圆中的证明与计算

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中考数学圆的证明及计算

圆的证明与计算

1、如图，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）当DE=1，∠C=30°时，求图中阴影部分的面积．

2、如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．

（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，求阴影部分的面积．

3、如图，以AB为直径作半圆O，点C为半圆上与A，B不重合的一动点，过点C作CD⊥AB 于点D，点E与点D关于BC对称，BE与半圆交于点F，连CE．

（1）判断CE与半圆O的位置关系，并给予证明．

（2）点C在运动时，四边形OCFB的形状可变为菱形吗？若可以，猜想此时∠AOC的大小，并证明你的结论；若不可以，请说明理由．

4、已知：如图，△ABC中，内接于⊙O，且AB=AC，点D在⊙O上，AD⊥AB于点A，AD与BC交于点E，F在DA的延长线上，且AF=AE．

（1）求证：BF与⊙O相切；

（2）若BF=5，cosC=，求⊙O的半径．

5、如图，已知AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，点D在OC的延长线上，连接DA，交BC的延长线于点E，使得∠DAC=∠B．

（1）求证：DA是⊙O切线；

（2）求证：△CED∽△ACD；

（3）若OA=1，sinD=，求AE的长．

6、如图所示，AB为半圆O的直径，点D是半圆弧的中点，半径OC∥BD，过点C作AD 的平行线交BA延长线于点E．

（1）判断CE与半圆OD的位置关系，并证明你的结论．

（2）若BD=4，求阴影部分面积．

7、如图，△ABC中，BE是它的角平分线，∠C=90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F．

第24章：与圆有关的证明与计算

(2)若 BD＝2 3，BF＝2，求阴影部分的面积(结果保留π).
源自文库
解：(1)BC与⊙O相切. 理由如下：连接OD，如解图， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD，又∵OD＝OA， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠CAD＝∠ODA， ∴OD∥AC， ∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC，又∵BC过半径OD的外端点D， ∴BC与⊙O相切；
(1)证明：如解图，连接OD，BD， ∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝∠90°，∴BD⊥AC. ∵AB＝BC，∴AD＝DC， ∵OC＝OB，∴OD∥AB， ∵DE⊥AB，∴DE⊥OD， ∴直线DE是⊙O的切线；
(2)过 D 作 DH⊥BC 于点 H， ∵⊙O 的半径 R＝5，tanC＝12，∴BC＝10，设 BD＝k，CD＝2k， ∴BC＝ 5k＝10，∴k＝2 5， ∴BD＝2 5，CD＝4 5， ∴DH＝CDB·CBD＝4， ∴OH＝ OD2－DH2＝3，
【对应训练】 1．(2017·盘锦)如图，在等腰△ABC 中，AB＝BC，以 BC 为直径的 ⊙O 与 AC 相交于点 D，过点 D 作 DE⊥AB 交 CB 延长线于点 E，垂足为点 F. (1)判断 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
(2)若⊙O 的半径 R＝5，tanC＝12，求 EF 的长.
(1)证明：如解图，连接 OD，∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， ∵BD 平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠ODB＝∠DBC，∴OD∥BC，又∵∠C＝90°，∴∠ADO＝90°， ∴AC⊥OD，即 AC 是⊙O 的切线； (2)解：由(1)知，OD∥BC， ∴OBCD＝AAOB，∴6r＝101－0 r，解得 r＝145，即⊙O 的半径为145.

圆的证明与计算范文

圆是几何中的基本图形之一，它是平面上所有点与固定点之间距离保持不变的集合。下面将从不同的角度对圆的性质进行证明，并介绍一些常见的圆的计算方法。

一、圆的性质及证明

1.圆的定义证明

对于平面上的一个点O以及一个长度r，定义集合E为与O的距离为r的点的集合。我们要证明E是一个圆。

证明：

（1）任意取平面上的一点A，若A∈E，证明OA=r。

假设A∈E，则OA的长度等于A与O的距离，即OA=r。因此，E是以O为圆心，长度为r的圆。

（2）任意取平面上的一点B，若OB=r，证明B∈E。

假设OB=r，则OB的长度等于B与O的距离，即OB=BO=r。因此，

B∈E。

由（1）和（2）可得，对于平面上的一个点O以及一个长度r，定义集合E为与O的距离为r的点的集合是一个圆。

2.圆心角的证明

圆心角是指圆上两条射线所夹的角，它的度数等于弧所对的圆周角的度数。我们要证明圆心角的度数等于所对弧的度数。

证明：

任意取圆上两点A和B，以圆心O为顶点，连接OA和OB两条射线。

延长AO和OB分别与圆交于点C和D，则∠AOB是圆心角，∠ACB是所对

弧所对的圆周角。

（1）∠AOB的度数等于所对弧AD的度数。

由于AD是圆上的弧，所以∠ACO是所对弧AD的圆周角。根据圆周角

的性质，∠ACO的度数等于所对弧AD的度数。

（2）∠ACB的度数等于所对弧AD的度数。

同样根据圆周角的性质，∠ACB的度数等于所对弧AD的度数。

由（1）和（2）可得，圆心角∠AOB的度数等于所对弧AD的度数。

通过证明，我们可以得出圆心角的度数等于所对弧的度数这一结论。二、圆的计算

圆的证明与计算题及答案

题库:圆的证明与计算题

1.如图，AB是⊙O的直径，点D是»AE上的一点，且∠BDE＝∠CBE，BD与AE 交于点F.

(1)求证：BC是⊙O的切线；

(2)若BD平分∠ABE，延长ED、BA交于点P，若P A＝AO，DE＝2，求PD的长．

第1题图

(1)证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB＝90°，

∴∠EAB＋∠EBA＝90°，

∵∠BDE＝∠EAB，∠BDE＝∠CBE，

∴∠EAB＝∠CBE，

∴∠ABE＋∠CBE＝90°，

∴CB⊥AB，

∵AB是⊙O的直径，

∴BC是⊙O的切线；

(2)解：∵BD平分∠ABE，

∴∠ABD＝∠DBE，

如解图，连接DO，

第1题解图∵OD＝OB，

∴∠ODB＝∠OBD，

∵∠EBD＝∠OBD，

∴∠EBD＝∠ODB，

∴OD∥BE，

∴PD

＝PO

，

∵P A＝AO，

∴P A＝AO＝OB，

∴PO

＝2

，

∴PD

＝2

，

∴

PD＋DE

＝2

，

∵DE＝2，

∴PD＝4.

2.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.

(1)求证：DF是⊙O的切线；

(2)若AE＝4，cos A＝2

，求DF的长．

第2题图

（1）证明：如解图，连接OD，

第2题解图∵OB＝OD，

∴∠ODB＝∠B，

又∵AB＝AC，

∴∠C＝∠B，

∴∠ODB＝∠C，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴∠DFC ＝90°，

∴∠ODF ＝∠DFC ＝90°， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴DF 是⊙O 的切线；

(2)解：如解图，过点O 作OG ⊥AC ，垂足为G ， ∴AG ＝1

圆的有关证明及计算

1.已知：如图，在△ABC 中，AB AC =．以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E .

(1)求证：DE 与⊙O 相切；

(2)延长DE 交BA 的延长线于点F .若6AB =，

sin B 求线段AF 的长.

2．如图，AB 为⊙O 的直径，BC 是弦，OE ⊥BC ，垂足为F ，且与⊙O 相交于点E ，连接CE 、AE ，延长OE 到点D ，使∠ODB=∠AEC.

(1)求证：BD 是⊙O 的切线；

(2)若cosD=5

，BC=8,求AB 的长.

3．如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AC 为直径作⊙O 交BC 于

点D ，过点D 作FE ⊥AB 于点E ，交AC 的延长线于点F ． (1) 求证：EF 与⊙O 相切； (2) 若AE=6，sin ∠CFD=

，求EB 的长．

4. 如图，C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，过O 作OE ⊥AC 于点E ，过点A 作⊙O 的切线交

OE 的延长线于点F ，连结CF 并延长交BA 的延长线于点P .

（1）求证：PC 是⊙O 的切线.

（2）若AB =4，AP ∶PC =1∶2，求CF 的长.

5．如图，BD 为⊙O 的直径，AB =AC ，AD 交B C 于点E ，AE =1，ED =2. (1)求证：∠ABC =∠ADB ； (2)求AB 的长；

(3)延长DB 到F ，使得BF =BO ，连接F A ，试判断直线F A 与⊙O 的位置关系，并说明理由．

6. 如图，⊙O 是△ABC 是的外接圆，BC 为⊙O 直径，作∠CAD =∠B ，且点D 在BC 的延

圆中的相关证明与计算

圆是平面上到一个给定点的距离恒定的所有点的集合。通过研究圆的性质和相关的定理，我们可以了解圆的性质和概念，并可以进行相关的证明和计算。

以下是一些关于圆的相关证明和计算的例子：

1.圆的半径与直径的关系证明：

首先，我们知道直径是通过圆心并且两端点在圆上的线段。现在我们要证明直径是半径的两倍。

证明：假设圆的半径为r，直径为d。

根据直径的定义，我们知道直径是通过圆心的，并且它的两个端点在圆上。所以直径d可以看作是两个半径r的长度相加，即d=r+r=2r。

所以我们可以得出结论：直径等于半径的两倍。即d=2r。

2.圆周率的计算：

周长的计算公式为：C=2πr，其中r为圆的半径。

面积的计算公式为：A=πr^2，其中r为圆的半径。

例如，如果一个圆的半径为5厘米，则它的周长为：

C=2π*5=10π≈31.42厘米；面积为：A=π*5^2=25π≈78.54平方厘米。

3.弦和半径的垂直关系证明：

在圆中，连接圆周上的两点的线段称为弦。现在我们要证明如果一个弦与半径相交，那么这个弦就是半径的垂直平分线。

证明：假设在圆中有一个弦AB，如果它与半径OC相交于点M，我们

要证明AM=MB。

根据圆的性质，半径OC与弦AB相交于点M，则角OMC是直角，因为OC是半径，所以OM=MC。

又由于弦AB与半径OC相交于点M，所以AM=MC，MB=MC。

综上所述，AM=MB，即弦AB是半径OC的垂直平分线。

通过以上证明和计算，我们可以更深入地了解圆的性质和相关的定理。圆是几何学中重要的概念之一，它在各种数学和科学领域中都有广泛的应用。希望以上内容对您有所帮助。

圆的有关证明与计算.pdf

圆的有关证明与计算

1．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AO 是△ABC 的角平分线．以O 为圆心，OC 为半径作⊙O．

（1）求证：AB 是⊙O 的切线．

（2）已知AO 交⊙O 于点E，延长AO 交⊙O 于点D，tanD=，求的值．

（3）在（2）的条件下，设⊙O 的半径为3，求AB 的长．

2．已知，如图，直线MN 交⊙O 于A，B 两点，AC 是直径，AD 平分∠CAM 交⊙O 于D，过D 作DE⊥MN 于E．

（1）求证：DE 是⊙O 的切线；

（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O 的半径．

（3）在（2）的条件下，直接写出tan∠CAB 的值．

3．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 是⊙O 上一点，∠BAD 的平分线交⊙O 于点C，过点C 的直线与AD 互相垂直，垂足为点E，直线EC 与AB 的延长线交于点P，连接BC，已知PB：PC=1：．

（1）求证：CP 是⊙O 的切线；

（2）若⊙O 的半径为r，试探究线段PB 与r 的数量关系并证明；

（3）当r=3 时，求DE 的长．

4．如图，AD 是△ABC 的角平分线，以点C 为圆心，CD 为半径作圆交BC 的延长线于点E，交AD 于点F，交AE 于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．

（1）求证：点F 是AD 的中点；

（2）求cos∠AED 的值；

（3）如果BD=20，求半径CD 的长．

5．如图1，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为圆弧上一点，AD 垂直于过C 点的直线，AC 平分DAB，AB 的延长线交直线CD 于点E．

圆的证明及计算精编版

"圆的证明与计算"专题讲解

圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比拟关键。

圆的有关证明

一、圆中的重要定理:

(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.

(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.

(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.

(4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.

(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.

(6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.

(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等.

2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.

二、考题形式分析：

主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长〔或面积〕；②求线段比；③求角度的三角函数值〔实质还是求线段比〕。

知识点一：判定切线的方法：

〔1〕假设切点明确，则“连半径，证垂直〞。

常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；

〔2〕假设切点不明确，则“作垂直，证半径〞。

常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；

总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径〔过圆上一点〕；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进展由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：

圆中的计算和证明

1、如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD。

（1）求证：AD＝AN；

（2）若AB＝2

4，ON＝1，求⊙O的半径。

2、在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD。

（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC＝2，求⊙O的半径r；

（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，求出∠DCA的度数。

知识点（圆相关概念和性质）

知识点一：垂径定理

1．垂径定理：于弦的直径这条弦且这条弦所对的。

2．推论（1）：①平分（）的垂直于弦且弦所对的；

②弦的经过且弦所对的两条弧；

③弦所对的一条的直径弦且平分弦所对的另一条弧。

推论（2）：圆的两条弦所夹的弧。

知识点二：圆心角、弧、弦、弦心距间的关系

1．定理：在或中，相等的圆心角所对的相等，所对的相等，相等。

2．推论：同圆或等圆中，如果①两个相等，②两条相等，③两条相等，④两条弦的中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

知识点三：圆周角定理及其推论

1．定理：在同圆或等圆中，或

所对的相等，都等于这条弧所对

的的。

2．推论①：同弧或等弧所对的相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是。

推论②：或所对的是直角；是直角（90°的）所对的弧是，所对的弦是。

推论③：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是。

知识点四：圆内接四边形性质定理

1．概念：所有顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形。2．定理：圆内接四边形的对角，并且任何一个外角都等于它的。

知识点五：直线与圆的位置关系

圆的相关证明与计算

类型一角平分线模型

★1.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 为弦，D 是BC ︵

的中点，过点D 作EF ⊥AC 的延长线于E ，交AB 的延长线于F .

（1）求证：EF 是⊙O 的切线；

（2）若sin ∠F ＝1

3，AE ＝4，求⊙O 的半径和AC 的长.

第1题图

(1)证明：如解图，连接OD ，OC . ∵D 是BC ︵

的中点， ∴∠BOD ＝1

2∠BOC ，

∵OA ＝OC ， ∴∠A ＝∠OCA ∵∠A ＝1

2∠BOC ，

∴∠BOD ＝∠A ，第1题解图 ∴OD ∥AC ， ∵EF ⊥AC ， ∴OD ⊥EF ，

又∵OD 是⊙O 的半径， ∴EF 是⊙O 的切线；

(2)解：在△AEF 中，∵∠E ＝90°， sinF ＝1

3，AE ＝4， ∴AF ＝AE

sinF ＝12.

设⊙O 的半径为R ，则OD ＝OA ＝OB ＝R ，AB ＝2R . 在△ODF 中，∵∠ODF ＝90°，sinF ＝OD OF ＝1

3， ∴OF ＝3OD ＝3R ， ∵OF ＋OA ＝AF ， ∴3R ＋R ＝12，解得R ＝3. 连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵∠E ＝90°， ∴BC ∥EF ， ∴AC AE ＝AB AF ， ∴AC 4＝2R 4R ， ∴AC ＝2.

★2.如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，D 是AC 中点，BE 平分∠ABD 交AC 于点E ，点O 是AB 上一点，⊙O 过B 、E 两点，交BD 于点G ，交AB 于点F

（1）判断直线AC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；

初中三：圆的证明与计算

圆的证明与计算

【高频核心考点】

1，圆周角定理以及垂径定理，如下图所示

∵ AB 为直径且AB ⊥CD

∴ CE=DE ，弧BC=弧BD ，弧AC=弧AD 注：运算中主要运用勾股定理。

2，圆的切线长定理，如下图所示

∵ PA，PB 为⊙O 的两条切线

∴ PA=PB ，且PO 垂直平分AB 同理可证：EC=EA ，FC=FB

3，相交弦定理切割线定理割线定理

结论： PA ·PB=PC ·PD PA 2=PB ·PC PB ·PA=PD ·PC

4，切割线延伸：切割线互垂（角平分线）：

结论：tan A DB BC CD

AD CD AC

∠=

结论：∠ABD=∠CBD ，DB 2=BC ·BE ，AD 2=AE ·AB

E D

C B

【精题精讲精练】

◆例1：《角平分线模型》

1，如图，在Rt ABC

∆中，90

∠=︒，AD平分BAC

∠交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的O

⊙分别交AB，AC于点E，F，连接OF交于点G.

（1）求证：BC是O

⊙的切线；

（2）设AB x=，AF y=，试用含,x y的代数式表示线段AD的长；

（3）若8

BE=，5

sin

B=，求DG的长.

2，如图1，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD=∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF=AC，连接AF.

（1）求证：ED=EC；

（2）求证：AF是⊙O的切线；

（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC·BE=25，求BC的长.

【变式练习】

已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CBA 的平分线交AC 于点F ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连结AD. （1）求证：2AC DE =；

2020年中考数学压轴题：圆中证明及计算问题

【例1】（2019·叶县一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O 于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．

（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）求证：AB•CP＝BD•CD；

（3）当AB＝5 cm，AC＝12 cm时，求线段PC的长．

【答案】见解析.

【解析】（1）证明：连接OD．

∵∠BAD＝∠CAD，

∴弧BD=弧CD，

∴∠BOD＝∠COD＝90°，

∵BC∥P A，

∴∠ODP＝∠BOD＝90°，

即OD⊥P A，

∴PD是⊙O的切线．

（2）证明：∵BC∥PD，

∴∠PDC＝∠BCD．

∵∠BCD＝∠BAD，

∴∠BAD＝∠PDC，

∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，∴∠ABD＝∠PCD，

∴△BAD∽△CDP，

∴AB BD CD CP

，

∴AB•CP＝BD•CD．

（3）∵BC是直径，

∴∠BAC＝∠BDC＝90°，

∵AB＝5，AC＝12，

由勾股定理得：BC＝13，

由（1）知，△BCD是等腰直角三角形，

∴BD＝CD

∵AB•CP＝BD•CD．

∴PC＝169 10

．

【变式1-1】（2018·焦作一模）如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，延长BC到点D，使CD=CA，连接AD交⊙O于点E．

（1）求证：△ABE≌△CDE；

（2）填空：

①当∠ABC的度数为时，四边形AOCE是菱形；

②若AE=6，BE=8，则EF的长为．

【答案】（1）见解析；（2）60；9 2 .

【解析】（1）证明：连接CE，

中考《圆》有关的证明和计算

圆是数学中的重要概念，它在几何学和代数学中都有广泛的应用。本

文将围绕圆的性质、定理和计算等方面展开，旨在帮助读者更好地理解和

掌握圆的相关知识。

一、圆的定义和性质

1.定义：平面上的圆是由一组与给定点的距离相等的点组成的几何体。这个给定点称为圆心，与圆心距离相等的线段称为半径。

2.性质：

（1）所有点到圆心的距离相等；

（2）圆上的任意两点与圆心的距离相等；

（3）半径相等的圆互为同心圆；

（4）圆的直径是通过圆心的线段，且长度等于半径的两倍；

（5）圆的周长是圆周上所有点之间的距离之和，用2πr表示（r为

半径）；

（6）圆的面积是圆所包围的平面区域的大小，用πr²表示。

二、圆的计算

1.计算周长：

圆的周长公式为：C=2πr，其中C表示周长，r表示半径。

例如，如果一个圆的半径为5，则周长C=2π×5=10π。

2.计算面积：

圆的面积公式为：S=πr²，其中S表示面积，r表示半径。

例如，如果一个圆的半径为5，则面积S=π×5²=25π。

三、圆的相关定理

1.弧长与圆心角的关系：在圆上，如果两个弧所对的圆心角相等，那

么这两个弧的弧长也相等。

2.弦和弧对应角的关系：在圆上，如果两个弦所对的弧相等，那么这

两个弦所对应的圆心角也相等；反之亦成立。

3.正交弦的性质：在圆上，如果一条弦和一条半径相交且相互垂直，

那么这条弦被分成的两个弧是相等的。

4.切线与半径的垂直性：在圆上，从圆外一点引一条切线，这条切线

与半径的连线相互垂直。

5.弦切角定理：在圆上，切线和半径之间的夹角等于所对的弦所对应

的圆心角的一半。

中考数学精英复习课件：专题五圆中的证明与计算

解：(1)在 Rt△FBO 中， ∵∠ABC＝30°，∠FOB＝90°，FO＝2 3， ∴FB＝4 3，OB＝6， ∴AB＝2BO＝12. 又∵∠C＝90°，∠ABC＝30°， ∴AC＝12AB＝6.
(2)连接 BD，过点 D 作 DM⊥AB 于 M.
∵FO 为 AB 的中垂线，
∴FA＝FB，
∴∠FAO＝∠FBO＝30°，
︵ 3．(2017·济宁)如图，已知⊙O 的直径 AB＝12，弦 AC＝10，D 是BC的中点，过点 D 作 DE⊥AC，交 AC 的延长线于点 E. (1)求证：DE 是⊙O 的切线； (2)求 AE 的长． (1)证明：连接 OD，
︵ ∵D 为BC的中点，百度文库
︵︵ ∴BD＝CD， ∴∠BOD＝∠BAE， ∴OD∥AE， ∵DE⊥AC， ∴∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°， ∴OD⊥DE，则 DE 为圆 O 的切线；
21 9.
6．(2017·潍坊)如图，AB 为半圆 O 的直径，AC 是⊙O 的一条弦，D 为︵ BC的中点，作 DE⊥AC，交 AB 的延长线于点 F，连接 DA. (1)求证：EF 为半圆 O 的切线； (2)若 DA＝DF＝6 3，求阴影区域的面积．(结果保留根号和π)
(1)证明：连接 OD，︵
∴cos∠E＝cos∠CBG＝BBGC＝2254.
满分技法：(1)证明切线的常用方法：①有“点”，连半径，证垂直，②无“点”，作垂直证半径；(2)利用切线的性质求线段长度的策略：一般连接过切点的半径构造直角三角形，利用三角函数、勾股定理解决问题，有时会利用图中的角得相似三角形，由相似求线段的长度.

圆的证明与计算PPT

考查：应用三角函数、垂径定理、勾股定理建立方程，求解线段关系的能力
基本思路：
看见三角函数值要么找直角三角形转换角，要么构造直角三角形，表示边长
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思路一：转换∠BPC至Rt△FOC中的∠FOC中，表示线段；再建构设问∠PAB所在的直角三角形，应用垂径定理连PO；思路二：转换∠BPC至Rt△FOC中的∠FOC中，表示线段；转换设问∠PAB至Rt△EFC中的∠EOC ，应用角平分线的性质求EF.
(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等及全等。 2、圆中几个关键元素之间的相互转化:
弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.
二、考题形式分析：

主要以解答题的形式出现，近两年来，此题考查形式由原来的单图题演变成双图题;
第一小问也由原来的切线的证明，转变成应用圆中简单性质进行计算和证明; 第二问则在第一问的基础上进行深化和运用，考查学生灵活运用所学圆的相关知识解决线段长，面积、线段比、三角函数的有关问题的能力。
（3）如图（3）：若CK⊥AB于K，则：①CK=CD；BK=DE； 1 CK= 2 BE=DC；AE+AB=2AK=2AD; ②⊿ADC∽⊿ACB AC2=AD•AB
原创例题4：
来源：课本九年级上册103页第14题

圆中的计算和证明

1、如图，AB，AC分别是半⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点

A作半⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P．连接PC并延长

与AB的延长线交于点F．

（1）求证：PC是半⊙O的切线；

（2）若∠CAB=30°，AB=10，求线段BF的长

2、已知如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x﹣2与

x轴、y轴分别交于A，B两点，P是直线AB上一动点，⊙P的半

径为1．

(1）判断原点O与⊙P的位置关系，并说明理由；

(2）当⊙P过点B时，求⊙P被y轴所截得的劣弧的长；

(3）当⊙P与x轴相切时，求出切点的坐标．

3、已知AB是半圆O的直径，点C是半圆O上的动点，点D是线段AB延长线上的动点，在运动过程中，保持CD=OA．

（1）当直线CD与半圆O相切时（如图①），求∠ODC的度数；

（2）当直线CD与半圆O相交时（如图②），设另一交点为E，连接AE，若AE∥OC，①AE 与OD的大小有什么关系？为什么？②求∠ODC的度数．

4、已知：如图，在等边△ABC中，以BC为直径的半圆O与边

AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．

（1）求证：DE是半圆O的切线；

（2）计算AE：CE的值

5、在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与

AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，且BF=BC．⊙O

是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交于点

H，连接BD、FH．

（1）求证：△ABC≌△EBF；

（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；

6、如图，点A是⊙O上一点，OA⊥AB，且OA=1，

圆中的证明与计算

中考数学 圆的证明及计算

第24章：与圆有关的证明与计算

圆的证明与计算范文

圆的证明与计算题及答案

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圆的证明及计算精编版

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