5.5三角形内角和定理(2)
八年级数学上册第五章几何证明初步5.5.2三角形内角和定理课件新版青岛版
课堂小结
• 直角三角形性质定理：直角三角形两锐角互余 • 直角三角形判定定理：有两个锐角互余的三角形是直
角三角形
祝同学们学习进步！
回顾与思考 ☞
证明命题的一般步骤:
胜利者的 “钥匙”
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);
(2)根据题意,画出图形;
(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;
(4)分析题意,探索证明思路; (5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过 程;
(6)检查表达过程是否正确,完善.
（等式性质）
即∠A+∠B=90゜
A
C
• 性质定理的逆命题：
• 两个锐角互余的三角形是直角三角形. • （自己证明)
填一填
（ （
） ）
（ （
） ）
（
）
（wenku.baidu.com
）
3、如图，已知△ABC中，已知∠B＝65°，∠C＝45°，AD是 BC边上的高， AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数。
A
B
DE
C
拓展延伸
与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法.
直角三角形的 性质定理 : 直角三角形的两个锐角互余.
已知：在△ABC中，∠C＝ 90゜
求证：∠A＋∠B＝90 ゜
证明：在△ABC中
《三角形的内角和》课件 (第2课时) 探究版
B
C
还可以用“内错角相等，两直线平行”证．
证明： EAC B C，B C， 1 C EAC． 2 A AD平分EAC， 1 DAC EAC． 2 DAC C．
B
E
D
C
AD∥BC．
10
还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证．
F A B D 1 2 3 E 13
C
∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2（∠1+∠2+∠3）（等式的 基本性质）． ∵∠1+∠2+∠3=180°（三角形的内角和定理）， ∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°（等量代换 ）．
F A B D
1 2 3 C
E 14
1．已知，如图，在△ABC中，∠1是它的一个外
(3)另一条边是三角形某条边的延长线．
3
问题1：如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°， ∠ACD是△ABC的一个外角，能由∠A、∠B求出 ∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A、∠B有什么关系？ 解：∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°， ∠ACB＋∠ACD＝180°， ∴∠ACD＝∠A＋∠B＝130°．
E），如图，则∠BDC是△CDE的一个外角．
∴∠BDC＞∠DEC． ∵∠DEC是△ABE的一个外角，
B D E C
5三角形内角和定理(第2课时)
课 堂 精 讲
∵∠ACB=104°， ∴∠ACD=180°﹣∠ACB=180°﹣104°=76°， ∴∠CAD=14°， ∴∠DAE=∠EAC+∠CAD=40°．
Page 7
课 堂 精 讲
例2．如图所示，CE是△ABC的外角∠ACF的平分 线，CE交BA的延长线于点E，则∠BAC与∠B谁大？ 并说明理由． 【分析】利用外角的性质：三 角形的外角大于与它不相邻的 任何一个内角，即可判断． 【解答】解：∠BAC＞∠B， ∵∠BAC是△ACE的外角， ∴∠BAC＞∠1， ∵CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠1=∠2， ∴∠BAC＞∠2，∵∠2是△BCE的外角， ∴∠2＞∠B，∴∠BAC＞∠B．
Page 2
课 前 小 测
4.如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC， ∠B=60°，∠AED=45°，则∠A的度数为（B ） A．65° B．75° C．85° D．95°
5.（2015春•玉田县期末）如图，若CD平分∠ACE， BD平分∠ABC，∠A=45°，则∠D= 22.5 °．
Page 3
Page 11
课 后 作 业
6.（2016春•丹阳市月考）如图，把三角形ABC纸片 沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的内部，已知 ∠1+∠2=80°，则∠A的度数为 40° ．
Page 12
八年级数学上册 5.5 三角形内角和定理 三角形的内(外)角平分线夹角的探究与延拓素材 (新版)青岛
三角形的内（外）角平分线夹角的探究与延拓
我们探究了三角形的内角与外角的问题，也研究了角的平分线的特性，现在我们来探究一下，三角形的内（外）角平分线的夹角有什么性质．
探索一：由两条内角平分线所组成的角
如图1，△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线交于点O ，那么∠BOC 与∠A 有什么关系呢？证明你的猜想．
探索与分析：因为BO 、CO 分别是∠ABC、∠ACB 的平分线，
所以∠1=
12∠ABC，∠2=1
2∠ACB，在△OBC 中， ∠BOC=1800-（∠1+∠2）=1802-12
（∠ABC+∠ACB）=
1800-12（1800-∠A）=900+12
∠A，由此得到结论． 点评：解决本题的关键在于两条角平分线架起了与之间的桥梁，完成了从已知向未知的
过渡，细心审题，发现已知与所求之间的联系常是解题的关键
结论1：由三角形的两条内角平分线所组成的角等于900
与第三角一半的和． 延拓一：如图所示，ΔABC 中，∠A=42°，（1）如图2，若∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点D ，求∠BDC 的度数.（2）如图3，若∠ABC 和∠ACB 的三等分线分别交于点,,21D D 求∠C BD 2的度数.（3）如图3，若∠ABC 和∠ACB 的四等分线分别交于点,,,321D D D 求
C B
D 3∠的度数.（4）如图4，若∠ABC 和∠ACB 的n 等分线分别交于点1321,,,-n D D D D ，
求C BD n 1-∠的度数.
分析：在图2中，观察到BDC ∠在BDC ∆中，而DBC ∠和DCB ∠分别是原三角形中
青岛版八年级数学上册三角形内角和定理
5.5 三角形内角和定理（1）
1．根据下列条件，求ABC ∆中，C ∠的大小： （1）︒=∠︒=∠36,65B A ；（2）A C B ∠=∠=∠2； （3）︒=∠-∠︒=∠15,105C B A ；（4）C B A ∠=∠=∠．
2．（1）一个直角三角形的两个锐角相等，这两个锐角各多少度？（2）一个直角三角形的两个锐角中，一个角是另一个角的2倍，这两个锐角各多少度？
3．已知：如图，︒=∠︒=∠70,60,//ADE C BC DE ，求B A ∠∠、的度数．
4．已知：如图，AD 是ABC ∆的角平分线，︒=∠∠=∠80,ADC BAD B ，求ABC ∆各内角的度数．
5．一个三角形中能不能有两个直角或两个钝角？为什么？ 6．如图，已知AB CD ACB ⊥︒=∠,90，垂足是D ．
（1）2,1∠∠有什么关系？（2）2∠∠、B 有什么关系？为什么？B ∠∠、1不是相等？为什么？
7．如图，BD AD ⊥于D ，AE 平分︒=∠︒=∠∠34,70,C B BAC ，求DAE ∠的度数．
三角形内角和定理（1） 1．在ABC ∆中，如果C B A ∠=∠=
∠2
1
21，那么C B A ∠∠∠,,分别等于多少度？
E
D C
B
A 2．已知：如图，E DC A
B ,//是B
C 上一点，43,21∠=∠∠=∠．求证：E
D A
E ⊥．
3．如图，在
ABC ∆中，EC AE B BAC ⊥︒=∠︒=∠,60,50，垂足为CD E ,平分ACB ∠且分别与
AE AB
,交于点F D ,．求AFC ∠的度数．
4．如图，已知BC AD CD AB //,//． 求证：︒=∠+∠+∠18021B ．
7.5三角形内角和定理(2)(八年级上册数学课件)
1、求下列各图中∠1的度数。
95°
1
90° 60°
30°
85°
35°
1
120°
1
45°
50°
2、如图，已知AB∥CD，∠A＝50°，
B
D
∠C＝∠E．则∠C＝（ B ）
A．20°
B．25°
50°
A
E
C．30°
D．40°
C
4 已知：在△ABC中, ∠1是它的一个外角, D
E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE.
∵AD⊥BC，2
ED C
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=90°-∠C，
∵∠EAD=∠EAC-∠DAC
∴∠EAD= 1 [180°-（∠B+∠C）]-（90°-∠C）
= 21（∠C-∠B）．
2
2、根据“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角 的和”可知：
∠1=∠ 5 + ∠ 6 . ∠2=∠ 4 + ∠ 6 . ∠3=∠ 4 + ∠5 . 三式相加得：
2A
5
B6
3
4
1
C
∠1+∠ 2+∠3 = 2（ ∠4 + ∠5 +∠ 6 ） (1)
而 ∠4+∠5 + ∠6 = 180º
55《三角形内角和定理(2)》教学课件
观察思考
1.任取一副三角 尺，每个三角尺中的 两个锐角度数分别是 多少？
新知探究
2.任画一个Rt△ABC， 两个锐角之间有什么数量关 系？
∠A+∠B=90°
新知探究
总结 直角三角形的性质定理 直角三角形两锐角互余.
已知：Rt△ABC.
求证：∠A+∠B=90°.
A
在Rt△ABC中，
∵∠A+∠C+∠B=180° C
B
∴∠B+∠A=180°－∠C.
∵∠C=90°，
∴∠B+∠A=90°.
思考探究
新知探究
两锐角互余的三角形是直角三角形吗？
直角三角形性质定理的逆命题是什么？
真or假
新知探究
已知：在△ABC中， ∠A＋∠B ＝ 90゜.
求证：△ABC是直角三角形.
在△ABC中，
A
∵∠A+∠C+∠B=180°
∴∠B+∠A=180°－∠C. C
直角三角形判定定理： 有两个锐角互余的三角形是直角三角形.
作业 课本173页练习：1，2题； 课本174页练习：5,6,7题.
在△ADC中，
∵CD⊥AB( 已知 ),
∴∠ADC=90°( 垂直的定义 ).
例题精讲
例1. 已知：如图，在Rt△ABC中，
∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足为D.
《三角形内角和定理》第2课时示范公开课教学课件【北师大数学八年级上册】
准备好了吗？一起去探索吧！
三角形内角和定理
1.了解三角形外角的定义，掌握三角形外角的两个定理.2.能综合运用三角形内角和定理的推论即外角的两个定理进行几何证明与计算.3.引导学生从内和外、相等和不等的不同角度对三角形的角作全面的思考，体会几何中简单不等关系的证明.4.进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力，培养学生的几何意识.
∵ ∠BFC是△BEF的一个外角，
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF，∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=91°，∴ ∠BFC=119°.
解：
F
A
C
D
E
B
三角形内角和定理
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角. 注意：每一个三角形都有6个外角.每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.
△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角.如图，∠1是△ABC的∠ABC的外角. 想一想：一个三角形的外角应具备哪些条件呢？
归纳
三角形的外角应具备的条件：
(1)角的顶点是三角形的顶点； (2)角的一边是三角形的一边； (3)另一边是三角形中一边的延长线.
例1 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC. 求证：AD∥BC
三角形内角和定理
欧式几何名词
目录
01 欧式几何
03 内角和公式
02 多边形内角和 04 相关推论
基本信息
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°。 用数学符号表示为：在△ABC中，∠1+∠2+∠3=180°（见概述图）。 也可以用全称命题表示为：∀△ABC, ∠1+∠2+∠3=180°。
欧式几何
任意n边形的内角和公式为θ=180°·（n-2）。其中，θ是n边形内角和，n是该多边形的边数。从多边形 的一个顶点连其他的顶点可以将此多边形分成(n-2)个三角形，每个三角形内角和为180°，故，任意n边形内角 和的公式是:θ=（n-2）·180°，∀n=3，4，5，…。
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相关推论
相关推论
推论1直角三角形的两个锐角互余。 推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和。 推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 三角形的内角和是外角和的一半。三角形内角和等于三内角之和。. 非欧几何中的三角形内角和 以上所说的三角形是指平面三角形，处于平直空间中。当三角形处于黎曼几何空间中时，内角和不一定为 180°。例如，在罗巴契夫斯基几何（罗氏几何）中，内角和小于180°；而在黎曼几何时，内角和大于180°。
谢谢观看
欧式几何
在欧式几何中，∀△ABC, ∠A+∠B+∠C=180°。
三角形内角和定理导学案
5.5三角形内角和定理
一、学习目标
（1）证明“三角形内角和定理”，体会证明中辅助线的作用，尝试用多种方法证明三角形内角和定理。
（2）通过小组合作探究、展示质疑，体会转化与化归思想。
（3）激情投入，全力以赴，养成严谨、规范的数学学习习惯。
二、学习重难点：
重点：三角形内角和定理的证明思路及应用。
难点：三角形内角和定理的证明方法。
三、学习过程：
1、情景导航：
有些地板的拼合图案如右图，
它是用正方形的地砖铺成的。
那么，形状、大小完全相同的
任意三角形能否镶嵌成平面图形呢？为什么？
活动三、抢答题
1、在△ABC 中，∠A = 80A = 80°°，∠B =60B =60°°则 ∠C =
2、在△ABC 中，∠A=40A=40°°，∠B=∠C ，则 ∠B =
3、在△ABC 中，∠A = ∠B = ∠C ，则 ∠B = 5、已知：如图，则∠A 等于（ ）
A.60A.60°°
B.70 B.70°°
C.50 C.50°°
D.80 D.80°°
A
B
C
D
60°
130°
4、若一个三角形三个内角度数的比为1︰2︰3，那么这个三角形是（ ）
A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 等边三角形
活动四、拓展提升
已知：如图，四边形ABCD 是一个任意四边形。
求证：∠ABC+∠BCD+∠CDA+ ∠DAB=360DAB=360°°
四、课堂小结： 1、知识方面：
2、数学思想方法：
A
B
C
D
：
： 4A
B
C D
60°
130°
60°°
E
D
C
B A
6.5 三角形内角和定理的证明 同步练习
一、选择题 1.1.如图所示如图所示如图所示,BC ,BC ,BC⊥⊥AD,AD,垂足是垂足是C,C,∠∠B=B=∠∠D,D,则∠则∠则∠AED AED 与∠与∠BED BED 的 关系是关系是( ) ( ) A. A.∠∠AED>AED>∠∠BED B.B.∠∠AED<AED<∠∠BED BED；； C. C.∠∠AED=AED=∠∠BED D.D.无法确定无法确定无法确定
三角形内角和定理
三角形三个内角和等于1800. △ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.
∠A+∠B+∠C=1800的几种变形:
∠A=1800 –(∠B+∠C).
∠B=1800 –(∠A+∠C).
∠C=1800 –(∠A+∠B).
B
∠A+∠B=1800-∠C.
∠B+∠C=1800-∠A.
B
A D
C
∠BDC=360°-(∠A+∠B+∠C).
善于思考,勇于探索是一种可贵的科学精神;
如图：在△ABC中，P是∠ B 、∠ C角平分线
的交点，∠BPC与∠A有怎样的大小关系？（两
内角角平分线）
BPC
900
1 2
A
A
P
1
B
2C
如图：在△ABC中，P是∠ B 、∠ C外角的角平分
线的交点， ∠BPC与∠A有怎样的大小关系？
三角形外角和定理推论：N边形的外角和为360°.
A
1、已知：如图所示,在△ABC中,
外角∠DCA=100°,∠A=45°. 45°
求：∠B和∠ACB的大小.
B
100°
CD
解：∵ ∠DCA= ∠A+∠B
∠DCA=100°,∠A=45° ∴ ∠B=100°-45°=55° 又∵∠DCA+∠BCA=180° ∴ ∠ACB=180°-1000=800
青岛版八年级数学上册同步练习附答案5.5 三角形内角和定理
5.5 三角形内角和定理
一、选择题
1. 如图，在△ABC中，∠C=70°，若沿图中的虚线截去∠C，则∠1+∠2=（）
（第1题图）
A. 360°
B. 250°
C. 180°
D. 140°
2. 三个内角之比是1：5：6的三角形是（）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰直角三角形
3. 如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在长方形直尺的一组对边上，如果∠2=80°，那么∠1的度数为（）
A. 60°
B. 50°
C. 40°
D. 30°
（第3题图）（第4题图）
4. 如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=40°，则∠ECD的度数是（）
A. 70°
B. 60°
C. 50°
D. 40°
5. 如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于（）
A. 90 °
B. 180°
C. 360°
D. 270°
（第5题图）（第6题图）
6. 如图，O是△ABC内一点，∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，则∠BOC等于（）
A. 95°
B. 120°
C. 135°
D. 无法确定
7. P是△ABC内一点，连接BP并延长交AC于D，连接PC，则图中∠1，∠2，∠A 的大小关系是（）
A. ∠A>∠2>∠1
B. ∠A>∠2>∠1
C. ∠2>∠1>∠A
D. ∠1>∠2>∠A
（第7题图）（第8题图）
8. 如图，△ABC的角平分线BO，CO相交于点O，∠A=120°，则∠BOC=（）
A. 150°
B. 140°
C. 130°
D. 120°
9. 在△ABC中，若∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于（）
冀教版七年级下册数学：三角形内角和定理 (2)
北
北
E
D
C.
.
.
B
A
东来自百度文库
解：CAB=∠BAD-∠CAD=80o -50o =30o 由AD∥BE，得 ∠BAD +∠ABE =180o 所以 ∠ABE=180o -∠BAD=100o ∠ABC =∠ABE-∠EBC =60o 在△ABC中， ∠ACB =180o -∠ABC -∠CAB
∴ ∠ACB＝∠1﹢∠2 ＝50 °﹢ 40 ° ＝90 °
例题讲解2
谢谢！
=180o -60o -30o =90o 答：从B岛看A, C两岛的视角∠ABC 是60o，从C岛看A, B两岛的视角∠ACB 是90o
北D 50°
E C
40°
12
B
你能想出一个更 简捷的方法来求 ∠C的度数吗？
A
F
解： 过点C画CF∥AD ∴ ∠1＝∠DAC＝50 °, ∵ CF∥AD, 又AD ∥BE ∴ CF∥ BE ∴∠2＝∠CBE ＝40 °
11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
数学文化： 早在300多年前，
法国数学家，物理 学家，哲学家帕斯 卡就发现了任何三 角形的内角和都是 180度，当时他才 12岁。
52三角形内角和定理(第2课时)教学设计
第七章平行线的证明
第 5 节三角形内角和定理（第 2 课时）
银川四中李金荣
一、学情分析
学生在以前的几何学习中，已经学习过平行线的判定定理与平行线的性质定理以及它们的严格证明，也熟悉三角形内角和定理的内容，而本节课是建立在学生掌握了平行线的性质及严格的证明等知识的基础上展开的，因此，学生具有良好的基础。本节课主要采取的活动形式是学生非常熟悉的自主探究与合作交流的学习方式，学生具有较熟悉的活动经验．
二、教材分析
三角形内角和定理从数量角度揭示三角形三内角的关系，是三角形的一个重要的性质，既是计算角度的重要方法又是今后集合推理的重要依据。教材从学生实践操作到证明过程的呈现训练了学生学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
三、学习目标
1. 掌握三角形外角的两条性质；
2. 进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧．
3. 灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题。
4. 进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力，培养学生的几何意识。
四、教学重难点
教学重点：掌握三角形外角的两条性质并能用它解决相关问题。
教学难点：掌握三角形外角的两条性质并能用它解决相关问题。
五、教学过程
环节一：情境引入
在证明三角形内角和定理时，用到了把△ ABC的一边BC延长得到/ ACD ,这个角叫做什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质．
【设计目的】引出三角形外角的概念，并对其进行研究，激发学生学习兴趣。环节二：探索新知
1三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角，结合图形指明外角的特征有三：________________
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八年级数学导学稿
第五章几何证明初步
5.5三角形内角和定理(2)
开发区初中八年级数学备课组
学习目标：1、掌握直角三角形的性质定理及其逆命题。
2、经历探索直角三角形的性质定理及其逆命题的推理的过程，进一步培
养学生的推理能力.从而使他们灵活应用所学知识。
重点：直角三角形的性质定理及其逆命题。
难点：灵活应用所学知识证明直角三角形的性质定理及其逆命题。
教学过程：
【温故知新】
1、三角形内角和定理的内容是什么？
2、取一副三角尺，你能说出每个三角尺的两个锐角的度数吗？同一副三角尺的两个锐角的和是多少度？
【探索新知】
1、已知：在直角△ABC中,
∠ACB=900，求证：∠A+∠B =900
2、合作探究：直角三角形的性质定理： ------------------
3、你能说出直角三角形的性质定理的逆命题吗？
它是真命题还是假命题？如果是真命题，请加以证明；如果是假命题，请举一反例。
4、例1:已知：在直角△ABC中, ∠ACB=900， DC⊥AB,垂足是D求证：∠ACD =∠B
D C
B A
【巩固提升】
如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD ⊥BC 于D,
则∠B=∠________,∠C=∠________.
【课堂小结】
【达标检测】
1、将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB 的度数为
A ．75°
B ．95°
C ．105°
D ．120°
2.已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，AB 为斜边，AC=BD,BC,AD 相交于点E
（1） 求证：AE=BE;
（2） 若∠AEC= 45，AC=1，求CE 的长。
A
C
【我的反思】