角平分线判定定理

，BD=CD，BF⊥AC于F，
CE⊥AB于E。求证：点D在
∠BAC的角平分线上。
B
E
D
A
┌ FC
证明：三角形三条角平分线相交于一点．
例１、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点Ｐ，求证 ：点Ｐ到三边ＡB，BC，CA的距离相等。
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB
A
，BC，CA，垂足为D，E，F。
A
B
C
EP D
练习： 8、如图，三条公路相交，现在要修
建一加油站，使加油站到三条公路的距 离相等，问加油站该选在什么位置上？
3、 如图，在直线l上找出一点P， 使得点P到∠AOB的两边OA、 OB的距离相等．
（第 3 题）
在一个角的内部且到角 的两边距离相等的点，在这 个角的角平分线上．
1、如图所示，BF与CE相交于D
B
(1). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
∴_∠__1_=_∠__2___
(_到__一__个__角__的__两__边__的__距__离__相__等__的__点__，__在__这__个__角__平__分__线__上__。)
例1.如图，在△ABC中，D是BC的中点， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F， 且BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。
O
求证：点P在 AOB的角平分线上。
证明： 作射线OP
∵ PD^OA PE^OB
\ PD O PE 9 O 0
在 Rt△PDO 和Rt△PEO 中，
OP = OP （公共边） PD = PE （ 已 知 ）
\ RtPDO≌ RtPEO （ HL）
P E
B
\ AOPBOP （全等三角形的对应角相等） \ 点P在 AOB 角的平分线上
E
角平分线的判定到一个角的两边的距离相等的
点， 在这个角的平分线上。
∵ PD^OAPE^OB
A C
P B
PD = PE
\ OP 是 AOB的平分线
用途：判定一条射线是角平分线
填空：
A
练一练 12
(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
E
∴__D_C__=_D_E____
(__在__角__平__分___线__上__的___点__到__角___的__两__边__的_C__距__离__相D___等__)
求证：OP平分∠AOB
百度文库
E
A1
P
2
O
FB
例题2.如图，△ABC的角平分线BM、CN相交 于点P。求证：点P也在∠A的平分线上。
证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，
PF⊥AC于F
• 证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直
于AB、BC、CA，垂足为D、E、F • ∵BM是△ABC的角平分线，点P在
D
∵ＢＭ是△ABC的角平分线，
N
F
M
点P在BM上
P
∟
∴PD=PE
B
同理ＰＥ＝ＰＦ
E
C
∴PD=PE=PF
即点P到三边ＡＢ，ＢＣ，CA的距离相等。
4、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的
平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
G
P
H
2、如图：AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F连接EF， EF与AD交于G，AD与EF垂直吗？
到角的两边的距离相等的点在角平分线上。
判定：到角的两边的距离相 等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为：
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE ∴点Q在∠AOB的平分线上． 性质：角的平分线上的点到角的两边的距离 相等. 用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
A
E
F
B
D
C
课堂练习
已知：如图，BE⊥AC于E， CF⊥AB于F， BE、CF相交于D， BD=CD 。 求证： AD平分∠BAC 。
B
F
A
D
E
C
拓展与延伸
3、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE 交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
M C D
F
A
EB
N
3、已知PA=PB， ∠1+ ∠2=1800，
A
BM上（已知）
• ∴PD=PE ） • （在角平分线上的点到角的两边的距离相等 • 同理 PE=PF.
D N
F M
• ∴ PD=PE=PF.
P
• 即点P到边
B
• AB、BC、CA的距离相等
E
C
随堂练习3
已知：如图，△ABC 的∠B的外角的平分 线BD和∠C的外角平 分线CE相交于点P。 求证：点P在∠BAC的 平分线上。
角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言描述：∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD= PE 不必再证全等
A D
P到OA的距离
C 角平分线上的点
P
O
B P到OB的距离
E
如图，由 PD ^ OA 于点 D ， PE ^ OB
于点 E，PD= PE ， 可以得到什么结论 ？
A
E B
G
F
C D
课内拓展延伸
如图，△ABC中，点O是∠BAC与∠ABC的平分线的 交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已 知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长.
A
D OE
B
C
1：画一个已知角的角平分线； 及画一条已知直线的垂线；
2：角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 3：角平分线的判定结论：
到一个角的两边的距离相等 的点， 在这个角的平分线上。
已知：如图， PD^OA，
D
A
PE^OB，垂足分别是
O
A、B，PD=PE ，
求证：点P在AOB的角平分线上。
P E
B
角平分线
的判定 到角的两边的距离相等的点
的平分线上。
在角
D
A
已知：如图，PD^OA ，PE^OB，
垂足分别是 D、E，PD=PE，
角平分线的判定的应用书写格式：
DA
∵ PD^OA
PE^OB
O
P
PD= PE
\OP 是 两A边O 的距B的离平相分等线的（点到，一在个这角个的角的E平分线B 上）
角平分线的性质：在角的平分线上的点到这
个角的两边的距离相等。
D
∵ OP 是 AOB的平分线
PD^OA PE^OB
O
\ PD = PE
用途：证线段相等