投影与视图的知识点
投影与视图知识点总结
投影与视图知识点总结
投影与视图是工程图学中的重要内容，是工程师进行设计与制造的基础。下面是投影与视图的知识点总结。
一、投影的定义与种类
1. 投影是将三维实体在二维画面上的投影。
2. 投影分为平行投影和透视投影两种。
平行投影是物体在无穷远处时的投影，保持物体形状和大小
不变，适用于工程制图中的多视图投影。
透视投影是通过模拟人眼的透视原理，使物体在近处大远处小，用于绘制逼真的效果图。
二、主视图与副视图
1. 主视图是从物体六个主要方向观察并绘制的视图。
2. 副视图是从物体其它非主要方向观察并绘制的视图。
3. 任何物体至少需要主视图和一个副视图来完整表示。
三、视图的投影规律
1. 视图的投影规律是指根据物体的几何特性，确定其视图的位置、大小及间隔等规律。
2. 正投影规律：物体的投影与视图同侧，上投下，前投后，左投右。
3. 在主视图、俯视图和立体图中，物体的主要特征线分别为前、上、左三个面上的轮廓线。
四、视图的基本要求
1. 视图的大小适中，方便观察和绘制。
2. 视图之间的间距要均匀，以突出主要的特征和轮廓线。
3. 视图应尽量减少折角，直线尽量不折断。
五、视图的选择原则
1. 选择平易近人的主视图。
2. 主视图要选主要面直接对称的视图。
3. 选择于构造、加工、检验方便的视图。
4. 尽量选择存在完整轮廓线的视图。
六、常见视图
1. 正投主视图：从正前方观察物体并绘制的视图。
2. 俯视图：从物体的上方直接向下观察并绘制的视图。
3. 阜视图：从物体的左前方斜向观察并绘制的视图。
4. 左视图：从物体的左侧观察并绘制的视图。
投影与三视图知识点总结
投影与三视图
一、视角与盲区
如图,小明眼睛的位置称为视点 由视点出发的线称为视线,两条视线的夹角称为视角.
小明看不到的地方称为盲区。 哪个区域是盲区？
小丽坐在哪里,小明就可以看到明她？
二、投影： 1、定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。 （1）平行投影：有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。由平行光线形成的投影。
（2）中心投影：由同一点（点光源发出的光线）形成的投影。
区别
联系 光线
物体与投影面平行时的投影 平行投影
平行的投射线 全等 都是物体在光线的照射下，在某
个平面内形成的影
子。(即都是投影)
中心投影 从一点出发的投射线 放大(位似变换) 例1.有两根木棒AB 、CD 在同一平面上竖着，其中AB 这根木棒在太阳光下的影子BE 如下图所示，则CD 这根木棒的影子DF 应如何画？
分析：利用平行投影的相关性质。
解析：画法：
（1）连接AE
（2）过点C 作CF//AE
（3）过点D 作DF//BE ，交CF 于F ，则DF 即为所求。
点评：要解决此题首先要知道这两个物体都是竖直在地面上，而且是由太阳光即平行光所照射，则可知连接AE ，过C 点作CF 平行AE ，作DF//BE ，交点为F ，则DF 为所求CD 的影子。通过本题理解平行投影的性质。
小明 小丽
三、简单物体的三视图：
1、正投影：在平行投影中，如果投射线垂直于投影面产生的投影。物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置和角度有关。
(完整版)投影与视图知识点总结
投影与视图知识点总结
知识点一：中心投影
有关概念
1. 投影现象：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这
就是投影现象，影子所在的平面称为投影面。
2. 手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成
的投影称为中心投影
n
知识点三：平行投影及应用
1.平行投影的定义
太阳光线可以看成是平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影
当平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影
2.平行投影的应用：
（1）等高的物体垂直地面放置时，太阳光下的影长相等。
（2）等长的物体平行于地面放置时，太阳下的影长相等。
3.作物体的平行投影：由于平行投影的光线是平行的，而物体的顶端与影子
的顶端确定的直线就是光线，故根据另一物体的顶端可作出其影子。
例1：如图,小华(线段CD)在观察某建筑物AB
（1）请你根据小华在阳关下的影长（线段DF），画出此时建筑物AB在阳光下的影子。
（2）已知小华身高1.65m,在同一时刻，测得小华和建筑物AB的影长分别为1.2m 和8m，求建筑物AB的高。
例2：小明在公园游玩，想利用太阳光下的影子测量一颗大树AB的高，他发现大树的影子恰好落在假山坡面CD和地面BC上，如图所示，经测量CD=4m，BC=10m，CD与地面成30度的角，此时量得1m标杆的影长为2m，请你帮助小明求出大树AB的高度？
知识点四：视图
1.常见几何体的三视图
2.三视图的排列规则：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图的长度一样；左视图放在主视图的右面，高度与主视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样，可简记为“长对正；高平齐；宽相等”。
专题27 投影与视图的核心知识点精讲(讲义)(全国通用)
专题27 投影与视图的核心知识点精讲
1.掌握平行投影和中心投影的区别和性质；
2.根据简单几何体或简单组合几何体判断其三视图；
3.掌握立体图形的展开与折叠。
考点1：投影
1．投影：在光线的照射下，空间中的物体落在平面内的影子能够反映出该物体的形状和大小，这种现象叫做投影现象．影子所在的平面称为投影面．
2．平行投影、中心投影、正投影
（1）中心投影：在点光源下形成的物体的投影叫做中心投影，点光源叫做投影中心．
【注意】灯光下的影子为中心投影，影子在物体背对光的一侧．等高的物体垂直于地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长．
（2）平行投影：投射线相互平行的投影称为平行投影．
【注意】阳光下的影子为平行投影，在平行投影下，同一时刻两物体的影子在同一方向上，并且物高与影长成正比．
考点2:视图
1．视图：由于可以用视线代替投影线，所以物体的正投影通常也称为物体的视图．
2．三视图：1）主视图：从正面看得到的视图叫做主视图．2）左视图：从左面看得到的视图叫做左视图．
3）俯视图：从上面看得到的视图叫做俯视图．
【注意】在三种视图中，主视图反映物体的长和高，左视图反映了物体的宽和高，俯视图反映了物体的长和宽．
3．三视图的画法
1）画三视图要注意三要素：主视图与俯视图长度相等；主视图与左视图高度相等；左视图与俯视图宽度相等．简记为“主俯长对正，主左高平齐，左俯宽相等”．
2）注意实线与虚线的区别：能看到的线用实线，看不到的线用虚线．
【题型1：平行投影与中心投影】
【典例1】（2021•绍兴）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO＝5m，树影AC＝3m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5m，则树的高度AB长是（）
投影与视图知识点总结
投影与视图知识点总结
投影与视图主要涉及到平行投影、透视投影、三维图形的多视图投影，各种视图对应的关系等。在本文中，我们将对这些概念进行详细的讨论，并深入探讨它们在工程学和设计领域中的应用。
一、平行投影
平行投影是投影中最基本的一种类型。它是通过平行光线将三维对象投影到二维平面上的过程。在平行投影中，光线是平行的，因此投影到平面上的图形保持了原始对象的大小和形状。
在工程图纸中，平行投影通常用于绘制多视图投影和透视投影。在建筑设计中，平行投影也经常用于绘制建筑平面图和立面图等。平行投影对于工程设计师和建筑师来说是非常重要的，因为它能够准确地表达三维对象的形状和尺寸，在设计和制造过程中起到至关重要的作用。
二、透视投影
透视投影是一种通过透视原理将三维对象投影到二维平面上的过程。在透视投影中，光线不再是平行的，而是会汇聚到一个点上，因此投影到平面上的图形会呈现出远近关系和透视效果。透视投影常常用于绘制逼真的图像，如绘画、摄影和电影等。
在工程设计中，透视投影往往用于展示设计概念和效果图，以便更好地向客户展示设计方案和效果。在建筑设计中，透视投影也经常用于绘制逼真的建筑效果图和室内设计图。透视投影对于产品设计师、室内设计师和广告设计师来说是非常重要的，因为它能够更好地展示设计概念和效果，让客户更好地理解和接受设计方案。
三、多视图投影
多视图投影是一种通过多个视图来描述三维对象的投影方法。在多视图投影中，三维对象通常被投影到正面视图、顶视图和侧视图等不同的平面上，从而得到多个视图来描述对象的形状和尺寸。多视图投影是工程图纸中常用的一种投影方法，它能够全面准确地表达对象的各个方面，从而为设计和制造提供必要的信息。
投影与视图知识点总结
投影与视图知识点总结
投影与视图是工程制图中非常重要的概念，它们在工程设计和制造过程中起着
至关重要的作用。在本文中，我将对投影与视图的相关知识点进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和应用这些概念。
首先，我们来谈谈投影的概念。投影是指将三维物体投射到二维平面上的过程，通过这个过程，我们可以得到物体在不同方向上的投影图。在工程制图中，投影是非常常见的操作，它可以帮助工程师更好地理解和表达物体的形状和结构。在进行投影时，需要注意选择合适的投影方向和视角，以确保得到准确的投影图。
接下来，我们来讨论视图的概念。视图是指从不同方向观察物体时所得到的图像，它可以帮助我们全面地了解物体的外形和结构。在工程制图中，通常会绘制物体的多个视图，包括正视图、侧视图、俯视图等，以全面地展现物体的各个方面。通过这些视图，工程师可以更好地进行设计和制造工作。
除了投影和视图的概念外，我们还需要了解它们在工程制图中的应用。首先，
投影和视图可以帮助工程师准确地表达和传达设计意图，使得制造过程更加精确和高效。其次，通过合理地选择投影方向和视角，可以得到清晰、准确的投影图和视图，为工程设计和制造提供可靠的依据。最后，投影和视图也是工程师进行设计分析和沟通交流的重要工具，它们可以帮助工程师更好地理解和解决问题。
综上所述，投影与视图是工程制图中非常重要的概念，它们在工程设计和制造
中起着至关重要的作用。通过对投影与视图的理解和应用，工程师可以更好地进行设计和制造工作，提高工作效率和质量。希望本文的总结能够帮助读者更好地掌握这些知识点，为工程实践提供帮助。
投影与视图(知识点+题型分类练习+答案)
投影与视图
知识梳理
【知识网络】
【考点梳理】
一、投影
1．投影
用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在平面叫做投影面．2．平行投影和中心投影
由平行光线形成的投影是平行投影；由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影．
（1）平行投影：平行光线照射形成的投影（如太阳光线）。当平行光线垂直投影面时叫正投影。投影三视图都是正投影。
（2）中心投影：一点出发的光线形成的投影（如手电筒，路灯，台灯）
3．正投影
投影线垂直投影面产生的投影叫做正投影．
要点诠释：正投影是平行投影的一种．
二、物体的三视图
1．物体的视图
当我们从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的视图．
我们用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的叫做正面，正面下方的叫做水平面，右边的叫做侧面．
一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图．
要点诠释：三视图就是我们从三个方向看物体所得到的3个图象．
2．画三视图的要求
(1)位置的规定：主视图下方是俯视图，主视图右边是左视图．
(2)长度的规定：长对正，高平齐，宽相等．画图时，看得见的轮廓线画成实线，看不见的轮廓线画成虚线。三个图的位置展示：
要点诠释：主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽．（1）主视图：
三视图（2）左视图：
（3）俯视图：
投影与视图专题练习
类型一：平行投影
初三数学：投影与视图知识点归纳
初三数学：投影与视图知识点归纳
一、知识要点
1、投影(1)投影:用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影(projection)，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。(2)平行投影:有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。由平行光线形成的投影是平行投影(parallel projection).(3)中心投影:由同一点(点光源发出的光线)形成的投影叫做中心投影(center projection)。
(4)正投影:投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。注:物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关。2、三视图(1)三视图:是指观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形。将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓用正投影法绘制出来该图形称为视图。一个物体有六个视图:从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图--能反映物体的前面
形状，从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图--能反映物体的上面形状，从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图--能反映物体的左面形三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称。(2)特点:一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、
半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。三视图是从加速度学习网我的学习也要加速三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。
投影与视图知识点总结
投影与视图知识点总结
投影的定义：用光线照射物体，在某个平面（如地面、墙壁等）上得到的影子称为物体的投影。照射光线称为投影线，而投影所在的平面称为投影面。投影的类型：
平行投影：当光线是一组互相平行的射线时，例如太阳光或探照灯光，由此形成的投影称为平行投影。中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影称为中心投影。正投影：当投影线垂直于投影面时产生的投影称为正投影。物体的正投影的形状、大小与其相对于投影面的位置有关。
视图的概念：视图是一个虚拟的表，它基于一个或多个表的查询结果提供逻辑展现。用户可以通过视图按照需要从数据库中获取部分数据，而不是直接访问底层的物理表。视图不存储任何实际数据，可以看作是数据库表的一个抽象或逻辑上的表。三视图：在投影与视图中，三视图是指观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形。这三个视图分别是：
俯视图：能反映物体的前面形状，是从物体的上面向下面投射所得的视图。左视图：能反映物体的上面形状，是从物体的左面向右面投射所得的视图。这些知识点在工程图、几何学模型、摄影技术、建筑设计、机械制图和地图制作等领域都有广泛的应用。通过学习和理解这些概念，可以更好地应用它们于实际场景中。
投影与视图的知识点
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投影与视图
知识点
知识结构框图
1．投影
一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.生活中有许多利用投影的例子，如手影表演，皮影戏等。
投影分为平行投影和中心投影.
由一点（点光源）发出的光线形成的投影是中心投影，如位似图。平面为投影面，各射线为投影线，空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线。中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多、但直观性强、看起来与人的视觉效果一致、最像原来的物体、所以在绘画时、经常使用这种方法，但在立体几何中很少用中心投影原理来画图。平行线在经过中心投影后有可能变成了相交的直线如果一个平面图形所在的平面与投射面平行、那么中心投影后得到的图形与原图形也是平行的、
由平行光线形成的投影（太阳光等）称为平行投影，它是投射线相互平行的投影。平行投影按照投射方向是否正对着投影面，可以分为斜投影和正投影两种。当投影线倾斜于投影面时，称斜投影；当投影线垂直于投影面时，称正投影。
光由一点向外散射形成的投影是中心投影，一束平行光线照射下形成的投影是平行投影，那么用灯泡照射物体和用手电筒照射物体形成的投影分别属于哪种投影。
从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影。
平行投影和中心投影有什么不同
平行投影；发出来的光线是平行的（如太阳光），对应点的连线是平行的
视图与投影九年级知识点
视图与投影九年级知识点
视图与投影是几何学和工程学中的重要概念，在我们的日常生
活和实际应用中起到了关键作用。本文将介绍视图与投影的定义、特点以及应用，帮助读者更好地理解这一知识点。
一、视图和投影的定义
视图是对一个多面体或物体的某一部分或全部进行投影的结果。通常，为了便于观察和分析，我们将多面体或物体从不同角度投
射到一个平面上，所得到的图形就是视图。
投影是将一个点或一个物体在某一方向上的投射结果。简单来说，就是在一个平面上根据物体的位置和光线的方向来确定物体
的形状和大小。
二、视图与投影的特点
1. 视图的种类：主要有正视图、俯视图和侧视图。正视图是当
观察者所在的位置和物体的某一侧垂直时得到的视图；俯视图是
当观察者在物体上方时得到的视图；侧视图是当观察者在物体侧
面时得到的视图。
2. 投影的种类：主要有平行投影和透视投影。平行投影是指投
影光线平行而产生的投影，使得物体的形状和大小保持不变；透
视投影是指投影光线不平行而产生的投影，使得物体的形状和大
小发生变化。
3. 视图与投影的关系：视图是投影的一种特殊形式，而投影是
视图的一种表现方式。视图可以通过投影来得到，同时投影可以
根据视图来确定物体在平面上的位置和形状。
三、视图与投影的应用
1. 工程制图：视图和投影在工程制图中起到了至关重要的作用。通过绘制不同视图的投影，可以更清晰、准确地表达物体的形状、大小和结构，为工程设计和制造提供有力的依据。
2. 建筑设计：在建筑设计中，视图和投影被广泛应用。通过绘
制不同视图，可以从不同角度观察建筑物的外观和内部结构，帮
初三数学：投影与视图知识点归纳
初三数学：投影与视图知识点归纳
一、知识要点
1、投影(1)投影:用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影(projection)，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。(2)平行投影:有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。由平行光线形成的投影是平行投影(parallel projection).(3)中心投影:由同一点(点光源发出的光线)形成的投影叫做中心投影(center projection)。
(4)正投影:投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。注:物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关。2、三视图(1)三视图:是指观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形。将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓用正投影法绘制出来该图形称为视图。一个物体有六个视图:从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图--能反映物体的前面
形状，从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图--能反映物体的上面形状，从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图--能反映物体的左面形三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称。(2)特点:一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、
半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。三视图是从加速度学习网我的学习也要加速三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。
投影视图知识点(要点详细版)
投影视图知识点汇总（要点详细版）
要点一、平行投影
1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做的，像这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论：
(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子 .
(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于
的长度.
2. 物高与影长的关系
（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.
（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.
即：.
利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.
注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.
要点诠释：
1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻.
2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.
要点二、中心投影
若一束光线是从发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：
(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子，离点光源远的物体它的影子 .
投影视图知识点(要点详细版)
投影视图知识点汇总（要点详细版）
要点一、平行投影
1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做的，像这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论：
(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子 .
(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于
的长度.
2. 物高与影长的关系
（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.
（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.
即：.
利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.
注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.
要点诠释：
1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻.
2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.
要点二、中心投影
若一束光线是从发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：
(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子，离点光源远的物体它的影子 .
第26讲 投影与视图
=60 +160 +140
=360 .
故这个直四棱柱的侧面积是 360 .
1.(2022威海)如图所示的几何体是由五个大小相同的小正方体搭成的,其俯视图是(
A
B
C
2.(2022潍坊)下列几何体中,三视图都是圆的为(
A
B
C
D
A)
D
B)
知主视图和左视图是两个全等的矩形.若主视图的相邻两边长分别为2和3,俯视图是直径为2的 圆,则
这个几何体的体积为
. 3π
C.24π
D.30π
[变式7]如图所示,图②是图①中长方体的三视图,若用S表示面积,S主=x2+2x,S左=x2+x,则S俯等于
(
A )
A.x2+3x+2
B.x2+2
C.x2+2x+1
D.2x2+3x
▶跟踪训练
1.下列现象是物体的投影的是(
A)
A.灯光下猫咪映在墙上的影子
B.小明看到镜子里的自己
知识点二
三视图
画
三
视
图
三视图
主视图
从正面得到的由前向后观察物体的视图
左视图
从左面得到的由左向右观察物体的视图
初中数学第15讲 相似、投影与视图(知识点梳理)(记诵版)
第15讲相似、投影与视图知识点梳理
考点01 图形的相似
1.相似图形：形状相同的图形叫做相似图形。
2.比例线段：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两
条线段的比相等，如（即ad=bc），我们就说这四条线段成比例。
3.比例中项
如果即那么就把b叫做a，c的比例中项.
4.比例的性质
(1)基本性质：如果那么ad=bc.
(2)合比性质：如果那么
（3）等比性质
若则
5.相似多边形及其有关性质
(1)相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.对应顶点
(2)相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比
(3)相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
考点02 相似三角形
1.相似三角形的定义
在△ABC和△A＇B＇C＇中，如果∠A=∠A＇，
即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△ABC与△A＇B＇C＇相似，相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.△ABC与△A＇B＇C＇相似记作“ .△ABC与△A＇B＇C＇的相似比为k，△A＇B＇C＇与△ABC
的相似比为
2.平行线分线段成比例的基本事实
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.如下图，543////l l l ，则有
把这个基本事实应用到三角形中，会出现下面两种情况：在图1中，把4l 看成平行于△ABC 的边BC 的直线；在图2中，把3l 看成平行于△ABC 的边BC 的直线，那么可以得到结论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
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知识结构框图
1．投影
一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.生活中有许多利用投影的例子，如手影表演，皮影戏等。
投影分为平行投影和中心投影.
由一点（点光源）发出的光线形成的投影是中心投影，如位似图。平面为投影面，各射线为投影线，空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线。中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多、但直观性强、看起来与人的视觉效果一致、最像原来的物体、所以在绘画时、经常使用这种方法，但在立体几何中很少用中心投影原理来画图。平行线在经过中心投影后有可能变成了相交的直线如果一个平面图形所在的平面与投射面平行、那么中心投影后得到的图形与原图形也是平行的、由平行光线形成的投影（太阳光等）称为平行投影，它是投射线相互平行的投影。平行投影按照投射方向是否正对着投影面，可以分为斜投影和正投影两种。当投影线倾斜于投影面时，称斜投影；当投影线垂直于投影面时，称正投影。
光由一点向外散射形成的投影是中心投影，一束平行光线照射下形成的投影是平行投影，那么用灯泡照射物体和用手电筒照射物体形成的投影分别属于哪种投影。
从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影。
平行投影和中心投影有什么不同
平行投影；发出来的光线是平行的（如太阳光），对应点的连线是平行的
中心投影：是从一点发出来的光（如灯泡的光）对应点的连线或延长线相交于一点
工程图样一般都是采用正投影
根据投影方法我们可以看到，当直线段平行于投影面时，直线段与它的投影及过两端点的投影线组成一个矩形，因此，直线的投影反映直线的实长。当平面图形平行与投影面时，不难得出，平面图形与它的投影为全等图形，即反映平面图形的实形。由此我们可得出：平行于投影面的直线或平面图形，在该投影面上的投影反映线段
的实长或平面图形的实形，这种投影特性称为真实性。
当直线垂直于投影面时，过直线上所有点的投影线都与直线本身重合，因此与投影面只有一个交点，即直线的投影积聚成一点。当平面图形垂直于投影面时，过平面上所有点的投影线均与平面本身重合，与投影面交于一条直线，即投影为直线。由此可得出：
当直线或平面图形垂直于投影面时，它们在该投影面上的投影积聚成一点或一直线，这种投影特性称为积聚性。
我们还看到，当直线倾斜于投影面时，直线的投影仍为直线，但不反映实长；当平面图形倾斜于投影面时，在该投影面上的投影为原图形的类似形。注意：类似形并不是相似形，它和原图形只是边数相同、形状类似，圆的投影为椭圆。这种投影特性称为类似性。
在阳光下，物体的影子随时间的变化而变化，从早晨到正午，影子逐渐变短，从正午到黄昏，影子逐渐变长。
物体上的点和影子上的对应点连线互相平行。
同一时刻，在太阳光下，互相平行的物体、影长和物长的比相等。
中心投影的性质，物体上的点和影子上的对应点的连线交于一点（光源）
视点、视线及盲区
眼睛所在的位置称为视点，视点发出的线称为视线，人眼发出的视线在遇到障碍物看不到的地方叫盲区平行投影与中心投影
在解有关灯光下的中心投影题时，容易出现误用太阳光下的平行投影的特征，尤其是在画中心投影的影子长度时，容易误用类似于相似三角形的比例关系。
画平行投影和中心投影
例如：（1）一木杆按如图①所示的方式直立地面上，请在图中画出它在阳光下的影子（线段CD表示）.
（2）图②是两根标杆及它们在灯光下的影子，请在图中画出光源的位置（用点P表示），并在图中画出人在此光源下的影子（用线段EF）表示.
（1）表面上看，木杆的影子似乎画不出来，其实并不难，因为太阳光是平行光，只有过木杆的顶端作已知光线的平行线即可画出它在阳光下的影子（如图中线段CD）；（2）因为两个标杆的投影在标杆的同侧，只要分别画出两条光线，它们的交点就是光源的位置O，即这个投影是中心投影，根据中心投影的特征即可画出人在此光源下的影子（如图中线段EF）本图考查了平行投影和中心投影的知识，解题的关键理解掌握灯光光线与太阳光线的区别方法。
2.三视图
我们从某一个角度观察一个物体时，所看到的图像叫做物体的一个视图.视图也可以看作物体在某一个角度的光线下的投影，三视图是从三个不同方向对同一个物体进行正投影的结果
什么是一个物体的主视图、左视图和俯视图？
我们从不同的方向观察同一物体时，把从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图。
如：右图的主视图、左视图和俯视图
1、主视图、俯视图和左视图合称三视图。
2、主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，在画三视图时主、俯视图要长对正，主、左视图要高平齐，左、俯视图要宽相等。
重点解读
从正面、上面、左面观察一个物体分别得到主视图、俯视图、左视图．主视图反映的是物体的长和高；俯视图反映的是物体的长和宽；左视图反映的是物体的宽和高．画几何体的三种视图，一般先画几何体的主视图,然后再画左视图和俯视图,主视图反映几何体的长和高，俯视图反映几何体的长和宽，左视图反映几何体的高和宽，所以在画三种视图时，要注意主、俯视图长相等，主、左视图要高平齐，左、俯视图要宽相等.
画三视图时，应防止以下误区
（1）首先观察物体，画出视图的外轮廓线，然后将视图补充完整，看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线，要避免出现虚实不分的情况；（2）画三视图要避免出现不标名称和位置安排不当的错误．
画物体的三视图时，要符合如下原则
位置：主视图左视图俯视图
大小：长对正，高平齐，宽相等