静电场基本方程
静电场分析
S
Ev(rv)g(4
r2
evr)0
Q
0
v E
Q
4 0 r 2
evr
r
Ñ 在球内区域：ra
Q 3Q
Ev(rv)gdSv
V 4 a3 S
Q
0
Ev(rv)g(4 r2
v E
Qr
4 0 a3
evr ) evr
4 r3
3
0
3.2 电位函数
中国矿业大学
一、电位函数与电位差
电位函数
v
E 0
2）对于真空中点电荷，有
gEv(rv)
0
或
gEv(rv)
q
0
真空中静电场的高斯定理
中国矿业大学
将高斯定理微分形式对一定体积V积分，则得：
Ñ gEv(rv)dV V
V
(rv)
dV
0
Ev(rv)gdSv 1 (rv)dV Q
S
0 V
0
ÑS Ev(rv)gdSv
Q
0
静电场中的高斯定理
式中：S为高斯面，是一闭合曲面，
中国矿业大学
真空中静电场性质小结：
微分形式
积分形式
gEv(rv) (rv)
Ev(rv)
0
0
ÑS Ev(rv)gdSv
ÑC
Ev(rv)
第2章静电场
2.2 静电场的基本方程
• 散度方程 • 旋度方程 • 物质本征方程
先认识一下这些方程
静电场的散度方程
散度方程积分形式的引出：
S
n q E dS
i 1
D E
0
S
n D dS q
i 1
请注意：此处的q 是指自由电荷！！！ 详细证明过程从略。 证明要点： 1. 仅一个电荷时，证明… 2. 多个电荷时，“叠加原理” 3. 任意曲面上求积分时，“立体角”
• 物理意义： 它们说明静电场是一种保守场。 这种场做功的大小与路径无关，只与起始位置 有关,这种场的旋度为0, 又称无旋场或守恒场； • 积分形式说明： 任意封闭路径上静电场的环流量等于0； 电场力做功的大小与路径无关; • 微分形式说明： 静电场没有旋度源。
（强调）静电场的基本方程
2.2 电位及其梯度
例1. “电偶极子”的电位
例2
• 课后思考：例题改为“无限大圆盘”则？？？
• 作业 • 用高斯定理证明导体表面的电荷密度与导 体外表面附近的电位存在下面关系：
引子
静态场中求电位比求场强方便得多 • 电位——标量, 场强——矢量 • 有了电位，其负梯度就是场强 求电位 • 对于典型电荷分布，可直接写出电位 • 对于一般电荷分布，需要建立电位的微分方程 • 建立微分方程的依据——静态场的基本方程 • 以下——静态场的基本方程 2阶微分方程
01-电场的积分方程
1-21
图 1-5
图 1-6 边界积分方程 1-19 和 1-21，实际上完全相同。
7、 导体表面积分方程 当区域内存在导体时，可将导体从区域内挖掉，导体表面成为区域边界的一部分。导体 表面的区域边界是闭合面，其法线方向指向导体内部，如图 1-7。 （1） 场点在导体表面以外的边界上 这时电位积分公式中增加一项导体表面的边界积分项。
1-14
针对格林定理表达式右侧的第二项积分中的第一部分，设在 P 上
u 为有限值，当 n
R 0 ，有
R d R d lim lim (max ) lim R(max )0 2 2 R 0 R 0 4 R 0 4 n R n R n P P
1-26
图 1-8 8、 二维情况下电场的积分方程 平行平面电场，是三维场的特例，可表述成二维电场。格林函数为
G
1 1 ln 2 0 R
1-30
边界处源点变化时，格林函数的法向导数为
G 1 G e n e R e n n 2 0R
1-31
当挖掉区域内一场点时，区域减少一圆面积，边界增加一圆周。如图 1-9 和 1-10。增 加边界的法线方向指向圆心。 在圆周上进行积分，当 R 0 得
1-22
因导体是等电位面，且为闭合面，场点在闭合面之外，最后一项积分中的第二部分
静电场约束方程
静电场约束方程
静电场是由于电荷的积聚而引起的，它的特点是静止，不会发生运动。电荷质量很小，可以被人类发现，但是电荷对决定物质的力是非常重要的。对于静电场而言，约束方程是至关重要的，它描述了电荷在空间中的分布，可以用来预测电场这个物理量的分布情况。
在静电场的情况下，电荷可以被分成正电荷和负电荷两种。正电荷和负电荷之间的相互作用会引起电流，其中电流是在物质中流动的电荷的总量。
因为静电场是通过电荷的积累而引起的，所以约束方程的作用就是描述电荷在空间中的分布方式。其中，约束方程的一个关键特点是它描述了二次约束条件的物理充分性，即基于电场本身的能力和据此加以推论的电荷分布方案，保证了解对于初始和边界条件的一致性。
约束方程是在Maxwell方程的基础上得出的，它代表了电场的各个部分共同发挥作用的特定方法。其中，Maxwell方程是电场和磁场之间的物理规律的方程，它描述了电磁场的行为。约束方程可以用来解决电场在任何点的强度和方向的问题。
静电场的方程可以写成如下的形式：
∇•E=ρ/ε0
其中，ρ代表空间中的电荷密度，E代表电场强度，ε0代表该空间的电介质常数。
约束方程可以被分为两种类型：边界条件和初始条件。边界条件是指从边界内部的电流或电场的特殊设置中产生的电场强度。初始条件是指在初始时刻内部的电荷分布情况。
针对上面的方程，可以通过其变形来得到用于研究静电场的其他重要方程。例如，通过将方程两侧做旋度变换，可以得到静电势方程：
∇•(ε∇V)=ρ
其中，V是电场的静电势，ρ是空间中的电荷密度，ε是电介质常数。
静电场的两个基本方程
静电场的两个基本方程
静电场的两个基本方程是高斯定律和环路定理。
高斯定律是描述电场与电荷之间相互作用的定律，它的数学表达式为：
∮E·dS = Q/ε0
其中，E表示电场的矢量，dS表示面元矢量，Q表示闭合曲面内的电荷总量，ε0表示真空介电常数。
环路定理是描述电场与电荷分布之间的关系，它的数学表达式为：
∮E·dl = 0
其中，E表示电场强度，dl表示线元矢量，沿着一条封闭回路积分的结果为零。
静电场的详细计算
静电场定义
由静止电荷(相对于观察者静止的电荷)激发的电场。
静电场性质
根据静电场的高斯定理：
静电场的电场线起于正电荷或无穷远,
终止于负电荷或无穷远，故静电场是有源场．
从安培环路定理来说它是一个无旋场．
根据环量定理，静电场中环量恒等于零,表明静电场中沿任意闭合路径移动电荷，电场力所做的功都为零，因此静电场是保守场．
根据库仑定律，两个点电荷之间的作用力跟它们的电荷量的乘积成正比，和它们距离的平方成反比，作用力的方向在它们的连线上，即F=（k·q1q2）/r²;,其中q1、q2为两电荷的电荷量（不计正负性）、k为静电力常量，约为9.0e+09（牛顿·米²）/（库伦²;），r为两电荷中心点连线的距离。注意，点电荷是不考虑其尺寸、形状和电荷分布情况的带电体。是实际带电体的理想化模型。当带电体的距离比它们的大小大得多时，带电体的形状和大小可以忽略不计的点电荷。
静电场的泊松方程
由于静电场是无旋场,故可用标量电位φ表征静电场（见电位）。电位与电场强度的关系是式中Q点为电位参考点，可选在无穷远处；P点为观察点。上式的微分形式为电场强度等于电位的负梯度，即
E=-墷φ在ε为常数的区域，式中墷·墷可记作墷2，
在直角坐标中分别为一阶与二阶微分算符。这样,可得电位φ所满足的微分方程称为泊松方程。如果观察点处自由电荷密度ρ为0，则
墷2φ=0
称为拉普拉斯方程。泊松方程和拉普拉斯方程描述了静电场空间分布的规律性。可以证明，当已知ρ、ε及边界条件时，泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的，可以设法求解电位φ，再求出场中各处的E。
第二章静电场恒定电场和恒定磁场
可见，在介质1和介质2的交界面上存在着自由电荷。这一点与理想 介质不同，对于介质1和介质2都是理想介质，无漏电流，所以交界 面的自由面电荷密度为零。
(2.41)
2. 多导体系统的部分电容
对于两个以上导体组成的多导体系统，由于其中每一个导体上的电位要受到其余 多个导体电荷的影响，情况非常复杂。
例2.11在例2.10中，导体球带电荷q1，导体球壳带电荷q2，设无限远为电位参考 点，求导体系统的部分电容。
3. 静电场的能量
带电体系具有能量
（1） 有一个体电荷密度为ρ的连续带电体，电位函数为φ。带电系统的静
（2.65）
焦耳定律
由恒定电场的基本方程的积分形式可以得出恒定电场的 边界条件（证明方法与静电场的边界条件相同）：
其矢量形式分别为
例2.15平行板电容器中填充两层介质，介电常数和电导率分 别为 1 、 1 和 2 、 2 ，如图2.18所示。在外加电 压U时，求： （1） 导线中通过的电流； （2） 在交界面上积聚的自由面电荷密度。
图2.16
2.5恒 定 电 场
在导体中电荷在电场作用下运动而形成电流，如果电流密度不随时间 发生变化，那么就形成了恒定电场.
第一章静电场一
当介质受到极化时，不同介质交界边缘处的束缚电荷用电极
化强度矢量 来P描述。
（1）推导
q' PdS
S
(1-15)
整理后
S SE 0 E d S P d q S 0 SPq dS
(1-16) (1-17)
或
SDdSq
(1-18)
（2）物理意义
电介质中的高斯定理表明：电场中，通过某闭合曲面S的电位 移矢量 的D通量(电通量)，等于该闭合曲面内所包含的自由电荷
若在电容率为ε0的真空媒质中，放入其它电介质，在电场的 作用下，电介质将受到极化，形成电偶极子。在不同介质的左、 右两侧边缘处，则附着了过剩的或正或负的束缚电荷。
无极性分子
有极性分子
21
2.电偶极子
一对相距很近带等量异性的点电荷
电偶极矩 pqd ez
3. 电极化强度
用电极化强度 P 表示电介质的极化程度
荷的情形一样。
19
例1-3真空中有一球形体积分布的电荷，球的半径为R2，电荷体 密度为常数ρ，球内存在一个半径为R1的球形空腔，两球心距离 为a，且a+R1<R2。试证明球形空腔内的电场是均匀的。 分析 采用高斯定理和叠加原理。
证 R2的若球将体球内形各空点腔的填场满强体电荷Eρ2，可3得r20 半径为
26
例1-4一单芯电缆其芯线半径R1=0.5cm，外面金属皮的内半径 R2=2cm，在外加电压的作用下，芯线表面单位长度上的电荷量 为τ=5.56×10-7C/m。若芯线外面紧包一层相对电容率εr1=5的 固体电介质，其外半径为R0=1.25cm；而固体介质之外充满相 对电容率εr2=2.5的绝缘油。求电缆内电场强度分布以及介质交 界面上的极化电荷面密度。
第3章 静电场分析
⎡ (ρ f + ρ p )R dV ' + E (r ) = ⎢ ∫V ' 3 4πε 0 ⎢ R ⎣ 1
ρp = 0
∫
∫
(σ f + σ p )
S'
R
⎤ dS ' ⎥ ⎦
(σ f + σ p ) R
S'
R3
⎤ dS ' ⎥ ⎥ ⎦
3. 电介质中的高斯定律
a）高斯定律的微分形式 ρ 真空中 ∇ ⋅ E = 电介质中 ε
f 0
ρ p = −∇ ⋅ P
∇ ⋅E =
ρ
f
+ ρp
ε0
∇⋅ E =
1
ε0
( ρ f −∇⋅ P)
∇ ⋅ (ε 0 E + P ) = ρ f
定义电位移矢量 D = ε 0E + P 则有 ∇⋅ D = ρ 电介质中高斯定律的微分形式 • •
σ = [ R 2 + z 2 − z] r 2 + z 2 2ε r ε 0
圆盘在P点产生的电场强度 ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ E = −∇ϕ = −[ er + eφ + ez ] ∂r ∂z r∂φ ∂ϕ σ z = − ez = [1 − ]ez 2 2 ∂z 2ε rε 0 R +z 当R趋于无穷时
工程电磁场深刻复知识题
一 填空题
1. 麦克斯韦方程组的微分形式是： 、 、 和 。
2. 静电场的基本方程为： 、 。
3. 恒定电场的基本方程为： 、 。
4. 恒定磁场的基本方程为： 、 。
5. 理 想导体（媒质2）与空气（媒质1）分界面上，电磁场边界条件为： 、 、
和 。
6. 线性且各向同性媒质的本构关系方程是： 、 、 。
7. 电流连续性方程的微分形式为： 。
8. 引入电位函数ϕ是根据静电场的 特性。
9. 引入矢量磁位A
是根据磁场的 特性。
10. 在两种不同电介质的分界面上，用电位函数ϕ表示的边界条件为： 、 。 11. 电场强度E 的单位是 ，电位移D 的单位是 ；磁感应强度B
的单位是 ，磁场强
度H
的单位是 。
12. 静场问题中，E 与ϕ的微分关系为： ，E
与ϕ的积分关系为： 。
13. 在自由空间中，点电荷产生的电场强度与其电荷量q 成 比，与观察点到电荷所在点的距离平方成
比。
14. XOY 平面是两种电介质的分界面，分界面上方电位移矢量为z y x e e e D
0001255025εεε++= C/m 2，相对介
电常数为2，分界面下方相对介电常数为5，则分界面下方z 方向电场强度为__________，分界面下方z 方向的电位移矢量为_______________。
15. 静电场中电场强度z y x e e e E
432++=，则电位ϕ沿122
333
x y z l e e e =
++的方向导数为_______________，点A （1，2，3）和B （2，2，3）之间的电位差AB U =__________________。
工程电磁场复习题
工程电磁场复习题
《工程电磁场》复习题
一．问答题
1．什么是静电场?写出其基本方程并由此总结静电场的特点。
由静止电荷在其周围产生的电场。F=q1*q2/4pi*R*R*e0 静电场不随时间变化
2. 什么是恒定电场?写出其基本方程并由此总结静电场的特点。
恒定电流产生的电场。
3. 什么是恒定磁场?写出其基本方程并由此总结静电场的特点。
磁场强度和方向保持不变的磁场。
4. 如果区域中某点的电场强度为零，能否说明该点的电位也为零？为什么？
电场强度E是一个随空间点位置不同而变化的矢量函数，仅与该点的电场有关。a,b为两个电荷相等的正反电荷，在其中心点处电位为零，但场强不为零。
5. 如果区域中某点的电位为零，能否说明该点的电场强度也为零？举例说明？
不能。a,b为两个相等正电荷，在其中心点处电场强度为零，但电位不为零。
6．静电场的电力线会闭合的吗？恒定电场的电力线会闭合的吗？为什么？
静电场的电力线不会闭合，起于正电荷止于负电荷。在变化的磁场产生的有旋电场中，电力线环形闭合，围绕着变化磁场。
7. 写出两种不同媒质分界面上恒定电场与恒定磁场的边界衔接条件。
恒定电场的边界衔接条件J*dS=0 E*dl=0
恒定磁场的边界衔接条件B*dS=0 H*dl=I
8. 什么是矢量磁位A? 什么是磁感应强度B?
B=0 B=*A(*A)=0, 矢量磁位A是一个辅助性矢量。磁感应强度B
是描述磁场强弱和方向的基本物理量
9. 什么是磁导率? 什么是介电常数?
表示磁介质磁性的物理量。介质在外加电场时会产生感应电荷而削弱电场，原外加电场（真空中）与最终介质中电场比值即为介电常数。
静电场的标势及其微分方程
于标势梯度的模长，即$F = |mathbf{nabla} varphi|$。
03
电场分布
通过求解拉普拉斯方程可以得到静电场的分布情况，进而得到电场中各
点的电场强度和电势。
03
静电场的微分方程
微分方程的推导
通过高斯定理和库仑定律推导 得到静电场的微分方程。
高斯定理表明，在静电场中， 穿过任意闭合曲面的电场线 数等于该闭合曲面所包围的
微分方程的解法
解静电场的微分方程需要使用数学方法和物理概 念，如分离变量法、格林函数法等。
解法因具体问题而异，需要根据边界条件和初始 条件进行求解。
解静电场的微分方程可以得出电场分布和电荷分 布之间的关系，为实际应用提供理论支持。
04
静电场的边界条件
边界条件的推导
通过高斯定理和格林公式，推导出静电场的边界条件，即标 势函数在边界上的值和法向导数的值。
电荷量。
库仑定律指出，两个点电荷之 间的作用力与它们的电荷量的 乘积成正比，与它们之间的距
离的平方成反比。
微分方程的形式
静电场的微分方程通常表示为 ▽⋅E=ρ/ε0▽⋅D=ρ/ε0▽⋅D=ρ/ε0，其 中E是电场强度，D是电位移矢量，ρ 是电荷密度，ε0是真空电容率。
该方程描述了电场强度与电荷密度的 关系，以及电位移矢量与电场强度的 关系。
标势的物理意义
电介质中的场方程
（3）均匀和非均匀
若电介质内各点的物理特性处处相同，与空间位置无 关，这种介质称为均匀介质，否则称为非均匀介质。
【例1】 一个半径为a的均匀极化介质球，极化强度是 P0 ez ，求
极化电荷分布及介质球的电偶极矩。（教材2-7）
【解】：选取球坐标系，如图。
极化强度沿z方向。 P P0 ez
Px xx Py 0 yx P zx z
xy yy zy
xz Ex yz E y zz Ez
不满足上式称为非线性介质。 （2）各向同性和各向异性 若电介质内各点的物理特性在所有方向上都相同，与 外加场强E无关，这种介质称为各向同性介质，否则称为 各向异性介质。
z
θ r
●
由于均匀极化，极化体电荷密度为：
P 0
在球的表面，极化面电荷密度为
SP P n P er P0 cos
其中θ为z与r的夹角 4 3 电偶极矩为 P pdV πa P0 ez v 3
r 0
介质中静电场的基本方程为：
D dS q
D
E dl 0
l
s
E 0
均匀介质中电位满足的泊松方程为：
2
电磁场与电磁波 第2章静电场
Ex Ey Ez dx dy dz
微分方程的解即为电力线
E 的方程。
• 在静电场中电位相等的点的曲面称为等位面，即
(x,y,z)C
等位线(面)方程:
当取不同的 C 值时，可得到不同的等位线（面）。
例2.1.6 画出电偶极子的等位线和电力线(rd)。
在球坐标系中：
r1 r2
p4q0(r 1 1r 1 2)4q0r2 r1 r2 r1
矢量恒等式： ( u F ) u F F u
1 'P (r ') 1 P (r ')
d' V ' d'V
40V ' R
40V '
R
散度定理
4 1 0V ' 'P R (r)d' V 4 10S 'P (r R )e nd' S
令 p P 极化电荷体密度 p P en 极化电荷面密度
(r )1 p (r ')d' V 1 p (r ')d'S
40V ' R
40S ' R
(r )1 p (r ')d' V 1 p (r ')d'S
40V ' R
这就是电介质极化后，由面极化电荷
4 p 和0体S 极' 化R 电荷
静电场 第3章 静电场分析
第3章静电场分析
以矢量分析和亥姆霍兹定理为基础，讨论静电场(包括恒定电场) 的特性和求解方法。建立真空、电介质和导电媒质中电场的基本方程，以及电介质的特性方程，将静电场的求解归结为电位问题的求解。
导出泊松方程和拉普拉斯方程，确立电场的边界条件。介绍电容的计算，电场能量及静电力的计算。
§1 真空中静电场的基本方程
由静止电荷形成的电场称为静电场。一、静电场分析的基本变量1、场源变量—电荷体密度ρ(r )
是一种标量性质的源变量，因而静电场是一种有散度的矢量场。
2、场变量
（1）电场强度矢量E (r )
表示电场对带电质点产生作用的能力。
（2）电位移矢量D (r )
反映电介质内存在电场时，电介质内的束缚电荷在电场作用下出现的位移现象。
（3）电流密度矢量J (r )
反映物质内存在电场时，构成物质的带电粒子在电场强度的作用下出现运动或移动。3、本构关系
D=εE
J=εE
二、真空中静电场的基本方程1、电场的散度—高斯定理（1）定理内容
在静电场中，电位移矢量D 0穿过任意闭合曲面S 的通量等于曲面S 所包围的总电荷。
D ?dS=积分形式?0
S
?ρd τ
τ
D=ρ微分形式0
（2）物理意义
静电场是有源场，是有散场。
（3）定理证明
立体角概念一面积元对dS 对一点O 张的立体角dS ?e r R
2
d Ω==
d S cos θR
2
闭合曲面对面内一点O 所张的立体角
因为闭合曲面的外法线为正。所以整个积分区域θπ2
，即，cos θ>0，所以
d S ?
e r R
2
π
Ω=
?
=
?R
1
2
2πR sin θd θ=4π
2
闭合曲面对面外一点O 所张的立体角此时在整个积分区域中有一半是θc o s θ
静电场的基本方程
2）电场强度矢量
用电场强度矢量E 表示电场的大小和方向
实验证明：电场中电荷q0所受的电场力大小与自身所带电量q0
成正比，与电荷所在位置电场强度大小成正比，即
F q0E
F E
q0
对电场强度的进一步讨论
电场强度形成矢量场分布，各点相同时，称为均匀电场
电场强度是单位点电荷受到的电场力，只与产生电场的电荷有关
对静电场和时变电场上式均成立
3）点电荷产生的电场
q
R
P
单个点电荷q在空间任意点激发的电场为
E(r )
F qs
q
4 0R2
eR
q
4 0
( 1 ) R
r'
O
r Rr r'
特殊地，当点电荷q位于坐标原点时，r ' 0
F
q
E(r ) qs 4 0R2 eR
q (1)
qO
4 0 r
4）多个点电荷组成的电荷系统产生的电场
dd
cos R2 r 2 a2
2rR
cos a2 r 2 R2
2ar
sind d(cos ) R dR
ar
Er
1
4
0
2 0
ra sa2
ra R2
R2 r2 a2 2rR
R dRd
ar
当 0, R r a;当 , R r a
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静电场基本方程
班级：电气121班
姓名：徐鹏学号：2012230106 姓名：邵辉学号：2012230158 姓名：王天宇学号：2012230102
静电场的基本方程.分界面边界条件
静电场基本方程分界面上的衔接条件
静电场的基本方程
总结静电场环量特性及闭合面通量特性，得到了反映静电场基本特性的方程
0=dl⋅lE （2.5.1）
q=dS⋅SD （2.5.2）
0=E⨯∇（2.5.3）
ρ=D⋅∇（2.5.4）
称之为静电场的基本方程，方程（2.5.1）和（2.5.2）是基本方程的积分形式，它们从整体上以表明静电场的无旋性（守恒性）和静电场的有散性（有源性）这两个基本特征。方程（2.5.3）和（2.5.4）是以上两基本方程对应的微分形式，它们更为直接地描述静电场的无旋性和有散性的分布特性。
基本方程的微分形式显得更为重要。一方面，可以从散度和旋度角度描述静电场中各点场与源的关系；另一方面，在计算上反映静电场域空间各点场与源的变化情况。
从计算角度看：基本方程的积分形式适用于大范围的分析计算，它们在静电场的任何区域都成立；而微分形式适合于在同种介质中求解场量（指E、D、φ）的分布，在不同介质分界面上它不成立。由唯一性定理可知，散度和旋度再加上边界条件共同唯一地确定静电场，这边界条件还需要基本方程的积分来推求。
研究介质极化的影响，有
D = ε0
E + P （2.5.5a）
D = ε
E （2.5.5b）
方程（2.5.5a）和（2.5.5b）是联系D、E的媒质的构成方程，它们不是基本方程，但其重要性是不言而喻的。（2.5.5a）对任何介质均成立，方程（2.5.5b）只适用于各向同性线性介质。
介质分界面上的衔接条件
在不同介质的分界面上，可能存在极化电荷和自由电荷，它们使场量的大小和方向