2.3.1等比数列通项公式学案

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数列的通项公式及前n项和的求法(自己整理的学案)

数列：通项公式的求法一、公式法(定义法)：适用于等差或等比数列等差数列的通项公式： 1(1)n a a n d =+-；等比数列的通项公式： 11n n a a q -= 等差数列的定义： 1n n a a d --=；变式：112n n n a a a +-=+，1n n a a d -=+；等比数列的定义：1n n a q a -=；变式：211n n n a a a +-=，1n n a qa -=；二、利用n S 求n a （知n S 求n a ）⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n ；利用n S 求n a 一般为三步：（1）当n=1时利用S 1＝a 1求出a 1 （2）当2n ≥时，利用1n n n S S a --=求出n a ；（3）检验a 1的值合不合由第二步求出的n a 的表达式；例一：数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若S n ＝2a n －1， ((1)求1a 的值(2)求数列的通项公式a n解：（1）当n=1时，有S 1＝2a 1－1即a 1＝2a 1－1求得a 1=1；（2）当2n ≥时，S n ＝2a n －1① S n-1＝2a n-1－1②； ①—②有a n ＝2a n —2a n-1 得1122n n n n a a a a --=⇒=，所以{a n }为一以2为公比1为首项的等比数列，所以11122n n n a --=⨯= （3）经检验，11a =也合12n n a -=，所以数列{a n }的通项公式为12n n a -=。

练习1、数列{a n }的各项为正数， 11a =且有2211230n n n n a a a a ++--=，则{a n }的通项公式是__________．2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝3n ＋n ，则数列的通项公式a n ＝________.3、各项都为正数的数列{a n }中，有11a =且331log 3log n n a a --=，则通项公式a n ＝________.4、数列{a n }中，11a =，且当1n >时有13n n a a -=，求数列的通项公式a n ________.5、数列{a n }中，11a =且点1(,)n n a a +在直线2y x =-上，通{a n }的通项公式为________.6、数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若2S n ＝3a n —3，(1)求1a 的值(2)求数列的通项公式a n三、形如sra pa a n n n +=--11型（取倒数法）例3. 已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1211≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a解：取倒数：⇔+=-2111n n a a 2111=--n n a a 1113(1)222n n n a a ∴=+-⋅=- 2.43n a n ∴=- 练习1。

2.3.1等比数列(1)

普通高中课程标准实验教科书—数学第五册[人教版B]2.3.1等比数列（第一课时）教学目标：1．理解等比数列的定义．2．掌握等比数列的通项公式教学重点：等比数列的定义及通项公式教学过程一、1.折纸问题的例子2.数列：ΛΛ,625,125,25,5ΛΛ,81,41,21,1--观察、归纳其共同特点：1“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q )2任一项00≠≠q a n 且 3q = 1时，{a n }为常数二、通项公式：1.等比数列的通项公式1:)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n由等比数列的定义，有： q a a 12=；21123)(q a q q a q a a ===；312134)(q a q q a q a a ===； … … … … … … …0(1111≠⋅⋅==--q a q a q a a n n n2．等比数列的通项公式2: )0(11≠⋅⋅=-q a q a a m m n 3．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．4.图像是经过压缩或拉伸的指数函数图像上的若干孤立点三、补充例子：例1求下列各等比数列的通项公式：1． 1a =2, 3a =8解：24213±=⇒=⇒=q q q a a n n n n n n a a )2()2)(2(22)2(11-=--=-=-=∴--或2． 1a =5, 且21+n a =3n a 解：111)23(5523-+-⨯=∴=-==n n n n a a a a q 又：例2培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒？解：由于每一代的每一粒种子都可得120粒种子，所以每代的种子数是它的前一代种子数的120倍，逐代的种子数组成等比数列，记为{}n a其中101551105.2120120,120,120⨯≈⨯=∴==-a q a 答：到第5代大约可以得到种子2.51010⨯粒.小结：本节课主要学习了等比数列的定义，即：)0(1≠=-q q a a n n 等比数列的通项公式：11-⋅=n n q a a 及推导过程课堂练习：第50页练习A,B课后作业：第54页：1，2，3。

2020版数学人教B版必修5学案：第二章 2.3.1 第2课时等比数列的性质 Word版含解析

第2课时等比数列的性质学习目标 1.灵活应用等比数列的通项公式推广形式及变形.2.理解等比数列的有关性质，并能用相关性质简化计算.知识点一等比数列通项公式的推广和变形等比数列{a n }的公比为q ，则 a n ＝a 1·q n -1 ① ＝a m ·q n -m ② ＝a 1q·q n ③其中当②中m ＝1时，即化为①.当③中q ＞0且q ≠1时，y ＝a 1q ·q x为指数型函数．知识点二等比数列常见性质(1)对称性：a 1a n ＝a 2a n －1＝a 3a n －2＝…＝a m ·a n -m +1(n >m 且n ，m ∈N ＋)； (2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ·a l ＝a m ·a n ； (3)若m ，p ，n 成等差数列，则a m ，a p ，a n 成等比数列；(4)在等比数列{a n }中，连续取相邻k 项的和(或积)构成公比为q k (或2k q )的等比数列；(5)若{a n }是等比数列，公比为q ，则数列{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }都是等比数列，且公比分别是q ，1q，q 2.(6)若{a n }，{b n }是项数相同的等比数列，公比分别是p 和q ，那么{a n b n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 也都是等比数列，公比分别为pq 和pq.1．a n ＝a m q n -m (n ，m ∈N ＋)，当m ＝1时，就是a n ＝a 1q n -1.( √ ) 2．等比数列{a n }中，若公比q <0，则{a n }一定不是单调数列．( √ ) 3．若{a n }，{b n }都是等比数列，则{a n ＋b n }是等比数列．( × )4．若数列{a n }的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{a n }是等比数列．( × )题型一等比数列通项公式的推广应用例1 已知等比数列{a n }中． (1)若a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)若{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，求通项公式a n . 解 (1)∵a 7a 4＝q 7-4＝82，即q 3＝4，∴q ＝34，∴225444333422(2)2n n n n n a a q----=⋅=⋅=⋅= (n ∈N ＋)．(2)由a 25＝a 10＝a 5·q 10-5，且a 5≠0，得a 5＝q 5，即a 1q 4＝q 5，又q ≠0，∴a 1＝q .由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1得，2a n (1＋q 2)＝5qa n ， ∵a n ≠0，∴2(1＋q 2)＝5q ，解得q ＝12或q ＝2.∵a 1＝q ，且{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2.∴a n ＝2·2n -1＝2n (n ∈N ＋)．反思感悟 (1)应用a n ＝a m q n －m ，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a 1.(2)等比数列的单调性由a 1，q 共同确定，但只要单调，必有q >0.跟踪训练1 已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 答案 B解析设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B.题型二等比数列的性质及其应用例2已知{a n}为等比数列．(1)若a n>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；(2)若a n>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．解(1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋a5)2＝25，∵a n>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5.(2)根据等比数列的性质，得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10.反思感悟抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题．跟踪训练2设各项均为正数的等比数列{a n}满足a4a8＝3a7，则log3(a1a2…a9)等于() A．38B．39C．9 D．7答案 C解析∵a4·a8＝a5·a7＝3a7且a7≠0，∴a5＝3，∴log3(a1a2…a9)＝log3a95＝log339＝9.题型三由等比数列衍生的新数列例3已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于() A．4 2 B．6 C．7 D．5 2答案 D解析∵{a n}为等比数列，∴a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9也成等比数列，∴(a4a5a6)2＝(a1a2a3)(a7a8a9)＝5×10，又{a n}各项均为正数，∴a4a5a6＝5 2.反思感悟借助新数列与原数列的关系，整体代换可以减少运算量．跟踪训练3等比数列{a n}中，若a12＝4，a18＝8，则a36为()A ．32B ．64C ．128D ．256 答案 B解析由等比数列的性质可知，a 12，a 18，a 24，a 30，a 36成等比数列，且a 18a 12＝2，故a 36＝4×24＝64.等比数列的实际应用典例某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示n (n ∈N ＋)年后这辆车的价值．(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？解 (1)n 年后车的价值(万元)依次设为：a 1，a 2，a 3，…，a n ，由题意，得a 1＝13.5(1－10%)，a 2＝13.5(1－10%)2，…. 由等比数列定义，知数列{a n }是等比数列， ∴n 年后车的价值为a n ＝13.5×(0.9)n 万元． (2)由(1)得a 4＝a 1·q 4＝13.5×0.94≈8.9(万元)， ∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元．[素养评析] (1)等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题．(2)发现和提出问题，建立和求解模型，是数学建模的核心素养的体现.1．在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，则公比q 为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案 A解析由a 5＝a 2q 3，得q 3＝8，所以q ＝2.2．等比数列{a n }中，若a 2a 6＋a 24＝π，则a 3a 5等于( ) A.π4 B.π3 C.π2 D.4π3 答案 C解析 a 2a 6＝a 24＝a 3a 5，∴a 3a 5＝π2.3．已知等比数列{a n }共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是( ) A.32 B. 2 C ．2 D ．2 2 答案 C解析奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a 1a 3a 5a 7a 9＝2，a 2a 4a 6a 8a 10＝64，则a 2a 4a 6a 8a 10a 1a 3a 5a 7a 9＝q 5＝32，则q ＝2，故选C.4．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．答案 8解析设这8个数组成的等比数列为{a n }，则a 1＝1，a 8＝2. 插入的6个数的积为a 2a 3a 4a 5a 6a 7 ＝(a 2a 7)·(a 3a 6)·(a 4a 5) ＝(a 1a 8)3＝23＝8.5．已知a n ＝2n ＋3n ，判断数列{a n }是不是等比数列？解不是等比数列．∵a 1＝21＋31＝5，a 2＝22＋32＝13，a 3＝23＋33＝35， ∴a 1a 3≠a 22，∴数列{a n }不是等比数列．1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法．2．所谓通式通法，指应用通项公式，前n 项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量．3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.一、选择题1．在等比数列{a n }中，若a 2 019＝8a 2 016，则公比q 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案 A解析 ∵a 2 019＝8a 2 016＝a 2 016·q 3，∴q 3＝8，∴q ＝2.2．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( ) A ．100B ．－100C ．10 000D ．－10 000答案 C解析 ∵lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝6，∴a 38＝106，∴a 8＝102＝100.∴a 1a 15＝a 28＝10 000.3．(2018·大连模拟)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1等于( )A ．2B ．4 C. 2 D ．2 2 答案 B解析在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为单调递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q 2＝a 4a 2＝14，所以q ＝12(舍负)，a 1＝a 2q ＝4.4．等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6.则a 8等于( ) A ．64 B ．128 C ．256 D ．512 答案 B解析 a 2＋a 3＝q (a 1＋a 2)＝3q ＝6， ∴q ＝2，∴a 1＋a 2＝a 1＋2a 1＝3a 1＝3， ∴a 1＝1.∴a 8＝27＝128.5．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q 为( )A.13 B ．3 C ．±13 D ．±3 答案 B解析设等差数列为{a n }，公差为d ，d ≠0. 则a 23＝a 2·a 6，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，化简得d 2＝－2a 1d ，∵d ≠0，∴d ＝－2a 1，∴a 2＝－a 1，a 3＝－3a 1，∴q ＝a 3a 2＝3.6．(2018·长春模拟)公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11 答案 C解析由题意得，2a 5a 6＝18，a 5a 6＝9，∵a 1a m ＝9，∴a 1a m ＝a 5a 6，∴m ＝10，故选C.7．(2018·济南模拟)在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( )A ．12B ．13C ．14D ．15 答案 C解析设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12，可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q3n -3＝324，因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14，故选C. 二、填空题8．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________. 答案 18解析由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝a 5a 4＝3.∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝⎝⎛⎭⎫12＋32×32＝18. 9．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 答案－6解析由题意知，a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6. ∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1a 4， ∴(a 1＋4)2＝(a 1＋6)a 1，解得a 1＝－8，∴a 2＝－6.10．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝________. 答案 8解析由等比数列的性质，得a 3a 11＝a 27，∴a 27＝4a 7.∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 7＝a 7＝4. 再由等差数列的性质知b 5＋b 9＝2b 7＝8.11．在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，则a 41a 42a 43a 44＝________. 答案 1 024解析设等比数列{a n }的公比为q ， a 1a 2a 3a 4＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 41·q 6＝1，① a 13a 14a 15a 16＝a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15＝a 41·q 54＝8，②②÷①得q 48＝8，q 16＝2，∴a 41a 42a 43a 44＝a 1q 40·a 1q 41·a 1q 42·a 1q 43＝a 41·q 166＝a 41·q 6·q 160＝(a 41·q 6)(q 16)10＝210＝1 024. 三、解答题12．已知数列{a n }是等比数列，a 3＋a 7＝20，a 1a 9＝64，求a 11的值．解 ∵{a n }为等比数列，∴a 1·a 9＝a 3·a 7＝64. 又∵a 3＋a 7＝20，∴a 3＝4，a 7＝16或a 3＝16，a 7＝4.①当a 3＝4，a 7＝16时，a 7a 3＝q 4＝4，此时a 11＝a 3q 8＝4×42＝64.②当a 3＝16，a 7＝4时，a 7a 3＝q 4＝14，此时a 11＝a 3q 8＝16×⎝⎛⎭⎫142＝1. 13．在等比数列{a n }(n ∈N ＋)中，a 1＞1，公比q ＞0.设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0. (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项公式a n ； (3)试比较a n 与S n 的大小． (1)证明因为b n ＝log 2a n ，所以b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1－log 2a n ＝log 2a n ＋1a n ＝log 2q (q ＞0)为常数，所以数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q . (2)解因为b 1＋b 3＋b 5＝6，所以(b 1＋b 5)＋b 3＝2b 3＋b 3＝3b 3＝6，即b 3＝2. 又因为a 1＞1，所以b 1＝log 2a 1＞0，又因为b 1·b 3·b 5＝0，所以b 5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 3＝2，b 5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝2，b 1＋4d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝－1，因此S n ＝4n ＋n (n －1)2·(－1)＝9n －n 22.又因为d ＝log 2q ＝－1，所以q ＝12，b 1＝log 2a 1＝4，即a 1＝16，所以a n ＝25－n (n ∈N ＋)．(3)解由(2)知，a n ＝25－n ＞0，当n ≥9时，S n ＝n (9－n )2≤0，所以当n ≥9时，a n ＞S n .又因为a 1＝16，a 2＝8，a 3＝4，a 4＝2，a 5＝1，a 6＝12，a 7＝14，a 8＝18，S 1＝4，S 2＝7，S 3＝9，S 4＝10，S 5＝10，S 6＝9，S 7＝7，S 8＝4，所以当n ＝3,4,5,6,7,8时，a n <S n ；当n ＝1,2或n ≥9，n ∈N ＋时，a n ＞S n .14．已知等比数列{a n }的公比为q (q ≠－1)，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m ，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈N ＋)，则以下结论一定正确的是( ) A ．数列{b n }为等差数列，公差为q m B ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2m C ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2 D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m 答案 C解析 b n ＝a m (n －1)＋1·(1＋q ＋q 2＋…＋q m -1)，由q ≠－1易知b n ≠0，b n ＋1b n ＝a mn ＋1a m (n －1)＋1＝q m ，故数列{b n }为等比数列，公比为q m ，选项A ，B 均错误； c n ＝a m m (n －1)＋1·q 1＋2＋…＋(m -1)，c n ＋1c n ＝a m mn ＋1a m m (n －1)＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a mn ＋1a m (n －1)＋1m ＝(q m )m ＝2m q ，故数列{c n }为等比数列，公比为2m q ，D 错误．故选C.15．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 1，a 2，a 4成等比数列，已知数列a 1，a 3，1k a ，2k a ，…，n k a ，…也成等比数列，求数列{k n }的通项公式．解由题意得a 22＝a 1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，得d (d －a 1)＝0，又d ≠0，∴a 1＝d .又a 1，a 3，1k a ，2k a ，…，n k a ，…成等比数列， ∴该数列的公比q ＝a 3a 1＝3dd＝3，∴n k a ＝a 1·3n +1.又n k a ＝a 1＋(k n －1)d ＝k n a 1，∴数列{k n }的通项公式为k n ＝3n +1(n ∈N ＋)．。

2.3.1 等比数列-王后雄学案

张喜林制2.3.1 等比数列教材知识检索考点知识清单1．一般地，如果一个数列从起，每一项与它的前一项的比都等于，那么这个数列就叫做2．等比数列的通项公式： 3．等比数列的重要性质：(1) ； (2) ． 4．判断一个数列为等比数列的方法：(1) ；}{n a ⇔是公比为q 的等比数列， (2) ．}{n a ⇔是公比为q 的等比数列． 5．等比中项的定义：6．如果,0=/n a 且221++=n n n a a a 对任意的正整数n 都成立，则数列}{n a 是7．(1)若}{n a 为等比数列，且),,,,(1+∈+=+N n m l k n m k 则l k a a ⋅n m a a (2)若}{n a 为等比数列，公比为q ，则}{2n a 也是，公比为 (3)若}{},{n n b a 是等比数列，则}{n n b a 也是 (4)若}{n a 为等比数列，则)0}({=/k ka n 也为(5)若 ,,,,4321a a a a 排列的一列数n a 为等比数列，则按,1a ,,53a a 排列的一列数也为 8．等差数列与等比数列的比较(1)相同点：①强调的都是的关系． ② 或确定．(2)不同点：①等差数列强调的是每一项与其前一项的，等比数列强调的是每一项与其前一项的 .②等差数列的首项和公差可以为零，等比数列的首项和公比③等差中项唯一，是，等比中项有，分别为_____________ . 即两个正数（或两个负数）的等比中项有，它们互为；一个正数和一个负数等比中项，要点核心解读1．等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项之比都等于同一常数q ，这个数列叫等比数列，常数q 叫做等比数列的公比定义还可以叙述为：在数列}{n a 中，若),(1++∈=N n q a ann 则}{n a 是等比数列．易知.0=/q 关于定义理解的几点注意：(1)由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此g 也不能是0； (2)“从第二项起”是因为首项没有“前一项”；nn a a 1)3(+均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意义，同时还要注意公比是每一项与其前一项之比，防止前后次序颠倒；(4)如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从第2项起或第3项起是一个等比数列；(5)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与n 无关的常数，但却是不同的常数，这时此数列不是等比数列；(6)常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列：若常数列是各项都为O 的数列，它就不是等比数列．当常数列各项不为0时，是等比数列；(7)证明一个数列为等比数列，其依据是),(1++∈=N n q a ann 利用这种形式来判定，就便于操作了； (8)在现实生活及国民经济建设中，常出现增长率（降低率）、利率等问题，多与等比数列有联系，应用广泛．2．等比中项在任意两个非零实数a 和b 之间，也可以插入n 个数使之成为等比数列，但要注意，在实数范围内，当a >0时，a 、b 之间可以插入任意个数，当ab <0时；在a 和b 之间只能插入偶数个数使之成为等比数列. 当ab >0时，在a 和b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么，G 就叫做a ，b 的等比中项．.,2ab G ab G Gba G ±==∴=， 3．通项公式等差数列的通项公式是用不完全归纳法得到的．类似地，在等比数列}{n a 中，由等比数列的定义，有：===q a a q a a 2312;;)(211q a q q a =.)(312134 q a q q a q a a ===归纳可得：1).0(1111==/⋅⋅==--n q a q a q a a n n n 时，等式也成立，即对一切+∈N n 成立．于是可得：等比数列的通项公式为⋅=/⋅⋅=-)0(111q a qa a n n除了上面的证明方法，也可以用累乘法来证明，如下：因为}{n a 是等比数列，所以2≥n 时，有,,,,342312 q a a q a a q a a ===⋅=-q a a n n 1将上面n-l 个等式的左右两边分别相乘，得..2312a a a a ,..1134--=n n n q a a a a 即11-=n n q a a 所以).2(11≥=-n q a a n n 当n=l 时，左边,1a =右边,1a =所以等式成立．所以等比数列的通项公式为：).0(111=/⋅⋅=-q a q a a n n(1)对于等比数列的通项公式，我们还要注意如下几点： ①不要把n a 错误地写成.1n n q a a =②公比q 是任意一个常数，可以为正数，也可以为负数，在不同数列中，公比q 可以有不同的取值．但在同一数列中，公比q 的值不变．③对于公比g ，它是“从第2项起，每一项与它的前一项的比”，不能把相邻两项的次序颠倒．④由等比数列的通项公式，已知n a q a n ,,,1中三个便可求出另外一个量，即“知三求一”， ⑤在碰到与等比数列的某一项有关的问题时，常常运用等比数列的通项公式来解决． (2)用函数观点看等比数列的通项公式，等比数列的通项公式可整理为.1n n q q aa ⋅=当q 为不等于l 的正数时，x q y =是一个指数函数，而x q q a y ⋅=1是一个不为零的常数与指数函数的积．因此，等比数列}{n a 中的各项所表示的点离散地分布在第一或第四象限，并且当1=/q 时，这些点在曲线x q qay ⋅=1上．当⎩⎨⎧>>1,01q a 或⎩⎨⎧<<<10,01q a 时，}{n a 是递增数列，反之也对，当⎩⎨⎧<<>10,01q a 或⎩⎨⎧><1,01q a 时，}{n a 是递减数列，反之也对，当q=l 时，}{n a 是常数列，当q<0时，}{n a 是摆动数列（它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但奇数项与偶数项异号）． 4．等比数列的主要性质若数列}{n a 是公比为g 的等比数列，则(1)若,,,,,+∈+=+N q p n m q p n m 则,..q p n m a a a a =);()2(+-∈⋅=N n m q a a h m n m n,0.)3(2>+n n a a 即奇数项与奇数项同号，偶数项与偶数项同号；(4)下标成等差数列的项构成等比数列；(5)数列)0}({=/λλn a 仍是公比为q 的等比数列；(6)若}{n b 是公比为q 的等比数列，则数列}{n n b a ⋅是公比为q q ⋅的等比数列．5．解题基本方法(1)直接依据等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式（下节将要学习）思考并解决有关等比数列的问题是最基本的解题方法，也是十分重要的解题方法．(2)注意灵活选设未知数，例如，当三个数成等比数列时，可设这三个数分别为;,,aq a qa当四个数成等比数列且公比为正数时，可设这四个数分别为.,,,33aq aq qaq a 依次类推．（3)在要求的几个数中，若有若干个数成等差数列，若干个数成等比数列，应尽可能先考虑用等差数列的条件设未知数，典例分类剖析考点1 等比数列的定义命题规律(1)利用等比数列的概念判断或证明某个数列是否为等比数列． (2)等比数列定义的变式应用．[例1] 设数列}{n a 的前n 项和为,n S 且+=/+1,0n n S a ⋅>=+)1|(|1k ka s n n 问数列}{n a 是否为等比数列？并说明理由．[答案] ,1111,++++=-=+n n n n n n a s S ka S S y,)1(211+++=∴n n a k s 则),2()1(2≥+=n a k S n n以上两式相减得：),2()1()1(211≥+-+=++n a k a k a n n n ⋅≥+=-∴+)2()1()1(1n a k a k n n).2(111≥-+=∴+n k k a a n n又⋅-==+∴=+122,12.221221k a aka a a ka S s 若}{n a 为等比数列，则,1211-=-+k k k ,1=∴k 这与1||>k 矛盾．}{n a ∴不是等比数列．[方法技巧] 判定或证明数列}{n a 是否为等比数列，一般用如下三种形式说明：q a a n n ⋅=-1①=/≥q n ,2();0);0,2(.112=/≥=+-n n n n a n a a a ②q c q c a nn ,(⋅=③为非零常数），本例用了形式①，说明某数列不是等比数列时，可以通过已知的某三个项连续不成等比数列来证明，也可用反证法．母题迁移 1．(1)已知,2,1111++=+=n n n a S S a 求通项⋅n a(2)（2010年杭州调考题）已知数列},{n C 其中+=n n C 2,3n 且数列}{1n n pc C -+为等比数列，求常数p ．考点2 通项公式的运用和等比数列的设项法命题规律(1)利用等比数列的通项公式判断某些项是否是等比数列中的项． (2)利用“对称设项”的方法来解决等比数列问题．[例2] 已知无穷数列,,10,,10,10|10 sn ss-求证：(1)这个数列是等比数列；(2)这个数列中的任一项是其后第5项的;101 (3)数列中任两项之积仍为数列中的项． [答案] (1)任取数列中的相邻两项==+-151,10n n n a a ,105n则.10101055151tn rl nn a a ==-+由等比数列定义可知此数列为等比数列． (2)任取数列中一项,1051-=m m a 则其后第5项应为=+5m a 5410+m则⋅====-----+1011010101015415515m m m m m a a 问题得证． (3)任取数列中两项,10,105121|17-===n n sn n a a则52215121|2|1101010-+--=⋅=⋅n n n sn n n a a,1,121≥≥n n 且,,,2]21n n N n n =/∈+ ,0221>-+∴n n 且⋅∈-++N n n 2212n n a a ∴符合已知数列中项的特点，即,21n n a a 为数列中的项．[启示] 由本例可知，等比数列的通项公：式是解决某些问题的关键，它的作用在于用较少的量1(a 和q ）来表示数列中任意一项，它就是起到了“消元”的作用．母题迁移2．在四个正数中，前三个数成等差数列，和为48，后三个数成等比数列，积为8000.求此四个数，考点3 等比数列性质的应用命题规律(1)利用等比数列的性质简化计算，优化解题过程．(2)等比数列性质的灵活运用．[例3] (1)在1与100之间插入n 个正数，使这n+2个数成等比数列，则插入的n 个数的积为 (2)实数等比数列}{n a 中，,24,352==a a 则数列,,,741a a a ,10a 的通项公式为 [解析] (1)利用性质“”q n m a a a a ρ=便可迅速获得，设插入的n 个数为,,,,,2121n n a a a G a a a = 则,)1001()())()((1231212n n n n n a a a a a a a a G ⨯==--.10n G =∴22233252328~,)2(--⨯====∴=n n n q a a q q q a a由题意知，数列 ,,,,10741a a a a 的通项432323--⨯==n n n a b[答案] n 10)1( 4323)2(-⨯n母题迁移3．在等差数列}{n a 中，若,010=a 则有等式)(...192121N n a a a a a a n n ∈+++=+++- 成立，类比上述性质，相应地，在等比数列}{n b 中，若,19=b 则有等式成立．考点4 等比数列实际应用题命题规律(1)利用等比数列的知识从实际生活中抽象出等比数列模型． (2)利用等比数列的有关知识解决一些简单的实际问题．[例4] 从盛满a 升（a>1）纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水加满，如此继续下去，问第n 次操作后溶液的浓度是多少？若a=2，至少应倒几次后才能使酒精浓度低于10%? [解析] 开始的浓度为1，操作一次后溶液的浓度是=1a ,11a-操作n 次后的溶液浓度可构成一个数列 },{n a 此数列为等比数列．[答案] 设操作n 次后溶液的浓度为n a 依题意可得=1a ),11(1,11a a a a n n -=+-}{n a ∴是以a11- 为首项，a11-为公比的等比数列． ,)11(11n n n a q a a -==∴-即第n 次操作后酒精的浓度为.)11(n a -当a=2时，由,101)21(<=n n a 得.4≥n 故至少应操作4次后才能使酒精浓度低于10%．母题迁移4．李政道博士1979年访问中国科技大学，给少年班同学提出一个“猴子分苹果”的趣题：海滩边5只猴子分一堆苹果，第一只猴子把苹果分成5等份，还多一个，把多的一个扔到海里，取走一份；第二只猴子把剩下的分成5等份，也多一个，把多的一个扔到海里，取走一份，以后的3只猴子都是如此办理，问最初至少有多少个苹果？最后至少剩下多少个苹果？考点5 可化为等比数列的递推数列问题命题规律(1)利用给出的递推关系转化为等比数列． (2)利用等比数列知识解决简单的综合问题．[例5]设二次方程),3,2,1(0112 ==+-+n x a x a n n 有两根α和β，且满足,3626=+-βαβα (1)试用n a 表示 ,1+n a (2)求证}32{-n a 是等比数列； (3)当671=a 时，求数列}{n a 的通项公式． [解析] 它是有关数列、二次方程的根与系数关系的综合题．根据题目条件列出等量关系，，找到递推关系即可获解．[答案] (1)根据根与系数关系，有关系式⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+==+nnn a a a1,1αββα代入题设条件,32)(6=-+αββα得.3261=-+nn n a a a).,3,2,1(31211 =+=∴+n a a n n (2)因为,31211+=+n n a a 所以⋅-=-+)32(21321n n a a 故数列}32{-n a 是以21为公比的等比数列(3)当671=a 时，⋅=-21321a故数列}32{-n a 是首项为,21321=-a 公比为21的等比数列．⋅=+=∴),3,2,1()21(32 n a n n即数列}{n a 的通项公式为,2,1()21(32=+=n a nn ).,3[启示] 将二次方程根与系数的关系与数列联系起来，将数列的递推关系式用方程根与系数的关系表示出来，从而求出数列的通项公式．问题：31211+=+n n a a 恒等变换为：=-+321n a )32(21-n a 是怎样变换得到的呢？同类问题在没有(2)问的提示下你能解决吗？母题迁移 5．(1)数列}{n a 满足0a 为常数，-=-13n n a ,21-n a 求数列}{n a 的通项公式； (2)已知数列}{n a 的前n 项和n s 满足,)1(2nn n a S -+=,1≥n 求数列}{n a 的通项公式．优化分层测讯学业水平测试1．已知等比数列}{n a 的公比,31-=q 则86427531a a a a a a a a ++++++等于( )．31.-A 3.-B 31.C 3.D2．若a ，b ，c 成等比数列，其中n c b a ,0<<<是大于1的整数，那么n n og n c b a log ,],log 组成的数列是( )．A ．等比数列B ．等差数列C ．每项的倒数成等差数列D ．第二项与第三项分别是第一项与第二项的n 次幂3．已知}{n a 是等差数列，公差,0=/d 且931,,a a a 成等比数列，则⋅++++1042931a a a aa a 等于( )．167.A 169.B 1611.C 1613.D4．一个各项均为正数的等比数列，其任何项都等于它后面两项的和，则其公比是( )．25.A 251.-B 52.C 215.-D5．在等比数列}{n a 中，,36,462==a a 则=10a6．在6和768之间插入6个数，使它们组成共有8项的等比数列，则这个等比数列的第7项是 7．已知等比数列}{n a 中，,20,55331=+=+a a a a 则公比=q8．在利用电子邮件传播病毒的例子中，如果第一轮感染的计算机数是100台，并且从第一轮起，以后各轮的每一台计算机都可以感染下一轮的30台计算机，到第5轮可以感染到多少台计算机？高考能力测试（测试时间：90分钟测试满分：100分）一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意）1．（2009年江西高考题）公差不为零的等差数列}{n a 的前n 项和为,n S 若4a 是3a 与7a 的等比中项，,328=s 则10s 等于( )．18.A 24.B 60.C 90.D2．（2009年广东高考题）已知等比数列}{n a 满足,1,0=>n a n ,,2 且),3(2.2525≥=-n a a n n 则当1≥n时，+12]a og =++-12232log log n a a ( )．)12(.-n n A 2)1.(+n B 2.n C 2)1.(-n D3．在等比数列}{n a 中，公比.120,30,04321=+=+<a a a a q 则通项公式为( )．1210.-⋅=n n a A 1)2(30.---=n n a B n n a C )2(30.-= n n a D 230.⋅-=4．随着市场的变化与生产成本的降低，每隔5年计算机的价格降低2000,31年价格为8100元的计算机到2015年时的价格应为( )．A ．900元 B.2200元 C.2400元 D ．3600元5．在等比数列}{n a 中，,124,512.8374=+-=a a a a 且公比q 为整数，则10a 的值等于( )． 512.-A 512.B 4096.C 4096.-D6．一个直角三角形三边的长成等比数列，则( )．A ．三边边长之比为3:4:5B ．三边边长之比为3:3:1C ．较小锐角的正弦为215- D ．较大锐角的正弦为215- 7．三个互不相等的实数a ，1，b 依次成等差数列，且22,1,b a 依次成等比数列，则ba 11+的值是( )． A.2 B ．-2 C.2或-2 D ．不确定8．如果-1，a ，b ，c ，-9成等比数列，那么( )． 9,3.==ac b A9,3.=-=ac b B9,3.-==ac b C9,3.-=-=ac b D二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分）9．（2009年浙江高考题）设等差数列}{n a 的前n 项和为,n s 则1216812484,,,S S S s s s s ---成等差数列．类比以上结论有：设等比数列}{n b 的前n 项积为,n T 则,4T ，，1216T T 成等比数列． 10.（2011年江苏高考题）设,1721a a a ≤≤≤= 其中,,31a a 75,a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a成公差为1的等差数列，则q 的最小值是11.（2010年黄冈中学模拟题）已知等差数列}{n a 的公差,0=/d 且931,,a a a 成等比数列，则=++++1074963a a a aa a 12.（2010年南昌市模拟题）设}{n a 为公比q>l 的等比数列，若2004a 和2005a 是方程03842=+-x x 的两根，则=+20072006a a三、解答题（本题包括3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13.（13分）（2009年全国高考题）设等差数列}{n a 的前n 项和为,n s 公比是正数的等比数列}{n b 的前n项和为,n T 已知.17,3,13311=+==b a b a ,1233=-S T 求}{},{n n b a 的通项公式．14.（13分）（2010年北京模拟题）已知=-=)(,)1()(2x g x x f ),1(4-x 数列}{n a 满足)(,211n n a a a -=+=+)()(n n a f a g ,0数列}{n b 满足),()(31+-=n n n a g a f b 求数列}{n b 的最大项和最小项．15.（14分)是否存在一个等比数列},{n a 使其满足下列三个条件：11)1(61=+a a 且;93243=a a );()2(1++∈>N n a a n n (3)至少存在一个),4,(>∈+m N m m 使++-121,,32m m m a a a 94依次成等差数列．若存在，请写出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．。

2.3.1等比数列概念和通项公式

个数分别为．．．
3．三个数成等比数列，它们乘积等于 27，它们的平方和等于 91，则这三 4．分别求下列等比数列的公比，第 5 项和第 n 项； ① 2，6，18，54，„；
14 28 56 ② 7，，，，„； 3 27 9
③ 0.3，-0.09，0.027，-0.0081；„； ④ 5,5
2 n
(2) 如果数列 an 中，对于任意正整数
2 ，都有 n(n 2) an an1 an1 ，那么 an
一定是等比数列吗？
回顾小结
（1）等比数列的定义（2）等比数列的通项公式及推导方法（3）学习的思想方法：类比方法
课堂反馈
1 1．在等比数列 an 中， a 2 4, a 5 ，则通项公式为 an 2 2 5 2．已知等比数列的公比为，第四项是，则数列的前三项为 5 2
1 （2） 4 ， b ， c ，． 2
数学运用
例 3．在等比数列 {an } 中，（1）已知 a1 3 ， q 2 ，求 a6 ；（2）已知 a3 20 ， a6 160 ，求 an ．
【变式拓展】在等比数列 {an } 中， (1)若 a2 3, q 2, 则 an _________；
建构数学
2、等差数列通项公式:
设等差数列{ a n }的首项为 a1 ，公差为 d，则有:
2、等比数列通项公式:
设等比数列{ a n }的首项为 a1 ，公比为 q，则有:
a n = a 1 + ( n－1 ) d
推导方法：累加法
an a1q
n 1
推导方法：累乘法
数学运用
例题再解：
例 2．求出下列等比数列中的未知项：（1） 2 ， a ， 8 ；

高中数学《等比数列的概念和通项公式》教案

高中数学《等比数列的概念和通项公式》教案一、教学目标1. 让学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的定义及其性质。

2. 引导学生推导等比数列的通项公式，并能灵活运用通项公式解决相关问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力、运算能力和解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 等比数列的概念：介绍等比数列的定义，通过实例让学生理解等比数列的特点。

2. 等比数列的性质：探讨等比数列的性质，如相邻项的比值是常数，公比等。

3. 等比数列的通项公式：引导学生推导等比数列的通项公式，并解释其意义。

4. 运用通项公式解决实际问题：通过例题，让学生学会运用通项公式求等比数列的特定项、求和等。

5. 拓展与应用：引导学生思考等比数列在实际生活中的应用，如复利、生长速率等。

三、教学重点与难点1. 教学重点：等比数列的概念、性质和通项公式的推导及应用。

2. 教学难点：等比数列通项公式的理解和运用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究等比数列的性质和通项公式。

2. 用实例讲解等比数列的概念，让学生在实际问题中感受等比数列的应用。

3. 通过小组讨论、合作交流，培养学生的团队协作能力。

4. 利用多媒体课件，生动展示等比数列的性质和通项公式，提高学生的学习兴趣。

五、教学准备1. 多媒体课件：制作等比数列的概念、性质和通项公式的课件。

2. 教学素材：准备一些关于等比数列的实际问题，用于课堂练习。

3. 教学反思：对以往教学等比数列的经验进行总结，以便更好地指导学生学习。

六、教学过程1. 导入新课：通过一个实际问题，如复利计算，引出等比数列的概念。

2. 探究等比数列的性质：让学生通过观察、分析实例，发现等比数列的性质。

3. 推导等比数列的通项公式：引导学生运用已学的数学知识，如代数运算，推导出等比数列的通项公式。

4. 应用通项公式解决问题：通过例题，让学生学会运用通项公式求等比数列的特定项、求和等。

5. 总结与拓展：总结等比数列的概念、性质和通项公式的要点，提出一些拓展问题，激发学生的学习兴趣。

学案2：4.3.1　第1课时　等比数列的概念及通项公式

4.3.1 第1课时等比数列的概念及通项公式【学习目标】1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程【自主学习】知识点1 等比数列的概念一般地，如果一个数列从起，每一项与它的前一项的比等于，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母表示．知识点2 等比中项的概念（1）如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成，那么G 叫做a 与b 的等比中项，这三个数满足关系式 .（2）等比中项与等比中项的异同，对比如下表：知识点3 等比数列的通项公式首项为1a ，公比为q 的等比数列的通项公式是111(,0)n n a a q a q -=≠．等比数列通项公式的变形：n mn m a a q -=．【合作探究】探究一等比数列的判定与证明【例1】已知f (x )＝log m x (m ＞0且m ≠1)，设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )，…是首项为4，公差为2的等差数列，求证：数列{a n }是等比数列．【练习1】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝13(a n －1)(n ∈N *)．(1)求a 1，a 2；(2)证明：数列{a n }是等比数列．探究二等比中项【例2】若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则ab 的值为( )A ．±12B.12C ．1D ．±1【练习2】2＋1与2－1的等比中项是( ) A ．1B ．－1C ．±1D.12探究三等比数列通项公式的应用【例3】一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项．【练习3】在等比数列{a n}中．(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；(2)已知a3＝20，a6＝160，求a n.探究四等比数列的实际应用【例4】某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长(精确到1年，放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)【练习4】某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起，平均每年的产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开始超过30万吨？(保留到个位，lg 6≈0.778，lg 1.2≈0.079)【课堂达标】1．已知等比数列{a n}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于()A．64 B．81C．128 D．2432．在等比数列{a n}中，a1＝1，公比|q|≠1.若a m＝a1a2a3a4a5，则m等于()A．9 B．10 C．11 D．123．已知6，a，b,48成等差数列，6，c，d,48成等比数列，则a＋b＋c＋d＝________. 4．数列{a n}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________. 5．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1.(1)求证：数列{a n＋1}是等比数列；(2)求{a n}的通项公式．【参考答案】【自主学习】知识点1 等比数列的概念第2项同一常数公比q (q ≠0)知识点2 等比中项的概念（1）等比数列ab ＝G 2（2）等比两相反数ab ＞0 【合作探究】探究一等比数列的判定与证明【例1】证明由题意知f (a n )＝4＋2(n －1)＝2n ＋2＝log m a n ， ∴a n ＝m2n ＋2，∴a n ＋1a n ＝m 2(n ＋1)＋2m2n ＋2＝m 2，∵m ＞0且m ≠1，∴m 2为非零常数， ∴数列{a n }是等比数列．【练习1】(1)解 ∵a 1＝S 1＝13(a 1－1)，∴a 1＝－12.又a 1＋a 2＝S 2＝13(a 2－1)，∴a 2＝14.(2)证明 ∵S n ＝13(a n －1)，∴S n ＋1＝13(a n ＋1－1)，两式相减得a n ＋1＝13a n ＋1－13a n ，即a n ＋1＝－12a n ，∴数列{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．探究二等比中项【例2】【答案】D【解析】∵1，a,3成等差数列，∴a ＝1＋32＝2，∵1，b,4成等比数列，∴b 2＝1×4，b ＝±2，∴a b ＝2±2＝±1.【练习2】【答案】C【解析】设x 为2＋1与2－1的等比中项，则x 2＝(2＋1)(2－1)＝1，∴x ＝±1. 探究三等比数列通项公式的应用【例3】解设这个等比数列的第1项是a 1，公比是q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝12，①a 1q 3＝18，②②÷①，得q ＝32，将q ＝32代入①，得a 1＝163.因此，a 2＝a 1q ＝163×32＝8.综上，这个数列的第1项与第2项分别是163与8.【练习3】解 (1)由等比数列的通项公式得，a 6＝3×(－2)6－1＝－96. (2)设等比数列的公比为q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝20，a 1q 5＝160，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝5.所以a n ＝a 1q n －1＝5×2n －1. 探究四等比数列的实际应用【例4】解设这种物质最初的质量是1，经过n 年，剩余量是a n ，由条件可得，数列{a n }是一个等比数列．其中a 1＝0.84，q ＝0.84，设a n ＝0.5，则0.84n ＝0.5.两边取对数，得n lg 0.84＝lg 0.5，用计算器算得n ≈4. 答这种物质的半衰期大约为4年．【练习4】解记该糖厂每年制糖产量依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，…. 则依题意可得a 1＝5，a na n －1＝1.2(n ≥2且n ∈N *)，从而a n ＝5×1.2n －1，这里a n ＝30，故1.2n －1＝6，即n －1＝log 1.26＝lg 6lg 1.2＝0.7780.079≈9.85，故n ＝11.答从2021年开始，该糖厂年制糖量开始超过30万吨．【课堂达标】1．【答案】A【解析】∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2.又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1，故a 7＝1·26＝64. 2．【答案】C【解析】在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10.∵a m ＝a 1q m －1＝q m －1，∴m －1＝10，∴m ＝11. 3．【答案】90【解析】6，a ，b,48成等差数列，则a ＋b ＝6＋48＝54； 6，c ，d,48成等比数列，设其公比为q ，则q 3＝486＝8，q ＝2，故c ＝12，d ＝24，从而a ＋b ＋c ＋d ＝90.4．【答案】1【解析】设等差数列的公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ，a 5＝a 1＋4d ，∴(a 1＋2d ＋3)2＝(a 1＋1)(a 1＋4d ＋5)，解得d ＝－1，∴q ＝a 3＋3a 1＋1＝a 1－2＋3a 1＋1＝1.5．(1)证明方法一 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2，且a 1＋1＝2.∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列．方法二 ∵a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1＋1a n ＋1＝2(a n ＋1)a n ＋1＝2(n ∈N *)，∴数列{a n ＋1}是等比数列．(2)解由(1)知{a n ＋1}是等比数列，公比为2，首项为2. ∴a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1，n ∈N *.。

高中数学第2章数列 2.3.2.1 等比数列的概念及通项公式学案苏教版必修5-苏教版高中必修5

第1课时等比数列的概念及通项公式1．理解等比数列的概念，能在具体情景中，发现数列的等比关系．(重点)2．会推导等比数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等比数列问题．(重点)3．会证明一个数列是等比数列．(难点)[基础·初探]教材整理1 等比数列的概念阅读教材P49的有关内容，完成下列问题．如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等比数列中，各项与公比均不为零．( )(2)数列a，a，…，a一定是等比数列．( )(3)等比数列{a n}中，a1，a3，a5一定同号．( )【答案】(1)√(2)×(3)√教材整理2 等比数列的通项公式阅读教材P51～P52，完成下列问题．如果数列{a n}是等比数列，首项为a1，公比为q，那么它的通项公式为a n＝a1q n－1(a1≠0，q≠0)．1．在等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16，则a n＝________.【解析】∵a4＝a1q3，∴q3＝8，∴q＝2，∴a n＝a1q n－1＝2·2n－1＝2n.【答案】2n2．在等比数列{a n}中，已知a1＝3，q＝3，若a n＝729，则n＝________.【解析】∵a n＝a1q n－1，a1＝3，q＝3，∴729＝3·3n －1＝3n，∴n ＝6.【答案】 6教材整理3 等比中项阅读教材P 54第11题，完成下列问题．1．若a ，G ，b 成等比数列，则称G 为a 和b 的等比中项，且满足G 2＝ab . 2．若数列{a n }是等比数列，对任意的正整数n (n ≥2)，都有a 2n ＝a n －1·a n ＋1.1．若22是b －1，b ＋1的等比中项，则b ＝________.【解析】 ∵(b －1)(b ＋1)＝(22)2，∴b 2－1＝8，∴b 2＝9，∴b ＝±3. 【答案】 ±32．若1，a,4成等比数列，则a ＝________. 【解析】 ∵1，a,4成等比数列， ∴a 2＝1×4＝4， ∴a ＝±2. 【答案】 ±2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________[小组合作型]等比数列的判定与证明设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2a n －1＋3＝0(n ≥2)．判断数列{a n ＋1}是否是等比数列？【精彩点拨】只需证明a n ＋1＋1a n ＋1＝非零常数即可．【自主解答】由题意知a n ＋1＋2a n ＋3＝0(n ≥2)成立，∴a n ＋1＝－2a n －3， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝－2a n －3＋1a n ＋1＝－2(常数)．又a 1＋1＝2，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，以－2为公比的等比数列．要判断一个数列{a n }是等比数列，其依据是a n a n －1＝q (q 是非零常数)或a n ＋1a n＝q ，对一切n ∈N *且n ≥2恒成立．[再练一题]1．判断下列数列是否为等比数列． (1)1，－1,1，－1，…； (2)1,2,4,6,8，…； (3)a ，ab ，ab 2，ab 3，….【解】 (1)是首项为1，公比为－1的等比数列． (2)64≠86，不是等比数列． (3)当ab ≠0时，是等比数列，公比为b ，首项为a ；当ab ＝0时，不是等比数列．等比数列的通项公式(1)若{a n }为等比数列，且2a 4＝a 6－a 5，则公比为________． (2)在等比数列{a n }中，若a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，则n ＝________.【导学号：91730035】【解析】 (1)∵a 6＝a 4q 2，a 5＝a 4q ，∴2a 4＝a 4q 2－a 4q ，∴q 2－q －2＝0，∴q 1＝－1，q 2＝2.(2)法一因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18，③a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9，④由④③得q ＝12，从而a 1＝32，又a n ＝1，所以32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝1，即26－n＝20，所以n ＝6.法二因为a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，知a 1＝32. 由a n ＝a 1qn －1＝1，知n ＝6.【答案】 (1)－1或2 (2)6等比数列基本量的求法a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来，法一是常规解法，先求a 1，q ，再求a n ，法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求a 1和q ，这也是常见的方法．[再练一题]2．(1)若等比数列的前三项分别为5，－15,45，则第5项是________．(2)一个各项均为正数的等比数列，每一项都等于它后面两项的和，则公比q ＝________.【解析】 (1)∵a 5＝a 1q 4，a 1＝5，∴q ＝－3，∴a 5＝405. (2)由题意，a n ＝a n ＋1＋a n ＋2，即a n ＝a n q ＋a n q 2，∴q 2＋q －1＝0，∴q ＝－1±52.∵q >0，∴q ＝5－12.【答案】 (1)405 (2)5－12[探究共研型]等比中项探究1 三个数满足G 2＝xy ，则x ，G ，y 成等比数列吗？【提示】不一定．如0,0,0这三个数不成等比数列．探究2 任何两个非零常数都有等比中项吗？【提示】不是．只有同号的两个数才有等比中项．在4与14之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数．【精彩点拨】法一：利用等比数列的通项公式求解；法二：先设出这三个数，再利用等比中项求解．【自主解答】法一：依题意，a 1＝4，a 5＝14，由等比数列的通项公式，得q 4＝a 5a 1＝116，q ＝±12.因此，插入的3项依次为2,1，12或－2,1，－12.法二：此等比数列共5项，a 3是a 1与a 5的等比中项，因此a 3＝±a 1a 5＝±1.a 2是a 1与a 3的等比中项，a 4是a 3与a 5的等比中项，因为一个正数和一个负数没有等比中项，所以a 3＝1，a 2＝±a 1a 3＝±2，a 1＝±a 3a 5＝±12.因此，插入的3项依次为2,1，12或－2,1，－12.注意等比数列中各项的符号特点是隔项符号必须相同．从而，对于数a ，b 的等比中项G ，G 2＝ab 一定成立，但G 的符号不一定正负都可取，如等比数列{a n }中，三项分别为a 1，a 4，a 7，则a 4是a 1与a 7的等比中项，此时a 4可取正值，也可取负值；而对于下面的三项a 2，a 4，a 6，也有a 4是a 2与a 6的等比中项，此时a 4只能与a 2和a 6同号．[再练一题]3．已知a ，－32，b ，－24332，c 这五个数成等比数列，求a ，b ，c 的值．【解】由题意知b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－24332＝⎝ ⎛⎭⎪⎫326，∴b ＝±278.当b ＝278时，ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，解得a ＝23；bc ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－243322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3210，解得c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫327. 同理，当b ＝－278时，a ＝－23，c ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫327. 综上所述，a ，b ，c 的值分别为23，278，⎝ ⎛⎭⎪⎫327或－23，－278，－⎝ ⎛⎭⎪⎫327.[构建·体系]1．下列各组数能组成等比数列的是________(填序号)． ①13，16，19；②lg 3，lg 9，lg 27； ③6,8,10；④3，－33，9. 【解析】－333＝9－33＝－ 3. 【答案】 ④2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数n ＝________. 【解析】由等比数列的通项公式，得128＝4×2n －1,2n －1＝32，所以n ＝6.【答案】 63．在等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝－2，则a 4与a 10的等比中项是________.【导学号：91730036】【解析】 a 4与a 10的等比中项为a 7，a 7＝18×(－2)6＝8.【答案】 84．已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________. 【解析】 a 4－a 3＝a 2q 2－a 2q ＝a 2(q 2－q )＝2(q 2－q )＝4，∴q 2－q －2＝0， ∴q ＝2，或q ＝－1(舍去)．【答案】 25．在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列，求这3个数．【解】设插入的三个数为a 2，a 3，a 4，由题意得243，a 2，a 3，a 4,3成等比数列．设公比为q ，则3＝243·q 5－1，解得q ＝±13.当q ＝13时，a 2＝81，a 3＝27，a 4＝9；当q ＝－13时，a 2＝－81，a 3＝27，a 4＝－9.因此，所求三个数为81,27,9或－81,27，－9.我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________学业分层测评(十) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．在等比数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝8，则a n ＝________.【解析】因为⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2 ①a 1q 6＝8 ②由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2，于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝22n －53.【答案】 22n －532．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于________．【解析】由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.【答案】－243．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b ＝________，ac ＝________.【解析】 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9，且b 与首项－1同号，∴b ＝－3，且a ，c 必同号． ∴ac ＝b 2＝9.【答案】－3 94．在等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则公比q ＝________.【解析】由a 3＝a 1q 2＝3，a 10＝a 1q 9＝384，两式相除得，q 7＝128，所以q ＝2. 【答案】 25．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝________. 【解析】 ∵{a n }为等比数列， ∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2. 又∵a 1＋a 2＝3， ∴a 1＝1. 故a 7＝1·26＝64. 【答案】 646．若{a n }是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为________．①{a 2n }；②{a 2n }；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ；④{lg|a n |}．【解析】考查等比数列的定义，验证第n ＋1项与第n 项的比是否为常数．【答案】 ①②③7．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________．【解析】设这6个数所成等比数列的公比为q ，则5＝160q 5，∴q 5＝132，∴q ＝12，∴这4个数依次为80,40,20,10. 【答案】 80,40,20,108．在等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5>a 2，则a n ＝________.【导学号：91730037】【解析】记数列{a n }的公比为q ，由a 5＝－8a 2，得a 1q 4＝－8a 1q ，即q ＝－2.由|a 1|＝1，得a 1＝±1，当a 1＝－1时，a 5＝－16<a 2＝2，与题意不符，舍去；当a 1＝1时，a 5＝16>a 2＝－2，符合题意，故a n ＝a 1qn －1＝(－2)n －1.【答案】 (－2)n －1二、解答题9．在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项，公比．【解】设该数列的公比为q .由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －a 1＝2，4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －1＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3q ＝1舍去，故首项a 1＝1，公比q ＝3.10．数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ＝2,3，…)． (1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列； (2)求a n .【解】 (1)a 2＝3a 1－2×2＋3＝－4，a 3＝3a 2－2×3＋3＝－15.下面证明{a n －n }是等比数列：由a 2＝－4，a 3＝－15可知，a n ≠n . ∵a n ＋1－n ＋1a n －n＝3a n －2n ＋1＋3－n ＋1a n －n＝3a n －3n a n －n＝3(n ＝1,2,3，…)．又a 1－1＝－2，∴{a n －n }是以－2为首项，以3为公比的等比数列． (2)由(1)知a n －n ＝－2·3n －1，∴a n ＝n －2·3n －1.[能力提升]1．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于________．【解析】由题意知a 3是a 1和a 9的等比中项， ∴a 23＝a 1a 9，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，得a 1＝d ，∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝13d 16d ＝1316.【答案】13162．已知{a n }是等比数列，a n >0，又知a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5＝________. 【解析】 ∵a 2a 4＝a 23，a 4a 6＝a 25，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，∴(a 3＋a 5)2＝25，又∵a n >0，∴a 3＋a 5＝5.【答案】 53．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －3，则{a n }的通项公式是________．【解析】由a n ＝2S n －3，得a n －1＝2S n －1－3(n ≥2)，两式相减得a n －a n －1＝2a n (n ≥2)， ∴a n ＝－a n －1(n ≥2)，a na n －1＝－1(n ≥2)．故{a n }是公比为－1的等比数列，令n ＝1，得a 1＝2a 1－3， ∴a 1＝3，故a n ＝3·(－1)n －1.【答案】 a n ＝3·(－1)n －14．互不相等的3个数之积为－8，这3个数适当排列后可以组成等比数列，也可组成等差数列，求这3个数组成的等比数列．【解】设这3个数分别为a q，a ，aq ，则a 3＝－8，即a ＝－2. (1)若－2为－2q和－2q 的等差中项，则2q＋2q ＝4，∴q 2－2q ＋1＝0，解得q ＝1，与已知矛盾，舍去； (2)若－2q 为－2q和－2的等差中项，则1q ＋1＝2q ，∴2q 2－q －1＝0，解得q ＝－12或q ＝1(与已知矛盾，舍去)， ∴这3个数组成的等比数列为4，－2,1； (3)若－2q 为－2q 和－2的等差中项，则q ＋1＝2q，∴q 2＋q －2＝0，解得q ＝－2或q ＝1(与已知矛盾，舍去)， ∴这3个数组成的等比数列为1，－2,4.故这3个数组成的等比数列为4，－2,1或1，－2,4.。

等比数列的概念(教案)

§2.4 等比数列第1课时等比数列的概念与通项公式一、教学内容《等比数列》是普通高中课程标准试验教科书《数学》必修5第二章《数列》第四节，内容较多，设置了两个课时，第1课时为等比数列的概念及通项公式.等比数列在我们的学习和生活中有着广泛的实际应用，例如：物理、化学、生物等均有涉及，通过该内容的学习，能够培养学生的多种数学能力。

而且它在教材中起着承前启后的作用，一方面，等比数列是一种特殊的数列，与等差数列既有区别，也有联系，另一方面，它又对进一步学习数列及其应用等内容作准备，且等比数列又是高考的考点之一。

所以本节内容比较重要，地位较突出.二、教学目标1.知识与技能：①通过学习，能说出等比数列的概念，并会使用符号语言表示；②初步掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法；③运用等比数列的通项公式解决一些简单的有关问题.2.过程与方法：通过慨念、公式和例题的教学，渗透类比思想、方程思想、函数思想以及从特殊到—般等数学思想，培养学生观察、比较、概括、归纳等数学能力及思想方法，增强应用意识.3.情感、态度与价值观：通过对等比数列概念的归纳,培养学生科学严谨的思维习惯以及合作探究的精神，体会类比思想.三、教学重难点1.重点：等比数列、等比中项的概念的形成，通项公式的推导及运用.2.难点：等比数列通项公式推导方法的获取.四、学情分析高一学生已经初步形成了自己的学习习惯，好奇心强，有着自主的探究能力和思考辨别能力.但通过考试成绩的分析可以看出，学生基础薄弱，知识的引入及理解都应多加强调，在教学中，需要多设计问题，化难为易，循序渐进，以问题串为载体引导学生分析问题，解决问题.五、教法与学法教法：1.直观演示法：利用多媒体课件直观的展示数列，便于学生观察，发现数列特征.2.活动探究法：引导学生通过创设生活情境获取知识，以学生为主体，使学生的独立探索性得到充分的发挥，培养学生的自学能力、思维能力、活动组织能力.3.集体讨论法：针对学生提出的问题，组织学生进行集体和分组讨论，促使学生在学习中解决问题，培养学生的团结协作的精神.学法：等差数列的概念及通项公式启发我们，使用类比的方法，学习等比数列的概念，通项公式的两种推导方法.六、教学用具多媒体，三角板，彩色粉笔，电子笔七、授课类型新授课八、教学过程（一）课前复习1.等差数列的概念2.通项公式.（二）新授课1.课堂探究1课本48页4个实例.①细胞分裂个数构成的数列②“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，将“一尺之锤”看成单位“1”，得到的数列③计算机每轮感染的数量构成的数列④银行存款中，每一年的本利和得到的数列思考：类比等差数列的定义，这4个数列项与项之间都有什么共同特征？试将共同特征用语言叙述出来，并用符号表示.【师生活动】教师引导学生从生活中的实例出发，借助等差数列的概念进行类比推理.【设计意图】以学生熟悉的等差数列的概念为背景，通过思考，引导学生进行分析，使学生形成“等比数列是后一项与前一项的比是同一常数的数列”的感知，从而流畅自然的引出等比数列的概念.2.等比数列的概念一般地，如果一个数列从第．．2．项起．．，每一项与它的前一项的比．等于同一常数．．．．，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，用字母q )0(≠q 来表示.用数学符号表示为：}{n a 是等比数列⇔),2,0(1+-∈≥≠=N n n q q a a n n 且【师生活动】在上一个环节的基础上，教师引导学生给出等比数列的概念.【设计意图】流畅的引出等比数列的概念，使学生理解等比数列.3.对概念的再认识（1）公比是否能等于0？等比数列中有为0的项吗？（2）公比为1的数列是什么数列？（3）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？（4）公比q>0的等比数列有什么特征？公比q<0的等比数列有什么特征？【师生活动】教师引导学生，观察等比数列中的各项的要求.【设计意图】使学生很自然的对等差、等比数列的异同点进行初步认知. 例1.判断下列数列是否为等比数列?若是,找出公比；若不是,请说明理由．① 1, 4, 16, 32．② 0, 2, 4, 6, 8.③ 1,－10,100,－1000,10000．④ 81, 27, 9, 3, 1.⑤ a a a a a ,,,,【师生活动】学生根据等比数列的概念进行判断.【设计意图】1.让学生体会等比数列中公比可正可负，可以大于1，也可以小于1.2.让学生体会等比数列中不能出现0.3.体会非零常数列既是等差数列，又是等比数列.4.课堂探究2 等比数列的通项公式)(11+-∈=N n q a a n n方法：累乘法【师生活动】教师引导学生回顾等差数列的通项公式推导过程，引导学生类比推导等比数列的通项公式.【设计意图】培养学生小组合作，类比推理的学习能力.5.对通项公式的再认识① 等比数列通项公式11-=n n q a a 中，是公比的．．．1-n 次方．．. ② 写出通项公式需已知的量是首项．．与公比．．，它们均不为．．．0.【师生活动】教师引导学生从等比数列的定义，通项公式的形式，推导过程，对通项公式进行再认识.【设计意图】熟练掌握等比数列的通项公式以及常用变形式.（三）练习导学案上的练习题九、课堂小结1.等比数列的概念2.等比数列的通项公式及推导方法 11-=n n q a a3.本节课所运用的数学思想方法十、课后作业练习册2.4.1等比数列的概念和通项公式十一、板书设计十二、教学反思（附页）。

数学人教B版必修5课件：2.3.1 等比数列

于( )
A．3n
B．4n
C．3·4n－1
D．4·3n－1
【解析】an＝a1qn－1＝4×3n－1.
【答案】D
3．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比 q＝(
)
A．－12
B．－2
C．2
D．12
【解析】∵a2＝a1q＝2，
①
a5＝a1q4＝14，
②
∴②÷①得 q3＝18，∴q＝12. 【答案】D
证明：∵b 是 a 和 c 的等比中项， ∴b2＝ac，且 a，b，c 均不为零． ∴(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2 ＝a3c＋2a2c2＋ac3，
又∵(a2＋b2)·(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2 ＝a3c＋a2c2＋a2c2＋ac3 ＝a3c＋2a2c2＋ac3， ∴(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)．又∵a2＋b2≠0，b2＋c2≠0， ∴a2＋b2，ab＋bc，b2＋c2 成等比数列.
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示.
知识点2：等比中项问题导思：
如果在 x，y 中间插入一个数 G，使 x，G，y 成等比数列，
那么 G 与 x，y 之间有怎样的数量关系？答：G2＝xy.
类型1：等比数列的通项公式及运算
例 1：在等比数列{an}中， (1)若 a2＝4，a5＝－12，求 an； (2)若 a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求 n.
解：设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q， a2＝a1q＝4，
(1)由题意知 a5＝a1q4＝－12， ∴q＝－12，a1＝－8， ∴an＝a1qn－1＝－8×(－12)n－1＝(－2)4－n.

等比数列知识点总结(学案)

等比数列1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q ≠0)表示．数学语言表达式：an an －1＝q(n ≥2，q 为非零常数)，或an ＋1an ＝q(n ∈N*，q 为非零常数)．2. 等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q ，则其通项公式为an ＝a1qn －1；通项公式的推广：an ＝amqn －m.(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，Sn ＝na1；当q ≠1时，Sn ＝a1（1－qn ） 1－q ＝a1－anq 1－q. 3．等比数列及前n 项和的性质(1)如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔G2＝ab.(2)若{an}为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n(k ，l ，m ，n ∈N*)，则ak ·al ＝am ·an ．相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak ，ak ＋m ，ak ＋2m ，…仍是等比数列，公比为qm ．(4)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，Sn ，S2n －Sn ，S3n －S2n 仍成等比数列，其公比为qn ．(5)n m m m n n n m S q S S q S S +=+=+；n n n S q S )1(2+=高频考点一等比数列基本量的运算例1、(1)设{an}是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172(2)在等比数列{a n }中，若a 4－a 2＝6，a 5－a 1＝15，则a 3＝________.【感悟提升】等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．【变式探究】(1)在正项等比数列{a n }中，a n ＋1＜a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( ) A.56 B.65 C.23 D.32(2)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 高频考点二等比数列的判定与证明例2、设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．【感悟提升】(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证．【变式探究】设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．高频考点三等比数列的性质及应用例3、(1)在等比数列{a n }中，各项均为正值，且a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝5，则a 4＋a 8＝________.(2)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________. 【感悟提升】(1)在等比数列的基本运算问题中，一般利用通项公式与前n 项和公式，建立方程组求解，但如果能灵活运用等比数列的性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则有a m a n ＝a p a q ”，可以减少运算量．(2)等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质，例如等比数列S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，公比为q k (q ≠－1)．【变式探究】已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3a 9＝2a 25，a 2＝2，则a 1等于( ) A.12 B.22 C. 2 D ．2(2)等比数列{a n }共有奇数项，所有奇数项和S 奇＝255，所有偶数项和S 偶＝－126，末项是192，则首项a 1等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4练习：1．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 1，S 2＋a 2，S 3成等差数列，则数列{a n }的公比为( )A ．1B ．2 C.12 D ．32．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 353．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S n a n＝( ) A ．4n －1 B ．4n －1 C ．2n －1 D ．2n －1 4．在等比数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为17，则S 6＝( )A.634 B ．16 C ．15 D.6145．已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q ，则q 的一个可能的值是( )A.52B.12 C ．2 D.326．正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1，若存在a m ，a n ，使得a m a n ＝16a 21，则1m ＋4n的最小值为( )A.256B.134C.73D.327．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 4＝16，则数列{a n }的通项公式a n ＝__________，设b n ＝log 2a n ，则数列{b n }的前n 项和S n ＝__________。

等比数列通项公式教案

等比数列通项公式教案教案标题：等比数列通项公式教案一、教学目标：1. 理解等比数列的概念和性质；2. 掌握等比数列通项公式的推导和运用；3. 能够解决相关的实际问题。

二、教学重点和难点：1. 理解等比数列通项公式的推导过程；2. 运用等比数列通项公式解决实际问题。

三、教学准备：1. 教材：包括等比数列的概念、性质和相关例题；2. 教具：黑板、彩色粉笔、教学PPT等。

四、教学过程：第一步：导入通过举例引入等比数列的概念，让学生了解等比数列的特点和规律。

第二步：概念讲解1. 介绍等比数列的定义和性质；2. 讲解等比数列通项公式的概念和意义；3. 引导学生理解等比数列通项公式的推导过程。

第三步：示例演练1. 通过具体的例题，让学生掌握等比数列通项公式的运用方法；2. 引导学生分析不同类型的等比数列问题，培养其解决问题的能力。

第四步：拓展应用引导学生通过实际问题，运用等比数列通项公式解决相关的数学问题，培养学生的数学建模能力。

第五步：课堂小结对本节课的重点内容进行总结和归纳，梳理等比数列通项公式的相关知识点。

五、课堂作业布置相关的练习题，巩固学生对等比数列通项公式的理解和运用能力。

六、教学反思对本节课的教学效果进行总结和反思，为下一节课的教学提供参考。

七、拓展延伸引导学生了解等比数列在实际生活中的应用，拓展学生的数学思维和知识面。

八、教学资源提供相关的教学资源和参考资料，让学生进行自主学习和拓展。

以上是一份针对等比数列通项公式的教案，希望能够对您有所帮助。

如果需要更多的教学资源和指导，欢迎随时与我联系。

等比数列及其性质学案

§2.3.1等比数列一．定义：如果一个数列从第____项起，每一项与它的_______的比都等于_______常数，那么这个数列就叫做等比数列。

这个常数叫做______，常用字母______表示符号语言：___________________________________________________ <注>：①由于等比数列的每一项都可能作为分母，故每一项均不能为0 因此q 也不能为0②常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列例1：下面四个数列：①1,1,2,4,8,16,32,64；②在数列{}n a 中，已知;2,22312==a a a a ③常数列a,a,a,...,a;④在数列{}n a 中，q a a nn =+1，其中+∈N n 其中是等比数列的有____________________例2：已知数列{}n a 的通项公式为n n a 23⨯=，证明这个数列是等比数列二．等比数列的通项公式（方法：_________）_________________________==n a推导方法：例3：已知等比数列{}n a 中，5,20155==a a ，求20a例4：在4与41之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的这3个数三．等比中项：定义：如果三个数x,G,y 成等比数列，则____叫做____和_____的等比中项即____________,_____________<注>：当a ，b 同号时，a ，b 的等比中项有两个；异号时，无等比中项例5：求1-212与+的等比中项§2.3.1等比数列的性质一．等比数列设项法如果三个数成等比数列，设这三个数为___________________如果四个数成等比数列，设这四个数为___________________例1：已知四个正数成等比数列，这四个数之积为16，中间两个数之和为5，求这个等比数列的公比例2：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数二．等比数列的性质（1）角标和的性质：若m+n=p+q(m,n,p,q +∈N ),则________________________（2）若{}n a 是公比为q 的等比数列，则{})0(≠λλn a 是公比为_____的等比数列， ⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是公比为_______的等比数列（3）下标成等差数列的项构成等比数列（4）{}{}n n b a 均为等比数列，则{}n n b a 也为等比数列三．等比数列的单调性①{}递增数列或n a ⇔_________________②{}递减数列或n a ⇔_________________③{}常数列n a ⇔__________④{}摆动数列n a ⇔__________例3：已知{}n a 为等比数列，且0>n a ，若492978675=++a a a a a a ，则______86=+a a例4：在等比数列{}n a 中，已知5127=⋅a a ，则_______111098=a a a a。

等比数列教案（精选7篇）

等比数列教案等比数列教案什么是教案？教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。

等比数列教案（精选7篇）作为一名辛苦耕耘的教育工作者，很有必要精心设计一份教案，教案是教学活动的总的组织纲领和行动方案。

那么优秀的教案是什么样的呢？下面是小编为大家收集的等比数列教案（精选7篇），希望能够帮助到大家。

等比数列教案1教学目标1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能运用公式解决简单的问题.(1)正确理解等比数列的定义，了解公比的概念，明确一个数列是等比数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等比数列，了解等比中项的概念;(2)正确认识使用等比数列的表示法，能灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数及指定的项;(3)通过通项公式认识等比数列的性质，能解决某些实际问题.2.通过对等比数列的研究，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质.3.通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的科学态度.教材分析(1)知识结构等比数列是另一个简单常见的数列，研究内容可与等差数列类比，首先归纳出等比数列的定义，导出通项公式，进而研究图像，又给出等比中项的概念，最后是通项公式的应用.(2)重点、难点分析教学重点是等比数列的定义和对通项公式的认识与应用，教学难点在于等比数列通项公式的推导和运用.①与等差数列一样，等比数列也是特殊的数列，二者有许多相同的性质，但也有明显的区别，可根据定义与通项公式得出等比数列的特性，这些是教学的重点.②虽然在等差数列的学习中曾接触过不完全归纳法，但对学生来说仍然不熟悉;在推导过程中，需要学生有一定的观察分析猜想能力;第一项是否成立又须补充说明，所以通项公式的推导是难点.③对等差数列、等比数列的综合研究离不开通项公式，因而通项公式的灵活运用既是重点又是难点.教学建议(1)建议本节课分两课时，一节课为等比数列的概念，一节课为等比数列通项公式的应用.(2)等比数列概念的引入，可给出几个具体的例子，由学生概括这些数列的相同特征，从而得到等比数列的定义.也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出，由学生将这些数列进行分类，有一种是按等差、等比来分的，由此对比地概括等比数列的定义.(3)根据定义让学生分析等比数列的公比不为0，以及每一项均不为0的特性，加深对概念的理解.(4)对比等差数列的表示法，由学生归纳等比数列的各种表示法. 启发学生用函数观点认识通项公式，由通项公式的结构特征画数列的图象.(5)由于有了等差数列的研究经验，等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决，教师只需把握课堂的节奏，作为一节课的组织者出现.(6)可让学生相互出题，解题，讲题，充分发挥学生的主体作用. 等比数列教案2教学目标1.通过教学使学生理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式.2.使学生进一步体会类比、归纳的思想，培养学生的观察、概括能力.3.培养学生勤于思考，实事求是的精神，及严谨的科学态度.教学重点，难点重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导.教学用具投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法讨论、谈话法.教学过程一、提出问题给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准.(幻灯片)①-2，1，4，7，10，13，16，19，②8，16，32，64，128，256，③1，1，1，1，1，1，1，④-243，81，27，9，3，1，，，⑤31，29，27，25，23，21，19，⑥1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，⑦1，-10，100，-1000，10000，-100000，⑧0，0，0，0，0，0，0，由学生发表意见(可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列，也可能分为等差、等比两类)，统一一种分法，其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列(学生看不出③的情况也无妨，得出定义后再考察③是否为等比数列).二、讲解新课请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如变形虫分裂问题假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，，一直进行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数。

等比数列的通项公式教案

等比数列的通项公式教案一、教学目标：1. 理解等比数列的概念。

2. 掌握等比数列的通项公式。

3. 能够运用通项公式解决实际问题。

二、教学内容：1. 等比数列的概念介绍。

2. 等比数列的通项公式推导。

3. 等比数列通项公式的应用实例。

三、教学重点与难点：1. 等比数列的概念理解。

2. 等比数列通项公式的记忆与运用。

四、教学方法：1. 讲授法：讲解等比数列的概念和通项公式。

2. 案例分析法：分析等比数列的实际应用实例。

3. 练习法：让学生通过练习来巩固知识点。

五、教学过程：1. 引入：通过生活中的实例引入等比数列的概念。

2. 等比数列的概念介绍：讲解等比数列的定义和性质。

3. 等比数列的通项公式推导：引导学生通过观察和推理来推导通项公式。

4. 等比数列通项公式的应用实例：分析实际问题，引导学生运用通项公式解决问题。

【教学目标】1. 理解等比数列的概念。

2. 掌握等比数列的通项公式。

3. 能够运用通项公式解决实际问题。

【教学内容】1. 等比数列的概念介绍。

2. 等比数列的通项公式推导。

3. 等比数列通项公式的应用实例。

【教学重点与难点】1. 等比数列的概念理解。

2. 等比数列通项公式的记忆与运用。

【教学方法】1. 讲授法：讲解等比数列的概念和通项公式。

2. 案例分析法：分析等比数列的实际应用实例。

3. 练习法：让学生通过练习来巩固知识点。

【教学过程】1. 引入：通过生活中的实例引入等比数列的概念。

2. 等比数列的概念介绍：讲解等比数列的定义和性质。

3. 等比数列的通项公式推导：引导学生通过观察和推理来推导通项公式。

4. 等比数列通项公式的应用实例：分析实际问题，引导学生运用通项公式解决问题。

六、教学评价：1. 通过课堂问答、作业和练习题检查学生对等比数列概念和通项公式的理解程度。

2. 评估学生运用通项公式解决实际问题的能力。

3. 综合评价学生的学习效果和教学目标的达成情况。

七、教学拓展：1. 等比数列在实际生活中的应用：介绍等比数列在金融、经济学等领域的应用。

等比数列的通项公式教案

等比数列的通项公式教案一、教学目标知识与技能：1. 理解等比数列的概念；2. 掌握等比数列的通项公式；3. 能够运用通项公式解决实际问题。

过程与方法：1. 通过探究等比数列的性质，引导学生发现通项公式；2. 利用数学归纳法证明等比数列的通项公式；3. 运用通项公式进行等比数列的运算和问题解决。

情感态度价值观：1. 培养学生的逻辑思维能力；2. 培养学生的数学归纳法思想；3. 激发学生对数学的兴趣和好奇心。

二、教学重点与难点重点：1. 等比数列的概念；2. 等比数列的通项公式；3. 等比数列的性质与应用。

难点：1. 等比数列通项公式的发现与证明；2. 运用通项公式解决实际问题。

三、教学准备教师准备：1. 等比数列的相关知识资料；2. 等比数列的实例与问题；3. 教学多媒体设备。

学生准备：1. 掌握等差数列的相关知识；2. 熟练运用数学归纳法。

四、教学过程1. 导入：1.1 复习等差数列的概念和性质；1.2 引入等比数列的概念；1.3 引导学生思考等比数列的通项公式。

2. 探究等比数列的通项公式：2.1 给出等比数列的定义；2.2 引导学生发现等比数列的性质；2.3 引导学生归纳出通项公式。

3. 证明等比数列的通项公式：3.1 引导学生运用数学归纳法证明通项公式；3.2 引导学生理解并掌握数学归纳法的步骤。

4. 运用等比数列的通项公式：4.1 给出等比数列的实际问题；4.2 引导学生运用通项公式解决问题；4.3 引导学生总结等比数列的运算规律。

五、课后作业1. 等比数列的定义与性质；2. 等比数列的通项公式；3. 运用通项公式解决实际问题。

教学反思：本节课通过引导学生探究等比数列的性质，发现并证明通项公式，培养了学生的逻辑思维能力和数学归纳法思想。

在教学过程中，注意关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，提高学生的学习效果。

通过运用通项公式解决实际问题，激发学生对数学的兴趣和好奇心。

六、教学拓展1. 等比数列的求和公式：6.1 引导学生探究等比数列的求和公式；6.2 引导学生运用求和公式进行等比数列的求和运算。

2.3.1等比数列 通项公式 学案

数列的通项公式及前n项和的求法(自己整理的学案)

2.3.1等比数列(1)

2020版数学人教B版必修5学案：第二章 2.3.1 第2课时 等比数列的性质 Word版含解析

2.3.1 等比数列-王后雄学案

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等比数列的概念(教案)

数学人教B版必修5课件：2.3.1 等比数列

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