初等数学研究练习题
初等数学研究试题答案
习题一1、数系扩展的原则是什么？有哪两种扩展方式？( P9——P10) 答：设数系A扩展后得到新数系为B,则数系扩展原则为：( 1) A B(2)A的元素间所定义的一些运算或几本性质，在B中被重新定义。
而且对于A的元素来说，重新定义的运算和关系与A中原来的意义完全一致。
(3)在A中不是总能实施的某种运算，在B中总能施行。
( 4)在同构的意义下， B 应当是 A 的满足上述三原则的最小扩展，而且有A唯一确定。
数系扩展的方式有两种：( 1)添加元素法。
( 2)构造法。
2、对自然数证明乘法单调性：设a,b,c N ,则( 1 )若a b,则ac bc;( 2)若a b,则ac bc; ( 3)若a b,则ac bc；证明：(1)设命题能成立的所有C组成集合MQa b,a a 1,b b 1, ( P13规定) a1 b 11 M假设c M ,即ac bcQ ac a( c 1) ac a,bc b(c 1) bc b又 Q ac bc, a b ac a bc b ac bc c M .由归纳公理知， M N, 所以命题对任意自然数成立。
(2)若a b,则有b a k,k N. (P17定义 9) 由(1)有 bc (a k)c3、对自然数证明乘法消去律： 设a,b,c N,则（1） 若 ac be,则a b; （2） 若 ac be,则 a b;（3） 若 ac be,贝U a bb证明（ 1）（用反证法）假设a b,则有a b 或a b. 若a b,有ac bc 和ac be 矛盾。
若a b,有ac be,也和ac be 矛盾。
故假设a b 不真，所以a b.(2)方法同上。
ac bc(P17.定义 9)或： 若a b,则有b a k, k N.bc (a k)c acac ackc (a k)cbcac bc.( 3) 若a b,则有:ab k,k N.ac (b k)cbc kc.kcac kcac bc(3)方法同上。
初等数学研究期末复习题：选择题与填空题1
初等数学研究期末复习题：选择题与填空题一．选择题1．如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB =8，AD =6．将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为( )．A CB DA ．2B ．4C ． 6D ． 82．若M =223894613x xy y x y -+-++(x ，y 是实数)，则M 的值一定是( )．A ．正数B ．负数C ．零D ．整数3．已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A 1，B 1，C 1分别是点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点．若点B 在△A 1B 1C 1的外接圆上，则∠ABC 等于( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4．设A =22211148()34441004⨯++⋅⋅⋅+---，则与A 最接近的正整数是( )． A ．18 B ．20 C ．24 D ．255．设a 、b 是正整数，且满足于5659a b ≤+≤，0.90.91a b<<，则22b a -等于( )． A ．171 B ．177 C ．180 D ．1826的结果是( )．A ．无理数B ．真分数C ．奇数D ．偶数7．设4r ≥，111a r r =-+，b =c =，则下列各式一定成立的是( )．A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>8．若x 1，x 2，x 3，x 4，x 5为互不相等的正奇数，满足(2005－x 1)(2005－x 2)(2005－x 3)(2005－x 4)(2005－x 5)＝242，则2222212345x x x x x ++++的未位数字是( )．A ．1B ．3C ．5D ．79．已知1m =1n =且22(714)(367)m m a n n -+--=8，则a 的值等于( )．A ．5-B ．5C ．9-D ．910．Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线y =x 2上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则( )．A ．h <1B ．h =1C ．1<h <2D ．h >211．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QP =QO ，则QC QA 的值为( )． A ．231- B ．23 C ．32+ D ．32+12．已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=恰有一个公共实数根，则222a b c bc ca ab++的值为( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．313．方程333652x x x y y -+=-+的整数解(,)x y 的个数是( )．A ．0B ．1C ．3D ．无穷多14．已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°15．如图，设AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，若AB =6，BC =5，EF =3，则线段BE 的长为( )．A ．185B ．4C ．215D ．24516．已知实数,x y 满足22(2008)(2008)2008x x y y ----=，则223233x y x y -+- 2007-的值为( )．A ．2008-B ．2008C ．1-D ．117．若实数,,a b c 满足等式23||6a b +=，49||6a b c -=，则c 可能取的最大值为( )．A ．0B ．1C ．2D ．318．若,a b 是两个正数，且1110a b b a--++=，则( )． A ．103a b <+≤ B ．113a b <+≤ C ．413a b <+≤ D ．423a b <+≤ 19．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为( )．A ．－13B ．－9C ．6D ． 020．在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的两倍，且AB ＝7，AC ＝8，则BC ＝( )．A ．72B ．10C ．105D ．73二．填空题21．在直角坐标系中，抛物线2234y x mx m =+-（m >0）与x 轴交于A ，B 两点．若A ，BD CB A Q O PQ P C O A B 两点到原点的距离分别为OA ，OB ，且满足1123OBOA -=，则m 的值等于 ． 22．已知D ，E 分别是△ABC 的边BC ，CA 上的点，且BD =4，DC =1，AE =5，EC =2．连结AD 和BE ，它们相交于点P ．过点P 分别作PQ ∥CA ，PR ∥CB ，它们分别与边AB 交于点Q ，R ，则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比为 ．23．已知4021,,,x x x 都是正整数，且124058x x x ++⋅⋅⋅+=，若2221240x x x ++⋅⋅⋅+的最大值为A ，最小值为B ，则A ＋B 的值等于 ．24．若实数x 、y 满足3333=13+43+6x y ＋，3333=15+45+6x y ＋，则x ＋y ＝__________． 25．已知锐角三角形ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A ＞B ＞C ，用a 表示A －B ，B －C 以及90°－A 中的最小者，则a 的最大值为_________ ．26．已知a ，b ，c 为整数，且a ＋b =2006，c －a =2005．若a <b ，则a ＋b ＋c 的最大值为 ．27．已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数2(3)3y x a x =+-+的图像与线段AB 只有一个交点，则a 的取值范围是 ．28．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB = 90°，CA = 4．点P 是半圆弧AC 的中点，连接BP ，线段BP 把图形APCB （指半圆和三 角形ABC 组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 ．29．若10064a +和20164a +均为四位数，且均为完全平方数，则整数a 的值是 ．30．已知二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为m ，n ，且 1m n +≤．设满足上述要求的b 的最大值和最小值分别为p ，q ，则p q +=_______.31．如图，正方形ABCD 的边长为1，M ，N 为BD 所在直线上的两点，且5AM =，MAN ∠135=°，则四边形AMCN 的面积为 ．32．已知直角梯形ABCD 的四条边长分别为AB =2，BC =CD =10，AD =6，过B 、D 两点作圆，与BA 的延长线交于点E ，与CB 的延长线交于点F ，则BE BF -的值为 ．。
最新初等数学研究试卷
一，填空题：（每题 3 分，共 24 分）
1， 求函数 y=
的值域_______
2， 用不等号（ ＞，＜，≥，≤）连接两个解析式所得的式子 叫做不等式，其一般形式为_______
3， 由基本初等函数经过有限次的四则运算及函数复合，并且 只能用一个解析式表示的函数叫做______Байду номын сангаас_
A、是奇函数不是偶函数 B、是奇函数也是偶函数 C、是偶函数不是奇函数 D、既不是奇函数也不是偶函数
2，有限集的基数叫（ ）
A、实数 B、虚数 C、有理数 D、正整数
3，只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同
时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )
A．6 个
B．9 个 C．18 个
4， 用运算符号和括号把数和表示数的字母连接而成的式子叫 做________
5， 二元一次不定方程 ax+by=c（a,b,c∈Z 且 ab≠0）有整数 解的充要条件是________
6， 数列 1， 8, 27, 64, 125， 216，…， ,…是 ________阶等差数列
7， N 个不同元素的环状排列数为________
四，综合题 （每题 8 分，共 16 分）
1，若数列{an}（n∈N*）满足：①an≥0；②an﹣2an+1+an+2≥0；③ a1+a2+…+an≤1，则称数列{an}为“和谐”数列．
（1）已知数列{an}， 谐”数列，说明理由；
（n∈N*），判断{an}是否为“和
（2）若数列{an}为“和谐”数列，证明：
初等代数研究练习题
初等代数研究练习题答案 一、填空题
1 3 4 x2 3x 3 1 a ab 3、 4、1 2 ab
1、 f ( x )
2、
( x 1) 2( x 1)
3
2
3( x 1) 4
5、 （1）90； （2）15 8、最大值
min S 2 x1 3x 2 x3 x1 x 2 2 x3 8 2 x1 x 2 3x3 20 x1 x 2 2 x3 2
x1 0, x2 0, x3 无非负限制
2、如果某线性规划问题的约束方程组为
x1 - x2 + x3 =4
x1 - x2 +3 x3 =8
x3 =2
于是得基本解 X
( 2)
0 2 2
因为-2 0，所以它不是基本可行解
7
1、设
tan 2, 求 sin
2 cos 得值 sin cos
3
2、计算 cos[ 3、解方程
1 3 arc cot( )] 的值。 2 4
x
2
3x 4 2 x 1 1
4、设正方形 ABCD 的边长为 1，P、Q 分别为边 AB、AD 上的一点，如图，若△APQ 的周长为 2，求∠ PCQ。 5、设正方体 ABCD—A1B1C1D1 的边长为 a，试求 B 到平面 AB1C 的距离。 maxS=80 x1 +45 x2 20 x1 +5 x2 400 15 x1 +10 x2 450
初等代数研究练习题 一、填空题 1、已知三次多项式 f(x)在 x=-1,0,1,2 时函数值分别为 1,2,3,2,则 f(x)= 2、多项式 3、已知 4、 。 。 。 。
初等数学研究试题答案
习题一1、数系扩展的原则是什么有哪两种扩展方式（P9——P10） 答：设数系A 扩展后得到新数系为B ，则数系扩展原则为：（1）B A ⊂（2）A 的元素间所定义的一些运算或几本性质，在B 中被重新定义。
而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。
（3）在A 中不是总能实施的某种运算，在B 中总能施行。
（4）在同构的意义下，B 应当是A 的满足上述三原则的最小扩展，而且有A 唯一确定。
数系扩展的方式有两种：（1）添加元素法。
（2）构造法。
2、对自然数证明乘法单调性：设,,,a b c N ∈则（1）,;a b ac bc ==若则（2）,;a b ac bc <<若则（3）,a b ac bc >>若则；证明：（1）设命题能成立的所有C 组成集合M 。
a b,a a 1,b b 1,P13(1),(1)a 111,a ac a c ac a bc b c bc b b Mc M c bc==⋅=⋅=+=+=+=+''∴⋅=⋅∴∈∈= （规定）假设即ac ,ac a c .bc a ba bcbc bc M ==∴+=+∴=''∴∈'又 由归纳公理知，,N M =所以命题对任意自然数成立。
（2）,,.a b b a k k N <=+∈若则有 （P17定义9）由（1）有()bc a k c =+a c kc =+ac bc ∴< （P17.定义9）或：,,.a b b a k k N <=+∈若则有 bc ()a k c ac kc =+=+ ()ac ac kc a k c bc ∴<+=+=.ac bc ∴=（3）,,.a b a b k k N >=+∈若则有a ().cb kc bc kc =+<+ac bc ∴>3、对自然数证明乘法消去律：,,,a b c N ∈设则（1）,;ac bc a b ==若则（2）ac bc a b <<若，则；（3）ac bc a b >>若，则。
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选择题一．函数与方程1.（全国新课标卷，第9题）已知0ω>，函数()sin 4f x x πω=+（）在(,)2ππ单调递增，则ω的取值范围是（ ）A.1524⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D.(]0,22.（全国新课标卷，第10题）已知函数1()ln(1)f x x x=+-，则()y f x =的图象大致为（ ）3.（全国大纲卷，第9题）已知125ln ,log 2,x y z eπ-===，则（ ）A.x y z <<B.z x y <<C.z y x <<D.y z x <<4.（全国大纲卷，第10题)已知函数33y x x c =-+的图象与x 轴恰有两个公共点，则c =（ ）A.-2或2B.-9或3C.-1或1D.-3或1 5.（湖南，第8题）已知两条直线1:l y m =和28:(0)21l y m m =>+，1l 与函数2log y x =的图象从左至右相交于点A ,B ,2l 与函数2log y x =的图象从左至右相交于点C ,D .J 记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ,b .当m 变化时，ba的最小值为 （ ） A.162 B.82 C.384 D.3446.(江西，第2题）下列函数中，与函数31y x=定义域相同的函数为（ ） A.1sin y x =B.ln x y x =C.xy xe = D.sin x y x= 7.(江西，第3题）若函数21,1()lg 1x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则((10))f f =（ ）A.lg101B.2C.1D. 08.（福建，第7题）设函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数，则下列结论错误的是（ ）A.()D x 的值域为{}0,1B.()D x 是偶函数C.()D x 不是周期函数D.()D x 不是单调函数9.（福建，第9题）若函数2xy =的图象上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的最大值为（ ） A.12 B,1 C.32D.2 10.（福建，第10题）函数()f x 在[],a b 上有定义，若对任意[]12,,x x a b ∈，有[]12121()()()22x x f f x f x +≤+，则称()f x 在[],a b 上具有性质P .设()f x 在[]1,3上具有性质P ，现给出如下命题： ①()f x 在[]1,3上的图象是连续不断的；②2()f x 在1,3⎡⎤⎣⎦上具有性质P ；③若()f x 在2x =处取得最大值1，则[]()1,1,3f x x =∈； ④对任意[]1234,,,1,3x x x x ∈，有[]123412341()()()()()44x x x x f f x f x f x f x +++≤+++其中真命题的序号是（ ）A.①②B.①③C.②④D.③④11.(广东，第4题）下列函数中，在区间()0,+∞上为增函数的是（ ）A.(2)y ln x =+B.1y x =-+C.1()2xy = D.1y x x=+12.（陕西，第2题）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）A.1y x =+B.3y x =- C.1y x=D.y x x = 13.（湖北，第3题）已知二次函数()y f x =的图象如图所示，则它与x 轴所围成的面积为（ ） A.25π B.43 C.32 D.2π14.（湖北，第7题）定义在()(),00,-∞+∞ 上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{}()n f a 仍是等比数列.则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义()(),00,-∞+∞ 上的如下函数：①2()f x x =；②()2xf x =；③()f x x =；④()ln f x x =.则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ） A.①② B.③④ C.①③ D.②④15.（湖北，第9题）函数2()cos f x x x =在区间[]0,4上的零点个数为（ ）A.4B.5C.6D.716.(天津，第4题）函数3()22xf x x =+-在区间()0,1内的零点个数是( )A.0B.1C.2D.317.(四川，第3题）函数29,3()3ln(2),3x x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪-≥⎩在3x =处的极限（ ）A.不存在B.等于6C.等于3D.等于0 18.(四川，第5题）函数()10,1xy a a a a=->≠的图象可能是（ ）y-1 O x1119.(山东，第3题）设0a >且1a ≠，则“函数()xf x a =在R 上是减函数”是“函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 20.(山东，第8题）定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=.当31x -≤<-时，()2()2f x x =-+；当13x -≤<时，()f x x =.则(1)(2)(3)(2012)f f f f ++++=（ ）A.335B.338C.1678D.2012 21.(山东，第12题）设函数1()f x x=，()2(),,0g x ax bx a b R a =+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则下列判断正确的是（ ）A.当0a <时，12120,0x x y y +<+>B.当0a <时，12120,0x x y y +>+<C.当0a >时，12120,0x x y y +<+<D.当0a >时，12120,0x x y y +>+>22.（辽宁，第11题）设函数()()f x x R ∈满足()(),()(2)f x f x f x f x -==-，且当[]0,1x ∈时，3()f x x =.又函数()cos()g x x x π=，则函数()()()h x g x f x =-在13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为（ ）A.5B.6C.7D.823.（辽宁，第12题)若[)0,x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是（ ） A.21xe x x ≤++ B.21111241x x x≤-++1O 1 xB.y y x1O 1 A.1O 1 xC.y xD.y1O 1C.21cos 12x x ≥-D.21ln(1)8x x x +≥- 24.（重庆，第5题）设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两根，则()tan +αβ的值为（ ） A.-3 B.-1 C.1 D.325.（重庆，第7题）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“()f x 为[]0,1上的增函数”是“()f x 为[]3,4上的减函数”的（ ） A.既不充分也不必要条件 B.充分也不必要条件C.必要而不充分条件D.充要条件26.（重庆，第8题）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为'()f x ，且函数'(1)()y x f x =-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A.函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f B.函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f C.函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f - D.函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f27.（安徽，第2题）下列函数中，不满足(2)f x 等于2()f x 的是（ ）A.()f x x =B.()f x x x =- C ()1f x x =+. D.()f x x =- 28.（浙江，第9题）设0,0a b >> （ ）A.若2223aba b +=+，则a b > B.若2223aba b +=+，则a b < C.若2223aba b -=-，则a b > D.若2223aba b -=-，则a b <二．数列1.（全国新课标卷，第5题）已知{}n a 为等比数列，47562,8a a a a +==-，则110a a +=（ ）A.7B.5C.-5D.-72.(全国大纲卷，第5题）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,555,15a S ==，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为（ ） -2 yx2 1 OA.100101 B.99101 C.99100 D.1011003.(江西，第6题)观察下列各式：1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，5511a b +=，···，则1010a b +=（ ） A.28 B.76 C.123 D.1994.(福建，第2题)等差数列{}n a 中，15410,7a a a +==，则数列{}n a 的公差为（ ） A.1 B.2 C.3 D.45.(辽宁，第6题)在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则该数列前11项和11S =( ) A.58 B.88 C.143 D.1766.(上海，第18题)设121sin ,25n n n n a S a a a n π==+++ ，在12100,,S S S 中，正数的个数是（ ）A.25B.50C.75D.1007.(重庆，第1题)在等差数列{}n a 中，241,5a a ==，则n a 的前5项和5S =（ ） A.7 B.15 C.20 D.258.(安徽，第4题)公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则210log a =（ ）A.4B.5C.6D.79.(浙江，第7题)设n S 是公差为(0)d d ≠的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题错误的是（ ）A.若0d <，则数列{}n S 有最大项B.若数列{}n S 有最大项，则0d <C.若数列{}n S 是递增数列，则对任意n N *∈，均有0n S > D.若对任意n N *∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列三．不等式1.（北京，第1题）已知集合{}|320A x R x =∈+>，{}|(1)(3)0B x R x x =∈+->，则A B = ( )A.(),1-∞-B.21,3⎧⎫--⎨⎬⎩⎭C.2,33⎛⎫-⎪⎝⎭D.()3,+∞ 2.(福建，第5题)下列不等式一定成立的是（ )A.()21lg lg 04x x x ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭ B.()1sin 2,sin x x k k Z xπ+≥≠∈ C. ()212x x x R +≥∈ D.()2111x R x >∈+ 3.(湖北，第5题)设a Z ∈,且013a ≤<，若200251a +能被13整除，则a =（ ）A.0B.1C.11D.124.(湖北，第6题)设,,,,,a b c x y z 是正数，且22210a b c ++=，22240x y z ++=，20ax by cz ++=，则a b cx y z++=++（ ）A.14 B. 13 C. 12 D. 345. (重庆，第2题)不等式1021x x -≤+的解集为（ ）A.1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦B.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.[)1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭D.[)1,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦四．排列与组合1.（全国新课标卷，第2题）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1个名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） A.12种 B.10种 C.9种 D.8种2.(全国大纲卷，第11题)将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（ ） A.12种 B.18种 C.24种 D.36种3.(全国大纲卷，第12题)正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，37AE BF ==,动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为（ ）A.16B.14C.12D.10 4.(北京，第6题)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）A.24B.18C.12D.65.(陕西，第8题)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（个人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ） A.10种 B.15种 C.20种 D.30种6.（天津，第5题）在5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，x 的二项系数为（ ）A.10B.-10C.40D.-40 7.(四川，第1题)()71x +的展开式中2x 的系数是（ ）A.42B.35C.28D.218.(山东，第11题)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（ ） A.232 B.252 C.472 D.4849.(辽宁，第5题)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）A.33!⨯B.()333!⨯ C.()43! D. 9!10.(重庆，第4题)312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为（ ）A.3516 B.358 C.354D.105 11.(安徽，第7题)()522121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是（ ）A.-3B.-2C.2D.312.(浙江，第6题）若从1,2,3,,9 这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（ ）A.60种B.63种C.65种D.66种填空题一、函数与方程1. (全国大纲卷，第14题)当函数()π20cos 3sin <≤-=x x x y 取得最大值时，=x ______2. （北京卷，第14题）已知()()().22)(,32-=++-=xx g m x m x m x f 若同时满足条件：①R x ∈∀，()0<x f 或()0<x g ；②()0)()(,4,<-∞-∈∃x g x f x .则m 的取值范围是__3.（湖北卷，第13题）回文数是指从左往右读与从右往左读都一样的正整数。
(完整版)初等数学研究(补充版)
初等数学研究1.（P383例4）在△ABC 中,∠C=90°，∠A=30°，在△ABC 的外侧分别以AB 、AC 为一边作正△ABE,正△ACD,如图,连接DE 交AB 于F.求证：EF=FD 。
证明：作EH ⊥AB 交AB 于H 点。
∵∠CAD=60°，∠BAC=30° ∴∠EHF=∠DAF=90° 设BC=a ，则AC=EH=3a又∵∠EFH=∠DFA （对顶角） ∴△EFH ≌△DFA （AAS) ∴EF=FD2.(P395例6)已知设H 是△ABC 的垂心，O 是外心。
OD ⊥BC 于D 。
如图,求证：AH=2OD 。
证明:取AB 、H 的中点M 、N ，连接OM ，MN,DN则MN ∥AH ∥OD ND ∥CH ∥OM ∴四边形MNDO 是平行四边形。
∴OD=MN=12AH即AH=2OD 3。
（P423例21)在△ABC 的三边AB 、BC 、和CA 上分别取点M 、K 和L ，使MK ∥AC ，ML ∥BC;设BL 、MK 交于P ，AK 、ML 交于Q 。
如图，求证：PQ ∥AB 。
证明:∵ML ∥BC MK ∥AC ∴KP BP PMPL= BM KQ MAQA= BP BM PL MA=∴KP BP BM KQPM PL MA QA===因此PQ ∥AM 即PQ ∥AB4。
(P430例26）设A 、B 为平面上的二定点，C 为平面位于直线AB 同侧的一动点,各以AC 、AB 为边，在△ABC 之外作正方形CADI 、CBEJ,如图。
求证：无论C 点取在直线AB 同侧的任何位置，DE 的中点M 的位置不变。
证明:自D 、E 、C 和M 分别作AB 的垂线，设其垂足依次为G 、H 、K 和N.∵AD=AC ∠1=∠2 ∠CKA=∠AGD=90° ∴△ADG ≌△CAK （AAS ） ∴AG=CK DG=AK同理: CK=BH EH=BK ∴AG=BH∵N 平方HG （MN 是梯形中位线) ∴N 平分AB∵EH+DG=BK+AK=AB∴MN=12(EH+DG ）=12AB又∵MN ⊥AB ∴DE 的中点M 是定点.5.（P437例28)在任一三角形中，外心、垂心和重心共线. 证明：∵G 为三角形重心 ∴AG=2DG又由P395例6知AH=2DO 又∵OD ∥AH∴∠1=∠2∴△DOG ∽△AHG ∴∠OGD=∠HGA∴H 、G 、O 三点共线 6。
《初等数学研究》试题
《初等数学研究》试题题目一：计算题1. 请计算：7 × 9 = ______2. 请计算：48 ÷ 6 = ______3. 请计算：25 - 17 = ______4. 请计算：3 × 4 + 2 = ______5. 请计算：10 ÷ (5 - 3) = ______题目二：填空题1. 一个正方形的一条边长为5厘米，计算它的周长和面积分别为______厘米和______平方厘米。
2. 两个角相加等于180度，如果一个角为70度，那另一个角度数为______度。
3. 20 ÷ 4 × 3 = ______4. 一个矩形的长为7厘米，宽为4厘米，计算它的周长和面积分别为______厘米和______平方厘米。
5. 若一个数字逆序排列得到新的数字，例如：321的逆序排列为123，如果一个三位数的逆序排列是它的2倍，求这个三位数。
题目三：选择题1. 用1只兔子和1只鸽子构成一个集合，它们的总腿数是：A. 2腿B. 4腿C. 6腿D. 8腿2. 表示“六乘以一个正整数”的算式是：A. 6 + dB. d - 6C. 6 ×dD. 6 ÷d3. 一个立方体有六个面，正方形有四个边，三角形有______个边。
A. 2B. 3C. 4D. 54. 一个正方形和一个长方形的周长相等，它们的边长比应满足的关系是：A. 边长相等B. 边长小于C. 边长大于D. 无法确定5. 下列哪个数字是素数？A. 10B. 15C. 23D. 30题目四：解答题1. 小明有一个圆形的蛋糕，周长为36厘米。
请问它的直径是多少厘米？2. 一个矩形的长和宽之比是3：1，它的周长是36厘米，求它的长和宽。
3. 一个三位数的十位数比个位数大1，十位数比百位数小2，百位数是5，求这个数。
注意：请在答题纸上写下你的答案，并将试卷交给监考老师。
祝你考试顺利！。
初等几何研究习题
习题1.设梯形两底之和等于一腰，则此腰两邻角的平分线必通过另一腰的中点。
已知：如图，梯形ABCD 中，A D ∥BC,AB=AD+BC,E 是DC 中点求证：∠DAB 与∠ABC 的平分线必经过E 点。
证明（同一法）：设∠DAB 与∠ABC 的角平分线交于E ′点，只需证E ′点与E 点重合。
∵AD ∥BC∴∠DAB+∠ABC=180° ∵∠1=∠2, ∠3=∠4, ∴∠2+∠3=90° ∴∠A E ′B=90°作Rt △ABE ′的斜边AB 上的中线 FE ′，则 FE ′=21AB=AF=BF∴∠2=∠A E ′F, ∠3=∠B E ′F ∴∠1=∠2=∠A E ′F , ∴E ′F ∥AD ∥BC连结EF,则EF 为梯形 ABCD 的中位线, E F ∥AD ∥BC ∴E ′F 与EF 共线∵FE ′=21AB=21(AD+BC), FE =21(AD+BC)∴E ′F = E F∴E ′与E 重合，证毕.习题2.A 是等腰三角形ABC 的顶点，将其腰AB 延长至D ，使BD=AB 。
知CD=10厘米，求AB 边上中线的长。
解：过B 作BF ∥AC 交CD 于F ， 则BF 是△DAC 的中位线。
∴BF21AC ∴∠FBC=∠ACB又∠ACB=∠ABC ，AB=AC ∴∠FBC=∠ABC ，BF=21AB=BE ∴△EBC ≌△FBC （SAS ） ∴CE=CF=21CD=21×10=5cm即△ABC 中边上的中线CE 的长为5厘米。
习题3.证明：等腰三角形底边延长线上任一点到两腰距离之差为常量。
已知：如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC 。
D 为BC 延长线上一点，过D 作DE ⊥ AB 于E ，作D F ⊥ AC 延长线于F 。
求证：D E －DF 为常量。
21证明：作△ABC 的边AB 上的高CH ，再作CG ⊥DE 于G ，则四边形CHEG 为矩形。
初等数学研经典习题doc
所以
两式相加的
所以数列 为等差数列
例题5、
求函数 的值域
解：由 得， ，令
所以 ，即 的值域等价于点 到点
的斜率。
即如图的两直线的斜率分别为最大与最小，即为函数的值域。
易求的函数 的值域为
例题6、
求函数 的值域。
易求函数的定义域为 ，令
即 所以u，v如右图椭圆的第一象限部分，
股函数 的值域为两直线的纵截距，
如果 ；则a和b之中有且只有一个为0，不妨设b=0， ，方程 变形为
方程 无解。
如果 ，则a，b均不为0，将方程 去分母，得
即
此时 的分母不为0，所以是原方程的解。
因此，当 时，原方程有两解： ；当 时，原方程无解；
当且 时，原方程有四解： ， ；当 且 时，
原方程无解。
例题4
解关于x的方程：
解：x应满足 .
将 两端平方，得
即
由 可知， ，
即 .
将方程 的两端平方，整理得
.
由 可知， ，因而 ，所以
.
由 ， ， 三式可知
解不等式组 ，得参数a的取值范围是 .
经检验得知原方程的解是
三、二元一次不定方程
例题5
求方程 的正整数解.
解用y表示系数较小的x，得
以为x，y是整数，所以 也是整数.令
，即 .
用u表示系数绝对值较小的y，得
2012年10月8日星期一，第七周
一、倒数方程
例题1.
解方程：
解：原方程属于奇次倒数方程，可以分解为
显然有一根 ，为求出其它根，要解方程
因 ，以 除 的两端，整理得
令 ，则 ，代入 ，得
解之，得 ，再据此求 ：
初等数学研究期末考试题目答案
习题一5证明：当n=1时，的倍数。
是9181n 154n=-+ 假设当n=k 时的倍数。
是91k 154k-+则当n=k+1时的倍数。
是）（）（918k 451k 154411k 154k 1k +--+=-+++则对∀N n ∈，1n 154n -+是9的倍数. 6证明：当1n =时，141-=3-，n21n21-+=3-；则当1n =时成立。
假设当k n =时成立，即(141-)(941-)(2541-)……… (21k 241）（--)=k 21k21-+ 当1k n +=时，(141-)(941-)(2541-)……… (21k 241）（--)（21k 241）（+-） =k 21k 21-+（21k 241）（+-）=）（）（1k 211k 21k 21k 23+-++=++- 当1k n +=时成立。
7解：（1）01x 3x 132=---==+，则，αββα （2）3311=-=---ββαα，131313A n2n n 2n nn 2n 2n 2n ββααβαβα+--+-=-=∴+++++131311n 11n nn ）（）（-+-+---+-=βββαααβα133131n 1n nn ++-+-=βαβα；n 1n A A 3+=+（3）当n=1时，1013A 333=-=βα的倍数。
是10 假设当n=k 时13A 3k3k 3k βα-=的倍数。
是10则当n=k+1时131313A 33k 33k 3k 33k 33k 31k 31k 31k 3）（）（）（）（）（βαβαβαββααβα-+-=⋅-⋅=-=+++k 333k3k 1013βαβα+-=则对∀N n ∈，n 3A 是10的倍数. 21 解：Z=72i 31）（++=+=++1)6isin 6(cos 17ππ)67isin 67(cos ππ+=i 21231--则|Z|=22263241)23-(12-=-=+；则.23arctan 2）（+-=πθ 22 解： |z|=1，，则令ααisin cos z +=∴1z z 2+-=)i sin -sin (2cos cos cos 22ααααα+-则u=222)21(cos 41cos 4cos 4|1z z |-=+-=+-ααα当3u ,1cos max =-=时α；当.0u ,21cos min ==时α 25解：由图像知20)-(-10)-3(-|OD |22=+=；则.312||||||max =+=+=AD OD Z .112||||||min =-=-=BD OD Z,24060180)(arg .30,21sin max =+=∴=∴=Z αα.180)(arg min =Z 习题二1解：设这个多项式为)1()(10-+=x a a x f )4)(2)(1(2)(1(32---+--+x x x a x x a ）.然后将已知点依次代入：;10,10)1(00-=∴=-=a a f ;9,1)2(110=∴+=-=a a a f ;14,63101)4(2210=∴++==a a a a f ;2,21812124218)5(33210=∴=+++==a a a a a f因此，)1(910)(-+-=x x f )4)(2)(1(22)(1(14---+--+x x x x x ）7523--=x x 即.32)3(=f2解：d x c x b x a x x f +-+-+-+-=-)2()2()2()2()2(234令2=x 得165=d ;令0=x 得;8624,165248169=+-+-+-=c b a c b a 即 令1=x 得.119=+-c b a 令3=x 得.269=++c b a 则165,180,75,14====d c b a即165)2(180)2(75)2(14)2()2(234+-+-+-+-=-x x x x x f =.5432234+-+-x x x x7解:(1)法一:原式为对称式,但显然原式没有一个因式,又由于原式为四次式,则设有一个二次对称式的因式=+++444)(y x y x ])([22nxy y x m ++])([22lxy y x k ++则;1;2====l k n m 444)(y x y x +++=222)(2xy y x ++ 法二:22222222444]2)[(2)()(xy y x y x y x y x y x +++-+=+++ =2222222222)(22)(4)(2xy y x y x y x xy y x ++=++++ (2) 2222222)1(122)()1(++++=++++x x x x x x x x2222)1()1()1(21++=++++=x x x x x x(3) 原式为对称式,当)(z y x +-=时原式为零,故z y x ++为原式的一个因式,又由于原式为三次式,则还有另一个二次对称式的因式.设=++++xyz y x x z z y ))()(((z y x ++))()([222yz xz xy n z y x m +++++]令120,1,1=+===n m z y x 得,令;131,1,1-=-=-=-=n m z y x 得 则).)((),,(.1,0yz xz xy z y x z y x f n m ++++=∴==(4)原式为轮换式,当y x =时原式为零,故))()((x z z y y x ---为原式的一个因式,又由于原式为四次式,则还有另一个一次对称式的因式.设=++++xyz y x x z z y ))()((k ))()((x z z y y x ---(z y x ++)令.2,1260,2,1-=∴-====k k z y x 得则=++++xyz y x x z z y ))()((-2))()((x z z y y x ---(z y x ++) 8解:（1）))((15x x 6x x 22234l nx x k mx x ++++=+-+- =kl x nk ml x l mn k x n m x ++++++++)()()(234比较系数得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=++-=+15161kl nk m l l m n k n m ；设;5,3==l k 则.2,1-==n m则).52)(3(15x x 6x x 22234+-++=+-+-x x x x（2）=++++21x 29x 20x 7x 234))((22l nx x k mx x ++++ =kl x nk ml x l mn k x n m x ++++++++)()()(234比较系数得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=++=+2129207kl nk m l l m n k n m ；设;7,3==l k 则.5,2==n m则=++++21x 29x 20x 7x 234).75)(32(22++++x x x x9解：（1））5()3()152)(3(45x 21x x 2223+-=-+-=+--x x x x x （2）)6792)(1(6x 13x 2x 72x 23234-++-=+--+x x x x=)2)(12)(3)(1(+-+-x x x x（3）原式为轮换式,当y x -=时原式为零,故))()((x z z y y x +++为原式的一个因式,.设=-+++++xyz 4y)z(x z)y(x z)x(y 222))()((x z z y y x k +++ 令.10,1,1====k z y x 得则=-+++++xyz 4y)z(x z)y(x z)x(y 222))()((x z z y y x +++ （4）)2)(12]()6)(4[(4x -24)14x 24)(x 11x (x 222+++++=++++x x x x x=-24x 242)(12()2)(12)(6)(4(x x x x x x x x -+++++++）=)2410()2)(12)(6)(4(2+++++++x x x x x x x =)2415)(6)(4(2++++x x x x10解：（1）]6016)[(60164(x 3x -12)10)(x 6)(x 5)(x (x 4222x x x x +++++=++++）=-23x 222236016(4)60164(x x x x x x -+++++）=]6016(2][3)6016[2(x 22x x x x x -+++++） =）120312)(12035(2x 22++++x x x )426535(+-=x )8)(152)(426535(++--x x x （2）7x 44x 27x 2x 234+---))((22l nx x k mx x ++++= =kl x nk ml x l mn k x n m x ++++++++)()()(234比较系数得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+-=++-=+744272kl nk m l l m n k n m ；设;1,7==l k 则.7,5-==n m则7x 44x 27x 2x 234+---)17)(75(22+-++=x x x x)2537)2537)(75(2--+-++=x x x x （ 16解;（1）5432534)2()2()2()2(2-x A 2)-(x 6x 2x x 2-+-+-+-+=-+-x Ex D x C x B 设 通分并合并同类项后与原式比较系数，得：.22,54,42,15,2=====E D C B A则.)2(22)2(54)2(42)2(152-x 22)-(x 6x 2x x 25432534-+-+-+-+=-+-x x x x（2）2222221)x (13-x A 1)x -3)(x -(x 16x 4x 5+-+++-++=++-x EDx x x c Bx 通分并合并同类项后与原式比较系数，得：.3,2,2,1,1-=-=-=-==E D C B A则.1)x (32123-x 11)x -3)(x -(x 16x 4x 5222222+---++---+=++-x x x x x 22 解:;471,71,3xx 222121=+=+∴=+-xx x x 则.18)11(x x (21212323=+-+=+--x x xx 即.52347218x3x x 2x 2223-23=++=++++-28. (1) =72cos7cos0cos ππ++)73-cos(73cos πππ++)7-cos()72-cos(ππππ++=1 (2) =）（ 1tg 1+）（ 2tg 1+）（ 3tg 1+)]145(tg 1[ -+ =）（1tg 1+）（2tg 1+）（3tg 1+)1tan 11tan 11(+-+ =2）（ 2tg 1+）（ 3tg 1+)43tan 1( +=222 (3) =++2)240cos 1(++2)280cos 1( ++2)2120cos 1( 2)2160cos 1( + =+++++++280cos 1)160cos 120cos 80cos 40(cos 24[412160cos 1 ++++2240cos 1 ]2320cos 1+=++++++280cos )160cos 120cos 80cos 40(cos 26[412160cos ++2240cos ]2320cos=]40cos 2120cos 80cos )20cos 2180cos 40(cos 412[81+--+--++=]25)20cos 80cos 40(cos 512[81--++=1619)20cos 20cos 2120cos 2(8516523=-+- 。
初等数学研究_习题集(含答案)
《初等数学研究》课程习题集一、单选题 1. 已知αβ、是方程22(2)(35)0x k x kk --+++=的两实数根，则221αβ++的最大值是（ ）..20.19.21.18A B C D2. 设()lg (101)2xxxb f x a x x a b -=+++4是偶函数，g ()=是奇函数，则的值为（ ）11..1.1..22A B C D --3. 设432()f x xa xb xc xd =++++，其中a b c d 、、、为常数，如果(1)1,f =[]1(2)2,(3)3,(4)(0)4f f f f ==+=则（ ）.5.3.7.11A B C D4. 若不等式2lo g 0m x x -<在区间（0，2）内恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1116m ≤< B.1016m <≤ C.104m <<D.116m ≥5. 已知()()(,),(7)7f x y f x y x y R f +=∈=且， 则(49)f 等于（ ）A.7B. 14C.49D. 16. 设33,(5)2003(5)1,(4)2003(4)1,x y xx y y -+-=--+-=为实数，满足则().x y +=A.1B. 9C. -1D. -97. 实数x y 、满足关系式[][]21yx x =+--和[]1y x =+，则x y +的值一定是（ ）1012.1516.910.A B C D .与之间与之间与之间一个整数8. 对每一个自然数n, 抛物线22()(21)1,n yn n x n x x A =+-++与轴交于n B 两点，||n n A B 以表示该两点的距离，则1122||||A B A B ++ 20022002||A B +等于（ ）2001200220032004.....2002200320042003A B C D9. 已知多项式2(),4(1)1,1(2)5,(3)f x a x c f f f =--≤≤--≤≤则满足（）3825.4(3)15.1(3)20.(3)33f B f C f D f ≤≤-≤≤-≤≤-≤≤A .7(3)2610. 若2222,260,2x y x x yx yx -+=++实数满足则的最大值为( ）A.15B. 14C. 17D. 1611.设2250,320,a x x b x x +=-+=是一元二次方程的较大的一根是的较小的一根那么a b +的值是（ ）A.-4B. -3C. 1D. 312. 2320x x -+=方程的最小一个根的负倒数是（）A.1B. 12C. 2D. 413. 在,A B C G ∠022直角中，A =90为重心，且G A =2, 则G B +G C =( )A ． 25 B. 10 C. 20 D. 1514. 圆锥的侧面展开图的圆心角等于0120，该圆锥的侧面积与表面积之比值为（ ）A.23B.45C.12D.3415. ∠∠0A B -A C 在A B C 中,C =90,A 的平分线A D 交B C 于D ,则C D等于（ ）.tan .sin .co s .co t .A AB AC AD A16. 在A B C 中，A B A C =，,,D B C B E A C E ⊥为中点且于交A D P 于，已知3B P =， 1P E =，则P A =（ ）A B C D ....17.已知梯形A中，//,,A B CA B C DA DBC BD A B C B D D C S S∠⊥=梯形平分且则，3A B C D .：1. 2.5：1.2：1. 1.5：118. 已知A D是直角三角形A B C斜边上的高，43A B A C ==，,:()A B CA C DS S=则，5A B C D .：3.25：9.4：3.16：919. 已知直角三角形的周长为2+斜边上的中线为1,则这个三角形的面积为（ ）14A B C D 1..1..220. 若一个正三角形和一个正六边形的面积相等，则他们的边长之比为（ ）11113A B C D ....二、填空题1 21. 集合2{1,2,31},{1,3},{3}A mm B AB =--=-=，实数m 的值是 _______22. 若函数2()1f x x a x =-+能取得负值，则实数a 的取值范围为23. 设x y z 、、为实数,1()2x y z =++，则23x y z=24. 函数sin ()yA x b =ω+ϕ+在同一周期内有最高点（,312π），最底点（7,512π-），则它的解析式为25. 若函数[]2(2)1,()2x f xf -+∞的定义域为，则的定义域为26. 在等差数列{}n a 中，已知前20项的和n S =170，则691116a a a a +++ =27. 已知：1ta n 11ta n +α=-α，则sin 2α的值=28. 设11(0),()f x f x x x ⎛⎫=-<= ⎪⎝⎭则29. 2,120nn S n =数列的前项和那么这个数列的前项中所有奇数项的和是30. 2006!的末尾的“0”的个数是 31. 已知：12()()3f x f x x x+-=+，则()___________f x =32. 不等式20a x a b x b ++>的解集是{23}M x =<<，则_____,______a b ==33. 以三角形的三条中线长为边作三角形，则它的面积与原三角形面积之比为34. P 是正方形ABCD 内一点，PA=2, PB=1, PD=3, 则A P B ∠的度数为 35. 1E F GA EB F A BC A E B F G S=，是的中线，与交于，若，则A B CS=36. 在A B C 中，5B C M I A B C =，与分别是的重心与内心，若//M I B C则A B A C +的值为37. 在A B C 中，90C ∠=，I IE A B E ⊥为内心，于，若2B C =，A C =3， 则A E E B ⋅=38. 设直角三角形的斜边为C, 其内切圆的半径为r, 则内切圆的面积与三角形面积之比是39. 若等腰梯形的两条对角线互相垂直, 高为8cm ，则上、下底之和为40. 凸n 边形的n 个内角与某一个外角的和为1350°，则n 等于三、计算题41. 121212{}1,2,,n n n n n n n a a a a a a a a a ++++===++已知数列中，且121,n n a a ++≠求20031.n n a =∑42. 求函数332s in 3s inc o s 3c o s s in 2c o s 2x x x xy x x+=+的最小值。
初等数学研究答案
初等数学研究，李长明，周焕山版 高等教育出版社习题一1答：原则：（1）A ⊂B（2）A 的元素间所定义的一些运算或基本关系，在B 中被重新定义。
而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。
（3）在A 中不是总能施行的某种运算，在B 中总能施行。
(4) 在同构的意义下,B 应当是A 满足上述三原则的最小扩展,而且由A 唯一确定。
方式：（1）添加元素法；（2）构造法2证明:(1)设命题能成立的所有c 组成集合M 。
a=b ，M 11b 1a ∈∴⋅=⋅∴， 假设bc ac M c =∈，即，则M c c b b bc a ac c a ∈'∴'=+=+='，由归纳公理知M=N ，所以命题对任意自然数c 成立。
（2）若a <b ，则bc kc ac bc,k)c (a )1(b k a N k =+=+=+∈∃即，，由，使得 则ac<bc 。
（3）若a>b ，则ac mc bc ac,m)c (b )1(a m b N m =+=+=+∈∃即，，由，使得 则ac>bc 。
3证明:(1)用反证法：若b a b,a b a <>≠或者，则由三分性知。
当a >b 时，由乘法单调性知ac >bc. 当a <b 时，由乘法单调性知ac<bc.这与ac=bc 矛盾。
则a=b 。
（2）用反证法：若b a b,a b a =>或者，则由三分性知不小于。
当a >b 时，由乘法单调性知ac >bc. 当a=b 时，由乘法单调性知ac=bc.这与ac<bc 矛盾。
则a <b 。
（3）用反证法：若b a b,a b a =<或者，则由三分性知不大于。
当a<b 时，由乘法单调性知ac<bc. 当a=b 时，由乘法单调性知ac=bc.这与ac>bc 矛盾。
则a>b 。
初等数学研究
一、14．用表示的所有质数幂因子的集合（例如，证明：⑴若整除，则；⑵若分别是的公因数和公倍数，则；⑶若是的最大公因数，则；⑷若是的最小公倍数，则；⑸当且仅当；证明：⑴设为的一个质数幂因子,则而所以即也为的质数幂因子.因此⑵由于分别是的公因数和公倍数,因此有.由⑴易知有成立.⑶设质数幂因子则且从而于是因此由⑵的结论知,⑶成立.⑷设质数幂因子,而互质.若不是的质数幂因子,则由知,.由于互质,不是的因子,但,因此,即.⑸由于所以,因此有且，即.若,易得.15．试把下列复合命题，用等联结词表示出来，然后加以否定，并判断真假：⑴≤；⑵如果，则雪是白的；(3)如果>且>，则>；（4），但。
解：⑴≤:∧≤(真);否定:-3≥0 ∨＞3 (假)⑵如果，则雪是白的:→雪是黑的.(真)否定: ∧雪不是黑的.（3）如果且,则:∧→(真)否定:∧∧≤) (假)（4），但:∧(假)否定:∨(真)二、17．使用逆否命题法证明：如果一次方程只有一个根，必须.证明:该命题的逆否命题为若,则方程无单根.因为时,可为任意值.因此结论成立.18．试用反证法证明：若整数都是奇数，则二次方程没有整数根.证明：设方程有整数根(可以等于)则必有一个为偶数. 因此原结论成立.19．写出下列命题的否定：⑴或或；解：且且)⑵存在使成立的；解：≥)⑶任何实数是方程的根.解：(实数)不是方程的根三、20．作出下列命题的逆、否、逆否命题，并指出其真假：⑴若则且；解：逆命题:若且则(真);否命题:若则或(真);逆否命题:若或,则(真)⑵对于所有的，若，则.解：逆命题:对于所有的,若则(假).否命题:对于所有的,若≥则≥.(假)逆否命题:对于所有的,若≥.则≥(真)是既非充分又非必要条件；是的充分条件；是的充要条件；是的充分条件；≥是且的必要条件；≤是≤既非充分又非充分条件；是的既非充分又非必要条件；是的充分条件。
五、1.运用皮亚诺公理证明自然数的乘法满足交换律。
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10级初等数学研究练习题
一、 填空题
1、过不共线的三点，有且只有 。
2、几何作图的基本方法主要有轨迹交点法、 。
3、等腰直角三角形ABC 中，∠C=900，D 是BC 边上的一点，AD=2CD ，则∠ADB
的度数为 。
4、初等几何的原始概念中的基本元素 。
5、轨迹命题的种类有
6、轨迹命题的完备性是指
7、与两定点等远之点的轨迹是
8、如图，在△ABC 中，DE ∥BC 且ADE S ：CDE S =1：3，则ADE S ：
DBC S = 。
二、 单一选择题
1、思考的顺序是从题设到题断，即“由因导果”方法为（ ）。
（A ）、综合法； （B ）、分析法； （Ｃ）、类比法； （Ｄ）、归纳法。
2、如果一个三角形的重心在它的一条高线上，那么这个三角形一定是
（ ）。
（A ）、等腰三角形； （B ）、直角三角形； （Ｃ）、等边三角形； （Ｄ）、任何一个三角形。
3、平移变换是（ ）。
（A ）、第一类合同变换； （B ）、第二类合同变换；
（C ）、第三类合同变换； （D ）、不能确定。
4、合同变换的种类有（ ）
（A ）、1种 （B ）、2种 （C ）、3种 （D ）、4种
5、与二平行直线等远之点的轨迹是（ ）
（A ）、一直线 （B ）、二直线 （C ）、圆 （D ）、线段
6、一条直线和这条直线外不在同一条直线上的三点最多可确定平面的个数
是（ ）。
(A)、1个; (B)、2个;
(C)、3个; (D) 、4个。
7、如图所示，在△ABC 中，∠B 是钝角，AD ⊥BC ，
则 2AC （ ）。
A
（A ）、BD AB BC AB 222
（B ）、BD AB BC AB 222 D B C
（C ）、BD BC BC AB 222 （D ）、BD BC BC AB 222
8、在正三角形、正方形、正五边形、正六边形中关于中心对称的图形有（ ）个。
（A ）、1 （B ）、2 （C ）、3 （、4
9、在△ABC 中，a=22,b=32,∠A=045，则∠B 等于（ ）
（A ）、060 （B ）、0120 （C ）、060或0120 （D ）、以上都不对
10、如图，AB ∥EF ∥CD ，已知AB=20，CD=80，BC=100，则EF 的值是（ ）
（A ）、16 （B ）、10 （C ）、12 （D ）、20
三、 判断题
1、平面内，到一定直线距离相等的点的轨迹是与此直线距离相等的两条平行线。
（ ）
2、合同变换主要有三种基本类型：平移、旋转、轴反射（轴对称）。
（ ）
3、枚举法也叫穷举法、列举法。
常用于解决“是否存在”或“有多少种可能”等类型问题。
（ ）
4、分析法就是由题断出发，寻找使得结论成立的条件，最后归结于题设或已知命题的一种思考方法。
（ ）
5、若 ，且 =c ，a ,a c,则 a 。
（ ）
6、。
（ ）
7、过一点作已知直线的垂线的几何作图方法是：把直角三角形一直角边与已知直线重合；另一直角边经过已知点；直角顶点与已知点的连线即为所作。
（ ）
8、（ ）
9、已知P 是 ABC 内的一点，连BP 、CP ，那么 BPC ＜ BAC 。
（ ）
10、设P是正三角形ABC内的一点，若PA=6，PB=8，PC=10，则三角形ABC的边长为23
25 。
（）
12
四、计算题
1、设P是正三角形ABC内的一点，PA=6，PB=8，PC=10，求三角形ABC的边长。
2、在△ABC中，已知∠A=0
60，b:c=8:5,又内切圆的面积是12л，求a、b、c。
S =1，求3、在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，G是AE、BD的交点，若
BEG
S
ABCD
，求∠B和△ABC
4、在△ABC中，∠A=)2
b
a
105
6
(3
,6
,
的面积。
5、如图所示：AB∥EF∥CD，已知AB=20，CD=80，BC=100，求
EF的长。
D
A
E
B F C
五、证明题
1、已知：在平行四边形ABCD中，P是平行四边形内的一点，连结PA、PB、PC、PD，如果 PAB= PCB，求证 PBA= PDA。
（要求：先寻找证题思路，再进行证明）
【分析】：
【证明】：
2、在三角形ABC中，AB=AC， BAC=800，P是三角形内一点，使 PBC=100， PCB=200，求 PAB的度数。
3、如图所示，在矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，F 是BC 延长线上一点，并
且BE=CF 。
求证：AB ∥DF
A D
B E
C F
4、在正方形ABCD 内任取一点E 连结AE 、BE 、在三角形ABC 外分别以AE 、BE 为边作正方形AEMN 和EBFG ，连线NC 、AF ，求证：NC ∥AF 且NC=AF
5、等腰△ABC 中，∠,100 A ∠B 的平行线交AC 于D 。
求证：BD+AD=BC
6、以平行四边形ABCD 的对角线AC 为一边在其两侧各作一个
正△ACP 、正△ACQ 。
求证：四边形BPDQ 是平行四边形。
7、在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，过E 引EF ⊥AE 交∠C 的外角平分线于F 点，求证AE=EF
8、在四边形ABCD 中，AD=BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，连线MN 分别与AD 、BC 的延长线交于E 、F ，求证：∠AEM=∠EFN
六、求作题（只需写出作法与画出图形）
1、已知a 、b m 和a h ,求作△ABC 。
2、已知b m ，c h 和∠A=α，求作△ABC 。
3、已知边AB 所在的直线l ，又知二高AD 和BE 的垂足D 和E ，求作三角形ABC
七、轨迹探求（要求写出探轨迹索过程即可）
1、在长为a 的线段AB 上选一点M ，然后在AB 的同一例分别以AM 、MB 为边作正方形AMSD 和MBEF ，01，02分别为这两个正方形的中心，当M 在AB 之间变动时，确定0102的中点以轨迹
2、设P 、Q 为线段BC 上两定点且BP=CQ ，A 为BC 外一动点，当A 运动到使∠BAP=∠CAQ 时，△ABC 是什么三角形？使证明你的结论。