暑假班高一数学讲义第4讲
2024年新高一数学讲义(人教A版2019必修第一册)充分条件与必要条件(解析版)
第04讲充分条件与必要条件模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理(吃透教材)模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1.理解充分条件、必要条件的概念,理解充要条件的意义;2.了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系;3.培养逻辑思维能力,能够在复杂情况下运用充分条件与必要条件进行推理,解决数学问题.知识点1充分条件与必要条件1、命题(1)命题的定义:一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫命题.判断为真的语句是真命题,判断为假的语句是假命题.(2)命题的形式:中学数学中的许多命题可以写成“若p,则q”,“如果p,那么q”等形式.其中p称为命题的条件,q称为命题的结论.2、充分条件与必要条件(1)一般地,“若p ,则q ”为真命题,是指由条件p 通过推理可以得出结论q .这时,我们就说,由p 可推出q ,记作p q ⇒,并且说,p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件.(2)如果“若p ,则q ”为假命题,那么由条件p 不能推出结论q ,记作p q ¿.这时,我们就说,p 不是q 的充分条件,q 不是p 的必要条件.(3)充分条件与必要条件的关系p 是q 的充分条件反映了p q ⇒,而q 是p 的必要条件也反映了p q ⇒,所以p 是q 的充分条件与q 是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系,只是说法不同.而p 是q 的充分条件只反映了p q ⇒,与q 能否推出p 没有任何关系.3、充要条件(1)充要条件的概念:如果“若p ,则q ”和它的逆命题“若q ,则p ”均为真命题,即既有p q ⇒,又有q p ⇒,就记作p q ⇔.此时,p 既是q 的充分条件,也是q 的必要条件,我们说p 是q 的充分必要条件,简称充要条件.(2)充要条件的含义:若p 是q 的充要条件,则q 也是p 的充要条件,虽然本质上是一样的,但在说法上还是不同的,因为这两个命题的条件与结论不同.(3)充要条件的等价说法:p 是q 的充要条件又常说成是q 成立当且仅当p 成立,或p 与q 等价.4、充分条件与必要条件的传递性(1)若p 是q 的充分条件,q 是s 的充分条件,即p q ⇒,q s ⇒,则有p s ⇒,即p 是s 的充分条件;(2)若p 是q 的必要条件,q 是s 的必要条件,即q p ⇒,s q ⇒,则有s p ⇒,即p 是s 的必要条件;(3)若p 是q 的充要条件,q 是s 的充要条件,即p q ⇔,q s ⇔,则有p s ⇔,即p 是s 的充要条件.5、条件关系判定的常用结论p 与q 的关系结论p q ⇒,但q p ¿p 是q 的充分不必要条件q p ⇒,但p q ¿p 是q 的必要不充分条件p q ⇒且q p ⇒,即p q ⇔p 是q 的充要条件p q ¿且q p¿p 是q 的既不充分也不必要条件知识点2从不同角度理解充分必要性1、从命题的角度充分理解充分必要性若把原命题中的条件和结论分别记作p 和q ,则原命题与逆命题同p 与q 之间有如下关系:(1)若原命题是真命题,逆命题是假命题,则p 是q 的充分不必要条件;(2)若原命题是假命题,逆命题是真命题,则p 是q 的必要不充分条件;(3)若原命题和逆命题都是真命题,则p 和q 互为充要条件;(4)若原命题和逆命题都是假命题,则p 是q 的既不充分也不必要条件.2、从集合的角度理解充分必要性若条件p ,q 以集合的形式出现,即A ={x |p (x )},B ={x |q (x )},则由A ⊆B 可得,p 是q 的充分条件,(1)若AB ,则p 是q 的充分不必要条件;(2)若A ⊇B ,则p 是q 的必要条件;(3)若AB ,则p 是q 的必要不充分条件;(4)若A =B ,则p 是q 的充要条件;(5)若A ⊈B 且A ⊉B ,则p 是q 的既不充分也不必要条件.充分必要条件判断精髓:小集合推出大集合,小集合是大集合的充分不必要条件,大集合是小集合的必要不充分条件;若两个集合范围一样,就是充要条件的关系;知识点3充分、必要、充要条件的证明1、证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”,一般先证明一个方面,然后验证另一个方面不成立。
高一数学暑期讲义
第一讲 集合一、知识要点点拨1.集合的概念(1)含义:集合是高中数学中最原始的不定义的概念,只给出描述性的说明。
一般地,把某些指定的研究对象集在一起就成为了一个集合。
(2)集合中的每个研究对象叫做元素,通常用小写字母表示元素,大写字母表示集合。
(3)集合中元素的性质➢ 确定性:集合中的元素必须是确定的. ➢ 互异性:集合中的元素必须是互不相同的.➢ 无序性:集合中的元素是无先后顺序的,集合中的任何两个元素都可以交换位置. 2.集合与元素的关系(1)属于:如果a 是集合A 的元素,就说a 属于A ,记作a ∈A .(2)不属于(not belong to):如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于A ,记作a A ∉. 3.集合的分类(1)有限集:含有限个元素的集合 (2)无限集:含无限个元素的集合(3)空集:不含有任何元素的集合,用∅表示。
4.集合的表示(1)大写字母表示法:N 表示自然数集,*N 或+N 表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集,∅表示空集。
(2)列举法:凡是以列举法形式出现的集合,往往考察元素的互异性。
(3)描述法:具体表示集合的常用方法;要注意判断集合研究的对象。
(4)韦恩图法:抽象表示集合的常用方法。
(5)区间法。
5.集合与集合(1)子集:对于两个集合A 和B ,若集合A 中的元素都是集合B 的元素,我们就说A 是B 的子集,或A 包含于B ,记作A ⊆B ;反之,我们就说B 是A 的子集,或A 包含B ,记作B ⊆A 。
(2)真子集:如果A 是B 的子集且A ≠B ,则A 是B 的真子集。
注意:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。
6.集合的运算(1)交集:由两个集合的公共元素组成的集合,叫做这两个集合的交集,记作A B (2)并集:由两个集合所有元素组成的集合,叫做这两个集合的并集,记作B A 。
(3)补集:若用U 表示所要研究的所有元素元素构成的集合即全集,则由全集U 中所有不属于集合A 的元素构成的集合叫做全集U 中A 的补集,记作C U A 。
数学联赛高一全国数学联赛暑期班讲义第4讲证明方法综学生版
16 | 高一·数学·第4讲·联赛班·学生版 |知识点拨华罗庚天才在于积累,聪明在于勤奋.华罗庚(1910~1985,中国数学家)一生共发表论著200多种.数学中的许多定理、不等式和方法以他的名字命名.虽然聪明过人,但他从不夸耀自己的天分,而是把比“聪明”重要得多的“勤奋”与“积累”看作两把成功的钥匙.华罗庚深知培养中国青年数学家的重要性,他反复告诫青年学习数学要做到“拳不离手,曲不离口”,经常锻炼自己.他还用自己的治学经验鼓励青少年:“科学上没有平坦的大道,真理的长河有无数礁石险滩.只有不畏攀登的采药者,只有不怕巨浪的弄潮儿,才能登上高峰采得仙草,深入水底觅得骊珠!”华罗庚对自己的要求比对其他人更严格,1979年他指出:“树老易空,人老易松,科学之道,戒之以空,戒之以松.我愿一辈子从实以终,这是我对自己的鞭策,也可以说是我今后的打算.”陈省身我们欣赏数学,我们需要数学.名人名言第四讲证明方法综合运用(一)1.观察特征观察和挖掘一些隐藏的特征,对于突破问题的难点有十分重要的作用.当然要观察到问题的特征,必须要有娴熟的数学知识思维上的灵巧以及锲而不舍的精神.2.特殊化与一般化特殊化是一种以屈求伸、欲进先退的思维方法.在数学解题和数学研究中经常用到.我国著名数学家华罗庚先生就曾经指出:“善于‘退’,足够地‘退’,‘退’到最原始而不失去重要性的地方, 是学好数学的一个诀窍! ”通过特殊化,可探索出问题的正确结论.与特殊化相反,一般化就是我们为了解题的需要放开或改变一些条件的限制,把具体的个性问题转化为一般的共性问题来研究.有时,这种方法使我们视野更广阔,避免在枝节问题上的纠缠,容易触及问题的本质,给解题带来简便.3.反证4.分步推进为了解决一个比较复杂的题目,常常不能一步到位,只能把一个问题分成若干个局部问题,这些局部问题往往是层层递进的,当解题者一步一步地把这些局部问题解决了,整个问题也就解决了. 用分步推进策略解题的关键是弄清题意,设计好层层递进的解题步骤.【例1】 已知两同心圆的圆心为O (如图),过小圆上一定点M 作小圆的弦MA 和大圆的弦BMC ,且使MA BC ⊥,求证:222AB BC CA ++为定值. A M B C O【例2】 设,,,a b c d 为正实数,证明:1141664a b c d a b c d++++++≥.【例3】 如图,PQR △和P Q R '''△是两个全等的正三角形,六边形ABCDEF 的边长分别记为:112233,,,,,AB a BC b CD a DE b EF a FA b ======,求证:222222123123a a a b b b ++=++. 例题精讲16 | 高一·数学·第4讲·联赛班·学生版 |F E DCBA R 'Q 'P 'RQ P【例4】 设p 是大于3的素数,证明:21p -能被24整除.【例5】 自凸n 边形内一点向各边作高,求证至少有一个垂足在其边上而不在边的延长线上.【例6】 在一个88⨯的方格棋盘的方格中,填入从1到64这64个数.问:是否一定能够找到两个相邻的方格,它们中所填数的差大于4?【例7】()4n n≥个盘子里放的糖块总数不少于4块,从任选的两个盘子中各取1块糖,放入另一个盘子中去,称为一次操作.问能否经过有限次操作,把所有的糖块都集中到一个盘子里去?证明你的结论.1.已知a b≠,且不存在实数x,满足方程()()()()1111211a b a b abx x x++--+=+-.证明:22a ab b++等于一个常数.大显身手2.平面上有A、B、C、D四点,其中任意三点都不在一条直线上.求证:ABC△、△、ABD △中至少有一个三角形的一个内角不超过45 .△、BCDACD3.平面上给出4n≥条两两不平行的直线,并且每个交点处至少有3条直线通过,则这些直线都交于一点.16| 高一·数学·第4讲·联赛班·学生版 |。
2020新版新高一暑期衔接数学讲义
新高一衔接教材数学新版高一暑期衔接数学课程第1讲数与式1910+⨯的正整数n ,有1(1)n n ++第2讲一元二次函数与二次不等式第3讲一元二次方程与韦达定理第4讲基本不等式【内容概述】基本不等式2a bab +≤1、若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号.2、如果a,b 是正数,那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 变形: 有:a+b ≥ab 2;ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号.3、如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值42S .注:1)当两个正数的积为定值时,可以求它们和的最小值,当两个正数的和为定值时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. 2)求最值的重要条件“一正,二定,三取等” 4、常用不等式有:1)2222211a b a b ab a b++≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ; 2)a 、b 、c ∈R ,222a b c ab bc ca ++≥++(当且仅当a b c ==时,取等号); 3)若0,0a b m >>>,则b b ma a m+<+(糖水的浓度问题)。
变式1: 变式:(配凑项与系数) 1. 已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值。
2. 当时,求(82)y x x =-的最大值。
3.(耐克函数型)求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
注意:在应用基本不等式求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数()af x x x=+的单调性。
4.(用耐克函数单调性)求函数2254x y x +=+的值域。
5.(条件不等式)1)若实数满足2=+b a ,则b a 33+的最小值是 .2)已知0,0x y >>,且191x y+=,求x y +的最小值。
第4讲 一元二次方程根与系数的关系
新高一第4讲 一元二次方程及根与系数的关系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用,而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系,在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用.本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述.一、一元二次方程的根的判断式我们知道,对于一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),用配方法可以将其变形为2224()24b b ac x a a-+=.① 因为a ≠0,所以,4a 2>0.于是(1)当b 2-4ac >0时,方程①的右端是一个正数,因此,原方程有两个不相等的实数根x 1,2 (2)当b 2-4ac =0时,方程①的右端为零,因此,原方程有两个等的实数根 x 1=x 2=-2b a; (3)当b 2-4ac <0时,方程①的右端是一个负数,而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零,因此,原方程没有实数根.由此可知,一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的情况可以由b 2-4ac 来判定,我们把b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式,通常用符号“Δ”来表示.例1不解方程,判断下列方程的实数根的个数:(1) 22310x x -+= (2) 24912y y += (3) 25(3)60x x +-=例2已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=,根据下列条件,分别求出k 的范围:(1) 方程有两个不相等的实数根; (2) 方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根; (4) 方程无实数根.例3已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=,试求x 、y 的值.例4判定下列关于x 的方程的根的情况(其中a 为常数),如果方程有实数根,写出方程的实数根.(1)x 2-3x +3=0;(2)x 2-ax -1=0;二、一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个实数根1x =,2x =,则有1222b b x x a a-+===-; 221222(4)42244b b b b ac ac c x x a a a a a----====. 所以,如果ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根分别是x 1,x 2,那么x 1+x 2=b a -,x 1·x 2=c a .这一关系也被称为韦达定理.注意:以两个数x 1,x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x +x 1·x 2=0. 例5已知两个数的和为4,积为-12,求这两个数.例6已知关于x 的方程x 2+2(m -2)x +m 2+4=0有两个实数根,并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求m 的值.例8若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2+5x -3=0的两根.(1)求| x 1-x 2|的值;(2)求221211x x +的值;(3)x 13+x 23.总结:一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量,有下面的结论:若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),则| x 1-x 2|=||a (其中Δ=b 2-4ac ). 说明:利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形:222121212()2x x x x x x +=+-,12121211x x x x x x ++=,22121212()()4x x x x x x -=+-,12||x x -=例9、若实数a b ≠,且,a b 满足22850,850a a b b -+=-+=,则代数式1111b a a b --+--的值为( )例10、已知实数,,a b c 满足26,9a b c ab =-=-,则a = _____ ,b = _____ ,c = _____ .家庭作业1.一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是() A .2k > B .2,1k k <≠且 C .2k < D .2,1k k >≠且2.若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根,则1211x x +的值为( ) A .2 B .2- C .12D .92 3.已知菱形ABCD 的边长为5,两条对角线交于O 点,且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根,则m 等于( )A .3-B .5C .53-或D .53-或 4.若t 是一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根,则判别式24b ac ∆=-和完全平方式2(2)M at b =+的关系是( )A .M ∆=B .M ∆>C .M ∆<D .大小关系不能确定 5.如果方程2()()()0b c x c a x a b -+-+-=的两根相等,则,,a b c 之间的关系是 ______ .6.若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1,则k 的值是 _____ .。
暑假新高一数学衔接课程
暑假新高一数学衔接课程第一讲:代数式及恒等变形第二讲:方程与方程组第三讲:不等式与不等式组第四讲:函数及其表示第五讲:二次函数的图像与性质第六讲:二次函数在给定区间上的最值第七讲:二次方程根的分布问题第八讲:常见函数图像与性质第九讲:函数图像变换第十讲:方法篇第十一讲:思想篇第十二讲:集合附件:两套衔接教材测试卷第一讲 代数式及恒等变形1、乘法公式:(1)平方差公式 22()()a b a b a b +-=-;(2)完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+。
(3)立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+;(4)立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-;(5)三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++;(6)两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++;(7)两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-。
2、二次根式:0)a ≥的代数式叫做二次根式,化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
3、指数运算法则及推广①规定:1)∈⋅⋅⋅=n a a a a n( N *)n 个 2))0(10≠=a a ;3)11(ppp ap a a -⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭R ) ②性质:1)(0,rsr sa a a a r +⋅=>、∈s R );2)r a aa sr sr ,0()(>=⋅、∈s R );3)∈>>⋅=⋅r b a b a b a rrr ,0,0()( R )。
4、n 次根式:若存在实数x ,使得a x n =,则称n a x =为a 的n 次方根。
在实数范围内,正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数,零的奇次方根是零,负数没有偶次方根。
5、分数指数幂:nma =6、因式分解(1)提取公因式法; (2)运用公式法; (3)分组分解法;典型例题讲解1、乘法公式的应用例1:已知2=x ,计算22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++的值。
高一数学第四课知识点
高一数学第四课知识点高一数学第四课主要涉及以下几个知识点:函数、函数的性质、函数的图象、函数的增减性与最值。
一、函数的概念函数是一个数集到另一个数集的对应关系。
通俗地说,就是将一个数值输入,通过某种规则得到一个数值输出。
函数可以用公式、图表或文字描述。
函数通常表示为f(x),其中x表示自变量,f(x)表示因变量。
二、函数的性质1. 定义域和值域:函数的定义域是自变量的取值范围,值域是因变量的取值范围。
2. 单调性:函数在定义域内的任意两个数值比较大小,导出函数是单调递增的、单调递减的、还是无单调性。
3. 奇偶性:函数的奇偶性反映了函数的对称性。
若f(-x) = f(x),则函数是偶函数;若f(-x) = -f(x),则函数是奇函数;若在定义域内既没有对称轴也没有奇、偶性,则函数是一般函数。
三、函数的图象函数的图象是在坐标系中表示函数的集合。
坐标系中的横轴表示自变量,纵轴表示因变量。
根据函数的性质可以绘制函数的图象。
四、函数的增减性与最值1. 函数的增减性:函数在定义域内的两个点,若x1<x2,且f(x1)<f(x2),则函数在这个区间上是增函数。
反之,若f(x1)>f(x2),则函数在这个区间上是减函数。
2. 函数的最值:函数在定义域内能取到的最大值叫做最大值,最小值叫做最小值。
五、不等式与函数不等式与函数的关系是函数在定义域内的取值与不等式条件的关系。
通过解不等式,可以确定函数的取值范围。
六、指数函数与对数函数1. 指数函数:指数函数的自变量是指数,通常表示为y = a^x,其中a为底数,x为指数,y为结果。
2. 对数函数:对数函数是指数函数的反函数,通常表示为y = log_a(x),其中a为底数,x为真数,y为结果。
以上就是高一数学第四课的知识点概述。
通过对这些知识的学习和理解,我们可以更好地掌握函数的概念、性质以及图象,能够解决函数相关的问题,并应用到实际生活和其他学科中。
【数学联赛】高一全国数学联赛暑期班讲义:第4讲证明方法综(学生版)
第四讲证明方法综合运用(一)名人名言华罗庚天才在于积累,聪明在于勤奋.华罗庚(1910~1985,中国数学家)一生共发表论著200多种.数学中的许多定理、不等式和方法以他的名字命名.虽然聪明过人,但他从不夸耀自己的天分,而是把比“聪明”重要得多的“勤奋”与“积累”看作两把成功的钥匙.华罗庚深知培养中国青年数学家的重要性,他反复告诫青年学习数学要做到“拳不离手,曲不离口”,经常锻炼自己.他还用自己的治学经验鼓励青少年:“科学上没有平坦的大道,真理的长河有无数礁石险滩.只有不畏攀登的采药者,只有不怕巨浪的弄潮儿,才能登上高峰采得仙草,深入水底觅得骊珠!”华罗庚对自己的要求比对其他人更严格,1979年他指出:“树老易空,人老易松,科学之道,戒之以空,戒之以松.我愿一辈子从实以终,这是我对自己的鞭策,也可以说是我今后的打算.”陈省身我们欣赏数学,我们需要数学.数学是研究现实世界数量关系和空间形式的一门学科.它的内容具有高度抽象性,它的理论体系和推理方法具有严密逻辑性,它的应用具有极端广泛性.数学之所以具有如此强大的生命力,就在于数学的趣味及其无法比拟的魅力,即“数学美”.正如陈省身所说“我们欣赏数学,我们需要数学”.陈省身(Chern Shiing-shen,1911~2004,中国-美国数学家)结合微分几何与拓扑方法,先后完成了两项划时代的重要工作.其一为黎曼流形的高斯-博内公式的一般形式,另一为埃尔米特流形的示性类论.1961年当选为美国科学院院士,1963至1964年任美国数学会副主席.在国际数学家大会上多次作一小时报告,1983年荣获沃尔夫奖.2002年担任北京国际数学家大会名誉主席.知识点拨1.观察特征观察和挖掘一些隐藏的特征,对于突破问题的难点有十分重要的作用.当然要观察到问题的特征,必须要有娴熟的数学知识思维上的灵巧以及锲而不舍的精神.。
最新高三数学暑假预科讲义 第4讲 基本初等函数 基础教师版
暑期第4讲 基本初等函数考点1:指数函数一、指数运算1. n 次方根的定义一般地,如果x n =a (n ∈N ∗ , n >1),x 就叫a 的n 次方根(1)当n 为奇数时,正数的n 次方根是正数,负数的n 次方根是负数.(2)当n 为偶数时,正数的n 次方根有两个且互为相反数,负数没有n 次方根. 2. 指数运算(1)a 0=1(a ≠0);a −n =1a n (a ≠0,n ∈N +).(2)a m ⋅a n =a m+n (m,n ∈R),(a m )n =a mn (m,n ∈R),(ab)n =a n ⋅b n (n ∈R). (3)当n 是奇数时,√a n n=a ; (4)当n 时偶数时,√a n n ={a , a ≥0−a , a <0.(5)a mn =√a m n(a >0 , m , n ∈N ∗ , n >1); a −mn =√a mn>0 , m , n ∈N ∗ , n >1).二、指数函数1. 定义一般地,函数y =a x (a >0且a ≠1,x ∈R)叫做指数函数. 2. 指数函数的图象和性质对比曲线C1,C2,C3,C4分别是指函数y=a x,y=b x,y=c x,y=d x的图像:(1)由图像得b<a<1<d<c.(2)当底数大于1时,底数越大图像越靠近y轴,当底数小于1时,底数越小于靠近y轴.)x(a>0且a≠1)的图像关于y轴对称.(3)指数函数y=a x与y=(1a(4)函数值的大小比较①底数相同指数不同当底数大于1时,指数越大函数值越大.当底数小于1时指数越大函数值越小.②指数相同底数不同可采用函数图像法,底数大于1时,指数相同底数越大函数值越大,底数小于1时,指数相同底数越小函数值越大.③底数不同指数不同找中间值(一般为1),用原来的两个值与中间值比较.典例精讲【典例1】(2019•拉萨二模)已知a=0.50.8,b=0.80.5,c=0.80.8,则()A.c<b<a B.c<a<b C.a<b<c D.a<c<b【分析】利用指数函数与幂函数的单调性进行大小比较即可得答案.【解答】解:∵a=0.50.8<0.50.5,b=0.80.5>0.50.5,∴b>a,又c=0.80.8>0.50.8,∴c>a,又b=0.80.5>c=0.80.8,∴a<c<b.故选:D.【点评】本题考查有理指数幂的运算性质及幂函数的性质,是基础题.【典例2】(2018秋•兴庆区校级期末)下列各式中,正确的是()A.√(−2)2=−2B.(−√3)2=9C.√9=±3D.√(−3)2=3【分析】直接根据根指数幂的运算,即可判断.【解答】解:√(−2)2=2,(−√3)2=3,√9=3,√(−3)2=3,故选:D.【点评】本题考查了根指数幂的运算,属于基础题.【典例3】(2018秋•兴庆区校级期末)函数y=(a﹣2)a x是指数函数,则()A.a=1或a=3B.a=1C.a=3D.a>0且a≠1【分析】根据指数函数的定义求出a的值即可.【解答】解:若函数y=(a﹣2)a x是指数函数,则a﹣2=1,解得:a=3,故选:C.【点评】本题考查了指数函数的定义,熟练掌握指数函数的解析式的特点是解题的关键,本题是一道常规题.【典例4】(2018秋•兴庆区校级期末)下列是指数函数的是()A.y=(﹣4)x B.y=2x2−1C.y=a x D.y=πx【分析】本题考查了指数函数的定义,考查对应思想,是一道基础题.【解答】解:根据指数函数的解析式,A,B,C不满足,故选:D.【点评】本题考查了指数函数的定义,考查转化思想,是一道常规题.【典例5】(2015•山东)设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系()A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a【分析】利用指数函数和幂函数的单调性,可判断三个式子的大小.【解答】解:函数y=0.6x为减函数;故a=0.60.6>b=0.61.5,函数y=x0.6在(0,+∞)上为增函数;故a=0.60.6<c=1.50.6,故b<a<c,故选:C.【点评】本题考查的知识点是指数函数和幂函数的单调性,难度中档.)﹣0.8,c=ln2,则a,b,c的大小关系为【典例6】(2019•广元模拟)已知a=21.2,b=(12()A.c<a<b B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a【分析】根据指数函数以及对数函数的性质判断即可.)﹣0.8,=20.8>1>c=ln2,【解答】解:a=21.2>2>b=(12故a>b>c,故选:B.【点评】本题考查了指数函数以及对数函数的单调性问题,是一道基础题.【典例7】(2019春•定州市期中)已知函数f(x)=a x﹣2+3(a≠0),则f(x)的图象过定点()A.(0,4)B.(2,4)C.(0,3)D.(4,3)【分析】根据指数函数y=a x恒过点(0,1)即可求出.【解答】解:令x﹣2=0,即x=2,此时f(2)=1+3=4,故f(x)的图象过定点(2,4),故选:B.【点评】本题考查了指数函数的图象和性质,属于基础题.【典例8】(2018秋•兴庆区校级期末)设y1=40.9,y2=40.48,y3=0.40.48,则()A.y3>y1>y2B.y2>y1>y3C.y1>y2>y3D.y1>y3>y2【分析】根据指数函数和幂函数的单调性即可判断.【解答】解:根据指数函数的单调性可得40.9>40.48,根据幂函数的单调性可得40.48>0.40.48,故y1>y2>y3,故选:C.【点评】本题考查了指数函数和幂函数的单调性,属于基础题.【典例9】(2018秋•南康区校级月考)按复利计算利率的储蓄,存入银行2万元,如果年息3%,5年后支取,本利和应为人民币()元.A.2(1+0.3)5B.2(1+0.03)5C.2(1+0.3)4D.2(1+0.03)4【分析】由题意可得每一年的本息之和构成等比数列,且公比为1+3%,由此求得5年后支取的本利和.【解答】解:由题意可得,存入银行2万元后,每一年的本利之和构成等比数列,且公比为1+3%=1.03,故5年后支取,本利和应为人民币为2•(1+0.03)5元,故选:B.【点评】本题主要考查指数函数的性质应用,等比数列的通项公式的应用,属于中档题.【典例10】(2018秋•天山区校级期中)当x≤1时,函数y=4x﹣2x+1+2的值域为()A.[1,+∞)B.[2,+∞)C.[1,2)D.[1,2]【分析】利用换元法将函数转化为关于t的一元二次函数,利用一元二次函数的图象和性质即可求出函数的值域.【解答】解:y=4x﹣2x+1+2=(2x)2﹣2•2x+2=(2x﹣1)2+1,设t=2x,∵x≤1,∴0<t≤2,则函数等价为y=(t﹣1)2+1,∵0<t≤2,∴1≤y≤2,即函数的值域为[1,2].故选:D.【点评】本题主要考查函数值域的求法,利用换元法将函数转化为关于t的一元二次函数是解决本题的关键.【典例1】(2005•上海)方程4x+2x﹣2=0的解是0.【分析】先换元,转化成一元二次方程求解,进而求出x的值.【解答】解:令t=2x,则t>0,∴t2+t﹣2=0,解得t=1或t=﹣2(舍)即2x=1;即x=0;故答案为0.【点评】考查了指数运算,对于不是同底的指数问题,首先换成同一底数,体现了换元的思想,在换元中注意新变量的取值范围.属容易题.考点2:对数函数一、对数1. 定义一般地,对于指数式a b =N ,我们把“以a 为底N 的对数b ”记作,即b =log a N (a >0且a ≠1)其中,数a 叫做对数底数,N 叫做真数. 2. 对数运算(1)对数的运算性质:如果a >0,且a ≠1,M >0,N >0,那么: ①log a M +log a N =log a (M ⋅N);(对数的和等于积的对数) 推广:log a (N 1⋅N 2...N k )=log a N 1+log a N 2+...+log a N k ②log a M −log a N =log a MN ;(商的对数等于对数的差) ③αlog a M =log a M α(α∈R) ④log a √N n=1n log a N (2)换底公式:log b N =log a N log a b(a ,b >0,a ,b ≠1,N >0)(3)关于对数的恒等式a log a N =N log a a n =n log ab =1log b amnlog a M =log a n M m log a M log a N =log b Mlog b N二、对数函数1. 定义:函数y =log a x (a >0且a ≠1)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞),值域为实数集R .2. 对数函数y =log a x (a >0且a ≠1)的图象和性质如下表所示:3.曲线C1,C2,C3,C4分别是指函数y=log a x,y=log b x,y=log c x,y=log d x的图像:(1)由图像得0<a<b<1<d<c.(2)当底数大于1时,底数越大图像越靠近x轴,当底数小于1时,底数越小于靠近x轴.(3)函数值的大小比较①底数相同真数不同当底数大于1时,真数越大函数值越大.当底数小于1时真数越大函数值越小.②指数相同真数不同可采用函数图像法,底数大于1时,真数相同底数越大函数值越小,底数小于1时,真数相同底数越小函数值越小.③底数不同真数不同找中间值(一般为1),用原来的两个值与中间值比较.典例精讲【典例1】(2014秋•龙岩期末)若对数式log(t﹣2)3有意义,实数t的取值范围是()A.[2,+∞)B.(2,3)∪(3,+∞)C.(﹣∞,2)D.(2,+∞)【分析】根据对数式log(t﹣2)3的定义,底数大于0且不等于1,列出不等式组,求出解集即可.【解答】解:要使对数式log(t﹣2)3有意义,须{t−2>0t−2≠1;解得t>2且t≠3,∴实数t的取值范围是(2,3)∪(3,+∞).故选:B.【点评】本题考查了对数定义的应用问题,是基础题目.【典例2】(2012•北京模拟)设log a23<1(0<a<1),则a的取值范围是()A.(23,1)B.(0,1)C.(0,23)D.(0,23]【分析】因为0<a<1,1=log a a,运用对数函数的单调性得到a的范围.【解答】解:由log a23<1,得:log a23<log a a,因为0<a<1,所以a<23,取交集得:0<a<23.所以a的取值范围是(0,23).故选:C.【点评】本题考查了对数的运算性质,对数函数的单调性,是基础题.【典例3】(2019•新乡三模)设a=lg6,b=lg20,则log23=()A.a+b−1b+1B.a+b−1b−1C.a−b+1b+1D.a−b+1b−1【分析】把已知条件表示为,lg2,lg3的方程,求解即可.【解答】解:∵a=lg6=lg2+lg3,b=lg20=1+lg2,∴log23=lg3lg2=a−b+1b−1,故选:D.【点评】本题考查对数值的求法,考查计算能力,属基础题.【典例4】(2017秋•林芝县校级月考)下列函数是对数函数的是()A.y=log3(x+1)B.y=log a(2x)(a>0,且a≠1)C.y=lnxD.y=log a x2(a>0,且a≠1)【分析】根据对数函数的定义即可得出.【解答】解:根据对数函数的定义可得:只有y =lnx 为对数函数. 故选:C .【点评】本题考查了对数函数的定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 【典例5】(2018秋•肇庆期末)函数y =1ln(x−1)的定义域为( )A .(1,+∞)B .[1,+∞)C .(1,2)∪(2,+∞)D .(1,2)∪[3,+∞)【分析】根据分式的分母不为0,对数的真数大于0,建立关系式,解之即可. 【解答】解:要使函数y =1ln(x−1)有意义则{ln(x −1)≠0x −1>0解得x >1且x ≠2 ∴函数y =1ln(x−1)的定义域为(1,2)∪(2,+∞)故选:C .【点评】本题考查函数定义域的求解,属基础题,做这类题目的关键是找对自变量的限制条件.【典例6】(2016•新课标Ⅱ)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y =10lgx 的定义域和值域相同的是( ) A .y =x B .y =lgxC .y =2xD .y =√x【分析】分别求出各个函数的定义域和值域,比较后可得答案. 【解答】解:函数y =10lgx 的定义域和值域均为(0,+∞), 函数y =x 的定义域和值域均为R ,不满足要求; 函数y =lgx 的定义域为(0,+∞),值域为R ,不满足要求; 函数y =2x 的定义域为R ,值域为(0,+∞),不满足要求; 函数y =√x的定义域和值域均为(0,+∞),满足要求;故选:D . 【点评】本题考查的知识点是函数的定义域和值域,熟练掌握各种基本初等函数的定义域和值域,是解答的关键. 【典例7】(2018秋•海淀区校级期中)设a =log 25,b =log 35,c =log 32,则a ,b ,c 的大小关系为( )A .a >c >bB .a >b >cC .b >a >cD .c >a >b【分析】a ,b 分别为y =log a x ,y =log b x ,在x =5时的函数值,借助图象比大小,b ,c 借助y =log 3x 的单调性比较大小.【解答】解:由题意知a,b分别为y=log2x,y=log3x,在x=5时的函数值,由图象知a>b.因为y=log3x是增函数,所以b>c.故选:B.【点评】本题考查对数函数图象,属于简单题.【典例8】(2019•新课标Ⅰ)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a【分析】由指数函数和对数函数的单调性易得log20.2<0,20.2>1,0<0.20.3<1,从而得出a,b,c的大小关系.【解答】解:a=log20.2<log21=0,b=20.2>20=1,∵0<0.20.3<0.20=1,∴c=0.20.3∈(0,1),∴a<c<b,故选:B.【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性,增函数和减函数的定义,属基础题.【典例9】(2019•天津)已知a=log27,b=log38,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为()A.c<b<a B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b【分析】本题可根据相应的对数式与指数式与整数进行比较即可得出结果.【解答】解:由题意,可知:a=log27>log24=2,b=log38<log39=2,c=0.30.2<1,∴c<b<a.故选:A.【点评】本题主要考查对数式与指数式的大小比较,可利用整数作为中间量进行比较.本题属基础题.【典例10】(2019•乌鲁木齐三模)当0<a<1时,在同一坐标系中,函数y=a﹣x与y=log a x 的图象是()。
高一数学暑期讲义第4讲函数的奇偶性教师版
考点 2:函数奇偶性的简单应用
知识点睛
与奇偶性相关的几个问题: 奇偶性在图象范围是一种对称性的体现:如果告诉你一个函数是偶函数,已知右半边的图象,你
能否画出左边的?(可以随手给个图形为例) .若已知一个函数是奇函数,给出左边图象,能否画右边
的?(可以随手给个图形为例) .
那这个过程能解决什么问题?若一个函数是奇 /偶函数,且告诉你它在一半区间上的特点,就能反
练习 1:⑴证明: f x
4
x
1 x2
1 是偶函数.⑵证明:
g( x)
3
x
1 是奇函数. x
答案: ⑴ 先看定义域:定义域为
,0 0 , ,
fx
4
x
1
2
x
1
x4
1 x2
1
f x , ∴ f x 为偶函数.
⑵先看定义域:定义域为
,0 0 , ,
g ( x ) ( x )3 1 x
x3 1 x
g (x) . ∴ g ( x) 为奇函数.
,n
时, f (x) 是奇函数.
⑵ 当 m 1 ,n 2 时, f (x) 是奇函数.
【例 3】 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, g (x) 是定义在 R 上的偶函数,且
f ( x) g( x) 1 x2 x3 ,则 g ( x) 的解析式为(
)
A . 1 x2
B. 2 2x2
C. x2 1
2 |x 2|
1,x ≥ 0 ; ⑩ f ( x)
1,x 0
x 1,x 0 .
x 1,x 0
1 x ( x 1) ; 1x
⑴ 是奇函数但不是偶函数的有 __________________;
最新高一数学暑假预科讲义 第4讲 函数及其表示(1)拔高班教师版
目录第四讲函数及其表示(1) (2)考点1:函数的概念 (2)f x概念理解 (2)题型一:函数()题型二:求函数定义域 (3)考点2:同一函数 (5)题型三:同一函数判断 (5)课后综合巩固 (7)第四讲 函数及其表示(1)考点1:函数的概念函数的概念:设集合A 是非空的数集,对于A 中的任意实数x ,按照确定的对应法则f ,都有唯一确定的实数值y 与它对应,则这种对应关系叫做集合上的一个函数.记作()y f x x A =∈,.其中,x 叫做自变量,自变量的取值范围(数集A )叫做这个函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{()|}y f x x A =∈叫做函数的值域. 函数()y f x =也常写作函数f 或函数()fx .题型一:函数()f x 概念理解例 1.(1)已知函数2()f x x.(1)f =________,(4)f =________;当0a >时,()f a =_____________,(1)f a +=______________.(2)已知函数221()1222x x f x x x x x +-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩,≤,,≥,⑴求(π)f ;_⑵若()3f a =,求a .(3)(2017秋•九原区校级期中)设函数221(1)()2(1)x x f x x x x ⎧-=⎨+->⎩,则1()((2)f f = ) A .1516 B .2716- C .89 D .16【解答】解:函数221(1)()2(1)x x f x x x x ⎧-=⎨+->⎩,则f (2)4224=+-=, 故选:A .(4)(2018秋•日照期末)已知函数21(0)2(0)x x y x x ⎧+=⎨->⎩使函数值为5的x 的值是( )A .2-B .2或52-C .2或2-D .2或2-或52- 【解答】解:由题意,当0x 时,2()15f x x =+=,得2x =±,又0x ,所以2x =-;故选:A .(5)(2018秋•蚌山区校级期中)对于集合{|02}A x x =,{|03}B y y =,则由下列图形给出的对应f 中,能构成从A 到B 的函数的是( )A .B .C .D . 【解答】解:根据函数的定义,逐个考察各选项:对于A :不能构成,因为集合A 中有一部分元素(靠近2)x =并没有函数值,所以符合函数定义;对于B :不能构成,因为集合A 中的一个元素(如2)x =与集合B 中的两个元素对应,不符合函数定义;对于C :不能构成,因为集合A 中的一个元素(如1)x =与集合B 中的两个元素对应,不符合函数定义;对于D :能够构成,因为集合A 中的每个元素都只与集合B 中某一个元素对应,符合函数定义.故选:D .题型二:求函数定义域例2.求下列函数的定义域.①32y x x =+-;②y =;③y =;④()f x =⑤0()(3)f x x =-;⑥()f x =⑤{}|23x x x >且≠;⑥{}|21x x x -≤≥或. 例3.求下列函数的定义域:(1)223()4x f x x +=-;(2)1()2f x x-;(3)()f x =; (4)0y =.要使函数有意义,则240x -≠,即24x ≠,解得2x ≠且2x ≠-,即函数的定义域为{|2x x ≠且2}x ≠-.要使函数有意义,则1020x x +⎧⎨-≠⎩, 则12x x -⎧⎨≠⎩,即1x -且2x ≠, 即函数的定义域为{|1x x -且2}x ≠.要使函数有意义,则223050x x ⎧->⎨-⎩,即2235x x ⎧>⎨⎩, 25x ,即35x 或53x -<-,5x或53}x -<-要使函数有意义,则10||0x x x +≠⎧⎨->⎩, 则1||x x x ≠-⎧⎨>⎩,即10x x ≠-⎧⎨<⎩, 解得0x <且1x ≠-,即函数的定义域为{|0x x <且1}x ≠-.例4.求下列函数的定义域:(1)5()|2|3f x x =--;(2)1()1f x x =-(3)()f x =+∴函数()f x 的定义域为(-∞,1)(1--⋃,5)(5⋃,)+∞; 1030≠,即3x -且x ≠∴函数()f x 的定义域为[3-,1)(1⋃,)+∞; 2|040+,即x =∴函数()f x 的定义域为{2}-.考点2:同一函数同一函数:如果两个函数的定义域相同,并且对应法则完全一致,我们就称这两个函数是同一函数.题型三:同一函数判断例5.(1)下列各组函数中,表示同一函数的有________.①1y =与x y x= ;②y x =与y =③y x =与2y =;④y x =与y = ⑤y x =与00x x y x x ⎧=⎨-<⎩,≥,;⑥y =y =y y =【解答】②④⑤⑦.(2)(2018秋•龙口市校级月考)下列各组函数中,表示同一函数的是( )A .1y =与0y x =B .y x =与2x y x =C .y x =与y =D .||y x =与2y =【解答】解:A .01y x ==,(0)x ≠与1y =的定义域不相同,不是同一函数函数0)x ,两个函数的定义域和对应法则都不相同,不是同一函数.故选:C . (3)(2018秋•南关区校级月考)下列判断中:①||()x f x x =与1,0()1,0x g x x ⎧=⎨-<⎩表示同一函数; ②函数()y f x =的图象与直线1x =的交点最多有1个;③2()21f x x x =-+与是2()21g t t t =-+同一函数.正确结论的个数为( )A .0B .1C .2D .3 01,0x x <表示同一函数;显然不正确,因为两个函数的定义域不相同;②函数()y f x =的图象与直线1x =的交点最多有1个;满足函数的定义与性质,所以②正确;③2()21f x x x =-+与是2()21g t t t =-+同一函数.正确;故选:C .(4)(2016秋•鸠江区校级期中)下列说法中正确的为( )A .()y f x =与()y f t =表示同一个函数B .()y f x =与(1)y f x =+不可能是同一函数C .()1f x =与0()f x x =表示同一函数D .定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数【解答】解:对于A ,函数()y f x =与()y f t =的定义域相同,对应关系也相同, 它们表示同一个函数,所以A 正确;对于B ,函数()y f x =与(1)y f x =+,如()1y f x ==,(1)1y f x =+=,定义域都是R ,值域也相同, 它们表示同一函数,所以B 错误;对于C ,函数()1()y f x x R ==∈与0()1(0)y f x x x ===≠的定义域不同, 不是同一个函数,所以C 错误;对于D ,定义域和值域都相同的两个函数不一定是同一函数, 如正弦函数和余弦函数,它们不是同一个函数,所以D 错误. 故选:A .课后综合巩固1.(2017秋•九原区校级期中)设函数221(1)()2(1)x x f x x x x ⎧-=⎨+->⎩,则1()((2)f f = ) A .1516 B .2716- C .89 D .16【解答】解:函数221(1)()2(1)x x f x x x x ⎧-=⎨+->⎩,则f (2)4224=+-=,故选:A .2.求下列函数的定义域:(1)223()4x f x x +=-;(2)1()2f x x-;(3)()f x =; (4)0y =.要使函数有意义,则240x -≠, 即24x ≠,解得2x ≠且2x ≠-,即函数的定义域为{|2x x ≠且2}x ≠-.要使函数有意义,则1020x x +⎧⎨-≠⎩, 则12x x -⎧⎨≠⎩,即1x -且2x ≠, 即函数的定义域为{|1x x -且2}x ≠.要使函数有意义,则223050x x ⎧->⎨-⎩,即2235x x ⎧>⎨⎩, 25x ,即35x 或53x -<-,5x或53}x -<-要使函数有意义,则10||0x x x +≠⎧⎨->⎩,。
暑假补习班资料高中数学北师大版必修1 第4章 阶段复习课
第四课函数应用[核心速填]1.函数的零点(1)我们把函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.(2)方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.(3)对于连续函数y=f(x),若f(a)·f(b)<0,则在区间(a,b)内至少有一个零点.反之,不一定成立.2.二分法(1)二分法的概念每次取区间的中点,将区间一分为二,再经过比较,按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法.(2)用二分法求方程近似解的步骤:给定精度ε,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:①确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精度ε;②求区间(a,b)的中点c;③计算f(c);1)若f(c)=0,则c就是函数的零点;2)若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c)).3)若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)).④判断是否达到精度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复(2)~(4).3.解决函数应用题的步骤函数建模经历审题、建模、解模、还原四个过程.[体系构建][题型探究](1)设函数y =x 2与y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -2的图像的交点为(x 0,y 0),则x 0所在的区间是( ) 【导学号:60712395】A .(0,1)B .(1,2)C .(2,3)D .(3,4) (2)函数f (x )=x 12-⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为()A .0B .1C .2D .3[思路探究] (1)将其转化为函数的零点所在区间的判断. (2)利用零点存在性定理及函数的单调性求解.[解] (1)由⎩⎨⎧y =x 2y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -2消去y 得x 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -2令f (x )=x 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -2,则x 0是函数y =f (x )的零点.又f (1)=-1<0,f (2)=3>0,由零点存在性定理知,x 0∈(1,2).故选B.(2)因为f (0)=-1<0,f (1)=12>0,所以y =f (x )至少有一个零点.又因为y =f (x )是增函数, 所以,y =f (x )有唯一零点,故选B. [答案] (1)B (2)B[规律方法] 确定函数零点的个数有两个基本方法:利用图像研究与x 轴的交点个数或转化成两个函数图像的交点个数定性判断.[跟踪训练]1.已知函数f (x )=⎩⎨⎧2x ,x ≥2,(x -1)3,x <2若关于x 的方程f (x )=k 有两个不同的实根,则实数k 的取值范围是________.(0,1)[在同一坐标系中作出f (x )=⎩⎨⎧2x ,x ≥2,(x -1)3,x <2及y =k 的图像(如下图).可知,当0<k <1时,y =k 与y =f (x )的图像有两个交点,即方程f (x )=k 有两个不同的实根.]求32的一个近似值.(精度为0.01) 【导学号:60712396】 [思路探究] 利用转化与化归思想求解.[解] 设x =32,∴x 3-2=0,令f (x )=x 3-2,则f (x )的零点即为32的近似值,下面用二分法求解.由f(1)=-1<0,f(2)=6>0,可以把初始区间定为[1,2],用二分法逐次计算,列表如下:由于1.265 625-1.257 812 5=0.007 812 5<0.01,故区间[1.257 812 5,1.265625]上的任一值皆可看做函数f(x)的零点的近似值,即32的一个近似值是1.265625.[规律方法] 1.看清题目的精度,它决定着二分的次数.2.根据f(a0)·f(b0)<0确定初始区间,高次方程要先确定有几个解,再确定初始区间.3.初始区间的选定一般在两个整数间,不同初始区间结果是相同的,但二分的次数相差较大.4.取区间中点c,计算中点函数值f(c),确定新的零点区间,直到所取区间(a n,b n)中,a n与b n按精度要求取值相等,这个相等的近似值即为所求近似解.[跟踪训练]2.用二分法求5的近似值.(精度为0.1)[解]设x=5,则x2=5,即x2-5=0,令f(x)=x2-5.因为f(2.2)=-0.16<0.f(2.4)=0.76>0,所以f(2.2)·f(2.4)<0,说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0,取区间(2.2,2.4)的中点x1=2.3,则f(2.3)=0.29.因为f(2.2)·f(2.3)<0,∴x0∈(2.2,2.3),再取区间(2.2,2.3)的中点x2=2.25,f(2.25)=0.062 5.因为f(2.2)·f(2.25)<0,所以x0∈(2.2,2.25).由于|2.25-2.2|=0.05<0.1,所以5的近似值可取为2.25.情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时.研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时)【导学号:60712397】[思路探究]理解题意―→列出函数关系式―→求出最值[解](1)由题意知:当0≤x≤20时,v(x)=60;当20≤x≤200时,设v(x)=ax+b,由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a +b =0,20a +b =60,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-13,b =2003.故函数v (x )的表达式为v (x )=⎩⎨⎧60, 0≤x <20,13(200-x ), 20≤x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )=⎩⎨⎧60x , 0≤x <20,13x (200-x ), 20≤x ≤200.当0≤x ≤20时,f (x )为增函数,故当x =20时,其最大值为60×20=1 200; 当20≤x ≤200时,f (x )=13x (200-x )=-13(x -100)2+10 0003.所以,当x =100时,f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 0003.又1 200<10 0003,所以当x =100时,f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333,即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3 333辆/小时.[规律方法] 1.解函数应用题可归纳为四步: (1)读题;(2)建模;(3)求解;(4)还原.其中“建模”是最关键的一步.建模就是将实际问题数学化,准确建模的前提是了解常见的函数模型.2.函数是重要的数学模型,对于函数模型的应用,一方面是利用已知的函数模型解决问题;另一方面是根据实际问题建立恰当的函数模型,并利用所得的函数模型解释有关现象,或对发展趋势进行预测.[跟踪训练]3.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=k3x+5(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.[解](1)由题设,每年能源消耗费用C(x)=k3x+5,再由C(0)=8,得k=40,因此C(x)=403x+5.而建造费用为C1(x)=6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+C1(x)=20×403x+5+6x=8003x+5+6x(0≤x≤10).(2)在f(x)=8003x+5+6x中,令3x+5=t,则3x=t-5,∴g(t)=800t+2t-10=2⎝⎛⎭⎪⎫t+400t-10,∵0≤x≤10,∴t∈[5,35],由函数的单调性知,g(t)在t∈(0,20]上是减函数,在[20,35]上是增函数,∴g(t)在t=20时有最小值.∴当3x+5=20,即x=5时,f(x)min=70.∴当隔热层修建5 cm厚时,总费用达到最小值70万元.设a ∈R ,lg(3-x )=lg(a -x )的实根的个数. 【导学号:60712398】[思路探究] 先将对数方程转化为二次方程,再将参数a 与未知数x 分离,进一步转化为两函数图像交点的个数问题.[解] 原方程可化为 ⎩⎪⎨⎪⎧x -1>0,3-x >0,(x -1)(3-x )=a -x ,即⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3,a =-x 2+5x -3画出函数y =-x2+5x -3,(1<x <3),的图像,如下:所以,当a <1,或a >134时,无解; 当a =134,或1≤a <3时,一解; 当3≤a <134时,两解.[规律方法] 转化是将数学命题由一种形式转向另一种形式的转换过程;化归是将待解决的问题通过某种转化的过程,归结为一类已解决或比较容易解决的问题.在解决函数问题时,常进行数与形或数与数的转化,从而达到解决问题的目的.[跟踪训练]4.已知函数f (x )=mx 2-x -1在区间(0,1)内有零点,求实数m 的取值范围.[解] 令f (x )=0,得mx 2-x -1=0. 又x ∈(0,1),则m =⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2+1x,令t =1x ,则t ∈(1,+∞),∴m =t 2+t =⎝ ⎛⎭⎪⎫t +122-14,∴m >2.。
高一数学暑假学习材料04
暑期专题辅导材料四高一新课 第一章 集 合集合论是整个现代数学的基础之一,高中教材中的集合概念属朴素集合论的初步,主要学习集合的基本概念,掌握集合的语言。
这种语言较之普通语言能更准确、简练、清晰地表达数学知识和逻辑联系,有利于加深对知识的理解和数学思维能力的提高。
这一部分的知识有三段,集合及其表示方法,元素与集合的关系(属于、不属于);集合与集合的关系(包含、相等),子集、空集的概念;集合的运算(交、并、补),交集、并集、补集的概念。
本节概念多,符号多,要注重辨析概念之间的差异和联系。
集合中最基本与最重要的概念是集合的子、交、并、补的意义。
熟练地正确使用各种符号,是我们必须掌握的基本技能。
集合的运算,既是重点又是难点。
灵活地运用集合知识,深刻理解集合语言,强化集合语三种不同表达方式(普通语言、符号语言、图象语言即韦恩图)的互译训练,处理和解决内容广泛的数学问题,是我们学习这一节内容的目的。
1.1 集合 1.2 子集、全集、补集 1.3 交集、并集一、知识点解析(一)集合 1.集合的概念集合是数学中最原始的概念之一,它和几何中的点、线、面一样,都是不加定义的,一组对象的全体形式一个集合,也简称集。
集合的元素具有三个特性:确定性:任意给定的一个对象,都可判定它是不是某一给定集合的元素。
如圆周率属于实数集,但不属于有理数集。
而“好人”,“著名科学家”不能构成数学意义上的集合。
互异性:给定的集合中若有两个或两个以上的元素,则这集合中任两个元素都是不相同的对象,即任一集合中元素无重复现象。
如方程0122=+-x x 的解集为{1}。
无序性:集合中的元素是不排序的。
例如集合{a,b}也可写作{b,a}。
集合中的元素不一定只是数,还可以是任意的具体确定的事物,例如{,某某,某某,某某}2.集合的表示法列举法:把集合中的每一个元素列举出来。
当集合中的元素较少时,可用列举法。
有时,规律性强的无限个数也可用列举法表示。
联赛新高一暑假第4讲(学生版)
在数学竞赛中,与正整数有关的命题常常用到数学归纳法.数学归纳法的基本形式有以下几种:1.第一数学归纳法设()P n 是一个含正整数n 的命题,如果 (1)(1)P 成立;(2)在()P k 成立的情况下,可证明(1)P k +成立, 那么()P n 对任意正整数n 成立.显然第一数学归纳法不局限于起点为1的形式.故我们还有以下对第一数学归纳法的推广: 设()P n 是一个含正整数n 的命题,如果 (1)0()P n 成立;(2)在()P k 成立0()k n ≥的情况下,可证明(1)P k +成立, 那么()P n 对任意大于等于0n 正整数n 成立.2.第二数学归纳法设()P n 是一个含正整数n 的命题,如果 (1)(1)P 成立;(2)在()P m 对所有满足m k ≤的m 成立的情况下,可证明(1)P k +成立, 那么()P n 对任意正整数n 成立.类似的,第二数学归纳法的起点也不局限于1.3. 最小数原理:自然数集N 的任一非空子集T 必有最小元素.事实上,第一、第二数学归纳法与最小数原理的关系十分密切,本讲的例题中将有体现.虽然存在某种等价性,但具体情况的应用有其各自优劣势.数学归纳法的应用十分广泛,而且在许多情况下,应用时需要一些必要的变体,比如主动加强命题,灵活选取归纳对象,灵活选取起点,灵活调整归纳跨度等等.本节主要介绍第一、第二数学归纳法、最小数原理,并熟悉基本方法和概念.本讲概述第4讲 归纳与演绎(2)数学归纳法(1)【例1】 指出下面的证明错在哪里: “命题 对一切自然数n ,1n n -= (1) 证明 假设(1)对n 成立,两边同时加上1得 1n n =+ (2)即将(2)中n 换为1n +时,等式依然成立.因此(1)对于一切自然数n 成立.”【例2】 设n 为自然数,证明:111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++.(1)【例3】 n 为自然数,1n n +与()1nn +哪一个大?【例4】 设5n >,证明每一个正方形可以分为n 个正方形.例题精讲【例5】 证明在3n ≥时,2n 可以表示成227x y +,其中,x y 均为奇数.【例6】 在n n ⨯的矩形(数表)中有1n -个元素为0,其余元素不为0.证明总可通过行与行、列与列的对调,将0全部移到主对角线(左上至右下)的下方(不包括主对角线).【例7】 证明任意正的真分数mn可以表示为不同的自然数的倒数之和.【例8】 求证:第n 个素数(将素数从小到大编上序,2算作第一个素数)n p 小于22n.【例9】 已知数列{}n r 满足:11212,1(2,3,)n n r r r r r n -==+=.正整数12,,,n a a a 满足111nk k a =<∑.求证:1111n nk k k k a r ==≤∑∑.【例10】 设,a b 为自然数.已知41ab -整除()2a b -,证明:a b =.1. 证明二项式定理:1121211()nn n n n n n n n n a b a C a b C a b C ab b ----+=+++++2. 证明:44432(1)12(691)30n n n n n n ++++=++-大显身手3. 设,,,αβλ均大于1-,并且正负相同(约定0既可以当正也可以为负).证明伯努利不等式:(1)(1)(1)1αβλαβλ+++≥++++特别的,当1x >-时,对任意自然数n ,(1)1nx nx +≥+.4. 用两种不同的办法证明:设01101,1,().n na x x a n N x +<<==+∈证明:对一切*n N ∈,有1n x >.5. 2n粒糖围成一个圆圈,依顺时针次序编上码1,2,,2n .自1开始,每隔1粒取走1粒,陆续取走第1,3,5,粒,最后剩下1粒.它的码是多少?6. n 粒糖围成一个圆圈,依顺时针次序编上码1,2,,n .自1开始,每隔1粒取走1粒,陆续取走第1,3,5,粒,最后剩下1粒.它的码是多少?7. 实数数列12,,a a 满足,,i j i j a a a i j +≤+∈N , (1)证明:对任意n ∈N ,都有32123nn a a a a a n++++≥(2)8. 设2102nx x x n<≤≤≤,110n n y y y -<≤≤≤,证明:2211111()()(())4n nnk k k k k k k k k k x y y x x x y -===≤-∑∑∑,(1) 其中00x =.9. 已知对任意自然数n ,0n a >,且2311nn i i i i a a ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑. 证明:n a n =.10. 对任意自然数1n >,证明有n 个自然数12,,,n a a a ,使得||(,)i j i j a a a a -=.其中(a ,b )表示a ,b 的最大公约数.。
高一数学暑假讲义
目录第1讲集合的含义及其表示 (1)第2讲集合的子集与补集 (6)第3讲解不等式 (11)第4讲交集与并集(一) (16)第5讲交集与并集(二) (21)第6讲函数的概念及定义域 (26)第7讲函数的解析式 (31)第8讲函数的值域(一) (36)第9讲函数的值域(二) (41)第10讲函数的单调性 (46)第11讲函数的奇偶性 (51)第12讲函数习题课 (56)第13讲分数指数幂 (61)第14讲指数函数 (66)第15讲对数(一) (71)第16讲对数(二) (76)第17讲对数函数 (81)第一讲 集合的含义及其表示【知识要点】1.集合的定义2.集合元素的特征: ①确定性;②互异性;③无序性3.集合的表示方法: ①列举法;②描述法;③文氏图法;④特殊集合4.元素与集合的关系:①属于关系,用“∈”表示;②不属于关系,用“∉”表示【典型例题】例1.判断下列各组对象能否构成集合.(1)不小于2008且不大于2012的所有正整数;(2)比较矮的人(3)身高超过170cm 的人(4)方程2102x x -+=的实根;例2.元素互异性的检验问题(1)设{}24,3,A a a =-,且A ∈9,求实数a 的值.(2)已知2是集合{}21,,x x x -中的元素,试求出x 的值.例3.集合的表示方法(1)用列举法表示集合{}234A x x x =+=. (2)用列举法表示集合{}24,,B y y x x y N ==-∈. (3)用列举法表示集合(){}2,4,,C x y y x x y N ==-∈. (4)用列举法表示集合6,3D x Z x N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭. (5)用描述法表示100内被3整除余2的正整数所组成的集合P(6)平面直角坐标系内在x 轴上方的点组成的集合例4. 已知集合{}R x R a x ax x A ∈∈=++=,,0122.(1)若A 是空集,求a 的取值范围.(2)若A 是单元素集,求a 的值.(3)若A 中至多只有一个元素,求a 的取值范围.例5.设集合{},,P x y x y xy =-+,{}2222,,0Q x y x y =+-,若P Q =,求,x y 的值及集合P 、Q .例6.(1)已知集合{}2,,0,,,1b b a Q b b a P +=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=且Q P =.求20072007b a +的值.(2)已知{}{}2,,1,21,1,1r r B d d A =++=,其中1,0≠≠r d ,当r d ,满足什么条件时, B A =?并求出这种情形下的集合A1.下列各组对象不能形成集合的是( )A .高一全体女生B .高三(1)班家长全体C .高中所有课程D .高一(1)班中个子较高的学生2.下列表述中正确的是( )A.{}0=∅B.{}{}1,33,1=C.{}∅=∅D.0N ∉3.定义集合运算:A ⊙B={}B y A x y x xy Z Z ∈∈+=,);(,其中{}{}3,2,1,0==B A ,则集合A ⊙B 的所有元素之和为( )A .0B .6C .12D .18 4.,a b 均为非零实数,且a b y a b=+,则y 可能取值的集合为 5.已知集合{}33,)1(,222++++=a a a a A ,若1A ∈,求a 的值.6.设P 、Q 为两个非空数集,定义集合{|,}P Q a b a P b Q +=+∈∈,若{0,2,5},P = }6,2,1{=Q ,则P Q +中元素的个数是1.下列给出的对象中,能表示集合的是( )A.一切很大的数B.无限接近零的数C.聪明的人D.方程22-=x 的实数根2.集合{5|<∈+x N x }的另一种表示法是( )A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}3.由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是( )A.{x|-3<x<11,Q x ∈}B.{x|-3<x<11}C.{x|-3<x<11,x=2k,N k ∈}D.{x|-3<x<11,x=2k,Z k ∈}4.方程的解集为{}22320x x x --=,用列举法表示为_______ ____5.在平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合为______ _____ ___6.设集合A={(x,y)|x+y=6,,x N y N **∈∈} ,用列举法表示集合A=7.已知集合A=126x N N x ⎧⎫∈∈⎨⎬-⎩⎭,用列举法表示集合A= 8.已知A={28160x kx x -+=}中只有一个元素,则实数k 的取值范围为≠⊂第二讲 集合的子集与补集【知识要点】1.集合间的关系:①包含用“⊆”表示;②真包含用“ ”表示;③相等;④不相等2.子集与真子集3.全集与补集的定义【典型例题】例1.集合{,,,}a b c d 的子集有多少个?非空真子集有多少个?例2.已知{}{},,,,,a b A a b c d e ⊆⊆,求满足条件的A .例3.非空数集{}1,2,3,4,5A ⊆,满足若A a ∈,则A a ∈-6的非空集合A 有多少个?写出这些集合例4.判断如下A 与B 之间有怎样的包含或相等关系:(1)A ={x |x =2k -1,k ∈Z },B ={x |x =2m +1,m ∈Z }(2)A ={x |x =2m ,m ∈Z },B ={x |x =4n ,n ∈Z }例5.子集综合题(1)已知集合{}}01|{,06|2=+==-+=ax x S x x x P 若P S ⊆,求实数a 的值 (2)已知集合{}{}312,35A x a x a B x x =-<<+=≤≤,若B A ⊆,求a 的范围(3)若集合{}2|10,A x x ax x R =++=∈,集合{}1,2B =,且A B ⊆,求实数a 的取值范围.例6.集合A ={x |-2≤x ≤5},B ={x |m +1≤x ≤2m -1},(1)若B ⊆A ,求实数m 的取值范围.(2)当x ∈Z 时,求A 的非空真子集个数.(3)当x ∈R 时,没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立,求实数m 的取值范围.例7.已知全集{}{}{}22,3,23,1,2,3U U a a A a C A a =+-=+=+,求a 的值.【课堂练习】1.下列命题正确的是( )A.无限集的真子集是有限集B.任何一个集合必定有两个子集C.自然数集是整数集的真子集D.{1}是质数集的真子集2.以下五个式子中,错误的个数为( )①{1}∈{0,1,2} ②{1,-3}={-3,1} ③{0,1,2}⊆{1,0,2} ④∅∈{0,1,2} ⑤∅∈{0}A.5B.2C.3D.43.已知集合{}{}12,,A x x B x x a A B =<<=<⊆若,则实数a 的取值范围是( )A. 2a ≤B. 2a <C. 2a >D. 2a ≥4.满足{}{}1,21,2,3,4,5X ⊆⊆的集合X 的个数是( )A .8B .7C .6D .45.设{}{}0,1,2,B A x x B ==⊆,是A 与B 的关系是( )A.A B ⊆B.B A ⊆C.A B ∈D.B A ∈6.(1)设全集{}{}22,3,1,3,2U a a A =--=,若{}1U C A =,则实数a 的值为_______ (2)集合A ={-1,3,2m -1},集合B ={3,2m }.若B ⊆A ,则实数m =(3)已知{1,3,}A m =-,集合{3,4}B =,若B A ⊆,则实数m =(4)已知2{|2530}M x x x =--=,{|1}N x mx ==,若N M ⊆,则适合条件的实数m 的集合P 为 ;P 的子集有 个;P 的非空真子集有 个.7.判断正误(1)空集没有子集 ( )(2)空集是任何一个集合的真子集 ( )(3)任一集合必有两个或两个以上子集 ( )(4)若B ⊆A ,那么凡不属于集合A 的元素,则必不属于B ( )【课后作业】1.下列八个关系式①{0}=φ ②φ=0 ③φ⊆{φ} ④φ∈{φ} ⑤{0}⊇φ ⑥0∉φ ⑦φ≠{0} ⑧φ≠{φ}其中正确的个数( ) A.4 B.5 C.6 D.72.集合{1,2,3}的真子集共有( )A.5个B.6个C.7个D.8个 3.满足条件{1,2,3}⊂≠M ⊂≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是( )A.5个B.6个C.7个D.8个4.集合A={x |x =3k -2,k ∈Z},B={y |y=3n +1,n ∈Z},S={y |y =6m +1,m ∈Z}之间的关系是( ) A.SBA B.S=BA C.SB=A D.SB=A5.已知A ={x |x <3},B ={x |x <a } (1)若B ⊆A ,则a 的取值范围是______ (2)若A B ,则a 的取值范围是______6.设A ={x |x 2-8x +15=0},B ={x |a x -1=0},若B ⊆A ,则实数a 组成的集合为7.设集合A={23≤≤-x x },B={x 1212+≤≤-k x k },且A ⊇B ,则实数k 的取值范围为第三讲 解不等式【知识要点】1.你会解一元二次不等式及分式不等式吗?2.你知道一元二次不等式,一元二次函数,一元二次方程之间的关系吗? 3.你会解绝对值不等式吗?如a x ≥及a x ≤的解集, 不等式c b ax >+或)0(><+c c b ax 的解集【典型例题】例1.解关于x 的不等式:(1)2210x x -+≥ (2)0322>-+x x例2.解关于x 的不等式:(1)0713224<--x x (2)032>-+x x (3)83402≤++≤x x例3.解关于x 的不等式:(1)2102x x ->- (2)222102x x ->+ (3)2112x x ->- (4) 2112x x +≥+例4.解关于x 的不等式:(1)37x +≤ (2)17x -≥ (3)2323x ≤-≤(4)1x x -≤ (5)123x x ->- (6)|21||2|4x x ++->例5.二次函数的恒成立问题(1)若不等式22(2)40x a x +-+>对一切x R ∈成立,求a 的取值范围(2)对于任意实数x ,不等式240mx mx ++>恒成立,求m 的取值范围.例6.绝对值不等式的恒成立问题(1)对任意实数x ,|1||2|x x a ++->恒成立,则a 的取值范围是 ;(2)对任意实数x ,|1||3|x x a --+<恒成立,则a 的取值范围是 .1.与不等式202xx-<+有相同解集的是( ) A .22x -<< B .22x x ><-或 C .2x > D .2x < 2.集合{}25A x x =+≥,则A =( )A .RB .{}73x x x ≤-≥或 C .{}71x x x ≤->或 D .{}35x x ≤< 3.集合{}2650B x x x =--->,则B =( )A .RB .{}5x x >- C .{}15x x x >-<-或 D .{}51x x -<<- 4.不等式722xx -≥+的解集为 5.不等式25x +<的解集为 6.解下列不等式:(1)22470x x -+< (2)3222xx -≥+1.解不等式(1)24120x x --≥ (2)2650x x --≥(3)2045x x ≤+≤ (4)424120x x --≥2.解不等式 (1)203x x -≥+ (2)213xx -≥+3.解不等式(1)235x +≥ (2)1235x ≤+≤第四讲 交集与并集(一)【知识要点】1.理解交集、并集的概念2.AB A A B =⇔⊆,A B A A B =⇔⊇;3.能利用数轴或文氏图进行集合的运算4.()()()U U U C A C B C A B =, ()()()U U U C A C B C AB =【典型例题】例1.基本训练(1)已知全集{}{}{}5,4,1,5,3,0,5,4,3,2,1,0===N M ,求)(N C M . (2)设{}{}Q x x x B N k k x x A ∈≤=∈+==,6,,15,求B A . (3)集合{}{}2,,3,A x x K K N B x x K K N ++==∈==∈,求A B .例2.交并集的运算(1)已知集合{}{}1 5,36A x x x B x x =≤-≥=-<<或求,AB A B(2)已知集合{}{}2|3760,|114,A x x x B x x =--≤=<+≤求,AB A B例3.已知数集{}{}}3{,1,12,3,3,1,22-=⋂+--=-+=B A a a a B a a A ,求A B .例4.已知全集U R =,{}{}2241,,23,A y y x x x R B y y x x x R ==++∈==-++∈,求B A 与()U C B A例5.数集和点集的理解(1)已知集合{}2|2,p y y x x R ==-+∈,{}|2,Q y y x x R ==-+∈,求pQ(2)已知集合{}{}1),(,2),(2+==++==x y y x B mx x y y x A ,若φ≠B A ,求m 的取值范围.例6.已知集合{}{}a x x B x x A >=≤≤-=,42. (1)若φ≠B A ,求a 的范围. (2)若A B A ≠ ,求a 的范围.(3)若φ≠B A 且A B A ≠ ,求a 的范围.例7.(1)已知集合{}|1A x x a =-≤,{}2540B x x x =-+≥.若AB =∅,则实数a 的取值范围为 (2)设集合3(,)12y M x y x ⎧-⎫==⎨⎬-⎩⎭,(){},5N x y y kx ==+,若M N φ=,则k =【课堂练习】1.设集合{}{}{}4,3,2,3,2,1,2,1===C B A ,则C B A )(=( ) A.{1,2,3}B.{1,2,4}C .{2,3,4} D.{1,2,3,4}2.若集合{}{}03,22=-=≤=x x x N x x M ,则N M =( ) A.{3}B.{0}C .{0,2} D.{0,3}3.设集合{}{}{}3,,1,2,2,1,2U x x x Z A B =<∈==--,则()U A C B =( )A.{1}B.{1,2}C .{2} D.{0,1,2}4.设集合{}2,1=A ,则满足{}3,2,1=B A 的集合B 的个数是( ) A.1B.3 C .4D.85.若A 、B 、C 为三个集合,A B B C =,则一定有( )A.C A ⊆B.A C ⊆C.C A ≠D.φ=A 6.设集合{}{}12,M x x N x x a =-≤<=≤.若M N ≠∅,则a 的取值范围是( )A.](,2-∞ B.()1,-+∞ C.)1,-+∞⎡⎣ D.[]1,1- 7.设全集{}{}{}17,25,36U x x A x x B x x =<<=≤≤=≤≤,则()C A B =____ _ 8.全集U R =,集合{}{}|02,|13,A x x x B x x =<>=-<<或()U C AB 则=9.集合{}{}24,21,,5,1,9A a a B a a =--=--,又已知{}9AB =,求a 的值.【课后作业】1.已知集合{}}8,7,3{},9,6,3,1{,5,4,3,2,1,0===C B A ,则C B A )(等于( ) A.{0,1,2,6} B.{3,7,8,} C.{1,3,7,8} D.{1,3,6,7,8}2.设集合{}x A ,4,1=,{}2,1x B =,且{}x B A ,4,1=⋃,则满足条件的实数x 的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.集合A 含有10个元素,集合B 含有8个元素,集合A∩B 含有3个元素,则集合A ∪B 的元素个数为( )A.10个B.8个C.18个D.15个4.设A={x 0152=+-∈px x Z },B={x 052=+-∈q x x Z },若A ⋃B={2,3,5},A 、B 分别为( )A.{3,5}、{2,3}B.{2,3}、{3,5}C.{2,5}、{3,5}D.{3,5}、{2,5}5.若{}23100A x x x =+-<, {}33B x x =-<<,全集U=R ,则()U A C B ⋃=6.集合M={y ∣y= x 2 +1,x ∈ R },N={t ∣t=5- x 2,x ∈ R },则M ∪N=7.已知集合A ={-1,1},B ={x |mx =1},且A ∪B =A ,则m 的值为8.已知集合}33|{≤≤-=x x U ,}11|{<<-=x x M ,}20|{<<=x x N C U 那么集合=N ,=⋂)(N C M U ,=⋃N M .第五讲 交集与并集(二)【知识要点】1.重要的等价关系:B A B B A A B A ⊆⇔=⋃⇔=⋂2.利用文氏图进行集合的运算3.容斥原理:card(A ∪B)= card(A)+card(B)- card(A ∩B).4.区间的概念【典型例题】例 1.{}{}22|20,|6(2)50A x x px q B x x p x q =-+==++++=,1AB=2⎧⎫⎨⎬⎩⎭若求A B例2.A ={x |a ≤x ≤a +3},B ={x |x <-1或x >5} ①若A ∩B =∅,求a 的取值范围. ②若A ∩B =A , 求a 的取值范围.例3.已知{}250,U x x x N =<∈,(){}1,6U C M N ⋂=,(){}2,3U M C N ⋂=(){}0,4U C M N ⋃=,求M 和N例4.某班级共有48人,其中爱好体育的25名,爱好文艺的24名,体育和文艺都爱好的9名,试求体育和文艺都不爱好的有几名?例5.已知集合{}{}k x k x B x x A 21,52<<+=≤≤-=.若A B A = ,求k 的取值范围.例6. {}{}{}2222190560,280A x x ax a B x x x C x x x =-+-==-+==+-=, 且A B ≠∅,A C =∅,求实数a 的值.例7.已知集合{}{}22320,B 20A x x x x x mx =-+==-+=,且B B A=.求实数m 的取值范围.例8.U R =,{}2120,A x x px X N +=++=∈, {}250,B x x x q X N +=-+=∈且(){}2U C A B =.(){}4U A C B =.求p q +的值.1.已知集合U ={1,2,3,4,5,6,7}, A ={2,4,5,7},B ={3,4,5},则(u A )∪(u B )=( ) A .{1,6} B .{4,5} C .{1,2,3,4,5,7} D .{1,2,3,6,7}2.已知,M ={3,a },N ={x |x 2-3x <0,x ∈Z},M ∩N ={1},P =M ∪N ,则集合P 的子集的个数为( ) A .3B .7C .8D .163.已知集合M 、N 满足,card M =6,card N =13,若card (M ∩N )=6,则card (M ∪N )=_____ _ ;若M ∩N =∅,则card(M ∪N )=_______.4.已知全集U={- 4,-3,-2,-1,0},集合M={- 2,-1,0},N={-4,-3,0},则()U C M N ⋂=5.已知集合{}2,A x x x x R ==∈,则满足条件AB A =的所有集合B 的个数为______6.已知U={},8,7,6,5,4,3,2,1(){},8,1=⋂B C A U (){},6,2=⋂B A C U()(){},7,4=⋂B C A C U U 则集合A=7.设U 是一个全集,A 、B 为U 的两个子集,试用阴影线在图甲和图乙中分别标出下列集合.①C U (A ∪B )∪(A ∩B ) ②(C U A )∩B8.已知全集U ={x |x 2-3x +2≥0},A ={x |x <1或x >3},B ={x |x ≤1或x >2},求C U B ,A ∪B ,(C U A )∩(C U B ),C U (A ∪B ).1.已知集合P M ,满足M P M = ,则一定有( )A.P M =B.P M ⊇C.M P M =D.P M ⊆2.设U={1,2,3,4,5},A ,B 为U 的子集,若A ⋂B={2},(C U A )⋂B={4},(C U A )⋂(C U B )={1,5},则下列结论正确的是( )A.3B A ∉∉3,B.3B A ∈∉3,C.3B A ∉∈3,D.3B A ∈∈3, 3.全集},|),{(R y x y x U ∈=,}123|),{(=--=x y y x M ,}1|),{(+≠=x y y x N ,那么)(M C U ∩)(N C U = ( )A.φB.{(2,3)}C.(2,3)D.}1|),{(+≠x y y x4.已知集合A 中有10个元素,B 中有6个元素,全集U 有18个元素,≠⋂B A φ。
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(6)映射的定义:设A ,B 是两个非空的集合,如果按照某种对应法则f ,对A 中的____________元素,在B 中都有_______________元素y 与x 对应,则称f 是集合A 到集合B 的____________.这时,称y 是x 在映射f 作用下的__________,记作______________。
于是x x f y ),(=称作y 的___________,映射f 也可记为)(,:x f x B A f →→,其中___________叫做映射f 的定义域,由________________构成的集合叫做映射f 的值域,通常记作)(A f . (7)一一映射:如果映射f 是集合A 到集合B 的映射,并且对于集合B 中的_____________,在集合A 中都________________,这时我们说这两个集合的元素之间存在_____________关系,并把这个映射叫做从集合A 到集合B 的__________________.(8)映射与函数的关系:函数是从______________到_____________的映射. 课堂互动:五.映射或一一映射的判定[例5]下列对应关系中,哪些对应法则是集合A 到集合B 的映射,那些不是?若是映射,是否为一一映射?(1){0,1,2,3},{1,2,3,4}A B ==;对应法则:f “加1”;(2)0,+),A B R =∞=(;对应法则:f “求平方根”;(3),A N B N ==;对应法则:f “3倍”;(4),A R B R ==;对应法则:f “取绝对值”;(5),A R B R ==;对应法则:f “求倒数”.巩固提高下列对应是不是从集合A 到集合B 的映射,能否构成函数? (1)1,,:1A RB R f x y x ==→=+;(2)11{|,},{|,},:A a a n n N B b b n N f a b n a++==∈==∈→=;(3)2[0,),,:A B R f x y x =+∞=→=;(4){|},{|},A x x M B x x M ==是平面内的三角形是平面内的圆:f 作三角形的内切圆.六.映射中的象与原象[例6]已知映射:,{(,)|,},f A B A B x y x R y R →=+∈∈中:(,)f x y →(321,x y -+431)x y +-.(1)求A 中元素(1,2)的象;(2)求B 中元素(1,2)的原象.巩固提高1.已知函数:f R R →,35x x →-: (1)求2,5,8x =时的象(2),(5),(8)f f f ;(2)求()35,47f x =时的原象.2.已知映射:f R R →,21x x →+: (1)求3,2,0,2,3x =--时的象;(2)求()10,5,1f x =时的原象.3.已知f 是集合A 上的一个映射,试问在值域()f A 中的任一个元素的原象,是否都是唯一的?为什么?4.设集合A 到B 的映射为1:21f x y x →=+,集合B 到C 的映射为22:1f y z y →=-则集合A 到C 的映射f 的对应法则是什么?集合A 中的元素1在C 中的象是什么?集合C 中的元素0在A 中的原象又是什么?七.构成映射的个数1.已知集合{,},{1,0,1}A a b B ==-,从集合A 到集合B 的映射可能有几种?写出这些映射.2.已知集合{,},{0,1}A x y B ==,构造从集合A 到集合B 的映射,试问能构造出多少映射?其中有多少是一一映射?第4讲:函数的表示方法【考纲要求】1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.了解简单的分段函数,并能进行简单的应用. 【教学重难点】分段函数【重难点命题方向】分段函数经常在高考题中出现自主预习:(1)函数的表示方法:表示函数的常用方法有:___________________、______________、___________________三种. (2)列表法:通过列出________________________________________________的表来表示函数关系的方法叫做列表法.(3)图象法:如果F 是函数()y f x =的图象,则图象上的任一点的坐标(,)x y 都满足___________________;反之,满足函数()y f x =的点(,)x y 都在_________________.这种用________________________表示函数的方法叫做图象法.为了直观地了解函数的性质,常要作出函数的草图或较为精确的图象,作图象过程通常有_______________、______________、________________三个步骤.(4)解析法:如果在函数()()y f x x A =∈中,()f x 是用_________________________来表达的,则这种表示函数的方法叫_______________,也称______________.(5)分段函数:对于自变量x 的不同到取值范围,有着不同的____________,这样的函数通常叫做__________________.分段函数是___________函数,而不是几个函数.分段函数的定义域是________________________________,值域是_______________________________.(6)依据函数的定义,平行于y 轴的直线与函数的图象最多有_______________个交点. 课堂互动:一.列表法表示函数[例1]试用列表法表示0,30,45,60,90角的正弦、余弦.[例2]已知函数()y f n =,满足(0)1()(1)f f n nf n n N +==-∈,且,,求(1)f ,(2)f ,(3)f ,(4)f ,(5)f .巩固提高1.2004年是闰年,假设月份的集合是A ,每月的天数构成集合B ,f 是月份与天数的对应关系,其对应如下:写出当自变量为4,6,9,11时的函数值及该函数的值域、定义域.2. 已知函数()y f n =,满足(1)8(1)()7f f n f n n N +=+=+∈,且,,求(2)f ,(3)f ,(4)f .二.图象法表示函数[例3]作函数y =[例4]设x 是任意的一个实数,y 是不超过x 的最大整数,试问x 和y 之间是否是函数关系?如果是,画出这个函数的图象.(此函数叫高斯函数,也叫取整函数,记作[]y x =)巩固提高1.作函数()100y f x x R ==∈,(这类函数通常称作常数函数)的图象,并求(10)f -,(0)f ,(1000)f .2.在同一坐标系中,作出下列函数的图象:(1)2y x =-;(2)5y x =+;(3)2(2)y x =-;(4)3y x =.3.已知()[1]f x x =+,求(3.2)f ,( 5.1)f -,(4.8)f -,(7.2)f .4.下列各图,那些是以x 为自变量的函数的图象:三.构成映射的个数[例5] 求下列函数的解析式:(1)已知2(1)32f x x x +=-+,求()f x ;(2)已知1)f x =+,求()f x ;(1)已知2()f x ax bx c =++,若(0)0f =,且(1)()1f x f x x +=++,求()f x .巩固提高1.某商店有游戏机12台,每台售价200元,试求售出台数与收款总数之间的函数关系(用解析法表示),并作出函数的图象.2.已知自变量x 与因变量y 之间有下列关系,写出函数表达式,并作出各函数的图象: (1)3515x y +=; (2)25y x y +=-.四.分段函数[例6]已知一个函数()y f x =的定义域为区间[0,2],当[0,1]x ∈时,对应法则为y x =,当(1,2]x ∈时,对应法则为2y x =-,试用解析法和图象法分别表示这个函数.[例7]作出下列函数的图象:(1)1(1)()0(11)1(1)x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩; (2)22|1|1x x y x -=-.巩固提高1.作函数2(10)()(01)(12)x x y f x xx x x --<<⎧⎪==≤<⎨⎪≤≤⎩的图象,求(0.8)f -,1()2f ,3()2f .2. 把下列函数分区间表达,并作出函数的图象: (1)()5||f x x =-; (2)()5||f x x =-+.3.设10()20x f x x <⎧=⎨≥⎩,3(1)(2)()(0)2f x f x g x x ---=>.写出()y g x =的解析式,并作出图象.五.分段函数的应用[例8]在某地投寄平信,每封信不超过20g 付邮资80分,超过20g 不超过40g 付邮资160分,超过40g 不超过60g 付邮资240分,依此类推,每封x g (0100)x <≤的信应付多少分邮资(单位:分)?写出函数的表达式,作出函数的图象,并求函数的值域.[例9]若,()x R f x ∈是22,y x y x =-=这两个函数的较小者,试写出()f x 的表达式,并通过()f x 图象求出()f x 的最大值.巩固提高1.某市的空调公共汽车的票价制定的规则是: (1)乘坐5 km 以内,票价2元;(2)乘坐5 km 以上,每增加5 km ,票价增加1元(不足5 km 的按5 km 计算).已知两个相邻的公共汽车站之间相距约1 km ,如果在某条路线上沿途(包括起点站和终点站)设21个汽车站,请根据题意写出这条线路的票价与里程之间的函数解析式,并作出函数的图象.2.作出函数()|1|1f x x =-+的图象,并求出值域.3.讨论关于x 的方程2|43|()x x a a R -+=∈的实数解的个数.【基础限时训练】1.下列表格中能构成函数()y f x =的是( )AC D2.若221(12)(0)x f x x x--=≠,那么1()2f =______________________. 3.若函数()y f x =的图象是一条线段,其端点坐标为(2,4)(4,5)--与,则此函数的解析式为___________________,定义域为______________________. 4.已知211(1)1f x x +=-,则()f x =__________________. 5.设函数2211()21x x f x x x x ⎧-≤=⎨+->⎩,则1[](2)f f 的值为( ) A.1516 B.2716- C.89 D.186.函数22(01)()2(12)3(2)x x y f x x x ⎧≤<⎪==≤<⎨⎪≥⎩的值域是( ) A.R B.[0,)+∞ C.[0,3] D.[0,3]{3} 7.已知函数()f x 的图象如图所示, 则()f x 的解析式是_____________.8.已知21(,0)()[0,)x f x xxx ⎧∈-∞⎪=⎨⎪∈+∞⎩,求(1)f x +.【拔高限时训练】1.若()f x 为一次函数,2(2)3(1)5f f -=,2(0)(1)1f f --=,则()f x 的解析式为( ) A.()32f x x =+ B. ()32f x x =- C. ()23f x x =+ D. ()23f x x =-2.函数()y f x =的图象与直线x a =的交点个数为( )A.必有一个B.一个或两个C.至多一个D.可能两个以上3.已知2()3([]3)2f x x =+-,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,则( 3.5)f -=____________.4.如果函数()f x 满足方程1()(),R 0,af x f ax x x a x+=∈≠且为常数,且1a ≠±,则()f x =_________________.5.某种笔记本的单价是5元,买({1,2,3,4,5}x x ∈本笔记本需要y 元,试用函数的三种表示法表示函数()y f x =.6.已知二次函数2()(,,0)f x ax bx a b R a =+∈≠满足(5)(3)f x f x -+=-,且方程()f x x=有等根,求()f x 的解析式.7.作出下列函数的图象:(1)2y x =; (2)21,||2y x x Z x =+∈<且.8.若()43mx f x x =-在定义域内恒有[()]f f x x =,则m 的值为________________. 9.已知函数22(2)()(22)2(2)x x f x xx x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩,若()8f a =,则a 等于( ) A.6B. ±C. 4D. 以上均有可能10.已知3(10)(),((5)(10)n n f n n N f f n n +-≥⎧=∈⎨+<⎩,则(5)f 的值为( ) A.7 B.8 C.9 D.1011.设2|1|2||1()1||11x x f x x x --≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩,则1[()]2f f 等于( ) A.12 B.413 C.95- D.254112.设函数220()0x f x x bx c x >⎧=⎨++≤⎩,若(4)(0),(2)2f f f -=-=-,则函数()f x 的解析式为:()f x =_________________.13.在边长为4的正方形ABCD 的边上有动点P 从B 开始,沿折线BCDA 向A 运动,A 、P 、B三点构成∆APB ,设动点P 运动的路程为x ,∆APB 的面积为S .(1)求函数()S f x =的解析式;(2)求函数()S f x =的定义域和值域;(3)求(5),[(5)]f f f 的值.14.对定义域分别是f D 、g D 的函数()y f x =、()y g x =,规定:函数()()()()()f g f g f g f x g x x D x D h x f x x D x D g x x D x D ⎧⋅∈∈⎪=∈∉⎨⎪∉∈⎩且且且.(1)若函数()23,1,()2,f x x x g x x x R =-+≥=-∈,写出函数()h x 的解析式;(2)求问题(1)中函数()h x 的最大值.课后总结:学完本课,在以下各项的后面的“( )”中,用“√”或“?”标注你是否掌握。