数学建模 航空公司的预定票策略
数学建模 航空公司的预订票策略说课材料
数学建模航空公司的预订票策略书上作业：P317“取β=0.75，t=50,100,150，其他参数同上，计算结果表明，当t 增加时)(m J 和)(m P j 均有所减少”写出程序及结果。
模型求解求解()J m 的程序如下：n=300;lambda=0.6; p=0.05; bg=0.2; beta=0.75; t=50; nn=50;for m=n:n+nnj(m-n+1)=jm(m,n,lambda,p,bg,beta,t); end j'其中函数程序为:function y=jm(m,n,lambda,p,bg,beta,t) q=1-p;bb=0:m-n-1;pk=pdf('bino',bb,m-t,p); temp=sum((m-n-bb).*pk);y=(q*m-(q-beta)*t-(1+bg)*temp)/(lambda* (n-((1-beta)*t)))-1; 求解)(m P j 的程序如下：n=300; nn=50; p=0.1; j=10;for m=n:n+nnpp(m-n+1)=pj(m,n,j,p); end pp'其中函数程序为:function y=pj(m,n,j,p) bb=0:m-n-j-1; t=50;pk=pdf('bino',bb,m-t,p);y=sum(pk);取p=0.05，0.1；t=50,100,150；bg=0.2，0.4；j=5，10，得到计算结果。
（对照书本上可将计算结果制定成表格）实验结果：结果分析：参考书上例题，综合考虑经济效益和社会声誉，得出：()5P m ＜0.2，()10Pm ＜0.05， 则由表1、2可知，当n=300时，若估计p=0.05,取m=311;若估计p=0.1,取m=318.。
数学建模(航空公司的预定票策略).
数学建模竞赛承诺书我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： B我们的队号为：11参赛队员：1. 电子0903 徐路源2. 数学0901 王璐璐3. 数学0901 张乐孝指导教师或指导教师组负责人：数模组日期： 2010 年 8 月 10 日评阅编号（由评阅老师评阅前进行编号）：.数学建模竞赛编号专用页评阅编号：预测机票价格和预定数量限额最优问题摘要本文所要讨论的问题可以归结为一个趋势拟合和基于二项分布求最优决策的问题。
建立了两个模型：分别用来预测机票的未来价格和求机票的预定限额。
首先我们根据所给的2005年10月～2010年3月期间，每月经济舱机票平均价格(单位:元)数据，通过Matlab 软件用函数去拟合，所得函数即为机票预订价格的数学模型。
可表示为：f(x)=a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)+a2*exp(-((x-b2)/c2)^2)+a3*exp(-((x-b3)/c3)^2)+a4*exp(-((x-b4)/c4)^2) +a5*exp(-((x-b5)/c5)^2) + a6*exp(-((x-b6)/c6)^2)但在预测中发现，由模型所得参考价格不合实际。
单方面拟合出的模型并不具有实际价值。
之后我们采用趋势外推法中最小二乘法的周期波动模型来解题。
通过与实际价格的比较，发现其误差较小且置信度较高。
所以我们得到的机票预定价格的数学模型即为)122sin(*4632.0)122cos(*9938.0)122sin(0239.58)122cos(*9355.492690.73877.638~xx x x xx ytππππ-+-++=价格随时间呈周期性变化，每过一个周期价格略有上升。
数学建模---最佳预定票策略(案例分析) 20页PPT文档
k：已预订票的乘客不能前来登机的乘客数， 即迟到的乘客数，它是一个随机变量；
在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更 多的客源而开展的一个优质服务项目是预订票 业务。公司承诺，预先订购机票的乘客如果未 能按时前来登机，可以乘坐下一班机或退票， 无需附加任何费用。当然也可以订票时只订座， 登机时才付款，这两种办法对于下面的讨论是
等价的。
设某种型号的飞机容量为n，若公司限制预 定n张机票，那么由于总会有一些订了机票的 乘客不按时来登机，致使飞机因不满员飞行而 利润降低，甚至亏本，如果不限制订票数量呢
m n 1
m
m n 1
(m g f )(1 pk ) g ( kpk kpk )
k 0
k 0
k 0
m n 1
m n 1
(mg f ) (mg f ) pk gE(k ) g kpk
k 0
k 0
所以
mn1
2000 2000
1 y 4 x y dx 1 4000 3 ydx
2000 2000
2000 y
1 y2 7000 y 4000000
1000
此式当y 350是0 达到最大，因此组织3500吨 此种商品为最好的策略。
2、最佳预订票策略 一、 问题的提出
（显然可以只考虑 2000y4000的情况），则收
益（单位万元）为
数学建模案例分析-“航空公司的预订票策略”
主讲：薛震中北大学数学系全国大学生数学建模竞赛系列讲座随机因素影响必须考虑,随机模型随机性模型:随机因素可以忽略,或随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现.确定性模型:主要包括概率模型、统计回归模型和马氏链模型.1.概率模型:概率论的基本理论是建立随机性模型的基础,主要思路是在随机变量的概率分布已知或已经被估计出来的情况下,运用相关的定义和性质,计算某些事件的概率,或者得到有用的数字特征,按照研究对象的目的以及客观规律来建立模型.例如:报童的诀窍,随机存储策略等.2.统计回归模型:如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制,无法分析实际对象内在的因果关系,建立合乎机理规律的模型,那么通常要搜集大量的数据,通过对数据的统计分析,找出与数据拟合最好的回归模型是用统计分析方法建立的最常用的一类模型.例如:牙膏的销售量,基金或股票的投资等.3.马氏链模型:随机过程研究客观世界中随机演变过程的规律性.马氏链是时间、状态均为离散的马氏过程,其特点为:①系统在每个时期所处的状态是随机的;②从一时期到下时期的状态按一定概率转移;③时期状态只取决于本时期状态和转移概率.马氏过程是一种特殊的随机过程,建模中应用非常广泛.它在数学例如:健康与疾病,基因遗传等.p =0.9,m =323,max( / f )=0.45/S fmp =1,m =300,max( / f )=0.53p =0.95,m =311,max( / f )=0.493003103203300.350.450.55S S Sb /g =0.2,m =314,max( / f )=0.494b /g =0.5,m =312,max( / f )=0.490b /g =0.8,m =311,max( / f )=0.487/S f m 3000.410.503103203300.45S S S谢谢! NORTH UNIVERSITY OF CHINA大学。
航空公司定票策略(数学建模相关习题)
m n 1
(4 )
P j (m ) =
m n j 1
∑
k =0
pk
(5 )
(4)和(5)是两个目标,双目标最优问题 模型求解 化为单目标求解.先将(4)式除以r,变为J(m) g=r/nλ
1 b mn 1 J (m ) = S (m ) / r = qm 1 + ∑ (m k n ) pk 1 λn g k =0
模型建立经济效益平均经济效益sm每次航班的效益s不能按时登机的乘客数k随机变量社会效益考虑到社会声誉最多只能挤掉j个顾客超过j人会给公司带来损m表示
航空公司的预订票策略
问题的提出 略 问题的分析 经济收益：机票收入-飞行费用和赔偿金
社会声誉：订票而来但不能登机的乘客数。需要限制 预订票而能登机的乘客数——随机变量 目标应当是数学期望—双目标优化问题 决策变量——预定票数
模型假设 H1：飞机容量是n，机票价格是g。飞行费用r。均为常数 机票价格按g=r/nλ制定， λ <1表示利润调节因子， λ =0.6意义? H2: 预定票数量限制为m(m>n). 每位乘客不能按时前来乘机的概率为p,且相互独立 H3: 每位被挤掉的乘客的赔偿金为常数b.
模型建立 经济效益
不能按时登机的乘客数k 平均经济效益S(m),每次航班的效益s
社会效益
(4 )
考虑到社会声誉,最多只能挤掉j个顾客, 超过j人会给公司带来损 失. 目标用超过j人的概率Pj(m)表示.等价于不能前来登机的乘客 数不能超过m-n-j-1人
P j (m ) =
m n j 1
∑
k =0
pk
(5 )
m Pj(m)
S (m ) = qmg r (g + b ) ∑ (m k n ) pk
数学建模候选题(五)
《数学建模》航空公司的预订票策略摘要1、研究目的：本文研究针对预订票业务，既考虑航空公司的利润最大化，又尽可能减少乘客订票而飞机满员无法登机的抱怨，从而赢得社会美誉的问题。
2、建立模型思路：首先，本文通过对航空公司预订票问题，综合考虑公司经济利益（飞行费用、赔偿金与机票收入等）和社会声誉（被挤掉者不要太多、被挤掉的概率不要太大等）确定最佳的预订票数量的问题，进行了充分的分析和思考后，得出如下建模思路：针对第一问对上述飞机容量、费用、迟到概率等参数给出一些具体数据，按你的模型计算，对结果进行分析的问题，本文建立模型：已知当n很大（>500），p很小（<0.05）时，以n，p作为参数的二项分布可以用泊松分布来逼近。
在第一个条件的模型中，本文对飞机容量、费用、迟到概率等问题进行简化，利用非线性规划知识建立了非线性规划模型在第二个条件的模型中，本文对增设某类旅客（学生、旅游者）的减价票，迟到则机票作废的问题进行简化，利用非线性规划知识建立了非线性规划模型3、求解思路，使用的方法、程序针对模型的求解，本文使用非线性规划方法，计算航空公司的平均利润S（m）和被挤掉的乘客数超过j人的概率Pj(m)之间的平衡关系结果，并用LINGO软件工具求解出最优计划问题，进一步求解出最优结果。
4、建模特点（模型优点，建模思想或方法，算法特点，结果检验，灵敏度分析，模型检验等）模型优点：有统一的算法，为最优设计提供了有力的工具。
建模思想：规划问题就是最优解问题，基本思路是尽可能的通过各种方式构建最优化目标，分析这些模型中有没有好解的。
算法特点：运用二次规划5、在模型的检验模型中，本文分别讨论了以上模型的精度和稳定性6、最后，本文通过改变，得出非线性规划模型。
关键词：二项分布、约束条件、泊松分布、最大利润一、问题重述1、问题背景：在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更多的客源而开展的一个优质服务项目是预订票业务。
公司承诺，预先订购机票的乘客如果未能按时前来登机，可以乘坐下一班机或退票，无需附加任何费用。
航空公司的预订票策略新
六、 模型评价与推广
评价：模型没有分别考虑头等舱与经济舱的 两种情况，幸而，在基本假设下MATLAB拟合 的结果以满足我们对问题进行分析的要求。在 模型的改进中，最好对这两种情况单独分析。 推广：与航空公司的预定票策略相似的事件 在日常商务活动中并不少见，旅馆、汽车出租 公司等为争夺顾客也可以如此处理。 P m
二、 符号的约定
符号 n m b g 飞机容量 预订票数量的限额（>n） 每位因满员不能飞走的乘客获得的赔 偿金 机票价格 表示
r λ
飞行费用 利润调节因子（例如，λ=60%，表示飞 机60%的满员率就不亏本）
机票的价格按照 g=r/(λn) 来制定
三、 模型的假设
1、每位预订票的乘客前来登记是随机的，行为是独 立的，不按时来登机的概率记为 p； 2、公司的经济利润由平均利润 f=S/r 体现，其中 S 表示一次飞行费用为 r 的航班利润。
m—k—n位乘客因满员不能飞走，要付给赔偿金（ m—k—m）b，因此，乘客中有 k 位不按时前来登 机时，航班利润为：
s
k
(m k ) g r , mk n ng r (m k n)b, mk n
因为 k 是随机变量，所以航班利润也是随机 变量，它的期望值才是我们要求的航班利润。由 于一位乘客不按时前来登机的概率为 p，由假设1 ，m位订票乘客中有 k 位不按时前来登机的概率服 从二项分布，为
1 p m g r g b m k n p
其中在简化过程中，我们用到了二项分布变量期望 m 值的公式 k mp
k 0
p
k
最后得到平均利润
m n 1 1 f m 1 p m 1 b / g ( m k n ) 1 p k n k 0
航空公司的预订票策略数学建模
航空公司的预订票策略一、模型假设：1、飞行容量为常数n ，机票价格为常数g ，飞行费用为常数r ，r 与乘客数量无关，机票价格按照/g r n λ=来制定，其中(1)λ<是利润调节因子。
2、预订票数量的限额为常数m （>n ）,每位乘客不按时来登机的概率为p ，各位乘客是否按时前来登机是相互独立的。
3、每位乘客被挤掉者获得的赔偿金为常数b 。
二、模型建立：当m 位乘客中有k 位不按时前来登机时，每次航班的利润s 为： ()(),,m k g r m k n s ng r m k n b m k n ---≤⎧⎪=⎨----->⎪⎩（1） 不按时前来登机的乘客数k 服从二项分布，其概率为： (),1k k m k k m p p K k C p q q p -====- （2） 平均利润S(即s 的期望)为：[][][]()110()()()m n m k k k k m n m n k k S ng r m k n b pm k g r p qmg r g b m k n p --==---=----+--=--+--∑∑∑（m)= （3）被挤掉的乘客数超过j 人的概率为：10()m n j j k k p m p ---==∑ （4）三、模型求解：为了减少S（m)中的参数，取S （m)除以飞行费用r 为新的目标函数J（m)，其含义是单位费用获得的平均利润： 101(1)()1m n k k S b J qm m k n p r n g λ--=⎡⎤=-+---⎢⎥⎣⎦∑（m)（m)= （5） 约束条件为：10()m n j j k k p m p α---==≤∑ （6）四、程序及结果：程序：lambda=0.6;n=300;p=0.05;bg=0.2;M=300:2:330;J=zeros(length(M),1);p5=zeros(length(M),1);p10=zeros(length(M),1);for i=1:length(M)m=M(i);k=0:m-n-1;J(i)=1/lambda/n*((1-p)*m-(1+bg)*(sum((m-k-n).*binopdf(k,m,p))))-1;k=0:m-n-5-1;p5=sum(binopdf(k,m,p));k=0:m-n-10-1;p10=sum(binopdf(k,m,p)); end运行结果：。
概率模型9.6-航空公司的预定票策略
，
k 0
m n 1
S（(m4)） qmg r (g b) (m k n)pk k 0
当给定n, g, r, p时，可以求得m使得S（m）最大。
模型建立
问题二
• 2. 从社会声誉和经济利益两方面考虑，应该要求被 挤掉的乘客
不要太多，而由于被挤掉者的数量是随机的，可以用被 挤掉的乘客 数超Pj(过m) 若干人的概率作为度量指标。记被挤掉的乘客数 超过j人的概
158
0.6650 0.6648
0.6643
0.6604
0.6525
316
0.6667
0.6634
0.6568
0.7566
317
0.6651
0.6612
0.6533
0.8388
318
0.6637
0.6591
0.6501
0.8990
从表1可以看出，当m=309时，社会声誉指标P5（309 ）=0.0442<0.05,
当m=310时，社会声誉指标P5（310）=0.0952>0.05,
是两目标的优化问题，决策变量是预订票数量的 限额。
模型假设
• 1.飞机容量是常量n，机票价格为常数g，飞行 费用为常数r，r
与乘客数量无关，机票价格按照g=r/λn来制订， 其中λ（<1）是 利润调节因子，如λ=0.6表示飞机60%满员率就 不亏本。
• 2.预订票数量的限额为常数m（>n），每位乘 客不按时前来登
1)
2)
4)
305
0.6364
0.6364
0.6364
9.2338e-
005
306
0.6490
0.6490
数学建模---最佳预定票策略(案例分析)
k：已预订票的乘客不能前来登机的乘客数， 即迟到的乘客数，它是一个随机变量； pk：已预订票的m个乘客中有k个乘客不能按 时前来登机的概率； p：每位乘客迟到的概率； Pj（m）：已预订票前来登机的乘客中至少挤 掉j人的概率，即社会声誉指标； S：公司的利润； ES：公司的平均利润。
三、 问题的分析及数学模型 （1）问题的分析 通过上面引进的符号易知，赔偿费b=0.1g， 飞行费用f=0.6ng，每位乘客迟到的概率 p=0.03，已预订票的m个乘客中，恰有k个 乘客不能按时前来登机，即迟到的乘客数k 服从二项分布B（m，p），此时，
从计算结果易见，当m=309时，社会声誉 指标 P5 ( 309 ) 0 . 0442 0 . 05 ，当 m=310时，社会声誉指 标 P5 ( 310 ) 0 . 0952 0 . 05 ，所以为了使 ES/f尽量大，且要满足社会声誉指 标 P5 ( m ) 0 . 05 ，则最佳订票数可取 m=309。
p=p+pp; sm=sm+(m-k-300)*pp/prod(1:k); end Es=(1/180)*[0.97*m-1.1*sm]-1; m Es p end
执行后可输出以下结果：
m 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 ES 0.6436 0.6490 0.6543 0.6596 0.6649 0.6703 0.6756 0.6810 0.6864 0.6917 0.6971 p 9.2338e-005 9.3723e-004 0.0048 0.0167 0.0442 0.0952 0.1742 0.2796 0.4028 0.5314 0.6525于是平源自利润m n 1ES
概率模型9.6-航空公司的预定票策略
Pj(m )
pk k
m ,Pj (m )
和Pj(m )是这个优化问题的两个目标，但是我们可以 综上， 虽 S(m ) 将 不超过某给定值作为约束条件，以S（m）为单目标函数来求解。
模型求解
化为单目标求解，先将（4）式除以r，变为J（m），g=r/λn
S(m ) 1 b m n 1 max J (m ) [qm (1 ) (m k n )p k ] 1 r n g k 0
J(m)(b/g=0,2) 0.6364
0.6490 0.6542 0.6592 0.6637 0.6669 0.6691 0.6698 0.6693 0.6678 0.6657 0.6634 0.6612 0.6591 0.6574 0.6558
J(m)(b/g=0,4) 0.6364
0.6490 0.6542 0.6592 0.6637 0.6663 0.6679 0.6679 0.6664 0.6638 0.6604 0.6568 0.6533 0.6501 0.6471 0.6443
表2中m与P5(m)的关系图如下：
表2中m与J(m)的关系
图如下：
结果分析
（1）对于所取的n,p, b/g，平均利润J(m)随m的增加，先单 调递增（达到最大后）再单调递减，但在最大值附近变化不大， 而被挤掉的乘客数超过5的概率 增加的相当快，所以应该参考 J(m)的值尽量大，并结合给定约束条件式可接受的 ，确定适合 的m. （2）对于一定的n,p,当 b/g有些变化时（如从0.1,0.2到0.4）， J(m)变化微小（不超过2.1%，表1和表2），所以，不妨付给被 挤掉的乘客以较多的赔偿金，赢得社会声誉. （3）综合考虑经济效益和社会声誉，当n=300, =0.6，p=0.03, b/g=0.1,0.2和0.4时，给定P5（m） <0.05,由表1，则最佳订 票数可取m=309；当n=150， λ=0.6，p=0.05，b/g =0.1,0.2 和0.4时，给定 P5（m）<0.02，由表2，则最佳订票数可取 m=157.
航空公司的预订票策略
航空公司的预订票策略
1. 动态定价：航空公司根据旅客需求和航班的空余座位数量，对票价进行动态调整。
比如，在需求高峰期，航空公司可以提高票价，而在需求较低期，可以降低票价以吸引更多乘客。
2. 预售折扣：航空公司会提供一些早鸟优惠，即在出发日期前提前几个月或几周购买机票的旅客，可以享受较大的折扣。
3. 打包销售：航空公司会将机票和酒店、租车等旅游产品打包销售，旅客购买套餐会获得更多的折扣。
4. 联盟优惠：航空公司间会建立联盟合作，旅客通过某个航空公司购买机票时，可以享受其他联盟合作的航空公司的优惠。
5. 超前订票：一些特殊的节假日和旅游旺季，航空公司会提前开放票务预订，而且会设置一些优惠政策以吸引早订票的旅客。
6. 购票返利：一些航空公司会开设积分计划，旅客购买机票时获得一定积分，可以兑换航空公司内部服务或是其他旅游产品。
数学建模作业
大作业《二》航空公司的预订票策略摘要针对航空公司预订票问题，本文研究航空公司不能完全预料乘客在订票后能否登机，问题，为了追求最大利润，往往预订给乘客某次航班的票数要适当多余该航班所能容纳的乘客数，这样就导致一些乘客可能被挤掉而无法搭乘这个预订航班，另一方面，为了争取更多的客源、提高客乘率，航空公司在提高服务质量的同时，对被挤掉的乘客进行经济补偿以减少由此造成的不利影响。
影响航空公司受益的主要因素有航班的客座率、飞机飞行费用、公司对被挤掉订票乘客的赔偿费用、公司信誉、飞机场安全管理费用等。
关键字：预订票收益管理公司信誉一、问题重述1.1 基本情况：如今的航空公司都面临着订座决策，我们总结了其面临的风险：超售风险，以航班客座容量为临界点，如果决策结果多于航班容量，造成有些旅客被拒绝登机，从而带来超售风险，合理的超售可以减少空位损失。
对于被挤掉的乘客航空公司应给与合理的经济补偿减少不利影响提高公司信誉。
所以确定合理的数额是十分必要的。
1.2需要解决的问题：问题：考虑经济利益，又考虑社会声誉问题，去确定该航班的预订票数量以及被挤掉的乘客的经济补偿。
二、问题分析2.2 问题二的分析从长远利益来看，由于航空公司订票业务的开展，需要在二者辨证关系中，找到一个最佳订票数额点。
公司的经济利益可以用机票收入扣除飞行费用和赔偿金后的利润来衡量，声誉可以用按时前来登记但被挤下飞机的乘客限制在一定数量为标准。
由于我们假定预订票的乘客是否前来登机是随机的，因此我们要讨论利润和声誉的平均期望值。
三、模型假设1、预订机票的乘客出现与否是相互独立的。
2、预定票数量都大于实际座位数。
3、飞行费用不变。
4、以低价得到机票的乘客若错过本次航班则机票作废。
5、每位被挤掉者获得的赔偿金为常数。
四、符号说明m ：预订票数量的限额n ：飞机容量g ：机票价格r ：飞行费用λ：利润调节因子s ：每次航班的利润S ：平均利润b ：被挤掉者获得的赔偿金（为常数）p ：每位乘客不按时前来登机的概率q ： 每位乘客出现的概率五、名词解释二项分布：未到乘客人数X 服从参数为m 、p 二项分布，即 p k =P （X=k ）=C m k p k q m-k，k=1,2,3…m 六、模型的建立与求解由于超定额情况的存在，到达机场的已订票的乘客存在被挤掉的可能性。
数学建模-最佳预定票策略(案例分析)
张三、李四
发表时间
XXXX年XX月
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VS
结果分析
通过模型预测，发现未来一周的票房走势 呈现上升趋势。同时，根据观众预订数据 ，分析了不同渠道、不同时间点的预订情 况，发现通过线上渠道提前一周预订电影 票的观众数量最多。
模型应用与结果分析
模型应用
采用时间序列分析、回归分析和机器学 习等方法，对收集到的数据进行分析， 构建了预测未来票房走势的数学模型， 并基于该模型制定最佳预定票策略。
03
最佳预定票策略模型
模型建立
80%
确定问题
首先需要明确问题是关于最佳预 定票策略的，目标是最大化收益 或最小化成本。
100%
设定变量
定义相关的变量，如预定票的数 量、每张票的价格、预定费、退 票费等。
80%
建立数学模型
根据问题描述和变量设定，建立 适合的数学模型，如线性规划、 整数规划或动态规划等。
模型验证
我们使用历史数据对模型进行了验证，结果表明模 型预测的结果与实际结果非常接近，证明了模型的 准确性和可靠性。
适用范围
该策略适用于具有相似特点的场景，如电影票、演 唱会门票等，具有一定的普适性。
研究成果总结
最佳预定票策略
通过数学建模，我们找到了最佳的预定票策略，即 在提前预定的情况下，选择在最后时刻预定票可以 获得最大的收益。
究，未来可以进一步探索。
02
考虑其他影响因素
在本次研究中，我们主要考虑了时间因素，但实际上，其他因素如票价、
折扣等也可能对预定票策略产生影响，未来可以综合考虑这些因素。
03
推广应用
《概率模型——航空公司的预订票策略》示范课教学课件【高中数学人教A版】
J1
0.5833
0.5939
0.6044
0.6150
0.6254
0.6355
0.6445
0.6519
0.6568
m
318
320
322
324
326
328
330
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P5
0.1931
0.3627
0.5555
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J1
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302
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0.0243
航空公司的预订票策略
1 问题的提出
航空公司为了提高经济效益开展了一项预订票业务。随之带来一系列的问题：若预订票的数量恰等于飞机的容量，则由于总会有部分已订票的乘客不按时前来登机，致使飞机因不满员而利润降低，或亏本；若不限制订票的数量，那些本已订好了某家航空公司的某趟航班的乘客，却被意外地告知此趟航班已满，公司不管以什么方式补救总会引起乘客的抱怨，导致荣誉受损。
课堂练习
数学建模航空公司的预订票策略
书上作业：P317“取β=，t=50,100,150，其他参数同上，计算结果表明，当t 增加时)(m J 和)(m P j 均有所减少”写出程序及结果。
模型求解求解()J m 的程序如下： n=300; lambda=; p=; bg=; beta=; t=50; nn=50; for m=n:n+nnj(m-n+1)=jm(m,n,lambda,p,bg,beta,t); end j'其中函数程序为:function y=jm(m,n,lambda,p,bg,beta,t) q=1-p; bb=0:m-n-1;pk=pdf('bino',bb,m-t,p); temp=sum((m-n-bb).*pk);y=(q*m-(q-beta)*t-(1+bg)*temp)/(lambda* (n-((1-beta)*t)))-1; 求解)(m P j 的程序如下： n=300; nn=50;p=;j=10;for m=n:n+nnpp(m-n+1)=pj(m,n,j,p);endpp'其中函数程序为:function y=pj(m,n,j,p)bb=0:m-n-j-1;t=50;pk=pdf('bino',bb,m-t,p);y=sum(pk);取p=，；t=50,100,150；bg=，；j=5，10，得到计算结果。
（对照书本上可将计算结果制定成表格）实验结果：表1 p=0,05时的计算结果表2 p=时的计算结果结果分析：参考书上例题，综合考虑经济效益和社会声誉，得出： ()5P m ＜，()10P m ＜， 则由表1、2可知，当n=300时，若估计p=,取m=311;若估计p=,取m=318.。
航空预订票数学建模.doc
航空预订票数学建模航空预订票数学建模篇1试谈机票订票模型与求解一、概述１．问题背景描述在激烈的市场竞争中，航空为争取更多的客而开展的一个优质服务项目是预订票业务,本模型针对预订票业务，建立二元规划订票方案，既考虑航空的利润最大化，又尽可能减少乘客订票而飞机满员无法登机的抱怨，从而赢得美誉。
航空的经济利润可以用机票收入除飞行费用和赔偿金后的利润衡量,声誉可以用持票按时前登记、但因满员不能飞走的乘客，即被挤掉者限制在一定数量为标准，这个问题的关键因素――预订票的成可是否按时前登机是随机的，所以经济利益和声誉两个指标都应该在平均意义下衡量。
针对此种现象，航空一般都采用超量订票的运营模式，即每班售出票数大于飞机客数。
按民用航空管理有关规定旅客因有事或误机，机票可免费改签一次，此外也可在飞机起飞前退票.航空为了避免由此发生的损失，采用超量订票的方法，即每班售出票数大于飞机客数.但由此会发生持票登机旅客多于座位数的情况,在这种情况下,航空让超员旅客改乘其它航班,并给旅客机票价的20%作为补偿。
为了减少发生持票登机旅客多于座位数的情况,航空需要对乘客数量进行统计，从而对机票预售量做出一定估算,从而获得最大的利润。
2。
问题的提出某航空执行两地的飞行任务。
已知飞机的有效客量为１50人。
按民用航空管理有关规定旅客因有事或误机,机票可免费改签一次，此外也可在飞机起飞前退票。
航空为了避免由此发生的损失，采用超量订票的方法,即每班售出票数大于飞机客数。
但由此会发生持票登机旅客多于座位数的情况,在这种情况下，航空让超员旅客改乘其它航班，并给旅客机票价的２０％作为补偿。
要求（１）假设两地的机票价为1500元,每位旅客有0.04的概率发生有事、误机或退票的情况,问航空多售出多少张票，使该的预期损失达到最小?（2）上述参数不变的情况下，问航空多售出多少张票，使该的预期利润达到最大，最大利润为多少？3。
分析与建立模型(1)假设两地的机票价为1500元,每位旅客有0.04的概率发生有事、误机或退票的情况,问航空多售出多少张票,使该的预期损失达到最小?（2）上述参数不变的情况下，问航空多售出多少张票，使该的预期利润达到最大,最大利润为多少?设飞机的有效客数为N，超订票数为S（即售出票数为NS），k为每个座位的盈利值，h为改乘其他航班旅客的补偿值。
飞机票的预定策略问题
学习收获
通过对这些实际问题的分析，使我充分认识到数学的重要作用。并且通过对实际问题
g
机票价格
f
飞行费用（与乘客多少无关）（0.6Ng）
b
乘客准时到达机场而未乘上飞机的赔偿费（0.1g）
Pk
k 个乘客迟到的概率
p
每位乘客迟到的概率（3%）
m
发售机票数
ES
公司的平均利润
P(j)
超过 j 个乘客不能按时登机的概率（声誉指标）(P(5)<=5%)
（2） 问题分析与建立模型
设迟到的乘客数为 k，则利润为
的解决，培养了我的数学分析能力，和解决实际问题的能力。
从结绳记事到袖里乾坤
从八卦演化到数字世纪
数学的灵魂是数学活动
数学活动本质上是一种思维活动
是人类活动的有机组成部分
思维创新的根本在于求异
让我们在教研中创造智慧，理解智慧，分享智慧，增长智慧！
——雨丝
∑ ES
f
=
1 0.6N
[(1 −
p)mg (1 +
b
m−
)
N
−1
[(m
−
k
g k=0
−
N
)C
k m
P
k
(1
−
P)
m
−k
m−N− j
∑ 另易知 P(j)=
Cmk p k (1 − p) m−k
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数学建模竞赛承诺书我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： B 我们的队号为： 11参赛队员：1. 电子0903 徐路源2. 数学0901 王璐璐3. 数学0901 张乐孝指导教师或指导教师组负责人：数模组日期： 2010 年 8 月 10 日评阅编号（由评阅老师评阅前进行编号）：.数学建模竞赛编号专用页评阅编号：预测机票价格和预定数量限额最优问题摘要本文所要讨论的问题可以归结为一个趋势拟合和基于二项分布求最优决策的问题。
建立了两个模型：分别用来预测机票的未来价格和求机票的预定限额。
首先我们根据所给的2005年10月～2010年3月期间，每月经济舱机票平均价格(单位:元)数据，通过Matlab 软件用函数去拟合，所得函数即为机票预订价格的数学模型。
可表示为：f(x)=a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)+a2*exp(-((x-b2)/c2)^2)+a3*exp(-((x-b3)/c3)^2)+a4*exp(-((x-b4)/c4)^2)+a5*exp(-((x-b5)/c5)^2) + a6*exp(-((x-b6)/c6)^2)但在预测中发现，由模型所得参考价格不合实际。
单方面拟合出的模型并不具有实际价值。
之后我们采用趋势外推法中最小二乘法的周期波动模型来解题。
通过与实际价格的比较，发现其误差较小且置信度较高。
所以我们得到的机票预定价格的数学模型即为 )122sin(*4632.0)122cos(*9938.0)122sin(0239.58)122cos(*9355.492690.73877.638~x x x x x x y t ππππ-+-++=价格随时间呈周期性变化，每过一个周期价格略有上升。
这与人民经济生活水平提高分不开的。
最后，我们搜集了一些数据来佐证我们模型的价值。
根据实际情况，制定合理的预定策略需从经济利益最大化和社会声誉最好两方面来考虑。
社会声誉可以用定了票来登机因飞机满员而不能起飞的乘客不超过某一给定值来衡量。
则这个问题可化为经济利益最大化为单目标来求解。
我们假设每位乘客不按时前来登机的概率为p ，是否前来登机是相互独立的，则不按时前来登机的乘客数服从二项分布。
又因为订票需付一定量的定金，且在飞机起飞前48小时内取消预订会没收全部订金。
对此，我们分情况讨论。
由概率分布知识可得利润S 关于预定量限额M 的函数为由利润最大化，利用Matlab 软件求出M 的最优解，通过检验和灵敏度分析，由模型得出的机票预订限额置信度较高。
查阅资料得，此限额较符合实际情况。
最后，我们根据我们建立的模型对其进行优化。
由实际可能出现的情况增设某类旅客（学生、旅游者）的减价票，规定迟到则机票作废。
在此基础上再建立一个模型。
分别求此时飞机的参考价格和预定限额。
关键字：曲线拟合、趋势外推、周期波动、概率分布、利润最大一、问题重述航空公司对机票一般采取预定策略。
客户可以通过电话或互联网预定，这种预定具有很大的不确定性，客户很可能由于各种原因取消预定。
航空公司为了争取最大利润，一方面要争取客户，另一方面要降低因客户取消预定遭受的损失。
为此，航空公司采用一些措施。
首先，要求客户提供信用卡号，预付一定数量的定金。
如果客户在飞机起飞前48小时内取消预定，定金将如数退还，否则定金将被没收。
其次，航空公司采用变动价格，根据市场需求情况调整机票价格，一般来说旺季机票价格比较高，淡季价格略低。
（1）建立机票预定价格的数学模型，并对以下实例作分析。
表1给出了某某航空公司某条航线2005年10月～2010年3月期间，每月经济舱机票平均价格(单位:元)，用模型说明价格变动的规律，并据此估计未来一年内的经济舱机票的参考价格。
收集更多的数据来佐证模型的价值（要求注明出处）。
（2）在旺季，航空公司往往可以预定出超过实际座位数的机票数, 以减低客户取消预定时航空公司的损失。
但这样做可能会带来新的风险, 万一届时有超出座位数的客户出现, 航空公司要通过升级机票档次或赔款来解决纠纷, 为此航空公司还会承担信誉风险. 某条航线就一中机型，有头等舱20座，经济舱300座，每天一班航班。
为该航线制定合理的预定策略, 并论证理由。
表１某航空公司某条航线2005年10月～2010年3月经济舱月平均价格(单位:二、背景航空公司订座的特点是：旅客可以在飞机起飞前一百多天里向购票处或航空公司订票，由于离飞机起飞时间较长，以及旅客行为的不确定性，往往航空公司会售出超过实际座位数的票数，即超售。
在订座决策中，航空公司面临2种风险：空座风险和超售风险，以航班客座容量为临界点，如果超售的结果（即实际到达机场的已预定座位的旅客人数）少于航班容量，会造成座位剩余，这就是空座风险；如果决策结果多于航班容量，造成有些旅客被拒绝登机，从而带来超售风险，合理的超售可以减少空位损失，但要确定合理的超售数额，却是十分困难的。
超售是航空公司收益管理的一项重要内容，这是解决所谓的No Show问题，提高航空公司效益的重要技术手段，同时也有许多理论问题甚至法律问题需要研究。
在实际航运中，航空公司发现经常发生已购票的乘客没有乘机（叫做No Show），使得一些座位空着虚飞，而一些想旅行的和一些有急事临时到达机场（叫做Co Show）的旅客却因购不到票而不能成行，这不仅浪费了航空公司的生产资源，同时也浪费了社会资源。
根据对历史销售和离港数据进行分析，可以预测旅客的No Show率和Co Show率，然后确定超售率进行机票销售。
这样做不但可以充分利用热线航班的座位，提高航空公司的收益，同时也使得其他想乘机旅行人员能够成行，可以说是各方都受益的好事。
德国汉莎航空公司在超售方面所做的工作非常出色，每年能为公司多创造5%的收益。
因此对超售的研究一直为航空公司所重视。
但超售预测不可能十分准确，因此可能发生所谓的DB（Denied Boarding）问题，即实No Show率低于Co Show率时，便发生了已购票并来乘机的旅客上不了飞机的问题。
这常常引起旅客的不满甚至航空公司与旅客的冲突，航空公司采取补偿DB旅客以化解矛盾的做法，但这样的补偿常常是机票价格的两倍以上。
发生DB，航空公司的成本迅速上升，这也是航空公司不愿意看到的。
因此超售是一把双刃剑，如何解决好No Show率和DB这一对矛盾，一直是航空公司和学术界都十分关心的问题。
目前研究的较多的是机票超售模型是静态的。
对于一个航班从开始销售之日到飞机起飞时，超售的数量保持不变。
这样将完全忽略机票实际销售情况。
超售实际上完全溶于机票销售过程中。
在机票销售过程中，航空公司的订座系统一面接受旅客的订票，一面接受旅客的取消订票或是改签其他航班。
显然机票的预定速度应大大超过取消速率，在飞机起飞前某时刻将达到或接近飞机的容量，此时航空公司就将面临超售问题。
一般来说，航空公司可以控制订票的流量，当已定机票超过理想的数量时，就不再接受订票的请求。
但是由于订票需求的不确定性，目前被拒绝的需求未来不再出现，而未来的取消还继续发生，则到飞机起飞时将产生空座，造成航班收益下降。
因此机票的超售是一个动态的决策过程。
这一过程依赖于当前的销售状态，未来的需求分布，机票取消分布和起飞时的NO-SHOW率、三、符号说明四、模型假设1、各位乘客是否按时前来登机是相互独立的（这适用于单独行动的商人、游客）。
2、每趟飞机预定票数量都大于飞机的实际座位数。
3、飞行费用与乘客人数无关，为一个固定的常数。
4、头等舱与经济舱顾客未按时取消订票的概率相等五、问题分析与建立模型（1）方法一：分析：由所给数据，用Matlab软件来拟合函数，再根据函数来预测经济舱机票的参考价格。
记2005年10月份为x=1，则05年11月份为x=2，以此类推。
即：2005年10月为第一个月份，如：x=10，则表示06年7月拟合结果如下：由求解报告得知：数学模型为：f(x)=a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)+a2*exp(-((x-b2)/c2)^2)+a3*exp(-((x-b3)/c3)^2)+a 4*exp(-((x-b4)/c4)^2)+a5*exp(-((x-b5)/c5)^2) + a6*exp(-((x-b6)/c6)^2)a1= (-4931, 5447)b1= , 45)c1= ,a2= +006, +006)b2= (-2804, 2823)c2= +004, +004)a3=1400 +004, +004)b3= ,c3= ,a4=1255 +005, +005)b4= +010, +010)c4=+004 +012, +012)a5=+008 +013, +013)b5=162 +005, +005)c5= +005, +005)a6=-1285 +004, +004)b6= ,c6= ,Goodness of fit:SSE: +005R-square:Adjusted R-square:RMSE:置信度为：95%。
帮助我们解决实际问题。
方法二：分析：我们产用最小二乘法中趋势外推法的周期波动模型来解题。
季节型时间数列以日历时间为波动周期；循环型时间数列波动周期往往大于一年，且不稳定。
尽管两者有所区别，但都呈周期性波动，因此宜以正弦曲线为基础，经修正波幅与周期拟合波动规律。
正弦曲线预测模型的一般形式为：只要对已知数据按上述各项要求加工填入以后，求解六元一次方程组，得x x 50~，代入预测方程即可开始预测。
用Matlab 软件求出此问题中模型的系数。
具体程序见附录一解得系数 4632.09938.00239.589355.492690.73877.638543210-==-====x xxx xx则未来一年内的经济舱机票的参考价格可按如下模型计算用此模型我们得出的模型曲线如下 （红色折线为实际票价走势，蓝色为通过计算得到的模型曲线）用Matlab 软件根据模型给出未来一年内的经济舱机票的参考价格方便。
而方法二所求的的模型简洁明了，便于计算，且置信度较高。
所以舍弃方法一所求模型。
综上所述：机票预定价格的数学模型为：（2）分析：开展预定票业务时，对于一次航班，若公司限制预定票的数量恰好等于飞机的容量，那么由于总会有一些定了机票的乘客很可能由于各种原因取消预定不按时前来登机，致使飞机因不满员飞行而利润降低，甚至亏本。