高考数学一轮复习第4章三角函数第4课时二倍角公式练习理201811024210
第4章第四章三角函数、解三角形第4节二倍角公式及应用课件(共35张PPT) 高考数学一轮复习
＝12－co2s2α＋12＋14cos2α－ 43sin2α＋ 43sin2α－12sin2α＝1－14cos2α－12 sin2α
＝1－14(1－2sin2α)－12sin2α＝34.
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思考1►►► 如何利用二倍角公式进行三角函数式的化简及恒等式的证明？要注 意什么？
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要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系？能否用二倍 角公式化简？有切有弦要弦切互化．
sin15°cos15°＝12sin30°＝14，故 D 不正确．
【答案】 C
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2. 已知角α的顶点为坐标原点 ，始边与x轴的非负半轴重合 ，且
P(8,3cosα)为α终边上一点，则cos2α等于( )
A. －79
B. －89
7
8
C. 9
D. 9
【分析】 根据三角函数定义和同角三角函数关系求出sinα，再由二
＝cos2αcsoinsαα2cosα2＝cosαsinα2cosα2＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边， 所以原式成立．
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某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同 一个常数：
①sin212°＋cos242°＋sin12°cos42°； ②sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°； ③sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°； ④sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°. (1) 试从上述式子中选择一个，求出这个常数； (2) 根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明 你的结论．
倍角公式可求cos2α.
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【解析】 由三角函数定义可知 tanα＝3c8osα＝csoinsαα，则 3cos2α＝8sinα ＝3－3sin2α，解得 sinα＝13或 sinα＝－3(舍去)，则 cos2α＝1－2sin2α＝79.
三角函数二倍角公式大全
三角函数二倍角公式大全三角函数是数学中重要的概念之一，而其中的二倍角公式更是在解题过程中经常会用到的重要公式。
二倍角公式是指，当角度为α时，对应的sin、cos、tan函数的二倍角公式分别为sin2α、cos2α、tan2α。
在解题过程中，掌握好这些二倍角公式对于简化计算、解题效率的提高至关重要。
下面我们将详细介绍三角函数的二倍角公式，希望能对大家的学习和应用有所帮助。
首先，我们来看sin函数的二倍角公式。
根据三角函数的定义，sin2α = 2sinαcosα。
这个公式在解题中经常会用到，特别是在化简复杂的三角函数式子时，可以通过sin2α的形式来简化计算，提高解题效率。
接着，我们来看cos函数的二倍角公式。
根据三角函数的定义，cos2α = cos^2α sin^2α。
这个公式在解题中也是非常常用的，特别是在化简复杂的三角函数式子时，可以通过cos2α的形式来简化计算，提高解题效率。
最后，我们来看tan函数的二倍角公式。
根据三角函数的定义，tan2α = 2tanα/ (1 tan^2α)。
这个公式在解题中同样经常会用到，特别是在计算tan函数的二倍角时，可以通过tan2α的形式来简化计算，提高解题效率。
除了上述的三角函数的二倍角公式外，还有一些相关的推导公式和性质，比如sin2α + cos2α = 1，tan2α + 1 = sec2α，1 + cot2α = csc2α等。
这些公式在解题中同样也是非常重要的，能够帮助我们简化计算，提高解题效率。
总结一下，掌握好三角函数的二倍角公式对于解题过程中的化简计算、提高解题效率非常重要。
希望大家在学习和应用三角函数时，能够充分利用这些二倍角公式，提高解题效率，更好地掌握和应用三角函数的知识。
希望本文对大家有所帮助，谢谢阅读！。
2024届高三数学一轮复习-三角函数与解三角形 第4练 二倍角公式及应用(解析版)
B． cos A cos B
C． sin 2A sin 2B
D． cos 2A cos 2B
12．（2023·全国·高三专题练习）给出下列说法，其中正确的是（ ）
A．若 cos 1 ，则 cos 2 7
3
9
C．若 x 1 ，则 x 1 的最小值为 2
2
x
B．若 tan 2 4 ，则 tan 1
D． 5 或
5
5
）
D． 24 25
7．（2023·全国·高三专题练习）下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是（ ）
A． f x cos2 x sin x cos x
B． f x 1 cos 2 x
2sin x cos x
C．
f
x
cos
x
π 3
cos
x
π 3
D．
f
x
sin
D
不
正确，
故选：BC.
10．AD
【分析】根据二倍角正弦公式、辅助角公式，结合正弦型函数的单调性、平移的性质、对称
性、换元法逐一判断即可.
【详解】 f (x) sin x cos x 1 sin 2x, g(x) sin x cos x 2 sin(x π ) ，
2
4
当
x
0,
π 4
时，
3 5 8
2
5 1 5 1．
16
4
故选：D．
2．B 【分析】根据三角恒等变换公式求解.
【详解】
sin
π 6
cos
3 sin 1 cos cos 3 ,
2
2
5
所以 3 sin 1 cos 3 ，
2021年高考数学理一轮复习 4-4二倍角的正弦、余弦、正切 精品课件
＝
；sin2α＝
＝ 2cos2α－1 . 1－2sin2α
；升幂公式cos2α＝
重点 辨析
对于公式，学生往往只注意到公式的正用， 而忽视了公式的逆用和变形使用．复习中应引导 学生练习公式的逆用和变形使用，记住以下公式 的变形式，无疑是十分有益的．
1＋cosα＝2cos2α2，1－cosα＝2sin2α2， 1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α， cos2α＝1＋c2os2α，sin2α＝1－c2os2α.
[解] 解法一：原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12(2cos2α －1)(2cos2β－1)
＝
sin2αsin2β
＋
cos2αcos2β
－
1 2
(4cos2αcos2β
－
2cos2α
－
2cos2β＋1)
＝sin2αsin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－12 ＝sin2αsin2β＋cos2α·sin2β＋cos2β－12
＝2s4icno9s66°°＝2c4coos6s6°°＝116.
题型二 思维提示
给值求值问题
注意分析已知角与所求角之 间的内在联系
例 2 (2010·皖南八校联考)已知 cos2θ＝275，π2＜θ＜π. (1)求 tanθ； (2)求2c2ossi2n2θ(－θ＋sinπ4θ) . [分析] (1)先用二倍角公式求出sinθ、cosθ，再用函数 关系求解； (2)用(1)的结论代入求解．
2．半角公式 (1)sinα2＝ (2)cosα2＝ (3)tanα2＝
； ；
＝1＋sincoαsα＝1－sincoαsα.
3．方法技巧
(1)二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α
高考数学大一轮复习 第四章 三角函数 第25课 二倍角的
第25课二倍角的正弦、余弦与正切(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修4P119例1改编)已知cos α=513，α∈π2⎛⎫⎪⎝⎭，，那么sin 2α=.【答案】120 169【解析】由题意得sin α=12 13，所以sin 2α=2sin αcos α=2×513×1213=120169.2.(必修4P120练习2改编)已知sin α=35，那么cos 2α=.【答案】7 25【解析】cos 2α=1-2sin2α=7 25.3.(必修4P123习题5改编)已知α为第二象限角，且sin α+cos α=33，则cos 2α=.【答案】-5【解析】因为sin α+cos α=3，则(sin α+cos α)2=13，所以2sin αcos α=-23，即sin 2α=-23.因为α为第二象限角，且sin α+cos α=3>0，所以2kπ+π2<α<2kπ+3π4(k∈Z).所以4kπ+π<2α<4kπ+3π2(k∈Z)，所以2α为第三象限角，所以cos 2α=-21-sin2α=-5.4.(必修4P123习题3改编)若sinπ2θ⎛⎫+⎪⎝⎭=35，则cos 2θ=.【答案】-725【解析】因为sinπ2θ⎛⎫+⎪⎝⎭=35，所以cos θ=35，所以cos 2θ=2cos2θ-1=-725.5.(必修4P122练习5改编)化简：11tanθ+-11-tanθ= .【答案】-tan 2θ【解析】11tanθ+-11-tanθ=cossin cosθθθ+-coscos-sinθθθ=22-2sin coscos-sinθθθθ=-tan 2θ.1.二倍角公式(1)二倍角的正弦：sin 2α=2sin αcos α.(2)二倍角的余弦：cos 2α=cos 2α-sin 2α.(3)二倍角的正切：tan 2α=22tan 1-tanαα.注意：①在二倍角的正切公式中，角α是有限制条件的，即α≠k π+π2，且α≠π2k +π4(k ∈Z ).②“倍角”的意义是相对的，如4α是2α的二倍角，α是2α的二倍角.2.二倍角的余弦公式的几个变形公式(1)升幂公式：1+cos 2α=2cos 2α；1-cos 2α=2sin 2α.(2)降幂公式：cos 2α=1cos22α+；sin 2α=1-cos22α.【要点导学】要点导学 各个击破二倍角的三角函数公式的简单应用例1 已知sin α=1213，且α∈ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值. 【思维引导】直接使用二倍角公式即可.【解答】因为α∈ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，，sin α=1213， 所以cos α=-513.所以sin 2α=2sin αcos α=-120169， cos 2α=cos 2α-sin 2α=-119169， tan 2α=sin2cos2αα=120119.【精要点评】求cos α的值时，要注意正负的判断.变式 (1)已知sin 2α=33，那么cos α= .(2)设α为第二象限角，sin α=35，则sin2α= . 【答案】(1)13 (2)-2425【解析】(1)cos α=1-2sin 22α=13.(2)直接求得cos α=-45，代入正弦的二倍角公式即可.二倍角的化简与求值例2 (1sin cos )sin -cos 22cos θθθθθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭+0<θ<π.【思维引导】考虑通过把角θ统一化为2θ，同时去掉根号. 【解答】因为0<θ<π，所以0<2θ<π2，所以cos 2θ>0，原式=222cos 2sin cos sin -cos 2222222cos 2θθθθθθ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⋅=2cos sin cos sin -cos 222222cos2θθθθθθ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=sin22θ-cos22θ=-cos θ.变式 (1)化简：0205-cos203-cos 10= .(2)求证：1sin4-cos42tan θθθ+=21sin4cos41-tan θθθ++.(1)【答案】2【解析】0205-cos203-cos 10=005-cos201cos203-2+=002(5-cos20)5-cos20=2.(2)【思维引导】等式的证明一般是从左边化简到右边或从右边化简到左边，也可以两边同时化简到同一个等式.本题要注意4θ是2θ的二倍角，2θ是θ的二倍角，因此本题要两次使用二倍角公式.【解答】原式等价于1+sin 4θ-cos 4θ=22tan 1-tan θθ(1+sin 4θ+cos 4θ)，即1+sin 4θ-cos 4θ=tan 2θ(1+sin 4θ+cos 4θ).(*) 而(*)式右边=tan 2θ(1+sin 4θ+cos 4θ)=sin2cos2θθ(2cos 22θ+2sin 2θcos 2θ)=2sin 2θcos 2θ+2sin 22θ=sin 4θ+1-cos 4θ=左边.所以(*)式成立，即原式得证.【精要点评】(1)注意倍角公式cos 2α=2cos 2α-1，cos 2α=1-2sin 2α的变形公式(降幂公式)：cos 22α=1cos 2α+，sin 22α=1-cos 2α.(2)证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证.二倍角公式的简单应用例3 (2015·北京卷)已知函数f (x )=2sin 2x cos 2x-2sin 22x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[-π，0]上的最小值.【解答】(1)因为f (x )=22sin x-22(1-cos x )=sin π4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-22， 所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为-π≤x ≤0，所以-3π4≤x+π4≤π4. 当x+π4=-π2，即x=-3π4时，f (x )取得最小值.所以f (x )在区间[-π，0]上的最小值为f 3π-4⎛⎫ ⎪⎝⎭=-1-22.变式 (2015·天津卷)已知函数f (x )=sin 2x-sin 2π6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间ππ-34⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值. 【解答】(1)由题意得f (x )=1-cos22x -π1-cos 2-32x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=123sin2cos212xx⎛⎫⎪+⎪⎝⎭-12cos 2x=3sin 2x-14cos 2x=12sinπ2-6x⎛⎫⎪⎝⎭.所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)当2kπ-π2<2x-π6<2kπ+π2，k∈Z，即kπ-π6<x<kπ+π3时，f(x)单调递增；当2kπ+π2<2x-π6<2kπ+3π2，k∈Z，即kπ+π3<x<kπ+5π6时，f(x)单调递减，所以f(x)在区间ππ--36⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，在区间ππ64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是增函数，fπ-3⎛⎫⎪⎝⎭=-14，fπ-6⎛⎫⎪⎝⎭=-12，fπ4⎛⎫⎪⎝⎭=3，所以f(x)在区间ππ34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最大值为34，最小值为-12.1.已知cosπ2θ⎛⎫+⎪⎝⎭=45，那么cos 2θ=.【答案】-725【解析】因为cosπ2θ⎛⎫+⎪⎝⎭=45，所以sin θ=-45，所以cos 2θ=1-2sin 2θ=-725.2.设sin 2α=-sin α，α∈ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则tan 2α= .【解析】由sin 2α=-sin α，得2sin αcos α=-sin α.又α∈ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，，故sin α≠0，于是cos α=-12， 进而sinα=，于是tan α=所以tan 2α=22tan 1-tan αα=3.已知α∈R ，sin α+2cosα=，那么tan2α= . 【答案】-34【解析】由sin α+2cosα=，得sin 2α+4sin αcos α+4cos 2α=52，化简得32cos2α+2sin2α=0，即tan2α=-34.4.已知α+β=3π4，则cos 2α+cos 2αcos β= . 【答案】12【解析】原式=1cos22α++1cos22β+αcos β=1+12(cos 2α+cos 2β)cos αcos β=1+cos(α+β)cos(α-β)+2[cos(α+β)+cos(α-β)] =1-2cos(α-β)-12+2cos(α-β)=12.5.(2016·苏州期中)已知函数f (x )=2cos 2xωsin 22x x ωω⎫-⎪⎭(ω>0)的最小正周期为2π.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设θ∈π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，，且f (θ)+65，求cos θ的值.【解答】(1)f (x )=2cos 2xωsin 22x x ωω⎫-⎪⎭ =2 2x ω-2cos 2x ωsin 2xω+cos ωx )-sin ωx2sinπ-3x ω⎛⎫ ⎪⎝⎭. 因为函数f (x )的最小正周期为2π，所以2πω=2π，ω=1，所以f (x )2sin π-3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)由f (θ)+65，得sin π-3θ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-35， 又θ∈π02⎛⎫⎪⎝⎭，，所以θ-πππ-336⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以cosπ-3θ⎛⎫⎪⎝⎭=45，所以cos θ=cosππ-33θ⎛⎫+⎪⎝⎭=cosπ-3θ⎛⎫⎪⎝⎭cosπ3-sinπ-3θ⎛⎫⎪⎝⎭sinπ3=45×12-3-5⎛⎫⎪⎝⎭×32=43310+.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第49~50页.【检测与评估】第25课二倍角的正弦、余弦与正切一、填空题1.计算：sin 15°cos 15°=.2.(2015·陕西卷)“sin α=cos α”是“cos2α=0”的条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)3.已知sin 2θ=45，cos 2θ=-35，那么角θ在第象限.4.已知α为锐角，且cos α=55，则tanπ24α⎛⎫+⎪⎝⎭= .5.计算：sin 15°sin 30°sin 75°= .6.已知sin α+2cos α=0，则sin 2α+cos 2α=.7.已知sin2α=23，那么cos2π4α⎛⎫+⎪⎝⎭= .8.已知sinπ-6α⎛⎫⎪⎝⎭=13，那么cos2π23α⎛⎫+⎪⎝⎭ = .二、解答题9.设α为锐角，若cosπ6α⎛⎫+⎪⎝⎭=45，求sin（2α+π12）的值.10.已知sin α=，α∈π2⎛⎫⎪⎝⎭，，tan β=13.(1)求tan α的值；(2)求tan(α+2β)的值.11.设函数f(x)=Acosπ46x⎛⎫+⎪⎝⎭，x∈R，且fπ3⎛⎫⎪⎝⎭(1)求A的值；(2)已知α，β∈π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，且f4π43α⎛⎫+⎪⎝⎭=-3017，f2π4-3β⎛⎫⎪⎝⎭=85，求cos(α+β)的值.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.求证：1cos202sin20+-sin 10°1-tan5tan5⎛⎫⎪⎝⎭=.【检测与评估答案】第25课 二倍角的正弦、余弦与正切1. 142.充分不必要 【解析】cos 2α=0⇒cos 2α-sin 2α=0⇒(cos α-sin α)(cos α+sin α)=0，所以sin α=cos α或sin α=-cos α.3. 三 【解析】sin θ=2sin 2θcos 2θ=-2425<0，cos θ=cos 2 2θ-sin 2 2θ=-725<0，所以θ是第三象限角.4.-17 【解析】依题意得sinα=5，故tan α=2，tan 2α=221-4⨯=-43，所以tan π24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=41-3413+=-17.5.18 【解析】原式=sin 15°·sin 30°·cos 15°=12·sin 30°·(2sin 15°·cos15°)=14·sin 30°=18.6.-75 【解析】因为sin α+2cos α=0，所以tan α=-2，所以sin 2α+cos 2α=2sinαcos α+cos 2α-sin 2α=22222sin cos cos -sin sin cos αααααα++=222tan 1-tan tan 1ααα++=-75.7.16【解析】cos2π4α⎛⎫+⎪⎝⎭=cos cos sin sin44ππαα⎛⎫-⎪⎝⎭2=12(cos α-sin α)2=12(1-sin2α)=12213⎛⎫-⎪⎝⎭=16.8.-79【解析】cos2π23α⎛⎫+⎪⎝⎭=cosπ-23πα⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=-cosπ23α⎛⎫-⎪⎝⎭=2sin2π-6α⎛⎫⎪⎝⎭-1=-79.9.由cosπ6α⎛⎫+⎪⎝⎭=45，得cosπ23α⎛⎫+⎪⎝⎭=2cos2π6α⎛⎫+⎪⎝⎭-1=2×1625-1=725.因为cosπ23α⎛⎫+⎪⎝⎭>0，α为锐角，所以2α+ππ32⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以sinπ23α⎛⎫+⎪⎝⎭=2425，所以sinπ212α⎛⎫+⎪⎝⎭=sinπ234πα⎡⎤⎛⎫+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=sinπ23α⎛⎫+⎪⎝⎭cosπ4-cosπ23α⎛⎫+⎪⎝⎭sinπ4=50.10. (1) 因为sinα=，α∈π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以cosα=，所以tan α=sincosαα=12.(2) 因为tan β=1 3，所以tan 2β=22tan1-tanββ=212311-3⨯⎛⎫⎪⎝⎭=34.所以tan(α+2β)=tan tan21-tan tan2αβαβ+=1324131-24+⨯=2.11. (1) fπ3⎛⎫⎪⎝⎭=A cosππ126⎛⎫+⎪⎝⎭=A cosπ4=，解得A=2.(2) f4π43α⎛⎫+⎪⎝⎭=2cosππ36α⎛⎫++⎪⎝⎭=2cosπ2α⎛⎫+⎪⎝⎭=-2sin α=-3017，即sin α=15 17；f2π4-3β⎛⎫⎪⎝⎭=2cosππ-66β⎛⎫+⎪⎝⎭=2cos β=85，即cos β=45.因为α，β∈π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，所以cos α817，sin β35，所以cos(α+β)=cos αcos β-sinαsin β=817×45-1517×35=-1385.12.左边=20002cos104sin10cos10-sin 10°0000cos5sin5-sin5cos5⎛⎫⎪⎝⎭=cos102sin10-sin 10°202000cos5-sin5sin5cos5⎛⎫⎪⎝⎭=cos102sin10-002sin10cos10sin10⋅=000 cos10-2sin202sin10=000cos10-2sin(30-10)2sin10=0001cos10-2cos1022sin10⎛⎫⎪⎝⎭===右边.。
高考数学一轮复习讲义二倍角三角函数
[2 分] [6 分] [8 分]
[10 分]
由已知得 2sin4x1－π3＝2sin4x2－π3＝a， ∴4x1－π3＋4x2－π3＝π， ∴x1＋x2＝51π2，
∴tan(x1＋x2)＝tan 51π2＝tanπ4＋π6
＝1t－antaπ4n＋π4ttaann
三角函数式的化简求值
例 1 已知34π<α<π，tan α＋tan1 α＝－130，求 5sin2α2＋8sin2α2sicnosα－α2＋π211cos2α2－8的值．
(1)由已知条件求出 tan α 的值； (2)化简求值或用 tan α 表示．
解 ∵34π<α<π，∴－1<tan α<0， 由 tan α＋tan1 α＝－130，
合理拆角，求出 cos 2α，再根据二倍角公式求出所求结果，注意 计算过程中角的范围． 解 ∵π2<α<π，∴π<2α<2π. 又－π2<β<0，∴0<－β<π2. ∴π<2α－β<52π.而 sin(2α－β)＝35>0， ∴2π<2α－β<52π，cos(2α－β)＝45.
又－π2<β<0 且 sin β＝－1123，∴cos β＝153，
＝sin2x－23π＋ 3cos2x－23π ＝2sin2x－π3， ∴f(x)的最大值为 2，此时由 2x－π3＝π2＋2kπ，k∈Z 得 x＝kπ＋51π2，k∈Z.
(2)f(2x)＝2sin4x－π3. ∵x∈0，π4，∴4x－π3∈－π3，23π.
变式训练 2
已知 cos(α＋β)＋cos(α－β)＝45，sin(α＋β)＋sin(α－β)＝35，
(解1)求(1ta)∵n αc；os((α2＋)2cβo)＋s22α2cs－oins(3ααs＋－in πβ4α)－＝145.，
三角函数二倍角公式大全
三角函数二倍角公式大全三角函数是数学中的重要概念，而其中的二倍角公式更是在解题中经常用到的重要知识点。
通过掌握三角函数的二倍角公式，我们可以更加灵活地解决各种三角函数相关的问题。
本文将为大家详细介绍三角函数的二倍角公式，希望能够帮助大家更好地理解和运用这一知识点。
1. 正弦函数的二倍角公式。
正弦函数的二倍角公式是指sin(2θ)与sin(θ)的关系。
根据三角函数的定义，我们知道sin(θ) = y/r，其中θ为角度，y为对边，r为斜边。
那么sin(2θ)又该如何表示呢？根据正弦函数的定义，我们可以得到sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)。
这就是正弦函数的二倍角公式，它能够帮助我们在解题时快速求得sin(2θ)的数值，从而简化计算过程。
2. 余弦函数的二倍角公式。
余弦函数的二倍角公式是指cos(2θ)与cos(θ)的关系。
同样根据三角函数的定义，我们知道cos(θ) = x/r，其中θ为角度，x为邻边，r为斜边。
那么cos(2θ)又该如何表示呢？根据余弦函数的定义，我们可以得到cos(2θ) = cos^2(θ) sin^2(θ)。
这就是余弦函数的二倍角公式，它能够帮助我们在解题时快速求得cos(2θ)的数值，从而简化计算过程。
3. 正切函数的二倍角公式。
正切函数的二倍角公式是指tan(2θ)与tan(θ)的关系。
根据三角函数的定义，我们知道tan(θ) = y/x，其中θ为角度，y为对边，x为邻边。
那么tan(2θ)又该如何表示呢？根据正切函数的定义，我们可以得到tan(2θ) = 2tan(θ)/(1 tan^2(θ))。
这就是正切函数的二倍角公式，它能够帮助我们在解题时快速求得tan(2θ)的数值，从而简化计算过程。
4. 应用举例。
通过以上的介绍，我们可以看到三角函数的二倍角公式在解题中具有重要的作用。
下面我们通过一个具体的例子来应用这些公式。
假设我们需要求解sin(120°)的值，我们可以利用正弦函数的二倍角公式sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)来快速求解。
高中数学二倍角的三角函数总结练习含答案解析X
5.2 二倍角的三角函数1.二倍角的三角函数公式(1)sin 2α=①.(2)cos 2α=②=③=④.(3)tan 2α=⑤(其中α、2α≠kπ+π2,k∈Z).2.二倍角的三角函数公式的推导和角公式中以⑥代替其中的⑦就可以得到二倍角公式.3.二倍角的余弦公式的变形公式(1)降幂公式:sin2α=⑧,cos2α=⑨.(2)升幂公式:1+cos 2α=⑩,1-cos 2α=.一、选择题1.已知θ是第三象限角,若sin4θ+cos4θ=59,那么sin 2θ等于( )A.2√23 B.-2√23C.23D.-232.已知tan x=2,则tan[2(x-π4)]等于( )A.43 B.-43C.34D.-343.tan 67°30'-tan 22°30'的值为( )A.1B.√2C.2D.44.√1-sin24°等于( )A.√2cos 12°B.2cos 12°C.cos 12°-sin 12°D.sin 12°-cos 12°5.设-3π<α<-5π2,化简√1-cos (α-π)2的结果是( ) A.sin α2 B .cos α2 C .-cos α2 D.-sin α26.函数y=12sin 2x+sin 2x,x∈R 的值域是( )A.-12,32B.-32,12C.-√22+12,√22+12D.-√22-12,√22-12二、填空题7.cos 20°·cos 40°·cos 80°= .8.已知sin θ2+cos θ2=2√33,那么sin θ= ,cos 2θ= .9.已知4cos Acos B=√6,4sin Asin B=√2,则(1-cos 4A)(1-cos 4B)= .10.已知方程x 2-tan α+1tanαx+1=0的一个根是2+√3,则sin 2α= .三、解答题11.化简:2cos 4x -2cos 2x+122tan(π4-x)sin (π4+x).12.求(tan 10°-√3)sin 40°的值.13.在一块半径为R 的半圆形的铁板中截取一个内接矩形ABCD,使其一边CD 落在圆的直径上,问应该怎样截取才可以使矩形ABCD 的面积最大,并求出这个矩形的面积.。
数学二倍角公式有哪些
数学二倍角公式有哪些数学中，我们经常会遇到角的问题。
而角的两倍角，我们称之为二倍角。
在初等数学中，我们常常使用二倍角公式来解决与角相关的问题。
下面是几个常见的数学二倍角公式。
1.正弦的二倍角公式：sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)这个公式用于计算角的正弦的二倍角。
它指出，一个角的正弦的二倍角等于两倍角的正弦。
这个公式在三角函数的简化计算和角的加倍问题中经常被使用。
2.余弦的二倍角公式：cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ)这个公式用于计算角的余弦的二倍角。
它指出，一个角的余弦的二倍角等于该角的余弦平方减去该角的正弦平方。
3.正切的二倍角公式：tan(2θ) = (2tan(θ))/(1 - tan²(θ))这个公式用于计算角的正切的二倍角。
它指出，一个角的正切的二倍角等于两倍角的正切除以1减去两倍角的正切的平方。
4.正割的二倍角公式：sec(2θ) = (1 + tan²(θ))/(1 - tan²(θ))这个公式用于计算角的正割的二倍角。
它指出，一个角的正割的二倍角等于1加上该角的正切的平方除以1减去该角的正切的平方。
5.余切的二倍角公式：cot(2θ) = (cot²(θ) - 1)/(2cot(θ))这个公式用于计算角的余切的二倍角。
它指出，一个角的余切的二倍角等于该角的余切平方减去1除以两倍角的余切。
这些二倍角公式在角的计算和简化中非常有用，可以帮助我们推导出角的各种性质和关系。
在解决三角函数的问题时，经常需要使用到这些公式。
同时，掌握了这些公式，也可使得我们在计算过程中更加简洁和高效。
三角函数一轮复习(二倍角)
三角公式滚动复习6 姓名 学号一、对照二倍角的正弦、余弦和正切公式各编写一个可以成立的等式:1、二倍角的正弦公式sin22sin cos ααα= _____________________________2、二倍角的余弦公式22cos 2cos sin ααα=- __________________________ 2cos 22cos 1αα=-_______________________；2cos 212sin αα=-______________________3、二倍角的正切公式22tan tan 21tan ααα=- __________________________ 二、熟悉公式1．Sin67︒30’cos 67︒30’=_____________; 2．=-A A 22cos sin ________________; 3．=-112cos 22π_________________; 4、=-0205.22tan 15.22tan 4__________________ 5. =-87cos 8cos 87sin 8sin ππππ_________; 6、0000cos75cos15sin 75sin15--=___ 7、sin(72)cos(18)cos(72)sin(18)x x x x +-++-=____________ 8、=ππππ12cos 24cos 48cos 48sin 8_____________ 9、sin 72sin 65sin18sin 25-=________ 三、应用：1、︒︒-︒︒37sin 23sin 37cos 113sin =2、 0cos(15)-= 3、1tan151tan15+-= 4、已知)3,25(ππα∈，化简αsin 1- 5、若sin2α=53，求cos2α四、化简:1、=--)23cos(απ 2、已知),2(ππα∈，则αcos 1+=______________，=-αcos 1______________. 3、 =-+)4sin()4sin(απαπ4、求函数的最小正周期. (1)21()sin ()24f x x π=- (2) 1()sin()24f x x π=- (3)4sin 4cos )(44ααα-=f5、在运用公式解题时，既要注意公式的正用，也要注意公式的反用和变式运用. 如tan(α+β)= βαβαtan tan 1tan tan -+ 去分母后可变形为： tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β);根据这个变形求： (1).___________40tan 20tan 340tan 20tan =++(2)tan 18º＋tan 42º＋3tan 18ºtan 42º= .6、已知5sin ,,1384ππαα=<<求sin2α，cos2α，cos 4,tan 4αα的值。
2019届高考数学一轮复习第四章三角函数第4课时二倍角公式课件文201804203173
cos2α ＝ π sin（ 4 ＋α）
【解析】
π sin（ 2 ＋2α） cos2α π ＝ ＝ 2cos( 4 ＋ α) ＝ π π sin（ 4 ＋α） sin（ 4 ＋α）
π π π π π π 2cos[ 2 －( 4 －α)]＝2sin( 4 －α)，∵0<α< 4 ，∴0< 4 －α< 4 .又 π π 12 cos( 4 － α) ＝ 13 ， ∴ sin( 4 － α) ＝ 12 2 5 5 10 1－（13） ＝13，∴原式＝2×13＝13. 【答案】 10 13 π 1－cos （ 4 －α） ＝
答案 解析 C 2＋cos2－sin 1 ＝
2
)
B．cos1 D．－ 3cos1
1－cos2 2＋cos2－ 2 ＝
3＋3cos2 2
＝ 3cos21＝ 3cos1.
π π 4 5．设 α 为锐角，若 cos(α＋ 6 )＝5，则 sin(2α＋12)的值为 ________．
答案 解析 17 2 50 π 4 因为 α 为锐角，cos(α＋ 6 )＝5，所以
2
★状元笔记★ π 解决此类问题相对来说，已知条件中的角 4 －α，尽量不拆 开而作为一个整体去表示其他角，这样可减少运算量． 注意下列变换： π π sin2x＝cos( 2 －2x)，sin2x＝－cos( 2 ＋2x)， π π cos2x＝sin( 2 －2x)，cos2x＝sin( 2 ＋2x)． π 以上变换， 结合二倍角公式可将 2x 的三角函数与 4 ±x 的三 角函数联系在一起．
思考题 2
π 3 17 7 若 cos( 4 ＋x)＝5，12π ＜x＜4π ，
sin2x＋2sin2x 求 的值． 1－tanx
高考数学一轮复习系列-二倍角公式(江苏专用)
第四节 二倍角公式及应用1. 熟记二倍角公式，能运用它们进行简单的化简、求值及恒等式证明．2. 掌握二倍角公式的变形，能灵活运用，并解决一些三角综合问题．[学生用书P42]二倍角公式⎩⎪⎨⎪⎧sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos 2α－sin 2α＝1－2sin 2α＝2cos 2α－1变形sin 2α＝1－cos2α2 cos 2α＝1＋cos2α2tan 2α＝2tanα1－tan 2α1. 下列各式值为12的为( ) A. 2sin30°cos30°B. cos 215°－sin 215°C. 2cos 215°－1D. tan22.5°1－tan 222.5°【解析】 2sin30°cos30°＝sin60°＝32，故A 错误；cos 215°－sin 215°＝cos30°＝32，故B 错误；2cos 215°－1＝cos30°＝32，故C 错误；tan22.5°1－tan 222.5°＝ 12tan45°＝12，故D 正确． 【答案】 D2. 若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为( ) A. －429 B. －229 C. 229 D. 429【解析】 因为sin(π－α)＝sinα＝13，π2≤α≤π，所以cosα＝－223，所以sin2α＝2sinαcosα＝2×13×⎝⎛⎭⎫－223＝－429. 【答案】 A3. 化简：11－tanα－11＋tana＝________． 【解析】 11－tanα－11＋tanα＝ 1＋tanα－（1－tanα）（1－tanα）（1＋tanα）＝2tanα1－tan 2α＝tan2α. 【答案】 tan2α4. 化简：1－cos41＋cos4＝________．【解析】原式＝sin 22cos 22＝tan 22＝－tan2. 【答案】 －tan25. 求值：cos20°cos40°cos80°＝________．【解析】 原式＝sin20°cos20°cos40°cos80°sin20°＝sin40°cos40°cos80°2sin20°＝sin80°cos80°4sin20°＝sin160°8sin20°＝18. 【答案】 18题 组 一 例1 (1) 化简： (1tan α2－tan α2)·(1＋tanα·tan α2)＝________； 【解析】 原式＝cos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2· ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sinαcosα·sin α2cos α2＝cos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2· cosαco s α2＋sinαsi n α2cosαco s α2＝2cosαsinα·cos α2cosαco s α2＝2sinα. 【答案】 2sinα(2) 求证：cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin2α. 【解析】 左边＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2＝cos 2αsi n α2cos α2cos 2α2－sin 2α2＝cos 2αsi n α2cos α2cosα＝cosαsin α2cos α2＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边，所以原式成立．思考1如何利用二倍角公式进行三角函数式的化简及恒等式的证明？要注意什么？要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系？能否用二倍角公式化简？有切有弦要弦切互化．题组二给角求值例2求值：3tan12°－3sin12°（4cos212°－2）.【解析】原式＝3sin12°cos12°－32（2cos212°－1）sin12°＝3sin12°－3cos12°2sin12°cos12°cos24°＝23（sin12°cos60°－cos12°sin60°）sin24°cos24°＝43sin（12°－60°）sin48°＝－4 3.求值：1＋cos20°2sin20°－sin10°(1tan5°－tan5°)．【解析】原式＝1＋2cos210°－14sin10°cos10°－sin10°(cos5°sin5°－sin5°cos5°)＝cos10°2sin10°－sin10°·cos25°－sin25°sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－2cos10°＝cos10°－4sin10°cos10°2sin10°＝cos10°－2sin20°2sin10°＝cos10°－2sin（30°－10°）2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32.思考2如何解决给角求值的问题？如何化非特殊角为特殊角？1. 有方向地将已知式化简，使关系明朗化．2. 寻找角与角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角与角之间的二倍关系．3. 尽量统一角的种类，注意特殊角的利用．题组三给值求值例3若x∈⎣⎡⎦⎤0，π2，sin⎝⎛⎭⎫x－π6＝35，求sin(2x＋π6)的值．【解析】由sin⎝⎛⎭⎫x－π6＝35，得sinxcosπ6－cosxsinπ6＝35，两边平方，得12sin 2x ＋14－34sin2x ＝925， 所以12·1－cos2x 2＋14－34sin2x ＝925， 即32sin2x ＋12cos2x ＝725， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝725. 设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，求si n(2α＋π12)的值. 【解析】 设β＝α＋π6， 所以sinβ＝35，sin2β＝2sinβcosβ＝2425， cos2β＝2cos 2β－1＝725， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π4＝sin(2β－π4)＝sin2βcos π4－cos2βsin π4＝17250. 思考3如何利用给定三角函数值求未知三角函数的值？关键是什么？给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．。
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第4课时 二倍角公式1．已知cos78°约等于0.20，那么sin66°约等于( ) A ．0.92 B ．0.85 C ．0.88 D ．0.95答案 A2.sin20°cos20°cos50°＝( )A ．2 B.22C. 2D.12答案 D3．计算tan15°＋1tan15°的值为( )A. 2 B ．2 C ．4 D ．2 2答案 C解析 tan15°＋1tan15°＝sin15°cos15°＋cos15°sin15°＝sin 215°＋cos 215°sin15°cos15°＝2sin30°＝4.故选C.4．若sin α2＝33，则cos α的值为( )A ．－23B ．－13C.13D.23答案 C解析 cos α＝1－2sin2α2＝1－23＝13.故选C. 5．已知cos(π4－x)＝35，则sin2x 的值为( )A.1825 B.725C ．－725D ．－1625答案 C解析 因为sin2x ＝cos(π2－2x)＝cos2(π4－x)＝2cos 2(π4－x)－1，所以sin2x ＝2×(35)2－1＝1825－1＝－725.6．(2018·遵义第一次联考)2002年在北京召开国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin2θ的值为( ) A.13 B.32 C.2324 D.2425答案 D解析 设锐角θ所对的直角边长为x ，由题意得x 2＋(x ＋1)2＝25，解得x ＝3，所以sin θ＝35，cos θ＝45，sin2θ＝2425.故选D.7．(2018·河北保定中学期末)已知sin2α＝2425，0<α<π2，则2cos(π4－α)的值为( )A ．－15B.15 C ．－75D.75答案 D解析 ∵sin2α＝2425，0<α<π2，∴sin αcos α＝1225，sin α>0，cos α>0.又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝4925，∴sin α＋cos α＝75.∴2cos(π4－α)＝2(22cos α＋22sin α)＝cos α＋sin α＝75.8．化简2＋2cos8＋21－sin8的结果是( ) A ．4cos4－2sin4 B ．2sin4 C ．2sin4－4cos4 D ．－2sin4答案 D解析 原式＝4cos 24＋2（sin4－cos4）2＝|2cos4|＋2|sin4－cos4|＝－2sin4.故选D. 9．若α∈(0，π2)，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值为( )A.22B.33C. 2D. 3答案 D解析 因为cos2α＝cos 2α－sin 2α，所以sin 2α＋cos2α＝cos 2α，所以cos 2α＝14.又α∈(0，π2)，所以cos α＝12，所以α＝π3，故tan α＝ 3.故选D.10．(2017·长沙雅礼中学模拟)已知sin2α＝23，则cos 2(α＋π4)＝( )A.16B.13C.12D.23答案 A解析 方法一：cos 2(α＋π4)＝12[1＋cos(2α＋π2)]＝12(1－sin2α)＝16.方法二：cos(α＋π4)＝22cos α－22sin α，所以cos 2(α＋π4)＝12(cos α－sin α)2＝12(1－2sin αcos α)＝12(1－sin2α)＝16.11．已知tan(α＋π4)＝－12，且π2<α<π，则sin2α－2cos 2αsin （α－π4）的值等于( )A.255B ．－3510C ．－255D ．－31010答案 C解析 sin2α－2cos 2αsin （α－π4）＝2sin αcos α－2cos 2α22（sin α－cos α）＝22cos α，由tan(α＋π4)＝－12，得tan α＋11－tan α＝－12，解得tan α＝－3.因为π2<α<π，所以cos α＝－1tan 2α＋1＝－1010.所以原式＝22cos α＝22×(－1010)＝－255.故选C.12．(2018·江西抚州七校联考)若sin(x ＋π6)＝13，则tan(2x ＋π3)＝( )A.79 B ．±79C.427D ．±427答案 D解析 由sin(x ＋π6)＝13，得cos(x ＋π6)＝±1－sin 2（x ＋π6）＝±223，tan(x ＋π6)＝±24，tan(2x ＋π3)＝tan2(x ＋π6)＝2tan （x ＋π6）1－tan 2（x ＋π6）＝±427.13．(2018·山西临汾五校联考)若tan α－1tan α＝32，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为( )A ．－25 B.25 C ．－210D.210答案 D解析 ∵tan α－1tan α＝32，α∈(π4，π2)，∴sin αcos α－cos αsin α＝32，∴cos2αsin2α＝－34.∵π4<α<π2，∴π2<2α<π，∴cos2α＝－35，sin2α＝45，∴sin(2α＋π4)＝sin2α×22＋cos2α×22＝210.14．(2018·广西百色一模)已知x∈(0，π)，且cos(2x －π2)＝sin 2x ，则tan(x －π4)＝( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3答案 A解析 ∵cos(2x －π2)＝sin 2x ，∴sin2x ＝sin 2x ，∴2sinxcosx ＝sin 2x.∵x ∈(0，π)，∴sinx>0，∴2cosx ＝sinx ，∴tanx ＝2.∴tan(x －π4)＝tanx －tanπ41＋tanxtanπ4＝2－11＋2×1＝13.故选A.15．(1)(2018·山东烟台期中)若cos(75°－α)＝13，则cos(30°＋2α)＝________．答案 79解析 ∵cos(75°－α)＝sin(15°＋α)＝13，∴cos(30°＋2α)＝1－2sin 2(15°＋α)＝1－2×19＝79.(2)(2017·保定模拟)计算：3－sin70°2－cos 210°＝________． 答案 2解析 3－sin70°2－cos 210°＝3－cos20°2－cos 210°＝3－（2cos 210°－1）2－cos 210°＝2. 16．若sin(x －34π)cos(x －π4)＝－14，则cos4x ＝________．答案 12解析 ∵sin(x －34π)＝－cos(π2＋x －34π)＝－cos(x －π4)，∴cos 2(x －π4)＝14，∴1＋cos （2x －π2）2＝14.∴cos(2x －π2)＝－12，即sin2x ＝－12.∴cos4x ＝1－2sin 22x ＝12.17．设α为第四象限的角，若sin3αsin α＝135，则tan2α＝________．答案 －34解析sin3αsin α＝sin （2α＋α）sin α＝sin2αcos α＋cos2αsin αsin α＝135.∴2cos 2α＋cos2α＝135，cos2α＋1＋cos2α＝135.∴cos2α＝45.∵2k π－π2<α<2k π，∴4k π－π<2α<4k π(k∈Z )．又∵cos2α＝45>0，∴2α为第四象限的角．sin2α＝－1－cos 22α＝－35，∴tan2α＝－34.18．(2018·湖北百校联考)设α∈(0，π3)，满足6sin α＋2cos α＝ 3.(1)求cos(α＋π6)的值；(2)求cos(2α＋π12)的值．答案 (1)104 (2)30＋28解析 (1)∵6sin α＋2cos α＝3，∴sin(α＋π6)＝64.∵α∈(0，π3)，∴α＋π6∈(π6，π2)，∴cos(α＋π6)＝104. (2)由(1)可得cos(2α＋π3)＝2cos 2(α＋π6)－1＝2×(104)2－1＝14.∵α∈(0，π3)，∴2α＋π3∈(π3，π)，∴sin(2α＋π3)＝154.∴cos(2α＋π12)＝cos[(2α＋π3)－π4]＝cos(2α＋π3)cos π4＋sin(2α＋π3)sin π4＝30＋28.若sin76°＝m ，用含m 的式子表示cos7°为( ) A.1＋m 2B.1－m2C ．± 1＋m2D.1＋m2答案 D解析 ∵sin76°＝cos14°＝2cos 27°－1＝m ， ∴cos 27°＝1＋m 2，∴cos7°＝1＋m2. 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂； 幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。