§1-3 信号的基本运算
信号与系统 §1.3 信号的基本运算
例1 平移与反转相结合
例2 平移与尺度变换相结合 例3 平移、反转、尺度变换相结合，正逆运算。
可以看出： 混合运算时，三种运算的次序可任意。但一定要
注意一切变换都是相对 t 而言。
通常，对正向运算，先平移，后反转和展缩不易 出错；对逆运算，反之。
▲
■
第9页
§1.3 信号的基本运算
两信号相加或相乘 信号的时间变换
➢ 反转 ➢ 平移 ➢ 尺度变换 信号的微分和积分
■
第1页
一、信号的加法和乘法
同一瞬时两信号对应值相加（相乘）。
sint
sint
t
t
sin8t sin8t 源自tsint sin8t
t
sint sin8t
t
t
▲
■
第2页
加法和乘法
•信号 f1 和信号 f2 的加法和乘法等于 同一瞬间信号的瞬时值相加或相乘
所构成的信号。
f (•) f1 • f2 •
f (•) f1 • f2 •
▲
■
第3页
离散序列相加、乘
例：已知序列
2, k 1
f1 (k )
3 , 6 ,
k k
0 1
0, k其他
2, f1 (k) f2 (k) 86,,
4, 0,
k 1 k 0 k 1 k 2 k其他
3, k 0
f2
如
f (2 t )
t → 2t 压缩
1
f(t)
1
-1 o 1
t
-2 o
2 t t → 0.5t 扩展
f (0.5 t ) 1
-4
o
4t
对于离散信号，由于 f (a k) 仅在为a k 为整数时才有意义， 进行尺 度变换时可能会使部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。
信号与系统基本概念
(1)
o t0
t
(t)(t
t0 )dt 0, (t
1 t0 )
31
冲激函数的性质
为了信号分析的需要，人们构造了 t 函数，它属于广 义函数。就时间 t 而言， t 可以当作时域连续信号处
理，因为它符合时域连续信号运算的某些规则。但由于
t 是一个广义函数，它有一些特殊的性质。
1．抽样性 2．奇偶性
41
系统方框图（基本元件）
1.加法器 e1t
r t
e1t r t
2.乘法器
e2 t e1 t
e2 t
e2t rt e1t e2 t
r t
rt e1t e2 t
3.微分器
et
d
r t
d
rt de(t)
dt
4.积分器
et
rt
t
r(t) e( )d
42
§1.6 线性时不变系统
线性系统与非线性系统
线性系统：指具有线性特性的系统。
线性:指均匀性，叠加性。
均匀性(齐次性)：
et rt ket krt
叠加性：
e1(t ) e2 (t )
r1 r2
(t) (t )
e1(t )
e2
(t)
r1(t )
r2
(t
)
43
判断方法
先线性运算，再经系统＝先经系统，再线性运算
若 HC1 f1t C2 f2t C1H f1t C2H f2t
(t)具有筛选f (t)在t 0处函数值的性质 (t t0 )具有筛选f (t)在t t0处函数值的性质 33
奇偶性
(t) (t)
•由定义2，矩形脉冲本身是偶函数，故极限
《信号与系统》课程讲义1-2
ii)抽样特性： (t ) f (t )dt f (0)
证明： (t ) f (t )dt ( ) f ( )d ( ) ( ) f 0 d f 0
iv)延时抽样： v)关系：
t t f t dt f (t )
1 t
-1 0 f(-t-2) 1 -3 -2 0 t 2 t
0 1
1 -1
2 3
f(-3t-2)
0
t
§1.3信号的运算
②已知f(t)定义域为[-1,4]，求f(-2t+5)的定义域 解：
i)方法一：f(t)→f(-t) [-4,1]；f(-t)→f(-t+5) [1,6]；
ii)方法二： 1 2t 5 4 6 2t 1
f (t ) f 1 ( t ) f 2 ( t )
§1.3信号的运算
7．信号相乘 ① f (t ) f1 (t ) f 2 (t )
②常用在调制解调中 8．卷积
f (t ) f1 (t ) f 2 (t )
f1 ( ) f 2 (t )d
9．相关
a
Ke at (a 0)
③特性：微积分后仍为指数信号
§1.2 信号描述分类和典型示例
2．正弦信号 ①表达式：
f (t ) K sin(t )
②参数：K振幅， 角频率， 初相位 f(t) ③特性 i)周期信号， 0 2 1 T f ii)微积分后仍为正弦信号
3 8
t
t
f(t)
t
0 ln 2 2 ln 2 3 ln 2
3
练习
第一章 信号与系统概论(2)
+∞
∫ (1 − x )δ (x )dx = ∫ δ (x )dx = u (t )
t t −∞ −∞
( t ∈ [t , t ]) ( t ∉ [t , t ])
1 2 1 2
6. 符号函数
定义
1 sgn(t) = 0 −1
(t > 0) (t = 0) (t < 0)
sgn(t) 1 0 -1
可用阶跃信号表示
sg ( t) = 2u(t) −1 n
信号的因果和反因果分解
任意信号 f (t ) 有因果反因果分解
at
1.指数信号
实际上，经常遇到的是因果指数衰减信号 因果指数衰减信号
2.正弦信号
正弦信号和余弦信号统称为正弦信号，一 般可表示为： f t = K sin ωt + φ 其中 K 为振幅， 是角频率，φ 称为初 2π 1 = 相位。正弦信号的周期 T = ， ω f 其中 f 是频率。 与指数信号相似，正弦信号对时间的微分 或积分仍是正弦信号
∫
t
−∞
δ (τ ) d τ = u ( t )
d dt
u (t ) = δ (t )
∫
+∞ −∞
δ ( t − t 0 ) f ( t ) dt =
∞ −∞
=
∫
f ( t 0 )δ ( t − t 0 ) dt = f ( t 0 )
相乘
f (t )δ (t − t0 ) = f (t0 )δ (t − t0 )
冲激函数的检零性质
当冲激函数应用于非线性函数时，具有 应用于非线性函数时， 应用于非线性函数时 检测其零点，并反映其导数的性质。 检测其零点，并反映其导数的性质 由于函数在其零点 t i ，i=1, 2, …, n 有 f t i = 0 ，使得在其零点领域，有
信号与系统第一章
f(t)
1 延时
-1 0 1 t
(a)
f(t+1)
1
-2 -1 0 t
(b)
反褶
f(1-2t)
1
0 1t
(d)
尺度变换
f(1-t)
1
012
t
(c)
例1：已知信号波形如图(a)所示，试画出f(1-2t)的波形。
2)反褶，时延，尺度变换 f(t)
1
f(-t)
1
-1 0 1 t
(a)
-1 0 1 t
(b)
离散系统频响、稳定性
第十一章：状态变量分析法 4学时 由IO建立状态方程 状态方程的复频域解
讲课内容：第1~8章、第11章1~5节
如何学好这门课？ 1、理解并掌握概念 如调制解调、全通系统等 2、掌握基本分析方法
时域法 拉普拉斯变换法 z变换法等 3、会证明并记住某些公式
第一章 绪论
重点内容： １、信号的定义、分类及运算 ２、系统的定义、分类及特性
信号与线性系统
参考文献： 1、《信号与系统》Alan V.Oppenheim等著， •刘树堂译，西安交通大学出版社 2、《信号与系统》郑君里、杨为理、应启珩编， 高等教育出版社
3、《信号分析与处理》芮坤生、潘孟贤、丁志中编， 高等教育出版社 4、《信号与系统》何子述编， 高等教育出版社
课程要求
考核要求： 平时10%，期中（闭卷）30 % ，期末（闭卷）60% 平时成绩： 课堂作业和课外作业（按章节内容上交）
(d)
例1：已知信号波形如图(a)所示，试画出f(1-2t)的波形。
4)尺度变换，时延，反褶
f(t)
1
f(2t)
1
f(1+2t)
信号与系统_第1章
起。
■
泰山学院物理与电子工程学院 第1-7页
信号与系统 电子教案
1.1 绪论
三、信号与系统的联系
输入信号 输出信号
系统
激励
响应
系统的基本作用：对输入信号进行加工和处理， 将其转换为所需要的输出信号。
信号分析 描述 特性 运算 交换
■
系统分析
模型 描述 响应
泰山学院物理与电子工程学院 第1-8页
信号与系统 电子教案
信号与系统 电子教案
§1.3 信号的基本运算
三种运算的次序可 任意，但注意始终 对时间 t 进行。 f (t - 4)
例1 已知f (t)，画出 f (– 4 – 2t)。
f(t) 1 -2 o 2 t
右移4，得f (t – 4)
o
1 2 4 6 t
压缩
f (-2t - 4) 1 -3 -1 o t
p lim
N def N 1 2 f (k ) 2 N 1 k N
■
泰山学院物理与电子工程学院 第1-20页
信号与系统 电子教案
小结
1、信号与系统的有关概念和关系； 2、信号的两种描述方法； 3、信号的分类： （1）信号周期性的判断及确定周期； （2）能量信号和功率信号的判断。
信号与系统 电子教案
1.2 信号的描述和分类
二、信号的分类
确定信号与随机信号
连续信号与离散信号
周期信号与非周期信号
实信号和复信号
能量信号与功率信号
（一维信号和多维信号）
按 本 书 研 究 问 题 分 类
■
泰山学院物理与电子工程学院 第1-10页
信号与系统 电子教案
1.2 信号的描述和分类
第一章 信号与系统分析讲解
2. 连续系统与离散系统
当系统的激励是连续信号时,若响应也是连续信号,则 称其为连续系统。
当系统的激励是离散信号时,若其响应也是离散信号, 则称其为离散系统。
连续系统与离散系统常组合使用,可称为混合系统。
f(k) = f(k + mN)，m = 0,±1,±2,… 满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。 不具有周期性的信号称为非周期信号。
例1 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周 期。1）f1(t) = sin2t + cos3t ；2）f2(t) = cos2t + sinπt 解：
(t t1)(t)dt (t1)
冲激偶信号 对冲激信号δ(t)求时间导数，得到一个新的奇
异信号，即冲激偶信号，其表示式为：
'(t) d (t)
′(t)
dt
冲激偶的广义函数定义
0
t
'(t) f (t)dt f '(0)
冲激函数高阶导数的广义函数定义：
1. 确定信号和随机信号 可以用确定时间函数表示的信号，称为确定信号或
规则信号，如正弦信号。
若信号在任意时刻的取值都具有不确定性，只能知 道它的统计特性，不能用确切的函数描述，这类信号 称为随机信号或不确定信号。
本课程只讨论确定信号。
f (t)
2
1 4
－ 4 － 3 － 2－ 1 0 1 2 3
t
将对应某序号m的序列值称为第m个样点的“样值”。
3. 周期信号和非周期信号
周期信号(period signal)是定义在(-∞，∞)区间，每 隔一定时间T (或整数N），按相同规律重复变化的信 号。 连续周期信号f(t) ：
§1-3 信号的基本运算
1 1
x(n 2)
1
x(n 2)
2 1
0 1 2 3 4 5
n
2 1
0 1 2 3 4 5 6 7
n
4 3 2 1
0 1 2 3
n
2、反褶：a=-1，b=0: x(t ) x(t ) , x(n) x(n)
x(t )
1 1
x ( t )
1
x(n)
x(t )
1 1
x(t 1)
1
x (2t )
1
0
1
2
t
2 1
0
1
2
t
1
0
1
2
t
x(1 t )
1 1
x(2t )
1
0
1
2
t
1
0
1
2
t
x(1 2t )
1 1
x(1 2t )
1
0
1
2
t
1
0
1
2
t
二、信号的加减与相乘：
两信号相加减或相乘，是两信号在同一时刻的函数值 相加减或相乘，形成新的时间信号。例如：
1
a 1
1 2
2 1
0
3
4
t
离散时间信号没有与连续时间信号一样意义的 展缩运算，但当a为一整数时，也相当于时域压缩:
x(n) x(an)
a 1
2 1
x(2n) y(n)
3
x(n)
3
2 1
3 2 1
称作减采样
0 1 2 3 4 5
n
3 2 1
0 1 2 3 4 5
信号与系统 总结
解： （1） yzs(t) = 2 f (t) +1， yzi(t) = 3 x(0) + 1
显然， y (t) ≠ yzs(t) ＋ yzi(t) 不满足可分解性，故为非线性
（2） yzs(t) = | f (t)|， yzi(t) = 2 x(0)
y (t) = yzs(t) + yzi(t) 满足可分解性；
两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其 周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周 期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。
例: 判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。 （1）f1(k) = sin (3πk/4) + cos (0.5πk) （2）f2(k) = sin (2k)
δ(5t)(t 2)2 dt ? 4
5
f(5－2t)
f(t) (4)
例: 已知信号f (5 2t)的波形，
(2)
请画出f (t)的波形。
t 0 123
-1 0 1 2 3
第 11 页
1.5 系统的特性与分类
连续系统与离散系统：分别用微分方程与差分方程来描述 动态系统与即时系统：动态系统也称为记忆系统 线性系统与非线性系统：齐次性和可加性
求导
(2) -1
f '(t)
1t 0 (-2)
第8 页
1.4 阶跃函数和冲激函数
冲激函数的性质（习题1.10）
取样性
δ(t) f (t) f (0) δ(t)
δ(t) f (t) d t f (0)
f (t) δ(t t 0) f (t0 ) δ(t t 0)
信号与系统教材要点
第一章 信号与系统§ 信号因果系统：响应（零状态响应）不出现于激励之前的系统为因果系统。
更确切的说，因果系统：对任意时刻0t 或0k （一般可选00t =或00k =）和任意输入()f •，如果0()0f t t •=<，（或0k k <），若其零状态响应{}0()[0,()]0,zs y T f t t •=•=<（或0k k <）就称该系统为因果系统。
因果信号：借用“因果”一词，常把0t =时接入的信号（即在0,()0t f t <=的信号）称为因果信号或有始信号。
连续时间信号的周期求解例 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。
（1）1()sin 2cos3f t t t =+ （2）2()cos 2sin f t t t π=+分析：两个周期信号()x t ，()y t 的周期分别为1T 和2T ，若其周期之比12/T T 为有理数，则其和信号()()x t y t +仍然是周期信号，其周期为1T 和2T 的最小公倍数。
解：（1）sin 2t 是周期信号，其角频率和周期分别为 12/rad s ω=，112/T s πωπ==cos3t 是周期信号，其角频率和周期分别为23/rad s ω=，222/(2/3)T s πωπ==由于 12/3/2T T =为有理数，故1()f t 为周期信号，其周期为1T 和2T 的最小公倍数2π。
（2）cos2t 和sin t π的周期分别为1T s π=，22T s =，由于12/T T 为无理数，故2()f t 为非周期信号。
离散周期信号举例例 判断正弦序列f (k ) = sin(βk )是否为周期信号，若是，确定其周期。
解：2()sin()sin(2)sin[()]f k k k m k mπββπββ==+=+sin[()]k mN β=+ 0,1,2,m =±±•••式中β称为数字角频率，单位：rad 。
信号的基本运算和波形变换
信号的基本运算和波形变换一、实验目的1.掌握用matlab软件产生基本信号的方法.2.应用matlab软件实现信号的加、减、乘、反褶、移位、尺度变换及卷积运算。
二、实验原理(一)产生信号波形的方法利用Matlab软件的信号处理工具箱(Signal Processing Toolbox)中的专用函数产生信号并绘出波形。
a.产生正弦波t=0:0.01:3*pi;y=sin(2*t);plot(t,y)b.产生叠加随机噪声的正弦波t=0:0.01:3*pi;y=10*sin(2*t);s=y+randn(size(t));plot(t,s)c. 产生周期方波t=0:0.01:1;y=square(4*pi*t);plot(t,y)d. 产生周期锯齿波t=(0:0.001:2.5);y=sawtooth(2*pi*30*t);plot(t,y),axis([0 0.2 -1 1])e.产生Sinc函数x=linspace(-5,5);y=sinc(x);plot(x,y)f.产生指数函数波形x=linspace(0,1,100);y=exp(-x);plot(x,y)(二)信号的运算1.加(减)、乘运算要求二个信号序列长度相同.例t=0:0.01:2;f1=exp(-3*t);f2=0.2*sin(4*pi*t);f3=f1+f2;f4=f1.*f2;subplot(2,2,1);plot(t,f1);title('f1(t)');subplot(2,2,2);plot(t,f2);title('f2(t)');subplot(2,2,3);plot(t,f3);title('f1+f2');subplot(2,2,4);plot(t,f4);title('f1*f2');2.用matlab的符号函数实现信号的反褶、移位、尺度变换.由f(t)到f(-at+b)(a>0)步骤:b)at f(b)f(at b)f(t f(t)反褶尺度移位+-−−→−+−−→−+−−→−例:已知f(t)=sin(t)/t,试通过反褶、移位、尺度变换由f(t)的波形得到f(-2t+3) 的波形. syms t;f=sym('sin(t)/t'); %定义符号函数f(t)=sin(t)/tf1=subs(f,t,t+3); %对f 进行移位f2=subs(f1,t,2*t); %对f1进行尺度变换f3=subs(f2,t,-t); %对f2进行反褶subplot(2,2,1);ezplot(f,[-8,8]);grid on;% ezplot 是符号函数绘图命令subplot(2,2,2);ezplot(f1,[-8,8]);grid on;subplot(2,2,3);ezplot(f2,[-8,8]);grid on;subplot(2,2,4);ezplot(f3,[-8,8]);grid on;(注:也可用一条指令:subs(f,t,-2*t+3)实现f(t)到f(-2t+3)的变换)(三) 卷积运算Y=conv(x,h)实现x,h 二个序列的卷积,假定都是从n=0开始.Y 序列的长度为x,h 序列的长度之和再减1.1、二个方波信号的卷积.y1=[ones(1,20),zeros(1,20)];y2=[ones(1,10),zeros(1,20)];y=conv(y1,y2);n1=1:length(y1);n2=1:length(y2);L=length(y)subplot(3,1,1);plot(n1,y1);axis([1,L,0,2]);subplot(3,1,2);plot(n2,y2);axis([1,L,0,2]);n=1:L;subplot(3,1,3);plot(n,y);axis([1,L,0,20]);2、二个指数信号的卷积.t=0:0.01:1;y1=exp(-6*t);y2=exp(-3*t);y=conv(y1,y2);l1=length(y1)l2=length(y2)l=length(y)subplot(3,1,1);plot(t,y1);subplot(3,1,2);plot(t,y2);t1=0:0.01:2;subplot(3,1,3);plot(t1,y);三、实验内容1. 自选二个简单的信号,进行加、乘、卷积运算.2. 自选一个简单的信号进行反褶、平移、尺度变换运算.四、实验要求1.预习实验原理;2.对实验内容编写程序(M 文件),上机运行;3.绘出运算或变换后信号的波形.五、思考题1. Matlab 的仿真特点2. conv 卷积的函数实现与理论值之间的关系。
信号基本运算(尺度变换,卷积等)
o 123
n
hn
1
o 123 n
hn m
a m um
hn m
a m um
o 123
m
n0
o 123
m
n 1
y(n) u(n) n αm 1 αn1 un 1 yn
m0
1α
11
当n 时，yn 1
1α
o 1234
g(t )
1 1t
1 2
d
t
2 T4
1 f1 f2t
1 O t 3 1
t
t 3 1
t
3
1
即2 t 4
g(t) 1 1(t )d t 2 t 2
t3 2
42
T4
1 f1
f2t
（A）1
（B）-1
（C）1.5 f1（t）
（D) -0.5
f t f1 t f2 t
f2（t）
-1
t
1
-1
tt
图1
2、卷积积分f (t-t1)* δ(t-t2)的结果为
A.f (t-t1-t2)
B. δ(t-t1-t2)
C.f (t+t1+t2)
D. δ(t+t1+t2)
3、已知f1 (t),f2(t)的波形如题图所示，试 画出f1(t)*f2(t)的波形。
当 f1或t 为f2非t 连续函数时，卷积需分段，积分限分段定。
卷积的性质
•代数性质 •微分积分性质 •与冲激函数或阶跃函数的卷积
一．代数性质
信号与系统
x(2t)
f (0.5t)
x(t/2)
f (t)
f (1.5t)
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
一段语音信号(“对了”) 。
信号与系统（Signals and Systems)
4、一般情况
信号与系统（Signals and Systems)
三、系统的基本概念
1、定义
系统（system）：由若干相互作用和相互依赖 的事物组合而成的，具有稳定功能的整体。如 太阳系、通信系统、控制系统、经济系统、生 态系统等。
信号与系统（Signals and Systems)
通信系统
为传送消息而装设的全套技术设备（包括传输信道）。
静止的彩色图象： 三基色红(R)、绿(G)、蓝(B)随空间位置变化的信号。
I R ( x, y ) I ( x, y ) I ( x, y ) G I B ( x, y )
信号与系统（Signals and Systems)
3、信号理论 信号分析：研究信号的基本性能，如信号 的描述、性质等。
2、系统理论 系 统 理 论 系统分析：给定系统，研究系统对于输入 激励所产生的输出响应。 系统综合：按照给定的需求设计（综合） 系统。
重点讨论系统的分析，分析是综合的基础。
信号与系统（Signals and Systems)
3、信号与系统之间的关系 信号与系统是相互依存的整体。
⑴ 信号必定是由系统产生、发送、传输与接收， 离开系统没有孤立存在的信号； ⑵ 系统的重要功能就是对信号进行加工、变换与
信号与系统 第一章_绪论(青岛大学)小白发布
∫
∞
−∞ ∞
Sa (t )dt = π Sa 2 (t )dt = π
∫
−∞
另外一个类似的函数：
sin π t sinc( t ) = πt
§1.3 信号的运算
（一）对自变量进行的运算： 移位、反褶与尺度 对自变量进行的运算： 移位、 1. 移位： f (t ) → f (t ± t0 ) 移位：
t
t
t
sin (Ωt ) + sin (8 Ωt )
× sin ( Ωt ) sin (8 Ωt )
t
t
反相点
§1.4 阶跃信号与冲激信号 奇异信号： 奇异信号：
（一）单位斜变信号tu(t) （二）单位阶跃信号 u(t) （三）单位冲激信号δ (t) （四）冲激偶信号δ ' (t)
（一）单位斜变信号tu(t)
（3） cos(3n − )
当 当
2π
2π
π
ω0
为有理数时， 为周期序列； 为有理数时，sin(ω0n) 为周期序列； 为无理数时， 为非周期序列。 为无理数时，sin(ω0n) 为非周期序列。
2π 为无理数， 为无理数， 3
非周期序列
4
ω0
4．能量（有限）信号与功率（有限）信号 能量（有限）信号与功率（有限）
2.信号的传输、 2.信号的传输、交换和处理 信号的传输
信号传输（Transmission）
——古代烽火传送边疆警报 ——击鼓、信鸽、旗语等 击鼓、信鸽、 ——电信号传输（19世纪开始）： 电信号传输（ 世纪开始 世纪开始）：
1837年莫尔斯发明了电报 年莫尔斯发明了电报 1876年贝尔发明了电话 年
第一章 信号与系统的基本概念
第一章信号与系统的基本概念§1.1 绪言信号与系统是一门重要的专业基础课。
是许多专业（通信、信息处理、自动化、计算机、系统工程）的必修课。
重要性体现在两个方面：一是我们将来从事专业技术工作的重要理论基础；二是上述各类专业硕士研究生入学考试课程。
在教学计划中起着承前启后的作用，前期课程是高数、微分方程、差分方程、工程数学中的积分变换（傅立叶变换和拉普拉斯变换），还有电路分析基础；而其本身是后续专业课（通信原理、数字信号处理）的基础。
信号研究的主要内容：顾名思义系统合成：信号一个典型的电系统—通信系统信息源转换电信号电信号还原受信者（声音、文字、图象）/响应通信系统○1系统：控制系统抽象为理想化的模型，讨论激励与响应的关系经济系统○2信号：时间的函数f(t)，一维函数，确定信号* 信号与系统的关系：互相依存信号是运载消息的工具，要很好的利用信号，需经过系统的传输、处理.系统则是为传输信号或对信号进行处理而由元器件构成的某种组合。
离开了信号，系统就失去了意义.§1.2 信号一.定义：信号是带有信息的（如声音、图象等）随时间（或空间）变化的物理量。
本课程主要研究电信号（电流、电压）。
二.信号的分类：从不同的角度1 从函数的定义域（时间）是否连续：○1连续时间信号：在连续的时间范围内有定义。
t是连续的，f （t）可是，也可不是表达方式时间的函数（解析式），如f（t）=Asinπt波形图表示：上述两种表达方式，可以互换。
信号和函数两个词可互相通用○2离散时间信号：在一些离散的瞬间才有定义。
t=kT点上有定义，其余无定义序列f （k ）=2k ，k ≥0 表达方式 图形表示：序列值f （k ）=｛0、1、2、4、8、……｝2 从信号的重复性：○1 周期信号：定义在（-∞，+∞）区间，每隔一定时间T 重复变化连续f （t ）=f （t+mT ）离散f （k ）=f （k+mK ） K 为整数 ○2 非周期信号：不具有周期性的信号 例：正弦序列f （k ）=sink β β为角频率，反映周期性重复的速率, 决定序列是否具有周期性按定义：sink β=sin(β·k+m ·2π) β=6π时，βπ2 =12，为整数，是周期序列，k =12β=318π时，βπ2=431，为有理数，是周期序列，k =31β=21时，βπ2 =4π，为无理数，是非周期序列tf （kt ）−−→−简化f （k ） 0 T 2T 3T间隔相等 kT3 实信号：物理可实现的复信号：实际上不能产生，但理论分析重要——复指数信号 表达式：f （t ）=e st ，-∞＜t ＜+∞， δ= σ+j ω f （t ）=e （σ+j ω）t =e σ t ·e j ωt = e σ t cos ωt+j e σ t sin ωt σ＞0，增幅振荡 σ＜0，衰减振荡 σ=0，等幅振荡当ω=0，f （t ）= e σt 为实指数信号当σ=ω=0，f （t ）=1，为直流信号 重要特性：对时间的微分和积分仍然是复指数信号。
第二讲 信号的基本运算与波形变换
o
②再平移 f (– t) → f (– t +2)= f [– (t – 2)]
19
【例1. 6】 信号的波形如图所示，求 f t 1, f t 1, f t , f t 1 及 f t 1 的表达式，并画出其波形。
解 由信号 f t 的波形图可得 0, t 0 f t t ,0 t 1 0, t 1
n0 n0 n0
n0 0 n y 2 ( n) f ( n) 1 n0 n a (1 a n ) n0 1 a
13
4. 取模（或取绝对值）运算 连续时间复信号的取模运算
yt f t
离散时间复信号的取模运算
yn f n
t 1 0 0, t 1 0, f t 1 t 1,0 t 1 1 t 1,1 t 0 0, 0, t 1 1 t 0
t 1 0 0, t 1 0, f t 1 t 1,0 t 1 1 t 1,1 t 2 0, 0, t 1 1 t2
' f (t ) (t ) (t 1)
11
a n , 【例1. 5】已知单边衰减指数序列为 f n 0, 试分别求其一阶差分和一次累加。 解：
0 y1 (n) f (n) f (n 1) 1 a n a n 1
n0 , n0
1 n y (n) 2 n 1
n 1 n 1
求x(n)+ y(n)。 解：
n 1 z ( n) x ( n) y ( n) 2 n 1 n 3 2
n 1 n 1 n 1
实验一信号基本运算的MATLAB实现
实验一信号基本运算的MATLAB实现MATLAB是一种用于数值计算和数据可视化的高级编程语言和环境。
它提供了丰富的函数和工具箱来处理信号。
在MATLAB中，我们可以进行一系列信号的基本运算，包括信号的加法、乘法、平移、取反等。
下面将介绍几种常见的信号基本运算的MATLAB实现方法。
1.信号的加法：信号的加法可以使用MATLAB的"+"操作符来实现。
例如，我们有两个信号x1和x2，它们的采样点分别存储在向量x1和x2中，我们可以使用以下代码将它们相加，并将结果存储在向量y中：```matlabx1=[1,2,3];x2=[4,5,6];y=x1+x2;disp(y); % 输出结果：5 7 9```2.信号的乘法：信号的乘法可以使用MATLAB的"\*"操作符来实现。
与信号的加法类似，我们可以将要相乘的信号存储在向量中，并使用"\*"操作符进行乘法运算。
例如，两个信号x1和x2的乘积可以用以下代码实现：```matlabx1=[1,2,3];x2=[4,5,6];y=x1.*x2;disp(y); % 输出结果：4 10 18```3.信号的平移：信号的平移是将信号在时间上移动一定的步长。
在MATLAB中，我们可以使用向量索引来实现信号的平移。
例如，我们有一个信号x，要将其向右平移3个单位，可以使用以下代码实现：```matlabx=[1,2,3,4,5];shift = 3;y = [zeros(1, shift), x];disp(y); % 输出结果：0 0 0 1 2 3 4 5```在上述代码中，我们使用了`zeros`函数生成了一个长度为平移步长的零向量，并将其与信号x进行拼接。
4.信号的取反：信号的取反是将信号的每个采样点的值取相反数。
在MATLAB中，我们可以使用"-"操作符来实现信号的取反。
例如，我们有一个信号x，要将其取反，可以使用以下代码实现：```matlabx=[1,-2,3,-4,5];y=-x;disp(y); % 输出结果：-1 2 -3 4 -5```在上述代码中，我们使用了"-"操作符来实现信号的取反。
1.2信号的基本运算
t f( ) 2
2 1 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 t (c)
f(t)、f(2t)、f(t/2)的波形
尺度变换：将信号横坐标的尺寸压缩或展宽。
f(2k) 4 4 2 k -2 -1 O 1 2
抽取
1 f ( k) 2 4 4
2 1 k -6 -4 -2 O 2 4 6
-6 -3
2 f ( k) 3 4 4
3
2
2
2 k O 3 6
内插
抽取
9.综合变换
以变量at+b代替f(t)中的独立变量t，可得一新的 信号函数f(at+b)。当a>0时，它是f(t)沿时间轴展缩、 平移后的信号波形；当a<0时，它是f(t)沿时间轴展 缩平移和反转后的信号波形。
f (t) 1 －1 0 1 －1 (a) 2 t
例：已知信号f(t)的波形如图所示，试画出 f (－t) f (－(t＋2)) 信号f(-2-t)的波形。 t —－t 1 t —t＋2 1 －2 －4 解： f(t)→f(-2-t)=f(-(t+2))可分解为 f(t)—— f(-t) —— f(-(t+2)) 两个步骤
二、翻转和平移
1. 翻转:以纵坐标为轴反转，可将f(t)或f(k)的波形绕纵坐标轴 翻转180° 。没有实现此功能的实际器件。
f (t ) f (t ) f (t )
1
f (k ) f (k )
f(k) 1 k
2 1 0 1 f (t )
1
t
-3
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《Signals & systems》 systems》
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《信号与系统》 信号与系统》
第一章 信号与系统的概念
一、自变量的变换： 1、平移（位移）：a=1 、平移（位移）：
x(t) → x(at − b)
x(n) → x(an− b)
连续时间信号：b为一实数:
x (t ) → x (t − b )
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第一章 信号与系统的概念
二、信号的加减与相乘：
两信号相加减或相乘，是两信号在同一时刻的函数值相加减或 相乘，形成新的时间信号。例如：
x1 (t )
x1 (t ) = sin Ωt
x2 (t ) = sin 8Ωt
x2 (t )
x(t ) = x1 (t ) + x2 (t ) = sin Ωt + sin 8Ωt
第一章 信号与系统的概念
这里说的信号的积分，是指对表示信号的函数，求其对上限变 量的定积分。即
t
−∞
∫ x(τ)dτ = y(t )
1
x(t )
t
设
x(t ) = e u (t )
1
−t
y(t )
t
则
t t
y (t ) = ∫ e − τu (τ)dτ = ∫ e − τ dτ
−∞ 0
= (1 − e −t )u (t )
t x(t ) = y ( 2 ) = z ( 2t )
x(2t ) = y (t )
1
1
a >1
1 2−101来自2t−1
0
t
t x( 2 ) = z (t )
1
a <1
1 2
3
− 2 −1
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0
4
t
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x(t )
t x′(t ) t
x′(t ) =
设 则
dx(t ) dt
x(t ) = sin t
x′(t ) = cos t
再如
1
x(t )
1
x′(t )
−1
0
1
2
t
2
−1
0
1
(−1)
t
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x ( n + 2)
1
x ( n)
1 1
x(n − 2)
− 2 −1
0 1 2 3 4 5
n
− 2 −1
0 1 2 3 4 5 6 7
n
− 4− 3 − 2 −1
0 1 2 3
n
2、反褶：a=-1，b=0: x (t ) → x ( − t ) , 、反褶： =-1，
x(t )
1 1
x(n) → x(− n)
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−1
0
1
t
2
t
y(t) = ∫ x(τ)dτ
−∞
2 1
1 2
−1
0
1
2
t
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第一章 信号与系统的概念
习题：
一、已知信号 x(t)与x(n)的波形如下，试分别作出： x(t-1)，x(1-2t)，x(t/2)与 -1)， /2)与
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x(t + 1)
1
x(t )
1 1
x(t − 1)
−1
0
1
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t
−1
0
1
2
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t
− 2 −1
0
1
2
t
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第一章 信号与系统的概念
离散时间信号：b为一整数: 为一整数:
x(n) → x(n − b)
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第一章 信号与系统的概念
对一连续时间信号综合几种运算，变换顺序对结果没有影响。 对一连续时间信号综合几种运算，变换顺序对结果没有影响。 例如：已知x(t)的波形如下，作x(1-2t)的波形。 例如：已知x(t) 的波形如下，作x(1-2t) x(t)的波形如下，作x(1-2t)的波形。
x(n-1)，x(1-n)，x(n/2)的波形图。 -1)， /2)的波形图。
x(t )
1 1 −1 1 2
x( n)
t
−1
1 2 3
n
二、已知信号 x(t) =(t+1)u(t+1)-2tu(t)+(t-1)u(t-1)，试作y(t)=x(t)cos(2πt)的波形图。 -1)，试作
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第一章 信号与系统的概念
§1-3 信号的基本运算
信号的分析与处理，均是对信号进行某种或一系列 的运算。至今，我们学过的运算，均可用在信号的运算 上；今后，我们会遇到许多不同的运算。 这里我们将介绍对信号的几种基本运算。它们是涉 及信号自变量变换的运算：平移（位移）、反褶和展缩； 多个信号相加减和相乘运算；还有对信号的微分和积分运 算。
n
− 3 − 2 −1
0 1 2 3 4 5
n
2 1
⎧ y ( n ) n = 2k z ( n) = ⎨ 2 ≠ x ( n) n ≠ 2k ⎩ 0
3
− 3 − 2 −1
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0 1 2 3 4 5
称作y(n)的时 域扩展，也是 n x(n)的抽选
y (t ) = x1 (t ) ⋅ x2 (t ) = sin Ωt ⋅ sin 8Ωt
x(t)
y(t)
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第一章 信号与系统的概念
三、信号的微分与积分：
这里说的信号的微分，是指对表示信号的函数求导。即
x(t )
1 1
x(t + 1)
1
x(2t ) t t
−1
0
1
2
t
− 2 −1
0
1
2
−1
0
1
2
x(1 − t )
1 1
x(−2t ) t t
−1
0
1
2
−1
0
1
2
x(1 − 2t )
1 1
x(1 − 2t )
t t
−1
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0
1
2
−1
0
1
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第一章 信号与系统的概念
离散时间信号没有与连续时间信号一样意义的展缩运算，但当 为一整数时，也相当于时域压缩: a为一整数时，也相当于时域压缩:
x ( n ) → x ( an )
a >1
2 1
3
x ( 2 n) = y ( n )
3
x ( n)
2 1
− 3 − 2 −1
称作减采样
0 1 2 3 4 5
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第一章 信号与系统的概念
再如信号如图，函数式为：
x(t )
1
x(t ) = (t + 1)u(t + 1) − tu(t ) − u(t − 2)
⎧t + 1 − 1 < t < 0 ⎪ =⎨ 1 0<t <2 ⎪ 0 −1 > t > 2 ⎩ 0 t < −1 ⎧ ⎪1 2 ⎪ (t + 2t + 1) − 1 < t < 0 ⎪2 y(t ) = ⎨ 1 ⎪ t+ 0<t <2 2 ⎪ ⎪ 2.5 t > 2 ⎩
x ( − n)
1
x(−t )
−1
0
1
2
t
− 2 −1
0
1
2
t
− 4− 3 − 2 −1
0 1 2 3 4
n
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第一章 信号与系统的概念
3、展缩（尺度变换）：b=0 、展缩（尺度变换）：
连续时间信号：a为一实数: x (t ) → x ( at )