等腰三角形练习题
等腰三角形典型例题练习(含答案)
等腰三角形典型例题练习一．选择题（共2小题）1．如图，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC=5cm ，BD=3cm ， 则点D 到AB 的距离为（ ）2．如图，已知C 是线段AB 上的任意一点（端点除外），分别以AC 、BC 为边并且在AB 的同一侧作等边△ACD 和等边△BCE ，连接AE 交CD 于M ，连接BD 交CE 于N ．给出以下三个结论：①AE=BD ②CN=CM ③MN ∥AB 其中正确结论的个数是（ ）二．填空题（共1小题）3．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，则△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于_________ ． 三．解答题（共15小题）4．在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF ．5．在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E ．请说明DE=BD+EC ．6．已知：如图，D 是△ABC 的BC 边上的中点，DE ⊥AB ，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF ．请判断△ABC 是什么三角形？并说明理由．7．如图，△ABC 是等边三角形，BD 是AC 边上的高，延长BC 至E ，使CE=CD ．连接DE ． （1）∠E 等于多少度？ （2）△DBE 是什么三角形？为什么？8．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD ．9．如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 的延长线上，且BD=CE ，DE 与BC 相交于点F ．求证：DF=EF ．A ． 5cmB ． 3cmC ． 2cmD ． 不能确定 A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 310．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE．11（2012•牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．（1）求证PE+PF=CH．（2）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（3）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=_________．点P到AB边的距离PE=_________．（4）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2,求CD的长（请你直接写出结果）．12．已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M．若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．13．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论．（2）求∠BFD的度数．14．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF，求证：AE=CF．15．已知：如图，在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，在△EOF中，∠EOF=90°，OE=OF，连接AE、BF．问线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由．等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．如图，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC=5cm ，BD=3cm ，则点D 到AB 的距离为（ ）A ． 5cmB ． 3cmC ．2cm D ． 不能确定考点： 角平分线的性质．分析： 由已知条件进行思考，结合利用角平分线的性质可得点D 到AB 的距离等于D 到AC 的距离即CD 的长，问题可解．解答：解：∵∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D∴D 到AB 的距离即为CD 长CD=5﹣3=2故选C ．2．如图，已知C 是线段AB 上的任意一点（端点除外），分别以AC 、BC 为边并且在AB 的同一侧作等边△ACD 和等边△BCE ，连接AE 交CD 于M ，连接BD 交CE 于N ．给出以下三个结论：①AE=BD ②CN=CM ③MN ∥AB 其中正确结论的个数是（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3考点： 平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：由△ACD 和△BCE 是等边三角形，根据SAS 易证得△ACE ≌△DCB ，即可得①正确；由△ACE ≌△DCB ，可得∠EAC=∠NDC ，又由∠ACD=∠MCN=60°，利用ASA ，可证得△ACM ≌△DCN ，即可得②正确；又可证得△CMN 是等边三角形，即可证得③正确． 解答：解：∵△ACD 和△BCE 是等边三角形，∴∠ACD=∠BCE=60°，AC=DC ，EC=BC ， ∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB ，即∠ACE=∠DCB ，∴△ACE ≌△DCB （SAS ）， ∴AE=BD ，故①正确； ∴∠EAC=∠NDC ，∵∠ACD=∠BCE=60°，∴∠DCE=60°，∴∠ACD=∠MCN=60°， ∵AC=DC ，∴△ACM ≌△DCN （ASA ），∴CM=CN ，故②正确； 又∠MCN=180°﹣∠MCA ﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°，∴△CMN 是等边三角形，∴∠NMC=∠ACD=60°，∴MN ∥AB ，故③正确．故选D ．二．填空题（共1小题）3．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，则△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于 1：3 ．考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与分析：首先根据题意求得：∠DFE=∠FED=∠EDF=60°30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，积比等于相似比的平方，即可求得结果．解答： 解：∵△ABC 是正三角形，∴∠B=∠C=∠A=6∵DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，∴∠AFE=∠C∴∠BFD=∠CDE=∠AEF=30°，∴∠DFE=∠FE∴△DEF 是正三角形，∴BD ：DF=1：①，①÷②，=，∴DF ：AB=1：，∴△DE故答案为：1：3．三．解答题（共15小题）4．在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF ． 考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的定义． 分析： 过D 作DM ⊥AB ，于M ，DN ⊥AC 于N ，根据角理和平角定义求出∠AED=∠CFD ，根据全等三解答： 证明：过D 作DM ⊥AB ，于M ，DN ⊥AC 于N即∠EMD=∠FND=90°，∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN（角平分线性质），∠DME=∠DNF=90°，∵∠EAF+∠EDF=180°，∴∠MED+∠AFD=360°﹣180°=180°，∵∠AFD+∠NFD=180°，∴∠MED=∠NFD，在△EMD和△FND中，∴△EMD≌△FND，∴DE=DF．5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．分析：根据OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，和DE∥BC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出DB=DO，OE=EC．然后即可得出答案．解答：解：∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO，∴DB=DO，OE=EC，∵DE=DO+OE，∴DE=BD+EC．6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC是什么三角形？并说明理由．考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．分析：用（HL）证明△EBD≌△FCD，从而得出∠EBD=∠FCD，即可证明△ABC是等腰三角形．解答：△ABC是等腰三角形．证明：连接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，且DE=DF，∵D是△ABC的BC边上的中点，∴BD=DC，∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL），∴∠EBD=∠FCD7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE．（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？为什么？考点：等边三角形的性质；等腰三角形的判定．分析：（1）由题意可推出∠ACB=60°，∠E=∠CDE，然后即可推出∠E的度数；（2）根据等边三角形的性质可知，BD不但为A∠DBC=30°，然后再结合（1）中求得的结论，即解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，∵∠ACB=∠E+∠C（2）∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，∴∠∵∠E=30°，∴∠DBC=∠E，∴△DBE是等腰三8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD．考点：含30度角的直角三角形．分析：由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°可以推出A解答：解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC，∠B又∵CD⊥AB，∴∠DCB=30°，∴BC=2BD．∴9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：过D点作DG∥AE交BC于G点，由平行线的性质得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据等腰三角形的性质可得∠B=∠2，则∠B=∠1，于是有DB=DG，根据全等三角形的判定易得△DFG≌△EFC，即可得到结论．解答：证明：过D点作DG∥AE交BC于G点，如图，∴∠1=∠2，∠4=∠3，∵AB=AC，∴∠B=∠2，∴∠B=∠1，∴DB=DG，而BD=CE，∴DG=CE，在△DFG和△EFC中，∴△DFG≌△EFC，∴DF=EF ．10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE．考点：全等三角形的判定与性质．分析：延长CE，BA交于一点F，由已知条件可证得△BFE全≌△BEC，所以FE=EC，即CF=2CE，再通过证明△ADB≌△FAC可得FC=BD，所以BD=2CE．解答：证明：如图，分别延长CE，BA交于一点F．∵BE⊥EC，∴∠FEB=∠CEB=90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FBE=∠CBE，又∵BE=BE，∴△BFE≌△BCE （ASA）．∴FE=CE．∴CF=2CE．∵AB=AC，∠BAC=90°，∠ABD+∠ADB=90°，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD+∠EDC=90°．又∵∠DEC=90°，∠EDC+∠ECD=90°，∴∠FCA=∠DBC=∠ABD．∴△ADB≌△AFC．∴FC=DB，∴BD=2EC．11．（2012•牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：如图①，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB•PE，S△ACP=AC•PF，S△ABC=AB•CH．又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴AB•PE+AC•PF=AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=7．点P到AB边的距离PE=4或10．考点：等腰三角形的性质；三角形的面积．分析：（1）连接AP．先根据三角形的面积公式分别表S△ABP=S△ACP+S△ABC即可得出PE=PF+PH；（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点时，运用结论PE=PF+CH．解答：解：（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=A∵S△ABP=S△ACP+S△ABC，∴AB•PE=AC•PF（2）∵在△ACH 中，∠A=30°，∴AC=2CH ．∵S △ABC =AB •CH ，AB=AC ，∴×2CH •CH=49，∴CH=7．分两种情况：①P 为底边BC 上一点，如图①． ∵PE+PF=CH ，∴PE=CH ﹣PF=7﹣3=4； ②P 为BC 延长线上的点时，如图②． ∵PE=PF+CH ，∴PE=3+7=10．故答案为7；4或10．12．数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED=EC ，如图，试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论当点E 为AB 的中点时，如图1，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论：AE = DB （填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答题目 解：题目中，AE 与DB 的大小关系是：AE = DB （填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ．（请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED=EC ．若△ABC 的边长为1，AE=2，求CD 的长（请你直接写出结果）．考点： 等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 分析：（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE即可；（2）过E 作EF ∥BC 交AC 于F ，求出等边三角形AEF ，证△DEB 和△ECF 全等，求出BD=EF 即可；（3）当D 在CB 的延长线上，E 在AB 的延长线D 在BC 的延长线上时，求出CD=1．解答： 解：（1）故答案为：=．（2）过E 作EF ∥BC 交AC 于F ， ∵等边三角形ABC ，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∴△AEF 是等边三角形，∴AE=EF=AF ，∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EF ∵DE=EC ，∴∠D=∠ECD ，∴∠BED=∠ECF ，在△DEB 和△ECF 中，∴△DEB ≌△ECF ，∴BD=E（3）解：CD=1或3，理由是：分为两种情况：①如图1过A 作AM ⊥BC 于M ，过E 作EN ⊥BC 于N ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC=1，∵AM ⊥BC ，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE ，∵AM ∥EN ，∴△AMB ∽△ENB ，∴=，∴∴BN=，∴CN=1+=，∴CD=2CN=3；②如图2，作AM ⊥BC 于M ，过E 作EN ⊥BC 则AM ∥EM ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC=1， ∵AM ⊥BC ，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE ，。
等腰三角形练习题
等腰三角形练习题班级 姓名 学号一.填空题1.等腰三角形的腰长是底边的43,底边等于12cm,那么三角形的周长为 cm 2.等腰三角形顶角为80°,那么一腰上的高与底边所夹的角的度数为____度3.等腰三角形的底角是65°,顶角为________.4.等腰三角形的一个内角为100°,那么它的其余各角的度数分别为_______.5. P 为等边△ABC 所在平面上一点,且△PAB,△PBC,△PCA 都是等腰三角形,这样的点P 有_______个.6. 等腰三角形的顶角等于一个底角的4倍时, 那么顶角为_________度．7. 如图,A 、D 、C 在一条直线上AB ＝BD ＝CD, ∠C ＝40°,那么∠ABD ＝_第7题 第9题 第10题8. 在等腰△ABC 中, AB ＝AC, AD ⊥BC 于D, 且AB ＋AC ＋BC ＝50cm,而AB ＋BD ＋AD ＝40cm, 那么AD ＝___________cm.9. 如图, ∠P ＝25°, 又PA ＝AB ＝BC ＝CD, 那么∠DCM ＝_______度.10. 如图∠ACB ＝90°, BD ＝BC, AE ＝AC, 那么∠DCE ＝__________度.二.单项选择题1. 等腰三角形一底角为30°,底边上的高为9cm,那么腰长为___cm ．[ ]3D.9C.9B .18A.32. 不满足△ABC 是等腰三角形的条件是[ ]A.∠A :∠B :∠C=2:2:1B.∠A :∠B :∠C=1:2:5C.∠A :∠B :∠C=1:1:2D.∠A :∠B :∠C=1:2:23. 等腰三角形的一个角等于20°, 那么它的另外两个角等于:［ ］A.20°、140°B.20°、140°或80°、80°C.80°、80°D.20°、80°4. 以下命题正确的选项是[ ]A.等腰三角形只有一条对称轴B.直线不是轴对称图形C.直角三角形都不是轴对称图形D.任何一角都是轴对称图形5. 等腰三角形一腰上的高与底所夹的角等于 ［ ］A.顶角B.顶角的21C.顶角的2倍 D 底角的217. 如图, 在△ABC 中, AB ＝AC, CD ⊥AB 于D, 那么以下判断正确的选项是［］ A.∠A ＝∠B B.∠A ＝∠ACD C.∠A ＝∠DCB D.∠A ＝2∠BCD第7题 第10题8. 等腰三角形两边分别为35厘米和22厘米, 那么它的第三边长为[ ]A.35cmB.22cmC.35cm 或22cmD.15cm9. 等腰三角形中, AB长是BC长2倍, 三角形的周长是40, 那么AB的长为［］A.20B.16C.20或16D.1810. 如图: AB＝AC＝BD, 那么∠1与∠2之间的关系满足［］A.∠1＝2∠2B.2∠1＋∠2＝180°C.∠1＋3∠2＝180°D.3∠1－∠2＝180°三.证实题1. 如图, ：点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE.求证：BD=CE2. 如图：△ABC中,AB=AC,PB=PC．求证：AD⊥BC3. ：如图,BE和CF是△ABC的高线,BE=CF,H是CF、BE的交点．求证：HB=HC4. 如图,在△ABC中,AB=AC,E为CA延长线上一点,ED⊥BC于D交AB于F.求证:△AEF为等腰三角形.5. 如图,△ABC中,D在BC延长线上,且AC=CD,CE是△ACD的中线,CF平分∠ACB,交AB于F,求证:(1)CE⊥CF;(2)CF∥AD.6.如图：Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=22.5°,DC=BC, DE⊥AB．求证：AE=BE．7.:如图,△BDE是等边三角形,A在BE延长线上,C在BD的延长线上,且AD=AC.求证：DE+DC=AE.等腰三角形练习题答案一.填空题1. 302. 403. 50°4. 40°40°5. 76. 1207. 208. 159. 100 10. 45二.单项选择题1. B2. B3. B4. D5. B6. A7. D 8. C 9. B 10. D三.证实题1. 证：作AM⊥BC于M∵AD=AE,∴DM=EM∵AB=AC,∴BM=CM∴BM－DM=CM－EM∴BD=CE2. 证实：在△ABP和△ACP中∵AB=AC,BP=PC,AP=AP∴△ABP≌△ACP (SSS)∴∠BAP=∠CAP∴AD⊥BC(等腰三角形顶角平分线又是底边的垂线)3. 证实：∵△ABC是等边三角形∴AB=AC,∠BAC=60°在△ABD和△ACE中∵AB=AC,∠1=∠2,BD=CE ∴△ABD≌△ACE (SAS) ∴AD=AE,∠BAD=∠CAE=60°∴在△ADE中∵AD=AE,∠DAE=60°∴△ADE为等边三角形．4. 证实：连结AC和AD在△ABC和△AED中AB=AE BC=ED ∠B=∠E ∴△ABC≌△AED (SAS)∴∠ACB=∠ADE,AC=AD∴△ACD是等腰三角形∴∠ACD=∠ADC;∠BCA=∠CDE∴∠C=∠D5. 证实：∵BE、CF是△ABC的高线．∴∠1=∠2=90°∴△BCF和△CBE都是Rt△．在Rt△BCF和Rt△CBE中∵CF=BE,BC=CB∴Rt△BCF≌Rt△CBE∴∠3=∠4在△HBC中∵∠3=∠4∴HB=HC(同一三角形中,等角对等边)6. 证实:∵AE=AD,∠1=∠2,∠A公共角∴△AEF≌△ADC (AAS)∴AB=AC,EB=DC∴∠ABC=∠ACB∴∠3=∠4,BF=CF∴DF=EF7. 证实:∵AB=AC∴∠B=∠C∵ED⊥BC∴∠B+∠BFD=∠B+∠EFA=90°∠C+∠E=90°∴∠E=∠EFA∴AE=AF8. 证实:(1)∵AC=CD,CE是△ACD的中线∴∠ACE=∠DCE 又∵CF平分∠ACB∴∠ACF=∠BCF ∴∠AFC=∠AEC=90°∴CE⊥CF(2)∵AC=CD,CE是△ACD的中线∴CE⊥AD ∴CF∥AD四.证实题(此题包括4小题,共24分.)1. 证实：∵△ABC是等边三角形,BD是中线.∴BD⊥AC,∠CBD=30°,∠BCD=60°∵DC=CE ∴∠E=∠CDE=30°∴∠CBD=∠E,∴ DB=DE2. 证实：连结DB∵∠CDB为△ADB外角,∴∠CDB=∠A+∠DBA∵△CDE中,DC=BC,∴∠CDB=∠CBD=∠A+∠DBA∵△ABC中,∠C=90°,∴∠A+∠DBA+∠CBD=90°∴∠A+∠DBA=45°∵∠A=22.5°∴∠DBA=45°－22.5°=22.5°=∠A ∴△DAB中,AD=DB∴△DAB为等腰三角形∵△DAE 中,DE ⊥AB 于E,∴DE 为△ADB 中AB 边中线∴E 为AB 中点,∴AE=EB3. .AC BC ,BC CF ,AE CF ,CFA AE D ,DE //CF C ===∆≅∆进而得到证点作过4. 为等腰三角形、提示证ECO DBO ∆∆-----------------------------------------------试题备注一.填空题(此题包括10小题,共30分.)1.解腰长: =3412=9,⨯周长＝9＋9＋12＝30.2.解: 9018080=40--27. 解:∵ BD ＝CD∴ ∠DBC ＝∠C ＝40°∴ ∠BDA ＝∠DBC ＋ ∠C ＝80°AB ＝BD∴ ∠A ＝∠BDA ＝80°∴ ∠ABD ＝180°－80°－80°＝20°8. 等腰三角形顶角平分线底边上的中线, 底边上的高互相重合.9. 证实:∵∠MPN＝25°, PA＝AB＝BC＝CD∴∠P＝∠ABP, ∠BAC＝∠CAB, ∠CDB＝∠CBD∠DCM＝∠MPN＋∠CDP＝25°＋∠CDB＝25°＋(25°＋∠ACB)＝50°＋∠ACB＝50°＋∠CAB＝50°＋(∠MPN＋∠PBA)＝100°10. 解:∵ ∠ACB ＝90°,∴ ∠A ＋ ∠B ＝∠ACB ＝90°BD =BC, BDC =BCD =180B 2=901B AE =AC,AEC =ACE =180A 2=901A DCE =BCD +ACE ACB =902A +(901B 90∴∴∴∠∠-∠-∠∠∠-∠-∠∠∠∠-∠-∠-∠-2212) ＝45°.二.单项选择题(此题包括10小题,共30分.)3. 注意两种情况5. : 在△ABC 中, AB ＝AC, CD ⊥AB 求证：DCB A =∠12证实: 如图: AB ＝AC, CD ⊥AB 于D,α＝90°－∠B, AB ＝AC ∴ ∠B ＝∠ACB∴∴∠=-∠=--∠=∠B BAC BAC BAC12180********()() α7. 说明:∵ AB ＝AC∴∴∠=∠=-∠=-∠∠=-∠∠=∠-∠=∠B BCA 180A 29012A ACD 90ABCD BCA ACD 12A∴∠A ＝2∠BCD9.解：或AB X BC X X X X X X X ==++=++=,22402240 ∴ X ＝16 或 X ＝20当 X ＝20时, BC ＝10, AC ＝10 不能构成三角形∴ AB ＝1610. 解: ∠1＝∠C ＋∠2∵ AB＝AC＝BD∴∠B＝∠C∴∠1＝∠B＋∠2∴∠1＝∠BAD又∠B＋∠BAD＋∠1＝180°∴∠B＋2∠1＝180°∠B＝∠C, ∠C＝∠1－∠2 (∠1－∠2)＋2∠1＝180°∴ 3∠1－∠2＝180°。
等腰三角形经典练习题(5套)附带详细答案
练习一一、选择题1．等腰三角形的周长为26㎝，一边长为6㎝，那么腰长为（）Ａ．6㎝Ｂ．10㎝Ｃ．6㎝或10㎝Ｄ．14㎝2．已知△ABC，AB =AC，∠B=65°，∠C度数是( )A．50°B．65°C．70°D．75°3．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）A．过顶点的直线B．底边的垂线C．顶角的平分线所在的直线D．腰上的高所在的直线二、填空题4．等腰三角形的两个_______相等（简写成“____________”）．5．已知△ABC，AB =AC，∠A=80°，∠B度数是_________．6．等腰三角形的两个内角的比是1：2，则这个等腰三角形的顶角的度数是_______________．7．等腰三角形的腰长是6，则底边长5，周长为__________．三、解答题8．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC．（写出每步证明的重要依据）9．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数一、选择题1．B2．B3．C二、填空题4．底角，等边对等角5．50°6．36°或90°7．16或17三、解答题8．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC．证明：∵AB=AD（已知）∴∠ABD=∠ADB（等边对等角）∵AD∥BC（已知）∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）∴∠ABD=∠CBD（等量代换）∴BD平分∠ABC．（角平分线定义）9．45练习2一、选择题1．△ABC是等边三角形，D、E、F为各边中点，则图中共．有正三角形( )A．2个B．3个C．4个D．5个2．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则BC：AB等于( ) A．2：1 B．1：2 C．1：3 D．2 ：3二、填空题3．等边三角形的周长为6㎝，则它的边长为________．4．等边三角形的两条高线相交所成钝角的度数是__________．5．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC是_____三角形．6．△ABC中，∠AC B=90°∠B=60°，BC=3㎝，则AB=_______．三、解答题7．△ABC是等边三角形，点D在边BC上，DE∥AC，△BDE是等边三角形吗？试说明理由．8．已知：如图，P，Q是△ABC边上BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数．9．已知：△ABC中，∠ACB=90°，AD=BD，∠A=30°，求证：△BDC是等边三角形．一、选择题1．D2．B二、填空题3．2㎝4．120°5．等边6．6㎝三、解答题7．△ABC是等边三角形．理由是∵△ABC是等边三角形∴∠A=∠B=∠C=60°∵DE∥AC，∴∠BED=∠A=60°，∠BDE=∠C =60°AQ CPB∴∠B =∠BED =∠BDE ∴△ABC 是等边三角形 8．∠BAC=120°9．证明：∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°（已知）∴∠A +∠B=90°（直角三角形两锐角互余） ∴∠B= 90°－∠A= 90°－30°=60°∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°（已知） ∴BC=BD AB =21（在直角三角形中，一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半）∴△BDC 是等边三角形（有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形）。
等腰三角形练习题(含答案)
等腰三角形第1课时等腰三角形的性质1.已知等腰三角形的一个底角为50。
，则其顶角为________ ・2.如图，HABC中…13=∕C, BC=6cm, JD 平分ZBAC.则BD= _________________ c m.第3题图3.如图，'ABC中，-lδ=FC, D为EC中点，ZBAD=35。
,则ZC的度数为（）A.35oB. 45。
C・ 55。
D・ 60o4.已知等腰三角形的一个内角为50。
，则这个等腰三角形的顶角为（）A・ 50o B. 80oC. 50。
或80。
D・ 40。
或65。
5.如图，在Z∖J5C 中，D 是BC 边上一点，^AB=.-ID=DC, ZAW=40°,求ZC 的度数.6.如图，ΔJBCΦ, .IB=AC9 D 是EC 的中点，E, F分别是.1B. JC±的点，且AE=AF. 求证：DE=DF.1. 在 ∕∖ABC 中，ZJ=40% Z5 = 70o ,则 MBC 为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形2. 已知ΔJPC 中，Z5=50% ZJ = 80c , -lδ=5cm.则 AC= _________________ ・3. 如图，在ΛABC 中，-Q 丄BC 于点Zh 请你再添加一个条件，使苴可以确定AlSC 为等腰三角形，则添加的条件是 ________ ・第3题图4. 如图，已知NlBC 中，ZJ = 36% AB=AC, BD 为ZABC 的平分线，则图中共有 _______________ 个等腰三角形.5. 如图，D 是ZXJ5C 的BC 边上的中点，DE 丄AC. DFLAB.垂足分别是E, F,且DE=DF 求证:AB=AC.6.如图，肋〃 CZ λ直线/交,松于点E,交CD 于点F, FG 平分ZEFD 交直线曲于点G 求证：ZLEFG 是等腰三角形.第4题图13・3.2等边三角形第1课时等边三角形的性质与判定1. ____________________________________________________________ 如图，a∕∕b.等边MBC的顶点D C在直线b上，则Zl的度数为_______________________第1题图第3题图2.在∕∖ABC中，ZJ=60°,现有下面三个条件：®ZB=ZC;③ZA=ZB.能判定Z∖J5C为等边三角形的有____________________________ .3・如图，在等边AABC中，BD丄AC于D∙若,松=4,则AD= ________________ ・4.如图，ΔJ J9C是等边三角形，ZCBD=90°. BD=BC.连接.10交BC于点求ZBAD 的度数.5・如图，E是等边AABC中JC边上的点，Z1 = Z2, BE=CD.求证: (I)ZUEE 竺ZUS⑵AADE为等边三角形.第2课时含30。
(完整版)等腰三角形基础练习题
等腰三角形基础练习题一、填空题1.一个等腰三角形可以是________三角形，________三角形，_________三角形.2.一个等腰三角形底边上的_____、________和顶角的_________互相重合.3.如图，已知AB=AC，∠1=∠2，BD=5cm.那么BC________.4.如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，∠C=30°，BD=3cm，那么BC=________.5.“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是________________.6.三角形一个角的平分线垂直于对边，那么，这个三角形是_____________.7.等边三角形两条中线相交所成的钝角的度数为_________.8.已知等腰三角形一个角为75°，那么，其余两个角的度数是_________.9.一个等腰三角形的周长是35cm，腰长是底边的2倍.那么腰长是，底边长是_______.10.如图，已知AB=AC，∠ABC与∠ACB的平分线交于F点，过F点作DE∥BC，那么图中的等腰三角形有____个，它们是_________.11.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，那么______AB，如果D是AB的中点，那么____是等腰三角形，_______是等边三角形.12.如图，已知△ABC的边AB、BC的垂直平分线DE、MN交于O点，那么有OA=___=______，如果OH⊥AC，H为垂足，那么直线OH是AC的________.13.如图，已知AB=BC=CD=CE，∠CAE=25°，那么∠CEN=_______，∠MCE=_____.14.已知等腰三角形顶角是底角的10倍，腰长为10cm，那么这个三角形腰上的高为______..15.在线段、角、等腰三角形、直角三角形中，轴对称图形是________.二、选择题1、如图1-4-21，已知∠ABC=∠C=72°，BD是△ABC的平分线，那么图中等腰三角形有（）.（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个2、如图，已知△ABC中，∠B=∠ACB，CD⊥AB于D，那么下列两角关系正确的是（）.（A）∠A=∠B（B）∠A=∠ACD（C）∠A=∠DCB（D）∠A=2∠BCD 3.等腰三角形的两边长分别为8cm和6cm，那么它的周长为（）. （A）20cm（B）22cm（C）20cm或22cm（D）都不对4.如图，已知AB=AC，DE分别为AB、AC的中点，BE、CD交于G，AG的延长线交BC于F，那么图中全等三角形对数有（）.（A）4对（B）5对（C）6对（D）7对5.如图，AC=BC，∠1=∠2，那么AM是等腰三角形△ABC的（）. （A）顶角平分线（B）底角平分线（C）一腰的中线（D）底边上的中线6.如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，AD、AE分别是BA、CA的延长线，∠D=20°，那么△DEA是（）.（A）等腰三角形（B）等边三角形（C）等腰直角三角形（D）以上结论都不对7.如图，已知在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长是13cm，那么△ABC的周长是（）.（A）11.5cm(B)13cm(C)16cm(D)19cm8.下列图形中，不是轴对称图形的是（）.（A）等边三角形（B）等腰直角三角形（C）线段（D）三角形的内角平分线9.等腰三角形一底角的余角等于（）.（A）顶角（B）顶角的2倍（C）底边高与一腰所成的角（D）一腰上的高与另一腰所成的角10.如果三角形的三边a、b、c满足（a-b）(b-c)(c-a)=0，那么这个三角形是（）. （A）等腰三角形（B）直角三角形（C）等边三角形（D）锐角三角形11.一个等腰三角形，但不是等边三角形，它的角平分线、高、中线总数共有（）.（A）9条（B）7条（C）6条（D）5条12.等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（）. （A）25°（B）40°（C）25°或40°（D）以上都不对13.等腰三角形一边长为2，周长为4+7，那么，这个等腰三角形腰长为（）.（A）3.5+（B）2（C）3.52（D）以上都不对14.已知等腰三角形的一个外角等于70°，那么底角的度数是（）.（A）110°（B）55°（C）35°（D）以上都不对15.满足下列条件的图形是轴对称图形的是（）.（A）全等的两个图形（B）能互相重合的两个图形（C）沿一条直线对折，能互相重合的两图形（D）绕某点旋转180°后，能互相重合的两图形.三、计算、证明题1、如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∠ABC的平分线BD交AC于D.求：∠ADB和∠CDB的度数.2、如图，已知AD⊥BC，垂足为D，△BDE和△ADC都是等腰直角三角形，CE=5cm，求AB的长.3、如图，已知CE平分∠ACB，CE⊥DB.∠DAB=∠DBA，AC=18cm，△CDB的周长是28cm.求DB的长.4、如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAD=30°，AD=AE.求：∠EDC的度数.5、如图，已知△ABC是等边三角形，在AC、BC上各取一点D、E，使AD=CE，AE，BD相交于O.求∠BOE的度数.6、如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°,DE垂直平分AC，DE=2cm.求BC的长.7、如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠1=∠2.求证：AD⊥BC.8、如图，已知△ABC是等边三角形，AD是∠BAC的平分线，△ADE是等边三角形.求证：BD=BE.9.如图，已知在△ABC和△DBC中，∠1=∠2，∠3=∠4，E是BC上一点.求证：∠5=∠6.10.如图，已知AB=AC，∠ABD=∠ACD. 求证：AD垂直平分BC.11.如图，已知在三角形ABC中，AB=AC，以AB，AC向上作等边三角形△ABD 和△ACE.求证：DE∥BC.12.如图1-4-38,已知在△ABC中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，BD=CE,DE交BC于F.求证：DF=EF.。
人教版八年级数学上册等腰三角形练习题
人教版八年级数学上册等腰三角形练习题初中数学试卷八年级数学等腰三角形练题（一）一．选择题1.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（）A．BD=CEB．AD=AEC．DA=DED．BE=CD2.等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°3.已知实数x，y满足x>0，y>0，且x+y=20，则以x，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．20或16B．20C．16D．以上答案均不对4.在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，则图中等腰三角形共有（）A．5个B．6个C．7个D．8个5.下列条件中不能确定是等腰三角形的是（）A．三条边都相等的三角形B．一条中线把面积分成相等的两部分的三角形C．有一个锐角是45°的直角三角形D．一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形6.下列能断定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A=30°，∠B=60°B．∠A=50°，∠B=80°C．AB=AC=2，BC=4D．AB=3，BC=7，周长为137.下列说法中：（1）顶角相等，并且有一腰相等的两个等腰三角形全等；（2）底边相等，且周长相等的两个等腰三角形全等；（3）腰长相等，且有一角是50°的两个等腰三角形全等；（4）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；错误的有（）A.1个B．2个C．3个D．4个8.已知等腰三角形的一个外角等于70°，那么底角的度数是（）.A.110°B.55°C.35°D.以上都不对9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°二．填空题10．已知等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是120°。
等腰三角形专题练习
等腰三角形专题练习一
1.等腰三角形一腰上的中线将其周长分为9和8两部分,求腰长和底边长?
2.若等腰三角形一腰上的中线分周长为12cm和15cm两部分,求这个三角形的底边和腰的长?
3.等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12和21两部分,求三角形的底边长
4.在等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线等腰三角形ABC的周长分成15和6两部分，求三角形ABC的腰长及底边长。
等腰三角形专题练习二
1.等腰三角形周长是50,一腰上的中线分得两个三角形周长是32,22,求腰长?
2.一个等腰三角形腰上的中线把三角形分成周长分别为21cm和12cm的两个三角形,求底边。
3.已知等腰三角形的周长被一腰上的中线分成为两个三角形,其周长分别为18厘米和15厘米,其中中线3厘米，求这等腰三角形的各边。
提升题型：
1.一个等腰三角形的周长是25cm,一腰上的中线将等腰三角形周长分为3∶2两部分，则此等腰三角形的底边长为__。
2.一个等腰三角形的周长15,一腰上的中线把周长分为两部分，这两部分的差为6，求腰长。
等腰三角形专项练习30题(有答案)OK
等腰三角形专项练习30题1．已知，如图，△ABC中，AB=AC，DE是AB的中垂线，点D在AB上，点E在AC上，若△ABC的周长为25cm，△EBC的周长为16cm，则AC的长度为（）A．16cm B．9cm C．8cm D．7cm2．在△ABC中，∠ABC=120°，若DE、FG分别垂直平分AB、BC，那么∠EBF为（）A．75°B．60°C．45°D．30°3．如图，AD=BC=BA，那么∠1与∠2之间的关系是（）A．∠1=2∠2 B．2∠1+∠2=180°C．∠1+3∠2=180°D．3∠1﹣∠2=180°4．如图，已知∠AOB=40°，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，CD交OA、OB于M、N两点，则∠MPN的度数是（）A．70°B．80°C．90°D．100°5．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°．∠BAC的平分线与线段AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是（）A．45°B．50°C．55°D．60°6．如图所示，△ABC为正三角形，P是BC上的一点，PM⊥AB，PN⊥AC，设四边形AMPN，△ABC的周长分别为m、n，则有（）A．B．C．D．7．如图所示，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，则①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC垂直平分BD；④BD平分∠ABC，其中正确的结论有（）A．①②B．①②③C．①②③④D．②③8．下列说法正确的是（）A．两个能重合的图形一定关于某条直线对称B．若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧C．到角两边距离相等的点在这个角的平分线上D．如果三角形一边的垂直平分线经过它的一个顶点，那么这个三角形一定是等腰三角形9．用一根长为a米的线围成一个等边三角形，测知这个等边三角形的面积为b平方米．现在这个等边三角形内任取一点P，则点P到等边三角形三边距离之和为（）米．A．B．C．D．10．在等腰直角△ABC（AB=AC≠BC）所在的三角形边上有一点P，使得△PAB，△PAC都是等腰三角形，则满足此条件的点有（）A．1个B．3个C．6个D．7个11．如图所示，在△ABC中，AB=AC，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点D，BD+CD=10cm，则AB的长为_________．12．如图，若等腰△ABC的腰长AB=10cm，AB的垂直平分线交另一腰AC于D，△BCD的周长为16cm，则底边BC是_________cm．13．已知实数x，y满足|x﹣4|+（y﹣8）2=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是_________．14．如图所示，将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形有_________个．15．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=8，BC=5，则BD的长为_________．16．等腰△ABC的底边上高AD与底角平分线CE交于点P，EF⊥AD，F为垂足，则线段EB与线段EF的数量关系为_________．17．如图，在等腰在△ABC中，AB=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若在△BCE的周长为50，则底边BC的长为_________．18．等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，则这个三角形的腰长为_________．19．如图，已知D为等边三角形纸片ABC的边AB上的点，过点D作DG∥BC交AC于点G，DE⊥BC于点E，过点G作GF⊥BC于点F．把三角形纸片ABC分别沿DG，DE，GF按图示方式折叠，则图中阴影部分是_________三角形．20．如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出一种情形）：_________．21．如图，已知等边△ABC边长为1，D是△ABC外一点且∠BDC=120°，BD=CD，∠MDN=60°．求证：△AMN的周长等于2．22．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，说明：BC=DE+EF成立的理由．23．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AD⊥CF；（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．24．已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数．25．如图，∠1=∠2，AB=AD，∠B=∠D=90°，请判断△AEC的形状，并说明理由．26．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，①求证：△BCE≌△ACD；②求证：CF=CH；③判断△CFH的形状并说明理由．27．如图：△ABC是等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1，求AD的长．28．如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E，连接BP交AC于点F．（1）证明：∠CAE=∠CBF；（2）证明：AE=BF．29．如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA，AE=CD，AD与BE交于点P，BQ⊥AD于点Q，求证：BP=2PQ．30．如图，△ABE和△BCD都是等边三角形，且每个角是60°，那么线段AD与EC有何数量关系？请说明理由．参考答案：1．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∵△ABC的周长为25cm，△EBC的周长为16cm，AC=AB，∴2AC+BC=25cm，BE+CE+BC=AE+EC+BC=AC+BC=16cm，即，解得：AC=9cm，故选B2．解：∵DE、FG分别垂直平分AB、BC，∴AE=BE，BF=CF，∴∠A=∠ABE，∠C=∠CBF，∵∠A+∠C+∠ABC=180°，∠ABC=120°，∴∠A+∠C=60°，∴∠ABE+∠CBF=60°，∴∠EBF=120°﹣60°=60°，故选B3．解：∵AB=BC，∴∠1=∠BCA，∵AB=AD，∴∠B=∠2，∵∠1+∠B+∠ACB=180°，∴2∠1+∠2=180°．故选B4．解：∵P关于OA、OB的对称∴OA垂直平分PC，OB垂直平分PD∴CM=PM，PN=DN∴∠PMN=2∠C，∠PNM=2∠D，∵∠PRM=∠PTN=90°，∴在四边形OTPR中，∴∠CPD+∠O=180°，∴∠CPD=180°﹣40°=140°∴∠C+∠D=40°∴∠MPN=180°﹣40°×2=100°故选D．5．解：如图，延长AO交BC于点M，连接BO，∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣50°）÷2=65°，∵AO是∠BAC的平分线，∴∠BAO=25°，又∵OD是AB的中垂线，∴∠OBA=∠OAB=25°，∴∠OBM=∠OCM=60°﹣25°=40°，∴∠BOM=∠COM=90°﹣40°=50°，由折叠性可知，∠OCM=∠COE，∴∠MOE=∠COM﹣∠COE=50°﹣40°=10°，∴∠OEM=90°﹣10°=80°，∵由折叠性可知，∠OEF=∠CEF，∴∠CEF=（180°﹣80°）÷2=50°．故选：B6．解：设BM=x，CN=y则BP=2x，PC=2y，PM=x，PN=yAM+AN=2BC﹣（BM+CN）=3（x+y），故==≈0.7887．故选D7．解：在Rt△ABC和Rt△ADC中，AB=AD，AC=AC，所以Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．所以∠ACB=∠ACD，∠BAC=∠DAC，即AC平分∠BAD，CA平分∠BCD．故①②正确；在△ABD中，AB=AD，∠BAO=∠DAO，所以BO=DO，AO⊥BD，即AC垂直平分BD．故③正确；不能推出∠ABO=∠CBO，故④不正确．故选B8．解：A、两个能重合的图形不一定关于某条直线对称，故错误；B、两个图形关于某条直线对称，它们的对应点有可能位于对称轴上，故错误；C、同一平面内，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，故错误；D，正确，故选D9．解：等边三角形周长为a，则边长为，设P到等边三角形的三边分别为x、y、z，则等边三角形的面积为b=××（x+y+z）解得x+y+z=，故选C10．解：∵△ABC是等腰直角三角形，（AB=AC≠BC）所在的三角形边上有一点P，使得△PAB，△PAC都是等腰三角形，∴有一个满足条件的点﹣斜边中点，∴符合条件的点有1个．故选A．11．解：∵ED是边AB边上的中垂线，∴AD=BD；又∵BD+CD=10cm，AB=AC，∴BD+CD=AD+DC=AC=AB=10cm，即AB=10cm．故答案是：10cm12．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴BD+CD=AC，∵AB=AC=10cm，BD+CD+BC=AB+BC=16cm，∴BC=16﹣AB=16﹣10=6cm．故答案为：6cm13．解：根据题意得，x﹣4=0，y﹣8=0，解得x=4，y=8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4=8，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长=4+8+8=20，所以，三角形的周长为20．故答案为：2014．解：∵将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上．∴EF∥DG，∠E=∠D=60°，∴∠ENM=∠D=60°，∠MGD=∠E=60°，∴EM=NM=EN，DM=GM=DG，∴△MEN，△MDG是等边三角形．∵∠A=∠B=30°，∴MA=MB，∴△ABM是等腰三角形．∴图中等腰三角形有3个15．解：延长BD与AC交于点E，∵∠A=∠ABD，∴BE=AE，∵BD⊥CD，∴BE⊥CD，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ECD，∴∠EBC=∠BEC，∴△BEC为等腰三角形，∴BC=CE，∵BE⊥CD，∴2BD=BE，∵AC=8，BC=5，∴CE=5，∴AE=AC﹣EC=8﹣5=3，∴BE=3，∴BD=1.5．故选A．16．解：延长EF交AC于点Q，∵EF⊥AD，AD⊥BC∴EQ∥BC∴∠QEC=∠ECB∵CE平分∠ACB∴∠ECB=QCE∴∠QEC=∠QCE∴QE=QC∵QE∥BC，且△ABC为等腰三角形∴△AQE为等腰三角形∴AQ=AE，QE=2EF∴BE=CQ=2EF．故答案为：BE=2EF．17．解：∵DE垂直且平分AB，∴BE=AE．由BE+CE=AC=AB=27，∴BC=50﹣27=2318．解：设AB=AC=2X，BC=Y，则AD=CD=X，∵AC上的中线BD将这个三角形的周长分成15和6两部分，∴有两种情况：1、当3X=15，且X+Y=6，解得，X=5，Y=1，∴三边长分别为10，10，1；2、当X+Y=15且3X=6时，解得，X=2，Y=13，此时腰为4，根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，而4+4=8＜13，故这种情况不存在．∴腰长只能是10．故答案为1019．解：∵三角形ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵根据题意知道点B和点C经过折叠后分别落在了点I和点H处，∴∠DIH=∠B=60°，∠GHI=∠C=60°，∴∠HJI=60°，∴∠DIH=∠GHI=∠HJI=60°，∴阴影部分是等边三角形，故答案为：等边．20．答：由①③条件可判定△ABC是等腰三角形．证明：∵∠EBO=∠DCO，∠EOB=∠DOC，（对顶角相等）BE=CD，∴△EBO≌△DCO，∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等腰三角形21．解：延长AC到E，使CE=BM，连接DE，（如图）∵BD=DC，∠BDC=120°，∴∠CBD=∠BCD=30°，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ACD=∠DCE=90°，∴△BMD≌△CDE，∴∠BDM=∠CDE，DM=DE，又∵∠MDN=60°，∴∠BDM+∠NDC=60°，∴∠EDC+∠NDC=∠NDE=60°=∠NDM，又∵DN=DN，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN=NE=NC+CE=NC+BM，所以△AMN周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=2．22．解：∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，∠C是直角，∴CD=DF，∠DBC=∠DBE，∠DFB=∠C，∴△BCD≌△BFD，∴BC=BF，∵DE∥BC，∴∠DBC=∠EDB，即∠DBC=∠DBE，∴△BDE是等腰三角形，∴BE=DE，∴BF=BC=DE+EF23．（1）证明：在等腰直角三角形ABC中，∵∠ACB=90°，∴∠CBA=∠CAB=45°．又∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°．∴∠BDE=45°．又∵BF∥AC，∴∠CBF=90°．∴∠BFD=45°=∠BDE．∴BF=DB．又∵D为BC的中点，∴CD=DB．即BF=CD．在△CBF和△ACD中，，∴△CBF≌△ACD（SAS）．∴∠BCF=∠CAD．又∵∠BCF+∠GCA=90°，∴∠CAD+∠GCA=90°．即AD⊥CF．（2）△ACF是等腰三角形，理由为：连接AF，如图所示，由（1）知：CF=AD，△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，∴BE垂直平分DF，∴AF=AD，∵CF=AD，∴CF=AF，∴△ACF是等腰三角形．24．解：∵BP=PQ=QC=AP=AQ，∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°，∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ．又∵∠BAP+∠ABP=∠APQ，∠C+∠CAQ=∠AQP，∴∠BAP=∠CAQ=30°．∴∠BAC=120°．故∠BAC的度数是120°25．解：△AEC是等腰三角形．理由如下：∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠3，即∠BAC=∠DAE，又∵AB=AD，∠B=∠D，∴△ABC≌△ADE（ASA），∴AC=AE．即△AEC是等腰三角形26．①证明：∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS）；②∵△BCE≌△ACD，∴∠CBF=∠CAH．∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACH=60°．∴∠BCF=∠ACH，在△BCF和△ACH中，，∴△BCF≌△ACH（ASA），∴CF=CH；③∵CF=CH，∠ACH=60°，∴△CFH是等边三角形27．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°；又∵AE=CD，在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD；∴BE=AD，∠CAD=∠ABE；∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；∵BQ⊥AD，∴∠AQB=90°，则∠PBQ=90°﹣60°=30°；∵PQ=3，∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6；又∵PE=1，∴AD=BE=BP+PE=728．（1）证明：在等腰△ABC中，∵CH是底边上的高线，∴∠ACH=∠BCH，在△ACP和△BCP中，，∴△ACP≌△BCP（SAS），∴∠CAE=∠CBF（全等三角形对应角相等）；（2）在△AEC和△BFC中，∴△AEC≌△BFC（ASA），∴AE=BF（全等三角形对应边相等）．29．证明：∵AB=BC=CA，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，在△ABE和△CAD中∴△ABE≌△CAD（SAS），∴∠ABE=∠CAD，∵∠BPQ=∠ABE+∠BAP，∴∠BPQ=∠CAD+∠BAP=∠CAB=60°，∵BQ⊥AD∴∠BQP=90°，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ．30．解：AD=EC．证明如下：∵△ABC和△BCD都是等边三角形，每个角是60°∴AB=EB，DB=BC，∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABE+∠EBC=∠DBC+∠EBC即∠ABD=∠EBC在△ABD和△EBC中∴△ABD≌△EBC（SAS）∴AD=EC。
等腰三角形的练习题
等腰三角形的练习题一、选择题1. 等腰三角形的两边相等，这个性质称为（）A. 对称性B. 等边性C. 等腰性D. 等角性2. 在等腰三角形中，底角相等的原因是（）A. 三角形内角和定理B. 等腰三角形的性质C. 相似三角形的判定D. 直角三角形的性质3. 等腰三角形的底边高等于腰上的高，这是因为（）A. 直角三角形的斜边中线性质B. 等腰三角形的三线合一性质C. 勾股定理D. 相似三角形的性质4. 已知等腰三角形的顶角为60°，那么这个三角形是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定5. 如果等腰三角形的底边长为10厘米，腰长为13厘米，那么其面积是（）A. 30平方厘米B. 65平方厘米C. 100平方厘米D. 无法计算二、填空题6. 等腰三角形的两个底角相等，其大小为______。
7. 如果等腰三角形的顶角为120°，那么底角的大小为______。
8. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，如果AB边上的高为h，那么AC边上的高也是______。
9. 等腰三角形的三线合一性质指的是______、______和______在同一直线上。
10. 如果等腰三角形的腰长为x，底边长为y，且x>y，那么面积公式为S=______。
三、解答题11. 已知等腰三角形的顶角为40°，求其底角的大小。
12. 一个等腰三角形的底边长为8厘米，腰长为10厘米，求其面积。
13. 证明：等腰三角形的底边上的中线、高线和角平分线重合。
14. 如果一个三角形的两边相等，且这两边所夹的角为70°，求这个三角形的另外两个内角的大小。
15. 已知等腰三角形的周长为32厘米，底边长为10厘米，求其腰长。
四、应用题16. 一个等腰三角形的花园，其底边长为20米，腰长为13米。
如果需要在花园的周围铺设一圈围栏，问需要多少米的围栏？17. 在一个等腰三角形ABC中，AB=AC，AB边上的高为h，求证：AC边上的高也是h。
等腰三角形经典练习题(有难度)
等腰三角形练习题一、计算题：1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB求∠A 的度数设∠ABD 为x,则∠A 为2x 由8x=180° 得∠A=2x=45°设∠A 为x, 由5x=180° 得∠A=36°3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数 ∠AFD=160°4. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD=ED=EA求∠A 的度数设∠A 为xAB C D FEAB CDE x x3x 2x3x 2x2x AEx2x∠A=71805. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 设∠ADE 为x ∠EDC=∠AED －∠C=15°6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=21,DE+BC=1, 求∠ABC 的度数A B CDE x x 180°－2x 30° x －15°x －15° AD延长DE到点F,使EF=BC可证得:△ABC≌△BFE所以∠1=∠F由∠2+∠F=90°,得∠1+∠F=90°在Rt△DBF中, BD=21,DF=1所以∠F =∠1=30°7. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，若AC=AB+BD求∠B：∠C的值在AC上取一点E,使AE=AB可证△ABD≌△ADE所以∠B=∠AED由AC=AB+BD,得DE=EC,所以∠AED=2∠C故∠B：∠C=2:1二、证明题：8. 如图，△ABC中，∠ABC,∠CAB的平分线交于点P，过点P作DE∥AB，分别交BC、AC于点D、E求证：DE=BD+AE证明△PBD和△PEA 是等腰三角形CB ADEPAB CDE9. 如图，△DEF 中，∠EDF=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系DF+AD=AE 在AE 上取点B,使AB=AD10. 如图，△ABC 中，∠B=60°，角平分线AD 、CE 交于点O 求证：AE+CD=AC在AC 上取点F,使AF=AE易证明△AOE ≌△AOF, 得∠AOE=∠AOF 由∠B=60°，角平分线AD 、CE,A DF E B OA BC DE F得∠AOC=120°所以∠AOE=∠AOF=∠COF=∠COD=60° 故△COD ≌△COF,得CF=CD 所以AE+CD=AC11. 如图，△ABC 中，AB=AC, ∠A=100°，BD平分∠ABC, 求证：BC=BD+AD延长BD 到点E,使BE=BC,连结CE 在BC 上取点F,使BF=BA 易证△ABD ≌△FBD,得AD=DF 再证△CDE ≌△CDF,得DE=DF 故BE=BC=BD+AD也可:在BC 上取点E,使BF=BD,连结DF 在BF 上取点E,使BF=BA,连结DE先证DE=DC,再由△ABD ≌△EBD,得AD=DE,最后证明DE=DF 即可AB C D EF A B CD EF12. 如图,△ABC中,AB=AC,D为△ABC外一点，且∠ABD=∠ACD =60°求证：CD=AB-BD在AB上取点E，使BE=BD，在AC上取点F，使CF=CD得△BDE与△CDF 均为等边三角形，只需证△ADF≌△AED13.已知：如图，AB=AC=BE，CD为△ABC中AB边上的中线求证：CD=21CE延长CD到点E,使DE=CD.连结AE 证明△ACE≌△BCEAB CE DE ABC DEF14. 如图，△ABC 中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC求证：BD=ED在CE 上取点F,使AB=AF 易证△ABD ≌△ADF, 得BD=DF,∠B=∠AFD 由∠B+∠BAC+∠C=∠DEC+∠EDC+∠C=180° 所以∠B=∠DEC 所以∠DEC=∠AFD 所以DE=DF,故BD=ED15. 如图，△ABC 中，AB=AC,BE=CF,EF 交BC 于点G求证：EG=FGCAB DE1 2F F C B EG A16. 如图，△ABC 中，∠ABC=2∠C ，AD 是BC 边上的高，B 到点E ，使BE=BD求证：AF=FC17. 如图，△ABC 中，AB=AC,AD 和BE 两条高，交于点H ，且AE=BE 求证：AH=2BD由△AHE ≌△BCE,得BC=AH18. 如图，△ABC 中，AB=AC, ∠BAC=90°,BD=AB,∠ABD=30° 求证：AD=DC作AF ⊥BD 于F,DE ⊥AC 于E可证得∠DAF=DAE=15°, 所以△ADE ≌△ADF 得AF=AE,ABD F EC AB C DE HAB CDEF由AB=2AF=2AE=AC, 所以AE=EC,因此DE 是AC 的中垂线,所以AD=DC19. 如图，等边△ABC 中，分别延长BA 至点E ，延长BC 至点D ，使AE=BD 求证：EC=ED延长BD 到点F,使DF=BC,可得等边△BEF, 只需证明△BCE ≌△FDE 即可20. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD+∠BCD=180°，AD 、BC 的延长线交于点F ，DC 、AB 的延长线交于点E ，∠E 、∠F 的平分线交于点H求证：EH ⊥FH延长EH 交AF 于点G由∠BAD+∠BCD=180°, ∠DCF+∠BCD=180° A EB C D F DCFHG 12 M得∠BAD=∠DCF,由外角定理,得∠1=∠2, 故△FGM是等腰三角形由三线合一,得EH⊥FH。
初中数学：等腰三角形练习(含答案)
初中数学：等腰三角形练习（含答案）一、选择题1、等腰三角形一底角为50°,则顶角的度数为（）A、65B、70C、80D、40【答案】C【解析】试题分析：根据三角形的内角和定理求解.解：等腰三角形的顶角度数=180°-50°-50°=80°.故应选C考点：等腰三角形的性质2、如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE分别为∠ABC,∠ACB的角平分线,则图中等腰三角形共有（）A． 5个B． 6个C．7个D．8个【答案】D【解析】试题分析：根据等腰三角形两底角相等和∠A=36°,求出∠ABC和∠ACB的度数,再根据角平分线的定义求出∠ABD、∠CBD、∠ACE、∠BCE的度数,利用三角形外角定理求出∠BOE、∠COD的度数,根据等角对等边进行判断.解：如下图所示,∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB=72°,∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∴∠ABD=∠C BD=∠ACE=∠BCE=∠A=36°,∴△ABD、△BCD、△ACE、△BCE、△OBC是等腰三角形；∴∠BEC=∠A+∠ACE=72°,∠BOE=∠BCE+∠CBD=72°,∴∠BEC=∠BOE,同理可得：∠CDO=∠COD,∴△BOE、△COD是等腰三角形；又△ABC是等腰三角形,∴共有8个等腰三角形.故应选D.考点：1.等腰三角形的性质；2.等腰三角形的判定3、下列条件中不能确定是等腰三角形的是（）A．三条边都相等的三角形B．一条中线把面积分成相等的两部分的三角形C．有一个锐角是45°的直角三角形D．一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形【答案】D【解析】试题分析：根据等腰三角形的定义和等腰三角形的判定定理进行判断.解：A选项、三条边都相等的三角形是特殊的等腰三角形,故A选项正确；B选项、三角形任何一条边上的中线都能把三角形分成面积相等的两个三角形,故B选项错误；C选项、有一个锐角是45°的直角三角形的另一个锐角也是45°,根据等角对等边可得这是一个等腰三角形,故C选项正确；D选项、如果一个外角的平分线平行于三角形一边,利用平行线的性质可证三角形的两个角相等,根据等角对等边可证这是一个等腰三角形,故D选项正确.故应选B考点：等腰三角形的判定4、下列能断定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A=30°,∠B=60°B．∠A=50°,∠B=80°C． AB=AC=2,BC=4 D．AB=3,BC=7,周长为13【答案】B【解析】试题分析：根据等腰三角形的判定定理进行判断.解：A选项、若∠A=30°,∠B=60°,则∠C=90°,不能判定△ABC为等腰三角形；B选项、若∠A=50°,∠B=80°,则∠C=50°,根据等角对等边能判定△ABC为等腰三角形；C选项、若AB=AC=2,BC=4,因为2+2=4,所以不能构成三角形；D选项、若AB=3,BC=7,周长为13,则AC=3,因为3+3<7,所以不能构成三角形.故应选B.考点：等腰三角形的判定5、已知下列各组数据,可以构成等腰三角形的是（）A． 1,2,1 B．2,2,1 C． 1,3,1 D．2,2,5【答案】B【解析】试题分析：根据三角形三边的关系进行判断.解：A选项、因为1+1=2,所以不能构成三角形；B选项、因为2+1>2,能构成三角形,所以可以构成等腰三角形；C选项、因为1+1<3,所以不能构成三角形；D选项、因为2+2<5,所以不能构成三角形.故应选B.考点：三角形三边关系6、小明将两个全等且有一个角为60°的直角三角形拼成如图所示的图形,其中两条较长直角边在同一直线上,则图中等腰三角形的个数是（）Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．1【答案】B【解析】试题分析：根据直角三角形的性质求出各角的度数,根据等角对等边进行判断. 解：∵∠B=∠E=60°,∴∠A=∠D=30°,∴△MAD是等腰三角形；∵∠EMG-∠A+∠D=60°,∴△EGM是等腰三角形；同理可证△BHM是等腰三角形.∴共有三个等腰三角形.故应选B考点：1.直角三角形的性质；2.等腰三角形的判定二、填空题7、一个等腰三角形的两边分别为3cm和4cm,则它的周长为_________；【答案】10cm或11cm【解析】试题分析：根据三角形的周长公式分情况进行计算.解：当三角形三边分别是3cm、3cm、4cm时,三角形的周长是3+3+4=10cm；当三角形三边分别是3cm、4cm、4cm时,三角形的周长是3+4+4=11cm.故答案是10cm或11cm.考点：等腰三角形的性质8、在方格纸上有一个△ABC,它的顶点位置如图所示,则这个三角形是三角形.【答案】等腰【解析】试题分析：根据点A在BC的垂直平分线上,可证AB=AC,所以这个三角形是等腰三角形.解：∵点A在BC的垂直平分线上,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.故答案是等腰.考点：1.线段垂直平分线的性质；2.等腰三角形的定义9、如果一个三角形有两个角分别为80°,50°,则这个三角形是_________三角形．【答案】等腰【解析】试题分析：根据三角形内角和求出三角形的另一个内角,根据等角对等边进行判断.解：∵第三个角=180°-50°-80°=50°.∴这个三角形是等腰三角形.故答案是等腰.考点：等腰三角形的判定10、用若干根火柴（不折断）紧接着摆成一个等腰三角形,一边用了10根火柴,则至少还要用_________根火柴．【答案】11【解析】试题分析：根据用10根火柴组成的边是等腰三角形的底边和腰,分两种情况进行讨论.解：当用10根火柴组成的边是等腰三角形的底边时,则每个腰上至少用6根火柴棍,∴共需要12根火柴棍；当用10根火柴组成的边是等腰三角形的腰时,则另一个腰上需要用10根火柴棍,底边至少用1根火柴,∴共需要11根火柴棍.∴至少还要用11根火柴.故答案是11.考点：1.等腰三角形的定义；2.三角形三边关系11、如图,△ABC是等腰三角形,且AB=AC,BM,CM分别平分∠ABC,∠ACB,DE 经过点M,且DE∥BC,则图中有_________个等腰三角形．【答案】5【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB,根据平行线的性质可证∠ADE=∠AED,根据角平分线的性质可证∠DBM=∠MBC=∠DMB=∠EMC=∠ECM=∠BCM,根据等角对等边进行证明.解：∵△ABC是等腰三角形,∴∠ABC=∠ACB,∵DE∥BC,∴∠ADE=∠AED,∴△ADE是等腰三角形；∵BM平分∠ABC,∴∠DBM=∠CBM,∵BC∥DE,∴∠DMB=∠CBM,∴∠DBM=∠DMB,∴△DBM是等腰三角形,同理可得△EMC是等腰三角形；又∵∠ABC=∠ACB,∴∠MBC=∠MCB,∴△MBC是等腰三角形.∵△ABC是等腰三角形.∴共有5个等腰三角形.故答案是5.考点：1.等腰三角形的性质；2.等腰三角形的判定三、解答题12、已知：如图,OA平分∠BAC,∠1=∠2．求证：△ABC是等腰三角形．【答案】证明见解析【解析】试题分析：首先过点O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,根据角平分线的性质可证OE=OF,根据HL可证Rt△OBE≌Rt△OCF,利用全等三角形的性质可证∠5=∠6,所以可证∠ABC=∠ACB,根据等角对等边可证结论成立.证明：如下图所示,过点O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,∵AO平分∠BAC,∴OE=OF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．∵∠1=∠2,∴OB=OC．∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．∴∠5=∠6．∴∠1+∠5=∠2+∠6．即∠ABC=∠ACB．∴AB=AC．∴△ABC是等腰三角形．考点：1.角平分线的性质；2.等腰三角形的判定定理；3.全等三角形的判定和性质13、如图,△ABC中,∠A=36°,AB=AC,CD平分∠ACB,试说明△BCD是等腰三角形．【答案】证明见解析【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质求出∠B=∠ACB=72°,根据角平分线的定义可以求出∠ACD=∠A=36°,根据三角形外角的性质可以求出∠ADB=72°,再根据等角对等边可证结论成立.证明：∵∠A=36°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=72°,∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠A=36°,∴∠BDC=∠A+∠ACD,∴∠BDC=∠B=72°,∴△BCD是等腰三角形．考点：1.等腰三角形的性质；2.等腰三角形的判定14、如图,ABC△中,∠ABC、∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC分别交AB、AC于D、E,已知△ADE的周长为20cm,且BC=12cm,求△ABC的周长【答案】32cm.【解析】试题分析：首先根据角平分线的性质可证∠DBF=∠FBC,根据平行线的性质可证∠DFB=∠DBF,所以可证BD=DF,同理可证EC=EF,所以可证AD+AE+DF+EF=20cm,再根据BC的长度求出△ABC的周长.解：∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点F,∴∠DBF=∠FBC,又∵DE∥BC,∴∠DFB=∠FBC,∴∠DFB=∠DBF,∴BD=DF,同理EC=EF,∵△ADE的周长为20cm,∴AD+AE+DF+EF=20cm,∴AD+AE+BD+EC=AB+AC=20cm又∵BC=12cm,∴AB+AC+BC=32cm即△ABC的周长为32cm.考点：1.等腰三角形的判定；2.等腰三角形的性质。
(完整版)等腰三角形基础题练习
等腰三角形基础题练习1．一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为(）2．若等腰三角形的两边长分别为5和6,则这个等腰三角形的周长为()A. 11B. 16C。
17 D. 16或173．已知一等腰三角形的两边长x，y满足方程组错误!则此等腰三角形的周长为__ __．4．如图，AC平分∠BAD，CD⊥AD，CB⊥AB，连结B D。
，图中等腰三角形有__ _ 对5．已知等腰三角形ABC的底边BC的长为8，且|AC－BC｜＝2，则腰AC的长为（）A．10或6 B．10C．6 D．8或66．若等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为20°，则顶角的度数是．7．有一个等腰三角形，三边长分别为3x－2，4x－3,6－2x,则这个等腰三角形的周长为8如图,在▱ABCD中，，,的平分线交BA的延长线于点E，则AE的长为9如图，是由绕点O顺时针旋转后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且的度数为,则的度数是A. B. C. D。
10如果一个等腰三角形的一个角为，则这个三角形的顶角为11如图，中，，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D和E，则的周长是12已知a、b、c是的三条边,且满足，则是A。
锐角三角形B。
钝角三角形C。
等腰三角形 D. 等边三角形13如图，下列条件不能推出是等腰三角形的是A.B。
，C. ，D。
，14如图,在中,,，,AD平分，交BC于点D,于E，则______ ．15如图,，OC平分，如果射线OA上的点E满足是等腰三角形，那么的度数为______．16如图，在中，，，，点P从点B开始以的速度向点C移动，当要以AB为腰的等腰三角形时,则运动的时间为______．17平行四边形ABCD中，的角平分线BE将边AD分成长度为5cm和6cm的两部分，则平行四边形ABCD 的周长为______cm．18如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12,腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F,若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则的周长的最小值为______．19如图,中，点D在边BC上，若，，则______度20如图，在中,,AB的垂直平分线MN交AC于D点若BD平分，则______21.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB，AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE和△ACD,且∠EDC=40°,则∠ABC的度数为°22。
等腰三角形和等边三角形练习题
等腰三角形和等边三角形练习题一、选择题1、等腰三角形的一个角是 80°，则它顶角的度数是（）A 80°B 80°或 20°C 80°或 50°D 20°解析：分两种情况讨论。
若 80°角是顶角，则顶角就是 80°；若 80°角是底角，则顶角为 180° 80°×2 ＝ 20°。
所以顶角的度数为 80°或 20°，答案选 B。
2、等腰三角形的两边长分别为 3 和 6，则这个等腰三角形的周长为（）A 12B 15C 12 或 15D 18解析：因为等腰三角形两腰长度相等，当腰长为3 时，3 ＋3 ＝6，不能构成三角形；当腰长为 6 时，周长为 6 ＋ 6 ＋ 3 ＝ 15。
所以答案选 B。
3、下列说法正确的是（）A 等边三角形是等腰三角形B 等腰三角形是等边三角形C 等腰三角形的两角相等D 等边三角形的三个角不相等解析：等边三角形是特殊的等腰三角形，A 选项正确；等腰三角形不一定是等边三角形，B 选项错误；等腰三角形两底角相等，C 选项说法不全面；等边三角形的三个角都相等，D 选项错误。
所以答案选A。
4、若一个等腰三角形的一个外角为 100°，则这个等腰三角形的底角为（）A 50°B 80°C 50°或 80°D 40°或 80°解析：若外角 100°是顶角的外角，则顶角为 80°，底角为（180°80°）÷2 ＝ 50°；若外角 100°是底角的外角，则底角为 80°。
所以答案选 C。
5、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 45°，则这个等腰三角形的顶角为（）A 45°B 135°C 45°或 675°D 45°或 135°解析：分两种情况。
等腰三角形经典练习题(5套)附带详细答案
练习一一、选择题1．等腰三角形的周长为26㎝，一边长为6㎝，那么腰长为（）Ａ．6㎝Ｂ．10㎝Ｃ．6㎝或10㎝Ｄ．14㎝2．已知△ABC，AB =AC，∠B=65°，∠C度数是( )A．50° B．65° C．70° D． 75°3．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）A．过顶点的直线B．底边的垂线C．顶角的平分线所在的直线D．腰上的高所在的直线/二、填空题4．等腰三角形的两个_______相等（简写成“____________”）．5．已知△ABC，AB =AC，∠A=80°，∠B度数是_________．6．等腰三角形的两个内角的比是1：2，则这个等腰三角形的顶角的度数是_______________．7．等腰三角形的腰长是6，则底边长5，周长为__________．三、解答题8．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC．（写出每步证明的重要依据）[9．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数.一、选择题1．B2．B3．C二、填空题4．底角，等边对等角~5．50°6．36°或90°7．16或17三、解答题8．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC．证明：∵AB=AD（已知）∴∠ABD=∠ADB（等边对等角）∵AD∥BC（已知）∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）∴∠ABD=∠CBD（等量代换）|∴BD平分∠ABC．（角平分线定义）9．45练习2一、选择题1．△ABC是等边三角形，D、E、F为各@边中点，则图中共．有正三角形( )A．2个 B．3个C．4个 D．5个2．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则BC：AB等于 ( )A． 2：1 B．1：2 C．1：3 D．2 ：3二、填空题3．等边三角形的周长为6㎝，则它的边长为 ________．4．等边三角形的两条高线相交所成钝角的度数是__________．5．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC是_____三角形．6．△ABC中，∠AC B=90°∠B=60°，BC=3㎝，则AB=_______．—三、解答题7．△ABC是等边三角形，点D在边BC上，DE∥AC，△BDE是等边三角形吗试说明理由．8．已知：如图，P，Q是△ABC边上BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数．《9．已知：△ABC中，∠ACB=90°，AD=BD，∠A=30°，求证：△BDC是等边三角形．一、选择题[AQ CPB1．D 2．B二、填空题 3．2㎝ 4．120° 5．等边 6．6㎝ 三、解答题7．△ABC 是等边三角形．理由是 ∵△ABC 是等边三角形；∴∠A =∠B =∠C=60° ∵DE ∥AC ，∴∠BED =∠A=60°，∠BDE =∠C =60° ∴∠B =∠BED =∠BDE ∴△ABC 是等边三角形 8．∠BAC=120°9．证明：∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°（已知）∴∠A +∠B=90°（直角三角形两锐角互余）》∴∠B= 90°－∠A= 90°－30°=60°∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°（已知） ∴BC=（在直角三角形中，一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半）∴△BDC 是等边三角形（有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形）。
等腰等边三角形经典习题
等腰三角形专项练习11、一个等腰三角形的一个角是50°,它的一腰上的高与底边的夹角是( )A．25°B．40°C．25°或40°D．不确定.2、.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300,则顶角的度数为（）A.600B.1200C.600或1500D.600或12003、有一个等腰三角形的周长为25,一边长为11,那么腰长为( )A．11 B．7 C．14 D．7或114、等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴有（）A.1条B.2条C.35.6.已知：已知：求证：求证：证明：证明：等腰三角形专项练习1、一个等腰三角形的一个角是50°,它的一腰上的高与底边的夹角是( )A．25°B．40°C．25°或40°D．不确定.2、.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300,则顶角的度数为（）A.600B.1200C.600或1500D.600或12003、有一个等腰三角形的周长为25,一边长为11,那么腰长为( )A．11 B．7 C．14 D．7或114、等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴有（）A.1条B.2条C.3条D.1条或3条5.求证：等腰三角形两个底角相等。
6.已知：已知：求证：求证：证明：证明：7．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC ，交ABAC 于F ，若AB=18，AC=16，求△AEF 的周长？8.如图：在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC ， DE ⊥AB 于点E, DF ⊥AC 于点F 。
试说明DE=DF 。
9．如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC,BC 为边，在Rt △ABC 外作两个等边三角形△ACE和△BCF ，连接BE,AF 。
求证：BE=AF7．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC ，交AC 于F ，若AB=18，AC=16，求△AEF 的周长？8.如图：在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC ， DE ⊥AB 于点E, DF ⊥AC 于点F 。
小学数学等腰三角形练习题
小学数学等腰三角形练习题练习题一：等腰三角形基础知识练习1. 已知一个等腰三角形的底边长为10cm，顶角为60°，求其两边的长度。
2. 等腰三角形的两条等边边长分别为8cm，三角形的底边长为12cm，求三角形的周长。
3. 等腰三角形的两条等边边长为AB=6cm，BC=6cm，BD是等腰三角形BCD的高，求BD的长度。
4. 如果一个等腰三角形的顶角是80°，底边长为12cm，求两边的长度。
5. 若等腰三角形ABC中，角B的度数是40°，且边AC的长度为10cm，则边AB的长度是多少？练习题二：等腰三角形性质练习1. 等腰三角形的两个底角分别是 50°，求其顶角的度数。
2. 具有两个等长边的三角形一定是等腰三角形吗？为什么？3. 对于任意一个等腰三角形，它的顶角一定等于两个底角的和吗？请举例说明。
4. 若一个等腰三角形的两个底角之和为110°，求其顶角的度数。
5. 等腰三角形的两个底角分别是 x°，那么顶角的度数是多少？练习题三：等腰三角形的面积计算1. 一个等腰三角形的底边长为6cm，顶角为60°，求其面积。
2. 若等腰三角形的两边的长度为8cm，底边的长度为10cm，求其面积。
3. 已知等腰三角形的底边长为12cm，顶角为45°，求其面积。
4. 如果一个等腰三角形的两边的长度都是5cm，底边长为4cm，求其面积。
5. 若一个等腰三角形的面积为24cm²，底边长为6cm，求其两边的长度。
练习题四：等腰三角形的性质综合练习1. 一个等腰三角形的底边长为8cm，顶角为30°，求其周长。
2. 若等腰三角形的两边的长度为10cm，底边的长度为6cm，求其顶角的度数。
3. 如果一个等腰三角形的两个底角之和为120°，求其周长。
4. 已知等腰三角形的底边长为16cm，顶角为75°，求其面积。
中考数学专题复习等腰三角形练习(含答案)
中考数学专题复习等腰三角形练习一、选择题1. 如图所示，线段AC 的垂直平分线交线段AB 于点D ，∠A=50°，则∠BDC=( )A .50°B .100°C .120°D .130°2. 已知等腰三角形的一个角等于42°，则它的底角为( )A ．42°B ．69°C ．69°或84°D ．42°或69°3. 如图，等边三角形OAB 的边长为2，则点B 的坐标为( )A .(1，1)B .(1，) 3C .(，1)D .()33，34.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝65°，点D 是BC 边上任意一点，过点D 作DF ∥AB 交AC 于点E ，则∠FEC 的度数是（ ）A ．120°B ．130°C ．145°D ．150°CEF5.如图，在△ABC 中，AB =BC ∠BAC =30°，分别以点A ，C 为圆心，AC 的长为半径作弧，两弧交于点D ，连接DA ，DC ，则四边形ABCD 的面积为( )A.B.9C.6D.6.如图，等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，BA ＝BC ，将BC 绕点B 顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP ，连结CP ，过点A 作AH ⊥CP 交CP 的延长线于点H ，连结AP ，则∠PAH 的度数（ ）A ．随着θ的增大而增大B ．随着θ的增大而减小C ．不变D ．随着θ的增大，先增大后减小7.如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，可知ABC ∆,40AC BC A =∠=︒的度数为BCG ∠A ．B ．C ．D ．40︒45︒50︒60︒8.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”．在一次数学活动课上，小明用边长为4cm 的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品﹣﹣“奔跑者”，其中阴影部分的面积为5cm 2的是（ ）A．B．C．D．二、填空题9. 我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么(a-b)2的值是 .10.等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是 ．11.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC 是等边三角形，则∠B＝________°．12.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB 的中点．若BC＝12，AD＝8，则DE的长为．ECB A13.若等腰三角形的一个底角为，则这个等腰三角形的顶角为__________．72 14. 如图，等边三角形ABC 内有一点P ，分别连接AP ，BP ，CP ，若AP=6，BP=8，CP=10，则S △ABP +S △BPC = .15.如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝60°，AD ＝BC ＝CD ＝4，点M 是四边形ABCD 内的一个动点，满足∠AMD ＝90°，则点M 到直线BC 的距离的最小值为 ．MDC BA 16.如图，在直角坐标系中，点A (1，1)，B (3，3)是第一象限角平分线上的两点，点C 的纵坐标为1，且CA ＝CB ，在y 轴上取一点D ，连接AC ，BC ，AD ，BD ，使得四边形ACBD 的周长最小，这个最小周长的值为．三、解答题17. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.(1)若∠C=42°，求∠BAD的度数;(2)若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F.求证:AE=FE.18. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.19.如图，△ABC中，AB＝AC，∠B的平分线交AC于D，AE∥BC交BD的延长线于点E，AF⊥AB交BE于点F．(1)若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数；(2)若AD＝DC＝2，求AF的长．FDEC AB 20. （12分）如图，在等边三角形ABC 中，点E 是边AC 上一定点，点D 是直线BC 上一动点，以DE 为一边作等边三角形DEF ，连接CF ．【问题解决】如图1，若点D 在边BC 上，求证：CE +CF ＝CD ；【类比探究】如图2，若点D 在边BC 的延长线上，请探究线段CE ，CF 与CD 之间存在怎样的数量关系？并说明理由．21. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5 cm ，BC ＝6 cm ，AD 是BC 边上的高．点P 由C 出发沿CA 方向匀速运动．速度为1 cm/s.同时，直线EF 由BC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1 cm/s ，EF //BC ，并且EF 分别交AB 、AD 、AC 于点E ，Q ，F ，连接PQ .若设运动时间为t (s)(0＜t ＜4)，解答下列问题：(1)当t为何值时，四边形BDFE是平行四边形？(2)设四边形QDCP的面积为y(cm2)，求出y与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使点Q在线段AP的垂直平分线上？若存在，求出此时点F到直线PQ的距离h；若不存在，请说明理由．答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】D [解析] 在等腰三角形中，当一个锐角在未指明为顶角还是底角时，一定要分类讨论．①42°的角为等腰三角形的底角；②42°的角为等腰三角形的顶角，则底角为(180°－42°)÷2＝69°.所以底角为42°或69°.3. 【答案】B [解析]过点B作BH⊥AO于点H，∵△OAB是等边三角形，33∴OH=1，BH=，∴点B的坐标为(1，).4. 【答案】B【解析】可利用三角形的外角性质求∠FEC的度数，结合等腰三角形与平行线的性质，可得∠EDC、∠B均与∠C相等．即：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝65°．∵DF∥AB，∴∠EDC＝∠B＝65°．∴∠FEC＝∠EDC＋∠C＝65°＋65°＝130°．5. 【答案】D【解析】∵分别以点A、C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，∴AD=AC=CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°.∵AB=BC ，AD=CD ，连接BD 交AC 于点E ，∴BD 垂直平分AC ，∴∠AEB=90°.∵∠BAC=30°， AB= ∴，AE=，∴AC=3．32在R t △ADE 中，∵∠DAC=60°，∠AED=90°，AE=，∴∴BD=32=∴四边形ABCD 的面积为：．3333221=⨯⨯6. 【答案】C【解析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，旋转的性质．由旋转得BC=BP=BA ，∴△BCP 和△ABP 均是等腰三角形.在△BCP 中，∠CBP=θ，BC=BP ，∴∠BPC=90°-θ.在△ABP 中，∠ABP=90°-θ，同理得∠12APB=45°+θ，∴∠APC=∠BPC +∠APB =135°，又∵∠AHC=90°，∴∠12PAH=45°，即其度数是个定值，不变．因此本题选C ．7. 【答案】C【解析】由作法得，∵，∴平分，，CG AB ⊥AB AC =CG ACB ∠A B ∠=∠∵，∴．故选C ．1804040100ACB ∠=︒-︒-︒=︒1502BCG ACB ∠=∠=︒8. 【答案】最小的等腰直角三角形的面积42＝1（cm 2），平行四边形面=18×12×积为2cm 2，中等的等腰直角三角形的面积为2cm 2，最大的等腰直角三角形的面积为4cm 2，则A 、阴影部分的面积为2+2＝4（cm 2），不符合题意；B 、阴影部分的面积为1+2＝3（cm 2），不符合题意；C 、阴影部分的面积为4+2＝6（cm 2），不符合题意；D 、阴影部分的面积为4+1＝5（cm 2），符合题意．故选：D ．二、填空题9. 【答案】1 [解析]由勾股定理可得，a 2+b 2=13，直角三角形面积=(13-1)÷4=3，即ab=3，所以ab=6，所以(a -b )2=a 2+b 2-2ab=13-12=1. 1210. 【答案】10或11．【解析】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，∵此时能组成三角形，∴周长＝3+3+4＝10；②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，此时能组成三角形，所以周长＝3+4+4＝11．综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．故答案为：10或11．11. 【答案】30°【解析】本题考查了等边三角形和等腰三角形以及垂直平分线的性质．因为FE 垂直平分BC ，∴ FC ＝FB ∴∠B ＝∠BCF ∵△ACF 是等边三角形，∴∠AFC ＝60° ，∴ ∠B ＝30°12. 【答案】5【解析】∵AB ＝AC ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ＝BC ＝6．在R t △ABD 中，由勾股定理，得AB ＝10．又∵E 12为AB 的中点，∴DE ＝AB ＝5．故答案为5．1213. 【答案】36°【解析】∵等腰三角形的一个底角为，∴等腰三角形的顶角72︒，180727236=︒-︒-︒=︒故答案为：．36︒14. 【答案】16+24 [解析]将△ABP 绕点B 顺时针旋转60°到△CBP'，连接3PP'，所以P'C=PA=6，BP=BP'，∠PBP'=60°，所以△BPP'是等边三角形，其边长BP 为8，所以PP'=8，S △BPP'=16，3因为PC=10，所以PP'2+P'C 2=PC 2，所以△PP'C 是直角三角形，S △PP'C =24，所以S △ABP +S △BPC =S △BPP'+S △PP'C =163+24.15. 【答案】－2【解析】延长AD 、BC 交于点P ， 作MH ⊥PB 于H .∵AB ∥CD ，∴＝，∠ABC ＝∠DCP ＝60°.∵AD ＝BC ＝CD ＝4，∴PD ＝PD AD PC BCPC ，∴△PDC 为等边三角形，∴PD ＝PC ＝CD ＝4，∠P ＝60°. 由∠AMD ＝90°，可知点M 在以AD 为直径的⊙E 上，且在四边形ABCD 内的一个动点，根据垂线段最短可知E 、M 、H 三点共线时MH 最小.在R t △PEH 中，EP ＝6，∠P＝60°，∴EH ＝EP ·sin 60°＝∴MH 的最小值＝EH －EM ＝2.16. 【答案】4＋25【解析】先求点C 的坐标，再利用最短路径知识确定D 点位置，最后求四边形ACBD 的最小周长即可．由点A 与点C 的纵坐标均为1，可知AC ∥x 轴，又点A ，B 是第一象限角平分线上的两点，∴∠BAC ＝45°，又∵CA ＝CB ，∴∠CBA ＝45°，∴AC ⊥BC ，∴C(3，1)，则AC ＝BC ＝2．如图，作点A 关于y 轴的对称点E ，连接BE 交y 轴于点D ，此时AD ＋BD 的值最小，为线段BE 的长．由轴对称性可知AE=2，则EC=4．在R t △BCE 中，根据勾股定理，得BE ＝＝＝2．∴四边形ACBD 的最小周长为2＋2＋222EC BC +2242+5＝4＋2．55三、解答题17. 【答案】解:(1)(方法一):∵AB=AC ，∠C=42°，∴∠B=∠C=42°，∴∠BAC=180°-∠B -∠C=180°-42°-42°=96°.∵AD ⊥BC ，∴∠BAD=∠BAC=×96°=48°.1212(方法二):∵AB=AC ，∠C=42°，∴∠B=∠C=42°.∵AD ⊥BC 于点D ，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=180°-90°-42°=48°.(2)证明:∵EF ∥AC ，∴∠CAF=∠F ，∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴∠CAF=∠BAF ，∴∠F=∠BAF ，∴AE=FE.18. 【答案】证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ，∵AD 是BC 边上的中线，∴AD ⊥BC ，∴∠BAD ＋∠ABC ＝90°，(3分)∵BE ⊥AC,∴∠CBE ＋∠C ＝90°，∴∠CBE ＝∠BAD.(5分)19. 【答案】解：(1)∵AB ＝AC ，∠BAC ＝40°，∴∠ABC ＝×(180°－40°)＝70°．12∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ＝×70°＝35°．12∵AF ⊥AB ，∴∠BAF ＝90°．∴∠AFE ＝∠BAF ＋∠ABD ＝90°＋35°＝125°．(2)∵BD 平分∠ABC ，BD ＝BD ，AD ＝CD ，∴△BDA ≌△BDC ．∴AB ＝BC ．又AB ＝AC ，∴AB ＝BC ＝AC ．∴△ABC 为等边三角形．∴∠ABC ＝60°，∠ABD ＝30°．∵AD ＝DC ＝2，∴AB ＝4．在R t △ABF 中，AF ＝AB ·tan 30°＝说明：此题中的条件AE ∥BC 是多余的．【解析】(1)由“等边对等角”求出∠ABC ，由角平分线的定义求出∠ABD ，∠AFE 是△ABF 的外角，因此∠AFE ＝∠BAF ＋∠ABD ；(2)由BD 既是△ABC 的角平分线又是中线可知AB ＝BC ，从而推出△ABC 是边长为2的等边三角形．在R t △ABF 中可解出AF ．20. 【答案】【问题解决】在CD 上截取CH ＝CE ，易证△CEH 是等边三角形，得出EH ＝EC ＝CH ，证明△DEH ≌△FEC （SAS ），得出DH ＝CF ，即可得出结论；【类比探究】过D 作DG ∥AB ，交AC 的延长线于点G ，由平行线的性质易证∠GDC ＝∠DGC ＝60°，得出△GCD 为等边三角形，则DG ＝CD ＝CG ，证明△EGD ≌△FCD （SAS ），得出EG ＝FC ，即可得出FC ＝CD +CE ．【问题解决】证明：在CD 上截取CH ＝CE ，如图1所示：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ECH ＝60°，∴△CEH 是等边三角形，∴EH ＝EC ＝CH ，∠CEH ＝60°，∵△DEF 是等边三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°，∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，∴∠DEH＝∠FEC，在△DEH和△FEC中，，∴△DEH≌△FEC（SAS），∴DH＝CF，∴CD＝CH+DH＝CE+CF，∴CE+CF＝CD；【类比探究】解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：∵GD∥AB，∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，∴∠GDC＝∠DGC＝60°，∴△GCD为等边三角形，∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，∵△EDF为等边三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠FDC，在△EGD和△FCD中，，∴△EGD≌△FCD（SAS），∴EG ＝FC ，∴FC ＝EG ＝CG +CE ＝CD +CE ．21. 【答案】(1)如解图①，连接DF ，解图①∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝3，在Rt △ABD 中AD ＝＝4，52－32∵EF //BC ，∴△AEF ∽△ABC ，∴＝，EF BC AQ AD ∴＝，∴EF ＝(4－t )，EF 64－t 432∵EF //BD ，∴当EF ＝BD 时，四边形EFDB 是平行四边形，∴(4－t )＝3，32∴t ＝2，∴当t ＝2s 时，四边形EFDB 是平行四边形；(2)如解图②，作PN ⊥AD 于N ，解图②∵PN //DC ，∴＝，PN DC AP AC ∴＝，PN 35－t 5∴PN ＝(5－t )，35∴y ＝DC ·AD －AQ ·PN 1212＝6－(4－t ) ·(5－t )1235＝6－(t 2－t ＋6)3102710＝－t 2＋t (0＜t ＜4)；3102710(3)存在．理由如下：如解图③，作QN ⊥AC 于N ，作FH ⊥PQ 于H .解图③∵当QN 为AP 的垂直平分线时QA ＝QP ，QN ⊥AP ，∴AN ＝NP ＝AP ＝(5－t )，1212由题意cos ∠CAD ＝＝，AD AC AN AQ∴＝，∴t ＝，12（5－t ）4－t 4573∴当t ＝s 时，点Q 在线段AP 的垂直平分线上．73∵sin ∠FPH ＝＝sin ∠CAD ＝，∵PA ＝5－＝，AF ＝AQ ÷＝，FH PF 357383452512∴PF ＝，∴FH ＝.712720∴点F 到直线PQ 的距离h ＝(cm)． 720。
等腰三角形典型例题练习(含答案)
等腰三角形典型例题练习．选择题（共 2 小题）1．如图，∠ C=90°，AD 平分∠ BAC 交 BC 于D ，若 BC=5cm ， BD=3cm ，则点 D 到 AB 的距离为（ ）2．如图，已知 C 是线段 AB 上的任意一点（端点除外） ，分别以 AC 、BC 为边并且在 AB 的同一侧作等边△ ACD 和等边 △BCE ，连接 AE 交 CD 于 M ，连接 BD 交 CE 于 N ．给出以下三个结论： ① AE=BD ② CN=CM③ MN ∥AB 其中正确结论的个数是（ ）二．填空题（共 1 小题）3．如图，在正三角形 ABC 中， D ， E ，F 分别是 BC ，AC ，AB 上的点， DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，则△DEF 的面积与三．解答题（共 15 小题）B ． 3cmC ． 2cmD ．不能确定B ．1C ．2D ．3A ．04．在△ ABC中，AD 是∠BAC 的平分线， E 、F 分别为 AB 、AC 上的点，且∠ EDF+∠EAF=180°，求证O ，过点 O 作 DE ∥BC ， 分别交 AB 、AC 于点 D 、E ．请说明DE=BD+E ．C6．＞已知：如图， D 是△ ABC 的 BC 边上的中点， DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为 E ，F ，且 DE=DF ．请判断△ABC 是什 么三角形并说明理由．7．如图，△ ABC 是等边三角形， BD 是 AC 边上的高，延长 BC 至 E ，使 CE=CD ．连接 DE ． 1)∠E 等于多少度2)△DBE 是什么三角形为什么8．如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90°， CD 是 AB 边上的高，∠ A=30°．求证： AB=4BD ．DE=DF．9．如图，△ ABC 中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF．10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B 的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，11．（2012? 牡丹江）如图①，△ ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=C．H 证明过程如下：如图①，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP= AB? PE，S△ACP= AC? PF，S△ABC= AB? CH．△ABP △ACP △ABC又∵ S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴ AB? PE+ AC? PF= AB? CH．∵AB=AC，∴PE+PF=C．H（1）如图②，P 为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠ A=30°，△ ABC 的面积为49，点P 在直线BC上，且P 到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB 边上的高CH= ______ ．点P到AB边的距离PE= __________ ．12．数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形 ABC 中，点 E 在 AB 上，点 D 在 CB 的延长线上，且 ED=EC ，如图，试确定线段 AE 与 DB 的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论当点 E 为AB 的中点时，如图 1，确定线段 AE 与 DB 的大小关系， 请你直接写出结论： AE _____ DB （填“>”， “<”或“ =”）． （2）特例启发，解答题目解：题目中， AE 与 DB 的大小关系是： AE _______ DB （填“>”，“<”或“ =”） ．理由如下：如图 2，过点E 作 EF ∥BC ，交 AC 于点 F ．（请你完成以下解答过程）13．已知：如图，AF 平分∠ BAC ，BC ⊥AF 于点 E ，点D 在AF 上，ED=EA ，点P 在CF 上，连接PB 交AF 于点 M ．若∠BAC=2∠MPC ，请你判断∠F 与∠ MCD 的数量关系，并说明理由．3）拓展结论，设计新题，AE=2，求 CD 的长（请14．如图，已知△ ABC 是等边三角形，点D、E 分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）线段AD与BE有什么关系试证明你的结论．（2）求∠ BFD的度数．15．如图，在△ ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF，求证：AE=CF．16．已知：如图，在△ OAB 中，∠ AOB=9°0 ，OA=O，B 在△ EOF中，∠ EOF=90°，OE=O，F连接AE、BF．问线段AE 与BF 之间有什么关系请说明理由．17．（2006? 郴州）如图，在△ ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB 边上的高．1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系并加以证明；2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗若不成立，又存在怎样的关系请说明理由．18．如图甲所示，在△ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，则P 点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高）即PD+PE=C，F 若P 点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF 之间存在怎样的等式关系写出你的猜想并加以证明．等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析．选择题（共 2 小题）1．如图，∠ C=90°，AD平分∠ BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（考点：角平分线的性质．分析：由已知条件进行思考，结合利用角平分线的性质可得点D到AB的距离等于D到AC的距离即CD 的长，问题可解．解答：解：∵∠ C=90°，AD平分∠ BAC交BC于D∴D到AB的距离即为CD长CD=5﹣3=2 故选C．2．如图，已知C 是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ ACD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论：①AE=BD②CN=C③M MN∥AB 其中正确结论的个数是（）考点：平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：由△ACD和△BCE是等边三角形，根据SAS易证得△ ACE≌△DCB，即可得①正确；由△ACE≌△DCB，可得∠ EAC=∠NDC，又由∠ ACD=∠MCN=6°0 ，利用ASA，可证得△ACM≌△DCN，即可得②正确；又可证得△ CMN是等边三角形，即可证得③正确．解答：解：∵△ ACD和△BCE是等边三角形，∴∠ ACD=∠BCE=60°，AC=DC，EC=BC，∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB，即∠ ACE=∠DCB，∴△ ACE≌△ DCB（SAS），B．3cm C．2cm D．不能确定∴AE=BD，故①正确；∴∠EAC=∠NDC，∵∠ACD=∠BCE=60°，∴∠DCE=6°0 ，∴∠ ACD=∠MCN=6°0 ，∵AC=D，C∴△ ACM≌△ DCN（ASA），∴CM=C，N故②正确；又∠ MCN=18°0 ﹣∠ MCA﹣∠ NCB=18°0﹣60°﹣60°=60°，∴△CMN是等边三角形，∴∠ NMC∠= ACD=6°0 ，∴ MN∥AB，故③正确．故选D．．填空题（共 1 小题）3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF 的面积与考点：分析：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．首先根据题意求得：∠ DFE=∠FED=∠EDF=60°，即可证得△ DEF 是正三角形，又由直角三角形中，解答：30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得积比等于相似比的平方，即可求得结果．解：∵△ ABC 是正三角形，∴∠ B=∠C=∠A=60°，∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，∴∠AFE=∠CED=∠BDF=90°，∴∠BFD=∠CDE=∠AEF=30°，∴∠DF：AB=1：，又由相似三角形的面∴△DEF是正三角形，∴ BD：DF=1：①，BD：AB=1：3②，△ DEF∽△ ABC，①÷②，=，∴DF：AB=1：，∴△ DEF的面积与△ ABC的面积之比等于1：3．1：3故答案为：1：3．三．解答题（共15 小题）4．在△ ABC 中， AD 是∠BAC 的平分线， E 、F分别为 AB 、AC 上的点，且∠ EDF+∠EAF=180°，求证考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的定义．∵A D 平分∠ BAC ，DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，∴DM=D （N 角平分线性质） ，∠ DME ∠= DNF=90°，∵∠EAF+∠EDF=180°，∴∠ MED ∠+ AFD=360°﹣180°=180°，∵∠AFD+∠NFD=18°0 ，∴∠ MED ∠= NFD ， 在△EMD 和△FND 中，∴△ EMD ≌△FND ，∴DE=D ．FO ，过点 O 作 DE ∥BC ， 分别交 AB 、AC 于点 D 、E ．请说明DE=BD+E ．C考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．分析：根据 OB 和 OC 分别平分∠ ABC 和∠ACB ，和 DE ∥BC ，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求 证出 DB=DO ， OE=EC ．然后即可得出答案．解答：解：∵在△ ABC 中， OB 和 OC 分别平分∠ ABC 和∠ ACB ， ∴∠DBO ∠= OBC ，∠ ECO ∠= OCB ，分析：过 D 作 DM ⊥AB ，于 M ，DN ⊥AC 于 N ，根据角平分线性质求出 DN=DM ，根据四边形的内角和定理和平 角定义求出∠∠，根据全等三角形的判定推出△≌△即可．解答：证明：过 D 作 DM ⊥AB ，于 M ，DN ⊥AC 于 N ，5．在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点DE=DF．即∠ EMD ∠=FND=90°，∵DE ∥BC ，∴∠ DOB ∠= OBC ∠= DBO ，∠EOC ∠= OCB ∠= ECO ， ∴DB=D ，O OE=EC ，∵ DE=DO+O ，E ∴ DE=BD+E ．C6．＞已知：如图， D 是△ ABC 的 BC 边上的中点， DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为 E ，F ，且 DE=DF ．请判断△ ABC 是什 么三角形并说明理由．考点： 等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．分析： 用（ HL ）证明△ EBD ≌△ FCD ，从而得出∠ EBD=∠FCD ，即可证明△ ABC 是等腰三角形．解答：△ABC 是等腰三角形．证明：连接 AD ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠ BED=∠CFD=90°，且 DE=DF ，∵D 是△ ABC 的 BC 边上的中点，∴ BD=D ，C∴Rt △EBD ≌Rt △FCD （ HL ），∴∠ EBD=∠FCD ，∴△ ABC 是等腰三角形．7．如图，△ ABC 是等边三角形， BD 是AC 边上的高，延长 BC 至E ，使 CE=CD ．连接 DE ．（ 1）∠E 等于多少度（ 2）△ DBE 是什么三角形为什么考点： 等边三角形的性质；等腰三角形的判定．分析：（1）由题意可推出∠ ACB=60°，∠ E=∠CDE ，然后根据三角形外角的性质可知：∠即可推出∠E 的度数；2）根据等边三角形的性质可知， BD 不但为 AC 边上的高，也是∠ ABC 的角平分线，即得：∠DBC=3°0 ，然后再结合（ 1）中求得的结论，即可推出△ DBE 是等腰三角形．解：（1）∵△ ABC 是等边三角形，∴∠ ACB=60°，∵CD=C ，E ∴∠ E=∠CDE ，∵∠ ACB=∠E+∠CDE ，2）∵△ ABC 是等边三角形， BD ⊥AC ，∴∠ ABC=60°，∵∠E=30°，∴∠ DBC=∠E ，∴△ DBE 是等腰三角形．8．如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90°， CD 是 AB 边上的高，∠ A=30°．求证： AB=4BD ．9．如图，△ ABC 中， AB=AC ，点 D 、 E 分别在 AB 、AC 的延长线上，且 BD=CE ，DE 与 BC 相交于点 F ．求证： DF=EF ．考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：过 D 点作 DG ∥AE 交BC 于 G 点，由平行线的性质得∠ 1=∠2，∠4=∠3，再根据等腰三角形的性质可 得∠B=∠2，则∠ B=∠1，于是有 DB=DG ，根据全等三角形的判定易得△解答：证明：过 D 点作 DG ∥AE 交 BC 于 G 点，如图， ∴∠1=∠2，∠4=∠3，∵AB=AC ，∴∠B=∠2，∴∠ B=∠1，∴ DB=D ，G 而 BD=CE ，∴DG=C ，E考点： 含 30 度角的直角三角形．分析： 由△ABC 中，∠ ACB=90°，∠ A=30°可以推出 AB=2BC ，同理可得解答：解：∵∠ ACB=90°，∠ A=30°，∴ AB=2BC ，∠B=60°．又∵CD ⊥AB ，∴∠ DCB=3°0 ，∴ BC=2BD ．∴ AB=2BC=4B ．DBC=2BD ，则结论即可证明．解答：在△DFG和△EFC中，∴△ DFG≌△EFC，∴DF=EF．10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B 的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，考点：全等三角形的判定与性质．分析：延长CE，BA交于一点F，由已知条件可证得△ BFE 全≌△ BEC，所以FE=EC，即CF=2CE，再通过证明△ADB≌△ FAC 可得FC=BD，所以BD=2CE．解答：证明：如图，分别延长CE，BA交于一点F．∵BE⊥EC，∴∠ FEB=∠CEB=90°，∵ BE 平分∠ ABC，∴∠ FBE=∠CBE，又∵BE=BE，∴△BFE≌△BCE （ASA）．∴FE=CE．∴CF=2CE．∵AB=AC，∠BAC=90°，∠ ABD+∠ADB=90°，∠ ADB=∠EDC，∴∠ ABD+∠EDC=9°0 ．又∵∠DEC=9°0 ，∠ EDC+∠ECD=9°0 ，∴∠ FCA=∠DBC=∠ABD．∴△ADB≌△AFC．∴FC=DB，∴BD=2EC．11．（2012? 牡丹江）如图①，△ ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=C．H 证明过程如下：如图①，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S △ABP= AB? PE，S△ACP= AC? PF，S△ABC= AB? CH．又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴ AB? PE+ AC? PF= AB? CH．△△△∵AB=AC，∴PE+PF=C．H（1）如图②，P 为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系请写出你的猜想，并加以证明：2）填空：若∠ A=30°，△ ABC 的面积为49，点P 在直线BC上，且P 到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB考点：等腰三角形的性质；三角形的面积．分析：（1）连接AP．先根据三角形的面积公式分别表示出S△ABP，S△ACP，S△ABC，再由S△ABP=S△ACP+S△ABC即可得出PE=PF+PH；（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由△ ABC的面积为49，求出CH=7，由于CH>PF，则可分两种情况进行讨论：①P 为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH；②P 为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH．解答：解：（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S △ABP= AB? PE，S△ACP= AC? PF，S△ABC= AB? CH，△ABP △ACP △ABC∵S△ABP=S△ACP+S△ABC，∴ AB? PE= AC? PF+ AB? CH，又∵ AB=AC，∴ PE=PF+C；H △ABP △ACP △ABC（2）∵在△A CH中，∠ A=30°，∴ AC=2C．H∵S△ABC= AB? CH，AB=AC，∴ ×2CH? CH=49，∴CH=7．分两种情况：①P为底边BC上一点，如图①．∵PE+PF=C，H∴ PE=CH﹣PF=7﹣3=4；②P为BC延长线上的点时，如图②．10．12．数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC中，点 E 在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点 E 为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE = DB（填“>”，“<” 或“=”）．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE = DB（填“>”，“<”或“ =”）．理由如下：如图2，过点 E 作EF∥BC，交AC 于点F．（请你完成以下解答过程）3）拓展结论，设计新题，AE=2，求CD的长（请即可；（2）过 E 作 EF ∥BC 交 AC 于 F ，求出等边三角形 AEF ，证△ DEB 和△ECF 全等，求出 BD=EF 即可；（3）当 D 在 CB 的延长线上， E 在 AB 的延长线式时，由（ 2）求出 CD=3，当 E 在 BA 的延长线解答：解：（ 1）故答案为： =．（2）过 E 作 EF ∥BC 交 AC 于 F ，∵等边三角形 ABC ，∴∠ ABC=∠ACB=∠A=60°， AB=AC=B ，C ∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠ AEF=∠AFE=∠A=60°， ∴△AEF 是等边三角形，∴ AE=EF=A ，F∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=6°0 ， ∵DE=EC ，∴∠D=∠ECD ，∴∠ BED=∠ECF ， 在△DEB 和△ECF 中，∴△ DEB ≌△ECF ，∴BD=EF=A ，E 即 AE=BD ，故答案为： =．3）解：CD=1或 3，理由是：分为两种情况：①如图 过 A 作 AM ⊥BC 于 M ，过 E 作 EN ⊥BC 于 N ，则 AM ∥EM ， ∵△ ABC 是等边三角形，∴ AB=BC=AC=，1∵AM ⊥BC ，∴BM=CM= BC= ，∵DE=C ，E EN ⊥BC ，∴ CD=2C ，N∴BN= ，∴ CN=1+ = ，∴ CD=2CN=；3考点： 等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性分析：1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠ D=∠ECB=30°，求出∠ DEB=30°，求出= ，∴ ==， = ，∴，∵AM ∥EN ，∴△AMB ∽△ENB ，BD=BE②如图2，作AM⊥BC 于M，过E作EN⊥BC于N，则AM∥ EM，∵△ ABC是等边三角形，∴ AB=BC=AC=，1∵AM⊥BC，∴BM=CM= BC= ，∵DE=C，E EN⊥BC，∴ CD=2C，N∵AM∥EN，∴= ，∴ = ，∴ MN=1，∴CN=1﹣= ，∴CD=2CN=113．已知：如图，AF平分∠ BAC，BC⊥AF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M．若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F 与∠ MCD的数量关系，并说明理由．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出AB=AC=C，D推出∠ CDA=∠CAD=∠CPM，求出∠MPF=∠CDM，∠PMF=∠BMA∠= CMD，在△ DCM 和△ PMF中根据三角形的内角和定理求出即可．解答：解：∠ F=∠MCD，理由是：∵ AF 平分∠ BAC，BC⊥AF，∴∠ CAE=∠BAE，∠AEC=∠AEB=90°，在△ACE和△ABE中，∴△ ACE≌△ABE（ASA）∴ AB=AC，∵∠CAE=∠CDE∴AM是BC的垂直平分线，∴ CM=B，M CE=BE，∴∠ CMA∠= BMA，∵AE=ED，CE⊥AD，∴AC=C，D ∴∠ CAD=∠CDA，∵∠BAC=2∠MPC，又∵∠ BAC=2∠CAD，∴∠MPC∠= CAD，∴∠ MPC∠= CDA，∴∠ MPF=∠CDM，∴∠ MPF=∠CDM（等角的补角相等），∵∠DCM∠+ CMD∠+ CDM=18°0 ，∠ F+∠MPF+∠PMF=18°0 ，又∵∠ PMF=∠BMA∠= CMD，∴∠ MCD∠= F．14．如图，已知△ ABC 是等边三角形，点D、E 分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）线段AD与BE有什么关系试证明你的结论．（2）求∠ BFD的度数．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）根据等边三角形的性质可知∠ BAC=∠C=60°，AB=CA，结合AE=CD，可证明△ ABE≌△ CAD，从而证得结论；（2）根据∠ BFD=∠ABE+∠BAD，∠ABE=∠CAD，可知∠ BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．解答：（1）证明：∵△ ABC 为等边三角形，∴∠ BAC=∠C=60°，AB=CA．在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD∴AD=BE．（2）解：∵∠ BFD=∠ABE+∠BAD，又∵△ ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD．∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．15．如图，在△ ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF，求证： AE=CF ．考点：全等三角形的判定与性质． 分析：根据已知利用 SAS 即可判定△ ABE ≌△ CBF ，根据全等三角形的对应边相等即可得到 AE=CF ． 解答：证明：∵∠ ABC=90°，∴∠ ABE=∠CBF=90°， 又∵AB=BC ， BE=BF ，∴△ ABE ≌△ CBF （ SAS ）．∴ AE=CF ．16．已知：如图，在△ OA B 中，∠ AOB=9°0 ， OA=O ，B 在△ EOF 中，∠ EOF=90°， OE=O ，F 连接 AE 、BF ．问线段 AE 与 BF 之间有什么关系请说明理由．考点 ：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 分析： 可以把要证明相等的线段 AE ，CF 放到△ AEO ，△ BFO 中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO ， OE=OF ，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠ BOE 的结果，当然相等了，由此可以证 明△AEO ≌△ BFO ；延长 BF 交 AE 于 D ，交 OA 于 C ，可证明∠ BDA=∠AOB=9°0 ，则 AE ⊥BF ．解答： 解：AE 与 BF 相等且垂直，理由：在△ AEO 与△BFO 中，∵Rt △OAB 与 Rt △OEF 等腰直角三角形，∴ AO=O ，B OE=OF ，∠AOE=9°0 ﹣∠ BOE=∠BOF ， ∴△AEO ≌△BFO ，∴AE=BF ．延长 BF 交 AE 于 D ，交 OA 于 C ，则∠ ACD=∠BCO ，由（ 1）知∠ OAE=∠OBF ，∴∠ BDA=∠AOB=9°0 ，∴ AE ⊥BF ．17．（2006? 郴州）如图，在△ ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB 边上的高．（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系并加以证明；（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗若不成立，又存在怎样的关系请说明理由．考点：等腰三角形的性质．分析：（1）连接AD，根据三角形ABC的面积=三角形ABD的面积+三角形ACD的面积，进行分析证明；（2）类似（1）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即三角形ABC的面积角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积．解答：解：（1）DE+DF=C．G证明：连接AD，则S△ABC=S△ABD+S△ACD，即AB? CG= AB? DE+ AC? DF，∵ AB=AC，∴CG=DE+D．F △ABC △ABD △ACD2）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE﹣DF=CG．理由：连接AD，则S△ABD=S△ABC+S△ACD，即AB? DE= AB? CG+ AC? DF∵AB=AC，∴ DE=CG+D，F即DE﹣DF=CG．同理当 D 点在CB的延长线上时，则有DE﹣DF=CG，说明方法同上．18．如图甲所示，在△ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，则P 点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高）即PD+PE=C，F 若P 点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF 之间存在怎样的等式关系写出你的猜想并加以证明．考点：等腰三角形的性质；三角形的面积．分析：猜想：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+C．F 根据∵S△PAB= AB? PD，S△PAC= AC? PE，S△CAB= AB? CF，S△PAC= AC? PE，AB? PD= AB? CF+ AC? PE，即可求证．△PAC解答：解：我的猜想是：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+C．F 理由如下：连接AP，则S△PAC+S△CAB=S△PAB，∵S△PAB= AB? PD，S△PAC= AC? PE，S△CAB= AB? CF，△PAB △PAC △CAB又∵ AB=AC，∴S△PAC= AB? PE，∴AB? PD= AB? CF+ AB? PE，△PAC。
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E
D
C A F
等腰三角形
一、选择题
1．等腰三角形的对称轴是（ ）
A ．顶角的平分线
B ．底边上的高
C ．底边上的中线
D ．底边上的高所在的直线
2．等腰三角形有两条边长为4cm 和9cm ，则该三角形的周长是（ ） A ．17cm B ．22cm C ．17cm 或22cm D ．18cm
3．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30° 4．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ）
A ．100°
B ．100°或40°
C ．40°
D ．80°
5．如图，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是（ ）
A ．80°
B ．90°
C ．100°
D ．108°
E
D
C
A
B
H
F
G
二、填空题
6．等腰△ABC 的底角是60°，则顶角是________度． 7．等腰三角形“三线合一”是指___________．
8．等腰三角形的顶角是n °，则两个底角的角平分线所夹的钝角是_________． 9．如图，△ABC 中AB=AC ，EB=BD=DC=CF ，∠A=40°，则∠EDF•的度数是_____． 10．△ABC 中，AB=AC ．点D 在BC 边上
（1）∵AD 平分∠BAC ，∴_______=________；________⊥_________； （2）∵AD 是中线，∴∠________=∠________；________⊥________； （3）∵AD ⊥BC ，∴∠________=∠_______；_______=_______． 三、解答题
11．已知△ABC 中AB=AC ，AD ⊥BC 于D ，若△ABC 、△ABD 的周长分别是20cm 和16cm ，•求AD 的长．
12．如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，求证：∠ABC=∠ADC.
D
C
A
B
13．已知△ABC 中AB=AC ，点P 是底边的中点，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别是D 、E ，• 求证：PD=PE.
四、探究题
14．如图，CD 是△ABC 的中线，且CD=
1
2
AB ，你知道∠ACB 的度数是多少吗？由此你能得到一个什么结论？请叙述出来与你的同伴交流．
练习题
一、选择题
1．如图1，已知OC 平分∠AOB ，CD ∥OB ，若OD=3cm ，则CD 等于（ ）
A ．3cm
B ．4cm
C ．1.5cm
D ．2cm
D C A
E D A
B
F
E
D
C
A
B
H F
（1） (2) (3)
2．△ABC 中AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，则图中的等腰三角形有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
3．如图2，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②DE=BD+CE ；•③△ADE 的周长等于AB 与AC 的和；④BF=CF ．其中正确的有（ ）
A ．①②③
B ．①②③④
C ．①②
D ．①
4．如图3，Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，角平分线AE 交CD 于H ，EF ⊥AB 于F ，则下列结论中不正确的是（ ）
A ．∠ACD=∠
B B ．CH=CE=EF
C ．CH=H
D D ．AC=AF 二、填空题
5．△ABC 中，∠A=65°，∠B=50°，则AB ：BC=_________．
6．已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，要使AD•∥BC ，•则△ABC•的边一定满足________． 7．△ABC 中，∠C=∠B ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，•AE=•2cm ，•且DE•∥BC ，•则AD=________． 8．一灯塔P 在小岛A 的北偏西25°，从小岛A 沿正北方向前进30海里后到达小岛，•此时测得灯塔P 在北偏西50°方向，则P 与小岛B 相距________． 三、解答题 9．如图，已知AB=AC ，E 、D 分别在AB 、AC 上，BD 与CE 交于点F ，•且∠ABD=•∠ACE ， 求证：BF=CF ．
10．如图，△ABC 中BA=BC ，点D 是AB 延长线上一点，DF ⊥AC 于F 交BC 于E ，•
求证：△DBE 是等腰三角形．
E
D C
A
B
F
等边三角形练习题
一、选择题
1．正△ABC 的两条角平分线BD 和CE 交于点I ，则∠BIC 等于（ ） A ．60° B ．90° C ．120° D ．150°
E D C A B
F
2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；•③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；•④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③
D ．①②③④
3．如图，D 、E 、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD=BE=CF ，则△DEF•的形状是（ ） A ．等边三角形 B ．腰和底边不相等的等腰三角形
C ．直角三角形
D ．不等边三角形
D A
B
F
2
1
E
D
C
A
4．Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠B=30°，AD=2cm ，则AB 的长度是（ ） A ．2cm B ．4cm C ．8cm D ．16cm
5．如图，E 是等边△ABC 中AC 边上的点，∠1=∠2，BE=CD ，则对△ADE 的形状最准备的判断是（ ）
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．不等边三角形
D ．不能确定形状 二、填空题
6．△ABC 中，AB=AC ，∠A=∠C ，则∠B=_______．
7．已知AD 是等边△ABC 的高，BE 是AC 边的中线，AD 与BE 交于点F ，则∠AFE=______． 8．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________． 9．△ABC 中，∠B=∠C=15°，AB=2cm ，CD ⊥AB 交BA 的延长线于点D ，•则CD•的长度是_______． 三、解答题
10．已知D 、E 分别是等边△ABC 中AB 、AC 上的点，且AE=BD ，求BE 与CD•的夹角是多少度？
11．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC•于点D ，•求证：•BC=3AD.
D C
A
B
12．如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE•都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ，①求证：△BCE ≌△ACD ；②求证：CF=CH ；③判断△CFH•的形状并说明理由．
E
D
C
A
H
F。