湖北省宜昌市协作体2017_2018学年高一数学下学期期末考试试题

宜昌市部分示范高中教学协作体2018年春期末联考高一数学（全卷满分：150 分 考试用时：120分钟）一. 选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．若a ＞b ，则下列正确的是( ) A ．a 2＞ b 2B ．ac 2＞ bc2C ．a 3＞b 3D ．ac ＞ bc2．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，则a ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．－12 D.123．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形4．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S = A ．5 B ．7 C ．9 D ．115．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a cos B ＝b cos A ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形6. 等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( ) A ．a 1＝1 B ．a 3＝1 C ．a 4＝1 D ．a 5＝17．设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )． A ．S n ＝2a n －1 B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n8．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α（ ）A ．B ．CD ．9. 一个棱长为1的正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A . 12B . 13C . 23D .5610．在正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面的正投影为正方形的中心）ABCD P -中，2=PA ，直线PA 与平面ABCD 所成的角为︒60，E 为PC 的中点，则异面直线PA 与BE 所成角为（ ）A.90 B.60 C.45 C.3011．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，4)B ．(－∞，0)∪(3，＋∞)C ．(－4，1)D ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)12．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ­ABC 为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，PA ＝AB ＝2，AC ＝4，三棱锥P ­ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π二、填空题：本大题共4小题,每小题5分。

13．数列{a n }中的前n 项和S n ＝n 2－2n ，则通项公式a n ＝________．14．若不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．15. α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . ③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中错误的命题有________．(填写错误命题的编号)16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若b ＝3，B ＝π3,则2a+ c 的最大值为 ．三．解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤（17题10分，其余各题12分）.17．在ABC ∆222sin B B =．（1）求角B 的值；（2）若4a =，b =c 的值.18．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且11=2a b =，3522a a +=，246b b b =. （1）数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设n n n c a b =-，求数列{}n c 前n 项和.-中，底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，,E F分别是19．在四棱锥P ABCDPB PD的中点，PA AD,=.（1）求证：EF∥平面ABCD；（2）求证：平面AEF⊥平面PCD20．某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x(x≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q(x)＝3 000＋50x(单位：元)．（1）求楼房每平方米的平均综合费用f(x)的解析式.（2）为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？（注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用）建筑总面积21．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2B ＋cos B ＝1－cos A cosC . （1）求证：a ，b ，c 成等比数列； （2）若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值．22．已知数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＝n ＋1na n ＋2n ＋2. （1）证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；（2）证明：1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n<1.宜昌市部分示范高中教学协作体2018年春期末联考高一数学参考答案13、 2n －3 14、(－∞，－4)∪(4，＋∞) 15、① 16、17. 解：（1222sin B B =，所以2cos 2sin B B B =. ……………2分 因为0B π<<，所以sin 0B ≠， 所以tan B =3B π=. ……………5分（2）由余弦定理可得(222424cos3c c π=+-⋅⋅⋅， ……………7分所以24120c c --=，解得6c =或2c =-（舍）.解得6c =. ……………10分18.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ． 因为354222a a a +==，所以41123a d ==+．解得d =3． ……………2分 又因为241565b b bb b qb ===，所以12q b ==． ……………4分 所以31,2,*n n n a n b n N =-=∈． ……………6分 （2）由（Ⅰ）知，31,2,*n n n a n b n N =-=∈． 因此=312n n n n c a b n =---数列{}n a 前n 项和为2(231)322n n n n+-+=． ……………8分数列{}n b 的前n 项和为12(12)2212n n +-=--． ……………10分所以，数列{}n c 前n 项和为221133422,=2*22n n n n n n n N +++++-+-∈或，． ………12分19. 解：（1）证明：连接BD ，因为,E F 分别是,PB PD 的中点，所以EF BD ∥. ………2分 又因为EF ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ………4分 所以EF ∥平面ABCD . ………6分 （2）证明：因为PA AD =，F 为PD 中点.所以AF PD ⊥.又因为ABCD 是矩形，所以CD AD ⊥. 因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA CD ⊥.因为PA AD A =I ，所以CD ⊥平面PAD . ………8分 因为AF ⊂平面PAD ，所以CD AF ⊥.又因为PD CD D =I ，所以AF ⊥平面PCD . ………10分 又因为AF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PCD ………12分 20. 解（1）依题意得，f (x )＝Q (x )＋8 000×10 0004 000x ＝50x ＋20 000x＋3 000(x ≥12，x ∈N *)， ………5分（2）f (x )＝50x ＋20 000x＋3 000≥250x ·20 000x＋3 000＝5 000(元)． ………8分当且仅当50x ＝20 000x，即x ＝20时上式取“＝”． ………10分因此，当x ＝20时，f (x )取得最小值5 000(元)．所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5 000元． ………12分21.（1）证明：在△ABC 中，cos B ＝－cos(A ＋C )．由已知，得(1－sin 2B )－cos(A ＋C )＝1－cos A cos C ， ………2分 ∴－sin 2B －(cos A cosC －sin A sin C )＝－cos A cos C ，化简，得sin 2B ＝sin A sinC .由正弦定理，得b 2＝ac ，∴a ，b ，c 成等比数列． ………6分 （2）由(1)及题设条件，得ac ＝4.则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12， ………8分当且仅当a ＝c 时，等号成立． ∵0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ≤ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32. ………10分 ∴S △ABC ＝12ac sin B ≤12×4×32＝ 3.∴△ABC 的面积的最大值为 3. ………12分22.证明（1）由a n ＋1＝n ＋1n a n ＋2n ＋2，得a n ＋1n ＋1＝a nn＋2， ………2分 即a n ＋1n ＋1－a nn ＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为3，公差为2的等差数列． ………4分 （2）由(1)知，a n n＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1，∴a n ＝n (2n ＋1)， ………6分 ∴1a n ＝1nn ＋<1nn ＋＝1n －1n ＋1， ………9分 ∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n <⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝11－1n ＋1<1， ∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n<1. ………12分。