通用版2018年中考数学总复习专题突破第六单元圆专题20与圆有关的位置关系试题新人教版2122

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中考数学复习第六章圆第与圆有关的位置关系课件

思路分析(fēnxī)：(1)根据点E是△ABC的内心得出∠BAD＝∠CAD， ∠ABE＝∠CBE，求出∠BED＝∠EBD，即可得出答案；(2)根据∠BAC＝ 90°，可得BC为直径，根据E为△ABC内心，可得BD＝DC，然后解直角三角形即可．
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解：(1)证明：∵点E是△ABC的内心(nèixīn)， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE. ∵∠CBD＝∠CAD，
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内容(nèiróng)总结
第六章圆。拓展►(1)证明切线有两种方法：①切线的判定(pàndìng)定理，通过定理转化为证明垂直问题。(2)由PD与BC平行，得到一对同位角相等．再由同弧所对的圆周角相等及等量代换得到∠P＝
No ∠ADC，根据同角的补角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证。(2)一般三角形
B ∵四边形ABCD为矩形，∴△ACD≌△CAB.∴⊙P和⊙Q的半径(bànjìng)相等．在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，∴AC＝
如图，连接P，Q，过点Q作QE∥BC，过点P作PE∥AB交QE于点E，则
∠QEP＝90°.在Rt△QEP中，QE＝BC－2r＝3－2＝1，EP＝AB－2r＝4－
220＝21/212，/8 ∴PQ2＝QE2＋EP2＝12＋22＝5.∴PQ＝
5
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【例3】[2016·沂水一模]如图，点E是△ABC的内心(nèixīn)，线段AE的延长
线交△ABC的外接圆于点D. (1)求证：ED＝BD； (2)若∠BAC＝90°，△ABC的外接圆的直径是6，求BD的长．
∵点E是△ABC的内心，
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中考数学一轮复习第六章圆第20讲与圆有关的位置关系课件

4．[2017·德州，T20，8分]如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D为 BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E. (1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AE∶EB＝1∶2，BC＝6，求AE的长．
5．[2014·德州，T22，10分]如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为 6cm，D，E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE. (1)求AC，AD的长； (2)试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
d② ＝r
d③ < r
考点切线的性质与判定 6年5考切线的性质圆的切线①垂直于过切点的②半径 .
(1)圆心到直线的距离d等于圆的半径r时，这条直线是圆的切线；切线的判定 (2)经过半径的外端并且③垂直于这条半径的直线是圆的切线
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线切线长定理长④相等，这一点和圆心的连线平⑤分两条
5．[2018·宿迁]如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC，AB的延长线交于点F. (1)求证：PC是⊙O的切线； (2)若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．
类型三角形的外心与内心
6．[2018·常德]如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点 D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF 于点E. (1)求证：EA是⊙O的切线；
证明步骤
(1)假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立； (2)从这个命题出发，经过推理证明得出与已知或基本事实或定理等矛盾； (3)由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确
考情分析►切线的性质与判定是必考内容之一，一般以解答题的命题方式命题，通过考查切线的性质，也间接地考查了圆的有关性质，并可以把圆的有关计算整合进来．预测►考查切线的性质与判定，并结合三角形全等、三角函数或相似三角形求线段的长或阴影部分的面积．

中考数学考点系统复习第六章圆第二节与圆有关的位置关系

点 C，过点 A 作 AD∥OB 交⊙O 于点 D，连接 CD.若∠B＝50°，则∠OCD
为
( B)
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
5．(2021·贺州)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，点 O 在 AB
上，OB＝2，以 OB 为半径的⊙O 与 AC 相切于点 D，交 BC 于点 E，CE 的长
∴CE＝DH＝2 5，∠DEC＝90°， ∴OD⊥BC， ∴BC＝2CE＝4 5，
BC 5 ∵sin∠BAC＝AB＝ 3 ， ∴AB＝12，即半圆的直径为 12.
12．(2020·宜宾)如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C 是圆上异于 A，B 的一点，连接 BC 并延长至点 D，使 CD＝BC，连接 AD 交⊙O 于点 E，连接 BE. (1)求证：△ABD 是等腰三角形； (2)连接 OC 并延长，与以 B 为切点的切线交于点 F，若 AB＝4，CF＝1，求 DE 的长．
为
( B)
A.12
2 B.3
2 C. 2
D．1
6．(2021·泰安)如图，在△ABC 中，AB＝6，以点 A 为圆心，3 为半径的
圆与边 BC 相切于点 D，与 AC，AB 分别交于点 E 和点 G，F 是优弧 GE 上一
点，∠CDE＝18°，则∠GFE 的度数是
( B)
A．50°
B．48°
C．45°
连接 EM，过点 M 作 MH⊥EF 于 H，则 EF＝2EH，
在 Rt△EHM 中，EM＝4，MH＝3，根据勾股定理得 EH＝ EM2－MH2＝ 42－32＝ 7， ∴弦长 n＝EF＝2EH＝2 7.
形内一点，连接 CF，DF，且∠ADF＝∠DCF，点 E 是 AD 边上一动点，连接 EB，EF，则 EB＋EF 长度的最小值为_33－133－3 .

考点20 与圆有关的位置关系及计算(精讲)(解析版)

考点20.与圆有关的位置关系及计算（精讲）【命题趋势】与圆相关的位置关系也是各地中考数学中的必考考点之一，主要内容包括点、直线与圆的位置关系、切线的性质和判定、三角形的内切圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大。

关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分。

【知识清单】1：点、直线与圆的位置关系类（☆☆）1）点和圆的位置关系：已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：图1图2(1)d<r⇔点在⊙O内，如图1；(2)d=r⇔点在⊙O上，如图2；(3)d>r⇔点在⊙O外，如图3．解题技巧：掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系。

2）直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下：图1图2图3(1)d>r⇔相离，如图1；(2)d=r⇔相切，如图2；(3)d<r⇔相交，如图3。

2：切线的性质与判定（☆☆☆）1）切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点；（2）切线到圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于经过切点的半径。

解题技巧：利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题。

2）切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）；（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线（数量关系法）；（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（判定定理法）。

切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径。

3）切线长定理定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

中考数学第六章圆第二节与圆有关的位置关系

方法
考法切线的判定及性质
提分特训
෽
1.[2021武汉中考]如图, AB是☉O的直径,C,D是☉O上两点,点C是的
中点,过点C作AD的垂线,垂足是点E.连接AC交BD于点F.
(1)求证:CE是☉O的切线;

(2)若 =

6,求cos∠ABD的值.
前往
考点
方法
真题
作业
方法
考法切线的判定及性质
2
+−
的半径r=
(其中a,b为直角边长,c为斜边长).
2
前往
考点
方法
真题
作业
考点
考点4
正多边形和圆的相关计算基础点
设正n边形的外接圆半径为R,边长为a,边心距为r.
180°
R·cos
或

边心距r
a 2
2
−( )
2
周长C
na
面积S
1
nar
2
前往
考点
方法
真题
作业
考点
考点4
正多边形和圆的相关计算基础点
在Rt△OBG中,由勾股定理得OG2+BG2=OB2.
∴(r-
3 2
2
2
2
2t) +(2t) =r ,解得r= t,
2
2 2 2
∴cos∠ABD= = 3 2 = .

3
2
前往
考点
方法
真题
作业
方法
考法切线的判定及性质
提分特训
2.如图,点O是菱形ABCD的对角线AC上的一点,以点O为圆心,OA为
作业
真题
命题点1 切线的判定(5年3考)

专题复习：与圆有关的位置关系(2018年中考版)

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专题复习：与圆有关的位置关系知识点一、点与圆的位置关系1.设圆O 的半径为r,点P 到圆心的距离为OP=d.则:点P在圆外⇔____；点P 在圆上⇔____;点P 在圆内⇔____。

2。

确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定_____圆.3.三角形的外心：三角形外接圆的圆心,三角形三边的___________的交点.例题解析：例题1、（2017•遂宁)如图，⊙O 的半径为6，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB 、OC ，若∠BAC 与∠BOC 互补，则线段BC 的长为( ）A ．B ．3C ．D ．6例题2、(2018·温州中考)如图,D 是△ABC 的BC 边上一点，连接AD,作△ABD 的外接圆，将△ADC 沿直线AD 折叠，点C 的对应点E 落在圆上。

(1)求证：AE=AB 。

(2)若∠CAB=90°,cos∠ADB= ,BE=2，求BC 的长.【方法指导】三角形外接圆的相关问题（1)三角形的外心是三角形外接圆圆心,也是三角形三边垂直平分线的交点,它到三角形三个顶点的距离相等.(2）三角形的外接圆只有一个，即对于给定的三角形,其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数多个知识点二、直线与圆的位置关系1。

三种位置关系:_____、_____、_____.2。

中考数学复习《与圆有关的位置关系》专题训练含答案

中考复习专题训练与圆有关的位置关系一、选择题1.⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为4cm，圆心距O1O2=3cm，这两圆的位置关系是( )A. 相交B. 内切C. 外切D. 内含2.⊙O的半径为4，线段OP=4，则点P与⊙O的位置关系是（）A. 点P在⊙O外B. 点P在⊙O内C. 点P在⊙O上D. 不能确定3.两圆外离，作它们的两条内公切线，四个切点构成的四边形是（）A. 矩形B. 等腰梯形C. 矩形或等腰梯形D. 菱形4. 已知线段AB=7cm，现以点A为圆心，2cm为半径画⊙A；再以点B为圆心，3cm为半径画⊙B，则⊙A 和⊙B的位置关系（）A. 内含B. 相交C. 外切D. 外离5.下列四个命题中，真命题是( )A. 相等的圆心角所对的两条弦相等；B. 圆既是中心对称图形也是轴对称图形；C. 平分弦的直径一定垂直于这条弦；D. 相切两圆的圆心距等于这两圆的半径之和.6.在△ABC中，cosB=，∠C=45°，AB=8，以点B为圆心4为半径的⊙B与以点C为圆心的⊙C相离，则⊙C的半径不可能为（）A. 15B. 5C. 6D. 77. 如图，已知⊙O的半径为4，点D是直径AB延长线上一点，DC切⊙O于点C，连接AC，若∠CAB=30°，则BD的长为（）A. 4B. 8C. 4D. 28.下列说法正确的是（）A. 任意三点可以确定一个圆B. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分该弦所对的弧C. 同一平面内，点P到⊙O上一点的最小距离为2，最大距离为8，则该圆的半径为5D. 同一平面内，点P到圆心O的距离为5，且圆的半径为10，则过点P且长度为整数的弦共有5条9.如图，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PT切⊙O于T，若PT=6，PB=2，则⊙O的直径为（）A. 8B. 10C. 16D. 1810.如图，在等腰三角形△ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与AB，AC相切，切点分别为D，E．过半圆上一点F作半圆的切线，分别交AB，AC于M，N．那么的值等于（）A. B. C. D. 111.如图，⊙O的半径为2，点O到直线L的距离为3，点O是直线L上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）A. B. C. 3 D. 512.已知如图，PA、PB切⊙O于A、B，MN切⊙O于C，交PB于N；若PA=7.5cm，则△PMN的周长是（）A. 7.5cmB. 10cmC. 15cmD. 12.5cm二、填空题13.已知⊙P在直角坐标平面内，它的半径是5，圆心P（﹣3，4），则坐标原点O与⊙P的位置关系是________14.已知点P在半径为5的⊙O外，如果设OP=x，那么x的取值范围是________．15.如图，已知扇形AOB的半径为6，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F是上一点．将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧恰好与半径OB相切于点G．若OE=4，则O到折痕EF的距离为________．16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC≠BC，点M是边AC上的动点．过点M作MN∥AB交BC于N，现将△MNC沿MN折叠，得到△MNP．若点P在AB上．则以MN为直径的圆与直线AB的位置关系是________．17.如图，在⊙O中，OB为半径，AB是⊙O的切线，OA与⊙O相交于点C，∠A=30°，OA=8，则阴影部分的面积是________．18. 如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，关于下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是∠ACQ的外心，其中正确结论是________ （只需填写序号）．19.如图，AE、AD、BC分别切⊙O于E、D、F，若AD=20，则△ABC的周长为 ________20.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4 ．若动点D在线段AC上（不与点A、C重合），过点D作DE⊥AC交AB边于点E．点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE=________时，⊙C与直线AB相切．21.如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=45°，则图中阴影部分的面积为________．三、解答题22.如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB＝30°．（1）求∠APB的度数；（2）当OA＝3时，求AP的长．23.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB=8，边BC 比AD大6．（1）求边AD、BC的长；（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．24.在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．（Ⅰ）如图①，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=32°，求∠P的大小；（Ⅱ）如图②，D为优弧ADC上一点，且DO的延长线经过AC的中点E，连接DC与AB相交于点P，若∠CAB=16°，求∠DPA的大小．25.解答题（1）如图1，已知⊙O的半径是4，△ABC内接于⊙O，AC=4 ．①求∠ABC的度数；②已知AP是⊙O的切线，且AP=4，连接PC．判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如图2，已知▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O内，延长BC交⊙O于点E，连接DE．求证：DE=DC．参考答案一、选择题B C C D B D C D C B B C二、填空题13.点O在⊙P上14.x＞515.216.相交17.8 ﹣π18.②③19.4020.或21.4﹣π三、解答题22.解：（1）∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°，∴∠AOB=180°-2×30°=120°，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，∴在四边形OAPB中，∠APB=360°-120°-90°-90°=60°．（2）如图，连接OP；∵PA、PB是⊙O的切线，∴PO平分∠APB，即∠APO=∠APB=30°，又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°，∴AP=.23.解：（1）方法1：过D作DF⊥BC于F，在Rt△DFC中，DF=AB=8，FC=BC﹣AD=6，∴DC2=62+82=100，即DC=10．设AD=x，则DE=AD=x，EC=BC=x+6，∴x+（x+6）=10．∴x=2．∴AD=2，BC=2+6=8．方法2：连OD、OE、OC，由切线长定理可知∠DOC=90°，AD=DE，CB=CE，设AD=x，则BC=x+6，由射影定理可得：OE2=DE•EC．即：x（x+6）=16，解得x1=2，x2=﹣8，（舍去）∴AD=2，BC=2+6=8．（2）存在符合条件的P点．设AP=y，则BP=8﹣y，△ADP与△BCP相似，有两种情况：①△ADP∽△BCP时，有即∴y=；②△ADP∽△BPC时，有即∴y=4．故存在符合条件的点P，此时AP=或4．24.解：（Ⅰ）连接OC，如图①，∵PC为切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP=90°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠CAB=32°，∴∠POC=∠OCA+∠CAB=64°，∴∠P=90°﹣∠POC=90°﹣64°=26°；（Ⅱ）如图②，∵点E为AC的中点，∴OD⊥AC，∴∠OEA=90°，∴∠AOD=∠CAB+∠OEA=16°+90°=106°，∴∠C= ∠AOD=53°，∴∠DPA=∠BAC+∠C=16°+53°=69°25.（1）解：①连结OA、OC，如图1，∵OA=OC=4，AC=4 ，∴OA2+OC2=AC2，∴△OCA为等腰直角三角形，∠AOC=90°，∴∠ABC= ∠AOC=45°；②直线PC与⊙O相切．理由如下：∵AP是⊙O的切线，∴∠OAP=90°，而∠AOC=90°，∴AP∥OC，而AP=OC=4，∴四边形APCO为平行四边形，∵∠AOC=90°，∴四边形AOCP为矩形，∴∠PCO=90°，∴PC⊥OC，∴PC为⊙O的切线（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠B+∠A=180°，∠DCE=∠B，∵∠E+∠A=180°，∴∠E=∠B，∴∠DCE=∠E，∴DC=DE．。

(中考考点梳理)圆的性质及与圆有关的位置关系-中考数学一遍过

考点18 圆的性质及与圆有关的位置关系一、圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．（6）弦心距：圆心到弦的距离．2．注意（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．学-科网（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．二、垂径定理及其推论1．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．三、圆心角、弧、弦的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．四、圆周角定理及其推论1．定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．（2）直径所对的圆周角是直角．圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．五、与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>r d=r d<r 由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．六、切线的性质与判定1．切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．七、三角形与圆1．三角形的外接圆相关概念经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．考向一圆的基本认识1．在一个圆中可以画出无数条弦和直径．2．直径是弦，但弦不一定是直径．3．在同一个圆中，直径是最长的弦．4．半圆是弧，但弧不一定是半圆．弧有长度和度数，规定半圆的度数为180°，劣弧的度数小于180°，优弧的度数大于180°．5．在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧．典例1下列命题中正确的有①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】①弦是圆上任意两点之间所连线段，所以①错误；②半径不是弦，所以②错误；③直径是最长的弦，正确；④只有180°的弧才是半圆，所以④错误，故选A．1．把圆的半径缩小到原来的14，那么圆的面积缩小到原来的A．12B．14C．18D．1162．半径为5的圆的一条弦长不可能是A．3 B．5 C．10 D．12考向二垂径定理1．垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍然成立．2．垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了理论依据．典例2把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16 cm，则球的半径为A．cm B．10 cmC．cm D．cm【答案】B【点睛】解本题的关键是作辅助线弦心距，构造直角三角形，这个直角三角形的斜边是半径，另两条边分别为弦心距和弦的一半，再根据解直角三角形解题．典例3 如图，将半径为2 cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为A ．2 cmB cmCD 【答案】C【解析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD 的长，再根据垂径定理得AB 的长．作OD ⊥AB 于D ，连接OA ．根据题意得OD =12OA =1cm ，再根据勾股定理得：AD cm ，根据垂径定理得AB ．故选C ．3．如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为4，则弦AB 的长是A ．3B ．6C．4 D．84．如图，某菜农在蔬菜基地搭建了一个横截面为圆弧形的蔬菜大棚，大棚的跨度弦AB 大棚顶点C离地面的高度为2．3米．（1）求该圆弧形所在圆的半径；（2）若该菜农的身高为1．70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有几米？考向三弧、弦、圆心角、圆周角1．圆心角的度数等于它所对弧的度数，把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是1°的角，1°的圆心角对着1°的弧．2．圆周角要具备两个特征：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交，二者缺一不可．典例4如图，AB和CD是⊙O的两条直径，弦DE∥AB，若弧DE为40°的弧，则∠BOC=A．110° B．80°C．40° D．70°【答案】A【解析】连接OE，如图所示：∵弧DE 为40°的弧，∴∠DOE =40°．∵OD =OE ，∴∠ODE =180402︒-︒=70°． ∵弦DE ∥AB ，∴∠AOC =∠ODE =70°，∴∠BOC =180°–∠AOC =180°–70°=110°．故选A ．【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形是解答此题的关键．典例5　如图，在⊙O 中，圆心角∠AOB =120°，P 为弧AB 上一点，则∠APB 度数是A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°【答案】C【解析】如图，在优弧AB 上取点C ，连接AC 、BC ，由圆周角定理得由圆内接四边形的性质得到，180120APB ACB ∠=︒-∠=︒，故选C ．【点睛】在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．5．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠OCA =50°，AB =4，则 BC的长为A ．103π B ．109π C ．59π D ．518π 6．如图，AB 是⊙O 的直径， =BCCD DE =，∠COD =38°，则∠AEO 的度数是A．52° B．57° C．66° D．78°考向四点、直线与圆的位置关系1．点和圆的位置关系：①在圆上；②在圆内；③在圆外．2．直线和圆的位置关系：相交、相切、相离．典例6　已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外D．点A与圆心O重合【答案】C【解析】∵O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，∴点A在⊙O外．故选C．【点睛】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．典例7　在△ABC中，AB=AC=2，∠A=150°，那么半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是A．相离B．相切C．相交D．无法确定【答案】B【解析】过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，∵∠BAC=150，∴∠DAB=30°，∴BD=11222AB=⨯=1，即B到直线AC的距离等于⊙B的半径，∴半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是相切，故选B．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，求出BD和⊙B的半径比较即可，主要考查学生的推理能力．7．如图，⊙O的半径为5cm，直线l到点O的距离OM=3cm，点A在l上，AM=3．8cm，则点A与⊙O的位置关系是A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．以上都有可能8．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线向下平移__________cm时与⊙O相切．学_科网考向五切线的性质与判定有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径，这是圆中作辅助线的一种方法．典例8　如图，已知BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，切线AD交BC的延长线于D，若∠D=40°，则∠B 的度数是A．40° B．50°C．25° D．115°【答案】C【解析】连接OA，根据切线的性质得到OA⊥AD，由三角形的内角和得到∠AOC=50°，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠OAB，根据圆周角定理可得到结论．连接OA，∵AD是⊙O的切线，∴OA⊥AD，∴∠D=40°，∴∠AOC=50°，∵BO=OA，∴∠B=∠BAO，∴∠B+∠BAO=∠AOC=50°，∴∠B=∠BAO=12∠AOC=25°．故选C．【点睛】本题考查了切线的性质，三角形内角和，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．典例9　如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，点E在中线AD上，以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，则⊙E的半径为A．78B．67C．56D．1【答案】B9．已知四边形ABCD是梯形，且AD∥BC，AD<BC，又⊙O与AB、AD、CD分别相切于点E、F、G，圆心O在BC上，则AB+CD与BC的大小关系是A．大于B．等于C．小于D．不能确定10．如图，以等腰△ABC的腰AB为⊙O的直径交底边BC于D，DE AC于E．；（2）DE为⊙O的切线．求证：（1）DB DC1．下列关于圆的叙述正确的有①圆内接四边形的对角互补；②相等的圆周角所对的弧相等；③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；④同圆中的平行弦所夹的弧相等．A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图所示，△ABC的三个顶点在⊙O上，D是 AB上的点，E是 AC上的点，若∠BAC=50°，则∠D+∠E=A．220° B．230°C．240° D．250°3．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，已知DE=6，∠BAC＋∠EAD =180°，则弦BC 的长等于A BC ．8D ．64．如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，则圆心坐标是A ．点（1，0）B ．点（2，1）C ．点（2，0）D ．点(2．5，1)5．如图，点O 是△ABC 的内心，∠A =62°，则∠BOC =A ．59°B ．31°C ．124°D ．121°6．如图，一圆内切四边形ABCD ，且BC =10，AD =7，则四边形的周长为A ．32B ．34C ．36D ．387．已知在⊙O 中，AB =BC ，且 34AB AMC ∶∶，则∠AOC =__________．8．如图，A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，∠B =130°，则∠AOC 的度数是__________．9．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，并与圆O 的切线DC 分别相交于D 、C ．已知△PCD 的周长等于14cm ，则PA =__________cm ．10．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB AD =，120C ∠=︒，点E 在弧AD 上．若AE 恰好为⊙O 的内接正十边形的一边， DE的度数为__________．11．如图，在圆内接四边形ABCD 中，若∠A ，∠B ，∠C 的度数之比为4∶3∶5，则∠D 的度数是__________°．12．如图，AB 为⊙O 的直径，C 、F 为⊙O 上两点，且点C 为弧BF 的中点，过点C 作AF 的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线；学_科网（2）如果半径的长为3，tan D=34，求AE的长．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D 点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE．（1）求证：DB=DE；（2）求证：直线CF为⊙O的切线．1．（2018•张家界）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=A．8cm B．5cmC．3cm D．2cm2．（2018•甘孜州）如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是A．AC=AB B．∠C=12∠BODC．∠C=∠B D．∠A=∠BOD3．（2018•乐山）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸4．（2018•日照）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED 的正切值等于A BC．2 D．1 25．（2018•常州）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是A．58B．78C．710D．456．（2018•襄阳）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为A．4 B．C D ．7．（2018•邵阳）如图所示，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠BCD =120°，则∠BOD 的大小是A ．80°B ．120°C ．100°D ．90°8．（2018•宜宾）在△ABC 中，若O 为BC 边的中点，则必有：AB 2+AC 2=2AO 2+2BO 2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG 中，已知DE =4，EF =3，点P 在以DE 为直径的半圆上运动，则PF 2+PG 2的最小值为A B ．192C ．34D ．109．（2018•牡丹江）如图，△ABC 内接于⊙O ，若sin ∠BAC =13，BC ，则⊙O 的半径为A ．B ．C ．D ．10．（2018•湘西州）已知⊙O 的半径为5cm ，圆心O 到直线l 的距离为5cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系为 A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．无法确定11．（2018•常州）如图，AB 是⊙O 的直径，MN 是⊙O 的切线，切点为N ，如果∠MNB =52°，则∠NOA 的度数为A．76° B．56°C．54° D．52°12．（2018•广元）如图是一块测环形玉片的残片，作外圆的弦AB与内圆相切于点C，量得AB=8cm、点C 与 AB的中点D的距离CD=2cm．则此圆环形士片的外圆半径为__________cm．13．（2018•毕节市）如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为__________．14．（2018•牡丹江）如图，在⊙O中， AB=2 AC，AD⊥OC于D．求证：AB=2AD．15．（2018•湖北）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．16．（2018•黄石）如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上五点，⊙O的直径BE，∠BCD=120°，A为 BE的中点，延长BA到点P，使BA=AP，连接PE．（1）求线段BD的长；（2）求证：直线PE是⊙O的切线．17．（2018•贺州）如图，AB是⊙O的弦，过AB的中点E作EC⊥OA，垂足为C，过点B作直线BD交CE 的延长线于点D，使得DB=DE．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AB=12，DB=5，求△AOB的面积．1．【答案】D【解析】设原来的圆的半径为r ，则面积S 1=πr 2，∴半径缩小到原来的14后所得新圆的面积22211ππ416S r r ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴22211π116π16rS S r ==.故选D ． 2．【答案】D【解析】∵圆的半径为5，∴圆的直径为10，又∵直径是圆中最长的弦，∴圆中任意一条弦的长度10l ≤.故选D ． 3．【答案】B【解析】如图，连接OA ，∵O 的直径为10，5OA ∴=， ∵圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为4，由垂径定理知，点M 是AB 的中点，12AM AB =，由勾股定理可得，3AM =，所以6AB =．故选B ．4．【解析】（1）如图所示：CO ⊥AB 于点D ，设圆弧形所在圆的半径为xm，根据题意可得：DO2+BD2=BO2，则（x–2．3）2+12）2=x2，解得x=3．答：圆弧形所在圆的半径为3米；（2）如图所示：当MN=1.7米，则过点N作NF⊥CO于点F，可得：DF=1.7米，则FO=2.4米，NO=3米，故FN=1.8（米），故该菜农身高1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有3．6米．5．【答案】B【解析】根据题意可知：∠OAC=∠OCA=50°，则∠BOC=2∠OAC=100°，则弧BC的长度为故选B．7．【答案】A【解析】如图，连接OA，则在直角△OMA中，根据勾股定理得到OA5=<．∴点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O内．故选A．8．【答案】2【解析】连接OA．∵直线和圆相切时，OH=5，又∵在直角三角形OHA中，HA=AB÷2=4，OA=5，∴OH=3．∴需要平移5–3=2（cm）．故答案是：2．【点睛】本题考查垂径定理及直线和圆的位置关系．注意：直线和圆相切，应满足d=R．9．【答案】B【解析】如图，连接OF，OA，OE，作AH⊥BC于H．∵AD是切线，∴OF⊥AD，易证四边形AHOF是矩形，∴AH=OF=OE，∵S△AOB=12•OB•AH=12•AB•OE，∴OB=AB，同理可证：CD=CO，∴AB+CD=BC，故选B．【点睛】本题考查了切线的性质，切线垂直于过切点的半径，正确作出辅助线是关键． 10．【解析】（1）如图，连AD ，∵AB 是直径，∴90ADB ∠=︒，AD BC ⊥，又AB AC =，∴D 为BC 中点，DB DC =；（2）连OD ，∵D 为BC 中点，OA OB =， ∴OD 为ABC △中位线，OD AC ∥，又DE AC ⊥于,E ∴90ODE DEC ∠=∠=︒， ∴DE 为⊙O 的切线．学科_网1．【答案】B【解析】①圆内接四边形的对角互补；正确；②相等的圆周角所对的弧相等；错误；③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；错误；④同圆中的平行弦所夹的弧相等；正确；正确的有2个，故选B ． 2．【答案】B【解析】如图，连接OA 、OB 、OC ，由圆心角、弧、弦的关系定理得出∠BOC =100°，得出∠AOB +∠AOC =260°，由圆周角定理得出∠D =12（∠BOC +∠AOC ），∠E =12（∠BOC +∠AOB ），即可得出∠D+∠E=12（∠BOC+∠AOC+∠BOC+∠AOB）=12（260°+100°+100°）=230°．故选B．3．【答案】C【解析】如图，延长CA，交⊙A于点F，∵∠BAC+∠BAF=180°，∠BAC+∠EAD=180°，∴∠BAF=∠DAE，∴BF=DE=6，∵CF是直径，∴∠ABF=90°，CF=2×5=10，∴BC8=．故选C．4．【答案】C【解析】根据勾股定理可知A、B、C点到（2，0，然后可知圆心为（2，0）或者通过AB、BC的垂直平分线求解也可以．故选C．5．【答案】D【解析】∵∠BAC=62°，∴∠ABC+∠ACB=180°–62°=118°，∵点O是△ABC的内心，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=12×118°=59°，∴∠BOC=180°–59°=121°．故选D．6．【答案】B【解析】由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长=2×（7+10）=34．故选B．7．【答案】144°【解析】根据AB =BC 可得：弧AB 的度数和弧BC 的度数相等，则弧AMC 的度数为：(360°÷10)×4=144°，则∠AOC =144°． 8．【答案】100°【解析】∵∠B =130°，∴∠D =180°－130°=50°，∴∠AOC =2∠D =100°．故答案为100°． 9．【答案】7【解析】如图，设DC 与⊙O 的切点为E ；∵PA 、PB 分别是⊙O 的切线，且切点为A 、B ，∴PA =PB ；同理，可得：DE =DA ，CE =CB ；则△PCD 的周长=PD +DE +CE +PC =PD +DA +PC +CB =PA +PB =14（cm ）； ∴PA =PB =7cm ，故答案是：7． 10．【答案】84︒【解析】如图，连接BD ，OA ，OE ，OD ，∵四边形ABCD 是圆的内接四边形，∴180BAD C ∠+∠=︒， ∵120C ∠=︒，∴60BAD ∠=︒，∵AB AD =，∴ABD △是正三角形，∴60ABD ∠=︒，2120AOD ABD ∠=∠=︒， ∵AE 恰好是⊙的内接正十边形的一边，∴3603610AOE ︒∠==︒， ∴1203684DOE ∠=︒-︒=︒，∴ DE的度数为84°．故答案为：84°．11．【答案】120【解析】∵∠A ，∠B ，∠C 的度数之比为4∶3∶5， ∴设∠A =4x ，则∠B =3x ，∠C =5x ．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C=180°，即4x+5x=180°，解得x=20°，∴∠B=3x=60°，∴∠D=180°–60°=120°．故答案为：120．13．【解析】（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：如图，连接OD，∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°–90°=90°，∴直线DE与⊙O相切；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8–x，∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，∴42+（8–x）2=22+x2，解得：x=4.75，则DE=4.75．14．【解析】（1）∵E是△ABC的内心，∴∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC，∵∠BED=∠BAE+∠EBA，∠DBE=∠EBC+∠DBC，∠DBC=∠EAC，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE．（2）如图，连接CD．∵AD平分∠BAC，∴∠DAB=∠DAC，∴ BD= CD，∴BD=CD，∵BD=DF，∴CD=DB=DF，∴∠BCF=90°，∴BC⊥CF，∴CF是⊙O的切线．1．【答案】A【解析】∵弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，∴CE=12CD=4cm．在Rt△OCE中，OC=5cm，CE=4cm，∴OE=3cm，∴AE=AO+OE=5+3=8cm．故选A．2．【答案】B【解析】A、根据垂径定理不能推出AC=AB，故A选项错误；B、∵直径CD⊥弦AB，∴ AD= BD，∵ AD对的圆周角是∠C， BD对的圆心角是∠BOD，∴∠BOD=2∠C，故B选项正确；C、不能推出∠C=∠B，故C选项错误；D、不能推出∠A=∠BOD，故D选项错误；故选B．3．【答案】C【解析】设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r–1，OA=r，则有r2=52+（r–1）2，解得r=13，∴⊙O的直径为26寸，故选C．4．【答案】D【解析】∵∠DAB=∠DEB，∴tan∠DAB=tan∠DEB=12．故选D．5．【答案】D【解析】如图，连接AD．∵OD是直径，∴∠OAD=90°，∵∠AOB+∠AOD=90°，∠AOD+∠ADO=90°，∴∠AOB=∠ADO，∴sin∠AOB=sin∠ADO=810=45，故选D．6．【答案】D【解析】如图，∵OA⊥BC，∴CH=BH， AC= AB，∴∠AOB=2∠CDA=60°，∴BH=OB•sin∠AOB BC=2BH D．7．【答案】B【解析】∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A=180°–∠BCD=60°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，故选B．8．【答案】D【解析】如图，设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．∵DE=4，四边形DEFG为矩形，∴GF=DE，MN=EF，∴MP=FN=12DE=2，∴NP=MN–MP=EF–MP=1，∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．故选D．9．【答案】A【解析】如图：连接OB ，O C ．作OD ⊥BC 于D∵OB =OC ，OD ⊥BC ，∴CD =12BC ，∠COD =12∠BOC ，又∵∠BOC =2∠A ，BC ，∴∠COD =∠A ，CD ，∵sin ∠BAC =13，∴sin ∠COD =CD OC =13，∴OC ，故选A ． 10．【答案】B【解析】∵圆心到直线的距离5cm=5cm ，∴直线和圆相切．故选B ． 11．【答案】A【解析】∵MN 是⊙O 的切线，∴ON ⊥NM ，∴∠ONM =90°，∴∠ONB =90°–∠MNB =90°–52°=38°，∵ON =OB ，∴∠B =∠ONB =38°，∴∠NOA =2∠B =76°．故选A ． 12．【答案】5【解析】如图，连接OA ，∵CD =2cm ，AB =8cm ， ∵CD ⊥AB ，∴OD ⊥AB ，∴AC =12AB =4cm ，∴设半径为r ，则OD =r –2，根据题意得：r 2=（r –2）2+42，解得：r =5． ∴这个玉片的外圆半径长为5cm ．故答案为：5．13．【答案】30°【解析】如图，连接OC ．∵AB是直径， AC= CD= BD，∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠A=60°，∵CE⊥OA，∴∠AEC=90°，∴∠ACE=90°–60°=30°．故答案为30°．14．【解析】如图，延长AD交⊙O于E，∵OC⊥AD，∴ AE=2 AC，AE=2AD，∵ AB=2 AC，∴ AE= AB，∴AB=AE，∴AB=2AD．15．【解析】（1）CM与⊙O相切．理由如下：连接OC，如图，∵GD⊥AO于点D，∴∠G+∠GBD=90°，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵M点为GE的中点，∴MC=MG=ME，∴∠G=∠1，∵OB=OC，∴∠B=∠2，∴∠1+∠2=90°，∴∠OCM=90°，∴OC⊥CM，∴CM为⊙O的切线；16．【解析】（1）连接DE，如图，∵∠BCD+∠DEB=180°，∴∠DEB=180°–120°=60°，∵BE为直径，∴∠BDE=90°，在Rt △BDE 中，DE =12BE =12×，BD DE ；（2）连接EA ，如图， ∵BE 为直径，∴∠BAE =90°，∵A 为 BE的中点，∴∠ABE =45°， ∵BA =AP ，而EA ⊥BA ， ∴△BEP 为等腰直角三角形， ∴∠PEB =90°，∴PE ⊥BE ， ∴直线PE 是⊙O 的切线．17．【解析】（1）∵OA =OB ，DB =DE ，∴∠A =∠OBA ，∠DEB =∠DBE ，∵EC ⊥OA ，∠DEB =∠AEC ，∴∠A +∠DEB =90°， ∴∠OBA +∠DBE =90°，∴∠OBD =90°， ∵OB 是圆的半径，∴BD 是⊙O 的切线；（2）如图，过点D 作DF ⊥AB 于点F ，连接OE ， ∵点E 是AB 的中点，AB =12， ∴AE =EB =6，OE ⊥AB ，又∵DE =DB ，DF ⊥BE ，DB =5，DB =DE ，∴EF =BF =3，∴DF =4， ∵∠AEC =∠DEF ，∴∠A =∠EDF ，∵OE ⊥AB ，DF ⊥AB ，∴∠AEO =∠DFE =90°，∴△AEO ∽△DFE ，∴EO AE FE DF =，即634EO =，得EO =4.5， ∴△AOB 的面积是：12 4.522AB OE ⋅⨯==27．。

云南省2018年中考数学总复习第六章圆第二节与圆有关的位置关系好题随堂演练

圆好题随堂演练1．(2018·长沙)如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC 于点C，∠OCB＝________度．2．如图，⊙O的半径OC＝5 cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB＝8 cm，则l沿OC 所在直线向下平移______cm时与⊙O相切．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在AB上．若以点D为圆心．AD为半径的圆与BC相切，则⊙D的半径为________．4．已知线段AB＝5 cm，点O是AB上一点，且OA＝2 cm，以O为圆心，OB为半径作圆O，则点A与圆O 的位置关系是( )A．在圆O上B．在圆O外C．在圆O内D．无法确定5．(2017·吉林)如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C，若AB ＝12，OA＝5，则BC的长为( )A．5 B．6 C．7 D．86．(2018·潍坊)如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE＝∠C.(1)求证：AE与⊙O相切于点A；(2)若AE∥BC，BC＝27，AC＝22，求AD的长．7．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA延长线与OC延长线于点E、F，连接BF.(1)求证：BF是⊙O的切线；(2)已知圆的半径为1，求EF的长．参考答案1．50 2.2 3.1544．C 5.D6．(1)证明：如解图，连接OA 交BC 于点F ，则OA ＝OD ， ∴∠D＝∠DAO.∵∠D＝∠C，∴∠C＝∠DAO.∵∠BAE＝∠C，∴∠BAE＝∠DAO，∵BD 是⊙O 的直径，∴∠DAB＝90°，即∠DAO＋∠OAB＝90°，∴∠BAE＋∠OAB＝90°，即∠OAE＝90°，∴AE⊥OA，OA 为⊙O 半径，∴AE 与⊙O 相切于点A.(2)解：∵AE∥BC，AE⊥OA，∴OA⊥BC.∴AB ︵＝AC ︵，FB ＝12BC ，∴AB＝AC.∵BC＝27，AC ＝22， ∴BF＝7，AB ＝22，在Rt△ABF 中，AF ＝8－7＝1，在Rt△OFB 中，OB 2＝BF 2＋(OB －AF)2，∴OB＝4，∴BD＝8，∴在Rt△ABD 中，AD ＝BD 2－AB 2＝64－8＝214.7．(1)证明：连接OD ，如解图，∵四边形AOCD 是平行四边形，且OA ＝OC ， ∴四边形AOCD 是菱形，∴△OAD 和△OCD 都是等边三角形，∴∠AOD ＝∠COD＝60°，∴∠FOB＝60°，∵EF 为⊙O 的切线，∴OD⊥EF，∴∠FDO＝90°，在△FDO 和△FBO 中，⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OB ，∠FOD＝∠FOB，FO ＝FO ，∴△FDO≌△FBO(SAS)，∴∠OBF＝∠ODF＝90°，∵OB 是⊙O 的半径，∴BF 是⊙O 的切线；(2)解：在Rt△OBF 中，∵∠FOB＝60°，而tan∠FOB＝BF OB ， ∴BF＝1×tan 60°＝ 3.∵在Rt△EOD 中，∠E＝90°－60°＝30°，∴EF＝2BF＝2 3.。

【推选文档】中考新突破年中考数学第部分教材同步复习第六章圆与圆有关的位置关系课件PPT

►知识点二直线与圆的位置关系
设圆的半径为r，圆心到直线的距离为关离圆系的 d与rd的＞关r 系交没有点有且的公只个共有数点一示意图 ►【►(【2【►►►②如►(【►(C►2(((A►【2222123知知知知知知知知知．．．))))))思例思无图例思根经根有经经识识与识识识识识识与识三相相路 1路公， 1路据过据弦过过点点】圆点点点点】点点圆点角切离点点共点点勾半勾，圆切三三有三二二三三三有三形拨拨点P拨股径股可心点(关(关的是】】，】定的定作且且的的内切切切直直切切切切圆··则D理外理弦垂垂张张位位心线线线线线线线线线外．过本本本和端和心直直家家置置是的的的与与的的的的一以圆题题题相，相距于于界界关关三性性性圆圆性性性性点上心考考考似并似，切切))如如系系角质质质的的质质质质，三作查查查三且三与线线图图形和和和位位和和和和P种出了了了A角角弦的的_，，三判判判置置判判判判_情、直B切直直形形、直直_∠∠条定定定关关定定定定_．况P线线线线进进半线线_BOO_系系_相均分的_的与与行行径经经_＝＝__交有别垂_性圆圆解解构过过这33_00可是线_质的的答答成条__°°_，，__能两，_、位位即即直半__线CC__条再相置置可可角径__为为的__切证似关关．．三的__OO交__线此三系系BB角直．．点上上，垂角，，形线，一一点线形利利．是是点点A段等用用圆三，，，等知直直的角且且点于识线线切形OOB圆点ll线和和为CC_的．_＝＝．圆圆切_半(_66OO1点_，，)径相相_根，_以以．切切_据则圆点点，，切P的CCA即即线为为圆＝dd的圆圆＝＝心PB性心心rr，，，，质，，三∠进进和半半角A而而等径径P形判判O角为为的＝断断的33内的的∠得得余心圆圆B出出角P到与与即即O相三.OO可可等AA角．．证的的形明位位__即置置__可关关__；系系__是是的((距离))相等．

中考数学总复习第1部分基础过关第六单元圆课时23 与圆有关的位置关系课件

内心、外心性质
三经过三角形外接圆的圆心三角形的
角的三个顶点是三角形三条外心到三
形可以作一个边的 ⑭ 角形三个外圆，这个圆 _垂__直__平__分_线__ 的顶点的距
接叫做三角形交点，叫做这个离
⑮
圆的外接圆三角形的外心 _相__等__(x_iāngděng)
使 BE＝21AB，连接 DE. ①求证：DE 是⊙O 的切线；②求 PC 的长．
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图 10
图 11
第三十四页，共五十二页。
(1)解：如答图7，连接(liánjiē)OD． ∵PD⊥OP，PD∥AB． ∴∠POB＝90°. ∵⊙O的直径AB＝12， ∴OB＝OD＝6. 在Rt△POB中，∠ABC＝30°，
A．29°
B．32°
C．42°
D．58°
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第十五页，共五十二页。
图2
3 ． (2017 河南 ) 如图 3 ，在 △ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作 CF∥AB，与过点 B的切线交于
点F，连接(liánjiē)BD．
(1)求证：BD＝BF； (2)若AB＝10，CD＝4，求 BC的长．
第十七页，共五十二页。
(2)解：∵AB＝10，AB＝AC， ∴AC＝10. ∵CD＝4，∴AD＝10－4＝6. 在 Rt △ ADB 中，由勾股定理得 BD ＝ 102－62＝8，在 Rt△BDC 中，由勾股定理得 BC＝ 82＋42 ＝4 5.
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第十八页，共五十二页。
︵
(2)若∠CAB＝30°，当 F 是AC的中点时，判断以 A，O，C，F 为顶点的四边形是什么特殊四边形，说明理由．

云南省中考数学总复习第六章圆第二节与圆有关的位置关系训练(2021年整理)

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第二节与圆有关的位置关系姓名：________ 班级：________ 限时:______分钟1．（2018·大庆）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，且AC＝6，则这个三角形的内切圆半径为______．2．（2018·台州）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB 的延长线于点D.若∠A＝32°,则∠D＝ ________度．3．（2018·益阳)如图，在圆O中，AB为直径,AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD＝DC，则∠C＝________度．4．（2018·连云港)如图,AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB 于点P，已知∠OAB＝22°，则∠OCB＝__________．5．(2018·湖州）如图,已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD。

若∠ABC ＝40°，则∠BOD的度数是__________．6．（2018·安徽）如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D,E，若点D是AB 的中点，则∠DOE＝________°。

最新中考数学总复习考点强化练习：第六单元圆 23 与圆有关的位置关系

考点强化练23 与圆有关的位置关系夯实基础1.(2018·山东泰安)如图,☉M的半径为2,圆心M的坐标为(3,4),点P是☉M上的任意一点,PA ⊥PB,且PA、PB与x轴分别交于A、B两点,若点A、点B关于原点O对称,则AB的最小值为()A.3B.4C.6D.8答案C解析∵PA⊥PB,∴∠APB=90°.AO=BO,∴AB=2PO.若要使AB取得最小值,则PO需取得最小值,连接OM,交☉M于点P',当点P位于P'位置时,OP'取得最小值.过点M作MQ⊥x轴于点Q,则OQ=3,MQ=4,∴OM=5.∵MP'=2,∴OP'=3,∴AB=2OP'=6,故选C.2.(2018·蒙城模拟)如图,已知平面直角坐标系内三点A(3,0)、B(5,0)、C(0,4),☉P经过点A、B、C,则点P的坐标为()A.(6,8)B.(4,5)C.4,D.4,答案C解析∵☉P经过点A、B、C,∴点P在线段AB的垂直平分线上,∴点P的横坐标为4,设点P的坐标为(4,y),作PE⊥OB于E,PF⊥OC于F,由题意得,,解得y=,故选C.3.(2018·四川自贡)如图,若△ABC内接于半径为R的☉O,且∠A=60°,连接OB、OC,则边BC 的长为()A.RB.RC.RD.R答案D解析延长BO交☉O于D,连接CD,则∠BCD=90°,∠D=∠A=60°,∴∠CBD=30°.∵BD=2R,∴DC=R,∴BC=R,故选D.4.(2018·江苏无锡)如图,矩形ABCD中,G是BC的中点,过A、D、G三点的☉O与边AB、CD分别交于点E、F.给出下列说法:(1)AC与BD的交点是☉O的圆心;(2)AF与DE的交点是☉O的圆心;(3)BC与☉O相切.其中正确说法的个数是()A.0B.1C.2D.3答案C解析∵矩形ABCD中,∴∠A=∠D=90°,AF与DE都是☉O的直径,AC与BD不是☉O的直径,∴AF与DE的交点是☉O的圆心,AC与BD的交点不是☉O的圆心,∴(1)错误,(2)正确.连接AF、OG,则点O为AF的中点,∵G是BC的中点,∴OG是梯形FABC的中位线,∴OG∥AB.∵AB⊥BC,∴OG⊥BC,∴BC与☉O相切.∴(3)正确.综上所述,正确结论有两个.5.(2018·浙江湖州)如图,已知△ABC的内切圆☉O与BC边相切于点D,连接OB,OD.若∠ABC=40°,则∠BOD的度数是.答案70°解析∵☉O内切于△ABC,∴OB平分∠ABC.∵∠ABC=40°,∴∠OBD=20°.∴∠BOD=70°.6.(2017·浙江衢州)如图,在直角坐标系中,☉A的圆心A的坐标为(-1,0),半径为1,点P为直线y=-x+3上动点,过点P作☉A的切线,切点为Q,则切线长PQ的最小值是.答案2解析作切线PQ,连接PA,AQ.有PQ=,又AQ=1,故当AP有最小值时PQ最小.过A作AP'⊥MN,则有AP'最小=3,此时PQ最小==2.7.(2017·湖南常德)如图,已知AB是☉O的直径,CD与☉O相切于C,BE∥CO.(1)求证:BC是∠ABE的平分线;(2)若DC=8,☉O的半径OA=6,求CE的长.(1)证明∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC.∵BE∥CO,∴∠OCB=∠EBC.∴∠OBC=∠EBC.∴BC是∠ABE的平分线.(2)解∵CD与☉O相切于C,∴△DCO为直角三角形.∵DC=8,☉O的半径OC=OA=6,∴DO=10.∵BE∥CO,BD和DE相交于点D,∴,∴CE=4.8.8.(2018·甘肃白银)如图,在△ABC中,∠ABC=90°.(1)作∠ACB的平分线交AB边于点O,再以点O为圆心,OB的长为半径作☉O(要求:不写作法,保留作图痕迹).(2)判断(1)中AC与☉O的位置关系,直接写出结果.解(1)如图,☉O为所求作的圆,OC为所求作的∠ACB的平分线.(2)AC为☉O的切线.9.(2018·山东滨州)如图,AB为☉O的直径,点C在☉O上,AD⊥CD于点D,且AC平分∠DAB.求证:(1)直线DC是☉O的切线;(2)AC2=2AD·AO.证明(1)连接OC,∵AC平分∠DAB,所以∠DAC=∠OAC.由题意可知OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.∴∠DAC=∠OCA,∴OC∥AD.∵AD⊥CD,∴∠ADC=90°.∴∠ADC=∠OCD=90°,∴直线DC是☉O的切线.(2)连接BC,因为AB是☉O的直径,所以∠ACB=90°,所以∠ACB=∠ADC=90°,∠DAC=∠BAC,所以△ADC∽△ACB,所以,所以AC2=AD·AB,所以AC2=2AD·AO.提升能力10.(2018·江苏泰州)如图,△ABC中,∠ACB=90°,sin A=,AC=12,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C,P为线段A'B'上的动点,以点P为圆心、PA'长为半径作☉P,当☉P与△ABC 的边相切时,☉P的半径为.答案解析设☉P的半径为r,∵∠ACB=90°,∴=sin A=,BC2+AC2=AB2.∵AC=12,∴BC=5,AB=13.由旋转得∠A'CB'=∠ACB=90°,∠A'=∠A,A'C=AC=12,B'C=BC=5,A'B'=AB=13,∴∠A'CB=180°,∴A'、C、B三点共线,∵点P到直线BC的距离小于半径PA',∴☉P与直线BC始终相交,如图1,过点P作PD⊥AC于点D,则∠B'DP=∠B'CA'=90°.图1∵∠DB'P=∠CB'A',∴△B'DP∽△B'CA',∴.∴.∴PD==12-r.当☉P与AC边相切时,PD=PA',∴12-r=r,∴r=.如图2,延长A'B'交AB于点E,图2∵∠A+∠B=90°,∠A'=∠A,∴∠A'+∠B=90°,∴∠A'EB=90°,同上得A'E=A'B=.当☉P与AB边相切时,A'E=2PA',∴r=.综上所述,☉P的半径为.11.(2016·江苏无锡)如图,△AOB中,∠O=90°,AO=8 cm,BO=6 cm,点C从A点出发,在边AO上以2 cm/s的速度向O点运动,与此同时,点D从点B出发,在边BO上以1.5 cm/s的速度向O 点运动,过OC的中点E作CD的垂线EF,则当点C运动了 s时,以C点为圆心,1.5 cm为半径的圆与直线EF相切.答案解析当以点C为圆心,1.5cm为半径的圆与直线EF相切时,此时,CF=1.5,∵AC=2t,BD=t,∴OC=8-2t,OD=6-t,∵点E是OC的中点,∴CE=OC=4-t,∵∠EFC=∠O=90°,∠FCE=∠DCO,∴△EFC∽△DOC,∴.∴EF=.由勾股定理可知CE2=CF2+EF2,∴(4-t)2=,解得t=或t=,∵0≤t≤4,∴t=.12.(2018·四川绵阳)如图,AB是☉O的直径,点D在☉O上(点D不与A,B重合).直线AD交过点B的切线于点C,过点D作☉O的切线DE交BC于点E.(1)求证:BE=CE;(2)若DE∥AB,求sin∠ACO的值.(1)证明连接OD,如图,∵EB,ED为☉O的切线,∴EB=ED,OD⊥DE,AB⊥CB,∴∠ADO+∠CDE=90°,∠A+∠ACB=90°.∵OA=OD,∴∠A=∠ADO.∴∠CDE=∠ACB.∴EC=ED.∴BE=CE.(2)解作OH⊥AD于H,如图,设☉O的半径为r,∵DE∥AB,∴∠DOB=∠DEB=90°.∴四边形OBED为矩形,而OB=OD,∴四边形OBED为正方形,∴DE=CE=r.易得△AOD和△CDE都为等腰直角三角形,∴OH=DH=r,CD=r.在Rt△OCB中,OC=r,在Rt△OCH中,sin∠OCH=,即sin∠ACO的值为.创新拓展13.如图,四边形ABCD内接于☉O,对角线AC为☉O的直径,过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E,点F为CE的中点,连接DB,DC,DF.(1)求∠CDE的度数;(2)求证:DF是☉O的切线;(3)若AC=2DE,求tan∠ABD的值.(1)解∵对角线AC为☉O的直径,∴∠ADC=90°,∴∠CDE=90°.(2)证明如图,连接DO,∵∠EDC=90°,F是EC的中点,∴DF=FC,∴∠FDC=∠FCD,∵OD=OC,∴∠OCD=∠ODC,∵∠OCF=90°,∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°,又∵点D在☉O上,∴DF是☉O的切线.(3)解由题意可得∠ABD=∠ACD,∵∠E+∠DCE=90°,∠DCA+∠DCE=90°,∴∠DCA=∠E,又∵∠ADC=∠CDE=90°,∴△CDE∽△ADC,∴,∴DC2=AD·DE,∵AC=2DE,∴设DE=x,则AC=2x,则AC2-AD2=AD·DE,即(2x)2-AD2=AD·x,整理得AD2+AD·x-20x2=0,解得AD=4x或-5x(负数舍去), 则DC==2x,故tan∠ABD=tan∠ACD==2.。