1985年试题全国高考试题(高考数学试卷)

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1985年高考数学试卷及详解

1985年⾼考数学试卷及详解

1985年试题

(理⼯农医类)

⼀、本题每⼀个⼩题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有⼀个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.

(1)如果正⽅体ABCD A′B′C′D′的棱长为a,那么四⾯体

A′ABD的体积是

【】

[Key] ⼀、本题考查基本概念和基本运算.

(1)D;

(A)必要条件(B)充分条件

(C)充分必要条件(D)既不充分⼜不必要的条件

【】

[Key] (2)A;

(A)y=x2(x∈R)

(B)y=│sinx│(x∈R)

(C)y=cos2x(x∈R)

(D)y=e sin2x(x∈R)

【】

[Key] (3)B;

(4)极坐标⽅程ρ=asinθ(a>0)的图象是

【】

[Key] (4)C;

(5)⽤1,2,3,4,5这五个数字,可以组成⽐20000⼤,并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数,共有

(A)96个(B)78个

【】

[Key] (5)B.

⼆、只要求直接写出结果.

(2)设│a│≤1,求arccosa+arccos(-a)的值.

(3)求曲线y2=-16x+64的焦点.

(5)设函数f(x)的定义域是[0,1],求函数f(x2)的定义域.

[Key] ⼆、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.

(2)π;

(3)(0,0);

(4)64(或26);

(5)[-1,1](或{x│-1≤x≤1},或-1≤x≤1).

三、(1)解⽅程log4(3-x)+log0.25(3+x)=log4(1-x)+log0.25(2x+1).

1985年全国统一高考数学试卷(文科)

1985年全国统一高考数学试卷（文科）

一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分） 1．（3分）如果正方体ABCD ﹣A′B′C′D′的棱长为a ，那么四面体A′﹣ABD 的体积是（） A ． B ． C ． D ．

2．（3分）

的（）

A ．必要条件

B ．充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分又不必要的条件 3．（3分）设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合（X∩Y ）∪Z 是（） A ． {0，1，2，6，8} B ． {3，7，8} C ． {1，3，7，8} D ． {1，3，6，7，

4．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间

上的增函数又是以π为周期的偶函

数？（） A ． y =x 2（x ∈R ） B ． y =|sinx|（x ∈R ） C ． y =cos2x （x ∈R ）

D ． y =e sin2x （x ∈R ）

5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（） A ． 96个 B ． 78个 C ． 72个 D ． 64个

二、解答题（共11小题，满分90分） 6．（4分）求函数

．

7．（4分）求圆锥曲线3x 2﹣y 2+6x+2y ﹣1=0的离心率． 8．（4分）求函数y=﹣x 2+4x ﹣2在区间[0，3]上的最大值和最小值． 9．（4分）设（3x ﹣1）6=a 6x 6+a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x+a 0，求a 6+a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a 0的值． 10．（4分）设i 是虚数单位，求（1+i ）6的值． 11．（14分）设S 1=12，S 2=12+22+12，S 3=12+22+32+22+12，…， S n =12+22+32+…+n 2+…+32+22+12，… 用数学归纳法证明：公式对所有的正整数n 都成立．

1985高考数学全国卷及答案文

1985年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案

（这份试题共八道大题，满分120分）

一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写

在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出

的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分（1）如果正方体ABCD-A ＇B ＇C ＇D ＇的棱长为a ，那么四面体A ＇-ABD 的体积是（ D )

(D ) 4(C ) 3(

B ) 2)(3

333a a a a A （2）π==4

51x tgx 是的（ A ）（A ）必要条件（B ）充分条件

（C ）充分必要条件（D ）既不充分又不必要的条件（3）设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合Z Y X ⋃⋂)(是（ C ）（A ）{0，1，2，6，8} （B ）{3，7，8} （C ）{1，3，7，8} （D ）{1，3，6，7，8}

（4）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间)2

,0(π

上的增函数又是以π为周期的偶函数？（ B ）（A ）).(2R x x y ∈= （B ）)(|sin |R x x y ∈= （C ）)(2cos R x x y ∈= （D ）)(2sin R x e y x ∈=

（5）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（ B ）

1977-1987年全国高考文科数学试题参考答案

A B

C A 1977年普通高等学校招生考试文科

(北京市)数学试题参考答案满分100分，120分钟

1．（本小题满分10分）

解：10

2714

33(1)=1=0933

-+-+-.

2．（本小题满分10分）

=24

3．（本小题满分10分）解：已知方程变形得

21142x x x ++-=-，即 2320x x -+=，

解得2x =，或1x =（舍去）.

4．（本小题满分10分）

解：sin105sin 75sin(3045)︒=︒=︒+︒

. 5．（本小题满分10分）解：正三棱柱形的体积

22sin 6010)2

V cm =

⋅⋅⋅︒⋅=. 6. （本小题满分10分）

解：∵直线250x y +-=的斜率2k =-, ∴所求直线斜率2k '=-.

∴过点(1,3)-且与已知直线平行的直线为

32(1)y x +=--,即210x y ++=.

7．（本小题满分10分）

证：如图，在△BDC 与△CEB 中， ∵∠DBC =∠ECB ，∠BDC =∠CEB =900, BC =BC ，

∴△BDC ≌△CEB ，

CD =BE .

8．（本小题满分10分）解：由余弦定理可得

70=米.

9．（本小题满分10分）

解：设此数列为2,,,30(0,0)x y x y >>，则由已知条件得

22302x y x y ⎧=⎨

+=⎩

，

，解得6,18x y ==. ∴插入的两个正数为6，18， ∴所成的数列为2，6，18，30. 10．（本小题满分10分）解：（1）∵2(2)1y x =--， ∴顶点坐标为(2,1)-，对称轴方程为2x =. (2)函数243y x x =-+ 的图象如右图所示.

1983-1988年高考数学试题全国卷

1983年试题

(理工农医类)

一、本题共5个小题,每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的.把正确结论的代号写在题后的括号内.

(1)两条异面直线,指的是

(A)在空间内不相交的两条直线.

(B)分别位于两个不同平面内的两条直线.

(C)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线.

(D)不在同一平面内的两条直线.

【】

(A)两条相交直线. (B)两条平行直线.

(C)两条重合直线. (D)一个点.

【】

(3)三个数a,b,c不完全为零的充要条件是

(A)a,b,c都不是零. (B)a,b,c中最多有一个是零.

(C)a,b,c中只有一个是零. (D)a,b,c中至少有一个不是零.

【】

(2)在极坐标系内,方程ρ=5cosθ表示什么曲线?画出它的图形.

(2)一个小组共有10名同学,其中4名是女同学,6名是男同学.要从小组内选出3名代表,其中至少有1名女同学,求一共有多少种选法.

四、计算行列式(要求结果最简):

六、如图,在三棱锥SˉABC中,S在底面上的射影N位于底面的高CD上;M是侧棱SC上的一点,使截面MAB与底面所成的角等于∠NSC.求证SC垂直于截面MAB.

八、已知数列{a n}的首项a1=b(b≠0),它的前n项的和S n=a1+a2+…+a n(n≥1),

并且S1,S2,…,S n,…是一个等比数列,其公比为p(p≠0且│p│<1).

(1)证明

a2,a3,…,a n…,

(即{a n}从第2项起)是一个等比数列.

九、(1)已知a,b为实数,并且eb a.

(2)如果正实数a,b满足ab=b a,且a<1,证明a=b.

1977-1987年全国高考文科数学试题

1977年普通高等学校招生考试文科(北京

市)数学试题

满分100分，120分钟

1．（本小题满分10分）

计算：.)9

1(3321

-+-

2．（本小题满分10分）化简：

626-+．

3．（本小题满分10分）解方程

41112--=+-x x x 4．（本小题满分10分）

不查表求sin1050

的值. 5．（本小题满分10分）

一个正三棱柱形的零件，它的高是10cm ，底面边长是2cm ，求它的体积. 6. （本小题满分10分）一条直线过点(1,3)-，并且与直线

250x y +-=平行，求这条直线的方程.

7．（本小题满分10分）

证明：等腰三角形两腰上的高相等. 8．（本小题满分10分）

为了测湖岸边,A B 两点的距离，选择一点

C ，测得50CA =米，30CB =米，120ACB ∠=︒，求AB .

9．（本小题满分10分）

在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数． 10．（本小题满分10分）已知二次函数2

43y x x =-+.

（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程;

（2）画出它的图象; （3）求出它的图象与直线3y x =-的交点坐标.

b a

1978年普通高等学校招生全国统一考试

数学

（理科考生五，六两题选做一题.文科考生

五，六两题选做一题，不要求做第七题.）

一、（下列各题每题4分，五个题共20分）

1.分解因式：222

444

x xy y z

-+-.

2.已知正方形的边长为a，求侧面积等于

这个正方形的面积，高等于这个正方形边

高三数学不等式复习题(附答案)

不等式复习题

例1 （1996年上海高考题）如果log log a b 330>>，那么a b ，间的关系是（）（A ）01<<

解：分别在同一坐标系中作y x y x a ==log ,lg 的图像（如图1）便知应选（B ）。

y x y 3log =

x y lg =

O 1 x

图1

评注：利用特例分析法，并熟练掌握对数函数图像性质是确保解决对数问题的基本保证。

例2 不等式()13

x -->的解集为__________。（1995年全国高考题）

解：原不等式等价于3328

2-+->x x ，由指数函数y x =3在R 上单调递增可知：

-+>-⇒-<

评注：指数函数性质的纯熟运用是解本题的关键。

例3 解不等式251x x +>+（1985年全国高考题）解法1：原不等式等价：

()()1250102512x x x x +≥+≥+>+⎧⎨⎪

⎩

⎪

或()2250

10x x +≥+<⎧⎨⎩

解（1）、（2）得原不等式的解集为{|}x x -

≤<5

2 解法2：设I x x x x =+≥=≥-{|}{|}25052

且}152|{+>+=x x x A ，则

A x x x x x x x x x =+≤+⇒+≥+≤+≤+⎧⎨⎪

⎩

⎪⇒≥{|}(){|}2512501025122从而解得

A x x =-≤<{|}5

2。

评注：对于无理不等式的解法一般采用等价转化为不等式组来处理，注意分类讨论，同时还应采用正难则反的策略求解。

例4 已知f x ax bx c a b c R ()()=++∈2，，，对于||x ≤1的x 的值都有|()|f x ≤1成立，则对这些x 的值都有||24ax b +≤。证明：令g x ax b x x x (),()()=+=+--21212

1985年(文高考数学试题理科)

一九八五年（理科）

考生注意：这份试题共八道大题，满分120分。第九题是附加题，满

分10分，不计入总分。

一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对的得3分、不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分。

（1）如果正方体ABCD-A ＇B ＇C ＇D ＇的棱长为a ，那么四面体A ＇-ABD 的体积是（ D )

(D) 4(C) 3(B)

2)(3

333a a a a A （2）π==4

51x tgx 是的（ A ）（A ）必要条件（B ）充分条件

（C ）充分必要条件（D ）既不充分又不必要的条件（3）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间)2

,0(π

上的增函数又是以π为周期的偶函数？（ B ）（A ）).(2R x x y ∈= （B ）)(|sin |R x x y ∈= （C ）)(2cos R x x y ∈= （D ）)(2sin R x e y x ∈=

(4)极坐标方程)0(sin >θ=ρa a 的图象是（ C ）

（5）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（ B ）（A ）96个（B ）78个（C ）72个（D ）64个二．（本题满分20分）本题共5小题，每一个小题满分4分。只要求直接写出结果）

（1）求方程1)6

sin(2=π

x 解集。答：}.,6

1985年高考试题(上海-理)

1985年普通高等学校招生全国统一考试

上海数学试卷（理工农医类）

一、填空题（每小题3分，共10分）

1、不等式1|2|<+x 的解集是。

2、函数31-=x y 的反函数是。

3、点(0,1)到直线2=+y x 的距离是。

4、函数2

sin x y π=的最小正周期是。 5、如果一个圆的圆心在点(2,4)，并且经过点(0,3)，那么这个圆的方程是。

6、若平面α及这个平面外的一条直线l 同时垂直于直线m ，则直线l 和平面α的位置关系是。

7、函数x x y 22cos sin -=的最小值是。

8、方程018379=-⋅-x x 的解是。

9、若2-=αtg ，且0sin

10、已知O 为直角坐标系的原点，点A 的坐标为(1,3)，点B 的坐标为(0,3)。若

把OAB ∆绕y 轴旋转一周，则所得旋转体的体积是。

二、选择题（每小题3分，共有5小题）

11、设z 为复数，z 是z 的共轭复数，则z = z 是z 为实数的（）

（A ）、充分非必要条件（B ）、必要非充分条件

（C ）、充要条件（D ）、既非充分又非必要条件

12、下列各式中，正确的是（）

（A ）、23)3a r c s i n (-=-π （B ）、3)3s i n (a r c s i n π

π=

（C ）、4)45s i n a r c s i n ππ-= （D ）、2

3)]21(sin[arccos -=- 13、已知函数)23lg()(2+-=x x x f 的定义域为F ，函数)2lg()1lg()(-+-=x x x g

1951～1982高考数学试题及解答

第一辑（1951~1965）

1951年..............................3 1959年 (29)

1952年..............................7 1960年 (32)

1953年...........................11 1961年 (36)

1954年...........................13 1962年 (39)

1955年...........................16 1963年 (43)

1956年...........................18 1964年 (47)

1957年...........................21 1965年 (52)

1958年 (25)

第二辑（1977年）

北京市（理科）..................60 河北省 (74)

北京市（文科）..................63 福建省（理科） (78)

上海市（理科）..................64 福建省（文科） (84)

上海市（文科）..................68 黑龙江省 (88)

天津市..............................71 江苏省 (91)

第三辑（1978~1982）

1978年...........................97 1980年（文科） (118)

1978年（副题）...............101 1981年（理科） (121)

浅谈复合函数的地位和认识

作者：袁长林

来源：《少男少女·教育管理》2017年第10期

摘要：高中数学中的函数部分无疑是代数中的重中之重，其中对函数的结构认识应放在第一位。仅靠七个基本初等函数来认识和研究函数是远远不够的，因为更多的函数结构和复合函数息息相关，因此复合函数在高中数学中占有非常重要的地位。但是复合函数本身又有很多限制，几十年来高考复习中也出现了很多错误的认识，加强对复合函数的正确认识和研究显得尤为重要，文章即针对复合函数的地位和认识问题进行了相关探讨。

关键词：中学数学；复合函数；高考试题

一、寻源

恢复高考后且在2000年前，高考数学理科试题出现了以下与复合函数有关的试题。

1985年全国高考数学试题（理科）第3题是：

在下面给出的函数中哪一个函数既是区间0，上的增函数又是以π为周期的偶函数？（）

A. y=x2（x∈R）

B. y=sin x（x∈R）

C. y=cos2x（x∈R）

D. y=esin2x（x∈R）

1987年全国高考数学试题（理科）第5题是：

在区间-∞，0上为增函数的是（）

A. y=-log（-x）

B. y=

C. y=-（x+1）2

D. y=1+x2

1989年全国高考数学试题（理科）第11题是：

已知f（x）=8+2x-x2，如果g（x）=f（2-x2），那么g（x）（）

A. 在区间（-1，0）上是减函数

B. 在区间（0，1）上是减函数

C. 在区间（-2，0）上是增函数

D. 在区间（0，2）上是增函数

1995年全国高考数学试题（理科）第11题是：

已知y=logɑ（2-ɑx）在[0，1]上是x的减函数，则ɑ的取值范围是（）

1985年高考试题(上海-理)

1985年高考试题（上海-理）

上海数学试卷（理工农医类）

一、填空题（每小题3分，共10分）

1、不等式|某2|1的解集是

2、函数y3某1的反函数是

3、点(0,1)到直线某y2的距离是

4、函数yin的最小正周期是2

5、如果一个圆的圆心在点(2,4)，并且经过点(0,3)，那么这个圆的方程是

6、若平面及这个平面外的一条直线l同时垂直于直线m，则直线l 和平面的位置关系是

7、函数yin2某co2某的最小值是

8、方程9某73某180的解是

9、若tg2，且in0，则co的值是10、已知O为直角坐标系的原点，点A的坐标为(1,3)，点B的坐标为(0,3)。若

把OAB绕y轴旋转一周，则所得旋转体的体积是二、选择题（每小题3分，共有5小题）

11、设z为复数，z是z的共轭复数，则z=z是z为实数的（）（A）、充分非必要条件（B）、必要非充分条件（C）、充要条件（D）、既非充分又非必要条件

12、下列各式中，正确的是（）

n(icra（A）、

某3nicra(ni)（B）、

323)3

nicra（C）、ni513)（D）、in[arcco()]442213、已知函数

f(某)lg(某23某2)的定义域为F，函数g(某)lg(某1)lg(某2)的定义域为G，那么（）

（A）、FG=（B）、F=G（C）、FG（D）、GF

14、若一个棱锥的底面是边数大于3的凸多边形，它的顶点到底面各边的距离都

相等，则这个棱锥的底面多边形（）（A）、必为正多边形（B）、必有内切圆

（C）、必有外切圆（D）、必既有内切圆又有外接圆

15、若平移坐标轴，把坐标系某oy的原点O移到点O，O在原坐标系中的坐标

(1978-1985)高考数学全国卷汇编(文理)附答案

消去y,得x2+2mx+m2-1+a=0.∴ (x+m)2=1-a. 因而当1-a≥0即a≤1时,直线l与抛物线相交,而1-a<0即a>1时,直线l与抛物线不相交.
即直线l与抛物线两交点横坐标为因直线l的斜率为1,它的倾斜角为45°. ∵ 直线l被抛物线截出的线段等于而这与m无关. 因此直线l被各抛物线截出的线段都相等.
5
Echo（1978-1985）高考数学全国卷汇编
1979年全国高考数学试题（理）
1.若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证:x,y,z成等差数列. [Key] 证法一:(z-x)2-4(x-y)(y-z)=z2-2zx+x2+4zx-4xy-4yz+4y2
=(x+z)2-2·2y(z+x)+4y2=(z+x-2y)2=0, ∴ z+x-2y=0即 z-y=y-x,所以,x,y,z成等差数列, 证法二：令x-y=a,y-z=b,则x-z=x-y+y-z=a+b.
1
Echo（1978-1985）高考数学全国卷汇编
1978年全国高考数学试题
注意事项: 1.理工科考生要求除作（一）棗（四）题和（七）题外,再由（五）、（六）两题中选作一题.文科考生要求作（一）棗（四）题,再由（五）、（六）两题中选作一题;不要求作第（七）题. 2.考生解题作答时,不必抄题.但须准确地写明题号,例如（一）2、（五）等.

1985年吉林省高考数学试卷

一、选择题（在下列各题的四个备选答案中，只有一个是符合题意的，请将正确答案前的字母写在答题纸上；本题共32分，每小题4分）

1、已知⊙O的直径为3cm，点P到圆心O的距离OP=2cm，则点P（）

A、在⊙O外

B、在⊙O上

C、在⊙O内

D、不能确定

2、已知△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则cose的值是（）

A、0.6

B、0.75

C、0.8

D、0.85

3、△ABC中，点M、N分别在两边AB、AC上，MN∥BC，则下列比例式中，不正确的是（）

A、1

B、2

C、3

D、4

4、既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、1

B、-1

C、2

D、-2

5、已知⊙O

1、⊙O2的半径分别是1cm、4cm，O1O2=cm，则⊙O1和⊙O2

的位置关系是（）

A、外离

B、外切

C、内切

D、相交

6、某二次函数y=ax2+bx+c的图像，则下列结论正确的是（）

A、ao,b0,c0

B、a0,b0,c；0

C、a0,b0,c0

D、a0,b0,c0

7、下列命题中，正确的是（）

A、平面上三个点确定一个圆

B、等弧所对的圆周角相等

C、平分弦的直径垂直于这条弦

D、与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线

8、把抛物线y=-x2+4x-3先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，则变换后的抛物线解析式是（）

A、y=-（x+3）2-2

B、y=-（x+1）2-1

C、y=-x2+x-5

D、前三个答案都不正确

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9、已知两个相似三角形面积的比是2∶1，则它们周长的比_____。

10、在反比例函数y=中，当x0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是_________。

1985年全国高考数学试题及答案解析

(理工农医类)

一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.

(1)如果正方体ABCD A′B′C′D′的棱长为a,那么四面体

A′ABD的体积是

【】

[Key] 一、本题考查基本概念和基本运算.

(1)D;

(A)必要条件(B)充分条件

(C)充分必要条件(D)既不充分又不必要的条件

【】

[Key] (2)A;

(A)y=x2(x∈R)

(B)y=│sinx│(x∈R)

(C)y=cos2x(x∈R)

(D)y=e sin2x(x∈R)

【】

[Key] (3)B;

(4)极坐标方程ρ=asinθ(a>0)的图象是

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1985年高考数学试题及答案

1985年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案

考生注意：这份试题共八道大题，满分120分第九题是附加题，满分

10分，不计入总分

一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对的得3分、不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分（1）如果正方体ABCD-A ＇B ＇C ＇D ＇的棱长为a ，那么四面体A ＇-ABD 的体积是（ D )

(D) 4(C) 3(B)

2)(3

333a a a a A （2）π==4

51x tgx 是的（ A ）（A ）必要条件（B ）充分条件

（C ）充分必要条件（D ）既不充分又不必要的条件（3）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间)2

,0(π上的增函数又是以π为周期的偶函数？（ B ）（A ）).(2R x x y ∈= （B ）)(|sin |R x x y ∈= （C ）)(2cos R x x y ∈= （D ）)(2sin R x e y x ∈=

(4)极坐标方程)0(sin >θ=ρa a 的图象是（ C ）

(A) X

（5）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（ B ）

（A ）96个（B

（C （D ）64个

二．（本题满分20分）本题共5小题，每一个小题满分4分只要求

直接写出结果）

集

（1）求方程16

sin(2=π+x 解答：

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