9概率统计第二章第四节

µ 当 = 0,σ =1,时称X服从标准 正态分布 记为 ~ N(0,1)。 , X
其概率密 度和 分布函 分别用 (x),Φ(x)表示，即 数 ϕ 有
1 ϕ(x) = e 2π
x2 − 2
,
1 x Φ(x) = ∫−∞ e 2π
x > 0, x ≤ 0.
于 P{X >1000} = ∫ 是
+∞
1000
f (x)dx = e−1
各元件的寿命是否超过1000小时是独立的，因此 3个元件使用1000小时都未损坏的概率为 e−3 ，从 而至少有一个已损坏的概率为 1− e−3 ．
正态分布
− 1 f (x) = e 2πσ ( x−µ)2 2σ 2
轴上的函数f(x)，满足条件
1. f ( x ) ≥ 0, 2.
∫
∞
−∞
f ( x )dx = 1,
对于任意的 a, b( a ≤ b ), a也可为 − ∞, b也可为∞, 有
3. P { a ≤ X ≤ b} =
∫
b
a
f ( x )dx ,
则称X是连续型随机变量， 称为X的 则称 是连续型随机变量，( x ) 称为 的概率密度函 f 简称概率密度. 数,简称概率密度.
∫
b
a
f ( x)dx
连续型随机变量等价定义
定义 对于随机 变量X的分布函 F(x), 如果存在 数 非
负函数f (x)，使对于任 意实数有
F ( x) = P{X ≤ x} = ∫ f ( t ) dt
x −∞
则X称为连续型随机变量，其中函数f ( x)称 为X的概率密度函数，简称概率密度 .
注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 连续型随机变量取 的概率等于零.即 的概率等于零 即 P{ X = a} = 0.
设连续型随机变量X概率密度为
满足连续型随机变量 的两个最基本性质
, −∞< x < +∞
其中µ,σ (σ > 0)为常数, 则称X服从参数为µ,σ的正态 分布, 记为X ~ N(µ,σ 2 ).
显然f (x) ≥ 0，下面来证明 ∫
＋∞ －∞
f (x)dx =1
令
x−µ
σ
= t, 得
∫
+∞ −∞
1 e 2πσ
(6) 当固定 σ , 改变 µ 的大小时 , f ( x ) 图形的形状不变 , 只是沿 着 x 轴作平移变换 ;
(7 ) 当固定 µ, 改变 σ 的大小时 , f ( x ) 图形的对称轴 不变 , 而形状在改变 , σ 越小,图形越高越瘦 , σ越大, 图形越矮越胖 .
正态分布的应用与背景 正态分布是最常见最重要的一种分布,例如 正态分布是最常见最重要的一种分布 例如 测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、 测量误差 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、 正常情况下生产的产品尺寸 直径、长度、重量 直径 高度等都近似服从正态分布. 高度等都近似服从正态分布
事实上，若 事实上 若X ～ U(a, b)，则对于满足 ，
a ≤ c < d ≤ b 的c,d, 总有
P{c ≤ X ≤ d} = ∫ f ( x)dx = ∫
c d
d c
1 d −c dx = b−a b−a
X的分布函数为
0, x − a F( x) = , b − a 1 , x<a a ≤ x <b x ≥b
2.4 连续型随机变量及其概率密度
１．连续型随机变量的概念 ２．三种重要的连续型随机变量 ３．小结
１．连续型随机变量的概念
(1) 定义的引出（样本频率直方图） 定义的引出（样本频率直方图）
设统计量X属于某一区间内的值，取均匀分布的 设统计量 属于某一区间内的值， 属于某一区间内的值 n个值 x1=a, x2, x3, x4,… ,xn=b,以这 个值为中 个值: 以这n个值为中 个值 以这 概 率 小 形高= 矩 小 形宽 矩 度 划分出n个等长的小区间 个等长的小区间. 点，划分出 个等长的小区间
−
( x−µ)2 2σ 2
1 dx = 2π ∫
t2 +∞ − 2 −∞
e
dt
利用
∫
∫
+∞
0
π e dx = ,有 2
− x2
t2 +∞ − 2 −∞
e
dt = 2π
( x−µ)2 2σ 2
于是
+∞ − 1 ∫−∞ e 2πσ
dx =1
x − 1 X的分布函数为 F(x) = ∫−∞ e 2πσ
(t −µ)2 2σ 2
F(x)相 的 形 应 图 为
均匀分布常见于下列情形： 均匀分布常见于下列情形： 如在数值计算中， 如在数值计算中，由于四舍五 入，小数 点后某一位小数引入的误差， 点后某一位小数引入的误差，例如对小数点 入时， 后第一位进行四舍五 入时，那么一般认为误 差服从（ 差服从（-0.5, 0.5）上的均匀分布。 ）上的均匀分布。 如公交系统中乘客随机乘车的等车时间． 如公交系统中乘客随机乘车的等车时间．
问题２ 问题２：概率为零的事件一定是不可能事件 吗？ P{X=a}=0 而 {X=a} 并非不可能事件 并非不可能事件. 可见， P(A)=0, 不能推出 A = φ 可见， 由 类似可知， 类似可知， 由P(B)=1, 不能推出 B= Ω
例1
设连续型随机变量X具有概率密度
kx +1, f ( x) = 0 , 0 ≤ x ≤ 2, 其 . 他
1− e−λx , F(x) = 0, x > 0， 其他 .
指数分布的概率密度及分布函数分别如图所示
指数分布在可靠性理论中描绘设备工作的可靠时 间. 有些系统的寿命分布也可用指数分布来近似 有些系统的寿命分布也可用指数分布来近似, 当 近似 电子产品的失效是偶然失效时,其寿命服从指数分布 其寿命服从指数分布. 电子产品的失效是偶然失效时 其寿命服从指数分布 在排队论中它被广泛地用于描绘等待时间,如电话 在排队论中它被广泛地用于描绘等待时间 如电话 通话时间、各种随机服务系统的服务时间、 通话时间、各种随机服务系统的服务时间、等待时间 等.
这是因为
P( X = a) = lim P(a ≤ X ≤ a +∆x)
由此可得
= lim ∫
∆x→0 a+∆x
∆x→0 a
f ( x)dx = 0
P{a ≤ X ≤ b} = P{a < X ≤ b} = P{a ≤ X < b} = P{a < X < b}.
连续型随机变量取值落在某一 区间的概率与区间的开闭无关
a b
(３) 对 f(x)的进一步理解 ３ 的进一步理解 的连续点， 若x是 f(x)的连续点，则： x+∆x 是 的连续点 P( x < X ≤ x + ∆x) ∫x f (t)dt lim = lim ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x =f(x) 这一点的值， 故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 的密度 X落在区间 ( x, x + ∆x] 落在区间 上的概率与区间长度 ∆x 之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量， 之比的极限 这里，如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度 相当于线密度. 相当于线密度
概率密度函数的性质
1) 2)
∫
∞
f ( x) ≥ 0
−∞
f ( x)dx = 1
这两条性质是判定一 个函数 f(x)是否为某 是否为某 个随机变量X的概率 个随机变量 的概率 密度函数的充要条件. 密度函数的充要条件
f (x)
1
o
S
a
•
•
b
x
3) X落入区间 落入区间[a,b]内的概率 内的概率= 落入区间 内的概率
事实上，若不计高阶无穷小， 事实上，若不计高阶无穷小，有：
P{ x < X ≤ x + ∆x} ≈ f ( x)∆x
它表示随机变量 X 取值于 ( x, x + ∆x] 的 概率近似等于 f ( x)∆x. 在连续型r.v理论中所起的作用与 f ( x)∆x 在连续型 理论中所起的作用与 在离散型 理论中所起的 P{ X = xk } = pk 在离散型r.v理论中所起的 作用相类似. 作用相类似
(1)确 常 k 定 数
(2)求 分 函 F(x) X的 布 数
(3)求 3 < X ≤ 5 P 2 2
{
}
解 (1) 由 −∞ f (x)dx =1, 得∫0 (kx +1)dx =1 ∫
解得k = −1/ 2
+∞
2
(2) X的 布 数 分 函 为
0, 1 x F ( x) = ∫ f ( t ) dt = − x2 + x, −∞ 4 1, x <0 0≤ x <2 x≥2
关于连续随机变量 的分布函数和概率密度函 关于连续随机变量X的分布函数和概率密度函 连续随机变量 数的性质： 数的性质：
1
0
F( x) = P{ X ≤ x} = ∫
x
−∞
f (t ) d t
20 若 f ( x) 在点 x 处连续 有 F′( x) = f ( x) ,
30
P{a < X ≤ b} = P{a ≤ X ≤ b} = P{a ≤ X ≤ b} = P{a < X < b} = ∫ f ( x)dx =F(b) − F(a),
易 f (x) ≥ 0,且∫ f ( x)dx =1 知
−∞ +∞
意义
在区间 (a , b ) 上服从均匀分布的随机 变量 X ,