九年级数学下册1.5第1课时抛物线形二次函数试题新版湘教版
湘教版九年级下册数学第1章 二次函数含答案(必考题)
湘教版九年级下册数学第1章二次函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：① ；② ；③ ；④若点，点，点在该函数图象上，则；⑤若方程的两根为和，且，则. 其中正确的结论有（）A.2个B.3个C.4个D.5个2、已知点A( ，），B（，），C（2，）在抛物线上，则、、的大小关系是（）A. B. C. D.3、如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y），（3，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（）1A.①②B.②③C.①②④D.②③④4、二次函数y＝﹣(x﹣3)2+1的最大值为( )A.﹣1B.1C.﹣3D.35、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线.下列结论中，正确的是（）A.abc>0B.a+b=0C.2b+c>0D.4a+c<2b6、二次函数图象如图3所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是（）．A.x＜－1B.－1＜x＜3C.x＞3D.x＜－1或x＞37、如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A，B两点，C(m，﹣3)是图象上的一点，且AC⊥BC，则a的值为（）A.2B.C.3D.8、如图1，E为矩形ABCD边AD上的一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是2cm/s．若P、Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系图象如图2，则下列结论错误的是（）A.AE=12cmB.sin∠EBC=C.当0＜t≤8时，y= t 2D.当t=9s时，△PBQ是等腰三角形9、关于二次函数，下列说法正确的是（）A.图象的对称轴在轴的右侧B.图象与轴的交点坐标为C.图象与轴的交点坐标为和D. 的最小值为－910、我们定义一种新函数：形如（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（）①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4，A.4B.3C.2D.111、若x1， x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1， x2， a，b的大小关系为（）A.x1＜x2＜a＜b B.x1＜a＜x2＜b C.x1＜a＜b＜x2D.a＜x1＜b＜x212、在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A.a≤﹣2B.a＜C.1≤a＜或a≤﹣2D.﹣2≤a＜13、如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为( )A. B. C. D.14、若对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x2﹣16），则符合条件的点P（）A.有且只有1个B.有且只有2个C.至少有3个D.有无穷多个15、在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y＝ax2＋bx＋c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B(0，3)，则a的取值范围是（）A.a＜0B.－3＜a＜0C.D.二、填空题(共10题，共计30分)16、已知抛物线y＝ax2－4ax＋c经过点A（0，2），顶点B的纵坐标为3．将直线AB向下平移，与x轴、y轴分别交于点C、D，与抛物线的一个交点为P，若D是线段CP的中点，则点P的坐标为________ ．17、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与x轴交于A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（不包括这两个点），下列结论：①当﹣1＜x＜3时，y＞0；②﹣1＜a＜﹣；③当m≠1时，a+b＞m（am+b）；④4ac﹣b2＞8a其中正确的结论是________.18、把抛物线向左平移3个单位，然后向下平移2个单位，平移后抛物线的顶点坐标为________.19、如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是________．（写出所有正确结论的序号）①b＞0②a﹣b+c＜0③阴影部分的面积为4④若c＝﹣1，则b2＝4a．20、若A（1，2），B（3，2），C（0，5），D（m，5）是抛物线y=ax2+bx+c图象上的四点，则m=________21、若点在如图所示的抛物线上，则的大小关系是________.22、汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶的时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝8t﹣2t2，汽车刹车后停下来前进的距离是________米．23、如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF 分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB=________m 时，矩形土地ABCD的面积最大．24、二次函数的图象如图所示，则y＜0时自变量x的取值范围是________ .25、当x=m和x=n（m≠n）时，二次函数y=x2﹣2x+3的函数值相等，当x=m+n 时，函数y=x2﹣2x+3的值为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、我们知道任何实数的平方一定是一个非负数，即：（a+b）2≥0，且﹣（a+b）2≤0．据此，我们可以得到下面的推理：∵x2+2x+3=（x2+2x+1）+2=（x+1）2+2，而（x+1）2≥0∴（x+1）2+2≥2，故x2+2x+3的最小值是2．试根据以上方法判断代数式3y2﹣6y+11是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最大值或最小值．27、宁波元康水果市场某批发商经销一种高档水果,如果每kg盈利10元,每天可售出500kg,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每kg涨价一元,日销售量将减少20kg．（1）现要保证每天盈利6000元,同时又要让顾客得到实惠,那么每kg应涨价多少元?（2）若该批发商单纯从经济角度看,那么每kg应涨价多少元,能使商场获利最多．28、某汽车刹车后行驶的距离y（单位：m）与行驶的时间t（单位：s）之间近似满足函数关系y＝at2+bt（a＜0）．如图记录了y与t的两组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该汽车刹车后到停下来所用的时间．29、已知二次函数，当时有最大值，且此函数的图象经过点，求此二次函数的关系式，并指出当为何值时，随的增大而增大．30、（1）已知二次函数y=x2-2x-3,请你化成y=(x-h)2+k的形式,并在直角坐标系中画出y=x2-2x-3的图象;（2）如果A(x1,y1),B(x2,y2)是（1）中图象上的两点,且x1<x2<1,请直接写出y 1、y2的大小关系;（3）利用（1）中的图象表示出方程x2-2x-1=0的根来,要求保留画图痕迹,说明结果．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、D3、A4、B5、D6、B7、D8、D9、D10、A11、C12、C13、B14、B15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、29、。
(精练)湘教版九年级下册数学第1章 二次函数含答案
湘教版九年级下册数学第1章二次函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、若二次函数的顶点在第一象限，且经过点，，则的变化范围是 ( )A. ;B. ;C. ;D.2、关于二次函数的图象与性质，下列结论错误的是（）A.抛物线开口方向向下B.当x=5时，函数有最大值C.抛物线可由经过平移得到 D.当x＞5时，y随x的增大而减小3、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a#0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③0＜b＜1；④当x ＜﹣1时，y＜0．其中正确结论的个数是（）A.4个B.3个C.2个D.1个4、抛物线y＝（x﹣1）2+3关于x轴对称的抛物线的解析式是（）A.y＝﹣（x﹣1）2+3B.y＝（x+1）2+3C.y＝（x﹣1）2﹣3 D.y＝﹣（x﹣1）2﹣35、已知二次函数的图象如下图所示，则四个代数式，，，中，值为正数的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个6、如图1，矩形中，，点分别是上两动点，将沿着对折得，将沿着对折得，将沿着对折，使三点在一直线上，设的长度为x，的长度为y，在点p的移动过程中，y与x的函数图象如图2，则函数图象最低点的纵坐标为（）A. B. C. D.7、次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（）A.y=（x﹣1）2+2B.y=（x﹣1）2+3C.y=（x﹣2）2+2D.y=（x﹣2）2+48、A（-2，y1）、B（1，y2）是抛物线y＝-x2-2x+2上的两点，则y1， y2的大小关系（）A.y1＞y2B.y1＝y2C.y2＞y1D.无法判断9、下列函数中函数值有最大值的是（）A.y=B.y=-C.y=-x 2D.y=x 2-210、如图，直线y= 与y轴交于点A，与直线y=﹣交于点B，以AB 为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y=（x﹣h）2+k的顶点在直线y=﹣上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（）A.﹣2B.﹣2≤h≤1C.﹣1D.﹣111、在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y＝ax2＋bx＋c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B(0，3)，则a的取值范围是（）A.a＜0B.－3＜a＜0C.D.12、已知二次函数图象的一部分如图所示，给出以下结论：；当时，函数有最大值；方程的解是，；，其中结论错误的个数是A.1B.2C.3D.413、函数y=2x2+3x﹣5是（）A.一次函数B.正比例函数C.反比例函数D.二次函数14、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y 轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0），则下面的四个结论，其中正确的个数为（）①2a+b＝0②4a﹣2b+c＜0③ac＞0④当y＞0时，﹣1＜x＜4A.1个B.2个C.3个D.4个15、已知二次函数y=x2-4x+3的图象是由y=x2+2x-1的图象先向上平移一个单位，再向( )A.左移3个单位B.右移3个单位C.左移6个单位D.右移6个单位二、填空题(共10题，共计30分)16、把二次函数y= -2x2-4x-1的图象向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，则两次平移后的图象的解析式是 ________；17、当x________ 时，二次函数(m为常数)的函数值y随x 的增大而减小.18、请写出一个对称轴为x=3的抛物线的解析式________．19、已知关于x的二次函数（自变量 x 为整数）在取得最大值，则a的取值范围为________20、已知抛物线的顶点在轴上，则________．21、如图，线段的长为2，为上一个动点，分别以、为斜边在的同侧作两个等腰直角三角形和，那么长的最小值是________.22、图1是一款优雅且稳定的抛物线型落地灯．防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.86米，灯柱AB及支架的相关数据如图2所示。
湘教版九年级数学下册1.5二次函数的应用第1课时抛物线形二次函数教学设计
湘教版九年级数学下册1.5二次函数的应用第1课时抛物线形二次函数教学设计一. 教材分析湘教版九年级数学下册1.5二次函数的应用主要介绍了抛物线形二次函数的相关知识。
这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行学习的，旨在让学生能够运用二次函数解决实际问题。
教材通过引入抛物线形二次函数，使学生能够更好地理解二次函数在现实生活中的应用，提高学生的数学素养。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的概念、图像和性质有一定的了解。
但是，对于抛物线形二次函数的应用，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，针对不同学生的学习情况，进行有针对性的教学。
三. 教学目标1.理解抛物线形二次函数的概念，掌握其图像特征。
2.能够运用抛物线形二次函数解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3.培养学生的团队协作能力和数学思维能力。
四. 教学重难点1.抛物线形二次函数的概念及其图像特征。
2.抛物线形二次函数在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
2.案例教学法：通过分析具体案例，使学生掌握抛物线形二次函数的应用方法。
3.小组讨论法：引导学生分组讨论，培养学生的团队协作能力和口头表达能力。
4.实践操作法：让学生通过动手操作，加深对抛物线形二次函数的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助教学。
2.教学案例：准备一些实际问题，用于引导学生应用抛物线形二次函数解决问题。
3.练习题：准备一些针对性的练习题，用于巩固所学知识。
4.板书设计：设计清晰易懂的板书，便于学生记录和复习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的抛物线现象，如篮球投篮、抛物线飞行等，引导学生关注抛物线形二次函数在现实生活中的应用。
2.呈现（10分钟）介绍抛物线形二次函数的概念，并通过课件展示其图像特征。
湘教版九年级下册数学精品教学课件 第1章 二次函数 第1课时 抛物线形二次函数
实际 问题
建立二次 函数模型
利用二次函数的图象 和性质求解
实际问题的解
典例精析 例1 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央 垂直于水面处安装一个柱子 OA，O 恰在水面中心， OA=1.25 m，由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各 个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂
亮，要求设计成水流在离 OA 距离为 1 m处达到距水面最 大高度 2.25 m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少 要多少才能使喷出的水流不致落到池外？
探究 你能想出办法来吗？
建立函数模型
这是什么样的函数呢？ 拱桥的纵截面是抛物线， 所以应当是个二次函数
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 y 轴，建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数图象是 这条抛物线呢？
由于顶点坐标是(0，0)， 因此这个二次函数的
形式为 y ax2 (a 0)
-2 -1 -2
-4
12
A
如何确定 a 是多少？ 已知水面宽 4 m 时，
-2 -1
12
拱顶离水面高 2 米，
-2
A
因此点 A( 2，-2)在抛物线上，
由此得出 2 a 22，解得 a 1 .
-4
因此，y 1 x2
2
，其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y 是
2
拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水
设最多可安装 n 扇窗户， ∴1.5n + 0.8(n﹣1) + 0.8×2 ≤10.14， 解得 n ≤ 4.06．则最大的正整数为 4． 答：最多可安装 4 扇窗户.
5. 悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似
九年级数学下册1.5第1课时抛物线形二次函数试题新版湘教版
1．5 二次函数的应用
第1课时 抛物线形二次函数
某桥洞是呈抛物线形状，它的截面在平面直角坐标系中如图所示，现测得水面宽
AB ＝16m ，桥洞顶点O 到水面距离为16m ，当水面上升7m 时，水面宽为12m.
分析：设这条抛物线的解析式为y ＝ax 2
(a ≠0)．由已知抛物线经过点B (8，－16)，可求出抛物线的解析式．当水面上升7m 时到达CD 处，则点C 的纵坐标为－9，即可设点C 的坐标为(x ，－9)(x ＞0)，将C 点坐标代入抛物线解析式，可求出x ，即可得水面宽CD ＝2|x |m.
方法点拨：先用待定系数法求解抛物线解析式，设出相应点的坐标，根据点与抛物线的位置关系，解决实际问题．
从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h (米)与运动时间t (秒)之间的关系式
为h ＝30t －5t 2
，那么小球抛出 3 秒后达到最高点．
分析：在关系式h ＝30t －5t 2
中，通过配方法，求出h 的最大值，使h 取得最大值的t 值即为所求．
方法点拨：解此题的关键是把实际问题转化成数学问题，利用二次函数的性质就能求出结果，注意利用配方法解决问题．
1．如图是一个抛物线形拱桥，量得两个数据，则会以顶点为原点建立直角坐标系，并可求得其解析式为_____________.
2．比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线．若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y (米)与水平距离x (米)之间满足关系y ＝－29x 2＋89x ＋10
9，则羽毛球飞出的水平距
离为5米．
参考答案: 要点归纳
知识要点：平面直角坐标 顶点 典例导学 例1 12 例2 3 当堂检测
1．顶点 y ＝－3100
x 2
2.5。
湘教版九年级数学下册 第1章 二次函数习题1.5(课件)
【选自教材P32】
解 （1）每天获取的利润为 (-10x + 700)(x - 10) = -10(x - 40)2 + 9000 , x＞0 当 x＝40 时，最大利润为 9000 元
【选自教材P32】
（2）y = -10(x - 40)2 + 9000 , 当 0 < x < 40 时，利润随 x 的增大而增大， 因此，当 x＝35 时，最大利润为 8750 元
湘教·九年级下册
【选自教材P32】
1. 如图， 一段拱形栅栏为抛物线的一部分，已知拱高 OA 为 1 m， 栅栏的
跨径 BC 间有 5 根间距为 0.5 m 的立柱. 试建立适当的直角坐标系， 求出该
拱形栅栏所对应的二次函数表达式， 并求出立柱 DE 的高度.
解：设二次函数表达式为 y = ax2 , C（1.5,1）
【选自教材P32】
我们以起跳后达到的最高处为原点，抛物线的对 称轴为 y 轴，建立直角坐标系，对应的抛物线的 表达式为 y = -x2， -1 ≤ x ≤ . 11
1. 说一说本节课的收获。 2. 你还存在哪些疑惑？
【选自教材P32】
解 （1）易证△EAH ≌ △FBE ≌ △GCF ≌ △HDG .
AE = x, AH = 2-x，EH= x2 +2- x2 y = x2 + 2- x2 x2 + 2- x2 = 2x2 - 4x + 4 （0<x<2）
【选自教材P32】
（2）y = 2x2 - 4x + 4 = 2(x-1)2+2 当 x = 1 时，有最小面积， ymin = 2
y
解得
a= 4 9
湘教版九年级下册数学第1章 二次函数含答案
湘教版九年级下册数学第1章二次函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知抛物线经过点，那么下列各点中，该抛物线必经过的点是（）A. B. C. D.2、下列函数是二次函数的是（）A.y=2x 2-3B.y=ax 2C.y=2（x+3）2-2x 2D.3、把抛物线y=x2向右平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为（）A.y=x 2+1B.y=（x+1）2C.y=x 2-1D.y=（x-1）24、二次函数y=（x﹣1）2+2的最小值是（）A.﹣2B.﹣1C.1D.25、二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+2＝0根的情况是（）A.无实数根B.有两个相等的实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根6、已知二次函数的y与x的部分对应值如下表：-1 0 1 3-3 1 3 1下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为；③当时，函数值y随x的增大而增大；④方程有一个根大于4.其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个7、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论中不正确的是（）A.4ac﹣b 2＜0B.2a﹣b=0C.a+b+c＜0D.点（x1， y1）、（x2， y2）在抛物线上，若x1＜x2，则y1＜y28、如图所示，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2，正方形DEFG 边长也为2，且AC与DE在同一直线上，△ABC从C点与D点重合开始，沿直线DE向右平移，直到点A与点E重合为止，设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（）A. B. C.D.9、根据下列表格对应值：x 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c ﹣0.02 0.01 0.03判断关于x的方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是（）A.x＜3.24B.3.24＜x＜3.25C.3.25＜x＜3.26D.3.25＜x＜3.2810、已知点，在二次函数的图象上，点是函数图象的顶点，则（）A.当时，的取值范围是B.当时，的取值范围是 C.当时，的取值范围是D.当时，的取值范围是11、抛物线y=﹣2x2+1的对称轴是（）A.直线B.直线C.y轴D.x轴12、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列四个结论①a、b同号②当x=1和x=3时函数值相等③4a+b=0④当y=-2时x的值只能取0其中正确的个数A.1个B.2个C.3个D.4个13、二次函数y=﹣x2+1的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，下列说法错误的是（）A.点C的坐标是（0，1）B.线段AB的长为2C.△ABC是等腰直角三角形D.当x＞0时，y随x增大而增大14、将抛物线y＝2x2先向右平移4个单位，再向上平移5个单位，得到的新抛物线的解析式为（）A.y＝2（x+4）2+5B.y＝2（x﹣4）2+5C.y＝2（x+4）2﹣5 D.y＝2（x﹣4）2﹣515、已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两个实数根x1， x2满足x1+x2=4和x1x2=3，那么二次函数ax2+bx+c（a＞0）的图象有可能是（）A. B. C.D.二、填空题(共10题，共计30分)16、若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＜0的解集为________．17、飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是s=60t﹣1.5t2．飞机着陆后滑行________米飞机才能停下来．18、抛物线y=x2﹣2x﹣8与x轴的交点坐标是________．19、已知抛物线的部分图象如图所示，当时，的取值范围是________．20、一抛物线的形状，开口方向与相同，顶点在(-2，3)，则此抛物线的解析式为________．21、已知抛物线的顶点为(m,3) 则m=________ ，c=________.22、如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：①ac＜0；②4a﹣2b+c＞0；③当x＞2时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有________．23、已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在抛物线y=x2﹣4x+6上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作正方形ABCD，则抛物线y=x2﹣4x+6的顶点是________，正方形的边长AB的最小值是________．24、如图，射线OC与x轴正半轴的夹角为30°，点A是OC上一点，AH⊥x轴于H，将△AOH绕着点O逆时针旋转90°后，到达△DOB的位置，再将△DOB沿着y轴翻折到达△GOB的位置，若点G恰好在抛物线y=x2（x＞0）上，则点A 的坐标为________．25、抛物线y= x2， y=﹣2x2， y=﹣x2中开口最大的抛物线是________ .三、解答题(共5题，共计25分)26、如图,直线AB交x轴于点B,交y轴于点A（0,4）,直线DM⊥x轴正半轴于点M,交线段AB于点C,DM=6,连接DA,∠DAC=90°,AD:AB=1:2．（2）求经过O、D、B三点的抛物线的函数关系式．27、已知二次函数y=a(x-m)2-2a(x-m)（a,m为常数，且a≠0）.（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，当△ABC是等腰直角三角形时，求a的值．28、如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为．（Ⅰ）求抛物线的解析式和直线的解析式；（Ⅱ）当点在线段上运动时，求线段的最大值；（Ⅲ）当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值．29、已知二次函数.（1）求顶点坐标和对称轴方程；（2）求该函数图象与x标轴的交点坐标；（3）指出x为何值时，；当x为何值时，.30、已知抛物线y=x2+2（m+1）x+4m，它与x轴分别交于原点O左侧的点A（x1， 0）和右侧的点B（x2， 0）．（2）当|x1|+|x2|=3时，求这条抛物线的解析式；（3）设P是（2）中抛物线位于顶点M右侧上的一个动点（含顶点M），Q为x 轴上的另一个动点，连结PA、PQ，当△PAQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形时，求P点的坐标．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、A3、D4、D5、D6、B7、D8、A9、B10、B11、C12、B13、D14、B15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)28、29、。
湘教版九年级下册数学第1章 二次函数 含答案
湘教版九年级下册数学第1章二次函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知，是抛物线上的点，下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则2、下列二次函数的图象的顶点在x轴上的是（）A.y=x 2+1B.y=x 2+2xC.y=-x 2+2x+1D.y=-x 2+2x-13、如果将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2各单位后所得新抛物线的表达式是y=2（x﹣1）2，那么原抛物线的表达式是（）A.y=2（x﹣3）2﹣2B.y=2（x﹣3）2+2C.y=2（x+1）2﹣2 D.y=2（x+1）2+24、函数y=k（x﹣k）与y=kx2， y= （k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（）A. B. C. D.5、已知点，在函数的图象上，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.6、二次函数有的图象如图，则函数值时，的取值范围是（）．A. B. C. 或 D.7、若p+q=0，抛物线y=x2+px+q必过点（)A.（-1，1）B.（1，-1）C.（-1，-1）D.（1，1）8、二次函数y=-x2+1的图象与x轴交于A，B两点，与y轴相交于点C．下列说法中，错误的是( )A.△ABC是等腰三角形B.点C的坐标是(0,1)C.AB的长为2 D.y随x的增大而减小9、下列函数是二次函数的是（）A.y=2x+1B.y=﹣2x+1C.y=x 2+2D.y=x﹣210、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（,1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac﹣b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.411、如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C点，图中虚线为抛物线的对称轴，则下列正确的是( )A.a＜0B.b＜0C.c＞0D.b 2-4ac＜012、将抛物线向左平移3个单位，得到新抛物线的解析式为（）A. B. C. D.13、对于二次函数（）而言，无论k取何实数，其图象的顶点都在（）A. x轴上B.直线上C. y轴上D.直线上14、如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m ）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系式为h=30t﹣5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需的时间是（）A.6 sB.4 sC.3 sD.2 s15、次函数y=（x+1）2+2的最小值是（）A.1B.－1C.2D.－2二、填空题(共10题，共计30分)16、二次函数y＝x2+2x﹣3的图象与y轴的交点坐标是________.17、如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为________．18、抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是________.19、若将图中的抛物线y=x2-2x+c向上平移，使它经过点（2，0），则此时的抛物线位于x轴下方的图象对应x的取值范围是________.20、“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐级小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”。
湘教版九年级下册数学第1章 二次函数含答案
湘教版九年级下册数学第1章二次函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、抛物线的顶点在（）A.第一象限B.x轴上C.第二象限D.y轴上2、将抛物线y=x2+1 绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（）A.y=-x 2B.y=-x 2+1C.y=-x 2-1D.y=x-13、如图，抛物线=ax2+bx+c（a<0）与x轴交于点A（-2，0）、B（1，0），直线x= 与此抛物线交于点C，与x轴交于点M，在直线CM上取点D，使MD=MC，依次连接A，D，B，C，期下列结论错误的是（）A.当-2<x<1时，y>0B.9a-3b+c>0C.四边形ACBD是菱形 D.a-b=04、如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（0，3）和（0，4）之间．则下列结论：①a+b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.45、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+mc（a≠0）的图象经过正方形ABOC的三个顶点，且ac=-2，则m的值为（）A.1B.C.2D.6、若抛物线y=x2﹣2x+m的最低点的纵坐标为n，则m﹣n的值是（）A.﹣1B.0C.1D.27、直角坐标平面上将二次函数y=x2﹣2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为（）A.（0，0）B.（1，﹣1）C.（0，﹣1）D.（﹣1，﹣1）8、已知二次函数y=x²，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是( )A.当n-m=1时，b-a有最小值B.当n-m=1时，b-a有最大值C.当b-a=1时，n-m无最小值 D.当b-a=1时，n-m有最大值9、抛物线的对称轴是（）A.直线B.直线C.直线D.直线10、如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是A. B. C. D.11、在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④a-b+c＜0.其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个12、抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为（）A. B. C.D.13、用配方法将函数变形时，正确的结果是（）A. B. C. D.14、对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是（）A.y=﹣2x 2+8x+3B.y=﹣2x -2﹣8x+3C.y=﹣2x 2+8x﹣5D.y=﹣2x -2﹣8x+215、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+b2﹣4ac与反比例函数y= 在同一坐标系内的图象大致为（）A. B. C.D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，若关于的二次函数的图象与轴交于两点，那么方程的解是 ________ .17、二次函数与两坐标轴的三个交点确定的三角形的面积是________．18、抛物线y=﹣x2+15有最________点，其坐标是________．19、如图，坐标平面上，二次函数y＝﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0.若△ABC与△ABD的面积比为1：3，则k值为________.20、已知抛物线图象的顶点为，且过，则抛物线的关系式为________．21、二次函数y=x2﹣4x的顶点坐标是________.22、如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m （am﹣b）；其中所有正确的结论是________．（填写正确结论的序号）23、已知均为整数，当时，恒成立，则________．24、如图，抛物线y=x2+bx-3与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，直线l 与抛物线交于A、C两点，其中点A、C的横坐标分别为-1和2.点G是抛物线上的动点，在x轴上存在点F，使以A、C、F、G四个点为顶点的四边形是平行四边形，则点F的坐标为________.25、已知函数y＝－(x－1)2图象上两点A(2，y1)，B(a，y2)，其中a＞2，则y1与y2的大小关系是y1________y2.(填“＜”“＞”或“＝”)三、解答题(共5题，共计25分)26、将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：（1）点B、C、D坐标；（2）△BCD的面积．27、用一根长为40cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径r之间的函数关系式，这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．28、如图，用长为的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为，窗户的透光面积为（铝合金条的宽度不计）．（Ⅰ）求出与的函数关系式；（Ⅱ）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．29、小赵投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现,当月内销售单价不变,则月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：．(1)设小赵每月获得利润为w（元）,当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润？并求出最大利润.(2)如果小赵想要每月获得的利润不低于2000元,那么如何制定销售单价才可以实现这一目标？30、已知：如图，直线y=-x+4与x轴相交于点A，与直线y=x相交于点P(2，2)．(1)请判断的形状并说明理由．(2)动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O→P→A的路线向点A匀速运动(E不与点O、A重合)，过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．求：① S与t之间的函数关系式．②当t为何值时，S最大，并求S的最大值参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、C3、B4、C5、A6、C7、D8、B9、C10、C11、B12、B14、C15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)28、29、。
湘教版九年级下册数学抛物线形二次函数测试题
湘教版九年级数学下册测试题测试题湘教版初中数学1.5 二次函数的应用第1课时 抛物线形二次函数1．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）A ．y=-2x 2B ．y=2x 2C 、212y x =-D 、212y x =第1题 第2题2、如图，铅球的出手点C 距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球运行路线的解析式为（ ）A 、2316h t =-B 、2316h t t =-+ C 、2118h t t =-++ D 、21213h t t =-++ 3.如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB 位置时，水面宽度为10m ，此时水面到桥拱的距离是4m ，则抛物线的函数关系式为（ ）A 、2254y x =B 、2254y x =-C 、2425y x =-D 、2425y x =第3题第4题4、某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（）A、4米B、3米C、2米D、1米5.有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为第5题第6题第7题第8题6、如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如果他的出手处A距地面OA为1m，球路的最高点为B（8,9），则这个二次函数的表达式为，小孩将球抛出约米。
7、如图，某中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为242=-++，则水柱的最大高度是米。
y x x8、如图是某公园一圆形喷水池，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，建立如下图所示的坐标系，如果喷头所在处A(0,1.25)，水流路线最高处M （1，2.25），则该抛物的解析式为 。
湘教版数学九年级下册 第1章 二次函数 1.5 二次函数的应用 同步练习 含答案
湘教版数学九年级下册 第1章 二次函数 1.5 二次函数的应用 同步练习1.如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y (单位：米2)，当x ＝ 米时菜园的面积最大.2.将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm 2.3.如图，用长8m 的铝合金条制成矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是( )A.6425m 2B.43m 2C.83m 2D.4m 24.如图，有一块边长为6cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是( )A.3cm 2B.323cm 2C.923cm 2D.2723cm 25.已知某人卖盒饭的盒数x (盒)与所获利润y (元)满足关系式：y ＝－x 2＋1200x －357600，则卖出盒饭数量为 盒时，获得最大利润为 元.6.某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天销售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为元时，该服装店平均每天的销售利润最大.7.若某商品的利润y(元)与售价x(元)之间的函数关系式是y＝－x2＋8x＋9，且售价x的范围是1≤x≤3，则最大利润是()A.16元B.21元C.24元D.25元8.一种进价为每件40元的T恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件，可提高利润，欲对该T恤进行涨价销售.经过调查发现：每涨价1元，每周要少卖出10件.请确定该T恤涨价后每周的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并求销售单价为多少元时，每周的销售利润最大？答案:1. 152. 25 23. C4. C5. 600 24006. 227. C8. 解：由题意，得y＝(x－40)[300－10(x－60)]，即y＝－10x2＋1300x－36000(60≤x≤90).配方，得y＝－10(x－65)2＋6250.∵－10＜0，∴当x＝65时，y有最大值6250，因此，当该T恤销售单价为65元时，每周的销售利润最大.。
2019九年级数学下册 第1章 二次函数 1.5 二次函数的应用练习 (新版)湘教版
1.5 二次函数的应用知|识|目|标1．通过回顾建立方程模型解决实际问题的基本方法，在探究“动脑筋”的基础上，理解通过建立二次函数模型解决实际问题的方法．2．根据几何图形及其性质建立二次函数关系，并能解决有关面积的问题．3．能够利用二次函数的最大(小)值解决实际问题中的最值问题．目标一理解建立二次函数模型解决实际问题的方法例1 教材“动脑筋”改编有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽为20 m，拱顶距离水面4 m.(1)在如图1－5－1所示的平面直角坐标系中，求出该抛物线的函数表达式；(2)在正常水位的基础上，当水位上升h m时，桥下水面的宽为d m，求d关于h的函数表达式；(3)设正常水位时桥下的水深为2 m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18 m，求水深超过多少米时，就会影响过往船只在桥下的顺利航行．图1－5－1【归纳总结】利用二次函数解决拱桥类问题的“五步骤”：(1)恰当地建立平面直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数表达式；(4)代入已知条件或点的坐标求出函数表达式；(5)利用函数表达式解决问题．目标二能利用二次函数解决几何图形的面积问题例2 高频考题如图1－5－2，把一张长15 cm、宽12 cm的矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，再折成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．设剪去的小正方形的边长为x cm.(1)请用含x的代数式表示长方体盒子的底面积．(2)当剪去的小正方形的边长为多少时，其底面积是130 cm2?(3)试判断折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值，若有，请求出最大值和此时剪去的小正方形的边长；若没有，请说明理由．图1－5－2【归纳总结】应用二次函数解决面积最大(小)值问题的步骤：(1)分析题中的变量与常量；(2)根据几何图形的面积公式建立函数模型；(3)结合函数图象及性质，考虑实际问题中自变量的取值范围，求出面积的最大(小)值．目标三能利用二次函数最大(小)值解决实际问题中的最值问题例3 教材例题针对训练2017·济宁某商店销售一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y(单位：个)与销售单价x(单位：元/个)有如下关系：y＝－x＋60(30≤x≤60)．设这种双肩包每天的销售利润为w元．(1)求w与x之间的函数表达式．(2)这种双肩包的销售单价定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元/个，若该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，则销售单价应定为多少？【归纳总结】利用二次函数求最值的“三注意”：(1)要把实际问题正确地转化为二次函数问题；(2)列函数表达式时要注意自变量的取值范围；(3)若图象不包括抛物线的顶点，则应根据函数的增减性来确定最值．知识点一利用二次函数求抛物线形实物模型问题将二次函数应用于抛物线形实物相当常见，如抛物线形的桥梁、隧道、涵洞等．解决问题的关键是根据实际情况建立平面直角坐标系，并把关键的尺寸转化成点的坐标，再根据具体情况应用二次函数的知识解决相关问题．知识点二利用二次函数求图形面积的最值问题利用平面几何图形的有关条件和性质建立关于几何图形面积的二次函数表达式，并利用二次函数的图象和性质确定最大或最小面积．其中求几何图形面积的常见方法有：利用几何图形的面积公式求几何图形的面积；利用几何图形面积的和或差求几何图形的面积；利用相似比求几何图形的面积等．解决面积最值问题的一般步骤：(1)利用题目中的已知条件和学过的有关数学公式列出表达式；(2)把表达式转化为二次函数的表达式；(3)求二次函数的最大值或最小值．知识点三利用二次函数求销售中的最值问题求销售中的最值问题的实质就是求二次函数的最大值或最小值．此类问题一般是先运用有关利润的公式，建立利润与价格之间的函数表达式，再根据函数的图象和性质求出这个函数的最大值，即得最大利润．(1)有关利润的常见公式：①销售额＝销售单价×销售量；②每件利润＝销售单价－成本单价；③利润＝销售额－总成本＝每件利润×销售量．(2)解销售中的最值问题的步骤：①利用题中的已知条件和学过的有关数学公式列出表达式；②把表达式转化为二次函数的表达式；③求二次函数的最大值或最小值．某化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．当销售单价为x元/千克时，日销售量为(－2x＋200)千克．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．当销售单价为多少元/千克时，该公司日获利W(元)最大？最大日获利是多少元？解：W＝(x－30)(－2x＋200)－450＝－2x2＋260x－6450＝－2(x－65)2＋2000.∴当x＝65时，W最大，W最大值＝2000.即当销售单价为65元/千克时，该公司日获利最大，最大日获利是2000元．找出以上解答过程中的错误，并改正．教师详解详析【目标突破】例1 [解析] 由图，可知拱桥的最高点为坐标原点，易求出抛物线的函数表达式及相应的d 关于h 的函数表达式等．解： (1)设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2. 由题意，知点B 的坐标为(10，－4)， ∴－4＝a ×102，∴a ＝－125，∴该抛物线的函数表达式为y ＝－125x 2.(2)由题意，知点D 的纵坐标为－(4－h)． 设点D 的横坐标为x(x>0)，则有 －(4－h)＝－125x 2，∴x ＝54－h ，∴d ＝2x ＝104－h.(3)当桥下水面宽为18 m 时，得18＝104－h ，∴h ＝4－8125＝0.76，2＋0.76＝2.76(m )，即水深超过2.76 m 时，就会影响过往船只在桥下的顺利航行．例2 解：(1)(15－2x)(12－2x)cm 2.(2)依题意，得(15－2x)(12－2x)＝130，即2x 2－27x ＋25＝0，解得x 1＝1，x 2＝252(不合题意，舍去)，∴当剪去的小正方形的边长为1 cm 时，其底面积是130 cm 2.(3)设长方体盒子的侧面积是S ，则S ＝2[(15－2x )x ＋(12－2x )x ]，即S ＝54x －8x 2，∴S ＝－8⎝⎛⎭⎪⎫x －2782＋7298(0＜x ＜6)．∵－8＜0，∴当x ＝278时，S 最大值＝7298，即当剪去的小正方形的边长为278 cm 时，长方体盒子的侧面积有最大值7298 cm 2.例3 解：(1)w ＝(x －30)·y ＝(－x ＋60)(x －30)＝－x 2＋30x ＋60x －1800＝－x 2＋90x －1800，即w 与x 之间的函数表达式为w ＝－x 2＋90x －1800(30≤x ≤60)．(2)根据题意，得w ＝－x 2＋90x －1800＝－(x －45)2＋225(30≤x ≤60)， ∵－1＜0，∴当x ＝45时，w 有最大值，最大值是225.答：这种双肩包的销售单价定为45元/个时，每天的销售利润最大，最大利润是225元．(3)当w ＝200时，－x 2＋90x －1800＝200，解得x 1＝40，x 2＝50. ∵50＞48，∴x 2＝50不符合题意，舍去．答：若该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，则销售单价应定为40元/个． 【总结反思】[反思] 错误之处：∵30≤x ≤60，∴顶点的横坐标65不在自变量的取值范围内，∴最大值不是顶点的纵坐标． 改正：由函数的增减性，可知当x ＝60时，W 有最大值， W 最大值＝－2×(60－65)2＋2000＝1950.即当销售单价为60元/千克时，该公司日获利最大，最大日获利是1950元．。
九年级数学下册 第一章 1.5 二次函数的应用练习 (新版)湘教版-(新版)湘教版初中九年级下册数学
1.5 二次函数的应用第1课时 利用二次函数解决实物抛物线问题、面积问题基础题知识点1 利用二次函数解决实物抛物线问题1．某某省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y ＝－125x 2，当水面离桥拱顶的高度DO 是4 m 时，这时水面宽度AB 为(C)A ．－20 mB ．10 mC ．20 mD ．－10 m2．某某中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3 m ，此时距喷水管的水平距离为12m ，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是(C)A ．y ＝－(x －12)2＋3B ．y ＝－3(x ＋12)2＋3C ．y ＝－12(x －12)2＋3D ．y ＝－12(x ＋12)2＋33．某工厂大门是一抛物线水泥建筑物(如图)，大门地面宽AB ＝4 m ，顶部C 离地面高为4.4 m. (1)以AB 所在直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，建立平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式；(2)现有一辆载满货物的汽车欲通过大门，货物顶点距地面2.8 m ，装货宽度为2.4 m ，请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门．解：(1)如图，过AB的中点作AB的垂直平分线，建立平面直角坐标系．点A，B，C的坐标分别为 A(－2，0)，B(2，0)，C(0，4.4)．设抛物线的表达式为y＝a(x－2)(x＋2)．将点C(0，4.4)代入得a(0－2)(0＋2)＝4.4，解得a＝－1.1，∴y＝－1.1(x－2)(x＋2)＝－2＋4.4.2＋4.4.(2)∵货物顶点距地面2.8 m，装货宽度为2.4，∴只要判断点(－1.2，2.8)或点(1.2，2.8)与抛物线的位置关系即可．将x＝1.2代入抛物线，得 y＝2.816＞2.8，∴点(－1.2，2.8)和点(1.2，2.8)都在抛物线内．∴这辆汽车能够通过大门．知识点2 利用二次函数解决面积问题4．(教材P32习题T2变式)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是(C)A．60 m2B．63 m2C．64 m2D．66 m25．某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m，则池底的最大面积是(B) A．600 m2B．625 m2C．650 m2D．675 m26．(教材P31练习T2变式)将一根长为20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是252cm 2. 7．在一幅长80 cm 、宽50 cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是y cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，要求纸边的宽度不得少于1 cm ，同时不得超过2 cm.(1)求出y 关于x 的函数表达式，并直接写出自变量的取值X 围；(2)此时金色纸边的宽应为多少厘米时，这幅挂图的面积最大？求出最大面积．解：(1)镶金色纸边后风景画的长为(80＋2x)cm ，宽为(50＋2x)cm ， ∴y＝(80＋2x)(50＋2x)＝4x 2＋260x ＋4 000(1≤x≤2)．(2)∵二次函数y ＝4x 2＋260x ＋4 000的对称轴为直线x ＝－652，∴在1≤x≤2上，y 随x 的增大而增大．∴当x ＝2时，y 取最大值，最大值为4 536.答：金色纸边的宽为2 cm 时，这幅挂图的面积最大，最大面积为4 536 cm 2. 中档题8．(2018·某某)如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2 m 时，水面宽4 m ，水面下降2 m ，则水面宽度增加(42－4) m.9．某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两面墙隔开(如图)，已知计划中的建筑材料可建墙的长度为48 m ，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值是144m 2.10．如图，小明的父亲在相距2 m 的两棵树间拴了一根绳子，给他做了个简易秋千，拴绳子的地方离地面都是2.5 m ，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m 的小明距较近的那棵树0.5 m 时，头部刚好接触到绳子，则绳子最低点距离地面的距离为多少米？解：如图，建立平面直角坐标系，由图可设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2＋c.把(－0.5，1)，(1，2.5)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧（－0.5）2a ＋c ＝1，a ＋c ＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝12.∴绳子所在抛物线的函数表达式为y ＝2x 2＋12.∵当x ＝0时，y ＝12，∴绳子最低点距离地面的距离为0.5 m.11．(2018·荆州)为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18 m ，另外三边由36 m 长的栅栏围成，设矩形ABCD 空地中，垂直于墙的边AB ＝x m ，面积为y m 2.(如图)(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值X 围； (2)若矩形空地的面积为160 m 2，求x 的值；(3)若该单位用8 600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵(每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表)．问丙种植物最多可购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明你的理由．解：(1)y ＝－2x 2＋36x.(9≤x＜18) (2)由题意，得－2x 2＋36x ＝160.解得x 1＝8(舍去)，x 2＝10.∴x 的值为10.(3)设甲、乙、丙三种植物各购买a 棵，b 棵，c 棵．则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝400，14a ＋16b ＋28c ＝8 600，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1 100＋6c ，b ＝1 500－7c. ∵⎩⎪⎨⎪⎧－1 100＋6c ＞0，1 500－7c ＞0，c ＞0，∴18313＜c ＜21427.∴c 最大为214，即丙种植物最多可以购买214棵． 当c ＝214时，a ＝184，b ＝2，184×0.4＋2×1＋214×0.4＝161.2(m 2)． ∵y＝－2x 2＋36x ＝－2(x －9)2＋162， ∴当x ＝9时，空地的面积最大为162 m 2. ∵162＞161.2，∴这批植物可以全部栽种到这块空地上．第2课时 利用二次函数解决销售问题及其他问题基础题知识点1 商品销售问题1．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x 元，则可卖出(350－10x)件商品，那么卖出商品所赚钱y 元与售价x 元之间的函数关系为(B)A ．y ＝－10x 2－560x ＋7 350 B ．y ＝－10x 2＋560x －7 350 C ．y ＝－10x 2＋350x D ．y ＝－10x 2＋350x －7 3502．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为(A) A ．5元 B ．10元 C ．0元 D ．6元3．某商店经营某种商品，已知每天获利y(元)与售价x(元/件)之间满足关系式y ＝－x 2＋80x －1 000，则每天最多可获利600元．4．(教材P32习题T3变式)一名在校大学生利用“互联网＋”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图所示． (1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值X 围；(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/件)之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？解：(1)设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b.将(10，30)，(16，24)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧10k ＋b ＝30，16k ＋b ＝24.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝40.∴y 与x 的函数关系式为y ＝－x ＋40(10≤x≤16)． (2)根据题意知，W ＝(x －10)y ＝(x －10)(－x ＋40) ＝－x 2＋50x －400＝－(x－25)2＋225.∵a＝－1＜0，∴当x＜25时，W随x的增大而增大．∵10≤x≤16，∴当x＝16时，W取得最大值，最大值为144.答：当每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．5．(教材P31例变式)“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．(1)求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？(2)若该型号自行车的进价不变，按(1)中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？解：(1)设该型号自行车进价为x元，则标价是1.5x元，由题意，得1．5x×0.9×8－8x＝(1.5x－100)×7－7x，解得x＝1 000.则1.5×1 000＝1 500(元)．答：该型号自行车进价为1 000元，标价为1 500元．(2)设该型号自行车降价a元，利润为w元，由题意，得w＝(51＋a20×3)(1 500－1 000－a)＝－320(a－80)2＋26 460.∵－320＜0，∴当a＝80时，w最大＝26 460.答：该型号自行车降价80元时，每月获利最大，最大利润是26 460元．知识点2 其他最值问题6．烟花厂为某某橘子洲头周六晚上的烟花表演特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h ＝－52t 2＋20t ＋1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为(B) A ．3 s B ．4 s C ．5 s D ．6 s7．某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x 棵橘子树，果园橘子总个数为y 个，则果园里增种10棵橘子树，橘子总个数最多． 中档题8．向空中发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间与高度的关系为y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是(B) A ．第8秒 B ．第10秒 C ．第12秒 D ．第15秒9．(2017·天门)飞机着陆后滑行的距离s(单位：米)关于滑行的时间t(单位：秒)的函数表达式是s ＝60t －32t 2，则飞机着陆后滑行的最长时间为20秒．10．(2018·某某)小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元； ②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x 盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W 1，W 2.(单位：元) (1)用含x 的代数式分别表示W 1，W 2；(2)当x 取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是多少？ 解：(1)第二期培植的盆景比第一期增加x 盆，则第二期培植盆景(50＋x)盆，花卉[100－(50＋x)]＝(50－x)盆，由题意，得W 1＝(50＋x)(160－2x)＝－2x 2＋60x ＋8 000， W 2＝19(50－x)＝－19x ＋950.(2)W ＝W 1＋W 2＝－2x 2＋60x ＋8 000＋(－19x ＋950)＝－2x 2＋41x ＋8 950.∵－2＜0，－412×（－2）＝10.25，x 为整数，∴当x ＝10时，W 最大，W 最大＝－2×102＋41×10＋8 950＝9 160(元)． 综合题11．(2018·黄冈)我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量y(万件)与月份x(月)的关系为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4（1≤x≤8，x 为整数），－x ＋20（9≤x≤12，x 为整数），每件产品的利润z(元)与月份x(月)的关系如下表：(1)请你根据表格求出每件产品利润z(元)与月份x(月)的关系式；(2)若月利润w(万元)＝当月销售量y(万件)×当月每件产品的利润z(元)，求月利润w(万元)与月份x(月)的关系式；(3)当x 为何值吋，月利润w 有最大值，最大值为多少？ 解：(1)根据表格可知：当1≤x≤10(x 为整数)，z ＝－x ＋20； 当11≤x≤12(x 为整数)，z ＝10. ∴z 与x 的关系式为：z ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋20（1≤x≤10，x 为整数），10（11≤x≤12，x 为整数）， 或z ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋20（1≤x≤9，x 为整数），10（10≤x≤12，x 为整数）.(2)当1≤x≤8时，w ＝(－x ＋20)(x ＋4)＝－x 2＋16x ＋80； 当9≤x≤10时，w ＝(－x ＋20)(－x ＋20)＝x 2－40x ＋400； 当11≤x≤12时，w ＝10(－x ＋20)＝－10x ＋200. ∴w 与x 的关系式为：w ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋16x ＋80（1≤x≤8，x 为整数），x 2－40x ＋400（9≤x≤10，x 为整数），－10x ＋200（11≤x≤12，x 为整数）. 或w ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋16x ＋80（1≤x≤8，x 为整数），x 2－40x ＋400＝121（x ＝9），－10x ＋200（10≤x≤12，x 为整数）.(3)当1≤x≤8时，w ＝－x 2＋16x ＋80＝－(x －8)2＋144. ∴当x ＝8时，w 有最大值为144.当9≤x≤10时，w ＝x 2－40x ＋400＝(x －20)2.此时w 随x 增大而减小，∴当x ＝9时，w 有最大值为121. 当11≤x≤12时，w ＝－10x ＋200，此时w 随x 增大而减小，∴当x ＝11时，w 有最大值为90. ∵90＜121＜144，∴当x ＝8时，w 有最大值为144.或当1≤x≤8时，w ＝－x 2＋16x ＋80＝－(x －8)2＋144， ∴当x ＝8时，w 有最大值为144； 当x ＝9时，w ＝121；当10≤x≤12时，w ＝－10x ＋200， 此时w 随x 增大而减小， ∴当x ＝10时，w 有最大值为100. ∵100＜121＜144，∴当x ＝8时，w 有最大值144.。
湘教版初中数学九年级下册1.5 第1课时 抛物线形二次函数PPT课件
O
x
(-2,-2) ● 4米 -3
● (2,-2)
y O (-2,-2) ● -3
解：建立如图所示坐标系, 设二次函数解析式为 x 由抛物线经过点（2，-2），可得
所以，这条抛物线的解析式为 ● (2,-2)
当水面下降1m时，水面的纵坐标为
当
时，
所以，水面下降1m，水面的宽度
为
m.
所以水面的宽度增加了
+2； +2；
知识要点
解决抛物线形实际问题的一般步骤
(1)根据题意建立适当的直角坐标系； (2)把已知条件转化为点的坐标； (3)合理设出函数解析式； (4)利用待定系数法求出函数解析式； (5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.
探究点二 利用二次函数解决运动中抛物线问题
例2 在篮球赛中，姚小鸣跳起投篮，已知球出手时离地
x
（1）跳得高一点儿； y
6 （4，4）
4 （8，3）
2
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
（2）向前平移一点儿. 6y
（4，4） 4
（７，３）
●
（8，3）
2
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
随堂训练
1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h= -4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间， 则球在 4 s后落地.
A 1.25米
O
y B
解：如图建立坐标系，设抛物线顶点 为B，水流落水与x轴交于C点.
由题意可知A（ 0，1.25）、
A 1.25
B（ 1，2.25 ）、C（x0，0）.
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1．5 二次函数的应用
第1课时 抛物线形二次函数
某桥洞是呈抛物线形状，它的截面在平面直角坐标系中如图所示，现测得水面宽
AB ＝16m ，桥洞顶点O 到水面距离为16m ，当水面上升7m 时，水面宽为12m.
分析：设这条抛物线的解析式为y ＝ax 2
(a ≠0)．由已知抛物线经过点B (8，－16)，可求出抛物线的解析式．当水面上升7m 时到达CD 处，则点C 的纵坐标为－9，即可设点C 的坐标为(x ，－9)(x ＞0)，将C 点坐标代入抛物线解析式，可求出x ，即可得水面宽CD ＝2|x |m.
方法点拨：先用待定系数法求解抛物线解析式，设出相应点的坐标，根据点与抛物线的位置关系，解决实际问题．
从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h (米)与运动时间t (秒)之间的关系式
为h ＝30t －5t 2
，那么小球抛出 3 秒后达到最高点．
分析：在关系式h ＝30t －5t 2
中，通过配方法，求出h 的最大值，使h 取得最大值的t 值即为所求．
方法点拨：解此题的关键是把实际问题转化成数学问题，利用二次函数的性质就能求出结果，注意利用配方法解决问题．
1．如图是一个抛物线形拱桥，量得两个数据，则会以顶点为原点建立直角坐标系，并可求得其解析式为_____________.
2．比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线．若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y (米)与水平距离x (米)之间满足关系y ＝－29x 2＋89x ＋10
9，则羽毛球飞出的水平距
离为5米．
参考答案: 要点归纳
知识要点：平面直角坐标 顶点 典例导学 例1 12 例2 3 当堂检测
1．顶点 y ＝－3100
x 2
2.5。