九年级数学导学案4

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2023年苏科版九年级数学下册第六章《探索三角形相似的条件(4) 》导学案

新苏科版九年级数学下册第六章《探索三角形相似的条件(4) 》导学案学习重点、难点：会用三角形相似的条件,解决有关问题，有条理的推理能力.教学流程：一、复习导入、激发兴趣：探索两个三角形相似，可以从哪几个方面考虑找条件？两个全等三角形一定相似吗？如果相似，相似比是多少？两个相似三角形一定全等吗？对照判定两个三角形全等的方法，猜想判定两个三角形相似还可能有什么方法？二、自主探究、合作交流已知△ABC （1）画△A ′B ′C ，使2AB BC CA A B B C C A ===''''''. （2）比较∠A 与∠A '的大小. 由此，能判断△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？为什么？设AB BC CA k A B B C C A ===''''''，改变k 值的大小，再试一试，上述结论是否改变？如图，在△ABC 与△A ′B ′C 中，如果AB BC CA A B B C C A ==''''''，那么△ABC ∽△A ′B ′C ′ 你能说明这两个三角形相似的理由吗？归纳：的两个三角形相似.几何语言：三、学以致用、巩固新知活动1、根据下列条件，判断△ABC 与△A ′B ′C 是否相似，并说明理由。

(1)∠A=100°，AB=5cm ，AC=10cm ，∠A′=100°，A ′B ′=8cm ，A ′C ′=12c m ；(2) AB=4cm ，BC=6cm ，AC=8cm ，A ′B ′=12cm ，B ′C =18cm ，A ′C ′=24cm学习目标： 1．类比三角形全等（边边边）的判定探索三角形相似的条件(3) ，并运用条件解决有关问题；C'A'B'C A C'A'B'C A活动2、如图：在四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点F ，点E 在BD 上，且ADAC ED BC AE AB ==. （1）∠1与∠2相等吗？为什么？（2）判断△ABE 与△ACD 是否相似，并说明理由.四、课堂检测1．图①~③中的各对三角形是否相似？为什么？2434.536A'B'B C AC' ② ③2.△ABC 和△DEF 满足下列条件，其中使△ABC 和△DEF 不相似的是（）A ．∠A ＝∠D ＝45 o 38`，∠C ＝26 o 22`，∠E ＝108 oB ．AB ＝1，AC ＝1.5，BC ＝2，DE ＝12，EF ＝8，DF ＝16C ．BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，DE ＝ a ，EF ＝ b ，DF ＝ cD ．AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠A ＝∠D ＝40 o ，3.一个三角形3边长分别为6㎝、9㎝、7.5㎝，另一个三角形3边的长分别为12㎝、10㎝、8㎝. 这两个三角形相似吗？为什么？4.在边长为1的正方形网格中有A 、B 、C 、D 、E 五个点，问△ABC 与△ADE 是否相似？为什么？由此，你还能找出图中相似的三角形吗？若能，请找出来，并说明理由。

一元二次方程应用题利润问题

一元二次方程应用题利润问题XXX九年级数学导学案课题：一元二次方程利润问题授课时间：课型：新授课主备人：XXX审核：数学组教学目标：1.学生能够根据利润问题中蕴含的基本等量关系，列出一元二次方程。

2.学生能够运用一元二次方程解决实际问题，并理解方程的模型思想和解题方法。

3.学生能够在小组合作研究中，培养积极思考、团结合作精神和团结合作的意识。

教学重点：列一元二次方程解利润问题应用题。

教学难点：发现利润问题中的等量关系，将实际问题提炼成数学问题。

教学过程：一）交流预一、探索规律问题1、某商品每件进价10元，售价15元，可得利润5元。

1）若涨价1元，则售价16元，利润6元。

2）若涨价2元，则售价17元，利润7元。

3）若涨价X元，则售价15+X元，利润5+X元。

4）若降价1元，则售价14元，利润4元。

5）若降价2元，则售价13元，利润3元。

6）若降价X元，则售价15-X元，利润5-X元。

小组总结：一件商品的利润=售价-进价。

问题II、某商品原来每天可销售100件，后来进行价格调整。

1、市场调查发现，该商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件。

1）如果降价2元，则多卖4件，每天销售量为104件。

2）如果降价3元，则多卖6件，每天销售量为106件。

3）如果降价x元，则多卖2x件，每天销售量为100+2x 件。

2、市场调查发现，该商品每涨价3元，商场平均每天可少销售6件。

1）如果涨价1元，则少卖2件，每天销售量为98件。

1）如果涨价4元，则少卖8件，每天销售量为92件。

2）如果涨价6元，则少卖12件，每天销售量为88件。

3）如果涨价x元，则少卖2x件，每天销售量为100-2x 件。

小组总结：价格调整后商品的销售量=100+2x-2x=100.二）确定目标本节课的目标是研究如何列一元二次方程解决利润问题。

三）分组合作1、某品牌服装每件进价a元，售价b元，降价x元后则每件利润为c元。

2、商场销售某品牌服装，每天售出a件。

人教版九年级上册数学全册导学案

人教版九年级上册数学全册导学案《21.1一元二次方程》导学案 NO ：01班级_______姓名_______小组_______评价_______一、学习目标1、认识一元二次方程及根的概念；2、掌握一元二次方程的一般形式，并会将任何一个一元二次方程化成一般形式。

二、自主学习１、一元二次方程的概念（1）阅读教材引例，在练习本上自己按题意列出方程并整理，写出最后的方程是；说一说这个方程是元次方程。

(2)用类似的方法研究问题1、问题2，经整理后的两个方程分别是；；它们都是元次方程。

(3)归纳总结：含有个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程叫做一元二次方程。

说一说一元二次方程有哪些特点？（与同学认真交流）2、一元二次方程的一般形式阅读教材：一元二次方程的一般形式（抄写三遍）。

说一说哪一项是二次项？系数是多少？有什么要求？哪一项是一次项？一次项系数是多少？哪一项是常数项？（与同学认真交流课堂展示）3、一元二次方程的根阅读教材，说一说什么叫一元二次方程的根？它有什么特点？（与同学认真交流。

）自学检测：1、若关于x 的方程023)1(=---x x m n是一元二次方程，则m ≠ _，n =______；2、方程1)12)(3(-=+-x x x 写成一般式是；二次项是 ____；一次项系数是。

三、合作探究1、下列方程中，是一元二次方程的有①2x=－2 ②32=x ③2y 2－3y+1=0④x －3y=4⑤11=-x x⑥5x 2=x 2、根不为x ＝-2的方程是（）A 、022=+x xB 、5x+10＝0C 、0232=+-x xD 、083=+x3、如果ax 2－x －12＝0是x 的一元二次方程，则a 的取值范围是如果（m －3）011=++-x xm 是x 的一元二次方程，则m 的取值是_________4、将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。

九年级下册数学二次函数的图象与性质(4)导学案及练习

九年级下册数学二次函数的图象与性质（4）导学案及练习[本课知识重点]1．掌握把抛物线2ax y =平移至2)(h x a y -=+k 的规律；2．会画出2)(h x a y -=+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [创新思维]由前面的知识，我们知道，函数22x y =的图象，向上平移2个单位，可以得到函数222+=x y 的图象；函数22x y =的图象，向右平移3个单位，可以得到函数2)3(2-=x y 的图象，那么函数22x y =的图象，如何平移，才能得到函数2)3(22+-=x y 的图象呢？ [实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221x y =，2)1(21-=x y ，2)1(212--=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．解列表．描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．6所示．x… -3-2 -10 12 3…221x y = (2)9 221 021 229… 2)1(21-=x y …829 221 021 2…2)1(212--=x y (6)25 0 23- -2 23-0 …它们的开口方向都向，对称轴分别为、、，顶点坐标分别为、、．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．回顾与反思二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数2)(h x a y -=+k 中k 的值；左右平移，只影响h 的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．探索你能说出函数2)(h x a y -=+k （a 、h 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．例2．把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，求b 、c 的值．分析抛物线2x y =的顶点为（0，0），只要求出抛物线c bx x y ++=2的顶点，根据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出b 、c 的值．解 c bx x y ++=2c b b bx x +-++=442224)2(22b c b x -++=．向上平移2个单位，得到24)2(22+-++=b c b x y ，再向左平移4个单位，得到24)42(22+-+++=b c b x y ，其顶点坐标是)24,42(2+---b c b ，而抛物线2x y =的顶点为（0，0），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--0240422b c b解得 ⎩⎨⎧=-=148c b探索把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，也就意味着把抛物线2x y =向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线c bx x y ++=2．那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试． [当堂课内练习]1．将抛物线1)4(22--=x y 如何平移可得到抛物线22x y = （） A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位 2．把抛物线223x y -=向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为． 3．抛物线22121x x y -+=可由抛物线221x y -=向平移个单位，再向平移个单位而得到．[本课课外作业]A 组1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．23x y -=，2)2(3+-=x y ，1)2(32-+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．2．将抛物线522++-=x x y 先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的函数关系式． 3．将抛物线23212++-=x x y 如何平移，可得到抛物线32212++-=x x y ？ B 组4．把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线532+-=x x y ，则有（）A ．b =3，c=7B ．b= -9，c= -15C ．b=3，c=3D ．b= -9，c=215．抛物线c bx x y ++-=23是由抛物线132+--=bx x y 向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，求b 、c 的值．6．将抛物线)0(2≠=a ax y 向左平移h 个单位，再向上平移k 个单位，其中h ＞0，k ＜0，求所得的抛物线的函数关系式．。

九年级数学导学案

九年级数学学科导学案学案编号： 51 编写人：李琳、吴晓梅审核人：王安民授课人：李琳、吴晓梅班级：九（1、2、3）班课题：弧长和扇形面积（2）一、学习目标：1．了解圆锥的基本概念，理解圆锥各要素与其侧面展开图之间的对应关系； 2．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，会计算圆锥的侧面积。

二、学习重、难点重点：圆锥侧面积和全面积的计算公式．难点：探索两个公式的由来．三、学习过程（一）、知识网络弧长l= 圆锥的侧面积S 侧= 扇形面积S= =（二）、自学指导在现实生活中你见过哪些锥形物体？你想了解圆锥更多的知识吗？请同学们通过阅读课本第112页，去了解圆锥的基本知识吧！试一试，完成下面的填空。

（1）．如图1，圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，其底面是一个。

我们把连接圆锥和底面的线段叫做圆锥的母线，图中的就是圆锥的母线。

圆锥的母线有条，它们都。

连接圆锥顶点与底面的线段叫圆锥的高，如图中的就是圆锥的高。

（2）．如图2，沿圆锥的一条母线将它剪开并展平，可以看到，圆锥的侧面展开图是一个，这个扇形的半径是圆锥的，扇形的弧长是圆锥底面圆的。

若设圆锥底面圆的半径是r ，圆锥母线长是l ，则扇形的半径是，扇形的弧长是，所以扇形的面积= = ，即圆锥的侧面积= ，所以圆锥的全面积= 。

（利用你手中的扇形纸片体会一下吧。

）（三）、当堂训练1．如图2，圆锥的底面周长为32米，母线长7米，则圆锥的侧面积为平方米。

2．若圆锥底面半径为3cm ，母线长5，则它的侧面展开图面积是 cm 2。

3．用一个圆心角为1200，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是。

4．圆锥的母线长为13 cm ，底面半径为5 cm ，则此圆锥的高是（） A 6cm B 8cm C 10cm D 12cm 5．圆锥的底面直径是80cm ，母线长90cm ，求它的侧面展开图的圆心角和圆锥的全面积。

【人教版】2020学年初中数学九年级上册：全套导学案

第二十二章二次函数22．1二次函数的图象和性质22．1.1二次函数结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念；能够表示简单变量之间的二次函数关系．重点：能够表示简单变量之间的二次函数关系．难点：理解二次函数的有关概念．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P28～29，自学“思考”，理解二次函数的概念及意义，完成填空．总结归纳：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a，b，c．现在我们已学过的函数有一次函数、二次函数，其表达式分别是y＝ax＋b(a，b为常数，且a≠0)、y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)1．下列函数中，是二次函数的有__A，B，C__．A．y＝(x－3)2－1B．y＝1－2x2C．y＝13(x＋2)(x－2)D．y＝(x－1)2－x22．二次函数y＝－x2＋2x中，二次项系数是__－1__，一次项系数是__2__，常数项是__0__．21.1 一元二次方程测试时间:15分钟一、选择题1.(2018广东汕头潮南期末)下列方程是一元二次方程的是( )A.ax2+bx+c=0B.3x2-2x=3(x2-2)C.x3-2x-4=0D.(x-1)2+1=02.将一元二次方程3x2=-2x+5化为一般形式后,二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )A.3、-2、5B.3、2、-5C.3、-2、-5D.3、5、-23.m是方程x2+x-1=0的根,则式子2m2+2m+2 018的值为( )A.2 016B.2 018C.2 019D.2 0204.(2018天津宝坻期末)某幼儿园准备修建一个面积为210 m2的矩形活动场地,它的长比宽多12 m,设场地的长为x m,可列方程为( )A.x(x+12)=210B.x(x-12)=210C.2x+2(x+12)=210D.2x+2(x-12)=210二、填空题5.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,则 2 019(a+b+c)= .6.已知-x+=0是关于x的一元二次方程,则k的值为.三、解答题7.把方程(3x+2)(x-3)=2x-6化成一般形式,并写出它的二次项系数,一次项系数和常数项.8.已知关于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0.(1)当m为何值时,此方程是一元一次方程?(2)当m为何值时,此方程是一元二次方程?并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.9.已知x3-a+3x-10=0和x3b-4+6x+8=0都是一元二次方程,求(-)2 018×(+)2 020的值.21.1 一元二次方程一、选择题1.答案 D A、当a=0时,该方程不是一元二次方程,故本选项错误;B、化简原方程得2x-6=0,该方程不是一元二次方程,故本选项错误;C、未知数最高次数是3,该方程不是一元二次方程,故本选项错误;D、符合一元二次方程的定义,故本选项正确.故选D.2.答案 B 3x2=-2x+5,移项得3x2+2x-5=0,则二次项系数、一次项系数、常数项分别为3、2、-5,故选B.3.答案 D ∵m是方程x2+x-1=0的根,∴m2+m-1=0,∴m2+m=1,∴2m2+2m+2 018=2(m2+m)+2 018=2×1+2 018=2 020.故选D.4.答案 B ∵场地的长为x m,它的长比宽多12 m,∴宽为(x-12)m,根据题意得x(x-12)=210,故选B.二、填空题5.答案0解析把x=1代入ax2+bx+c=0(a≠0)得a+b+c=0,所以2 019(a+b+c)=2 019×0=0.6.答案-2解析由-x+=0是关于x的一元二次方程,得k2-2=2,且1-k≥0,解得k=-2.三、解答题7.解析(3x+2)(x-3)=2x-6,3x2-9x+2x-6=2x-6,3x2-9x=0,所以它的二次项系数是3,一次项系数是-9,常数项是0.8.解析(1)由题意,得解得m=1,即m=1时,方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0是一元一次方程.(2)由题意得m2-1≠0,解得m≠±1,即m≠±1时,方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0是一元二次方程. 此时方程的二次项系数是m2-1,一次项系数是-(m+1),常数项是m.9.解析由题意得3-a=2,3b-4=2,解得a=1,b=2.则(-)2 018×(+)2 020=[(+)(-)]2 018(+)2=(a-b)2 018(+)2,把a=1,b=2代入,得原式=(1-2)2 018(1+)2=(1+)2=3+2.21.2.1 配方法测试时间:15分钟一、选择题1.一元二次方程(x-2 019)2+2 018=0的根的情况是( )A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.无实数根2.方程2(x-3)2=8的根是( )A.x1=2,x2=-2B.x1=5,x2=1C.x1=-5,x2=-1D.x1=-5,x2=13.(2018辽宁大连沙河口期末)用配方法解方程x2-x-1=0时,应将其变形为( )A.=B.=C.=0D.=4.一元二次方程x2-px+1=0配方后为(x-q)2=15,那么一元二次方程x2-px-1=0配方后为( )A.(x-4)2=17B.(x+4)2=15C.(x+4)2=17D.(x-4)2=17或(x+4)2=17二、填空题5.小明设计了一个如图所示的实数运算程序,若输出的数为5,则输入的数x为.6.已知方程x2+4x+n=0配方后为(x+m)2=3,则(n-m)2 019= .三、解答题7.解方程:(1)(2x-3)2=25;(2)x2-4x-3=0.(配方法)8.用配方法解下列方程:(1)x2+12x-15=0;(2)3x2-5x=2;(3)x2-x-4=0.21.2.1 配方法一、选择题1.答案 D 由原方程得(x-2 019)2=-2 018.∵(x-2 019)2≥0,-2 018<0,∴该方程无解.故选D.2.答案 B 由原方程,得(x-3)2=4,则x-3=±2,解得x1=5,x2=1.故选B.3.答案 D ∵x2-x-1=0,∴x2-x=1,∴x2-x+=1+,∴=.4.答案 D ∵方程x2-px+1=0配方后为(x-q)2=15,即x2-2qx+q2-15=0,∴-p=-2q,q2-15=1,解得q=4,p=8或q=-4,p=-8.当p=8时,方程为x2-8x-1=0,配方为(x-4)2=17;当p=-8时,方程为x2+8x-1=0,配方为(x+4)2=17.故选D.二、填空题5.答案±解析根据题意知x2-1=5,∴x2=5+1,∴x2=6,x=±,则输入的数x为±.6.答案-1解析由(x+m)2=3,得x2+2mx+m2-3=0,∴2m=4,m2-3=n,∴m=2,n=1,∴(n-m)2 019=-1.三、解答题7.解析(1)2x-3=±5,x1=4,x2=-1.(2)x2-4x=3,x2-4x+4=7,(x-2)2=7,x-2=±,∴x1=2+,x2=2-.8.解析(1)移项,得x2+12x=15, 配方,得x2+12x+62=15+62,即(x+6)2=51,∴x+6=±,解得x1=-6+,x2=-6-. (2)系数化为1,得x2-x=,配方,得x2-x+=+, 即=,∴x-=±,解得x1=2,x2=-.(3)移项,得x2-x=4,系数化为1,得x2-4x=16,配方,得x2-4x+(-2)2=16+(-2)2, 即(x-2)2=20,∴x-2=±2,解得x1=2+2,x2=2-2.21.2.2 公式法测试时间:15分钟一、选择题1.一元二次方程x2-=2x的解是( )A.x=B.x=C.x=D.x=2.(2018辽宁葫芦岛建昌期末)一元二次方程x2-4x+3=0的解是( )A.x=1B.x1=-1,x2=-3C.x=3D.x1=1,x2=33.(2018广东汕头潮南期末)下列的一元二次方程中,有实数根的是( )A.x2-x+1=0B.x2=-xC.x2-2x+4=0D.(x-2)2+1=04.(2018四川泸州泸县一模)关于x的方程x2+2x-1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )A.k≥0B.k>0C.k≥-1D.k>-1二、填空题5.一元二次方程3x2-4x-2=0的解是.6.关于x的方程kx2-4x+3=0有实数根,则实数k的取值范围是.7.等腰三角形的边长是方程x2-2x+1=0的两根,则它的周长为.三、解答题8.用公式法解方程:x2+x-3=0.9.用公式法解一元二次方程.(1)2x-1=-2x2;(2)3x2+1=2x;(3)2(x-1)2-(x+1)(1-x)=(x+2)2.10.(2018江苏宿迁泗阳期中)已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长.(1)若a=b=c,试求这个一元二次方程的根;(2)若方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由.21.2.2 公式法一、选择题1.答案 B 整理得4x2-8x-1=0,此时a=4,b=-8,c=-1,∴Δ=64+16=80,∴x==,故选B.2.答案 D a=1,b=-4,c=3,Δ=16-12=4>0,∴x=,解得x1=1,x2=3.故选D.3.答案 B 选项A,Δ=(-1)2-4×1×1=-3<0,则该方程无实数根,故本选项错误;选项B,x2+x=0,Δ=12-4×1×0=1>0,则该方程有实数根,故本选项正确;选项C,Δ=(-2)2-4×1×4=-12<0,则该方程无实数根,故本选项错误;选项D,由原方程得到(x-2)2=-1,而(x-2)2≥0,则该方程无实数根,故本选项错误.故选B.4.答案A∵方程x2+2x-1=0有两个不相等的实数根,∴k≥0,且Δ=(2)2-4×1×(-1)>0,解得k≥0.故选A.二、填空题5.答案x=解析∵a=3,b=-4,c=-2,∴Δ=b2-4ac=(-4)2-4×3×(-2)=40,∴x===. 6.答案k≤解析当k=0时,方程为-4x+3=0,此一元一次方程的解为x=;当k≠0,且Δ=16-4k×3≥0,即k≠0且k≤时,方程有两个实数根.综上所述,实数k的取值范围为k≤.7.答案3+1解析解方程x2-2x+1=0得x1=+1,x2=-1.∵等腰三角形的边长是方程x2-2x+1=0的两根,∴等腰三角形的三边长分别为①+1,+1,-1或②+1,-1,-1.∵+1>-1+-1,∴②不能构成三角形,∴等腰三角形的三边长分别为+1,+1,-1,∴它的周长为3+1.三、解答题8.解析∵a=1,b=1,c=-3,∴Δ=b2-4ac=12-4×1×(-3)=13>0,∴x==,∴x1=,x2=.9.解析(1)整理,得2x2+2x-1=0, a=2,b=2,c=-1,Δ=22-4×2×(-1)=12>0,x==,所以x1=,x2=.(2)整理,得3x2-2x+1=0,a=3,b=-2,c=1,Δ=(-2)2-4×3×1=0,x=,所以x1=x2=.(3)整理,得2x2-8x-3=0,a=2,b=-8,c=-3,Δ=(-8)2-4×2×(-3)=88,x==,所以x1=,x2=.10.解析(1)∵a=b=c,∴原方程为x2+x=0,∴Δ=12-4×1×0=1,∴x=,∴x1=0,x2=-1.(2)∵方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0有两个相等的实数根,∴Δ=(2b)2-4(a+c)(a-c)=4b2-4a2+4c2=0,∴a2=b2+c2.∵a、b、c分别为△ABC三边的长,∴△ABC为直角三角形.21.2.3 因式分解法测试时间:15分钟一、选择题1.(2018辽宁沈阳沈河期末)方程x2+x=0的根为( )A.x=-1B.x=0C.x1=0,x2=-1D.x1=0,x2=12.(2018四川宜宾期末)一元二次方程(x+3)(x-7)=0的两个根是( )A.x1=3,x2=-7B.x1=3,x2=7C.x1=-3,x2=7D.x1=-3,x2=-73.一元二次方程2x(3x-2)=(x-1)(3x-2)的解是( )A.x=-1B.x=C.x1=,x2=0D.x1=,x2=-14.对于方程(x-1)(x-2)=x-2,下面给出的说法不正确的是( )A.与方程x2+4=4x的解相同B.两边都除以x-2,得x-1=1,解得x=2C.方程有两个相等的实数根D.移项,因式分解得(x-2)2=0,解得x1=x2=2二、填空题5.若a2+a=0,则(a+1)2 019的值为.6.(2017安徽合肥包河一模)一元二次方程x-1=x2-1的根是.三、解答题7.(2017甘肃定西临洮期中)按要求解一元二次方程:(1)x2-10x+9=0(配方法);(2)x(x-2)+x-2=0(因式分解法).21.2.3 因式分解法一、选择题1.答案 C 因式分解,得x(x+1)=0,∴x=0或x+1=0,∴x1=0,x2=-1.故选C.2.答案 C ∵(x+3)(x-7)=0,∴x+3=0或x-7=0,∴x1=-3,x2=7,故选C.3.答案 D 移项,得2x(3x-2)-(x-1)(3x-2)=0,因式分解,得(3x-2)[2x-(x-1)]=0,解得x1=,x2=-1.故选D.4.答案 B 方程(x-1)(x-2)=x-2,移项得(x-1)(x-2)-(x-2)=0,因式分解得(x-2)(x-2)=0,解得x1=x2=2.选项A,与方程x2+4=4x的解相同,正确;选项B,当x-2=0时,方程两边不可以都除以x-2,错误;选项C,方程有两个相等的实数根,正确;选项D,移项,因式分解得(x-2)2=0,解得x1=x2=2,正确.故选B.二、填空题5.答案0或1解析∵a2+a=a(a+1)=0,∴a=0或a=-1.当a=0时,原式=1;当a=-1时,原式=0.综上,原式的值为0或1.6.答案x=0或x=1解析整理,得(x-1)-(x+1)(x-1)=0,因式分解,得(x-1)(1-x-1)=0,即-x(x-1)=0,则x=0或x=1.三、解答题7.解析(1)x2-10x+9=0,x2-10x=-9,x2-10x+=-9+,(x-5)2=16,∴x-5=4或x-5=-4,∴x1=9,x2=1.(2)x(x-2)+x-2=0,(x-2)(x+1)=0,∴x-2=0或x+1=0,∴x1=2,x2=-1.21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系测试时间:15分钟一、选择题1.(2018湖北武汉武昌月考)方程x2-6x+10=0的根的情况是( )A.两个实根之和为6B.两个实根之积为10C.没有实数根D.有两个相等的实数根2.已知关于x的一元二次方程x2+(2m-3)x+m2=0有两个不相等的实数根α,β,且α,β满足+=1,则m的值为( )A.-3B.1C.-3或1D.23.(2018江苏徐州丰县月考)下列方程中,两根之和是正数的是( )A.3x2+x-1=0B.x2-x+2=0C.3x2-5x+1=0D.2x2-5=04.(2018河南南阳淅川月考)已知m,n是方程x2+2x-1=0的两根,则代数式的值为( )A.9B.C.3D.±二、填空题5.(2018四川宜宾模拟)已知x1,x2是关于x的方程x2+ax-2b=0的两实数根,且x1+x2=-2,x1·x2=1,则b a的值是.6.(2018湖北武汉黄陂月考)若一元二次方程x2-(m2-7)x+m=0的两根之和为2,则m= .三、解答题7.已知x1、x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根,求下列代数式的值.(1)+;(2)+;(3)(x1-1)(x2-1).8.(2017江苏无锡宜兴期中)已知关于x的方程x2-(2k+1)x+k2+1=0.(1)若方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围;(2)若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长,且k=2,求该矩形的对角线的长.*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系一、选择题1.答案 C 假设方程有两实根x1,x2,则x1+x2=6,x1·x2=10,此时选项A、B都正确,与一个正确答案矛盾;又知Δ=(-6)2-4×10=-4<0,∴该方程无实数根,故选C.2.答案 A 由根与系数的关系得α+β=3-2m,αβ=m2,∵+=1,∴=1,∴=1,∴m2+2m-3=0,(m+3)(m-1)=0,∴m=-3或m=1.把m=-3代入方程得x2-9x+9=0,Δ=(-9)2-4×1×9>0,此时方程有两个不相等的实数根;把m=1代入方程得x2-x+1=0,Δ=(-1)2-4×1×1<0,此时方程无解,∴m=1舍去.故选A.3.答案 C 选项A,∵Δ=12-4×3×(-1)=13>0,∴该方程有两个不相等的实数根,易知两根之和为-,选项A不符合题意;选项B,∵Δ=(-1)2-4×1×2=-7<0,∴该方程没有实数根,选项B不符合题意;选项C,∵Δ=(-5)2-4×3×1=13>0,∴该方程有两个不相等的实数根,易知两根之和为,选项C符合题意;选项D,∵Δ=02-4×2×(-5)=40>0,∴该方程有两个不相等的实数根,易知两根之和为0,选项D不符合题意.故选C.4.答案 C ∵m,n是方程x2+2x-1=0的两根,∴m+n=-2,mn=-1,∴===3.故选C.二、填空题5.答案解析∵x1,x2是关于x的方程x2+ax-2b=0的两实数根,x1+x2=-2,x1·x2=1,∴x1+x2=-a=-2,x1·x2=-2b=1,解得a=2,b=-,∴b a==.6.答案-3解析∵一元二次方程x2-(m2-7)x+m=0的两根之和为2,∴m2-7=2,解得m=3或m=-3.当m=3时,方程为x2-2x+3=0,此时Δ=(-2)2-4×1×3=-8<0,则方程无实数根,不合题意;当m=-3时,方程为x2-2x-3=0,此时Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16>0,则方程有两个不相等的实数根.综三、解答题7.解析∵x1、x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根,∴x1+x2=-4,x1x2=2.(1)+===-2.(2)+=(x1+x2)2-2x1x2=16-4=12.(3)(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=2-(-4)+1=7.8.解析(1)∵方程x2-(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根,∴Δ=[-(2k+1)]2-4×1×(k2+1)=4k-3>0,∴k>.(2)当k=2时,原方程为x2-5x+5=0,设方程的两根为m、n,∴m+n=5,mn=5,∴==,即该矩形的对角线的长为.21.3 实际问题与一元二次方程测试时间:25分钟一、选择题1.一个矩形的长比宽多3 cm,面积是25 cm2,求这个矩形的长和宽.设矩形的宽为x cm,则下面所列方程正确的是( )A.x2-3x+25=0B.x2-3x-25=0C.x2+3x-25=0D.x2+3x-50=02.(2018河北廊坊霸州期中)为改善居民住房条件,某市计划用未来两年的时间,将城镇居民的住房面积由现在的人均约12 m2提高到14.52 m2,若每年的年增长率相同,则年增长率为A.9%B.10%C.11%D.12%3.某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格售出,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜降价0.1元/千克,每天可多售出40千克.另外,每天的房租等固定成本共24元,为了减少库存,该经营户要想每天盈利200元,应将每千克小型西瓜的售价降低元.( )A.0.2或0.3B.0.4C.0.3D.0.2二、填空题4.(2017海南临高模拟)一个两位数,十位上的数字比个位上的数字大7,且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数,这个两位数是.5.把长为40 cm,宽为30 cm的长方形硬纸板剪掉2个小正方形和2个小长方形(阴影部分即剪掉的部分),把剩余部分折成一个有盖的长方体盒子,记剪掉的小正方形的边长为x cm,纸板的厚度忽略不计,若折成的长方体盒子表面积为950 cm2,则此时长方体盒子的体积为.三、解答题6.(2017湖南永州冷水滩一模)中国古代数学家杨辉所著的《田亩比类乘除捷法》中有这样一道题:“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长及阔各几何?”意思是:一块矩形田地的面积为864平方步,只知道它的长与宽共60步,问它的长和宽各多少步?7.每年暑假都有许多驴友骑自行车丈量中国最美公路川藏线.A、B两个驴友团队于同一天出发前往目的地拉萨.A队走317国道,结果30天到达.B队走318国道,总路程比A队少200 km,且路况更好,平均每天比A队多骑行20 km,结果B队比A队提前8天到达拉萨.(1)求318国道全程为多少km;(2)骑行过程中,B队每人每天平均花费150元.A队开始有3个人同行,计划每人每天花费110元,后来又有几个人加入队伍,实际每增加1人,每人每天的平均花费就减少5元.若最终A、B两队骑行的人数相同(均不超过10人),两队共花费36 900元,求两个驴友团队各有多少人.8.(2018江苏南京期末)商场某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元,为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调査发现,该商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件.(1)若某天该商品每件降价3元,当天可获利多少元?(2)设每件商品降价x元,则商场日销售量增加件,每件商品盈利元(用含x的代数式表示);(3)每件商品降价多少元时,商场日盈利可达到2 000元?9.如图,某旅游景点要在长、宽分别为20米、12米的矩形水池的正中央建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭,观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行且宽度相等的道路,已知道路的宽为正方形边长的.若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的,求道路的宽.21.3 实际问题与一元二次方程一、选择题1.答案 C 由题意知该矩形的长为(x+3)cm,∴x(x+3)=25,整理得x2+3x-25=0,故选C.2.答案 B 设年增长率为x,根据题意列方程得12(1+x)2=14.52,解得x1=0.1,x2=-2.1(不符合题意,舍去),所以年增长率为0.1,即10%,故选B.3.答案C设应将每千克小型西瓜的售价降低x元.根据题意,得(3-2-x)-24=200.解这个方程,得x1=0.2,x2=0.3.∵200+>200+,∴为了减少库存,该经营户要想每天盈利200元,应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元.故选C.二、填空题4.答案81解析设个位上的数字为x,则十位上的数字为x+7,依题意,得(x+7+x)2=10(x+7)+x,整理得4x2+17x-21=0,解得x1=1,x2=-(舍去),所以x=1,x+7=8,即这个两位数是81.5.答案 1 500 cm3解析如图,EF=(30-2x)cm,GH=(20-x)cm.根据题意,得40×30-2x2-2×20x=950,解得x1=5,x2=-25(不合题意,舍去),所以长方体盒子的体积为x(30-2x)(20-x)=5×20×15=1 500(cm3).三、解答题6.解析设矩形田地的长为x(x≥30)步,则宽为(60-x)步,根据题意得x(60-x)=864,整理得x2-60x+864=0,解得x=36或x=24(舍去),∴60-x=24.答:该矩形田地的长为36步,宽为24步.7.解析(1)设318国道全程为x km,则317国道全程为(x+200)km,由题意得-=20,解得x=2 200.答:318国道全程为2 200 km.(2)设后来加入A队的有a人,则两队骑行的人数均为(3+a)人,而A队实际每天的平均花费为(110-5a)元,由题意,得30(3+a)(110-5a)+(3+a)×150×(30-8)=36 900,解得a1=3,a2=38.∴两个队的人数为3+3=6或3+38=41.∵两队骑行人数均不超过10,∴两个驴友团队的人数均为6.答:两个驴友团队均有6人.8.解析(1)(50-3)×(30+2×3)=1 692(元).答:若某天该商品每件降价3元,当天可获利1 692元.(2)2x;50-x.∵该商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件,∴每件商品降价x元,则商场日销售量增加2x件,每件商品盈利(50-x)元.故答案为2x;50-x.(3)根据题意,得(50-x)×(30+2x)=2 000,整理,得x2-35x+250=0,解得x1=10,x2=25,∵商场要尽快减少库存,∴x=25.答:每件商品降价25元时,商场日盈利可达到2 000元.9.解析设道路的宽为x米,则可列方程x(12-4x)+x(20-4x)+(4x)2=×20×12,即x2+4x-5=0,解得x1=1,x2=-5(舍去).答:道路的宽为1米.3．半径为R的圆，半径增加x，圆的面积增加y，则y与x之间的函数关系式为y＝πx2＋2πRx(x≥0)．点拨精讲：判断二次函数关系要紧扣定义．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)探究1若y＝(b－2)x2＋4是二次函数，则__b≠2__．探究2某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个，如果超市将篮球售价定为x元(x>50)，每月销售这种篮球获利y元．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)超市计划下月销售这种篮球获利8000元，又要吸引更多的顾客，那么这种篮球的售价为多少元？解：(1)y＝－10x2＋1400x－40000(50<x<100)．(2)由题意得：－10x2＋1400x－40000＝8000，化简得x2－140x＋4800＝0，∴x1＝60，x2＝80.∵要吸引更多的顾客，∴售价应定为60元．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟) 1．如果函数y＝(k＋1)xk2＋1是y关于x的二次函数，则k的值为多少？2．设y＝y1－y2，若y1与x2成正比例，y2与1x成反比例，则y与x的函数关系是(A)A．二次函数B．一次函数C．正比例函数D．反比例函数3．已知，函数y＝(m－4)xm2－m＋2x2－3x－1是关于x的函数．(1)m为何值时，它是y关于x的一次函数？(2)m为何值时，它是y关于x的二次函数？点拨精讲：第3题的第(2)问，要分情况讨论．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2 cm，BC＝4 cm，P是BC上的一动点，动点Q仅在PC或其延长线上，且BP＝PQ，以PQ为一边作正方形PQRS，点P从B点开始沿射线BC方向运动，设BP＝x cm，正方形PQRS与矩形ABCD重叠部分面积为y cm2，试分别写出0≤x≤2和2≤x≤4时，y与x之间的函数关系式．点拨精讲：1.二次函数不要忽视二次项系数a≠0.2．有时候要根据自变量的取值范围写函数关系式．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)学习至此，请使用本课时的对应训练部分．(10分钟)22．1.2二次函数y＝ax2的图象和性质1．能够用描点法作出函数的图象，并能根据图象认识和理解其性质．2．初步建立二次函数表达式与图象之间的联系，体会数形的结合与转化，体会数学内在的美感．重点：描点法作出函数的图象．难点：根据图象认识和理解其性质．一、自学指导．(7分钟)自学：自学课本P30～31“例1”“思考”“探究”，掌握用描点法作出函数的图象，理解其性质，完成填空．(1)画函数图象的一般步骤：取值－描点－连线；(2)在同一坐标系中画出函数y＝x2，y＝12x2和y＝2x2的图象；点拨精讲：根据y≥0，可得出y有最小值，此时x＝0，所以以(0，0)为对称点，对称取点．(3)观察上述图象的特征：形状是抛物线，开口向上，图象关于y轴对称，其顶点坐标是(0，0)，其顶点是最低点(最高点或最低点)；(4)找出上述三条抛物线的异同：______．(5)在同一坐标系中画出函数y＝－x2，y＝－12x2和y＝－2x2的图象，找出图象的异同．点拨精讲：可从顶点、对称轴、开口方向、开口大小去比较寻找规律．总结归纳：一般地，抛物线的对称轴是y轴，顶点是(0，0)，当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点．a越大，抛物线的开口越小；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)1．教材P41习题22.1第3，4题．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)探究1填空：(1)函数y＝(－2x)2的图象形状是______，顶点坐标是______，对称轴是______，开口方向是______．(2)函数y ＝x 2，y ＝12x 2和y ＝－2x 2的图象如图所示，请指出三条抛物线的解析式．解：(1)抛物线，(0，0)，y 轴，向上；(2)根据抛物线y ＝ax 2中，a 的值来判断，在x 轴上方开口小的抛物线为y ＝x 2，开口大的为y ＝12x 2，在x 轴下方的为y ＝－2x 2. 点拨精讲：解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误．抛物线y ＝ax 2中，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下；|a|越大，开口越小．探究2 已知函数y ＝(m ＋2)xm 2＋m －4是关于x 的二次函数．(1)求满足条件的m 的值；(2)m 为何值时，抛物线有最低点？求这个最低点；当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？(3)m 为何值时，函数有最大值？最大值为多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －4＝2，m ＋2≠0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2或m ＝－3，m ≠－2.∴当m ＝2或m ＝－3时，原函数为二次函数． (2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，∴m ＋2>0，即m>－2，∴只能取m ＝2. ∵这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0，0)，∴当x>0时，y 随x 的增大而增大．(3)若函数有最大值，则抛物线开口向下，∴m ＋2<0，即m<－2，∴只能取m ＝－3.∵函数的最大值为抛物线顶点的纵坐标，其顶点坐标为(0，0)，∴m ＝－3时，函数有最大值为0.∴x>0时，y 随x 的增大而减小．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．二次函数y ＝ax 2与y ＝－ax 2的图象之间有何关系？2．已知函数y ＝ax 2经过点(－1，3)．(1)求a 的值；(2)当x<0时，y 的值随x 值的增大而变化的情况．3．二次函数y ＝－2x 2，当x 1>x 2>0，则y 1与y 2的关系是__y 1＜y 2__．4．二次函数y ＝ax 2与一次函数y ＝－ax(a ≠0)在同一坐标系中的图象大致是( B )点拨精讲：1.二次函数y＝ax2的图象的画法是列表、描点、连线，列表时一般取5～7个点，描点时可描出一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点，连线将几个点用平滑的曲线顺次连接起来，抛物线的两端要无限延伸，要“出头”；2．抛物线y＝ax2的开口大小与|a|有关，|a|越大，开口越小，|a|相等，则其形状相同．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)22．1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质(1)1．会作函数y＝ax2和y＝ax2＋k的图象，能比较它们的异同；理解a，k对二次函数图象的影响，能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．2．了解抛物线y＝ax2上下平移规律．重点：会作函数的图象．难点：能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P32～33“例2”及两个思考，理解y＝ax2＋k中a，k对二次函数图象的影响，完成填空．总结归纳：二次函数y＝ax2的图象是一条抛物线，其对称轴是y轴，顶点是(0，0)，开口方向由a的符号决定：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向__下__．当a>0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．抛物线有最__低__点，函数y有最__小__值．当a<0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．抛物线有最__高__点，函数y有最__大__值．抛物线y＝ax2＋k可由抛物线y＝ax2沿__y__轴方向平移__|k|__单位得到，当k>0时，向__上__平移；当k<0时，向__下__平移．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)1．在抛物线y ＝x 2－2上的一个点是( C )A ．(4，4)B ．(1，－4)C ．(2，2)D ．(0，4)2．抛物线y ＝x 2－16与x 轴交于B ，C 两点，顶点为A ，则△ABC 的面积为__64__．点拨精讲：与x 轴的交点的横坐标即当y 等于0时x 的值，即可求出两个交点的坐标．3．画出二次函数y ＝x 2－1，y ＝x 2，y ＝x 2＋1的图象，观察图象有哪些异同？点拨精讲：可从开口方向、对称轴、形状大小、顶点、位置去找．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)探究1 抛物线y ＝ax 2与y ＝ax 2±c 有什么关系？解：(1)抛物线y ＝ax 2±c 的形状与y ＝ax 2的形状完全相同，只是位置不同；(2)抛物线y ＝ax 2向上平移c 个单位得到抛物线y ＝ax 2＋c ；抛物线y ＝ax 2向下平移c 个单位得到抛物线y ＝ax 2－c.探究2 已知抛物线y ＝ax 2＋c 向下平移2个单位后，所得抛物线为y ＝－2x 2＋4，试求a ，c 的值．解：根据题意，得⎩⎨⎧a ＝－2，c －2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，c ＝6. 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(13分钟)1．函数y ＝ax 2－a 与y ＝ax －a(a ≠0)在同一坐标系中的图象可能是( D )2．二次函数的图象如图所示，则它的解析式为( B )A．y＝x2－4B．y＝－34x2＋3C．y＝32(2－x)2D．y＝32(x2－2)3．二次函数y＝－x2＋4图象的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，4)，当x<0，y随x的增大而增大．4．抛物线y＝ax2＋c与y＝－3x2的形状大小，开口方向都相同，且其顶点坐标是(0，5)，则其表达式为y＝－3x2＋5，它是由抛物线y＝－3x2向__上__平移__5__个单位得到的．5．将抛物线y＝－3x2＋4绕顶点旋转180°，所得抛物线的解析式为y＝3x2＋4．6．已知函数y＝ax2＋c的图象与函数y＝5x2＋1的图象关于x轴对称，则a＝__－5__，c＝__－1__．点拨精讲：1.函数的图象与性质以及抛物线上下平移规律．(可结合图象理解)2．抛物线平移多少个单位，主要看两顶点坐标，确定两顶点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长，有时也可以比较两抛物线上横坐标相同的两点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)22．1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质(2)1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2的图象．2．能正确说出y＝a(x－h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．3．掌握抛物线y＝a(x－h)2的平移规律．重点：熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2的图象．难点：能正确说出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，掌握抛物线y＝a(x－h)2的平移规律．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P 33～34“探究”与“思考”，掌握y ＝a(x －h)2与y ＝ax 2之间的关系，理解并掌握y ＝a(x －h)2的相关性质，完成填空．画函数y ＝－12x 2、y ＝－12(x ＋1)2和y ＝－12(x －1)2的图象，观察后两个函数图象与抛物线y ＝－12x 2有何关系？它们的对称轴、顶点坐标分别是什么？点拨精讲：观察图象移动过程，要特别注意特殊点(如顶点)的移动情况．总结归纳：二次函数y ＝a(x －h)2的顶点坐标为(h ，0)，对称轴为直线x ＝h ．当a>0时，在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大，抛物线有最低点，函数y 有最小值；当a<0时，在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小，抛物线有最高点，函数y 有最大值．抛物线y ＝ax 2向左平移h 个单位，即为抛物线y ＝a(x ＋h)2(h>0)；抛物线y ＝ax 2向右平移h 个单位，即为抛物线y ＝a(x －h)2(h>0)．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)1．教材P 35练习题；2．抛物线y ＝－12(x －1)2的开口向下，顶点坐标是(1，0)，对称轴是x ＝1，通过向左平移1个单位后，得到抛物线y ＝－12x 2.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)探究1在直角坐标系中画出函数y ＝12(x ＋3)2的图象． (1)指出函数图象的对称轴和顶点坐标；(2)根据图象回答，当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？当x 取何值时，y 取最大值或最小值？(3)怎样平移函数y ＝12x 2的图象得到函数y ＝12(x ＋3)2的图象？解：(1)对称轴是直线x ＝－3，顶点坐标(－3，0)；(2)当x<－3时，y 随x 的增大而减小；当x>－3时，y 随x 的的增大而增大；当x ＝－3时，y 有最小值；(3)将函数y ＝12x 2的。

(4)1.2矩形的判定和性质(1)

D BCA ODBCAODB CAO北师大版九年级上数学科导学案（4）课题：1.1 矩形的性质与判定（1）主备：审核：初三备课组班级姓名学号家长签名教学目标：1.理解掌握矩形的性质和直角三角形的性质3 2．灵活应用矩形的性质进行有关的计算一、知识回顾（可做小测）1. 菱形的边长是2 cm ，一条对角线的长是23cm,则另一条对角线的长是2. 菱形的一边与两条对角线所构成两角之比为5∶4，则它的各内角度数为_______。

2、如图，AD 是△ABC 的角平分线.DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，四边形AEDF 是菱形吗？说明你的理由。

（写在上面空白处）二．预习交流（课前完成）阅读第11—13页，回答： 1. 定义：有一个角______的平行四边形是矩形.数学语言表示:∵在□ABCD 中，∠A=______∴□ABCD 是矩形2.矩形性质：(1)具有平行四边形的所有性质：a b c 等 (2)边（3)角：对角邻角（4）对角线： (5)矩形还具有对称性：是___ 对称图形，它有___ 条对称轴；又是___ 对称图形，它的对称中心是 .3.已知：如图，在矩形ABCD 中，∠ABC=90°对角线AC 与BD 相较于点O. 求证：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DBA=90°；（2）AC=BD 证明：小结：定理：1.矩形的四个角都是直角。

2.矩形的对角线相等。

三．互助探究（先各自独立完成，再师友互助）1.P12）B A O EDC BAD BCA OEDCBA2.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相较于O 点,已知∠AOD=120°，AB=2.5，求这个矩形对角线的长。

四．分层提高1、已知：如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相较于点O ，AB=6，OA=4. 求BD 与AD 的长。

2、一个矩形的对角线的长为6，对角线与一边的夹角是45°，求这个矩形的各边长。

(共24份)北京课改版九年级数学上册(全册)精品导学案汇总

（共24套）北京课改版九年级数学上册（全册）精品导学案汇总含本书所有精品导学案及学习规律，已编辑好，可直接打印19.1 比例线段名师导学典例分析例1 图19－1－1所示,A(0,－2),B(－2,1),C(3,2).(1)求出AB 、BC 、AC 的长；(2)把上述三个点的横坐标、纵坐标都乘2,得到A'、B'、C'的坐标,求A'B',B'C'、A'C'的长；(3)这些线段成比例吗?思路分析：应用坐标系,利用勾股定理可以求出这些线段的长.解：(1)543,2615,1332222222=+==+==+=AC BC AB .(2)A'(0,－4),B'(－4,2),C'(6,4).1321345264''22=⨯==+=B A ,262264104201''22=⨯==+=C B ,1086''22=+=C A .(3)由21'',21'',2113213''====C A AC C B BC B A AB ,所以''''''C A AC C B BC B A AB ==,故这些线段成比例. 例2 已知dc b a =(其中a≠b,c≠d). 那么d c d c b a b a -+=-+成立吗?为什么? 思路分析：方法一：因为题目中涉及a+b,a －b,c+d,c －d 等这样的式子,所以应考虑合比性质；方法二：可设一个辅助参数进行等量代换,然后进一步验证.解：成立.方法一：因为d c b a =,所以dd c b b a d d c b b a -=-+=+,. 两式相除得：dc d c b a b a -+=-+. 方法二：令k d c b a ==,则a=bk,c=dk,代入欲求证的式子中,左边11-+=-+=-+=k k b bk b bk b a b a ,右边11-+=-+=-+=k k d dk d dk d c d c ,左边=右边,所以d c d c b a b a -+=-+. 突破易错☆挑战零失误规律总结善于总结★触类旁通1 方法点拨：解决这类题的一般思路是由已知条件求出有关线段的长,然后再进行线段比的求解.明确线段的比的概念是解决这类题的关键.变式训练：如果a,b,c,d 是成比例线段,a=2,b=3,c=4,则第四比例线段d=________.解：由题意有d c b a =,即d432=,得d=6. 2 方法点拨：在解决涉及“a ±b”“c ±d”式子的相关题目时,常考虑到合比性质,另外,在比例的有关题目中,常设一个辅助参数k 进行代换,可使原本复杂的题目相对简单化,其中k 起到了桥梁的作用.19.2 黄金分割名师导学典例分析例1 已知线段MN=l,在MN 上有一点A,如果253-=AN ,试判断A 是不是MN 的黄金分割点.思路分析：要判断A 是不是MN 的黄金分割点.,由于MN=1,因而,只要计算出MA 的长即可,若215-=MA ,A 点就是黄金分割点,否则就不是. 解析：因为253-=AN ,MN=l, 所以MA=MN －AN=2152531-=--. 所以A 点是MN 的黄金分割点.例2 如图19－2－2所示,在△ABC 中,AB=AC=2,15-=BC ,∠A=36°,BD 平分∠ABC,交AC 于点D,试说明点D 是线段AC 的黄金分割点.思路分析：本题可先判别AD=BD=BC=15-,再根据黄金分割的概念确定215-=AC AD 这个特殊的结论,即可说明点D 是AC 的黄金分割点.解：在△ABC 中,∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°,∵BD 平分∠ABC,∴∠1=∠2=36°,∴∠1=∠A,∴AD=BD,∴∠BDC=∠1+∠A=72°,∴∠BDC=∠C,∴BC=BD=AD=15-,∴215-=AC AD , ∴点D 是线段AC 的黄金分割点.变式训练：如图19－2－3所示,矩形ABCD 内有一个AEFD,且BCAB EB BC =.问点E 是线段AB 的黄金分割点吗?思路分析:仍依据黄金分割点的定义来解决,通过计算可知215-=AB BC ,而BC=AD=AE,即215-=AB AE ,显然点E 是线段AB 的黄金分割点. 突破易错☆挑战零失误规律总结善于总结★触类旁通1 方法点拨：判断一个点是不是已知线段的黄金分割点,可依据定义判断,只要满足相应的比例式就可确定其是黄金分割点；另外,也可用较长线段与总线段进行求比,若结果为215-,也可确定其为黄金分割点.2 方法点拨：对于探索结论正确性的题目,一般都是从条件出发,根据数形结合的思想方法,结合图形的性质,用代数方法去论证.另外,本例中的三角形称为黄金三角形,即顶角为36°的等腰三角形叫做黄金三角形. 该矩形中AB AE (即ABBC )是黄金比,也就是说,矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比,我们把这样的矩形称之为黄金矩形.19.3 平行线分三角形两边成比例名师导学典例分析例1 已知：如图19－3－4,AB//CD,∠EFB=∠ABC,AB=2,CD=4,则EF 的长是多少?思路分析：尽管题目中给出了AB//CD 的条件,但不能直接运用相关的定理,因为它们分布在不同的三角形中,因而自然联想到在它们的中间作一条和它们都平行的辅助线,类似于桥梁的作用,这样便可解决问题.解：过点E 作EM//AB,.·.∠ABC=∠EMF,由已知∠ABC=∠EFB,∴∠EMF=∠EFM,∴EF=EM.∵AB//CD,∴1224===AB DC AE CE ,∴32=AC CE .∵AB EM AC CE =,∴232EM =,34=EM , 则34=EF .例2 如图19－3－5所示,△ABC 中,D 为BC 的中点,延长AD 至E,延长AB 交CE 于点P ,若AD=2DE,试说明AP 与AB 之间的数量关系.思路分析:过点B 作BK ∥PC,交AE 于点K,则可得ABAP AK AE =.又BD=DC,∴DK=DE,再由AD=2DE,∴AE ：AK=3,从而进一步得出结论.另外还可以作以下的平行线,同样可得出结论,如：过D 点作DG ∥PC 交即于点G,还可取CP 的中点M,联结DM,进一步得出结论,这里只对第一种作辅助线的方法进行详细解答.解：AP=3AB.理由：过点B 作BK ∥PC,交AE 于点K,∴AE ：AK=AP ：AB,由已知BD=DC,∴DK ：DE.又∵AD=2DE,∴AE ：AK=3,∴AP ：AB=3,即AP=3AB.规律总结善于总结★触类旁通1 方法点拨：题目中涉及三角形中的平行线段,因此应考虑到利用“平行线分线段成比例”定理来求解.2 方法点拨：利用平行线分线段成比例定理解题时,应注意利用特殊点,如中点、垂足等.本例中较多的辅助线作法是利用D 为BC 中点而作平行线,这也是作辅助线常用到的规律.19.4 相似多边形名师导学典例分析例1 下列每组图形形状相同,它们的对应角有怎样的关系?对应边呢?(1)正△ABC 与正△DEF ；(2)正方形ABCD 与正方形EFGH.思路分析：相似多边形的本质特征有两点：一是对应角相等；二是对应边成比例,本题可紧扣这两点解答,对于第(1)小题每个对应角均为60°,对于第(2)小题每个对应角均为90°,当然这两组图形的对应边也均成比例.解：(1)由于正三角形每个角都等于60°,所以∠A=∠D=60°,∠B=∠E=60°,∠C=∠F=60°；由于正三角形三边相等,所以FDCA EF BC DE AB ==. (2)由于正方形的每个角都是直角,所以∠A=∠E=90°,∠B=∠F=90°,∠C=∠G=90°,∠D=∠H =90°；由于正方形四边相等,所以HE DA GH CD FG BC EF AB ===. 例2 写出下列各组相似三角形对应边的比例式.(1)在图19－4－4①中,已知：△ADE ～△ABC,且AD 与AB 是对应边.(2)在图19－4－4②中,已知：△ABC ～△AED,∠B=∠AED.思路分析：要写出两个相似三角形的对应边的比例式,首先要确定两个相似三角形的对应边.因为相似三角形是全等三角形的推广,所以要确定两个相似三角形的各组对应边,可以参照确定全等三角形对应边的方法,从确定这两个相似三角形对应的顶点出发.解：(1)已知△ADE ～△ABC,且AD 和AB 是对应边,它们所对的顶点E 和C 为对应点,而A 是两个三角形的公共顶点,∠BAC 为公共角,所以两个三角形另外两组对应边为DE 和,BC,EA 和CA,得CAEA BC DE AB AD ==. (2)已知△ABC ～△AED,且∠B=∠AED,A 为公共顶点,另一对对应顶点为D 和C,三组对应边分别是AD 和AC,AE 和AB,DE 和CB,得CB DE AB AE AC AD ==. 例3 如图19－4－5所示,Rt △ABC 与Rt △CBD 相似,AB=4,AC=3,试求CD 的长.思路分析：本题可依据相似三角形的定义去求解,即若两个三角形相似,则对应角相等,对应边成比例；不过本题解答时注意Rt △ABC 与Rt △CBD 相似有两种情况：①△ABC ～△CBD ；②△ABC ～△CDB.解：在Rt △ABC 中,∠A=90°,∴5342222=+=+=AC AB BC . ①若△ABC ～△CBD,则CD AC BC AB =,即CD 354=,∴415453=⨯=CD .②若△ABC ～△CDB,则CD AC CD AB =,即534=CD ,∴320354=⨯=CD . ∴CD 的长为415或320. 突破易错☆挑战零失误规律总结善于总结★触类旁通1 方法点拨：相似多边形的定义既是最基本、最重要的判定方法,也是最本质、最重要的性质,即我们可以用定义来判定两个多边形是否相似,同时如果已知了两个多边形相似,那么这两个多边形的对应角相等,对应边成比例.2 方法点拨：本题中涉及的两类相似三角形是相似三角形的基本图形,解题的关键仍然是找准对应点、对应边.相似三角形常见的基本类型有：平行线型和相交线型.(1)平行线型是由两条平行线和其他直线配合构成的两个相似三角形,它的对应元素比较明显,对应边、对应角、对应顶点有同样的顺序性,对应边平行或重合.基本图形有如图19－4－6两种情况：(2)相交线型的对应元素不十分明显,对应顺序也不一致,对应边相交,它的基本图形也有两种,一种是有一个公共角,另一种是一组对顶角,如图19－4－7所示：其他类型的相似多边形可分解成这两种基本类型或转化为这两种基本类型.3 方法点拨：解决此类问题时一定要注意相似三角形中的对应元素及分类讨论的思想.在相似三角形的判定和性质的运用时,找准他们的对应点是关键.请同学们注意下面问题：当提到△ABC 与△ADE 相似”,这时对应顶点可以不一一对应：当提到“△ABC ～△ADE”时,对应点必须一一对应.19.5 相似三角形的判定名师导学典例分析例1 如图19－5－1所示,P 是Rt △ABC 斜边BC 上异于B,C 的一点,过P 点作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC 相似,满足这样条件的直线共有( )A.1条B.2条C.3条D.4条思路分析：依据相似三角形的判定定理,可知过BC 上异于B 、C 的点P ,只能作AB,AC,BC 三边的垂线,所截得的三角形必与△ABC 相似,这样的直线可作三条,故选C.答案：C例2 如图19－5－2所不,在两直角二角形中,∠ACB=∠ADC=90°,AC=3,AD=1,试求AB 的长为多少时,这两个直角三角形相似?思路分析：由已知条件可知,Rt △ABC 和Rt △ACD 中,除直角顶点C,D 外,另两组顶点不能确定对应关系,所以解答时应分类讨论.(1)△ACB ～△ADC (2)△ACB ～△CDA.解：当Rt △ACB ～Rt △ADC 时,得AC AB AD AC =,∴313AB =,∴AB=9. 当Rt △ACB ～Rt △CDA 时,得CA AB CD AC =,在Rt △ACD 中,AC=3,AD=1, ∴CD=22,∴3223AB =,∴249=AB . ∴当AB=9或249时,两直角三角形相似. 例3 如图19－5－3所示,三角形纸片ABC,∠C=90°,AB=2BC,将纸片折叠使点A 总是落在BC 边上,记为点D,EF 是折痕.问：在BC 边上是否存在一点D,使以D 、E 、F 为顶点的三角形和以D 、E 、B 为顶点的三角形相似?若存在,求出相似比；若不存在,请说明理由.思路分析：假设存在这样的点D,使以D 、E 、F 为顶点的三角形与以D,E,B 为顶点的三角形相似.因为∠EDF=∠A=30°,∠B=60°,这时∠BDE 和∠BED 中必有一个等于30°.如果这两个角中有一个能等于30°,则假设成立,即这样的点D 存在,否则这样的点D 不存在.解：不存在.理由如下：在Rt △ABC 中,∵AB=2BC,∴∠A=30°,∴∠B=90°－30°=60°.因为∠EDF=30°,如果△DEF 和△BDE 相似,则∠BDE 和∠BED 必须有一个等于30°.显然,当D 点与C 点重合的时候∠BDE 最小,此时∠BDE=60°,所以∠BDE 不可能等于30°.如果∠BED=30°,那么∠BDE=90°,则∠DEF=21(180°－30°)=75°,所以△DEF 和△BDE 不能相似. 所以,在BC 边上不存在点D,使以D,E,F 为顶点的三角形和以D,E,B 为顶点的三角形相似.突破易错☆挑战零失误规律总结善于总结★触类旁通1 方法点拨：这类题的特征是,要得到某个结论,还缺少条件,需要去补充、去完善、去探究,使得结论成立,就本题而言,解答的主要依据是相似三角形的判定.2 方法点拨：解答此类题容易出现没有分类求解而造成漏解的现象,因而在解答时应注意：(1)在两三角形相似但顶点不对应时,应注意分情况分别计算边长.(2)分类后.注意对应边或比例式不能写错.3 方法点拨：这类题若从正面不好论证,我们不妨从结论的反面出发,得出与已知条件或有关公理、定理相违背的矛盾,从而论证结论的正确性,这就是几何中常用的反证法.19.6 相似三角形的性质名师导学典例分析例1已知：如图19－6－1,矩形ABCD 中,E 、F 、K 分别是AB 、CD 、BC 的中点,AK 交EF 于G,交BF 于H.求：(1)△AEG 与矩形ABCD 的面积比；(2)GH ：AK 的值.思路分析:(1)△AEG 是直角三角形,面积为21AE ·EG.若设AE=a,EG=b,则△AEG 的面积为ab 21,而矩形ABCD 的面积为AB·BC,AB=2AE=2a,BC=2BK=4EG=4b,则可求得△AEG 与矩形ABCD 的面积比.(2)由△BKH ～△FGH,BK=2b,GF=3b,得23==BK GF HK GH .而AG=GK,因此也可以求得GH:AK 的值. 解：(1)因为四边形ABCD 是矩形,E 、F 分别是AB 、CD 的中点,所以EF ∥AD,EF ⊥AB.设AE=a,EG=b,则Rt △AEG 的面积为ab 21,AB=2a,BK=2EG=2b,所以BC=2BK=4b,矩形ABCD 的面积为8ab,所以,△AEG 与矩形ABCD 的面积比为l ：16. (2)FG=3b,BK=2b,而△BKH ～△FGH,所以23==BK GF HK GH .又AG=GK,∴103=AK GH . 例2 如图19－6－2所示,AD 是∠BAC 的角平分线,它的垂直平分线EF 和BC 的延长线交于E,垂足是F.请问：BECE AB AC =22成立吗?说明理由. 思路分析：由222)(ABAC AB AC =表示两条线段的比的平方,这一点在相似三角形的有关性质中涉及过,因此本题可从这一点入手,通过证△ACE~△BAE,使问题得到解决.解：联结AE.∵EF 是AD 的垂直平分线,∴AE=DE,∴∠ADE=∠DAE.∵∠2+∠3=∠DAE,∠l+∠B=∠ADE,又∵AD 是∠BAC 的平分线,∴∠1=∠2.∴∠B=∠3. 又∵∠BEA=∠AEC,∴△ACE ～△BAE. ∴2)(AB AC S S BAE ACE =∆∆又∵△ACE 和△BAE 是同高三角形,∴BECE S S BAE ACE =∆∆, ∴BECE AB AC =22. 规律总结善于总结★触类旁通1 方法点拨：熟练掌握有关三角形、矩形的面积公式是解决本题的关键,在进行有关计算时,常用一个辅助未知数表示边长,有助于使问题简单、明朗化.2 方法点拨：在解决三角形中有关平方的问题时,应马上联想到勾股定理和相似三角形的面积比等于相似比的平方等方面的知识,然后以此人手,进一步寻找解答的途径.19.7 应用举例名师导学典例分析例1 如图19－7－2所示,小明发现电线杆AB 的影子恰好落在土坡的坡面CD 和地面BC 上,量得CD=4米,BC=10米,CD 与地面成30°角,且此时测得1米杆的影长为2米,则电线杆的高度约为多少米(结果保留两个有效数字,73.13,41.12≈≈).思路分析：此题是一道综合性较强的实际应用题,涉及的定理有：等腰三角形判定定理的推论、勾股定理、相似三角形的性质,为了便于把这些知识点统一起来,可延长AD 、BC,相交于点E,过D 点作DF ⊥BE,F 为垂足,从而转化为直角三角形的问题,再借助于相似三角形的知识进一步求得答案.解：延长AD 、BC,相交于点E,过D 作DF ⊥BE,F 为垂足.在Rt △CDF 中,可得DF=21CD=2(米).根据勾股定理得32=CF .因为同一时刻测得1米杆的影长为2米,所以DF=2米时的影长为4米,所以BC+CF+FE=(14+23)米,设AB=x 米,由△DFE ～△ABE 得DF ：AB=EF ：EB,即2：x=4：(14+23),解得x=7+3≈8.7(米).例2 如图19－7－3所示,有一池塘,要测量AB 两端的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A 和B 的点C,联结AC 并延长至D,使CD=51CA,联结BC 并延长至E,使CE=51CB,联结ED,如果量出DE=25米,那么池塘宽为多少米?思路分析:利用相似三角形即可求出池塘宽.解：∵CB CE CA CD 51,51==, ∴51==CB CE CA CD ,又∵∠ECD=∠BCA, ∴△ECD ～△BCA,∴51==AC CD AB DE , ∴AB=5DE=5×25=125(米),即池塘宽为125米.规律总结善于总结★触类旁通1 方法点拨：该类题目一般比较综合,用到很多的知识点,为了便于统一知识点,我们常采用作辅助线的方法使之统一.另外,如何准确地把实际问题转化为数学问题,更是解决此类应用题的关键.2 方法点拨：在进行实际问题计算时,一般中间计算过程不写单位,计算中同一量的单位应统一.另外,相似三角形是实际应用的重要数学模型,这一点应引起大家的重视.20.1 二次函数名师导学典例分析例1 下列哪些式子表示y 是x 的二次函数?(1)x+y 2－1=0；②y=(x+1)(x －1)－(x －1)2； ③232xx y +=； ④x 2+3y －2=0思路分析：先将函数进行恒等变形,转化为用含x 的代数式表示y 的形式,再根据二次函数的定义进行判断.解：①y 2=－x+1,自变量x 的次数不是2,y 的次数不是1,所以①不是二次函数：将②变形为y=2x －2,自变量x 的次数不是2,所以②不是二次函数；③的右边不是整式,所以③不是二次函数；将④变形为32312+-=x y ,符合二次函数的定义,所以④是二次函数例2 将一根长20厘米的铁丝折成一个矩形,设矩形的一边长为x 厘米,矩形的面积为y 平方厘米.(1)写出y(平方厘米)与x(厘米)之间的关系式,并指出它是一个什么函数?(2)当边长x=1,2时,矩形的面积分别是多少?思路分析：(1)矩形的周长为20厘米,则长+宽=10厘米,一边长为x 厘米,则另一边长为(10－x)厘米,长×宽=面积；(2)直接把x 的值代入(1)中的关系式,便能求出y 的值.解：(1)y=x(10－x)=10x －x 2=－x 2+10x(0<x<10),它是一个二次函数；(2)当x=1时,y=－x 2+10x=－1+10=9(厘米2)；当x=2时,y=－x 2+10x=－4+10×2=16(厘米2).突破易错☆挑战零失误规律总结善于总结★触类旁通1 方法点拨：判别一个函数是否是二次函数可以从三个方面来考虑：(1)看它是否是整式,如果不是整式,则必不是二次函数；(2)当它是整式时,再看它是否是一个二次式的整式；(3)考虑其二次项系数是否为0.只有综合考虑上述三点,才可作出正确判断,当然这里的二次式应是某一个字母的二次式,而不是多个字母的二次式,如：y=x 2+3xz+z 2,不是y 关于x 、z 的二次函数.2 方法点拨：借助几何图形特征和几何计算的相关知识是解答本题的关键,通过本例还可以看出,二次函数在实际问题中是广泛存在的,因而把握二次函数的意义,可以帮助解决许多实际问题.20.3 二次函数解析式的确定名师导学典例分析例1 如图20－3－1所示,已知二次函数y=ax 2－4a 的图象的顶点坐标为(0,4),矩形ABCD 在抛物线与x 轴围成的图形内,顶点B 、C 在x 轴上,顶点A 、D 在抛物线上,且A 点在D 点的右侧.(1)求二次函数的表达式；(2)设点A 的坐标为(x,y),试求矩形ABCD 的周长l 与自变量x 的函数关系式；(3)周长为10的矩形ABCD 是否存在?若存在,请求出顶点A 的坐标；若不存在,请说明理由. 思路分析：对于(1)可直接代入,求出a 后进一步确定出表达式；对于(2)可利用矩形周长=(长+宽)×2这一等量关系；对于(3)是在(2)的基础上的进一步求解.解：(1)把(0,4)代入y=ax 2－4a 中得a=－1,所以表达式为y=－x 2+4；(2)当0<x<2时,l=4x+2y=4x+2(－x 2+4)=－2x 2+4x+8；(3)∵l=－2x 2+4x+8,令－2x 2+4x+8=10,解得x=1,则A 点为(1,3),故存在.例2 已知二次函数的图象与x 轴交点的横坐标分别是2和3,与y 轴交点的纵坐标是72,求这个二次函数的解析式.思路分析：本例中虽然没有直接给出图象上三个点的坐标,但根据坐标轴上点的坐标特点,可知所求函数图象经过点(2,0)、(3,0)、(0,72),然后进一步可求得表达式.解：设所求二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a≠0),由已知,函数图象经过(2,0)、(3,0)、(0,72)三点,得⎪⎩⎪⎨⎧==++=++,72,039,024c c b a c b a 解这个方程组,得a=12,b=－60,c=72,因此,所求二次函数是y=12x 2－60x+72.突破易错☆挑战零失误规律总结善于总结★触类旁通1 方法点拨：解此类题目时,若已知条件中有已知点的坐标,我们常采取的方法是直接代入,从而求出某个未知数的值,为解决后面的问题作铺垫；熟记一些几何计算的公式也是顺利解决此类题目的前提.另外,要注意充分利用已知的图形.2 方法点拨：解决此类问题时,要注意挖掘题目中的已知条件；另外,用待定系数法求二次函数的解析式与求一次函数的解析式方法相同.就本题而言,我们还可这样求解：设二次函数解析式为y=a(x －x 1)(x －x 2)=a(x －2)(x －3),把点(0,72)代入,得a=12,即y=12(x －2)(x －3) =12(x 2－5x+6)=12x 2－60x+72.20.4 二次函数的性质名师导学典例分析例1 已知,二次函数y=x 2－5x+4的图象如图20－4－2所示,(1)观察图象,回答：x 取何值时,y 值随x 值的增大而增大；x 取何值时,y 值随x 值的增大而减小?(2)如果将图中的抛物线向左平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度,试确定所得到的抛物线的表达式.(3)设(2)中的抛物线与x 轴交于A 、B 两点,试在x 轴下方的抛物线上确定一点P ,使△PAB 的面积最大.思路分析:(1)、(2)可依据图象或已知的表达式解决；在(3)中应注意P 点的可能位置,以便确定出P 点坐标.解：(1)由图20－4－2可知,抛物线的对称轴为25=x ,故当x<25时,y 值随着x 值的增大而减小,当x>25时,y 值随着x 值的增大而增大. (2)二次函数y=x 2－5x+4的表达式可变为49)25(2--=x y ,若将此抛物线向左平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度,则所得抛物线的表达式是449)325(2--+-=x y ,即425)21(2-+=x y ; (3)抛物线6425)21(22-+=-+=x x x y ,与x 轴的交点A(－3,0),B(2,0),所以AB=5. ∵抛物线y=x 2+x －6的开口向上,故抛物线的顶点是图象的最低点,∴在x 轴下方的抛物线上确定一点P ,使△PAB 的面积最大,需P 点到x 轴距离最大,此时P 点只能是此抛物线的顶点了,即P 点坐标为)425,21(--,此时△PAB 的面积为：8125425521=⨯⨯. 例2 图20－4－3所示,有长为24米的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度a 为10米),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,设花圃的宽AB=x 米,面积为S 米2.(1)求S 与x 的函数关系式；(2)如果要围成面积为45米2的花圃,AB 的长是多少米?(3)能围成面积比45米2更大的花圃吗?如果能,请求出最大面积,并说明围法；如果不能,请说明理由.思路分析：根据长方形的面积公式建立S 与x 之间的函数关系式,再利用题设要求和二次函数的相关性质去进一步求解.解：(1)∵AB=x 米,∴BC=(24－3x)米,所以S=x·(24－3x)=－3x 2+24x.(2)由题意知,－3x 2+24x=45,整理得x 2－8x+15=0,解得x l =3,x 2=5,当x 1=3时,BC=24－3×3=15>10,不合题意,舍去,当x 2=5时,BC=24－3×5=9,满足题意,故AB 的长为5米.(3)能围成面积比45米2更大的花圃.由(1)知,S=－3x 2+24x=－3(x －4)2+48∵0<24－3x≤10,∴8314<≤x . 由抛物线y=－3(x －4)2+48知,当x<4时,y 随x 的增大而增大,当x>4时,y 随x 的增大而减小. ∴当314=x 时,S=－3(x －4)2+48有最大值,且最大值为3246)4314(3482=-⨯-(米2),此时AB=314米,BC=10米,即围成长为10米,宽为314米的长方形ABCD 花圃时,其最大面积为3246米2.突破易错☆挑战零失误规律总结善于总结★触类旁通1 方法点拨：本题是一道二次函数的图象与性质的小综合题,解这类题目的关键在于准确识图,能从图形中挖掘出有价值的信息,并借助二次函数的有关性质获得解题思路.2 方法点拨：在确定函数S=－3(x －4)2+48的最大值时,应根据实际情况8314<≤x 及二次函数的相关性质来综合说明,切忌不加分析而误认为当x=4时,其最大面积为48米2.理解题意,把握其几何特征,熟知一些几何图形的面积公式,建立正确的函数关系式是解这类题的关键.另外,应当注意的是,在利用数学方法求出的结论中,必须检验该结果的合理性.20.5 二次函数的一些应用名师导学典例分析例1 在以x 为自变量的二次函数y=－x 2+(2m+2)x －(m 2+4m －3)中,m 为非负整数,它的图象与x 轴交于A 和B 两点(A 在原点左边,B 在原点右边),求此二次函数的表达式.思路分析:求此表达式关键是确定m 的值,若设图象与x 轴两交点的横坐标分别为x 1和x 2(不妨设x 1<x 2),则x 1、x 2是方程－x 2+(2m+2)x －(m 2+4m －3)=0的两个根,x 1<0,x 2>0⎩⎨⎧<>-⇒,0,04212x x ac b 从而确定m 的值. 解：根据题意可知方程－x 2+(2m+2)x －(m 2+4m －3)=0有两个异号实数根.∴⎩⎨⎧<>-,0,04212x x ac b 即⎩⎨⎧<-+>-+-+.034,0)34(4)22(222m m m m m ②① 由①解得m<2.又∵m 是非负整数∴m=0或1,分别代入②验证.∵当m=0时,m 2+4m －3=－3<0,适合；当m=1时,m 2+4m －3=2>0,不适合,应舍去.∴m=0,所求二次函数表达式为y=－x 2+2x+3.例2 某公司生产的A 种产品,它的成本是2元,售价是3元,年销售量100万件.为了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告.根据经验,每年投入的广告费是x(10万元)时,产品的年销售量将是原销售量的y 倍,且1531012++-=x x y ,如果把利润看成是销售总额减去成本费和广告费,(1)试写出年利润S(10万元)与广告费x(10万元)的函数关系式.(2)如果投入广告费为10～30万元,问广告费在什么范围内,公司获得的年利润随广告费的增大而增大?(3)在(2)中,投入的广告费为多少万元时,公司获得的年利润最大?是多少?思路分析：(1)由于原年销售量为100万件,即10个10万件,故当投入x(10万元)的广告费时,年销售量将为y×10=)153101(102++-x x 十万件,从而年利润S 应为)23()153101(102-⨯++-x x ,再减去广告费x,即为公司所获利润,从而能得到S 与x 的关系式；(2)由投入广告费为10～30万元,可知1<x<3,并借助S 与x 的图象即可得到结论；(3)可利用二次函数的最值问题得到结论.解：(1)∵年销售量为100万件,即10个10万件,当投入x(10万元)广告费后,年销售应为y×l0,即)153101(102++-x x (10万件),从而有x x x S --⨯++-=)23()153101(102 1052++-=x x .(2)∵465)25(10522+--=++-=x x x S ,故可画出如图20－5－2所示的草图.由于年广告费在10万元到30万元之间,所以1≤x≤3,借助图象和表达式可知,当x=25时,S 能取得最大值,故当广告费在10万元至25万元之间时,公司获得的年利润随广告费的增大而增大.(3)当x=25时,S 的最大值为465(10万元),即当投入的广告费为25万元时,该公司的年利润的最大值为162.5万元。

2019年北师大版九年级数学上册全册导学案(含答案)

第1课时菱形的性质1.经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；2.体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理能力；3.在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推理能力.自学指导：阅读课本P2~4，完成下列问题.1.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.3.菱形具有平行四边形的一切性质.2.菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴.它有两条对称轴,两条对称轴互相垂直.4.菱形的四条边都相等.5.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.知识探究1.请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：(1)菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？(2)菱形中有哪些相等的线段？解：（1）菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱形领条对角线所在的直线。

两条对称轴互相垂直。

（1）菱形的邻边相等，对边相等，四条边都相等.自学反馈如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.(1)图中有哪些线段是相等的？哪些角是相等的？(2)有哪些特殊的三角形?活动1 小组讨论例1已知：如图，在菱形ABCD 中，AB=AD,对角线AC 与BD 相交于点O. 求证：（1）AB=BC=CD=AD ；（2）AC ⊥BD.证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB = CD ，AD= BC （菱形的对边相等）. 又∵AB=AD ， ∴AB=BC=CD=AD. (2)∵AB=AD,∴△ABD 是等腰三角形. 又∵四边形ABCD 是菱形,∴OB=OD （菱形的对角线互相平分）. 在等腰三角形ABD 中， ∵OB=OD, ∴AO ⊥BD, 即AC ⊥BD.例2 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O, ∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB 和对角线AC 的长.解：∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴AB=AD(菱形的四条边都相等)， AC ⊥BD （菱形的对角线互相垂直）， OB=OD=21BD=21×6=3（菱形的对角线互相平分）.在等腰三角形ABD 中， ∵∠BAD=60°, ∴△ABD 是等边三角形. ∴AB=BD=6.在Rt △AOB 中，由勾股定理，得OA 2+OB 2=AB 2 .∴OA=.333362222=-=-OB AB∴AC=2OA=.36此题由菱形的性质可知AB=AD ，结合∠BAD=60°，即可得到△ABD 是等边三角形，从而可求AB 的长度.在根据菱形的对角线互相垂直，可以得到直角三角形，通过勾股定理可求AO,继而求出AC.活动2 跟踪训练1.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，下列说法错误．．的是（） A ．AB ∥DC B ．AC=BD C ．AC ⊥BD D ．OA=OCABCDO2.如图，在菱形ABCD 中，AC ＝6, BD ＝8,则菱形的边长为（）A.5B.10C.6D.83.已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm ，则菱形的面积为（）A.B.C.23cmD.223cm4.菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOC OC ∠==°，，则点B 的坐标为（） A ．(21)，B ．(12)，C ．(211)+，D ．(121)+，5.如图，在菱形ABCD 中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC 等于 .6.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于．7.如图，点E是菱形ABCD的对角线BD上任意一点连结AE、CE，请找出图中一对全等三角形为______________.8.如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC= 60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=12 BE.课堂小结1.菱形的定义.2.菱形的性质.3.菱形与平行四边形的关系.教学至此，敬请使用《名校课堂》相应课时部分.【预习导学】自学反馈解：（1）相等的线段：AB=CD=AD=BC，OA=OC，OB=OD.相等的角：∠DAB=∠BCD，∠ABC=∠CDA，∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC=90°，∠1=∠2=∠3=∠4，∠5=∠6=∠7=∠8.（2）等腰三角形：△ABC △DBC △ACD △ABD直角三角形：Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOA【合作探究】活动2 跟踪训练1.B2.A3.D4.C5.56.37.ABD CDB△≌△（或ADE CDE△≌△或ABE CBE△≌△）8.∵ABCD是菱形，∴AD//BC，AB=BC=CD=DA.又∵∠ABC= 60°，∴BC=AC=AD.∵DE∥AC，∴ACED为平行四边形.∴CE=AD=BC，DE=AC. ∴DE=CE=BC，∴DE=12 BE.第2课时菱形的判定理解菱形的判别条件及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题自学指导：阅读课本P5~7，完成下列问题.知识探究1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四边相等的四边形是菱形.自学反馈1.判断下列说法是否正确：(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；( )(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；( )(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；( )(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形.( )2.□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，(1)若AB=AD，则□ABCD是形；(2)若AC⊥BD，则□ABCD是形；(3)若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是形.活动1 小组讨论例1. 已知:如图,在□ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AC⊥BD.求证: □ABCD是菱形.[ 证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC.又∵AC⊥BD,∴BD是线段AC的垂直平分线.∴BA=BC.∴四边形ABCD是菱形(菱形定义).例2已知:如图,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.求证:四边形ABCD是菱形.证明:∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB=BC,∴四边形ABCD是菱形(菱形定义).活动2 跟踪训练1.如图，在ABCD中，添加下列条件不能判定是菱形的是( )A．AB=BC B．AC⊥BD C．BD平分∠ABC D．AC=BD2.已知DE∥AC、DF∥AB，添加下列条件后，不能判断四边形DEAF为菱形的是（）A．AD平分∠BAC B．AB＝AC，且BD＝CDC．AD为中线 D．EF⊥ADAB D CFE3.将一张矩形纸片对折，如图所示，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（）A.三角形B.不规则的四边形C.菱形D.一般平行四边形②①4.如图，在ABCD中，AE、CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线.添加一个条件，仍无法判断四边形AECF 为菱形的是（）A．AE=AF B．EF⊥ACC．∠B=600 D．AC是∠EAF平分线5.如图所示，在ABCD中，AC BD⊥，E为AB中点，若OE＝3，则ABCD的周长是 .6.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE=DF．求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）四边形ABCD是菱形．7.如图，□ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，A B=5，AC=8，DB=6.求证:四边形ABCD是菱形.课堂小结菱形常用的判定方法：1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.有四条边相等的四边形是菱形.教学至此，敬请使用《名校课堂》相应课时部分.【预习导学】自学反馈1.（1）×（2）√（3）×（4）×2.（1）菱（2）菱（3）菱【合作探究】活动2 跟踪训练1.D2. C3. C4. C5. 246.证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C.∵在△AED和△CFD中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠,,DFDECACFDAED，∴△AED≌△CFD（AAS）.(2)∵△AED≌△CFD，∴AD=CD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．7.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=4,OB=OD=3.又AB=5，则32+42=52，即OA2+OB2=AB2.∴∠AOB=90°,即AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形.第3课时菱形的性质与判定的综合1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法.2.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法.3.在学习过程中感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力.阅读教材P8-9，能灵活运用菱形的性质及判定.自学反馈1.如图所示：在菱形ABCD中，AB=6，(1)三条边AD、DC、BC的长度分别是多少？(2)对角线AC与BD有什么位置关系？(3)若∠ADC=120°，求AC的长.(4)菱形ABCD的面积.活动1 小组讨论例1 如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长为10cm.求：(1)对角线AC的长度；(2)菱形ABCD的面积.解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,即∠AED=90°，DE=12BD×10=5（cm）∴在Rt△ADE中，由勾股定理可得：∴AC=2AE=2×12=24(cm).（2）S菱形ABCD = S△ABD+ S△CBD=2×S△ABD=2××BD×AE= BD×AE=10×12=120(cm2).菱形的面积除了以上求法，还可以用对角线相乘除以2.活动2 跟踪训练1.如图，菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线BD长10cm，则∠ABC= °，AC= cm.2.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC=4cm，BD=8cm，则这个菱形的面积是cm2．3. 如图，四边形ABC D中，AB=AC=AD，BC=CD，锐角∠BAC的角平分线AE交BC于点E，AF是CD边上的中线，且PC⊥CD与AE交于点P,QC⊥BC与AF交于点Q．求证：四边形APCQ是菱形．课堂小结通过本节课的学习你有哪些收获，你还存在什么疑问？教学至此，敬请使用《名校课堂》相应课时部分.【预习导学】自学反馈解：(1)6.(2)垂直平分.(3)36.(4)318.【合作探究】活动2 跟踪训练51.120°32.163.解：由AB=AC=AD，可知△ABC、△ADC是等腰三角形．∵AE是∠BAC的角平分线，AF是CD边上的中线，则∠AEC＝∠AFC＝90°．∵PC⊥CD，QC⊥BC，∴∠QCE＝∠PCD＝90°．∴AE∥QC，PC∥AF，∴四边形APCQ是平行四边形．在Rt△PEC和Rt△QFC中，∠PEC＝∠QFC＝90°，∠PCE＝90°－∠PCQ＝∠QCF，由BC=CD，可知EC＝CF，∴Rt△PEC≌Rt△QFC，∴PC＝CQ．∴平行四边形APCQ是菱形．第1课时矩形的性质1.掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系.2.理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明;3.会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力．自学指导：阅读课本P11~14，完成下列问题.1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.生活中你见到过的矩形有五星红旗、毛巾.3.矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质.4.矩形的四个角都是直角.5.矩形的对角线相等.6.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.知识探究1.在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上(作出对角线)，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状.(1)随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？(2)当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？操作、思考、交流、归纳后得到矩形的性质.矩形性质1 矩形的四个角都是直角.矩形性质2 矩形的对角线相等.2.如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OB与AC是什么关系？[解：由矩形性质2得：AC=BD，再由平行四边形性质得：AO=OC，BO=OD，所以AO=BO=CO=DO=12AC=BD.因此可得直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.3.请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。

数学导学案九年级答案

数学导学案九年级答案【篇一：九年级数学金榜学案答案】>一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1.下列函数中，属于二次函数的是 ( )a.b.c.y= d.2.抛物线y=(x+3)2-2的对称轴是( )a.直线x=3b.直线x=－3c.直线x=－2d.直线x=23.抛物线y＝x2－2x－1的顶点坐标是( )a .（1，－1） b.（－1，2） c.（－1，－2） d.（1，－2）4. 二次函数y＝x2－2x－3的图象如图所示，当y＜0时，自变量 x 的取值范围为（）a．－1＜x＜3 b．x＜－1 c． x＞3 d．x＜－1或x＞35.如果二次函数y=ax2+bx+c(其中a、b、c为常数，a≠0)的部分图象如图所示，它的对称轴过点(－1，0)，那么关于x的方程ax2+bx+c=0的一个正根可能是( ) 6.一个圆锥形的冰淇淋纸筒，其底面直径为，母线长为，围成这样的冰淇淋纸筒所需纸片的面积是（）a． b． c． d．7.如图，实线部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为( )8.将直径为60cm的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为（）a．10cm b．20cmc．30cmd．40cm9．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象可能为10．如图，点c、d是以线段ab为公共弦的两条圆弧的中点，ab=4，点e、f分别是线段cd，ab上的动点，设af=x， ae2－fe2=y，则能表示y与x的函数关系的图象是（）二．填空题（每空3分，共30分）11.函数﹣2，当x 时，函数值y随x的增大而减小.12．若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是 .13.抛物线 y= 的开口向 .14.把抛物线y=－2(x+2)2－1先沿y轴向右平移3个单位，再沿x 轴向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为 .15. 函数y＝ax2－ax＋3x＋1的图象与x轴有且只有一个交点，写出a所有可能的值________________.16. 如果⊙a和⊙b相切，它们的半径分别为8cm和2cm，那么圆心距ab为 cm．18．如图，在以o为圆心的两个同心圆中，大圆的弦ab与小圆相切于点c，若弦ab的长为8cm．则圆环的面积为________cm2．19．如图是某风景区的一个圆拱形门，路面ab宽为2m，净高cd 为5m，则圆拱形门所在圆的半径为m．20．如图，长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）三．解答题（本题共8小题，共70分）21. （本小题10分）分别求出对应的二次函数的解析式：（1）已知抛物线的顶点为（-2，1），且过点（-4，3 ）；（2）抛物线与x轴的两个交点坐标为（-3，0）和（2，0），且它经过点（1，4）.22. （本小题8分）已知二次函数y=x2+bx+2的图像经过点（-1，6）（1）求这个二次函数的关系式；（2）求二次函数图像与x轴的交点的坐标；（3）画出图像的草图，观察图像，直接写出当y＞0时，x的取值范围.23.（本小题10分）已知：抛物线y =x2+ax+a﹣2.（1）求证：不论a取何值时，抛物线y=x2+ax+a﹣2与x轴都有两个不同的交点.（2）设这个二次函数的图象与轴相交于a（x1,0），b(x2,0)，且x1 、x2的平方和为3，求a的值.24.（本小题9分）如图，p是⊙o的直径ab延长线上的一点， pc 切⊙o于点c，弦cd⊥ab，垂足为点e，若，．求：（1）⊙o的半径；（2）cd的长；（3）图中阴影部分的面积．25.（本小题9分）近日某小区计划在中央花园内建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子oa, o恰好在水面中心，oa为1.25m，安置在柱子顶端a处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过oa的任一平面上抛物线路径如图所示．为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到oa距离lm处达到距水面最大高度2.25m.(1)请求出其中一条抛物线的解析式；（2）如果不计其他因素，那么水池的半径至少要为多少m 才能使喷出水流不致落到池上？26．（本小题12分）李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长.（1）如图1，正方体的棱长为5cm一只蚂蚁欲从正方体底面上的点a沿着正方体表面爬到点c1处；（2）如图2，圆锥的母线长为4cm，底面半径r= cm，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点a出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点a；（3）如图3，是一个没有上盖的圆柱形食品盒，一只蚂蚁在盒外表面的a处，它想吃到盒内表面对侧中点b处的食物，已知盒高10cm，底面圆周长为32cm，a距下底面3cm..27．（本小题12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，正方形oabc的边长为2cm，点a、c别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点a、b，最低点为m，且s△amb＝(1)求此抛物线的解析式，并说明这条抛物线是由抛物线y=ax2 怎样平移得到的；( 2)如果点p由点a开始沿着射线ab以2cm/s的速度移动，同时点q由点b开始沿bc边以1cm/s的速度向点c移动，当其中一点到达终点时运动结束；①在运动过程中，p、q两点间的距离是否存在最小值，如果存在，请求出它的最小值；②当pq取得最小值时，在抛物线上是否存在点r，使得以p、b、q、r为顶点的四边形是梯形? 如果存在，求出r点的坐标，如果不存在，请说明理由.九年级数学参考答案一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1.a2.b3.d4.a5.b .6. d7.d8.a9. c 10.c二．填空题（每空3分，共30分）11.＞-1 12.a＜-113.下 14.y=-2(x-1)2+1 15.0、1、9（少写一个扣1分）三．解答题（本题共8小题，共70分）21. （本小题10分）（1）设y=a(x+2)2+1 1分a=0.54分∴y=0.5(x+2)2+15分（2）设y=a(x+3)（x-2）1分a=-14分∴y=-(x+3)（x-2）5分22. （本小题8分）（1）b=-32分（2）（1,0）（2,0）4分（3）草图略6分（要求仅画出大致形状即可）∴x＞2或x＜-18分23.（本小题10分）（1）△=a2-4(a-2)2分=（a-2）2+44分∴不论a取何值时，抛物线y=x2+ax+a﹣2与x轴都有两个不同的交点.??5分（2）x1 +x2=-a1分x1 .x2=a-22分x1 2+x22=（x1 +x2）2-2 x1 .x23分=a2-2a+4=3∴a=15分24.（本小题9分）（1）切线得oc⊥pc1分设半径为r（r+1）2=r2+32分r=13分（2）ce= 2分cd= 3分（3）图中阴影部分的面积 - 3分25.（本小题9分）(1) y= -(x-1)2+2.254分（2）(x-1)2=2.25x1=2.5 或 x2= -0.5 (舍)8分答：半径至少为2.5米时9分26．（本小题12分）（1）展开图略 5 4分（2）展开图略 4 8分（3）展开图略 20 12分27.（1）y= (x-1)2- 2分向右1个单位长度，向下个单位长度3分（2）①pq2=（2-2t）2+t2=5(t- )2+ 5分存在，当t= 时，最小值 ??????? ?6分②10当ab∥qr时y=- 时(x-1)2- =- 8分x1= 或 x2=当x1= 时，说明p、b、q、r为顶点的四边形是梯形9分当x2= 时，pbrq为平行四边形，舍.10分20当br∥pq时与x2= 的情况相同，故此时不存在梯形.11分【篇二：人教版九年级数学上册全册导学案】s=txt>总结自己存在的问题，分析原因，制定弥补方案。

位似图形及其画法

九年级数学导学案年级九班级学科数学课题位似图形的画法第课时总课时编制人审核人课型新授课使用者教学内容学习目标1．理解位似多边形的定义及相关性质．2.初步了解利用图形的位似将一个图形放大或缩小做理论依据．能利用图形的相似解决一些简单的实际问题．学习过程一.复习回顾：1、什么样的图形叫做全等多边形？什么样的图形叫做相似多边形？相似多边形和全等多边形有什么关系？2、小孔成像中物体原来的形状与所成的像是相似的图形吗？二.新课学习：1.先阅读教材P 113页的内容，然后完成下面的填空：（1）结合课本想一想如何把一个图形放大或缩小？（2）什么叫相似变换？什么叫位似变换？（3）结合位似图形的概念说说位似图形有哪些性质？（4）说说位似图形和相似图形之间的关系？2、如图，△ABC 在灯光O 的照射下形成影子△A 'B 'C ', 那么△A 'B 'C '与△ABC 有什么关系？ 76v（1）分别量出线段OA,OA ',OB,OB '的长度，并计算（精确到0.1） =OA OA ' , =OBOB '. 由此得出 .（2）概念叫位似变换. 叫位似中心；叫位似比。

[来源一个图形经过得到的图形叫作原图形的位似图形.（3）位似变换的性质由位似变换和位似图形的定义可以得出位似变换的性质：三.尝试应用：OB A'B'C'AC1、下列说法中正确的是( )A.位似图形可以通过平移而相互得到；B.位似图形的对应边平行且相等；C.位似图形的位似中心不只有一个；D.位似中心到对应点的距离之比都相等。

2、如图，五边形ABCDE 与五边形'''''A B C D E 是位似图形，点O 为位似中心，12'OD OD =，则 ''A B :AB =___________.四.自主总结：五.达标测试1、七边形ABCDEFG 位似于七边形1111111A B C D E FG ，它们的面积比为4：9，已知位似中心O 到A 的距离为6，那么O 到1A 的距离为（）A 、13.5B 、12C 、18D 、92、四边形ABCD 与四边形A B C D ''''位似，O 为位似中心，若OA:OA =1:3'，那么ABCD A B C D S :S ''''四边形四边形=（）A 、1：9B 、1：3C 、1：4D 、1：53、如图，△ABC 与△DEF 是位似图形，位似比为2∶3，已知AB ＝4，则DE 的长为 ___ .[来源:学_科_网]4、如图，已知在△ABC ，以点O 为位似中心画△DEF ，使△DEF 与△ABC 位似，且相似比为2.教后反思E'D'C'B'A'E D C B A。

九年级数学导学案(全册)整理

九年级数学导学案(全册)整理导学案1单元：有理数综合运用研究目标：- 理解有理数的概念和表示方法- 掌握有理数的加法和减法运算规则- 进一步熟练运用有理数进行混合运算教学内容：1. 有理数的引入和定义2. 有理数的表示方法3. 有理数的加法和减法规则4. 有理数的混合运算练教学步骤：1. 导入：通过实例引导学生认识有理数的概念和意义。

2. 定义：给出有理数的准确定义，并介绍有理数的表示方法。

3. 讲解：详细介绍有理数的加法和减法规则，包括同号相加、异号相减等。

4. 练：通过练题让学生巩固对有理数运算规则的掌握，进行混合运算。

5. 总结：对本节课的研究内容进行总结和归纳。

课后作业：- 完成课堂上的练题- 预下节课的内容，完成预题导学案2单元：平面图形的认识研究目标：- 了解平面图形的种类和属性- 掌握平面图形的命名和分类方法- 进一步熟练绘制和测量平面图形教学内容：1. 平面图形的定义和分类2. 平面图形的命名规则3. 平面图形的性质和特点4. 绘制和测量平面图形的方法教学步骤：1. 导入：利用一个日常生活中的例子引出平面图形的概念和意义。

2. 定义：给出平面图形的准确定义，并介绍不同种类的平面图形。

3. 讲解：通过示意图或实际测量过程，说明平面图形的命名规则和性质。

4. 练：让学生绘制和测量不同种类的平面图形，加深对其属性的理解和掌握。

5. 总结：对本节课研究内容进行总结和归纳。

课后作业：- 练题：根据给定条件，命名和绘制不同种类的平面图形。

- 思考题：举例说明平行线和垂直线的性质和判定方法。

...（后续导学案依次展开）总结该份文档整理了九年级数学导学案的内容，包括有理数综合运用、平面图形的认识等单元内容。

每个导学案都设定了学习目标、教学内容、教学步骤和课后作业，以满足学生对数学知识的学习和实践需求。

希望这份文档能为您提供有益的参考，帮助您更好地教授九年级数学课程。

《零障碍导教导学案》数学-九年级

《零障碍导教导学案》数学-九年级第一部分：导学目标1.1 了解本单元学习的主要内容和目标，明确自己的学习目标。

1.2 理解零障碍教育的重要性，培养对不同学习障碍学生的理解和关怀。

第二部分：知识预热2.1 复习上一单元的知识，准备好迎接新的学习内容。

2.2 利用多种教学方法，包括课堂讨论、小组合作、图表展示等方式引导学生回顾已学知识。

第三部分：学习过程3.1 课前导入，通过引入问题或实例，激发学生学习兴趣。

3.2 结合教材内容，系统地讲解重点知识，提供多种教学资源，包括文字、图片、视频等。

3.3 示范解题，演示不同类型的数学题目的解题方法，让学生能理解并掌握解题思路。

3.4 练习检测，设计一定数量和难度的练习题，让学生进行巩固和反馈。

第四部分：概念深化4.1 引导学生探索知识的更深层次，培养学生的思维能力和创造力。

4.2 结合实际情景，让学生理解知识在实际生活中的应用，并促进学生的综合能力发展。

第五部分：课堂互动5.1 激发学生的学习热情，鼓励学生积极参与课堂讨论。

5.2 针对学生的不理解或错误观念，及时进行纠正和解惑，确保学生掌握正确的知识。

第六部分：知识巩固6.1 巩固当前学习内容，通过多种形式的作业让学生将知识内化并加深理解。

6.2 扩展应用，设计一些拓展性题目，让学生能将所学知识应用到更广泛的情境中。

第七部分：学习总结7.1 总结本节课内容，明确学习成果和收获。

7.2 激励学生，鼓励他们继续努力，不断提高自己。

第八部分：作业布置8.1 布置适量作业，巩固本节课所学内容，确保学生能够独立完成。

8.2 鼓励学生主动学习，培养学生的自学能力和解决问题的能力。

通过以上教学安排，可以帮助学生理解和掌握数学知识，增强他们的学习兴趣和自信心，同时也能够促进零障碍教育的发展，让每个学生都能在教育中实现自我价值。

希望教师们能够根据实际情况，灵活运用这份《零障碍导教导学案》，为学生提供更优质的教学体验。

零障碍教育在当今社会中显得尤为重要。

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