中考复习---反比例函数与一次函数综合---初三

总复习-第三讲 反比例函数与一次函数的综合

一.教学目标

1.掌握反比例函数和一次函数的定义，性质及熟悉常见考法的题型

2.两类函数综合考法

二．教学重难点

1.出现考题，知道做题的思路及方法

2.作为压轴题，反比例函数及一次函数的考法和知识点之间的灵活运用。

三．教学内容 考点速记

一、一次函数和正比例函数的定义

一般地，如果y =kx ＋b (k ，b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数．

特别地，当b =0时，一次函数y =kx ＋b 就成为y =kx (k 是常数，k ≠0)，这时y 叫做x 的正比例函数． 二、一次函数的图象与性质 1．一次函数的图象

（1）一次函数y =kx ＋b (k ≠0)的图象是经过点(0，b )和0b k ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

，的一条直线．

（2）正比例函数y =kx (k ≠0)的图象是经过点(0，0)和(1，k )的一条直线．

（3）因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两个点即可．

2．一次函数图象的性质

函数

系数取值

大致图象

经过的象限

函数性质

y =kx (k ≠0)

k ＞0

第一，三象限

y 随x 增大而增大

k ＜0

第二，四象限

y 随x 增大而减小

y =kx ＋b (k ≠0)

k ＞0，b ＞0

第一，二，三象限

y 随x 增大而增大

k ＞0，b ＜0

第一，三，四象限

k ＜0，b ＞0

第一，二，四象限

y 随x 增大而减小

k ＜0，b ＜0

第二，三，四象限

一次函数y =kx ＋b 的图象可由正比例函数y =kx 的图象平移得到，b ＞0，上移b 个单位；b ＜0，下移|b |个单位．

三、利用待定系数法求一次函数的解析式

因为在一次函数y =kx ＋b (k ≠0)中有两个未知数k 和b ，所以，要确定其关系式，一般需要两个条件，常见的是已知两点坐标P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)代入得112

2y x k b

y x k b =+⎧⎨=+⎩，求出k ，b 的值即可，这种方法叫做待

定系数法．

四、一次函数与方程、方程组及不等式的关系 1．y =kx ＋b 与kx ＋b =0

直线y =kx ＋b 与x 轴交点的横坐标是方程kx ＋b =0的解，方程kx ＋b =0的解是直线y =kx ＋b 与x 轴交点

的横坐标．

2．一次函数与方程组

两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解，以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点．

3．y=kx＋b与不等式kx＋b＞0

从函数值的角度看，不等式kx＋b＞0的解集为使函数值大于零(即kx＋b＞0)的x的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在x轴上方时，y＞0，因此kx＋b＞0的解集为一次函数在x轴上方的图象所对应的x的取值范围．

五、反比例函数的概念

一般地，形如y=(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数．

1．反比例函数y=中的是一个分式，所以自变量x≠0，函数与x轴、y轴无交点．

2．反比例函数解析式可以写成xy=k(k≠0)，它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于已知常数k．

六、反比例函数的图象与性质

1．图象

反比例函数的图象是双曲线．

2．性质

（1）当k>0时，双曲线的两支分别在第一，三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，双曲线的两支分别在第二，四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．

【注意】双曲线的两支和坐标轴无限靠近，但永远不能相交．

（2）双曲线是轴对称图形，直线y=x或y=–x是它的对称轴；双曲线也是中心对称图形，对称中心是坐标原点．

核心考点一次函数与反比函数图象关系

一次函数与反比函数综合题是广东省中考的热点，以解答题形式出现，主要考查待定系数法求一次函数与反比函数解析式，一次函数与反比函数的性质，利用函数图象解不等式等．

【经典示例】将直线31

y x

=+向下平移1个单位长度，得到直线3

y x m

=+，若反比例函数

k

y

x

=的图象与

直线3

y x m

=+相交于点A，且点A的纵坐标是3．（1）求m和k的值；

（2）结合图象求不等式3

k

x m

x

+>的解集．

答题模板

第一步，确定函数图象上的点：根据题意确定函数图象上已知的点．

第二步，求函数解析式：根据函数图象上点的特征利用待定系数法求函数解析式．第三步，确定一次函数与反比函数的交点：利用函数解析式求出两个函数的交点．第四步，观察图象：由图象确定不等式的解集．

模拟训练

如图，在直角坐标系中，直线()

10

y kx k

=+≠与双曲线

2

y

x

=（x＞0）相交于P（1，m）．

（1）求k的值；

（2）若点Q与点P关于y=x成轴对称，则点Q的坐标为Q（）；

（3）若过P、Q两点的抛物线与y轴的交点为N（0，5

3

），求该抛物线的解析式，并求出抛物线的对称轴

方程．

直击中考

1．（2017·广西贵港）如图，一次函数24

y x

=-的图象与反比例函数

k

y

x

=的图象交于,A B两点，且点A

的横坐标为3．

（1）求反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标．

2．（2017·安顺）已知反比例函数y1=k

x

的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，–2）．

（1）求这两个函数的表达式；

（2）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．