2010北京二模立体几何汇编(文)
2010届北京高考数学模拟题汇编之立体几何(文)
1.（宣武区）已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据， （Ⅰ）求这个组合体的体积；（Ⅱ）若组合体的底部几何体记为1111D C B A ABCD -，其中BA B A 11为正方形. （i ）求证：D C AB B A 111平面⊥；（ii ）求证：P 为棱11B A 上一点，求1PC AP +的最小值.解：（Ⅰ）此组合体底部为长方体，上部为半个圆柱 π+=⨯⨯π+⨯⨯=806401042110882V . ……………5分 (Ⅱ)（i ）∵长方体1111D C B A ABCD -∴BA B A AD 11平面⊥ ∵BA B A B A 111平面⊂ ∴B A AD 1⊥又∵BA B A 11是边长为8的正方形 ∴11AB B A ⊥ ∵A AD AB =⋂1∴D C AB B A 111平面⊥. ………………10分（ii ）将上底面1111D C B A 展开，与平面BA B A 11共面时，连结A C 1交11B A 于点P ，即1AC 为最短距离.此时长度为97218822=+.2.（顺义区)一个直三棱柱的直观图及三视图如图所示，（其中D 为11A B 的中点）Ⅰ.求证：1C D ⊥平面11ABB AⅡ.当点F 在棱1BB 上的什么位置时，有1AB ⊥平面1C DF ， 请证明你的结论Ⅲ.对（2）中确定的点F ，求三棱锥11B C DF -的体积．证明：由三视图知该多面体为底面为直角三角形的 直三棱柱111ABC A B C -，1112AC B π∠=，棱1AA ⊥平面111A B C，1AA =11111AC B C ==，11A B =______2分 Ⅰ. Q D 为11A B 的中点，∴111C D A B ⊥，Q 1AA ⊥平面111A B C1C D ⊂平面111A B C ，∴11C D AA ⊥，1111AA A B A =I ，∴1C D ⊥平面11ABB A ______5分Ⅱ. 当点F 在棱1BB 上的中点时，有1AB ⊥平面1C DF ______7分 证明：连结DF ，1A B ，∴1||DF A B ，Q 111AA A B =，∴四边形11ABB A 为正方形，∴11AB A B ⊥，∴1AB DF ⊥，由Ⅰ知11C D A B ⊥，1DF C D D =I ∴1AB ⊥平面1C DF ______10分Ⅲ.设1AB DF G =I ，1B G 为三棱锥11B C DF -的高，112B G =，______12分 可求得14C DF S =V，体积V =.______14分俯视图侧视图主视图21112D C 1B 1A 1BCA3．（丰台区）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，SA ABCD ⊥底面，M 为SA 的中点，N 为CD 的中点．（Ⅰ）证明：平面SBD ⊥平面SAC ； （Ⅱ）证明：直线MN SBC 平面‖．证明：（Ⅰ）∵ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ， ………………………………1分∵SA ABCD ⊥底面，∴BD ⊥SA ， ……………2分 ∵SA 与AC 交于A,∴BD ⊥平面SAC, …………………………………4分 ∵BD ⊂平面SBD∴平面SBD ⊥平面SAC …………………6分（Ⅱ）取SB 中点E ，连接ME ，CE ，∵M 为SA 中点，∴ME AB 且ME=12AB, ………8分又∵ABCD 是菱形，N 为CD 的中点，∴CN AB 且CN=12CD=12AB, …………………10分∴CN EM,且CN=EM ，∴四边形CNME 是平行四边形，∴MN CE, …………………12分 又MN ⊄平面SBC, CE ⊂平面SBC,∴直线MN SBC 平面‖ …………………13分B4.（东城区）如图，四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PD=DC =4，AD =2，E 为PC 的中点． （1）求证：AD ⊥PC ；（2）求三棱锥A —PDE 的体积；（3）AC 边上是否存在一点M ，使得PA ∥平面EDM ，若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ， 所以PD ⊥AD .………………………………………………2分 又因为ABCD 是矩形，所以AD ⊥CD .……………………3分 因为PD ⋂CD=D ，所以AD ⊥平面PCD . 又因为PC ⊂平面PCD ，所以AD ⊥PC .…………………5分（2）解：因为AD ⊥平面PCD ，所以AD 是三棱锥A —PDE 的高. 因为E 为PC 的中点，且PD =DC =4， 所以.4)4421(2121=⨯⨯⨯==∆∆PDC PDE S S ………………7分又AD =2，所以.38423131=⨯⨯=⋅=∆-PDE PDE A S AD V …………9分（2）解：取AC 中点M ，连结EM ，DM ，因为E 为PC 的中点，M 是AC 的中点，所以EM ∥PA . 又因为EM ⊂平面EDM ，PA ⊄平面EDM . 所以PA ∥平面EDM .………………12分 所以521==AC AM . 即在AC 边上存在一点M ，使得PA ∥平面EDM ，AM 的长为5.…………14分侧（左）视图正（主）视图俯视图5．（崇文区选择）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于(A) 12（C ）563 （D ）4C 1D 1CA 1BA 6．（崇文区）正方体1111D CB A ABCD -的棱长为2，O 是AC 与BD 的交点，E 为1BB 的中点．（Ⅰ）求证：直线1B D ∥平面AEC ； （Ⅱ）求证：⊥D B 1平面AC D 1； （Ⅲ）求三棱锥1D D OC -的体积． 解：（Ⅰ）连接OE ，在1B BD ∆中，∵E 为1BB 的中点，O 为BD 的中点，∴OE ∥1B D 又∵1B D ⊄平面AEC∴直线1B D ∥平面AEC ． --------------------4分 （Ⅱ）在正方体1111D C B A ABCD -中，1B B ⊥ 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD∴1B B AC ⊥．BD AC ⊥且1BB BD B ⋂= ∴1B D AC ⊥ ∴1AC B D ⊥ 同理可证11B D AD ⊥ ∵1AC AD A ⋂=∴⊥D B 1平面AC D 1. --------------------9分（Ⅲ）11111221333D D OC D DOC DOC V V DD S --∆==⋅⋅=⨯⨯=． -------------14分FE D C 1B 1A 1CBAABCA 1B 1C 1DE FG7.(昌平区) 已知三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ,1==2AB AC AA =，090BAC ∠=, ,,D E F 分别为11,,B A C C BC 的中点.（I ）求证：DE //平面ABC ；（II ）求证：11AEF BCC B ⊥平面平面; (III) 求三棱锥A-BCB 1的体积.解：（I ）取AB 中点G ，连DG,CG在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，11BCC B ∴是矩形.∵D,E 分别为AB 1，CC 1的中点， ∴1111//,//22DG BB CE BB ， //,DG CE DGCE ∴是平行四边形DE ∴//GC ……………………………….4分∵GC ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ，∴DE//平面ABC .（II ）三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC , ∴ AF ⊥CC 1=,AB AC F BC 为中点，AF BC ∴⊥又1BC CC C ⋂=11,AF BCC B ∴⊥平面……………………………………………………..9分 ,AF AEF ⊂又平面∴11AEF BCC B ⊥平面平面…………………………………………………..10分 （III ）由（II ）得，11,AF BCC B ⊥平面在1RT 2,2ABC AB AC BC AF BC ==∴=== 由已知，中，1112BCB S BC BB == 111433A BCB BCB V S AF -∴== ………………………………………………..14分8.(昌平选择) 若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱 柱的侧面积为A ．24 B．C．． 24+正视图俯视图 左视图。
2010年北京丰台区高考二模试题数学(文科)
2010年北京丰台区高考二模试题：数学（文科）丰台区2010年高三统一练习（二）数学（文科）一、选择题（每小题5分，共40分） 1、已知向量a =（1，k ），=b （2，1），若a 与b 的夹角为︒90，则实数k 的值为A ．12-B ．12C ．2-D ．22、设集合A=}{|1|1x x -<，B=}{1x x <，则()B A 等于A}{1x x ≥ B }{01x x << C }{12x x <≤ D }{12x x ≤<3、设p 、q 是简单命题，则""p q ∧为真是""p q ∨为真的A 充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4、在ABC ∆中，sin(A+B)=sin(A-B),则ABC ∆一定是A 等腰三角形B 等边三角形C 直角三角形D 锐角三角形 5、甲、乙两名运动员的5次测试成绩如下图所示设12,s s 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，12,x x 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有 A 12x x =，12s s < B 12x x =， 12s s > C 12x x >， 12s s > D 12x x =， 12s s =6、已知函数f(x)是偶函数，在（0，+∞）上导数()f x '>0恒成立，则下列不等式成立的是Ａ f(-3)<f(-1)<f(2) B f(-1)<f(2)<f(-3) C f(2)<f(-3)<f(-1) D f(2)<f(-1)<f(-3)７、设a,b,c 是空间三条不同的直线，α，β，γ是空间三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若,ab αα⊥⊥，则a b ；②若,αγβγ⊥⊥，则αβ；③若,b b αβ⊂⊥，则αβ⊥；④若c 是b 在α内的射影，a a c α⊂⊥且，则ab ⊥.其中正确的个数是A 1B 2C 3D 4８．在一个数列中，若每一项与它的后一项的乘积都同为一个常数（有限数列最后一项除外），则称该数列为等积数列，其中常数称公积。
2010年北京各区一模二模数学——平面解析几何
平面解析几何一、选择题和填空题1．（海淀·理科·题13）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且它们在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形．若110PF =，双曲线的离心率的取值范围为()1,2．则该椭圆的离心率的取值范围是 ．【解析】 12,35⎛⎫⎪⎝⎭；如图，设椭圆的半长轴长，半焦距分别为1,a c ，双曲线的半实轴长，半焦距分别为2,a c ，12,PF m PF n ==，则1222102m n a m n a m n c+=⎧⎪-=⎪⎨=⎪⎪=⎩1255a c a c =+⎧⇒⎨=-⎩，问题转化为已知125c c <<-，求5c c +的取值范围． 设5c x c =-，则51x c x =+，11521242c x c x x ==-+++． ∵12x <<，∴11111126242210x -<-<-+，即111232425x <-<+．2．（海淀·文科·题8）1by +=与圆221x y +=相交于A ，B 两点（其中,a b 是实数），且AOB ∆是直角三角形（O 是坐标原点），则点(),P a b 与点()0,1之间距离的最大值为（ ） A1 B ．2 CD1 【解析】 A ；圆221x y +=1by +=，∴2222a b +=， 即2212b a +=．因此所求距离为椭圆2212b a +=上点(),P a b 到焦点()0,11．3．（海淀·文科·题10）已知动点P 到定点()2,0的距离和它到定直线:2l x =-的距离相等，则点P 的轨迹方程为________． 【解析】 28y x =；由已知，该轨迹为2p =，定点为()0,0，对称轴为x 轴的抛物线，即28y x =．4．（丰台·文科·题4）直线0x y +=截圆224x y +=所得劣弧所对圆心角为（ ）A ．π6 B ．π3 C ．π2 D ．2π3【解析】 D ；1=2=，于是1cos22θ=，2π3θ=．5．（丰台·文科·题14）已知点()1,1A -，点()3,5B ，点P 是直线y x =上动点，当||||PA PB +的值最小时，点P 的坐标是 ． 【解析】 ()2,2；连结AB 与直线y x =交于点Q ，则当P 点移动到Q 点位置时，||||PA PB +的值最小．直线AB 的方程为()()515331y x ---=--，即340x y --=． 解方程组340x y y x --=⎧⎨=⎩，得22x y =⎧⎨=⎩．于是当||||PA PB +的值最小时，点P 的坐标为()2,2．6．（石景山·理·题5）（石景山·文·题5）经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB 所在直线方程为（ ） A ．50x y --= B ．50x y -+= C ．50x y ++= D ．50x y +-=【解析】 A ；设圆心为C ，则AB 垂直于CP ，3012(1)CP k --==---，故:32AB y x +=-，选A ．7．（西城·理·题13）（西城·文·题7）已知双曲线2213y x -=的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，则12PA PF ⋅最小值为 _________ ． 【解析】 2-；12(1,0),(2,0)A F -，设(,)(1)P x y x ≥，2212(1,)(2,)2PA PF x y x y x x y ⋅=--⋅-=--+，又2213y x -=，故223(1)y x =-，于是2212114545816PA PF x x x ⎛⎫⋅=--=--- ⎪⎝⎭，当1x =时，取到最小值2-．8．（东城·理·题13）直线x t =过双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若原点在以AB 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是 ．【解析】 (1,；,,,b b A t t B t t a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要使原点在以AB 为直径的圆外，只需原点到直线AB 的距离t 大于半径b t a 即可，于是b a <，e c a ==e (1,∈．9．（东城·文·题7） 已知圆22104x y mx ++-=与抛物线214y x =的准线相切，则m 的值等于（ ）A ．BCD ． 【解析】 D ；抛物线的准线为1y =-，将圆化为标准方程222124m m x y +⎛⎫++= ⎪⎝⎭，圆心到直线的距离为1=m ⇒=10．（东城·文·题10）经过点(2,3)-且与直线250x y +-=垂直的直线方程为 ． 【解析】280x y -+=； 直线250x y +-=的斜率为2-，故所求直线的斜率为12，从而所求直线方程为13(2)2y x -=+．11．（东城·文·题14）点P 是椭圆2212516x y +=上一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，且12PF F ∆的内切圆半径为1，当P 在第一象限时，P 点的纵坐标为 ．【解析】 83；121210,6PF PF F F +==，1212121211()18322PF F P P S PF PF F F F F y y ∆=++⋅==⋅=．12．（宣武·理·题6）若椭圆221x y m n+=与双曲线221(,,,x y m n p q p q -=均为正数）有共同的焦点1F ，2F ，P 是两曲线的一个公共点，则12||||PF PF ⋅等于（ ）A ．22p m -B ．p m -C ．m p -D ．22m p -【解析】 C ；由题设可知m n >，再由椭圆和双曲线的定义有12||||PF PF +=及12||||PF PF -=±两个式子分别平方再相减即可得12||||PF PF m p =-．13．（宣武·文·题8）设圆C 的圆心在双曲线2221(0)2x y a a -=>的右焦点且与此双曲线的渐近线相切，若圆C 被直线:0l x =截得的弦长等于2，则a 的值为（ ）A B C ．2D ．3【解析】 A ；圆C 的圆心C ，双曲线的渐近线方程为0ay ±=，C 到渐近线的距离为d ==故圆C 方程22(2x y +=．由l 被圆C 截得的弦长是2及圆C知，圆心C 到直线l 的距离为11a =⇒=14．（崇文·文·题4）若直线y x b =+与圆222x y +=相切，则b 的值为 （ ）A ．4±B ．2±C ．．±【解析】 B ；2b ==． 15．（朝阳·理·题6）已知点(3,4)P -是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>渐近线上的一点，,E F 是左、右两个焦点，若0EP FP ⋅=，则双曲线方程为（ ） A ．22134x y -=B ．22143x y -=C ．221916x y -=D ．221169x y -=【解析】 C ；不妨设()(),0,,0E c F c -，于是有()()23,43,49160EP FP c c c ⋅=+-⋅--=-+=．于是225c =．排除A ，B ．又由D 中双曲线的渐近线方程为34y x =±，点P 不在其上．排除D ．16．（朝阳·理·题10）（朝阳·文·题13）圆224x y +=被直线0y +-=截得的劣弧所对的圆心角的大小为 ．【解析】 π3．圆心到直线的距离为d ==θ，于是cos2θ=π3θ=．17．（朝阳·文·题10）在抛物线22(0)y px p =>上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为 ． 【解析】 2；由抛物线的几何性质，有4522pp +=⇒=．二、解答题18．（海淀·理科·题19）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F ，2F ，且12||2F F =，点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上．⑴求椭圆C 的方程；⑵过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A、B 两点，且2AF B ∆2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程．【解析】 ⑴设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题意可得：椭圆C 两焦点坐标分别为()11,0F -，()21,0F ．∴532422a ==+=．∴2a =，又1c =，2413b =-=，故椭圆的方程为22143x y +=．⑵当直线l x ⊥轴，计算得到：31,2A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，21211||||32322AF B S AB F F ∆=⋅⋅=⨯⨯=，不符合题意．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：(1)y k x =+，由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得2222(34)84120k x k x k +++-=．显然0∆>成立，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122834k x x k +=-+，212241234k x xk -⋅=+．又||AB即2212(1)||34k AB k +==+，又圆2F 的半径r ==．所以2221112(1)||2234AF BkS AB rk∆+==⨯==+，化简，得4217180k k+-=，即22(1)(1718)0k k-+=，解得1k=±．所以，r==．故圆2F的方程为：22(1)2x y-+=．⑵另解：设直线l的方程为1x ty=-，由221143x tyx y=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x得22(43)690t y ty+--=，0∆>恒成立，设()11,A x y，()22,B x y，则122643ty yt+=+，122943y yt⋅=-+．所以12||y y-==又圆2F的半径为r==．所以212121||||2AF BS F F y y∆=⋅⋅-12||y y=-==21t=，所以r==故圆2F的方程为：22(1)2x y-+=．19．（海淀·文科·题19）已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，离心率为12，且点31,2⎛⎫⎪⎝⎭0在该椭圆上．⑴求椭圆C的方程；⑵过椭圆C的左焦点1F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若AOB∆，求圆心在原点O且与直线l 相切的圆的方程．【解析】⑴设椭圆C的方程为22221x ya b+=(0)a b>>，由题意可得12cea==，又222a b c=+，所以2234b a=因为椭圆C经过31,2⎛⎫⎪⎝⎭，代入椭圆方程有22914134a a+=，解得2a=所以1c=，2413b=-=故椭圆C的方程为22143x y+=．⑵解法一：当直线l x⊥轴时，计算得到：31,2A⎛⎫-⎪⎝⎭，31,2B⎛⎫-⎪⎝⎭，1113||||13222AOBS AB OF∆=⋅⋅=⨯⨯=，不符合题意．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：(1)y k x=+，0k≠由22(1)143y k xx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y，得2222(34)84120k x k x k+++-=显然0∆>成立，设()11,A x y，()22,B x y，则2122834kx xk+=-+，212241234kx xk-⋅=+又||AB=即2212(1)||34kABk+==+又圆O的半径r==所以1||2AOBS AB r∆=⋅⋅22112(1)234kk+=⋅+=化简，得4217180k k+-=，即22(1)(1718)0k k-+=，解得211k=，2218k=-（舍）所以r==O的方程为2212x y+=．⑵解法二：设直线l的方程为1x ty=-，由221143x tyx y=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x，得22(43)690t y ty+--=因为0∆>恒成立，设()11,A x y，()22,B x y，则12122269,4343ty yy yt t+=⋅=-++所以12||y y-==所以1121||||2AOBS F O y y∆=⋅⋅-==化简得到4218170t t--=，即22(1817)(1)0t t+-=，解得211,t=221718t=-（舍）又圆O的半径为r==所以r==O的方程为：2212x y+=20．（丰台·理科·题19）在直角坐标系xOy中，点M到点()1,0F，)2,0F的距离之和是4，点M的轨迹是C与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线:l y kx b=+与轨迹C交于不同的两点P和Q．⑴求轨迹C的方程；⑵当0AP AQ⋅=时，求k与b的关系，并证明直线l过定点．【解析】⑴∵点M到(),0，),0的距离之和是4，∴M的轨迹C是长轴为4，焦点在x轴上焦中为的椭圆，其方程为2214x y +=．⑵将y kx b =+，代入曲线C的方程，整理得22(14)40k x +++= 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y，则12x x +=，122414x x k =+ ② 且2212121212()()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++ 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -， 所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+． 由0AP AQ ⋅=，得1212(2)(2)0x x y y +++=．将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=． 所以(2)(65)0k b k b -⋅-=，即2b k =或65b k =．经检验，都符合条件①当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+． 显然，此时直线l 经过定点()2,0-点． 即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6556y kx k k x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．显然，此时直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点，且不过点A ．综上，k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点．21．（丰台·文科·题19）在直角坐标系xOy 中，点M到点()1,0F，)2,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C ，直线:l y kx =轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程；⑵是否存在常数k ，0OP OQ ⋅=？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由． 【解析】 ⑴∵点M到(),0，),0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x轴上焦距为的椭圆，其方程为2214x y +=．⑵将y kx =C 的方程，整理得22(14)40k x +++= ① 设()11,P x y ，()22,Q x y 由方程①，得12x x +=122414x x k =+ ②又(()2121212122y y kx kx k x x x x ⋅=+=++ ③ 若0OP OQ ⋅=，得12120x x y y += 将②、③代入上式，解得k =． 又因k 的取值应满足0∆>，即2410k ->（*），将k =代入（*）式知符合题意． 22．（石景山·理·题19）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>:l y kx m =+交椭圆于不同的两点A ，B ． ⑴求椭圆的方程；⑵若m k =，且0OA OB ⋅=，求k 的值（O 点为坐标原点）； ⑶若坐标原点O 到直线lAOB △面积的最大值． 【解析】 ⑴设椭圆的半焦距为c，依题意c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得c =由222a b c =+，得1b =∴所求椭圆方程为2213x y +=⑵∵m k =，∴(1)y kx k k x =+=+．设1122(,),(,)A x y B x y ，其坐标满足方程2213(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得2222(13)6330k x k x k +++-=，则()()()22226413330()k k k ∆=-+->*故22121222633,1313k k x x x x k k --+==++． ∵0OA OB ⋅=，∴12121212(1)(1)x x y y x x k x k x +=++⋅+2221212(1)()k x x k x x k =++++2222222223363(1)0131331k k k k k k k k k ---=++⋅+==+++∴k =，经检验k =满足(*)式．=223(1)4m k =+ 将y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(13)6330k x kmx m +++-=222(6)4(13)(33)0()km k m ∆=-+->*∴2121222633,1313km m x x x x k k --+==++．∴2222222122223612(1)||(1)()(1)(31)31k m m AB k x x k k k ⎡⎤-=+-=+-⎢⎥++⎣⎦22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++ 242221212123334(0)196123696k k k k k k =+=++=≠++⨯+++≤当且仅当2219k k =，即k =经检验，k =满足（*）式． 当0k =时，||AB =综上可知，max ||2AB =所以，当||AB 最大时，AOB △的面积取得最大值max 122S =⨯=．23．（石景山·文·题19）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，直线:l y kx m =+交椭圆于不同的两点A ，B ．⑴求椭圆的方程；⑵若1m =，且0OA OB ⋅=，求k 的值（O 点为坐标原点）； ⑶若坐标原点O 到直线lAOB △面积的最大值． 【解析】 ⑴设椭圆的半焦距为c，依题意c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得c =由222a b c =+，得1b =∴所求椭圆方程为2213x y +=⑵∵1m =，∴1y kx =+．设1122(,),(,)A x y B x y ，其坐标满足方程221,3 1.x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得22(13)60k x kx ++=，则()()22641300k k ∆=-+⨯>，解得0k ≠故121226,013kx x x x k -+=⋅=+． ∵0OA OB ⋅=，∴2121212121212(1)(1)(1)()1x x y y x x kx kx k x x k x x +=++⋅+=++++2222613(1)0101331k k k k k k --=+⨯+⋅+==++∴k =．=223(1)4m k =+．将y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(13)6330k x kmx m +++-=()()()2226413330()km k m ∆=-+->*∴2121222633,1313km m x x x x k k --+==++ ∴2222222212223612(1)(1)()(1)(31)31k m m AB k x x k k k ⎡⎤-=+-=+-⎢⎥++⎣⎦22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++242221212123334(0)196123696k k k k k k =+=++=≠++⨯+++≤． 当且仅当2219k k=，即k =时等号成立．经检验，k =满足()*式． 当0k =时，||AB =综上可知max 2AB =∴当AB 最大时，AOB △的面积取最大值122S =⨯=． 24．（西城·理·题18）椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>⑴求椭圆C 的方程；⑵设过点D (0,4)的直线l 与椭圆C 交于,E F 两点，O 为坐标原点，若OEF △为直角三角形，求直线l 的斜率．【解析】 ⑴由已知225c a b a =+=， 又222a b c =+，解得224,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=；⑵根据题意，过点(0,4)D 满足题意的直线斜率存在，设:4l y kx =+， 联立22144x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得22(14)32600k x kx +++=，222(32)240(14)64240k k k ∆=-+=-，令0∆>，解得2154k >． 设E 、F 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ， ⅰ）当EOF ∠为直角时， 则1212223260,1414k x x x x k k +=-=++， 因为EOF ∠为直角，所以0OE OF ⋅=，即12120x x y y +=，所以21212(1)4()160k x x k x x ++++=，所以222215(1)32401414k k k k ⨯+-+=++，解得k =ⅱ）当OEF ∠或OFE ∠为直角时，不妨设OEF ∠为直角， 此时，1OE k k ⋅=，所以111141y y x x -⋅=-，即221114x y y =-……① 又221114x y +=…………② 将①代入②，消去1x 得2113440y y +-=，解得123y =或12y =-（舍去）， 将123y =代入①，得1x =所以114y k x -== 经检验，所求k 值均符合题意，综上，k的值为25．（西城·文·题18）椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>(2,0)点．⑴求椭圆C 的方程；⑵设直线l ：y x m =+与椭圆C 交于,A B 两点，O 为坐标原点，若OAB ∆直角三角形，求m 的值．【解析】 ⑴已知241c a a ==，所以2,a c ==222a b c =+，所以1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．⑵联立2214x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得2258440x mx m ++-=，2226480(1)1680m m m ∆=--=-+，令0∆>，即216800m -+>，解得m <． 设A ，B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，i ）当AOB ∠为直角时，则21212844,55m x x m x x -+=-=，因为AOB ∠为直角，所以0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=， 所以212122()0x x m x x m +++=，所以222888055m m m --+=，解得m =ii ）当OAB ∠或OBA ∠为直角时，不妨设OAB ∠为直角， 由直线l 的斜率为1，可得直线OA 的斜率为1-， 所以111y x =-，即11y x =-， 又2214x y +=，所以211514x x =⇒=1112m y x x =-=-=依题意m <，且0m ≠，经检验，所求m 值均符合题意，综上，m的值为26．（东城·理·题19）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线0x y -相切．⑴求椭圆C 的方程；⑵设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；⑶在⑵的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ⋅的取值范围．【解析】 ⑴由题意知12c e a ==，所以22222214c a b e a a -===．即2243a b =．又因为b ==24a =，23b =． 故椭圆C 的方程为22143x y +=．⑵由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-． 由22(4),1.43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)3264120k x k x k +-+-=． ①设点11(,)B x y ，22(,)E x y ，则11(,)A x y -． 直线AE 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--． 令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+．将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-．②由①得21223243k x x k +=+，2122641243k x x k -=+代入②整理，得1x =． 所以直线AE 与x 轴相交于定点(1,0)Q ．⑶当过点Q 直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y m x =-，且(,)M M M x y ，(,)N N N x y 在椭圆C 上． 由22(1)143y m x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)84120m x m x m +-+-=．易知0∆>．所以22843M N m x x m +=+，2241243M N m x x m -=+，22943M N m y y m =-+．则M N M N OM ON x x y y ⋅=+2225125334344(43)m m m +=-=--++．因为20m ≥，所以21133044(43)m --<+≤． 所以54,4OM ON ⎡⎫⋅∈--⎪⎢⎣⎭．当过点Q 直线MN 的斜率不存在时，其方程为1x =．解得3(1,)2M ，3(1,)2N -．此时54OM ON ⋅=-． 所以OM ON ⋅的取值范围是54,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．27．（东城·文·题19）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -相切．⑴求椭圆C 的方程；⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点． 【解析】 ⑴由题意知c e a ==， 所以22222234c a b e a a -===，即224a b =，又因为1b ==，所以224,1a b ==， 故椭圆C 的方程为C ：2214x y +=．⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =- ① 联立22(4)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：2222(41)324(161)0k x k x k --+-=， 由2222(32)4(41)(644)0k k k ∆=-+->得21210k -<，又0k =不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是0k <<或0k << ⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ，则11(,)M x y -， 直线ME 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--， 令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+，将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②由得①2212122232644,4141k k x x x x k k -+==++代入②整理，得1x =， 所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)．28．（宣武·理·题19）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>⑴若原点到直线0x y b +-=⑵设过椭圆的右焦点且倾斜角为45︒的直线l 和椭圆交于,A B 两点． i)当||AB b 的值；ii)对于椭圆上任一点M ，若OM OA OB λμ=+，求实数,λμ满足的关系式． 【解析】 ⑴∵d ==2b =．∵c e a ==2223c a =．∵222a b c -=，∴22243a a -=，解得2212,4ab ==．椭圆的方程为221124x y+=．⑵i)∵c a =2222223,23a b c a b ===，椭圆的方程可化为 22233x y b += …………①易知右焦点,0)F ，据题意有AB：y x = ………②由①，②有：22430x b -+= …………③ 设1122(,),(,)A x y B x y ，||AB =∴1b =ii)显然OA 与OB 可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量OM ，有且只有一对实数,λμ，使得等式OM OA OB λμ=+成立．设(,)M x y ，∵1122(,)(,)(,)x y x y x y λμ=+，∴1212,x x x y y y λμλμ=+=+又点M 在椭圆上，∴2221212()3()3x x y y b λμλμ+++= ……………④由③有：2121234b x x x x +==则222212121212121233()()4()63960x x y y x x x x x x x x b b b b +=+=-++=-+=……………⑤又,A B 在椭圆上，故有222222112233,33x y b x y b +=+= …………⑥将⑥，⑤代入④可得：221λμ+=．29．（宣武·文·题19）已知椭圆的中心在原点O ，焦点在x轴上，点(A -是其左顶点，点C 在椭圆上且0,||||AC CO AC CO ⋅==． ⑴求椭圆的方程；⑵若平行于CO 的直线l 和椭圆交于,M N 两个不同点，求CMN △面积的最大值，并求此时直线l 的方程．【解析】 ⑴设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，∵左顶点(,||||A AC CO AC CO -⊥=． ∴212a =，(C又∵C 在椭圆上，∴233112b+=，24b = ∴椭圆的标准方程为221124x y +=．⑵设1122(,),(,)M x y N x y∵CO 的斜率为1-，∴设直线l 的方程为y x m =-+，代入221124x y +=，得22463120x mx m -+-=．22122123644(312)0323124m m m x x m x x ⎧⎪∆=-⋅->⎪⎪+=⎨⎪⎪-⋅=⎪⎩∴||MN ==又C 到直线l的距离d ==，∴CMN △的面积1||2S MN d =⋅⋅=22162m m +-= 当且仅当2216m m =-时取等号，此时m =± ∴直线l的方程为0x y +±=．30．（崇文·理·题19）已知抛物线24y x =，点(1,0)M 关于y 轴的对称点为N ，直线l 过点M 交抛物线于,A B 两点． ⑴证明：直线,NA NB 的斜率互为相反数； ⑵求ANB ∆面积的最小值；⑶当点M 的坐标为(,0)(0m m >，且1)m ≠．根据⑴⑵推测并回答下列问题（不必说明理由）： ①直线,NA NB 的斜率是否互为相反数？ ②ANB △面积的最小值是多少？【解析】 ⑴设直线l 的方程为()1(0)y k x k =-≠．由()21,4,y k x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 可得 ()2222240k x k x k -++=． 设()()1122,,,A x y B x y ，则21212224,1k x x x x k ++==．∴124y y =-∴()1,0N - 1212221212441144NA NB y y y yk k x x y y +=+=+++++ ()()()()()()2212212112222212124444(4444)04444y y y y y y y y y y y y ⎡⎤+++-+-+⎣⎦===++++．又当l 垂直于x 轴时，点,A B 关于x 轴，显然0,NA NB NA NB k k k k +==-． 综上，0,NA NB NA NB k k k k +==-． ---------------- 5分 ⑵12NAB S y y ∆=-==4． 当l 垂直于x 轴时，4NAB S ∆=．∴ANB ∆面积的最小值等于4． ----------------10分 ⑶推测：①NA NB k k =-；②ANB∆面积的最小值为4．31．（崇文·文·题19）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>短轴的一个端点(D ，离心率12e =．过D 作直线l 与椭圆交于另一点M ，与x轴交于点A （不同于原点O ），点M 关于x 轴的对称点为N ，直线DN 交x 轴于点B ． ⑴求椭圆的方程； ⑵求OA OB ⋅的值．【解析】⑴由已知，2,a b =所以椭圆方程为 22143x y +=．⑵设直线l 方程为y kx =0y=，得A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．由方程组223412y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 可得(223412x k x +=，即()22340k x++=．所以M x =，所以M ⎛ ⎝，N ⎛- ⎝．所以34DN k k ==． 直线DN 的方程为34y x k=令0y =，得B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．所以 OA OB ⋅=4=．32．（朝阳·理·题19）已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，过点()2,1P 的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ．⑴求椭圆C 的方程；⑵求直线l 的方程以及点M 的坐标；⑶是否存过点P 的直线1l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ，满足2PA PB PM ⋅=？若存在，求出直线1l 的方程；若不存在，请说明理由．【解析】 ⑴设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意得22222191412a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得224,3a b ==，故椭圆C 的方程为22143x y+=．⑵因为过点()2,1P 的直线l 与椭圆在第一象限相切，所以l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为(2)1y k x =-+．由221,43(2)1x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得222(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=． ①因为直线l 与椭圆相切，所以222[8(21)]4(34)(16168)0k k k k k ∆=---+--=．整理，得32(63)0k +>．解得12k >-．所以直线l 的方程为11(2)1222y x x =--+=-+．将12k =-代入①式，可以解得M 点横坐标为1，故切点M 坐标为31,2⎛⎫⎪⎝⎭．⑶若存在直线1l 满足条件的方程为1(2)1y k x =-+，代入椭圆C 的方程得 22211111(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=．因为直线1l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ，设,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ， 所以2221[8(21)]4(34)(16168)32(63)0.k k k k k k ∆=---+--=+> 所以12k =-．又21111121222118(21)16168,3434k k k k x x x x k k ---+==++，因为2PA PB PM ⋅=，即12125(2)(2)(1)(1)4x x y y --+--=，所以2212(2)(2)(1)||x x k PM --+=54=．即2121215[2()4](1)4x x x x k -+++=．所以222121111222111161688(21)445[24](1)3434344k k k k k k k k k ---+-⋅++==+++，解得112k =±． 因为,A B 为不同的两点，所以12k =．于是存在直线1l 满足条件，其方程为12y x =．33．（朝阳·文·题19）已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，过点()2,1P 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ． ⑴求椭圆C 的方程；⑵是否存直线l ，满足2PA PB PM ⋅=？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【解析】 ⑴设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意得22222191412a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得224,3a b ==，故椭圆C 的方程为22143x y += 5分⑵若存在直线l 满足条件，设直线l 的方程为(2)1y k x =-+由221,43(2)1x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得222(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--= 因为直线l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ． 设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y所以222[8(21)]4(34)(16168)0.k k k k k ∆=---⋅+⋅-->整理，得32(63)0k +>解得12k >-．又21212228(21)16168,3434k k k k x x x x k k ---+==++ 且2PA PB PM ⋅=．即12125(2)(2)(1)(1)4x x y y --+--=． 所以2212(2)(2)(1)||x x k PM --+=54=即212125[2()4](1).4x x x x k -+++=所以222222161688(21)445[24](1)3434344k k k k k k k k k ---+-⋅++==+++ 解得12k =±．所以12k =．于是，存在直线l 满足条件，其方程为12y x =．二模：1、（丰台区）20．（13分）已知抛物线24x y =的焦点为F ，过焦点F 且不平行于x 轴的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，抛物线在A 、B 两点处的切线交于点M ． （Ⅰ）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）设直线MF 交该抛物线于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值．解：（Ⅰ）由已知，得(0,1)F ，显然直线AB 的斜率存在且不得0， 则可设直线AB 的方程为1y kx =+（0k ≠），11(,)A x y ，22(,)B x y ，由24,1x y y kx ⎧=⎨=+⎩消去y ，得2440x kx --=，显然216160k ∆=+>. 所以124x x k +=，124x x =-. ………………………………………………2分由24x y =，得214y x =，所以'12y x =， 所以，直线AM 的斜率为112AM k x =，所以，直线AM 的方程为1111()2y y x x x -=-，又2114x y =，所以，直线AM 的方程为 112()x x y y =+①。
2010北京崇文高三二模数学理(word版+答案+免费免点数)
崇文区2009—2010学年度第二学期统一练习㈡高三数学（理科） 2010.5一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．⑴“关于x 的不等式220x ax a -+>的解集为R ”是“0≤a ＜1”的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件⑵一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于A.12B.4C.563D.3⑶设函数f(x)=2lo g (1),(0),,(0).a x x x q xb x +>⎧⎨++≤⎩若f(3)=2，f(－2)=0，则a ＋b= A.－1 B.0 C.1 D.2⑷把函数y=sinx(x ∈R)的图象上所有的点向左平移6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数为A.y=sin (2)3x π-，x ∈R B. y=1sin ()26x π+，x ∈RC. y=sin (2)3x π+，x ∈R D. y=1sin ()26x π-，x ∈R⑸已知点P 是抛物线22y x=上的一个动点，则点P 到点M(0，2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为俯视图侧（左）视图正(主)视图A.3B. 292⑹若非零向量，a b 满足+=a b b，则（ ）Ａ．2>2+a a b Ｂ．22<+a a b Ｃ．2>+2b a bＤ．22<+b a b⑺用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数，其中恰好有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为A.120B.72C.48D.36 ⑻已知圆的方程2225x y +=，过M(－4，3)作直线MA,MB 与圆交于点A,B ，且MA,MB 关于直线y=3对称，则直线AB 的斜率等于A.43- B.34- C.54- D.45-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．⑼函数的定义域为 .⑽如图，⊙O 中的弦AB 与直径相交于点P ，M 为DC 延长线一点，MN 为⊙O 的切线，N 为切点，若AP=8，PB=6，PD=4，MC=6，则MN= .⑾甲、乙、丙三名射击运动员在某次测试中各射击20次，三人的测试成绩如下表1x -，2x -，3x -分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的平均数，则1x -，2x -，3x -的大小关系是 ；123,,s s s 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则123,,s s s 的大小关系是 .⑿若直线l 的参数方程为31,545x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数），则直线l 的斜率为 ；在极坐标系中，直线m的方程为sin ()42πρθ+=，则点A7(2,4π到直线m 的距离为 .⒀给定下列四个命题：①若110a b <<，则22b a >；②已知直线l ，平面,αβ为不重合的两个平面.若l ⊥α，且αβ⊥，则l ∥β； ③若－1，a ，b ，c ，－16成等比数列，则b=－4； ④若()52x -=5432543210a x a x a x a x a x a +++++，则12345a a a a a ++++=－1.其中为真命题的是 .(写出所有真命题的序号)⒁设不等式组*0,0,()4x y n y n x n>⎧⎪>∈⎨⎪≤-+⎩N 所表示的平面区域n D内的整点(横坐标，纵坐标都是整数的点）个数为na ，则2420101()2010a a a +++=.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. ⒂(本小题共12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴为始边作两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆交于A ，B 两点.已知A，xB的横坐标分别为5，10. ⑴求tan ()αβ+的值； ⑵求2αβ+的值 ⒃正方体ABCD-1111A B C D 的棱长为2，O 是AC 与BD 的交点，E 是1B B上一点，且1B E=12.⑴求证：1B D ⊥平面1D A C ；⑵求异面直线1D O与1A D所成角的余弦值；⑶求直线1D O与平面AEC 所成角的正弦值⒄（本小题13分）某学校高一年级开设了A,B ，C ，D ，E 五门选修课.为了培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须参加且只能选修一门课程.假设某班甲、乙、丙三名学生对这五门课程的选择是等可能的.⑴求甲、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法种数； ⑵求甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程的概率；⑶设随机变量X 为甲、乙、丙这三名学生参加A 课程的人数，求X 的分布列与数学期望.⒅（本小题共14分）设函数()(2)ln()f x a x =--＋1x ＋2ax(a ∈R). ⑴当a=0时，求f(x)的极值； ⑵当a ≠0时，求f(x)的单调区间. EOCBADD 1C 1B 1A 1⒆（本小题共14分）已知椭圆22221xy ab+=（a ＞b ＞0)和圆O ：222x y b+=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A,B.⑴①若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e ；②若椭圆上存在点P ，使得∠APB=90°，求椭圆离心率的取值范围； ⑵设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，求证：2222abO N O M+为定值⒇（本小题共13分）已知集合M={1，2，3，4，5，6}，对于ia ，ib ∈M ，记i i ia eb =且ia ＜ib ，由所有ie 组成的集合设为A={12,,e e …,ke }.⑴求k 的值；⑵设集合B={'ie |'ie =1ie ，i e ∈A}，对任意ie ∈A ，'je ∈B ，试求'i ji je e ≠∑；⑶设ie ∈A ，'je ∈B ，试求ie ＋'je ∈Z 的概率.xy王洪亮——北京高中数学辅导——邮箱000whl777@11 / 11。
2010北京二模立体几何汇编(文)-答案
（西城）17、证明：（Ⅰ）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥， 因为1BB ⊥底面ABCD ，所以1BB AC ⊥， …………3分 所以AC ⊥平面11BDD B . …………5分 （Ⅱ）设AC ,BD 交于点O ，取1B D 的中点F ，连接,OF EF ，则1//OF BB ，且112OF BB =，又E 是侧棱1CC 的中点，112EC CC =，11//BB CC ，11BB CC =，所以1//OF CC ，且112OF CC =, …………………7分所以四边形OCEF 为平行四边形，//OC EF ， …………………9分 又AC ⊄平面1B DE ，EF ⊂平面1B DE ， ………………11分 所以//AC 平面1B DE . ………………13分 （东城）17．（本小题满分14分）（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ， 所以PD ⊥AD .………………………………………………2分 又因为ABCD 是矩形，所以AD ⊥CD .……………………3分 因为PD ⋂CD=D ，所以AD ⊥平面PCD . 又因为PC ⊂平面PCD ，所以AD ⊥PC .…………………5分（2）解：因为AD ⊥平面PCD ，所以AD 是三棱锥A —PDE 的高. 因为E 为PC 的中点，且PD =DC =4， 所以.4)4421(2121=⨯⨯⨯==∆∆PDC PDE S S ………………7分又AD =2，所以.38423131=⨯⨯=⋅=∆-PDE PDE A S AD V …………9分（2）解：取AC 中点M ，连结EM ，DM ，因为E 为PC 的中点，M 是AC 的中点，所以EM ∥P A . 又因为EM ⊂平面EDM ，P A ⊄平面EDM . 所以P A ∥平面EDM .………………12分 所以521==AC AM .即在AC 边上存在一点M ，使得P A ∥平面EDM ，AM 的长为5.…………14分（海淀）17. （本小题满分14分）证明：(Ⅰ) 因为90=∠ACB ，所以CB AC ⊥， ……… 1分又侧面⊥11A ACC 平面ABC ，且平面 11A ACC 平面ABC =AC ， …………3分ABDA 1B 1C 1D 1E COF⊂BC 平面ABC ，所以⊥BC 平面11A ACC ， ………… 5分又⊂1AA 平面11A ACC ，所以1AA BC ⊥ . ………… 7分 （II ）连接B A 1,交1AB 于O 点，连接MO, ………… 9分 在BN A 1∆中，O,M 分别为B A 1，BN 的中点, 所以OM //N A 1 ………… 11分 又OM ⊂平面M AB 1，⊄N A 1平面M AB 1 , ………… 13分 所以 N A 1 // 平面M AB 1 . ………… 14分 （宣武）16.（本题满分13分） 解：（Ⅰ）此组合体底部为长方体，上部为半个圆柱π+=⨯⨯π+⨯⨯=806401042110882V . …………………………5分 (Ⅱ)（i ）∵长方体1111D C B A ABCD -∴BA B A AD 11平面⊥ ∵BA B A B A 111平面⊂ ∴B A AD 1⊥又∵BA B A 11是边长为8的正方形 ∴11AB B A ⊥ ∵A AD AB =⋂1∴D C AB B A 111平面⊥. …………………………10分（朝阳）17. 解：证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD 是正方形，AC BD O = ，所以O 是AC ，BD 中点. 由已知，SA SC =, SB SD =, 所以SO AC ⊥,SO BD ⊥, 又AC BD O = ，所以SO ⊥平面ABCD . ………………………………………………6分 （Ⅱ）对于SC 上任意一点E ，平面BDE ⊥平面SAC .ABCA 1B 1C 1DEFG证明如下：由（Ⅰ）知SO ABCD ⊥面， 而BD ABCD ⊂面，所以SO BD ⊥.又因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥. 因为AC SO O = ，所以BD SAC ⊥面.又因为BD BDE ⊂面，所以平面BDE ⊥平面SAC .………………………13分 （昌平）（16）(本小题满分14分) 解：（I ）取AB 中点G ，连DG ,CG在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，11BCC B ∴是矩形.∵D,E 分别为AB 1，CC 1的中点， ∴1111//,//22DG BB CE BB ， //,DG CE DGCE ∴是平行四边形DE ∴∥GC ………………………………………………………………………….4分 ∵GC ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ，∴DE//平面ABC . ……………………………………………………………..5分 （II ）三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC , ∴ AF ⊥CC 1=,AB AC F BC 为中点，AF BC ∴⊥又1BC CC C ⋂=11,AF BCC B ∴⊥平面……………………………………………………..9分 ,AF AEF ⊂又平面∴11AEF BCC B ⊥平面平面…………………………………………………..10分 （III ）由（II ）得，11,AF BCC B ⊥平面在1RT 2,2ABC AB AC BC AF BC ==∴=== 由已知，中，1112BCB S BC BB ==111433A BCB BCB V S AF -∴== ………………………………………………..14分（丰台）证明：（Ⅰ）∵ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ， ………………………………1分∵SA ABCD ⊥底面，∴BD ⊥SA ， ……………2分 ∵SA 与AC 交于A,∴BD ⊥平面SAC, …………………………………4分 ∵BD ⊂平面SBD∴平面SBD ⊥平面SAC …………………6分（Ⅱ）取SB 中点E ，连接ME ，CE ，∵M 为SA 中点，∴ME AB 且ME=12AB, ………8分 又∵ABCD 是菱形，N 为CD 的中点，∴CN AB 且CN=12CD=12AB, (10)分∴CN EM,且CN=EM ，∴四边形CNME 是平行四边形，∴MN CE, …………………12分 又MN ⊄平面SBC, CE ⊂平面SBC,∴直线MN SBC 平面‖ …………………13分（顺义）17．（本小题共14分）证明：由三视图知该多面体为底面为直角三角形的 直三棱柱111ABC A B C -，1112AC B π∠=，棱1AA ⊥平面11A B C，1AA =，11111AC B C ==，11A B =______2分Ⅰ. Q D 为11A B 的中点，∴111C D A B ⊥，Q 1AA ⊥平面111A B C1C D ⊂平面11A B C，∴11C D AA ⊥，1111AA A B A =I ，∴1C D ⊥平面11ABB A______5分Ⅱ. 当点F 在棱1BB 上的中点时，有1AB ⊥平面俯视图侧视图主视图21112D C 1B 1A 1BCA1C DF ______7分证明：连结DF ，1A B ，∴1||DF A B ，Q 111AA A B =，∴四边形11ABB A 为正方形，∴11AB A B ⊥，∴1AB DF ⊥，由Ⅰ知11C D A B ⊥，1DF C D D =I ∴1AB ⊥平面1C DF ______10分Ⅲ.设1AB DF G =I ，1B G 为三棱锥11B C DF -的高，112B G =，______12分可求得 1C DF S =V ，体积V =.______14分 （崇文）（16）（共14分）（Ⅰ）连接OE ，在1B BD ∆中，∵E 为1BB 的中点，O 为BD 的中点，∴OE ∥1B D 又∵1B D ⊄平面AEC∴直线1B D ∥平面AEC ． --------------------4分 （Ⅱ）在正方体1111D C B A ABCD -中，1B B ⊥ 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD∴1B B AC ⊥．BD AC ⊥且1BB BD B ⋂= ∴1B D AC ⊥ ∴1AC B D ⊥ 同理可证11B D AD ⊥ ∵1AC AD A ⋂=∴⊥D B 1平面AC D 1. --------------------9分（Ⅲ）11111221333D D OC D DOC DOC V V DD S --∆==⋅⋅=⨯⨯=． -------------14分。
北京市各城区二模理科数学分类汇编之立体几何解答题及答案
【西城二模】16．（本小题满分14分）如图，梯形ABCD 所在的平面与等腰梯形ABEF 所在的平面互相垂直，////AB CD EF ，AB AD ⊥．2CD DA AF FE ====，4AB =．（Ⅰ）求证：//DF 平面BCE ； （Ⅱ）求二面角C BF A --的余弦值；（Ⅲ）线段CE 上是否存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ？请说明理由． 16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为 //CD EF ，且CD EF =， 所以 四边形CDFE 为平行四边形，所以 //DF CE ． …… 2分因为 DF ⊄平面BCE ，…… 3分所以 //DF 平面BCE ．…… 4分 （Ⅱ）在平面ABEF 内，过A 作Az AB ⊥．因为 平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD I 平面ABEF AB =， 又 Az ⊂平面ABEF ，Az AB ⊥， 所以 Az ⊥平面ABCD ，所以 AD AB ⊥，AD Az ⊥，Az AB ⊥．如图建立空间直角坐标系A xyz -． ………………5分由题意得，(0,0,0)A ，(0,4,0)B ，(2,2,0)C，E，(0,1F ． 所以 (2,2,0)BC −−→=-，(0,BF −−→=-． 设平面BCF 的法向量为(,,)x y z =n ，则 0,0,BC BF −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即220,30.x y y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩令1y =，则1x =，z=n ． ………………7分平面ABF 的一个法向量为 (1,0,0)=v ， ………………8分则cos ,||||⋅〈〉==n v n v n v 所以 二面角C BF A --………………10分（Ⅲ）线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，理由如下： ………………11分解法一：设平面ACE 的法向量为111(,,)x y z =m ，则 0,0,AC AE −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩m m即1111220,30.x y y +=⎧⎪⎨=⎪⎩令11y =，则11x =-，1z =(1,1,=-m ． ………………13分因为 0⋅≠m n ，所以 平面ACE 与平面BCF 不可能垂直，从而线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ． ………………14分解法二：线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，理由如下： …………11分假设线段CE 上存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ， 设 CG CE λ−−→−−→=，其中[0,1]λ∈．设 222(,,)G x y z，则有222(2,2,)(2,)x y z λλ--=-， 所以 222x λ=-，22y λ=+，2z =，从而(22,2,)G λλ-+，所以(22,2)AG λλ−−→=-+． ………………13分 因为 AG ⊥平面BCF ，所以 //AG n ．y所以有22211λλ-+=， 因为 上述方程组无解，所以假设不成立．所以 线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ． ………………14分【海淀二模】（17）（本小题14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，112,AC BC AB AB ===⊥平面ABC ，1AC ⊥AC ，,D E 分别是11AC B C ，的中点 （Ⅰ）证明：11AC B C ⊥； （Ⅱ）证明：//DE 平面11AA B B ；（Ⅲ）求DE 与平面11BB C C 所成角的正弦值17.（本小题共14分） 解：（Ⅰ）因为1AB ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以1AB AC ⊥．因为1AC AC ⊥，11AB AC A =，1AB ，1AC ⊂平面11AB C ，所以AC ⊥平面11AB C ． 因为11B C ⊂平面11AB C ，所以11AC B C ⊥． ······································································· 4分 （Ⅱ）取11A B 的中点M ，连接MA 、ME ． 因为E 、M 分别是11B C 、11A B 的中点，所以ME ∥11AC ，且ME 1112A C =． 在三棱柱111ABC ABC -中，11ADAC ，且1112AD A C =， 所以ME ∥AD ，且ME =AD ， 所以四边形ADEM 是平行四边形， 所以DE ∥AM ．又AM ⊂平面11AA B B ，DE ⊄平面11AA B B ， 所以//DE 平面1AA BB ． ·························· 9分 （Ⅲ）在三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，1 C因为11AC B C ⊥，所以AC BC ⊥． 在平面1ACB 内，过点C 作1//Cz AB ， 因为，1AB ⊥平面ABC ， 所以，Cz ⊥平面ABC ．建立空间直角坐标系C -xyz ，如图．则(0,0,0)C ,(2,0,0)B ,1(0,2,2)B ,1(2,2,2)C -,(0,1,0)D ,(1,2,2)E -.(1,1,2)DE =-，(2,0,0)CB =，1(0,2,2)CB =．设平面11BB C C 的法向量为(,,)x y z =n ，则10CB CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即20220x y z =⎧⎨+=⎩， 得0x =，令1y =，得1z =-，故(0,1,1)=-n ． 设直线DE 与平面11BB C C 所成的角为θ， 则sin θ＝cos ,||||DE DE DE ⋅<>=⋅n n n 6=所以直线DE 与平面11BB C C ························· 14分【东城二模】 （17）（本小题14分）如图，在四棱锥A BCDE -中，平面ABC BCDE 平面⊥,22AB AC CD BE ====,//BE CD ，CD CB ⊥,AB AC ⊥.（Ⅰ）求证：ACD 平面⊥平面ABC ；（Ⅱ）若O 为BC 中点，P 为线段CD 上一点，//OP 平面ADE ，求CPCD的值； （Ⅲ）求二面角A DE B --的的大小; （17）（共14分）（Ⅰ）证明：如图1，因为平面ABC ⊥平面BCDE ，平面ABC平面BCDE CB =，CD ⊂平面BCDE ，CD CB ⊥，所以CD ⊥平面ABC .因为CD ⊂平面ACD ，所以平面ACD⊥平面ABC .………………4分（Ⅱ）如图2，取CD 中点F ，连接EF ，因为//OP 平面ADE ，OP ⊂平面BCDE ，平面ADE 平面BCDE DE =，所以//OP DE .所以CPO FDE ??.因为//BE CF ，BE CF =， 所以//EF BC . 所以PCODFE ??.所以COP FED ∆∆.所以CP CO FD FE ==12. 因为F 为CD 的中点， 所以14CP CD =. ……………………………9分 （Ⅲ）连接OA ，由（Ⅰ）知CD ⊥平面ABC ，OA ⊂平面ABC ，OB ⊂平面ABC所以,CD OA CD OB ⊥⊥，因为AB AC =，点O 为BC 中点，所以OA OB ⊥. 作//OM CD ，所以,OM OA OM OB ⊥⊥. 如图3建立空间坐标坐标系O xyz -. 因为22AB AC CD BE ====所以(()),,A D E， ()()2,2,2,2,1,AD AE =--=因为OA OB ⊥，OA OM ⊥，OB OM O =，所以OA ⊥平面BCDE .平面BCDE 的法向量(0,0,1)=n .设平面ADE 的法向量(),,x y z =m ，则有 0,0.AD AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即20,0.y y ⎧+-=⎪+= 令1x =，则y =，3z =，即()=m.cos ,2⋅===n m n m n m . 由题知二面角A DE B --为锐角， 所以二面角A DE B --的大小为4π. ……………………………14分 【朝阳二模】17.（本小题满分14分）如图,在四棱锥P ABCD -中,平面PBC ⊥平面ABCD .PBC !是等腰三角形,且3PB PC ==.在梯形ABCD 中,//AB DC ,AD DC ⊥,5AB =,4AD =,3DC =.（Ⅰ）求证://AB 平面PDC ; （Ⅱ）求二面角A PB C --的余弦值;（Ⅲ）在线段AP 上是否存在点H ,使得BH ⊥平面ADP ？请说明理由. 证明：（Ⅰ）因为//AB DC又因为AB ⊄平面PDC ,DC ⊂平面PDC 所以//AB 平面PDC（Ⅱ）取BC 中点F ，在PBC !中,因为PB PC =，所以PF BC ⊥又易知5AC AB ==，所以AF BC ⊥ 又因为平面PBC ⊥平面ABCD ,且平面PBC平面=ABCD BC ,所以PF ⊥平面ABCD ,所以PF AF ⊥.以F 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -在梯形ABCD 中，因为//,,4,3,5AB DC AD DC AD DC AB ⊥===所以BC AF == 又因为3PB =，所以2PF =于是有(0,0,2),(0,P A B C所以(25,0,0),(25,5,0),(0,5,2)FA AB PB ==-=-因为AF ⊥平面PBC ，所以FA =是平面PBC 的一个法向量设平面PBA 的一个法向量(,,)x y z=m00020AB PB z ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⋅=-=⎪⎩m m 所以22y xz =⎧⎪= 令2y=，则=m 所以cos ,10FA <>=m由图可知，二面角A PBC --为锐角 所以二面角A PB C --的余弦值为10（Ⅲ）因为5,3AB DC ==，且(AB =-，所以35CDAB =-所以2(5AD AB BC CD AB BC =++=+=设平面ADP 的一个法向量为111(,,)x y z =n，则1111111120055020x y AD x y z AP z ⎧=-⎧⎧⋅=--=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩-+=⎩n n 令12x =,则(2,=-n假设线段AP 上存在点H ，使得BH ⊥平面A D P ,且设([0,1A H A P λλ=∈ 所以(,0,2)AH APλλ==-所以,)BH BA AH λ=+=- 因为BH ⊥平面ADP ,所以//BH n所以21-==-A 不存在所以假设不成立,故线段AP 上不存在点H 使得BH ⊥平面ADP【丰台二模】 （17）（本小题共14分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，D 是AC 中点，1A D ⊥平面ABC ，平面1BB D与棱11AC 交于点E ，1=AAAC ，=AB BC ． （Ⅰ）求证：1B B DE ∥； （Ⅱ）求证：1AA BD ⊥；（Ⅲ）若1B C 与平面11A ABB所成角的正弦值为7， 求ACBD的值． （17）（本小题共14分）（Ⅰ）证明：在三棱柱 111ABC A B C -中，侧面 11A ABB 为平行四边形， 所以 11B B A A ∥．又因为 1B B ⊄平面11A ACC ，1A A ⊂平面11A ACC，所以 1B B ∥平面11A ACC ． …………………2分 因为 1B B ⊂平面1BB D ，且平面1BB D平面11A ACC DE =，所以 1B B DE ∥． …………………4分（Ⅱ）证明：在△ABC 中，因为 =AB BC ，D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥．因为1A D ⊥平面ABC ，如图建立空间直角坐标系D xyz -．……………5分 设=BD a ，=AD b ，在△1AA D 中 1=2AA AD ，190A DA ∠=︒， 所以 1AD ，所以 (0,0,0)D ，(0,,0)A b -EDA 1C 1B 1CABEDA 1C 1B 1CABA11)A ，(,0,0)B a ．所以1(0,)AA b =，(,0,0)DB a =．…………………7分所以10000AA DB a b ⋅=⨯+⨯⨯=，所以 1AA BD ⊥． …………………9分（Ⅲ）解：因为(0,)E b ， 所以1(,)DB DE DB a b =+=，即1(,)B a b ．因为 (0,,0)C b ，所以1()CB a =． …………………10分 设平面11ABB A 的法向量为 =(,,)n x y z ，因为 100n AA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00by ax by ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令=z a，则y =，x =，所以(3,,)n b a =． …………………12分 因为 111|||cos ,|||||3n CB nCB n CB b ⋅<>==所以7422441390a a b b -+=， 所以 =a b 或23a b =，即=2AC BD 或4=3AC BD ． …………………14分【昌平二模】 17．（本小题14分）如图1，在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，DE AB ⊥于点E ，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1AD BE ⊥，如图2． ABCD图1A 1BCDE图2（I ）求证：1A E ⊥平面BCDE ； （II ）求二面角1E A D B --的余弦值；（III ）在线段BD 上是否存在点P ，使平面1A EP ⊥平面1A BD ？若存在，求出BPBD的值；若不存在，说明理由． 17．（共14分）证明：（I ）因为DE AB ⊥，所以BE DE ⊥．又因为1BE A D ⊥，1DE A D D =,所以BE ⊥平面1A DE ． 因为1A E ⊂平面1A DE ， 所以1A E BE ⊥． 又因为1A E DE ⊥,BEDE E =,所以1A E ⊥平面BCDE ．--------------------5分 （II ）因为1A E ⊥平面BCDE ，BE DE ⊥，所以以E 为原点，分别以EB ，ED ，EA 1为 x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(1,0,0)B，D ，1(0,0,1)A ．所以1(1,0,1)BA =-,(1BD =-． 设平面1A BD 的法向量(,,)x y z =n ，由100BA x z BD x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩n n，得x z x =⎧⎪⎨=⎪⎩令1y =，得=n ．因为BE ⊥平面1A DE ，所以平面1A DE 的法向量(1,0,0)EB =u u r，所以3cos ,77EB EB EB⋅===⋅n n n ．因为所求二面角为锐角，所以二面角1E A D B --的余弦值为7． -------------------10分 （III ）假设在线段BD 上存在一点P ，使得平面1A EP ⊥平面1A BD ．设(,,)P x y z，(01)BP BD λλ=≤≤，则(1,,)(1x y z λ-=-． 所以(1,0)P λ-．所以1(0,0,1)EA =，(1,0)EP λ=-． 设平面1A EP 的法向量(,,)x y z =m ，由10(1)0EA z EP x y λ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩m m ，得0(1)z x y λ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令x =，得,1,0)λ=-m ．因为平面1A EP ⊥平面1A BD ， 所以310λλ⋅=+-=m n ，解得[]10,14λ=∈， 所以在线段BD 上存在点P ，使得平面1A EP ⊥平面1A BD ，且14BP BD =． --------------------14分【顺义二模】17.（本小题满分14分）如图，在正三棱柱111ABC-A B C 中，侧棱长和底面边长均为1，D 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：1A B ∥平面1ADC ；（Ⅱ）求A A 1与平面1ADC 所成角的正弦值；（Ⅲ）试问线段11A B 上是否存在点E ，使1CE ADC ⊥平面？若存在，求111B A EA 的值，若不存在，说明理由． 17. （Ⅰ）连结1A C 交1AC 于点O ，连结OD1A C 交1AC 于点O ∴O 是1A C 的中点又D 是BC 的中点 ∴OD 是1A BC ∆的一条中位线∴1A B ∥OD 又1OD ADC ⊂平面∴1A B ∥平面1ADC …………………….4分（Ⅱ）以点D 为坐标原点，DB 所在直线为X 轴，AD 所在直线为Y 轴，垂直于面ABC 的直线为Z 轴，建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），A （0，0），C （12-，0，0）11C 012（-，，） 在平面ADC 1中，DA=→（0，2-，0），1D C=→1012（-，，）设m =(,,)→ｘｙｚ为平面ADC 1的一个法向量，则有1m DA =0m DC =0→→→→⎧⎪⎨⎪⎩，即0102y x z ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩不妨令2x =，则1z =，0y =，所以()2,0,1m →=又1A 01⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，则()10,0,1A A→=- 设1A A 与平面1ADC 所成角为θ，则1sin cos ,m A A θ→→==11m A A m A A→→→→⋅∴1A A 与平面1ADC .9分（Ⅲ）假设点E 在线段11A B 上，使1CE ADC ⊥平面不妨设111A E AB λ→→=（01λ≤≤）1A 0⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，11B 012⎛⎫⎪⎝⎭，，∴1112A B →⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭ ∴1111=02A E AB λλ→→⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，∴12E λ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭∴11,2222CE λ→⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭在平面ADC1中，DA=→（0，0），1A C=→112（-）∴0CE DA →→=（1） 10C E A C →→= （2）由（1）可解得=1λ 又（2）可解得=0λ（1）与（2）矛盾，所以这样的点E 不存在………………….14分【房山二模】 （17）（本小题14分）如图1，正六边形ABCDEF 的边长为2，O 为中心，G 为AB 的中点.现将四边形DEFC 沿CF 折起到四边形11D E FC 的位置，使得平面ABCF ⊥平面11D E FC ，如图2.（Ⅰ）证明：1D F ⊥平面1E OG ；（Ⅱ）求二面角1E OG F --的大小；（Ⅲ）在线段1CD 上是否存在点H ，使得//BH 平面1E OG ？如果存在，求出11D HD C的值；如果不存在，请说明理由.（17）（Ⅰ）证:图（1）中OG CF ⊥ ∴图（2）中，OG CF ⊥又面11CD E F ABCF ⊥面，11CD E FABCF=CF 面面11OG CD E F ∴⊥面111D F CD E F ⊂面1OG D F ∴⊥O 又为CF 的中点11OF//D E =∴，又111E D E F =∴四边形11E D OF 为菱形11D F OE ∴⊥1OG OE =O 11D F E OG ∴⊥面 …………5分（Ⅱ）取OF 的中点M ，连接M E 1,MA ,以点M 为坐标原点，建立空间直角坐标系M-xyz 如图所示.1,0),F(0,1,0)E -1(3,0,0),(0,1OG OE ∴==-设面1OE G 的法向量为nF 图1图21E BC1DAFOG100{{{00xn OGyn OE y=⋅==∴⇒⇒=⋅=-=，令1,z=则y=(0,3,1)n∴=设面FOG的法向量为m，则(0,0,1)m=1cos,2||||m nm nm n⋅∴<>==∴二面角1E OG F--的大小为3π…………10分（Ⅲ）假设存在，设(x,y,z)H，11,[0,1]DHD Cλλ=∈11D H DCλ∴=1D11(x,y2,z3),(0,1,DH DC∴=--=00{2{2(0,2(x xy y H BHz zλλλλ==∴-=∴=+∴+∴==-=000BH n⋅===矛盾∴不存在…………14分。
2010年北京市二模力学集锦Microsoft Word 文档 (2)
一、选择与填空（10年朝阳二模）1、如图10（甲）所示，重为80N 的物体在大小为10N 方向向左的拉力F 1的作用下，在水平面上以0.3m/s 的速度做匀速直线运动,滑轮与绳子质量及摩擦均不计。
当撤去拉力F 1物体静止后，改用拉力为水平向右大小为30N 的拉力F 2使物体在相同的水平面上向右运动10m ，如图15乙所示，则下列说法正确的是（ ）（多选题）A ．拉力F 2做的功是300JB ．物体与地面之间的摩擦力为30NC ．在拉力F 2作用下物体运动时，其受到的合力大小为10ND ．拉力F 1的功率为6W（10年朝阳二模）2、边长为1dm 的正立方体木块,漂浮在酒精液面上,有一半的体积露出液面,如图15甲所示,将木块从底部去掉一部分,粘上体积相同的玻璃后,投入某种液体中,它仍漂浮,如图11乙所示,此时液体对它竖直向上的压强为980Pa,酒精和玻璃的密度分别为ρ酒精＝0.8×103kg/m 3 ρ玻璃＝2.4×103kg/m 3,胶的质量和体积忽略不计，则玻璃的质量是kg 。
（10年崇文二模）3、如图9所示，用滑轮组将重为G =1200N 的金属块打捞出水面，不计绳重、摩擦和水对金属块的阻力，作用在绳自由端拉力F 的功率始终保持1500W ，金属块浸没在水中时匀速提起的速度为s m v /1=，金属块的密度为3106⨯=ρkg/m 3，取g=10N/kg 。
（）（多选题）A．金属块露出水面之前，绳子自由端移动的速度为s m v /4,=B ．金属块露出水面之前滑轮组的机械效率%7.66=ηC ．滑轮组中动滑轮的重力为N G 500=动D ．金属块全部出水面后作用在绳子自由端的拉力F ，比F 大100N（10年崇文二模）4、如11图所示，平静的湖面上有两艘小船，绳的一端拴在甲船上，绕过乙船上的滑轮，站在甲船上的人用100N 的力拉绳子的自由端。
如果在20s 内甲船向右匀速移动了10m ，同时乙船向左匀速移动了4m ，则人拉绳子的功率是 W 。
2010北京二模立体几何汇编(文)-答案
（西城）17、证明：（Ⅰ）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥， 因为1BB ⊥底面ABCD ，所以1BB AC ⊥， …………3分 所以AC ⊥平面11BDD B . …………5分 （Ⅱ）设AC ,BD 交于点O ，取1B D 的中点F ，连接,OF EF ， 则1//OF BB ，且112OF BB =， 又E 是侧棱1CC 的中点，112EC CC =，11//BB CC ，11BB CC =，所以1//OF CC ，且112OF CC =, …………………7分所以四边形OCEF 为平行四边形，//OC EF ， …………………9分 又AC ⊄平面1B DE ，EF ⊂平面1B DE ， ………………11分 所以//AC 平面1B DE . ………………13分 （东城）17．（本小题满分14分）（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ， 所以PD ⊥AD .………………………………………………2分 又因为ABCD 是矩形，所以AD ⊥CD .……………………3分 因为PD ⋂CD=D ，所以AD ⊥平面PCD . 又因为PC ⊂平面PCD ，所以AD ⊥PC .…………………5分（2）解：因为AD ⊥平面PCD ，所以AD 是三棱锥A —PDE 的高. 因为E 为PC 的中点，且PD =DC =4， 所以.4)4421(2121=⨯⨯⨯==∆∆PDC PDE S S ………………7分又AD =2，所以.38423131=⨯⨯=⋅=∆-PDE PDE A S AD V …………9分（2）解：取AC 中点M ，连结EM ，DM ，因为E 为PC 的中点，M 是AC 的中点，所以EM ∥P A . 又因为EM ⊂平面EDM ，P A ⊄平面EDM . 所以P A ∥平面EDM .………………12分 所以521==AC AM .即在AC 边上存在一点M ，使得P A ∥平面EDM ，AM 的长为5.…………14分（海淀）17. （本小题满分14分）证明：(Ⅰ) 因为90=∠ACB ，所以CB AC ⊥， ……… 1分ABDA 1B 1C 1D 1E COF又侧面⊥11A ACC 平面ABC ，且平面 11A ACC 平面ABC =AC ， …………3分⊂BC 平面ABC ，所以⊥BC 平面11A ACC ， ………… 5分又⊂1AA 平面11A ACC ，所以1AA BC ⊥ . ………… 7分 （II ）连接B A 1,交1AB 于O 点，连接MO, ………… 9分 在BN A 1∆中，O,M 分别为B A 1，BN 的中点, 所以OM //N A 1 ………… 11分 又OM ⊂平面M AB 1，⊄N A 1平面M AB 1 , ………… 13分 所以 N A 1 // 平面M AB 1 . ………… 14分 （宣武）16.（本题满分13分）解：（Ⅰ）此组合体底部为长方体，上部为半个圆柱π+=⨯⨯π+⨯⨯=806401042110882V . …………………………5分(Ⅱ)（i ）∵长方体1111D C B A ABCD -∴BA B A AD 11平面⊥ ∵BA B A B A 111平面⊂ ∴B A AD 1⊥又∵BA B A 11是边长为8的正方形 ∴11AB B A ⊥ ∵A AD AB =⋂1∴D C AB B A 111平面⊥. …………………………10分（朝阳）17. 解：证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD 是正方形，ACBD O =，所以O 是AC ，BD 中点. 由已知，SA SC =, SB SD =, 所以SO AC ⊥,SO BD ⊥, 又ACBD O =，所以SO ⊥平面ABCD . ………………………………………………6分ABCA 1B 1C 1DEFG（Ⅱ）对于SC 上任意一点E ，平面BDE ⊥平面SAC . 证明如下：由（Ⅰ）知SO ABCD ⊥面， 而BD ABCD ⊂面，所以SO BD ⊥.又因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥. 因为ACSO O =，所以BD SAC ⊥面.又因为BD BDE ⊂面，所以平面BDE ⊥平面SAC .………………………13分 （昌平）（16）(本小题满分14分) 解：（I ）取AB 中点G ，连DG ,CG在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，11BCC B ∴是矩形.∵D,E 分别为AB 1，CC 1的中点， ∴1111//,//22DG BB CE BB ， //,DG CE DGCE ∴是平行四边形DE ∴∥GC ………………………………………………………………………….4分 ∵GC ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ，∴DE//平面ABC . ……………………………………………………………..5分 （II ）三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC , ∴ AF ⊥CC 1=,AB AC F BC 为中点，AF BC ∴⊥又1BC CC C ⋂=11,AF BCC B ∴⊥平面……………………………………………………..9分,AF AEF ⊂又平面∴11AEF BCC B ⊥平面平面…………………………………………………..10分 （III ）由（II ）得，11,AF BCC B ⊥平面在1RT 2,2ABC AB AC BC AF BC ==∴===由已知，中， 111222BCB SBC BB ==111433A BCB BCB V S AF -∴==………………………………………………..14分（丰台）证明：（Ⅰ）∵ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ， ………………………………1分 ∵SA ABCD ⊥底面，∴BD ⊥SA ， ……………2分 ∵SA 与AC 交于A,∴BD ⊥平面SAC, …………………………………4分 ∵BD ⊂平面SBD∴平面SBD ⊥平面SAC …………………6分（Ⅱ）取SB 中点E ，连接ME ，CE ，∵M 为SA 中点，∴ME AB 且ME=12AB,………8分又∵ABCD 是菱形，N 为CD 的中点，∴CN AB 且CN=12CD=12AB, (10)分∴CN EM,且CN=EM ，∴四边形CNME 是平行四边形，∴MN CE, …………………12分 又MN ⊄平面SBC, CE ⊂平面SBC,∴直线MN SBC 平面‖ …………………13分（顺义）17．（本小题共14分）证明：由三视图知该多面体为底面为直角三角形的 直三棱柱111ABC A B C -，1112AC B π∠=，棱1AA ⊥平面11A B C ，1AA =，11111A C B C ==，11A B =______2分Ⅰ. Q D 为11A B 的中点，∴111C D A B ⊥，Q 1AA ⊥平面111A B C1C D ⊂平面11A B C ，∴11C D AA ⊥，侧视图主视图1112D C 1B 1A 1BCA1111AA A B A =I ，∴1C D ⊥平面11ABB A ______5分Ⅱ. 当点F 在棱1BB 上的中点时，有1AB ⊥平面1C DF ______7分证明：连结DF ，1A B ，∴1||DF A B ，Q 111AA A B ==∴四边形11ABB A 为正方形，∴11AB A B ⊥，∴1AB DF ⊥，由Ⅰ知11C D A B ⊥，1DF C D D =I ∴1AB ⊥平面1C DF ______10分Ⅲ.设1AB DF G =I ，1B G 为三棱锥11B C DF -的高，112B G =，______12分可求得 14C DF S =V ，体积24V =.______14分 （崇文）（16）（共14分）（Ⅰ）连接OE ，在1B BD ∆中，∵E 为1BB 的中点，O 为BD 的中点，∴OE ∥1B D 又∵1B D ⊄平面AEC∴直线1B D ∥平面AEC ． --------------------4分 （Ⅱ）在正方体1111D C B A ABCD -中，1B B ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD∴1B B AC ⊥．BD AC ⊥且1BB BD B ⋂= ∴1B D AC ⊥ ∴1AC B D ⊥ 同理可证11B D AD ⊥ ∵1AC AD A ⋂=∴⊥D B 1平面AC D 1. --------------------9分（Ⅲ）11111221333D D OC D DOC DOC V V DD S --∆==⋅⋅=⨯⨯=． -------------14分。
2010年北京一模二模力学压轴题汇编
1． 【北京模拟】如图2所示，一正方体合金块M 的边长为20cm ，把它挂在以O 为支点的轻质杠杆的A 点处，一个重为640N 的人在杠杆的B 点通过定滑轮用力F 1使杠杆在水平位置平衡，此时M 对水平地面的压强为1.1×104Pa ，人对水平地面的压强为1.45×104Pa ；若把M 浸没于水中(M 与容器底不接触)，人用力F 2仍使杠杆在水平位置平衡，此时人对地面的压强为1.15×104 Pa ；已知人单独站在水平地面上，对地面的压强为1.6×104Pa ．（g 取10N/kg ）求：（1）力F 1的大小； （2）合金块M 的密度；（3）当 M 浸没于水中时，若剪断细绳，合金块M 沉于容器底，则M 对容器底的压强为多大．2． 【北京模拟】如图3所示的装置， O 为杠杆AC 的支点，OA:OC=1:2，在杠杆的A 点挂一边长为0.2m 的立方体D ，在杠杆上B 点作用竖直向下的拉力F ，当杠杆在水平位置平衡时，物体D 对地面的压强P 1为7000Pa ，A 点受到向下的拉力为F 1´；在杠杆上C 点作用竖直向下的拉力F ，当杠杆在水平位置平衡时，物体D 对地面的压强P 2为6000Pa ，A 点受到向下的拉力为F 2´，OB:BC=1:2，杠杆和绳的质量忽略不计。
求 （1）F 1´和F 2´的比值； （2）F 的大小；（3）如果要使物体D 对地面的压强为零，杠杆在水平位置平衡时，需要在C 点作用至少多大的力F ´。
3． 【北京模拟】如图1所示，重力不计的一木板可绕O 点无摩擦转动，木板可以视为杠杆，在杠杆的左侧M 点挂有一个边长为0.2m 的立方体A ，在A 的下方放置一个同种材料制成的边长为0.1m 的立方体B ，物体B 放置在水平地面上；一个人从杠杆的支点O 开始以0.1m/s 的速度匀速向右侧移动，经过6s 后，到达N 点静止，此时杠杆处于平衡状态，物体A 对B 的压强为7000Pa ，已知MO 的长度为4m 。
北京市宣武区2010年高三数学第二次高考模拟考试(文)新人教版
北京市宣武区2009-2010学年度第二学期第二次质量检测高 三 数 学（文科） 2010.5本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.全卷满分150分， 考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的） 1. 若25-=x ，32-=x ，则yx , 满足（ ） A ．x y >B ．x y ≥C ．x y <D ．x y =2. 若函数()()1log -=x x f a ()1,0≠>a a 的图像恒过定点，则定点的坐标为 （ ）A ．()01，B ． ()02，C ．()11，D ．()12，3. 设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ． x y 21±= B ．x y 22±= C ．x y 2±=D. x y 2±=4. 若a a 3,4,为等差数列的连续三项，则921a a a a +⋅⋅⋅+++的值为（ ） A ．2047B ．1062C ．1023D ．5315. 已知直线m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是 （ ）A ．βα//,//n m 且βα//，则n m //B ．βα//,n m ⊥且β⊥α，则n m ⊥C ．m n m ⊥=β⋂α,且βα⊥，则α⊥nD ．βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥ 6. 随机抽取某中学甲，乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图 ，则下列关于甲，乙两班这10名同学身高的结论正确的是 （ ）A ． 甲班同学身高的方差较大7. 已知命题(1)∃ α∈R ，使sin cos 1αα=成立；(2)∃ α∈R ，使()β+α=β+αtan tan tan 成立；(3) ∀α∈R ，都有()βα-β+α=β+αtan tan 1tan tan tan 成立．其中正确命题的个数是 （ ）A ． 3B ． 2C ． 1D ．08. P 为椭圆162522y x +＝1上一点，M 、N 分别是圆(x ＋3) 2＋y 2＝4和(x －3) 2＋y 2＝1上的点，则|PM |+|PN |的取值范围是（ ）A. []137， B ．[]1510， C ． []1310， D. []157，第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 9. 集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈<<=+Z x xA x ,42211的元素个数有 个. 10. 已知向量a =()2,1，b =52，=b λa ，且λ>0.则λ= ；=b . 11. 函数)4sin(cos )4cos(sin ππ+++=x x x x y 的最小正周期是 .12. 若i 是虚数单位，则832i 8i 3i 2i +⋅⋅⋅+++= .13. 某批发商按客户订单数额的大小分别给予不同的优惠折扣.计算客户应付货款的算法步骤如下：S1 输入订单数额x （单位：件）；输入单价A(单位：元)； S2 若250x <，则折扣率0d =；若250500x ≤<，则折扣率0.05d =； 若5001000x ≤<，则折扣率0.10d =；B ． 甲班同学身高的平均值较大C ． 甲班同学身高的中位数较大D ． 甲班同学身高在175以上的人数较多若1000x ≥，则折扣率0.15d =；S3 计算应付货款()d Ax T -=1（单位：元）； S4 输出应付货款T .已知一客户买400件时付款38000元，则应付货款为88200元时订单数额是 .14.有下列命题：①函数y =f (-x +2)与y =f (x -2)的图象关于y 轴对称； ②若函数f （x ）＝xe ，则∈∀21,x x R ，都有()()222121xf x f x x f +≤⎪⎭⎫⎝⎛+； ③若函数f （x ）＝log a | x |()1,0≠>a a 在（0，＋∞）上单调递增，则f （－2）> f （a ＋1）；④若函数()1220102--=+x x x f (x ∈R )，则函数f (x )的最小值为-2.其中真命题的序号是 .三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本小题共13分）如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C 处的乙船.（Ⅰ）求处于C 处的乙船和遇险渔船间的距离；（Ⅱ）设乙船沿直线CB 方向前往B 处救援，其方向与CA 成θ角，求()x x x f cos cos sin sin 22θ+θ= (x ∈R )的值域.16. （本小题共13分）已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据， （Ⅰ）求这个组合体的体积；（Ⅱ）若组合体的底部几何体记为1111D C B A ABCD -，其中BA B A 11为正方形. （i ）求证：D C AB B A 111平面⊥；北2010 A B••C（ii ）求证：P 为棱11B A 上一点，求1PC AP +的最小值.17. （本小题共13分）口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5.甲先摸出一个球，记下编号为a ，放回袋中后，乙再摸一个球，记下编号为b . （Ⅰ）求“6=+b a ”的事件发生的概率；（Ⅱ）若点()b a ,落在圆2122=+y x 内，则甲赢，否则算乙赢，这个游戏规则公平吗？试说明理由.18. （本小题共13分）已知函数x ax x x f ln 1)(2-++-=． （Ⅰ）当3=a 时，求函数()x f 的单调递增区间；（Ⅱ）若)(x f 在区间)21,0(上是减函数，求实数a 的取值范围．19. （本小题共14分）设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，且对于所有的正整数n ,有()214+=n n a S ．(I) 求1a ，2a 的值；(II) 求数列{}n a 的通项公式；（III ）令11=b ，k k k a b )1(122-+=-，kk k a b 3212+=+（⋅⋅⋅=,3,2,1k ），求{}n b 的前20项和20T ．20.（本小题共14分）已知椭圆C 的焦点是()301-，F ,()302，F ,点P 在椭圆上且满足421=+PF PF .（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线:220l x y ++=与椭圆C 的交点为A ，B .(i)求使PAB ∆ 的面积为12的点P 的个数； (ii)设M 为椭圆上任一点，O 为坐标原点， (,)OM OA OB R λμλμ=+∈，求22μλ+的值.北京市宣武区2009~2010学年度第二学期第二次质量检测高三数学（文）参考答案及评分标准 2010.5一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中有且仅有一个是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B BC D ACA 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分题号 9 10111213 14 答案22；()42，πi 44-980件②④三、解答题：本大题共有6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）解：（Ⅰ）连接BC,由余弦定理得BC 2=202+102－2×20×10COS120°=700.∴BC=107. ……………………………………5分（Ⅱ）∵710120sin 20sin ︒=θ， ∴sin θ =73∵θ是锐角，∴74cos =θ ()x x x f cos cos sin sin 22θ+θ==()ϕ+=+x x x sin 75cos 74sin 73∴()x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-75,75. ……………………………………13分16.（本题满分13分）解：（Ⅰ）此组合体底部为长方体，上部为半个圆柱π+=⨯⨯π+⨯⨯=806401042110882V . …………………………5分(Ⅱ)（i ）∵长方体1111D C B A ABCD -∴BA B A AD 11平面⊥ ∵BA B A B A 111平面⊂ ∴B A AD 1⊥又∵BA B A 11是边长为8的正方形 ∴11AB B A ⊥ ∵A AD AB =⋂1 ∴D C AB B A 111平面⊥. …………………………10分（ii ）将上底面1111D C B A 展开，与平面BA B A 11共面时，连结A C 1交11B A 于点P ，即1AC 为最短距离.此时长度为97218822=+. …………………………13分17．（本题满分13分）解：（Ⅰ）设“6=+b a ”为事件A ,其包含的基本事件为：()()()()()1524334251，，，，，，，，，共5个又基本事件空间有2555=⨯个∴()51255==A P . …………………………6分 (II)这个游戏规则不公平设甲胜为事件B ,则其所包含的基本事件为：()()()()，，，，，，，，41312111()()()()，，，，，，，，42322212()()()，，，，，，332313()()2414，，，共13种. ∴()212513>=B P ，故而对乙不公平. …………………………13分18．（本题满分13分） 解：（Ⅰ）当3=a 时，()x x x x f ln 132-++-=∴()()xx x x x x f 1321322+--=-+-='解()0>'x f ，即：01322<+-x x函数()x f 的单调递增区间是⎪⎭⎫⎝⎛1,21. …………………………6分 （Ⅱ）)(x f '=xa x 12-+- ∵)(x f 在)21,0(上为减函数，∴)21,0(∈x 时012<-+-xa x 恒成立． 即x x a 12+<恒成立．设x x x g 12)(+=，则)(x g '=212x-． ∵)21,0(∈x 时21x ＞4， ∴)(x g '0<，∴)(x g 在)21,0(上递减， ∴g(x) ＞g(21)=3，∴a≤3． …………………13分 19．（本题满分14分）解：(I) 当1=n 时，()21114+=a a ∴()0121=-a ，11=a当2=n 时，()()222114+=+a a a ， ∴ 32=a . …………………3分(II) ∵()214+=n n a S()21114+=--n n a S ，相减得：()()0211=--+--n n n n a a a a∵{}n a 是正数组成的数列∴21=--n n a a ，∴12-=n a n . …………………8分 （Ⅲ）()[]()()[]()242312111203131++-++++-++=a a a a b T +⋅⋅⋅+()[]10191-+a=1+()9219333+⋅⋅⋅+++S =()27213313131911092+=--++. …………………14分20．（本题满分14分）解：（Ⅰ）∵421=+PF PF >21F F∴点P 满足的曲线C 的方程为椭圆 ∵3,42==c a∴1222=-=c a b ∴椭圆C的标准方程为1422=+y x . …………………4分（Ⅱ）(i) ∵ 直线:220l x y ++=与椭圆C 的交点为A ，B∴()()2,0,0,1--B A ,5=AB若2121==∆d AB S PAB ∴55=d ∵原点O 到直线:220l x y ++=的距离是5555252>=∴在直线:220l x y ++=的右侧有两个符合条件的P 点设直线02:=++'n y x l 与椭圆相切，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=++140222y x n y x 有且只有一个交点 ∴044822=-++n nx x 有且只有一个解 由0=∆解得22=n （设负） 此时，l '与l 间距离为515222<-∴在直线:220l x y ++=的左侧不存在符合条件的P 点∴符合条件的点P 有2个. …………………10分(ii)设()y x M ,，则y x ,满足方程：1422=+y x ∵ (,)OM OA OB R λμλμ=+∈∴()()()()μ-λ-=-μ+-λ=2,2,00,1,y x即：⎩⎨⎧μ-=λ-=2y x ，从而有⎪⎩⎪⎨⎧-=μ-=λ2y x∴142222=+=μ+λy x . …………………14分。
北京市二模试卷立体几何汇编
答案 （16）（本小题 14 分） 解：
（Ⅰ）∵平面 ABC 平面 BCC1B1 ，平面 ABC 平面 BCC1B1 BC 又 AB BC ， ∴ AB 平面 BCC1B1 ，
（有前面的∵，∴才得分）
∵ A1B1 // AB ，
∴ A1B1 平面 BCC1B1 ，
∵ BC1 平面 BCC1B1 ，
…………….6 分
因为 BC // 平面 PAD ， BC 平面 ABCD ，平面 PAD I 平面 ABCD=AD ，
所以 BC // AD . 所以四边形 ABCD 是直角梯形.
…………….7 分
过 A 作 AD 的垂线交 BC 于点 M . 因为 PA 平面 ABCD ，
所以 PA AM , PA AD .
4 6
BC n 2 2 3 3
【丰台二模】 16.（本小题共 14 分）
如图，四边形 ABCD 为正方形， MA‖ PB ， MA BC ， AB PB ， MA 1 ， AB PB 2 . （Ⅰ）求证： PB 平面 ABCD ； （Ⅱ）求直线 PC 与平面 PDM 所成角的正弦值.
答案 16.（本小题共 14 分）
如 图 ， 在 五 面 体 ABCDEF 中 ， 面 ABCD 是 正 方 形 ， AD ^ DE ， AD = 4 ，
DE =
EF =
2 ，且 Ð EDC =
π .
3
（Ⅰ）求证： AD ^ 平面 CDEF ；
（Ⅱ）求直线 BD 与平面 ADE 所成角的正弦值；
（Ⅲ）设 M 是 CF 的中点，棱 AB 上是否存在点 G ，
解 2；选择②
因为 PA 平面 ABCD ， 所以 PA AD ， PA CD .
2010-2015北京一模大题立体几何题总结(文科)-刘倩5.13
2010——2015年北京市东西海三区高三一模文科数学解答题立体几何汇总1．（2010东城一模文17）（本小题满分14分）三棱柱ABC—A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB边中点，且CC1=2AB.（1）求证：平面C1CD⊥平面ABC；（2）求证：AC1∥平面CDB1；（3）求三棱锥D—CBB1的体积.2．（2010西城一模文16）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M、N分别为PA、BC的中点，且PD=AD=2，（1）求证：MN∥平面PCD；（2）求证：平面PAC⊥平面PBD；（3）求三棱锥P-ABC的体积。
C3. （2010海淀一模文17）（本小题满分14分）如图：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60,ABC PA ∠=︒⊥平面ABCD ， 点,M N 分别为,BC PA 的中点，且2==AB PA . (I) 证明：BC ⊥平面AMN ； (II)求三棱锥AMC N -的体积；(III)在线段PD 上是否存在一点E ，使得//NM 平面ACE ；若存在，求出PE 的长；若不存在，说明理由.4．（2011东城一模文16）（本小题共13分）已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形．PB PD =，E 为PA 的中点． （Ⅰ）求证：PC ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面BDE ．MC D5. （2011西城一模文16）（本小题满分13分）如图所示，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，90ADE ∠=，DE AF //，22===AF DA DE .(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BDE ； (Ⅱ)求证：//AC 平面BEF ； （Ⅲ）求四面体BDEF 的体积.6. （2011海淀一模文17）（本小题共13分）如图：梯形A B C D 和正△PAB 所在平面互相垂直，其中//,AB DC12AD CD AB ==，且O 为AB 中点. ( I ) 求证：//BC 平面POD ； ( II ) 求证：AC ⊥PD .A CDFEBACDOP7.（2012东城一模文17）（本小题共14分）如图1，在边长为3的正三角形ABC 中，E ，F ，P 分别为AB ，AC ，BC 上的点，且满足1AE FC CP ===.将△AEF 沿EF 折起到△1A EF 的位置，使平面1A EF ⊥平面EFB ，连结1A B ，1A P .（如图2）（Ⅰ）若Q 为1A B 中点，求证：PQ ∥平面1A EF ； （Ⅱ）求证：1A E ⊥EP .图1 图28．（2012西城一模文17）（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ．（Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ； （Ⅱ）若3EC =，求证：FC ND ⊥； （Ⅲ）求四面体NFEC体积的最大值．A BCDEF9.（2012海淀一模文17）（本小题满分14分）已知菱形ABCD 中，AB =4， 60BAD ∠=（如图1所示），将菱形ABCD 沿对角线BD 翻折，使点C 翻折到点1C 的位置（如图2所示），点E ，F ，M 分别是AB ，DC 1，BC 1的中点． （Ⅰ）证明：BD //平面EMF ； （Ⅱ）证明：1AC BD ⊥；（Ⅲ）当EF AB ⊥时，求线段AC 1 的长．10.（2013东城一模文16）（本小题共14分）如图，已知AD ⊥平面ABC ，CE ⊥平面ABC ，F 为BC 的中点，若12AB AC AD CE ===．（Ⅰ）求证：//AF 平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面BCE ．ABCD图1M FEABC 1D 图2A BCDE F11．（2013西城一模文16）（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD，AC =22AB BC ==，AC FB ⊥．（Ⅰ）求证：⊥AC 平面FBC ； （Ⅱ）求四面体FBCD 的体积；（Ⅲ）线段AC 上是否存在点M ，使EA //平面FDM ？ 证明你的结论．12.（2012海淀一模文17）（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，ABC ∆是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又30CAD ∠=，4PA AB ==，点N 在线段PB 上，且13PN NB =． （Ⅰ）求证：BD PC ⊥；（Ⅱ）求证：//MN 平面PDC ；（Ⅲ）设平面PAB 平面PCD =l ，试问直线l 是否与直线CD 平行，请说明理由.作业：（2014年西城一模文） 17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是矩形，2AD AB =，SA SD =，SA AB ⊥， N 是棱AD 的中点.（Ⅰ）求证：//AB 平面SCD ； （Ⅱ）求证：SN ⊥平面ABCD ；（Ⅲ）在棱SC 上是否存在一点P ，使得平面⊥PBD 平面ABCD ?若存在，求出SPPC的值；若不存在，说明理由.（2014东城一模文）17、（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，△PAD 是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，M 和N 分别是AD 和BC 的中点.（Ⅰ）求证：PM MN ⊥；（Ⅱ）求证：平面PMN ⊥平面PBC ； （Ⅲ）在PA 上是否存在点Q ，使得平面QMN∥平面PCD ，若存在求出Q 点位置，并证明，若不存在，说明理由.（2015西城一模文）17．（本小题满分14分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，//EF AD ， 平面ADEF ⊥平面ABCD ，且2BC EF =,AE AF =，点G 是EF 的中点.（Ⅰ）证明：AG ⊥CD ； （Ⅱ）若点M 在线段AC 上，且13AM MC=，求证：GM //平面ABF ；（Ⅲ）已知空间中有一点O 到,,,,A B C D G 五点的距离相等，请指出点O 的位置. (只需写出结论)（2015海淀一模文）FA DBG E。
2019北京二模分类汇编文科二模立体几何教师
2019高三二模立体几何1、（海淀文）(17)（本小题满分14分）如图1所示，在等腰梯形ABCD ，BC ∥AD ，CE AD ⊥，垂足 为E ，33AD BC ==，1EC =.将DEC ∆沿EC 折起到1D EC ∆的位置， 使平面1D EC ∆⊥平面ABCE ，如图2所示，点G 为棱1AD 的中点。
(Ⅱ) 求证：BG ∥平面1D EC ；(Ⅱ)求证：AB ⊥平面1D EB ； (Ⅲ)求三棱锥1D GEC - 的体积．解：（Ⅰ）方法1：在图1的等腰梯形ABCD 内，过B 作AE 的垂线，垂足为F ，因为CE AD ⊥，所以BFEC又因为BCAD ，1BC CE ==，=3AD所以四边形BCEF 为正方形，且1AF FE ED ===，F 为AE 中点在图2中，连结GF因为点G 是1AD 的中点， 所以1GF D E又因为BFEC ，GF BF F =，GF BF ⊂，平面 BFG ， 1,D E EC ⊂平面1D EC ，所以平面BFG平面1CED又因为BG GFB ⊂面 ，所以BG平面1D EC方法2：在图1的等腰梯形ABCD 内，过B 作AE 的垂线，垂足为F因为CE AD ⊥，所以BFEC又因为BCAD ，1BC CE ==，=3AD所以四边形BCEF 为正方形，F 为AE 中点在图2中，连结GF 因为点G 是1AD 的中点， 所以1GFD E又1D E ⊂平面1D EC ，GF ⊄平面1D EC所以GF平面1D EC又因为BF EC ，EC ⊂平面1D EC ，BF ⊄平面1D EC所以BF平面1D EC又因为GF BF F =所以平面BFG平面1D EC又因为BG GFB ⊂面 ，所以BG平面1D EC方法3：在图1的等腰梯形ABCD 内，过B 作AE 的垂线，垂足为F ，因为CE AD ⊥，所以BFEC又因为BCAD ，1BC CE ==，=3AD所以四边形BCEF 为正方形，1AF FE ED ===，得2AE = 所以1=2BCAE BC AE ，在图2中设点M 为线段1D E 的中点，连结,MG MC ，因为点G 是1AD 的中点， 所以1=2GMAE GM AE ，所以 =GM BC GM BC ，，所以四边形MGBC 为平行四边形所以BGCM又因为CM ⊂平面1D EC ，BG ⊄平面1D EC 所以BG平面1D EC（Ⅱ） 因为平面1D EC ⊥平面ABCE ，平面1D EC平面ABCE EC =,1,D E EC ⊥1D E ⊂平面1D EC ，所以1D E ⊥平面ABCE 又因为AB ⊂平面ABCE所以1D E AB ⊥又2AB BE AE ==，满足222AE AB BE =+ ， 所以BE AB ⊥ 又1BED E E =所以AB ⊥平面1D EB（Ⅲ）1,CE D E CE AE ⊥⊥，1AED E E =所以1CE D AE ⊥面线段CE 为三棱锥1C D AE -底面1D AE 的高 所以1111111=12122326D GEC C D AE V V --=⋅⋅⋅⋅⋅=2、（东城文）（18）（本小题14分）如图所示的五面体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面ABCD , AE DE ⊥,AE DE =,AB ∥CD ，AB BC ⊥,60DAB ∠=，4AB AD ==．（Ⅰ）求四棱锥E ABCD -的体积； （Ⅱ）求证：EF ∥平面ABCD；（Ⅲ）设点M 为线段BC 上的动点，求证：EM 与AM 不垂直．解：（Ⅰ）取AD 中点N ，连接EN ．在△ADE 中，AE DE =， 所以ENAD ⊥.因为平面ADE ⊥平面ABCD ， 平面ADE平面ABCD AD =，EN ⊂平面ADE ,所以EN⊥平面ABCD ．又因为AE DE ⊥，4AD =，所以2EN =.因为AB ∥CD ，AB BC ⊥，60DAB ∠=，4AB AD ==，所以ABCD S =梯形所以123-E ABCDV =⨯=. …………….5分 （Ⅱ）因为AB ∥CD ，AB ⊂平面ABFE ，CD ⊄平面ABFE ，所以CD ∥平面ABFE ．又因为CD ⊂平面CDEF ，平面ABEF 平面CDEFEF =，所以CD ∥EF ．因为CD ⊂平面ABCD ，EF⊄平面ABCD ，所以EF ∥平面ABCD ．…………….10分（Ⅲ）连接MN ，假设EMAM ⊥.由（Ⅰ）知EN⊥平面ABCD ，因为AM⊂平面ABCD ,所以EN AM ⊥．因为EMAM ⊥, 且ENEM E =，所以AM⊥平面ENM ．GEDCEDC因为MN ⊂平面ENM ， 所以AMMN ⊥．在△AMN 中，2,4AN AM AN =≥>， 所以AMNANM ∠<∠.所以90AMN ∠<． 这与AMMN ⊥矛盾．所以假设不成立，即EM 与AM 不垂直． (14)分3、18．（本小题满分 14 分）如图 1，在平行四边形 A BCD 中，O 为 A D 的中点，BO ⊥ AD ．将三角形 A BO 沿 B O 折起到 A 1BO 位置，如图 2．（Ⅰ）求证： B O ⊥ A 1D ；（Ⅱ）若 M 为 A 1 B 的中点，求证： M O // 平面 A 1CD ；（Ⅲ）判断平面 A 1OD 能否垂直于平面 A 1CD ？证明你的结论．4、（朝阳）18.（本小题满分13分）如图1，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ,90BAD ∠=, 4AB =，2AD =，3DC =,点E 在CD 上，且2DE =，将△ADE 沿AE 折起，使得平面ADE ⊥平面ABCE （如图2）. G 为AE 中点.（Ⅰ）求证:DG ⊥平面ABCE ； （Ⅱ）求四棱锥D ABCE -的体积；（Ⅲ）在线段BD 上是否存在点P ，使得//CP 平面ADE ？若存在，求BPBD的值；若不存在，请说明理由.解： （Ⅰ）证明：因为G 为AE 中点，2AD DE ==，所以DG AE ⊥.因为平面ADE ⊥平面ABCE ， DG ⊂平面ADE ，平面ADE平面ABCE AE =，所以DG ⊥平面ABCE ． ………….4分 （Ⅱ）在直角三角形ADE中，易求AE=则AD DEDG AE⋅==所以四棱锥D ABCE -的体积的体积为1(14)232D ABCE V -+⨯=⨯． …………8分（Ⅲ） 过点C 作//CF AE 交AB 于点F ，则:1:3AF FB =．过点F 作//FP AD 交DB 于点P ，连接PC ,则:1:3DP PB =． 又因为//CF AE ， AE ⊂平面ADE ,CF ⊄平面ADE ,所以//CF 平面ADE ． 同理//FP 平面ADE ． 又因为CFPF F =，所以平面//CFP 平面ADE ． 因为CP ⊂平面CFP ， 所以CP //平面ADE ． 所以在BD 上存在点P ， 使得//CP 平面ADE ，且34BP BD =． ………….13分GEDCA5、（丰台文）18．（本小题14分）在菱形ABCD 中，,3ADC AB a π∠==，O 为线段CD 的中点（如图1）．将AOD △沿AO 折起到'AOD △的位置，使得平面'AOD ⊥平面ABCO ，M 为线段'BD 的中点（如图2）． （Ⅰ）求证：'OD BC ⊥； （Ⅱ）求证：CM ∥平面'AOD ； （Ⅲ）当四棱锥'D ABCO -时，求a 的值．图1 图2解：（Ⅰ）证明：因为在菱形ABCD 中，3ADC π∠=，O 为线段CD 的中点， 所以'OD AO ⊥． ………………1分 因为平面⊥'AOD 平面ABCO ， 平面 'AOD 平面AO ABCO =，'OD ⊂平面'AOD ，所以'OD ⊥平面ABCO ． ………………4分 因为BC ⊂平面ABCO ，所以'OD BC ⊥． ………………5分（Ⅱ）证明：如图，取P 为线段'AD 的中点，连接OP ，PM ；因为在'ABD ∆中，P ，M 分别是线段'AD ，'BD 的中点，所以AB PM //，AB PM 21=．因为O 是线段CD 的中点，菱形ABCD 中，AB DC a ==，DC AB //，所以122aOC CD ==．所以AB OC //，AB OC 21=． ………………6分 所以OC PM //，OC PM =．所以四边形OCMP 为平行四边形， ………………7分 所以OP CM //，因为⊄CM 平面'AOD ，⊂OP 平面'AOD ，所以//CM 平面'AOD ； ………………10分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知'OD ⊥平面ABCO ．所以'OD 是四棱锥'D ABCO -的高． ………………11分因为1'3V S OD =⨯⨯==底，所以2a =． ………………14分6、（房山文）(18)（本小题14分）已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，2,AB AF ==M 为EF 的中点. (Ⅰ)求证：平面ABF 平面DCE ；(Ⅱ)求证：AM平面BDE ；(Ⅲ)求证：AM ⊥平面BDFABCDEFM（17）（本小题14分）（Ⅰ）因为 正方形ABCD 和矩形ACEF ， 所以//,//AB CD AF CE ……………………………2分又 ,AB AF A CD CE C ⋂=⋂=,AB AF ⊂平面ABF ，,CD CE ⊂平面DCE所以 平面ABF 平面DCE ……………………………4分（Ⅱ）设=ACBD O ，连结OE ，因为 正方形ABCD ，所以O 为AC 中点 又 矩形ACEF ,M 为EF 的中点 所以//,E M O A 且EM OA = ……………………………..6分所以OAME 为平行四边形 所以//AM OE ……………………………..8分又 AM ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE 所以 AM平面BDE ……………………………9分（Ⅲ）因为 正方形ABCD 所以BD AC ⊥又 因为 平面ABCD ⊥平面ACEF ，平面ABCD ⋂平面ACEFAC =，OM FEDCBABD ⊂平面ABCD所以BD ⊥平面ACEFAM ⊂平面ACEF所以BD AM ⊥ …………………………….11分在矩形ACEF 中，O 为AC 中点，M 为EF的中点，AF =所以12AO AC === 所以AFMO 为正方形 所以 OF AM ⊥ ……………………………..13分而BD ⊂平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，BD OF O ⋂=所以AM ⊥平面BDF ………………………………14分7、（顺义文）18．（本小题14分）如图，⊥AE 平面ABC ，AE CD //，22====CD AE BC AC ，22=AB ，M 为棱BE 上一点，平面CDM 与棱AB 交于点N .（Ⅰ）求证：⊥BC 平面ACDE ； （Ⅱ）求证：MN CD //；（Ⅲ）当四边形CDMN 为矩形时，求四棱锥CDMN B -的体积.18.（Ⅰ）证明：因为222AB BC AC =+所以AC BC ⊥--------------------------------2分因为⊥AE 平面ABC ，⊂BC 平面ABC 所以BC AE ⊥--------------------------------2分 因为A AC AE =所以⊥BC 平面ACDE .-------------------------5分（Ⅱ）证明：因为AE CD //，⊂AE 平面ABE ，⊄CD 平面ABE所以//CD 平面ABE --------------------------7分因为⊂CD 平面CDM ，平面CDM 平面ABE =MN 所以MN CD //.------------------9分（Ⅲ））解：因为MN CD //，AE CD //所以AE MN //当四边形CDMN 为矩形时,AE CD MN 21== 所以MN 为ABE ∆的中位线，-------------------------10分 因为⊥AE 平面ABC 所以CN AE ⊥，AB AE ⊥ 所以CN MN ⊥，AB MN ⊥ 此时四边形CDMN 为矩形，ACDEMNACDEP又CN BN ⊥，N CN MN =所以⊥BN 平面CDMN ---------------------------12分 所以322213131=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=-BN CN MN V CDMN B --------------14分8、昌平（18）（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，2AB =，1BC =，PC PD ==，E 为PB 中点．（I ）求证：PD //平面ACE ； （II ）求证：PD ⊥平面PBC ； （III ）求三棱锥E ABC -的体积.证明：（I ）连结BD 交AC 于点F ，连结EF . 因为底面ABCD 是矩形, 所以F 为BD 中点.又因为E 为PB 中点, 所以EF //PD . 因为PD ACE EF ACE ⊄⊂平面，平面, 所以PD //平面ACE . ….4分 (II) 因为底面ABCD 为矩形, 所以BC CD ⊥.又因为PCD ABCD ⊥平面平面,,BC ABCD PCD ABCD CD ⊂⋂=平面平面平面, 所以BC PCD ⊥平面.因为PD PCD ⊂平面,所以BC PD ⊥.因为2,PC PD CD AB === 所以222PC PD CD +=，即PD PC ⊥.因为,,BC PC C BC PC =⊂平面PBC ，所以PD ⊥平面PBC . ….9分（III ）因为底面ABCD 是矩形, 所以AD BC //.因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以AD //平面PBC .由（II ）得，PD ⊥平面PBC ，所以---1111111323226E ABC A EBC D EBC PBC V V V S PD ∆===⨯⋅=⨯⨯⨯=. 所以三棱锥E ABC -的体积为16. (14)。
2010北京二模立体几何汇编(理)
（海淀）已知m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件能 使n α⊥成立的是A ．αβ⊥，m β⊂B ．//αβ，m β⊥C ．αβ⊥，//n βD ．//m α，n m ⊥已知四棱锥P A B C D -，底面ABCD 为矩形，侧棱P A A B C D ⊥底面，其中226B C A B P A ===，M N ,为侧棱PC 上的两个三等分点，如图所示. （Ⅰ）求证：//AN MBD 平面；（Ⅱ）求异面直线AN 与PD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求二面角M BD C --的余弦值.（西城） 如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱1AA ⊥底面ABC ，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为AB． C． D ．4如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，1A D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱12AA =.（Ⅰ）求证：1//C D 平面11ABB A ；（Ⅱ）求直线1BD 与平面11AC D 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角11D AC A --的余弦值.正（主）视图ABCA 1B 1C 1ADD 1A 1B 1C 1（东城）右图是一个几何体的三视图, 根据图中的数据,计算该几何体的表面积为（ ） A ．15π B ．18πC ．22πD ．33π如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90DAB ∠=，//AD BC ，AD ⊥侧面PAB ，△PAB 是等边三角形，2DA AB ==，12BC AD =，E 是线段AB 的中点． （Ⅰ）求证：PE CD ⊥；（Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积；（Ⅲ）求PC 与平面PDE 所成角的正弦值．（朝阳）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（A ）112 （B ）80（C ）72 （D ）64如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC （Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA （Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面SAC ； （Ⅲ）当二面角E BD C --的大小为45︒时，试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由侧视图C 1B 1A（昌平）设,m n 是两条不同的直线,βα,是两个不同的平面,则下列命题正确．．的是 A ．若//,,m m n n αα⊥⊥则 B ．若//,,m m αβαβ⊥⊥则C. ,,//m m n n αα⊥⊥若则 D ． ,,//m m ααββ⊥⊥若则已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.(I)证明：BN ⊥平面C 1B 1N ；(II)求二面角C －NB 1－C 1的余弦值；(III)M 为AB 中点，在线段CB 上是否存在一点P ，使得MP ∥平面CNB 1，若存在，求出BP 的长;若不存在，请说明理由.俯视图左视图（丰台）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E,F 分别是1111,C D C B 的中点，G 为1CC 上任一点，EC 与底面ABCD 所成角的正切值是4.（Ⅰ）求证AG ⊥EF ；（Ⅱ）确定点G 的位置，使AG ⊥面CEF,并说明理由； （Ⅲ）求二面角1F CE C --的余弦值。
2010年北京东城区高考二模数学文科试题(word版含解析)-推荐下载
1 an 1
（ n N*
．
．
．
第 13 题图
13 D．[ , 2)
8
），能使 an
．
b的n
可以
，b
B
14. 已知函数 f (x) sin x ， g(x) sin(2x ) ，有下列命题： 2
①当 2 时， f (x)g(x) 的最小正周期是 ；
2
②当 1 时， f (x) g(x) 的最大值为 9 ；
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项。
1. 已知复数 z (a 1) i ，若 z 是纯虚数，则实数 a 等于（ B ）
A． 2
B． 1
C． 0
2. 设集合 M x 0 x 3， N x 0 x 1，那么“ a M ”是“ a N ”的（ B
8
③当
2
其中正确命题的序号是
时，将函数
f
(x)
的图象向左平移
2
可以得到函数
（把你认为正确的命题的序号都填上）．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. （本小题满分 13 分）
在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 a 2 ， cos B 4 ． 5
21
世纪教
g(x)
的图象.
17．（本小题满分 14 分）
如图，四棱锥 P ABCD 中， PD 平面 ABCD ，底面 ABCD 为矩形， PD DC 4 ， AD 2 ， E 为 PC 的中点．
2010年北京朝阳区高考二模数学文科试题(word版含解析)
朝阳区2009～2010学年度高三年级第二学期统一考试（二）数学学科测试（文史类） 2010.5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分第I 卷（选择题 共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。
考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}1, 2, 3, 4, 5, 6U =，集合{}2, 3A =，集合{}3, 5B =，则()UA B ðI 等于（A ）{}2 （B ）{}2,3,5 （C ）{}1,4,6 （D ）{}5 （2）设i 为虚数单位，则复数2i1iz =-所对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）过点(4,4)引圆22(1)(3)4x y -+-=的切线，则切线长是 （A ） 2 （B ）10 （C ）6 （D ） 14（4）一个正方体的所有顶点都在同一球面上，若球的体积是4π3，则正方体的表面积是 （A ）8 （B ）6 （C ）4 （D ）3（5）某校共有学生2000名，各年级男、女学生人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校学生中抽取64人，则应在三年级抽取的学生人数为（ ）一年级 二年级 三年级女生 385 a b 男生375360c（A ）24 （B ）18 （C ）16 （D ）12（6）函数321()2f x x x =-+的图象大致是（7）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 （A ）112 （B ）80 （C ）72 （D ）64（8）如图所示，()f x 是定义在区间[, ]c c -（0c >）上的奇函数，令()()g x a f x b =+，并有关于函数()g x 的四个论断：①对于[, ]c c -内的任意实数, m n （m n <），()()0g n g m n m->-恒成立；②若0b =，则函数()g x 是奇函数；③若1a ≥，0b <，则方程()0g x =必有3个实数根； ④若0a >，则()g x 与()f x 有相同的单调性.其中正确的是（ ）（A ）②③ （B ）①④ （C ）①③ （D ）②④-c y-2o2xc -22xyO（A ） （B ） （C ）（D ）xyO xyOxyO1 俯视图 4 4 正视图 侧视图 4 3第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）函数22cos y x =的值域是 .（10）已知向量(1, 2)=a ，(3, 2)=-b ，如果k +a b 与b 垂直，那么实数k 的值为 .（11）设变量x ，y 满足0,10,3260,y x y x y ìïïï--íïï--ïïî≥≥≤ 则该不等式组所表示的平面区域的面积等于 ；z x y =+的最大值为 .（12）若某程序框图如右图所示， 该程序运行后，输出的31x =， 则a 等于 .（13）上海世博园中的世博轴是一条1000m 长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧（如下图所示）. 现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120o. 据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是 m .（14）已知数列{}n a 为等差数列，若1a a =，n a b =（2n ≥，n *ÎN ），则11n nb aa n +-=-. 类比等差数列的上述结论，对等比数列{}n b （0n b >，n *ÎN ），若1b c =，n b d = （3n ≥，n *ÎN ），则可以得到1n b += .CB世博轴·A 中国馆120º开 始n =1，x =an =n +1x =2x +1n ≤4?输出x结束是否三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)（本题满分13分）设函数()2sin cos cos(2)6f x x x x π=--．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当2[0,]3x π∈时，求函数()f x 的最大值及取得最大值时的x 的值.(16) （本题满分13分）某运动员进行20次射击练习，记录了他射击的有关数据，得到下表：环数 7 8 9 10 命中次数2783（Ⅰ）求此运动员射击的环数的平均数；（Ⅱ）若将表中某一环数所对应的命中次数作为一个结果，在四个结果（2次、7次、8次、3次）中，随机取2个不同的结果作为基本事件进行研究，记这两个结果分别为m 次、n 次，每个基本事件为（m ，n ）.求“10m n ≥+”的概率.(17) （本题满分13分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O .（Ⅰ）求证：SO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）已知E 为侧棱SC 上一个动点. 试问对于SC 上任意一点E ，平面BDE 与平面SAC 是否垂直？若垂直，请加以证明；若不垂直，请说明理由.OSABCDE(18) （本题满分14分）已知函数2()ln (1)2ax f x x a x =+-+，a ∈R ，且0a ≥． （Ⅰ）若(2)1f '=，求a 的值；（Ⅱ）当0a =时，求函数()f x 的最大值； （Ⅲ）求函数()f x 的单调递增区间．(19) （本题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左右焦点分别为1(2, 0)F -，2(2, 0)F ．在椭圆M 中有一内接三角形ABC ，其顶点C 的坐标(3,1)，AB 所在直线的斜率为33． （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）当ABC ∆的面积最大时，求直线AB 的方程．20．（本题满分14分）已知{}n a 是递增数列，其前n 项和为n S ，11a >，且10(21)(2)n n n S a a =++，*n ∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）是否存在*, , m n k N ∈，使得2()m n k a a a +=成立？若存在，写出一组符合条件的,,m n k 的值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设32n n n b a -=-，若对于任意的*n ∈N ，不等式 125 111(1)(1)(1)23n m b b b n ++++L m 的最大值．（考生务必将所有题目的答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）xy OBACF 1F 2· ·朝阳区2009～2010学年度高三年级第二学期统一考试（二）数学学科测试答案（文史类） 2010.5一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.1 2 3 4 5 6 7 8 ABCACABD二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.三、解答题:本大题共6小题,共80分. 15.解：（Ⅰ）因为()2sin cos cos(2)6f x x x x π=--sin 2(cos 2cossin 2sin )66x x x ππ=-+13sin 2cos 22x x =- sin(2)3x π=-，所以()sin(2)3f x x π=-.函数()f x 的最小正周期为π. ………………………………………………7分（Ⅱ）因为2[0,]3x π∈，所以2,33x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.所以，当π232x π-=，即5π12x =时函数()f x 的最大值为1. ………………………………13分16. 解：（Ⅰ）此运动员射击的总次数为2+7+8+3=20次，射击的总环数为277889310172⨯+⨯+⨯+⨯=（环）.所以此运动员射击的平均环数为1728.620=（环）. …………………………………6分（Ⅱ）依题意，用(, )m n 的形式列出所有基本事件为（2，7），（2，8），（2，3），（7，8），（3，8），（3，7），（7，2），（8，2），（3，2），（8，7），（8，3）（7，3）所以基本事件总数为12. 设满足条件“10m n ≥+”的事件为A ，则事件A 包含的基本事件为（2，8），（7，8），9101112 1314[]0,213-3271100033 1nn d c-（3，8），（3，7），（8，2），（8，7），（8，3），（7，3）总数为8，所以82().123P A == 答：满足条件“10m n ≥+”的概率为2.3………………………………………13分17. 解：证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD 是正方形，AC BD O =I ，所以O 是AC ，BD 中点. 由已知，SA SC =, SB SD =, 所以SO AC ⊥,SO BD ⊥, 又AC BD O =I ，所以SO ⊥平面ABCD . ………………………………………………6分 （Ⅱ）对于SC 上任意一点E ，平面BDE ⊥平面SAC . 证明如下：由（Ⅰ）知SO ABCD ⊥面， 而BD ABCD ⊂面，所以SO BD ⊥.又因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥. 因为AC SO O =I ，所以BD SAC ⊥面.又因为BD BDE ⊂面，所以平面BDE ⊥平面SAC .………………………13分 18.解：（Ⅰ）函数的定义域为(0,)+∞，1()(1)f x ax a x'=+-+. 由(2)1f '=，解得32a =． ……………………………………………………3分 （Ⅱ）由()ln f x x x =-，得11()1xf x x x-'=-=．由1()0x f x x -'=>，解得01x <<；由1()0xf x x-'=<，解得1x >．所以函数()f x 在区间(0, 1)递增，(1,)+∞递减. 因为1x =是()f x 在(0, )+?上唯一一个极值点，故当1x =时，函数()f x 取得最大值，最大值为(1)1f =-．…………………7分（Ⅲ）因为21(1)1(1)(1)()(1)ax a x ax x f x ax a x x x-++--'=+-+==（1）当0a =时，1()x f x x -'=.令1()0xf x x-'=>解得01x << （2）0a >时，令(1)(1)0ax x x --=，解得1x a =或1x =.（ⅰ）当11a>即01a <<时，由2(1)10ax a x x-++>，及0x >得 2(1)10ax a x -++>， 解得01x <<，或1x a>； （ⅱ）当11a=即1a =时， 因为0x >，2221(1)()0x x x f x x x-+-'==≥恒成立. （ⅲ）当11a<即1a >时，由2(1)10ax a x x -++>，及0x >得 2(1)10ax a x -++>，解得10x a<<，或1x >； 综上所述，当0a =时，函数()f x 的递增区间是(0, 1)；当01a <<时，函数()f x 的递增区间是(0, 1)，1(, )a+∞； 当1a =时，函数()f x 的递增区间是(0, )+∞；当1a >时，函数()f x 的递增区间是1(0, )a，(1, )+∞.……………………14分19.解：（Ⅰ）由椭圆的定义知2a =.解得 26a =，所以2222b a c =-=.所以椭圆M 的方程为22162x y +=．………………………………………………4分（Ⅱ）由题意设直线AB 的方程为y x m =+，由221,62,x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得222360x m ++-=． 因为直线AB 与椭圆M 交于不同的两点,A B ，且点C 不在直线AB 上，所以221224(2)0,1.m m m ⎧∆=-->⎪⎨≠⎪⎩解得22m -<<，且0m ≠． 设,A B 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则12x x +=，212362m x x -=，113y x m =+，223y x m =+．所以||AB ===点1)C到直线y x m =+的距离d =. 于是ABC ∆的面积221(4)||||22m m S AB d m +-=⋅==，当且仅当||m =m =时=“”成立.所以m =ABC ∆的面积最大，此时直线AB的方程为y x =±即为0x -±=．……………………………………………………………13分20.解：（Ⅰ）11110(21)(2)a a a =++，得2112520a a -+=，解得12a =，或112a =． 由于11a >，所以12a =．因为10(21)(3)n n n S a a =++，所以210252n n n S a a =++. 故221111101010252252n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=++---，整理，得22112()5()0n n n n a a a a ++--+=，即11()[2()5]0n n n n a a a a +++--=．因为{}n a 是递增数列，且12a =，故10n n a a ++≠，因此152n n a a +-=．则数列{}n a 是以2为首项，52为公差的等差数列. 所以512(1)(51)22n a n n =+-=-.………………………………………………5分（Ⅱ）满足条件的正整数, , m n k 不存在，证明如下：假设存在*, , m n k N ∈，使得2()m n k a a a +=，则15151(51)2m n k -+-=-． 整理，得3225m n k +-=， ①显然，左边为整数，所以①式不成立．故满足条件的正整数, , m n k 不存在． ……………………8分 （Ⅲ）313(51)21222n n n n b a n n --=-=--=+， 125 111(1)(1)(1)23n m b b b n ++++L ≤ 5 m 312123111123n n b b b b b b b b n ++++⋅⋅+L 468223572123n n n +=⋅⋅⋅⋅++L 设46822()3572123n f n n n +=⋅⋅⋅⋅++L ， 则 (1)357212325468221()3572123f n n n n n f n n n ⋅⋅⋅⋅⋅++++=+⋅⋅⋅⋅++L L 24232325(23)(25)n n n n n n ++==++++ 222241244161541616(24)n n n n n n n +=>===++++++.所以(1)()f n f n +>，即当n 增大时，()f n 也增大．125 111(1)(1)(1)23n m b b b n ++++L *n ∈N 恒成立，只高考必胜！ 高考必胜！ 需min 5 ()31m f n ≤即可． 因为min 445()(1)3155f n f ==⋅=，所以 5 453115m ≤. 即43112448151515m ⨯==≤. 所以，正整数m 的最大值为8． ………………………………………14分。
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如图，已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，侧棱1BB ⊥底面
ABCD ，E 是侧棱1CC 的中点.
（Ⅰ）求证：AC ⊥平面11BDD B ； （Ⅱ）求证：//AC 平面1B DE .
（东城）17．（本小题满分14分） 如图，四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PD=DC =4，AD =2，
E 为PC 的中点．
（1）求证：AD ⊥PC ；
（2）求三棱锥A —PDE 的体积；
（3）AC 边上是否存在一点M ，使得P A ∥平面EDM ，
若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．
A
B
D
A 1
B 1
C 1
D 1
E
C
在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A ⊥平面ABC ，
90ACB ∠= .
（I ）求证：1BC AA ⊥；
（II ）若M,N 是棱ＢＣ上的两个三等分点，
求证：1//A N 平 面1AB M .
（宣武）16. （本小题共13分）
已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据， （Ⅰ）求这个组合体的体积；
（Ⅱ）若组合体的底部几何体记为1111D C B A ABCD -，其中BA B A 11为正方形. （i ）求证：D C AB B A 111平面⊥；
（ii ）求证：P 为棱11B A 上一点，求1PC AP +的最小值.
F
E
D
C 1
B 1
A 1
C
B
A
（朝阳）(17) （本题满分13分）
如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O .
（Ⅰ）求证：SO ⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）已知E 为侧棱SC 上一个动点. 试问对于SC 上任意一点E ，平面BDE 与平面
SAC
（昌平）（16） (本小题满分14分)
已知三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ,1==2AB AC AA =，0
90BAC ∠=, ,,D E F 分别为11,,B A C C BC 的中点.
（I ）求证：DE //平面ABC ；
（II ）求证：11AEF BCC B ⊥平面平面; (III) 求三棱锥A-BCB 1的体积.
（丰台）16、（13分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，SA ABCD ⊥底面，
M 为SA 的中点，N 为CD 的中点．
（Ⅰ）证明：平面SBD ⊥平面SAC ； （Ⅱ）证明：直线MN SBC 平面‖．
（顺义）17．（本小题共14分）
一个直三棱柱的直观图及三视图如图所示，（其中
D 为11A B 的中点）
Ⅰ.求证：1C D ⊥平面11ABB A
Ⅱ.当点F 在棱1BB 上的什么位置时，有1AB ⊥平面1C DF ， 请证明你的结论
Ⅲ.对（2）中确定的点F ，求三棱锥11B C DF -的体积．
B
俯视图
侧视图
主视图
211
1
2D C 1
B 1
A 1
B
C
A
C 1
D 1
C
A 1
B
A
（崇文）（16）（本小题共14分）
正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，O 是AC 与BD 的交点，E 为1BB 的中点． （Ⅰ）求证：直线1B D ∥平面AEC ； （Ⅱ）求证：⊥D B 1平面AC D 1； （Ⅲ）求三棱锥1D D OC -的体积．。