§2.6 矩阵的秩

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2.6-矩阵的秩

001
1 0 5 1 0 5 1 0 5 1 0 0
E(1, 3(5)) = 0 1 0 , 0 1 0 0 1 0 = 0 1 0 .
00 1 001 00 1 001
第二章矩阵
§2.6 方阵的逆矩阵
2. 可逆矩阵的分解
***
(1) * * *
** * ***
***
= ***
10 0
010.
000 *** 000 001
第二章矩阵
2 0 4 1
0 1 3 2 的3阶子式有14个:
4 0 8 2
§2.5矩阵的秩
2 0 4 2 0 1 2 4 1 0 4 1
0 1 3 = 0 1 2 = 0 3 2 = 1 3 2 = 0. 4 0 8 4 0 2 4 8 2 0 8 2
第二章矩阵
§2.5矩阵的秩
问题: 假若一个56的矩阵中所有3阶子式都等
1 0
0 1
3/2 1
3 1
5/2 1
1 3 2 故A1 = 3/2 3 5/2 .
1 1 1
第二章矩阵
§2.6 方阵的逆矩阵
三. 用初等变换解矩阵方程
设A可逆, 则A可以经过有限次初等行变换化为行最简形——单位矩阵E.
下面用初等变换解矩阵方程AX = B. 注意到X = A1B.
(A B) … (E ?)
第二章矩阵
§2.5 矩阵的秩
定理2. 设A是满秩方阵，则存在初等方阵
P1, P2, , Ps. 使得 Ps Ps1 , P2P1A E
第二章矩阵
§2.5 矩阵的秩
定理3. mn矩阵A, m阶初等矩阵
P1, P2, …, Ps 及m阶初等矩阵

2-6 矩阵的秩

矩阵．
由矩阵秩的定义可以得出如下结果：
（1）若 A 为 m n 矩阵，则 r(A) minm, n ．
(2) r(AT ) r(A); (3) r(A) r(kA), k 0;
（4）n阶方阵 A的秩为n的充要条件是 A为可逆矩阵
（满秩矩阵）或 A 0.
（5）若矩阵 A 的所有 r 1阶子式都为零，则 r(A) r ；此时若又有一个 r 阶子式不为零，则 r(A) r.
定义2 设矩阵 A 不等于零的子式的
最高阶数为 r ，
即：存在 r 阶子式不为零，任何 r+1 阶子式都为零，
则：数 r 称为矩阵 A 的秩，记作r(A), 或秩(A).
如下图
不全为零
全为零
r r1
m n 矩阵 A的秩 R( A) 是 A中不等于零的
子式的最高阶数. 显然1 r( A) min(m, n).
（3）当 a 3b 0 时；此时因为 a b, 故B有个3
阶子式
ab ab
(a b)3 0, 而 B 0,
ab
所以 r(A) r(B) 3.
注:用初等变换求矩阵的秩
定理2.3（P.55）初等变换不改变矩阵的秩。
即 A 初等变换 B 则 r( A) r(B)
证明略
求矩阵秩的初等变换法：
A 经有限次初等变换 B=阶梯形矩阵有 r(A)=r(B) ＝B中非零行行数
常用
或 A 经有限次初等变换 D=标准形矩阵有 r(A)=r(D) ＝D中“1”的个数
A 1
2
4
5
行初等变换
0
4
1
1
.
1 10 1 2
0 0 0 0
所以 r(A) 2.

2-6矩阵的秩

§2.6矩阵的秩一、矩阵的秩矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、线性方程组解的存在性等问题的重要工具.从上节已看到，矩阵可经过初等行变换化成行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的.这个数就是矩阵的“秩”.鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵秩的方法.定义1设A =(a ij )m ×n ，从A 中任意选定k 行、k 列（1≤k ≤min{m ,n }），位于这些行和列交叉处的k 2个元素，保持它们原有的相对顺序所构成的k 阶行列式，称为矩阵A 的一个k 阶子式.例如，矩阵中的第一、二行与第二、三列交叉处的元素构成的二阶子式为.根据定义，A 中的任意一个元素都是A 的一个一阶子式.A 的k 阶子式共有C km ·C kn 个(1≤k ≤min{m ,n }).且若m =n ，即A 为方阵，则|A |是A 的一个n 阶子式.当A ≠O 时，它至少有一个一阶子式不为零.定义2设A =(a ij )m ×n ，如果存在A 的r 阶子式不为零，而任何r +1阶子式（如果有的话）皆为零，则称数r 为矩阵A 的秩，记为R (A )，并规定零矩阵的秩为零.例如，在矩阵中，有一个三阶子式而所有的四阶子式显然都为零.因此R (A )=3.根据秩的定义容易得到如下结论：(1)R (A m ×n )=0的充分必要条件是A =O ;(2)0≤R (A m ×n )≤min{m ,n };(3)如果A 中有一个r 阶子式不为零，则R (A )≥r ;(4)R (A T)=R (A ),R (k A )=R (A )(k ≠0);(5)分块矩阵的秩不小于它的各子块的秩.如R (A ┊B )≥R (A ),R (A ┊B )≥B ;(i ,j =1,2)等;(6)(7)行（列）阶梯形矩阵的秩等于它的非零行（列）的行（列）数.如果R (A m ×n )=m ，则称A 为行满秩矩阵；如果R (A m ×n )=n ，则称A 为列满秩矩阵；如果R (A n )=n ，则称A 为满秩矩阵.由上面的讨论知，利用定义计算矩阵的秩，需要由高阶到低阶考虑矩阵的子式，当矩阵的行数与列数较高时，按定义求秩是非常麻烦的.由于阶梯形矩阵的秩很容易判断，而任意矩阵都可以经过有限次初等变换化成阶梯形矩阵，因而可考虑借助初等变换法求矩阵的秩.二、用初等变换法求矩阵的秩定理6.1若A →B ，则R (A )=R (B ).*证明先考虑经一次初等行变换的情形.设A 经一次初等行变换后化成了B ，R (A )=s ，且A 的某个s 阶子式D ≠0.当或时，在B 中总能找到与D 相对应的s 阶子式D 1，由于D 1=-D 或D 1=kD ，因此D 1≠0，从而R (B )≥s .当时，由于对变换结论成立，因此只需考虑这一特殊情形，分两种情况讨论：(1)A 的s 阶非零子式D 不含A 的第一行，这时D 也是B 的一个s 阶非零子式，故R (B )≥s ;(1)D 包含A 的第一行，这时把B 中与D 对应的s 阶子式D 1记为其中r 1+kr 2表示D 1的第一行，r p 表示D 1的第二行，…，r q 表示D 1的最后一行.其余类推.若p =2,则D 1=D ≠0；若p ≠2，则D 2也是B 的s 阶子式，由D 1-kD 2=D ≠0知D 1与D 2不同时为零.总之，B 中存在s 阶非零子式D 1或D 2.故R (B )≥s .以上证明了若A 经一次初等行变换变为B ，则R (A )≤R (B ).由于B 亦可经一次初等行变换变为A ，故也有R (B )≤R (A )，因此R (A )=R (B ).由经一次初等行变换后矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换后矩阵的秩不变.同理可证得经有限次初等列变换后矩阵的秩不变.总之，若A 经有限次初等变换后变为矩阵B (即A →B )，则R (A )=R (B ).由此可得利用初等变换求矩阵A 的秩的方法：对A 施行初等行（列）变换化成行（列）阶梯形，行（列）阶梯形矩阵中非零行（列）的行（列）数就是A 的秩.例1求矩阵A 的秩解因为所以R(A)=3.由于每个矩阵都有等价的标准形，由此可得:定理6.2矩阵A与B等价的充分必要条件是它们有相同的标准形.证明必要性.设A的标准形为B的标准形为因A≅B,由等价的传递性知≅，故r=s.即A与B有相同的标准形.充分性.因A与B有相同的标准形，由等价的传递性知A≅B.推论A≅B的充分必要条件是R(A)=R(B).证明必要性是显然的.充分性，因R(A)=R(B)，所以A与B有相同的标准形，从而A≅B.例2设B为m阶满秩矩阵，A为m×n阶矩阵，试证R(BA)=R(A).证明因B为满秩矩阵，故B可表示成有限个初等矩阵的乘积，即B=P1P2…P s,(i=1,2,…,s)为初等矩阵.从而其中PiBA=P1P2…P s A.此式表明BA是A经有限次初等行变换后所得的矩阵，因而有R(BA)=R(A).注同理可得:阶矩阵，则R(AB)=R(A);(1)若B为n阶满秩矩阵，A为m×n(2)若B，C分别为m阶及n阶满秩矩阵，则R(BA C)=R(A).。

矩阵的秩的运算法则

矩阵的秩的运算法则矩阵的秩是线性代数中一个重要的概念，它可以帮助我们判断矩阵的性质和解决一些实际问题。

在矩阵的秩的运算中，有一些基本的法则和规则，下面我将为大家介绍一下。

首先，我们需要明确什么是矩阵的秩。

矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。

换句话说，矩阵的秩就是矩阵中非零行或非零列的最大个数。

我们用r(A)表示矩阵A的秩。

接下来，我们来看一下矩阵的秩的运算法则。

首先是矩阵的加法。

如果两个矩阵A和B的秩相等，即r(A) = r(B)，那么它们的和矩阵A + B的秩也相等，即r(A + B) = r(A) = r(B)。

这个法则告诉我们，矩阵的秩在加法运算中是保持不变的。

其次是矩阵的乘法。

如果两个矩阵A和B相乘，那么它们的秩满足以下关系：r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}。

也就是说，两个矩阵相乘后的秩不会超过原矩阵的秩的较小值。

这个法则告诉我们，矩阵的秩在乘法运算中是有限制的。

再次是矩阵的转置。

如果矩阵A的秩为r(A)，那么它的转置矩阵A^T的秩也为r(A^T) = r(A)。

这个法则告诉我们，矩阵的秩在转置运算中是保持不变的。

最后是矩阵的行变换。

对于一个矩阵A，我们可以进行一系列的行变换，如交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行加上另一行的若干倍等。

这些行变换不会改变矩阵的秩。

也就是说，经过行变换后的矩阵与原矩阵的秩相等。

综上所述，矩阵的秩的运算法则包括矩阵的加法、乘法、转置和行变换。

在矩阵的加法中，秩保持不变；在矩阵的乘法中，秩有一定的限制；在矩阵的转置中，秩保持不变；在矩阵的行变换中，秩也保持不变。

矩阵的秩的运算法则在线性代数的学习和应用中起着重要的作用。

通过运用这些法则，我们可以更好地理解和分析矩阵的性质，解决实际问题。

同时，这些法则也为我们提供了一些计算矩阵秩的方法和技巧，使我们能够更加高效地进行矩阵的秩运算。

总之，矩阵的秩的运算法则是线性代数中的重要内容，它们帮助我们理解和分析矩阵的性质，解决实际问题。

矩阵的秩及其求法课件

矩阵的秩及其求法课件
目录
• 矩阵的秩的定义 • 矩阵的秩的求法 • 矩阵的秩的应用 • 矩阵的秩的特殊情况 • 矩阵的秩的注意事项
矩阵的秩的定义
01
秩的定义
秩
一个矩阵的秩是其行向量组或列向量组的一个最大线性无关组中所含向量的个数。
定义中的关键词
线性无关、最大、个数。
秩的性质
性质1
矩阵的秩是其行向量组的秩或列向量组的秩，即r(A)=r(A 的行向量组)=r(A的列向量组)。
矩阵的秩的特殊情
04
况
零矩阵的秩
要点一
总结词
零矩阵的秩总是为0。
要点二
详细描述
对于任何n阶零矩阵，其秩都为0，因为零矩阵其行列式值。
详细描述
对于n阶方阵A，其秩r(A)等于其行列式值|A|，当且仅当 A是满秩矩阵时。
特殊矩阵的秩
总结词
特殊矩阵的秩可以通过其元素性质计算。
详细描述
对于一些具有特定元素性质的矩阵，如上三角矩阵、下三角矩阵、对角矩阵等，其秩可
以通过元素的性质直接计算得出。
矩阵的秩的注意事
05
项
秩的计算与误差
计算方法
矩阵的秩可以通过多种方法计算，如行初等变换法、列初等变换法、子式法等。
误差控制
在计算过程中，应尽量减少误差，确保结果的准确性。
精度要求
方法2
初等列变换法。通过初等列变换将矩阵化为阶梯形矩阵，阶梯形矩阵中非零行的行数即为原矩阵的秩。
方法3
利用子式求秩。一个n阶矩阵的秩等于其所有n阶子式的秩，而n阶子式的秩又等于其所有元素的最高次幂系数乘积不为0时的最高阶数。
矩阵的秩的求法
02
行列式法

2.6.1----矩阵秩的定义-§2.6-----矩阵的秩

PAQ
Er O
O O
,
将矩阵分块为
Q1B
B1 B2
其中，B1是r ×p 矩阵，B2是(n-r) ×p 矩阵。
由于
PAB
(
PAQ)(Q
1B)
Er O
所以
O
O
B1
B2
B1
O
,
R(AB)
R(PAB)
R
B1 O
R(B1
).
注意B1是Q-1B去掉n-r行得到的矩阵，而矩阵每去掉一行其秩减 1 或不变，因此
R(B1) ≥R(Q-1B)- (n- r) =R(B) - (n- r) .
从而
R(AB)≥ r +R(B)-n。
即 R(AB)≥ R(A)+R(B)-n。
显然，在上式中当AB=O时，有公式
R(A)+R(B) n.
例5 设A为n阶方阵( n ≥2)，A*是A的伴随矩阵，试证
1）当R(A)=n时，R(A*)=n; 2）当R(A)=n-1时，R(A*)=1; 3）当R(A)<n-1时，R(A*)=0。证明 1)当R(A)=n时,即A为满秩矩阵,所以| A*|=| A|n-1
≠0,从而R(A*)=n。 2）当R(A)=n-1时，|A|=0，所以A A*= |A|E=O。由 R(A)+R(A*) n，
得R(A*) 1。又由R(A)=n-1知， A中至少有一个元素的代数余子式不等于零，即A*是非零矩阵，从而R(A*) ≥ 1，故R(A*)=1。
3）当R(A)<n-1时， A的每一个n-1阶子式都为零，因而A的所有元素的代数余子式均为零，即A*是零矩阵，故 R(A*)=0。
若A为n阶方阵，且R(A)= n，则称A为满秩矩阵。它既是行满秩矩阵，又是列满秩矩阵。显然，方阵A可逆的充分必要条件是A为满秩矩阵。

2.6矩阵的秩

性质4 若从矩阵A划去一行或一列得到A'，则 r(A')=r(A)或r(A')=r(A)-1，即r(A') ≥r(A)-1 若从矩阵A'划去一行或一列得到A", 则 r(A ")=r(A')或r(A ")=r(A')-1，即r(A ") ≥ r(A')-1 相当于从矩阵A中划去某两行（列）或者一行加一列得到A"，则 r(A ") ≥ r(A')-1≥ (r(A)-1)-1≥ r(A)-2 推广相当于从矩阵A中划去某s行加t列得到B，则 r(B) ≥ r(A)-（s+t）设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则 r(AB) ≥r(A)+r(B)-n 设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，若AB=O，则 r(A)+r(B) ≤n
的可逆矩阵，则
性质任意秩为r的矩阵都可以只经过有限次行的初等变换化为行阶梯形矩阵. a11 a 21 A= a31 L a m1 0 0 行换法 →0 行消法 0 0 a12 a22 a32 L am 2 L 0 L 0 L L 0 L 0 L L 0 a13 a23 a33 L am 3 *1 0 0 0 0 L L L L L L 0 0 0 0 a1n a2 n a3 n L amn L L 0 *2 L L 0 0 L 0 0 L L 0 0
含第i行和第j行就行的初等变换来证明： (1)换法(交换矩阵A的第i行和第j行) 不含第i行和第j行只含其中一行含第i行不含第i行含第i行和第j行不含第i行和第j行只含其中一行(两种情况)
初变
(2)倍法(矩阵A的第i行乘以k，k≠0)

2.5矩阵的秩

都等于0, 所以 r(A) = 2.
3 2 2 1 0 3 1 2 5 0 的秩. 例2 求矩阵 B 0 0 0 4 3 0 0 0 0 0
其非零行有3行，解 B是一个行阶梯形矩阵，
B 的所有 4 阶子式全为零.
2 1 而0 0 3 0
2 0 = 2 为1个2阶子式 0 1 2 0 1 0 1 2 =0 4 0 2
为1个3阶子式
2. 矩阵A的秩 (rank)： A中非零子式的最高阶数, 记为r(A). 注1. 0 r(Amn) min{m, n} 注2. 矩阵 r(A) = r A中至少有一个r阶子式不等于0, 而当k>r时, A的任一k阶子式都为0. 2 0 4 1 如例1中的矩阵A = 0 1 3 2 有一个 4 0 8 2 2 0 2阶子式 = 2 0, 而A的所有3阶子式 0 1
T). r ( A ) = r ( A 注6.
证明: 设AO. AT的子式等于A的某个子式的转置, 因此AT与A的非零子式的最高阶数相等.
二、矩阵秩的求法
因为对于任何矩阵Amn , 总可经过有限次初等行变换把他变为行阶梯形.
问题：经过变换矩阵的秩变吗？定理 1 若 A ~ B, 则 R A R B .
3 2 0, 4
R( B ) 3.
注3. 阶梯阵的秩等于其阶梯数, 即非零行行数. n r(A) = ？注4.设A为n阶方阵，|A| 0 3. 方阵A称为非奇异(非退化)矩阵，若|A| 0. 方阵A称为满秩矩阵，若r(A) = n. 注5. 方阵A非奇异(非退化),满秩,可逆 r(A) = n |A| 0 A E A = P1…Ps
第2.6节矩阵的秩
一. 基本概念 1. k阶子式：在Amn中, 任取k行与k列(km, kn), 位于这些行列交叉处的k2个元素, 不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列 k k 式. 这样的子式共有C m C n 个. 2 0 4 1 例1. A = 0 1 3 2 4 0 8 2

矩阵的秩课件

总结词
理解矩阵秩的定义
详细描述
矩阵的秩定义为线性无关的行向量或列向量的最大数量。
总结词
掌握特殊矩阵的秩
详细描述
对于方阵，其秩等于其所有非零子式的最高阶数；对于增广矩阵，其秩等于其对应的系数矩阵的秩。
习题二：判断矩阵是否可逆
总结词
掌握判断矩阵可逆的方法
01
总结词
理解矩阵可逆的定义
03
总结词
掌握可逆矩阵的性质
秩也可以定义为矩阵中非零子式的最高阶数。
秩的性质
秩具有传递性，即如果矩阵A的秩为r ，矩阵B的秩也为r，那么矩阵A+B的秩也为r。
如果矩阵P和Q可逆，那么(P*Q)的秩等于(Q*P)的秩，即 rank(P*Q)=rank(Q*P)。
秩的计算方法
利用初等行变换或初等列变换，将矩阵化为阶梯形矩阵，然后数阶梯形矩阵中非零行的数量即可得到矩阵的秩。
THANKS
感谢观看
详细描述
构造法是一种直接证明方法，适用于能够具体构造出满足条件的例子或反例的情况。在证明矩阵秩的性质时，构造法可以通过构造一个具体的矩阵例子或反例，来证明命题的正确性或错误性。
06
矩阵秩的习题与解答
习题一：求矩阵的秩
总结词
掌握求矩阵秩的方法
详细描述
通过初等行变换，将矩阵转化为行阶梯形矩阵，非零行的行数即为矩阵的秩。
归纳法
总结词
通过数学归纳法，证明对于所有自然数n，命题都成立。
详细描述
归纳法是一种通过有限步骤证明无限命题的方法。在证明矩阵秩的性质时，归纳法可以通过从n=1开始，逐步推导归纳步骤，最终证明对于所有自然数n，命题都成立。
构造法
要点一

第二章第一讲矩阵的秩

互换变换：A的i行与j行交换变为B，则B 的子式或为A的子式，或与A的子式差一个符号，秩不变。倍乘变换：A的i 行元素乘以 k (k≠0) 得到B，则B 的子式成为A的子式，或与A的子式差一个因子 k≠0。则秩不变。
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倍加变换：A由i行的k倍加到 j行，得到
矩阵B。：B的一个子式若不包含第j行元素，则也为A的一个子式；
1 2 1 1 0 3 4 4 , 0 5 1 0
5 0 , 由r(A)=2, 得 1 0
5. 即 1
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四、小结
1. 矩阵秩的概念 2. 求矩阵秩的方法 (1) 利用定义寻找矩阵中非零子式的最高阶数; (2) 初等变换法
解：对Ａ作初等行变换，变成行阶梯形矩阵。
1 1 2 1 A 1 2 4 1
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2 2 0 4
1 4 3 2
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r2 2 r1 r3 r1 r4 4 r1
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1 1 2 1 0 3 2 2 0 3 2 2 0 3 4 2
对A作初等行变换，变成行阶梯形矩阵：
1 r r 1 3 2 5 1 1 8 1 1 3 4 7 3 5 0 1 2 4 11
解
A
7 11
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5 1 2 1 7 1 11 8 r2 2r1
无解。
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因此，r(A) = 2 , r(B) = 3.
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线性代数：矩阵的秩

0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 例4 设 A = , 求矩阵 A 的 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4 秩,并求 A 的一个最高阶非零子式 .
作初等行变换, 阶梯形矩阵: 解对 A 作初等行变换,变成行阶梯形矩阵:
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A= 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
定义 2 设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子阶子式( 式 D,且所有 r + 1 阶子式(如果存在的话 )全等的最高阶非零子式, 于 0,那末 D 称为矩阵 A的最高阶非零子式,数 r 称为矩阵 A 的秩,记作 r ( A) .并规定零矩阵的秩的秩, 等于零 . m × n 矩阵 A 的秩 r ( A) 是 A 中不等于零的子式的最高阶数 .
2 4
1 1 8 0 2 4 2 3 3 6 0 6 4 2
r2 2r1 1 2 2 1 r3 + 2r1 0 0 4 2 0 0 2 1 r4 3r1 0 0 6 3
1 0 5 1
r2 ÷ 2 r3 r2
r4 + 3r2
1 2 0 0 0 0 0 0
解 Q B是一个行阶梯形矩阵, 其非零行有 3行, 是一个行阶梯形矩阵,
∴ B 的所有 4 阶子式全为零 .
2 1 3 而 0 3 2 ≠ 0, 0 0 4
∴ r ( B ) = 3.
1 例3 已知 A = 0 2 1 3 = 2 ≠ 0, 解 Q 0 2
3 2 2 2 1 3 ,求该矩阵的秩. 求该矩阵的秩. 0 1 5
因此 D r ≠ 0,从而 r ( B ) ≥ r . 分三种情况讨论: 当A → B时,分三种情况讨论:
(1)Dr中不含第 i行; (2)Dr中同时含第 i行和第 j行; (3)Dr中含第 i行但不含第 j行;

2.6 矩阵的秩

的秩，数 r称为矩阵 A 的秩，记作 R( A) .
注:
1. m × n 矩阵 A 的秩 R ( A ) 是 A 中不等于零的子式的最高阶数 .
显有 R( AT ) = R( A). 2.对于 A ，
T
3. R( Am×n ) ≤ min( m , n)
4. R( An ) = n ⇔ A为可逆矩阵 .
例1
1 2 3 求矩阵 A = 2 3 − 5 的秩 . 4 7 1
1 2 在 A 中， ≠ 0. 2 3
解:
又 Q A的 3 阶子式只有一个 A，且 A = 0，
∴ R ( A ) = 2.
1 例2 知 A = 0 − 2 1 3 = 2 ≠ 0, 解 Q 0 2
r2 ÷ 2
2 − 1 1 r ÷5 2 1 0 3 0 0 5 r − r 4 3 0 0 1
2 − 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0
∴ R ( A ) = 2,
R ( B ) = 3.
三、矩阵秩的性质
定理2 定理2 设A为m × n 矩阵P、 Q分别为 m 阶矩阵P
第2.6节矩阵的秩 2.6节
主要内容: 主要内容: 一、矩阵秩的概念二、矩阵秩的求法三、矩阵秩的不等式（略讲）矩阵秩的不等式（略讲）
一、矩阵秩的概念
1、k阶子式、阶子式
定义1 在 m × n 矩阵 A 中任取 k 行 k 列（k ≤ m , k ≤ n），
位于这些行列交叉处的 k 2 个元素 , 按原来的相对位置构成k阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式 . 阶行列式，
四、小结
1. 矩阵秩的概念 2. 求矩阵秩的方法 (1)利用定义 (1)利用定义 (即寻找矩阵中非零子式的最高阶数 (即寻找矩阵中非零子式的最高阶数); 即寻找矩阵中非零子式的最高阶数); (2)初等变换法 (2)初等变换法 (把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩). 阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩

2.6 矩阵的秩

A 中阶数大于 r 的子式必等于零 .
A 中不等于零的子式的阶数 r 秩 R( A) . 1 2 3 例如，矩阵 A 2 4 6 4 8 12 0，在 A 中显然有不等于 0 的1 阶子式 2，所有2阶子式都为此时， R( A) 1. 2 即为矩阵 A的最高阶非零子式 ,
因 R( A) 2 ，故A的行阶梯形矩阵只能有两个非零行. 而B的2,3行都不为零,因此必有一行会被消成零. 0 8 5 4 k 0 3 4 4 0 0 0 0 或 0 3 4 4 l 0 8 5 4 0 0 0 0 5 0 5 即 1 0 1
行最简形矩阵：行阶梯形矩阵；非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0
行阶梯形矩阵的秩
行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩
例
3 2 2 1 0 3 1 2 5 0 求矩阵 B 的秩. 0 0 0 4 3 0 0 0 0 0
而
R( A E ) R( E A) ，故 R( A E ) R( A E ) n
三、小结
1. 矩阵秩的概念
2. 求矩阵秩的方法 (1)利用定义 (即寻找矩阵中最高非零子式的阶数); (2)初等变换法定理2.5：初等变换不改变矩阵的秩。
初等变换求矩阵秩的方法
(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).
解
在 A 中，
1 2
2 3
0.
且 A 0，又 A的 3 阶子式只有一个 A，
R( A) 2.
行阶梯形矩阵的秩
行阶梯形矩阵：任意一行的第一个非零元素所在的列中，在这个非零元素的下方全为0。特点：可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即为非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元。

矩阵的秩学习课件

定理2.11 设均为矩阵，则（2.16）例22 设为阶幂等矩阵，即，证明 . 证由 ,有 .由（2.15）式，有另一方面，由（2.16）式，有，故 .
例20 求下列矩阵的秩（1），（2）解（1）A 是一个行阶梯形矩阵，容易看出 A的所有4阶子式均为零，有一个三阶子式故 . （2）的最大子式为三阶，共有4个:
将分块：，其中为矩阵，为矩阵。于是再由定理2.8，有。同理可证，。定理2.10（Sylvester）设分别为和 n×k 矩阵，则 (2.14)特别地，若，则（2.15）
矩阵的秩既不超过其行数，也不超过其列数。对于矩阵的乘积与和的秩，有下列结果定理2.9 两个矩阵乘积的秩不超过每个因子的秩。即（2.13）证设 A为矩阵, B为矩阵，由定理2.5，存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵 ,使于是，。
的所有3阶子式皆为零，且有一个二阶子式，故 . 当矩阵的阶数较高时，按定义求该矩阵的秩是比较麻烦的。2.6.2 用初等变换求矩阵的秩从例20第（1）小题可以看出，行阶梯形矩阵容易求秩，其秩就是其非零行的行数。标准形就更容易求秩了。而任意矩阵可经过初等变换化为标准形，问题是初等变换是否改变矩阵的秩呢？我们不加证明的给出下面的定理。
定理2.7 初等变换不改变矩阵的秩. 例21 用初等变换求下列矩阵的A的秩。解故r(A)=3.
实际计算时，并不一定要将A用初等变换化为标准形，只需将A 化为一眼就能看出它的秩的矩阵即可。既然初等变换不改变矩阵的秩，又注意到可逆矩阵可表为若干个初等矩阵的乘积,我们有定理2.8 设A是一个矩阵, P,Q分别是m阶和n阶可逆矩阵，则；；。即 A 左乘或右乘一个可逆矩阵，其秩不改变。2.6.3 矩阵秩的不等式

矩阵的秩——精选推荐

课程：高等代数第2.6.1页课程：高等代数第2.6.2页课程：高等代数第2.6.3页课程：高等代数第2.6.4页课程：高等代数第2.6.5页编者按：大地涵藏万物，孕育生命，被誉为人类的母亲。

但是，近年来，伴随我国工业化的快速发展，大地不断遭到各种污染的伤害。

仅仅因土壤污染防治不足、环境监管乏力，导致的食品药品安全事件就频频发生，2008年以来，全国已发生百余起重大污染事故。

目前我国大地污染现状严峻，成因十分复杂，形成令人扼腕的“大地之殇”。

《经济参考报》以此为主题，探寻大地污染背后所触及的我国农业、工业、城市化进程中关于生存与发展的一系列深层矛盾与两难抉择，并以“大地之殇”系列报道的形式在“深度”版推出，敬请关注。

大地之殇一·黑土地之悲占全国粮食总产五分之一的东北黑土区是我国最重要的商品粮基地，但一个并不为多数人了解的严峻事实是，支撑粮食产量的黑土层却在过去半个多世纪里减少了50%，并在继续变薄，几百年才形成一厘米的黑土层正以每年近一厘米的速度消失。

照此速度，部分黑土层或将在几十年后消失殆尽，东北这一中国最大粮仓的产能也将遭受无法挽回的损失。

□记者孙彬管建涛连振祥吉哲鹏娄辰李松南京哈尔滨兰州昆明济南重庆报道毒土：GDP至上的恶果当前，我国土壤污染出现了有毒化工和重金属污染由工业向农业转移、由城区向农村转移、由地表向地下转移、由上游向下游转移、由水土污染向食品链转移的趋势，逐步积累的污染正在演变成污染事故的频繁爆发。

日益加剧的污染趋势可能还要持续30年“目前，我国土壤污染呈日趋加剧的态势，防治形势十分严峻。

”多年来，中国土壤学会副理事长、中国农业科学院研究员张维理教授一直关注我国土壤污染问题“我国土壤污染呈现一种十分复杂的特点，呈现新老污染物并存、无机有机污染混合的局面。

”“现在我国土壤污染比各国都要严重，日益加剧的污染趋势可能还要持续30年。

”中国土壤学专家，南京农业大学教授潘根兴告诉《经济参考报》记者，这些污染包括随经济发展日益普遍的重金属污染、以点状为主的化工污染、塑料电子废弃物污染及农业污染等。

矩阵的秩的定理

矩阵的秩的定理
矩阵的秩的定理，也称为格拉姆-施密特(Gram-Schmidt)定理或斯皮耳定理(Sylvester's law)，是线性代数中的一个基本定理。

它描述了一个矩阵的秩，也称为矩阵的“行秩”或“列秩”，等于其行向量组或列向量组的极大线性无关组中向量的个数。

具体地，设A是一个n\times m矩阵，r是它的秩，则：
1. 存在n\times r矩阵B和r\times m矩阵C，使得A=BC；
2. r等于矩阵A中的行向量组或列向量组的极大线性无关组中向量的个数。

这个定理的证明可以通过线性代数的一般理论，包括线性空间的基本概念和线性相关性等进行推导。

矩阵的秩的定理在很多数学和工程应用中都得到了广泛的应用，如矩阵分解、矩阵压缩、图像处理、信号处理和统计学中的因子分析等。

矩阵的秩公式

矩阵的秩公式
矩阵的秩公式是一种数学工具，用于确定矩阵的秩。

秩是描述矩阵中非零行的最大数量的参数。

对于一个m×n的矩阵，使用高斯消元法可以将矩阵化为行最简形式。

在行最简形式矩阵中，所有非零行都位于零行之上，并且每个非零行的首个非零元素都为1。

根据矩阵的行最简形式，我们可以确定矩阵的秩。

矩阵的秩等于行最简形式中的非零行数量。

这个数量即为矩阵的秩。

对于一个m×n的矩阵，其秩可以表示为r(A)，其中A为矩阵。

矩阵A的秩满足以下条件：
1. 如果m ≤ n，则r(A) ≤ m；
2. 如果m > n，则r(A) ≤ n；
3. 如果矩阵A的元素全为0，则r(A) = 0。

此外，我们可以使用矩阵的性质来进一步求解秩。

例如，可以使用行变换来简化矩阵，以便更轻松地计算秩。

矩阵的秩在线性代数和各个领域都有广泛应用，包括图论、线性方程组求解和最小二乘法等。

总结而言，矩阵的秩公式是一个用于确定矩阵秩的数学工具。

它可以通过高斯消元法和矩阵的行最简形式来计算。

秩在多个领域有广泛应用，是解决各种问题的重要参数。

§2.6 矩阵的秩

2.6-矩阵的秩

2-6 矩阵的秩

2-6矩阵的秩

矩阵的秩的运算法则

矩阵的秩及其求法课件

2.6.1----矩阵秩的定义-§2.6-----矩阵的秩

2.6矩阵的秩

2.5矩阵的秩

矩阵的秩课件

第二章 第一讲 矩阵的秩

线性代数：矩阵的秩

2.6 矩阵的秩

2.6 矩阵的秩

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第二章第一讲矩阵的秩