2016年重庆市高考数学二诊试卷(理科)(解析版)

2016年重庆市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1．设集合A={x||x|＜3}，B={x|2x＞1}，则A∩B=（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，3）C．（0，3）D．（0，+∞）2．已知为纯虚数，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．﹣D．3．设单位向量，的夹角为，=+2，=2﹣3，则在方向上的投影为（）A．﹣B．﹣C．D．4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2﹣c2=ab=，则△ABC 的面积为（）A．B．C．D．5．在区间[1，4]上任取两个实数，则所取两个实数之和大于3的概率为（）A．B．C．D．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．2C．D．37．执行如图所示的程序框图，若输入t的值为5，则输出的s的值为（）A．B．C．D．8．若直线y=ax是曲线y=2lnx+1的一条切线，则实数a=（）A．e﹣B．2e﹣C．e D．2e9．设x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，则a的取值范围是（）A．a≤﹣1 B．a≥1 C．﹣1≤a≤1 D．a≥1或a≤﹣110．已知双曲线﹣=1的离心率为，过右焦点的直线与两条渐近线分别交于A，B，且与其中一条渐近线垂直，若△OAB的面积为，其中O为坐标原点，则双曲线的焦距为（）A．2B．2C．2D．211．设正三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，BC=1，E、F分别是AB，BC的中点，EF⊥DE，则球O的半径为（）A．B．C．D．12．设D，E分别为线段AB，AC的中点，且•=0，记α为与的夹角，则下述判断正确的是（）A．cosα的最小值为B．cosα的最小值为C．sin（2α+）的最小值为D．sin（﹣2α）的最小值为二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分.13．若（+）4展开式的常数项和为54，且a＞0，则a=______．14．将函数y=sinx+cosx的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，再向上平移1个单位后，所得图象经过点（，1），则φ的最小值为______．15．设函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，f（3）=0，且g（x）=f（x+1）为偶函数，则不等式g（2﹣2x）＜0的解集为______．16．过直线l：x+y=2上任意点P向圆C：x2+y2=1作两条切线，切点分别为A，B，线段AB 的中点为Q，则点Q到直线l的距离的取值范围为______．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设数列{a n}的各项为正数，且a1，22，a2，24，…，a n，22n，…成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记S n为等比数列{a n}的前n项和，若S k≥30（2k+1），求正整数k的最小值．18．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=4，BC=，BD⊥AC，垂足为D，E为棱BB1上的一点，BD∥平面AC1E；（Ⅰ）求线段B1E的长；（Ⅱ）求二面角C1﹣AC﹣E的余弦值．19．某火锅店为了了解气温对营业额的影响，随机记录了该店1月份中5天的日营业额y（单x（单位：℃）的数据，如表：（Ⅰ）求y关于x的回归方程=x+；（Ⅱ）判定y与x之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6℃，用所求回归方程预测该店当日的营业额．（Ⅲ）设该地1月份的日最低气温X～N（μ，δ2），其中μ近似为样本平均数，δ2近似为样本方差s2，求P（3.8＜X＜13.4）附：①回归方程=x+中，=，=﹣b．②≈3.2，≈1.8．若X～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜X＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜X＜μ+2δ）=0.9544．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左顶点为A，上顶点为B，直线AB的斜率为，坐标原点O到直线AB的距离为．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设圆O：x2+y2=b2的切线l与椭圆C交于点P，Q，线段PQ的中点为M，求直线l的方程，使得l与直线0M的夹角达到最小．21．设f（x）=（x2﹣x+）e mx，其中实数m≠0．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若g（x）=f（x）﹣x﹣5恰有两个零点，求m的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]．22．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AH⊥CD于H，BD交AH于P，且PC⊥BC （Ⅰ）求证：A，B，C，P四点共圆；（Ⅱ）若∠CAD=，AB=1，求四边形ABCP的面积．[选修4-4：坐标系与参数方程]．23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以O为原极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2=4ρsinθ﹣3（Ⅰ）求曲线C1与曲线C2在平面直角坐标系中的普通方程；（Ⅱ）求曲线C1上的点与曲线C2上的点的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]．24．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣2a|（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若对任意x∈R，不等式f（x）≥a2﹣3a﹣3恒成立，求a的取值范围．2016年重庆市高考数学二诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1．设集合A={x||x|＜3}，B={x|2x＞1}，则A∩B=（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，3）C．（0，3）D．（0，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣3＜x＜3，即A=（﹣3，3），由B中不等式变形得：2x＞1=20，即x＞0，∴B=（0，+∞），则A∩B=（0，3），故选：C．2．已知为纯虚数，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．﹣D．【考点】复数的基本概念．【分析】根据两个复数代数形式的乘除法法则花间要求的式子等于为纯虚数，可得2﹣a=0，且1+2a≠0，由此求得实数a的值．【解答】解：已知==为纯虚数，∴2﹣a=0，且1+2a≠0，解得a=2，故选A．3．设单位向量，的夹角为，=+2，=2﹣3，则在方向上的投影为（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件便可得到，且，这样进行数量积的运算便可求出，并求出，而可以得出在方向上的投影为，从而可求出该投影的值．【解答】解：；∴===；=；∴在方向上的投影为：=．故选：A．4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2﹣c2=ab=，则△ABC 的面积为（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理计算cosC，得出sinC，代入面积公式S=即可求出面积．【解答】解：在△ABC中，∵a2+b2﹣c2=ab=，∴cosC==，∴sinC==．∴S△ABC=absinC==．故选：B．5．在区间[1，4]上任取两个实数，则所取两个实数之和大于3的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是在区间[0，4]上任取两个数x和y，写出事件对应的集合，做出面积，满足条件的事件是x+y＞3，写出对应的集合，做出面积，得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，∵试验发生包含的事件是在区间[0，4]上任取两个数x和y，事件对应的集合是Ω={（x，y）|1≤x≤4，1≤y≤4}对应的面积是sΩ=9，满足条件的事件是x+y＞3，事件对应的集合是A={（x，y）|1≤x≤4，1≤y≤4，x+y＞3}如图对应的图形（阴影部分）的面积是s A=∴根据等可能事件的概率得到P=1﹣=；故选：D．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．2C．D．3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是一个三棱柱，且在一个角上截去一个三棱锥，并求出几何元素的长度，利用柱体、椎体的体积公式计算即可．【解答】解：由三视图知几何体是一个三棱柱，且在一个角上截去一个三棱锥C﹣ABD，侧棱与底面垂直，底面是以2为边长的等边三角形，高为3，且D是中点，则BD=1，∴几何体的体积V===，故选：C．7．执行如图所示的程序框图，若输入t的值为5，则输出的s的值为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图及已知中输入t=5，可得：进入循环的条件为k＜5，即k=2，3，4，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：模拟执行程序，可得t=5，s=1，k=2满足条件k＜t，执行循环体，s=1+=，k=3满足条件k＜t，执行循环体，s=﹣=，k=4满足条件k＜t，执行循环体，s=+=，k=5不满足条件k＜t，退出循环，输出s的值为．故选：D．8．若直线y=ax是曲线y=2lnx+1的一条切线，则实数a=（）A．e﹣B．2e﹣C．e D．2e【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程，进行比较建立方程关系进行求解即可．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），设切点为（m，2lnm+1），则函数的导数f′（x）=，则切线斜率k=，则对应的切线方程为y﹣（1+2lnm）=（x﹣m）=x﹣2，即y=x+2lnm﹣1，∵y=ax，∴=a且2lnm﹣1=0，即lnm=，则m=e，则a=，故选：B．9．设x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，则a的取值范围是（）A．a≤﹣1 B．a≥1 C．﹣1≤a≤1 D．a≥1或a≤﹣1【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，对a分类讨论得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数，求出满足最大值为3a+9，最小值为3a﹣3的a的取值范围．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，﹣3），联立，解得B（3，9），联立，解得C（﹣3，3）．化目标函数z=ax+y为y=﹣ax+z，由图可知，当﹣1≤﹣a≤1，即﹣1≤a≤1时，直线y=﹣ax+z过A点直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3a﹣3；直线y=﹣ax+z过B点直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3a+9．当a＞1时，直线y=﹣ax+z过C点直线在y轴上的截距最大，z有最大值为﹣3a+3，不合题意，当a＜﹣1时，直线y=﹣ax+z过C点直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣3a+3，不合题意．综上，a的取值范围是﹣1≤a≤1．故选：C．10．已知双曲线﹣=1的离心率为，过右焦点的直线与两条渐近线分别交于A，B，且与其中一条渐近线垂直，若△OAB的面积为，其中O为坐标原点，则双曲线的焦距为（）A．2B．2C．2D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，设两条渐近线的夹角为θ，由两直线的夹角公式，可得tanθ=tan∠AOB，求出F到渐近线y=x的距离为b，即有|OB|=a，△OAB的面积可以表示为a•atanθ，结合条件可得a，b的关系，再由离心率公式即可计算得到．【解答】解：由题意可得e==，a2+b2=c2，双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，设两条渐近线的夹角为θ，则tanθ=tan∠AOB==，设FB⊥OB，则F到渐近线y=x的距离为d==b，即有|OB|=a，则△OAB的面积可以表示为•a•atanθ==，解得a=2，b=，c=，即2c=2．故选：C．11．设正三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，BC=1，E、F分别是AB，BC的中点，EF⊥DE，则球O的半径为（）A．B．C．D．【考点】球内接多面体．【分析】根据EF与DE的垂直关系，结合正棱锥的性质，判断三条侧棱互相垂直，再求得侧棱长，根据体积公式计算即可【解答】解：∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC，又∵EF⊥DE，∴AC⊥DE，取BD的中点O，连接AO、CO，∵三棱锥A﹣BCD为正三棱锥，∴AO⊥BD，CO⊥BD，∴BD⊥平面AOC，又AC⊂平面AOC，∴AC⊥BD，又DE∩BD=D，∴AC⊥平面ABD；∴AC⊥AB，设AC=AB=AD=x，则x2+x2=1⇒x=；所以三棱锥对应的长方体的对角线为，所以它的外接球半径为；故选：B．12．设D，E分别为线段AB，AC的中点，且•=0，记α为与的夹角，则下述判断正确的是（）A．cosα的最小值为B．cosα的最小值为C．sin（2α+）的最小值为D．sin（﹣2α）的最小值为【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得•=（）•（+）=0，两个向量的数量积的定义化简求得2AB2+2AC2=5AB•AC•cosA≥4AB•AC，求得cosα≥，检验各个选项，得出结论．【解答】解：∵D，E分别为线段AB，AC的中点，∴BD CD分别为△ABC的中线．∵•=0，记α为与的夹角，∴•=（）•（+）=（﹣+﹣）•（﹣+﹣）=（﹣2）•（﹣2）=（﹣2﹣2+4）=0，∴2+2=5•，即2AB2+2AC2=5AB•AC•cosA≥4AB•AC，∴cosA≥，即cosα≥，故排除A、B；∵sin（2α+）=cos2α=2cos2α﹣1≥，故排除C；∵sin（﹣2α）=cos2α=2cos2α﹣1≥，故D满足条件，故选：D．二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分.13．若（+）4展开式的常数项和为54，且a＞0，则a=3．【考点】二项式定理的应用．【分析】首先写出二项展开式的通项，整理后得到为常数项时的项，得到关于a的等式．【解答】解；（+）4展开式的通项为=，r=2时为常数项=54，a＞0，解得a=3；故答案为：3．14．将函数y=sinx+cosx的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，再向上平移1个单位后，所得图象经过点（，1），则φ的最小值为．【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据辅助角公式，化简函数得y=2sin（x+），从而得出平移后的图象对应的函数为y=2sin（x+﹣φ）．由平移后的图象经过点（，1），根据正弦函数的图象与性质即可得解．【解答】解：y=sinx+cosx=2（sinxcos+cosxsin）=2sin（x+）．将函数的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后，得到y=2sin[（x﹣φ）+]=2sin（x+﹣φ）的图象．再向上平移1个单位后，得到y=2sin（x+﹣φ）+1的图象．∵所得图象经过点（，1），∴2sin（+﹣φ）=1，可得：sin（﹣φ）=，∴﹣φ=2kπ+，或﹣φ=2kπ+（k∈Z），∴得到φ的最小正值为．故答案为：．15．设函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，f（3）=0，且g（x）=f（x+1）为偶函数，则不等式g（2﹣2x）＜0的解集为（0，2）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数的平移关系得到函数g（x）的单调递增区间，根据函数的单调性解不等式即可得到结论．【解答】解：∵f（x）在[1，+∞）上为增函数，∴f（x）向左平移1个单位得到f（x+1），则f（x+1）在[0，+∞）上为增函数，即g（x）在[0，+∞）上为增函数，且g（2）=f（2+1）=0，∵g（x）=f（x+1）为偶函数∴不等式g（2﹣2x）＜0等价为g（2﹣2x）＜g（2），即g（|2﹣2x|）＜g（2），则|2﹣2x|＜2，则﹣2＜2x﹣2＜2，即0＜2x＜4，则0＜x＜2，即不等式的解集为（0，2），故答案为：（0，2）．16．过直线l：x+y=2上任意点P向圆C：x2+y2=1作两条切线，切点分别为A，B，线段AB的中点为Q，则点Q到直线l的距离的取值范围为（，]．【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程．【分析】设P（t，2﹣t），可得过O、A、P、B的圆的方程与已知圆的方程相减可得AB的方程，进而联立直线方程解方程组可得中点Q的坐标，由点Q到直线的距离公式和不等式的性质可得．【解答】解：∵点P为直线l：x+y=2上的任意一点，∴可设P（t，2﹣t），则过O、A、P、B的圆的方程为（x﹣）2+（y﹣）2= [t2+（2﹣t）2]，化简可得x2﹣tx+y2﹣（2﹣t）y=0，与已知圆的方程相减可得AB的方程为tx+（2﹣t）y=1，由直线OP的方程为（2﹣t）x﹣ty=0，联立两直线方程可解得x=，y=，故线段AB的中点Q（，），∴点Q到直线l的距离d==|2﹣|，∵t2﹣2t+2=（t﹣1）2+1≥1，∴0＜≤1，∴﹣1≤﹣＜0，∴1≤2﹣＜2，∴≤|2﹣|＜，即d∈（，]故答案为：（，]三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设数列{a n}的各项为正数，且a1，22，a2，24，…，a n，22n，…成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记S n为等比数列{a n}的前n项和，若S k≥30（2k+1），求正整数k的最小值．【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）推导出数列{a n}是首项为2，公比为4的等比数列，由此能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）先求出等比数列{a n}的前n项和S n=，从而得到≥30（2k+1），由此能求出正整数k的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵列{a n}的各项为正数，且a1，22，a2，24，…，a n，22n，…成等比数列，∴，即a2=8，∴，解得a1=2，∴数列{a n}是首项为a1=2，公比为q==4的等比数列，∴．（Ⅱ）∵数列{a n}是首项为2，公比为4的等比数列，∴等比数列{a n}的前n项和S n==，∵S k≥30（2k+1），∴≥30（2k+1），即2×（2k）2﹣90×2k﹣92≥0，解得2k≥46或2k≤﹣1（舍），∴正整数k的最小值为6．18．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=4，BC=，BD⊥AC，垂足为D，E为棱BB1上的一点，BD∥平面AC1E；（Ⅰ）求线段B1E的长；（Ⅱ）求二面角C1﹣AC﹣E的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；棱柱的结构特征．【分析】（1）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段B1E的长．（2）求出平面ACE的法向量和平面ACC1的法向量，利用向量法能求出二面角C1﹣AC﹣E的余弦值．【解答】解：（1）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，D（0，0，0），B（0，，0），B1（0，，4），A（，0，0），C1（﹣，0，4），设E（0，，t），=（0，﹣，0），=（﹣，，t），=（﹣4，0，4），设平面AC1E的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，，1），∵BD∥平面AC1E，∴=﹣=0，解得t=．∴E（0，，），∴线段B1E的长|B1E|=4﹣=．（2）C（﹣，0，0），=（﹣4，0，0），=（﹣，，），设平面ACE的法向量=（a，b，c），则，取b=15，得=（0，15，﹣），平面ACC1的法向量=（0，1，0），设二面角C1﹣AC﹣E的平面角为θ，cosθ===．∴二面角C1﹣AC﹣E的余弦值为．19．某火锅店为了了解气温对营业额的影响，随机记录了该店1月份中5天的日营业额y（单x（单位：℃）的数据，如表：（Ⅰ）求y关于x的回归方程=x+；（Ⅱ）判定y与x之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6℃，用所求回归方程预测该店当日的营业额．（Ⅲ）设该地1月份的日最低气温X～N（μ，δ2），其中μ近似为样本平均数，δ2近似为样本方差s2，求P（3.8＜X＜13.4）附：①回归方程=x+中，=，=﹣b．②≈3.2，≈1.8．若X～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜X＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜X＜μ+2δ）=0.9544．【考点】线性回归方程；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】（I）利用回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；（II）根据的符号判断，把x=6代入回归方程计算预测值；（III）求出样本的方差，根据正态分布知识得P（3.8＜X＜13.4）=P（3.8＜X＜10.2）+P（10.2＜X＜13.4）．【解答】解：（I）解：（I）=×（2+5+8+9+11）=7，=（12+10+8+8+7）=9．=4+25+64+81+121=295，=24+50+64+72+77=287，∴==﹣=﹣0.56．=9﹣（﹣0.56）×7=12.92．∴回归方程为：=﹣0.56x+12.92．（II）∵=﹣0.56＜0，∴y与x之间是负相关．当x=6时，=﹣0.56×6+12.92=9.56．∴该店当日的营业额约为9.56千元．（III）样本方差s2=×[25+4+1+4+16]=10，∴最低气温X～N（7，10），∴P（3.8＜X＜10.2）=0.6826，P（0，6＜X＜13.4）=0.9544，∴P（10.2＜X＜13.4）=（0.9544﹣0.6826）=0.1359．∴P（3.8＜X＜13.4）=P（3.8＜X＜10.2）+P（10.2＜X＜13.4）=0.6826+0.1359=0.8185．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左顶点为A，上顶点为B，直线AB的斜率为，坐标原点O到直线AB的距离为．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设圆O：x2+y2=b2的切线l与椭圆C交于点P，Q，线段PQ的中点为M，求直线l的方程，使得l与直线0M的夹角达到最小．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）由题意可得A（﹣a，0），B（0，b），求得AB的斜率和方程，运用点到直线的距离公式解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）讨论当直线l的斜率不存在和为0，不为0，设出直线l的方程为y=kx+t，代入椭圆方程可得（1+6k2）x2+12ktx+6t2﹣6=0，运用韦达定理和中点坐标公式，由两直线的夹角公式，结合基本不等式，可得最小值，由直线和圆相切的条件：d=r，进而得到直线方程．【解答】解：（I）由题意可得A（﹣a，0），B（0，b），k AB==，直线AB的方程为y=x+b，由题意可得=，解得b=1，a=，即有椭圆的方程为+y2=1；（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，即有OM⊥l，夹角为90°；当直线l的斜率为0时，不符合题意；设直线l的方程为y=kx+t，代入椭圆方程可得（1+6k2）x2+12ktx+6t2﹣6=0，可得x1+x2=﹣，可得中点M（﹣，），又直线l与圆x2+y2=1相切，可得=1，即1+k2=t2，可得OM的斜率为k'=﹣，直线l和OM的夹角的正切为、|=|﹣k﹣|，当k＜0时，﹣k﹣≥2=，当k=﹣时，夹角取得最小值．求得t2=，解得t=±，可得直线l的方程为y═﹣x±，当k＞0时，可得k=时，夹角取得最小值．求得t2=，解得t=±，可得直线l的方程为y═±x±，使得l与直线0M的夹角达到最小．21．设f（x）=（x2﹣x+）e mx，其中实数m≠0．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若g（x）=f（x）﹣x﹣5恰有两个零点，求m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）讨论f（x）的单调性，很容易想到求导数的办法，通过导函数f′（x）的符号判断单调性，注意到导函数中二次函数的部分，判别式的值以及m的符号判断即可．（Ⅱ）g（x）=f（x）﹣x﹣5恰有两个零点，转化为方程有两个解，转化为两个函数有两个交点．判断直线经过的顶点，通过f（x）的导数，曲线的斜率，推出m 的范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=（x2﹣x+）e mx，其中实数m≠0．可得f′（x）=（mx2﹣x+）e mx，其中实数m≠0．∵e mx＞0，∴f′（x）的符号，只与mx2﹣x+的符号有关．令y=mx2﹣x+，m≠0，△=1﹣4m=﹣7＜0．当m＞0时，y＞0恒成立，此时f′（x）＞0，恒成立．函数在R上是增函数．当m＜0时，y＜0恒成立，此时f′（x）＜0，恒成立．函数在R上是减函数．（Ⅱ）g（x）=f（x）﹣x﹣5恰有两个零点，即f（x）=x+5恰有两个解，也就是f（x）=（x2﹣x+）e mx，与g（x）=x+5有两个交点．因为g（x）=x+5恒过（0，5），当m=1时，f（x）=（x2﹣3x+5）e x，经过（0，5），并且f′（x）=（x2﹣x+2）e x，此时f′（0）=2，g（x）=2x+5的斜率也为2，如图：当m＞1时．两个函数有两个交点．当m∈（0，1）时，f（x）经过（0，），，此时两个函数至多有一个交点．当m＜0时，两个函数都是减函数，m=﹣1时，两个函数的图象如图：m＜﹣1时，两个函数有两个交点．综上，m＜﹣1或m＞1．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]．22．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AH⊥CD于H，BD交AH于P，且PC⊥BC （Ⅰ）求证：A，B，C，P四点共圆；（Ⅱ）若∠CAD=，AB=1，求四边形ABCP的面积．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【分析】（Ⅰ）由已知AC=AD，AH⊥CD可得△ACP≌△ADP，得∠ACP=∠ADP．再由AB=AD，得∠ADP=∠ABP，进一步得到∠ABP=∠ACP，可知A，B，C，P四点共圆；（Ⅱ）由AC=AD，，得△ACD是边长为1的等边三角形，结合AH⊥CD，得．再结合A，B，C，P四点共圆，，得，即△ABC也是边长为1的等边三角形，进一步得到P为△ACD的中心．可得S ABCP=S△ABC+S△ACP=．【解答】证明：（Ⅰ）∵AC=AD，AH⊥CD，∴∠CAD=∠DAP，从而△ACP≌△ADP，得∠ACP=∠ADP．又AB=AD，故∠ADP=∠ABP，从而∠ABP=∠ACP，可知A，B，C，P四点共圆；（Ⅱ）由AC=AD，，从而△ACD是边长为1的等边三角形，又AH⊥CD，故．由（Ⅰ）知A，B，C，P四点共圆，又，故，从而，故△ABC也是边长为1的等边三角形，由PC⊥BC，，得，知CP，AH为等边三角形的角平分线，从而P为△ACD的中心．故此时S ABCP=S△ABC+S△ACP=．[选修4-4：坐标系与参数方程]．23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以O为原极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2=4ρsinθ﹣3（Ⅰ）求曲线C1与曲线C2在平面直角坐标系中的普通方程；（Ⅱ）求曲线C1上的点与曲线C2上的点的距离的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）曲线C1的参数方程为（α为参数），由x==sinα+cosα，两边平方代入即可得出曲线C1的普通方程．曲线C2的极坐标方程为ρ2=4ρsinθ﹣3，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得曲线C2的普通方程．（II）x2+y2﹣4y+3=0配方为：x2+（y﹣2）2=1，圆心C2（0，2），设P（x0，y0）为曲线C1上的任意一点，则y0=，可得|PC|2=+=+，利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（I）曲线C1的参数方程为（α为参数），由x===sinα+cosα，两边平方可得：x2=1+sin2α=y，∴曲线C1的普通方程为y=x2．曲线C2的极坐标方程为ρ2=4ρsinθ﹣3，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得：x2+y2=4y﹣3，∴曲线C2的普通方程为：x2+y2﹣4y+3=0．（II）x2+y2﹣4y+3=0配方为：x2+（y﹣2）2=1，圆心C2（0，2），设P（x0，y0）为曲线C1上的任意一点，则y0=，则|PC|2=+=+=﹣3+4=+，当=时，|PC|min=．∴曲线C1上的点与曲线C2上的点的距离的最小值为﹣1．[选修4-5：不等式选讲]．24．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣2a|（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若对任意x∈R，不等式f（x）≥a2﹣3a﹣3恒成立，求a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值的几何意义，写出分段函数，即可解f（x）＞2的解集；（Ⅱ）先用绝对值三角不等式将问题等价为：f（x）min=|a||≥a2﹣3a﹣3，再分类讨论求解即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．x≤1时，f（x）=﹣x+1﹣x+2=3﹣2x，由不等式f（x）＞2可得x＜；1＜x＜2时，f（x）=x﹣1﹣x+2=1由不等式f（x）＞2可得x∈∅；x≥2时，f（x）=x﹣1+x﹣2=2x﹣3，由不等式f（x）＞2可得x＞；∴不等式f（x）＞2的解集为（﹣∞，）∪（，+∞）；（Ⅱ）因为不等式f（x）≥a2﹣3a﹣3对x∈R恒成立，所以，f（x）min≥a2﹣3a﹣3，根据绝对值三角不等式，|x﹣a|+|x﹣2a|≥|（x﹣a）﹣（x﹣2a）|=|a|，即f（x）min=|a|，所以，|a||≥a2﹣3a﹣3，分类讨论如下：①当a≥0时，a≥a2﹣3a﹣3，即a2﹣4a﹣3≤0，∴2﹣≤a≤2+，此时0≤a≤2+；②当a＜0时，﹣a≥a2﹣3a﹣3，即a2﹣2a﹣3≤0，∴﹣1≤a≤3，此时﹣1≤a＜0．综合以上讨论得，实数a的取值范围为：[﹣1，2+]．2016年9月23日。