极坐标(高考考点解析)

极坐标与参数方程 目录

题型1：求圆或直线的极坐标方程 .......................................................................................................................... 1 题型2：极坐标方程化参数方程 .............................................................................................................................. 1 题型3：参数方程化极坐标方程 .............................................................................................................................. 2 题型4：求圆与直线的交点 ...................................................................................................................................... 4 题型5：求两点间距离 .............................................................................................................................................. 4 题型6：求点到直线的距离 ...................................................................................................................................... 5 题型7：极坐标的综合性问题 . (6)

题型1：求圆或直线的极坐标方程

【例1】【2013年高考安徽卷（理）】

在极坐标系中，圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）

A ．0()cos 2R θρρ=∈=和

B ．()cos 22

R π

θρρ=

∈=和

C ．()cos 12

R π

θρρ=

∈=和 D ．0()cos 1R θρρ=∈=和

【答案】B

【解析1】由2cos ρθ=知，圆心坐标为(1,0)，半径为1，所以圆与极轴的两个交点坐标为(0,0)，(2,0)。

过极点(0,0)且与极轴垂直的直线的极坐标方程为()2

R π

θρ=

∈。

过点(2,0)且与极轴垂直的直线的极坐标方程为cos 2ρ=。

【规律方法】

（1）熟记课本12页——14页的结论。

（a ）半径为a ，圆心C 坐标为(,0)(0)a a >，圆C 的极坐标方程为2cos a ρθ=；

（b ）过点(,0)(0)A a a >，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程为cos a ρ=。 （2）识模，解模。

（a ）识模：能识别并理解极坐标方程表示的图形； （b ）解模：根据图形的几何意义解题。

【解析2】2cos ρθ=2

2cos ρρθ⇒=2

2

2x y x ⇒+=2

2

(1)1x y ⇒-+=。

当0y =时，得圆与x 轴的两个交点的横坐标为0与2，所以与圆相切且与x 轴垂直的两条直线方程为

0x =，2x =。

将两切线的直角坐标方程利用cos x ρθ=化为极坐标方程()2

R π

θρ=

∈，cos 2ρ=。

【规律方法】

（1）先将极坐标问题转化为直角坐标问题，在直接坐标系下求解。 （2）再将直角坐标系下的结论转化为极坐标系下的结论。 【提示】

将极坐标问题转化为直角坐标问题，是解决极坐标问题的常用方法。

题型2：极坐标方程化参数方程

【例2】【2013年高考广东卷（文）】

已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线

C 的参数方程为____________.

【解析1】2cos ρθ

=⇒

=

222x y x ⇒+=22(1)1x y ⇒-+=

1cos ,

sin .x y θθ=+⎧⇒⎨=⎩

（θ为参数）。

【规律方法】

（1）极坐标方程化参数方程时，首先将极坐标方程化为直角坐标方程，再将直角坐标方程化为参数方

程。其中直角坐标方程起桥梁作用，过渡作用。

（2）极坐标方程化为直角坐标方程，

只需把公式ρ=

，cos θ=

，

sin θ=tan y

x

θ=

等直接代入并化解即可； （3）将圆的直角坐标方程化为参数方程时，应牢记关系：圆的直角坐标方程为2

2

2

()()x a y b r -+-=，

对应的参数方程为cos ,sin .x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩

（θ为参数）。

【解析2】2cos ρθ=2

2cos ρρθ⇒=2

2

2x y x ⇒+=2

2

(1)1x y ⇒-+=1cos ,

sin .

x y θθ=+⎧⇒⎨

=⎩（θ为参数）。

【规律方法】

极坐标方程化为直角坐标方程，往往需要通过两边同时乘以ρ，或两边同时平方等，构造出形如

2,cos ,sin ,tan ρρθρθθ，然后整体代换。

【错解】2cos ρθ=2

2

4cos ρθ⇒=2

2

41tan ρθ

⇒=+22

22

41x y y x

⇒+=+222

224x x y x y ⇒+=+2222()4x y x ⇒+=222x y x ⇒+=±22(1)1x y ⇒±+=1cos ,sin .x y θθ=+⎧⇒⎨=⎩或1cos ,

sin .x y θθ=-+⎧⎨=⎩

（θ为参

数）。

【错因分析】 计算过程中两边同时平方，产生了增根。

【防范措施】

如果计算过程有可能产生增根，最后一定要对根进行检验。

题型3：参数方程化极坐标方程

【例3】【2013年高考课标Ⅰ卷（文）】

已知曲线1C 的参数方程为45cos ,

55sin x t y t

=+⎧⎨

=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立

极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.

（Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程;

（Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标（0,02ρθπ≥≤<）.