圆中的证明与计算

圆中的证明与计算及圆与三角形、四边形

知识点圆中的重要知识点

【知识梳理】

1、圆中的重要概念

2、圆中的重要定理

3、易与圆结合的其他知识

【例题精讲一】垂径定理

例1.1、如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D＝∠G＝30°。（1）求证：弧CF＝弧BC；（2）若CD＝6，分别求BE、GF的长。

（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝2

4，ON＝1，求⊙O的半径。

3、如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB＝13，AC＝5。

（1）如图（1），若点P是弧AB的中点，求PA的长；（2）如图（2），若点P是弧BC的中点，求PA的长。

【课堂练习】

1、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，E为AB延长线上一点，CE交⊙O于F，连接BF。

（1）求证：BF平分∠DFE；（2）若EF＝DF，BE＝5，CH＝3，求⊙O半径。

2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF。

（1）求证：∠BAD＝∠F；（2）若EF＝25，AC＝4，求⊙O的半径。

【例题精讲二】圆周角定理

例2.1、如图，CD为⊙O的直径，AB、AC为弦，且∠ADC＝∠DAB＋∠ACD，AB交CD于E。

（1）求证：AB＝AC；（2）若DE＝2，CE＝10，求AC的长。

2、在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在AD上取一点E使∠EBC＝∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H。

（1）求证：AC⊥BH；（2）若∠ABC＝45°，AC＝10，BD＝8，求CE的长。

3、如图，⊙O 为△ABD 的外接圆，E 为△ABD 的内心，DE 的延长线交⊙O 于C 。 （1）如图1，求证：CE ＝AC ；

（2）如图2，若AB 为⊙O 的直径，AB ＝10，AD ＝8 ① 求S △ADE ； ② 求

CE

AE

的值。

【课堂练习】

1、如图，四边形ACBD 内接于⊙O ，∠ACB ＝90°。 （1）求

AC BC

CD

＋的值； （2）已知M 是弧BC 的中点，AM 与CD 交于点N ，若AC ＝6，⊙O 的半径为5，求MN 的长； （3）若AD ＝42，直接写出AC ＋BC 的最大值： 。

N

O

D

B

C

A

O

D

B

C

A

2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，⊙O为△ABC的外接圆，以点C为圆心，BC长为半径作弧交CA的延长线于点D，交⊙O于点E，连接BE、DE。

（1）求∠DEB的度数；（2）若直线DE交⊙O于F，判断点F在半圆AB上的位置，并证明你的结论。

【例题精讲三】圆与三角形

例1.1、如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连OD交BE于点M，且MD＝2，则AM＝__________。

2、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，I为△ABC的内心，且OI⊥AI。若AB＝10，则BI的长为

__________。

3、如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，则AD＝_________。

【课堂练习】

1、如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP＝3，则弦BC的最大值为。

2、如图，在⊙O中，点C是直径AB的延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连接BD。若CM平分

∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，若DM＝1，则MN＝。

3、已知等腰△ABC，AB＝AC＝13，BC＝10，点I和O分别为△ABC的内心和外心，则OI＝。

【例题精讲四】圆与四边形

例2.1、如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，AD、AB、BC分别与与⊙O相切于E、F、G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为。

2、如图，将半径为1的半圆形纸片按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是。

3、如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB上的一点，将△BCE沿CE折叠至△FCE，若CF、CE恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切，则折痕CE的长为。

【课堂练习】

AE，边AD、DC都相切。把扇形BAE剪下作为一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆恰好是纸片⊙O，则剩下纸片的面积为。

2、如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是线段CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE＋PF的最大值与最小值的差是。

3、如图，两同心圆半径分别为3、3，点A、B分别为同心圆上的动点，以AB为边作正方形ABCD，则OD长的最大值为。

1、如图，如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是_________。

2、如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线⊙A于M、N两点。若点M的坐标是（－4，－2），则弦MN的长为_________。

3、如图，已知边长为2的圆内接正方形ABCD中，P为边CD的中点，直线AP交圆于E点，则弦DE的长

为。

4、在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD。

（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC＝2，求⊙O的半径r；

（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，求出∠DCA的度数。