浙江省杭州市萧山区2017年高考模拟命题比赛数学试卷27 Word版含答案答案

2017年高考模拟试卷数学卷考试时间120分钟，满分150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．设复数z 满足(1)2i z i -=，则z = A ．1i -+ B ．1i -- C ．1i + D ．1i - 2．函数()|3sin 4cos |f x x x =+的最小正周期为 A ．2πB ．πC ．2π D ．4π 3．已知集合{|tan cos }A y y x x ==⋅，集合[1,1]B =-，则“a A ∈”是“a B ∈”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4． 若函数3()3f x x x =-在区间(,)a a -存在最小值，则a 可以取的值为 A ．12 B ．1 C ．32D ．3 5．已知数列{}n a 满足： 1 2 n a n nn =⎧⎨⎩为奇数为偶数，则当n 为偶数时，前n 项和n S 为A ．22(12)212nn -+- B ．24(12)212n n -+- C ．22(14)214n n -+- D ．24(14)214n n -+- 6．已知锐二面角l αβ--中，异面直线,a b 满足：,,a a l b αβ⊂⊥⊂，b 与l 不垂直，设二面角l αβ--的大小为1θ，a 与β所成的角为2θ，异面直线,a b 所成的角为3θ，则 A ．123θθθ>> B ．321θθθ>> C ．123θθθ=> D ．321θθθ>=7．已知函数()f x ax b =+的图象如图所示，则函数()log ()a f x x b =-+的图象为8．若椭圆11022=+a y x 与圆锥曲线122=-by x 有相同的焦点，它们的一个公共点为),310(0y P ，则A ．9=+b aB ．9-=+b aC ．7=-a bD ．7-=-a b9．已知实数,x y 满足1040440x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩， 2z x ay =+，a R ∈，则下列叙述正确的是A ．若当且仅当35,22x y ==时，z 取到最大值，则02a << B ．若当且仅当35,22x y ==时，z 取到最大值，则02a <≤C ．若当且仅当35,22x y ==时，z 取到最小值，则2a <-D ．若当且仅当35,22x y ==时，z 取到最小值，则2a ≤-10．已知函数2()f x x tx t =+-，集合{|()0}A x f x =<，若A 中为整数的解有且仅有一个，则t 的取值范围为A ．9(,4)2-- B ．9[,4)2-- C ． 1(0,]2 D ．91[,4)(0,]22--二、填空题（本大题共7个小题，11-14每空3分，15-17每空4分，共36分）11．袋中有3个白球，2个红球，现从中取出3球，其中每个白球计1分，每个红球计2分，记X 为取出3球总的分值，则(4)P X == ▲ ；()E X = ▲ ； 12．已知ABC ∆的三边分别为,,a b c ，则AB AC ⋅= ▲ ，设ABC ∆的重心为G ， 则：2AG = ▲ ；13．已知点(1,0)A -， 点,P Q 在抛物线22(0)y px p =>上，且APQ ∆为正三角形，若满足条件的APQ ∆唯一，则p = ▲ ，此时APQ ∆的面积为 ▲ ．14．在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos 2cos 0A A +=，则角A = ▲ ；则bc的取值范围为 ▲ ． 15．若,a b 为给定的单位向量，夹角为α，若随着λ（0λ>）的变化，向量||a b λ+的最小值为|sin 2|α，则α= ▲ ；16．设矩形()ABCD AB BC >的周长为20，P 为边CD 上的点，使PAD ∆的周长是矩形周长的一半，则PAD ∆的面积达到最大时AB 边的长为 ▲；17．已知矩形ABCD ，1AB AD ==，现将ACD ∆沿对角线AC 向上翻折，若翻折过程中 BD在[22范围内变化，则同时D 在空中运动的路程为 ▲ ． 三、解答题（本大题共5小题，18题14分，其他每题15分，共74分）18．（本题满分14分） 已知函数()cos()cos 3f x x x π=-；（Ⅰ）若函数在[,]a a -上单调递增，求a 的取值范围； （Ⅱ）若5(),(0,)212f ααπ=∈，求sin α． 19．（本题满分15分） 如图，已知矩形ABCD 中，43AB AD ==，，现将DAC ∆沿着对角线AC 向上翻折到PAC 位置，此时PA PB ⊥．（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面ABC（Ⅱ）求直线AB 与平面PAC 所成的正弦值．ABCPD C B A20．（本题满分15分）已知函数2()(1)ln(21)ln f x x a x b x =-+-+，,a b 为常数（Ⅰ）若0a =时，已知()f x 在定义域内有且只有一个极值点，求b 的取值范围； （Ⅱ）若2b a =-，已知[1,)x ∈+∞，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围。

21．（本题满分15分）如图21-1，已知12F F ,分别为椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>的上、下焦点，A 为左顶点，过1,F A 的直线与椭圆的另一个交点为B ，290BAF ∠=，2||3F B =，（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图21-2，已知直线:l y kx m =+与椭圆交于,E F 两点，且线段EF 的中点在直线1y =上，求||EF 的最大值．22．（本题满分15分）已知数列{}n a满足11(0),n na a a a +=>=，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）若n a λ<对*n N ∈恒成立，求λ的取值范围； （Ⅱ）求证：*2()n S a n N <∈ （Ⅲ）求证：*21(1)()12n n a S n N a >-∈+．2017年高考模拟试卷数学卷答卷一、选择题（每题4分，共10题，共40分）二、填空题（本大题共7个小题，11-14每空3分，15-17每空4分，共36分）11．______________ ___________ __ 12．______________ ___________ 13．______________ ___________ __ 14．______________ ___________ 15． 16． 17．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）2017年高考模拟试卷数学参考答案与评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1（原创已在相关考试中使用）．设复数z 满足(1)2i z i -=，则z =A ．1i -+B ．1i --C ．1i +D ．1i - 【解析】答案选 B ，因211iz i i==-+-，则1z i =-- 2（原创已在相关考试中使用）．函数()|3sin 4cos |f x x x =+的最小正周期为 A ．2πB ．πC ．2πD ．4π 【解析】答案选B ，因43sin 4cos 5sin()(tan )3x x x ϕϕ+=+=，所以周期为2π，则由图像知()|3sin 4cos |f x x x =+的周期为π3（原创已在相关考试中使用）．已知集合{|tan cos }A y y x x ==⋅，集合[1,1]B =-，则“a A ∈”是“a B ∈”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【解析】答案选A ，因tan cos sin (,)2y x x x x k k Z ππ=⋅=≠+∈，所以(1,1)A =-，所以“a A ∈”是“a B ∈”的充分不必要条件4（原创已在相关考试中使用）． 若函数3()3f x x x =-在区间(,)a a -存在最小值，则a 可以取的值为 A ．12 B ．1 C ．32D ．3 【解析】答案选C ，利用求导，可知函数()f x 在(,1)-∞-递增，在(1,1)-递减，在(1,)+∞递增，则前两个选项可排除，又因3()(1)2f f ->，(3)(1)f f -<，所以32a =正确， 3a =不正确5（原创已在相关考试中使用）．已知数列{}n a 满足： 1 2 n a n n n =⎧⎨⎩为奇数为偶数，则当n 为偶数时，前n 项和n S 为A ．22(12)212nn -+- B ．24(12)212n n -+- C ．22(14)214n n -+- D ．24(14)214n n -+- 【解析】答案选D ，因2244(14)2222214nn n nn S -=++++=+-6（原创已在相关考试中使用）．已知锐二面角l αβ--中，异面直线,a b 满足：,,a a l b αβ⊂⊥⊂，b 与l 不垂直，设二面角l αβ--的大小为1θ，a 与β所成的角为2θ，异面直线,a b 所成的角为3θ，则A ．123θθθ>>B ．321θθθ>>C ．123θθθ=>D ．321θθθ>=【解析】答案选D ，在锐二面角l αβ--中，,a a l α⊂⊥，所以二面角l αβ--的平面角即a 与β所成的角，则12θθ=，因为b β⊂，b 与l 不垂直，根据斜线与平面所成的角是斜线与平面内的任意直线所成角的最小角，则321θθθ>=，7（原创已在相关考试中使用）．已知函数()f x ax b =+()log ()a f x x b =-+的图象为A C D【解析】答案选D ，由提示图知，0,1a b <<，因()log ()a f x x b =-+的图像由log a x 的图像关于y 轴对称即log ()a x -的图像，再向右平移b 个单位得到，所以选D8（原创已在相关考试中使用）．若椭圆11022=+a y x 与圆锥曲线122=-by x 有相同的焦点，它们的一个公共点为),310(0y P ，则 A ．9=+b aB ．9-=+b aC ．7=-a bD ．7-=-a b【解析】答案选A ，因圆锥曲线122=-b y x 过公共点),310(0y P ，可知0b >，圆锥曲线为双曲线，焦点在x =，9a b +=9（原创已在相关考试中使用）．已知实数,x y 满足1040440x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩， 2z x ay =+，a R ∈，则下列叙述正确的是A ．若当且仅当35,22x y ==时，z 取到最大值，则02a << B ．若当且仅当35,22x y ==时，z 取到最大值，则02a <≤C ．若当且仅当35,22x y ==时，z 取到最小值，则2a <-D ．若当且仅当35,22x y ==时，z 取到最小值，则2a ≤-【解析】答案选C ，因为线性目标函数的最值一定在可行域的顶点处取到，该可行域为三角形的内部，三顶点为35(0,1),(4,0),(,)22，所以若当且仅当35,22x y ==时，z 取到最大值，则3522012235224022a a a a ⎧⋅+⋅>⋅+⋅⎪⎪⎨⎪⋅+⋅>⋅+⋅⎪⎩可得2a >，若当且仅当35,22x y ==时，z 取到最小值，则3522012235224022a a a a ⎧⋅+⋅<⋅+⋅⎪⎪⎨⎪⋅+⋅<⋅+⋅⎪⎩，可得2a <- 10（改编已在相关考试中使用）．已知函数2()f x x tx t =+-，集合{|()0}A x f x =<，若A 中为整数的解有且仅有一个，则t 的取值范围为A ．9(,4)2-- B ．9[,4)2-- C ． 1(0,]2 D ．91[,4)(0,]22--【解析】答案选 D ，因0∆>，所以4,0t t <->或，又根据：(1)12,(0),(1)1,(2)4,(3)92f t f t f f t f t -=-=-==+=+，因为A 中为整数的解有且仅有一个，则0(0)0(1)120(1)10t f t f t f >⎧⎪=-<⎪⎨-=-≥⎪⎪=>⎩，或4(1)10(2)40(3)920t f f t f t <-⎧⎪=>⎪⎨=+<⎪⎪=+≥⎩，所以91[,4)(0,]22t ∈--二、填空题（本大题共7个小题，11-14每空3分，15-17每空4分，共36分）11（原创已在相关考试中使用）．袋中有3个白球，2个红球，现从中取出3球，其中每个白球计1分，每个红球计2分，记X 为取出3球总的分值，则(4)P X ==_______________；()E X =_________________；【解析】答案3(4)5P X ==，21()5E X =，因2132353(4)5C C P X C ⋅===，又33351(3)10C P X C ===，1232353(5)10C C P X C ⋅===，所以13321()345105105E X =⋅+⋅+⋅= 12（原创）．设ABC ∆的三边分别为,,a b c ，则AB AC ⋅=______________，设ABC ∆的重心为G ，则2AG =______________；【解析】答案2222b c a AB AC +-⋅=，222222=9b c a AG +-，因为222c o s 2b c a A B A C b c A+-⋅==，22222221122=[)](2)399b c a AG AB AC AB AB AC AC +-+=+⋅+=（13（原创已在相关考试中使用）．已知点(1,0)A -， 点,P Q 在抛物线22(0)y px p =>上，且APQ ∆为正三角形，若满足条件的APQ ∆唯一，则p =___________，此时APQ ∆的面积为______________． 【解析】答案23p =，APQ S ∆=，因APQ ∆为正三角形，可知,P Q 关于x 轴对称，又满足条件的APQ ∆唯一，则直线AP（方程为1)y x =+）与抛物线相切，可知23p =，进一步知P 求出三角形的面积 14（原创已在相关考试中使用）．在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos 2cos 0A A +=，则角A =___________；则bc的取值范围为_____________．【解析】答案60A =，1(,2)2b c ∈，因22cos cos 10A A +-=，所以1cos 2A =或cos 1A =-因0A π<<，所以1cos 2A =，60A =，又1sin sin sin(120)1122sin sin sin 2tan 2C Cb B Cc C C C C +-====+ 因为ABC ∆为锐角三角形，所以3090C <<，则tan C >，所以1(,2)2b c ∈15（原创已在相关考试中使用）．若,a b 为给定的单位向量，夹角为α，若随着λ（0λ>）的变化，向量||a b λ+的最小值为|sin 2|α，则α=_________；【解析】答案120α=，当90α≤时，因0λ>，有图像知||a b λ+无最小值，当90α>时，有图像知||a b λ+的最小值为1sin(180)|sin 2|αα⋅-=，所以1cos 2α=-，120α= 16（改编已在相关考试中使用）．设矩形()ABCD AB BC >的周长为20，P 为边CD 上的点，使PAD ∆的周长是矩形周长的一半，则PAD ∆的面积达到最大时AB 边的长为_____________；【解析】答案，设AB x =，则10BC x =-，设PD m =，则1010x m -+=，得到105x m x -=，所以1(10)(55(10)55()15]2PAD x x S x m x xx∆--=-==-++≤-当x =17（原创已在相关考试中使用）．已知矩形ABCD ，1AB AD =，现将ACD ∆沿对角线AC 向上翻折，若翻折过程中 BD 在范围内变化，则同时D 在空中运动的路程为_________________，如图，已知D 在以DO （DO AC ⊥，DO =）为半径的半圆上运动，所在面与AO 垂直，过B 作BE DO ⊥于E ，则DE 即上述圆的直径，190BED ∠=，290BED ∠=（设1D ，2D 为D 两个位置点12BD BD ==），因1BE =，则123,2ED ED ==，则1260DOD ∠=OEDCBAEDC三、解答题（本大题共5小题，18题14分，其他每题15分，共74分） 18（原创已在相关考试中使用）．（本题满分14分）． 已知函数()cos()cos 3f x x x π=-；（Ⅰ）若函数在[,]a a -上单调递增，求a 的取值范围； （Ⅱ）若5(),(0,)212f ααπ=∈，求sin α． 18．【解析】（本题主要考查三角函数的图像与性质，以及分析问题、解决问题的能力） （Ⅰ）11()sin(2)264f x x π=++ 4分 2[2,2]622x k k πππππ+∈-++，[,]36x k k ππππ∈-++递增， 6分易知[,][,]36a a ππ-⊆-，所以06a π<≤ 7分 （Ⅱ）115sin()26412πα++=，1sin()63πα+=， 9分因(0,)απ∈，7(,)666πππα+∈，11sin()632πα+=<， 所以()(,)62ππαπ+∈，cos()63πα+=- 12分 sin sin[()]66ππαα=+-=14分 19（原创已在相关考试中使用）．（本题满分15分）如图，已知矩形ABCD 中，43AB AD ==，，现将DAC ∆沿着对角线AC 向上翻折到PAC位置，此时PA PB ⊥．（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面ABC（Ⅱ）求直线AB 与平面PAC 所成的正弦值．ABCPD C B A【解析】（本题主要考查空间直线平面的位置关系、直线与平面所成的角，以及空间想像能力及利用向量解决空间问题的能力）（Ⅰ）证明：因为,PA PB PA PC ⊥⊥，PB PC P =，所以PA PBC ⊥平面，（2分）所以PA BC ⊥，又BC AB ⊥，ABAP A =，所以BC PAB ⊥平面， （4分）又BC ABC ⊂平面，所以平面PAB ⊥平面ABC ； （6分） （Ⅱ）方法一、如图，作BD PC ⊥，连接AD ，由（Ⅰ）PA PBC ⊥平面，所以PA BD ⊥，而BD PC ⊥，所以BD PAC ⊥平面，所以BAD ∠为直线AB 与平面PAC 所成的角， （9分）在直角PBC ∆中，3,4,BC PC PB ===BD =又4AB =，直角ADB ∆中，sin BD BAD AB ∠==， （13分） 所以直线AB 与平面PAC． （15分） DCBA P方法二、由（Ⅰ）知平面PAB ⊥平面ABC ，所以在面PAB 内过P 作PE AB ⊥，则PE ABC ⊥平面，则，如图，以B 为坐标原点，建立坐标系（z PE 轴与直线平行），可知，7(0,4,0),(0,0,0),(3,0,0),(0,,44A B C P --- （10分）则易知，平面PAC的一个法向量(4,3,m = （12分）AB (0,4,0)=，所以3cos ,16||||AB m AB m AB m ⋅<>==⋅ 直线AB 与平面PAC 所成的正弦值为37（15分）yC A20（改编已在相关考试中使用）．（本题满分15分） 已知函数2()(1)ln(21)ln f x x a x b x =-+-+，,a b 为常数（Ⅰ）若0a =时，已知()f x 在定义域内有且只有一个极值点，求b 的取值范围； （Ⅱ）若2b a =-，已知[1,)x ∈+∞，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围。