广东省中山市第一中学2017-2018学年高一上学期第三次段考数学试题 Word版含答案

中山一中2017-2018学年上学期高一级第三次段考数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（共12个小题,每小题5分，共60分．每题只有一项是符合题目要求．）1．设集合{}|24xA x =≤，集合{}|lg(1)B x y x ==-，则AB 等于 ( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．[1,2)D ．[1,2]2．已知函数⎩⎨⎧≤>=0,20,log )(3x x x x f x ，则))91((f f = （ ）A ．12 B ．14 C ．16 D ．183．已知两直线0243:1=-+y x l 与038:2=--y ax l 平行，则a 的值是（ ） A ．3 B ．4 C ．6- D ． 6 4．若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．异面 C ．平行 D ．异面或相交5．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )A ．3B ．23C ．33D ．436．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．2＋1B ．221＋ C ．22＋2 D ．2＋2 7．半径为R 的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（ ）A. 3B.343R πC. 3D. 39R 8．已知函数()f x 的图像是连续不断的，有如下x ，()f x 对应值表：函数()f x 在区间[1,6]上有零点至少有（ ）A ． 2个B. 3个 C .4个D. 5个9．在长方体1111ABCD A BC D -中，13AA =，4AD =，5AB =，由A 在表面到达1C 的最短行程为（ ）A ．12BCD ．C 1A 110．给出下列四个说法：①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行；③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直．其中正确的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个11．已知函数2()2f x x x =-，()2(0)g x ax a =+>，且对任意的1[1,2]x ∈-，都存在2[1,2]x ∈-，使21()()f x g x =，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．[3，＋∞)B ．(0,3]C ．⎣⎡⎦⎤12，3D ．⎝⎛⎦⎤0，1212．若1(1)2(2)3log log log 0a a a x x x ++==>，则123,,x x x 之间的大小关系为（ ）A ．1x <2x <3xB ．2x <1x <3xC ．1x <3x <2xD ．3x <2x <1x第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每小题5分，满分20分.）13．空间四边形ABCD 中，P 、R 分别是AB 、CD 的中点，PR =3、AC = 4、BD =那么AC 与BD 所成角的度数是_________．14．如图，正四棱锥V ABCD -中，高为2，底面ABCD 是边长为4则二面角V AB C --的平面角为 ．15．过点()2,1且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 ． 16．已知两条不同直线m 、n ，两个不同平面α、β，给出下列： ①若l 垂直于α内的两条相交直线，则l ⊥α；②若a ∥α，则 a 平行于α内的所有直线； ③若m ⊂α，n ⊂β且α∥β，则m ∥n ； ④若l ⊂β，α⊥l ，则α⊥β；其中正确的序号是 ．（把你认为正确的序号都填上）B1A三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分）如图，是一个几何体的三视图，正视图和侧视图都是由一个边长为2的等边三角形和一个长为2宽为1的矩形组成．（1）说明该几何体是由哪些简单的几何体组成；（2）求该几何体的表面积与体积．18．（本小题满分12分）（1）求值：73log2043log7162015+-；（2）设函数()f x是定义在R上的偶函数，且)2()(-=xfxf，当[0,1]x∈时，()21f x x=+，求)23(f的值.19．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C-中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，112AC BC AA==，D是棱1AA的中点（1）证明：平面1BDC⊥平面BDC；（2）平面1BDC分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.20．（本小题满分12分）已知两点)1,1(-A，)3,3(B．（1）求直线AB的方程；（2）求线段AB的垂直平分线l的直线方程．21．（本小题满分14分）如图，正四棱锥S ABCD-的底面是边长为a正方形，O为底面P为侧棱SD上的点.（1）求证：AC⊥SD；（2）若SD⊥平面PAC，F为SD中点，求证：BF∥平面PAC；（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．FHBD22．（本小题满分10分）如图，有一块矩形空地ABCD ，要在这块空地上开辟一个内接四边形EFGH 为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上．已知(2)AB a a =>，2BC =，且AE AH CF CG ===，设AE x =，绿地EFGH 面积为y ．（1）写出y 关于x 的函数解析式，并求出它的定义域；（2）当AE 为何值时，绿地面积y 最大？并求出最大值．中山一中15-16上高一级第三次段考数学试题参考答案一、选择题：1-5：BBCDA 6-10：DCBBB 11-12：DA二、填空题： 13．090 14．045 15．03=-+y x 或x y 2= 16．①④三、解答题 17．（满分10分）解：（1）由三视图知，该三视图对应的几何体为一个底面直径为2,母线长为2的圆锥与一个长宽都为2高为1的长方体组成的组合体。

2分（2）此几何体的表面积：2244216S πππ=+⨯-+⨯=+ 6分此几何体的体积：122143V π=⨯⨯=+ 10分 18．（满分12分）解：（1）原式32128122=++-=…………………………（6分） （2）33111()(2)()()21222222f f f f =-=-==⨯+=. …………………（12分）19．（满分12分）(1) 证明：由题知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC=C ， 所以BC ⊥平面ACC 1A 1，又DC 1⊂平面AC C 1A 1，所以DC 1⊥BC. …………（3分）由题知∠A 1 DC 1=∠A DC=45o ，所以∠CDC 1=90 o ，即DC 1⊥DC ，……………（5分） 又DC∩BC=C ，DC 、BC ⊂平面BDC ，所以DC 1⊥平面BDC ， 又DC 1⊂平面BDC 1，故平面BDC 1⊥平面BDC. ………6分 （2）解：设棱锥B —DACC 1的体积为V 1，AC=1，由题意得 V 1 =211122131=⨯⨯+⨯ (9)分又三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V=1，所以（V-V 1）:V 1=1:1，故平面BDC 1分此棱柱为两部分体积的比为1:1. …………………12分 20．（本小题满分12分）解：（1）直线AB 的两点式方程：)1(3)1(131----=--x y ………3分 即2321+=x y 5分 （2）线段AB 的中点坐标为)231,231(++-，即)2,1( 7分 21)1(313=---=AB k 9分直线AB l ⊥，∴1-=⋅l AB k k ，21-=-=ABl k k 10分 )1(22:--=-x y l 11分:240l x y ∴+-= 12分21．（本小题共14分）证明：（1）连接SO为正方形四边形ABCD ，中点为且AC O BD AC ⊥∴ 1分又SC SA = AC SO ⊥∴ 2分又O BD SO = SBD AC 平面⊥∴ 3分 又SBD SD 平面⊂ SD AC ⊥∴ 4分 （2）连接OPACP OP ACP SD 平面，平面⊂⊥ SD OP ⊥∴ 5分 又中点为，且中，SD F SB a BD SBD ==∆2 SD BF ⊥∴ 6分因为BDF BF OP 平面、⊂； 所以OP ∥BF 7分 又OP ACP BF ACP ⊂⊄平面，平面∴BF ∥平面PAC 8分（3）解：存在E ，使得BE ∥平面PAC.过过FE F 作∥PC SC E 交于，连接BE ，则E 为所要求点. 9分 FE ∥PC ，PC ACP FE ACP ⊂⊄平面，平面 FE ∴∥平面PAC由（2）知：BF ∥平面PAC ，而F BF FE = BEF 平面∴∥平面PAC 11分BE ∴∥平面PACOP ∥BF ，BD O 为中点，中点为FD P ∴又因为F 为SD 中点，12==∴FP SF EC SE 13分 所以，在侧棱SC 上存在点E ，当1:2:=EC SE 时，BE ∥平面PAC . 14分22．（本小题满分10分）解：（1）如图，由题意，得221x S S C F G A E H ==∆∆，)2)((21x x a S S DGH BEF --==∆∆，所以x a x S S S y BEF AEH ABCD )2(2222++-=--=∆∆矩形． 3分由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≥->->,2,02,0,0a x x a x 得20≤<x ． 故x a x y )2(22++-=，定义域为(]2,0． 5分（26分 当242<+a ，即62<<a 时，则42+=a x 时，8)2(2max +=a y ； 7分 当242≥+a ，即6≥a 时，x a x y )2(22++-=在(]2,0上是增函数， 则2=x 时，42max -=a y ． 9分综上所述，当62<<a ，42+=a AE 时，绿地面积最大值为8)2(2+a ；当6≥a ，2=AE 时，绿地面积最大值为42-a ． 10分。