自动控制第五章根轨迹法资料

K
C(s)
s(0.5s+1)
式中，K为系统的开环比例系数。 K1 = 2K 称为系统的开环 根轨迹增益。
系统的闭环传递函数为：
(s)
s2
K1 2s
K1
系统的闭环特征方程为： s2 + 2s + 2K1 = 0
4
一、根轨迹
用解析法求得系统的两个闭环特征根为：
s1,2 1 1 K1
闭环特征根s1，s2 随着K1值得 改变而变化。
j
第五章
j1
根轨迹法
-4 -2 -1 0 (Root Locus Method)
1
第五章 根轨迹法
闭环系统的动态性能与闭环极点在s平 面上的位置密切相关,系统的闭环极点也 就是特征方程式的根.当系统的某一个或 某些参量变化时,特征方程的根在s平面 上运动的轨迹称为根轨迹.
1）根轨迹的概念 2）绘制根轨迹的基本条件
8பைடு நூலகம்
绘制根轨迹的基本条件
根轨迹的幅值条件：
n
s pi
i 1 m
K1
s zj
j 1
负反馈根轨迹的相角条件：
m
n
(s z j ) (s pi ) (2q 1)
j 1
i 1
满足此式的根轨迹，称为1800根轨迹；
正反馈根轨迹的相角条件：
m
n
(s z j ) (s pi ) (2q)
研究下图所示负反馈控制系统的一般结构：
系统的闭环传递函数为：
R(s)
+﹣
(s) C(s) G(s)
R(s) 1 G(s)H (s)
该系统的特征方程为:
C(s) G(s)
H(s)
或，
上式称为系统的根轨迹方程。
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二、根轨迹方程
系统的开环传递函数G(s)H(s)写成如下形式：
m
G(s)H (s)
K1
结论：满足相角条件的s值代入幅值条件，总可以求得一个对应 的K1值。相角条件是决定闭环系统根轨迹的充分必要条件，绘制根 轨迹只需要满足相角条件就可以，而幅值条件主要是用来确定根轨 迹上各点对应的开环根轨迹增益K1值。
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例题5-1
已知单位负反馈系统的开环传递函数为：
在s平面上取一试验点s1=-1.5+j2.5，试检验它是否为根轨迹 上的点；如果是，则确定与它相对应的K1值是多少。 解：开环极点为0，-2，-6.6 开环零点为-4
j
K1
K1=1
1
K1= 0
0
K1
(3)动态性能。0<K1<1—负实根，过阻尼状态， K1=1—重根，临界阻尼状态， K1>1—共轭复根，欠阻尼状态，衰减振荡 。
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二、根轨迹方程
高阶系统的闭环特征方程是复变量s的高阶代数方程，一般难 以解析求解。伊凡思(W.R.Evans)研究了系统的闭环特征方程与开环 传递函数之间的关系指出，通过系统的根轨迹方程，由系统开环零 极点的分布可以按照一定的规则直接绘制出闭环系统的根轨迹。
2
K1=1
1
K1= 0
0
(4) K1 > 1： s1,2 1 j K1 1
5
K1
一、根轨迹
(1)稳定性。当开环根轨迹增益K1由 零变到无穷时，根轨迹均在s平面 左半部分，因此系统对所有的K1值 都是稳定的。
K1= 0
(2)稳态性能。开环系统在坐标原点 2
有一个极点，属于I型系统，阶跃作
用下稳态误差为零，静态误差系数， 可以从根轨迹上对应的K1值求得。
利用这一方法可以分析系统的性能，确定系统应 有的结构和参数。
3
第一节 根轨迹的基本概念
定义：当系统开环传递函数中某一参数从0时，闭环系统 特征根在s 平面上的变化轨迹，就称作系统根轨迹。一般取开环传 递系数作为可变参数。
解：系统的开环传递函数为:
R(s)
G s K 2K K1
+﹣
s(0.5s 1) s(s 2) s(s 2)
(1) K1= 0：s1 = 0，s2 = 2，是根轨迹的起点，用“”表示。j
(2) 0 < K1<1 ：s1 ，s2 均是负实数。
K1
K1 s1 ，s2 。 s1从坐标原点开
始沿负实轴向左移动； s2从（2， j0）点开始沿负实轴向右移动。
(3) K1= 1： s1 = s2 = 1，重根。
K1= 0
j 1
i 1
满足此式的根轨迹，称为00根轨迹；
9
绘制根轨迹的基本条件
n
s pi
i 1 m
K1
s zj
j 1
m
n
(s z j ) (s pi ) (2q 1)
j 1
i 1
➢ 根轨迹的幅值条件不仅取决于系统开环零极点的分 布，同时还取决于开环根轨迹的增益K1。
➢ 根轨迹的相角条件仅仅取决于系统开环零极点的分 布，与开环根轨迹的增益K1无关。
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第二节 绘制根轨迹的基本规则
当K1 时，① s z j ( j 1 ~ m) ，上式成立。 z j 是开环传递
函数有限值的零点，有m个。故n阶系统有m支根轨迹的终点在
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第一章根轨迹的基本概念
根轨迹的概念的提出 反馈控制系统的性质取决于闭环传函。只要求解
出闭环系统的根，系统的响应就迎刃而解。但是对于 3阶以上的系统求根比较困难。如果系统中有一个可 变参数时，求根更困难了。
1948年，伊凡思提出了一种确定系统闭环特征根 的图解法——根轨迹法。在已知开环零极点分布的基 础上，当某些参数变化时确定闭环极点的一种简单的 图解方法。
M (s) N (s)
K1 (s z j )
j 1
n
(s pi )
i 1
系统的特征方程还可以表示为:
m
K1 (s z j )
j 1 n
1
(s pi )
i 1
满足左式的任何一个复变量s都 是系统的闭环极点，所以当系统的结 构参数（例K1）在某一范围呢连续 变化时，由此式的复变量s在s平面上 描绘的轨迹就是系统的根轨迹，此式 也成为了系统的根轨迹方程。
j
➢ 根据相角条件检验s1是否是根轨迹上的点，即： s1
5.8 3.6 2.6 2.9
➢ 幅值条件确定K1
n
s pi
p3
i 1 m
K1 12.15
s zj
j 1
11
z1
p2 p1 0
第二节 绘制根轨迹的基本规则
法则1：根轨迹的分支数和对称性：根轨迹的分支数等于闭环特 征根的个数，也等于系统的阶数。闭环系统的特征根只有实根和 共轭复根两类，因此根轨迹对称于实轴。
法则2：根轨迹的起点和终点：从开环极点出发；趋向开环零点
或无穷远处。
m
|s
j 1
n
| s
zj pi
| |
1 K1
i 1
当K1 0 时，只有 s pi (i 1 ~ n) 时，上式才能成立。而 pi
是开环传递函数的极点，所以根轨迹起始于开环极点。n阶系统 有n个开环极点，分别是n支根轨迹的起点。