1.3.1函数的单调性与导数课时作业6
1.3.1函数的单调性与导数
= cos x − x sin x − cos x = − x sin x y y = sin x
o
π
2π
3π
x
sin 如图,当x ∈ (π ,2π )时， x < 0,∴− x sin x > 0,
即：y ' > 0
∴该函数在(π ,2π )上为增函数。
已知导函数的下列信息： 已知导函数的下列信息：
o x
2
的单调性。 的单调性。
y
y = x2
的图象, 的函数 h(t ) = −4.9t 2 + 6.5t +10 的图象 图(2)表示高台跳水运 表示高台跳水运
观 下图(1)表示高台跳水运动员的高度 下图 表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化 察:
的图象. 动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 v(t ) = −9.8t + 6.5的图象 运动员从起跳到最高点, 运动员从起跳到最高点 以及从最高点到入水这两段时间 v 的运动状态有什么区别? 的运动状态有什么区别 h ①运动员从起跳到 (1) (2) 最高点, 最高点,离水面的高度h t
(04年全国理 年全国理) 年全国理
函数y = x cos x − sin x在下面哪个区间内是增函数( B ) π 3π 3π 5π A. ( , ) B. (π ,2π ) C. ( , ) D. (2π ,3π ) 2 2 2 2
解： y ' = x 'cos x + x(cos x)'− (sin x)'
1.3 导数在研究函数中的应用
判断函数单调性有哪些方法？ 判断函数单调性有哪些方法？
定义法 图象法
y = x3 − 3x ?
1.3.1函数的单调性与导数( 二)
§1.3.1函数的单调性与导数（二） 学习目标1.会利用函数单调性与导数的关系，求参数的范围；2.会利用函数单调性与导数的关系，证明简单的不等式.3.会求复合函数的单调区间.学习过程1.复习：导数求函数单调区间的步骤2..例题展示：【例1】求下列函数的单调区间：（1）)1ln()(-=x x f ; (2)x x x f ln )(-=. (3));2ln()(2--=x x x f (4)2)(-=x e x f x【例2】试利用函数单调性证明下面不等式：（1）);,0(,sin π∈<x x x（2）);1,0(,02∈>-x x x （3）;0,1≠+>x x e x（4）.0,ln ><<x e x x x练习：已知,1>x 求证：).1ln(+>x x【例3】►已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间．小结：函数在指定区间上单调递增(减)，函数在这个区间上的导数大于或等于0(小于或等于0)，只要不在一段连续区间上恒等于0即可，求函数的单调区间解f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)即可．【例4】已知函数).0(2)1ln()(2≥+-+=k x k x x x f （1）当,2=k 求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；（2）求)(x f 的单调区间.巩固练习：1.函数x x y cos +=在),(+∞-∞内是（ ）A 增函数B 减函数C 有增有减D 不能确定2.函数c ax y +=2在区间),0(+∞内单调递增，则c a ,应满足（ ）A.0c =<且0a . B .是任意实数且c 0>a . C .0c 0,a ≠<且. D.是任意实数且c 0<a 3.对于Ｒ上的可导的任意函数，若满足,0)()1(≥'-x f x 则必有（ ） Ａ．)1(2)2()0(f f f <+ Ｂ．)1(2)2()0(f f f >+ Ｃ．)1(2)2()0(f f f ≥+ Ｄ．)1(2)2()0(f f f ≤+4.函数),1()(<<-=b a ex x f x 则（ ） A ．)()(b f a f =.B.)()(b f a f <.C.)()(b f a f >.D.)(),(b f a f 大小不确定 5.“0>a ”是“函数ax x x f +=3)(在区间),0(+∞上是增函数”的（）A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数，且,0)2(=f 当0>x 时有,0)()(2<-'xx f x f x 则不等式0)(2>x f x 的解集是（ ） A.),2()0,2(+∞- B.)2,0()2,( --∞ C.)2,0()0,2( - D.),2()2,2(+∞-7．函数[],2,0,sin 21)(π∈-=x x x x f 则其单调增区间为 . 8.若函数2)(p x p x x f +-=在),1(+∞上是增函数，则实数p 的取值范围是 .9.已知x e x x x f 211)(+-=,求)(x f 的单调区间.10.已知下列函数①);0()(>+=a x ax x f ②)0(13)(23≥+-=k x kx x f ；③).(ln )(R a x a x x f ∈-=试分别讨论它们的单调区间.11.已知函数).(21)()(2R b x b bx x x f ∈-++=若其在区间)31,0(上单调递增，求b 的取值范围.。
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第一章 1.3 1.3.1 函数的单调性与导数
1
自 测 自 评
1 2 4．函数 y＝ x －ln x 的单调递减区间为( 2 A．(－1,1] C．[1，＋∞) B．(0,1] D．(0，＋∞)
)
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答案：B
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题型1
求函数的单调区间
例1 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)； (2)f(x)＝3x2－2ln x.
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题型2
证明函数的单调性
例2 求证：函数f(x)＝ex－x＋1在(0，＋∞)内是增函数，
在(－∞，0)内是减函数．
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分析：先求导数，再推证在该区间内导数恒大于零或 恒小于零，即可证明函数单调性问题．
证明：由f(x)＝ex－x＋1，得f′(x)＝ex－1. 当x∈(0，＋∞)时，ex－1＞0，即f′(x)＞0，
跟 踪 训 练
1．求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x4－2x2＋3； ex (2)f(x)＝ . x－2
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解析：(1)函数 f(x) 的定义域为 R. f′(x)＝4x3－4x＝4x(x2－1)＝4x(x＋1)(x－1)． 令 f′(x)＞0，则 4x(x＋1)(x－1)>0， 解得－1<x<0 或 x>1， 所以函数 f(x)的单调递增区间 为(－1,0)和(1，＋∞)．
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∴f(x)在(0，＋∞)内是增函数．
当x∈(－∞，0)时，ex－1<0，f′(x)<0， ∴f(x)在(－∞，0)内是减函数．
点评： 函数 f(x) 在某一区间上 f′(x) ＞ 0 是 f(x) 是增函
数的充分不必要条件，若在此区间内有有限个点使f′(x) ＝0，f(x)在该区间内为增函数，因此，在证明f(x)在给 定区间内是增函数时，证明f′(x)≥0(但f′(x)＝0不恒成立) 即可．
1.3.1函数的单调性与导数.
1．在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的 过程中，只能在定义域内通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间． 2．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意定 义区间内的不连续点或不可导点． 3．注意在某一区间内f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充 分条件．如f(x)＝x3是R上的可导函数，也是R上的单调递增函数，但当x＝0 时，f′(x)＝0.
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[例3] 已知x>1，求证：x>ln(1＋x)．
[分析]
设 f(x)＝x－ln(1＋x)， 只需证得 f(x)在(1， ＋∞)
1 x 上的函数值恒大于零即可，根据 f′(x)＝1－ ＝ 1＋x 1＋x >0(x>1)， f(x)在(1， 得 ＋∞)上是增函数， 故当 x>1 时， f(x)>f(1) ＝1－ln2>0 恒成立，则原式得证．
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1．函数y＝f(x)在区间(a，b)内的单调性与导数的关系 如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内 单调递增 ；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x) 在这个区间内 单调递减 ．如果f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在这个区间内为 ． 常数函数 2．求函数单调区间的步骤 (1)确定f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)由f′(x)＞0(或f′(x)＜0)解出相应的x的范围．当f′(x)＞0时，f(x)在相应区间上是 ；当f′(x)＜0时，f(x)在相应区间上是 ．
高中数学 3.3.1函数的单调性与导数课时作业 新人教A版选修11
3.3.1 函数的单调性与导数课时目标 掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．1．函数的单调性与其导函数的关系：在某个区间(a ，b )内，如果__________，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果________，那么函数y ＝f (x )在这个区间内______________；如果恒有__________，那么函数f (x )在这个区间内为常函数．2．一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内____________，这时，函数的图象就比较“________”；反之，函数的图象就比较“________”．3．求函数单调区间的步骤和方法 (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)在函数定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； (4)确定f (x )的单调区间．一、选择题 1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若在区间(a ，b )内，f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( ) A ．f (x )>0 B ．f (x )<0 C ．f (x )＝0 D ．不能确定 3．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )A ．sin xB ．x e xC ．x 3－x D ．ln x －x4．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞，＋∞)上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减 D ．不确定5．定义在R 上的函数f (x )，若(x －1)·f ′(x )<0，则下列各项正确的是( ) A ．f (0)＋f (2)>2f (1) B ．f (0)＋f (2)＝2f (1) C ．f (0)＋f (2)<2f (1)D ．f (0)＋f (2)与2f (1)大小不定6．函数y ＝ax －ln x 在(12，＋∞)内单调递增，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]∪[2，＋∞)B ．(－∞，0] 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 7．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间是____________．8．已知f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在R 上是减函数，则a 的取值范围为________．9．使y＝sin x＋ax在R上是增函数的a的取值范围为____________．三、解答题10．求函数f(x)＝2x2－ln x的单调区间．11.(1)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为[－1,2]，求b，c的值．(2)设f(x)＝ax3＋x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围．能力提升12．判断函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1的单调性．13．已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．1．利用导数的正负与函数单调性的关系可以求函数的单调区间；在求函数单调区间时，只能在定义域内讨论导数的符号．2．根据函数单调性可以求某些参数的范围．§3.3 导数在研究函数中的应用 3．3.1 函数的单调性与导数答案知识梳理1．f ′(x )>0 f ′(x )<0 单调递减 f ′(x )＝0 2．变化得快 陡峭 平缓 作业设计1．A [f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件．]2．A [因为f (x )在(a ，b )上为增函数，∴f (x )>f (a )≥0.] 3．B [A 中，y ′＝cos x ，当x >0时，y ′的符号不确定；B 中，y ′＝e x ＋x e x ＝(x ＋1)e x ，当x >0时，y ′>0，故在(0，＋∞)内为增函数；C 中：y ′＝3x 2－1，当x >0时，y ′>－1；D中，y ′＝1x－1，当x >0时，y ′>－1.]4．A [f ′(x )＝2－cos x ，∵cos x ≤1，∴f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．] 5．C [当x >1时，f ′(x )<0，f (x )是减函数， ∴f (1)>f (2)．当x <1时，f ′(x )>0，f (x )是增函数， ∴f (0)<f (1)．因此f (0)＋f (2)<2f (1)．]6．C [∵y ′＝a －1x ，函数y ＝ax －ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内单调递增， ∴函数在(12，＋∞)上y ′≥0，即a －1x ≥0，∴a ≥1x .由x >12得1x <2，要使a ≥1x恒成立，只需a ≥2.]7．(－1,11)解析 ∵f ′(x )＝3x 2－30x －33 ＝3(x ＋1)(x －11)．由f ′(x )<0，得－1<x <11， ∴f (x )的单减区间为(－1,11)． 8．(－∞，－3]解析 f ′(x )＝3ax 2＋6x －1≤0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <036＋12a ≤0，∴a ≤－3.9．[1，＋∞)解析 ∵f ′(x )＝cos x ＋a ≥0，∴a ≥－cos x ， 又－1≤cos x ≤1，∴a ≥1.10．解 由题设知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x，由f ′(x )>0，得x >12，由f ′(x )<0，得0<x <12，∴函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.11．解 (1)∵函数f (x )的导函数f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题设知－1<x <2是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解集．∴－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个实根，∴－1＋2＝－23b ，(－1)×2＝c3，即b ＝－32，c ＝－6.(2)∵f ′(x )＝3ax 2＋1，且f (x )有三个单调区间，∴方程f ′(x )＝3ax 2＋1＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×1×3a >0，∴a <0. ∴a 的取值范围为(－∞，0)．12．解 由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x.①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ③当－1<a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－a ＋12a ，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减．综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤－1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－1<a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减．13．解 (1)由已知，得f ′(x )＝3x 2－a . 因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈(－∞，＋∞)恒成立．因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )在实数集R 上单调递增，所以a ≤0.(2)假设f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，则a ≥3x 2在x ∈(－1,1)时恒成立．因为－1<x <1，所以3x 2<3，所以只需a ≥3.当a ＝3时，在x ∈(－1,1)上，f ′(x )＝3(x 2－1)<0， 即f (x )在(－1,1)上为减函数，所以a ≥3.故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减．。
初中数学：1.3.1函数的单调性与导数
练习
判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注 入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应 的水的高度h与时间t的函数关系图象.
h
h
h
h
O
t
(A)
O
t
(B)
O
t
(C)
O
t
(D)
一般地, 如果一个函数在某一范围内导数 的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得 快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或 向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.
可知 在此区
间内单调递减;
y
当 x = 4 , 或 x = 1时,
综上, 函数 图象
O1
4
的大致形状如右图所示.
x
题2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
解: (1) 因为
, 所以
因此, 函数 (2) 因为
在
上单调递增.
, 所以
当
, 即 时, 函数
当
, 即 时, 函数
单调递增; 单调递减.
题2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
也能使f（x）在这个区间上单调，
所以对于能否取到等号的问题需要单独验证
增例2：
本题用到一个重要的转化：
例3：方程根的问题 求证：方程
只有一个根。
作业：
已知函数f(x)=ax³+3x²-x+1在R上是减函数， 求a的取值范围。
解:
在
内是减函数.
由 的递减区间是 函数.
, 解得 , 即函数
, 所以函数
在
内是减
一、求参数的取值范围
1.3.1函数的单调性与导数
∴f’(x)=3ax2+6x-1≤0在R上恒成立，
∴a<0且△=36+12a≤0，
∴a ≤-3
玉林市一中高二数学组
练习2 已知函数f (x )= 2ax - x 3，x (0, 1],a 0, 若f (x )在（0， 1]上是增函数，求a的取值范围。
'(x)>0(或<0) 但由f（xf ）在这个区间上单调递增（递减） 而仅仅得到 是不够的。还有可 能导数等于0也能使f（x）在这个区间上单调，
本题用到一个重要的转化： 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证
m≥f(x)恒成立 m f (x)max m f (x)恒成立 m f (x)min
玉林市一中高二数学组
2．用定义证明函数的单调性的一般步骤： 取值→作差→变形→定号→下结论 3. 判断函数单调性有哪些方法？ 定义法
图象法
玉林市一中高二数学组
思考：那么如何求出下列函数的单调性呢? (1)f(x)=2x3-6x2+7 (2)f(x)=ex-x+1 (3)f(x)=sinx-x 发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然
分析：
当x 3或x 2时，f '( x ) 0; f ( x )在此区间递增 当x 3或x 2时，f '( x ) 0. f ( x )图象在此两处
附近几乎没有升降
试画出函数
f ( x ) 图象的大致形状。
变化,切线平行x轴
y f ( x)
y A B
第一章 1.3 1.3.1 函数的单调性与导数
答案:(0,2)
-3-
目标导航
知知识识梳梳理理
重难聚焦
典例透析
【做一做 1-2】
下列区间中,函数
f(x)
=
1+ln ������
������
在其上是单调递增
的是 ( )
A.(0,1) C.(1,e)
B.(0,e)
的左端点的值代入f(x),检验其值为零(或为正),即证得f(a)≥0;若 f'(x)<0,说明f(x)在区间(a,b)内是减函数,只需将所给的区间的右端 点的值代入f(x),检验其值为零(或为正),即证得f(b)≥0.
例如:求证:当x>0时,ex>x+1. 证明:令f(x)=ex-(x+1),则f'(x)=ex-1. 因为x>0,所以f'(x)>0,即函数f(x)在(0,+∞)内单调递增,所以 f(x)>f(0)=0,故ex>x+1.
试画出函数y=f(x)的大致图象.
分析:根据函数y=f(x)在某个区间上导数f'(x)的符号,可以得到函
数y=f(x)的单调性,即函数y=f(x)图象的“上升下降”趋势,从而画出函
数y=f(x)的大致图象.
-12-
题型一
题型二
题型三
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
解:由①②③可知函数 y=f(x)在区间(-∞,-1)和
重难聚焦
典例透析
2.一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函 数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或 向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.
1.3.1函数的单调性与导数(一)
1.3.1函数的单调性与导数（一）【学习目标】1. 记住函数的单调性与导数之间的关系；2. 学会用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间．【重点难点】重点: 函数的单调性与导数之间的关系难点: 利用函数的导数判断单调性【学习过程】【预习案】预习教材P22～26，完成以下问题1.一般地，设函数y＝f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内，f ′(x)＞0，那么函数y＝f(x)为在这个区间内的如果在这个区间内，f ′(x)＜0，那么函数y＝f(x)为在这个区间内的2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系3.用导数求函数单调区间的步骤：①优先确定函数的定义域；②求函数f(x)的导数f ′(x)；③定义域内满足不等式f ′(x)＞0的x的区间就是递增区间；满足不等式f ′(x)＞0的x的区间就是递减区间．[预习诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．() 2．函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．( )3．函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．( ) 【探究案】探究一函数余导函数图象间的关系例1：设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f ′(x)的图象可能为()【变式训练】设f ′(x)是函数f(x)的导函数，f ′(x)的图象如图所示，则f(x)的递增区间是．探究二利用导数求函数的单调区间例2：求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x－x3；(2)f(x)＝x2－ln x.【变式训练】证明:函数xxxfsin)(=在区间),2(ππ上单调递减.注意事项：①求函数的单调区间，必须在函数的定义域内进行．②如果函数的单调区间有多个时，单调区间不能用“∪”符号连接，只能用“，”或“和”隔开．③导数法求得的单调区间一般用开区间表示【检测案】1．函数f(x)＝x＋ln x在(0,6)上是()A．单调增函数B．单调减函数C．在⎝⎛⎭⎫0，1e上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1e，6上是增函数D．在⎝⎛⎭⎫0，1e上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1e，6上是减函数2．函数y＝x2－4x＋a的增区间为________，减区间为________．是()4．如图所示的是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则在[－2,5]上函数f(x)的单调递增区间为________．5.函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)6.函数y＝12x2－ln x的单调递减区间为()A．(－1,1] B．(0,1]C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)7.判断函数xxxfln)(=在区间(0,e)上的单调性。
高中数学1.3.1 函数的单调性与导数
1.函数的单调性与其导数的关系
在某个区间(a,b)内,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单
调递增;如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减;如果恒
有f'(x)=0,那么函数y=f(x)在这个区间内是常数函数.
名师点拨“在某区间内f'(x)>0(f'(x)<0)”是“函数f(x)在此区间上为
增(减)函数”的充分条件,而不是必要条件.如果出现个别点使f'(x)=0,
不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间上的单调性.例如函数
f(x)=x3,在定义域(-∞,+∞)上是增函数,但因为f'(x)=3x2,所以f'(0)=0,
即并不是在定义域内的任意一点处都满足f'(x)>0.
【做一做】 若定义域为R的函数f(x)的导数f'(x)=2x(x-1),则f(x)在
反思感悟运用导数研究函数单调性的方法
利用导数判断或证明函数的单调性时,一般是先确定函数的定义 域,再求导数,最后判断导数在所给区间上的符号,从而确定函数的 单调性.
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1.3.1 函数的单调性与导数
课前篇自主预习 课课堂堂篇篇探探究究学学习习
探究一
探究二
探究三
思想方法 当堂检测
变式训练1(1)在下列函数中,在区间(-1,1)内是减函数的是( ) A.y=2-3x2 B.y=ln x C.y=������1-2 D.y=sin x (2)求证:函数f(x)=sin x+cos x+3x在R上单调递增.
答案:C
(2) 证明:∵f'(x)=cos x-sin x+3=3- 2sin x-π4 ,而 2sin x-π4 ≤ 2, ∴3- 2sin x-π4 >0,即 f'(x)>0.故函数 f(x)=sin x+cos x+3x 在 R 上单
高中数学_函数的单调性与导数教学设计学情分析教材分析课后反思
1.3.1函数的单调性与导数【教学目标】1.知识与能力：会利用导数解决函数的单调性及单调区间。
2.过程与方法：通过利用导数研究单调性问题的探索过程,体会从特殊到一般的、数形结合的研究方法。
3.情感态度与价值观：通过导数方法研究单调性问题，体会到不同数学知识间的内在联系，同时通过学生动手、观察、思考、总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。
通过导数研究单调性的步骤的形成和使用，使得学生认识到利用导数解决一些函数（尤其是三次、三次以上的多项式函数）的问题，因而认识到导数的实用价值。
【教学重点和难点】对于本节课学生的认知困难主要体现在：用准确的数学语言描述函数单调性与导数的关系，这种由特殊到一般、数到形、直观到抽象的转变，对学生是比较困难的。
根据以上的分析和新课程标准的要求，我确定了本节课的重点和难点。
教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。
教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。
【教学设计思路】现代教学观念要求学生从“学会”向“会学”转变，本节可从单调性与导数的关系的发现到应用都有意识营造一个较为自由的空间，让学生能主动的去观察、猜测、发现、验证，积极的动手、动口、动脑，使学生在学知识同时形成思想、方法。
整个教学过程突出了三个注重：1、注重学生参与知识的形成过程，体验应用数学知识解决简单数学问题的乐趣。
2、注重师生、生生间的互相协作、共同提高。
3、注重知能统一，让学生获得知识同时，掌握方法，灵活应用。
根据新课程标准的要求，本节课的知识目标定位在以下三个方面：一是能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；二是掌握判断函数单调性的方法；三是能由导数信息绘制函数大致图像。
【教法预设】1．教学方法的选择：为在课堂上，突出学生的主体地位，本节课拟运用“问题--- 解决”课堂教学模式，采用启发式、讲练结合的教学方法。
通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学精神。
2019-2020学年高中数学(苏教版 选修2-2)教师用书：第1章 1.3.1 单调性 Word版含答案
1.3 导数在研究函数中的应用1.3.1单调性1．利用导数研究函数的单调性．(重点)2．含有字母参数的函数单调性的讨论，单调区间的求解．(难点)3．由单调性求参数的取值范围．(易错点)[基础·初探]教材整理函数的单调性与其导数的关系阅读教材P28“例1”以上部分，完成下列问题．1．函数的单调性与其导数的关系(1)一般地，在某区间上函数y＝f(x)的单调性与导数有如下关系：(2)2．导数与函数图象间的关系(1)导函数图象在x轴上方的区间为原函数的单调增区间，导函数图象在x轴下方的区间为原函数的单调减区间．(2)一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”；反之，函数的图象就“平缓”一些．1．判断正误：(1)若函数f(x)在(a，b)上是增函数，则对任意x∈(a，b)，都有f′(x)>0.( )(2)函数f(x)＝1x在其定义域上是单调减函数．( )(3)函数f(x)＝x3－2x在(1，＋∞)上单调递增．( )(4)若存在x∈(a，b)有f′(x)＝0成立，则函数f(x)为常数函数．( )【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×2．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是________．【解析】f′(x)＝(x－3)′e x＋(x－3)(e x)′＝(x－2)e x，令f′(x)>0，解得x>2.【答案】(2，＋∞)[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问2：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问3：_______________________________________________解惑：_______________________________________________[小组合作型](1)0)内是减函数．(2)判断函数f(x)＝ln xx在区间(0,2)上的单调性．【精彩点拨】求出导数f′(x)，然后判断导数的符号即可．【自主解答】(1)证明：由于f(x)＝e x－x－1，所以f′(x)＝e x－1，当x∈(0，＋∞)时，e x>1，即f′(x)＝e x－1>0.故函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数，当x∈(－∞，0)时，e x<1，即f′(x)＝e x－1<0. 故函数f(x)在(－∞，0)内为减函数．(2)由于f(x)＝ln x x，所以f′(x)＝1x·x－ln xx2＝1－ln xx2.由于0<x<2，所以ln x<ln 2<1，x2>0.故f′(x)＝1－ln xx2>0.∴函数f(x)在区间(0,2)上是单调递增函数．1．利用导数证明函数f(x)在给定区间上的单调性，实质上就是证明f′(x)>0(或f′(x)<0)在给定区间上恒成立．2．利用导数判断可导函数f(x)在(a，b)内的单调性，步骤是：(1)求f′(x)；(2)确定f′(x)在( a，b)内的符号；(3)得出结论．[再练一题]1．证明：函数y＝ln x＋x在其定义域内为增函数．【证明】显然函数的定义域为{x|x>0}，又f′(x)＝(ln x＋x)′＝1x＋1，当x>0时，f′(x)>1>0，故y＝ln x＋x在其定义域内为增函数．(1)f(x)＝x2－ln x；(2)f(x)＝exx－2；(3)f (x )＝－x 3＋3x 2.【精彩点拨】 首先确定函数的定义域，再求导数，进而解不等式得单调区间． 【自主解答】 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝2x －1x＝错误!.因为x >0，所以2x ＋1>0，由f ′(x )>0，解得x >22，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，＋∞； 由f ′(x )<0，解得x <22，又x ∈(0，＋∞)，所以函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22. (2)函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f ′(x )＝错误!＝错误!.因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以e x >0，(x －2)2>0.由f ′(x )>0，解得x >3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)；由f ′(x )<0，解得x <3，又x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．(3)函数f (x )的定义域为R . f ′(x )＝－3x 2＋6x ＝－3x (x －2)．当0<x <2时，f ′(x )>0，所以函数f (x )的单调递增区间为(0,2)；当x <0或x >2时，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．利用导数求函数单调区间的步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)由f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，解出相应的x 的范围；当f ′(x )>0时，f (x )在相应的区间上是增函数；当f ′(x )<0时，f (x )在相应区间上是减函数．(4)结合定义域写出单调区间．[再练一题]2．若函数f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则函数f (x )的单调递增区间为________.【导学号：01580011】【解析】 由已知f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x2－2x －4x，由f ′(x )>0得x 2－x －2>0，解得x <－1或x >2， 又x >0，所以函数f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)． 【答案】 (2，＋∞)[探究共研型]探究【提示】 由已知得f ′(x )＝3x 2－a ， 因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数， 所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立，因为3x 2≥0，所以只需a ≤0. 又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0， f (x )＝x 3－1在R 上是增函数，所以a ≤0.探究2 若函数f (x )＝x ＋ax ＋ln x (a ∈R )在(1，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围．【提示】 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax2＋1x ＝x2＋x －ax由题意知，f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立， 即x 2＋x －a ≥0在(1，＋∞)上恒成立， 令g (x )＝x 2＋x －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋122－14－a ，则g (x )＞2－a ，从而2－a ≥0，∴a ≤2. 当a ＝2时，f ′(x )＞0在(1，＋∞)上恒成立， 因此实数a 的取值范围是(－∞，2]．已知关于x 的函数y ＝x 3－ax ＋b .(1)若函数y 在(1，＋∞)内是增函数，求a 的取值范围； (2)若函数y 的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求a 的值．【精彩点拨】 (1)函数在区间(1，＋∞)内是增函数，则必有y ′≥0在(1，＋∞)上恒成立，由此即可求出a 的取值范围．(2)函数y 的一个单调递增区间为(1，＋∞)，即函数单调区间的端点值为1，由此可解得a 的值．【自主解答】 y ′＝3x 2－a .(1)若函数y ＝x 3－ax ＋b 在(1，＋∞)内是增函数． 则y ′＝3x 2－a ≥0在x ∈(1，＋∞)时恒成立， 即a ≤3x 2在x ∈(1，＋∞)时恒成立， 则a ≤(3x 2)最小值． 因为x >1，所以3x 2>3.所以a ≤3，即a 的取值范围是(－∞，3]． (2)令y ′>0，得x 2>a3.若a ≤0，则x 2>a3恒成立，即y ′>0恒成立，此时，函数y ＝x 3－ax ＋b 在R 上是增函数，与题意不符． 若a >0，令y ′>0，得x >a 3或x <－a 3.因为(1，＋∞)是函数的一个单调递增区间，所以a3＝1，即a ＝3.1．解答本题注意：可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增(或单调递减)的充要条件是f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)在(a ，b )上恒成立，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于0.2．已知f (x )在区间(a ，b )上的单调性，求参数范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f (x )在(a ，b )上单调递增(减)的问题，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理f (x )在(a ，b )上单调递增(减)的问题，则f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．[再练一题]3．将上例(1)改为“若函数y在(1，＋∞)上不单调”，则a的取值范围又如何？【解】y′＝3x2－a，当a<0时，y′＝3x2－a>0，函数在(1，＋∞)上单调递增，不符合题意．当a>0时，函数y在(1，＋∞)上不单调，即y′＝3x2－a＝0在区间(1，＋∞)上有根．由3x2－a＝0可得x＝a3或x＝－a3(舍去)．依题意，有a3>1，∴a>3，所以a的取值范围是(3，＋∞)．[构建·体系]1．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图1-3-1所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )图1-3-1【解析】当x＜0时，f(x)为增函数，f′(x)＞0，排除①，③；当x＞0时，f(x)先增后减再增，对应f ′(x )先正后负再正．故选④.【答案】 ④2．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的有________(填序号)． ①y ＝2－3x 2；②y ＝ln x ；③y ＝1x －2；④y ＝sin x .【解析】 显然，函数y ＝2－3x 2在区间(－1,1)上是不单调的； 函数y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，不满足题目要求； 对于函数y ＝1x －2，其导数y ′＝错误!<0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y ＝错误!在区间(－1，1)上是减函数；函数y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2上是增函数，所以函数y ＝sin x 在区间(－1,1)上也是增函数．【答案】 ③3．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间是________．【解析】 f ′(x )＝6x 2－18x ＋12，令f ′(x )＜0，即6x 2－18x ＋12＜0，解得1＜x ＜2. 【答案】 (1,2)4．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围为________．【解析】 f ′(x )＝错误!，由题意得f ′(x )≤0在(－2，＋∞)内恒成立，∴解不等式得a ≤12，但当a ＝12时，f ′(x )＝0恒成立，不合题意，应舍去，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，12.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，125．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x ，a ≠0.若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围． 【解】 h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2.因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x2－2x恒成立，所以a ≥G (x )最大值，而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x －12－1.因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14，1，所以G (x )最大值＝－716(此时x ＝4)， 所以a ≥－716. 当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x2－32x16x＝错误!.因为x ∈[1,4]，所以h ′(x )＝错误!≤0， 即h (x )在[1,4]上为减函数． 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－716，＋∞.我还有这些不足：(1)_______________________________________________ (2)_______________________________________________我的课下提升方案：(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________。
1.3.1 函数的单调性与导数(2)
1．1．3函数的单调性与导数（二）一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性. 三、教学过程（一）复习1．确定下列函数的单调区间：⑴ y ＝x 3－9x 2＋24x ； ⑵ y ＝x －x 3．（4）f (x )＝2x 3－9x 2＋12x －32．讨论二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的单调区间．3．在区间(a , b )内f'(x )＞0是f (x )在(a , b )内单调递增的 ( A )A ．充分而不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（二）举例例1．求下列函数的单调区间(1) f (x )＝x －ln x (x ＞0)；(2) )253log()(2-+=x x x f(3) 32)1)(12(x x y --=. （4）)3ln()(b x x f -= （b>0）（5）判断)lg()(2x x x f -=的单调性。
分三种方法：（定义法）（复合函数）（导数）例2．（1）求函数3223211()32y x a a x a x a =-+++的单调减区间. （2）讨论函数2()(11,0)1bx f x x b x =-<<≠-的单调性. （3）设函数f (x ) = ax – (a + 1) ln (x + 1)，其中a ≥–1，求f (x )的单调区间.（1）解：y ′ = x 2 – (a + a 2) x + a 3 = (x – a ) (x – a 2)，令y ′＜0得(x – a ) (x – a 2)＜0.1）当a ＜0时，不等式解集为a ＜x ＜a 2此时函数的单调减区间为(a , a 2)；2）当0＜a ＜1时，不等式解集为a 2＜x ＜a 此时函数的单调减区间为(a 2, a )；3）当a ＞1时，不等式解集为a ＜x ＜a 2此时函数的单调减区间为(a , a 2)；4）a = 0，a = 1时，y ′≥0此时，无减区间.综上所述：当a ＜0或a ＞1时的函数3223211()32y x a a x a x a =-+++的单调减区间为(a , a 2)； 当0＜a ＜1时的函数3223211()32y x a a x a x a =-+++的单调减区间为(a 2, a )； 当a = 0，a = 1时，无减区间.（2）解：∵22()()()11bx bx f x f x x x --==-=----， ∴f (x )在定义域上是奇函数. 在这里，只需讨论f (x )在(0, 1)上的单调性即可.当0＜x ＜1时，f ′ (x ) =2222222221(1)21()1(1)(1)x x x x x x b b b x x x '-----'==---=2221(1)x b x +--. 若b ＞0，则有f ′ (x )＜0，∴函数f (x )在(0, 1)上是单调递减的； 若b ＜0，则有f ′ (x )＞0，∴函数f (x )在(0, 1)上是单调递增的.由于奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，从而有如下结论： 当b ＞0时，函数f (x )在(–1, 1)上是单调递减的；当b ＜0时，函数f (x )在(–1, 1)上是单调递增的.（3）解：由已知得函数f (x )的定义域为 (–1, +∞)，且1()1ax f x x -'=+(a ≥–1). （1）当–1≤a ≤0时，f ′ (x )＜0，函f (x )在(–1, +∞)上单调递减.（2）当a ＞0时，由f ′ (x ) = 0，解得1x a =. f ′ (x )、f (x )随x 的变化情况如下表：从上表可知，当x ∈1(1,)a -时，f ′ (x )＜0，函数f (x )在1(1,)a-上单调递减. 当x ∈1(,)a +∞时，f ′(x )＞0，函数f (x )在1(,)a +∞上单调递增. 综上所述，当–1≤a ≤0时，函数f (x )在(–1, +∞)上单调递减；当a ＞0时，函数f (x )在1(1,)a -上单调递减，函数f (x )在1(,)a+∞上单调递增.作业：《习案》作业八。
1.3 1函数单调性与导数 导学案 (教师版)
§1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数内容要求 1.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.会求不超过三次的多项式函数的单调区间.知识点1函数的单调性与导数的关系(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常函数(2)在区间(a，b)函数的单调性导数单调递增f′(x) ≥0单调递减f′(x)≤0常函数f′(x)＝0【预习评价】思考在区间(a，b)内，函数f(x)单调递增是f′(x)>0的什么条件？提示必要不充分条件.知识点2利用导数求函数的单调区间求可导函数单调区间的基本步骤：(1)确定定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.【预习评价】函数f(x)＝13－x2－3x＋2的单调增区间是________.3x解析 f ′(x )＝x 2－2x －3，令f ′(x )＞0，解得x ＜－1或x ＞3，故f (x )的单调增区间是(－∞，－1)，(3，＋∞). 答案 (－∞，－1)，(3，＋∞)题型一 利用导数判断(或证明)函数的单调性【例1】 证明：函数f (x )＝sin x x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减.证明 f ′(x )＝x cos x －sin x x 2，又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos x <0，∴x cos x －sin x <0， ∴f ′(x )<0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减.规律方法 关于利用导数证明函数单调性的问题：(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行.(2)f ′(x )>0(或<0)，则f (x )为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f (x )为单调递增(或递减)函数，则f ′(x )≥0(或≤0).【训练1】 证明：函数f (x )＝ln xx 在区间(0，e)上是增函数. 证明 ∵f (x )＝ln xx ，∴f ′(x )＝x ·1x －ln x x 2＝1－ln x x 2.又0<x <e ，∴ln x <ln e ＝1. ∴f ′(x )＝1－ln xx 2>0，故f (x )在区间(0，e)上是增函数.题型二 利用导数求函数的单调区间 【例2】 求下列函数的单调区间：(1)f (x )＝2x 3＋3x 2－36x ＋1； (2) f (x )＝sin x －x (0<x <π)； (3)f (x )＝3x 2－2ln x ； (4) f (x )＝x 3－3tx .解 (1) f ′(x )＝6x 2＋6x －36.由f ′(x )＞0得6x 2＋6x －36>0，解得x <－3或x >2； 由f ′(x )＜0解得－3<x <2.故f (x )的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；减区间是(－3，2). (2)f ′(x )＝cos x －1.因为0<x <π，所以cos x －1＜0恒成立， 故函数f (x )的单调递减区间为(0，π). (3)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x . 令f ′(x )>0，即2·3x 2－1x >0， 解得－33<x <0或x >33. 又∵x >0，∴x >33. 令f ′(x )<0，即2·3x 2－1x <0， 解得x <－33或0<x <33. 又∵x >0，∴0<x <33.∴f (x )的单调递增区间为(33，＋∞)，单调递减区间为(0，33).(4)f′(x)＝3x2－3t.令f′(x) ＞0，得3x2－3t＞0，即x2＞t，∴当t≤0时，f′(x)＞0恒成立，函数的增区间是(－∞，＋∞)；当t>0时，由x2＞t解得x＞t或x＜－t；由f′(x)＜0解得－t＜x＜t，函数f(x)的增区间是(－∞，－t)和(t，＋∞)，减区间是(－t，t).综上，当t≤0时，f(x)的增区间是(－∞，＋∞)；当t＞0时，f(x)的增区间是(－∞，－t)，(t，＋∞)，减区间是(－t，t).规律方法求函数的单调区间的具体步骤：(1)优先确定f(x)的定义域；(2)计算导数f′(x)；(3)解f′(x)>0和f′(x)<0；(4)定义域内满足f′(x)>0的区间为增区间，定义域内满足f′(x)<0的区间为减区间.【训练2】求函数f(x)＝x3＋3x的单调区间.解方法一函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).f′(x)＝3x2－3x2＝3⎝⎛⎭⎪⎫x2－1x2.由f′(x)＞0，解得x＜－1或x＞1.由f′(x)＜0，解得－1＜x＜1，且x≠0.所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；单调递减区间为(－1，0)，(0，1).方法二函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).f′(x)＝3x2－3x2＝3(x2－1x2)；令f′(x)＝0，得x＝±1.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表： x (－∞，－1)－1 (－1，0) (0，1) 1 (1，＋∞)f ′(x )＋0 －－0 ＋ f (x ) 单调递增Z －4单调递减] 单调递减]4单调递增Z0)，(0，1).方向1 已知函数的单调性求参数的取值范围【例3－1】 已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R ).若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a 的取值范围.解 f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax 2.要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的，则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立， 即2x 3－ax 2≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立. ∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立. ∴a ≤(2x 3)min .∵x ∈[2，＋∞)时，y ＝2x 3是单调递增的， ∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x 2≥0(x ∈[2，＋∞))有且只有f ′(2)＝0，∴a 的取值范围是(－∞，16].方向2利用函数的单调性证明不等式【例3－2】已知a，b为实数，且b＞a＞e，其中e为自然对数的底，求证：a b＞b a.证明当b＞a＞e时，要证a b＞b a，只要证b ln a＞a ln b，即只要证ln aa＞ln bb.构造函数y＝ln xx(x＞0)，则y′＝1－ln xx2.因为当x＞e时，y′＝1－ln xx2＜0，所以函数y＝ln xx在(e，＋∞)内是减函数.又因为b＞a＞e，所以ln aa ＞ln bb.故a b＞b a.规律方法(1)已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数f(x)在区间I上单调递增(或减)，转化为不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间I上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围.(2)“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合.【训练3】若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，求实数m的取值范围.解f′(x)＝3x2＋2x＋m.因为f(x)是R上的单调函数，所以f′(x)≥0恒成立或f′(x)≤0恒成立.因为二次项系数3＞0，所以只能有f′(x)≥0恒成立.因此Δ＝4－12m≤0，故m≥13.当m ＝13时，使f ′(x )＝0的点只有一个x ＝－13，也符合题意.故实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞.课堂达标1.函数f (x )＝x ＋ln x 在(0，6)上是( ) A.增函数 B.减函数C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是增函数D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是减函数解析 ∵f ′(x )＝1＋1x >0， ∴函数在(0，6)上单调递增. 答案 A2.f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析 由导函数的图象可知，当x <0时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )为减函数；当x >2时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数.观察选项易知D 正确. 答案 D3.若函数f (x )＝x 3－ax 2－x ＋6在(0，1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( )A.[1，＋∞)B.a ＝1C.(－∞，1]D.(0，1)解析 ∵f ′(x )＝3x 2－2ax －1，又f (x )在(0，1)内单调递减，∴不等式3x 2－2ax －1≤0在(0，1)内恒成立，∴f ′(0)≤0，且f ′(1)≤0，∴a ≥1. 答案 A4.函数y ＝x 2－4x ＋a 的增区间为______，减区间为______. 解析 y ′＝2x －4，令y ′>0，得x >2；令y ′<0，得x <2， 所以y ＝x 2－4x ＋a 的增区间为(2，＋∞)，减区间为(－∞，2). 答案 (2，＋∞) (－∞，2)5.若函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x 存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝1x －ax －2＝－ax 2＋2x －1x.因为函数f (x )存在单调递减区间，所以f ′(x )≤0有解.又因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)内有解. ①当a ＞0时，y ＝ax 2＋2x －1为开口向上的抛物线，ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)内恒有解；②当a ＜0时，y ＝ax 2＋2x －1为开口向下的抛物线， 若ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)内恒有解，则⎩⎨⎧Δ＝4＋4a ≥0，x ＝－1a ＞0，解得－1≤a ＜0， 而当a ＝－1时，f ′(x )＝x 2－2x ＋1x ＝（x －1）2x ≥0，不符合题意，故－1＜a ＜0；③当a ＝0时，显然符合题意.综上所述，a 的取值范围是(－1，＋∞). 答案 (－1，＋∞)课堂小结1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.2.利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； (4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.基础过关1.函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A.(－∞，2) B.(0，3) C.(1，4)D.(2，＋∞)解析 f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )＞0，即(x －2)e x ＞0，解得x ＞2，故选D. 答案 D2.y ＝x ln x 在(0，5)内的单调性是( ) A.单调递增 B.单调递减C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5内单调递增D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 内单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5内单调递减解析 函数的定义域为(0，＋∞).y ′＝ln x ＋1，令y ′＞0，得x ＞1e ；令y ′＜0，得0＜x ＜1e .所以函数y ＝x ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5内单调递增.答案 C3.函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，当a 2－3b <0时，f (x )是( ) A.增函数 B.减函数 C.常数D.既不是增函数也不是减函数解析 求函数的导函数f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，导函数对应方程f ′(x )＝0的Δ＝4(a 2－3b )<0，所以f ′(x )>0恒成立，故f (x )是增函数. 答案 A4.函数y ＝f (x )在其定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3内可导，其图象如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________.解析 函数y ＝f (x )为减函数的区间，反映在图象上图象是下降的. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1∪[2，3)5.当x >0时，f (x )＝x ＋2x 的单调递减区间是________.解析 f ′(x )＝1－2x 2＝x 2－2x 2＝（x －2）（x ＋2）x 2.由f ′(x )<0且x >0得0<x < 2. 答案 (0，2)6.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0，2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0. (1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间.解 (1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0，2)，知d ＝2，∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0，解得b ＝c ＝－3. 故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.(2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )>0，得x <1－2或x >1＋2；令f ′(x )<0，得1－2<x <1＋ 2.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2).7.已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t ).若函数f (x )＝a ·b 在区间(－1，1)上是增函数，求t 的取值范围.解 由题意得f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，则f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t .若f (x )在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上f ′(x )≥0恒成立.即t ≥3x 2－2x 在区间(－1，1)上恒成立.令函数g (x )＝3x 2－2x ，由于g (x )的图象是对称轴为x ＝13，开口向上的抛物线，故t ≥3x 2－2x 在区间(－1，1)上恒成立⇔t ≥g (－1)，即t ≥5.故t的取值范围是[5，＋∞).能力提升8.已知函数f(x)在定义域R上为增函数，且f(x)＜0，则g(x)＝x2f(x)在(－∞，0)内的单调情况一定是()A.单调递减B.单调递增C.先增后减D.先减后增解析因为函数f(x)在定义域R上为增函数，所以f′(x)≥0.又因为g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，所以当x∈(－∞，0)时，g′(x)＞0恒成立，所以g(x)＝x2f(x)在(－∞，0)内单调递增.答案 B9.已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示，选项中的四个图象中能大致表示y＝f(x)的图象的是()解析由题图可知，当x＜－1时，xf′(x)＜0，所以f′(x)＞0，此时原函数为增函数，图象应是上升的；当－1＜x ＜0时，xf ′(x )＞0，所以f ′(x )＜0，此时原函数为减函数，图象应是下降的；当0＜x ＜1时，xf ′(x )＜0，所以f ′(x )＜0，此时原函数为减函数，图象应是下降的；当x ＞1时，xf ′(x )＞0，所以f ′(x )＞0，此时原函数为增函数，图象应是上升的.由上述分析可知选C.答案 C10.若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是________.解析 由于f ′(x )＝k －1x，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，故f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立.由于k ≥1x ，而0＜1x ＜1，故k ≥1，即k 的取值范围是[1，＋∞).答案 [1，＋∞)11. 已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．解析 f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0且f ′(x )不恒为0，所以f (x )为单调递增函数．又f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x －1e －x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－2x ＋e x －1e x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数．由f (a －1)＋f (2a 2)≤0得，f (2a 2)≤－f (a －1)＝f (1－a )，所以2a 2≤1－a ，解得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 12.已知函数f (x )＝ln x －f ′(1)x ＋1－ln 2，试求f (x )的单调区间.解 由f (x )＝ln x －f ′(1)x ＋1－ln 2，x ∈(0，＋∞)，得f ′(x )＝1x －f ′(1).令x ＝1，则f ′(1)＝1－f ′(1)，∴f ′(1)＝12，f ′(x )＝1x －12.由f ′(x )＞0，即1x －12＞0，得0＜x ＜2；由f ′(x )＜0，即1x －12＜0，得x ＞2.故f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，＋∞).创新突破13.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋1，a ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调区间；(2)设函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13内是减函数，求a 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，Δ＝4(a 2－3).当Δ＞0，即a ＞3或a ＜－3时，令f ′(x )＞0，即3x 2＋2ax ＋1＞0，解得x ＞－a ＋a 2－33或x ＜－a －a 2－33；令f ′(x )＜0，即3x 2＋2ax ＋1＜0， 解得－a －a 2－33＜x ＜－a ＋a 2－33. 故函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a －a 2－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋a 2－33，＋∞； 单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －a 2－33，－a ＋a 2－33. 当Δ＜0，即－3＜a ＜3时，对所有的x ∈R 都有f ′(x )＞0，故f (x )在R 上单调递增.当Δ＝0，即a ＝±3时，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝0，且对所有的x ≠－a 3都有f ′(x )＞0，故f (x )在R 上单调递增.(2)由(1)，知只有当a ＞3或a ＜－3时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －a 2－33，－a ＋a 2－33内是减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－a －a 2－33≤－23，－a ＋a 2－33≥－13.解得a ≥2.故a 的取值范围是[2，＋∞).。
1.3.1函数的单调性与导数
1、求可导函数f(x)单调区间的步骤：
(1)求f’(x)
(2)解不等式f’(x)>0(或f’(x)<0) (3)确认并指出递增区间（或递减区间） 2、证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法： (1)求f’(x)
(2)确认f’(x)在(a,b)内的符号
(3)作出结论
例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同) 注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容 器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.
观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调 性与其导函数正负的关系.
y y=x y
y= x2 y
y=
x3
y
y
x O
1 x
x
O
x x O
O
在某个区间(a,b)内,如果 f ( x) 0 ,那么函数
y f ( x)在这个区间内单调递增; 如果 f ( x) 0 ,那
么函数 y
f ( x)
2 当a 1时，f '(x) 2 3 x 对x （0， 1）也有f '(x)〉 0
a -1时，（ f x）在(0, 1)上是增函数 所以a的范围是[-1，+）
在某个区间上，f '(x)>0(或<0) ，f（x）在这个区间上单调递增 （递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而 仅仅得到 f '(x)>0(或<0) 是不够的。还有可能导数等于0 也能使f（x）在这个区间上单调， 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证
本题用到一个重要的转化：
m≥f(x)恒成立 m f (x)max m f (x)恒成立 m f (x )min
1.3.1函数单调性与导数(第一课时)
0
. . . . . ..
2
x
分析: 该函数在区间 （－∞，2）上切线斜 率小于0,即其导数为 负,这时函数在（－∞， 2）上单调递减； 在区间（2，+∞） 上切线斜率大于0,即 其导数为正，这时函 数在（2，+∞）上单 调递增。 而当x=2时其切线 斜率为0,即导数为0.
一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导,
f ( x)为增函数时，有 f ( x1 ) f ( x2 ) y 0, 即 0 x1 x2 x f ( x)为减函数时，有 f ( x1 ) f ( x2 ) y 0单调性密 切相关
再观察函数y=x2－4x＋3的图象： y
江苏省靖江高级中学
祁海波
一、知识回顾：
1.单调性的定义 一般地，设函数 y=f(x) 的定义域为 I，如果 对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变 量 x 1 ， x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x) 在区间D上是增函数． 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x) 在区间D上是减函数．
2
( A)增函数 ( B )减函数 (C )常数 ( D )既不是增函数也不是减函数
图象法
y x3 2 x2 x ?
2 y x 比如：判断函数 的单调性。 图象法 y 如图：
y x2
减 函数， 函数在 ( , 0) 上为____ 增 函数。 在 (0, ) 上为____
o
x
发现问题：用单调性定义讨论 函数单调性虽然可行，但十分麻 烦，尤其是在不知道函数图象时 . 例如 y=x 3 +2x 2 -x. 是否有更为简捷 的方法呢？下面我们考察单调性 与导数有什么关系?
高中数学选修1-1课时作业9：3.3.1 函数的单调性与导数
§3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.1 函数的单调性与导数一、选择题1.函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( ) A.(π2，3π2) B.(π，2π) C.(3π2，5π2) D.(2π，3π)2.函数f (x )＝x ln x ，x ∈(0,5)( ) A.是增函数B.在(0，1e )上是减函数，在(1e ，5)上是增函数C.是减函数D.在(0，1e )上是增函数，在(1e，5)上是减函数3.如图是函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象，则下列判断正确的是( )A.在区间(－2,1)上f (x )是增函数B.在(1,3)上f (x )是减函数C.在(4,5)上f (x )是增函数D.在(－3，－2)上f (x )是增函数4.函数y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )5.函数f (x )的导函数为f ′(x )，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的[[解析]]式可能是( )A.y ＝x 2－2xB.y ＝13x 3＋x 2C.y ＝x 2＋2xD.y ＝13x 3－x 26.函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A.a ≤0 B.a <1 C.a <2D.a ≤137.函数f (x )＝sin x ＋2xf ′(π3)，f ′(x )为f (x )的导函数，令a ＝－12，b ＝log 32，则下列关系正确的是( ) A.f (a )>f (b ) B.f (a )<f (b ) C.f (a )＝f (b ) D.f (|a |)<f (b )二、填空题8.已知函数f (x )＝k e x －1－x ＋12x 2(k 为常数)，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与x 轴平行，则f (x )的单调递减区间为____________.9.已知函数f (x )＝x 3－ax －1，若f (x )在(－1,1)上单调递减，则a 的取值范围为________. 10.函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则不等式f ′(x )x<0的解集为________.11.定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，f ′(x )<2，则满足f (x )>2x －1的x 的取值范围是________. 三、解答题12.若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为增函数，试求实数a 的取值范围.13.已知二次函数h (x )＝ax 2＋bx ＋2，其导函数y ＝h ′(x )的图象如图，f (x )＝6ln x ＋h (x ).(1)求函数f (x )的[[解析]]式；(2)若函数f (x )在区间(1，m ＋12)上是单调函数，求实数m 的取值范围.[[答案]]精析1.B2.B3.C4.D5.B6.A7.A8.(－∞，0)9.[3，＋∞)10.(－3，－1)∪(0,1) 11.(－∞，1)12.解 f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1＝(x －1)[x －(a －1)]， 令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝a －1. 因为f (x )在(1,4)内为减函数， 所以当x ∈(1,4)时，f ′(x )≤0； 因为f (x )在(6，＋∞)内为增函数， 所以当x ∈(6，＋∞)时，f ′(x )≥0. 所以4≤a －1≤6，解得5≤a ≤7. 所以实数a 的取值范围为[5,7]. 13.解 (1)由已知，h ′(x )＝2ax ＋b ， 其图象为直线，且过(0，－8)，(4,0)两点， 把两点坐标代入h ′(x )＝2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 8a ＋b ＝0，b ＝－8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－8，∴h (x )＝x 2－8x ＋2，h ′(x )＝2x －8， ∴f (x )＝6ln x ＋x 2－8x ＋2. (2)f ′(x )＝6x ＋2x －8＝2(x －1)(x －3)x(x >0).当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴f (x )的单调递增区间为(0,1)和(3，＋∞)， f (x )的单调递减区间为(1,3).要使函数f (x )在区间(1，m ＋12)上是单调函数，则⎩⎨⎧1<m ＋12，m ＋12≤3，解得12<m ≤52.即实数m 的取值范围为(12，52].。
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1.3.1函数的单调性与导数课时作业6A 级 基础巩固一、单选题1．函数3y x x =+的递增区间是（ ）A ．(0,)+∞B ．(,1)-∞C ．(,)-∞+∞D ．(1,)+∞ 2．函数2()ln 2f x x x =-+的递增区间是（ ）A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．11,0,22⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭3．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()y f x '=的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知实数x 、y 满足2222x y x y +<+，则（ ）A ．x y >B ．x y =C ．x y <D ．x 、y 大小不确定5．已知函数()()2x f x x a e =-在区间[]1,2上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(]3,-∞B ．(],8-∞C ．[)3,+∞D ．[)8,+∞ 6．函数22y x x=+的单调递增区间为（ ）A ．(),1-∞B ．(2,)+∞C ．()1,+∞D ．(),0-∞ 7．若函数()22ln f x x x a x =++在()0,1上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4a ≤B ．4a ≥C ．4a ≤-D ．4a ≥-8．已知函数()y xf x '=的图象如图所示（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．B 级 综合提升9．函数4()3ln f x x x x =+-的单调递减区间是（ ） A ．(1,4)- B ．(0,1) C ．(4,)+∞ D ．(0,4)10．如图所示为()y f x '=的图象，则函数()y f x =的单调递减区间是（ ）A ．(),1-∞-B ．()2,0-C ．()()2,0,2,-+∞D ．()(),1,1,-∞-+∞二、填空题11．函数()43ln f x x x x=++的单调递减区间是______． 12．函数2sin y x x =+的单调增区间为___________13．若函数226y x bx =-+在(2,8)内是增函数，则实数b 的取值范围是_________． 14．函数32123y x x mx =+++是R 上的单调函数，则m 的范围是_________. C 级 拓展探究三、解答题15．已知函数()31f x x ax =--. （1）若()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，求a 的取值范围.（2）若()f x 的单调递减区间为(1,1)-，求a 的值.16．已知()1xf x e ax =--. （1）当2a =时，讨论()f x 的单调区间；（2）若()f x 在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围.参考答案1．C【分析】利用导数的性质进行求解即可.【详解】3'231y x x y x =+⇒=+，因为'0y >在整个实数集上恒成立，所以函数3y x x =+的递增区间是(,)-∞+∞.故选：C2．D【分析】 求出241()x f x x '-=，由()0f x '>可得答案. 【详解】由2()ln 2f x x x =-+，得2141()4x f x x x x -'=-+=()0x > 令()0f x '>，即2410x ->，解得12x >所以函数2()ln 2f x x x =-+的递增区间是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ 故选：D3．D【分析】根据导函数大于0，原函数单调递增；导函数小于0，原函数单调递减；即可得出正确答案.【详解】由导函数得图象可得：0x >时，()0f x '<，所以()f x 在(),0-∞单调递减，排除选项A 、B ，当0x >时，()f x '先正后负，所以()f x 在()0,∞+先增后减，因选项C 是先减后增再减，故排除选项C ，故选：D.4．C【分析】设()22t f t t =+，证明()f t 在R 上单调递增，即得解.【详解】设()22t f t t =+，所以()22ln 20t f t '=+>，所以函数()f t 在R 上单调递增，由题得()()f x f y <，所以x y <.故选：C【点睛】关键点睛：解答本题的关键是通过已知的特点，联想到构造函数，利用导数研究函数的单调性.5．A【分析】由函数的单调性与导数的关系得出220x x a +-≥在区间[]1,2上恒成立，将问题转化为求()2min 2x x +，即可得出答案.【详解】()()220x f x x x a e '=+-≥在区间[]1,2上恒成立，则220x x a +-≥在区间[]1,2上恒成立即()22min 2123a x x≤+=+=故选：A6．C【分析】求导，根据0y '>可解得结果.【详解】3222222x y x x x-'=-=，由0y '>得3220x ->，即1x >， 所以函数22y x x =+的单调递增区间为(1,)+∞. 故选：C【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，属于基础题.7．C【分析】由题意得：()220a f x x x'=++≤在()0,1上恒成立，整理可得：222a x x ≤--在()0,1上恒成立直接求解即可.【详解】由题意可得： ()220a f x x x'=++≤在()0,1上恒成立， 整理可得：222a x x ≤--，函数222y x x =--在()0,1上递减， 所以(4,0)y ∈-，所以4a ≤-，故选：C.【点睛】本题考了恒成立问题，考查了转化思想，恒成立问题的一个重要方法是参变分离，属于基础题.8．C【分析】根据函数()y xf x '=的图象，依次判断()f x 在区间(,1)-∞-，(1,0)-，(0,1)，(1,)+∞上的单调性即可．【详解】由函数()y xf x '=的图象可知：当1x <-时，()0xf x '<，()0f x '>，此时()f x 单调递增；当10x -<<时，()0xf x '>，()0f x '<，此时()f x 单调递减；当01x <<时，()0xf x '<，()0f x '<，此时()f x 单调递减；当1x >时，()0xf x '>，()0f x '>，此时()f x 单调递增．故选：C【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的图象问题．意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．D【分析】 求导，2243(1)(4)()1x x f x x x x +-=--=＇，由()0f x <＇即可得解. 【详解】 函数的定义域是(0,)+∞，2243(1)(4)()1x x f x x x x +-=--=＇， 令()0f x <＇，解得04x <<， 故函数4()3ln f x x x x=+-在(0,4)上单调递减， 选：D .【点睛】 本题考查了利用导数求函数单调性，考查了导数的基本能应用，属于基础题.10．C【分析】根据导数与单调性关系确定．【详解】由导函数图象，知20x -<<或2x >时，()0f x '<，∴()f x 的减区间是(2,0)-，(2,)+∞． 故选：C ．【点睛】本题考查导函数与单调性的关系，一般由()0f x '>确定增区间，由()0f x '<确定减区间．11．()0,1【分析】求出导函数()'f x ，在(0,)+∞上解不等式()0f x '<可得()f x 的单调减区间．【详解】()()()'2+41431x x f x x x x-=-+=，其中0x >， 令()'0f x <，则(0,1)x ∈，故函数()43ln f x x x x=++的单调减区间为(0,1)， 故答案为：(0,1)．【点睛】一般地，若()f x 在区间(,)a b 上可导，我们用'()0f x <求，则()f x 在(,)a b 上的减区间，反之，若()f x 在区间(,)a b 上可导且为减函数，则()0f x '≤，注意求单调区间前先确定函数的定义域．12．(,)-∞+∞【分析】利用导函数的正负，求原函数的单调区间，即可.【详解】解： '2cos y x =+，[]cos 1,1x ∈-，∴'0y >在R 上恒成立，所以函数的单调增区间为(),-∞+∞，故答案为：(),-∞+∞【点睛】本题利用导数考查函数的单调性，属于基础题。
13．(,2]-∞【分析】由题意得220y x b =-≥'在(2,8)内恒成立，分离参数即得解.【详解】由题意得220y x b =-≥'在(2,8)内恒成立，即b x ≤在(2,8)内恒成立，所以2b ≤．故答案为：(,2]-∞【点睛】结论点睛：一般地，函数()f x 在某个区间可导，()f x 在这个区间是增函数⇒'()f x ≥0，一般地，函数()f x 在某个区间可导，()f x 在这个区间是减函数⇒'()f x ≤014．[1,)+∞【分析】32123y x x mx =+++是R 上的单调函数，则导函数恒大于等于0或恒小于等于0， 而导函数是开口向上的二次函数，只可能是恒大于等于0，则用判别式求解即可.【详解】32123y x x mx =+++是R 上的单调函数，则导函数恒大于等于0 2'20y x x m =++≥则440m ∆=-≤，m 1≥故答案为：[1,)+∞【点睛】若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．15．（1）(],3-∞；（2）3.【分析】（1）由题意可得()0f x '≥在(1,)+∞上恒成立，即23a x ≤在(1,)+∞上恒成立，转化为不等式右边的最小值成立，可得答案；（2）显然0a >，否则函数()f x 在R 上递增.利用导数求出函数()f x 的递减区间为(，再根据已知递减区间，可得答案 【详解】（1）因为()23f x x a '=-，且()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，所以()0f x '≥在(1,)+∞上恒成立，即230x a -≥在(1，+∞)上恒成立，所以23a x ≤在(1,)+∞上恒成立，所以3a ≤，即a 的取值范围是(],3-∞（2）由题意知0a >.因为()31f x x ax =--，所以()23f x x a '=-.由()0f x '<，得x <<所以()f x 的单调递减区间为(， 又已知()f x 的单调递减区间为(1,1)-，所以(=(1,1)-，1=，即3a =. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，特别要注意：函数在某个区间[,]a b 上递增或递减与函数的递增或递减区间是[,]a b 的区别，属于基础题.16．（1）()f x 的单调递增区间为()ln 2,+∞，单调递减区间为(),ln 2-∞；（2）0a ≤【分析】（1）计算()'f x ，根据()'0f x >与()'0f x <，可得结果.（2）利用等价转化的思想，'0f ≥在R 上恒成立，然后根据()'f x 的单调性，简单计算，可得结果.【详解】（1）当2a =时，()21xf x e x =-- 则()'2x fx e =-， 令()'20x fx e =->，得ln 2x > 令()'20x f x e =-<，得ln 2x <所以()f x 的单调递增区间为()ln 2,+∞单调递减区间为(),ln 2-∞（2）由题可知：()f x 在定义域R 内单调递增等价于()'0x fx e a =-≥ 由()'x f x e a =-在R 上单调递增，又0x e >则000a a -≥⇒≤【点睛】本题考查导数的简单应用，掌握导数与原函数之间的关系，属基础题.。