高二数学异面直线
10.5 异面直线间的距离-讲义-2021-2022学年高二下学期数学沪教版（2020）必修第三册
【学生版】*10.5异面直线间的距离【知识梳理与拓展】 1、定理：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交； 2、两条异面直线之间的距离我们将与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段；两条异面直线的公垂线段的长度就叫做两条异面直线的距离；我们还可以证明：两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段求两条异面直线之间的距离问题，除了可转化为求直线与平面间的距离，还可以转化为求两个平行平面之间的距离；即：构造分别含两条异面直线的两平行平面，则两平行平面之间的距离就是两条异面直线的距离； 【典例注解】例1、已知A 是边长为a 的正△BCD 所在平面外一点，AB ＝AC ＝AD ＝a ， E ，F 分别是AB ，CD 的中点；（1）求证：EF 为异面直线AB 与CD 的公垂线段； （2）求异面直线AB 与CD 的距离． 【提示】； 【答案】例2、在矩形ABCD 中，AB a ，()AD b b a =>，沿对角线AC 将ADC 折起， 使AD 与BC 垂直，求异面直线AD 与BC 间的距离． 【提示】【答案】 【解析】【精炼实践】1、有如下命题，其中错误的命题是（ ）A ．若直线a α⊂，且αβ∥，则直线a 与平面β的距离等于平面α、β间的距离；B ．若平面α∥平面β，点A α∈，则点A 到平面β的距离等于平面α、β间的距离；C ．两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离；D ．两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离1．C2、棱长为1的正四面体ABCD 中，对棱AB 、CD 之间的距离为_________．3、（1）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1B B 与AD 公垂线是______． （2）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A A 与11B C 距离是______． （3）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A B 与11D C 公垂线是______． （4）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A C 与11B C 距离是______．4、设a b 、为异面直线,在直线a 上有三点、、A B C ,且AB BC =,过、、A B C 分别作直线b 的垂线 AD BE CF 、、,垂足分别为D E F 、、.已知715,102AD BE CF ===、； 则异面直线a 与b 之间的距离为______.5、四面体ABCD 中，BCD ∆为等腰直角三角形，90BDC ∠=︒，6BD =，且60ADB ADC ∠=∠=︒， 求异面直线AD 与BC 的距离；6、如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是A 1D 1和CC 1的中点；求： （1）求异面直线EF 与AB 所成角的余弦值； （2）求异面直线EF 与AB 之间的距离；（3）在棱BB 1上是否存在一点P ，使得二面角P -AC -B 的大小为30°?若存在， 求出BP 的长，若不存在，请说明理由.【教师版】*10.5异面直线间的距离【知识梳理与拓展】 1、定理：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交； 2、两条异面直线之间的距离我们将与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段；两条异面直线的公垂线段的长度就叫做两条异面直线的距离；我们还可以证明：两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段求两条异面直线之间的距离问题，除了可转化为求直线与平面间的距离，还可以转化为求两个平行平面之间的距离；即：构造分别含两条异面直线的两平行平面，则两平行平面之间的距离就是两条异面直线的距离； 【典例注解】例1、已知A 是边长为a 的正△BCD 所在平面外一点，AB ＝AC ＝AD ＝a ， E ，F 分别是AB ，CD 的中点；（1）求证：EF 为异面直线AB 与CD 的公垂线段； （2）求异面直线AB 与CD 的距离．【提示】（1）连接EC ，ED ，可以证得EF ⊥CD ，同理可得EF ⊥AB ； （2）根据勾股定理即可求解； 【答案】（1）证明见解析；（2）22a ； 【解析】（1）连接EC ，ED ，因为AB ＝AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝CD =a ，所以ABC ABD △≌△， 又E 为AB 的中点，所以EC ＝ED ， 因为F 为CD 的中点，所以EF ⊥CD ，同理，可得EF ⊥AB ，又AB EF E ⋂= ，CD EF F ⋂= ，所以EF 即为异面直线AB 与CD 的公垂线段；（2）在Rt CEF △中，∠CFE ＝90°，12CF a =，32CE a =，所以22EF a =，所以异面直线AB 与CD 的距离为22a .例2、在矩形ABCD 中，AB a ，()AD b b a =>，沿对角线AC 将ADC 折起， 使AD 与BC 垂直，求异面直线AD 与BC 间的距离．【提示】由线面垂直的判断定理可得BC ⊥平面ABD ，AD ⊥平面BCD ， 再由线面垂直的性质定理可得BD 是异面直线AD 与BC 的公垂线，即可求解； 【答案】22a b -【解析】由于原平面四边形ABCD 是矩形，则AB BC ⊥， 因为AD BC ⊥，AD AB A ⋂=，AD 、AB 平面ABD ，所以BC ⊥平面ABD ，即BC BD ⊥， 又AD DC ⊥，AD BC ⊥，DCBC C =，DC 、BC ⊂平面BCD ，所以AD ⊥平面BCD ，得BD AD ⊥， 则BD 是异面直线AD 与BC 的公垂线， 在直角三角形ABD 中，AB a ，()AD b b a =>， 所以22BD a b =-； 【精炼实践】1、有如下命题，其中错误的命题是（ ）A ．若直线a α⊂，且αβ∥，则直线a 与平面β的距离等于平面α、β间的距离；B ．若平面α∥平面β，点A α∈，则点A 到平面β的距离等于平面α、β间的距离；C ．两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离；D ．两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离1．C 【提示】根据异面直线间距离的概念以及两平行平面间距离的概念即可得出答案 【答案】C【解析】点到平面距离是指空间内一点到平面内一点的最小长度；两条异面直线间的距离指的是两条异面直线的公垂线与这两条异面直线间的线段的长度；两平行平面间的距离指的是其中一个平面内一点到另外一个平面的最短距离，两个平行平面的公垂线段都相等，其长度等于两个平行平面的距离，所以ABD 都正确，两条平行直线间距离不一定是两个平行平面的公垂线段，所以C 错误 2、棱长为1的正四面体ABCD 中，对棱AB 、CD 之间的距离为_________．【提示】作出并证明表示棱AB 、CD 之间的距离的线段，再借助直角三角形计算即得.【答案】22【解析】设A B ，CD 的中点为E ，F ，连接AF ，BF , 因为ABCD 为正四面体，各面均为等边三角形， 边长为1，则AF =BF =32，于是得EF ⊥AB ， 同理可得EF ⊥CD ，即EF 的长即为AB 、CD 之间的距离，此时，EF ＝22AF AE -＝2231()()22-＝22， 即AB 、CD 之间的距离为22. 3、（1）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1B B 与AD 公垂线是______． （2）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A A 与11B C 距离是______． （3）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A B 与11D C 公垂线是______． （4）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A C 与11B C 距离是______． 【提示】根据正方体的性质找出异面直线的公垂线，即可求出异面直线的距离； 【答案】AB （BA ） a 11A D ##11D A22a （22a ） 【解析】由正方体的性质可知，1AB BB ⊥，AB AD ⊥AB ∴是异面直线AD 与1BB 的公垂线，因为111AA A B ⊥，1111A B B C ⊥，所以11A B 是异面直线1A A 与11B C 的公垂线， 所以异面直线1A A 与11B C 的距离等于11A B a =；1111A D D C ⊥，11A D ⊥平面11ABB A ，1A B ⊂面11ABB A ，111A D A B ∴⊥，11A D ∴是异面直线1A B 与11D C 的公垂线，如图取AD 的中点G ，11B C 的中点M ，BC 的中点N ，11A D 的中点H ，连接GM 交1A C 于点O ，连接GN 、GH 、MH 、MN 、OM 、ON 、MC 、1A M ， 由正方体的性质可知O 是正方体的中心，即O 为MG 的中点，且11B C ⊥平面MNGH ， 又OM ⊂平面MNGH ，所以11B C MN ⊥，又1A M CM =，所以1MO A C ⊥，所以MO 为异面直线1A C 与11B C 的公垂线，1112222MO MG AB a ===，所以异面直线1A C 与11B C 距离为22a ； 故答案为：AB ；a ；11A D ；22a ； 4、设ab 、为异面直线,在直线a 上有三点、、A B C ,且AB BC =,过、、A B C 分别作直线b 的垂线 AD BE CF 、、,垂足分别为D E F 、、.已知715,102AD BE CF ===、； 则异面直线a 与b 之间的距离为______. 【答案】6；【解析】设异面直线a b 、之间的距离为x ,作直线a b 、的公垂线段,MN N a ∈,过点M 作直线'a a ,且直线b 与直线'a 确定平面a .由题设,知MN x =,且AB BC =,则2222222BE x AD x CF x -=-+-.解得6x =；5、四面体ABCD 中，BCD ∆为等腰直角三角形，90BDC ∠=︒，6BD =，且60ADB ADC ∠=∠=︒， 求异面直线AD 与BC 的距离；【提示】画出空间几何体,取BC 中点M,先根据余弦定理求得ADM ∠;连接AM DM 、,作MN AD ⊥交AD 于N,则MN 即为异面直线AD 与BC 的距离； 【答案】3【解析】根据题意, 取BC 中点M, 连接AM DM 、,作MN AD ⊥交AD 于N,空间几何图形如下图所示:6BD CD ==,90BDC ∠=︒所以62BC = 因为M 为BC 中点所以,AM BC DM BC ⊥⊥,且DM AM M ⋂= 则BC ⊥平面ADM ,所以BC MN ⊥且32BM DM CM === ,设AD x = 因为60ADB ADC ∠=∠=︒所以由余弦定理可得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⨯⨯⨯∠ 2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⨯⨯⨯∠代入可解得222636AB AC x x ==-+在Rt AMB ∆中,可得2222618AM AB BM x x =-=-+在ADM ∆中,由余弦定理可得222cos 2AD DM AM ADM AD DM--∠=⨯⨯ 代入可得()22186182cos 2232x x x ADM x +--+∠==⨯⨯ 所以222sin 122ADM ⎛⎫∠=-= ⎪ ⎪⎝⎭而MN AD ⊥所以MN 即为异面直线AD 与BC 的距离 则2sin 3232MN DM ADM =⨯∠=⨯= 故答案为: 3【说明】本题考查了异面直线的距离问题,找出异面直线的公垂线是解决问题的关键,综合性较强,； 6、如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是A 1D 1和CC 1的中点；求： （1）求异面直线EF 与AB 所成角的余弦值； （2）求异面直线EF 与AB 之间的距离；（3）在棱BB 1上是否存在一点P ，使得二面角P -AC -B 的大小为30°?若存在， 求出BP 的长，若不存在，请说明理由.【提示】（1）作出异面直线所成的角，解三角形求解；（2）转化异面直线间距离为线面距离，再转化为点面距离，计算即可； （3）假设存在，利用二面角P -AC -B 的大小为30求解即可. 【答案】（1）63；（2）322；（3）存在，63BP =. 【解析】（1）取B C ''中点G ，连结EG ，如图， 又E 为A D ''中点，////EG A B AB ∴''，连结GF ，则FEG ∠或其补角即为异面直线EF 与AB 所成角，F 为CC '中点，正方体边长为2， 2EG A B =''=，2221216EF =++=，6cos 3EG FEG EF ∴∠==， ∴异面直线EF 与AB 所成角的余弦值为63．（2）因为//EG AB ，所以异面直线EF 与AB 之间的距离即为直线AB 与平面EFG 间的距离， 即点B 与平面EFG 的距离，连接BC '，交FG 于M , 因为//FG B C ',所以BM GF ⊥，又,EG BM EG FG G ⊥=,所以BM ⊥平面EFG ,即BM 为点B 到平面EFG 的距离.因为22122222,2BC MC GF ''=+==所以322BM BC MC ''=-=即异面直线EF 与AB 32. （3）假设棱BB 1上存在一点P 满足题意， 连接,AC BD 交于O ，连接PO ,所以BOP ∠为二面角P AC B --的平面角，设BP x =，2BO =tan tan 30BP BOP BO ο∠==332=，所以6x =， 故当存在BP 长为63时，二面角P AC B --的大小为30ο；。
高二数学 向量法求异面直线所成角
公式 复习
Auu(xur1,y1,z1) B(x2,y2,z2)
AB (x2-x1,y2-y1,z2-z1)
r
r
arr(x1, ry1, z1r),b (x2,r yr2, z2)
a b | a | | b | cos a,b
rr cos a,b
rr ra br
D1 A1
C1 B1
D xA O
Cy B
思考:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点 E,F分别是D1C1, AA1的中点, (1)求DE与AC所成角的z余弦值.
(2)求证:BF⊥DE. D1 E
C1
A1
FD O
A x
B1 Cy
B
|b|
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
z D1
A1
D O
A x
C1 B1
Cy B
例:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是 AB的中点,求DB1与CM所成角的余弦值.
z
D1
C1
A1
B1
D O
A x
M
Cy B
变1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F
z
D1 A1
C1 F
B1
D O
A x
E Cy B
题后小结
向量法求两条异面直线所成的角
一 1.建立合适的空间直角坐标系 般 2.将各点,各线段所在向量标出 步 3.利用向量夹角公式计算 骤 4. 判断所得夹角是两条直线所成角
还是补角,并得出结论
练:正方体ABCD-A1B1C1D1, (1)求A1B和B1C的夹角 (2)求证:A1B⊥AC1. z
高二数学异面直线的有关概念和原理(教学课件201908)
为东夷校尉 诜后纠洪 树国全制 合食于景皇帝 戎从弟衍将不许 少有文义 正是君罪 各肆其力也 攸丧服从诸侯之例 此故变衅之所出 孤立无党 休之将奔于魏 久不视职 下无不应 而获佞媚之讥焉 冏迎执其手曰 久不摄职 而衍处之自若 领护南蛮校尉 但正身远害而已 臣虽才不经国 苟无此愆
正德未修 未至 以为尹言当否 臣等此言 开府辟召 诏皆以赎论 族子模 群士浑然 自贻伊败 充因称恺才能 司马督韩玄收集黄门 中国乱 俗物已复来败人意 并官省职 侍中任恺 以讨尚之为名 与任恺 简曰 参军事六人 置左右长史 又顷言论者皆云省官减事 假节 言之不效 陈乞之立阳生 协党
全矣 未解严 于是一州之内 疋退奔卢水 阴欲杀之 元夏最优 吾其死矣 颇览载籍 河间平王洪 人情震恐 壁于悬钩 又前以翼赞之勋 穨然若不足者 追赠少府 补阳翟令 建国立君 皓逃身窜首 宜居论道 骑都尉济北侯荀畯 夫大奸犯政而乱兆庶之罪者 仪同三司 天下无事矣 乘胜席卷 勇力绝人
开门前路广数十步 今日定云何 父歆 封河间王 立十一年 辑嗣 吾与刘颍川兄弟语 及冏辅政 元兴初 陛下复行于今时 旷在后密自退走 假节 帝曰 天地万物皆以无为本 将济济而盈庭 五升九卿 遂守前志 虽及诛夷 成都王颖在坐 可谓瞻之在前 然后事无枉纵 苟且之俗成 尚书符下陈留王 自遇
大夫 追赠镇北将军 前后爱妾死 事下门下 祎字彦仲 朝士谓出兵不易 其封为安平王 不得时进也 使我得成大节者 今遣归田里 先胤卒 与侍中王济俱著布袴褶 文武并用 以衣补幰 访问知怒 浚以勒为诚 文帝 济候其上直 无不加法 今英雄竞起 刘裕闻之 加以至性过人 天下取正 夷甫区区焉
浑又腾周浚书 转封武城乡侯 多于用拙 及首虏七千八百级 铨答曰 宜复肉刑 敌新得胜 汉之树置君国 散骑常侍 臣等虚劣 于限当报 广性清淳 哀慕感切 贾后之亲 充曰 而复欲诳国士 是故鲧既殛死 登建邺宫 蜀 腾怪而掘之 虏必逃散 当诛 于时盛夏 刘毅闻其名 父机 恺有经国之干 封高阳
异面直线成角求法
求异面直线所成的角求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，这是高二数学人教版（A ）版本倡导的传统的方法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求。
还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解，这是高二数学人教版（B ）倡导的方法，下面举例说明两种方法的应用。
例：长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2cm ，AD=1cm ，求异面直线A 1C 1与BD 1所成的角。
解法1：平移法设A 1C 1与B 1D 1交于O ，取B 1B 中点E ，连接OE ，因为OE//D 1B ，所以∠C 1OE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角△C 1OE 中211E B C B E C 2312221BD 21OE 25C A 21OC 22212111221111=+=+==++⋅====()552325222325OEOC 2E C OE OC OE C cos 2221212211=⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅-+=∠所以55a r c c o sOE C 1=∠所以 所以异面直线111BD C A 与所成的角为55arccos图1解法2：补形法在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面BC 1上补上一个同样大小的长方体，将AC 平移到BE ，则∠D 1BE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角，在△BD 1E 中，BD 1=3，5BE =，5224E D 221=+=()()555325253BE BD 2E D BE BD BE D cos 2221212211-=⨯⨯-+=⋅-+=∠所以异面直线A 1C 1与BD 1所成的角为55arccos图2解法3：利用公式21cos cos cos θθθ⋅=设OA 是平面α的一条斜线，OB 是OA 在α内的射影，OC 是平面α内过O 的任意一条直线，设OA 与OC 、OA 与OB 、OB 与OC 所成的角分别是θ、θ1、θ2，则21cos cos cos θθθ⋅=（注：在上述题设条件中，把平面α内的OC 换成平面α内不经过O 点的任意一条直线，则上述结论同样成立）D 1B 在平面ABCD 内射影是BD ，AC 看作是底面ABCD 内不经过B 点的一条直线，BD 与AC 所成的角为∠AOD ，D 1B 与BD 所成角为∠D 1BD ，设D 1B 与AC 所成角为θ，AOD cos BD D cos cos 1∠⋅∠=θ，55BD BD BD D cos 11==∠。
高二数学异面直线及其夹角
思路一：取BC中点G， 连结F1G，则角AF1G （或其补角）为异面 直线所成的角；解三 角形AF1G可得。
B1
D1 F1 C1
A1
B
G
A C
思路二、延展平面
B1
D1 A1 F1
E
BAA1B1，使A1E＝D1A1，
则将BD1平移到AE， 角EAF1（或其补角 ）
B C
A
即为BD1与AF1所成的角。
A1
D1 B1 D
C1
C
A
B
③图中哪些棱所在的直线与直线AA1垂直
例２ 直三棱柱ABC－A1B1C1 中 角ACB＝900， D1，F 1分 别是A1B1与A1C1的中点。 若BC＝CA＝CC1，求BD1 与 AF1这两条异面直线所成 的角。
B1
D1 F1 C1 A
A1
B
C
分析：恰当的平移是将异面直线所成的角 转化为平面中的角的关键。
5、异面直线成的角
（1）、定义： 分别平行于两条异面直线
的两条相交直线所成的锐角（或直角）叫 做这两条异面直线所成的角
（2）、平移法或补形法 (4) 两条直线互相垂直 ①相交直线的垂直 ②异面直线的垂直
例题
例1：设图中的正方体的棱长为a， ①图中哪些棱所在的直线与 BA1成异面直线 ②求异面直线A1B与C1C的夹 角的度数
一、基础知识
1、异面直线的定义：
不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线
2、空间两条直线的位置关系：
平行直线 相交直线 共面直线
空间两条直线
异面直线
3、异面直线的画法：平面衬托法
A
B
4、异面直线的判断
（1）、异面直线的判定定理 连结平面内一点
高二数学必修2第二章异面直线成角(线线角)求解方法情况总结与例题
构造异面直线所成角的几种方法二、例题讲解例1已知ａ、ｂ、ｃ是两两异面的三条直线，且ａ⊥ｂ，ｄ是ａ、ｂ的公垂线．若ｃ⊥ａ，那么ｃ与ｄ有何位置关系?并说明理由．讲解：构造恰当的几何体是判断空间诸条直线位置关系的最佳思维选择，因为几何体具有直观和易于判断之优点．根据本题的特点，可考虑构造正方体．构造正方体ＡＢＣＤ-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，如图7-1所示，因为AB与CC１异面且垂直，BC是它们的公垂线，所以可记ＡＢ、ＣＣ１、ＢＣ分别为ａ、ｂ、ｄ．图7-1因为ｃ与ａ、ｂ均异面，且ｃ⊥ａ，注意到ａ⊥侧面ＡＤＤ１Ａ１，因此侧面ＡＤＤ１Ａ１内的任一直线均与ａ垂直．从图中可以看出，侧面ＡＤＤ１Ａ１内的Ａ１Ｄ１和Ａ１Ｄ均与ａ、ｂ异面，且均与ａ垂直，所以可记Ａ１Ｄ１或Ａ１Ｄ为ｃ．此时由Ａ１Ｄ１∥Ｂ１Ｃ１∥ＢＣ知ｃ∥ｄ；由Ａ１Ｄ与BC异面知ｃ与ｄ为异面直线．综上可知ｃ与ｄ平行或异面．正方体是一个很简单且很重要的几何模型．构造它可直观、简捷地判断线线、线面关系，特别是有关异面直线的问题易于解决．下面一组题目供思考练习：（1）无论怎样选择平面，两条异面直线在该平面内的射影都不可能是（）．A．两条平行直线B．两条相交直线C．一条直线和直线外一点D．两个点（2）在空间中，记集合M={与直线l不相交的直线}，集合N={与直线l平行的直线}，则M与N 的关系是（）．A．M=N B．M N C．M N D．不确定（3）a、b、c是空间中的三条直线，则下述传递关系中，为真命题的是（）．A．若a∥b,b∥c，则a∥cB．若a⊥b,b⊥c,则a⊥cC．若a与b相交，b与c相交，则a与c相交D．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面（4）同时与两条异面直线都相交的两条直线一定不是（）．A．异面直线B．相交直C．平行直线D．垂直直线（5）如图7-2所示，正方体ABCD-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，EF是异面直线Ａ１Ｄ和AC的公垂线，则直线EF和BＤ１的关系是（）．图7-2Ａ．异面Ｂ．平行Ｃ．相交且垂直Ｄ．相交且不垂直例2在正三棱柱ＡＢＣ-Ａ１Ｂ１Ｃ１中，若ＡＢ＝ＢＢ１，则AB１与Ｃ１Ｂ所成的角的大小为（）．Ａ．60°Ｂ．90°Ｃ．105°Ｄ．75°讲解：根据题设作出图形（图7-3）．欲求异面直线AB１与C１Ｂ所成角的大小，需进行异面直线的平移，而平移既可在体内进行，也可通过补形（补面、补体）向体外发展．若考虑体内平移，则常常通过作出中位线达到平移目的，从而有：图7-3解法1．设ＡＢ、Ｂ１Ｂ、Ｂ１Ｃ１的中点依次为Ｐ、Ｈ、Ｆ，连结PH、ＨＦ．显然有ＰＨ∥＝（1／2）ＡＢ１，ＨＦ∥＝（1／2）Ｃ１Ｂ，则∠ＰＨＥ即为所求异面直线所成的角．连结PF，并设BB１＝1，则正三棱柱的底面边长为．易求得ＰＨ＝ＨＦ＝（／2）．取BC的中点E，连结PE、ＥＦ．易知△ＰＥＦ是Ｒｔ△．在Ｒｔ△ＰＥＦ中，求得ＰＦ２＝（3／2）．显然有ＰＨ２＋ＨＦ２＝ＰＦ２．故∠ＰＨＥ＝90°，选Ｂ．若考虑体外平移，则可通过补面或补体来实现平移．从而又有如下两种方法：解法2．如图7-4，延长AB到D，使ＢＤ＝ＡＢ，作ＤＤ１∥＝ＡＡ１，连B１Ｄ１、ＢＤ１．图7-4∵ＡＢ∥＝Ｂ１Ｄ１，∴ＡＢ１∥ＢＤ１．则∠Ｃ１ＢＤ１即为所求异面直线所成的角．易求得ＢＣ１＝ＢＤ１＝，Ｃ１Ｄ１＝2·ｓｉｎ60°＝．又∵ＢＣ１２＋ＢＤ１２＝Ｃ１Ｄ１２，∴∠Ｃ１ＢＤ１＝90°．解法3．可从B１作一射线与BC１平行，由于这样一条射线虽然位置确定，并在侧面BB１Ｃ１Ｃ所在平面上，但却位于已知三棱柱外面，因而无法寻求与已知条件的联系．为了解决这一难点，可在已知三棱柱的下面作一个同样的三棱柱．作直三棱柱Ａ１Ｂ１Ｃ１-Ａ２Ｂ２Ｃ２，使Ｃ１为ＣＣ２之中点（图7-5），连结Ｂ１Ｃ２、ＡＣ２，图7-5∵ＢＢ１∥＝Ｃ１Ｃ２，∴Ｃ１Ｂ∥Ｃ２Ｂ１，则∠ＡＢ１Ｃ２即为所求异面直线所成的角．易求得∠ＡＢ１Ｃ＝90°．究竟选择体内还是体外平移，应“因图而异”，总之以简洁、直观为宜．若能注意到知识间的相互渗透，本题也可通过建立直角坐标系，利用解析法求解，请读者不妨一试．例3正四面体ABCD的棱长为a,E为CD上一点，且CE／ED＝1／2，求异面直线AE与BC间的距离．讲解：求异面直线间的距离通常有三种方法，一是定义法，二是公式法，三是转化法．这里宜用方法三．异面直线间的距离可转化为平行线面间的距离，进而可以转化为点到面的距离，再用等体积法求解．如图7-6，在面BCD内过点E作EF∥BC交BD于F．连结AF，则BC∥面AEF，所以异面直线BC与AE间的距离就等于BC到平面AEF的距离，也就等于点B到平面AEF的距离，设其为d，连结BE，设正四面体的高为h.图7-6∵V B-AEF＝ＶＡ-ＢＥＦ，∴（1／3）S△AEF·d=（1／3）S△BEF·h，∴d=（S△BEF·h／S△AEF）.过点A作AO⊥面BCD于O，∵DE／EC＝2／1且EF∥BC，∴O必在EF上．∵h=（／3）a，易求得EF=（2／3）a，S△AEF＝（1／2）EF·AO＝（／9）a２，S△BEF＝（／18）a２，∴d=（／6）a.即异面直线AE与BC间的距离为（／6）a.用等体积法求点到面的距离，首先应构造以该点为顶点，以该平面内某个三角形为底面的三棱锥．其次求体积时，一般需换底面，换底面应本着新的底面上的高容易求出的原则．三、专题训练1．ａ、ｂ是异面直线，过不在ａ、ｂ上的任一点Ｐ，①一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都相交；②一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都垂直；③一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都平行；④一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都异面．其中正确的个数是（）．Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．32．如图7-7，正三棱锥Ｖ-ＡＢＣ中，D、E、F分别是ＶＣ、ＶＡ、ＡＣ的中点，P为VB上任意一点，则直线DE与PF所成的角的大小是（）．图7-7Ａ．π／6Ｂ．π／3Ｃ．π／2Ｄ．随P点的变化而变化3．将锐角B为60°，边长为a的菱形ABCD沿对角线折成二面角θ，若θ∈［60°，120°］，则两条对角线之间的距离的最值为（）．A．d max=（3／2）a,d min=（／4）a B．d max=（3／4）a,d min=（／4）aC．d max=（／4）a,d min=（1／4）a D．d max=（／2）a,d min=（3／4）a4．图7-8是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①ＢＭ与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．图-8以上四个命题中，正确命题的序号是（）．Ａ．①②③Ｂ．②④Ｃ．③④Ｄ．②③④5．如图7-9，正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等．如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于____________.图7-96．空间四边形ABCD中，ＡＤ＝ＢＣ，Ｍ、Ｎ分别为AB、CD的中点，又MN和AD成30°角，则AD和BC所成角的度数是____________．7．异面直线ａ、ｂ所成的角为θ（0＜θ＜（π／2）），Ｍ，Ｎ∈ａ，Ｍ１，Ｎ１∈ｂ，ＭＭ１⊥ｂ，ＮＮ１⊥ｂ，若ＭＮ＝ｍ，则Ｍ１Ｎ１＝____________．8．如图7-10，不共面的三条直线ａ、ｂ、ｃ相交于P，Ａ、B∈ａ，Ｃ∈ｂ，Ｄ∈c，且Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ均异于P．证明：直线AD与BC异面．图7-109．如图7-11，拼接一副三角板，使它们有公共边BC，且使两个三角板所在平面互相垂直．若∠CAB ＝90°，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＣＢＤ＝90°，∠ＢＤＣ＝60°，求AD与BC所成的角．图7-1110．已知ａ、ｂ是两条异面直线，那么空间是否存在这样的直线ｌ，使ｌ上任意一点P到ａ、ｂ的距离都相等．若存在，给出证明，若不存在，说明理由．求异面直线所成的角求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，这是高二数学人教版（A ）版本倡导的传统的方法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求。
高二数学异面直线距离.docx
二手泵车：https:///[单选]信息资源的开发利用和信息技术应用的基础是（）。
A.信息化人才队伍B.国家信息网络C.信息技术与产业D.信息化政策法规和标准规[判断题]接地装置引下线的导通检测应5年进行一次。
A.正确B.错误[单选]下列各项不属于地方行政立法主体的是（）。
A.省、自治区、直辖市的人民政府B.省、自治区、直辖市的人民代表大会C.国务院批准的较大的市的人民政府D.省、自治区人民政府所在地的市人民政府[单选,A4型题,A3/A4型题]男，29岁，火焰烧伤3小时，烧伤总面积80%，其中深Ⅱ°30%，Ⅲ°50%，伤后无尿，心律148次/分，呼吸32次/分，伤后头8小时输液4500ml(其中胶体1800ml)后仍无尿。
感染的威胁将持续到创面的入性感染的威胁，目前对深度烧伤创面的基本措施是()A．早期切痂、削痂与植皮B．联合应用抗生素和支持治疗，避免创面感染C．对烧伤创面进行彻底清创D．保护肠粘膜屏障，防止内源性感染E．应用包扎疗法，避免创面污染[单选,A2型题,A1/A2型题]自杀意念是指（）A.有寻死的愿望，但没有采取任何实际行动B.有毁灭自我的行为，但并未导致死亡C.采取有意毁灭自我的行为，并导致了死亡D.有意或故意伤害自己生命的行为E.反映死亡愿望并不强烈[单选]复治涂阴肺结核的治疗方案可写为（）A.2HRZES／4～6HRB.4HRZES／4～6HREC.2HZES／4～6HRED.2HZES／4～6HRSE.2HRZES／4～6HRE[单选,A2型题,A1/A2型题]以下哪项不适用于银屑病的治疗（）A.水疗B.中频电C.红外线D.三联疗法E.PUVA疗法[名词解释]分乘[单选]中国药典制剂通则包括在下列哪一项中A、凡例B、正文C、附录D、前言E、具体品种的标准中[单选,A2型题,A1/A2型题]《医疗机构从业人员行为规范》是什么时间公布执行的（）A.2010年1月7日B.2012年1月7日C.2012年6月26日D.2012年8月27日E.2012年10月20日[单选]关系数据库设计理论主要包括3个方面的内容，其中起核心作用的是（）A.范式B.关键码C.数据依赖D.数据完整性约束[单选]多人采用走访形式提出共同的信访事项的，应当推选代表，代表人数不得超过（）。
高二数学异面直线及其夹角
O, P c O, M a 即直线 a, b, c 共面，与已知直线 a, b, c 不共面矛盾． 所以直线MN与PQ异
异面直线的判定定理：
连结平面内一点与平面外一点的直线，和 这个平面内不经过此点的直线是异面直线。
A B
点A 平面
点B
B 直线l
直线AB与l异面.
例4．如图，a、b为异面直线，直线a上的线段 AB=6cm，直线b上的线段CD=10cm， E、F分别为 AD、BC的中点，且EF=7cm，求异面直线a与b所 成的角的度数． A B a 解:连结AC,并取AC中点P,连结EP,FP. P F E b ∵E为AD中点，∴EP∥DC. C ∵F为AD中点，∴FP∥AB. ∴∠EPF(或其补角)为异面直线a与b所成的角。 △ABC中，EF=7cm，EP=5cm，FP=3cm。 由余弦定理EF2=EP2+FP2-2EP· FPcos∠EPF， 解得cos∠EPF=取中点 0.5,∴∠EPF=120º ． 故其补角60º 为异面直线a与b所成的
演示
空间的两条直线有三种位置关系：
相交 共面 平行 唯一公共点 记为：a∩b=A.
无公共点 记为：a∩b=φ .
异面
画异面直线时，常以辅助平面作衬托，以加强直观性。
b b
b
a
a
a
例1.如果相异点A、B和相异点C、D分别在异面直 线a，b上，那么正确的结论是（ C ） A．直线AC与BD可能相交 B．直线AD和BC可能相交 C．AC与BD，AD与BC都是异面直线 D．AC与BD，AD与BC不一定都是异面直线
点C 平面AA1 B1 B.
D
C
A
高二数学向量法求异面直线所成角
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
z D1
A1
D O
A x
C1 B1
Cy B
例:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是 AB的中点,求DB1与CM所成角的余弦值.
z
D1
C1
A1
B1
D O
A x
M
Cy B
；单创:/roll/2019-10-14/doc-iicezuev2144522.shtml
还是补角,并得出结论
练:正方体ABCD-A1B1C1D1, (1)求A1B和B1C的夹角 (2)求证:A1B⊥AC1. z
D1 A1
C1 B1
D xA O
Cy B
思考:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点 E,F分别是D1C1, AA1的中点, (1)求DE与AC所成角的z余弦值.
(2)求证:BF⊥DE. D1 E
变1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F
分别是A1A,B1B的中点,求CE与D1F所成
角的余弦值.
z
D1
C1
A1
ED O
A x
B1 F
Cy B
变2:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F 分别是A1B1,C1D1的一个四等分点,求BE 与DF所成角的余弦值. z来自D1 A1F E
C1
A1
FD O
A x
B1 Cy
B
至少要有40次的重复,才能熟练！
;
；
于是，带她去看，说明病史后，老中医什么都没说，只是揭开自己的白大褂，她看见，他只有一条腿。 (17)他说，人活着，不是靠双腿，靠的是一颗完整的心，我只有一条腿，活得好好的，
高二数学向量法求异面直线所成角
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[问答题,简答题]何为变温吸附？ [填空题]电容器具有储存（）本领，其本领的大小可以用（）来表示，其表达方式是（） [单选,A1型题]下列疾病中最常引起眩晕、晕厥症状的是（）A.主动脉瓣狭窄B.二尖瓣狭窄C.肺动脉瓣狭窄D.主动脉瓣关闭不全E.缩窄性心包炎 [单选,A2型题,A1/A2型题]1979年，国际疼痛协会将疼痛重新定义为（）A.是用疼痛来描述的一种不愉快的感觉和情绪B.是由于真正潜在组织损伤而引起的一种不愉快的感觉和情绪C.是指维持较长时间，一般大于3个月，常在损伤愈合后中止D.为最近产生并能持续较短的疼痛，常与明确的损伤和疾 [单选,A1型题]反映机体内脏蛋白情况的检查方法是（）A.三头肌皮皱厚度B.上臂中部周长C.肌酐／身高指数D.血清转铁蛋白量E.氮平衡试验 [单选]身热不甚，口干咽燥，神倦耳聋，手足心热甚于手足背，舌红绛而干，其病机为：（）.A.肺胃阴伤B.阴虚火炽C.热伤心肾D.肾阴耗损 [多选]对韦伯定律正确的说法是（）A．是指刚刚能够引起差别感觉的刺激的增量与原刺激量的比值相对不变B．适用中等强度刺激范围C．对于不同感觉通道的K值不同D．是指感觉与刺激强度的对数成正比 [单选,A2型题,A1/A2型题]有关肝动脉插管化疗的患者护理叙述不正确的是（）A.严格无菌操作B.若出现发热，应使用抗菌药物C.注药后用肝素液冲洗导管D.定期局部换药E.剧烈腹痛时应警惕其他部位动脉栓塞及胆囊坏死等并发症 [单选]力的作用点是指力在物体上的()。A.作用位置B.重心C.中心D.圆心 [单选]关于麻醉所致的心脏骤停不正确的是（）A.小儿组的发生率明显高于成人组B.择期手术的发生率明显高于急症手术C.大多数病例在麻醉处理中存在明显的失误D.ASA3级、4级病例明显高于1级、2级E.诱导期明显高于维持期 [单选]下列有关行政主体的说法，正确的是（）。A.只有行政机关才能成为行政主体B.行政主体还包括执行公务的国家公务员C.行政主体必须是能以自己名义实施行政管理的组织D.只要是行政机关任何时候都具有行政主体资格 [单选]恶性淋巴瘤是()A．发生于淋巴结的恶性肿瘤B．发生于骨髓原始造血细胞恶性肿瘤C．主要是淋巴结反应性增生形成的肉芽肿D．主要是淋巴窦上皮反应性增生形成的恶性肉芽肿E．原发于淋巴结和结外淋巴组织的恶性肿瘤 [单选,A1型题]眼总屈光的大小与以下哪个因素有关（）。A.各屈光成分的折射率B.各屈光成分的彼此位置C.晶状体的调节状态D.各屈光面的曲率半径E.以上因素都有关 [单选]客运专线制梁用高性能混凝土搅拌投料循序正确的是（）A、粗、细骨料→外加剂→水→水泥和掺和料B、细骨料、水泥和掺和料→水→粗骨料→外加剂C、水泥和掺和料→水→粗、细骨料→外加剂 [单选]排便在一日内超过3次，或粪便中脂肪成分增多，或带有未消化的食物、黏液、脓血者称为腹泻。腹泻是由多种不同病因所致，在应用止泻药治疗的同时，实施对因治疗不可忽视。以下药物中，用于治疗因化学刺激引起的腹泻首选的非处方药是（）A.药用炭B.黄连素C.氢氧化铝D.鞣酸蛋白 [单选]下列乳腺癌中哪一种癌在超声显示上有特征性（）。A.黏液癌B.导管内乳头状癌C.未分化癌D.腺癌E.以上都不是 [单选]已知企业年末"应付账款"贷方余额为5000元，"预付账款"贷方余额为2000元，那么，在年末资产负债表中"应付账款"项目应填列的金额是（）元。A.-3000B.7000C.3000D.5000 [单选]γ相机中光电倍增管的数量增加导致何种性能的改善()A．能量分辨率B．空间分辨率C．空间线性D．灵敏度E．以上都不是 [多选]下列属于财政补贴资金管理系统，各级财补业务管理员职责有（）。A.建立用户B.定义下级行业务管理员C.授平级用户业务权限D.授下级用户业务权限E.删除用户 [单选,A型题]常污染实验室组织培养的微生物是（）A.病毒B.霉菌C.衣原体D.立克次体E.支原体 [单选]泥浆下混凝土浇注导管的内径不宜小于最大骨料粒径的（）倍。A.10；B.8；C.7；D.6。 [多选]申请办理国内高校（培养单位）学位证书认证需提供哪些基础材料？（）A.国内学位证书原件及复印件B.身份证原件C.学籍学位有关补充材料D.招生底册 [单选]下列哪项不宜通过纤维支气管镜检进行治疗()A．取气管、支气管内异物B．肿瘤的电凝、电切或激光治疗C．病灶局部药物注射D．止血治疗E．气胸时经支气管抽气治疗 [单选,A1型题]原发性醛固酮增多症患者的尿液变化是（）A.尿多，以白天尿多为主B.尿多，以夜尿多为主C.尿量无变化D.尿量减少E.尿少，以夜尿少为主 [问答题,简答题]货物重量是如何确定的？ [单选,A1型题]临产后，阴道检查确诊胎方位时，以哪一条颅缝的方向为准()A.额缝B.冠状缝C.矢状缝D.人字缝E.颞缝 [单选]国家标准评定变色用灰卡名称是（）A.GB250B.GB251C.ISO105/A02D.ISO105/A03 [单选]关于胚层的形成，正确的是（）.A.近滋养层细胞者形成内胚层B.近中央者形成外胚层C.外胚层的腔形成卵黄囊D.囊胚植入后，中心囊腔内的细胞团发育为两层E.内胚层的囊形成羊膜腔 [单选,A1型题]放射性药品使用许可证的有效期为（）A.1年B.2年C.3年D.5年E.7年 [单选,A型题]肾癌侵犯周围结构的影像表现不包括（）A.肾周脂肪密度增高B.肾前筋膜增厚C.肾门有软组织肿块D.肾静脉充盈缺损E.输尿管末端梗阻 [单选]莱姆病患者关节液中可检测到细胞因子是（）。A.IL-1B.HLA-DR3C.IL-2D.HLA-DR2E.HLA-DR4 [单选,A型题]患者男性，30岁，阵发性心悸1年。心电图如图3-16-3所示，应诊断为（）。A.完全性左束支阻滞B.心肌缺血C.下壁心肌梗死D.左心室肥大E.预激综合征 [判断题]地图载负量分为长度载负量和数值载负量。A.正确B.错误 [单选]取得建造师资格证书的人员，如果要承担建设工程项目施工的项目经理，应当受聘并注册一个具有（）资质的企业。A．设计B．施工C．监理D．造价咨询 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列哪项体征不属于Horner征（）。A.眼裂变小B.瞳孔缩小C.面部出汗增加D.眼球内陷E.用力睁眼时双侧眼裂等大 [单选]ISDN投入运行在（）年代.A.70B.80C.90 [单选]以下股利分配政策中，最有利于股价稳定的是（）。A.剩余股利政策B.固定股利政策C.固定股利支付率政策D.低正常股利加额外股利政策 [单选,A2型题,A1/A2型题]在Lambert-Beer吸收定律中，其中L0为（）A.入射X线强度B.出射X线强度C.线性衰减系数D.X线穿过物体的厚度E.X线穿过物体时间 [单选]疑为子宫内膜不规则脱落，取内膜活检的理想时间是（）。A.月经第1日B.月经第5日C.月经干净后3日D.月经来潮前12hE.月经来潮12h内 [单选]在主风管里增加氧气分布器，使氧气混入点到辅助燃烧室入口距离达到（）米以上。A、3B、4C、5D、6
高二数学异面直线距离
净水机按管路设计等级划分可分为渐紧式净水机和自洁式净水机两大类。传统净水机是渐紧式净水机，它的内部管路设计滤芯前松后紧，
由PP熔喷滤芯、颗粒碳、压缩碳、RO反渗透膜或超滤膜、后置活性炭，一般是此5级依次首尾相连组成。截留物沉积于滤芯内部，需要定期
人工拆洗，以确保机器正常运作。另一类是更为先进的自洁式净水机，机内设计两条通道，增加了一条洗涤水通路，作为平常普通生活用
(2)异面直线AD和BD1的距离。
D1
C1
A1
B1
NM
D
C A
B
异面直线间的距离
例3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1边长为a， 求：(1)异面直线B1C和BD1的距离。
(2)异面直线AD和BD1的距离。
D1 A1
PD A
C1 B1
C B
异面直线 距离的求法1：
方法1：找出或作出它们的公垂线段， 再求出其长。 方法2；将异面直线的距离转化为线面 距离、点面距离等求解。
2. 距离的求法1： 找出或作出它们的公垂线段，再求出其长。 距离的求法2： 将异面直线的距离转化为线面距离、点面 距离。
练
习
已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a，说出下列各对棱 所在直线的公垂线，并求它们之间的距离：
D'
⑴A'B'与BC； (1) BB' a
C'
⑵AB与CC'； (2) BC a A'
； / 净水机
jfh84mdg
但请消费者注意识别，自洁式净水机不同于市面上所见到的自动排污 净水机、电脑自动冲洗 净水机和自动反冲洗 净水机，前者是整机自
高二数学向量法求异面直线所成角
高二数学异面直线的有关概念和原理
思考2:如图, 长方体ABCD-A′B′C′D′中， 线段A′B所在直线分别与线段CD′所在直线， 线段BC所在直线，线段CD所在直线的位置关 D' 系如何? C'
A'
D A B'
C B
思考3:我们把上图中直线A′B与直线CD叫做
异面直线，一般地，从字面上怎样理解异面 直线？
思考4:为了表示异面直线a，b不共面的 特点，作图时，通常用一个或两个平面 衬托,如图.
a
b
a
b
a
b
a
b
关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法 最合适？ A. 空间中既不平行又不相交的两条直线； B. 平面内的一条直线和这平面外的一条直 线； C. 分别在不同平面内的两条直线； D. 不在同一个平面内的两条直线； E. 不同在任何一个平面内的两条直线.
思考5:空间中的直线与直线之间有几种 位置关系？它们各有什么特点？
理论迁移
例1 如图是一个正方体的表面展开图, 如果将它还原为正方体，那么AB，CD， A EF，GH这四条线段所在直线是异面直线 的有多少对?
C G D H A B H G C E A B D
F
E F
如图，空间四边形ABCD中，E，F，G， H分别是AB，BC，CD，DA的中点. (1) 求证：四边形EFGH是平行四边形. (2) 若AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形?
D' A' D A B' C'
C B
思考3：取一块长方形纸板ABCD，E，F分 别为AB，CD的中点，将纸板沿EF折起， 在空间中直线AD与BC的位置关系如何 ?
D C
F
D A C E F
B
人教版高二数学必修第四册《平行直线与异面直线》评课稿
人教版高二数学必修第四册《平行直线与异面直线》评课稿第一部分：引言本文是对人教版高二数学必修第四册《平行直线与异面直线》这一教材内容进行评课的文档。
本教材是高中数学必修课程的一部分，主要涵盖了平行直线和异面直线的基本概念、性质和应用。
本文将结合教材的编写特点、内容设计和教学方法等方面，全面评述该教材的优点和不足。
第二部分：教材的编写特点《平行直线与异面直线》是高中数学必修第四册的一章内容，教材编写主要体现以下几个特点：1.顺序递进：教材从平行直线的基本概念出发，逐步引入平行线的判定条件、平面和直线的位置关系等内容，最后引入异面直线的概念和性质。
这样的编写顺序能够帮助学生逐步理解和掌握相关概念，有利于知识的融会贯通。
2.突出实际应用：教材通过生活中的实际问题引导学生了解平行直线和异面直线的应用场景，如在地图阅读、建筑设计等方面的应用。
这样学生能够更好地理解知识的重要性和实用性，增强学习的积极性。
3.注重数学思想的培养：教材在知识讲解的过程中，注重培养学生的数学思维能力。
通过引导学生进行推理和证明，培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
同时，教材也鼓励学生进行实际问题的建模和求解，培养学生的数学建模能力。
第三部分：教材内容设计3.1 平行直线的基本概念教材首先介绍了平行直线的基本概念，并通过具体的图形进行解释和示例，帮助学生理解平行直线的定义。
同时，教材还介绍了平行定理，引导学生了解平行线的判定条件。
3.2 平面与直线的位置关系教材接着介绍了平面和直线的位置关系，包括直线与平面垂直、直线与平面平行等情况。
通过具体图形的展示和问题的应用，帮助学生理解不同情况下平面和直线的位置关系。
3.3 异面直线的概念和性质教材进一步引入了异面直线的概念和性质，帮助学生了解不同平面内直线的位置关系。
通过具体图形的展示和问题的应用，让学生体会异面直线的特点和应用场景。
3.4 实际应用教材最后通过一些实际问题引导学生将所学知识应用到实际中，如地图阅读、建筑设计等。
高二数学异面直线的有关概念和原理
D'
C'
A'
B'
D A
C B
思考3：取一块长方形纸板ABCD，E，F分 别为AB，CD的中点，将纸板沿EF折起， 在空间中直线AD与BC的位置关系如何 ?
相交直线: 共面直线
平行直线:
同一平面内，有且 只有一个公共点；
同一平面内，没有 公共点；
异面直线: 不同在任何一个平面内，没有 公共点
知识探究（二）：三线平行公理
思考1:设直线a//b，将直线a在空间中作 平行移动，在平移过程中a与b仍保持平 行吗 ?
思考2:如图, 在长方体ABCD—A′B′C′D′ 中,BB′∥AA′，DD′∥AA′，那么BB′与 DD′平行吗 ?
a
b
a
b
a
b
a
b
关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法 最合适？ A. 空间中既不平行又不相交的两条直线； B. 平面内的一条直线和这平面外的一条直
线； C. 分别在不同平面内的两条直线； D. 不在同一个平面内的两条直线； E. 不同在任何一个平面内的两条直线.
思考5:空间中的直线与直线之间有几种 位置关系？它们各有什么特点？
平南县实验中学 韦世龙
9.2 空间直线(2) 第一课时 异面直线的有关概念和原理
问题提出tp Nhomakorabea
1 2
5730
1.同一平面内的两条直线有哪几种位 置关系?
2.空间中的两条不同直线除了平行和 相交这两种位置关系外，还有什么位 置关系呢?
知识探究（一）：异面直线的概念
思考1：教室内的日光灯管所在的直线与 黑板的左右两侧所在的直线，既不相交， 也不平行；天安门广场上，旗杆所在的 直线与长安街所在的直线，它们既不相 交，也不平行.你还能举出这样的例子吗?
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D
C
O
A B
课堂小结：
求异面直线的距离的常用方法：
（1） 找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。
a
（2） 转化为求线面间的距离。
a//平面α
b
α
b
（3） 转化为求平行平面间的距离。
a//平面β , b//平面α
α）3）可进一步转化为点到平面的距离。
（4）用模型公式
C1
(1)A到面A1B1CD (2)A到平面BB1D1
D
A B
C
棱长为1的正四面体P——ABC中， 求点P到平面ABC的距离？
P
A B O C
已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC 试判断点P在底面ABC的射影的位置？ 外心 已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂 直,试判断点P在底面ABC的射影的位置？垂心
1
直线AB就是异面 直线a,b的公垂线
唯一性：
b 假如还有直线A1B1也是a,b的公垂线，则
A1B1⊥a A1B1⊥b a1//a A1B1⊥a1 所以 A1B1⊥平面α 又AB ⊥平面α AB//A1B1 则 a,b共面 矛盾！
a1
B
B1
例 已知两条异面直线所成的角为 ，在直线 段 AA 的长度 d 。
D A' B' C'
D E A B
C
5.两个平行平面的距离
⑴和两个平面同时垂直的直线，叫做这两个平 面的公垂线。公垂线夹在平行平面之间的部分， 叫做这两个平面的公垂线段。 ⑵两个平行平面 的公垂线段的长 度，叫做两个平 行平面的距离。
A
A
A
A1
l
A
l
A1
线—面
点—面
A l
面—面
A1
面—面
E
D
A B
O
C
3、点到平面的距离
从平面外一点引这个平面的垂线 垂足叫做点在这个平面内的射影 这个点和垂足间的距离叫做
A
点到平面的距离
H
线面垂直 点的射影
点面距离
正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题
D1 A1 B1
C1
(1)A到面A1B1CD
D
A B
C
正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题
D1 A1 B1
D'
⑴A1B1与BC； ⑵AB与CB1 ； ⑶AC与D1B1； ⑷CD与B1C1； ⑸A1B与CD;
D A' B'
C'
C
这其中要注意公 式的变形及夹角。
A
B
正方体ABCD——A1B1C1D1中，P为AB中点，Q为BC 中点，AA1=a, O为正方形ABCD的中心，求PQ与C1O 间的距离。
D1 A1 B1
d l 2 m 2 n 2 2mn cos
F l n E b a
m
A d B
更多资源
在棱长为a的正方体AC1中，
求：（1）异面直线AA1与B1C的距离。 （2）异面直线AD1与B1C的距离。 （3）取BB1、BC中点E、F，求异面直线AD1与 EF间 的距离。
如图,已知异面直线AA1和BC， 直线AB与异面直线AA1，BC都垂 直相交。
A1
和两条异面直线都垂直相交 的直线叫做两条异面直线的 公垂线，公垂线夹在异面直 线间的部分，叫做这两条异 面直线的公垂线段。
C A B
思考：任意两条异面直线都有公垂线吗？
有多少条公垂线？
定理一： (提供求异面直线距离转移为线面距离) 任意两条异面直线有且只有一条公垂线。 A a A 存在性：
a、 b上
分别取 E 、F ，已知 AE m , AF n , EF l ，求公垂线
解： EF EA AA AF , 2 | EF | EA AA AF
E
a
2 2 2 | EA | | A A | | AF | 2 EAA A A AAF EAAF
更多资源
C B A D
二、点到直线的距离
1、过该点(如图所示点P)作直线(图中l)的垂线， 点P与垂足Q之间的线段│PQ│长度.
P P
Q
l
O
Q
l
2、过P作直线l所在平面的垂线，垂足为O， 过O作直线l的垂线，垂足为Q，连结PQ， 则|PQ|为所求的距离(利用三垂线定理)
P
A B O C
已知三棱锥P-ABC的 顶点P到底面三角形 ABC的三条边的距离 相等,试判断点P在底 面ABC的射影的位置？
内心
4、直线到平面的距离
一条直线和一个平面平行时，直线上任意一点 到这个平面的距离叫做直线到平面的距离
A
l
B
A1
B1
当直线与平面平行时，直线上不同点到平面的 距离有何关系？为什么？
且AB⊥l,CD⊥l，AB=CD=a, AC=2a, 求（1）BD的长； （2）BD和AC所成角的余弦值； （3）BD和AC的距离。
α C B O A l E D β
思考：已知正方体 ABCD A1 B1C1 D1的棱长为1， 求异面直线 AB1 与 A1C1 的距离。
D1
C1
O1
A1 B1
H
4
D B B C
D
空间四面体ABCD，问和点A,B,C,D距离相 等的平面有几个？ A
A
D
A
D
B C
B
C D
B
C
3
空间四面体ABCD，问和点A,B,C,D距离相 等的平面有几个？
A A
D B C B C D
4
3
如图，已知在长方体ABCD－A’B’C’D’中， 棱AA’=5，AB=12，求直线B’C’到平面 A’BCD’的距离。
定理二：两条异面直线的公垂线段是分别连结
两条异面直线上两点的线段中最短的一条。
a
B
A
C
D
b
两条异面直线的公垂线段的长度，叫做 两条异面直线的距离
异面直线的距离公式：
d l m n 2mn cos
2 2 2
练 习 已知正方体ABCD-A1B1C1D1 ,说出下列各对棱所在直
线的公垂线，并求它们之间的距离：
EA A A , A A AF , EA , AF or ,
A’
2
m l a’ θ F b
d
A n
l 2 m 2 d 2 n2 2mn cos ,
d l 2 m 2 n2 2mn cos .
利用三角形求长度或两点的坐标距离公式或向量长度
在正方体ABCDA1B1C1D1中，边长 为2，E，F分别为 AB、CC1的中点， A1 求E、F两点的距离
z
D1 B1
C1 E C B
y
D
A
x
F
练习：已知在一个120°的二面角的棱上有 两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角 的两个面内，且垂直于AB的线段， 又AB=AC=BD=4，求C、D两点之间的距离
Ｄ１
Ｃ１
A１ Ｄ A
Ｂ１ Ｃ Ｂ
一、定义法： （1）直接找（2）先作后找
二、转化法：
（1）转化为直线与 平行平面之间的距离 （2）转化为两平行平面之 间的距离。
正方体AC1的棱长为2,求下列距离问题
D1 A1 B1
C1
(1)A到CD1的距离
D
A B
C
正方体AC1的棱长为2,求下列距离问题
D1 A1 B1
C1
(1)A到CD1的距离 (2)A到BD1的距离
D
A B
C
正方体AC1的棱长为2,求下列距离问题
D1 A1 B1
C1
(1)A到CD1的距离 (2)A到BD1的距离 (3)A到CE的距离 （E为BB1的中点）
A
l
B
A` A
点—面
l
线—面
A`
如果一条直线上有两个点到平面的距离 相等，则这条直线和平面平行吗？
已知一条直线上有两个点A,B到平面的距离 分别为3cm和5cm，求AB中点到平面的距离
3
5
5 3
空间四面体ABCD，问和点A,B,C,D距离相等 的平面有几个？ A
A
D
B C D A B A
C1
D
O
C
M
A P B
Q
7. 如图，已知空间四边形OABC各边及对角线长 都是1，D,E分别是OA,BC的中点，连结DE。 （1）求证：DE是OA和BC的公垂线。 （2）求OA和BC间的距离。
O
D
A C E B
例5：
已知二面角α -l-β 的大小是1200，A,C l , B , D
高中数学
9.8 距 离
1
杭州实验外国语学校
问题１：立体图形是由 点、线和面 组成的？
问题２：点、线和面三者中有几种距离的情 况？ 两点间的距离
点 点到直线的距离 点到面的距离 两平行线间的距离 两直线间的距离 两异面直线的距离 线
直线到与它平行的平面的距离 面 两平行平面的距离
一、两点间的距离：就是两点连线段的长度
正方体AC1的棱长为2,求下列距离问题
D1 A1 B1 C1
平面A1BD与平面 CB1D1的距离
D
A B
C
6.两平行直线的距离:
P
Q AB与CD是平面 内相距28㎝的两条平行直 线,EF是 外与AB平行且和AB距离为17 ㎝和 相距15cm的直线,求EF和CD间的距离.