高中数学选修2-1北师大版空间向量运算的坐标表示学案(含答案)

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高中北师大版数学选修2-1学案：2.3.3 空间向量运算的坐标表示含答案

值．
解：a·b＝(3,0,1)·(k,2，－1)
＝3k＋0×2＋1×(－1)＝3k－1，
a·b＝|a||b|cos〈a，b〉
3π
＝ 32＋02＋12· k2＋22＋－1 2·cos 4
10 ＝－
2
k2＋5.
3π ，求实数 k 的
4
则 3k－1＝－
10 k2＋5，
2
3－ 105
3＋ 105
解得 k＝
BA AM
aλ )．
→→ ∵ BM⊥AC1，∴ BM· ＝0.
AC1
1 即 a2λ ＋a2λ －a2＋a2λ ＝0，解得 λ ＝，
3
→
aaa
∴ AM＝，，，
(－ 3)
33
→ → → 2a a a
＝＋＝
.
(
3)
DM DA AM ，，
33
( ∴ M 点坐标为
2a a a
3).
，， 33
规律方法用坐标运算解决向量平行、垂直有关问题，要注意以下
CA
→→ AB·CA
→→ |AB||CA|
－7
1
＝
＝－ .
14 × 14 2
Earlybird
晨鸟教育
已知三点 P1(1,1,0)，P2(0,1,1)和 P3(1,0,1)，O 为坐标原点，求|OP1＋
→→ OP2
→ →→
＋OP3|及与夹角的余弦值． P1P2 P1P3
→→→
解：OP1＋＋＝(1,1,0)＋(0,1,1)＋(1,0,1)＝(2,2,2)， OP2 OP3
或 k＝
4
4
(舍)，
Earlybird
晨鸟教育

高中数学选修2-1北师大版空间向量的坐标表示教案3

课题：空间向量的坐标表示教学目标：1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算； 2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。

教学重点：空间向量的坐标运算教学难点：空间向量的坐标运算教学过程：一、创设情景1、平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得j y i x a+= 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a在y 轴上的坐标，特别地，)0,1(=i，)1,0(=j ，0,0(0=二、建构数学1、空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k，以点O 为原点，分别以,,i j k的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量,,i j k都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面。

（3）作空间直角坐标系O xyz -时，一般使135xOy ∠= （或45），90yOz ∠= ；（4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系 2、空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量a ，设,,i j k为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使123a a i a j a k =++，有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作123(,,)a a a a =．在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．3、空间向量的直角坐标运算律（1）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=---， 123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

高中数学选修2-1北师大版空间向量的运算第二课时学案1(含答案)

第二课时自主整理1.空间两个向量a 和b 的数量积是一个数,等于___________,记作a·b,即a·b=___________.2.空间向量的数量积的运算律___________.(1)交换律:a·b=___________;(2)分配律:a·(b+c)=___________;(3)λ(a·b)=(λ∈R )___________.3.(1)|a|=___________;(2)a ⊥b___________;(3)cos 〈a,b 〉=(a≠0,b≠0)___________.4.对于任意一个非零向量a,我们把叫作向量a 的单位向量,记作.与a 同方向.高手笔记1.数量积是数量,可以是正数,也可以是负数或零,它没有方向,可以比较大小.a 与b 的数量积的几何意义是:向量a 的模|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos 〈a,b 〉的乘积.2.利用两个向量的夹角为2π,判断空间直线的垂直是向量在立体几何中的重要应用之一. 3.根据空间两个向量的数量积的定义:a·b=|a||b|cos 〈a,b 〉,那么空间两个向量a,b 的夹角的余弦cos 〈a,b 〉=||||b a b a ∙,这个公式可用来求空间两直线所成的角. 4.在空间两个向量的数量积中,特别地a·a=|a||a|cos0°=|a|2,所以向量a 的模|a|=2a ,这个公式可用来求空间中线段的长度.将其推广为:|a±b|= (22b b a a b a +∙±=±)2; |a+b+c|=a c c b b a c b a c b a ∙+∙+∙+++=++222)(2222 =(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2a·b+2b·c+2c·a.5.对于三个不为0的向量,若a·b=a·c,不能得出b=c,即向量不能约分.6.若a·b=k,不能得出a=b k 或b=ak ,即向量不能进行除法运算. 7.对于三个不为0的向量,(a·b)c≠a(b·c),即向量的数量积不满足结合律.名师解惑1.如何利用向量知识求线段的长度?剖析:将所求线段用向量表示,转化为求向量的模的问题.一般可以先选好基底,用基向量表示所求向量,然后利用|a|2=(a)2来求解.选择基底时,应注意三个基向量两两之间的夹角应该是确定的,已知的或可以求出的.具体求模时,可分为两种不同情况:(1)不建坐标系,直接进行向量运算;(2)建立坐标系,用距离公式求线段长度.2.如何利用空间向量知识求异面直线所成的角?剖析:异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量,计算两个方向向量的夹角得到,具体计算时可以用基向量表示,也可以用坐标运算进行.但在求异面直线所成的角时,应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别:如果两向量夹角为锐角或直角,则异面直线所成的角等于两向量的夹角;如果两向量的夹角为钝角,则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角. 讲练互动【例1】如图,已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于a,点E,F,G 分别是AB,AD,DC 的中点.求下列向量的数量积:(1)·AC ; (2)AD ·BD ; (3)∙; (4)∙.解析：由于空间四边形ABCD 各棱长都等于a,所以表面中各三角形均为正三角形. 所以有,AC ,AD 两两之间的夹角均为60°,用数量积的定义求解即可.答案：(1)在空间四边形ABCD 中||=|AC |=a, 且〈,〉=60°, 所以=a·acos60°=21a 2. (2)|AD |=a,|BD |=a,〈AD ,BD 〉=60°, 所以AD ·BD =a 2cos60°=21a 2. (3)|GF |=21a,|AC |=a, 又∥,〈,〉=π, 所以·=21a 2cosπ=21-a 2. (4)因为|EF|=21a,|BC|=a,∥BD , 所以〈,BC 〉=〈BC ,〉=60°. 所以BC ·=21a 2cos60°=41a 2.绿色通道直接求两个向量的数量积时,应选取好基底,三个基向量的选取很重要,一般要保证三个向量两两之间夹角已知或可求,最好是特殊角,然后利用定义求解.变式训练1.已知在空间四边形OABC 中,OB=OC,AB=AC,求证:OA ⊥BC.证明:因为OB=OC,AB=AC,OA=OA,所以△OAC ≌△OAB.所以∠AOC=∠AOB. 因为)(-∙=∙ =OB OA OC OA ∙-∙ =||||OC OA cos ∠AOC-||||OB OA cos ∠AOB=0.所以OA ⊥BC.【例2】如图所示,在空间四边形OABC 中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,求OA 与BC 夹角的余弦值.解析：求异面直线所成的角,可以用常规方法,也可以用向量夹角公式求解,cos 〈,〉|||BC OA 应先求出OA ·BC .答案：因为=-, 所以·=·-·AB =|OA |·|AC |·cos 〈OA ,AC 〉-|OA |·||·cos 〈OA ,〉=8×4×cos135°-8×6×cos120°=24-162.所以cos 〈,〉 =52235821624-=⨯-.所以OA 与BC 夹角的余弦值为5223-. 绿色通道用向量夹角公式解决异面直线所成角的问题时,应注意角的范围,向量夹角范围是［0°,180°］,异面直线所成的角的范围是(0°,90°］,当用夹角公式求出的角为钝角时,它的补角才等于异面直线所成的角.变式训练2.如图,已知△ABC 是正三角形,PA ⊥平面ABC,且PA=AB=a,求PB 和AC 所成的角的大小.解:∵PA ⊥平面ABC,△ABC 为正三角形,PA=AB=a,所以PA ⊥AC,∠BAC=60°,PB=2a,AC=a. 所以∙+∙=∙+=∙)(=21a 2. 所以cos 〈,〉4222||||2=∙=a a a AC PB . 所以PB 与AC 所成的角为arccos42. 【例3】如图,已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a,点M,N 分别是边AB,CD 的中点.(1)求证:MN 为AB 和CD 的公垂线;(2)求MN 的长;(3)求异面直线AN 与MC 所成角的余弦值.解析：如图,设AB =p,=q,AD =r.由题意,可知|p|=|q|=|r|=a,且p,q,r 三向量两两夹角均为60°.答案：(1)证明：21)(21-+===21(q+r-p),所以MN ·AB =21(q+r-p)·p=21(q·p+r·p-p 2) =21(a 2·cos60°+a 2·cos60°-a 2) =0.所以MN ⊥AB,同理可证MN ⊥CD. 所以MN 为AB 与CD 的公垂线.(2)解：由(1)可知MN =21(q+r-p), 所以||2=()2=41(q+r-p)2 =41［q 2+r 2+p 2+2(q·r-q·p-r·p)］ =41［a 2+a 2+a 2+2(22a -22a -22a )］ =41×2a 2=22a . 所以||=22a. 所以MN 的长度为22a. (3)解：设向量AN MN 与MC 的夹角为θ, 因为AN =21(AC +) =21(q+r), =-=q-21p, 所以·=21 (q+r)·(q-21p) =21(q 2-21q·p+r·q-21r·p) =21(a 2-21a 2·cos60°+a 2cos60°-21a 2·cos60°) =21(a 2-424222a a a ++) =22a .。

高中数学选修2-1精品学案：3.1.5 空间向量运算的坐标表示

3.1.5 空间向量运算的坐标表示学习目标 1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题.知识点1空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.【预习评价】设a＝(1，－1，3)，b＝(－2，1，2)，则a＋2b＝________.[解析]a＋2b＝(1，－1，3)＋2(－2，1，2)＝(1，－1，3)＋(－4，2，4)＝(－3，1，7).[答案](－3，1，7)知识点2空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 (λ∈R)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝a·a＝a21＋a22＋a23；cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23b21＋b22＋b23.【预习评价】设a＝(1，－1，1)，b＝(－2，0，1)，则cos〈a，b〉＝________.[解析] cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－2＋13·5＝－1515.[答案] －1515知识点3 空间两点间的距离已知点A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则A ，B 两点间的距离d AB ＝|AB →|＝（a 2－a 1）2＋（b 2－b 1）2＋（c 2－c 1）2. 【预习评价】已知点A (－1，2，0)，B (－1，0，2)，则|AB →|＝________.[解析] |AB →|＝（－1＋1）2＋（2－0）2＋（0－2）2＝2 2.[答案] 22题型一空间直角坐标系与空间向量的坐标表示【例1】设O 为坐标原点，向量OA→＝(1，2，3)，OB →＝(2，1，2)，OP →＝(1，1，2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，求点Q 的坐标.解设OQ→＝λOP →， ∴QA→＝OA →－OQ →＝OA →－λOP → ＝(1，2，3)－λ(1，1，2)＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， QB→＝OB →－OQ →＝OB →－λOP → ＝(2，1，2)－λ(1，1，2)＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，则QA →·QB →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ) ＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ) ＝6λ2－16λ＋10，∴当λ＝43时，QA →·QB→取得最小值.又OQ →＝λOP →＝43(1，1，2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.所以，所求点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.规律方法 (1)建立适当的空间直角坐标系，以各点的坐标表示简单方便为最佳选择.(2)向量的坐标即终点坐标减去起点坐标对应的坐标.求向量的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标.【训练1】设正四棱锥S －P 1P 2P 3P 4的所有棱长均为2，建立适当的空间直角坐标系，求SP 1→，P 2P 3→的坐标.解如图所示，建立空间直角坐标系，其中O 为底面正方形的中心，P 1P 2⊥Oy 轴，P 1P 4⊥Ox 轴，SO 在Oz 轴上.∵P 1P 2＝2，而P 1，P 2，P 3，P 4均在xOy 平面上， ∴P 1(1，1，0)，P 2(－1，1，0).在xOy 平面内，P 3与P 1关于原点O 对称，P 4与P 2关于原点O 对称，∴P 3(－1，－1，0)，P 4(1，－1，0). 又SP 1＝2，OP 1＝2，∴在Rt △SOP 1中，SO ＝2，∴S (0，0，2). ∴SP 1→＝OP 1→－OS →＝(1，1，－2)， P 2P 3→＝OP 3→－OP 2→＝(0，－2，0).互动探究题型二向量的平行与垂直【探究1】已知空间三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，设AB →＝a ，AC→＝b . (1)设向量c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，1，试判断2a －b 与c 是否平行？(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k .解 (1)因为a ＝AB→＝(1，1，0)，b ＝AC →＝(－1，0，2)，所以2a －b ＝(3，2，－2)，又c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，1，所以2a －b ＝－2c ，所以(2a －b )∥c .(2)因为a ＝AB→＝(1，1，0)，b ＝AC →＝(－1，0，2)，所以k a ＋b ＝(k －1，k ，2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4). 又因为(k a ＋b )⊥(k a －2b )，所以(k a ＋b )·(k a －2b )＝0，即(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0. 解得k ＝2或－52.【探究2】如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点.求证：(1)AM ∥平面BDE ； (2)AM ⊥平面BDF .证明 (1)如图，建立空间直角坐标系，设AC ∩BD ＝N ，连接NE ，则点N ，E 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，(0，0，1).∴NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1.又点A ，M 的坐标分别是(2，2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1，∴AM→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. ∴NE→＝AM →.又NE 与AM 不共线， ∴NE ∥AM .又∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ， ∴AM ∥平面BDE .(2)由(1)知AM→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. ∵D (2，0，0)，F (2，2，1)， ∴DF →＝(0，2，1)，∴AM →·DF →＝0，∴AM→⊥DF →. 同理，AM→⊥BF →.又DF ∩BF ＝F ，且DF ⊂平面BDF ，BF ⊂平面BDF ， ∴AM ⊥平面BDF .规律方法解决本题的关键是建立正确、恰当的空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题.【训练2】在正三棱锥P －ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，G 是△PAB 的重心，E ，F 分别为BC ，PB 上的点，且BE ∶EC ＝PF ∶FB ＝1∶2. 求证：(1)平面GEF ⊥平面PBC ； (2)EG ⊥BC ，PG ⊥EG .证明 (1)如图，以三棱锥的顶点P 为原点，PA ，PB ，PC 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，令PA＝PB ＝PC ＝3，则A (3，0，0)，B (0，3，0)，C (0，0，3)，E (0，2，1)，F (0，1，0)，G (1，1，0)，P (0，0，0). 于是PA→＝(3，0，0)，FG →＝(1，0，0)，故PA→＝3FG →，∴PA ∥FG . 又PA ⊥平面PBC ， ∴FG ⊥平面PBC ，又FG ⊂平面GEF ， ∴平面GEF ⊥平面PBC .(2)∵EG→＝(1，－1，－1)，PG →＝(1，1，0)，BC →＝(0，－3，3)， ∴EG →·PG →＝1－1＝0，EG →·BC →＝3－3＝0， ∴EG ⊥PG ，EG ⊥BC . 题型三夹角与距离的计算【例3】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点.(1)求BN 的长；(2)求A 1B 与B 1C 所成角的余弦值； (3)求证：BN ⊥平面C 1MN .(1)解如图所示，建立空间直角坐标系Cxyz .依题意得B (0，1，0)，N (1，0，1)， ∴|BN→|＝（1－0）2＋（0－1）2＋（1－0）2＝3，∴线段BN 的长为 3.(2)解由(1)中建立的坐标系得A 1(1，0，2)，C (0，0，0)，B 1(0，1，2)， ∴BA 1→＝(1，－1，2)，CB 1→＝(0，1，2)， ∴BA 1→·CB 1→＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3. 又|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝ 5. ∴cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010.故A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为3010.(3)证明由(1)中建立的坐标系得A 1(1，0，2)，C 1(0，0，2)，B (0，1，0)， N (1，0，1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，2，∴C 1M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C 1N →＝(1，0，－1)， BN→＝(1，－1，1)， ∴C 1M →·BN →＝12×1＋12×(－1)＋0×1＝0， C 1N →·BN →＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0.∴C 1M →⊥BN →，C 1N →⊥BN →， ∴BN ⊥C 1M ，BN ⊥C 1N ，又∵C 1M ∩C 1N ＝C 1，C 1M ⊂平面C 1MN ，C 1N ⊂平面C 1MN ， ∴BN ⊥平面C 1MN .规律方法在特殊的几何体中建立空间直角坐标系时，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求.利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单.【训练3】已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面边长AB ＝2，AB 1⊥BC 1，点O ，O 1分别是棱AC ，A 1C 1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.(1)求三棱柱的侧棱长；(2)M 为BC 1的中点，试用基向量AA 1→，AB →，AC →表示向量AM →； (3)求异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值.解 (1)设侧棱长为b ，则A (0，－1，0)，B 1(3，0，b )，B (3，0，0)，C 1(0，1，b )，所以AB 1→＝(3，1，b )，BC 1→＝(－3，1，b ). 因为AB 1⊥BC 1，所以AB 1→·BC 1→＝(3，1，b )·(－3，1，b ) ＝－(3)2＋12＋b 2＝0，解得b ＝ 2.故侧棱长为 2. (2)因为M 为BC 1的中点，所以AM →＝12(AC 1→＋AB →)＝12(AA 1→＋AC →＋AB →). (3)由(1)知AB 1→＝(3，1，2)，BC →＝(－3，1，0)，因为|AB 1→|＝（3）2＋12＋（2）2＝6，|BC →|＝（－3）2＋12＋02＝2，AB 1→·BC →＝(3，1，2)·(－3，1，0) ＝－(3)2＋1×1＝－2，所以cos 〈AB 1→，BC →〉＝|AB 1→·BC →||AB 1→||BC →|＝|－2|6×2＝66.所以异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值为66.课堂达标1.已知向量a ＝(0，2，1)，b ＝(－1，1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A.0°B.45°C.90°D.180°[解析] ∵cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝2－25×6＝0，0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝90°. [答案] C2.设A (3，3，1)，B (1，0，5)，C (0，1，0)，则AB 的中点M 到C 的距离CM 的值为( ) A.534B.532C.532D.132[解析] AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3，又C (0，1，0)，所以CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，3，故M 到C 的距离为CM ＝|CM →|＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋32＝532. [答案] C3.设O 为坐标原点，M (5，－1，2)，A (4，2，－1)，若OM →＝AB →，则点B 应为( )A.(－1，3，－3)B.(9，1，1)C.(1，－3，3)D.(－9，－1，－1) [解析] 设B (x ，y ，z )，由OM→＝AB →得(5，－1，2)＝(x －4，y －2，z ＋1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝5，y －2＝－1，z ＋1＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝1，z ＝1. [答案] B4.若向量a ＝(1，1，x )，b ＝(1，2，1)，c ＝(1，1，1)满足条件 (c －a )·(2b )＝－2，则x 的值为( ) A.2B.－2C.0D.1[解析] ∵c －a ＝(1，1，1)－(1，1，x )＝(0，0，1－x )， 2b ＝(2，4，2)，∴2×(1－x )＝－2，∴x ＝2. [答案] A5.已知a ＝(1－t ，1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|a －b |的最小值为( ) A.55B.555C.355D.115[解析] ∵a －b ＝(1－t ，1－t ，t )－(2，t ，t ) ＝(－1－t ，1－2t ，0)， ∴|a －b |＝（t ＋1）2＋（1－2t ）2＝5t 2－2t ＋2 ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95， ∴|a －b |min ＝355. [答案] C课堂小结1.在解决已知向量夹角为锐角或钝角求参数的范围时，一定要注意两向量共线的情况.2.运用向量坐标运算解决几何问题的方法：高中数学选修2-1学案113.若〈AB→，CD →〉＝α，两条异面直线AB ，CD 所成角为θ，则cos θ＝|cos α|.。

高中北师大版数学选修2-1学案：空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理含答案

§3向量的坐标表示和空间向量基本定理3．1空间向量的标准正交分解与坐标表示3．2空间向量基本定理知识点一空间向量的标准正交分解与坐标表示[填一填](1)在给定的空间直角坐标系中，令i，j，k分别为x轴，y轴，z 轴正方向上的单位向量，对于空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得a＝x i＋y j＋z k.我们把a＝x i＋y j＋z k叫作a的标准正交分解，把i，j，k叫作标准正交基．(2)(x，y，z)叫作空间向量a的坐标，记作a＝(x，y，z)．a＝(x，y，z)叫作向量a的坐标表示．在空间直角坐标系中，点P的坐标为(x，y，→的坐标也是(x，y，z)．z)，向量OP[答一答]空间点的坐标和空间的点为何是一一对应的？提示：在空间直角坐标系中，过空间点M向平面xOy引垂线，有且只有一条，设垂足为N，而N在xOy面内的横纵坐标都是唯一的，所以空间点的坐标和空间点是一一对应的．即在空间直角坐标系O-xyz→＝x i＋中，对空间任一点M，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使OMy j＋z k，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标．如图．知识点二向量a在向量b上的投影[填一填]一般地，若b0为b的单位向量，称a·b0＝|a|·cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影．可见，向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影．[答一答]求证：向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影．提示：设a＝x i＋y j＋z k，∴a·i＝x i·i＋y j·i＋z k·i，由于i⊥j，k⊥i，∴i·j＝0，k·i＝0，又|i|2＝i·i＝1，∴a·i＝x，同理a·j＝y，a·k＝z.知识点三空间向量基本定理[填一填](1)如果向量e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3.空间中不共面的三个向量e 1，e 2，e 3叫作这个空间的一个基底．a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3表示向量a 关于基底e 1，e 2，e 3的分解．(2)特别地，当向量e 1，e 2，e 3两两垂直时，就得到这个向量的一个正交分解．当e 1＝i ，e 2＝j ，e 3＝k 时，就是标准正交分解．[答一答]求证：满足a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3中的λ1，λ2，λ3是唯一的．提示：设a ＝λ1′e 1＋λ2′e 2＋λ3′e 3，又∵a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3，∴λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3＝λ1′e 1＋λ2′e 2＋λ3′e 3， ∴(λ1－λ1′)e 1＋(λ2－λ2′)e 2＋(λ3－λ3′)e 3＝0，又∵e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量， ∴λ1′＝λ1，λ2′＝λ2，λ3′＝λ3，即λ1，λ2，λ3是唯一的．1．关于空间向量的标准正交分解与坐标表示的几个注意点： (1)投影a ·b 0＝|a |cos 〈a ，b 〉是一个实数． ①若〈a ，b 〉∈[0，π2)，则a ·b 0>0； ②若〈a ，b 〉＝π2，则a ·b 0＝0； ③若〈a ，b 〉∈(π2，π]，则a ·b 0<0.(2)建立坐标系时，应注意点O 的任意性，原点O 的选择要便于解决问题，既有利于作图的直观性，又要尽可能地使各点的坐标为正．2．空间向量基本定理说明：(1)用空间三个不共面的已知向量组{e 1，e 2，e 3}可以线性表示出空间任意一向量，而且表示的结果是唯一的．(2)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底． (3)由于0可看作是与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含它们都不是0.要明确：一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．3．特殊向量的坐标表示：若向量a 平行x 轴，则a ＝(x,0,0)．若向量a 平行y 轴，则a ＝(0，y,0)．若向量a 平行z 轴，则a ＝(0,0，z )．若向量a 平行xOy 平面，则a ＝(x ，y,0)．若向量a 平行yOz 平面，则a ＝(0，y ，z )．若向量a 平行zOx 平面，则a ＝(x,0，z )．题型一空间向量的坐标表示【例1】如图所示，已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1.求AN→，AM →的坐标．【解】由题意可知P A ＝AD ＝AB ＝1，且P A ⊥平面AC ，AD ⊥AB ，不妨以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系，其中AD→＝i ，AB →＝j ，AP →＝k .AM →＝12AB →＝12j ，AN →＝AP →＋PN →＝AP →＋12PC →＝AP →＋12(P A →＋AD →＋DC →)＝12AP →＋12AD →＋12AB →＝12i ＋12j ＋12k .故AM →＝(0，12，0)，AN →＝(12，12，12)．规律方法用坐标表示空间向量的一般步骤：(1)找垂线：仔细观察图形特征，寻找两两垂直的三条直线．若无，则需构造两两垂直的三条直线；(2)取基底：取(1)中找出的三条直线的单位方向向量为基底； (3)建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系； (4)进行计算：综合利用向量的加减及数乘运算； (5)确定结果：确定目标向量的坐标．如图，在空间直角坐标系中有长方体OABC -O ′A ′B ′C ′，且OA ＝6，OC ＝8，OO ′＝5.(1)写出点B ′的坐标，并给出OB′→关于i ，j ，k 的标准正交分解式；(2)写出OC′→的坐标．解：(1)因为OA ＝6，OC ＝8，OO ′＝5，所以点B ′的坐标为(6,8,5)，从而OB′→＝(6,8,5)＝6i ＋8j ＋5k . (2)因为点C ′的坐标是(0,8,5)，所以OC ′→＝(0,8,5)．题型二空间向量基本定理【例2】如图，已知P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，G 为△PDC 的重心，AB →＝i ，AD →＝j ，AP →＝k ，试用基底{i ，j ，k }表示向量PG→，BG →.【思路探究】利用三角形法则，平行四边形法则将向量PG →，BG →用AB →，AD →，AP →来表示．由于点G 为△PDC 的重心，所以有PG ＝23PN .【解】 PG →＝23PN →＝23[12(PC →＋PD →)] ＝13(P A →＋AB →＋AD →＋AD →－AP →) ＝13AB →＋23AD →－23AP → ＝13i ＋23j －23k . BG→＝BC →＋CN →＋NG → ＝BC →＋CN →＋13NP →＝AD →－12DC →－13PN →＝AD →－12AB →－(16AB →＋13AD →－13AP →) ＝23AD →－23AB →＋13AP →＝－23i ＋23j ＋13k .规律方法用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则．逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ QA ′＝41，用基底{a ，b ，c }表示以下向量．(1)AP→；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →. 解：连接AC ，AD ′.(1)AP →＝12(AC →＋AA ′→)＝12(AB →＋A D →＋AA ′→) ＝12(a ＋b ＋c )．(2)AM →＝12(AC →＋AD ′→)＝12(a ＋2b ＋c )＝12a ＋b ＋12c . (3)AN →＝12(AC ′→＋AD ′→) ＝12[(AB →＋AD →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)] ＝12a ＋b ＋c .(4)AQ →＝AC →＋CQ →＝AC →＋45CA ′→ ＝AC →＋45(AA ′→－AC →) ＝15AC →＋45AA ′→＝15(AB →＋AD →)＋45AA ′→＝15a ＋15b ＋45c .题型三空间向量基本定理的简单应用【例3】如图所示，平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.(1)证明：A 、E 、C 1、F 四点共面； (2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z . 【思路探究】第(1)问要证明四点共面只需证明AC 1→，可用AE →，AF →表示即可；第(2)问中求x ＋y ＋z 只需先把EF →用AB →，AD →，AA 1→表示出来，求出x 、y 、z ，再求x ＋y ＋z .【解】 (1)证明：∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→ ＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→ ＝(AB →＋13AA 1→)＋(AD →＋23AA 1→) ＝AB→＋BE →＋AD →＋DF →＝AE →＋AF →， ∴A 、E 、C 1、F 四点共面． (2)∵EF→＝AF →－AE → ＝AD→＋DF →－(AB →＋BE →) ＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→ ＝－A B →＋AD →＋13AA 1→， ∴x ＝－1，y ＝1，z ＝13. ∴x ＋y ＋z ＝13.规律方法证明三个向量共面，直线与平面平行或直线在平面内，四点共面，都要利用共面向量定理，即对于向量p 来说是否存在x ，y ，使p ＝x a ＋y b 成立．已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外的一点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA→，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内．解：(1)∵OA→＋OB →＋OC →＝3OM →，∴OA→－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)． ∴MA→＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →. ∴向量MA→，MB →，MC →共面． (2)由(1)知，向量MA→，MB →，MC →共面，三个向量的基线又有公共点M ，∴M ，A ，B ，C 共面，即点M 在平面ABC 内．题型四向量的投影【例4】如图，已知单位正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′.(1)求向量CA′→在CD →上的投影； (2)DC →是单位向量，且垂直于平面ADD ′A ′，求向量CA ′→在DC →上的投影．【思路探究】 a 在b 上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉，只要求出|a |及〈a ，b 〉即可．【解】 (1)法1：向量CA ′→在CD →上的投影为|CA ′→|cos 〈CA ′→，CD →〉，又正方体棱长为1，∴|CA ′|＝12＋12＋12＝3，∴|CA′→|＝3， ∠DCA ′即为CA′→与CD →的夹角，在Rt △A ′CD 中，cos ∠A ′CD ＝13＝33， ∴CA′→在CD →上的投影为 |CA ′→|cos 〈CA ′→，CD →〉＝3·33＝1.法2：在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，DC ⊥AD ，〈CA ′→，CD →〉＝∠DCA ′. ∵CA′→在CD →上的投影为 |CA′→|cos 〈CA ′→，CD →〉＝|CA ′→|cos ∠DCA ′＝|CD →|＝1. (2)CA ′→与DC →的夹角为180°－∠A ′CD ， ∴CA′→在DC →上的投影为 |CA ′→|cos(180°－∠A ′CD )＝－|CA ′→|·cos ∠A ′CD ＝－1.规律方法 (1)求向量a 在向量b 上的投影，可先求出|a |，再求出两个向量a 与b 的夹角，最后计算|a |cos 〈a ，b 〉，即为向量a 在向量b 上的投影，它可正、可负，也可以为零；也可以利用几何图形直观转化求解．(2)在确定向量的夹角时要注意向量的方向，如本题中〈CA ′→，CD →〉与〈CA′→，DC →〉是不同的，其和为π.已知正四面体P -ABC 的所有棱长均为1，D 是AC 的中点，如图所示，求：(1)向量PB→在PC →上的投影； (2)向量PB→在AP →上的投影； (3)向量BP→在BD →上的投影．解：(1)向量PB →在PC →上的投影为|PB →|cos ∠BPC ＝1×cos π3＝12.(2)向量PB →在AP →上的投影为|PB →|·cos(π－∠APB )＝1×cos 2π3＝－12. (3)如题图所示，由正四面体的几何性质知，点P 在底面ABC 上的射影O 是底面△ABC 的中心，且在BD 上，在Rt △POB 中，OB ＝23×32＝33，∴向量BP→在BD →上的投影为 |BP →|cos ∠PBO ＝|BO →|＝33.——多维探究—— 利用向量基本定理证明线线垂直【例5】如图，平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD .求证：CA 1⊥B 1D 1.【思路分析】本题主要考查了空间向量的基本定理．解决这类问题首先应该找到作为基底的向量，再把相关向量表示为基底的线性形式，证明它们的数量积为零即可．【证明】因为CA 1→＝CD →＋CB →＋CC 1→，B 1D 1→＝BD →＝CD →－CB →，所以CA 1→·B 1D 1→＝(CD →＋CB →＋CC 1→)·(CD →－CB →) ＝CD →2－CB →2＋CC 1→·(CD →－CB →) ＝|CD →|2－|CB →|2＋CC 1→·CD →－CC 1→·CB →＝|CD →|2－|CB →|2＋|CC 1→||CD →|·cos ∠C 1CD －|CC 1→||CB →|·cos ∠C 1CB ，又因为∠C 1CB ＝∠C 1CD ，底面ABCD 为菱形，所以|CD →|2－|CB →|2＋|CC 1→||CD →|·cos ∠C 1CD －|CC 1→||CB →|·cos ∠C 1CB ＝0，即CA 1→·B 1D 1→＝0. 所以CA 1→⊥B 1D 1→，故CA 1⊥B 1D 1.规律方法用向量法证明垂直关系的操作步骤(1)把几何问题转化为向量问题；(2)用已知向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0；(4)将向量问题回归到几何问题．如图，在空间四边形OABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ，且OA ＝OB ＝OC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是MN 的中点．求证：OG ⊥BC .证明：如图，连接ON ，设∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝θ，又设OA→＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |. 又OG →＝12(OM →＋ON →) ＝12[12OA →＋12(O B →＋OC →)] ＝14(a ＋b ＋c )，BC→＝c －b . ∴OG →·BC →＝14(a ＋b ＋c )·(c －b ) ＝14(a ·c －a ·b ＋b ·c －b 2＋c 2－b ·c ) ＝14(|a |2·cos θ－|a |2·cos θ－|a |2＋|a |2)＝0. ∴OG→⊥BC →，即OG ⊥BC .1．已知平行六面体OABC -O ′A ′B ′C ′中，OA →＝a ，OO ′→＝b ，OC →＝c .D 是四边形OABC 的中心，则( B )A.O ′D →＝－a ＋b ＋cB.O ′D →＝－b ＋12a ＋12cC.O ′D →＝12a －b －12cD.O ′D →＝12a ＋12c －12b解析：O ′D →＝O ′O →＋OD →＝－b ＋12(OA →＋OC →)＝－b ＋12a ＋12c . 2．点M (－1,3，－4)在坐标平面xOy ，xOz ，yOz 内的投影的坐标分别是( A )A ．(－1,3,0)，(－1,0，－4)，(0,3，－4)B ．(0,3，－4)，(－1,0，－4)，(0,3，－4)C ．(－1,3,0)，(－1,3，－4)，(0,3，－4)D ．(0,0,0)，(－1,0,0)，(0,3,0)解析：点M (－1,3，－4)在坐标平面xOy ，xOz ，yOz 内的投影就是过M 点分别向平面xOy ，xOz ，yOz 作垂线的垂足，其坐标是三个垂足的坐标．3．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB →＝3i ，AD →＝2j ，AA 1→＝5k ，则AC 1→＝3i ＋2j ＋5k . 解析：AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝3i ＋2j ＋5k . 4．已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，从以下各向量a ，b ，c ，a ＋b ，a －b ，a ＋c ，a －c ，b ＋c ，b －c 中选出三个向量，构成空间向量的基底，请你写出三个基底．解：只要用不共面的三个向量均可构成基底．如a ，a ＋b ，a ＋c ；a ＋b ，b ＋c ，a ＋c ；a －c ，b －c ，a －b .。

高中北师大版数学选修2-1学案：2.2 空间向量的运算含答案

§2空间向量的运算知识点一空间向量的加减法[填一填]→和(1)设a和b是空间两个向量，过一点O作a和b的相等向量OA→，根据平面向量加法的平行四边形法则，平行四边形的对角线OC OB→就是a与b的和，记作a＋b.对应的向量OC(2)与平面向量类似，a与b的差定义为a＋(－b)，记作a－b，其中－b是b的相反向量．(3)空间向量加法和减法的运算律与平面向量的运算律相同，表示如下：①结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；②交换律a ＋b ＝b ＋a .[答一答]利用空间图形验证空间向量满足结合律．提示：如图所示，作OA→＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，则(a ＋b )＋c ＝(OA→＋AB →)＋BC →＝OB →＋BC →＝OC →， a ＋(b ＋c )＝OA→＋(AB →＋BC →)＝OA →＋AC →＝OC →， ∴(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．知识点二空间向量的数乘[填一填](1)空间向量a 与一个实数λ的乘积是一个向量，记作λa .满足： ①|λa |＝|λ||a |；②当λ>0时，λa 与a 方向相同；当λ<0时，λa 与a 方向相反；当λ＝0时，λa ＝0.(2)空间向量的数乘运算律与平面向量的数乘运算律相同，表示如下：①λa ＝a λ(λ∈R )；②λ(a ＋b )＝λa ＋λb ，(λ＋μ)a ＝λa ＋μa (λ∈R ，μ∈R )； ③(λμ)a ＝λ(μa )(λ∈R ，μ∈R )．(3)空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.[答一答]设e1，e2不共线，且λe1＋μe2＝0，那么你能够得到什么结论？提示：λ＝μ＝0.(否则e1∥e2，与e1，e2不共线矛盾)知识点三空间向量的数量积[填一填](1)由于空间任意两个向量经平移后都可以在同一个平面内，因此，空间两个向量a和b的数量积和平面中的情形完全一样，即空间两个向量a和b的数量积是一个数，等于|a|·|b|cos〈a，b〉，记作a·b.(2)空间向量的数量积与平面向量的数量积具有同样的运算律．①交换律：a·b＝b·a；②分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c；③λ(a·b)＝(λa)·b(λ∈R)．(3)和平面向量一样，利用空间向量的数量积，可以得到以下结论：①|a|②a⊥b⇔a·b＝0；③cos〈a，b〉＝a·b|a||b|(a≠0，b≠0)．(4)对于任意一个非零向量a，我们把a|a|叫作向量a的单位向量，记作a0，a0与a同方向．[答一答]三个向量a，b，c均不为0，则等式(a·b)·c＝a·(b·c)成立吗？提示：不成立，因a·b，b·c是一个数，(a·b)·c与c共线，a·(b·c)与a共线，故它们不表示同一个向量．1．(1)在BA→＝OA →－OB →中，O 并不一定是原点，它可以是空间中的任意一点，也就是说对任意点O ，都有BA→＝OA →－OB →. (2)有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变．(3)三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量．2．(1)关于空间向量的数乘应注意：①λa (λ∈R )仍为向量；②0·a ＝0；③λ·0＝0.(2)在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，分析各向量在图形中的表示，然后运用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并要化简到最简为止．3．关于空间向量的数量积的几个注意点：(1)两个空间向量的数量积是一个实数，要注意0·a ＝0(a 为任意向量)．(2)数量积不满足结合律，即(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )．(3)空间向量数量积的几个结论的作用：①用于对向量模的计算；②用于判断空间两个向量的垂直；③可以帮助我们求两个向量的夹角；④用于不等式的证明．4．向量中应该重视的问题：(1)空间向量的加法、减法、数乘向量的意义及运算律与平面向量类似，这些运算不但适合学过的代数运算律，而且很多性质与实数性质相同．(2)两个向量数量积的性质的作用： ①可以求两个向量的夹角； ②用于判断空间两个向量垂直； ③主要用于对向量模的计算．(3)利用向量解立体几何问题的一般方法：把角度或线段转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明解决问题．(4)用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题，一般用向量共线定理；解决两点距离或线段长度问题，一般用向量的模；求异面直线的夹角问题，一般可化为两向量的夹角，但要注意两种角范围不同，最后应注意转化；解决垂直问题，一般可化为向量的数量积为零．题型一空间向量的加法、减法【例1】已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形的中心O ，Q 是CD 的中点，求下列各题中x ，y 的值：(1)OQ →＝PQ →＋xPC →＋yP A →； (2)P A →＝xPO→＋yPQ →＋PD →. 【思路探究】要确定等式OQ →＝PQ →＋xPC →＋yP A →中x ，y 的值，就是看OQ →怎样用PQ →，PC →，P A →来表示，同理要确定(2)中的x ，y 的值，也需把P A →用PO→，PQ →，PD →表示出来即可．【解】 (1)如图．∵OQ→＝PQ →－PO →＝PQ →－12(P A →＋PC →) ＝PQ →－12P A →－12PC →， ∴x ＝y ＝－12.(2)∵P A →＋PC →＝2PO →，∴P A →＝2PO →－PC →. 又∵PC→＋PD →＝2PQ →，∴PC →＝2PQ →－PD →. 从而有P A →＝2PO →－(2PQ →－PD →) ＝2PO→－2PQ →＋PD → ∴x ＝2，y ＝－2.规律方法注意下面结论：设a ，b ，c 是三个不共面的向量，如果x 1a ＋y 1b ＋z 1c ＝x 2a ＋y 2b ＋z 2c ，那么必有x 1＝x 2，y 1＝y 2，z 1＝z 2.如图，在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中的x ，y ，z 的值：(1)AC′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→. (2)EA→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→. 解：(1)AC′→＝AC →＋CC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→，又AC′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→， ∴x ＝1，y ＝1，z ＝1.(2)AE →＝AA ′→＋A ′E →＝AA ′→＋12A ′C ′→＝AA ′→＋12(A ′B ′→＋A ′D ′→)＝AA ′→＋12(AB →＋AD →)＝12AD →＋12AB →＋AA ′→. 又EA →＝－AE →＝－12AD →－12AB →－AA ′→，EA →＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→， ∴x ＝－12，y ＝－12，z ＝－1. 题型二空间向量的数乘【例2】如图，点E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，其中E ，H 是中点，F ，G 是三等分点，且CF ＝2FB ，CG ＝2GD .求证：EH→与FG →为共线向量．【思路探究】要证EH →与FG →共线，根据共线向量定理只要证明EH →＝λFG→即可．【证明】 ∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点， ∴EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB → ＝12(AD →－AB →)＝12BD →. 又∵CF ＝2FB ，CG ＝2GD ， ∴CF →＝23CB →，CG →＝23CD →.33＝23(CD →－CB →)＝23BD →. ∴BD →＝32FG →. ∴EH →＝34FG →. ∴EH→与FG →为共线向量．规律方法 (1)判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a ＝λb 成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形，通过化简、计算得出a ＝λb ，从而得到a ∥b .(2)共线向量定理还可用来判定两直线平行、证明三点共线．在证明两直线平行时，先取两直线的方向向量，通过证明此两向量共线来判定两直线平行．当两共线的有向线段有公共点时，两直线即为同一直线，即此时三点共线．已知空间四边形ABCD ，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：四边形EFGH 为平行四边形．证明：如图，连接BD ，解法1：∵E ，H 分别是AB ，DA 的中点， ∴AE →＝12AB →，AH →＝12AD →，2＝12BD →.同理可得FG →＝12BD →，∴EH →＝FG →. 又点E 不在FG 上， ∴EH ∥FG 且EH ＝FG .∴四边形EFGH 为平行四边形．解法2：∵HG →＝HD →＋DG →＝12(AD →＋DC →)＝12AC →，EF →＝EB →＋BF →＝12(AB →＋BC →)＝12AC →，∴HG →＝EF →.又点H 不在EF 上，∴HG ∥EF 且HG ＝EF ， ∴四边形EFGH 是平行四边形．题型三空间向量的数量积【例3】如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，E 为侧面AB 1的中点，F 为A 1D 1的中点，试计算：(1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→； (3)EF →·FC 1→. 【思路探究】长方体的棱对应的向量模长已知，且它们之间的夹角已知，因此，可利用向量的线性运算，将其他向量的数量积运算转化为这些向量的数量积，从而达到简单运算的目的．【解】设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝4，|b |＝3，|c |＝2，a ·b＝a ·c ＝b ·c ＝0.(1)BC →·ED 1→＝b ·[12(c －a )＋b ]＝12b ·c －12a ·b ＋b 2＝|b |2＝9.(2)BF →·AB 1→＝(c －a ＋12b )·(a ＋c )＝a ·c ＋c 2－a 2－a ·c ＋12a ·b ＋12b ·c ＝c 2－a 2＝－12.(3)EF →·FC 1→＝[12(c －a )＋12b ]·(12b ＋a )＝14b ·c －14a ·b ＋14b 2＋12a ·c －12a 2＋12a ·b ＝－12a 2＋14b 2＝－234.规律方法在空间图形中计算数量积的方法步骤： (1)在几何体中求空间向量数量积的步骤： ①将相关向量用已知模和夹角的向量线性表示；②利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；③代入a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解．(2)长方体、四面体等是研究空间向量的常见载体，要熟悉其结构特点，善于挖掘隐含的垂直或特殊角等．如图，已知E 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱C 1D 1的中点，试求向量A 1C 1→与DE →夹角的余弦值．解：设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则A 1C 1→＝a ＋b ，DE →＝12a －c ，a ·b ＝a ·c ＝b ·c ＝0.设正方体的棱长为m ，则|A 1C 1→|＝2m ，|DE →|＝52m . ∵A 1C 1→·DE →＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎪⎫12a －c ＝12|a |2－a ·c ＋12a ·b －b ·c ＝12m 2， ∴cos 〈A 1C 1→，DE →〉＝12m22m ·52m ＝1010. 故向量A 1C 1→与DE →夹角的余弦值为1010.——多维探究—— 待定系数法用不共面的向量表示空间的其他向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，包括加法的平行四边形法则和三角形法则．【例4】已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为PC ，PD 上的点，且PM MC ＝21，N 为PD 中点，求满足MN→＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x ，y ，z 的值．【思路分析】结合图形，从向量MN→出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到目标向量用AB →，AD →，AP →表示出来，即可求出x ，y ，z 的值．【解】 (方法一)如图所示，取PC 的中点E ，连接NE ，则MN →＝EN →－EM→.∵EN →＝12CD →＝12BA → ＝－12AB →，EM →＝PM →－PE →＝23PC →－12PC →＝16PC →，连接AC ，则PC→＝AC →－AP →＝AB →＋AD →－AP →， ∴MN →＝－12AB →－16(AB →＋AD →－AP →) ＝－23AB →－16AD →＋16AP →， ∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.(方法二)如图所示，在PD 上取一点F ，使F 分PD →所成的比为2，连接MF ，则MN→＝MF →＋FN →，而MF →＝23CD →＝－23AB →， FN →＝DN →－DF →＝12DP →－13DP →＝16DP →＝16(AP →－AD →)， ∴MN →＝－23AB →－16AD →＋16AP →. ∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16. (方法三)如图，MN →＝ PN →－PM → ＝12PD →－23PC →＝12(P A →＋AD →)－23(P A →＋AC →)＝－12AP →＋12AD →－23(－AP →＋AB →＋AD →) ＝－23AB →－16AD →＋16AP →， ∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.已知空间四边形OABC 的棱OA ，OB ，BC 互相垂直，OA ＝OB ＝BC ＝1，N 是OC 的中点，点M 在AB 上，若AMAB ＝x ，试探究x 的值，使MN ⊥AB .解：如图，由于AMAB ＝x ，则AM→＝xAB →. ∴OM→＝(1－x )OA →＋xOB →， ON →＝12OC →＝12(OB →＋BC →)，MN →＝ON →－OM →＝12OB →＋12BC →－(1－x )OA →－xOB → ＝(x －1)OA →＋(12－x )OB →＋12BC →. 又AB→＝OB →－OA →，MN ⊥AB ， ∴MN →·AB→＝0，即[(x －1)OA →＋(12－x )OB →＋12BC →]·(－OA →＋OB →)＝0. ∵OA →，OB →，BC →互相垂直且它们长度为1，从而求12－x ＋1－x ＝0，得x ＝34.1．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量表达式DD 1→－AB →＋BC →化简后的结果是( A )A.BD 1→B.D 1B →C.B 1D →D.DB 1→ 解析：DD 1→－AB →＋BC →＝DD 1→＋(BA →＋BC →)＝DD 1→＋BD →＝BD 1→. 2．设|a |＝1，|b |＝2，且〈a ，b 〉＝120°，则(2a ＋b )2＝( D ) A ．2 3 B ．12 C ．2D ．4解析：(2a ＋b )2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝4＋4×1×2×cos120°＋4＝4. 3．已知非零向量a ，b 不平行，并且|a |＝|b |，则a ＋b 与a －b 之间的位置关系是垂直．解析：∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0， ∴(a ＋b )⊥(a －b )．4．已知在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，AB ＝AC ，求证：OA ⊥BC .证明：如图． ∵OB ＝OC ， AB ＝AC ，OA ＝OA . ∴△AOC ≌△AOB ， ∴∠AOC ＝∠AOB .∵OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →|·|OC →|·cos ∠AOC －|OA →|·|OB →|·cos ∠AOB ＝0，∴OA→⊥BC →，即OA ⊥BC .。

数学北师大版选修2-1导学案4空间向量运算的坐标表示导学案

§3.3 空间向量运算的坐标表示[学习目标]1．能将空间向量线性运算及数量积用坐标表示．(重点)2．能够利用空间向量的坐标运算求空间向量的长度与夹角．(难点)一、知识记忆与理解[自主预习]阅读教材P36-P38，完成下列问题 1．空间向量运算的坐标表示：设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则： (1)a ＋b ＝，即，空间两个向量和的坐标等于它们对应坐标的。

(2)a －b ＝，即，空间两个向量差的坐标等于它们对应坐标的。

(3)λa ＝ (λ∈R )，即，实数与空间向量数乘的坐标等于实数与向量对应坐标的。

(4)设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则a ·b＝ .即，空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的。

2．空间向量的坐标与起点和终点坐标的关系：若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB →＝。

3．空间向量平行、垂直、长度、夹角的表示：设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则 (1) 若b ≠0，则a ∥b ⇔a ＝λ b ⇔(λ∈R )；(2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔ 。

|a |＝a 2＝。

cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝。

(a ≠0，b ≠0) [预习检测]1．已知a ＝(1,2，－3)，b ＝(5，－7,8)，则2a ＋b 的坐标为( )A ．(7，－3,2)B ．(6，－5,5)C ．(6，－3,2)D ．(11，－12,13) 2．在空间直角坐标系中，点A 的坐标为(1,2,3)，点B 的坐标为(4,5,6)，则AB →＝________。

3．已知a ＝(1，－5,6)，b ＝(0,6,5)，则a 与b ( )A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向4．与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标为( )A ．(1,3,2)B ．(－1，－3,2)C ．(－1,3，－2)D ．(1，－3，－2)5．P38练习1-5二、思维探究与创新[问题探究]1、空间向量的坐标运算：探究一：(已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(1,2，－1)，则a ＋b ＝________，2a －b ________，=-→→b a 23 。

高中数学选修2-1北师大版空间向量的标准正交分解与坐标表示学案1(含答案)

§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示自主整理1.在给定的空间直角坐标系中,i,j,k为x轴,y轴,z轴正方向的单位向量,对于空间任意向量a,存在唯一一组三元有序实数(x,y,z),使得a=xi+yj+zk,我们把a=xi+yj+zk叫作a的___________.把i,j,k叫作___________.(x,y,z)叫作空间向量a的___________,记为a=___________,a=(x,y,z)叫作向量a的___________.2.在空间直角坐标系中,点P的坐标为(x,y,z),向量OP的坐标是___________.3.设a=xi+yj+zk,那么a·i=x,a·j=y,a·k=z分别称为向量a在单位向量i,j,k上的___________,向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的___________.4.一般地,若b0为b的单位向量,称a·b0=|a|cos〈a,b〉为向量a在向量b上的___________.如图,向量a在向量b上的投影为OM=|a|cos〈a,b〉.高手笔记1.空间直角坐标系是在仿平面直角坐标系的基础上,选取空间任意一点O和一个单位正交基底{i,j,k}(i,j,k按右手系排列)建立的坐标系,下面介绍空间直角坐标系及其有关的概念. (1)单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长都为1,则这个基底叫作单位正交基底,常用{i,j,k}表示.(2)空间直角坐标系在空间选一点O和一个单位正交基底{i,j,k}.以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向建立三条数轴:x轴,y轴,z轴,它们都叫坐标轴.这样我们就建立了一个空间直角坐标系O—xyz,其中点O叫原点,向量i,j,k都叫坐标向量,经过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面,它们分别是xOy平面,xOz平面,yOz平面.(3)空间直角坐标系的画法作空间直角坐标系O—xyz时,一般使用∠xOy=135°,∠yOz=90°.在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指能指向z轴的正方向,则称此坐标系为右手直角坐标系,一般使用的坐标系都是右手直角坐标系. (4)空间向量的坐标表示给定一个空间直角坐标系和向量a,其坐标向量为i,j,k,若a=a1i+a2j+a3k,则有序数组(a1,a2,a3)叫作向量a在此直角坐标系中的坐标,上式可简记为a=(a1,a2,a3).在空间直角坐标系O—xyz中,对于空间任一点A,对应一个向量OA,若OA=xi+yj+zk,则有序数组(x,y,z)叫作点A在此空间直角坐标系中的坐标,记为A(x,y,z),其中x叫点A的横坐标,y叫点A的纵坐标,z叫点A的竖坐标.写点的坐标时,三个坐标之间的顺序不可颠倒. (5)空间任一点P的坐标的确定过P作面xOy的垂线,垂足为P′,在面xOy中,过P′分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为A,C,则x=|P′C|,y=|AP′|,z=|PP′|,如图所示.2.求向量a在向量b上的投影,应先求出|a|,再求出两个向量a与b的夹角,最后计算|a|cos〈a,b〉,即为向量a在向量b上的投影,它可正,可负,也可以为零.名师解惑1.如何用坐标表示空间向量?剖析:合理地建立空间直角坐标系,当空间向量a的起点移至坐标原点时,终点的坐标就是向量a的坐标.两个向量相等是指两个向量方向相同,长度相等,而与起点的位置无关,因此,向量的坐标表示等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标,而不是一味地将向量的起点移至原点,用终点坐标表示向量坐标.2.如何求一个向量在另一个向量上的投影?剖析:求向量a在向量b上的投影,首先计算出向量a的模|a|,再求出两个向量a,b的夹角〈a,b〉,最后计算出a在向量b上的投影|a|cos〈a,b〉,由于两向量的夹角在［0,π］内,故|a|cos〈a,b〉可以是正值,可以是零,也可以是负值.讲练互动【例1】如图,在直角坐标系中,有长方体ABCD—A′B′C′D′,AB=3,BC=4,AA′=6.A'关于i,j,k的分解式;(1)写出C′的坐标,给出CA的坐标.(2)求D解析：C′的坐标的确定方法:过C′点作平面xOy的垂线,垂足为C,过C点分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为D,B点,则x=|CB|,y=|DC|,z=|CC′|.所以C′(x,y,z).解：(1)因为AB=3,BC=4,AA′=6,所以C′的坐标为(4,3,6).A=(4,3,6)=4i+3j+6k.所以C(2)因为点D′的坐标为(4,0,6),A=(4,0,6).所以D绿色通道要正确地写出点的坐标和向量的坐标及向量的标准正交分解式,首先要理解并且记准定义,其次要结合立体图形,数形结合,方能达到正确解题的目的.变式训练1.已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面,M,N 分别是AB,PC 的中点,并且PA=AD. 求,的坐标.答案:因为PA=AD=AB,且PA ⊥平面AC,AD ⊥AB, 所以设=e 1,=e 2,=e 3.以i,j,k 为坐标向量,建立空间直角坐标系A —xyz.如图.因为21++=++= =)(21DC AD PA AP MA ++++ =21-e 2+e 3+21(-e 3-e 1+e 2) =21-e 1+21e 3, 所以=(21-,0,21),=(0,1,0). 【例2】如图,已知单位正方体ABCD —A′B′C′D′.求:(1)向量A C '在CD 上的投影; (2)DC 是单位向量,且垂直于平面ADD′A′,求向量A C '在DC 上的投影.解析：|a|cos 〈a,b 〉就是向量a 在向量b 上的投影.解：(1)A C 在CD 上的投影是|A C |cos ∠A′CD=|CD |=1; (2) A C '在上的投影是|A C '|cos(π-∠A′CD)=-||=-1.绿色通道求一个向量在另一个向量上的投影 ,一定要用好投影的定义,同时要找对两个向量的夹角,这也是同学们容易出错的地方.变式训练2.如图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AB=4,AD=AA 1=2,求向量1AC 在向量1上的投影.答案:如题图,向量1AC 在向量1上的投影是 |1AC |cos ∠C 11AD =|1AD |=222222=+.。

2.3.3空间向量运算的坐标表示教案(北师大版选修2-1)

3.3空间向量运算的坐标表示●三维目标1．知识与技能(1)掌握空间向量线性运算和数量积的坐标表示．(2)能够利用空间向量的坐标运算求空间向量的长度和夹角．2．过程与方法通过坐标运算提高学生的运算能力．3．情感、态度与价值观从平面向量运算的坐标表示到空间向量运算的坐标表示，培养学生的类比、迁移能力．●重点难点重点：空间向量运算的坐标表示及空间向量模与夹角的求法．难点：空间向量的坐标运算在解决简单的立体几何问题中的应用．通过提问让学生类比平面向量的坐标运算去定义空间向量的坐标运算，在获得运算法则后，引导学生比较二者的差异．在比较中，深化学生对空间向量坐标运算的认识．为了突破难点，可设置一组不同层次的问题，引导学生从简单的做起，在求解的过程中，让学生体会空间向量的数字运算方法和空间向量的坐标运算在解决立体几何中的应用．(教师用书独具)●教学建议本节课可采用“启发探究”教学方法，根据本课教材的特点和学生的实际情况在教学中重点突出以下两点：(1)由教材的特点确立类比思维为教学的主线．(2)由学生的特点确立自主探索式的学习方法．在教学中通过创设问题情境，启发引导学生运用科学的思维方法进行自主探索．将学生的独立思考、自主探究、交流讨论等探索活动贯穿于课堂教学的全过程，突出学生的主体地位．●教学流程回顾：平面向量的坐标运算―→类比：空间向量的坐标运算―→体验：空间向量运算的应用―→总结：升华对空间向量运算的认识1．在平面向量中，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b，a－b，λa，a·b分别等于什么？【提示】a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，a·b＝x1x2＋y1y2.2．空间向量的坐标比平面向量的坐标多了一个竖坐标，如何把平面向量运算的坐标表示类比到空间向量运算中？【提示】设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)，λa＝(λx1，λy1，λz1)(λ∈R)，a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.1．空间向量运算的坐标表示设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则：(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)，即，空间两个向量和的坐标等于它们对应坐标的和．(2)a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)，即，空间两个向量差的坐标等于它们对应坐标的差．(3)λa＝(λx1，λy1，λz1)(λ∈R)，即，实数与空间向量数乘的坐标等于实数与向量对应坐标的乘积．(4)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.。

高中数学选修2-1 北师大版空间向量运算的坐标表示课后作业(含答案)

3.3 空间向量运算的坐标表示1.已知a=(1,-5,6),b=(0,6,5),则a与b( )A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向解析:0+(-5)³6+6³5=0,故a⊥b.答案:A2.下列各组向量中,不平行的是( )A.a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4)B.c=(1,0,0),d=(-3,0,0)C.e=(2,3,0),f=(0,0,0)D.g=(-2,3,5),h=(16,-24,40)解析:选项A中,b=-2a,所以a∥b;选项B中,d=-3c,所以c∥d;选项C中,0与任何向量平行.答案:D3.已知向量a=(1,3,3),b=(5,0,1),则|a-b|等于( )A.7B.C.3D.解析:|a-b|=|(1,3,3)-(5,0,1)|=|(-4,3,2)|=.答案:B4.若向量a=(1,λ,2),b=(-2,1,1),a,b夹角的余弦值为,则λ=( )A.1B.-1C.±1D.2解析:∵a=(1,λ,2),b=(-2,1,1),a,b夹角的余弦值为,又a²b=|a||b|²cos<a,b>, ∴-2+λ+2=².∴λ=±1.∵a²b=λ>0,∴λ=1.答案:A5.已知三个力F1=(1,2,1),F2=(-1,-2,3),F3=(2,2,-1),则这三个力的合力的坐标为( )A.(2,2,3)B.(0,0,0)C.D.0解析:F1+F2+F3=(1,2,1)+(-1,-2,3)+(2,2,-1)=(2,2,3).答案:A6.已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形解析:=(5,1,-7),=(2,-3,1).因为²=2³5-3³1-7³1=0,所以.所以∠ACB=90°.又因为||=5,||=,即||≠||,所以△ABC为直角三角形.答案:C7.若空间三点A(1,5,-2),B(2,4,1),C(p,3,q+2)共线,则p=,q=. 解析:由A,B,C三点共线,则有共线,即=λ.又=(1,-1,3),=(p-1,-2,q+4),所以所以答案:3 28.若=(-4,6,-1),=(4,3,-2),|a|=1,且a⊥,a⊥,则a=.解析:设a=(x,y,z),则有解此方程组得答案:9.已知a=(x,2,0),b=(3,2-x,x2),且a与b的夹角为钝角,则x的取值范围是.解析:∵a=(x,2,0),b=(3,2-x,x2),a与b的夹角为钝角.∴cos<a,b><0,∴a²b<0,∴(x,2,0)²(3,2-x,x2)<0,即3x+4-2x<0,x<-4.易知a与b不共线,∴x的取值范围为x<-4.答案:x<-410.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,求:(1)a,b,c;(2)a+c与b+c所成角的余弦值.解:(1)∵a∥b,∴,解得x=2,y=-4,故a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).又b⊥c,∴b²c=0,即-6+8-z=0,解得z=2,故c=(3,-2,2).(2)由(1)可得a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1),设向量a+c与b+c所成的角为θ,则cosθ==-.11.已知向量a=(0,-1,1),b=(2,2,1),计算:(1)|2a-b|;(2)cos a,b;(3)2a-b在a上的投影.解:(1)∵a=(0,-1,1),b=(2,2,1),∴2a-b=2(0,-1,1)-(2,2,1)=(-2,-4,1),∴|2a-b|=.(2)∵a=(0,-1,1),b=(2,2,1),∴a²b=(0,-1,1)²(2,2,1)=-2+1=-1,|a|=,|b|==3,∴cos a,b==-.(3)∵(2a-b)²a=(-2,-4,1)²(0,-1,1)=5,∴2a-b在a上的投影为.12.在Rt△ABC中,AC=BC=1,∠BCA=90°.现将△ABC沿着与平面ABC的垂直的方向平移到△A1B1C1的位置,已知AA1=2,分别取A1B1,A1A的中点P,Q.(1)求的模;(2)求cos ,cos ,并比较与的大小;(3)求证:AB1⊥C1P.解:以C为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则由已知得C(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),C'(0,0,2),P,Q(1,0,1),B1(0,1,2),A1(1,0,2),则=(1,-1,1),=(0,1,2),=(1,-1,2),=(-1,1,2),.(1)||=.(2)∵²=0-1+2=1,||=,||=,∴cos =.又∵²=0-1+4=3,,||=,∴cos =.∵0<<1,∴ ∈, ∈.又y=cos x在内递减,∴ > .(3)证明:∵²=(-1,1,2)²=0,∴,即AB1⊥C1P.备选习题1.点A(x2+4,4-y,1+2z)关于y轴的对称点是(-4x,9,7-z),则x,y,z的值依次为( )A.1,-4,9B.2,-5,-8C.2,5,8D.-2,-5,8解析:∵点A(x2+4,4-y,1+2z)关于y轴的对称点为(-4x,9,7-z),∴解得答案:B2.已知空间三点A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5).(1)求△ABC的面积.(2)求△ABC中AB边上的高.解:(1)由已知,得=(1,-3,2),=(2,0,-8),∴||=,||==2²=1³2+(-3)³0+2³(-8)=-14,∴cos<>==,∴sin<>=.∴S△ABC=|²||²sin<>=³2=3.(2)设AB边上的高为CD,则||==3,即△ABC中AB边上的高为3.3.已知关于x的方程x2-(t-2)x+t2+3t+5=0有两个实根,a=(-1,1,3),b=(1,0,-2),c=a+t b.(1)在|c|取最小值时,求t的值.(2)在(1)的情况下,求b和c的夹角的余弦值.解:(1)∵关于x的方程x2-(t-2)x+t2+3t+5=0有两个实根,∴Δ=(t-2)2-4(t2+3t+5)≥0, 即-4≤t≤-.又c=(-1,1,3)+t(1,0,-2)=(-1+t,1,3-2t),∴|c|==.∵t∈时,上述关于t的函数递减,∴t=-时,|c|取最小值.(2)当t=-时,c=.∴cos<b,c>==-.∴b和c的夹角的余弦值为-.。

高中数学选修2-1北师大版空间向量的运算学案1(含答案)

第二章空间向量与立体几何§1 从平面向量到空间向量§2 空间向量的运算第一课时自主整理1.向量是既有_________又有________的量.如果我们把问题的研究范围限定在同一平面上,称之为_________;如果把问题的研究范围扩大到空间中,称之为_________.2.空间向量有两种表示法:一种用_________表示,A 叫作向量的_________,B 叫作向量的_________;一种用a,b,c 表示,也可用_________表示.3.数学中所讨论的向量与向量的起点无关,我们称之为_________.1.空间向量的大小叫作向量的_________或_________,用||或|a|表示.5.过空间任意一点O 作向量a,b 的相等向量OA 和OB,则∠AOB 叫作向量a,b 的_________,记作_________,规定0≤〈a,b 〉≤π.当〈a,b 〉=2时,向量a 与b 垂直,记作_________. 当〈a,b 〉=0或π时,向量a 与b 平行,记作_________.6.l 是空间一直线,A,B 是直线l 上任意两点,则称为直线l 的_________.显然,与平行的任意_________a 也是直线l 的方向向量.直线的方向向量_________该直线.7.给定空间中任意一点A 和非零向量a,就可以确定_________过点A 且平行于向量a 的直线.8.如果直线l 垂直于平面α,那么把直线l 的方向向量a 叫作平面α的_________.所有与直线l 平行的非零向量都是平面α的法向量.因此,平面的法向量,但它们都是_________的,平面的法向量_________该平面.9.给定空间中任意一点A 和非零向量a,可以确定_________过点A 且垂直于向量a 的平面.10.在空间中,如果一个向量所在直线平行于一个平面,则称这个向量________于该平面.我们把平行于同一平面的一组向量称作_________,不平行于同一平面的一组向量称为_________.平行于一个平面的向量_________于该平面的法向量.11.设a 和b 是空间两个向量,过一点O 作a 和b 的相等向量OA 和OB ,根据平面向量加法的平行四边形法则,AOBC 的对角线OC 对应的向量就是a 与b 的和,记作_________.12.与平面向量类似,a 与b 的差定义为a+(-b),记作_________,其中-b 是b 的相反向量.13.空间向量加法和减法的运算律与平面向量的运算律相同.(1)结合律(a+b)+c=_________;(2)交换律a+b=_________.14.空间向量a 与一个实数λ的乘积是一个_________,记作_________.满足:(1)|λa|=_________.(2)当λ>0时,λa 与a 方向_________;当λ<0时,λa 与a 方向_________;当λ=0时,λa=0.15.空间向量的数乘运算律与平面向量的数乘运算律相同,表示如下:(1)λa=_________ (λ∈R );(2)λ(a+b)=_________,(λ+μ)a=_________(λ∈R,μ∈R );(3)(λμ)a=_________ (λ∈R ,μ∈R ).16.共线向量定理:空间两个向量a 与b 共线的充分必要条件是存在实数λ,使得a=_________或者b=_________.高手笔记1.空间向量是平面向量概念的拓展,只有大小和方向两个要素,用有向线段表示向量时,它的起点可以是空间内的任意一点,只要保证它的大小和方向不改变,它是可以自由平移的,与起点无关.数量可以比较大小,但向量不可以比较大小,向量的模是个非负实数可以比较大小.2.由向量相等的定义可以知道,对于一个向量,只要不改变它的大小和方向,是可以平行移动的,因此,用有向线段表示向量时,可以任意选择有向线段的起点.同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.3.空间向量的加法,减法运算满足平行四边形法则或三角形法则,并且空间向量的加法满足交换律和结合律.4.平行向量方向不一定相同,共线向量也不是向量必须在同一直线上.5.共线向量的充要条件强调a 为非零向量,否则b=λa 中的b 只能为0,没有研究的意义. 名师解惑1.空间向量的加法与减法如何进行运算?剖析:空间向量中两个向量的加,减可以直接用三角形法则或平行四边形法则解决.而多个向量的加减运算,通常可以利用三角形法则进行推广,在解决立体几何问题时,其中的某个向量经常多次使用三角形法则的方法用其他向量来表示,首尾顺次相接的向量如果能围成封闭的图形,那么和向量为零向量.2.共线向量定理的用途是什么?剖析:可以利用共线向量定理来判定两条直线平行,证明三点共线.证明平行时,先从两直线上取有向线段表示两个向量,然后利用向量的线性运算证明向量共线,进而可以得到线线平行,这是证明平行问题的一种重要方法.证明三点共线问题,通常不用图形,直接利用向量的线性运算即可,但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点.讲练互动【例1】已知在平行六面体ABCD —A′B′C′D′中,设=a,=b,C C '=c,试用向量a,b,c 来表示向量CA ,A C .解析：要想用a,b,c 表示所给向量,只需结合图形,充分运用空间向量加法运算即可. 答案：在平行六面体ABCD —A′B′C′D′中,四边形ABCD 是平行四边形,=+=b+a=a+b.又因为四边形ACC′A′为平行四边形, 所以A C '=+C C '=++C C '=a+b+c.绿色通道运用已知向量表示其他向量时,应充分运用向量加法,减法的三角形法则,平行四边形法则以及向量加法的交换律,结合律等,运用数形结合的数学思想解题.变式训练1.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,下列各式中运算的结果为向量1AC 的共有( ) ①++1CC ②1+11D A +11C D ③+11B B +11C B ④1AA +11B A +11C BA.1个B.2个C.3个D.4个答案：D【例2】如图,已知长方体ABCD —A′B′C′D′,化简下列向量表达式:(1)1-; (2)21AD +21-21A A '. 解析：化简向量时,一般先用平行四边形得到相等向量或相反向量,再将它们转化为具有同一起点的向量,最后利用三角形法则或平行四边形法则化简.答案：(1)A '-=A '+=A '+AD =D A .(2)设M 是线段AC′的中点,则21+21-21A ' =21AD +21+21A ' =21(AD +AB +A A ') =21C A =AM .绿色通道化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则,遇到减法时既可转化为加法,也可按减法法则进行运算,加,减之间可以相互转化.表达式中各向量系数相等时,根据数乘分配律,可以把相同的系数提到括号外面.变式训练2.已知平行六面体ABCD —A′B′C′D′,化简下列表达式: (1)+B 'B -A D ''+D D '-BC =__________; (2)A C A '-+-'=________________.答案：(1)AB (2)AD【例3】已知E,F,G ,H 分别是空间四边形ABCD 的边AB,BC,CD,DA 的中点.(1)用向量法证明BD ∥平面EFGH;(2)设M 是EG 和FH 的交点,求证:对空间任意一点O,有OM =41)(+++. 解析：为了证明BD ∥平面EFGH,只需要证明BD 与平面EFGH 内的一个向量共线即可.要证第(2)问,应充分利用共线向量定理和向量的平行四边形法则和三角形法则.答案：证明:(1)因为=2121-=- =21(AD -) =21BD . 所以EH ∥BD.又EH 属于平面EFGH,BD 不属于平面EFGH,所以BD ∥平面EFGH.(2)连结OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG ,由(1)知EH =21BD , 同理,EH 21=, 所以EH=FG.所以EH FG.所以EG,FH 交于一点M,且被M 平分. 所以)(21OG OE OM += =2121+ =21［21(+)］+21［21(+)］ =41(++), 即)(41OM +++=. 绿色通道用共线向量定理和向量的运算法及向量知识判定直线和直线平行,直线和平面平行,丰富了解题思路,方法,开阔了视野.变式训练3.V 为矩形ABCD 所在平面外一点,且 V A=VB=VC=VD,31=,VM 32=,32=. 求证:V A ∥平面PMN.证明:设VA =a ,VB =b ,VC =c ,则VD =a+c-b .由题意,知=32b -31c ,=32-31=32a -32b +31c, 所以VA =23PM +23PN . 所以∥平面PMN.又因为V A 不属于平面PMN,所以V A ∥平面PMN.。

新北师大选修2-1高中数学空间向量运算的坐标表示

4．已知 a＝(1，－5,6)，b＝(0,6,5)，则 a 与 b
A．垂直
B．不垂直也不平行பைடு நூலகம்
C．平行且同向 D．平行且反向
解析：a·b＝0－30＋30＝0，∴a⊥b.
答案：A
()
5．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，F 是 DC 的中点，求证：AD ⊥D1F. 证明：建立空间直角坐标系如图，不妨设正方体的棱长为 1，则有 D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0,1)，F0，12，0. ∴ AD＝(－1,0,0)， D1F ＝0，12，－1. ∴ AD·D1F ＝(－1,0,0)·0，12，－1＝0. ∴AD⊥D1F.
③当 x≠0 且 x≠1 时，
由 a∥b⇔1－1x2＝－x3x＝x1＋－1x⇔1x1－＋－x1x＝2＝－－33，
⇔x＝2.
综上所述，当 x＝0 或 2 时，a∥b.
(2)∵a⊥b⇔a·b＝0
⇔(1，x,1－x)·(1－x2，－3x，x＋1)＝0 ⇔1－x2－3x2＋1－x2＝0，
解得
6．已知 a＝(1，x,1－x)，b＝(1－x2，－3x，x＋1)，求满足下列条件时，实数 x 的值． (1)a∥b；(2)a⊥b. 解：(1)①当 x＝0 时，a＝(1,0,1)，b＝(1,0,1)，a＝b， ∴x＝0，满足 a∥b； ②当 x＝1 时，a＝(1,1,0)，b＝(0，－3,2)，此时 a 不平行 b，∴x≠1.
问题 1：若以 F1，F2，F3 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，驾驶室门受到的力的坐标是什么？
提示：(300,200,200 3)．问题 2：驾驶室门受到的合力有多大？提示：|F|＝500 N.

高中数学北师大版选修2-1课时作业：2.3.3 空间向量运算的坐标表示含解析

第二章 §3 课时作业16一、选择题1．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(0,1,1)，c ＝(1,0,1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，则p ·q ＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．－2解析：p ＝a －b ＝(1,0，－1)，q ＝a ＋2b －c ＝(0,3,1)， ∴p ·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1，故选A. 答案：A2．已知△ABC 的三个顶点为A(3,3,2)，B(4，－3,7)，C(0,5,1)，则BC 边上的中线长为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：设BC 中点为D ，则D(2,1,4)，又AD →＝(－1，－2，2)，∴|AD →|＝(－1)2＋(－2)2＋22＝3.答案：B3．[2014·湖北省八校联考]已知A(1,2,3)，B(2,1,2)，C(1,1,2), O 为坐标原点，点D 在直线OC 上运动，则当DA →·DB→取最小值时，点D 的坐标为( ) A ．(43，43，43)B ．(83，43，83)C ．(43，43，83)D ．(83，83，43)解析：本题主要考查空间向量的坐标运算以及数量积运算，考查函数思想．点D 在直线OC 上运动，因而可设OD →＝(a ，a,2a)，DA →＝(1－a,2－a,3－2a)，DB →＝(2－a,1－a,2－2a)，DA →·DB→＝(1－a)(2－a)＋(2－a)(1－a)＋(3－2a)(2－2a)＝6a 2－16a ＋10，所以a ＝43时DA →·DB →最小为－23，此时OD →＝(43，43，83)，故选C.答案：C4．已知A(1,0,0)、B(0，－1,1)、O(0,0,0)，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°，则λ的值为( )A ．±66B ．66C ．－66D ．± 6解析：OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)，OB →＝(0，－1，1)，由题得cos120°＝λ＋λ2·2λ2＋1＝－12，所以λ<0，整理得λ＝－66.答案：C 二、填空题5．若向量a ＝(1,1，x)，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，满足条件(c －a)·(2b)＝－2，则x ＝__________.解析：由题意得(0,0,1－x)·(2,4,2)＝－2，即2(1－x)＝－2，∴x ＝2.答案：26．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2)，若a ∥b ，则λ＝________，μ＝________.解析：∵a ∥b ，∴a ＝mb ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＋1＝6m ，0＝m (2μ－1)，2＝2m ，∴m ＝1，λ＝5，μ＝12.答案：5127．[2014·人大附中期中考试]△ABC 的三个顶点坐标分别为A(0,0，2)，B(－32，12，2)，C(－1,0，2)，则角A 的大小为________．解析：本题主要考查空间向量所成角.AB→＝(－32，12，0)，AC →＝(－1,0,0)．则cosA ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝321×1＝32，故角A 的大小为30°.答案：30° 三、解答题8．已知向量a ＝(3,1,5)，b ＝(1,2，－3)，试求一向量x ，使该向量与z 轴垂直，而且满足x ·a ＝9，x ·b ＝－4.解：设向量x ＝(t ，u ，v)，。

高二数学北师大版选修2-1教师用书第2章 3.3 空间向量运算的坐标表示 Word版含答案

空间向量运算的坐标表示．掌握空间向量线性运算及数量积的坐标表示．(重点)．能够利用空间向量的坐标运算求空间向量的长度与夹角．(难点)教材整理空间向量运算的坐标表示阅读教材～例以上的部分，完成下列问题．．空间向量运算的坐标表示设＝(，，)，＝(，，)，则：＋＝()()＋，＋，＋，即，空间两个向量和的坐标等于它们对应坐标的和．－＝(()，－，－，－)即，空间两个向量差的坐标等于它们对应坐标的差．()λ＝(λ，λ，λ)(λ∈)，即，实数与空间向量数乘的坐标等于实数与向量对应坐标的乘积．(，＝)(()设＝，，)＋＋.，，＝·，则即，空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．．空间向量的坐标与起点和终点坐标的关系，()(若，，，，)．－，－，－(，则＝)．已知＝(，－)，＝(，－)，则＋的坐标为( )．(，－)．(，－)．(，－)．(，－)【解析】＋＝(，－)＋(，－)＝(，－)＋(，－)＝(，－)．【答案】．在空间直角坐标系中，点的坐标为()，点的坐标为()，则＝.【解析】＝－＝()－()＝()．【答案】()教材整理空间向量平行、垂直、长度、夹角的表示阅读教材例以下～练习以上的部分，完成下列问题．设＝(，，)，＝(，，)，则⇔＝∥λ若()⇔≠，则＝∈)；λ(λλλ，＝，＝⊥()·⇔.＝＋＋＝⇔＝＝.〈，〉＝＝.(≠，≠)．已知＝(，－)，＝()，则与( )．不垂直也不平行．垂直．平行且反向．平行且同向【解析】·＝－＋＝，∴⊥.【答案】．与向量＝(，－)平行的一个向量的坐标为( )．(－，－)．()．(，－，－)．(－，－)【解析】∵(－，－)＝－(，－)，∴(－，－)与(，－)平行．【答案】预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：。

高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修2-1 3.3空间向量运算的坐标表示》9

以学生为主体，通过小组合作讨论的方式让学生在讨论过程中自己掌握新知识的运用，并培养学生的合作探究意识以及组织能力
学生展示
指导、鼓励学生上台展示合作成果
上台展示小组合作的成果，其他学生质疑补充
通过学生上台展示及质疑补充，提高学生自主表达能力，培养学生参与意识及数学应用能力，真正把课堂交给学生
老师点评
对学生在展示和质疑中出现的问题进行点评和总结
高中数学教学设计
编写人：吉安县第三中学邓吉泰
教学课题
《选修2-1》§2.3.3空间向量运算的坐标表示
课程类型
新课讲授
课时
一课时
教学重点
空间向量运算的坐标表示及空间向量坐标运算的应用．
教学难点
熟练应用空间向量的坐标运算解决问题
教学目标
（一）知识目标：
1、通过学生阅读教材自主思考，利用类比推理的办法推导空间向量运算的坐标表示及空间向量坐标运算的应用
教学方法
引导学生阅读课本自主探究推导出空间向量运算的坐标表示。
教学手段
多媒体教学及“161”高效课堂模式，突出学生的主体地位。
教学过程设计
教学步骤
教师活动
学生活动
设计意图
复习导入
复习平面向量运算的坐标表示及应用
课前预习，进一步对照掌握平面向量运算的坐标表示及应用。
通过平面向量运算的坐标表示引入空间向量运算的坐标表示
自主思考
指导学生阅读教材P36~38页并完成导学提纲中的表格二和表格三
阅读教材P36~38页并填写导学提纲中的表格二和表格三
通过学生自主思考，认识知识的形成过程，识记空间向量运算的坐标表示
合作探究
议疑解惑
指导学生完成合作探究3个例题，再通过小组合作解决相应问题

北师大版数学高二空间向量运算的坐标表示参考学案北师大版选修2-1

高中数学空间向量运算的坐标表示参考学案北师大版选修2-1学习目标1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式；2. 会用这些公式解决有关问题. 学习过程一、课前准备（预习教材，找出疑惑之处）复习1：设在平面直角坐标系中，A (1,3)，B (1,2)-，则线段︱AB ︱＝ . 复习2：已知()()3,2,5,1,5,1a b =-=-，求： (1)a ＋B. (2)3a －b ； (3)6A. ； (4)a ·b .二、新课导学学习探究探究任务一：空间向量坐标表示夹角和距离公式问题：在空间直角坐标系中，如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角？新知：1. 向量的模：设a ＝123(,,)a a a ，则｜a ｜＝2. 两个向量的夹角公式：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，由向量数量积定义： a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞，又由向量数量积坐标运算公式：a ·b ＝，由此可以得出：cos ＜a ,b ＞＝试试：① 当cos ＜a 、b ＞＝1时，a 与b 所成角是； ② 当cos ＜a 、b ＞＝－1时，a 与b 所成角是； ③ 当cos ＜a 、b ＞＝0时，a 与b 所成角是，即a 与b 的位置关系是，用符合表示为 . 反思：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则(1) a //B. ⇔ a 与b 所成角是 a 与b 的坐标关系为； (2) a ⊥b ⇔a 与b 的坐标关系为； 3. 两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则线段AB 的长度为：222211212()()()AB x x y y z z =-+-+-.典型例题例1. 如图,在正方体1111ABCD A B C D -中，点11,E F 分别是1111,A B C D 的一个四等分点，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值．变式：如上图,在正方体1111ABCD A B C D -中，1111113A B B E D F ==，求1BE 与1DF 所成角的余弦值．例2. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E,F 分别是111,BB D B 的中点，求证：1EF DA ⊥.变式：如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AB 的中点，求1DB 与CM 所成角的余弦值.小结：求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在合适的直角坐标系中找出两个向量的坐标，然后再用公式计算. 动手试试练1. 已知A (3,3,1)、B (1，0，5)，求： (1)线段AB 的中点坐标和长度；(2)到A 、B 两点距离相等的点(,,)P x y z 的坐标x 、y 、z 满足的条件．练2. 如图，正方体的棱长为2，试建立适当的空间直角坐标系，写出正方体各顶点的坐标，并和你的同学交流.三、总结提升学习小结1. 空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；2. 解决立体几何中有关向量问题的关键是如何建立合适的空间直角坐标系，写出向量的坐标，然后再代入公式进行计算. 知识拓展在平面内取正交基底建立坐标系后，坐标平面内的任意一个向量，都可以用二元有序实数对表示，平面向量又称二维向量.空间向量可用三元有序实数组表示，空间向量又称三维向量.二维向量和三维向量统称为几何向量. 当堂检测：1. 若a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则312123a a ab b b ==是//a b 的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不不要条件2. 已知()()2,1,3,4,2,a b x =-=-，且a b ⊥，则x ＝ .3. 已知()()1,0,0,0,1,1A B -,OA OB λ+与OB 的夹角为120°，则λ的值为（） A. 6±B. 6C. 6-D. 6± 4. 若()()2,2,0,3,2,a x b x x ==-，且,a b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是（） A. 4x <- B. 40x -<< C. 04x << D. 4x >5. 已知 ()()1,2,,,1,2a y b x =-=，且(2)//(2)a b a b +-，则（） A. 1,13x y == B. 1,42x y ==-C. 12,4x y ==- D. 1,1x y ==-课后作业：1. 如图，正方体''''ABCD A B C D -棱长为a ， (1) 求'',A B B C 的夹角； (2)求证：''A B AC ⊥.2. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点M,N 分别为棱11,A A B B 的中点，求CM 和1D N 所成角的余弦值.。

2019-2020学年高中北师大版数学选修2-1学案：2.3第2课时空间向量运算的坐标表示含解析

第2课时空间向量运算的坐标表示Q错误!错误!向量的坐标表示为我们展示了一幅美丽的画卷，那么将向量坐标化之后，向量的线性运算、数量积运算及向量平行、垂直、向量的模、夹角的坐标表示是不是更简化了？X错误!错误!1．空间向量坐标运算的法则若a＝(x1，y1，z1),b＝（x2,y2,z2)，则a＋b＝__(x＋x2，y1＋y2,z1＋z2）__；1a－b＝__(x－x2，y1－y2，z1－z2）__;1λa＝__（λx，λy1，λz1）(λ∈R)__;1空间向量平行的坐标表示为a∥b（b≠0)⇔x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)．2．空间向量坐标的确定在空间直角坐标系中，已知点A(x1，y1，z1），B（x2，y2,z2）,则错误!＝__（x2－x1,y2－y1，z2－z1）__，即一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．3．数量积的坐标表示设空间两个非零向量为a＝（x1,y1,z1），b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝__x1x2＋y1y2＋z1z2__.空间两向量的数量积等于它们__对应坐标的乘积之和__.4．空间向量长度与夹角的坐标表示设a＝(x1，y1，z1)，b＝（x2,y2，z2）,根据空间向量运算的坐标表示，我们可以得到以下结论．（1）｜a|＝a2＝__错误!__；（2）cos<a,b〉＝__错误!__(a≠0，b≠0)；（3）a⊥b⇔__x1x2＋y1y2＋z1z2＝0__.Y错误!错误!1．已知向量a＝(4，－2，－4），b＝（6，－3，2)，则下列结论正确的是( D ）A．a＋b＝(10，－5，－6) B．a－b＝(2，－1，－6)C．a·b＝10 D．|a|＝6［解析］a＋b＝（10，－5,－2）,A错误;a－b＝(2，－1,6），B错误；a·b＝4×6＋(－2)×(－3）＋（－4）×2＝22，C错误；|a｜＝42＋－22＋42＝6，故选D．2．已知a＝(2，1，－3)，b＝（4，2,λ），若a⊥b，则实数λ等于（ B ）A．－2 B．错误!C．2 D．－错误![解析] ∵a＝(2,1，－3）,b＝（4，2,λ），a⊥b，∴a·b＝8＋2－3λ＝0,解得λ＝错误!。

新北师大选修2-1高中数学空间向量运算的坐标表示

[对应学生用书P15]问题1：位移是既有大小又有方向的量，可用向量表示．那么，小刚从学校大门口到住处的总位移所对应的向量是三个位移所对应的向量的合成吗？提示：是．问题2：问题1中的位移是不在同一个平面内的位移，已不能用平面向量来刻画，应如何刻画这种位移？提示：用空间向量．问题3：若设大门口向东行走100 m为a，再向北行走600 m为b，最后乘电梯上行20 m为c ，则a ，b ，c 夹角分别是多少？提示：π2.空间向量(1)空间向量及其模的表示方法：(2)向量的夹角：①定义：过空间任意一点O 作向量a ，b 的相等向量OA 和OB ，则∠AOB 叫作向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉．②范围：[0，π]．③当〈a ，b 〉＝π2时，向量a 与b 垂直，记作a ⊥b .④当〈a ，b 〉＝0或π时，向量a 与b 平行，记作a ∥b .(3)特殊向量：如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′.问题1：在正方体的顶点为起点和终点的向量中，直线AB 的方向向量有哪些？提示：AB ，BA ，A B ''，B A ''，DC ，CD ，D C ''，C D ''.问题2：在正方体的顶点为起点和终点的向量中，与平面ABCD 垂直的向量有几个？提示：8个．向量、直线、平面(1)方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB 为直线l 的方向向量．与AB 平行的任意非零向量a 也是直线l 的方向向量．(2)法向量：如果直线l 垂直于平面α，那么把直线l 的方向向量a 叫作平面α的法向量．所有与直线l 平行的非零向量都是平面α的法向量．1．空间向量是对平面向量的拓展和提高，平面向量研究的是向量在同一平面内的平移，空间向量研究的是向量在空间的平移，空间的平移包含平面内的平移．2．直线的方向向量与平面的法向量是不唯一的，直线的方向向量都平行于该直线，平面的法向量都垂直于该平面．[对应学生用书P16][例1] ①若a ，b 是空间向量，则|a |＝|b |是a ＝b 的必要不充分条件； ②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |；③两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑤在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC ＝11A C ； ⑥空间中任意两个单位向量必相等．其中，正确的命题序号是________．[思路点拨]用空间向量的有关概念进行判断．[精解详析]以上命题①②④⑤正确．两向量若相等，必须方向相同且模相等．但相等的向量起点不一定相同，故③错；两个单位向量虽模相等，但方向不一定相同，故⑥错．[答案]①②④⑤[一点通]与平面向量一样，空间向量也有向量的模、向量的夹角、单位向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量的概念．两个向量是否相等，要看方向是否相同，模是否相等，与起点和终点位置无关．1．把空间所有单位向量归结到一个共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是()A．一个圆B．两个孤立的点C．一个球面D．以上均不正确解析：单位向量的模为1，把所有空间单位向量移到共同起点后，向量的终点到起点的距离均为1，构成了一个球面．答案：C2．下列命题中正确的个数是()①如果a，b是两个单位向量，则|a|＝|b|；②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同；③若a，b，c为非零向量，且a∥b，b∥c，则a∥c；④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：对于①：由单位向量的定义即得|a|＝|b|＝1，故①正确；对于②：共线不一定同向，故②错；对于③：正确；对于④：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内．答案：C3．如图所示的长方体中，AD＝2，AA1＝1，AB＝3.(1)试写出与AB相等的所有向量；AA的相反向量；(2)写出向量1(3)写出与向量BC 的模相等的向量； (4)写出与向量11A D 平行的向量．解：(1)与AB 相等的向量有：DC ，11D C ，1A B . (2)向量1AA 的相反向量有：1A A ，1B B ，1C C ，1D D .(3)与向量BC 的模相等的向量有：CB ，11B C ，11C B ，11A D ，11D A ，AD ，DA . (4)与向量11A D 平行的向量有：11D A ，11B C ，11C B ，BC ，CB ，AD ，DA .[例2] 如图，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，求(1)〈AB ，A B ''〉，〈AD ，D C ''〉，〈AB ，C D ''〉．(2)〈AD '，BC 〉，〈AD '，D C '〉．[思路点拨] 按空间向量夹角的定义求解，空间向量a ，b 夹角范围是[0，π]． [精解详析] (1)∵正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′， ∴AB ∥A ′B ′，AD ⊥D ′C ′，AB ∥C ′D ′.∴〈AB ，A B ''〉＝0，〈AD ，D C ''〉＝π2，〈AB ，C D ''〉＝π.(2)∵正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，∴AD ∥BC . ∴〈AD '，BC 〉＝〈AD '，AD 〉＝π4.连接AC ，则△ACD ′为等边三角形． ∴〈AD '，D C '〉＝2π3.[一点通]与求平面内两向量夹角类似，求空间两向量夹角时，采取平移的方法，把空间两向量的夹角转化为平面内某两条相交直线的角，进而用解三角形的知识求解．必须注意两向量夹角应保证两向量移至共同起点处，比如若〈AB ，AC 〉＝π4，而〈AB ，CA 〉＝3π4.4．正四面体S －ABC 中，E ，F 分别为SB ，AB 中点，则〈EF ，AC 〉＝________. 解析：如图所示，∵E ，F 为中点，∴EF ∥SA ，而△SAC 为正三角形， ∴∠SAC ＝π3，∴〈EF ，AC 〉＝2π3.答案：2π35．在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝3，AA ′＝1，AD ＝6，求〈AC ，A B '〉．解：如图，连接A ′C ′，BC ′.∵AC ＝A C ''，∴∠BA ′C ′的大小就等于〈AC ，A B '〉．由长方体的性质和三角形勾股定理知，在△A ′BC ′中 A ′B ＝AA ′2＋AB 2＝2，A ′C ′＝AB 2＋AD 2＝3， BC ′＝AD 2＋AA ′2＝7.∴cos ∠BA ′C ′＝A ′C ′2＋A ′B 2－BC ′22·A ′C ′·A ′B ＝12.∴∠BA ′C ′＝π3.即〈AC ，A B '〉＝π3.[例3] 如图，四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD为正方形且PD ＝AD ＝CD ，E ，F 分别是PC ，PB 的中点．(1)试以F 为起点作直线DE 的一个方向向量； (2)试以F 为起点作平面PBC 的一个法向量．[思路点拨] (1)只要作出过F 与DE 平行的直线即可． (2)作出过F 与平面PBC 垂直的直线即可． [精解详析] (1)连接EF .∵E ，F 分别是PC ，PB 的中点， ∴EF 綊12BC .又BC 綊AD ，∴EF 綊12AD .取AD 的中点M ，连接MF ，则由EF 綊DM 知四边形DEFM 是平行四边形， ∴MF ∥DE .∴FM 就是直线DE 的一个方向向量． (2)∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥BC . 又BC ⊥CD ，∴BC ⊥平面PCD . ∵DE 平面PCD ，∴DE⊥BC.又PD＝CD，E为PC中点，∴DE⊥PC.从而DE⊥平面PBC.∴DE是平面PBC的一个法向量．由(1)可知FM＝ED，∴FM就是平面PBC的一个法向量．[一点通]直线的方向向量有无数个，它们之间互相平行；平面的法向量也有无数个，它们之间也都互相平行且都垂直于平面．而过空间某点作直线的方向向量或平面的法向量时，可利用线面平行及线面垂直等相关知识，在该点处作出直线的平行线或平面的垂线即可．6．直线的方向向量是()A．唯一的B．相等的C．平行的D．相反的解析：与直线平行的任何非零向量都是直线的方向向量．答案：C7．下列说法中不正确的是()A．平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量B．一个平面的所有法向量互相平行C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D．如果a，b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量解析：A，B，C正确，而D中，若a∥b，虽然n⊥a，n⊥b，但n不一定是平面的法向量．答案：D8．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1中点．(1)试以E点为起点作直线AD1的方向向量；(2)试以B1点为起点作平面ABC1D1的法向量．解：(1)如图所示，取BC中点F，连EF，BC1，则EF∥BC1.又AD1∥BC1.∴EF∥AD1，∴EF为直线AD1的方向向量．(2)连B1C，则B1C⊥BC1.又AB⊥面BCC1B1，∴AB⊥B1C.∴B1C⊥面ABC1D1.B C为平面ABC1D1的法向量．∴11．空间向量是平面向量概念的拓展，也只有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，它的起点可以是空间内的任意一点，只要保证它的大小和方向不改变．它是可以自由平移的，与起点无关．数量可以比较大小，但向量不可以比较大小，向量的模是个非负实数，可以比较大小．2．由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要大小和方向分别相同，那它们就是相等向量，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．3．平行向量的方向不一定相同，表示共线向量的有向线段也不一定在同一条直线上．[对应课时跟踪训练(五)] 1．空间向量中，下列说法正确的是()A．如果两个向量的长度相等，那么这两个向量相等B．如果两个向量平行，那么这两个向量的方向相同C．如果两个向量平行，并且它们的模相等，那么这两个向量相等D．同向且等长的有向线段表示同一向量解析：只有两个向量方向相同且长度相等，才能为相等向量．故D正确．答案：D2．下列说法中正确的是()A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反B．若a是b的相反向量，则|a|＝|b|C．如果两个向量平行，则这两向量相等D．在四边形ABCD中，AB＝DC解析：模相等的两向量，方向不一定相同或相反；相反向量模相等，方向相反；平行向量并不一定相等；若AB＝DC，则四边形ABCD是平行四边形．答案：B3．在四边形ABCD中，若AB＝DC，且|AC|＝|BD|，则四边形ABCD为() A．菱形B．矩形C．正方形D．不确定解析：若AB＝DC，则AB＝DC，且AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形，又|AC|＝|BD |，即AC ＝BD ，∴四边形ABCD 为矩形．答案：B4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ACC 1A 1的法向量是( ) A ．BD B ．1BC C ．1BDD ．1A B解析：∵BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1， ∴BD ⊥面ACC 1A 1，故BD 为平面ACC 1A 1的法向量．答案：A5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以A 1为起点，以正方体的其余顶点为终点的向量中，与向量1BC 垂直的向量有________．解析：A 1B 1⊥面BCC 1B 1，∴1A B ⊥1BC ； A 1D ⊥AD 1，而AD 1∥BC 1，∴1A D ⊥1BC . 答案：1A B 1A D6．如图正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AD ，BC ，CC 1的中点，则〈EF ，GH 〉＝________.解析：连接DB ，BC1，DC 1，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， △BDC 1为等边三角形．∵E ，F ，G ，H 分别是AB ，AD ，BC ，CC 1的中点， ∴EF ∥BD ，GH ∥BC 1.∴〈EF ，GH 〉＝〈BD ，1BC 〉＝60°. 答案：60°7.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1顶点为起点或终点的向量中：(1)写出与1BB 相等的向量； (2)写出与BA 相反的向量； (3)写出与BA 平行的向量．解：(1) 1CC ，1DD ，1AA . (2)DC ，11D C ，1A B ，AB .(3)AB ，CD ，DC ，11D C ，11C D ，1A B ，11B A .8．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，1A B ＝a ，11A D ＝b ，1A A ＝c ，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1，A 1A 的中点，求〈PQ ，EF 〉，〈PQ ，GH 〉，〈GH ，FE 〉．解：由题意知，六边形EFGHPQ 为正六边形，所以〈PQ ，EF 〉＝∠HPQ ＝2π3；〈PQ ，GH 〉＝∠FGH ＝2π3；〈GH ，FE 〉等于∠QEF 的补角，即〈GH ，FE 〉＝π3.§2空间向量的运算[对应学生用书P18]在射击时，为保证准确命中目标，要考虑风速、温度等因素．其中风速对射击的精准度影响最大．如某人向正北100 m 远处的目标射击，风速为西风1 m/s.问题1：射手能否直接瞄准目标射击？提示：不能．问题2：射手应怎样瞄准目标？提示：瞄准方向为北偏西一定角度．问题3：问题2的原因是什么？提示：在射击过程中，子弹运行的实际位移是子弹与风位移的合成．问题4：空间向量的加法与平面向量类似吗？提示：类似，满足平行四边形法则．空间向量的加减法 (1)空间向量的加法：设a 和b 是空间两个向量，过一点O 作a 和b 的相等向量OA 和OB ，以OA ，OB 为边作平行四边形，则对角线OC 对应的向量OC 就是a 与b 的和，记作a ＋b ，如图．(2)空间向量的减法：a 与b 的差定义为a ＋(－b )，记作a －b ，其中－b 是b 的相反向量． (3)空间向量加减法的运算律： ①结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． ②交换律：a ＋b ＝b ＋a .a 为一空间向量．问题1：空间向量a 与一个实数λ的乘积为λa ，λa 是向量吗？提示：是．问题2：当λ＝0时，λa ＝0对吗？提示：不对，应为0.问题3：若a 与λa 方向相反， λ的取值范围是什么？提示：(－∞，0)．空间向量的数乘(1)定义：与平面向量一样，实数λ与空间向量a 的乘积仍然是一个向量，记作λa . (2)向量λa 与a 的关系：(3)空间向量的数乘运算律： ①交换律：λa ＝aλ(λ∈R)；②分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb ， (λ＋μ)a ＝λa ＋μ a (λ∈R ，μ∈R)； ③结合律：(λ μ)a ＝λ(μa )(λ∈R ，μ∈R)．(4)定理：空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充分必要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .设a ，b ，c 是任意空间向量，类比平面向量的数量积，回答以下问题．问题1：由a ·b ＝0，一定能推出a ＝0或b ＝0吗？提示：不一定，也可能〈a ，b 〉＝π2.问题2：由a ·b ＝a ·c 能得到b ＝c 吗？提示：不一定．问题3：(a ·b )c ＝a (b ·c )成立吗？提示：不一定．空间向量的数量积(1)空间两个向量a 和b 的数量积是一个数，等于|a ||b |cos 〈a ，b 〉，记作a ·b . (2)运算律：①交换律：a ·b ＝b ·a ；②分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ； ③λ(a ·b )＝(λa )·b (λ∈R)． (3)常见结论： ①|a |＝a ·a ； ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0；③cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |(a ≠0，b ≠0)．(4)对任意一个非零向量，把a|a |叫作向量a 的单位向量，记作a 0.a 0与a 同方向．与平面向量类似，空间向量的加减、数乘、数量积运算有如下特点： (1)空间向量的加减法满足平行四边形和三角形法则，结果仍是一个向量．(2)空间向量的数乘运算，结果仍是一个向量，方向取决于λ的正负，模为原向量模的|λ|倍．(3)两向量共线，两向量所在的直线不一定重合，也可能平行． (4)空间向量数量积运算的结果是一个实数．[对应学生用书P19][例1] P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形的中心O .Q 是CD 的中点，求下列各题中x ，y 的值：(1) OQ ＝PQ ＋x PC ＋y PA ； (2)PA ＝x PO ＋y PQ ＋PD .[思路点拨] 要确定等式OQ ＝PQ ＋x PC ＋y PA 中x ，y 的值，就是看OQ 怎样用PQ ，PC ，PA 来表示，同理要确定(2)中的x ，y 的值，只需把PA 用PO ，PQ ，PD 表示出来即可．[精解详析] (1)如图．∵OQ ＝PQ －PO ＝PQ －12(PA ＋PC )＝PQ －12PA －12PC ，∴x ＝y ＝－12.(2)∵PA ＋PC ＝2PO ，∴PA ＝2PO －PC . 又∵PC ＋PD ＝2PQ ， ∴PC ＝2PQ －PD .从而有PA ＝2PO －(2PQ －PD )＝2PO －2PQ ＋PD . ∴x ＝2，y ＝－2. [一点通]解决空间向量线性运算问题的方法进行向量的线性运算，实质上是在正确运用数乘运算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中．1．如图，已知空间四边形ABCD ，设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG －AB ＋AD 等于( )A.23DB B ．3MG C ．3GMD ．2MG解析：MG －AB ＋AD ＝MG ＋(AD －AB )＝MG ＋BD ＝MG ＋2MG ＝3MG .答案：B2．设E ，F 是长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中AC ，A 1D 的中点，若向量EF ＝x AB ＋y AD ＋z 1AA ，求x ＋y ＋z 的值．解：∵EF ＝EA ＋AF ＝－12AC ＋121AD＝－12(AD ＋AB )＋12(AD ＋1AA )＝－12AB ＋121AA ，∴x ＝－12，y ＝0，z ＝12.∴x ＋y ＋z ＝0.3.如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)CB ＋1BA ；(2) ＋＋121AA ；(3) 1AA －AC －CB .解：(1) CB ＋1BA ＝1CA .(2)因为M 是BB 1的中点，所以BM ＝121BB .又1AA ＝1BB ，所以＋＋121AA ＝AB ＋BM ＝AM . (3) 1AA －AC －CB ＝1CA －CB ＝1BA .向量1CA ，AM ，1BA 如图所示.[例2] 如图，点E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，其中E ，H 是中点，F ，G 是三等分点，且CF ＝2FB ，CG ＝2GD .求证：EH 与FG 为共线向量．[思路点拨] 要证EH 与FG 共线，根据共线向量定理只要证明EH ＝λFG 即可．[精解详析] ∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点， ∴EH ＝AH －AE ＝12AD －12AB ＝12(AD －AB ) ＝12BD . 又∵CF ＝2FB ，CG ＝2GD ，∴CF ＝23CB ，CG ＝23CD .∴FG ＝CG －CF ＝23CD －23CB ＝23(CD －CB ) ＝23BD . ∴BD ＝32FG .∴EH ＝34FG .∴EH 与FG 为共线向量． [一点通](1)判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a ＝λb 成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形，通过化简、计算得出a ＝λb ，从而得到a ∥b .(2)共线向量定理还可用来判定两直线平行、证明三点共线．在证明两直线平行时，先取两直线的方向向量，通过证明此两向量共线来判定两直线平行．当两共线的有向线段有公共点时，两直线即为同一直线，即此时三点共线．4．AB 与CD 共线是直线AB ∥CD 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若AB 与CD 共线，则AB ∥CD ，此时AB 与CD 可能平行也可能为同一直线；而若AB ∥CD ，则必有AB 与CD 共线．故选B.答案：B5．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，已知AB ＝2e 1＋ke 2，CB ＝e 1＋3e 2，CD ＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值．解：BD ＝CD －CB ＝e 1－4e 2 又AB ＝2e 1＋ke 2，A ，B ，D 三点共线，∴AB ＝λBD ，即2e 1＋ke 2＝λe 1－4λe 2. ∵e 1，e 2是不共线向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，k ＝－4λ.∴k ＝－8. 6.如图所示，已知四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE 与是否共线．解：因为M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD ，四边形ABEF 都是平行四边形，所以＝MA ＋AF ＋＝12＋AF ＋12FB .又因为＝＋＋＋＝－12CA ＋－－12，以上两式相加得CE ＝2，所以CE ∥，即CE 与MN 共线.[例3] ＝OB ＝OC .M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是MN 的中点，求证：OG ⊥BC .[思路点拨] 要证OG ⊥BC ，只需证OG ·BC ＝0，关键是把OG ，BC 用一组已知向量OA ，OB ，OC 表示出来．[精解详析] 如图，连接ON ，设∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝θ，又设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，则|a |＝|b |＝|c |，又OG ＝12(OM ＋ON )＝12⎣⎡⎦⎤12 OA ＋12( OB ＋OC ) ＝14(a ＋b ＋c )， BC ＝c －b ，∴OG ·BC ＝14(a ＋b ＋c )·(c －b ) ＝14(a ·c －a ·b ＋b ·c －b 2＋c 2－b ·c ) ＝14(|a |2cos θ－|a |2cos θ－|a |2＋|a |2)＝0. ∴OG ⊥BC . ∴OG ⊥BC . [一点通]1．向量的数量积是一个实数，只要知道|a|，|b|及cos 〈a ，b 〉即可用公式a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉求解．2．常用a·b ＝0证明a ⊥b ，这是向量数量积的重要应用．3．常用cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |求两向量夹角余弦值，这是向量数量积的另一个重要应用．7．设|a |＝1，|b |＝2，且〈a ，b 〉＝120°，则(2a ＋b )2＝( ) A ．2 3 B ．12 C ．2D ．4解析：(2a ＋b )2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝4＋4×1×2cos 120°＋4＝4. 答案：D8．已知非零向量a ，b 不平行，且|a |＝|b |，则a ＋b 与a －b 的位置关系是________．解析：∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0. ∴(a ＋b )⊥(a －b )．答案：垂直9.如图，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点．求下列向量的数量积：(1)AB ·AC ； (2)AD ·BD ； (3)GF ·AC ；(4)EF ·BC . 解：(1)在空间四边形ABCD 中，|AB |＝|AC |＝a ，且〈AB ，AC 〉＝60°，所以AB ·AC ＝a ·a cos 60°＝12a 2.(2)|AD |＝a ，|BD |＝a ，〈AD ，BD 〉＝60°，所以AD ·BD ＝a 2cos 60°＝12a 2. (3)|GF |＝12a ，|AC |＝a ，又GF ∥AC ，〈GF ，AC 〉＝π，所以GF ·AC ＝12a 2cos π＝－12a 2.(4)因为|EF |＝12a ，|BC |＝a ，EF ∥BD ，所以〈EF ，BC 〉＝〈BC ，BD 〉＝60°. 所以BC ·EF ＝12a 2cos 60°＝14a 2.1．在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中的表示，然后运用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并要化简到最简为止．2．用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题，一般用向量共线定理；解决垂直问题一般可转化为求向量的数量积为零．3．灵活地应用向量的数量积公式是解决空间求模、夹角的关键．[对应课时跟踪训练(六)]1.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量1BD 的是( ) ①(11A ―→－A A 1)－； ②(BC ＋1BB )－11C D ； ③(AD －AB )－21DD ；④(11D B －A A 1)＋1DD . A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④解析：(11A －A A 1)－AB ＝1AD －AB ＝1BD ，(BC ＋1BB )－11C D ＝1BD ＋11D C ＝1BD .故选A.答案：A2.如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( )A ．2BA ·B ．2AD ·BDC ．2FG ·CA D ．2·CB 解析：2BA ·AC ＝－2a 2cos 60°＝－a 2,2AD ·BD ＝2AD DA ·BD ＝2a 2cos 60°＝a 2,2FG ·CA ＝AC ·CA ＝－a 2,2EF ·CB ＝BD ·CB ＝－BD ·BC ＝－12a 2，故选B. 答案：B3．如图，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD .设M ，N 分别是BC ，CD 的中点，则AB ＋12(AC ＋BC )＝( )A ．ANB ．CNC ．BCD.12BC 解析：AB ＋12(BD ＋BC )＝AB ＋BN ＝AN .答案：A4．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB ·AC ＝AC ·AD ＝AB ·AD ＝0，则△BCD 为( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定解析：BD ＝BA ＋AD ，BC ＝BA ＋AC ，CD ＝CA ＋AD ，∴cos 〈BD ，BC 〉＝(BA ＋AD )·(BA ＋AC )|BA ＋BA |·|BA ＋AC |＝2BA | BA ＋AD ||BA ＋AC |＞0，∴〈BD ，BC 〉为锐角，同理cos 〈CB ，CD 〉＞0，∴∠BCD 为锐角，cos 〈DB ，DC 〉＞0，∴∠BDC 为锐角，即△BCD 为锐角三角形．答案：B5．如图，▱ABCD 的对角线AC 和BD 交于点E ，P 为空间任意一点，若PA ＋PB ＋PC ＋PD ＝x PE ，则x ＝________.解析：过E 作MN ∥AB 分别交BC ，AD 于点M ，N .∴PA ＋PB ＋PC ＋PD ＝(PA ＋PD )＋(PB ＋PC )＝2PN ＋2PM ＝2(PN ＋PM )＝4PE .答案：46.如图所示，在一个直二面角α－AB －β的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，且AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，则CD 的长为________．解析：∵CD ―→＝CA ―→＋AB ―→＋BD ―→＝AB ―→－AC ―→＋BD ―→，∴CD 2―→＝(AB ―→－AC ―→＋BD ―→)2＝AB 2―→＋AC 2―→＋BD 2―→－2AB ―→·AC ―→＋2AB ―→·BD ―→－2AC ―→·BD ―→＝16＋36＋64＝116，∴|CD ―→|＝229.答案：2297．在四面体O －ABC 中，棱OA ，OB ，OC 两两互相垂直，且|OA |＝1，|OB |＝2，|OC |＝3，G 为△ABC 的重心，求OG ·(OA ＋OB ＋OC )的值．解：∵OG ＝OA ＋AG ＝OA ＋13(AC ＋AB )＝13(OA ＋OB ＋OC )． ∴OG ·(OA ＋OB ＋OC )＝13(OA ＋OB ＋OC )2＝13(|OA |2＋|OB |2＋|OC |2＋2OA ·OB ＋2OA ·OC ＋2OB ·OC )＝13(1＋4＋9)＝143.8.如图，正三棱柱ABC -A1B 1C 1中，底面边长为 2.(1)设侧棱长为1，求证：AB 1⊥BC 1； (2)设AB 1与BC 1的夹角为π3，求侧棱的长．解：(1)证明：AB 1―→＝AB ―→＋BB 1―→，BC 1―→＝BB 1―→＋BC ―→. ∵BB 1⊥平面ABC ， ∴BB 1―→·AB ―→＝0，BB 1―→·BC ―→＝0. 又△ABC 为正三角形，∴〈AB ―→，BC ―→〉＝π－〈，BC ―→〉＝π－π3＝2π3.∵AB 1―→·BC 1―→＝(AB ―→＋BB 1―→)·(BB 1―→＋BC ―→) ＝AB ―→·BB 1―→＋AB ―→·BC ―→＋BB 1―→2＋BB 1―→·BC ―→ ＝|AB ―→|·|BC ―→|·cos 〈AB ―→，BC ―→〉＋BB 1―→2 ＝－1＋1＝0，∴AB 1⊥BC 1.(2)由(1)知AB 1―→·BC 1―→＝|AB ―→|·|BC ―→|·cos 〈AB ―→，BC ―→〉＋BB 1―→2＝BB 1―→2－1. 又|AB 1―→|＝AB ―→2＋BB 1―→2＝2＋BB 1―→2＝|BC 1―→|，∴cos 〈AB 1―→，BC 1―→〉＝BB 1―→2－12＋BB 1―→2＝12，∴|BB 1―→|＝2，即侧棱长为2.§3向量的坐标表示和空间向量基本定理3．1 & 3.2 空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理[对应学生用书P22]学生小李参加某大学自主招生考试，在一楼咨询处小李得知：面试地点由此向东10 m ，后向南15 m ，然后乘5号电梯到位于6楼的2号学术报告厅参加面试．设e 1是向东的单位向量，e 2是向南的单位向量，e 3是向上的单位向量．问题1：e 1，e 2，e 3有什么关系？提示：两两垂直．问题2：假定每层楼高为3 m，请把面试地点用向量p表示．提示：p＝10e1＋15e2＋15e3.标准正交基与向量坐标(1)标准正交基：在给定的空间直角坐标系中，x轴、y轴、z轴正方向的单位向量i，j，k叫作标准正交基．(2)标准正交分解：设i，j，k为标准正交基，对空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得a＝xi＋yj＋zk，叫作a的标准正交分解．(3)向量的坐标表示：在a的标准正交分解中三元有序实数(x，y，z)叫作空间向量a的坐标，a＝(x，y，z)叫作向量a的坐标表示．(4)向量坐标与投影：①i，j，k为标准正交基，a＝xi＋yj＋zk，那么a·i＝x，a·j＝y，a·k＝z.把x，y，z分别称为向量a在x轴、y轴、z轴正方向上的投影．②向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影．③一般地，若b0为b的单位向量，则称a·b0＝|a|cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影.空间中任给三个向量a，b，c.问题1：什么情况下，向量a，b，c可以作为一个基底？提示：它们不共面时．问题2：若a，b，c是基底，则空间任一向量v都可以由a，b，c表示吗？提示：可以．如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3.其中e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底．a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3表示向量a关于基底e1，e2，e3的分解．空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量a，b，c可以表示出空间任一向量；空间中的基底是不唯一的，空间任意三个不共面的向量均可作为空间向量的基底．[对应学生用书P23][例1]′D′，AB＝3，BC ＝4，AA′＝6.(1)写出C′的坐标，给出AC'关于i，j，k的分解式；(2)求BD'的坐标．[思路点拨](1)C′的坐标(也是AC'的坐标)，即为C′在x轴、y轴、z轴正方向上的投影，即|OD|，|OB||OA′|.(2)写出BD'关于i，j，k的分解式，即可求得BD'的坐标．[精解详析](1)∵AB＝3，BC＝4，AA′＝6，∴C′的坐标为(4,3,6)．∴AC'＝(4,3,6)＝4i＋3j＋6k.(2)BD'＝AD'－AB.∵AD'＝AD＋AA'＝4i＋6k，∴BD'＝AD'－AB＝－AB＋AD＋AA'＝4i－3j＋6k，∴BD'＝(4，－3,6)．[一点通]用坐标表示空间向量的方法步骤1．设{i ，j ，k }是单位正交基底，已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)解析：依题意，知p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8(i ＋j )＋6(j ＋k )＋4(k ＋i )＝12i ＋14j ＋10k ，故向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是(12,14,10)．答案：A2．已知点A 的坐标是(1,2，－1)，且向量OC 与向量OA 关于坐标平面xOy 对称，向量OB 与向量OA 关于x 轴对称，求向量OC 和向量OB 的坐标．解：如图，过A 点作AM ⊥平面xOy 于M ，则直线AM 过点C ，且CM＝AM ，则点C 的坐标为(1,2,1)，此时OC ＝(1,2,1)，该向量与OA ＝(1,2，－1)关于平面xOy 对称．过A 点作AN ⊥x 轴于N ，则直线AN 过点B ，且BN ＝AN ，则B (1，－2,1)，此时OB ＝(1，－2,1)，该向量与OA 关于x 轴对称．3.在直三棱柱ABO －A1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求DO ，1A B 的坐标．解：(1)∵DO ＝－OD ＝－(1OO ＋1O D ) ＝－[1OO ＋12(OA ＋OB )]＝－1OO －12OA －12OB ＝－4k －2i －j .∴DO ＝(－2，－1，－4)．(2)∵1A B ＝OB －1OA ＝OB －(OA ＋1AA ) ＝OB －OA －1AA ＝2j －4i －4k . ∴1A B ＝(－4,2，－4)．[例2]如图，已知单位正方体ABCD－A′B′C′D′.(1)求向量CA'在CD上的投影；(2)DC是单位向量，且垂直于平面ADD′A′，求向量CA'在DC上的投影．[思路点拨]a在b上的投影为|a|cos〈a，b〉，只要求出|a|及〈a，b〉即可．[精解详析](1)法一：向量CA'在CD上的投影为|CA'|cos〈CA'，CD〉，又正方体棱长为1，∴|CA′|＝12＋12＋12＝3，∴|CA'|＝3，∠DCA′即为CA'与CD的夹角，在Rt△A′CD中，cos∠A′CD＝13＝33，∴CA'在CD上的投影为|CA'|cos〈CA'，CD〉＝3·33＝1.法二：在正方体ABCD－A′B′C′D′中，DC⊥AD，〈CA'，CD〉＝∠DCA′.∴CA'在CD上的投影为：|CA'|cos〈CA'，CD〉＝|CA'|cos∠DCA′＝|CD|＝1.(2)CA'与DC的夹角为180°－∠A′CD，∴CA'在DC上的投影为|CA'|cos(180°－∠A′CD)＝－|CA'|cos∠D′CA＝－1.[一点通]1．求向量a在向量b上的投影，可先求出|a|，再求出两个向量a与b的夹角，最后计算|a|cos〈a，b〉，即为向量a在向量b上的投影，它可正、可负，也可以为零；也可以利用几何图形直观转化求解．2．在确定向量的夹角时要注意向量的方向，如本题中〈CA'，CD〉与〈CA'，DC〉是不同的，其和为π.4．已知i，j，k为标准正交基，a＝i＋2j＋3k，则a在i方向上的投影为()A ．1B ．－1 C.14D ．－14解析：a·i ＝|a||i |cos 〈a ，i 〉，∴|a |cos 〈a ，i 〉＝a·i|i|＝(i ＋2j ＋3k )·i ＝1. 答案：A5.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝AA 1＝2，则向量1AC 在向量1AD 上的投影为________．解析：1AC 在1AD 上的投影为|1AC |cos 〈1AC ，1AD 〉，而|1AC |＝42＋22＋22＝26，在Rt △AD 1C 1中，cos ∠D 1AC 1＝|AD 1||AC 1|＝33， ∴|1AC |cos 〈1AC ，1AD 〉＝2 2. 答案：2 2[例3] 如图所示，平行六面体ABCD －A1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.(1)证明A ，E ，C 1，F 四点共面；(2)若EF ＝x AB ＋y AD ＋z 1AA ，求x ＋y ＋z .[思路点拨] 要证明四点共面只需证明1AC 可用AE ，AF 表示即可；第(2)问中求x ＋y ＋z 只需先把EF 用AB ，AD ，1AA 表示出来，求出x ，y ，z ，再求x ＋y ＋z .[精解详析] (1)证明：1AC ＝AE ＋1EC ，又1EC ＝1EB ＋11B C ＝231BB ＋11B C ＝231AA ＋AD ，AF ＝AD ＋DF ＝AD ＋231DD ＝AD ＋231AA ，∴1EC ＝AF ， ∴1AC ＝AE ＋AF ， ∴A ，E ，C 1，F 四点共面． (2)∵EF ＝AF －AE＝AD ＋DF －(AB ＋BE ) ＝AD ＋231DD －AB －131BB＝－AB ＋AD ＋131AA ，∴x ＝－1，y ＝1，z ＝13.∴x ＋y ＋z ＝13.[一点通]1．空间向量基本定理是指用空间三个不共面的已知向量a ，b ，c 构成的向量组{a ，b ，c }可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．2．利用空间的一个基底a ，b ，c 可以表示出所有向量，注意结合图形，灵活应用三角形法则、平行四边形法则，及向量的数乘运算，表示要彻底，结果只含有a ，b ，c ，不能再有其他向量．6．空间四边形OABC 中， OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，点M 在OA 上，且OM ―→＝2MA ―→，N 为BC 中点，则MN ―→为( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12c C.12a ＋12b －23c D.23a ＋23b －12c 解析：MN ―→＝MA ―→＋AB ―→＋BN ―→ ＝13OA ―→＋OB ―→－OA ―→＋12(OC ―→－OB ―→) ＝－23OA ―→＋12OB ―→＋12OC ―→＝－23a ＋12b ＋12c .答案：B7．已知e 1，e 2，e 3是空间中不共面的三个向量，且a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3＝α a ＋β b ＋γ c ，则α＋2β＋γ＝________.解析：∵a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3＝α a ＋β b ＋γ c ， ∴e 1＋2e 2＋3e 3＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋γ＝1，α＋β－γ＝2，α－β＋γ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧α＝52，β＝－1，γ＝－12.∴α＋2β＋γ＝0. 答案：08．如图所示，已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，且1AA ＝a ，AB ＝b ，AD ＝c ，用a ，b ，c 表示如下向量：(1) 1A C ；(2)BG (G 在B 1D 1上且1B G ＝121GD )．解：(1)1A C ＝AC －1AA ＝AB ＋AD －1AA ＝－a ＋b ＋c . (2)BG ＝1BB ＋1B G ，又1B G ＝1311B D ＝13(11B A ＋11A D )＝13(AD －AB )＝13(c －b )， ∴BG ＝a －13b ＋13c.1．空间任一点P 的坐标的确定：过P 作面xOy 的垂线，垂足为P ′.在平面xOy 中，过P ′分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A ，C ，则|x |＝|P ′C |，|y |＝|AP ′|，|z |＝|PP ′|.2．空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底，基底中的三个向量e 1，e 2，e 3都不是0.3．空间中任一向量可用空间中不共面的三个向量来唯一表示．4．点A (a ，b ，c )关于x 轴、y 轴、z 轴对称点的坐标分别为(a ，－b ，－c )，(－a ，b ，－c )，(－a ，－b ，c )；它关于xOy 面、xOz 面、yOz 面、原点对称点的坐标分别为(a ，b ，－c )，(a ，－b ，c )，(－a ，b ，c )，(－a ，－b ，－c )．[对应课时跟踪训练(七)]1．给出下列命题：①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间的一个基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若BA，BM―→，BN―→不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面；④已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3 D．4解析：根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然②正确．③中由，BM―→，BN―→不能构成空间的一个基底，知，BM―→，BN―→共面．又BA，BM―→，BN―→过相同点B，知A，B，M，N四点共面．下面证明①④正确：假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使得d＝kc.∵d≠0，∴k≠0，从而c＝λk a＋μk b，∴c与a，b共面，与条件矛盾，∴d与a，b不共面．同理可证④也是正确的．于是①②③④四个命题都正确，故选D.答案：D2．如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，E是平面A′B′C′D′的中心，a＝12AA'，b＝12AB，c＝13AD，AE＝x a＋y b＋z c，则()A．x＝2，y＝1，z＝32B．x＝2，y＝12，z＝12C．x＝12，y＝12，z＝1 D．x＝12，y＝12，z＝32解析：AE＝AA'＋A E'＝AA'＋12(A B''＋A′D′―→)＝2a＋b＋32c.答案：A3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，则1AB在1CB上的投影为()A ．－22B.22C ．－ 2 D. 2解析：∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1， ∴|1AB |＝2，|AC |＝2，|1B C |＝ 2. ∴△AB 1C 是等边三角形．∴1AB 在1CB 上的投影为|1AB |cos 〈1AB ，1CB 〉＝2×cos 60°＝22.答案：B4．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是面BB 1C 1C 的中心，且1AA ＝a ，AB ＝b ，AC ＝c ，则1A D ＝( )A.12a ＋12b ＋12cB.12a －12b ＋12cC.12a ＋12b －12c D ．－12a ＋12b ＋12c解析：1A D ＝11A C ＋1C D ＝AC ＋12(1C C ＋11C B )＝c ＋12(－1AA ＋CA ＋AB )＝c －12a ＋12(－c )＋12b＝－12a ＋12b ＋12c .答案：D5．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝1，CC 1＝1，则1AC 在BA 上的投影是________．。

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