概率统计10-11-2A
概率统计公式大全(复习重点)
第一章随机事件和概率（1）排列组合公式)!(!nmmP nm-=从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
)!(!!nmnmC nm-=从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。
一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。
通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。
Ω为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：BA⊂如果同时有BA⊂，AB⊃，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：A Y B，或者A+B。
人教B版高考总复习一轮数学精品课件 第十一章 第四节 随机事件的概率与古典概型
发生的可能性大小都相等
(简称为等可能性),则称这样的随机试验为古
典概率模型,简称为古典概型.
(2)公式:假设样本空间含有n个样本点,如果事件C包含有m个样本点,则
P(C)=
.
(3)古典概型的概率性质:
①0≤P(A)≤1;
②P()=1-P(A),即 P(A)+P()=1;
可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的
路径.
解 (1)由已知共调查了 100 人,其中 40 分钟内不能赶到火车站的有
12+12+16+4=44(人),用频率估计相应的概率为
44
P= =0.44.
100
(2)选择 L1 的有 60 人,选择 L2 的有 40 人,故由调查结果得频率为
续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数 0
1
2
3
4
保费/元
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
≥5
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;
0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.
概率论与数理统计第二章课后习题及参考答案
于是
P ( X k ) p (1 p ) k 1 ，
所以 X 的分布律为 P ( X k ) p (1 p ) k 1 ， k 1,2, ． (2) Y 的所有可能取值为 0，1，2，…， k ，…，于是
Y 的分布律为 P (Y k ) p (1 p ) k 1 ， k 0,1,2, ．
2
P ( X 0) P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 ) 0.36 ， X 的分布律为 X P
1000000 0.16
60000 0.24
40000 0.24
0 0.36
5．对某目标进行独立射击，每次射中的概率为 p ，直到射中为止，求： (1) 射击次数 X 的分布律；(2) 脱靶次数 Y 的分布律． 解：(1) 由题设， X 所有可能的取值为 1，2，…， k ，…， 设 Ak {射击时在第 k 次命中目标}，则
由题知， { X k} A B ， AB ，则
P ( A) p k 1 (1 p ) ， P ( B ) (1 p ) k 1 p ， P ( X k ) P ( A B ) P ( A) P ( B ) p k 1 (1 p ) (1 p ) k 1 p ，
x 0, 0, 2 2x x F ( x ) 2 ,0 x a , ． a a x a． 1, a a 1 1 (3) P ( X a ) F (a ) F ( ) 1 (1 ) ． 2 2 4 4
12．设随机变量 X 在 [2,6] 上服从均匀分布，现对 X 进行三次独立观察，试求至 少有两次观测值大于 3 的概率． 解：由题意知
经济数学基础——概率统计课后习题答案
经济数学基础——概率统计课后习题答案1⽬录习题⼀ (1)习题⼆ (16)习题三 (44)习题四 (73)习题五 (97)习题六 (113)习题七 (133)1习题⼀写出下列事件的样本空间：(1) 把⼀枚硬币抛掷⼀次；(2) 把⼀枚硬币连续抛掷两次；(3) 掷⼀枚硬币，直到⾸次出现正⾯为⽌；(4) ⼀个库房在某⼀个时刻的库存量(假定最⼤容量为M ).解 (1) Ω={正⾯，反⾯} △ {正，反}(2) Ω={(正、正)，(正、反)，(反、正)，(反、反)}(3) Ω={(正)，(反，正)，(反，反，正)，…}(4) Ω={x ；0 ≤x ≤ m }掷⼀颗骰⼦的试验，观察其出现的点数，事件A ＝“偶数点”，B ＝“奇数点”，C ＝“点数⼩于5”，D ＝“⼩于5的偶数点”，讨论上述各事件间的关系.解 {}{}{}{}{}.4,2,4,3,2,1,5,3,1,6,4,2,6,5,4,3,2,1=====D C B A ΩA 与B 为对⽴事件，即B ＝A ；B 与D 互不相容；A ?D ，C ?D.3. 事件A i 表⽰某个⽣产单位第i 车间完成⽣产任务，i ＝1，2，3，B 表⽰⾄少有两个车间完成⽣产任务，C 表⽰最多只有两个车间完成⽣产任务，说明事件B 及B －C 的含义，并且⽤A i (i ＝1，2，3)表⽰出来. 解 B 表⽰最多有⼀个车间完成⽣产任务，即⾄少有两个车间没有完成⽣产任务.313221A A A A A A B ++=B －C 表⽰三个车间都完成⽣产任务321321321321＋＋＋A A A A A A A A A A A A B =321321321321321321321A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A C ++++++= 321A A A C B =-4. 如图1－1，事件A 、B 、C 都相容，即ABC ≠Φ，把事件A ＋B ，A ＋B ＋C ，AC ＋B ，C －AB ⽤⼀些互不相容事件的和表⽰出来.解 B A A B A +=+C B A B A A C B A ++=++C B A B B AC +=+BC A C B A C B A AB C ++=- 5.两个事件互不相容与两个事件对⽴的区别何在，举例说明.解两个对⽴的事件⼀定互不相容，它们不可能同时发⽣，也不可能同时不发⽣；两个互不相容的事件不⼀定是对⽴事件，它们只是不可能同时发⽣，但不⼀定同时不发⽣. 在本书第6页例2中A 与D 是对⽴事件，C 与D 是互不相容事件. 6.三个事件A 、B 、C 的积是不可能事件，即ABC ＝Φ，问这三个事件是否⼀定互不相容?画图说明.解不⼀定. A 、B 、C 三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容，即两两互不相容.如图1－2，事件ABC ＝Φ，但是A 与B 相容.7. 事件A 与B 相容，记C ＝AB ，D ＝A+B ，F ＝A －B. 说明事件A 、C 、D 、F 的关系.解由于AB ?A ?A+B ，A －B ?A ?A+B ，AB 与A －B 互不相容，且A ＝AB ＋(A －B).因此有A ＝C +F ，C 与F 互不相容，D ?A ?F ，A ?C.8. 袋内装有5个⽩球，3个⿊球，从中⼀次任取两个，求取到的两个球颜⾊不同的概率.解记事件A 表⽰“取到的两个球颜⾊不同”. 则有利于事件A 的样本点数⽬＃A ＝1315C C .⽽组成试验的样本点总数为＃Ω＝235+C ，由古典概率公式有图1－1 图1－22P (A )＝=Ω##A 2815281315=C C C (其中＃A ，＃Ω分别表⽰有利于A 的样本点数⽬与样本空间的样本点总数，余下同)9. 计算上题中取到的两个球中有⿊球的概率.解设事件B 表⽰“取到的两个球中有⿊球”则有利于事件B 的样本点数为＃25C B =.1491)(1)(2825=-==C C B P B P － 10. 抛掷⼀枚硬币，连续3次，求既有正⾯⼜有反⾯出现的概率.解设事件A 表⽰“三次中既有正⾯⼜有反⾯出现”, 则A 表⽰三次均为正⾯或三次均为反⾯出现. ⽽抛掷三次硬币共有8种不同的等可能结果，即＃Ω＝8，因此43821#1)(1)(=-=Ω-=-=A A P A P ＃ 11. 10把钥匙中有3把能打开⼀个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率.解设事件A 表⽰“门锁能被打开”. 则事件A 发⽣就是取的两把钥匙都不能打开门锁.15811)(1)(21027==Ω-=-=C C A A P A P －＃＃从9题－11题解中可以看到，有些时候计算所求事件的对⽴事件概率⽐较⽅便.12. ⼀副扑克牌有52张，不放回抽样，每次⼀张，连续抽取4张，计算下列事件的概率：(1)四张花⾊各异；(2)四张中只有两种花⾊.解设事件A 表⽰“四张花⾊各异”；B 表⽰“四张中只有两种花⾊”.，113113113113452##C C C C A ， C Ω==）＋#2132131133131224C C C C C C B （= 105013##)(4524.C ΩA A P === 30006048＋74366##)(452 ）（.C ΩB B P === 13. ⼝袋内装有2个伍分、3个贰分，5个壹分的硬币共10枚，从中任取5枚，求总值超过壹⾓的概率. 解设事件A 表⽰“取出的5枚硬币总值超过壹⾓”.)＋(＋C ＝##25231533123822510C C C C C C A C Ω ， = 50252126)(.ΩA A P ＝＝＃＃＝ 14. 袋中有红、黄、⿊⾊球各⼀个，每次任取⼀球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率：A ＝“三次都是红球” △ “全红”，B ＝“全⽩”，C ＝“全⿊”，D ＝“⽆红”，E ＝“⽆⽩”，F ＝“⽆⿊”，G ＝“三次颜⾊全相同”，H ＝“颜⾊全不相同”，I ＝“颜⾊不全相同”.解＃Ω＝33＝27，＃A ＝＃B ＝＃C ＝1，＃D ＝＃E ＝＃F ＝23＝8，＃G ＝＃A ＋＃B ＋＃C ＝3，＃H ＝3！＝6，＃I ＝＃Ω－＃G ＝243271)()()(===C P B P A P 278)()()(===F P E P D P 982724)(,92276)(,91273)(======I P H P G P 15. ⼀间宿舍内住有6位同学，求他们中有4个⼈的⽣⽇在同⼀个⽉份的概率.解设事件A 表⽰“有4个⼈的⽣⽇在同⼀个⽉份”.＃Ω＝126，＃A ＝21124611C C 0073.01221780##)(6＝＝ΩA A P = 16. 事件A 与B 互不相容，计算P )(B A +.解由于A 与B 互不相容，有AB ＝Φ，P (AB )＝0.1)(1)()(=-==+AB P AB P B A P17. 设事件B ?A ，求证P (B )≥P (A ）.证∵B ?A∴P (B -A )＝P (B ) - P (A )∵P (B -A )≥0∴P (B )≥P (A )18. 已知P (A )＝a ，P (B )＝b ，ab ≠0 (b ＞0.3a )，P (A －B )＝0.7a ，求P (B +A )，P (B -A )，P (B ＋A ).解由于A －B 与AB 互不相容，且A ＝(A -B )＋AB ，因此有P (AB )＝P (A )-P (A -B )＝0.3aP (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝0.7a ＋bP (B -A )＝P (B )-P (AB )＝b -0.3a P(B ＋A )＝1-P (AB )＝1-0.3a19. 50个产品中有46个合格品与4个废品，从中⼀次抽取三个，计算取到废品的概率.解设事件A 表⽰“取到废品”，则A 表⽰没有取到废品，有利于事件A 的样本点数⽬为＃A ＝346C ，因此P (A )＝1-P (A )＝1-3503461C C ΩA －＝＃＃＝0.225520. 已知事件B ?A ，P (A )＝ln b ≠ 0，P (B )＝ln a ，求a 的取值范围.解因B ?A ，故P (B )≥P (A )，即ln a ≥ln b ,?a ≥b ，⼜因P (A )＞0，P (B )≤1，可得b ＞1，a ≤e ，综上分析a 的取值范围是：1＜b ≤a ≤e21. 设事件A 与B 的概率都⼤于0，⽐较概率P (A )，P (AB )，P (A +B )，P (A )+P (B )的⼤⼩(⽤不等号把它们连接起来).解由于对任何事件A ，B ，均有AB ?A ?A +B且P (A +B )＝P (A )＋P (B )-P (AB )，P (AB )≥0，因此有P (AB )≤P (A )≤P (A +B )≤P (A )＋P (B )22. ⼀个教室中有100名学⽣，求其中⾄少有⼀⼈的⽣⽇是在元旦的概率(设⼀年以365天计算).解设事件A 表⽰“100名学⽣的⽣⽇都不在元旦”，则有利于A 的样本点数⽬为＃A ＝364100，⽽样本空间中样本点总数为＃Ω＝365100，所求概率为1001003653641##1)(1)(-=Ω-=-=A A P A P = 0.239923. 从5副不同⼿套中任取4只⼿套，求其中⾄少有两只⼿套配成⼀副的概率.解设事件A 表⽰“取出的四只⼿套⾄少有两只配成⼀副”，则A 表⽰“四只⼿套中任何两只均不能配成⼀副”.21080##)(4101212121245===C C C C C C ΩA A P 62.0)(1)(=-=A P A P24. 某单位有92％的职⼯订阅报纸，93％的⼈订阅杂志，在不订阅报纸的⼈中仍有85％的职⼯订阅杂志，从单位中任找⼀名职⼯求下列事件的概率：(1)该职⼯⾄少订阅⼀种报纸或期刊；(2)该职⼯不订阅杂志，但是订阅报纸.解设事件A 表⽰“任找的⼀名职⼯订阅报纸”，B 表⽰“订阅杂志”，依题意P (A )＝0.92，P (B )＝0.93，P (B ｜A )＝0.85P (A ＋B )＝P (A )＋P (A B )＝P (A )＋P (A )P (B ｜A )＝0.92＋0.08×0.85＝0.988P (A B )＝P (A ＋B )-P (B )＝0.988－0.93＝0.05825. 分析学⽣们的数学与外语两科考试成绩，抽查⼀名学⽣，记事件A 表⽰数学成绩优秀，B 表⽰外语成绩优秀，若P (A )＝P (B )＝0.4，P (AB )＝0.28，求P(A ｜B )，P (B ｜A )，P (A ＋B ).解 P (A ｜B )＝7.04.028.0)()(==B P AB P P (B ｜A)＝7.0)()(=A P AB P P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )-P (AB )＝0.5226. 设A 、B 是两个随机事件. 0＜P (A )＜1，0＜P (B )＜1，P (A ｜B )＋P (A ｜B )＝1. 求证P (AB )＝P (A )P (B ).证∵P ( A ｜B )＋P (A ｜B )＝1且P ( A ｜B )＋P (A ｜B )＝1∴P ( A ｜B )＝P (A ｜B ))(1)()()()()()(B P AB P A P B P B A P B P AB P --== P (AB )［1-P (B )］＝P ( B )［P ( A )-P ( AB )］整理可得P (AB )＝P ( A ) P ( B )27. 设A 与B 独⽴，P ( A )＝0.4，P ( A ＋B )＝0.7，求概率P (B ).解 P ( A ＋B )＝P (A )＋P (A B )＝P ( A )＋P (A ) P ( B ) ? 0.7＝0.4＋0.6P ( B )P ( B )＝0.528. 设事件A 与B 的概率都⼤于0，如果A 与B 独⽴，问它们是否互不相容，为什么?解因P ( A )，P ( B )均⼤于0，⼜因A 与B 独⽴，因此P ( AB )＝P ( A ) P ( B )＞0，故A 与B 不可能互不相容.29. 某种电⼦元件的寿命在1000⼩时以上的概率为0.8，求3个这种元件使⽤1000⼩时后，最多只坏了⼀个的概率.解设事件A i 表⽰“使⽤1000⼩时后第i 个元件没有坏”， i ＝1，2，3，显然A 1，A 2，A 3相互独⽴，事件A 表⽰“三个元件中最多只坏了⼀个”，则A ＝A 1A 2A 3＋1A A 2A 3＋A 12A A 3＋A 1A 23A ，上⾯等式右边是四个两两互不相容事件的和，且P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝0.8P ( A )＝[][])()(3)(12131A P A P A P +＝0.83＋3×0.82×0.2＝0.89630. 加⼯某种零件，需经过三道⼯序，假定第⼀、⼆、三道⼯序的废品率分别为0.3，0.2，0.2，并且任何⼀道⼯序是否出现废品与其他各道⼯序⽆关，求零件的合格率.解设事件A 表⽰“任取⼀个零件为合格品”，依题意A 表⽰三道⼯序都合格.P (A )＝(1－0.3)(1－0.2)(1－0.2)＝0.44831. 某单位电话总机的占线率为0.4，其中某车间分机的占线率为0.3，假定⼆者独⽴，现在从外部打电话给该车间，求⼀次能打通的概率；第⼆次才能打通的概率以及第m 次才能打通的概率(m 为任何正整数). 解设事件A i 表⽰“第i 次能打通”，i ＝1，2，…，m ，则P (A 1)＝(1－0.4)(1－0.3)＝0.42P (A 2)＝0.58 × 0.42＝0.2436P (A m )＝0.58m －1 × 0.4232. ⼀间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每⼈任取⼀副眼镜，求每个⼈都没有拿到⾃⼰眼镜的概率.解设A i 表⽰“第i ⼈拿到⾃⼰眼镜”，i ＝1,2,3,4. P ( A i )＝41，设事件B 表⽰“每个⼈都没有拿到⾃⼰的眼镜”. 显然B 则表⽰“⾄少有⼀⼈拿到⾃⼰的眼镜”. 且B ＝A 1＋A 2＋A 3＋A 4.P (B )＝P (A 1＋A 2＋A 3＋A 4)＝∑∑∑-+-=≤≤≤≤4141414321)()()()(i j i k j i k j i i i i A A A A P A A A P A A P A p ＜＜＜P (A i A j )=P (A i )P (A j ｜A i ) =)41(1213141≤≤=?j i ＜ P (A i A j A k )=P (A i )P (A j ｜A i )P (A k ｜A i A j ) =41×31×21=241（1≤i ＜j ＜k ≤4） P (A 1A 2A 3A 4) =P (A 1)P (A 2|A 1)P (A 3|A 1A 2)×P (A 4｜A 1A 2A 3) =2411213141= 85241241121414)(3424=-?+?-?=C C B P 83)(1)(=-=B P B P 33. 在1，2，…，3000这3000个数中任取⼀个数，设A m ＝“该数可以被m 整除”，m ＝2，3，求概率P (A2A 3)，P (A 2＋A 3)，P (A 2－A 3).解依题意P (A 2)＝21，P (A 3)＝31 P (A 2A 3)＝P (A 6)＝61 P (A 2＋A 3)＝P (A 2)＋P (A 3)－P (A 2A 3) ＝32613121=-+ P (A 2－A 3)＝P (A 2)－P (A 2A 3)＝316121=- 34. 甲、⼄、丙三⼈进⾏投篮练习，每⼈⼀次，如果他们的命中率分别为0.8，0.7，0.6，计算下列事件的概率：(1)只有⼀⼈投中；(2)最多有⼀⼈投中；(3)最少有⼀⼈投中.解设事件A 、B 、C 分别表⽰“甲投中”、“⼄投中”、“丙投中”，显然A 、B 、C 相互独⽴.设A i 表⽰“三⼈中有i ⼈投中”，i ＝0,1,2,3,依题意，)()()() ()(0C P B P A P C B A P A P ===0.2×0.3×0.4×=0.024P ( A 3 )=P ( ABC )=P ( A ) P ( B ) P ( C )=0.8×0.7×0.6=0.336P (A 2)=P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )=0.8×0.7×0.4＋0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6=0.452(1) P (A 1)＝1－P (A 0)－P (A 2)－P (A 3)＝1－0.024－0.452－0.336＝0.188(2) P (A 0＋A 1)＝P (A 0)＋P (A 1)＝0.024＋0.188＝0.212(3) P (A ＋B ＋C )＝P (0A )＝1－P (A 0)＝0.97635. 甲、⼄⼆⼈轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为0.4及0.5，问谁先投中的概率较⼤，为什么?解设事件A 2n -1B 2n 分别表⽰“甲在第2n －1次投中”与“⼄在第2n 次投中”，显然A 1，B 2，A 3，B 4，…相互独⽴.设事件A 表⽰“甲先投中”.+++=)()()()(543213211A B A B A P A B A P A P A P=＋＋＋0.40.5)(0.60.40.50.60.42743.014.0=-= 计算得知P (A )＞0.5，P (A )＜0.5，因此甲先投中的概率较⼤.36. 某⾼校新⽣中，北京考⽣占30％，京外其他各地考⽣占70％，已知在北京学⽣中，以英语为第⼀外语的占80％，⽽京外学⽣以英语为第⼀外语的占95％，今从全校新⽣中任选⼀名学⽣，求该⽣以英语为第⼀外语的概率.解设事件A 表⽰“任选⼀名学⽣为北京考⽣”，B 表⽰“任选⼀名学⽣，以英语为第⼀外语”. 依题意P (A )＝0.3，P (A )＝0.7，P (B ｜A)＝0.8，P (B ｜A )＝0.95. 由全概率公式有P (B )＝P (A )P (B ｜A )＋P (A )P (B ｜A )＝0.3×0.8＋0.7×0.95＝0.90537. A 地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个⾏政⼩区，其⼈⼝⽐为9 : 7 : 4，据统计资料，甲种疾病在该地三个⼩区内的发病率依次为4‰，2‰，5‰，求A 地的甲种疾病的发病率.解设事件A 1，A 2，A 3分别表⽰从A 地任选⼀名居民其为南、北、中⾏政⼩区，易见A 1，A 2，A 3两两互不相容，其和为Ω.设事件B 表⽰“任选⼀名居民其患有甲种疾病”，依题意：P (A 1)＝0.45，P (A 2)＝0.35，P (A 3)＝0.2，P (B ｜A 1)＝0.004，P (B ｜A 2)＝0.002，P (B ｜A 3)＝0.005＝∑=31)|()(i i i A B P A P＝ 0.45 × 0.004 + 0.35 × 0.002 + 0.2 × 0.005＝0.003538. ⼀个机床有三分之⼀的时间加⼯零件A ，其余时间加⼯零件B ，加⼯零件A 时，停机的概率为0.3，加⼯零件B 时停机的概率为0.4，求这个机床停机的概率.解设事件A 表⽰“机床加⼯零件A ”，则A 表⽰“机床加⼯零件B ”，设事件B 表⽰“机床停⼯”.)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=37.0324.0313.0=?+?= 39. 有编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的3个⼝袋，其中Ⅰ号袋内装有两个1号球，1个2号球与1个3号球，Ⅱ号袋内装有两个1号球和1个3号球，Ⅲ号袋内装有3个1号球与两个2号球，现在先从Ⅰ号袋内随机地抽取⼀个球，放⼊与球上号数相同的⼝袋中，第⼆次从该⼝袋中任取⼀个球，计算第⼆次取到⼏号球的概率最⼤，为什么?解设事件A i 表⽰“第⼀次取到i 号球”，B i 表⽰第⼆次取到i 号球，i ＝1，2，3.依题意，A 1，A 2，A 3构成⼀个完全事件组.41)()(,21)(321===A P A P A P 41)|()|(,21)|(131211===A B P A B P A B P 41)|()|(,21)|(232221===A B P A B P A B P 61)|(,31)|(,21)|(333231===A B P A B P A B P 应⽤全概率公式∑==31)|()()(i i j i j A B P A P B P 可以依次计算出4811)(,4813)(,21)(321===B P B P B P . 因此第⼆次取到1号球的概率最⼤.40. 接37题，⽤⼀种检验⽅法，其效果是：对甲种疾病的漏查率为5％(即⼀个甲种疾病患者，经此检验法未查出的概率为5％)；对⽆甲种疾病的⼈⽤此检验法误诊为甲种疾病患者的概率为1％，在⼀次健康普查中，某⼈经此检验法查为患有甲种疾病，计算该⼈确实患有此病的概率.解设事件A 表⽰“受检⼈患有甲种疾病”，B 表⽰“受检⼈被查有甲种疾病”，由37题计算可知P (A )＝0.0035，应⽤贝叶斯公式)|()()|()()|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P += 01.09965.095.00035.095.00035.0=＋ 25.0=41. 甲、⼄、丙三个机床加⼯⼀批同⼀种零件，其各机床加⼯的零件数量之⽐为5 : 3 : 2，各机床所加⼯的零件合格率，依次为94％，90％，95％，现在从加⼯好的整批零件中检查出⼀个废品，判断它不是甲机床加⼯的概率.解设事件A 1，A 2，A 3分别表⽰“受检零件为甲机床加⼯”，“⼄机床加⼯”，“丙机床加⼯”，B 表⽰“废品”，应⽤贝叶斯公式有∑==31111)|()()|()()|(i i i A B P A P A B P A P B A P 7305020＋1030＋06.05.006.05.0== (7)4)|(1)|(11=-=B A P B A P 42. 某⼈外出可以乘坐飞机、⽕车、轮船、汽车4种交通⼯具，其概率分别为5％，15％，30％，50％，乘坐这⼏种交通⼯具能如期到达的概率依次为100％，70％，60％与90％，已知该旅⾏者误期到达，求他是乘坐⽕车的概率.解设事件A 1，A 2，A 3，A 4分别表⽰外出⼈“乘坐飞机”，“乘坐⽕车”，“乘坐轮船”，“乘坐汽车”，B 表⽰“外出⼈如期到达”.∑==41222)|()()|()()|(i i i A B P A P A B P A P B A P 1.05.04.03.03.015.0005.03.015.0?+?+?+??==0.20943. 接39题，若第⼆次取到的是1号球，计算它恰好取⾃Ⅰ号袋的概率.解 39题计算知P (B 1)＝21，应⽤贝叶斯公式 21212121)()|()()|(111111=?==B P A B P A P B A P 44. ⼀箱产品100件，其次品个数从0到2是等可能的，开箱检验时，从中随机地抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求⽽拒收，若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率. 解设事件A i 表⽰⼀箱中有i 件次品，i ＝0, 1, 2. B 表⽰“抽取的10件中⽆次品”，先计算P ( B )∑++?===20101001098101001099)1(31)|()()(i i i C C C C A B P A P B P 37.0)(31)|(0==B P B A P 45. 设⼀条昆⾍⽣产n 个卵的概率为λλ-=e !n p nn n =0, 1, 2, … 其中λ＞0，⼜设⼀个⾍卵能孵化为昆⾍的概率等于p (0＜p ＜1). 如果卵的孵化是相互独⽴的，问此⾍的下⼀代有k 条⾍的概率是多少?解设事件A n ＝“⼀个⾍产下⼏个卵”，n ＝0，1，2….B R ＝“该⾍下⼀代有k 条⾍”，k ＝0，1，….依题意λλ-==e !)(n p A P nn n ≤≤=-n k q p C n k A B P k n k k nn k 00)|(＞其中q =1－p . 应⽤全概率公式有∑∑∞=∞===k n n k n n n k n k A B P A P A B P A P B P )|()()|()()(0∑∞=-λ--λ=l n k n k n q p k n k n n !)(!!e !∑∞=-λ--λλk n k n k k n q k p !)()(e !)( 由于q k n kn k n k n k n q k n q λ∞=--∞=-∑∑=-λ=-λe !)()(!)()(0，所以有,2,1,0e )(e e !)()(===--k k p k p B P p pq kk λλλλλ习题⼆1. 已知随机变量X 服从0－1分布，并且P {X ≤0}＝0.2，求X 的概率分布.解 X 只取0与1两个值，P {X ＝0}＝P {X ≤0}－P {X ＜0}＝0.2，P {X ＝1}＝1－P {X ＝0}＝0.8.2. ⼀箱产品20件，其中有5件优质品，不放回地抽取，每次⼀件，共抽取两次，求取到的优质品件数X的概率分布.解 X 可以取0, 1, 2三个值. 由古典概型公式可知{})2,1,0(2202155===-m C C C m X P m m 依次计算得X 的概率分布如下表所⽰：3. 上题中若采⽤重复抽取，其他条件不变，设抽取的两件产品中，优质品为X 件，求随机变量X 的概率分布.解 X 的取值仍是0, 1, 2.每次抽取⼀件取到优质品的概率是1/4，取到⾮优质品的概率是3/4,且各次抽取结果互不影响，应⽤伯努利公式有{}1694302=??? ??==X P {}1664341112=??==C X P {}1614122=??? ??==X P 4. 第2题中若改为重复抽取，每次⼀件，直到取得优质品为⽌，求抽取次数X 的概率分布.解 X 可以取1, 2, …可列个值. 且事件{X = n }表⽰抽取n 次，前n －1次均未取到优质品且第n 次取到优质品，其概率为41431???? ??-n .因此X 的概率分布为{}?=??==-,2,143411n n X P n 5. 盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个为旧球，采取不放回抽取，每次⼀个直到取得新球为⽌，求下列随机变量的概率分布.(1)抽取次数X ； (2)取到的旧球个数Y .解 (1)X 可以取1, 2, 3, 4各值.{}{}4491191232431=?====X P X P {}22091091121233=??==X P {}2201991011121234===X P (2) Y 可以取0, 1, 2, 3各值 .{}{}4310====X P Y P{}{}44921====X P Y P {}{}220932====X P Y P {}{}220143====X P Y P 6. 上题盒中球的组成不变，若⼀次取出3个，求取到的新球数⽬X 的概率分布.解 X 可以取0, 1, 2, 3各值.{}2201031233===C C X P {}2202713122319===C C C X P {}22010823121329===C C C X P {}22084331239===C C X P 7. 已知P {X ＝n }＝p n ，n ＝1, 2, 3, …, 求p 的值.解根据{}∑=∞=11n n X P ＝, 有 ∑-==∞=111n n pp P 解上⾯关于p 的⽅程，得p ＝0.5.8. 已知P {X ＝n }=p n ， n ＝2, 4, 6, …，求p 的值.解 1122642=-=?+++p p p p p 解⽅程，得p =2±/29. 已知P {X ＝n }=cn , n =1, 2, …, 100, 求c 的值.解 ∑=+?++==10015050)10021(1n cc cn ＝解得 c ＝1/5050 .10. 如果p n ＝cn ＿2，n =1, 2, …, 问它是否能成为⼀个离散型概率分布，为什么?解 ,1121∑=∑∞=∞=n n n n c p 由于级数∑∞=121n n 收敛, 若记∑∞=121n n =a ,只要取ac 1=, 则有∑∞=1n n p =1, 且p n ＞0. 所以它可以是⼀个离散型概率分布.11. 随机变量X 只取1, 2, 3共三个值，其取各个值的概率均⼤于零且不相等并⼜组成等差数列，求X 的概率分布. 解设P {X ＝2}＝a ，P {X ＝1}＝a －d , P {X =3}=a +d . 由概率函数的和为1，可知a =31, 但是a －d 与a +d 均需⼤于零,因此｜d ｜＜31, X 的概率分布为其中d 应满⾜条件：0＜｜d ｜＜312. 已知{}λ-==e !m c λm X P m ,m =1, 2, …, 且λ＞0, 求常数c .解 {}∑∑∞=-∞====11e !1m mm m c m X p λλ由于∑∑∞=∞==+=10e !1!m mm m m m λλλ, 所以有∑∞=---=-=-=11)e 1(e )1e (e !m m c c m c λλλλλ解得λ--=e 11c 13. 甲、⼄⼆⼈轮流投篮，甲先开始，直到有⼀⼈投中为⽌，假定甲、⼄⼆⼈投篮的命中率分别为0.4及0.5，求：(1)⼆⼈投篮总次数Z 的概率分布；(2)甲投篮次数X 的概率分布；(3)⼄投篮次数Y 的概率分布.解设事件A i 表⽰在第i 次投篮中甲投中，j 表⽰在第j 次投篮中⼄投中，i =1, 3, 5, …, j =2, 4, 6,…,且A 1, B 2, A 3, B 4，…相互独⽴.(1){}{}1222321112---=-=k k k A B A B A p k Z P = (0.6×0.5)1-k ·0.4= 0.4(0.3)1-k k=1, 2, …{})(2212223211k k k k B A B A B A p k Z P ---===0.5×0.6×(0.6×0.5)1-k =0.3kk=1, 2, …(2) {}{}12223211---==n n n A B A B A p n X P{}n n n n B A B A B A p 212223211---+)5.06.04.0()5.06.0(1?+?=-n,2,13.07.01=?=-n n (3) {}4.0)(01===A P Y P{}{}{}122121121211+--+==n n n n n A B A B A P B A B A P n Y P)4.05.05.0(6.0)5.06.0(1?+=-n，2,13.042.01=?=-n n 14. ⼀条公共汽车路线的两个站之间，有四个路⼝处设有信号灯，假定汽车经过每个路⼝时遇到绿灯可顺利通过，其概率为0.6，遇到红灯或黄灯则停⽌前进，其概率为0.4，求汽车开出站后，在第⼀次停车之前已通过的路⼝信号灯数⽬X 的概率分布(不计其他因素停车).解 X 可以取0, 1, 2, 3, 4 .P { X ＝0 } ＝0.4 P { X ＝1 }＝0.6×0.4＝0.24P { X ＝2 } ＝0.62×0.4＝0.144P { X ＝3 } ＝0.63×0.4＝0.0864P { X ＝4 } ＝0.64＝0.1296 15. ∈=.,0],[,sin )(其他，b a x x x f 问f (x )是否为⼀个概率密度函数，为什么?如果 (1).π23 ,)3( ;π,0)2( ;2π,0======b a b a b a π解在［0, 2π］与［0, π］上，sin x ≥0,但是,1d sin π0≠?x x ,1d sin 2π0=?x x ⽽在??π23,π上,sin x ≤0.因此只有(1)中的a , b 可以使f (x )是⼀个概率密度函数.16. ≤=-.0,00e )(,22x x c x x f c x ，＞其中c ＞0，问f (x )是否为密度函数，为什么?解易见对任何x ∈(－∞ , ＋∞) , f ( x ) ≥ 0，⼜1d e 202=?-∞+x c x c x f (x )是⼀个密度函数 .17. +=.0.2＜＜,2)(其他，a x a x x f 问f ( x )是否为密度函数，若是，确定a 的值；若不是，说明理由.解如果f ( x )是密度函数，则f ( x )≥0，因此a ≥0，但是，当a ≥0时，444|d 2222≥+==??++a x x a a a a由于x x f d )(?+∞∞-不是1，因此f ( x )不是密度函数.18. 设随机变量X ～f ( x )∞++=.,0,,)1(π2)(2其他＜＜x a x x f 确定常数a 的值，如果P { a ＜ x ＜ b } ＝0.5，求b 的值.解 )arctan 2π(2arctan π2d )1(π22a x x x a a -π==+??+∞+∞ 解⽅程π2??a arctan － 2π=1 得 a = 0{}b x x x f b x P b b arctan π2|arctan π2d )(000==?=＜＜解关于b 的⽅程：π2arctan b =0.5 得 b =1.19. 某种电⼦元件的寿命X 是随机变量，概率密度为≥=.100,0,100100)(2＜x x x x f 3个这种元件串联在⼀个线路中，计算这3个元件使⽤了150⼩时后仍能使线路正常⼯作的概率. 解串联线路正常⼯作的充分必要条件是3个元件都能正常⼯作. ⽽三个元件的寿命是三个相互独⽴同分布的随机变量，因此若⽤事件A 表⽰“线路正常⼯作”，则3])150([)(＞X P A P ={}32d 1001502150=?∞+x x X P ＝＞ 278)(=A P 20. 设随机变量X ～f ( x )，f ( x )＝A e －|x|，确定系数A ；计算P { |X | ≤1 }.解 A x A x A x x 2d e 2d e 10||=?=?=∞+-∞+∞--解得 A ＝21 {}??---==≤10||11d e d e 211||x x X P x x632.0e 11≈-=-21. 设随机变量Y 服从［0, 5］上的均匀分布，求关于x 的⼆次⽅程4x 2＋4xY +Y +2=0有实数根的概率. 解 4x 2+4xY +Y +2=0.有实根的充分必要条件是△＝b 2－4ac =16Y 2－16(Y +2)=16Y 2－16Y －32≥0设事件P (A )为所求概率.则{}{}{}120321616)(2-≤+≥=≥--=Y P Y P Y Y P A P=0.622. 设随机变量X ～ f ( x )，-=.,01||,1)(2其他，＜x x cx f确定常数c ，计算.21||≤X P解π|arcsin d 1111211c x c x x c==-?=--c =π131arcsin 2d 1121||0212121 2=π=-π=≤?-x x x X P23. 设随机变量X 的分布函数F ( x )为≥=.1,1,10,0,0)(x x x A x x F ＜＜，＜确定系数A ，计算{}25.00≤≤X P ，求概率密度f ( x ).解连续型随机变量X 的分布函数是连续函数，F (1)＝ F (1－0)，有A ＝1. =.,0,10,21)(其他＜＜x x x f{}5.0)0()25.0(25.00=-=≤≤F F X P24. 求第20题中X 的分布函数F ( x ) .解 {}t x X P x F t x d e 21)(||-∞-?=≤=当t ≤ 0时，x t x t x F e 21d e 21)(=?=∞-当t ＞0时，t t t x F tx t t x d e 21d e 21d e 21)(-00||?+?=?=-∞--∞-x x ---=-+=e 211)e 1(212125. 函数(1+x 2)－1可否为连续型随机变量的分布函数，为什么?解不能是分布函数，因F (－∞)＝ 1 ≠ 0.26. 随机变量X ～f ( x )，并且)1(π)(2x ax f +=,确定a 的值；求分布函数F ( x )；计算{}1||＜X P .解 a x a x x a ==?+=∞+∞-∞+∞-arctan πd )1(π12 因此a =1x x t t t x F ∞-∞-=?+=arctan π1d )1(π1)(2 x arctan π121+= {}?+=?+=-102112d )1(π12d )1(π11||x x x x X P ＜ 21arctan π210==x 27. 随机变量X 的分布函数F ( x ) 为：≤-=.2,02,1)(2x x x A x F ，＞确定常数A 的值，计算{}40≤≤X P .解由F ( 2＋0 )＝F ( 2 )，可得4,041==-A A {}{})0()4(4X 040F F P X P -=≤=≤≤＜28. 随机变量X ～f ( x )，f ( x )＝,ee x x A -+确定A 的值；求分布函数F ( x ) . 解 ?+=?+=∞∞-∞∞--x A x A x x x x d e 1e d e e 12 A A x 2πe a r c t a n ==∞∞- 因此 A ＝π2， xtx t t t x F ∞-∞--=+=?e arctan π2d )e e (π2)(x e arctan π2= 29. 随机变量X ～f ( x )，=.,00,π2)(2其他＜＜a x x x f确定a 的值并求分布函数F ( x ) .解 220222ππd π21a x x x a a ==?= 因此，a = π当0＜x ＜π时，=x x t t x F 0222πd π2)( 其他≥≤=π1,π0,π0,0)(22x x xx x F ＜＜30. 随机变量X 的分布函数为)0(0,e 22210,0)(22＞＞a x ax x a x x F ax ++-≤=-求X 的概率密度并计算a X P 10＜＜.解当x ≤ 0时，X 的概率密度f ( x ) ＝0；当x ＞ 0时，f ( x ) ＝F′ ( x )≤=-.0,e 2,0,0)(23＞ x x a x x f ax(1010F a F a x P a x P -=≤=?＜＜＜08.0e 2511≈-=-31. 随机变量X 服从参数为0.7的0－1分布，求X 2，X 2－2X 的概率分布.解 X 2仍服从0－1分布，且P { X 2＝0 } ＝P { X ＝0 } ＝0.3，P {X 2＝1}＝P {X ＝1}＝0.7X 2－2X 的取值为－1与0 , P {X 2－2X ＝0}＝P { X ＝0 } ＝0.3P { X 2－2X ＝－1 } ＝1－P { X ＝0 } ＝0.732. 已知P { X ＝10n } ＝P { X ＝10-n }＝,,2,1,31=n nY =l gX ，求Y 的概率分布.解 Y 的取值为±1, ±2 , …P { Y =n } =P { l gX =n } =P { X =10n } =31P { Y =－n } =P { l gX =－n } =P { x =10-n } ＝31n ＝1 , 2 , …33. X 服从［a , b ］上的均匀分布，Y =ax +b (a ≠0)，求证Y 也服从均匀分布.证设Y 的概率密度为f Y ( y ) ，X 的概率密度为f X ( x )，只要a ≠ 0，y = ax + b 都是x 的单调函数. 当a ＞0时，Y 的取值为［a 2+b , ab +b ］,a x y hb y a y h x y 1)(,)(1)(='='-==],,[,)(1])([)()(2b ab b a y a b a y h f y h y f X Y ++∈-='=当],[2b ab b a y ++∈时，f Y ( y ) =0.类似地，若a ＜0，则Y 的取值为［ ab +b , a 2+b ］+≤≤+--=.,0,,)(1)(2其他b a y b ab a b a y f Y因此，⽆论a ＞0还是a ＜0，ax +b 均服从均匀分布.34. 随机变量X 服从［0 ,2π］上的均匀分布Y =cos X , 求Y 的概率密度f Y ( y ). 解 y =cos x 在［0, 2π］上单调，在(0 , 1)上，h ( y ) = x =arccos y h′ ( y ) = 211y -- , f x ( x ) = π2 , 0 ≤ x ≤ 2π . 因此 -=.0,10,1π2)(2其他，＜＜y yy f Y35. 随机变量X 服从(0 , 1)上的均匀分布，Y =e x , Z =｜ln X ｜，分别求随机变量Y 与Z 的概率密度f Y ( y ) 及f Z ( z ) .解 y = e x 在(0 , 1)内单调 , x =ln y 可导，且x′y = y1 , f X ( x ) =1 0 ＜ x ＜ 1 , 因此有.,0,e 1,1)(其他 ＜＜y y y f Y在(0 , 1)内ln x ＜ 0｜ln x ｜=-ln x 单调，且x = e z -，x′z ＝－e z -，因此有∞+=-.,0,0e )(其他＜＜，z z f z z 36. 随机变量X ～f ( x ) ，≤=-0,00,e )(x x x f x ＞ Y = X , Z = X 2 , 分别计算随机变量Y 与Z 的概率密度f y ( y ) 与f Z ( z ) .解当x ＞ 0时，y =x 单调，其反函数为x = y 2 , x′y = 2y≤=-.0,0,0,e 2)(2y y y y f y Y ＞当x ＞ 0时z ＝x 2也是单调函数，其反函数为x =z , x′ z =z 21 ≤=-.0,00e 21)(z ，z z z f z z ＞ 37.随机变量X ～f ( x )，当x ≥ 0时,)1(2)(2x x f +=π, Y =arctan X , Z = X1,分别计算随机变量Y 与Z 的概率密度f Y ( y ) 与fz ( z ) . 解由于y = arctan x 是单调函数，其反函数x =tan y , x′ y =sec 2y 在?? -2π,0内恒不为零，因此，当0 ＜ y ＜π2时，π2)tan 1(π2sec )(22=+=y yy f Y 即Y 服从区间(0 , 2π)上的均匀分布. z = x 1在x ＞0时也是x 的单调函数，其反函数x =z 1, x′ z =21z-. 因此当z ＞0时， )1(π2])1(1[π21)(222z zz z fz +=+-= ??≤+=0,00,)1(π2)(2z z z z f z ＞即Z = X1 与X 同分布. 38. ⼀个质点在半径为R ，圆⼼在原点的圆的上半圆周上随机游动. 求该质点横坐标X 的密度函数f X ( x ) . 解如图，设质点在圆周位置为M ，弧MA 的长记为L ，显然L 是⼀个连续型随机变量，L 服从［0，πR ］上的均匀分布.≤≤=.,0π0,π1)(其他，R l R l f L M 点的横坐标X 也是⼀个随机变量，它是弧长L 的函数，且 X ＝ R cos θ＝ R cos RL 函数x = R cos l / R 是l 的单调函数 ( 0＜ l ＜πR ) ,其反函数为 l ＝ R arccos Rx 22xR R l x --=' 当－R ＜ x ＜ R 时，L′x ≠ 0，此时有2222π1π1)(xR R x R R x f X -=?--= 当x ≤ －R 或x ≥ R 时，f X ( x ) ＝0 .39. 计算第2 , 3 , 5 , 6 , 11各题中的随机变量的期望.解根据第2题中所求出的X 概率分布，有2138223815138210=?+?+?=EX 亦可从X 服从超⼏何分布，直接计算2120521=?==N N n EX 在第3题中21161216611690=?+?+?=EX 亦可从X 服从⼆项分布(2，41)，直接⽤期望公式计算： 21412=?==np EX 在第5题中图2-1(1) 3.122014220934492431=?+?+?+?=EX (2) 3.022013220924491430=?+?+?+?=EY 在第6题中，25.2220843220108222027122010=?+?+?+?=EX 在第11题中，??+++ -=d 313312d 311EX 31 ｜＜d ＜｜0 d 22+= 40. P { X = n } =nc , n =1, 2, 3, 4, 5, 确定C 的值并计算EX . 解 160137543251==++++=∑=c c c c c c n c n13760=C 137300551==∑?==C n c n EX n 41. 随机变量X 只取－1, 0, 1三个值，且相应概率的⽐为1 : 2 : 3，计算EX . 解设P { X ＝－1 } ＝ a ，则P { X ＝0 } ＝2a , P { X ＝1 }＝3a ( a ＞0 ) ，因a + 2a + 3a = 1 , 故a ＝1/631631620611=?+?+?-=EX 42. 随机变量X 服从参数为0.8的0－1分布，通过计算说明EX 2是否等于( EX )2 ? 解 EX ＝P { X ＝1 } ＝0.8，( EX )2 ＝0.64EX 2＝1×0.8＝0.8＞( EX )243. 随机变量X ～f ( x ) ，f ( x ) ＝0.5e - | x |，计算EX n ，n 为正整数. 解当n 为奇数时，)(x f x n 是奇函数，且积分x x x n d e 0-∞?收敛，因此0d e 5.0||=?=-∞+∞-x x EX x n n 当n 为偶数时，x x x x EX x n x n n d e 5.02d e 5.00||-∞+-∞+∞-?=?=!)1(d e 0n n x x x n =+Γ=?=-∞+44. 随机变量X ～f ( x ) ，-≤≤=.,0,21,2,10,)(＜＜x x x x x f计算EX n (n 为正整数) .解 x x x x x x x f x EX n n n n d )2(d d )(21101?-+?=?=+∞+∞-1)2(21)12(122121-+--+++=++n n n n n )2()1(222++-=+n n n 45. 随机变量X ～f ( x ) ，≤≤=.,0,10,)(其他x cx x f b b ,c 均⼤于0，问EX 可否等于1，为什么?其他其他。
概率论与数理统计课件8
8 (续)
(3)
P
arc
tgX
3
P
X
tg
3
P X 3
1 F 3
1 2 3
1 3
9、设随机变量 X 旳分布函数
0,
F
x
A
cos
x 2
,
1 ,
x0
0 x x
(1) 拟定 A ; (2) 求 X 旳密度函数 f ( x ) ;
(3) 计算
P
cos
X 2
1 2
解:
(1)
3
3
故 所以
Y
~
B
3,
1 3
P Y 1 1
P Y
0
1
1
1 3
3
19 27
3、假如在时间 t（分钟）内, 某纺织工人看守
旳织布机断纱次数服从参数与 t 成正比旳泊松
分布. 已知在一分钟内不出现断纱旳概率为
0.2，求在 2 分钟内至少出现一次断纱旳概率
解: 设 X 表达某纺织工人看守旳织布机断纱
32
解得
a1 , b5
6
6
7 (续) 故
0,
1
,
F
x
6 1 2
,
1,
(2) X 旳分布列为
x 1 1 x 1
1 x2 x2
X 1 1 2
P
111
632
8、设随机变量 X 具有概率密度
ax,
f
x
b 1 x2
,
0 ,
0 x1 x1
其它
又
P
X
1 2
7 8
求: (1) 常数 a , b ;
概率统计随机过程-期末试卷-参考答案
7. 1
8. 1 1
4. ，
2
数理统计
57 33 e 30 154 e 15 9. , 8 24
2 2 2
又由
15 S 2
2
4
即
152
2 15 S 2 (15) 知 D 2 2 15
D S 2 2 15
2
得 D S
2 15
4
五、解:
数理统计
1 2 3 (1) 先求二步转移概率矩阵 1 1/ 2 1/ 4 1/ 4 2 P (2) [ P (1)] 2 1/ 4 1/ 2 1/ 4 3 1/ 4 1/ 4 1/ 2 3 P{ X 2 2} P X 0 iP X 2 2 | X 0 i
数理统计
《概率统计与随机过程》期末试卷二 参考答案 一、填空题
1. F (1, n)
2. P X 1 x1 ,..., X n xn p i 1 (1 p) 其中xi 0或1;
1 n 3. X , Xi X n i 1
xi
n
n
xi
i 1
n
,
E ( S 2 ) p(1 - p)
六、解:
a2 (3) 因 RX ( t , t ) cos 0 , 2 i 故 S X R e d X
2 a i cos( ) e d 0 2 2 a cos(0 )e i d 2 a2 0 0 2
p1 (0) P12 (2) p2 (0) P22 (2) p3 (0) P32 (2) 1 1 1 1 1 ( ) 3 4 2 4 3 (2) P{ X 2 2, X 3 2 | X 0 1}
《概率论与数理统计》课后习题答案2
1． 试分别给出随机变量的可能取值为可列、有限的实例．解 用X 表示一个电话交换台每小时收到呼唤的次数，X 的全部可能取值为可列的 0,1,2,3，…，；用Y 表示某人掷一枚骰子出现的点数，Y 的全部可能取值为有限个 1,2,3，4,5,6 ；2． 试给出随机变量的可能取值至少充满一个实数区间的实例．解 用X 表示某灯泡厂生产的灯泡寿命（以小时记），X 的全部可能取值为区间 （0，+∞）3． 设随机变量X 的分布函数()F x 为()F x = 2 1, >20, 2A x xx ⎧-⎪⎨⎪≤⎩ 确定常数A 的值，计算(04)P X ≤≤.解 由(20)(2),F F +=可得10, =44AA -= (04)(04)(4)(0)0.75P X P X F F ≤≤=<≤=-=.4．试讨论：A 、B 取何值时函数()arctan3xF x A B =+ 是分布函数． 解 由分布函数的性质，有()()0,1F F -∞=+∞=，可得0,211,,21,2A B A B A B πππ⎧⎛⎫+-= ⎪⎪⎪⎝⎭⇒==⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩于是()11arctan ,.23xF x x π=+-∞<<+∞1．设10个零件中有3个不合格． 现任取一个使用，若取到不合格品，则丢弃重新抽取一个，试求取到合格品之前取出的不合格品数X 的概率分布．解 由题意知，X 的取值可以是0,1,2,3.而X 取各个值的概率为{}{}70,103771,10930P X P X ====⨯= {}{}32772,1098120321713.10987120P X P X ==⨯⨯===⨯⨯⨯= 因此X 的概率分布为012 377711030120120X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦2．从分别标有号码1 ，2 ，… ，7的七张卡片中任意取两张， 求余下的卡片中最大号码的概率分布．解 设X 为余下的卡片的最大号码 ，则X 的可能取值为5、6、7，且1{5}21P X ==5{6}21P X ==15{7}21P X ==即所求分布为567 1515212121X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3．某人有n 把外形相似的钥匙，其中只有1把能打开房门，但他不知道是哪一把，只好逐把试开．求此人直至将门打开所需的试开次数的概率分布．解 设此人将门打开所需的试开次数为X ，则X 的取值为1,2,3,...,k n =，事件{}{}1X k k k ==-前次未打开，第次才打开，且{}11P X n ==， {}11121n P X n n n-==⋅=-，… …，{}()121112111,2,....,n n n k P X k n n n k n k k n n ---+==⋅⋅⋅⋅--+-+== 故所需试开次数的分布为12~111X n nn ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ... n .... 4．随机变量X 只取1 、2 、3共三个值，并且取各个值的概率不相等且组成等差数列，求X 的概率分布．解 设{}{}{}1,2,3P X a P X b P X c ======，则由题意有1a b c c b b a ++=⎧⎨-=-⎩解之得2313a c b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩设三个概率的公差为d ，则11,33a d c d =-=+，即X 的概率分布为 12 3111333X d d⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦，103d << 5．设随机变量X 的全部可能取值为1 ，2 ，… ，n ，且()P X k = 与k 成正比，求X 的概率分布．解 由题意，得{}() 1,2,,k P X k p ck k n ====其中c 是大于0的待定系数．由11nkk p==∑，有12....1nk k cp c c n c ==+++=∑ 即()112n n c +=，解之得 ()21c n n =+.把()21c n n =+代入k p ，可得到X 的概率分布为{}()2,1,2,...,.1kP X k k n n n ===+6．一汽车沿街道行驶时须通过三个均设有红绿灯的路口．设各信号灯相互独立且红绿两种信号显示的时间相同，求汽车未遇红灯通过的路口数的概率分布．解 设汽车未遇红灯通过的路口数为X ，则X 的可能值为0，1，2，3．以()1,2,3i A i =表示事件“汽车在第i 个路口首次遇到红灯”，则123,,A A A 相互独立，且()()1,1,2,32i i P A P A i ===．对0,1,2,3k =，有{}()1102P X P A ==={}()()()1212211142P X P A A P A P A ===== {}()123311282P X P A A A ==== {}()123311382P X P A A A ==== 所以汽车未遇红灯通过的路口数的概率分布为012 311112488X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦7．将一颗骰子连掷若干次，直至掷出的点数之和超过3为止．求掷骰子次数的概率分布．解 设掷骰子次数为X ，则X 可能取值为1，2，3，4，且31{1}62P X === 141515{2}6666612P X ==⨯+⨯+=；115111117{3}6666666216P X ==⨯⨯+⨯+⨯=； 1111{4}666216P X ==⨯⨯=所以掷骰子次数X 的概率分布为123 415171212216216X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 8．设X 的概率分布为试求（1）X 的分布函数并作出其图形；（2） 计算{11}P X -≤≤ ，{0 1.5}P X ≤≤ ，{2}P X ≤ ． 解（1）由公式 (){}()k kx xF X P X x p x ≤=≤=-∞<<+∞∑，得()0,00.2,010.5,120.6,231,3x x F X x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩（2） {}11(1)(10)0.500.5P X F F -≤≤=---=-= {}0 1.5(1.5)(00)0.500.5P X F F ≤≤=--=-={}2(2)0.6P X F ≤==9．设随机变量X 的分布函数为010.210()0.70212x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，，，，试求（1） 求X 的概率分布；（2） 计算1322P X ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭，{1}P X ≤- ，{03}P X ≤< ，{1|0}P X X ≤≥解 (1)对于离散型随机变量，有{}()()0P X k F k F k ==--，因此，随机变量X 的概率分布为10 2 0.20.50.3X -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (2) 由分布函数计算概率，得13310.52222P X F F ⎧⎫⎛⎫⎛⎫-<≤=--=⎨⎬ ⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭⎝⎭；{}()110.2P X F ≤-=-=；{}()0330(00)10.20.8P X F F ≤<=---=-=； {}{}{}{}{}1,0100010.50.625.00.8P X X P X X P X P X P X ≤≥≤≥=≥≤≤===≥10．已知随机变量X 服从0—1分布，并且{0}P X ≤=0.2，求X 的概率分布 ． 解 X 只取0与1两个值，{0}P X =={0}P X ≤－{0}P X <＝0.2,{1}1{0}0.8P X P X ==-==11．已知{}P X n == nP ，n =1,2,3,⋯,求P 的值 ．解 因为1{}1,n P X n ∞===∑ 有 11=,1n n pp p∞==-∑解此方程，得0.5p =. 12．商店里有5名售货员独立地售货．已知每名售货员每小时中累计有15分钟要用台秤．（1） 求在同一时刻需用台秤的人数的概率分布；（2） 若商店里只有两台台秤，求因台秤太少而令顾客等候的概率．解 (1) 由题意知,每名售货员在某一时刻使用台秤的概率为150.2560p ==, 设在同一时刻需用台秤的人数为X , 则()~5,0.25X B , 所以{}550.250.75(0,1,2,3,4,5)kk k P X k C k -===(2) 因台秤太少而令顾客等候的概率为{}{}55553320.250.75k k k k k P X P X k C -==>===∑∑332445550.250.750.250.750.250.1035C C =++≈13．保险行业在全国举行羽毛球对抗赛，该行业形成一个羽毛球总队，该队是由各地区的部分队员形成．根据以往的比赛知，总队羽毛球队实力较甲地区羽毛球队强，但同一队中队员之间实力相同，当一个总队运功员与一个甲地区运动员比赛时，总队运动员获胜的概率为0.6，现在总队、甲队双方商量对抗赛的方式，提出三种方案：（1）双方各出3人； （2）双方各出5人； （3）双方各出7人．3种方案中得胜人数多的一方为胜利．问：对甲队来说，哪种方案有利？解 设以上三种方案中第i 种方案甲队得胜人数为(1,2,3),i X i =则上述3种方案中，甲队胜利的概率为（1）{}331322(0.4)(0.6)0.352k k k k P X C -=≥=≈∑（2）{}552533(0.4)(0.6)0.317k k k k P X C -=≥=≈∑（3）{}773744(0.4)(0.6)0.290kk k k P X C -=≥=≈∑因此第一种方案对甲队最为有利．这和我们的直觉是一致的。
概率统计(文科)
文科数学《统计与概率》核心知识点与参考练习题一、统计（核心思想：用样本估计总体）1.抽样（每个个体被抽到的概率相等）（1）简单随机抽样：抽签法与随机数表法（2）系统抽样（等距抽样）（3）分层抽样2.用样本估计总体：（1）样本数字特征估计总体：众数、中位数、平均数、方差与标准差（2）样本频率分布估计总体：频率分布直方图与茎叶图3.变量间的相关关系：散点图、正相关、负相关、回归直线方程（最小二乘法）4.独立性检验二、概率（随机事件发生的可能性大小）1.基本概念（1）随机事件A的概率P（A）e（0,1）（2）用随机模拟法求概率（用频率来估计概率）（3）互斥事件（对立事件）2.概率模型（1）古典概型（有限等可能）（2）几何概型（无限等可能）三、参考练习题1•某校高一年级有900名学生，其中女生400名•按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为.2•某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比是3:3:4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则该从高二年级抽取名学生.3.某校老年、中年和青年教师的人数见右表，米用分层抽样的方法调查教类另U人数师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年老年教师900教师人数为中年教师1800 4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是青年教师1600 5•若1,2,3,4,m这五个数的平均数为3,则这五个数的标准差为•合计4300 6•重庆市2013年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如右图：o吕9则这组数据的中位数是•1252003127•某高校调查了200名学生每周的晚自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中晚自习时间的范围是［17.5,30］，样本数据分组为［17.5,20），［20,22.5），［22.5，25），［25，27.5），［27.5，30］.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A.56B.60C.120D.1408.（2016四川文）我国是世界上严重缺水的国豕，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照［0,0.5），［0.5，1），…，［4,4.5］分成9组，制成了如图的频率分布直方图.（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；（III）估计居民月均用水量的中位数.0Q.511622.533.544.6月满意度评分低于70分 70分到89分不低于90分 满意度等级不满意满意非常满意A 地区用户满意度评分的频率分布直方司为了解用户对其产品的满意度，从A,B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表.(II) 根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：试估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由.10.(2014安徽文)某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时).(I) 应收集多少位女生的样本数据？(II) 根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4],(4,6],(6,8],(&10]，(10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；满意度评分分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频数 2 8 14 10 6B 地区用户满意度评分的频数分布表 (I)作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分 的平均值及分散程度(不要求计算出具 体值，给出结论即可)；B 地区用户满意度评分的频率分布直方图(III)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体 育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间 与性别有关”.n (ad 一bc\附:尺2步畝+d 儿+枫+d )P (2>k)0.10 0.05 0.01 0.005 k2.7063.8416.6357.8799.(2015全国II 文)某公03511.（2014全国I文）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：（I）在下表中作出这些数据的频率分布直方图: 12.（2014广东文）某车间20名工人年龄数据如下表: 年皤7舁工人執7人1912日329330531斗323401昔讦20（I）求这20名工人年龄的众数与极差；（II）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图;（III）求这20名工人年龄的方差.13.（2016江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是.14.___________________________________________________ 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（II）估计这种产品质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；15.（2016全国乙卷文）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是.（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95 16.（2016全国丙卷文）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M、I、N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是.的产品至少要占全部产品80%”的规定?17. （2016天津文）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为1,甲获胜的概率是-,则甲不23输的概率为.18. 已知5件产品中有2件次品，其余为合格品•现从这5件产品中任选2件，恰有一件次品 的概率为.24. 如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴19.某单位N 名员工参加“社区低碳你我他”活动•他们的年龄在25岁至50岁之间.按年龄分组并得到的频率分布直方图如图所示.下表是年龄的频数分布表.区间 [25，30) [30，35) [35，40) [40,45) [45,50] 人数25 ab5丰25. 为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下: 父亲身高x （cm ）174 176 176 176 178 儿子身高y （cm ）17517517617717722. ____________________________________________ 在区间［-2,3］上随机选取一个数x ，则x <1的概率为23. ___________________________________ 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是.（I ）求y 关于t 的回归方程y =bt+a ；（II ）利用（I ）中的回归方程，分析2011年至2015年该地区城乡居民储蓄存款的变化情4550年龄/驴（I ）求正整数a ,b ,N 的值；（II ）现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？（III ）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率. 20.（2016全国丨文）某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ A.1B.1C.-D.- 21.（2016全国II 文）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒•若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）10 B.5D.—10 则y 对X 的线性回归方程为（）A .y =x 一1B .y =x +1C .y =88+-x广告费用x （万元）4 2 35 销售额y （万元）4926395426.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下:D .y =176根据上表可得回归方程y =bx+a 中的b 为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A .63.6万元B .65.5万元C .67.7万元D .72.0万元27.随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长•设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年 底余额）如下表：年份 2011 2012 2013 2014 2015 时间代号t1 2 3 4 5 储蓄存款y （千亿兀）567810年（1=6）的人民币储蓄存款.V--‘’ty-nty _‘附：回归方程$=几+<2中，,a=y-bt.乙/2-nt 2i=l28.甲、乙两所学校高三年级分别有1200人、1000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样的方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：乙校:（1）计算兀y 的值;况，并 预测 该地 区 2016P^Ki>k)0.10 0.05 0.010 k2.7063.8416.635参考数据与（2）若规定考试成绩在［120,150］内为优秀，请分别估计两所学校数学成绩的优秀率； （3）由以上统计数据填写下面2X2列联表，并判断是否有90%的把握认为两所学校的数学成绩有差异.公式：由列联表中数(a+b)(?+d)C+c)a+d)，临界值表:29.—次考试中，5名学生的数学、物理成绩如下表所示:学生 A B C D E 数学成绩兀（分） 89 91 93 95 97 物理成绩y （分）8789899293（1）要从5名学生中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90 分的概率；(2 )性回归100名市民，按年龄情况进行统计得到下面的频率分布表和频率分布直方图.0.08°1—r---—r方程（系数精确到0.01）.''''（1）求频率分布表中a、b的值，并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计有意购车的这500名市民的平均年龄；31.（2016新课标II）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：附：回归直线的方程是：y=bx+a上年度出险次数0 1 2 3 4 >5保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a其中b=㈠(j——,a=y-b x；设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:ii=130•为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽取一年内出险次数0 1 2 3 4 >5 概率0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05（I）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;32.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为.33.现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，某同学从中任取2道题解答•试求:(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率.34.某公司为了解用户对其产品的满意度，从A,B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(I)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；A地区B帥反4567S9。
概率统计第三章题解
求（1）X,Y 的边缘分布律; （2）X=3 的条件下,Y 的条件分布律； （3）Y=1 的条件下，X 的条件分布律.
解： （1）X,Y 的边缘分布律见上表. 即
P { X 3, Y k } （2） P{Y k | X 3} ， k 0,1,2,3 P { X 3}
K
0
X 和 Y 的联合分布律为
X
0 0 1/8
1 3/8 0
2 3/8 0
3 0 1/8
Y 1
3
3．盒子里装有 3 只黑球，2 只白球，2 只红球，在其中 任取 4 只球，以 X 表示取到黑球的只数，以 Y 表示取到红 球的只数.求 X 和 Y 的联合分布律. 解 X 的可能取值为 0，1，3，Y 的可能取值为 0，1，
由于 X 和 Y 相互独立，因此 X 和 Y 的联合概率密度为
1 1 e 2 , 0 x 1, y 0 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ) 2 0, 其它
（2）设含有 a 的二次方程为a 2 2 Xa Y 0 ，试求 a 有 实根的概率.
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三、习题解答 1．在一箱子中装有 12 只开关，其中 2 只是次品，在其
中取两次，每次任取一只，考虑两种试验： （1）放回抽样， （2）不放回抽样.我们定义随机变量 X、Y 如下：
)dx
1 2 ((1) (0))
=0.1445
14. 设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密 度分别为
（1）确定常数ｋ； （2）求Ｐ{X<1,Y<3}； （3）求 P{X<1.5};（4）求 P{X+Y 4 }.
概率论与统计课程学习讲义 (34)
X (t,2 ) a cos(t ) -a cos t, - t
其中常数a
0, 且P(1 )
2 3
P( X
(0)
a)
P(2 )
1 3
所以
10
0
F
(
x,
0)
1 3
1
x -a -a xa xa
同理，根据X(4 )可能取的值为
X(4
,1 )
a
cos
4
2a 2
X(4
,2 )
a
cos
4
2a 2
11
可得：
0
X 2a 2
F
(
X
,
4
)
1 3
- 2a 2
X
2a 2
1
X 2a 2
第二节 随机过程的概率分布
1
设{X (t),t T} 是一随机过程,对于参数集 T 中的任 意n个元素: 即过程的 n 个状态 t1, t2 , , tn
X (t1) X (e,t1), X (t2) X (e,t2), , X (tn) X (e,tn)
(n 个随机变量)的联合分布
称为随机过程 X (t) 的n 维分布函数, n 1,2,3, 一维分布函数 F(x1;t1) P{X (t1) x1}
12
再求二维分布。随机矢量(X (0), X ( ))可能的取值为
2
(
X
(0,
1
),
X
(
4
,
1
))
(a,
2 a) 2
(
X
(0,
2
),
X
(
4
,
2
))
概率统计课后习题答案
4%，2%，如从该厂产品中抽取一件，得到的是次品，求它依次是车间 生产的概率。
解 为方便计，记事件为车间生产的产品，事件{次品}，因此
10．设 因，由独立性有 从而 导致 再由 ，有 所以 。最后得到 12．甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分 别为1/3，1/2，2/3，求目标被命中的概率。 解 记 {命中目标}，{甲命中}，{乙命中}，{丙命中}，则 ，因而 13．设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元 件不通达的概率为，求这个装置通达的概率。假定各个元件通达与否是 相互独立的。 解 记 {通达}，
(ⅳ) 有利于的样本点数，故 . 3．一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6，随机地从这个口袋 中取2只球，试求：(1) 最小号码是3的概率；(2) 最大号码是3的概率。 解 本题是无放回模式，样本点总数. (ⅰ) 最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6这四个球中取2只，且 有一次抽到3，因而有利样本点数为，所求概率为 . (ⅱ) 最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于是 有利样本点数为，所求概率为 . 4．一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放 回抽样，接连取2次，每次取1只，试求下列事件的概率： (1) 2只都合格； (2) 1只合格，1只不合格； (3) 至少有1只合格。 解 分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为，则 注意到，且与互斥，因而由概率的可加性知 5．掷两颗骰子，求下列事件的概率： (1) 点数之和为7；(2) 点数之和不超过5；(3) 点数之和为偶数。 解 分别记题(1)、(2)、(3)的事件为,样本点总数 (ⅰ)含样本点,(1,6),(6,1),(3,4),(4,3) (ⅱ)含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)
概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案
概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案1．设二维随机变量),(Y X 只能取下列数组中的值：)0,0(，)1,1(-，31,1(-及)0,2(，且取这几组值的概率依次为61，31，121和125，求二维随机变量),(Y X 的联合分布律．解：由二维离散型随机变量分布律的定义知，),(Y X 的联合分布律为2．某高校学生会有8名委员，其中来自理科的2名，来自工科和文科的各3名．现从8名委员中随机地指定3名担任学生会主席．设X ，Y 分别为主席来自理科、工科的人数，求：(1)),(Y X 的联合分布律；(2)X 和Y 的边缘分布律．解：(1)由题意，X 的可能取值为0，1，2，Y 的可能取值为0，1，2，3，则561)0,0(3833====C C Y X P ，569)1,0(381323====C C C Y X P ，569)2,0(382313====C C C Y X P ，561)3,0(3833====C C Y X P ，283)0,1(382312====C C C Y X P ，289)1,1(38131312====C C C C Y X P ，283)2,1(382312====C C C Y X P ，0)3,1(===Y X P ，563)0,2(381322====C C C Y X P ，563)1,2(381322====C C C Y X P ，0)2,2(===Y X P ，0)3,2(===Y X P ．),(Y X 的联合分布律为：(2)X 的边缘分布律为X 012P1452815283Y 的边缘分布律为Y 0123P285281528155613．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其他．,0,42,20),6(),(y x y x k y x f 求：(1)常数k ；(2))3,1(<<Y X P ；(3))5.1(<Y P ；(4))4(≤+Y X P ．解：方法1：(1)⎰⎰⎰⎰--==+∞∞-+∞∞-422d d )6(d d ),(1yx y x k y x y x f ⎰--=42202d |)216(y yx x x k k y y k 8d )210(42=-=⎰，∴81=k ．(2)⎰⎰∞-∞-=<<31d d ),()3,1(y x y x f Y X P ⎰⎰--=32102d d )216(yx yx x x ⎰--=32102d |)216(81y yx x x 83|)21211(81322=-=y y ．(3)),5.1()5.1(+∞<<=<Y X P X P ⎰⎰+∞∞-∞---=5.1d d )6(81yx y x ⎰⎰--=425.10d d )6(81y x y x y yx x x d )216(81422⎰--=3227|)43863(81422=-=y y ．(4)⎰⎰≤+=≤+4d d ),()4(y x y x y x f Y X P ⎰⎰---=2042d )6(d 81x y y x x ⎰+-⋅=202d )812(2181x x x 32|)31412(1612032=+-=x x x ．方法2：(1)同方法1．(2)20<<x ，42<<y 时，⎰⎰∞-∞-=yxv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰--=y xv u v u 20d d )6(81⎰--=y xv uv u u 202d |)216(81⎰--=y v xv x x 22d )216(81y xv v x xv 222|)21216(81--=)1021216(81222x xy y x xy +---=，其他，0),,(=y x F ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+---=其他．,0,42,20),1021216(81),(222y x x x xy y x xy y x F 83)3,1()3,1(==<<F Y X P ．(3))42,5.1(),5.1()5.1(<<<=+∞<<=<Y X P Y X P X P )2,5.1()4,5.1(<<-<<=Y X P Y X P 3227)2,5.1()4,5.1(=-=F F ．(4)同方法1．4．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=--其他．,0,0,0,e ),(2y x A y x f y x 求：(1)常数A ；(2)),(Y X 的联合分布函数．解：(1)⎰⎰⎰⎰+∞+∞--+∞∞-+∞∞-==02d d e d d ),(1yx A y x y x f y x ⎰⎰+∞+∞--=002d e d e y x A y x2|)e 21(|)e (020A A y x =-⋅-=∞+-∞+-，∴2=A ．(2)0>x ，0>y 时，⎰⎰∞-∞-=y xv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰--=yxv u vu 02d d e 2yv x u 020|)e 21(|)e (2---⋅-=)e 1)(e 1(2y x ----=，其他，0),(=y x F ，∴⎩⎨⎧>>--=--其他．,0,0,0),e 1)(e 1(),(2y x y x F y x ．5．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他．,0,10,10,),(y x Axy y x f 求：(1)常数A ；(2)),(Y X 的联合分布函数．解：(1)2121d d d d ),(11010⋅⋅===⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-A y y x x A y x y x f ，∴4=A ．(2)10≤≤x ，10≤≤y 时，⎰⎰∞-∞-=y xv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=yxv u uv 0d d 4220202||y x v u yx =⋅=，10≤≤x ，1>y 时，⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=100d d 4xv u uv 210202||x v u x =⋅=，10≤≤y ，1>x 时，⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=100d d 4yu v uv 202102||y v u y =⋅=，1>x ，1>y 时，⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=101d d 4v u uv 1||102102=⋅=v u，其他，0),(=y x F ，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>≤≤>>≤≤≤≤≤≤=其他．,0,1,1,1,10,1,,1,10,,10,10,),(2222y x y x y y x x y x y x y x F ．6．把一枚均匀硬币掷3次，设X 为3次抛掷中正面出现的次数，Y 表示3次抛掷中正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求：(1)),(Y X 的联合分布律；(2)X 和Y 的边缘分布律．解：由题意知，X 的可能取值为0，1，2，3；Y 的可能取值为1，3．易知0)1,0(===Y X P ，81)3,0(===Y X P ，83)1,1(===Y X P ，0)3,1(===Y X P 83)1,2(===Y X P ，0)3,2(===Y X P ，0)1,3(===Y X P ，81)3,3(===Y X P 故),(Y X 得联合分布律和边缘分布律为：7．在汽车厂，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的：一是紧固3只螺栓；二是焊接2处焊点，以X 表示由机器人紧固的螺栓紧固得不牢的数目，以Y 表示由机器人焊接的不良焊点的数目，且),(Y X 具有联合分布律如下表：求：(1)在1=Y 的条件下，X 的条件分布律；(2)在2=X 的条件下，Y 的条件分布律．解：(1)因为)3,3()1,2()1,1()1,0()1(==+==+==+====Y X P Y X P Y X P Y X P Y P 08.0002.0008.001.006.0=+++=，所以43)1()1,0()1|0(=======Y P Y X P Y X P ，81)1()1,1()1|1(=======Y P Y X P Y X P ，101)1()1,2()1|2(=======Y P Y X P Y X P ，401)1()1,3()1|3(=======Y P Y X P Y X P ，故在1=Y 的条件下，X 的条件分布律为X 0123P4381101401(2)因为)2,2()1,2()0,2()2(==+==+====Y X P Y X P Y X P X P 032.0004.0008.002.0=++=，所以85)2()0,2()2,0(=======X P Y X P X Y P ，4)2()1,2()2,1(=======X P Y X P X Y P ，81)2()2,2()2,2(=======X P Y X P X Y P ，故在2=X 的条件下，Y 的分布律为：Y 012P8541818．设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧>>=+-其他．,0,0,0,e ),()2(y x c y x f y x 求：(1)常数c ；(2)X 的边缘概率密度函数；(3))2(<+Y X P ；(4)条件概率密度函数)|(|y x f Y X ，)|(|x y f X Y ．解：(1)⎰⎰⎰⎰+∞+∞+-+∞∞-+∞∞-==0)2(d d e d d ),(1yx c y x y x f y x⎰⎰+∞+∞--=002d e d ey x c y x2|)e (|)e 21(002c c y x =-⋅-=∞+-∞+-，∴2=c ．(2)0>x 时，⎰+∞∞-=y y x f x f X d ),()(⎰+∞+-=0)2(d e 2y y x x y x 202e 2|)e (e 2-+∞--=-=，0≤x 时，0)(=x f X ，∴⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 2)(2x x x f x X ，同理⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(y y y f y Y ．(3)⎰⎰<+=<+2d d ),()2(y x y x y x f Y X P ⎰⎰---=2202d d e 2xy x yx 422202e e 21d e d e 2-----+-==⎰⎰xy x y x ．(4)由条件概率密度公式，得，当0>y 时，有⎩⎨⎧>=⎪⎩⎪⎨⎧>==----其他．其他．,0,0,e 2,0,0,e e 2)(),()|(22|x x y f y x f y x f xy y x Y Y X ，0≤y 时，0)|(|=y x f Y X ，所以⎩⎨⎧>>=-其他．,0,0,0,e 2)|(2|y x y x f x Y X ；同理，当0>x 时，有⎩⎨⎧>=⎪⎩⎪⎨⎧>==----其他．其他．,0,0,e ,0,0,2e e 2)(),()|(22|y y x f y x f x y f yx y x X X Y 0≤x 时，0)|(|=x y f X Y ，所以⎩⎨⎧>>=-其他．,0,0,0,e )|(|y x x y f y X Y ．9．设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其他．,0,0,10,3),(x y x x y x f求：(1)关于X 、Y 的边缘概率密度函数；(2)条件概率密度函数)|(|y x f Y X ，)|(|x y f X Y ．解：(1)10<<x 时，⎰+∞∞-=y y x f x f X d ),()(203d 3x y x x==⎰，其他，0)(=x f X ，∴⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,3)(2x x x f X ，密度函数的非零区域为}1,10|),{(}0,10|),{(<<<<=<<<<x y y y x x y x y x ，∴10<<y 时，⎰+∞∞-=x y x f y f Y d ),()()1(23d 321y x x y-==⎰，其他，0)(=y f Y ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,10),1(23)(2y y y f Y ．(2)当10<<y 时，有⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-==其他．其他．,0,1,12,0,1,)1(233)(),()|(22|x y y x x y y xy f y x f y x f Y Y X ，其他，0)|(|=y x f Y X ，故⎪⎩⎪⎨⎧<<<<-=其他．,0,10,1,12)|(2|y x y y xy x f Y X ．当10<<x 时，有⎪⎩⎪⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==其他．其他．,0,0,1,0,0,33)(),()|(2|x y x x y x x x f y x f x y f X X Y ，其他，0)|(|=x y f X Y ，故⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=其他．,0,10,0,1)|(|x x y x x y f X Y ．10．设条件密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<=其他．,0,10,3)|(32|y x yx y x f Y X Y 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,5)(4y y y f Y 求21(>X P ．解：⎩⎨⎧<<<==其他．,0,10,15)|()(),(2|y x y x y x f y f y x f Y X Y ，则6447d )(215d d 15d d ),(21(121421211221=-===>⎰⎰⎰⎰⎰>x x x x y y x y x y x f X P xx ．11．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=其他．,0,20,10,3),(2y x xyx y x f 求：(1)),(Y X 的边缘概率密度；(2)X 与Y 是否独立；(3))),((D Y X P ∈，其中D 为曲线22x y =与x y 2=所围区域．解：(1)10<<x 时，x x y xy x y y x f x f X 322d )3(d ),()(222+=+==⎰⎰+∞∞-，其他，0)(=x f X ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其他．,0,10,322)(2x x x x f X ，20<<y 时，⎰+∞∞-=x y x f y f Y d ),()(316)d 3(12+=+=⎰y x xy x ，其他，0)(=y f Y ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其他．,0,20,316)(y y y f Y ．(2)),()()(y x f y f x f Y X ≠，∴X 与Y 不独立．(3)}22,10|),{(2x y x x y x D ≤≤<<=，∴⎰⎰+=∈102222d d )3()),((x xx y xy x D Y X P 457d )32238(10543=--=⎰x x x x ．12．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=-其他．,0,0,0,e )1(),(2y x y x y x f x试讨论X ，Y 的独立性．解：当0>x 时，xx x X x yx y y x y y x f x f -∞+-∞+-∞+∞-=+-=+==⎰⎰e |11e d )1(e d ),()(002，当0≤x 时，0)(=x f X ，故⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(x x x x f x X ，同理，可得⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=．0,0,0,)1(1)(2y y y y f Y ，因为)()(),(y f x f y x f Y X =，所以X 与Y 相互独立．13．设随机变量),(Y X 在区域}|),{(a y x y x g ≤+=上服从均匀分布，求X 与Y 的边缘概率密度，并判断X 与Y 是否相互独立．解：由题可知),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其他．,0,,21),(2a y x a y x f ，当0<<-x a 时，有)(1d 21d ),()(2)(2x a ay a y y x f x f xa x a X +===⎰⎰++-+∞∞-，当a x <≤0时，有)(1d 21d ),()(2)(2x a a y a y y x f x f x a x a X -===⎰⎰---+∞∞-，当a x ≥时，0d ),()(==⎰+∞∞-y y x f x f X ，故⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=．a x a x x a a x f X ,0,),(1)(2，同理，由轮换对称性，可得⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=．a y a y y a a y f Y ,0,),(1)(2，显然)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以X 与Y 不相互独立．14．设X 和Y 时两个相互独立的随机变量，X 在)1,0(上服从均匀分布，Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 21)(2y y y f yY (1)求X 和Y 的联合概率密度；(2)设含有a 的二次方程为022=++Y aX a ，试求a 有实根的概率．解：(1)由题可知X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,1)(x x f X ，因为X 与Y 相互独立，所以),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧><<==-其他．,0,0,10,e 21)()(),(2y x y f x f y x f yY X ，(2)题设方程有实根等价于}|),{(2X Y Y X ≤，记为D ，即}|),{(2X Y Y X D ≤=，设=A {a 有实根}，则⎰⎰=∈=Dy x y x f D Y X P A P d d ),()),(()(⎰⎰⎰---==1021002d )e 1(d d e 2122xx y x x y⎰--=102d e12x x ⎰--=12e 21212x x ππππ23413.01)]0()1([21-=Φ-Φ-=．15．设i X ～)4.0,1(b ，4,3,2,1=i ，且1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，求行列式4321X X X X X =的分布律．解：由i X ～)4.0,1(b ，4,3,2,1=i ，且1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，易知41X X ～)84.0,16.0(b ，32X X ～)84.0,16.0(b ．因为1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，所以41X X 与32X X 也相互独立，又32414321X X X X X X X X X -==，则X 的所有可能取值为1-，0，1，有)1()0()1,0()1(32413241======-=X X P X X P X X X X P X P 1344.016.084.0=⨯=，)1,1()0,0()0(32413241==+====X X X X P X X X X P X P )1()1()0()0(32413241==+===X X P X X P X X P X X P 7312.016.016.084.084.0=⨯+⨯=，)0()1()0,1()1(32413241=======X X P X X P X X X X P X P 1344.084.016.0=⨯=，故X 的分布律为X 1-01P1344.07312.01344.016．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-其他．,0,0,0,e 2),()2(y x y x f y x 求Y X Z 2+=的分布函数及概率密度函数．解：0≤z 时，若0≤x ，则0),(=y x f ；若0>x ，则0<-=x z y ，也有0),(=y x f ，即0≤z 时，0),(=y x f ，此时，0d d ),()2()()(2==≤+=≤=⎰⎰≤+zy x Z y x y x f z Y X P z Z P z F ．0>z 时，若0≤x ，则0),(=y x f ；只有当z x ≤<0且02>-=xz y 时，0),(≠y x f ，此时，⎰⎰≤+=≤+=≤=zy x Z yx y x f z Y X P z Z P z F 2d d ),()2()()(⎰⎰-+-=zx z y x y x 020)2(d e 2d z z z ----=e e 1．综上⎩⎨⎧≤>--=--．0,0,0,e e 1)(z z z z F z z Z ，所以⎩⎨⎧≤<='=-．0,0,0,e )()(z z z z F z f z Z Z ．17．设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎩⎨⎧≤≤=其他．,0,10,1)(x x f X ，⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(y y y f y Y 求Y X Z +=的概率密度．解：0<z 时，若0<x ，则0)(=x f X ；若0≥x ，则0<-=x z y ，0)(=-x z f Y ，即0<z 时，0)()(=-x z f x f Y X ，此时，0d )()()(=-=⎰+∞∞-x x z f x f z f Y X Z ．10≤≤z 时，若0<x ，则0)(=x f X ；只有当z x ≤≤0且0>-=x z y 时0)()(≠-x z f x f Y X ，此时，z zx z Y X Z x x x z f x f z f ---+∞∞--==-=⎰⎰e 1d e d )()()(0)(．1>z 时，若0<x ，0)(=x f X ；若1>x ，0)(=x f X ；若10≤≤x ，则0>-=x z y ，此时，0)()(≠-x z f x f Y X ，z x z Y X Z x x x z f x f z f ---+∞∞--==-=⎰⎰e )1e (d e d )()()(1)(．综上，⎪⎩⎪⎨⎧<>-≤≤-=--．0,0,1,e )1e (,10,e 1)(z z z z f z z Z ．18．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=+-其他．,0,0,0,e)(21),()(y x y x y x f y x (1)X 和Y 是否相互独立？(2)求Y X Z +=的概率密度．解：(1)),()()(y x f y f x f Y X ≠，∴X 与Y 不独立．(2)0≤z 时，若0≤x ，则0)(=x f X ；若0>x ，则0<-=x z y ，0),(=y x f ，此时，0d ),()(=-=⎰+∞∞-x x z x f z f Z ．0≥z 时，若0≤x ，则0)(=x f X ；只有当z x <<0且0>-=x z y 时0),(≠y x f ，此时，⎰+∞∞--=x x z x f z f Z d ),()(⎰+-+=zy x x y x 0)(d e )(21⎰-=z z x z 0d e 21z z -=e 212，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 21)(2z z z z f zZ ．19．设X 和Y 时相互独立的随机变量，它们都服从正态分布),0(2σN ．证明：随机变量22Y X Z +=具有概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-．0,0,0,e )(2222z z z z f z Z σσ．解：因为X 与Y 相互独立，均服从正态分布),0(2σN ，所以其联合密度函数为2222)(2e 121),(σσπy x y xf +-⋅=，(+∞<<∞-y x ,)当0≥z 时，有⎰⎰≤+=≤+=≤=zy x Z yx y x f z Y X P z Z P z F 22d d ),()()()(22⎰⎰≤++-⋅=zy x y x y x 22222d e 1212)(2σσπ⎰⎰-⋅=πσθσπ2022d ed 12122zr r r ⎰-=zr r r 022d e122σσ，此时，2222e)(σσz Z z z f -=；当0<z 时，=≤+}{22z Y X ∅，所以0)()()(22=≤+=≤=z Y X P z Z P z F Z ，此时，0)(=z f Z ，综上，⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-．0,0,0,e )(2222z z z z f z Z σσ．20．设),(Y X 在矩形区域}10,10|),{(≤≤≤≤=y x Y X G 上服从均匀分布，求},min{Y X Z =的概率密度．解：由题可知),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他．,0,20,10,21),(y x y x f ，易证，X ～]1,0[U ，Y ～]2,0[U ，且X 与Y 相互独立，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=．1,1,10,,0,0)(x x x x x F X ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=．2,1,20,2,0,0)(y y yy y F Y ，可得)](1)][(1[1)(z F z F z F Y X Z ---=)()()()(z F z F z F z F Y X Y X -+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=．1,1,10,223,0,02z z z z z ，求导，得⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,10,23)(z z z f Z ．21．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧+∞<<<<=+-其他．,0,0,10,e ),()(y x b y x f y x (1)试确定常数b ；(2)求边缘概率密度)(x f X 及)(y f Y ；(3)求函数},max{Y X U =的分布函数．解：(1)⎰⎰⎰⎰+∞+-+∞∞-+∞∞-==01)(d d e d d ),(1yx b y x y x f y x ⎰⎰+∞--=10d e d e y x b y x)e 1(|)e(|)e (10102-+∞---=-⋅=b b y x ，∴1e11--=b ．(2)10<<x 时，1)(1e1e d e e 11d ),()(--∞++--∞+∞--=-==⎰⎰x y x X y y y x f x f ，其他，0)(=x f X ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<-=--其他．,0,10,e 1e )(1x x f xX ，0>y 时，⎰+∞∞-=x y x f y f Y d ),()(yy x x -+--=-=⎰e d e e 1110)(1，0≤y 时，0)(=y f Y ，∴⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(y y y f y Y ．(3)0≤x 时，0)(=x F X ，10<<x 时，101e1e 1d e 1e d )()(----∞---=-==⎰⎰xxt xX X t t t f x F ，1≥x 时，1)(=x F X ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<--≤=--．1,1,10,e 1e1,0,0)(1x x x x F x X ；0≤y 时，0)(=y F Y ，0>y 时，y yv y Y Y v v v f y F --∞--===⎰⎰e 1d e d )()(0，∴⎩⎨⎧≤>-=-．0,0,0,e 1)(y y y F y Y ，故有)()()(y F x F u F Y X U =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<≤--<=---．1,e 1,10,e 1e1,0,01u u u uu ．。
高三数学第一轮复习 第十二章《概率和统计》课件
• 探究2 等可能事件的概率，首先要弄清楚试验结果是不 是“等可能”，其次要正确求出基本事件总数和事件A所 包含的基本事件的个数．
• 思考题2 某汽车站每天均有3辆开往省城济南的分为上、 中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前 往济南办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺 序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过 一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三 辆．那么他乘上上等车的概率为__________．
4．一个坛子里有编号 1,2，…，12 的 12 个大小相同
的球，其中 1 到 6 号球是红球，其余的是黑球，若从中
任取两个球，则取到的都是红球，且至少有 1 个球的号
码是偶数的概率为( )
1
1
A.22
B.11
3
2
C.22
D.11
解析 分类：一类是两球号均为偶数且为红球，有 C32 种取法；另一类是两球号码是一奇一偶有 C31C31 种取 法
• 思考题1 掷两颗均匀的普通骰子，两个点数和为x(其中 x∈N*)．
• ①记事件A：x＝5，写出事件A包含的基本事件，并求P(A)；
• ②求x≥10时的概率．
• 【分析】 每一次试验得到的是两颗骰子的点数，所以 每一个基本事件都对应着有序数对．
【解析】 ①每次试验两颗骰子出现的点数分别记为
m、n
最短路线的概率是( )
1
1
A.2
B.3
1
1
C.5
D.6
解析 基本事件，等可能事件的概率． • 答案n＝3D×2＝6，m＝1. ∴P(A)＝16.
• 3则．剩有下五两答个个案数数字字1130都、是2、奇3数、的4、概5率中是，_若__随__机__取__出__三_(个结数果字用， 数值表示解)析． 任取的三个数字中有 2 个偶数，1 个奇数，
概率统计习题册答案
4、概率公式的题目1、已知 P (瓦)= 0.3, P(B ) = 0.4, P(A@ )=0.5,求P(BA J B)LP(B A 「B 戶 P (AB」=_P(A)丁(AB ) _P(AuB) P (A)+P(B )-P(AB)2、已知 P(A)=0.7,P(B )=0.4, P(AB )=0.2,求 P(AA'J B)Le3、已知随机变量 X : P(1),即卩X 有概率分布律 P 1X =k(k=0,1,2…),k!并记事件 A ={X ^2}, B = {X <d}。
求:( 1)P (A u B ); ( 2) P (A —B ); ( 3) P ( B A )。
解：(1)P A B =1 - P A _ B =1 —P(AB) =1 - P 〈X ： 2,X _ 1 =1 - P 〈X =1丄 1 — e ，；(2) P A-B 二 P(AB)二 P^X _2,X _1 ； = P 「X _2 ；=1 - P^X =0^ -P"：X =1 ； = 1-2e‘；” P (BA ) p {x <1,X v 2} p {x =。
} e -1 1 (3) P (B A ) = ---------- = ------------- ! -------- = -------------------------------- = -------= 一P (A ) P {X <2} P {X =0} + p {x =1} 2e 」24、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 0.6和0.5，现已知目标被命中，它是甲射中的概率是多少？解:P(A A'」B )=P(AB )P A P B -P A B0.2 20.7 0.2 一 9解:0.7-0.5 0.7 0.6-0.5P(A A B)=P(A 侨(A 旦)= P(A B)=5、为了防止意外，在矿内同时设两种报警系统A, B，每种系统单独使用时，其有效的概率系统A为0.92 ,解：设A= “甲射击一次命中目标” ，B= “乙射击一次命中目标”，亠—= 匹=§=0.75P(A) + P(B)- P(AB) 0.6+ 0.5- 0.6 0.5 8系统B为0.93，在A失灵的条件下，B有效的概率为0.85，求：（1）发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率；（2）B失灵的条件下，A有效的概率。
高中数学高考65第十一章 概率 11 2 几何概型
3.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有_无__限__多__个_； (2)等可能性：每个结果的发生具有_等__可__能__性__. 4.随机模拟方法 (1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机 事件的概率的近似值的方法就是模拟方法. (2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法.这个方法的基本步骤 是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的 意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频 率fn(A)＝MN 作为所求概率的近似值.
跟踪训练3 在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动， 则此点落在正方体内部的概率为
A.6π
B.32π
C.π3
√D.23π3
解析 由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V1＝1，球 的直径是正方体的体对角线长，
故球的半径 R＝ 23，球的体积 V2＝43π× 233＝ 23π， 则此点落在正方体内部的概率 P＝VV12＝23π3.
√4－π
D. 4
123456
题组三 易错自纠 5.在区间[－2,4]上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|≤m 的概率为56，则 m＝_3__. 解析 由|x|≤m，得－m≤x≤m. 当 0<m≤2 时，由题意得26m＝65，解得 m＝2.5，矛盾，舍去. 当 2<m<4 时，由题意得m－6－2＝56，解得 m＝3.故 m＝3.
件 A＝“y0<2x0”，那么事件 A 发生的概率是
概率论与数理统计历年考研试题-知识归纳整理
第3章 数字特征1． （1987年、数学一、填空）设随机变量X 的概率密度函数,1)(122-+-=x x e x f π则E(X)=( ),)(X D =( ).[答案 填：1；21.]由X 的概率密度函数可见X～N(1,21),则E(X)=1，)(X D =21.2． （1990年、数学一、填空）设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Z=3X-2, 则E(X)=( ). [答案 填：4]3． （1990年、数学一、计算）设二维随机变量(X,Y)在区域D:0<x<1,|y|<x内服从均匀分布，求：（1）对于X 的边缘密度函数;（2）随机变量Z=2X+1的方差。
解：（1）由于D 的面积为1，则(X,Y)的联合密度为⎩⎨⎧<<<=0,x |y |1,x 1 ,1),(其他y x f当0<x<1时，x dy dy y x f x f xxX21),()(===⎰⎰-+∞∞-，其他事情下0)(=x f X.（2）322)( )(1=⋅==⎰⎰∞+∞-xdx x dx x f x X E X 212)( )(1222=⋅==⎰⎰∞+∞-xdx x dx x f x X E X 181))(()(22=-=X E EX X D4． （1991年、数学一、填空）设X～N(2，2σ）且P{2<X<4}=0.3,则P{X<0}=（ ）。
[答案 填：知识归纳整理0.2]3.0212)0(2220}42{=-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-<=<<σσσσX P X P即8.02=⎪⎭⎫⎝⎛Φσ,则2.021222}0{=⎪⎭⎫⎝⎛Φ-=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-=<σσσσX P X P 5． （1992年、数学一、填空）设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则=+-)(2X e X E （ ）.[答案 填：34]6． （1995年、数学一、填空）设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数且每次命中率为0.4,则2EX =（ ）。
概率统计课后答案
概率统计课后答案第⼀章思考题1．事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？2．医⽣在检查完病⼈的时候摇摇头“你的病很重，在⼗个得这种病的⼈中只有⼀个能救活. ”当病⼈被这个消息吓得够呛时，医⽣继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病⼈了，他们都死于此病，所以你不会死” ，医⽣的说法对吗？为什么？３．圆周率 1415926.3=π是⼀个⽆限不循环⼩数, 我国数学家祖冲之第⼀次把它计算到⼩数点后七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有⼈不断把它算得更精确. 1873年, 英国学者沈克⼠公布了⼀个π的数值, 它的数⽬在⼩数点后⼀共有707位之多! 但⼏⼗年后, 曼彻斯特的费林⽣对它产⽣了怀疑. 他统计了π的608位⼩数, 得到了下表:675844625664686762609876543210出现次数数字你能说出他产⽣怀疑的理由吗?答：因为π是⼀个⽆限不循环⼩数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过⼩.这就是费林产⽣怀疑的理由. 4．你能⽤概率证明“三个臭⽪匠胜过⼀个诸葛亮”吗？５．两事件A 、B 相互独⽴与A 、B 互不相容这两个概念有何关系？对⽴事件与互不相容事件⼜有何区别和联系？６．条件概率是否是概率？为什么？习题⼀1．写出下列试验下的样本空间：（1）将⼀枚硬币抛掷两次答：样本空间由如下4个样本点组成{(,)(,)(,)(,)Ω=正正，正反，反正，反反（2）将两枚骰⼦抛掷⼀次答：样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6}i j i j Ω== （3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年⽀出答：结果可以⽤（x ，y ）表⽰，x ，y 分别是烟、酒年⽀出的元数.这时，样本空间由坐标平⾯第⼀象限内⼀切点构成 . {(,)0,0}x y x y Ω=≥≥2．甲，⼄，丙三⼈各射⼀次靶，记-A “甲中靶” -B “⼄中靶” -C “丙中靶” 则可⽤上述三个事件的运算来分别表⽰下列各事件：(1) “甲未中靶”： ;A (2) “甲中靶⽽⼄未中靶”： ;B A (3) “三⼈中只有丙未中靶”： ;C AB(4) “三⼈中恰好有⼀⼈中靶”： ;C B A C B A C B A (5)“ 三⼈中⾄少有⼀⼈中靶”： ;C B A (6)“三⼈中⾄少有⼀⼈未中靶”： ;C BA 或;ABC (7)“三⼈中恰有两⼈中靶”： ;BC A CB AC AB (8)“三⼈中⾄少两⼈中靶”： ;BC AC AB (9)“三⼈均未中靶”： ;C B A(10)“三⼈中⾄多⼀⼈中靶”： ;C B A C B A C B A C B A (11)“三⼈中⾄多两⼈中靶”： ;ABC 或;C B A 3 .设,A B 是两随机事件，化简事件 (1)()()AB A B (2) ()()A B A B解:(1)()()A B AB ABABB B ==,(2) ()()AB A B ()A B A B B A A B B ==Ω=.4．某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这⼗个数字中的任⼀个，求电话号码由五个不同数字组成的概率.解：51050.302410P P ==.5．n 张奖券中含有m 张有奖的，k 个⼈购买，每⼈⼀张，求其中⾄少有⼀⼈中奖的概率.解法⼀：试验可模拟为m 个红球，n m -个⽩球，编上号，从中任取k 个构成⼀组，则总数为k nC ，⽽全为⽩球的取法有k mn C-种，故所求概率为k nk m n C C --1.解法⼆：令i A —第i ⼈中奖，,.,2,1k i =B —⽆⼀⼈中奖，则k A A A B 21=，注意到 k A ，，A ，A 21不独⽴也不互斥：由乘法公式)()()()()(11213121-=k kA A A P A A A P A A P A PB P(1)(2)(1)121n m n m n m n m k n n n n k -------+=??---+!,1k k n m n m k k n nC C k C C ---同除故所求概率为.6．从5双不同的鞋⼦中任取4只，这4只鞋⼦中“⾄少有两只配成⼀双”（事件A ）的概率是多少？解：122585410()C C C P A C -=7．在[]1,1-上任取⼀点X ，求该点到原点的距离不超过15的概率. 解：此为⼏何概率问题：]11[，-=Ω,所求事件占有区间 ]5151[，-，从⽽所求概率为1==. 8．在长度为a 的线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成⼀个三⾓形的概率.解：设⼀段长为x ，另⼀段长为y ，样本空间:0,0,0x a y a x y a Ω<<<<<+<，所求事件满⾜： 0202()a x a y x y a x y ?<<+>--从⽽所求概率＝14CDE OABS S=. 9．从区间(0,1)内任取两个数，求这两个数的乘积⼩于14的概率. 解：设所取两数为,,X Y 样本空间占有区域Ω,两数之积⼩于14:14XY <,故所求概率()()1()()1S S D S D P S Ω--==411()(1)1(1ln 4)44S D dx x =-=-+?,故所求概率为1(1ln4)4+. 10．设A 、B 为两个事件，()0.9P A =，()0.36P AB =，求()P AB . 解：()()()0.90.360.54P A B P A P AB =-=-=;11．设A 、B 为两个事件，()0.7P B =，()0.3P AB =，求()P A B .解：()()1()1[()()]1[0.70.3]0.6P AB P AB P AB P B P AB ==-=--=--=.12．假设()0.4P A =，()0.7P A B =，若A 、B 互不相容，求()P B ；若A 、B 相互独⽴，求()P B .解：若A 、B 互不相容，()()()0.70.40.P B P AB P A =-=-=；若A 、B 相互独⽴，则由()()()()()P A B P A P B P A P B +=+-可得()P B =0.5. 13．飞机投弹炸敌⽅三个弹药仓库，已知投⼀弹命中1，2，3号仓库的概率分别为0.01,0.02,0.03,求飞机投⼀弹没有命中仓库的概率.解：设=A {命中仓库}，则=A {没有命中仓库}，⼜设=i A {命中第i 仓库})3,2,1(=i 则03.0)(,02.0)(,01.0)(321===A P A P A P ，根据题意321A A A A =（其中321,A A A 两两互不相容）故123()()()()P A P A P A P A =++=0.01+0.02+0.03=0.06 所以94.006.01)(1)(=-=-=A P A P 即飞机投⼀弹没有命中仓库的概率为0.9414．某市有50%住户订⽇报，有65%的住户订晚报，有85%的住户⾄少订这两种报纸中的⼀种，求同时订这两种报纸的住户的百分⽐解：设=A {⽤户订有⽇报}，B ={⽤户订有晚报}，则=B A {⽤户⾄少订有⽇报和晚报⼀种}，=AB {⽤户既订⽇报⼜订晚报}，已知85.0)(,65.0)(,5.0)(===B A P B P A P ，所以3.085.065.05.0)()()()(=-+=-+=B A P B P A P AB P即同时订这两种报纸的住户的百分⽐为30%15．⼀批零件共100个，次品率为10%，接连两次从这批零件中任取⼀个零件，第⼀次取出的零件不再放回，求第⼆次才取得正品的概率.解：设=A {第⼀次取得次品}，=B {第⼆次取得正品}，则=AB {第⼆次才取得正品}，⼜因为9990)(,10010)(==A B P A P ，则10010)()()(===ABP A P AB P16.设随机变量A 、B 、C 两两独⽴，A 与B 互不相容. 已知0)(2)(>=C P B P且5()8P BC =，求()P A B .解：依题意0)(=AB P 且)()()(B P A P AB P =，因此有0)(=A P . ⼜因 25()()()()()3()2[()]8P B C P B P C P B P C P C P C +=+-=-=，解⽅程085)(3)]([22=+-C P C P 151()[()]()442P C P C P B ==?=舍去，，()()()()()0.5.P AB P A P B P AB P B =+-==17．设A 是⼩概率事件，即()P A ε=是给定的⽆论怎么⼩的正数.试证明：当试验不断地独⽴重复进⾏下去，事件A 迟早总会发⽣（以概率1发⽣）. 解：设事件i A —第i 次试验中A 出现(1,2,,)i n =，∵(),()1i i P A P A εε==-，(1,2,,)i n =，∴n 次试验中，⾄少出现A ⼀次的概率为1212()1()n n P A A A P A A A =-121()n P A A A =-121()()()n P A P A P A =-（独⽴性）1(1)n ε=--∴12lim ()1n nP A A A →∞=，证毕.18．三个⼈独⽴地破译⼀密码，他们能单独译出的概率分别是15，13，14，求此密码被译出的概率.解:设A ，B ，C 分别表⽰{第⼀、⼆、三⼈译出密码}，D 表⽰{密码被译出}，则()()()1 P D P A B C P A B C ==-1()1()()() P ABC P A P B P C =-=-42331..5345=-=.19．求下列系统（如图所⽰）的可靠度，假设元件i 的可靠度为i p ，各元件正常⼯作或失效相互独⽴解：(1)系统由三个⼦系统并联⽽成，每个⼦系统可靠度为123p p p ，从⽽所求概率为31231(1)p p p --；（2）同理得2312[1(1)]p p --. 20．三台机器相互独⽴运转，设第⼀，第⼆，第三台机器不发⽣故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中⾄少有⼀台发⽣故障的概率. 解：设1A —第⼀第三台机器发⽣故障，2A —第⼀第三台机器发⽣故障，3A —第⼀第三台机器发⽣故障，D —三台机器中⾄少有⼀台发⽣故障，则123()0.1,()0.2,()0.3P A P A P A ===，故 ()()()1 P D P A B C P A B C ==-1()1()()()10.90.80.70.496 P A BC P A P B P C =-=-=-??=21．设A 、B 为两事件，()0.7P A =,()0.6P B =,()0.4B P A =，求()P AB .解：由()0.4B P A=得()0.4,()0.12,()()()0.48()P AB P AB P AB P B P AB P A ==∴=-=， ()()()()0.82P A B P A P B P AB =+-=.22.设某种动物由出⽣算起活到20年以上的概率为0.8, 活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物, 它能活到25岁以上的概率是多少?解：设A —某种动物由出⽣算起活到20年以上，()0.8P A =，B —某种动物由出⽣算起活到25年以上，()0.4P B =，则所求的概率为()()0.4()()0.5()()0.8P AB P B BBP P A AP A P A =====23．某地区历史上从某年后30年内发⽣特⼤洪⽔的概率为80%，40年内发⽣特⼤洪⽔的概率为85%，求已过去了30年的地区在未来10年内发⽣特⼤洪⽔的概率.解：设A —某地区后30年内发⽣特⼤洪灾，()0.8P A =，B —某地区后40年内发⽣特⼤洪灾，()0.85P B =，则所求的概率为 () ()0.15()1()1110.250.2()()P BA P B B B P P A A P A P A =-=-=-=-=.24．设甲、⼄两袋，甲袋中有2只⽩球，4只红球；⼄袋中有3只⽩球，2只红球.今从甲袋中任意取⼀球放⼊⼄袋中，再从⼄袋中任意取⼀球. 1）问取到⽩球的概率是多少？2）假设取到⽩球，问该球来⾃甲袋的概率是多少？解：设A ：取到⽩球，B ：从甲球袋取⽩球24431) ()(/)()(/)()5/9 6666P A P A B P B P A B P B =+?+?=(/)()2/92) (/)()/()2/5()5/9P A B P B P B A P AB P A P A ====25．⼀批产品共有10个正品和2个次品，任取两次，每次取⼀个，抽出后不再放回，求第⼆次抽出的是次品的概率.解：设i B 表⽰第i 次抽出次品,(1,2)i =,由全概率公式2221111()()()()()B B P B P B P P B P B B =+=211021*********+=. 26.⼀批晶体管元件，其中⼀等品占95%，⼆等品占4%，三等品占1%，它们能⼯作500h 的概率分别为90%，80%，70%，求任取⼀个元件能⼯作500h 以上的概率.解：设=i B {取到元件为i 等品}(i =1,2,3) ，=A {取到元件能⼯作500⼩时以上} 则%1)(%,4)(%,95)(321===B P B P B P%70)(%,80)(%,90)(321===B AP B AP B AP所以)()()()()()()(332211B AP B P B AP B P B AP B P A P ++==?+?+?=%70%1%80%4%90%950.89427．某药⼚⽤从甲、⼄、丙三地收购⽽来的药材加⼯⽣产出⼀种中成药，三地的供货量分别占40%，35%和25%，且⽤这三地的药材能⽣产出优等品的概率分别为0.65，0.70和0.85，求从该⼚产品中任意取出⼀件成品是优等品的概率.如果⼀件产品是优质品，求它的材料来⾃甲地的概率解：以Bi分别表⽰抽到的产品的原材来⾃甲、⼄、丙三地，A={抽到优等品}，则有：123()0.35,()0.25,P B P B ==P(B )=0.4, 1()0.65,AP B =32()0.7,()0.85AAP P B B ==所求概率为().P A 由全概率公式得：123123()()()()()()()AAAP A P B P P B P P B P B B B =++0.650.40.70.350.850.250.7175.=?+?+?=1111()()(|)0.26()0.3624()()0.7175P B A P B P A B B P A P A P A ====28．⽤某种检验⽅法检查癌症，根据临床纪录，患者施⾏此项检查，结果是阳性的概率为0.95；⽆癌症者施⾏此项检查，结果是阴性的概率为0.90.如果根据以往的统计，某地区癌症的发病率为0.0005.试求⽤此法检查结果为阳性者⽽实患癌症的概率.解：设A={检查结果为阳性}，B={癌症患者}.据题意有()0.95,()0.90,AAP P BB==()0.0005,P B =所求概率为().BP A()0.10,()0.9995.AP P B B==由Bayes 公式得()()()()()()()AP B P BBP AAAP B P P B P B B=+0.00050.950.00470.47%0.00050.950.99950.10===+ 29．3个射⼿向⼀敌机射击，射中的概率分别是0.4，0.6和0.7.如果⼀⼈射中，敌机被击落的概率为0.2；⼆⼈射中，被击落的概率为0.6；三⼈射中则必被击落.（1）求敌机被击落的概率；（2）已知敌机被击落，求该机是三⼈击中的概率. 解:设A={敌机被击落}，B i ={i 个射⼿击中}，i=1,2,3. 则B 1,B 2,B 3互不相容.由题意知：132()0.2,()0.6,()1AAAP P P B B B ===，由于3个射⼿射击是互相独⽴的，所以1()0.40.40.30.60.60.30.60.40.70.324P B =??+??+??= 2()0.40.60.30.40.70.40.60.70.60.436P B =??+??+??=3()0.40.60.70.168P B =??=因为事件A 能且只能与互不相容事件B 1,B 2,B 3之⼀同时发⽣.于是（1）由全概率公式得31()()(|)0.3240.20.4360.60.16810.4944i i i P A P B P A B ===?+?+?=∑（2）由Bayes 公式得33331()(|)0.168(|)0.340.4944()(|)iii P B P A B P B A P B P A B ====∑.30．某⼚产品有70%不需要调试即可出⼚，另30%需经过调试，调试后有80%能出⼚，求（1）该⼚产品能出⼚的概率；（2）任取⼀出⼚产品未经调试的概率. 解：A ——需经调试 A ——不需调试 B ——出⼚则%30)(=A P ，%70)(=A P ，%80)|(=A B P ，1)|(=A B P （1）由全概率公式：)()()()()(ABP A P ABP A P B P ?+?=%941%70%80%30=?+?=.（2）由贝叶斯公式：9470%94)()()()()(=?==A B P A P B P B A P B A P .31．进⾏⼀系列独⽴试验，假设每次试验的成功率都是p ，求在试验成功2次之前已经失败了3次的概率. 解：所求的概率为234(1)p p -.32．10个球中有⼀个红球，有放回地抽取，每次取⼀球，求直到第n 次才取k次()k n ≤红球的概率解：所求的概率为11191010kn kk n C ---???? ? ?????33．灯泡使⽤寿命在1000h 以上的概率为0.2，求3个灯泡在使⽤1000h 后，最多只有⼀个坏了的概率.解：由⼆项概率公式所求概率为312333(0)(1)0.2(0.2)0.80.104P P C +=+?=34．（Banach 问题）某⼈有两盒⽕柴，每盒各有n 根，吸烟时任取⼀盒，并从中任取⼀根，当他发现有⼀盒已经⽤完时，试求：另⼀盒还有r 根的概率. 解：设试验E —从⼆盒⽕柴中任取⼀盒，A —取到先⽤完的哪盒，1()2P A =，则所求概率为将E 重复独⽴作2n r -次A 发⽣n 次的概率，故所求的概率为222211()()()222nnn n r n r n r n r n r C P n C -----==.第⼆章思考题1. 随机变量的引⼊的意义是什么？答：随机变量的引⼊,使得随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来，其⽬的是将事件数量化，从⽽随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更⼴的概念内.引⼊随机变量后,对随机现象统计规律的研究,就由对事件及事件概率的研究转化为随机变量及其取值规律的研究,使⼈们可利⽤数学分析的⽅法对随机试验的结果进⾏⼴泛⽽深⼊的研究.随机变量概念的产⽣是概率论发展史上的重⼤事件，随机事件是从静态的观点来研究随机现象,⽽随机变量的引⼊则变为可以⽤动态的观点来研究.2.随机变量与分布函数的区别是什么？为什么要引⼊分布函数？答：随机变量与分布函数取值都是实数，但随机变量的⾃变量是样本点，不是普通实数，故随机变量不是普通函数，不能⽤⾼等数学的⽅法进⾏研究，⽽分布函数⼀⽅⾯是⾼等数学中的普通函数，另⼀⽅⾯它决定概率分布，故它是沟通概率论和⾼等数学的桥梁，利⽤它可以将⾼度数学的⽅法得以引⼊.3. 除离散型随机变量和连续型随机变量，还有第三种随机变量吗？答：有，称为混合型. 例：设随机变量[]2,0~U X ，令≤≤<≤=.21,1;10,)(x x x x g 则随机变量)(X g Y =既⾮离散型⼜⾮连续型.事实上，由)(X g Y =的定义可知Y 只在[]1,0上取值，于是当01≥y 时，1)(=y F Y ；当10<≤y 时，()2))(()(y y X P y X g P y F Y =≤=≤= 于是≥<≤<=.1,1;10,2;0,0)(y y y y y F Y⾸先Y 取单点{1}的概率021)01()1()1(≠=--==Y Y F F Y P ，故Y 不是连续型随机变量.其次其分布函数不是阶梯形函数，故Y 也不是离散型随机变量.4.通常所说“X 的概率分布”的确切含义是什么？答：对离散型随机变量⽽⾔指的是分布函数或分布律，对连续型随机变量⽽⾔指的是分布函数或概率密度函数.5.对概率密度()f x 的不连续点，如何由分布函数()F x 求出()f x ？答：对概率密度()f x 的连续点，()()f x F x '=，对概率密度()f x 的有限个不连续点处，可令()f x c =（c 为常数）不会影响分布函数的取值.6.连续型随机变量的分布函数是可导的，“概率密度函数是连续的”这个说法对吗？为什么？答：连续型随机变量密度函数不⼀定是连续的，当密度函数连续时其分布函数是可导的，否则不⼀定可导.习题1．在测试灯泡寿命的试验中,试写出样本空间并在其上定义⼀个随机变量.解：每⼀个灯泡的实际使⽤寿命可能是),0[+∞中任何⼀个实数, 样本空间为}0|{≥=Ωt t ，若⽤X 表⽰灯泡的寿命（⼩时），则X 是定义在样本空间}0|{≥=Ωt t 上的函数，即t t X X ==)(是随机变量.2．⼀报童卖报, 每份0.15元,其成本为0.10元. 报馆每天给报童1000份报, 并规定他不得把卖不出的报纸退回. 设X 为报童每天卖出的报纸份数, 试将报童赔钱这⼀事件⽤随机变量的表达式表⽰.解：{报童赔钱}?{卖出的报纸钱不够成本}，⽽当 0.15 X <1000× 0.1时，报童赔钱，故{报童赔钱} ?{X ≤666}3．若2{}1P X x β<=-，1{}1P X x α≥=-，其中12x x <，求12{}P x X x ≤<.解：1221{}{}{}P x X x P X x PX x ≤<=<-<21{}[1{}]1P X x P X x αβ=<--≥=--.4．设随机变量X 的分布函数为??≥<≤<=1,110,0,0)(2x x x x x F试求（1）≤21X P （2）≤<-431X P （3）?>21X P解：41)21(21)1(==≤F X P ；（2）1690169)1()43(431=-=--=≤<-F F X P ；（3）43)21(121121=-=≤-=>F X P X P .5．5个乒乓球中有2个新的，3个旧的，如果从中任取3个，其中新的乒乓球的个数是⼀个随机变量，求这个随机变量的概率分布律和分布函数，并画出分布函数的图形.解：设X 表⽰任取的3个乒乓球中新的乒乓球的个数，由题⽬条件可知，X 的所有可能取值为0，1，2，∵33351{0}10C P X C ===，1223356{1}10C C P X C ===，213335 3{2}10C C P X C ===∴随机变量X 的概率分布律如下表所⽰：由()k kx xF x P≤=∑可求得()F x 如下:0 ,0{0} ,01(){0}{1} ,12{0}{1}{2} x P X x F x P X P X x P X P X P X <=≤<==+=≤<=+=+= ,2x≥? 0 ,00.1 ,010.7 ,121 ,2x x x x6．某射⼿有5发⼦弹，射击⼀次命中率为0.9，如果他命中⽬标就停⽌射击，命不中就⼀直射击到⽤完5发⼦弹，求所⽤⼦弹数X 的概率分布解：7 .⼀批零件中有9个合格品与3个废品，安装机器时，从这批零件中任取⼀个，如果每次取出的废品不再放回，求在取出合格品之前已取出的废品数的分布律.解：设{}i i A =第次取得废品，{}i A i =第次取得合格品，由题意知，废品数X 的可能值为0，1，2，3，事件{0}X =即为第⼀次取得合格品，事件{1}X =即为第⼀次取出的零件为废品，⽽第⼆次取出的零件为合格品，于是有19{0}()0.7512P X P A ====， 21211399{1}()0.2045121144A P X P A A P A P A =====≈（）（）， 3212311123299{2}()0.0409121110220A A P X P A A A P A P P A A A ===??=≈（）（）（）=32412341112123{3}()321910.00451211109220A A A P X P A A A A P A PPPA A A A A A =====≈（）（）（）（）所以X8.从101-中任取⼀个数字，若取到数字)101( =i i 的概率与i 成正⽐，即 1,2,,10P X i ki i ===（），（），求k . 解：由条件1,2,,P X i k ii ===（），（），由分布律的性质1011ii p==∑,应有1011i ki ==∑,155k =.9 .已知随机变量X 服从参数1=λ的泊松分布，试满⾜条件{}01.0=>N X P 的⾃然数N .解：因为{}{}{}99.0101.0),1(~=>-=≤=>N X P N X P Y X P P X 所以从⽽{}99.0!0==≤∑=-Nk k e N X P λ查附表得4=N10.某公路⼀天内发⽣交通事故的次数X 服从泊松分布，且⼀天内发⽣⼀次交通事故的概率与发⽣两次交通事故的概率相等，求⼀周内没有交通事故发⽣的概率.解：设~()X P λ，由题意：)1(=X P =)2(=X P ，2!2!1λλλλ--=e e ，解得2=λ，所求的概率即为2022!0)0(--===e e X P .11 . ⼀台仪器在10000个⼯作时内平均发⽣10次故障，试求在100个⼯作时内故障不多于两次的概率.解：设X 表⽰该仪器在100个⼯作时内故障发⽣的次数，1~(100,)1000X B ，所求的概率即为)0(=X P ，)1(=X P ，)2(=X P 三者之和.⽽100个⼯作时内故障平均次数为=µ1.01000100=?，根据Poisson 分布的概率分布近似计算如下： 99984.000452.009048.090484.0!2!1!0)2(21=++=++≈≤---µµµµµµe eeX P故该仪器在100个⼯作时内故障不多于两次的概率为0.99984.12.设[]~2,5X U ，现对X 进⾏三次独⽴观察，试求⾄少有两次观察值⼤于3的概率. 解：()1,2530 ,x f x ?≤≤?=其余，令()3A X =>，则()23p P A ==，令Y 表⽰三次重复独⽴观察中A 出现次数，则2~3,3Y B ??，故所求概率为()21323332121202333327P Y C C ≥=+= ? ? ? ?. 13.设某种传染病进⼊⼀⽺群，已知此种传染病的发病率为2/3，求在50头已感染的⽺群中发病头数的概率分布律.解：把观察⼀头⽺是否发病作为⼀次试验，发病率3/2=p ，不发病率3/1=q ，由于对50头感染⽺来说是否发病，可以近似看作相互独⽴，所以将它作为50次重复独⽴试验，设50头⽺群中发病的头数为X ，则X (50,2/3)XB ，X 的分布律为{})50,,2,1,0(31325050=???==-k C k X P kk k14.设随机变量X 的密度函数为2, 01()0 , x x p x <其它，⽤Y 表⽰对X 的3次独⽴重复观察中事件1{}2X ≤出现的次数，求{2}P Y =.解：(3,)Yp B ，1211{}224p P X xdx =≤==?，由⼆项概率公式 223139{2}()()4464P Y C ===. 15.已知X 的概率密度为2,()0,x ax e x f x x λ-?>=?≤?，试求：（1）、未知系数a ；（2）、X 的分布函数()F x ；（3）、X 在区间1 (0,)λ内取值的概率.解：（1）由?+∞-=021dx eax xλ，解得.22λ=a(2) ()()()F x P X x f x dx +∞-∞=≤=?，∴当x ≤0时0)(=x F ,当x >0时，222()1(22)2x xxe F x ax edx x x λλλλ--==-++?,∴2211(22),0()20, 0x x x F x x λλ?-++>?=??≤? .（3）511(0)()(0)12P X F F eλλ<<=-=-.16.设X 在(1,6)内服从均匀分布，求⽅程210x Xx ++=有实根的概率.解: “⽅程210x Xx ++=有实根”即{2}X >，故所求的概率为{2}P X >=45. 17.知随机变量X 服从正态分布2(,)N a a ，且Y aX b =+服从标准正态分布(0,1)N ，求,a b .解：由题意222(0)1a b a a a ?+=>??=?解得：1,1a b ==-18.已知随机变量X 服从参数为λ的指数分布，且X 落⼊区间（1，2）内的概率达到最⼤，求λ.解：2(12)(1)(2)()P X P X P X e e g λλλ--<<=>->=-=令,令()0g λ'=，即022=---λλe e ,即021=--λe ，∴.2ln =λ 19．设随机变量(1,4)XN ，求(0 1.6)P X ≤<，(1)P X <. 解：01 1.61(0 1.6)()22P X PX --≤<=≤<1.6101()()0.309422--=Φ-Φ=11(1)()(0)0.52P X -<==Φ=Φ=.20.设电源电压()2~220,25X N ，在200,200240,240X X X ≤<≤>电压三种情形下，电⼦元件损坏的概率分别为0.1,0.001,0.2，求：（1）该电⼦元件损坏的概率α；（2）该电⼦元件损坏时，电压在200~240伏的概率β.解：设()()()123200,200240,240A X A X A X =≤=<≤=>， D —电⼦元件损坏，则（1）123,,A A A 完备，由全概率公式()()()()123123D D D P D P A P P A P P A P A A A α==++ ? ? ??，今()()()12002200.810.80.21225P A -??=Φ=Φ-=-Φ=，同理()()()()20.80.820.810.576P A =Φ-Φ-=Φ-=，()310.2120.5760.212P A =--=，从⽽()0.062P D α==.（2）由贝叶斯公式()()222D P A P A A P D P D β?? ?????== ???0.5760.0010.0090.062?==. 21.随机变求2Y X =的分布律解：. 22.变量X 服从参数为0.7的0－1分布，求2X 及22X X -的概率分布.解．X 的分布为易见，2X 的可能值为0和1；⽽22X X -的可能值为1-和0，由于2{}P X u =={P X }u =(0,1)u =，可见2X 的概率分布为：由于2{21}{1}0.7P X X P X -=-===，2{20}{0}0.3P X X P X -====，可得22X X -的概率分布为23.X 概率密度函数为21()(1)X f x x π=+，求2Y X =的概率密度函数()Y f y .解：2y x =的反函数为2yx =，代⼊公式得22()()()22(4)Y X y y f y f y π'==+.24.设随机变量[]~0,2X U ，求随机变量2Y X =在()0,4内概率密度()Y f y . 解法⼀（分布函数法）当0y <时，()0,4Y F y y =>时()1Y F y =，当04y ≤≤时， ()(Y XF y P X F ==从⽽ ()40 ,XY f y f y ?=≤≤?=其余解法⼆（公式法）2y x =在()0,2单增，由于反函数x =在()0,4可导，'y x =，从⽽由公式得()40 ,XY f y f y ?=≤≤?=其余25. ,0)0 ,0x X e x f x x -?≥=?解法⼀（分布函数法）因为0X ≥，故1Y >，当1y >时，()()()ln ln Y X F y P X y F y =≤=，()()ln 2111ln ,10 ,1y X Y f y ey y y y f y y -?==>?∴=??≤?.解法⼆（公式法）x y e =的值域()1,+∞，反函数ln x y =，故()()[]21ln ln ' ,10 ,1X Y f y y y y f y y ?=>?=??≤?.26.设随机变量X 服从(0,1)上的均匀分布，分别求随机变量X Y e =和ln Z X =的概率密度()Y f y 和()Z f z .解：X 的密度为1, 01() x f x ?<=?0,若其它，（1）函数x y e =有唯⼀反函数，ln x y =，且1Y e <<，故(ln )(ln ), 1() X f y y y e f y '?<y ?<0,其它. （2）在区间(0,1)上，函数ln ln z x x ==-，它有唯⼀反函数z x e -=，且0Z >，从⽽()(), () z z X Z f e e f z -->?'?=?z 00,其它 0, zz e ->??=0,其它. 27. 设()X f x 为X 的密度函数，且为偶函数，求证X -与X 有相同的分布. 证：即证Y X =-与X 的密度函数相同，即()()Y X f y f y =.证法⼀（分布函数法）()()()()()11Y X F y P X y P X y P X y F y =-≤=≥-=-≤-=--， ()()()()1Y X X p y p y p y ∴=--?-=，得证.证法⼆（公式法）由于y x =-为单调函数，∴()()()()()'Y X X X p y p y y p y p y =--=-=.28.设随机变量X 服从正态分布),(2σµN ，0,>+∞<<-∞σµ ，)(x F 是X 的分布函数，随机变量)(X F Y =. 求证Y 服从区间]1,0[上的均匀分布. 证明：记X 的概率密度为)(x f ，则?∞-=xdt t f X F .)()( 由于)(x F 是x 的严格单调增函数，其反函数)(1x F -存在，⼜因1)(0≤≤x F ，因此Y 的取值范围是]1,0[. 即当10≤≤y 时{}{}{}1()()()Y F y P Y y P F X y P X F y -=≤=≤=≤.)]([1y y F F ==-于是Y 的密度函数为1, 01()0, Y y p y ≤其它。
概率论与数理统计第一章习题解答
《概率论与数量统计》第一章习题解答1、写出下列随机试验的样本空间：（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。
（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。
（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的产品记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果。
（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。
解：（1）设该班有n人，则该班总成绩的可能值是0，1，2，……，100n。
故随机试验的样本空间S=｛i/n|i=0,1,2,……,100n｝。
（2）随机试验的样本空间S=｛10,11,12,……｝。
（3）以0表示检查到一个次品，1表示检查到一个正品，则随机试验的样本空间S=｛00，0100，0101，0110，0111，100，1010，1011，1100，1101，1110，1111｝。
（4）随机试验的样本空间S=｛（x,y）|x2+y2<1｝。
2、设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件：（1）A发生，B 与C都不发生。
（2）A与B都发生，而C不发生。
（3）A，B，C中至少有一个发生。
（4）A，B，C都发生。
（5）A，B，C都不发生。
（6）A，B，C中不多于一个发生。
（7）A，B，C中不多于两个发生。
（8）A，B，C中至少有两个发生。
解：（1）A B C（2）AB C（3）A∪B∪C （4）ABC（5）A B C（6）A B C∪A B C∪A B C∪A B C（7）S-ABC （8）ABC∪AB C∪A B C∪A BC3、（1）设A，B，C为三个事件，且P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/8，求A，B，C至少有一个发生的概率。
（2）已知P（A）=1/2，P（B）=1/3，P（C）=1/5，P（AB）=1/10，P（AC）=1/15，P（BC）=1/20，P（ABC）=1/30，求A∪B，A B，A∪B∪C，A B C，A B C，A B∪C的概率。
第二章习题选解-PPT
n(n 2) 台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立)，求：
(1) 全部能出厂的概率 ； (2) 其中恰好有两件不能出厂的概率
(3) 其中至少有两件不能出厂的概率 ．
解 由题意知,每台仪器能出厂的概率为
9
P56 14、 设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松
分布。经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两
个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没
有印刷错误的概率。
解 由 P{ X 1} P{ X 2} ，即 1 e 2 e ，
1!
2!
解得 2 ，
从而得 P{ X 0} 0 e e2 ，
0.25 e0.25 x , f (x)
x0
0,
x0
P( X 1)
1
0.25
e
0.25
x
dx
e 0.25 x
1 1 e0.25
0.2212 ,
0
0
P( X 1) e0.25 0.7788 ,
X
100
-200
所以Y的分布律为
P
0.7788 0.2212
20
P58 32、 设 X ~ N (1,4) ，（1）求 P(0 X 5) ；（2）
解 P( X 1) 0.7 , P( X 2) 0.3 0.8 0.24 , P( X 3) 0.3 0.2 0.9 0.054 , P( X 4) 0.3 0.2 0.1 1 0.006 .
所以X的分布律为
X
1
2
3
4
P 0.7 0.24 0.054 0.006
概率论与数理统计习题解答
概率论与数理统计习题解答第⼀章随机事件及其概率1. 写出下列随机试验的样本空间：（1）同时掷两颗骰⼦，记录两颗骰⼦的点数之和；（2）在单位圆内任意⼀点，记录它的坐标；（3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取⼀件，取后不放回，直到三件次品都取出为⽌，记录抽取的次数；（4）测量⼀汽车通过给定点的速度.解所求的样本空间如下（1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}（2）S= {(x, y)| x2+y2<1}（3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10}（4）S= {v |v>0}2. 设A、B、C为三个事件，⽤A、B、C的运算关系表⽰下列事件：（1）A发⽣，B和C不发⽣；（2）A与B都发⽣，⽽C不发⽣；（3）A、B、C都发⽣；（4）A、B、C都不发⽣；（5）A、B、C不都发⽣；（6）A、B、C⾄少有⼀个发⽣；（7）A、B、C不多于⼀个发⽣；（8）A、B、C⾄少有两个发⽣.解所求的事件表⽰如下3．在某⼩学的学⽣中任选⼀名，若事件A表⽰被选学⽣是男⽣，事件B表⽰该⽣是三年级学⽣，事件C表⽰该学⽣是运动员，则（1）事件AB表⽰什么？（2）在什么条件下ABC=C成⽴？是正确的？（3）在什么条件下关系式C B（4）在什么条件下A B=成⽴？解所求的事件表⽰如下（1）事件AB表⽰该⽣是三年级男⽣，但不是运动员.（2）当全校运动员都是三年级男⽣时，ABC=C成⽴.是正确的.（3）当全校运动员都是三年级学⽣时，关系式C B（4）当全校⼥⽣都在三年级，并且三年级学⽣都是⼥⽣时，A B =成⽴.4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = ,所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = .5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝14，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)=18求A 、B 、C 中⾄少有⼀个发⽣的概率. 解由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC)6. 设盒中有α只红球和b 只⽩球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率：A ＝{两球颜⾊相同}，B ＝{两球颜⾊不同}.解由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为22ab A A +，有利于B 的事件数为1111112ab b a a b A A A A A A +=, 则 2211222()()a b a b a b a bA A A AP A P B A A +++==7. 若10件产品中有件正品，3件次品,（1）不放回地每次从中任取⼀件，共取三次，求取到三件次品的概率；（2）每次从中任取⼀件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率. 解（1）设A={取得三件次品} 则333333101016()()120720或者====C A P A P A C A . （2）设B={取到三个次品}, 则33327()101000==P A .8. 某旅⾏社100名导游中有43⼈会讲英语，35⼈会讲⽇语，32⼈会讲⽇语和英语，9⼈会讲法语、英语和⽇语，且每⼈⾄少会讲英、⽇、法三种语⾔中的⼀种，求：（1）此⼈会讲英语和⽇语，但不会讲法语的概率；（2）此⼈只会讲法语的概率.解设 A={此⼈会讲英语}, B={此⼈会讲⽇语}, C={此⼈会讲法语} 根据题意, 可得(1) 32923()()()100100100=-=-=P ABC P AB P ABC(2) ()()()P ABC P AB P ABC =-9. 罐中有12颗围棋⼦，其中8颗⽩⼦4颗⿊⼦，若从中任取3颗，求：（1）取到的都是⽩⼦的概率；（2）取到两颗⽩⼦，⼀颗⿊⼦的概率；（3）取到三颗棋⼦中⾄少有⼀颗⿊⼦的概率；（4）取到三颗棋⼦颜⾊相同的概率. 解(1) 设A={取到的都是⽩⼦} 则3831214()0.25555===C P A C .(2) 设B={取到两颗⽩⼦, ⼀颗⿊⼦}2184312()0.509==C C P B C .(3) 设C={取三颗⼦中⾄少的⼀颗⿊⼦} ()1()0.745=-=P C P A . (4) 设D={取到三颗⼦颜⾊相同}3384312()0.273+==C C P D C .10. （1）500⼈中，⾄少有⼀个的⽣⽇是7⽉1⽇的概率是多少(1年按365⽇计算)？（2）6个⼈中，恰好有个⼈的⽣⽇在同⼀个⽉的概率是多少？解(1) 设A = {⾄少有⼀个⼈⽣⽇在7⽉1⽇}, 则 (2)设所求的概率为P(B)11. 将C ，C ，E ，E ，I ，N ，S 7个字母随意排成⼀⾏，试求恰好排成SCIENCE 的概率p.解由于两个C ，两个E 共有2222A A 种排法，⽽基本事件总数为77A ，因此有12. 从5副不同的⼿套中任取款4只，求这4只都不配对的概率.解要4只都不配对，我们先取出4双，再从每⼀双中任取⼀只，共有?4452C 中取法. 设A={4只⼿套都不配对}，则有13. ⼀实习⽣⽤⼀台机器接连独⽴地制造三只同种零件，第i 只零件是不合格的概率为=+11i p i，i=1，2，3，若以x 表⽰零件中合格品的个数，则P(x =2)为多少？解设A i = {第i 个零件不合格}，i=1,2,3, 则1()1i i P A p i==+所以 ()11i i i P A p i=-=+ 由于零件制造相互独⽴，有：123123()()()()P A A A P A P A P A =，123123()()()()P A A A P A P A P A =14. 假设⽬标出现在射程之内的概率为，这时射击命中⽬标的概率为，试求两次独⽴射击⾄少有⼀次命中⽬标的概率p.解设A={⽬标出现在射程内}，B={射击击中⽬标}，B i ={第i 次击中⽬标}, i=1,2.则 P(A)=, P(B i|A)= 另外 B=B 1+B 2，由全概率公式另外, 由于两次射击是独⽴的, 故P(B 1B 2|A)= P(B 1|A) P(B 2|A) = 由加法公式P((B 1+B 2)|A)= P(B 1|A)+ P(B 2|A)－P(B 1B 2|A)=+ 因此 P(B)= P(A)P((B 1+B 2)|A)=× =15. 设某种产品50件为⼀批，如果每批产品中没有次品的概率为，有1，2，3，4件次品的概率分别为, , , ，今从某批产品中抽取10件，检查出⼀件次品，求该批产品中次品不超过两件的概率.解设A i ={⼀批产品中有i 件次品}，i=0, 1, 2, 3, 4, B={任取10件检查出⼀件次品},C={产品中次品不超两件}, 由题意由于 A0, A1, A2, A3, A4构成了⼀个完备的事件组, 由全概率公式由Bayes公式故16.由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏2%，10%和90%的概率分别为，，，现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这批物品的损坏率是多少（这⾥设物品件数很多，取出⼀件后不影响下⼀件的概率）.解设B={三件都是好的}，A1={损坏2%}, A2={损坏10%}, A1={损坏90%}，则A1, A2,A 3是两两互斥, 且A1+ A2+A3=Ω, P(A1)=, P(A2)=, P(A2)=.因此有 P(B| A1) = , P(B| A2) = , P(B| A3) = ,由全概率公式由Bayes公式, 这批货物的损坏率为2%, 10%, 90%的概率分别为由于P( A1|B) 远⼤于P( A3|B), P( A2|B), 因此可以认为这批货物的损坏率为.17.验收成箱包装的玻璃器⽫，每箱24只装，统计资料表明，每箱最多有两只残次品，且含0，1和2件残次品的箱各占80%，15%和5%，现在随意抽取⼀箱，随意检查其中4只；若未发现残次品，则通过验收，否则要逐⼀检验并更换残次品，试求：（1）⼀次通过验收的概率α；（2）通过验收的箱中确定⽆残次品的概率β. 解设H i ={箱中实际有的次品数}, 0,1,2=i , A={通过验收} 则 P(H 0)=, P(H 1)=, P(H 2)=, 那么有： (1)由全概率公式 (2)由Bayes 公式得18. ⼀建筑物内装有5台同类型的空调设备，调查表明，在任⼀时刻，每台设备被使⽤的概率为，问在同⼀时刻（1）恰有两台设备被使⽤的概率是多少？（2）⾄少有三台设备被使⽤的概率是多少？解设5台设备在同⼀时刻是否⼯作是相互独⽴的, 因此本题可以看作是5重伯努利试验. 由题意，有p=, q=1?p=, 故(1) 223155(2)(0.1)(0.9)0.0729===P P C(2) 2555(3)(4)(5)P P P P =++第⼆章随机变量及其分布1. 有10件产品，其中正品8件，次品两件，现从中任取两件，求取得次品数X 的分律.解 X 的分布率如下表所⽰：2. 进⾏某种试验，设试验成功的概率为34，失败的概率为14，以X 表⽰试验⾸次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率.解 X 的分布律为： X 取偶数的概率：3. 从5个数1，2，3，4，5中任取三个为数123,,x x x .求：4. X ＝max (123,,x x x )的分布律及P(X ≤4)；5. Y ＝min (123,,x x x )的分布律及P(Y>3).解基本事件总数为：3510C ，(1)X 的分布律为： P(X ≤4)=P(3)+P(4)= (2)Y 的分布律为P(X>3) =0 函数f(k) =!kC k λ，k ＝1，2，…，λ>06. C 应取何值，成为分布律？解由题意, 1()1k f x ∞==∑, 即解得：1(1)C e λ=- 7. 已知X的分布律X －112P 162636求：（1）X 的分布函数；（2）12P X ??< ??；（3）312P X ??<≤ ??. 解 (1) X 的分布函数为()()k kx xF x P X x p ≤=≤=∑0,11/6,11()1/2,121,2x x F x x x <-??-≤=?≤(2) 11(1)26P X P X ?<==-=(3) 31()02P X P ?<≤==8. 设某运动员投篮投中的概率为P ＝，求⼀次投篮时投中次数X 的分布函数，并作出其图形.解 X 的分布函数9. 对同⼀⽬标作三次独⽴射击，设每次射击命中的概率为p ，求：10.（1）三次射击中恰好命中两次的概率；11.（2）⽬标被击中两弹或两弹以上被击毁，⽬标被击毁的概率是多少？解设A={三次射击中恰好命中两次}，B=⽬标被击毁，则 (1) P(A) =2232233(2)(1)3(1)P C p p p p -=-=-(2) P(B) =22323333233333(2)(3)(1)(1)32P P C p p C p p p p --+=-+-=-12.⼀电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：13.（1）每分钟恰有6次呼唤的概率；14.（2）每分钟的呼唤次数不超过10次的概率.解(1) P(X=6) =6440.104!6!k e e k λλ--==或者P(X=6) =!kek λλ-446744!!k k k k e e k k ∞∞--===-∑∑= – = . (2) P(X ≤10)104401144110.00284!!k k k k e e k k ∞--====-=-∑∑ =15.设随机变量X 服从泊松分布，且P(X ＝1)＝P(X ＝2)，求P(X ＝4)解由已知可得， 12,1!2!e e λλλλ--=解得λ=2， (λ=0不合题意)422,(4)4!P X e -==因此=16.商店订购1000瓶鲜橙汁，在运输途中瓶⼦被打碎的概率为，求商店收到的玻璃瓶，（1）恰有两只；（2）⼩于两只；（3）多于两只；（4）⾄少有⼀只的概率.解设X={1000瓶鲜橙汁中由于运输⽽被打破的瓶⼦数}，则X 服从参数为n=1000, p=的⼆项分布，即X~B(1000, , 由于n ⽐较⼤，p ⽐较⼩，np=3, 因此可以⽤泊松分布来近似, 即X~π(3). 因此(1) P(X=2) 2330.2242!e -==(2)323(2)1(2)110.80080.1992!k k P X P X e k ∞-=<=-≥=-=-=∑(3)333(2)(2)0.5768!k k P X P X e k ∞-=>=>==∑(4)313(1)0.9502!k k P X e k ∞-=≥==∑17.设连续型随机变量X 的分布函数为18.20,0(),011,1x F x kx x x ?19.求：（1）系数k ；（2）PF(x )=P(X ≤x )=P(X<0)+P(0≤X ≤x )=k x 2 ⼜F(1) =1, 所以k ×12=1因此k=1. (2) PP{四次独⽴试验中有三次在, 内} =334340.5(10.5)0.25C --=.20.设连续型随机变量X 的密度函数为求：（1）系数k ；（2）12P X ??< ??；（3）X 的分布函数. 解 (1)由题意，()1f x dx +∞-∞=?, 因此(2)1/21/1/21111arcsin 1/22663k P x x ππππ--?<===-= ? ?- (3) X 的分布函数21.某城市每天⽤电量不超过100万千⽡时，以Z 表⽰每天的耗电率(即⽤电量除以100万千⽡时)，它具有分布密度为若该城市每天的供电量仅有80万千⽡时，求供电量不够需要的概率是多少？如每天供电量为90万千⽡时⼜是怎样的？解如果供电量只有80万千⽡，供电量不够⽤的概率为：P(Z>80/100)=P(Z>=120.812(1)0.0272x x dx -=? 如果供电量只有80万千⽡，供电量不够⽤的概率为：P(Z>90/100)=P(Z>=120.912(1)0.0037x x dx -=? 22.某仪器装有三只独⽴⼯作的同型号电⼦元件，其寿命(单位⼩时)都服从同⼀指数分布，分布密度为试求在仪器使⽤的最初200⼩时以内，⾄少有⼀只电⼦元件损坏的概率.解设X 表⽰该型号电⼦元件的寿命，则X 服从指数分布，设A={X ≤200}，则P(A)=1200600311600x e dx e --=-?设Y={三只电⼦元件在200⼩时内损坏的数量}，则所求的概率为： 23.设X 为正态随机变量，且X ～N(2，2σ)，⼜P(2即20.30.50.8σ??Φ=+=故 20222(0)10.2X P X P σσσσ---<=<=Φ=-Φ= ? ? ???????24.设随机变量X 服从正态分布N(10，4)，求a ，使P(|X －10|解由于()()10|10|10222a X a P X a P a X a P --??-<=-<-<=<<所以0.952a ??Φ=查表可得，2a= 即 a =25.设某台机器⽣产的螺栓的长度X 服从正态分布N ，，规定X 在范围±厘⽶内为合格品，求螺栓不合格的概率. 解由题意，设P 为合格的概率，则则不合格的概率=1?P =26.设随机变量X 服从正态分布N(60，9)，求分点x 1，x 2，使X 分别落在(－∞，x 1)、(x 1，x 2)、(x 2，+∞)的概率之⽐为3:4:5. 解由题，查表可得解得, x 1 =查表可得解得, x2 =.27.已知测量误差X（⽶）服从正态分布N, 102)，必须进⾏多少次测量才能使⾄少有⼀次误差的绝对值不超过10⽶的概率⼤于？解设⼀次测量的误差不超过10⽶的概率为p, 则由题可知设 Y为n次独⽴重复测量误差不超过10⽶出现的次数，则Y~B(n,于是 P(Y≥1)=1?P(X=0)=1?(1?n≥≤, n≥ln/ln解得：n≥取n=5, 即，需要进⾏5次测量.28.设随机变量X的分布列为X －2 0 2 3P 17173727试求：（1）2X的分布列；（2）x2的分布列.解 (1) 2X的分布列如下x 2的分布列29.设X 服从N(0，1)分布，求Y ＝｜X ｜的密度函数.的反函数为,0h(y)=,x x x x -≥?, 从⽽可得解Y=|X|的密度函数为：当y>0时，222222()()|()'|()|'|yyy Y X X f y f y y f y y e e e---=--+==当y ≤0时，()Y f y =0因此有22,0()0,0yY e y f y y ->=≤?30.若随机变量X 的密度函数为求Y ＝1x的分布函数和密度函数.解 y=1x在(0,1)上严格单调，且反函数为 h(y)= 1y , y>1, h ’(y)=21y -因此有 43,1()0,Y y yf y other ?>?=。
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ˆ ,并 其中 0 未知参数，若 X1 , X 2 ,, X n 为总体 X 的样本．求 的最大似然估计量
问这个估计量是不是无偏估计量？ 解:(1)似然函数为
L( ) f xi ;
i 1 i 1 n n n
xi
e
xi2 2
( x i )
P ( AB ) , P ( AB ) P ( A B ) 1 P ( A) P ( B ) P ( AB ) , （3 分） P( B )
1 0.4 0.5 P( AB) , P ( AB ) 0.05. （3 分） 1 0.5
2．飞机在雨天晚点的概率为 0.8，在晴天晚点的概率为 0.2，天气预报称明天有雨的 概率为 0.4，试求明天飞机晚点的概率. 解 设 A 表示明天飞机晚点，B 表示明天雨天，则
9
（4 分） （6 分）
（2） Y b(5, e3 ) ， P{Y 0} C50 (e 3 )0 (1 e 3 )5 (1 e 3 )5 .
本题分数 得 分 10 分
五. 设随机变量 X 服从[0,0.2]上的均匀分布，随机变量 Y 的概率密度
5e 5 y , y 0; fY ( y ) 其他. 0,
n ˆ 1 故 的最大似然估计量为 （3 分） X i2 。 2n i 1 n 1 n 2 ˆ) E ( 1 (2) E ( X ) E ( X i2 ) ， i 2n i 1 2n i 1
由 E( X )
2 i
x3
0
e
x2 2
dx 2 ,
（4 分）
0.2 2 1 4 25 ( ) 2 ， （2） D (10 X 5Y ) 100 D ( X ) 25D (Y ) 100 （4 分） 12 5 3
（3） P{ X Y } dx 25e -5ydy (5-5e -5x )dx e 1 ．
（4 分）
3 ． 设 X 1 , X 2 , X 3 , X 4 是 来 自 正 态 总 体 N (0, 2 2 ) 的 简 单 随 机 样 本 ， 而
X a ( X 1 2 X 2 ) 2 b (3 X 3 4 X 4 ) 2 ，试确定 a, b 使 X 2 (k ) ,并确定 k 的值。
0.1 0.2 0.1 a 0.1 0.2 1, a 0.3 ；
（2 分）
（2） X p 0 0.4 1 0.3 2 0.3
Y p
1 0.4
2 0.6 （4 分）
（3）因 P{ X 0, Y 1} P{ X 0}P{Y 1}, 故 X 与 Y 不独立； （2 分） （4） Z p 1 0.1 2 0.5 3 0.2 4 0.2 （2 分）
由中心极限定理得
X 20 25 20 P X 25 P (1.25) 0.8944, 16 16
故这批木桩合格的概率为 0.8944。 （5 分） 八．设总体 X 的概率密度为
本题分数 得 分 10 分
x x e 2 , x 0, f ( x ) 0, 其它.
0 0 0
0.2
x
0.2
（4 分）
本题分数 得 分
12 分
第 5页（共 8页）
六. 设二维随机向量（X，Y）的联合分布列为 X Y 1 2 0 0．1 a 1 0．2 0．1 2 0．1 0．2
试求： （1）a 的值； （2） （X，Y）分别关于 X 和 Y 的边缘分布列； （3）X 与 Y 是否 独立？为什么？（4） E ( XY ) ． 解（1）由分布律性质知，
P ( B ) 0.4, P ( B ) 0.6, P ( A | B ) 0.8, P ( A | B ) 0.2
（2 分）
于是
P ( A) P ( B ) P ( A | B ) P ( B ) P ( A | B ) 0.4 0.8 0.6 0.2 0.44.
2
2
0, 3 x x 1 2. F ( x ) f ( x )dx , 2 x 2; （3 分） 16 2 x 2. 1. 2 3 2 3 12 x 3dx 0, E ( X 2 ) d x 2 f ( x )x x 4dx , 3. E ( X ) xf ( x )x 2 16 2 16 5 12 D ( X ) E ( X 2 ) [ E ( X )]2 , 5 5 1 P{| X E ( X ) | D ( X )} P{| X | 1} F (1) F ( 1) ， （3 分） 12 8 y 1 4 . Y 2 X 1, x h y 2 y 1 3 y 1 2 ) , 2 2, ( fY y f X 2 h y h y 32 2 0, 其它，
(1) 在显著水平 0.05 下，是否可以认为该厂生产的零件的平均长度是 2050mm? （ z0.025 1.96, t0.025 (15) 2.1315 , t0.025 (16) 2.1199 ）
（2）在置信水平 1 0.95 下，求 的置信区间．(精确到小数点后三位)
PXY 1 （
1 4Biblioteka 3 4D） B． D．
3 16 3 8
A． C．
1 16 1 4
4．对任意随机变量 X ，若 EX 存在，则 E[ E ( EX )] 等于（ A． 0 C． EX . B. X . D. ( EX ) 3.
C
） 。
5．设 x1,x2,…,x100 为来自总体 X ~ N(0，42)的一个样本，以 x 表示样本均值，则 x ~
解 因为 X i N (0, 2 2 )(i 1, 2,3, 4) ，且 X i 之间相互独立，则
X 1 2 X 2 N (0, 20),3 X 3 4 X 4 N (0,100),
从而，
X1 2 X 2 20
N (0,1),
2
3X 3 4 X 4 N (0,1), 10
第 2页（共 8页）
（ A．N（0，16） C．N（0，0.04）
本题分数 得 分 18 分
A ）
B．N（0，0.16） D．N（0，1.6） 二、简单计算题（每小题 6 分） 1． P(B)=0． 5，且 P( A 3， | B )=0． 设 P(A)=0．4， 求 P(AB)．
P( A | B ) 0.3
2
( 0.025 (15) 27.488, 0.975 (15) 6.262, 0.025 (16) 28.845, 0.975 (15) 6.90 8 )
2 2 2 2
解
检验假设 H 0 : 0 21, H1 : 0 ．
（2 分）
则在 H 0 成立的条件下， T＝ 拒绝域为 T t
且 X 与 Y 相互独立．求： (1) (X, Y)的概率密度; (2)D(10X-5Y);(3)P{X>Y}. （1）因为随机变量 X 服从[0,0.2]上的均匀分布，所以
5, 0 x 0.2; f X ( x) 其他. 0,
因为 X 与 Y 相互独立，所以
25e 5 y , 0 x 0.2, y 0; f ( x, y ) 其他. 0,
南 京 航 空 航 天 大 学 金 城 学 院
第 1页 （共 8页） 二○一○～ 二○一一 学年 考试日期： 班号 题号 得分 本题分数 得 分 10 分 一 二 三 四 年 第二学期 月 日
《概率论与数理统计Ⅱ》考试试题
试卷类型：A 学号 五 六 七 试卷代号： 姓名 总分
一．单项选择题(每小题 3 分)。 1．一批产品中有 5%不合格品，而合格品中一等品占 60%， 从这批产品中任取一件，则该件产品是一等品的概率为 （ D ）
X 0 t ( n 1) S/ n
2
n 1
（2 分）
2
已知 n 5, s 0.135 ， x 21.8 ， t (n 1) t 0.025 (4) 2.7764 ，
x u0 21.8 21 4.87, s 0.135 n 5
2
| t |
2
（3 分）
X 2X 2 3X 3 4 X 4 2 于是， 1 (2), 10 20
第 3页（共 8页）
故当 a
1 1 ,b 时， X 2 (2). （3 分） 20 100
12 分
本题分数 得 分
三. 设随机变量 X 的概率密度函数为
本题分数 得 分 8分
七. 有一批建筑用木桩，其中有 80%的木柱长度不小于 3m， 现从这批木桩中随机抽取随机的抽取 100 根， 若长度超过 3m 的不超过 25 根就算合格，求这批木柱合格的概率。
( (1) 0.8413, (1.25) 0.8944)
第 6页（共 8页）
解
设 X 表示 100 根建筑用木桩中长度小于 3m 的根数，则 X b (100, 0.2) 。 从而， E X 20, D X 16 ， （3 分）
A．0.20 C．0.38
B．0.30 D．0.57 D ） 。
2．设随机变量 X ～ N 3,2 2 ，则使 P X a P X a 成立的 a （ A．0 C．2 B．1 D．3
3、设随机变量 X 与 Y 独立同分布，它们取-1，1 两个值的概率分别为 ， ，则
第 7页（共 8页）
n ˆ) 1 所以 E ( 2 . 2n i 1