BOT模式下收费道路价格竞争博弈模型

BOT 模式下收费道路价格竞争博弈模型1谭伟，谭德庆西南交通大学经济管理学院，成都（610031）E-mail ：twcctw@摘 要：BOT 模式广泛应用于各国基础设施建设，而BOT 收费道路项目是其应用的重要领域之一。

本文主要研究某两地之间已有一条BOT 收费道路的情况下，其他项目公司再建造一条平行的BOT 收费道路，从而带来的价格竞争博弈问题。

在考虑收费道路通行容量和时间成本的基础上，本文建立了项目公司的价格竞争博弈模型，分析纳什均衡解的性质，并与垄断阶段的价格和收益进行对比，得到很多重要的结论，对BOT 模式在收费道路项目的应用有着重要的指导意义。

关键词：BOT ；收费道路；博弈论；纳什均衡1 引言近年来， 随着BOT （Build-Operate-Transfer ）模式在各国基础设施建设中的广泛应用，在学术界也吸引了众多学者对BOT 模式的研究和讨论。

肖条军[1]建立了BOT 交通项目的投资对策模型，并证明了Nash 均衡的存在性，给出了解的性质。

K.T. Yeo, Robert L.K. Tiong [2]讨论了如何在BOT 项目中对风险进行有效的管理和控制；Michael 和Charles Y [3]运用实物期权理论分析了BOT 项目在特许权期内的收益。

关于收费道路及其效益的问题也受到许多学者的关注。

Yang 和Meng [4-5]研究了高速公路BOT 项目的容量选择和最优通行费的问题，并考虑了弹性需求下收费道路的定价和道路容量的最优决策问题。

Louie 和John [6]城市交通系统的效率问题进行了研究。

Mills [7]在一个道路网络系统上研究了收费道路的盈利及其社会效益之间的关系，并指出可盈利的收费道路可能导致整个网络系统社会效益的下降。

杨宏伟等[8-9]研究了项目公司在BOT 模式下建造并经营收费道路的收益和社会效益，并研究了两地之间已有一条免费道路的情况下，私营财团再建造一条平行的BOT 收费道路，从而带来的道路收费价格和建设投资的决策问题。

根据文献[9]的研究思想，本文的研究中也充分考虑到收费道路的容量和通行时间成本，对消费者选择和项目公司定价决策的影响。

本文主要研究某两地之间已有一条BOT 收费道路的情况下，其他项目公司再建造一条平行的BOT 收费道路，从而带来的价格竞争博弈问题。

通过建立在位者和进入者的价格竞争博弈模型，分析纳什均衡解的性质，并与垄断阶段的价格和收益进行对比。

2 在位者的垄断决策模型在本文的研究之中，首先假设两地之间已存在一条BOT 收费道路项目处于垄断地位，特许权期已定，项目公司拥有自由定价的权力。

收费道路的容量和流量分别用1M 和1q 表示，垄断价格记为1p ，项目平均运营成本为1c 。

设消费者通过收费道路的时间成本为11(,)T M q ，它是该项目容量和流量的函数，11/0T M ∂∂<，表示道路容量越大，通行时间成本越小；11/0T q ∂∂>，表示道路流量越大，通行成本越大[9]。

则消费者通过道路的总成本为1本课题得到国家自然科学基金项目（70371045）的资助。

111(,)C T M q p =+ (1) 假设通行道路在每个时间段的总流量为消费成本的减函数，Q a bC =− (2) 其中,0a b >分别为社会总需求和需求-成本弹性系数，则垄断者的决策模型为，11111: u =()p MAX p c q − (3)假设时间成本具有以下形式[9]，1111(,)()T M q k M q = (4)由（1）、（2）、（4）式可将1q 表示为，1111()a bp q bk M −=+ （5）则根据决策模型最优一阶条件可得最优通行价格，*11()2p a bc b=+ （6）垄断收益为，2*111()4(1)a bc u b bk −=+ （7）3 价格竞争博弈模型及分析3.1 均衡价格进入者修建的道路容量用2M 表示，其项目平均运营成本为2c ，在位者和进入者的通行流量分别为1q 和2q ，消费者通过进入者收费道路的总成本与垄断模型中通行总成本具有相同的形式，即222(,)T M q p +，其中2222(,)()T M q q k M =，为了表达方便，在后文中用12,k k 分别表示12(),()k M k M 。

假设消费者对通行时间成本有充分的观察能力，则可以得到，111222(,)(,)T M q p T M q p +=+ （8）若等式（8）不成立，那么通行成本较高收费道路的部分消费者将会转移到通行成本较低的收费道路，消费者的转移导致高通行成本道路的时间成本降低，而低通行成本的收费道理成本升高，直至两条道路通行成本相等达到平衡状态。

因此，双寡头竞争情况下收费道路单位通行成本为，111222(,)(,)C T M q p T M q p =+=+ （9）两条道理的总流量由（2）式确定，可得，12111222()()Q q q a b k q p a b k q p =+=−+=−+ （10）211211212()k a bp p p q k k bk k −−+=++ （11）122121212()k a bp p p q k k bk k −−+=++ （12）此时在位者的决策模型如下：11111: ()p MAX u p c q =− （13）结合（11）式对1p 求上式的最优一阶条件得在位者对进入者的最优反应为，*12212()21a bc k p p bk ++=+ （14）同理可得进入者对在位者的最优反应为，*21121()21a bc k p p bk ++=+ （15）根据NASH 均衡的性质，可求双方的均衡价格分别为，*11221112()(21)()(21)(21)1a bc bk k a bc k p bk bk ++++=++− （16）*22112212()(21)()(21)(21)1a bc bk k a bc k p bk bk ++++=++− （17）3.2 模型的进一步分析3.2.1三个价格的比较分析 由（6）、（16）式可得，**112111212()()(21)(21)1bk c c p p c c bk bk −−==ℵ⋅−++− (18)易证式ℵ为正。

由(16)、（17）式可得，2**121212122()(21)(21)1b k kc c p p bk bk −−=++− （19）由（18）、（19）式可得性质1，性质1 当进入者的平均运营成本2c 高于（低于、等于）在位者时，进入者的竞争均衡价格*2p 高于在位者的竞争均衡价格*1p ，而*1p 高于（低于、等于）在位者垄断最优价格*1p 。

从性质1可以看出，相对于进入者的竞争均衡价格*2p ，在位者的均衡价格*1p 总是更接近于在位者垄断最优价格*1p （除开三个价格相等的情况）。

给定在位者平均运营成本1c ，则具有不同运营成本的进入者（此时假设2c 为一变量）进入竞争时三个价格的关系表示如图1。

图1 **112,,p p p关系图 Fig.1 Relationship of ***112,,p p p通过（19）式易证12c c >时，**121()/0p p k ∂−∂>，**122()/0p p k ∂−∂>，可得性质2， 性质2 给定在位者和进入者平均运营成本不等的情况下，两条收费道路的通行容量1M ，2M 越大（即1k ，2k 越小），双方均衡价格差额的绝对值越小；反之，则越大。

3.2.2 进一步的假设（一）假设潜在竞争者所建道路的最大通行容量2M 等于在位者的1M ，可得12k k k ==，代入（16）、（17）式可分别求出两者的均衡价格*1e p ，*2e p ，*121124(1)e a bc c cp b bk +−=++ （20） *212224(1)e a bc c cp b bk +−=++ （21） 将（20）、（21）式代入（11）、（12）分别求得双方均衡通行量为，*12112()(1)()4(1)(2)e a bc bk b c c q bk bk −++−=++ （22）*21222()(1)()4(1)(2)e a bc bk b c c q bk bk −++−=++ （23）由（17）、（18）、（19）、（20）式可得双方的均衡收益分别为，212112[2()(1)()]16(1)(2)e a bc bk b c c u b bk bk −++−=++ （24） 221222[2()(1)()]16(1)(2)e a bc bk b c c u b bk bk −++−=++ （25） （二）假设在位者的平均运营成本相同，12c c c ==。

由（16）、（17）式可知此时双方的均衡价格相等，为，***12121212()(2)(21)(21)1a bc bk k k k p p p bk bk +++===++− （26）由（8）式可得双方通行流量的比值为，1212121/1/q k k q k k == （27） 由此可得性质3，性质3 在位者与进入者平均运营成本相同时，双方通行流量之比等于双方流量对时间成本影响系数的倒数之比，即道路容量较大的一方通行流量较大，相同时间内的收益也更大。

（三）假设12k k k ==，12c c c ==同时成立 1) 若在位者与进入者合作，联合最优决策模型为，c : u =2()pMAX p c q − （28）由（2）、（8）式可得，2a bpq bk −=+ （29）将（29）式代入（28）式再根据最优一阶条件可得，2c a bcp b+=（30） 则最大联合收益为，2()2(2)c a bc u b bk −=+ （31） 此时在位者与进入者平分最大联合收益。

2) 在位者与进入者进行非合作博弈，根据（20）、（21）式可得***122ec a bcp p p p b+==== （32） 再由（24）、（25）式可得，2***12()4(2)2c u a bc u u u b bk −====+ (33)由（32）、（33）式可得，性质4 当在位者和进入者道路容量和平均运营成本相同时，非合作博弈的均衡价格和均衡收益与双方合作时无差异。

由（7）、（31）式可得，112c u bku bk =++ （34） 由上式可见，在已有一条收费道路的情况下，再建造一条相同容量且具有相同平均运营成本的收费道路，在位者和进入者获得的收益小于在位者垄断收益1u ，却大于*1/2u ，所增加的总收益占原垄断收益的比重随bk 的增加而增加。

一种极端的情况便是0bk =，即通行总流量对通行总成本不敏感，或时间成本对道路容量不敏感时，新增一条相同规模与运营效率的收费道路，无论在位者与进入者采取合作或非合作的态度，双方的总收益皆等于在位者的垄断收益。