【师说】人教版高考数学文二轮数学文专项训练大题专项强化练九含解析

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《师说》2017届高考数学(文)二轮复习高考大题标准练(二)Word版含解析

高考大题标准练(二)满分75分，实战模拟，60分钟拿下高考客观题满分！姓名：________ 班级：________1．函数f (x )＝3sin ( 2x⎭⎫＋π6的部分图象如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．解：(1)f (x )的最小正周期为π.x 0＝7π6，y 0＝3. (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0. 于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3. 2．(2016·天津卷)已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，且1a 1－1a 2＝2a 3，S 6＝63. (1)求{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和．解：(1)设数列{a n }的公比为q .由已知，有1a 1－1a 1q ＝2a 1q 2，解得q ＝2或q ＝－1.又由S 6＝a 1·1－q 61－q＝63，知q ≠－1，所以a 1·1－261－2＝63，得a 1＝1. 所以a n ＝2n －1.(2)由题意，得b n ＝12(log 2a n ＋log 2a n ＋1) ＝12(log 22n －1＋log 22n )＝n －12，即{b n }是首项为12，公差为1的等差数列．设数列{(－1)n b 2n }的前n 项和为T n ，则T 2n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n＝2n (b 1＋b 2n )2＝2n 2. 3．(2015·北京卷)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种.(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2. (2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3. (3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．4．(2016·四川卷如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD . (1)在平面P AD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面P AB ，并说明理由；(2)证明：平面P AB ⊥平面PBD .(1)解：取棱AD 的中点M (M ∈平面P AD )，点M 即为所求的一个点．理由如下：连接CM ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AM ，且BC ＝AM .所以四边形AMCB 是平行四边形，所以CM ∥AB .又AB ⊂平面P AB ，CM ⊄平面P AB ，所以CM ∥平面P AB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点)(2)证明：由已知，P A ⊥AB ，P A ⊥CD ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交，所以P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥BD .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，M 为AD 的中点，连接BM ，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD ，所以四边形BCDM 是平行四边形，所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB . 又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面P AB .又BD ⊂平面PBD ，所以平面P AB ⊥平面PBD .5．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83. 又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165. 6．(2015·四川卷)已知函数f (x )＝－2x ln x ＋x 2－2ax ＋a 2，其中a >0.(1)设g (x )是f (x )的导函数，讨论g (x )的单调性；(2)证明：存在a ∈(0,1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．(1)解：由已知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，g (x )＝f ′(x )＝2(x －1－ln x －a )，所以g ′(x )＝2－2x ＝2(x －1)x. 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增．(2)证明：由f ′(x )＝2(x －1－ln x －a )＝0，解得a ＝x －1－ln x .令φ(x )＝－2x ln x ＋x 2－2x (x －1－ln x )＋(x －1－ln x )2＝(1＋ln x )2－2x ln x ，则φ(1)＝1>0，φ(e)＝2(2－e)<0.于是，存在x 0∈(1，e)，使得φ(x 0)＝0.令a 0＝x 0－1－ln x 0＝u (x 0)，其中u (x )＝x －1－ln x (x ≥1)．由u ′(x )＝1－1x≥0知，函数u (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．故0＝u (1)<a 0＝u (x 0)<u (e)＝e －2<1.即a 0∈(0,1)．当a ＝a 0时，有f ′(x 0)＝0，f (x 0)＝φ(x 0)＝0.再由(1)知，f ′(x )在区间(1，＋∞)上单调递增，当x ∈(1，x 0)时，f ′(x )<0，从而f (x )>f (x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0，从而f (x )>f (x 0)＝0；又当x ∈(0,1]时，f (x )＝(x －a 0)2－2x ln x >0.故x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥0.综上所述，存在a ∈(0,1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．。

【师说】高考数学文二轮复习高考大题标准练三含解析

高考大题标准练(三)满分75分，实战模拟，60分钟拿下高考客观题满分！姓名：________ 班级：________1．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos2x ) ＝3cos x sin x －12cos2x ＝32sin2x －12cos2x ＝cos π6sin2x －sin π6cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2π2＝π，即函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2， ∴－π6≤2x －π6≤5π6. 当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1. 当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (0)＝－12，当2x －π6＝56π，即x ＝π2时，f ⎝⎛⎭⎫π2＝12， ∴f (x )的最小值为－12. 因此，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是1，最小值是－12. 2．(2015·安徽卷)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由题设知a 1·a 4＝a 2·a 3＝8，又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1(舍去)．由a 4＝a 1q 3得公比为q ＝2，故a n ＝a 1q n －1＝2n －1.(2)S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2n －1，又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1S 1－1S 2＋⎝⎛⎭⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1. 3．(2015·湖南卷)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A 1，A 2和1个白球B 的甲箱与装有2个红球a 1，a 2和2个白球b 1，b 2的乙箱中，各随机摸出1个球．若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．解：(1)所有可能的摸出结果是{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 1，b 1}，{A 1，b 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，{A 2，b 1}，{A 2，b 2}，{B ，a 1}，{B ，a 2}，{B ，b 1}，{B ，b 2}．(2)不正确．理由如下：由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，共4种，所以中奖的概率为412＝13，不中奖的概率为1－13＝23>13，故这种说法不正确． 4.(2015·北京卷)如图，在三棱锥V －ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点．(1)求证：VB ∥平面MOC ；(2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ；(3)求三棱锥V －ABC 的体积．(1)解：因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点，所以OM ∥VB .又因为VB ⊄平面MOC ，OM ⊂平面MOC ，所以VB ∥平面MOC .(2)证明：因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点，所以OC ⊥AB .又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ，所以OC ⊥平面VAB .又因为OC ⊂面MOC .所以平面MOC ⊥平面VAB .(3)解：在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2，所以AB ＝2，OC ＝1，所以S △VAB ＝3，又因为OC ⊥平面VAB ，所以V C －VAB ＝13OC ·S △VAB ＝33. 又因为三棱锥V －ABC 的体积与三棱锥C －VAB 的体积相等，所以三棱锥V －ABC 的体积为33. 5．(2016·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a ＞3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1|OF |＋1|OA |＝3e |F A |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ＝∠MAO ，求直线l 的斜率．解：(1)设F (c,0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e |F A |，即1c ＋1a ＝3c a (a －c )，可得a 2－c 2＝3c 2. 又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4.所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －2)消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0.解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3. 由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k 4k 2＋3. 由(1)知，F (1,0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H )，BF →＝9－4k 24k 2＋3，12k 4k 2＋3. 由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k. 因此直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k 212k. 设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎨⎧ y ＝k (x －2)，y ＝－1k x ＋9－4k 212k 消去y ，解得x M ＝20k 2＋912(k 2＋1). 在△MAO 中，∠MOA ＝∠MAO ⇔|MA |＝|MO |，即(x M －2)2＋y 2M ＝x 2M ＋y 2M ，化简得x M ＝1，即20k 2＋912(k 2＋1)＝1，解得k ＝－64或k ＝64. 所以直线l 的斜率为－64或64. 6．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x . (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x ，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54. (2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln5.。

【师说】人教版高考数学文二轮数学文专项训练课时巩固过关练九含解析

(1)若OM＝，求PM的长；
(2)若点N在线段MQ上，且∠MON＝30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．
解：(1)在△OPQ中，∠OPQ＝45°，OM＝，OP＝2 ，由余弦定理得，OM2＝OP2＋PM2－2OP·PM·cos45°，得PM2－4PM＋3＝0，解得PM＝1或PM＝3.
答案：A
4．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝ b，则角A等于()
A. B.
C. D.
解析：由2asinB＝ b及正弦定理可得2sinAsinB＝ sinB，即sinA＝，结合0<A< 可知A＝ .
答案：D
5．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()
答案：A
二、填空题
8．(2016·江西吉安期中)在△ABC中，D为BC边上一点，若△ABD是等边三角形，且AC＝4 ，则△ADC的面积的最大值为__________．
解析：在△ACD中，cos∠ADC＝
＝＝－，整理得AD2＋CD2＝48－AD·DC≥2AD·DC，∴AD·DC≤16，当AD＝CD时等号成立，
解析：∵bcosC＋ccosB＝2b，由边角互化得sinBcosC＋sinCcosB＝2sinB，即sin(B＋C)＝2sinB，即sinA＝2sinB，∴a＝2b⇒ ＝2.
答案：2
三、解答题
11．(2016·江西高安段考)如图，在等腰直角三角形OPQ中，∠POQ＝90°，OP＝2 ，点M在线段PQ上．
A. B.
C. D.
解析：由题意得，－＝ sin2A－ sin2B，即 sin2A－ cos2A＝ sin2B－ cos2B，sin ＝sin ，由a≠b得A≠B，又A＋B∈(0，π)，∴2A－＋2B－＝π，即A＋B＝，∴C＝ .由c＝，sinA＝，＝得a＝，由a<c，得A<C，从而cosA＝，故sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝，∴△ABC的面积为S＝ acsinB＝ .

【师说系列】2021届高三数学二轮温习课时强化训练文(九)（含解析）(1)

【师说系列】2021届高三数学二轮温习课时强化训练文(九)（含解析）一、选择题1．(2021·东城检测)已知数列{an}为等差数列，其前n 项和为Sn ，假设a3＝6，S3＝12，那么公差d 等于( )A ．1 B.53C ．2D ．3 解析：依照已知，a1＋2d ＝6,3a1＋3d ＝12，解得d ＝2.答案：C2．(2021·武汉联考)已知数列{an}是等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，数列{an}的前n 项和为Sn ，那么使得Sn 取得最大时，n 的值为( )A ．18B ．19C ．20D ．21解析：a1＋a3＋a5＝105⇒a3＝35，a2＋a4＋a6＝99⇒a4＝33，那么数列{an}的公差d ＝33－35＝－2，a1＝a3－2d ＝39，Sn ＝－n2＋40n ，因此当Sn 取得最大值时，n ＝20.答案：C3．(2021·昆明检测)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ，假设a3＋a4＋a5＝12，那么S7的值为( )A ．28B ．42C ．56D ．14解析：设数列{an}的首项为a1，公差为d ，由a3＋a4＋a5＝12得a1＋2d ＋a1＋3d ＋a1＋4d ＝12，即3a1＋9d ＝12，化简得a1＋3d ＝4，故S7＝7a1＋7×62d ＝7(a1＋3d)＝7×4＝28. 答案：A4．(2021·长春调研)在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an －1anan ＋1＝324，那么n ＝( )A ．11B ．12C ．14D ．16解析：设数列{an}的公比为q ，由a1a2a3＝4＝a31q3与a4a5a6＝12＝a31q12可得q9＝3，an －1anan ＋1＝a31q3n －3＝324，因此q3n －6＝81＝34＝q36，因此n ＝14，应选C.答案：C5．(2021·山西诊断)正项等比数列{an}中，假设a2a18＝16，那么log2a10＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16解析：依题意得，a2a18＝a210＝16，又a10＞0，因此a10＝4，log2a10＝log24＝2，选A.答案：A6．(2021·辽宁联考)公比为q 的等比数列{an}的各项均为正数，且a2a12＝16，logqa10＝7，那么公比q ＝( ) A.12 B. 2 C ．2 D.22解析：∵a10＝a4q6＝q7，∴a4＝q ，又a2a12＝a4a10＝16，∴q8＝16，q2＝2，q ＝2，选B. 答案：B二、填空题7．(2021·广州调研)在数列{an}中，a1＝2,2an ＋1＝2an ＋1，那么a101＝__________.解析：由2an ＋1＝2an ＋1，得an ＋1－an ＝12，故数列{an}是首项为2，公差为12的等差数列，因此a101＝2＋100×12＝52. 答案：528．(2021·陕西检测)在等差数列{an}中，假设a13＝20，a20＝13，那么a2 013＝__________.解析：由题意知，等差数列{an}的公差d ＝13－2020－13＝－1，∴a2 013＝a20＋(2 013－20)d ＝13－1 993＝－1 980. 答案：－1 9809．(2021·惠州调研)在等比数列{an}中，a1＝1，公比q ＝2，假设{an}前n 项和Sn ＝127，那么n 的值为__________．解析：由题意知Sn ＝1－2n 1－2＝2n －1＝127，解得n ＝7. 答案：7三、解答题10．(2021·昆明检测)已知等比数列{an}的前n 项和为Sn ，a1＝23，且S2＋12a2＝1. (1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn ＝log3a2n 4，求数列{1bn·bn＋2}的前n 项和Tn. 解析：(1)设等比数列{an}的公比为q ，由题意得23＋23q ＋12·23q ＝1，即q ＝13，因此an ＝a1·qn－1＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝23n. (2)由(1)知bn ＝log3a2n 4＝log33－2n ＝－2n ，因此1bn·bn＋2＝12n·2n ＋2＝14·1n n ＋2＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， Tn ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋12－14＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2. 11．(2021·长对联考)已知等差数列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x2－14x ＋45＝0的两根，数列{bn}的前n 项和为Sn ，且Sn ＝1－bn 2(n ∈N*)． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)记cn ＝an ＋bn ，求数列{cn}的前n 项和Tn.解析：(1)设等差数列{an}的公差为d.∵a3，a5是方程x2－14x ＋45＝0的两根，且数列{an}的公差d ＞0，∴a3＝5，a5＝9，d ＝a5－a35－3＝2. ∴an ＝a5＋(n －5)d ＝2n －1.又当n ＝1时，有b1＝S1＝1－b12， ∴b1＝13. 当n≥2时，有bn ＝Sn －Sn －1＝12(bn －1－bn)， ∴bnbn －1＝13(n≥2)． ∴数列{bn}是以13为首项，13为公比的等比数列， ∴bn ＝13n. (2)由(1)知，cn ＝2n －1＋13n， ∵Tn ＝c1＋c2＋c3＋…＋cn ，∴Tn ＝n 1＋2n －12＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝n2＋1－13n 2＝n2－12·3n ＋12. 12．(2021·开封模拟)已知等差数列{an}，公差d ＞0，前n 项和为Sn ，且知足a2a3＝45，a1＋a4＝14.(1)求数列{an}的通项公式及前n 项和Sn ；(2)设bn ＝Sn n ＋c ，假设{bn}也是等差数列，试确信非零常数c ，并求数列{1bn·bn＋1}的前n 项和Tn. 解析：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a2a3＝45，a1＋a4＝a2＋a3＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a2＝5，a3＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a2＝9，a3＝5(舍去)， ∴an ＝4n －3，Sn ＝2n2－n.(2)由(1)知bn ＝2n2－n n ＋c. 数列{bn}是等差数列，那么2b2＝b1＋b3，即2·62＋c ＝11＋c ＋153＋c ，解得c ＝－12， ∴bn ＝2n.则1bn·bn＋1＝12n·2n ＋2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴Tn ＝1b1b2＋1b2b3＋…＋1bnbn ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 4n ＋1.。

2025版《师说》高中全程复习构想数学高考大题研究课二

题后师说
放缩法证明不等式
在证明不等式的时候，若直接证明比较困难，可将不等式中的部分项进行放大或缩小，然后证明放缩后的不等式成立，再根据不等式的传递性证明原不等式成立，这种方法就是放缩法证明不等式，常用的放缩技巧有：(1)ex≥x＋1； 2 ex−1 ≥x；(3)ln x≤x－1；(4)ln (x＋ 1)≤x等．
令g(a)＝a2－12－ln a(a＞0)，则g′(a)＝2a－1a＝2a2a−1，→正确构造新函数，求导得1分
令g′(a)＜0，则0＜a＜ 22；令g′(a)＞0，则a＞ 22；所以g(a)在(0， 22)
上单调递减，在( 22，＋∞)上单调递增，所以g(a)min＝g( 22)＝( 22)2－12
所以f(x)的单调递增区间为
1 e
，
+
∞
，
因为函数f(x)在(a，＋∞)上单调递增，所以(a，＋∞)⊆[1e，＋∞)，
所以a≥1e.故实数a的取值范围为[1e，＋∞)．
(2)证明：f(x)≥x2e1－x.
解析：证明：因为x>0，所以要证x ln x＋1≥x2e1－x，只需证明ln x＋1x≥xe1－x成立．
(2)证明：当a≥1时，f(x)≥0.
解析：证明：∵a≥1，∴aex－1≥ex－1， ∴f(x)≥ex－1－ln x－1. 令φ(x)＝ex－1－ln x－1(x＞0)， ∴φ′(x)＝ex－1－1x，令h(x)＝ex－1－1x， ∴h′(x)＝ex－1＋x12＞0， ∴φ′(x)在(0，＋∞)单调递增，又φ′(1)＝0， ∴当x∈(0，1)时，φ′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＞0， ∴φ(x)在(0，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增， ∴φ(x)min＝φ(1)＝0，∴φ(x)≥0，∴f(x)≥φ(x)≥0，即证得f(x)≥0.

【师说】人教版高考数学文二轮数学文专项训练高考大题标准练一含解析

高考大题标准练(一 )满分 75 分，实战模拟， 60 分钟拿下高考客观题满分！姓名：________ 班级： ________11．(2015 ·重庆卷 )已知函数 f(x)＝2sin2x－ 3cos2x.(1)求 f(x)的最小正周期和最小值；(2)将函数 f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到本来的两倍，纵坐标不变，获得π函数 g(x)的图象．当 x∈2，π时，求 g(x)的值域．1 2解： (1)f(x)＝2sin2x－3cos x1 3＝2sin2x－2 (1＋cos2x)1 3 3＝2sin2x－2 cos2x－2π3＝sin 2x－3－2，2＋ 3所以 f(x)的最小正周期为π，最小值为－.2π3(2)由条件可知： g(x)＝sin x－3－2 .πππ 2π当 x∈2，π时，有 x－3∈6，3，π1进而 sin x－3∈2，1 ，那么 sin x－π 3 1－ 3 2－ 3. 3－2∈2，2故 g(x)在区间π1－32－3 ，π上的值域是2，.2 22．(2016 ·新课标全国卷Ⅱ )等差数列 { a n} 中， a3＋ a4＝4，a5＋ a7＝6.(1)求{a n} 的通项公式；(2)设 b n＝ [a n] ，求数列 { b n} 的前 10 项和，此中 [x] 表示不超出 x 的最大整数，如[0.9] ＝0，[2.6] ＝2.解： (1)设数列 { a n } 的首项为 a1，公差为 d，a1＝，1 12a ＋5d＝ 4，由题意有解得 2a1＋5d＝3，d＝5. 所以n}的通项公式为a n＝2n＋3 .{a 52n＋ 3.(2)由(1)知， b n＝52n＋3当 n＝ 1,2,3 时， 1≤5 <2，b n＝ 1；2n＋3当 n＝ 4,5 时， 2≤5 <3，b n＝ 2；2n＋3当 n＝ 6,7,8 时， 3≤5 <4，b n＝ 3；2n＋3当 n＝ 9,10 时， 4≤<5，b n＝4.5所以数列 { b n} 的前 10 项和为 1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.3．(2016 ·新课标全国卷Ⅱ )某险种的基本保费为 a(单位：元 )，持续购置该险种的投保人称为续保人，续保人今年度的保费与其上年度出险次数的关系以下：上年度出险次0 1 2 3 4 ≥5数保费 a 2a随机检查了该险种的200 名续保人在一年内的出险状况，获得以下统计表：出险次数0 1 2 3 4 ≥5频数60 50 30 30 20 10(1)记 A 为事件：“一续保人今年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的预计值；(2)记 B 为事件：“一续保人今年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求 P(B)的预计值；(3)求续保人今年度均匀保费的预计值．解：(1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2.由所给数据知，一年内出险次数小于 2 的频次为60＋50＝，故200P(A)的预计值为0.55.(2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于 1 且小于 4 的频次为30＋ 30200＝，故P(B)的预计值为0.3.(3)由所给数据得保费a2a频次检查的 200 名续保人的均匀保费为×＋a×＋×＋×＋×＋ 2a×＝ 1.192 5a.所以，续保人今年度均匀保费的预计值为 1.192 5a.4．(2016 ·新课标全国卷Ⅲ )如图，四棱锥 P-ABCD 中， PA⊥底面 ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA ＝BC＝ 4， M 为线段 AD 上一点， AM＝2MD ，N 为 PC 的中点．(1)证明 MN∥平面 PAB；(2)求四周体 N-BCM 的体积．2(1)证明：由已知得 AM ＝3AD ＝2.如图，取 BP 的中点 T ，连结 AT ， TN ，由 N 为 PC 中点知 TN ∥BC ，1TN ＝2BC ＝ 2.又 AD ∥BC ，故 TN 綊 AM ，所以四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MN ∥AT.由于 AT? 平面 PAB ，MN?平面 PAB ，所以 MN ∥平面 PAB.(2)解：由于 PA ⊥平面 ABCD ， N 为 PC 的中点，1所以 N 到平面 ABCD 的距离为 2PA.如图，取 BC 的中点 E ，连结 AE.由 AB ＝ AC ＝ 3 得 AE ⊥BC ，AE ＝ AB 2－ BE 2＝ 5.由 AM ∥BC 得 M 到 BC 的距离为 5，△ 1×4× 5＝2 5.故 S BCM ＝2所以四周体的体积1 ×S △ × PA ＝ 4 5 N-BCM N-BCM ＝323 . V BCM25．(2015 ·新课标全国卷Ⅰ )已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C ： (x －2) ＋ (y －3)2＝1 交于 M ，N 两点．(1)求 k 的取值范围；→ →(2)若OM ·ON ＝ 12，此中 O 为坐标原点，求 |MN|. 解： (1)由题设，可知直线 l 的方程为 y ＝kx ＋ 1.|2k －3＋1|由于 l 与 C 交于两点，所以<1.21＋ k4－7 4＋7解得3 <k< 3 .所以 k 的取值范围为4－74＋7. 3 ， 3(2)设 M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．将 y ＝ kx ＋1 代入方程 (x － 2)2＋(y － 3)2＝ 1，2 2整理得 (1＋k )x －4(1＋k)x ＋7＝0.4 1＋ k7所以x1＋x2＝1＋k2，x1x2＝1＋k2.→→OM·ON＝ x1x2＋y1y2＝(1＋ k2)x1x2＋ k(x1＋x2)＋1 4k 1＋k＝1＋k2＋8.4k 1＋k由题设可得1＋k2＋8＝12，解得k＝1，所以 l 的方程为 y＝x＋1.故圆心 C 在 l 上，所以 |MN|＝2.6．(2016 ·新课标全国卷Ⅲ )设函数 f(x)＝ln x－ x＋ 1.(1)议论 f(x)的单一性；x－1(2)证明当 x∈ (1，＋∞ )时， 1< ln x <x；(3)设 c>1，证明当 x∈ (0,1)时， 1＋ (c－1)x>c x.1(1)解：由题设， f(x)的定义域为 (0，＋∞)， f′(x)＝x－1，令 f′(x)＝0，解得 x ＝1.当 0＜ x＜ 1 时， f′(x)＞ 0， f(x)单一递加；当 x＞ 1 时， f′(x)＜ 0， f(x)单一递减．(2)证明：由(1)知， f(x)在 x＝1 处获得最大值，最大值为 f(1)＝0.所以当 x≠1 时， ln x＜x－1.故当 x∈(1，＋∞)时， ln x＜x－1，1 1ln x＜x－1，x－ 1即 1＜ln x＜ x.(3)证明：由题设 c＞ 1，设 g(x)＝ 1＋ (c－1)x－c x，则 g′ (x)＝c－1－c x ln c.c－ 1lnln c令 g′ (x)＝0，解得 x0＝ln c .当 x＜ x0时， g′(x)＞0，g(x)单一递加；当 x＞ x0时， g′(x)＜0，g(x)单一递减．c－1由(2)知 1＜ln c＜c，故 0＜x0＜1.又 g(0)＝g(1)＝ 0，故当 0＜ x＜1 时， g(x)＞0.所以当 x∈(0,1)时， 1＋(c－ 1)x＞ c x.。

【师说】人教版高考数学文二轮数学文专项训练高考大题标准练五含解析

高考大题标准练 (五 )满分 75 分，实战模拟， 60 分钟拿下高考客观题满分！姓名：________ 班级： ________x x2 x1．(2015 ·福建卷 )已知函数 f(x)＝ 10 3sin 2cos 2＋10cos 2.(1)求函数 f(x)的最小正周期；π(2)将函数 f(x)的图象向右平移 6个单位长度，再向下平移 a(a ＞0)个单位长度后获取函数 g(x)的图象，且函数 g(x)的最大值为 2.①求函数 g(x)的分析式；②证明：存在无量多个互不同样的正整数 x 0，使得 g(x 0)＞0.x x 2x 解：由于 f(x)＝ 10 3sin 2cos 2＋ 10cos 2＝5 3sinx ＋5cosx ＋5π＝ 10sin x ＋ 6 ＋5，所以函数 f(x)的最小正周期 T ＝ 2 π.π(2)①将 f(x)的图象向右平移 6个单位长度后获取y ＝10sinx ＋ 5 的图象，再向下平移 a(a ＞0)个单位长度后获取 g(x)＝10sinx ＋5－a 的图象．已知函数 g(x)的最大值为 2，所以 10＋5－a ＝2，解得 a ＝13.所以 g(x)＝10sinx －8.②要证明存在无量多个互不同样的正整数x 0，使得 g(x 0)＞0，就是要证明存在无量多个互不同样的正整数x 0，使得 10sinx 0－48＞0，即 sinx 0＞5.4 3π4由5＜2 知，存在 0＜α0＜3，使得 sin α0＝ 5.4由正弦函数的性质可知，当x ∈(α0，π－α0)时，均有 sinx ＞5.由于 y ＝sinx 的最小正周期为2 π，4所以当 x ∈(2k π＋α0,2k π＋π－α0)(k ∈Z )时，均有 sinx ＞ 5.π由于对随意的整数 k ， (2k π＋π－ α0)－(2k π＋α0) ＝π－ 2α0＞3＞ 1，所以对随意的正整数 k ，都存在正整数 x k ∈ (2k π＋α0,2k π＋ π－ α0)，4使得 sinx k ＞5.亦即，存在无量多个互不同样的正整数 x 0，使得 g(x 0)＞0.2．已知 {a n } 是递加的等差数列， a 2，a 4 是方程 x 2 －5x ＋ 6＝ 0 的根．(1)求{a n } 的通项公式；a n(2)求数列 2n 的前 n 项和．解： (1)方程 x 2－5x ＋6＝0 的两根为 2,3，由题意得 a 2＝ 2，a 4＝3. 设数列 { a n } 的公差为 d ，则 a 4－a 2＝2d ，1 3故 d ＝ 2，从而 a 1＝2.1所以 {a n } 的通项公式为 a n ＝ 2n ＋1.a nnn ＋2(2)设2a2＋1，则的前 n 项和为 S ，由1)知 2＝n34n ＋1 n ＋ 2S n ＝22＋23＋＋ 2n＋n ＋1，21 3 4n ＋ 1 n ＋22S n ＝23＋ 24 ＋＋ 2n ＋1＋2n ＋2 .1311n ＋2两式相减得n ＝＋3＋＋ n 1 －n ＋22 2 ＋2S423 1 1 n ＋ 2＝4＋41－2n －1－ 2n ＋2 .n ＋4所以 S n ＝2－ n 1 .2 ＋3．(2016 ·北京卷 )某市居民用水拟推行阶梯水价，每人月用水量中不超出 w 立方米的部分按 4 元/立方米收费，高出 w 立方米的部分按 10 元 /立方米收费，从该市随机检查了 10000 位居民，获取了他们某月的用水量数据，整理获取如图频次散布直方图：(1)假如 w 为整数，那么依据此次检查，为使 80%以上居民在该月的用水价钱为 4 元/立方米， w 起码定为多少？(2)假定同组中的每个数据用该组区间的右端点值取代，当 w ＝ 3 时，预计该市居民该月的人均水费．解： (1)由频次散布直方图得：用水量在 [0.5,1)的频次为，用水量在 [1,1.5)的频次为，用水量在 [1.5,2)的频次为，用水量在 [2,2.5)的频次为，用水量在 [2.5,3)的频次为，用水量在 [3,3.5)的频次为，用水量在 [3.5,4)的频次为，用水量在 [4,4.5)的频次为，∵用水量小于等于 3 立方米的频次为85%，∴为使 80%以上居民在该用的用水价为 4 元 /立方米，∴w 起码定为 3 立方米．(2)当 w＝3 时，该市居民的人均水费为：×1＋×＋×2＋×＋×3)×4＋×3×4＋××10＋×3×4＋× 1× 10＋×3×4＋××10＝，∴当 w＝3 时，预计该市居民该月的人均水费为10.5 元．4．(2016 ·新课标全国卷Ⅰ )如图，已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形，PA＝6，极点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D，D 在平面 PAB 内的正投影为点 E，连结 PE 并延伸交 AB 于点 G.(1)证明： G 是 AB 的中点；(2)在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F(说明作法及原因 )，并求四周体PDEF 的体积．证明： (1)由于 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 AB⊥PD.由于 D 在平面 PAB 内的正投影为 E，所以 AB⊥DE. 由于 PD∩DE＝D，所以 AB⊥平面 PED，故 AB⊥ PG. 又由已知可得， PA＝PB，所以 G 是 AB 的中点．(2)解：在平面 PAB 内，过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F，F 即为 E 在平面PAC 内的正投影．原因以下：由已知可得 PB⊥PA，PB⊥ PC，又 EF∥PB，所以 EF⊥PA，EF⊥ PC. 又 PA∩PC＝ P，所以 EF⊥平面 PAC，即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影．连结 CG，由于 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 D 是正三角形 ABC 的中2心．由 (1)知， G 是 AB 的中点，所以 D 在 CG 上，故 CD＝3CG.2由题设可得 PC⊥平面 PAB，DE⊥平面 PAB，所以 DE∥PC，所以 PE＝3PG，1DE＝3PC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA＝ 6，可得 DE＝ 2， PE＝ 2 2.在等腰直角三角形EFP 中，可得 EF＝PF＝2，1 14 所以四周体 PDEF 的体积 V ＝3×2×2×2×2＝3.5．(2016 ·浙江卷 )如图，设抛物线 y 2＝2px(p>0)的焦点为 F ，抛物线上的点 A 到y 轴的距离等于 |AF|－ 1.(1)求 p 的值；(2)若直线 AF 交抛物线于另一点 B ，过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N ， AN 与 x 轴交于点 M ，求 M 的横坐标的取值范围．解： (1)由题意可得，抛物线上点 A 到焦点 F 的距离等于点 A 到直线 x ＝－ 1 的距离，p由抛物线的定义得 2＝ 1，即 p ＝2.2,2t)， t ≠0，t ≠±1.(2)由(1)得，抛物线方程为 y 2＝4x ，，可设A(tF(1,0)由于 AF 不垂直于 y 轴，可设直线 AF ：x ＝sy ＋ 1(s ≠ 0)，由y 2＝4x ，消去 x 得 y 2－4sy －4＝0，x ＝sy ＋11 2故 y 1y 2＝－ 4，所以 B t 2，－ t .又直线 AB 的斜率为 2t，故直线 FN 的斜率为－ t 2－ 12t ，t 2－ 1t 2－12t 2 ＋32 从而得直线 FN ：y ＝－2t (x －1)，直线 BN ： y ＝－ t ，所以 N ，－t.t 2 －12设 M(m,0)，由 A ， M ，N 三点共线得 22t2t ＋ t，＝2t －mt ＋3t 2－ 22t2t －1＝2＋ 2于是 m ＝ 22 ，t －1 t －1所以 m ＜0 或 m ＞2.经查验， m ＜ 0 或 m ＞2 知足题意．综上，点 M 的横坐标的取值范围是 (－∞， 0)∪(2，＋ ∞)．6．(2016 ·天津卷 )设函数 f(x)＝x 3－ ax －b ，x ∈R ，此中 a ，b ∈R .(1)求 f(x)的单一区间； 0，且 f(x 1 ＝，此中1≠x 0，求证： x 1＋2x 0＝0；(2) 若f(x) 存在极值点x )xf(x )1(3)设 a>0，函数 g(x)＝|f(x)|，求证： g(x)在区间 [－1，1]上的最大值不小于 . ．．．4解： (1)由 f(x)＝x 3－ax －b ，可得f ′ (x)＝ 3x 2－ a.下边分两种状况议论：①当 a ≤0 时，有 f ′(x)＝ 3x 2－ a ≥ 0 恒建立，所以 f(x)的单一递加区间为 (－∞，＋ ∞)．②当 a ＞0 时，令 f ′(x)＝ 0，解得 x ＝ 3a 3 或 x ＝－ 3a3 .当 x 变化时， f ′ (x)，f(x)的变化状况以下表：x3a3a3a3a 3a 3a－∞，－ 3－ 3－3，33 3 ，＋∞f ′ (x) ＋0 － 0＋ f(x) 单一递加极大值单一递减极小值单一递加所以 f(x)的单一递减区间为－3a 3a3a 3a 3 ， 3，单一递加区间为－∞，－ 3 ， 3 ，＋ ∞.(2)证明：由于 f(x)存在极值点，0≠0. 所以由 (1)知 a ＞0，且 x2 2 a由题意，得 f ′ (x )＝ 3x － a ＝ 0，即 x ＝ 3，从而30－＝－2a0)＝ x 0－x 0－b.f(xaxb38a2a又－3 0－＝－x 0＋ 0－＝－0)，且－f( 2x ＝－8x ＋－＝f(x2axb3 2ax b 3b2x 0≠x 0，由题意及 (1)知，存在独一实数 x 1 知足 f(x 1)＝f(x 0)，且 x 1 ≠x 0 ，所以 x 1＝－ 2x 0，所以 x 1＋ 2x 0＝ 0.(3)证明：设 g(x)在区间 [ －1,1]上的最大值为 M ， max{ x ，y} 表示 x ，y 两数的最大值．下边分三种状况议论：3a 3a①当 a ≥3 时，－ 3 ≤－1＜1≤ 3 ，由(1)知， f(x)在区间 [ －1,1]上单一递减，所以 f(x)在区间 [－1,1] 上的取值范围为 [f(1)，f(－ 1)]，所以 M ＝max{| f(1)|，|f(－1)|}＝ m ax{|1－a －b|， |－1＋a －b|}＝ m ax{| a －1＋b|， |a －1－b|}a －1＋b ，b ≥0，＝a －1－b ，b ＜0.所以 M ＝a －1＋|b|≥ 2.3 2 3a3a 3a 2 3a②当 4≤ a ＜ 3 时，－3 ≤－1＜－ 3 ＜ 3 ＜1≤3.2 3a 3a由(1)和(2)知 f(－1)≥f －3 ＝ f3 ，2 3a3af(1)≤f 3 ＝f － 3 ，所以 f(x)在区间 [－1,1] 上的取值范围为 f 3a ，f － 3a 3 3 ，3a 3a所以 M ＝maxf 3 ， f － 32a2a ＝max － 9 3a －b ， 9 3a － b2a 2a＝max 9 3a ＋ b ， 9 3a －b ＝ 2a 2 3 3 1 9 3a ＋|b|≥ × × 3×＝.9 4 4 4 3 2 3a 2 3a ③当 0＜a ＜4时，－ 1＜－ 3＜ 3 ＜1.2 3a3a由(1)和(2)知 f(－1)＜f －3 ＝ f 3 ，2 3a 3af(1)＞f3 ＝f － 3 ，所以 f(x)在区间 [－1,1] 上的取值范围为 [f(－1)， f(1)] ．所以 M ＝max{| f(－ 1)|，|f(1)|}＝ m ax{| －1＋ a － b|， |1－a －b|}＝ m ax{|1－a ＋b|， |1－a －b|}1＝1－a ＋|b|＞ 4.1综上所述，当 a ＞0 时， g(x)在区间 [－ 1， 1]上的最大值不小于 4.。

【师说】高考数学文二轮复习高考大题标准练七含解析

高考大题标准练(七)满分75分，实战模拟，60分钟拿下高考客观题满分！姓名：________ 班级：________1．(2015·新课标全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC .(1)求sin ∠B sin ∠C；(2)若∠BAC ＝60°，求∠B . 解：(1)利用正弦定理转化得：sin ∠Bsin ∠C ＝DC BD ＝12.(2)由诱导公式可得sin ∠C ＝sin(∠BAC ＋∠B )＝32cos ∠B ＋12sin ∠B .由(1)知2sin ∠B ＝sin ∠C ，所以tan ∠B ＝33，∠B ＝30°. 2．(2015·浙江卷)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1nb n ＝b n ＋1－1(n ∈N *)．(1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .解：(1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n (n ∈N *)．由题意知：当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2.当n ≥2时，1n b n ＝b n ＋1－b n ，整理得b n ＋1n ＋1＝b n n ，所以b n ＝n (n ∈N *)． (2)由(1)知a n b n ＝n ·2n ，因此T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ， 2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1，所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1.故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N *)．3．(2016·新课标全国卷Ⅲ)如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：∑i ＝17y i ＝9.32，∑i ＝17t i y i ＝40.17,i ＝17(y i －y )2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )i ＝1n (t i －t )2i ＝1n (y i －y )2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )i ＝1n (t i －t )2，a ^＝y －b ^t .解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据得 t ＝4，∑i ＝17(t i －t )2＝28,∑i ＝17(y i －y )2＝0.55，∑i ＝17(t i －t )(y i －y )＝∑i ＝17t i y i －t ∑i ＝17y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，r ≈2.892×2.646×0.55≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ^＝∑i ＝17(t i －t )(y i －y )∑i ＝17(t i －t )2＝2.8928≈0.103， a ^＝y －b ^t ≈1.331－0.103×4≈0.92. 所以，y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t . 将2016年对应的t ＝9代入回归方程得 y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨． 4．(2016·浙江卷)如图，在三棱台ABC -DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，AC ＝3.(1)求证：BF ⊥平面ACFD ；(2)求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值．证明：(1)延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示．因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC ⊥BC ，所以AC ⊥平面BCK ，因此，BF ⊥AC .又因为EF ∥BC ，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，所以△BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF ⊥CK .所以BF ⊥平面ACFD . (2)解：因为BF ⊥平面ACK ，所以∠BDF 是直线BD 与平面ACFD 所成的角．在Rt △BFD 中，BF ＝3，DF ＝32，得cos ∠BDF ＝217，所以直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值为217.5．(2016·新课标全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解：由题意知F ⎝⎛⎭⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝⎛⎭⎫a 22，a ，B ⎝⎛⎭⎫b 22，b ，P ⎝⎛⎭⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则 k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a ＝－b ＝k 2.所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2.由题设可得2×12|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)．而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D (1,0)重合．所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1. 6．(2016·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝(x ＋1)·ln x －a (x －1)． (1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0，求a 的取值范围．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)，f ′(x )＝ln x ＋1x－3，f ′(1)＝－2，f (1)＝0.故曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0. (2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0等价于ln x －a (x －1)x ＋1>0.设g (x )＝ln x －a (x －1)x ＋1，则g ′(x )＝1x －2a(x ＋1)2＝x 2＋2(1－a )x ＋1x (x ＋1)2，g (1)＝0.①当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1>0，故g ′(x )>0，g (x )在(1，＋∞)单调递增，因此g (x )>0；②当a >2时，令g ′(x )＝0得x 1＝a －1－(a －1)2－1，x 2＝a －1＋(a －1)2－1.由x 2>1和x 1x 2＝1得x 1<1，故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(1，x 2)单调递减，因此g (x )<0.综上，a 的取值范围是(－∞，2]．。

《师说》2017届人教版高考数学(文)二轮数学(文)专项训练高考小题标准练(九)Word版含解析

高考小题标准练(九)时间：40分钟分值：75分姓名：________ 班级：________ 一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数2＋i－i＝( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．－1＋2iD ．－1－2i解析：2＋i －i ＝(2＋i )·i －i·i＝2i ＋i 2＝2i －1.故选C.答案：C2．给出以下三个命题：①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0 ②在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ③在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．②③解析：对于命题①，其原命题和逆否命题为真，但逆命题和否命题为假；对于命题②，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为真；对于命题③，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为假．故选B.答案：B3．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－1B ．0 C.12 D ．1解析：由题设知，这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选D. 答案：D4．函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R .若f (x )≥1，则x 的取值范围为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z 解析：令3sin x －cos x ≥1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6≥12，解得2k π＋π3≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，故选B.答案：B5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ：sin B ：sin C ＝( )A ．4：3：2B ．5：6：7C ．5：4：3D ．6：5：4解析：由3b ＝20a cos A 及余弦定理得3b ＝20a ·b 2＋c 2－a 22bc ，化简得3b 2c ＝10a (b 2＋c 2－a 2)．又a ，b ，c 为连续的三个正整数，且A >B >C ，所以设a ＝m ＋1，b ＝m ，c ＝m －1.所以3m 2·(m －1)＝10(m ＋1)[m 2＋(m －1)2－(m ＋1)2]，解得m ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＝－87舍去.故a ＝6，b ＝5，c ＝4，由正弦定理得sin A ：sin B ：sin C ＝6：5：4，故选D.答案：D6．如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从5这点开始跳，则经2 009次跳后它停在的点所对应的数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5解析：按规则：从5开始经1次跳到达数2，经2次跳到达数1，经3次跳到达数3，经4次跳到达数5，…，故它是以4为周期．又2009＝4×502＋1，从而经过2009次跳后到达的数与第1次跳后到达的数是一样的，故对应的数为2.故选B.答案：B7．设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪m 2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R ，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }．若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2＋2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2＋1 D ．(0，2＋1] 解析：当m <0时，集合A 是以(2,0)为圆心、以|m |为半径的圆，集合B 是在两条平行线之间的部分，A ∩B ≠∅等价于点(2,0)到直线x ＋y ＝2m ＋1的距离不大于半径|m |，因为2－2m －12＋m ＝(1－2)m ＋22>0，A ∩B ＝∅，不符合题意；当m ＝0时，A ＝{(2,0)}，B ＝{(x ，y )|0≤x ＋y ≤1}，A ∩B ＝∅，不符合题意；当m >0时，集合A是以(2,0)为圆心、以m2和|m |为半径的圆环，集合B 是在两条平行线之间的部分，必有⎩⎪⎨⎪⎧|2－2m －1|2≥m ，|2－2m |2≤m ，解得2－2≤m ≤2＋2.又因为m 2≤m 2，所以12≤m ≤2＋2.故选B.答案：B8．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数．下面关于f (x )的判断：①f (x )是周期函数 ②f (x )的图象关于直线x ＝1对称 ③f (x )在[0,1]上是增函数 ④f (x )在[1,2]上是减函数 ⑤f (2)＝f (0)．其中正确判断的个数是( )A ．5B ．3C ．2D ．1解析：f (x ＋1)＝－f (x )＝f (x －1)＝f (1－x )，所以f (x )是周期为2的函数且图象关于直线x ＝1对称；偶函数f (x )在[－1,0]上是增函数，所以在[0,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数．所以①②⑤正确，故选B.答案：B9．异面直线l 与m 所成角为π3，异面直线l 与n 所成角为π4，则异面直线m 与n 所成角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π12 解析：平移直线l ，m 到同一平面，故当n 也在同一平面，且在l ，m 之间时，异面直线m 与n 所成的角最小，为π3－π4＝π12.再根据异面直线的性质知，异面直线m与n 所成的角的最大值为π2.所以异面直线m 与n 所成的角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2.故选A.答案：A10．已知P 是抛物线y 2＝4x 上一点，设点P 到此抛物线准线的距离为d 1，到直线x ＋2y ＋10＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A ．5B ．4 C.1155 D.115解析：点P 到抛物线准线的距离d 1等于点P 到焦点(1,0)的距离，所以d 1＋d 2的值等于焦点到点P 的距离加上从点P 到直线的距离，因此最小值是焦点到直线的距离，点P 是垂线段和抛物线的交点，即d 1＋d 2的最小值等于焦点到直线的距离115＝1155.故选C.答案：C二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱AA 1的中点．若截面△BC 1D 是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为__________．解析：由题意，设AB ＝a ，AA 1＝b .由12BD ·DC 1＝6可得a 2＋b 24＝12.由BC 2＋CC 21＝BC 21，得a 2＋b 2＝24，可得a ＝22，b ＝4，所以V ＝34×(22)2×4＝8 3. 答案：8 312．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，已知线段F 1F 2被点(b,0)分成51两段，则此双曲线的离心率为__________．解析：双曲线的焦点坐标为(c,0)，(－c,0)，则c ＋b ＝5(c －b )，所以b ＝23c .则e ＝c 2a 2＝c 2c 2－b 2＝355. 答案：355。

【师说】高考数学文二轮复习专题能力提升练练五含解析

五、立体几何小题强化练，练就速度和技能，掌握高考得分点！姓名：________班级：________一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a，b是两条不同的直线，且b⊂平面α，则“a⊥b”是“a⊥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若a⊥b，则a不一定垂直于α，故充分性不成立；若a⊥α，则a⊥b一定成立，故必要性成立，所以“a⊥b”是“a⊥α”的必要不充分条件，选B.答案：B2．下列正方体或四面体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四点不共面的一个图是()解析：通解：(利用“经过两条平行直线，有且只有一个平面”判断)对选项A，易判断PR∥SQ，故点P、Q、R、S共面；对选项B，易判断QR∥SP，故点P、Q、R、S共面；对选项C，易判断PQ∥SR，故点P、Q、R、S共面；而选项D中的RS、PQ为异面直线，故选D.优解：如图，可知选项A、B中的四点共面．对于选项C，易知可构成平行四边形．故选D.答案：D3．设a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是() A．若a、b与α所成的角相等，则a∥bB．若α⊥β，a∥α，则a⊥βC．若a⊥α，α∥β，则a⊥βD．若a∥α，b∥β，则a∥b解析：A中两条直线的位置关系不能确定，所以A错误；B中a与平面β的位置关系不确定，所以B错误；显然C正确；D中两条直线分别与两个平面平行，则两条直线的位置关系不确定，所以D错误，故选C.答案：C4．将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC进行翻折，使翻折后两部分所在的平面互相垂直，则翻折后形成的空间四面体ABCD的内切球的半径为()A.2－62 B.62－1C．1－22D．1解析：由题意可知翻折后形成的空间四面体ABCD 的体积为13×12×1×1×22＝212，表面积S ＝2×12×1×1＋2×34＝1＋32，设内切球的半径为r ，则13⎝⎛⎭⎫1＋32r ＝212，解得r ＝2－62，故选A. 答案：A5．已知在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝2，BC ＝23，∠BAC ＝π2，此三棱柱的各个顶点都在同一个球面上，则球的体积为( )A.32π3 B ．16π C.25π3 D.31π2解析：如图所示，∵在△ABC 中，∠BAC ＝π2，∴△ABC 的外心P 为BC 的中点，同理可得△A 1B 1C 1的外心Q 为B 1C 1的中点，连接PQ ，则PQ 与侧棱平行，∴PQ ⊥平面ABC ，再取PQ 的中点O ，可得点O 到A ，B ，C ，A 1，B 1，C 1的距离相等， ∴点O 是三棱柱ABC －A 1B 1C 1的外接球的球心．∵在Rt △OPB 中，BP ＝12BC ＝3，PO ＝12AA 1＝1，∴OB ＝BP 2＋PO 2＝2，即外接球半径R ＝2，∴三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球的体积V ＝43πR 3＝43π×23＝32π3，故选A.答案：A6．已知两条不同的直线l ，m 和两个不同的平面α，β，有如下命题：①若l ⊂α，m ⊂α，l ∥β，m ∥β，则α∥β ②若l ⊂α，l ∥β，α∩β＝m ，则l ∥m ③若α⊥β，l ⊥β，则l ∥α.其中正确命题的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0解析：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，所以①错误；若一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行，所以②正确；若α⊥β，l ⊥β，则l ∥α或l ⊂α，所以③错误．综上可知，选C.答案：C7．已知一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥的表面积和体积分别是( )A ．45，8B ．45，83C ．4(5＋1)，83D ．8,8解析：由题知该四棱锥为正四棱锥，如图，由该四棱锥的正视图可知，四棱锥的底面边长AB ＝2，高PO ＝2，则四棱锥的斜高PE ＝22＋12＝ 5.所以该四棱锥的表面积S ＝4＋4×12×2×5＝4(5＋1)，体积V ＝13×2×2×2＝83.故选C.答案：C8．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形和半圆构成，俯视图由圆与其内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A.42π3＋43B.82π3＋43 C.42π3＋2 D.82π3＋2 解析：由三视图可知，该几何体下面是半径为2的半球，上面是一个底面是腰为2的等腰直角三角形、高是2的三棱锥，其体积V ＝12×43π×(2)3＋13×12×2×2×2＝423π＋43，故选A.答案：A 9.如图，平面P AC ⊥平面ABC ，△P AC 是正三角形，∠CAB ＝90°，AB ＝2AC .则直线BC 与平面P AB 所成角的正弦值为( )A.8510 B ．－1510 C.1510 D ．－8510解析：∵AB ⊥AC ，且平面P AC ⊥平面ABC ， ∴AB ⊥平面P AC .取AP 的中点D ，连接CD ，DB ，则CD ⊥P A ，又AB ⊥CD ， ∴CD ⊥平面P AB ，则∠CBD 为所求线面角．设AC ＝1，则CD ＝32，AB ＝2，BC ＝5， ∴sin ∠CBD ＝CD BC ＝1510，即直线BC 与平面P AB 所成角的正弦值为1510.答案：C10．如图，已知四边形ABCD 为菱形，边长为2，且∠A ＝60°，E 为AB 的中点，现将四边形EBCD 沿DE 折起至EBHD ，使得平面EBHD ⊥平面ADE ，则四棱锥A －EBHD 的体积为( )A.32 B. 3 C.332D ．2 解析：因为∠A ＝60°，E 为AB 的中点，所以DE ⊥AB ，故翻折之后AE ⊥DE ，又平面EBHD ⊥平面ADE ，因此AE ⊥平面EBHD ，故V A －EBHD ＝13×S 四边形EBHD ×AE ＝13×(1＋2)×3×12×1＝32. 答案：A二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上) 11．若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为__________．(写出所有真命题的序号)①若直线m ⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m 平行的直线 ②若直线m ⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m 垂直 ③若直线m ⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m 垂直的直线 ④若直线m ⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m 垂直的直线．解析：对于①，若直线m ⊥α，若α、β互相垂直，则在平面β内，存在与直线m 平行的直线，故①错误；对于②，若直线m ⊥α，则直线m 垂直于平面α内的所有直线，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m 垂直，故②正确；对于③，若直线m ⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m 垂直的直线，故③错误，④正确．答案：②④12．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、M 分别是AB 、AD 、AA 1的中点，又P 、Q 分别在线段A 1B 1、A 1D 1上，且A 1P ＝A 1Q ＝x (0<x <1)．设平面MEF ∩平面MPQ ＝l ，现有下列结论：①l ∥平面ABCD ②l ⊥AC ③直线l 与平面BCC 1B 1不垂直 ④当x 变化时，l 不是定直线．其中不成立的结论是__________．(写出所有不成立结论的序号)解析：连接BD ，B 1D 1，∵A 1P ＝A 1Q ＝x ， ∴PQ ∥B 1D 1∥BD ∥EF ，易证PQ ∥平面MEF ，又平面MEF ∩平面MPQ ＝l ，∴PQ ∥l ，l ∥EF ， ∴l ∥平面ABCD ，故①成立；又EF ⊥AC ，∴l ⊥AC ，故②成立；∵l ∥EF ∥BD ，∴易知直线l 与平面BCC 1B 1不垂直，故③成立；当x 变化时，l 是过点M 且与直线EF 平行的定直线，故④不成立．答案：④13．已知底面边长为2，各侧面均为直角三角形的正三棱锥P －ABC 的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为________．解析：由题意知此正三棱锥的外接球即是相应的正方体的外接球，此正方体的体对角线长为1＋1＋1＝ 3.故外接球的直径是3，半径是32，故其表面积是4π×⎝⎛⎭⎫322＝3π.答案：3π14．已知三棱锥A －BCO ，OA ，OB ，OC 两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在△BCO 内运动(含边界)，则MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为__________．解析：连接OP ，无论M ，N 如何移动，△OMN 总是直角三角形，且MN ＝2，OP ＝1，故点P 的轨迹是以O 为球心的球面的18，故与三棱锥的面围成的几何体的体积为43π×18＝π6或36－π6.答案：π6或36－π615．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，动点P ，Q 分别在棱BC ，CC 1上，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，设BP ＝x ，CQ ＝y ，其中x ，y ∈[0,1]，则下列命题正确的是__________．(写出所有正确命题的序号)①当x ＝0时，S 为矩形，其面积的最大值为1 ②当x ＝y ＝12时，S 为等腰梯形 ③当x ＝12，y ＝34时，S 为六边形 ④当x ＝12，y ∈⎝⎛⎭⎫12，1时，设S 与棱C 1D 1的交点为R ，则RD 1＝2－1y.解析：当x ＝0时，S 为矩形，其最大面积为1×2＝2，①错误；当x ＝y ＝12时，截面如图(1)所示，②正确；当x ＝12，y ＝34时，截面如图(2)所示，③错误；当x ＝12，y ∈⎝⎛⎭⎫12，1时，如图(3)，延长DD 1与QR ，使DD 1∩QR ＝N ，连接AN 交A 1D 1于点T ，连接TR ，可得AN ∥PQ ，△PCQ ∽△ADN ，CP AD ＝QC DN ＝12，故DN ＝2y ，D 1N ＝2y －1.由△NRD 1∽△QRC 1，可得C 1R RD 1＝C 1Q D 1N ＝1－RD 1RD 1，可得RD 1＝2－1y ，④正确．综上可知正确命题的序号为②④.答案：②④。

【师说】人教版高考数学文二轮数学文专项训练高考大题标准练八含解析

高考大题标准练 (八 )分 75 分，模， 60 分拿下高考客分！姓名：________ 班： ________1．(2015 ·天津卷 )在△ ABC 中，内角 A ，B ，C 所的分a ，b ， c.已知△1ABC 的面 3 15，b －c ＝2，cosA ＝－ 4.(1) 求 a 和 sinC 的；(2) 求 cos 2A ＋ π6 的．解： (1)在△ABC 中，由 cosA ＝－1154，可得 sinA ＝ 4 .1由 S △ABC ＝2bcsinA ＝3 15，得 bc ＝ 24，又由 b －c ＝2，解得 b ＝6，c ＝4.由 a 2＝b 2＋ c 2－2bccosA ，可得 a ＝ 8.ac 15由 sinA ＝sinC ，得 sinC ＝ 8 .2A ＋ ππ π32－1(2)cos 6 ＝ · － · ＝ 2 (2cos A 1) － × 2sinA ·cosA ＝cos2A cos 6 sin2A sin 62 15－7 316 .2．(2015 ·湖南卷 ) 数列 { a n } 的前 n 和 S n .已知 a 1＝1，a 2＝ 2，且 a n ＋ 2＝ 3S n－ S n ＋ 1＋3，n ∈N * .(1) 明： a n ＋2＝3a n ； (2)求 S n .明： (1)由条件，随意 n ∈N * ，有 a n ＋2＝3S n － S n ＋1 ＋3，因此随意 n ∈N * ， n ≥ 2，有 a n ＋1＝3S n －1－S n ＋ 3.两式相减，得 a n ＋2－a n ＋1＝ 3a n － a n ＋ 1，即 a n ＋2＝3a n ，n ≥2.又 a 1＝1，a 2＝ 2，所以 a 3＝ 3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1.故全部 n ∈ N * ，a n ＋2＝3a n .a n ＋2(2)解：由 (1)知， a n ≠0，所以 a n ＝3.于是数列 { a 2n －1} 是首 a 1＝1，公比 3 的等比数列；数列 { a 2n } 是首 a 2＝2，公比 3 的等比数列．所以 a 2n －1＝3n －1，a 2n＝ 2× 3n－1.于是 S 2n ＝a 1 ＋a 2＋ ⋯＋a 2n ＝(a 1＋a 3＋⋯ ＋a 2n －1)＋ (a 2＋a 4 ＋⋯＋a 2n )＝ (1＋ 3＋ ⋯＋3n －1)＋ 2(1＋ 3＋ ⋯＋3n －1)3 3n － 1＝3(1＋3＋⋯ ＋3n －1)＝，2进而 S 2n －1 ＝S 2n －a 2n ＝3 3n －1－ 2× 3n －123n 2 ＝2(5×3 －－1)．综上所述，3n －32 5×3 2 －1 ，n 是奇数，S n ＝n 32 32－1 ， n 是偶数 .3．某高校共有学生 15 000 人，此中男生 10 500 人，女生 4 500 人，为检查该校学生每周均匀体育运动时间的状况，采纳分层抽样的方法，采集 300 位学生每周均匀体育运动时间的样本数据 (单位：小时 )．(1)应采集多少位女生的样本数据？(2)依据这 300 个样本数据，获得学生每周均匀体育运动时间的频次散布直方图(以下图 )，此中样本数据的分组区间为： [0,2] ，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周均匀体育运动时间超出4 小时的概率； (3)在样本数据中，有 60 位女生的每周均匀体育运动时间超出 4 小时，请达成每周均匀体育运动时间与性其他列联表，并判断能否有 95%的掌握以为“该校学生的每周均匀体育运动时间与性别相关”．n ad －bc 2附： K 2＝a ＋bc ＋d a ＋ c b ＋dP(K 2≥ k 0)0.100.050.010 0.005 k 0 2.7063.841 6.635 7.879解： (1)300× 4 500＝90，所以应采集 90 位女生的样本数据． 15 000(2)由频次散布直方图得 2× (0.150＋0.125＋ 0.075＋0.025)＝ 0.75，所以该校学生每周均匀体育运动时间超出4 个小时的概率的预计值为 0.75.(3)由(2)知，300 位学生中有 300×0.75＝225 人的每周均匀体育运动时间超出 4小时，75 人的每周均匀体育运动时间不超出4 小时．又由于样本数据中有 210 份是对于男生的， 90 份是对于女生的．所以每周均匀体育运动时间与性别列联表以下：每周均匀体育运动时间与性别列联表男生女生总计每周均匀体育运动时间不超出 4 小3075 时45每周均匀体育运动时间超出4 小时16560 225 总计210 90300联合列联表可算得K2的观察值300× 45×60－30× 1652100≈4.762＞3.841.k＝＝75× 225×210×9021所以在出错误的概率不超出 5%的前提下以为“该校学生的每周均匀体育运动时间与性别相关”．4．(2015 ·新课标全国卷Ⅰ )如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE⊥平面 ABCD.(1)证明：平面 AEC⊥平面 BED；6(2)若∠ ABC＝120°， AE⊥ EC，三棱锥 E－ACD 的体积为3，求该三棱锥的侧面积．证明： (1)由于四边形 ABCD 为菱形，所以 AC⊥BD.由于 BE⊥平面 ABCD，所以 AC⊥BE，又由于 BE∩BD＝B，故AC⊥平面 BED.又AC? 平面 AEC，所以平面 AEC⊥平面 BED.(2)解：设 AB＝ x，在菱形 ABCD 中，由∠ABC＝120°，可得3xAG＝GC＝2 x， GB＝GD＝2.由于 AE⊥EC，所以在 Rt△AEC 中，3可得 EG＝2 x.由 BE⊥平面 ABCD，知△EBG 为直角三角形，2可得 BE＝2 x.由已知得，三棱锥E－ACD 的体积1 1V E－ACD＝3×2AC·GD·BE36＝24x ＝3 .故 x＝ 2.6进而可得 AE＝ EC＝ ED＝ 6.所以△EAC 的面积为 3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5.故三棱锥 E－ ACD 的侧面积为 3＋ 2 5.5．(2015 ·北京卷 )已知椭圆 C： x2＋3y2＝3.过点 D(1,0)且可是点 E(2,1)的直线与椭圆 C 交于 A， B 两点，直线 AE 与直线 x＝ 3 交于点 M.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)若 AB 垂直于 x 轴，求直线 BM 的斜率；(3)试判断直线 BM 与直线 DE 的地点关系，并说明原因．2x 2解： (1)椭圆 C 的标准方程为 3 ＋ y ＝1.所以 a ＝ 3， b ＝ 1， c ＝ 2.c 6所以椭圆 C 的离心率 e ＝a ＝ 3 .(2)由于 AB 过点 D(1,0)且垂直于 x 轴，所以可设 A(1，y 1)， B(1，－ y 1)．直线 AE 的方程为 y －1＝(1－ y 1)(x － 2)．1)．令 x ＝ 3，得 M(3,2－ y2－y 1＋ 1所以直线 BM 的斜率 k BM ＝y＝1.3－ 1(3)直线 BM 与直线 DE 平行．证明以下：当直线 AB 的斜率不存在时，由 (2)可知 k BM ＝ 1.1－0又由于直线 DE 的斜率 k DE ＝＝1，所以 BM ∥DE.2－1当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为 y ＝k(x －1)(k ≠1)．y 1－1设 A(x 1，y 1)，B(x 2， y 2)，则直线 AE 的方程为 y －1＝(x －2)．x 1－2y 1＋x 1－ 3令＝，得点M 3，.x 31x － 2x2＋3y 2＝3，得(1＋3k 2)x 2－ 6k 2x ＋3k 2－3＝0.由y ＝k x －16k 22， x 1x 2＝3k 2－3所以 x 1＋x 2＝ 2.1＋ 3k 1＋3ky 1＋x 1－3－ y 2x 1 －2直线 BM 的斜率 k BM ＝ .3－x 2 由于 k BM －1＝k x 1－1 ＋x 1－3－k x 2－1 x 1－2 － 3－x 2 x 1－2 3－x 2 x 1－ 2k － 1 [－ x 1x 2＋2 x 1＋x 2 －3]＝3－ x 2 x 1－2 － 3k 2＋ 3 12k 2k －11＋3k 2＋1＋ 3k 2－3＝＝0，3－x 2 x 1－2所以 k BM ＝1＝k DE 所以∥. BM DE.综上可知，直线 BM 与直线 DE 平行．． ·四川卷函数 21 e∈ ，＝⋯f(x)＝ax － a － ln x ，g(x)＝－ x ，此中6 (2016 )x ea R e2.718自然数的底数．(1) f(x)的性； (2) 明：当 x>1 ， g(x)>0； (3) 确立 a 的全部可能取，使得 f(x)>g(x)在区 (1，＋∞ )内恒建立．1 ＝ 2ax 2－1 解： (1)由意得 f ′(x)＝2ax － x (x ＞0)． x当 a ≤ 0 ， f ′(x)＜ 0， f(x)在(0，＋ ∞)内减．1当 a ＞ 0 ，由 f ′ (x)＝0 有 x ＝ 2a ，1 当 x ∈0，2a ， f ′(x)＜0，f(x) 减；1当 x ∈ 2a ，＋ ∞ ， f ′(x)＞0， f(x) 增． (2) 明：令 s(x)＝ex －1－x ， s ′(x)＝ex －1－ 1.当 x ＞ 1 ， s ′(x)＞ 0，所以 ex －1＞x ，1 1进而g(x)＝x －e x －1＞0.(3)解：由 (2)知，当 x ＞1 ， g(x)＞0.当 a ≤ 0， x ＞ 1 ， f(x)＝a(x 2－ 1)－ln x ＜0. 故当 f(x)＞g(x)在区 (1，＋ ∞)内恒建立，必有 a ＞0.1 1当 0＜ a ＜ 2 ，＞1.2a1 1由(1)有 f 2a ＜f(1)＝ 0，而 g 2a ＞ 0，所以此 f(x)＞ g(x)在区 (1，＋ ∞ )内不恒建立．1当 a ≥2 ，令 h(x)＝f(x)－g(x)(x ≥ 1)．x 3－＋x 2－＋1 11 x1 1 12x 12x 1当 x ＞ 1 ，h ′(x)＝ 2ax － x ＋ x 2 －e －＞ x － x ＋ x 2 － x ＝x 2＞ x 2＞0.所以， h(x)在区 (1，＋ ∞)内增．又因 h(1)＝ 0，所以当 x ＞1 ， h(x)＝f(x)－g(x)＞0，即 f(x)＞g(x)恒建立．1上， a ∈ 2，＋ ∞ .。

【师说】人教版高考数学(文)二轮专题复习课件：2.5.1

二、重要公式 1．柱体、锥体、台体的侧面积公式： ①S 柱侧＝ch(c 为底面周长，h 为高) 1 ②S 锥侧＝2ch′(c 为底面周长，h′为斜高) 1 ③S 台侧＝ (c＋c′)h′(c′，c 分别为上、下底面的周ห้องสมุดไป่ตู้，h′为斜 2 高)
2．柱体、锥体、台体的体积公式 ①V 柱体＝Sh(S 为底面面积，h 为高) 1 ②V 锥体＝3Sh(S 为底面面积，h 为高) 1 ③V 台体＝3(S＋ SS′＋S′)· h 3．球的表面积和体积公式 ①S 球＝4πR2 4 3 ②V 球＝3πR
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( A．20 B．18 C．14＋2 3 D．14＋2 2
)
解析：由三视图可得该几何体的直观图如图所示，其为一个正方体截掉 4 个角后形成的几何体，故该几何体的表面积为 S＝2×2＋ 2 1 1 1 × 2＋4× ×2×2＋4× × 2× 22＋＝20.故选 A. 2 2 2
2．某几何体的三视图如图所示(单位：cm) ，则该几何体的体积是( ) A．8 cm3 B．12 cm3 32 40 3 C. cm D. cm3 3 3
解析：该几何体为正四棱柱和正四棱锥的组合体，所以其体积 V 1 2 32 3 ＝V 正四棱柱＋V 正四棱锥，故 V＝2 ＋3×2 ×2＝ 3 (cm3)．答案：C
高考巡航高考对本讲知识的考查主要有： (1)三视图几乎是每年的必考内容，一般以选择题、填空题的形式出现，一是考查相关的识图，由直观图判断三视图或由三视图想象直观图；二是以三视图为载体，考查面积、体积的计算等，均属低中档题． (2)空间几何体的表面积与体积的计算，通常以几何体为载体与球进行交汇考查，或蕴含在两几何体的“接”或“切”形态中，以小题形式出现，属低中档题.

【师说】人教版高考数学(文)二轮专题复习练习：高考大题标准练(六)

高考大题标准练(六)满分75分，实战模拟，60分钟拿下高考客观题满分！姓名：________ 班级：________1．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sinAsinC.(1)若a ＝b ，求cosB ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac. 又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c. 由余弦定理可得cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14.(2)由(1)知b 2＝2ac.因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2. 故a 2＋c 2＝2ac ，得c ＝a ＝ 2. 所以△ABC 的面积为1.2．设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n ∈N *，函数f(x)＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)x ＋a n ＋1cosx －a n ＋2sinx 满足f′⎝⎛⎭⎫π2＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2⎝⎛⎭⎫a n ＋12a n，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)由题设可得，f ′(x)＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sinx －a n ＋2·cosx. 对任意n ∈N *，f ′⎝⎛⎭⎫π2＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故{a n }为等差数列．由a 1＝2，a 2＋a 4＝8，解得{a n }的公差d ＝1，所以a n ＝2＋1·(n －1)＝n ＋1. (2)由b n ＝2⎝⎛⎭⎫a n ＋12a n＝2⎝⎛⎭⎫n ＋1＋12n ＋1＝2n ＋12n ＋2知，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋2·＋2＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝n 2＋3n ＋1－12n .3．(2015·新课标全国卷Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．A地区用户满意度评分的频率分布直方图B地区用户满意度评分的频数分布表分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；B地区用户满意度评分的频率分布直方图(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：解：(1)通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A 地区用户满意度评分的平均值；B 地区用户满意度评分比较集中，而A 地区用户满意度评分比较分散．(2)A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记C A 表示事件：“A 地区用户的满意度等级为不满意”；C B 表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P(C A )的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6， P(C B )的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大．4．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ；(2)求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值；(3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B.并求BDBC 1的值．解：(1)因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC.因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，所以AA 1⊥平面ABC.(2)由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB.由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC.如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ，则B(0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(4,0,4)．设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n·A 1B →＝0，n·A 1C 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0.令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3)．同理可得，平面B 1BC 1的一个法向量为m ＝(3,4,0)．所以cos 〈n ，m 〉＝n·m |n||m|＝1625.由题意知二面角A 1－BC 1－B 1为锐二面角，所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为1625.(3)设D(x ，y ，z)是直线BC 1上一点，且BD →＝λBC 1→. 所以(x ，y －3，z)＝λ(4，－3,4)．解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ. 所以AD →＝(4λ，3－3λ，4λ)．由AD →·A 1B →＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝925.因为925∈[0,1]，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B.此时，BD BC 1＝λ＝925.5．(2016·新课标全国卷Ⅱ)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.(1)当|AM|＝|AN|时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM|＝|AN|时，证明：3<k<2. 解：(1)设M(x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.又A(－2,0)，因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2. 将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0.解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127. 因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)证明：设直线AM 的方程为 y ＝k(x ＋2)(k>0)，代入x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0.由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k 2得x 1＝－4k 23＋4k 2，故|AM|＝|x 1＋2|1＋k 2＝121＋k 23＋4k 2.由题意，设直线AN 的方程为 y ＝－1k(x ＋2)，故同理可得|AN|＝12k 1＋k 23k 2＋4.由2|AM|＝|AN|得23＋4k 2＝k3k 2＋4，即4k 3－6k 2＋3k －8＝0.设f(t)＝4t 3－6t 2＋3t －8，则k 是f(t)的零点．f′(t)＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0，所以f(t)在(0，＋∞)内单调递增．又f(3)＝153－26<0，f(2)＝6>0，因此f(t)在(0，＋∞)内有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内，所以3<k<2.6．(2015·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝lnx ＋a(1－x)。

【师说】人教版高考数学(文)二轮专题复习练习：专题能力提升练(五)

专题能力提升练(五) 解析几何一、选择题(每小题5分)1．过点(5,2)且在y 轴上截距是x 轴上截距的2倍的直线方程是( ) A ．2x ＋y －12＝0 B ．5x －10y ＋12＝0C ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0D ．x －2y －9＝0或2x －5y ＝0解析：设直线在x 轴上截距为a ，则在y 轴上截距为2a ，若a ＝0，得直线方程是2x －5y ＝0；若a ≠0，则方程为x a ＋y2a ＝1，又直线过点(5,2)，得a ＝6，得直线方程是2x ＋y －12＝0.答案：C2．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则OA →·OB →的值是( )A ．－12 B.12 C ．－34 D.34解析：在△OAB 中，由|OA |＝|OB |＝1，|AB |＝3，可得∠AOB ＝120°，所以OA →·OB →＝1×1×cos120°＝－12.答案：A3．已知命题p ：4<r <7，命题q ：圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2(r >0)上恰好有2个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为圆心(3，－5)到直线4x －3y －2＝0的距离等于5，所以当圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2(r >0)上恰好有2个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1时，4<r <6.所以p 是q 的必要不充分条件．答案：B4．若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点M (a ，b )向圆所作的切线长的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：由题意知直线2ax ＋by ＋6＝0过圆心C (－1,2)，则a －b －3＝0，当点M (a ，b )到圆心的距离最小时，切线长最短，|MC |＝a ＋2＋b －2＝2a 2－8a ＋26，当a ＝2时最小，此时b ＝－1，切线长等于4.答案：C5．已知点A (－t,0)，B (t,0)，若圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝1上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则正数t 的取值范围是( )A ．[4,6]B ．[5,6]C ．[4,5]D ．[3,6]解析：圆C 上存在点P 使∠APB ＝90°，即圆C 与以AB 为直径的圆有公共点，所以32＋42－1≤t ≤32＋42＋1，即4≤t ≤6.答案：A6．已知方程x 2|m |－1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，32 B ．(1,2)C ．(－∞，0)∪(1,2)D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫1，32 解析：依题意得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|m |－1>02－m >02－m >|m |－1，解得m <－1或1<m <32.答案：D7．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为13，设椭圆与抛物线y 2＝4x 的交点P 到点F (1,0)的距离为52，则椭圆的标准方程为( )A.x 24＋y 23＝1B.x 25＋y 24＝1 C.x 25＋y 23＝1 D.x 29＋y 28＝1 解析：设P (x 0，y 0)，根据题意知x 0－(－1)＝52，所以x 0＝32，代入y 2＝4x ，得y 0＝±6，所以P ⎝⎛⎭⎫32，±6.由椭圆的焦点在x 轴上，可设椭圆方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧94a 2＋6b 2＝1c a ＝13a 2＝b 2＋c2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝22c ＝1，所以椭圆的标准方程为x 29＋y 28＝1.答案：D8．设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 且斜率为－1的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若A 为线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率e ＝( )A.10B.102C.103 D.52解析：由题意知，直线l 的方程为y ＝－(x －c )，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －c y ＝ba x ，得A ⎝⎛⎭⎫ac a ＋b ，bca ＋b ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －c y ＝－b a x ，得B ⎝⎛⎭⎫ac a －b ，－bc a －b ，因为A 为线段BF 的中点，所以2ac a ＋b ＝ac a －b＋c ，即b ＝3a ，所以e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋9＝10，所以e ＝10.答案：A9．已知抛物线y 2＝4x 的焦点F 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为P ，且PF 与x 轴垂直，则椭圆的离心率为( )A.3－ 2B.2－1C.12D.22解析：由于抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，结合题意得a 2－b 2＝1 ①，又由题意知P 点的坐标为P (1,2)，则1a 2＋4b 2＝1 ②.由①②得a 2＝3＋22，a ＝1＋2，e ＝c a ＝11＋2＝2－1，选B.答案：B10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0，a ≥4)的一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点F 重合，设抛物线的准线与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1相交于A ，B 两点，则△ABF 的面积的最小值为( )A ．4B ．6C ．8D ．12解析：由题意知，抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，准线为x ＝－2，所以c ＝2，a 2－b 2＝4.把x ＝－2代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y 2＝b 2⎝⎛⎭⎫1－4a 2，取A ⎝⎛⎭⎫－2，b1－4a 2，B ⎝⎛⎭⎫－2，－b 1－4a 2. 因为△ABF 的面积为 S ＝12×4×2b 1－4a 2＝4b 2⎝⎛⎭⎫1－4a 2 ＝a 2－a＝4a －16a，S ′＝4＋16a2>0，所以S 为增函数，因为a ≥4，所以S ≥12. 答案：D二、填空题(每小题5分)11．已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1(0<θ<π2)．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝__________.解析：圆心(0,0)到直线l 的距离为1，又圆O 的半径为5，所以圆上有4个点符合条件．答案：412．直线x －ky ＋1＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于两点A 、B ，则动弦AB 中点M 的轨迹方程是______________．解析：设动点M 的坐标为(x ，y )，易知直线恒过定点P (－1,0)，由垂径定理可得OM →⊥PM →，故OM →·PM →＝x (x ＋1)＋y 2＝0，即⎝⎛⎭⎫x ＋122＋y 2＝14. 答案：⎝⎛⎭⎫x ＋122＋y 2＝1413．两条互相垂直的直线2x ＋y ＋2＝0和ax ＋4y －2＝0的交点为P ，若圆C 过点P 和点M (－3，2)，且圆心C 在直线y ＝12x 上，则圆C 的标准方程为________________．解析：由2x ＋y ＋2＝0和ax ＋4y －2＝0垂直得2a ＋4＝0，故a ＝－2，代入直线方程，联立解得交点坐标为P (－1,0)，易求得线段MP 的垂直平分线l 的方程为x －y ＋3＝0.设圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，则圆心(a ，b )为直线l 和直线y ＝12x 的交点，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＝0y ＝12x，解得圆心C 的坐标为(－6，－3)，从而解得r 2＝34，所以圆C 的标准方程为(x ＋6)2＋(y ＋3)2＝34.答案：(x ＋6)2＋(y ＋3)2＝3414．过抛物线x 2＝4y 上一点M (x 0，y 0)(x 0>0)作抛物线的切线与抛物线的准线交于点N (x 1，y 1)，则x 0－x 1的最小值为__________．解析：由x 2＝4y ，得y ＝14x 2，则y ′＝12x ，抛物线的准线方程为y ＝－1.因为点M (x 0，y 0)是抛物线x 2＝4y 上一点，所以y 0＝14x 20，且过点M 的抛物线的切线的斜率k ＝12x 0，切线方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y －14x 20＝12x 0(x －x 0)，令y ＝－1，得x 1＝12x 0－2x 0，所以x 0－x 1＝12x 0＋2x 0≥2，所以x 0－x 1的最小值为2. 答案：215．在平面直角坐标系中，点P 为椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，则点P 到直线x －y ＋6＝0的最大距离为__________．解析：通解：设直线x －y ＋a ＝0与椭圆相切，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0x 23＋y 2＝1有唯一解，消去x ，得4y 2－2ay ＋a 2－3＝0，Δ＝4a 2－16(a 2－3)＝0，解得a ＝±2，所以直线x －y ±2＝0与椭圆相切，所以点P 到直线x －y ＋6＝0的最大距离为直线x －y －2＝0与直线x －y ＋6＝0间的距离，最大距离为82＝4 2. 优解：设P (x ，y )，则x 23＋y 2＝1，且P (x ，y )到直线x －y ＋6＝0的距离为d ＝|x －y ＋6|2.设⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α，则d ＝|3cos α－sin α＋6|2＝⎪⎪⎪⎪2⎝⎛⎭⎫32cos α－12sin α＋62＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＋62＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＋62≤82＝42，所以点P 到直线x －y ＋6＝0的最大距离为4 2. 答案：4 2三、解答题(第16,17,18,19题每题12分，第20题13分，第21题14分)16．过平面内M 点的光线经x 轴反射后与圆C ：x 2＋(y －2)2＝2相切于A ，B 两点． (1)若M 点的坐标为(5,1)，求反射光线所在直线的方程； (2)若|AB |＝3144，求动点M 的轨迹方程．解：(1)由光的反射原理知，反射光线所在直线必过点(5，－1)，设反射光线所在直线的斜率为k ，则此直线方程可以设为y ＋1＝k (x －5)，即kx －y －5k －1＝0(*)．又反射光线与圆C ：x 2＋(y －2)2＝2相切，所以|－2－5k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝－1或－723，代入(*)化简整理，得反射光线所在直线的方程为x ＋y －4＝0或7x ＋23y －12＝0.(2)设动点M 的坐标为(x ，y )(y ≥0)，则反射光线所在直线必过点M 关于x 轴的对称点Q (x ，－y )，设动弦AB 的中点为P ，则|AP |＝3148，故|CP |＝2－⎝⎛⎭⎫31482＝28.由射影定理|CP |·|CQ |＝|AC |2，得|CQ |＝228＝82，即x 2＋－y －2＝82，即x 2＋(y ＋2)2＝128(y ≥0)．17．已知直线l 1：mx －y ＝0，l 2：x ＋my －2m －2＝0.(1)证明：m 取任意实数时，l 1和l 2的交点总在一个定圆C 上； (2)直线AB 与(1)中的圆C 相交于A ，B 两点， ①若弦AB 被点P ⎝⎛⎭⎫12，12平分，求直线AB 的方程．②若直线AB 经过定点(2,3)，求使△ABC 的面积取得最大值时的直线AB 的方程．解：(1)设l 1和l 2的交点坐标为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＝0x ＋my －2m －2＝0，消去m 得，x 2＋y 2－2x －2y ＝0，即(x －1)2＋(y －1)2＝2，所以l 1和l 2的交点总在圆心坐标为(1,1)，半径为2的圆上． (2)①当弦AB 被点P ⎝⎛⎭⎫12，12平分时，CP ⊥AB ，因为k CP ＝1－121－12＝1，所以k AB ＝－1，由点斜式方程，得直线AB 的方程为y －12＝－⎝⎛⎭⎫x －12，即x ＋y －1＝0. ②当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x ＝2，可求得|AB |＝2，S △ABC ＝12×2×1＝1；当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y －3＝k (x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0，则圆心C 到直线AB 的距离d ＝|k －1＋3－2k |1＋k 2＝|2－k |1＋k 2，又S △ABC ＝12d ×22－d 2＝2d 2－d 4＝－d 2－2＋1，当d 2＝⎝⎛⎭⎪⎫|2－k |1＋k 22＝1，即k ＝34时，△ABC 面积取得最大值1，此时，直线AB 的方程为y －3＝34(x －2)，即3x －4y ＋6＝0.综上所求直线AB 的方程为x ＝2或3x －4y ＋6＝0.18．已知抛物线D 的顶点是椭圆x 24＋y 23＝1的中心，焦点与椭圆的右焦点重合．(1)求抛物线D 的方程；(2)已知动直线l 过点P (4,0)，交抛物线D 于A ，B 两点．是否存在垂直于x 轴的直线m 被以AP 为直径的圆M 所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m 的方程；如果不存在，说明理由．解：(1)由题意，可设抛物线D 的方程为y 2＝2px (p >0)．由4－3＝1，得抛物线的焦点为(1,0)，∴p ＝2.∴抛物线D 的方程为y 2＝4x . (2)设A (x 1，y 1)，假设存在直线m ：x ＝a 满足题意，则圆心M ⎝⎛⎭⎫x 1＋42，y 12，过M 作直线x ＝a 的垂线，垂足为E ，设直线m 与圆M 的一个交点为G .则|EG |2＝|MG |2－|ME |2，即|EG |2＝|MA |2－|ME |2＝x 1－2＋y 214－⎝⎛⎭⎫x 1＋42－a 2＝14y 21＋x 1－2－x 1＋24＋a (x 1＋4)－a 2＝x 1－4x 1＋a (x 1＋4)－a 2＝(a －3)x 1＋4a －a 2.当a ＝3时，|EG |2＝3，此时直线m 被以AP 为直径的圆M 所截得的弦长恒为定值2 3. 因此存在直线m ：x ＝3满足题意．19．已知双曲线G 的中心在原点，它的渐近线与圆x 2＋y 2－10x ＋20＝0相切．过点P (－4,0)作斜率为14的直线l ，使得直线l 和双曲线G 交于A ，B 两点，和y 轴交于点C ，并且点P在线段AB 上，|P A |·|PB |＝|PC |2.(1)求双曲线G 的方程；(2)椭圆S 的中心在原点，焦点在y 轴上，它的短轴是G 的实轴．如果S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，求椭圆S 的方程．解：(1)设双曲线G 的渐近线的方程为y ＝kx ，则由已知可得|5k |k 2＋1＝5，所以k ＝±12，即双曲线G 的渐近线的方程为y ＝±12x .设双曲线G 的方程为x 2－4y 2＝m ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x ＋x 2－4y 2＝m，得3x 2－8x －16－4m ＝0，则x A ＋x B ＝83，x A x B ＝－16＋4m 3.(*)因为|P A |·|PB |＝|PC |2，P ，A ，B ，C 共线且P 在线段AB 上，所以(x P －x A )(x B －x P )＝(x P －x C )2，整理得：4(x A ＋x B )＋x A x B ＋32＝0，将(*)代入上式，解得：m ＝28. 所以双曲线G 的方程为x 228－y 27＝1.(2)由题可设椭圆S 的方程为：x 228＋y 2a2＝1(a >27)，弦的两个端点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为Q (x 0，y 0)，由⎩⎨⎧x 2128＋y 21a 2＝1x 2228＋y 22a 2＝1，得x 1－x 2x 1＋x 228＋y 1－y 2y 1＋y 2a2＝0，因为y 1－y 2x 1－x 2＝－4，x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，所以x 028－4y 0a2＝0，所以S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹为直线x 28－4ya 2＝0截在椭圆S 内的部分．又这个轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，所以a 2112＝12，所以a 2＝56，椭圆S 的方程为x 228＋y 256＝1.20．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，且过点⎝⎛⎭⎫－3，12. (1)求椭圆C 的方程；(2)过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不是椭圆C 的顶点)．点D 在椭圆C 上，且AD ⊥AB ，直线BD 与x 轴交于点M ，在第一象限内是否存在A 点，使得AM 与椭圆相切？若存在，求出A 点的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由e ＝32，得a ＝2b ，把点⎝⎛⎭⎫－3，12代入椭圆方程可得：－324b 2＋⎝⎛⎭⎫122b 2＝1⇒b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)假设存在A (x 1，y 1)，(x 1>0，y 1>0)，则B (－x 1，－y 1)，直线AB 的斜率k AB ＝y 1x 1，又AB ⊥AD ，所以直线AD 的斜率k ＝－x 1y 1，设直线AD 的方程为y ＝kx ＋m ， D (x 2，y 2)，由题意知k ≠0，m ≠0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24＋y 2＝1，可得(1＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4m 2－4＝0. 所以x 1＋x 2＝－8mk 1＋4k 2，因此y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋4k 2，由题意知，x 1≠x 2，所以k BD ＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－14k ＝y 14x 1，所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)，令y ＝0，得x ＝3x 1，即M (3x 1,0)，可得k AM ＝－y 12x 1. 设过点A 的直线l ：y ＝tx ＋p 与椭圆相切，则把y ＝tx ＋p 代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4t 2)x 2＋8ptx ＋4p 2－4＝0有两个相等实根，所以Δ＝(8pt )2－4×4(p 2－1)(1＋4t 2)＝0，所以4t 2＝p 2－1.又方程的解为x 1，即x 1＝－4t p ，y 1＝1p ，所以t ＝－x 14y 1.若AM 是椭圆的切线，则－y 12x 1＝－x 14y 1，即x 21＝2y 21，又因为x 214＋y 21＝1，所以x 21＝43，y 21＝23，所以x 1＝233，y 1＝63，所以在第一象限内存在点A ⎝⎛⎭⎫233，63，使得AM 与椭圆相切． 21．(2016·浙江杭州一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，离心率e ＝223，且过点⎝⎛⎭⎫22，13. (1)求椭圆方程；(2)Rt △ABC 以A (0，b )为直角顶点，边AB ，BC 与椭圆交于B ，C 两点，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由e ＝223，即c a ＝223，又a 2－b 2＝c 2，得a ＝3b ，把点⎝⎛⎭⎫22，13代入椭圆方程可得229b 2＋⎝⎛⎭⎫132b 2＝1⇒b ＝1.所以椭圆方程为x 29＋y 2＝1.(2)由题意知AB ，BC 所在直线的斜率均存在，不妨设AB 的方程为y ＝kx ＋1，则AC 的方程为y ＝－1kx ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 29＋y 2＝1，得(1＋9k 2)x 2＋18kx ＝0⇒x B ＝－18k 1＋9k 2，将k 用－1k 代替，可得x C ＝18k 9＋k 2，从而有|AB |＝1＋k 2·18k 1＋9k 2， |AC |＝1＋1k 2·18k 9＋k2.于是S △ABC ＝12|AB ||AC |＝162×k ＋k 2＋9k 2＋k 2 ＝162×k ＋1k 9⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2＋82. 令t ＝k ＋1k≥2，有S △ABC ＝162t 9t 2＋64＝1629t ＋64t≤278，当且仅当t ＝83>2时取等号， (S △ABC )max ＝278.。

【师说】2017届高考数学(人教版文科)二轮专项训练：专题能力提升练(一)

A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
B．(－1,0)
C．(0,3)
D．(－1,3)
解析：因为函数f(x－3)的图象关于直线x＝3对称，所以函数f(x)的图象关于直线x＝0对称，所以函数f(x)是偶函数．因为在区间(0，＋∞)上，f′(x)同号，故函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调的，又f(3)>f(0)，所以函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增的．所以不等式f(x2－2x)<2 015可化为f(|x2－2x|)<f(3)，得|x2－2x|<3，解得－1<x<3.
A．－ B.
C. D．－
解析：通解：设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝x2＋x，又函数f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＝－ 2＋，所以当x<0时，函数f(x)的最大值为 .故选B.
优解：当x>0时，f(x)＝x2－x＝ 2－，最小值为－，因为函数f(x)为奇函数，所以当x<0时，函数f(x)的最大值为 .故选B.
专题能力提升练(一)函数
一、选择题(每小题5分)
1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()
A．y＝2 015exB．y＝sin2 015x
C．y＝－x2 015D．y＝log x
解析：令f(x)＝－x2 015，由f(－x)＝－(－x)2 015＝x2 015＝－f(x)，得y＝－x2 015为奇函数，又幂函数y＝x2 015为增函数，故y＝－x2 015是减函数，故选C.
答案：D
7．已知l1，l2是曲线C：y＝的两条互相平行的切线，则l1与l2的距离的最大值为()
A. B．2
C．2 D．4
解析：设第一象限的切点坐标为，根据曲线的对称性，曲线在第三象限的切点坐标为 .此时两条切线方程分别为y＝－ x＋，y＝－ x－，两直线之间的距离d＝＝ ≤ ＝2 ，当且仅当t＝1时等号成立．

高三数学二轮复习高考大题专攻练 9 解析几何(A组) 理新人教版(2021年整理)

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高考大题专攻练 9.解析几何（A组）大题集训练，练就慧眼和规范,占领高考制胜点！1.椭圆+=1(a>b〉0）的左右焦点分别为F1,F2，且离心率为,点P为椭圆上一动点，△F1PF2面积的最大值为.（1）求椭圆的方程。

（2）设椭圆的左顶点为A1,过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点,连结A1A,A1B并延长分别交直线x=4于P,Q两点，问·是否为定值？若是,求出此定值；若不是,请说明理由。

【解析】(1）已知椭圆的离心率为,不妨设c=t，a=2t，即b=t,其中t>0,又△F1PF2面积取最大值时，即点P为短轴端点，因此·2t·t=，解得t=1,则椭圆的方程为+=1。

（2）设直线AB的方程为x=ty+1，A（x1，y1）,B(x2，y2)联立可得（3t2+4)y2+6ty-9=0,则y1+y2=，y1y2=,直线AA1的方程为y=［x—（-2）]，直线BA1的方程为y=[x-(—2）],则P，Q，则=,=,则·=9+=+9=0，即·为定值0.2.已知点P在椭圆C:+=1(a〉b〉0）上，以P为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F2,且·=2,tan∠OPF2=，其中O为坐标原点.（1）求椭圆C的方程。

【师说系列】2021届高三数学二轮温习课时强化训练文(二)（含解析）(1)

【师说系列】2021届高三数学二轮温习课时强化训练文(二)（含解析）一、选择题1．(2021·山西诊断)假设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ f x －4，x ＞0，2x ＋13，x≤0，那么f(2 012)＝( )A.43B.53 C ．2 D.83 解析：依题意，f(2 012)＝f(4×502＋4)＝f(0)＝20＋13＝43，选A. 答案：A2．以下函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( )A ．y ＝cos 2x ，x ∈RB ．y ＝log2|x|，x ∈R 且x≠0C ．y ＝ex －e －x 2x ∈R D ．y ＝x3＋1，x ∈R解析：观看可知，只有A ，B 为偶函数，又y ＝cos2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2上是增函数，因此选B. 答案：B3．(2021·长春调研)已知函数f(x)＝x2＋x ＋1x2＋1，假设f(a)＝23，那么f(－a)＝( ) A.23 B ．－23C.43 D ．－43解析：依照题意，f(x)＝x2＋x ＋1x2＋1＝1＋x x2＋1，而h(x)＝x x2＋1是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－23＝43，应选C. 答案：C4．(2021·江西联考)已知函数f(x)＝x2－ln|x|x，那么函数y ＝f(x)的大致图象为( ) A. B. C. D.解析：依题意，①当x ＞0时，f′(x)＝2x －1－lnx x2＝2x3＋lnx －1x2，记g(x)＝2x3＋lnx －1，那么函数g(x)在(0，＋∞)上是增函数，注意到g(e －2)＝2e －6－3＜0，g(1)＝1＞0，函数g(x)在(e －2,1)上必存在唯一零点x0，e －2＜x0＜1，g(x0)＝0，当x ∈(0，x0)时，f′(x)＜0；当x ∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，即函数f(x)在(0，x0)上是减函数，在(x0，＋∞)上是增函数；②当x ＜0时，f(x)＝x2－ln －x x，f(－1)＝1＞0，结合各选项知，选A. 答案：A5．(2021·武汉联考)某天早晨，小明同窗生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温大体正常，可是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了．下面大致能反映出小明这一天(0时～24时)体温的转变情形的图是( )A. B. C. D.解析：由题意，早晨体温在上升，吃药后到12时体温下降至大体正常，下午又上升，然后又下降，只有C 选项符合．答案：C6．(2021·长春调研)设f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数，当n ∈N*时，f(n)∈N*，且f[f(n)]＝2n ＋1，那么( )A ．f(1)＝3，f(2)＝4B ．f(1)＝2，f(2)＝3C ．f(2)＝4，f(4)＝5D ．f(2)＝3，f(3)＝4解析：由f[f(n)]＝2n ＋1，得f[f(1)]＝3，f[f(2)]＝5.∵当n ∈N*时，f(n)∈N*，假设f(1)＝3，那么由f[f(1)]＝3得，f(3)＝3，与f(x)在(0，＋∞)上单调递增矛盾，应选项A 错；假设f(2)＝4，那么f(4)＝5,4＜f(3)＜5，与f(3)∈N*矛盾，应选项C 错；假设f(2)＝3，那么由f[f(2)]＝5得f(3)＝5，应选项D 错；选项B 正确．答案：B二、填空题7．(2021·广州调研)已知f(x)是奇函数，g(x)＝f(x)＋4，g(1)＝2，那么f(－1)的值是__________．解析：∵g(x)＝f(x)＋4，∴f(x)＝g(x)－4，又f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－g(1)＋4＝2.答案：28．(2021·惠州调研)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x2＋12a －2，x≤1，ax －a ，x ＞1，假设f(x)在(0，＋∞)上单调递增，那么实数a 的取值范围为__________．解析：由题意，得12＋12a －2≤0，那么a≤2，又f(x)＝ax －a(x ＞1)是增函数，故a ＞1，因此a 的取值范围为1＜a≤2.答案：1＜a≤29．(2021·辽宁联考)设函数f(x)的概念域为D ，若是存在正实数k ，使对任意x ∈D ，都有x ＋k ∈D ，且f(x ＋k)＞f(x)恒成立，那么称函数f(x)为D 上的“k 型增函数”．已知f(x)是概念在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f(x)＝|x －a|－2a ，假设f(x)为R 上的“2 013型增函数”，那么实数a 的取值范围是__________．解析：由题意得，当x ＞0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3a x≥a －x －a x ＜a . ①当a≥0时，函数f(x)的图象如图(1)所示，考虑极大值f(－a)＝2a ，令x －3a ＝2a ，得x ＝5a ，因此只需知足5a －(－a)＝6a ＜2 013，即0≤a＜6712；②当a ＜0时，函数f(x)的图象如图(2)所示，且f(x)为增函数，因为x ＋2 013＞x ，因此知足f(x ＋2 013)＞f(x)．综上可知，a ＜6712. 图(1)(2)答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，6712 三、解答题10．(2021·泰兴月考)已知函数f(x)＝log4(4x ＋1)＋kx(x ∈R)是偶函数．(1)求k 的值；(2)假设方程f(x)－m ＝0有解，求m 的取值范围．解析：(1)由函数f(x)＝log4(4x ＋1)＋kx(x ∈R)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)，∴log4(4x ＋1)＋kx ＝log4(4－x ＋1)－kx ，即log44x ＋14－x ＋1＝－2kx. ∴log44x ＝－2kx ，∴x ＝－2kx 对x ∈R 恒成立，∴k ＝－12. (2)由m ＝f(x)＝log4(4x ＋1)－12x ，得m ＝log44x ＋12x ＝log4⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋12x . ∵2x ＋12x ≥2，∴m≥12. 故要使方程f(x)－m ＝0有解，m 的取值范围为m≥12. 11．(2021·怀仁质检)已知函数f(x)＝1a －1x(a>0，x>0)． (1)判定函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性；(2)假设f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值．解析：(1)设x1>x2>0，那么x1－x2>0，x1x2>0，∵f(x1)－f(x2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x2＝1x2－1x1＝x1－x2x1x2>0， ∴f(x1)>f(x2)，因此，函数f(x)是在(0，＋∞)上的单调增函数．(2)由(1)可得f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1a －2＝12，f 2＝1a －12＝2，解得a ＝25. 12．(2021·济南调研)已知概念域为R 的函数f(x)＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数． (1)求a ，b 的值； (2)假设对任意的t ∈R ，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k 的取值范围．解析：(1)因为f(x)是奇函数，因此f(0)＝0，即b －1a ＋2＝0⇒b ＝1，∴f(x)＝1－2x a ＋2x ＋1. 又由f(1)＝－f(－1)知1－2a ＋4＝－1－12a ＋1⇒a ＝2. (2)方式一：由(1)知f(x)＝1－2x2＋2x ＋1，易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又因为f(x)是奇函数，从而不等式：f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k －2t2)，因f(x)为减函数，由上式推得：t2－2t>k －2t2.即对一切t ∈R 有：3t2－2t －k>0，从而判别式Δ＝4＋12k<0⇒k<－13.方式二：由(1)知f(x)＝1－2x2＋2x ＋1.又由题设条件得： 22222221211212<02222t t t k t t t k ---+-+--+++，即：(2212t k －＋＋2)(1－222t t －)＋(2212t t －＋＋2)(1－222t k －)<0，整理得2322t t k －－>1，因底数2>1，故：3t2－2t －k>0，上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0⇒k<－13.。