13-14微积分试卷(上B)_期中考试_

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经济数学微积分课程期中模拟考试卷及答案

诚实考试吾心不虚，公平竞争方显实力，考试失败尚有机会，考试舞弊前功尽弃。

《经济数学-微积分》课程期中模拟考试卷（A ）答案202 ——202 学年第一学期姓名学号班级题号一二三四五六总分得分一、单选题(每小题2分，共计10分)1.1=x 是函数xx f -=11arctan)(的（ C ） A .连续点. B .可去间断点. C .跳跃间断点. D .无穷间断点.2.若1)0(='f ，则=--→hh f f h 3)()0(lim0（ B ） A . 0. B . 31. C . 3. D . 31-.3.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=.1,2;1,1|1|)(2x x x x x f 则在1=x 处函数)(x f （ A ）A . 不连续.B . 连续，但不可导.C . 可导，但导函数不连续.D . 可导，且导函数连续.4.设)(x f y =是由方程0ln =+y xy 确定的函数，则=dxdy（ C ） A . xy ln -. B . 2y -. C . 12+-xy y . D . xy y 12+-.5.设)(x f 在),(b a 内可导，),(0b a x ∈，若0)(0='x f ，则)(0x f （ D ）A . 是极大值.B .是极小值.C . 是拐点的纵坐标.D .可能是极值也可能不是极值.得分二、填空题(每小题2分，共计10分)1. =+∞→)sin 1sin(lim xx x x x 1 .2. 设xx f 2)(=，则='-'→x f x f x )0()(lim0 2ln 2 . 3. 设xx f 211)(-=，则=)1()10(f !10210⋅- . 4. 设曲线2x y =的切线与曲线3x y =的切线相互垂直，则曲线2x y =上的点的横坐标=x 361- . 5. 函数x y cos =在23,2[ππ上符合罗尔定理结论中的=ξ π .三、计算题(每小题9分，共计54分)1. ])12()12(1531311[lim +⋅-++⋅+⋅∞→n n n .解: )12()12(1531311[lim +⋅-++⋅+⋅∞→n n n211211[21lim ]1211215131311[21lim =+-⋅=+--++-+-⋅=∞→∞→n n n n n .得分得分2. 已知213)tan )(1ln(lim=-+→x x x x f ，求20)(lim x x f x →.解:由于3ln )(lim 3ln )(lim 3ln tan )(lim 13)tan )(1ln(lim220000x x f x x x f x x x f x x f x x x x x →→→→===-+=,所以3ln 2)(lim2=→x x f x 。

微积分上考试题目及答案

微积分上考试题目及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1的导数为：A. 3x^2-3B. x^2-3x+1C. 3x^2-3xD. 3x^2-3x+1答案：A2. 极限lim(x→0)(sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. -1D. ∞答案：B3. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x) = x^2 + xB. f(x) = x^3 - 2xC. f(x) = cos(x)D. f(x) = sin(x) + x答案：C4. 以下哪个积分是发散的？A. ∫(1/x)dx 从1到∞B. ∫(x^2)dx 从0到1C. ∫(e^(-x))dx 从0到∞D. ∫(sin(x))dx 从0到2π答案：A5. 以下哪个是复合函数的导数？A. (f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)B. (f(g(x)))' = f'(x)g'(x)C. (f(g(x)))' = f(g'(x))g'(x)D. (f(g(x)))' = f'(x)g(x)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数f(x)=x^2的二阶导数为________。

答案：27. 定积分∫(0到1) x dx的值为________。

答案：1/28. 函数y=ln(x)的反函数为________。

答案：e^y9. 函数f(x)=e^x的不定积分为________。

答案：e^x + C10. 函数f(x)=x^3-3x^2+2x的极值点为________。

答案：x=0, x=2三、计算题（每题10分，共30分）11. 计算极限lim(x→∞) (x^2 - 3x + 2) / (2x^2 + 5x - 3)。

答案：1/212. 计算定积分∫(0到1) (x^2 - 2x + 1) dx。

答案：1/313. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值。

微积分(II)期中考试试题(A卷)

1．设()=+z f ax by ，其中f 可微，则( )．（A ）∂∂=∂∂z z x y （B ）∂∂=-∂∂z z x y （C ）∂∂=∂∂z z a b x y （D ）∂∂=∂∂z z b a x y2．定积分⎰--1 12d 1x x 的值是（）．（A ）4π （B ）2π（C ）1 （D ）π 3．函数()33ln y x z +=在）（1,1处的全微分=z d （）．（A ）y x d d + （B ）()y x d d 2+（C ）()y x d d 23+ （D ）()y x d d 3+ 4．下列方程是微分方程的是（）．（A ）x y x y y d )(d ln -=（B ）02tan 3sin =+x x y（C ）0232=+-y y （D ）533-+=x x y5．下列广义积分发散的是（）．（A ）⎰∞+ 1d xx x （B ）⎰∞+ 12d x x（C ）⎰∞+ 1 2d xx x （D ） 1d x x +∞⎰ 6．设222)ln(yx xx y z --+-=的定义域D 的图形是（）．（A ）（B ）（C ）（D ）7．（答题区域：1-10行内）求32e x y x z y+=，求 x z∂∂，yz ∂∂， y x z ∂∂∂2．8．（答题区域：11-20行内）设()y x f z xy cos ,e =，其中f 有一阶连续偏导数，求x z ∂∂，yz∂∂．9．（答题区域：21-30行内）设v u z =，y x u 2+=，y x v -=，求xz∂∂，y z ∂∂．三、计算下列各题（本大题共3个小题，每小题7分，共21分）10．求极限21cos 0d e lim2x t xt x ⎰→． 11．求定积分 e2 1ln d x x x ⎰．12.（答题区域：51-60行内）求定积分 8⎰．添加1． 220|1|d -⎰x x 添加2 设2 0()12 0x x f x x x ⎧≤=⎨+>⎩,,，求2(1)d f x x -⎰．四、解答下列各题（本大题共3个小题，第13小题6分，14、15小题各8分，共22分）13．（答题区域：61-75行内）求微分方程0d )1(d )1(=+--x y y x 的通解．14.求一阶线性微分方程 3)1(12+=+-'x y x y 在初始条件10==x y 下的特解．15. （答题区域：91-105行内）若()f x 在[0,1]上连续，且 122 01()()d 1f x x f t t x=++⎰，求 1()d f x x ⎰及)(x f ．五、应用题（本大题共1个小题，共13分）16．（答题区域：106-120行内）设由曲线2x y =与1=y 所围成的平面图形为D ，（1）求D 的面积；（2）求D 绕x 轴旋转而成的旋转体的体积．六、证明题（本大题共1个小题，共5分）17．（答题区域：121-135行内）设)(x f 在],[b a 上连续，证明x x b a f x x f bab ad )(d )(⎰⎰-+=．参考答案一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）1．D 2．B 3．C 4．A 5．D 6． D二、计算下列各题（本大题共3个小题，每小题7分，共21分）7． 23e 2x xy xz y +=∂∂，)e e (2y y y x y z +=∂∂ y y y y x y x y x z e )1(20)e e (22+=++=∂∂∂ ． 8．)(cos e 21y f y f xzxy ⋅'+'=∂∂=21cos e f y f y xy '+'，)sin (e 21y x f x f yzxy -'+'=∂∂21sin e f y x f x xy '-'= ． ……7分 9．u u vu x zv v ln 1+=∂∂-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-)2ln(2)2()(y x y x y x y x y x ， ……3分)1(ln 21-⋅+⋅=∂∂-u u vu y zv v ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+=-)2ln(2)(2)2()(y x y x y x y x y x ． ……7分 10．xx x t x x xt x 2)sin (e lim d e lim22cos 021 cos 0-⋅-=→→⎰ 2e lim2cos0xx →= 2e=． 11． e 2 1ln d x x x ⎰=)31(d ln 3e 1 x x ⎰⎰-=e 1 23d 311e ln 31x x x x ……4分1e 911e ln 3133x x x -= 913e 23+=． 12.令3t x =，t t x d 3d 2=，2080t x ，8⎰=t tt d 132 0 2⎰+ ……4分 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-202)1ln(23t t t ……6分 =3ln 3． ……7分四、解答下列各题13．微分方程0d )1(d )1(=+--x y y x 的通解. 解：分离变量，得x xy y d 11d 11-=+， ……2分两边积分，得C x y ln )1ln()1ln(+--=+，方程的通解为 C y x =+-)1)(1(． ……6分 14.求一阶线性微分方程 3)1(12+=+-'x y x y 在初始条件10==x y 下的特解. 解：12)(+-=x x p ，3)1()(+=x x q . ……2分方程通解 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰+⎰=⎰+-+--C x x y x x x x d e )1(ed 123d 12 ……3分 []⎰+++=C x x x d )1()1(2 ……5分])1(21[)1(22C x x +++=. ……6分将1|0==x y 代入通解中，得21=C ， ……7分所求特解为：]1)1[()1(2122+++=x x y ． ……8分15. 若()f x 在[0,1]上连续，且 122 01()()d 1f x x f t t x =++⎰，求 1 0()d f x x ⎰及)(x f ．解：设A= 10()d f x x ⎰，则方程化为 2211)(Ax xx f ++=, ……2分对上式在[0，1]上积分，有01)3(arctan 3Ax x A += ,得 8π3=A ，所以， 228π311)(x xx f ++=． ……8分五、应用题（本大题共1个小题，共13分）16．设由曲线2x y =与1=y 所围成的平面图形为D ，（1）求D 的面积；（2）求D 绕x 轴旋转而成的旋转体的体积．解：（1）面积⎰--=112d )1(x x A ……2分11)31(3--=x x ……4分=34. ……6分（2）体积x x V d )1(π114⎰--= ……3分11)51(π5--=x x ……5分=5π8. ……7分六、证明题（本大题共1个小题，共5分）17．设)(x f 在],[b a 上连续，证明x x b a f x x f baad )(d )(b ⎰⎰-+=.证明：设x b a t -+=, ……1分右⎰-=ab t t f )d )(( ……4分⎰=bat t f d )(=左． ……5分。

微积分考试试卷及答案6套

微积分考试试卷及答案6套微积分试题 (A 卷)⼀. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>?ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│?(x )─A│< ε。

2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。

3. 若当0x x →时，α与β是等价⽆穷⼩量，则=-→ββα0limx x 。

4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。

5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是。

6. 设函数y =?(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。

7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为。

8. ='?))((dx x f x d 。

9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最⼤时产量Q 是。

⼆. 单项选择题 (每⼩题2分,共18分)1. 若数列{x n }在a 的ε邻域（a -ε,a +ε）内有⽆穷多个点，则（）。

(A) 数列{x n }必有极限，但不⼀定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且⼀定等于a(C) 数列{x n }的极限不⼀定存在 (D) 数列{x n }的极限⼀定不存在 2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（）。

(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) ⽆穷型间断点→13)11(lim x x x（）。

(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。

当价格=p （）时，需求量减少的幅度⼩于价格提⾼的幅度。

(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，⼜a 是常数，则下列结论正确的是（）。

微积分I(第一层次)期中试题参考答案

……………………
1 n 1 n 1
1 1 1 把上述不等式相加，得 1 2 3 n ln n 1 2 1 而 an 1 1 2 3 1 n 1
ln n 1 n 0 ，所以 {an } 下方有界. 故 lim an 存在.
n
1 1 e
x x 1
，试确定 f ( x ) 的间断点及其类型.
解： x 0, x 1 为间断点. 因为 f (1 ) 0, f (1 ) 1 ，所以 1 为跳跃间断点.

又因为 f (0 ) , f (0 ) ，所以 0 为无穷型间断点.
1 1 八、（8 分）（1）对任意正整数 n ，证明： n1 1 ln(1 n ) n ; 1 1 （2）令 an 1 1 2 3 n ln n ，证明： lim an 存在. n
当 0 | x 2 | ，有
n 4
2. 求极限： lim n 4 .
n
解： 4
n
lim 4 =4. 所以由夹逼定理，得原式= 4 . n 4 4 n 4 n 2 ( n 5). 而 lim 4 n 2 =4 ，
n n 2/ x x 0
3. 求极限： lim(1 2 x) 解：原式= exp(lim
f (0) lim
a (sin x x cos x) sin x a lim ( cos x ) 2a. x 0 x 0 x x
由题意，当 a 2 时， f (0) f (0), 所以 f (0) 4. 七、（8 分）设 f ( x )

1
x

1
I lim

微积分考试试题及答案

微积分考试试题及答案第一题：求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 的极值点和拐点。

解析：首先，我们需要找到函数的极值点。

极值点对应于函数的导数为零的点。

对函数 f(x) 求导得到 f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。

令导数等于零，我们得到一个二次方程 3x^2 - 6x + 2 = 0。

使用求根公式，可以解得这个二次方程的解为x = 1 ± √(2/3)。

所以函数的极值点为x = 1 + √(2/3) 和 x = 1 - √(2/3)。

接下来，我们需要找到函数的拐点。

拐点对应于函数的二阶导数为零的点。

对函数 f(x) 求二阶导数得到 f''(x) = 6x - 6。

令二阶导数等于零，我们得到 x = 1，这是函数的一个拐点。

综上所述，函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 的极值点为x = 1 + √(2/3)和 x = 1 - √(2/3)，拐点为 x = 1。

第二题：已知函数 f(x) = e^x，在点 x = 0 处的切线方程为 y = mx + b，求参数 m 和 b 的值。

解析：切线方程的斜率 m 等于函数在给定点的导数。

对函数 f(x) = e^x 求导得到 f'(x) = e^x。

根据题意，在 x = 0 处求切线，所以我们需要计算函数在 x = 0 处的导数。

将 x = 0 代入函数的导数表达式中，我们得到 f'(0) = e^0 = 1。

所以切线的斜率 m = 1。

切线方程的常数项 b 可以通过将给定点的坐标代入切线方程求解。

由题意知道切线过点 (0, f(0))，即 (0, e^0) = (0, 1)。

将点 (0, 1) 代入切线方程 y = mx + b，我们得到 1 = 0 + b，解得 b = 1。

综上所述，切线方程为 y = x + 1。

第三题：计算函数f(x) = ∫(0 to x) sin(t^2) dt。

微积分考试试题及答案

微积分考试试题及答案一、选择题1. 下列哪个是微积分的基本定理？A. 韦达定理B. 牛顿-莱布尼兹公式C. 洛必达法则D. 极限定义答案：B. 牛顿-莱布尼兹公式2. 对于函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$，求其导数$f'(x)$。

A. $3x^2 - 2x$B. $6x - 2$C. $6x - 2x$D. $6x - 2$答案：D. $6x - 2$3. 已知函数$y = 2x^3 + 4x - 1$，求其在点$(1, 5)$处的切线斜率。

A. 6B. 8C. 10D. 12答案：B. 8二、填空题1. 函数$y = \sin x$在$x = \pi/2$处的导数是\_\_\_\_\_\_。

答案：$1$2. 函数$y = e^x$的导数是\_\_\_\_\_\_。

答案：$e^x$3. 函数$y = \ln x$的导数是\_\_\_\_\_\_。

答案：$\frac{1}{x}$三、简答题1. 请解释一下微积分中的基本概念：导数和积分的关系。

答：导数和积分是微积分的两个基本概念，导数表示函数在某一点上的变化率，而积分表示函数在某一区间上的累积效果。

导数和积分互为逆运算，导数可以用来求解函数的斜率和最值，积分可以用来求解函数的面积和定积分。

2. 为什么微积分在物理学和工程学中如此重要？答：微积分在物理学和工程学中具有重要作用，因为微积分提供了一种精确的方法来描述和分析连续变化的过程。

通过微积分，可以求解物体在运动过程中的速度、加速度、轨迹等物理量，以及工程中涉及到的曲线、曲面、体积等问题。

微积分为物理学和工程学提供了丰富的数学工具，可以更准确地描述和解决实际问题。

四、计算题1. 计算定积分$\int_{0}^{1} x^2 dx$。

答：$\frac{1}{3}$2. 求函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$在区间$[1, 2]$上的定积分。

答：$\frac{19}{3}$以上就是微积分考试的试题及答案，希望对你的复习有所帮助。

微积分(上)期中试卷与参考答案

微积分（上）期中测验专业班级学号姓名得分一、填空：（每格3分，共33分）1. 因为0>∀ε，取==)(εδδ ，使得对于一切满足δ<-0x x 的x ，都有ε<-02cos 2cos x x 成立，故0 2cos 2cos lim 0x x x x =→。

2. 设0→x 时，x x e e sin tan -与n x 为同阶无穷小，则=n 。

3. 211)(+-+=x ex f 在区间______________上是上凹的。

4. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+>-+=0 , 0,1)1()(2x bxa x x x x f 在),(∞+-∞内连续可导，则⎪⎩⎪⎨⎧==。

，____________b a 5. 24)(x e x f x --=在)2,0(内的零点个数为________。

6. 13)(2-++=x x x x f 的斜渐近线为。

7. 若1)1(-='f ,则=--+→kk f k f k )1()21(lim 0。

8. 若1])sh(4[lim 22=---∞→b xa x x ，则=a ，和=b 。

9. 设)()2)(1()(n x x x x x f +++= , 则=)0()(n f______________。

二、计算与证明：（共78分）1. )1ln()cos 1(2lim22x x xx e x x ---→ （8分）2．xx x x e cot arc 1lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→ （8分）3．设()e xxe f xy π++=)(arcsin cot 13, 求y '及dy （8分）4．设⎪⎩⎪⎨⎧-=+=ty tx arctan 1ln 2π, 求22,dx y d dx dy 以及在1=t 处的曲率半径（8分） 5. 求由方程)ln()(2x y x y y x --=-所确定的函数)(x y y =的y '以及在)2,1(处的切线与法线方程（8分）。

微积分试卷及标准答案6套

微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1.已知则对于，总存在δ>0，使得当,)(lim 1A x f x =+→0>∀ε时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。

2.已知，则a = ，b =2235lim 2=-++∞→n bn an n 。

3.若当时，α与β 是等价无穷小量，则。

0x x →=-→ββα0limx x 4.若f (x )在点x = a 处连续，则。

=→)(lim x f ax 5.的连续区间是。

)ln(arcsin )(x x f =6.设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则______________。

=-+→hx f h x f h )()3(lim0007.曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为。

8. 。

='⎰))((dx x f x d 9.设总收益函数和总成本函数分别为，，则当利润最大时产2224Q Q R -=52+=Q C 量是。

Q 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1.若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（）。

(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2.设则为函数的（）。

11)(-=x arctg x f 1=x )(x f(A) 可去间断点(B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点3.（）。

=+-∞→13)11(lim x x x(A) 1 (B) ∞(C)(D) 2e 3e4.对需求函数，需求价格弹性。

当价格（）时，5p eQ -=5pE d -==p 需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。

(A) 3 (B) 5 (C) 6(D) 105.假设在点的某邻域内(可以除外)存)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→得0x 0x 在，又a 是常数，则下列结论正确的是（）。

南京大学2013-2014学年第二学期《微积分II(第一层次)》期中考试参考答案

所以， f ( x, y ) 在 x 0 处也是可微的，故 f ( x, y ) 在平面上所有点处都是可微的. 四、设有等腰梯形 ABCD, AB // CD ，已知 BC CD AD 8 p ，其中 p 为常数，该梯
3/4
形绕边 AB 旋转一周所得旋转体体积取最大值，求 AB, BC, CD 的长度 .（10 分）解：过 D 作 AB 的垂线交 AB 于 E ，设 x AD, y CD / 2, z AE ，则由题意，旋转体的体积为：V 2[ 1 3 ( x z ) z ( x z ) y]
令 Fx 0, Fy 0, Fz 0, F 0 ，可得唯一驻点：x 3 p, y z p . 由于问题是几何问题，旋转体的最大体积一定存在，故此唯一驻点就是该问题的最大值点. 所以
AB 4 p, BC AD x 3 p, CD 2 y 2 p.
P( x, y, z ) ，据题意有： | P0 P s | 2 | s | ，整理得所求方程为： ( y z 1) 2 (2 z x 2) 2 ( x 2 y 4) 2 24.
3. 若曲面 z x y 在 P 点的切平面与平面 x y 2 z 2 和 2 x y 3 0 都垂直，求
① 当 cos 0 时， (0,0) lim
f l
f l
(t cos ) 4 / 3 sin(cos / cos ) 0, t 0 t
00 0. t
2 1
② 当 cos 0 时， (0,0) lim
1
t 0
⑵ ① x 0 时，
1
f y (0, y ) lim

微积分期中考试试题答案

一,求下列极限: （20分） 1, dtte dt e x t x t x ⎰⎰→0220022)(lim 2, 求极限：dt t f a x x xa a x ⎰-→)(lim ，其中)(x f 连续二，求定积分（30分）1．21⎰ 2．0x xdx e e +∞-+⎰ 3．⎰+20cos sin cos πdx xx x 4．⎰-=++222cos 1cos ππdx x x x 三，求由方程⎰x20 t 2dt +⎰x0 dt t 21+ +xy=0所确定的函数y=y(x)的微分dy 。

（10分）四，求抛物线23y x =-与直线2y x =及y 轴所围成在第一象限的平面图形的面积A 及该平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积V 。

（10分）五，（30分）1）设()f x 在[0,2]a 上连续，证明200()[()(2)]a af x dx f x f a x dx =+-⎰⎰ 2）若f(x)在[0,1]上连续，证明⎰π0)(sin dx x xf =πdx x f ⎰20)(cos π3）计算20sin 1cos x x dx xπ+⎰1． ()dxte dt e x t x t x ⎰⎰→0220202lim 2220202lim x x x t x xe e dt e ⋅=⎰→20202lim x x t x xe dt e ⎰→= 2222022lim x x xx ex e e +=→2212lim 20=+=→x x 2．dt t f a x x xa a x ⎰-→)(lim)(1)()(lim a af dt t f x xf x a a x =+=⎰→二．1。

210⎰tdt t t t x cos 2cos 2sin 4sin 602⎰=π ⎰=602sin 4πtdt ⎰-=60)2cos 1(2πdt t 602sin 3ππt -=233-=π 2．0x x dx e e +∞-+⎰=dx e e x x 120+=⎰∞+1)(20+=⎰∞+x x e de 0)arctan(∞+=x e 42ππ-=4π= 3．⎰+20cos sin cos πdx x x x ⎰+++-=2cos sin )cos (sin )sin (cos 21πdx x x x x x x ⎰++=20cos sin )cos (sin 21πx x x x d dx ⎰+20121π 4cos sin ln 2120ππ++=x x 4π=4．⎰-=++222cos 1cos ππdx x x x ⎰-+222cos 1ππdx x x +⎰-+222cos 1cos ππdx x x ⎰+=202cos 1sin 2πxx d ⎰-=202sin 2sin 2πx x d x d xx sin )sin 21sin 21(2120-++=⎰π 20sin 2sin 2ln 21πxx -+= 1212ln 21-+=)12ln(2+= 三，解：对原方程⎰x20 t 2dt +⎰x0 dt t 21+ +xy=0两边求微分，得0)(1)2()2(22=+++xy d dx x x d x 有01822=++++xdy ydx dx x dx x 所以所求微分dx xy x x dy +++-=2218四．求抛物线23y x =-与直线2y x =及y 轴所围成在第一象限的平面图形的面积A 及该平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积V 。

微积分试卷及规范标准答案6套

微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A │< ε。

2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。

3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。

4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。

5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是。

6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。

7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为。

8. ='⎰))((dx x f x d 。

9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是。

二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的邻域（a -,a +）内有无穷多个点，则（）。

(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（）。

(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（）。

(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。

当价格=p （）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。

(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（）。

微积分期中C__

f ( x) − f (2) ＝ x− 2
。。。 2aϕ (a )
x2 + b x ≤ 1 则 a −b = f ( x) = , 在x 1处可导， = 4、已知 x >1 ax x) ( x 2 − a 2 )ϕ ( x) ，则 f '(a ) = 5、已知 ϕ ( x) 在处连续， f (=
5、设函数 y = e
− sin 2
1 x
，求
dy 。 dx
6、已知 f (1 − x) = xe − x ，且 f ( x) 可导，求 f '( x) 。
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x = sin t π 7、求曲线在点 t = 处的切线方程和法线方程。 6 y = cos 2t
二、选择题（每小题 3 分共 15 分） x2 − 4 1、函数 f ( x) = 在( )变化过程中为无穷小量。 x( x + 2) B． x → 2 ； C． x → −2 ； D． x → ∞ 。 A． x → 0 ； 2 ax − bx + 3 2、 lim )。 = 4, 则 ( x →∞ x −3 A．= B． = C． a = 0, b = −4 D． a = 1, b = −4 。 a 1, = b 4 a 0, = b 4 1 3、设函数 f ( x) = 在 R 上连续，且 lim f ( x) = 0 ，则常数 a, b 满足( D )。 x →−∞ a + ebx A． a < 0, b < 0 ； B． a > 0, b > 0 ； C． a ≤ 0, b > 0 ； D． a ≥ 0, b < 0 。 y x 2 + 1 上某点的切线，则 b = ( 4、设直线 = )。 y 3 x + b 是曲线 = 3 5 5 9 A. ； B. − ； C. − ； D. − 。 2 4 2 4 5、若 f ( x) 可微，当 ∆x → 0 时，在点 x 处的 ∆y − dy 是关于 ∆x 的( )。 A.高阶无穷小； B.等价无穷小； C.同阶无穷小； D.低阶无穷小。三、计算题(每小题 6 分共 60) 1、 lim

微积分期中A

n n n − 1 A. {(−1) n } ； B. (−1) n ；D. ； C. (−1) n + 1 n + 1 x 1 π 2、设 = f ( x) ln tan − ln ，则 f ' = ( 2 2 2
n +1 1 1 + 。 n + 1
4 x + 3 y − 12a= 0,3 x − 4 y + 6a= 0
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9、计算 3 998.5 的近似值。解： 3 998.5 =
3
= 3 x ， f '( x) 1000 − 1.5 ，设函数 f ( x) =
1 −2 1 ， x 3 , f '(1000) = 3 300
−
a 2 x ln a ⋅ arccos(a x ) 1 − a2x
dx
7、设 y = y ( x) ，由方程 sin( xy ) = ln
x+e 确定的隐函数。求 y '(0) 和 y ''(0) 的值。 y
3at x= 1+ t2 8、求曲线 t = 2 处的切线方程和法线方程。 2 在点 y = 3at 1+ t2
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1、 lim 2n sin
n →∞
x ( x ≠ 0) ； 2n
2、 lim
x →0
tan x − sin x ； sin 3 x
(e x − 1) − tan 2 3、 lim
x →0
2
x 1 + x 3 sin x 2 cos 3 x − 1

2020—2021《高等数学微积分B1》上期中试卷

得
分
注：请将选择题和填空题的答案填写在下方的答题栏中
选择题答题栏
得分
题号
1
2
3
4
5
6
答案
填空题答题栏 7 8 9
得分 10 11 12
一、单项选择题（本大题包括 6 小题，每题 3 分，每小题仅有一个选项符合题意，共 18 分，
请将答案填入试卷上方的答题栏中）
1、下列极限运算的结果正确的是（）
1
A. lim (1+ n)n = e
，化简得
f
1
( x2 )
=
2 − 2c
①+②得
f
1
( x1
)
+
1
f ( x2 )
= 2 ，这里显然 x1
x2 .
②；
根据上述材料完成下题的证明：
设函数 f ( x) 在 0,1 上连续，在 (0,1) 上可导，且满足 f (0) = 0 ， f (1) = 1.证明：存在互不相
等的三点 x1, x2 , x3
3、在下列关于函数导数的说法中，正确的是（）
A. 若函数 f ( x) 在 x = a 处左右导数都存在但不相等，则 f ( x) 在 x = a 处不连续且不可导
B.
若
f
(x) 在
x
=
0 的邻域内存在一阶导数，且极限 lim x→0
f (x)
x2
存在，则
f
(0)
=
f
(0)
=
0 ，但
f (0) 未必存在
理知，存在一点 c (0,1) ，使得 f (c) = 1 .分别在 0,c 和 c,1 上应用拉格朗日中值定理，可知

2013-2014(2)微积分(II)期中考试试题(A卷)(1)

北京联合大学《微积分（Ⅱ）》课程期中考试试卷（2013-2014学年第二学期）本科专科□A 卷B 卷□C 卷□课程考试代码：1106 （考试时间90分钟）答题说明：将选择题1-6题的正确选项按题号在答题卡的选择题答题区填涂清楚；将主观题7-17题的解题过程按每道题号后面指定的区域在答题卡的非选择题答题区内写清楚．一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）1．设()=+z f ax by ，其中f 可微，则( )．（A ）∂∂=∂∂z z x y （B ）∂∂=-∂∂z z x y （C ）∂∂=∂∂z z a b x y （D ）∂∂=∂∂z zb a x y2．定积分⎰--1 12d 1x x 的值是（）．（A ）4π （B ）2π（C ）1 （D ）π 3．函数()33ln y x z +=在）（1,1处的全微分=z d （）．（A ）y x d d + （B ）()y x d d 2+（C ）()y x d d 23+ （D ）()y x d d 3+ 4．下列方程是微分方程的是（）．（A ）x y x y y d )(d ln -=（B ）02tan 3sin =+x x y（C ）0232=+-y y （D ）533-+=x x y5．下列广义积分发散的是（）．（A ）⎰∞+ 1d xx x （B ）⎰∞+ 12d x x （C ）⎰∞+ 1 2d xx x（D ） 11d x x +∞⎰ 6．设222)ln(yx xx y z --+-=的定义域D 的图形是（）．（密封线内勿答题）姓名学号学院（系）专业年级班（密封线内勿答题）北京联合大学（A ）（B ）（C ）（D ）二、计算下列各题（本大题共3个小题，每小题7分，共21分）7．（答题区域：1-10行内）求32e x y x z y+=，求 x z ∂∂，y z ∂∂， yx z∂∂∂2．8．（答题区域：11-20行内）设()y x f z xy cos ,e =，其中f 有一阶连续偏导数，求x z ∂∂，yz∂∂．9．（答题区域：21-30行内）设v u z =，y x u 2+=，y x v -=，求x z ∂∂，yz ∂∂．北京联合大学三、计算下列各题（本大题共3个小题，每小题7分，共21分）10．（答题区域：31-40行内）求极限21cos 0d e lim2x t xt x ⎰→．11．（答题区域：41-50行内）求定积分 e2 1ln d x x x ⎰．12.（答题区域：51-60行内）求定积分 83 0d 1xx+⎰．四、解答下列各题（本大题共3个小题，第13小题6分，14、15小题各8分，共22分）13．（答题区域：61-75行内）求微分方程0d )1(d )1(=+--x y y x 的通解．14.（答题区域：76-90行内）求一阶线性微分方程 3)1(12+=+-'x y x y 在初始条件10==x y 下的特解．密封线内勿答题）姓名学号学院（系）专业年级班（密封线内勿答题）北京联合大学15. （答题区域：91-105行内）若()f x 在[0,1]上连续，且 12201()()d 1f x x f t t x =++⎰，求 1()d f x x ⎰及)(x f ．五、应用题（本大题共1个小题，共13分）16．（答题区域：106-120行内）设由曲线2x y =与1=y 所围成的平面图形为D ，（1）求D 的面积；（2）求D 绕x 轴旋转而成的旋转体的体积．六、证明题（本大题共1个小题，共5分）17．（答题区域：121-135行内）设)(x f 在],[b a 上连续，证明x x b a f x x f bab ad )(d )(⎰⎰-+=．。

10级本科《微积分B上》期终试卷(A)及答案

10 级本科《微积分 B 上》期终试卷(A).doc 第 2 页共 3 页
1 x 1 ln | x 2 4 x 5 | ln C 6 x5 x3 1 2 ９． dx ( x 2) x 2 1 C 2 3 x 1
sec 3 t 解：原式 sec t tan t dt tan t dx sec t tan t dt 2 (1 tan t ) d tan t
而 lim
n
n n
n ( n 1) 2 2
lim
n ( n 1) 2 n 2
n 1

1 ，由夹逼定理知，原 2
式
cos x 在其定义域上是（）。Ｃ x
1 2
x a
２． lim
Ａ．有界奇函数Ｂ．有界偶函数Ｃ．无界奇函数Ｄ．无界偶函数２．函数 f ( x ) 在点 x0 处有定义是 f ( x) 在点 x0 处极限存解：原式在的（）。ＤＡ．充分条件Ｂ．必要条件Ｃ．充要条件Ｄ．无关条件
x 0 x 0
x 0
lim f ( x) lim cos x 1 ， f (0) 1 ， b 1
二．填空题（每题２分，共１０分）１．要使函数 f ( x) 充定义 f (0) 。
２．设函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且
f (a) f (b) 0 。试证明：存在 (a, b) ，使得 f ( ) f ( ) 0 。
四．分析题（每题８分，共１６分）
x0 ，试求 a 、b 的值， x0 使 f ( x) 在点 x 0 处可导。 a 0 , b 1 解：可导一定连续，应有 lim f ( x) lim f ( x) f (0)

2013-2014微积分Ⅰ期末试题(B卷)含答案

广东财经大学试题纸2013-2014学年第_1__学期考试时间共120分钟课程名称微积分I（B 卷）课程代码100013课程班号13级经管、理工类_共_2_页-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空题（每题3分，共30分）1、函数xx y 1arctan3+-=的定义域是____________.2、设xx f -=11)(则=))((x f f ________________.3、已知432lim23=-+-→x kx x x ，则k =________________.4、=-→20cos 1limxxx ____________.5、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,)1()(1x a x x x f x 为),(+∞-∞上的连续函数，则a =____________.6、已知)(0x f '存在，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000.7、若)(xe f y =,f 可导，则=''y .8、曲线2224+-=x x y 的单调递减区间是__________________.9、若xxsin 是)(x f 的一个原函数，则⎰='dx x f x )(_____________.10、=⎰xdx 2tan _____________.二、单选题（每题3分，共15分）1、=++→xx x x x 21sin)3(lim 32（）A ．∞; B.1;C.2; D.0.2、设12)11(-=-x x x f ,则)(x f '=（）A ．x +11 B.x-11 C.2)1(1x --D.2)1(1x -3、24)(2--=x x x f 的间断点是（）A.2=x 与2-=x B.2=x C.2-=x D.无间断点4、当0→x 时，3tan x 是)21ln(3x +的（）。