非齐次边界条件泛定方程的代换选择
数学物理方程非齐次边界条件的处理
t)
a2
2V x2
V (l,t
f (x, ) 0,
t
),
V
(x, 0)
V
(x, 0)
0,
t
0 x l,t 0, t 0, 0 x l,
（1） （2）
（3）
设
V
n1
vn
(t) sin
n
l
x
f
(x,t)
n1
f n (t) sin
l
l
l
vn (t)
A'(t) sin
na
l
t
na
l
A(t) cos na
l
t
B(t) cos na t na B(t) sin na t
l
l
l
令 A'(t)sin na t B(t) cos na t 0
l
l
vn(t)
na
l
A'(t) cos na
n
l
x（5）
（4）
其中
fn
(t)
2 l
l 0
f (x,t)sin n
l
xdx
把（4）（5）代入（1）中
vn(t) sin
n1
n
l
x
a
2
n1
n 2
l2
2
vn (t) sin
n
l
x
f
(x, t)
a
2
n1
数理方程第二章 非齐次边界条件的处理-5
深圳大学电子科学与技术学院
W
W W
x 0 xl
u1 ( t ) u2 ( t )
W1
W2
( 2.59)
l
x
例如上图 W ( x, t ) ,W1 ( x, t ) ,W2 ( x, t )等等，都能满足（ 2.59 ）的要求。
如，可取直线
W ( x, t ) A(t ) x B(t )
2 2
1 ( x )
t 0
将U的边界条件代入 u( x, t ) V ( x, t ) u1 (t ) u2 (t ) u1 (t ) x
L
由 u x L u2 (t )，得
u (t ) u1 (t ) u (0, t ) V ( L, t ) u1 (t ) 2 L L
x
孙子兵法中，称之为 “偷梁换柱”法。
就能使新的未知函数 V ( x , t ) ，满足齐次的边界条件。
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然后来解决关于新的函数V(x,t)——（齐次）的定解问题. 2 2 u u 2 u V W a f ( x, t ) 2 代入 t 2 x
( 2.59)
就能合乎要求。可是，满足（2.59）要求的函数 W(x,t) 是很多的，例如
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W
l , (u2 (t ))
0
l
W
W W
x 0 xL
u1 (t ) u2 (t )
0, (u1 (t ))
W1
W2
( 2.59)
x
例如上图 W ( x, t ) ,W1 ( x, t ) ,W2 ( x, t )等等，都能满足（ 2.59 ）的要求。
泛定方程边界齐次化处理中代换的选择
文章编号:1008-1402(2008)01-0092-02泛定方程边界齐次化处理中代换的选择¹韩 锋, 刘志刚, 苗 婷(北京防化指挥工程学院,北京102205)摘 要: 众所周知,对于泛定方程的非齐次边界条件的处理,通常是选取一个适当的未知函数之间的代换,使对新的未知函数,边界条件是齐次的.那么,对于一个具体方程代换如何选择呢?代换的选择可以多种多样,可是很多学生遇到这样的问题经常会无从下手,那么有没有通用的一个代换呢?本文就此进行研究,给出对三类非齐次边界条件都适用的变换.关键词: 边界条件;非齐次;代换中图分类号: O175.24 文献标识码: A1 研究背景随着科技化脚步的加快,人们越加认识到数学这个工具的重要之处.在解决实际问题时,常常把一些实际的问题转化为数学模型,即一些方程的形式.对这些方程的求解显然日益重要.我们生活的这个世界,所遇到的问题,常常较为复杂,转化的方程通常是边界条件非齐次化的泛定方程.对于这类问题的求解,思想较为简单,即把非齐次边界条件齐次化.在很多数学物理方程课本和参考书上都给出了第一类边界条件齐次化的方法,选用一个适当的未知函数之间的代换,使对新的未知函数,边界条件是齐次的,并给出这个代换.显然对于第一二、二、三类非齐次边界条件齐次化的方法也是如此,但对于代换的选择却很少有人研究,有没有一个通用的代换,使得学生学起来简单易懂.实际上是有的,下面就将对此进行说明.1.1 预备知识第一类边界条件齐次化的处理:(仅以波动方程为例,显然对于热传导方程也是适用的,见参考文献[1])92u 9t2=a 292u 9x 2+f (x ,t ),0<x <l ,t >0;u |x =0=u 1(t ),u |x =l =u 2(t );u |t =0=U (x ),9u9t t =0 =7(x )我们设法作一代换将边界条件化为齐次的,为此令u (x ,t )=V (x ,t )+W (x ,t ).选取W (x ,t )使V (x ,t )的边界条件化为齐次的,即V |x =0=V|x =l =0易看出要使得该式成立,只要W |x =0=u 1(t ),W |x =l=u 2(t ).满足上述条件的函数较多,为了研究方便选取W (x ,t )=A (t )x +B (t ),再根据条件得A (t )=1l[u 2(t )-u 1(t )],B (t )=u 1(t )显然,函数W (x ,t )=1l [u 2(t )-u 1(t )]x +u 1(t )就满足条件,因而只要做代换u (x ,t )=V (x ,t )+1l[u 2(t )-u 1(t )]x +u 1(t )就能使新的未知函数满足齐次的边界条件.由上我们也看出,对于第一类非齐次边界条件较易选取代换.通常,对于第二、三类非齐次边界条件的代换选择就有些困难了.对于这两类非齐次边界条件的代换的选择方法显然和第一类相同,但代换的具体形式常常不易确定.很多书上,介绍此代换的形式和第一类的不同.笔者不赞同,通过研究发现,上述第一类代换形式可以推广到第二三类.下面将一一说明.2 研究成果2.1 第一二类边界条件齐次化的处理1.92u9t2=a 292u 9x 2+f (x ,t ),0<x <l ,t >0;u x |x =0=u 1(t ),u x |x =l =u 2(t );u |t =0=U (x ),9u9t t =0 =7(x )¹收稿日期:2007-12-12作者简介:韩锋(1980-),女,黑龙江肇东人,北京市防化指挥工程学院基础部数学教研室助教.第26卷第1期 佳木斯大学学报(自然科学版) Vol.26No.1 2008 年01月 Journal of Jiamusi University (Natural Science Edition)Jan. 2008与上类似,我们设法作一代换将边界条件化为齐次的,为此令u (x ,t )=V (x ,t )+W (x ,t ).选取W (x ,t )使V (x ,t )的边界条件化为齐次的,即V |x =0=V |x =l =0,易看出要使得该式成立,只要W |x =0=u 1(t ),W x |x =l=u 2(t ).我们仍然选取W (x ,t )=A (t )x +B (t ),这个形式和第一类的相同,那么可不可以这么选择呢?只要我们能够找到满足W |x =0=u 1(t ),W x |x =l =u 2(t )的A (t ),B (t ).再根据条件得A (t )=u 2(t ),B (t )=u 1(t )显然,函数W (x ,t )=u 2(t )x +u 1(t )就满足条件,因而只要做代换u (x ,t )=V (x ,t )+u 2(t )x +u 1(t )就能使新的未知函数满足齐次的边界条件.2.92u9t2=a 292u 9x 2+f (x ,t ),0<x <l ,t >0;u x |x =0=u 1(t ),u |x =l =u 2(t );u |t =0=U (x ),9u9t t =0=7(x )与上类似,我们设法作一代换将边界条件化为齐次的,为此令u (x ,t )=V (x ,t )+W (x ,t ).选取W (x ,t )使V (x ,t )的边界条件化为齐次的,即V |x =0=V |x =l =0,易看出要使得该式成立,只要W x |x =0=u 1(t ),W |x =l =u 2(t ).我们仍然选取W (x ,t )=A (t )x +B (t ),这个形式和第一类的相同,那么可不可以这么选择呢?只要我们能够找到满足W x |x =0=u 1(t ),W |x =l =u 2(t )的A (t ),B (t ).再根据条件得A (t )=u 1(t ),B (t )=u 2(t )-u 1(t )l .显然,函数W (x ,t )=u 1(t )x +u 2(t )-u 1(t )l 就满足条件,因而只要做代换u (x ,t )=V (x ,t )+u 1(t )x +u 2(t )-u 1(t )l 就能使新的未知函数满足齐次的边界条件.2.2 第二类边界条件齐次化的处理92u 9t2=a 292u 9x 2+f (x ,t ),0<x <l ,t >0;u x |x =0=u 1(t ),u x |x =l =u 2(t );u |t =0=U (x ),9u9t t =0 =7(x )与上类似,我们设法作一代换将边界条件化为齐次的,为此令u (x ,t )=V (x ,t )+W (x ,t ).选取W (x ,t )使V (x ,t )的边界条件化为齐次的,即V |x =0=V |x =l =0,易看出要使得该式成立,只要W x |x =0=u 1(t ),W x |x =l =u 2(t ).我们仍然选取W (x ,t )=A (t )x +B (t ),这个形式和第一类的相同,那么可不可以这么选择呢?只要我们能够找到满足W x |x =0=u 1(t ),W x |x =l =u 2(t )的A (t ),B (t ).再根据条件得A (t )=u 1(t )=u 2(t ).显然,当u 1(t )=u 2(t )时,函数W (x ,t )=u 1(t )x 就满足条件,因而只要做代换u (x ,t )=V (x ,t )+u 1(t )x 就能使新的未知函数满足齐次的边界条件.但是当u 1(t )X u 2(t )时,显然不能如上选取W (x ,t )=A (t )x +B (t ).2.3 第三类边界条件齐次化的处理92u 9t 2=a 292u 9x2+f (x ,t ),0<x <l ,t >0;u (0,t )-hu x (0,t )=L 1(t )u (l ,t )+hu x (l ,t )=L 2(t )u |t =0=U (x ),9u 9tt =0 =7(x )与上类似,我们设法作一代换将边界条件化为齐次的,为此令u (x ,t )=V (x ,t )+W (x ,t ).选取W (x ,t )使V (x ,t )的边界条件化为齐次的,即V (0,t )-hV x (0,t )=V (l ,t )+hV x (l ,t )=0易看出要使得该式成立,只要W (0,t )-hW x (0,t )=L 1(t )且W (l ,t )+hW x (l ,t )=L 2(t ).我们仍然选取W (x ,t )=A (t )x +B (t ).A (t ),B (t )满足W (0,t )-hW x (0,t )=L 1(t )且W (l ,t )+hW x (l ,t )=L 2(t ).易得A (t )=L 2-L 1l +2h ,B (t )=L 1(t )+h (L 2-L 1)l +2h.3 结 论由上可以看出对于常见的几类边界条件,当作一代换将边界条件化为齐次时,令u (x ,t )=V (x ,t )+W (x ,t ).选取W (x ,t )使V (x ,t )的边界条件化为齐次的,W (x ,t )通常可以选择如下形式:W (x ,t )=A (t )x +B (t ),这种形式对几种边界条件都适用.(但对第二类边界条件齐次化,需要在一定条件下).参考文献:[1] 王元明.数学物理方程与特殊函数[M ].北京:高等教育出版社.[2] 张慧清,等.数学物理方程与特殊函数导教.导学.导考[M ].西安:西北工业大学出版社.[3] 孙金海.数学物理方程与特殊函数[M ].北京:高等教育出版社.(下转96页)93第1期韩 锋,等:泛定方程边界齐次化处理中代换的选择+o 1n+1nn h,故结论成立.参考文献:[1]Rice J A and Wu C O.Nonparametric Mixed Effects M odles for Un-equally Sampled Nois y Curves[J].Bi ometrics,2001,57:253-259.[2]Wang Y.Mixed-Effects Smoothi ng Spline[J].A NOVA.J.R.Stat-ist.Soc.B,1998,60:159-174.[3]Rice J A and Wu C O.Nonpara metric M i xed Effec ts Modles for Un-equall y Sampled Nois y Curves[J].Biometrics,2001,57:253-259.[4]Tibs hirani,R.and Has tie,T.Local Likelihood Esti mation[J].Journalof American Stati stical Associati on,1987,82,559-567.[5]Vonesh E F and Chinchilli V M.Li near and Nonlinear Models for theAnalysis of Repeated Meas urements[M].New York:Marcel Dekker, Inc.1996.A New Estimate of Longitudinal Data Mixed-effect ModelDAI Jin-hui(Department of Maths,Shandong I nstitute of Business and T echnology,Yantai264005,China) Abstract:This article proposes a kernal linear mixed-effects estimator(KLME).This method is obtained by unifying the kernal method and the linear mixed-effect model method.This estimator achieves very good gradual va-lidity.Key words:longitudinal da ta;nonparametric regression;mixed-effect;local estimation(上接93页)The Selection of Substitu tion in the Homogenization of a Pan-setting Equation with Non-homogeneous Boundary ConditionsHAN Feng,LIU Zhi-gang,MI AO Ting(Beijing Anti-Chemical Command E ngineering College,Beijing102205,China)Abstract:As we all know,for the pan-setting equation with non-homogeneous boundary conditions of treat-ment,an appropriate substitution of unknown function is usually selected,so that for the ne w unknown function,the boundary conditions are homogeneous.How to select a substitution for a specific equation is a problem for many stu-dents.This research paper proposed a transform for three types of non-homogeneous boundary conditions.Key words:boundary condition;non-homogeneous;substitution96佳木斯大学学报(自然科学版)2008年。
2-5 非齐次边界条件的处理
则新未知函数 u( x , t ) = V ( x , t ) + W ( x , t ) ,便满足齐次 边界条件 V |x = 0 = V |x = l = 0
令 W ( x , t ) = A( t ) x + B( t ) 于是由 W | x = 0 = u1 ( t ), W | x = l = u2 ( t ) 有:
前面所讨论的问题,都是基于边界条件是齐次的.但 我们所遇到的实际问题往往是非齐次的边界条件,则要 设法将边界条件化成齐次的.现以下列定解问题为例,说 明选取代换的方法:
⎧ utt = a 2 uxx + f ( x , t ) 0 < x < l, t > 0 ⎪ t>0 ⎨ u | x = 0 = u1 , u | x = l = u2 ⎪ u | = ϕ ( x ), u | = ψ ( x ) 0≤ x≤ l t t =0 ⎩ t =0
因而只要作代换:
⎡ u2 − u1 ⎤ u =V + ⎢ x + u1 ⎥ ⎣ l ⎦ 就能使新的未知函数V满足齐次边界条件.
经过这个代换后,得到关于V的定解问题为:
⎧Vtt = a 2Vxx + f1 ( x , t ) 0 < x < l, t > 0 ⎪ t>0 ⎨V | x = 0 = V | x = l = 0 ⎪V | = ϕ ( x ),V | = ψ ( x ) 0 ≤ x ≤ l t t =0 1 ⎩ t =0 1
⎧ B( t ) = u1 ( t ) ⎨ ⎩ A( t )l + B( t ) = u2 ( t ) ⎧ B( t ) = u1 ( t ) ⎪ ⎨ u2 ( t ) − u1 ( t ) ⎪ A( t ) = l ⎩ u2 ( t ) − u1 ( t ) W ( x, t ) = x + u1 ( t ) l
非齐次边界条件齐次化的处理方法
非齐次边界条件齐次化的处理方法是一种处理非齐次边界条件的有效方法。
这种方法通过将非齐次边界条件转换为齐次边界条件来解决问题。
非齐次边界条件是指边界条件中含有非齐次项的情况，这种情况下，解决问题会变得更加复杂。
因此，将非齐次边界条件转换为齐次边界条件，可以极大地简化问题的解决过程。
非齐次边界条件齐次化的处理方法主要有以下几种：
1、增加自由度法。
这种方法的基本思想是在原有的自由度上增加新的自由度，从而将非齐次边界条件转换为齐次边界条件。
2、拉格朗日乘子法。
这种方法的基本思想是通过引入拉格朗日乘子，将非齐次边界条件转换为齐次边界条件。
3、变分法。
这种方法的基本思想是通过变分的方法，将非齐次边界条件转换为齐次边界条件。
4、积分变换法。
这种方法的基本思想是通过积分变换的方法，将非齐次边界条件转换为齐次边界条件。
非齐次边界条件齐次化的处理方法可以有效地解决非齐次边界条件带来的问题，并且可以简化问题的解决过程。
第3节(非齐次边界条件的处理)
utt a 2u xx 0 u | x 0 (t ), u | x l (t ) u |t 0 ( x), ut |t 0 ( x)
非齐次边界条件
选取函数v（x，t）使其满足非齐次边界条件，不妨取
2
v( x, t ) A(t ) x B(t )
第三节 非齐次边界条件的处理
在前边的讨论中，不管是齐次泛定方程还是非齐次泛定 方程他们定解问题中的解法有个前提：边界条件是齐次的！ 但在实际应用中，常有非齐次边界条件，此时由于定解
1
问题是线性的，处理的原则是利用叠加原理，把非齐次边界 条件化为另一未知函数的齐次边界条件问题。
（一）一般处理方法 例1
即特解有分离变数的形式：
v( x, t ) X ( x) sin t
X ( x) C cos(x / a) D sin(x / a)
将上式代入常微分方程的条件 X (0) 0, X (l ) A 可得 X ( x) [ A sin(l / a)]sin(x / a)
而此定解问题为齐次方程，齐次边界条件，可分离变数求解！
na na n t Bn sin t ) sin x 即 w( x, t ) ( An cos l l l n 0
6
其中系数An，Bn可计算得：An 0
2 t sin( / a) n Bn A sin d 0 na sin(l / a) l
所以可得一般解：
sin(x / a) u ( x, t ) A sin t sin(l / a) 2 A 1 nat nx sin sin 2 2 2 2 2 al n 1 / a n / l l l
88
第八章第三节 非齐次边界条件的处理
0 vtt a 2vxx
t t x2 tx a2 t t
2l
l
wx x0 0, wx xl 0
w x 0 0 x2 0x
t0
2l
wt
t0
x
0 0
2l
x2
0x
2009年5月7日
补充练习：
将下面非齐次边界条件的问题转变为齐次边界条件的定解问题
ut a2uxx 0 x l,t 0 ux 0,t w1t,ux l,t w2t ux,0 x
l l
xdx 2 A
n
Tn
n2 2a2
l2
Tn
Fn
2A
n
根据
dy Pxy Qx
dx
y Ce Pxdx e Pxdx Q x e Pxdxdx
得:
Tn t
B e
n2 2a
l2
2
t
n
2Al2
n3 3a2
代入w(x,t)得
w x,t
Bne
n
2 2a2
l2
t
n1
2 Al2
由此确定 X x A sinl asinx a,从而
vx, t
A
sin l
sin
x
a
sin t....8.3.17
a
令ux,t vx,t wx,t....... 8.3.18
将(8.3.17),(8.3.18)代入(8.3.11)~(8.3.13)
wtt a 2 wxx vtt a 2 vxx 0...8.3.19
w 60 t 0
应用傅里叶级数法求解w(x,t)—非齐次项不含t，不宜用冲量定
理法。
wx,t
Tn tsin
定解问题中的齐次泛定方程非齐次边界条件处理的一种简捷方法
,
,
只能 保 证 边 界 条 件 齐 次 化
。
往 往 在 齐 次 化边 界 条 件 的过 程 中 方 程 又 出 现 非
。
,
齐 次 的 情 况 将 本 来 较 为 简 单 处理 的 定 解 问 题 反 而 复 杂 化 r
,
一
于 是 能 不 能 提 出 一 个 齐 次 化边 界 条 件的 模 型
,
,
。
) 的选取 t
x
例 如 把弦 的 一 端
。
一 。 固 定起来 迫 使另一端
x
~
I
J
作谐 振动 A
s
n i
t w
.
弦的初 始位 移和 初 始速 度 都是
零 这个定 解 问 题是
U
’ `
:
a
:
U
、二
一
O
二 _
U l鑫 = 0
1门
,
.
,
U {
,
1
= A 、 in w
t
一 O U
t
}
.
、一 花
一O
u
0 < (
币丁 下
,
八 W
J
f( O)
= O f( I ) = I
:
二
、
w
T
一a
不下
八s
, n
w
l
=
U
化简后 即 得
f (
, ,
x
)
二
J
翼f (
J
) 一 。
f(
()
)
= 0
,
解为
f( I ) 一 I f ( x ) _ e e 。、 ( 丝
数理方程特殊函数非齐次边界条件定解问题求解
通过比较系数得：
B0
0
b
A0 B0 Lna 1
A2a 2 B2a 2 a 4
u2
(t) u1 L
(t)
x
1( x)
(x)
u1 (0)
u2 (0)
L
u1 (0)
x
1
(
x
)
( x) u1
(0)
u2
(0) u1 L
(0)
x
(**)属于齐次边界条件下的非齐次方程定解问题，可用齐次化原理或级 数法进一步求解！
注：上面定解问题边界条件是第一类的，如果是其它情形，只需恰当设 置待定多项式的形式，也可以求出需要的W(x,t),具体过程如下：
可将其分解为：
2V Vtx20
a2 V
2V x2 , (0 xL 0
x
L, t
0)
V
t0
W (x), V t
t0 0
a2W (x) A 0 W x0 0,W xL B
于是得：
W (x)
A 2a 2
x2
AL 2a 2
B x L
19
由分离变量得一般解为：
V (x,t)
n1
u2
(t) u1(t) 2L
x2
10
(4)、若边界条件为：
u 1ux x0 u1(t),u 2ux xL u2 (t)
作代换： u(x, t) V (x, t) W (x, t)
得W(x,t)需要满足的条件为：
W 1Wx x0 u1(t),W 2Wx xL u2 (t)
可令： W (x,t) A(t)x2 B(t)x
V
x t0 W (x) 3(1 l ),Vt
定解问题：非齐次方程和齐次边界条件的处理课件
精
8
定解问题：非齐次方程和齐次 边界条件的处理
精
1
齐次方程+齐次边界
• 分离变量法 • 傅里叶级数法
精
2
非齐次方程+齐次边界
Lu(x,t) f (x,t) ----------------------------------
1u(0, t) 1u(0, t) 0 2u(l, t) 2u(l, t) 0
v(x, ) 0 v(x, ) f (x, )
精
6
如何处理非其次边界条件？
• 利用叠加原理
非齐次边界条件的定解问题 =其一特解+相应齐次边条定解问题的一般解
化为其次边条的定解问题
精
7
非齐次稳定场问题（泊松方程）
•利用叠加原理：
泊松方程的一般解 =其一特解+拉普拉斯方程的一般解
化为齐次定解问题
=
fi
精
其中：
= i Xi i
i Xi i 5
冲量定理法
Lu(x,t) f (x,t) ----------------------------------
1u(0, t) 1u(0, t) 0 2u(l, t) 2u(l, t) 0
------------------------------------u(x, 0) 0 u(x, 0) 0
-------------------------------------
u(x, 0) (x) u(x, 0) (x)
• 傅里叶级数法
• 冲量定理法（不要求）
精
3
傅里叶级数法(1)
齐次边界条件
本征函数
非齐次边界条件泛定方程的代换选择
非齐次边界条件泛定方程的代换选择是选择合适的解法来解决非齐次边界条件的泛定方程。
在解决这类问题时，通常有多种方法可供选择，具体的选择取决于问题的特征和需求。
常用的代换方法有:
1.幂级数法，通过构造适当的幂级数解来满足非齐次边界条件。
2.积分变换法，通过对方程进行积分变换来满足非齐次边界条件。
3.变分法，通过对方程的变分来满足非齐次边界条件。
4.牛顿迭代法，通过迭代求解非齐次方程来满足非齐次边界条件。
5.牛顿迭代法，通过迭代求解非齐次方程来满足非齐次边界条件。
这些方法都有自己的优缺点和适用范围，在使用时应该根据问题的具体情况进行选择。
第八章 非齐次边界条件处理(3节).
本节中心内容
非齐次边界转化为齐次边界的问题；
本节基本要求
掌握非齐次边界齐次化的方法 着重掌握求解四种非齐次边界问题的解题思 路、解题步骤。 掌握求解非齐次边界问题的特殊方法
以前处理方程都是对齐次边界条件，而生活实践中大多数 是对于非齐次边界条件如何处理？ 一般处理方法是要经过 代换转换为齐次的。
2 0 1 ( 0 0 ) l l
l
2 Cn { 0 ( x) ( x 0) 0 ( x) [ x (l o)]} l 0 n x con dx l 2 2 n [ 0 0 cos n ] 0 [1 () ] l l 0 (n为奇数) 4 0 （n为偶数, n 2k , k 1, 2,3,...） l
四、
X ( x) X ( x) 0 X (0) 0 X (l ) 0
1 n 2 x (n 0,1, 2,) X n ( x) Cnco s l
其本征值和本征函数分别为
1 2 2 (n ) 2 l2
五、
( ) ( ) 0 ( 2 ) ( )
一、齐次化的一般方法：
1、第一种边界条件：
x 0 , x l两端都是第二类
非齐次边界条件
utt a 2u xx 0
u x0 (t ), u xl (t )
u
y 0
( x), u t
t 0
( x)
此时，边界条件为非齐次的。选取一个函数
v( x, t )
( x ) t
t 0
尽管
的方程一般是非齐次的， w( x, t )
u(t ) u xl (t )
2.5具有非齐次边界条件的问题.
于是可得
w(t, x)
x l
[u2
(t
)
u1
(t
)]
u1
(t
).
因此，令
u( x, t )
v( x, t )
x l
[u2 (t)
u1(t)]
u1 (t ).
则问题(79)-(81)可化成v(x,t) 的定解问题
(79) (80) (81) (82)
(85)
4
utt a 2uxx f (x, t) (0 x l, t 0),
2
n
代入 vn (t)
t 0
2
t ( na )2 (t )
el
n 0
fn ( d
(
)e
na l
)2
(t
)
d
,
2l 2
(n )3 a 2
( na )2 t e l
1,
(90)
把(90)代入(89)v(
x,
t
)
n1
vn
(t
)
s
in
的方法。（也可称为辅助函数法）
1
考察定解问题：
utt a 2uxx f (x, t) (0 x l, t 0), (79)
u(0,t) u1(t), u(l,t) u2 (t),
(80)
u(x,0) (x), ut (x,0) (x).
(81)
通过作一函数变换将边界条件化为齐次的，
sin
4
l
x.
15
第二章分离变量法非齐次边界
比较系数 V ( x, t ) v0 (t ).
A
sin t
2 a B v0 '' t A sin t l v (0) 0, v ' (0) 0, 0 0
2 na vn '' t vn t 0; l v 0 0, v ' 0 0 n n
思路: 作代换 u 选取w(x,t)使v(x,t)的边界条件化为齐次
x, t v( x, t ) w( x, t ) 解得
A(t ) x B(t )
2
解： 取 w x, t 故
[ 2 ( t ) 1 ( t )] A( t ) l B( t ) 1 t
2）将问题分解为两个定解问题。设
U x, t V x, t W x, t
其中 W ( x, t ) 满足定解问题
2 2W W 2 t 2 a x 2 , 0 x l , t 0; ( I ) Wx |x 0 0, Wx |x l 0; B 2 W |t 0 x , Wt |t 0 0 2l
2.5 非齐次边界条件的处理
处理非齐次边界条件问题的基本原则是: 选取 一个辅助函数
u x, t v x, t wห้องสมุดไป่ตู้x, t
w x, t , 通过函数之间的代换:
使得对新的未知函数 v x, t 边界条件为齐次的.
例1．振动问题
utt a 2u xx f ( x, t ) （I） u (I)的 x 0 1 (t ) u x l 2 (t ) 要求满足 边界条件，即 A( t )0 B( t ) 1 ( t ) u ( x ) u ( x ) t t 0 t 0 A( t )l B( t ) ( t )
数学物理方法-8.3非齐次边界条件的处理-精品文档
2 2 w a w ( v a v ) 0 tt xx tt x x
令：
v ( x , t ) X ( x ) sin t
X ' '
2
a
2
X 0
X ( 0 ) 0 ,
X ( l ) A
X ( x ) C cos( x / a ) D sin( x / a )
8.3 非齐次边界条件的处理
方法1 例
u au 0 tt xx
2
齐次方程
第一类 非齐次边界条件 非零初值
u ( x ,t)x ( t) 0
u (x ,t)x ( t) l
u t0 (x)
令
u t
t 0
(x)
u ( x , t ) v ( x , t ) w ( x , t )
u ( x ,t)x ( t) 0
第一类非齐次边界条件
( t ) ( t ) v ( x , t ) x ( t )
l
u (x ,t)x ( t) l
( t ) ( t ) w a w ( v a v ) [ x ( t )]"
w (x ,t) x00
w (x ,t) xl 0
w ( x ) v t 0 t 0
w ( x ) v tt 0 tt 0
8.3 非齐次边界条件的处理 例 弦的 x=0 端固定， x=l 端受迫在谐振动 Asinωt， 弦的初始位移和初始速度均为零，求弦的振动。 泛定方程
A sin( x /a ) . sin( l/a )
2 w a w 0 tt xx
n at n atn x w ( x , t ) ( A cos B sin ) sin . n n l l l n 1
3.3非齐次边界条件的处理
⎪ ⎩
§3.3 非齐次边界条件的处理
2
⎧ a2n2π 2ω2 Tn′′(t ) + 2 Tn (t ) = sinωt (−1)n+1 ⎪ l nπ ⎪ ⎨Tn (0) = 0 nπa l t nπa ⎪T ′(0) = 0 ωn = Tn (t ) = ⎪ n ∫0 f n (τ ) sin l (t − τ )dτ l nπa ⎩
(1 ) − ( 3 ) →
(4) 定解问题（1）－（3）的解
vtt − a v xx = − ( wtt − a w xx ) (8) v | x = 0 = 0, v | x = l = 0 (9 ) v |t = 0 = ϕ ( x ) − w ( x , 0 ) ⎫ ⎬ (10 ) vt |t = 0 = ψ ( x ) − wt ( x ,0 ) ⎭
无法确定其值
Wuhan University
§3.3 非齐次边界条件的处理
二、求解
2、求解 （１）边界条件齐次化： 令 使
u( x , t ) = v ( x , t ) + w ( x , t )
(4)
⎧ w | x = 0 = u | x = 0 = g ( t ) ( 5) ⎨ ⎩ w | x = l = w | x = l = h( t ) ( 6)
Wuhan University
§3.3 非齐次边界条件的处理
（2）令
v( x, t ) = v ( x, t ) + v
I
II
( x, t )
(9 )
⎧ II ω2 2 ⎧ I 2 I v tt − a 2v II xx = ω x sinωt ⎪ ⎪v tt − a v xx = 0 l ⎪ ⎪ I v (0, t ) = v I (l , t ) = 0 (10) ⎪v II (0, t ) = v II (l , t ) = 0 (11) ⎨ ⎨ ⎪ ω ⎪v II ( x,0) = v II t ( x,0) = 0 I I ⎪v ( x,0) = 0 , v t ( x,0) = − x ⎪ l ⎪ ⎩ ⎩
8.3非齐次边界条件的处理
x 2 w a w ''( t ) [ ''(t ) ''(t )] xx tt l w x 0 0, w x l 0 x w ( x ) (0) [ (0) (0)] t 0 l x w ( x ) '(0) [ '(0) '(0)] t t 0 l
a sin t 2 Ala ( 1) n 1 u ( x, t ) v( x, t ) w( x, t ) l n 1 sin a
A sin
x
sin
n at n x sin l l 2 2 2 2 2 l n a
这样边界条件化为齐次的了， 但是泛定方程却变为非齐次 的，接着可参照非齐次方程 的求解过程进行。
若为第二类非齐次边界条件： ux 可设v( x, t ) A(t ) x 2 B(t ) x
x 0
(t ), u x
x l
(t )
这样无论弦振动方程是否齐次，边界条件是否齐次，最终 可用分离变量法求解。
a
设v( x, t ) X ( x)sin t, 代入(1)(2) 2 X '' 2 X 0 a X x0 0, X xl A
x)
l
a
) A D A / sin
l
a
v( x, t )
A sin
l
a
sin
xaΒιβλιοθήκη sin t令u( x, t ) v( x, t ) w( x, t )
8.3 非齐次边界条件的处理
教学重点：掌握非齐次边界条件问题转化为齐次边界条件问题的方 法 处理原则：利用叠加原理，把非齐次边界条件问题转化另一未知函 数的齐次边界条件问题。
非齐次边界条件问题(10.30)
（10.30）非齐次边界条件问题问题1, (,0)(), (0,)0, (,)(0)t xx u ku u x f x u t u l t A A ====≠求解非齐次边界问题时，首先应将其转化为齐次边界问题。
因此，此处首先找出方程的稳态解，即与时间t 无关的解0()u x ，将其代入原方程后可得[][]00()0()t xx u x k u x ==解得0()u x px q =+式中，p 、q 为待定系数。
根据边界条件可得0(0)0u q ==0()u l A pl q ==+解得, 0Ap q l== 所以0()A u x x l=构造函数0(,)()(,)u x t u x v x t =+代入原方程可得[][]00()()t t xx t xx u u x v k u x kv =+=+化简后可得t xx v kv =又由初始条件可得0()(,0)()(,0)f x u x u x v x ==+所以0(,0)()()v x f x u x =-由边界条件还可以得到(0,)(,)0v t v l t ==因此，题设问题就转化为了齐次边界条件问题，即求解0, (,0)()(), (0,)(,)0t xx v kv v x f x u x v t v l t ==-==由变量分离法，首先假设(,)()()v x t X x T t =进而有()'()"()()X x T t kX x T t =移项整理得''()'()()()X x T t A X x kT t =≡ 其中A 是与x , t 都无关的常数，于是有'()()T t AkT t = "()()X x AX x =分别求解，对于()T td ()d ()T t Ak tT t =⎰⎰所以0()Akt T t C e =对于()X x ，当0A ≥时，都可以得到()0f x ≡，与题设不符。
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时利用此 代换． 根据 条件得 再
Ａ （ ） 一 ０， ￡
— Ｉ ｏ Ｖ Ｉ 一 ０ ： ，
易 看 出 要 使 得 上 式 成 立 ， 要 只
Ｉ ｏ “ （） 一 ｌ ， 显 然 ， 数 函
Ｂ（ ）一 “ （ ） ￡ ２ ￡．
ｗ Ｉ “ （） 一 ２ ｒ． ； 我 们 仍 然 选 取
这 种形 式对几 种 边界 条 件 都 适 用 （ 对 第 二 类 边 界 但
条 件 齐 次 化 ， 要 在 一 定 条 件 下 ） 通 过 进 一 步 的 研 需 ，
究 还发 现 ，
Ｖ （ ｆ ｚ， ）一 Ａ （ ） ＋ Ｂ（ ） Ｘ
这 种形 式对几 种 边界条 件 也都适 用 （ 对 第一 、 类 但 二
ｕ ， 一Ｖｘ ） （￡ ｘ ） （， 十去［ （ 一“ １ ） ￡ ｔ） 十“ ） （］ （，
就能使新 的未 知 函数 满足 齐次 的边界条 件．
对 于第一 类 非 齐次 边 界条 件较 易选 取 代换 ． 通 常 ， 于第 二 、 类 非 齐 次 边 界 条 件 的 代 换 选 择 就 有 对 三 些 困难 了 ． 于 这 两 类 非 齐 次 边 界 条 件 的 代 换 的 选 对
对 于
显然， 函数
Ｗ（ ， 一 去［２ ） ｌ ） ｘ￡ ） “（ 一“（ ］ ￡ ＋“（ ｌ￡ ）
就 满 足 条 件 ， 而 只 要 做 代 换 因
ｆ
。 一
嘉十（）＜ ＜ ｏ 厂，０ ＞； ｘ’ ｔ
，， 一 ．
｛ ：一“（ ，ｌ ， “（ ； “ Ｉ ０ １ ）“ ： ２ ） 一 ￡
韩 锋 ，章 柏 红 ，刘 志 刚
（ 京 防 化指 挥 工 程 学 院 基础 部 ，北 京 １ ２ ０ ） 北 ０ ２ ５
摘 要 对 具 有 非 齐 次 边 界 条件 的 泛 定 方 程 齐 次 化 过 程 中 代 换 的 选 择 进 行 研 究 和 探 讨 ， 于 一 些 相 关 结 论 和 基 齐 次 化 的定 义 得 出新 的 研 究 成 果 ， 给 出 对 三类 非 齐 次 边 界 条 件 齐 次 化 都 适 用 的 代 换 Ｗ （ ，） Ａ（） 。 Ｂ（） 即 ｘ￡ ｔｘ ＋ ￡． 关 键 词 非 齐 次 边 界 条 件 ；非 齐 次 ； 换 代
＜ ； ｚ 此 处仅 以波 动方 程 为 例 ， 然 对 于热 传 导 方 程 显 也 是适 用 的． 我们 设 法 作 一 代换 将 边 界 条 件 化 为 齐
● ０ ・ｏ ・－ ’・０ ・ ： ．。 ． ｏ ●ｏ ●０ ・ｏ ・ｏ ● ＜＞ ．（） ． ｏ
作 者 简 介 ： 锋 （ ９ ０ ） 女 ， 龙 江 肇 东 人 ， 师 ， 要 从 事 微 分 方 韩 １８ － ， 黑 讲 主 程 解 析 理 论研 究 ． ｍａｌ ａ ｆｎ ｌ ６ ＠ １ ３ ｃ ｒ． Ｅ ｉ ：ｈ ｎｅ ｇ ６ １ ６ ． ｏ ｎ
收 稿 日期 ：０ ７ ¨ 一 ０ ； 改 日期 ： ０ ０— ０ ２０ 一 ６修 ２１ ４— ２ ． ５
边 界条 件齐 次化 ， 需要 在一 定条 件下 ） ．
第 一 类 边 界 条 件 齐 次 化 的 处 理 ［ ］ １ ：
～ Ｉ ｎ ＝ ｌ ｏ 一 Ｉ 。 ｌ
Ｏ ～ ｌ ０ ． ｌ ． 。
“（ ， 一 Ｖ （ ，）＋ Ｗ （ ， ） ｚ ） ｚ ｔ ￡．
ｗ ； 一 Ｕ （） Ｉ ０ １￡ ，
ｗ Ｉ ， “ （） 一 ２￡ 一
的 Ａ（）和 Ｂ（） 再 根 据 条 件 得 ￡ ．
）一 ，
选取 Ｗ （ ￡ ｘ，）使 Ｖ（ ￡ ｘ，）的 边 界 条 件 化 为 齐 次 的 ， 即
Ｉ 。 ＶＩ ， ｏ 一 一 ， 一
易 看 出 要 使 得 上 式 成 立 ， 要 只
Ｉ ０ “ （） 一 Ｉ ，
Ｂ（ ）一 “ （ ） ￡ １ ．
Ｗ 一 一 “ （） Ｉ ｆ ２ ￡． 满 足 上 述 条 件 的 函数 较 多 ， 了研 究 方 便 选 取 为
（ ， ） 一 Ａ （ 。＋ Ｂ （ ｚ ￡ ） ），
章柏红（９９ １ ６ 一） 女 ， 南 长 沙 人 ， 教 授 ， 事 高 等 数 学 ， 湖 副 从
等 学科 教 法 研 究 ．
＜＞ ●Ｏ Ｑｏ ●ｏ ・ ＞ ●ｏ ＜ ・ ｏ ・（ ＞●ｃ ●Ｏ Ｏ－ ，●ｏ Ｃ ●・ ‘ 》 ‘＜＞●０ ・＜ ＞． （）．＜＞ ●Ｃ ●ｏ ● ｏ ‘０ ・（ ＇●ｏ ．（ ）．ｏ
ｉ ｆｎ ｔ ｓｍ ａｓ ｉ ｘｔ ｎｄ ｄ ｎ ｉ ｉｅ ｉ ｌ Ｓ ｅ ｅ ｅ ．
Ｋｅ ｗｏ ｄ ： ｌ ｉ 。ｉ ｉ ｔ ｓｍ ａ ，ｅ ｉ ａ ｅ ｔ ｙ ｒ ｓ ｉ ｔ ｎｆｎｉｅ ｉ ｌ ｑｕ ｖ ｌ ｎ ｍ
２ ４
高 等 数 学 研 究
２１ ０ １年 １月
次 的 ， 此 令 为
ｆ 。 Ｖｆ ０ 一 一 ， ：
易 看 出 要 使 得 上 式 成 立 ， 要 只
不 易确 定． ［ ］所介 绍 的后 两 类 代换 形 式 就 和第 文 １
一
类 代换 形式 不同． 实 ， 究 显示 ， 述第 一类 代 其 研 上
第一 、 类边界 条 件齐次化 的处理 ： 二 我 们 仍 然 选 取
高 等 教 育 出 版 社 ，０ ２ ３ ． ２ ０ ： ７
无 小 ， ａ ～ 。号 在 为 。 穷 量ａ 卢且ｉ 存 或 。则 ～ ， ，ｍ ，
（ｉ ）当 ａ与 不 等 价 时 ， 有
Ｏ ｎ Ｅｑｕ ｖ ｌｎｔＩ ｉ ｔ ｓｍ ａ ｓ ｉ ａ ｅ ｎｆｎｉｅ ｉ ｌ
ＬＩ Ｑｉｎ Ｕ ａ ｇ
显 然 ， 数 函
（ ， ） 一 ｘ ｔ ｚ。＋ ￡ ）
再 根 据 条 件 得
就 满 足 条 件 ， 而 只 要 做 代 换 因
一
Ａ ￡ ＝ 音［ ） ）， （ ） “（ 一“（ ］
Ｂ（ ）一 “１ ． ￡ （ ）
Ｖ（ ｔ ｘ， ）十
ｚ。＋ ｕ ∽ ｌ
就 能使新 的未知 函数满 足齐次 的边 界条件 ．
一
个 或 几 个 通 用 的 代 换 ． 际 上 ， 仅 实 不
Ｗ （ ， ）＝ Ａ （ Ｘ ＋ Ｂ（ ） ￡ ） ￡
际 的问题 转化 为 数学模 型 ， 即一 些 方程 的形 式． 求解 这 些 方程 成 为解 决 问题 的关 键 ． 管现 实 问题 常 常 尽
较 为 复 杂 ， 化 的 方 程 通 常 是 边 界 条 件 非 齐 次 化 的 转 泛 定 方程 ． 过 ， 类 方 程 的求 解 思 想 并 不 复杂 ， 不 这 只 需 把 非齐 次边 界 条件 齐次 化 即可．
ｗ ０ “ （） ｌ： 一 ｌ ￡ ， Ｊ：一 “ （） ２￡．
（ ， ）一 Ａ（ ｚ 十 Ｂ（ ）， ￡ ） ￡
换形 式可 以推广 到第二 、 类 ． 面将 一一说 明． 三 下
ｆ ａ ２
一 ），
ｗ ’ ＞； ，Ｏ ＜ ｏ ｔ＜ ）
一 ） ．
中 图 分 类 号 Ｏ１ ５ ２ ７．４ 文 献 标 识 码 Ａ 文 章 编 号 １ ０ — ３ ９ ２ １ ） １０ ２ — ３ ０ ８ １ ９ （ ０ １ ０ — ０ ３０
随 着 科 技 化 脚 步 的 加 快 ， 们 越 加 认 识 到 数 学 人 工 具 的 重 要 之 处 ， 解 决 实 际 问 题 时 ， 常 把 一 些 实 在 常
＞
●ｏ
．。
．＜＞ ・＜＞ ・ ＞ ．ｏ ＜
．ｏ
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．ｏ
．ｏ
●
（ｉ）若 ａ ｉ 与 等 价 ， ａ 则 一卢 ａ 一卢 未 必等 价． 与
ｌ ｉ ｍ
ｙ
： ｌ ： ； ｉ 二 ｍ
ｙ
（） ２
如此 以来 ， １ 关 于其 中定理 ２的证 明将不 存 文［ ］ 在任 何 问题 ， 且所 有 例题 都是 适用 的．同理 文［ ］中 １
齐 次 的 ， 此 令 为
“（ ￡ ｚ， ）一 Ｖ （ ，）＋ Ｗ （ ￡ ． ￡ ｚ， ）
ｗ ｌ：— Ｕ （） ｆ ２
的 Ａ（）和 Ｂ（） 显 然 我 们 只 能 在 特 殊 情 况 ￡．
“ｌ ￡ （ ）一 ０
选取 Ｗ （ ， －￡ ｚ ）使 Ｖ（ ￡ 边 界 条 件 化 为 齐 次 的 ， ｘ， ）的 即
本 文 给 出三 类 边 界 条件 齐 次 化 都适 用 的代换 ． 即选 用一 个适 当的未 知 函数 之 间 的代 换 ， 对 新 的 使
未知 函数 ， 界 条件 是 齐次 的 ， 给 出这 个代 换 ． 边 并 对 于 第 一 、 、 类 非 齐 次 边 界 条 件 齐 次 化 ， 定 存 在 二 三 肯
Ｗ （ ￡ 一 Ａ（ ） ｚ，） ￡ ｚ。十 Ｂ（ ）， ￡
Ｗ （ ， ）一 Ｕ （ ） ２ ｆ
就 满 足 条 件 ， 而 只 要 做 代 换 因
“（ ， 一 Ｖ （ ￡ ） ｘ，）十 “２ ￡ （）
的推 论也 可重 新 表述 如下 ．
推 论 ｌ 设 ａ ， ， ｙ是 自变 量 同 一 变 化 过 程 中 的
（＿ ． ）当 ａ与 口等价 时 ，２ 式 未 必成立 ． （）
参 考 文 献
Ｅ ］李 秀 敏 ， 灵 色 ． 价 无 穷 小 代 换 在 求 极 限过 程 中 的 应 １ 王 等 用 ［］ 高 等 数 学 研 究 ，０ ２ ５ ３ ： ６３ ． Ｊ． ２ ０ ， （） ３ —７ ［ ］同济 大 学 应 用 数 学 系 ．高 等 数 学 ： 册 ［ ］５版 ．北 京 ： ２ 上 Ｍ ．
（ ｃ ｏ ｌｏ ｔｔ ｔｃ ，Ｃａ ｉａ ｉｅｓｔ ｆＥｃ ｎ ｍｉｓａ ｄＢｕ ｉｅ ｓ ｅｊ ｇ １ ０ ７ Ｓ ｈ ｏ ｆＳ ａｉ ｉｓ ｓ ｐｔｌ Ｕｎｖ ｒｉ ｏ ｏ ｏ ｃ ｎ ｓｎ ｓ ，Ｂ ｉｎ ０ ０ ０，Ｐ ｙ ｉ ＲＣ）