；B.（龙，2龙）；C. （ —, -—）；D. （ 2兀，3龙）.2 2 2 28、函数/（力的定义域为开区间（a,b ）,导函数广⑴在（ab ）内的图象如图所示，则函数门、曲线y =X 3+x+\在点（1,3）处的切线方程是 _____________ •12、 曲线）=兀3在点（1,］）处的切线与兀轴、直线x = 2所围成的三角形的面积为・ 13、 已知xw/?,奇函数f （x ） = x 3-ax 2-bx-1-c 在［1,H ）上单调，则字母a,b,c 应满足的条件是 _______ •14、己知函数/（x ） = mx m -n的导数为 f （x ） = 8x\ 则m n= _____________ 三、解答题：（第1题14分；第2题12分）15＞已知函数/（x ） = ax' + bx 2+ ex 在点A ：。
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导数单元测试一、本题共8小题，每小题5分，共40分
1．函数y＝sin(π
4－x)的导数为()
A．－cos(π
4＋x)B．cos(
π
4－x) C．－sin(
π
4－x) D．－sin(x＋
π
4)
2.三次函数y=f(x)=ax3+x在x∈(－∞,+∞)内是增函数，则
A.a>0
B.a<0
C.a=1
D.a=
3
1
3．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为()
A．1 B．2 C．－1 D．－2
4.函数1
3
)
(3+
-
=x
x
x
f在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（）A．1，-1 B．1，-17 C．3，-17 D．9，-19
5．已知f(x)＝(x－1)2＋2，g(x)＝x2－1，则f[g(x)]()
A．在(－2,0)上递增B．在(0,2)上递增
C．在(－2，0)上递增D．在(0，2)上递增
6．若f(x)＝－1
2x
2＋b ln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是()
A.[－1，＋∞)
B.(－1，＋∞)
C.(－∞，－1]
D.(－∞，－1)
7. f(x)与g(x)是R上的两个可导函数，若f(x),g(x)满足)
(
)
(x
g
x
f'
=
',则
A. f(x)=g(x)
B.f(x)－g(x)为常数函数
C. f(x)=g(x)=0
D.f(x)+g(x)为常数函数
8．若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋15
4x－9都相切，则a等于()
A．－1或－25
64B．－1或
21
4 C. －1 D. －
25
64
二填空题：本题共5小题，共25分，把答案填在题中的横线上
9. 若曲线3x
y=在点P处的切线的斜率等于3，则点P的坐标为.
10 函数f(x)=cos2x的单调减区间是___________.
11. 曲线)0
)(
,
(3
3≠
=a
a
a
x
y在点处的切线与x轴、直线a
x=所围成的三角形的
积为a
则
,
6
1
=
12．过点P（－1，2）且与曲线y=3x2－4x＋2在点M（1，1）处的切线平行的
直线方程是______.
13．若函数y＝a(x3－x)的单调递减区间为(－
3
3，
3
3)，则a的取值范围是________
14．.若函数a
ax
x
y+
-
=2
3在（0，1）内有极值，则实数a的取值范围为
15. 12、若ax
x
x
f2
)
(2+
-
=与
1
)
(
+
=
x
a
x
g在区间[ 1,2]上都是减函数，则a的取值范围是
三解答题：本大题共6小题，共75分
16．已知32
()2
f x ax ax b
=-+在区间[]
2,1
-上最大值是5，最小值是－11.求()
f x的解析式.
17．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.
(1)求a，b，c的值；(2)试判断x＝±1是函数的极小值点还是极大值点，说明理由．
18．如图，甲、乙两人，甲从位于乙的正东100 km 处开始骑自行车以每小时20 km 的
速度向正西方向前进，与此同时，乙以每小时10 km 的速度向其正北方向跑步前进，则经过多少时间甲、乙相距最近？
19．设函数d cx bx ax x f 42)(23++-=图象关于原点对称，且x ＝1时,)(x f 取极小值.3
2
-
（1）求a 、b 、c 、d 的值；
（2）当]1,1[-∈x 时，图象上是否存在两点，使以该两点为处点的切线互相垂直？
20．已知函数f (x )＝1
3ax 3－bx 2＋(2－b )x ＋1，在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极
小值，且0<x 1<1<x 2<2.
(1)证明a >0； (2)求z ＝a ＋2b 的取值范围．
（1）))((22)(212x x x x a b bx ax x f --=-+-='
),0(1x x ∈时，0)(>'x f
0>∴a
（2） 由限性规划知识，知：直线z ＝a ＋2b 通过()2,476,74B A ⎪⎭
⎫
⎝⎛时z 分别取最小值
最大值 所以：)8,7
16
(
∈Z 21.
设()ln(1)(,,,)f x x ax b a b R a b =++∈为常数，曲线()y f x =与 直线3
2
y x =
在(0，0)点相切. (Ⅰ)求,a b 的值. (Ⅱ)证明：当02x <<时，9()6
x
f x x <
+
⎪⎩
⎪
⎨⎧>'<'>'0)2(0)1(0
)0(f f f ⎪⎩
⎪
⎨⎧>+-<+->-∴025402302b a b a
b。