中学数学解析几何中极点与极线知识的现状与应用研究
高中数学圆锥曲线技巧之极点与极线
高中数学圆锥曲线技巧之极点与极线在高中数学的学习中，圆锥曲线是一个比较复杂但又非常重要的内容。
其中，极点与极线是圆锥曲线中一个较为抽象但又极具深度的概念。
在本文中，我们将深入探讨高中数学中关于极点与极线的技巧，并通过具体的例子来帮助大家更好地理解和运用这一知识。
极点与极线是圆锥曲线中的重要概念，它们的理解和运用可以帮助我们更好地解题和应用数学知识。
在接下来的内容中，我们将从简单到复杂，由浅入深地介绍极点与极线的相关知识，让大家能够更直观地理解这一概念。
让我们从极点的定义和性质入手。
极点是在圆锥曲线上的一个特殊点，它具有一定的性质和特点。
在直角坐标系中，对于椭圆、双曲线和抛物线而言，这些曲线上都存在极点。
具体来说，在椭圆和双曲线上，极点是无限远处的点，而在抛物线上，极点是定点。
通过对极点的性质进行深入了解，我们可以更好地应用这一知识解决问题。
让我们了解极线的概念及其性质。
极线是与极点对应的直线，它们之间存在着一定的几何关系。
在椭圆和双曲线的情况下，极线是通过极点并且与曲线相切的直线，而在抛物线的情况下，极线是通过极点并且与对称轴垂直的直线。
通过对极线的性质进行深入研究，我们可以更好地掌握圆锥曲线相关问题的解题技巧。
接下来，让我们通过实例来详细讨论极点与极线的应用技巧。
以椭圆曲线为例，假设我们需要确定椭圆上关于极点和极线的一些特定问题。
在解题过程中，我们可以先确定椭圆的极点，然后求出与极点相关的极线方程，进而利用极线的性质来解决具体的问题。
通过实例的具体讲解，我们可以更好地理解并掌握极点与极线的运用技巧。
总结回顾一下，极点与极线是圆锥曲线中的重要概念，它们的理解和运用可以帮助我们更好地解题和应用数学知识。
通过对极点与极线的深入讨论和实例分析，我们能够更全面、深刻和灵活地理解这一知识，并运用于实际问题中。
对于我个人来说，极点与极线的学习过程不仅仅是对圆锥曲线知识的掌握，更是对数学思维和解题能力的提升。
极点极线详解-概述说明以及解释
极点极线详解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述极点极线是复数函数理论中重要的概念，它们在解析几何和数学物理等领域均有广泛的应用。
极点是函数在复平面上的奇点，它表现为函数在该点处无穷大或无穷小的特性，而极线则是连接这些极点的曲线。
极点和极线的研究不仅有助于深入理解复函数的性质，还在实际问题的求解中发挥着重要作用。
本文将详细介绍极点和极线的定义、特性、关系以及应用，旨在帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学概念。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式进行编写:文章结构部分本文将按照以下结构来论述极点极线的相关内容:2. 正文2.1 极点的定义和特性2.2 极线的定义和特性2.3 极点极线的关系2.4 极点极线的应用在正文部分，我们将依次介绍和探讨极点和极线在计算机视觉领域中的重要性以及相关概念、定义和特性。
首先，我们将详细讲解极点的定义和其特性，包括极点在图像处理和计算机视觉中的作用以及其在数学中的定义。
然后，我们将介绍极线的定义和特性，重点关注极线在立体视觉和图像对几何关系解决中的重要性。
接下来，我们将讨论极点和极线的关系，包括如何通过极点和极线之间的投影关系来求解立体视觉和图像重建中的几何关系。
最后，我们将探讨极点极线在实际应用中的具体应用场景，包括目标识别、图像配准和三维重建等领域，并介绍一些相关的案例和算法。
通过以上结构，我们希望能够全面而系统地介绍极点极线的相关内容，使读者对其有一个清晰的认识和理解。
在这个过程中，我们将尽可能地提供详细的解释和示例，以帮助读者更好地理解和应用极点极线的概念和方法。
在接下来的章节中，我们将从极点的定义和特性开始，逐步展开对极点极线的讨论。
让我们一起深入了解极点极线的奥秘吧。
1.3 目的本文的目的在于探讨和详解极点极线的概念、定义、特性以及其在实际应用中的重要性。
通过对极点和极线的定义和特性的介绍，我们将深入了解这一数学概念的内涵和本质。
同时，我们还将研究极点和极线之间的关系以及它们在几何学、计算机视觉和图像处理领域的应用。
探究极点极线，应用强化思考
探究极点极线，应用强化思考作者：***来源：《数学教学通讯·高中版》2021年第08期[摘要] 极点极线定理定义在圆锥曲线问题中有着广泛的应用，该定理对于学生而言相对较为陌生，但深刻理解，灵活应用，可显著提升解题效率，因此深入探究有着现实的意义. 文章从问题背景、知识定义、定理规律、应用强化等方面深入探究，并提出相应的教学建议.[关键词] 极点;极线;圆锥曲线;定理;定义;应用极点极线结论是研究圆锥曲线内在性质的基本理论，虽然在高中教材中体现得并不突出，但其作为圆锥曲线的基本特征，在高考解题中有着广泛的应用，利用该结论可挖掘问题本质，快速确定解题方向，提高解题效率. 该结论备受命题人青睐的原因有两点：一是具有高等数学的背景，拓展性强;二是可以全面考查学生的数学思维，以及推理运算能力，下面对该结论深入探究.[⇩] 提出问题问题：已知过抛物线C：y2=4x的焦点的直线与抛物线相交于点A和B，抛物线在点A和B的切线交于点P，则点P的轨迹为________.解析：探究抛物線切线交点的轨迹，方法有很多，下面探究其中的两种.传统方法：设直线AB的方程为x=my+1，交点A（x，y），B（x，y）（y>0，y<0），联立直线AB与抛物线的解析式，整理可得y2-4my-4=0. 由韦达定理可得y+y=4m，yy=-4，则有y=2，y′=，可知抛物线在点A的切线方程为y=x+①，同理可求出抛物线在点B处的切线方程为y=x+②，联合①②可得-x=-，从而有x==-1，所以点P的轨迹方程为x=-1.通性通法：可直接设A（x，y），B（x，y），P（x，y），则抛物线在点A处的切线方程为yy=2x+2x，因为点P在该切线上，故可得yy=2x+2x. 分析可知点A和B均满足方程：yy=2x+2x，即该方程就为直线AB. 又知直线AB过抛物线焦点F（1，0），所以2x+2=0，可得x0=-1，从而可知点P的轨迹方程为x0=-1.[⇩] 问题探究另外，上述关于点P的轨迹，由轨迹方程可知其轨迹实则为抛物线的准线，利用该方法探究椭圆问题也可得到类似的结论，实际上问题中隐含了圆锥曲线的极点与极线知识，利用该知识可高效解决问题，下面深入探究.1. 关于极点与极线的定义视角一：几何定义如图1所示，点P是圆锥曲线外的一点，过点P引出两条割线，与圆锥曲线依次相交于点E，F，G，H四点，连接EH，FG，两线交点设为点N;再连接EG和FH，两线交点设为点M，其中直线MN就为点P对应的极线. 如果点P位于圆锥曲线上，则过点P的切线就为该点的极线.同理可知PM为点N对应的极线，点M对应的极线则为PN，所以MNP可称为自极三点形. 若连接MN，与圆锥曲线相交于点A和B，则PA和PB就为圆锥曲线的两条切线. 同时上述作图过程也是两切线交点P对应极线的作法.视角二：代数定义已知圆锥曲线Γ：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0（A，C不全为0），则称点P（x，y）和直线l：Axx+Cyy+D（x+x）+E（y+y）+F=0是圆锥曲线Γ的一对极点和极线. 对于上述方程，在圆锥曲线中可用xx替换其中的x2，用替换x;同时用yy替换其中的y2，用替换y，可得到点P （x，y）的极线方程. 以椭圆标准方程+=1为例，点P（x，y）对应的极线方程为+=1.2. 关于极点与极线的结论极点与极线有一些常用的定理结论，合理利用可简化解题过程，具体如下.定理1：当点P位于圆锥曲线Γ上时，则极线l是曲线Γ在点P处的切线;当点P位于Γ外时，则极线l是曲线Γ从点P引出的两条切线的切点连线所确定的直线;当点P在Γ内部时，则极线l是曲线Γ过点P的弦线两端点处的切线交点的轨迹.定理2：如果圆锥曲线中存在一些极线共点于点P，则这些极线相应的极点共线于点P对应的切线，逆推同样适用.【教材回顾】极点和极线充分反映了圆锥曲线的基本性质，虽然教材中没有对极点和极线进行鲜明的定义，但在教材的解析几何问题中有一定的体现. 如下面一道例题，利用极点与极线的定理结论可较为简捷地完成证明.例题：过抛物线y2=2px的焦点的一条直线与此抛物线相交于两点，若两个交点的纵坐标分别为y，y，证明：yy=-p2.证明：由抛物线解析式可得焦点F，直线l与抛物线的交点可设为点A，y，B，y，三点对应的极线方程分别为x=-，yy=p+x，yy=p+x. 由于点A，F，B三点共线，根据极点与极线的定理2可知，三点对应的三条极线共点，将x=-代入后两式中，可得yy=y-，yy=y-，两式相除可得=，整理可得yy= -p2，得证.评析：例题是一道关于抛物线与直线相交的证明题，可以采用传统的方程联立的方法，也可利用极点极线的知识来求解. 上述充分利用了极点与极线的定义，求出所涉点的极线，并利用对应的定理结论，直接推理出关键三点所对的极线共点，进而简化变形证明结论.【应用探究】极点与极线的知识结论虽然不是高中课标的教学内容，也不是高考大纲的重点考查点，但是作为圆锥曲线重要的基本特征，在实际考题中有着一定的应用，也常作为高考命题背景出现在解析几何压轴题中，下面对其知识应用进行深入探究.问题：已知椭圆M的方程为：+=1（a>b>0），其离心率为，焦距为2，若斜率为k的直线与椭圆M相交于A，B两点，试回答下列问题.（1）求椭圆M的方程;（2）若k=1，求AB的最大值;（3）已知点P（-2，0），直线PA与椭圆M的另一交点为C，直线PB与椭圆的另一交点为D，若点C，D和Q共线，试求k的值.解析：（1）M的标准方程为+y2=1.（2）设直线AB的方程为y=x+m，联立直线与椭圆的方程，整理可得4x2+6mx+3m2-3=0. 由Δ>0可得m2<4，设交点A（x，y），B（x，y），由韦达定理可得x+x= -，xx=，则AB=·x-x=，易得當m=0时，AB可取得最大值，且最大值为.（3）过点P作椭圆M的两条切线，设切点分别为点G和H，连接GH，设与AC的交点为S，与BD的交点为T，再设直线AB与CD的交点为点R，如图3所示.由极点与极线的定理可知，点P关于椭圆M的极线为GH. 将点P（-2，0）代入+=1中，可求得直线GH的方程为x=-，与椭圆M方程联立，可解得点G的坐标为-，，从而可求得直线PG的斜率为k=1. 根据极点与极线的性质可知（PS，CA）=-1，又因点Q-，，点P（-2，0），可知点Q为线段PG的中点. 设点E是直线PG的无穷远点，结合相关知识可得（PG，QE）=-1，即有（PS，CA）=-1=（PG，QE），于是直线GS，QC，AE共点. 由于直线GS，QC相交于点R，因此直线AR的无穷远点也是点E，所以可证AB∥PG，即k=k=1.极点与极线在圆锥曲线问题中有着广泛的应用，上述充分探究了知识定义、定理，并结合考题展示了极点与极线的知识应用，从而可感知到极点与极线知识内容的丰富性，深入探究极点与极线知识，不仅可以拓宽学生的知识维度，还可以拓展学生的思维，培养学生分析数学内在关系、挖掘定理关联的思维习惯.随着课改的推行，命题教师越发注重初、高中数学的衔接，关注高等数学的知识素材，高考试题中出现了一些拓展性极强的综合性试题，问题难度虽大，但解法的拓展性极强. 高观点的角度看待问题，深入研究问题的本质，挖掘其中的知识规律，才能真正理解问题内涵，找到解决问题的本源解法，这也是考题探究、定理探究的目的所在.而在实际教学中，提出以下几点建议：采用知识探究的方式，引导学生循序渐进地了解定理背景，理解定理定义，总结知识规律，强化定理应用，形成一个系统的闭环探究过程;教学中要注重学生的思维培养，关注学生的思维活动，以学生为主体，充分发挥教师的引导作用，让学生充分思考，形成独立的思维习惯;合理变式探究，定理探究应注重应用理解，立足定理开展应用强化，让学生掌握定理的应用方法、步骤，同时可对比考题的传统解法，让学生感知定理规律的价值.。
极点与极线的几何意义及应用
所 以有 Ｉ％ ＋ ｌ ＋ｏ（ｘ０＋ １）＋Ｅ（Ｙｏ＋ｙ１）＋Ｆ＝Ｑ 同理得 ２‰ ＋ＣＹ２Ｙｏ＋Ｄ（ｘｏ＋ ２）＋Ｅ（ｙｏ＋Ｙ２）＋Ｆ＝０， 故 过 直 线 ＭＮ 的 方 程 为 ＋ｃｙｏｚ ＋Ｄ （ ＋Ｘ０） ＋ Ｅ（Ｙ＋Ｙｏ）＋Ｆ＝０， 故极线 ｌ就是直线 ＭＮ． （３）设 Ｑ（ｍ，ｉｚ），由 （２）得 直 线 ＭＮ 的方 程 为 Ａｍｘ＋ Ｃｎｙ＋Ｄ（ ＋ｍ）＋Ｅ（Ｙ＋１２）＋Ｆ＝０． 又 直 线 ＭＮ 过 点 Ｐ，所 以 有 Ａｍｘ０＋Ｃｎｙｏ＋Ｄ（‰ ＋ｍ）＋
由以上两式可知点 Ｑ（ｍ，ｎ）在 直线 ＭＮ 上 ，即直线 ＭＮ 必 过 极 点 Ｐ．
推论１ 对于椭圆 ＋旨 ＝１，则极点Ｐ（ 。，ｙｏ）对应的
ｎ
０
极线方 程为 ＋ ：１．
口
Ｄ
若极 点为焦点 Ｆ（ｃ，０），则 由极线定义知 点 Ｆ（Ｃ，０）所 对
应 的极 线 ｚ： ＋ ＝１，即 １： ： ，故 极 点 Ｆ（ｃ，０）所 对
点 ，则 直线 ＭＮ必 过极 点 Ｐ．
证 明 设 极 点 为 Ｐ（‰ ，Ｙｏ），则 极 线 Ｚ：Ａｘ０ ＋Ｃｙｏｙ
Ｄ（ ＋ ０）＋Ｅ（Ｙ＋Ｙｏ）＋Ｆ＝０．
（１）方程 Ａ ＋ ＋２Ｄｘ＋２ ＋Ｆ＝０两边 对 求导得
Ａｘ ＋ Ｃｙｙｔ＋ Ｄ ＋ Ｅｙｔ： ０ ，
所 以 ｙ ＝ 一Ａ ｘ ＋Ｄ 故 ＝一Ａ ｘ ｏ＋ Ｄ 故 圆锥 曲 线 在 点 Ｐ
Ｃ２≠０），则 称 点 Ｐ（‰，Ｙｏ）和 直 线 ｆ：Ａｘ０ ＋Ｃｙｏｙ＋Ｄ（ ＋
‰ ）＋Ｅ（ｙ＋Ｙｏ）＋Ｆ＝０是 圆锥 曲线 ｃ的一对极点和极线．
圆锥曲线的极点与极线问题
圆锥曲线的极点与极线问题圆锥曲线的极点与极线问题导言圆锥曲线是数学中的一个重要分支，其所涵盖的概念和性质有着深远的研究价值。
其中，圆锥曲线的极点与极线问题是一个具有特殊意义的主题。
在本文中，我将以深度和广度的方式来探讨圆锥曲线的极点与极线，希望能够使读者对这一问题有全面、深刻和灵活的理解。
一、圆锥曲线的基本定义与性质1.1 什么是圆锥曲线圆锥曲线是由一个平面与一个平行于它的不相交的直线切割圆锥所得到的曲线。
根据切割的方式和角度不同，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三类。
1.2 圆锥曲线的焦点与离心率圆锥曲线的焦点是指在其上的特殊点，其具有特殊的几何性质。
离心率是一个衡量圆锥曲线形状的参数，也是圆锥曲线性质的重要指标。
二、极点与极线的基本概念2.1 极点的定义与性质在平面上给定一个圆锥曲线，其直角坐标系中的原点O被称为该圆锥曲线的极点。
极点在圆锥曲线的研究中具有重要的地位，它与曲线的各种性质密切相关。
2.2 极线的定义与性质对于圆锥曲线上的任意一点P，以极点为中心，作直线OP，称为圆锥曲线的极线。
极线是一个与极点相关的直线，它与曲线的位置和特性有着密切的联系。
三、不同类型曲线的极点与极线问题3.1 椭圆的极点与极线对于椭圆，其极点为原点O，极线为过原点O的直线。
椭圆的极点处于其主轴的中点位置，其极线是关于两个焦点的对称直线。
3.2 双曲线的极点与极线对于双曲线，其极点为原点O，极线为过原点O的渐近线。
双曲线的极点处于离心率之间的位置，其极线是关于两个焦点的渐近线。
3.3 抛物线的极点与极线对于抛物线，其极点为其焦点，极线为过焦点的直线。
抛物线的极点位于抛物线的顶点位置，其极线是关于焦点的直线。
四、个人观点与理解圆锥曲线的极点与极线问题是一个十分有趣且具有挑战性的数学问题。
通过研究圆锥曲线的极点与极线，我们能够更深入地理解曲线的性质和特性。
极点是曲线的重要几何特征，它能够从不同的角度揭示出曲线的各种性质。
极点与极线的调和性在高考中的应用
极点与极线的调和性在高考中的应用在高考数学中，极点与极线的调和性是一个重要的概念。
它涉及到函数的最值、不等式、方程等问题，是高考数学中的难点之一。
本文将从极点与极线的定义、调和性、应用等方面进行探讨，帮助考生更好地理解和掌握这一概念。
极点是指在一个函数图像上，一个点所对应的函数值。
而极线是指过这个点所作的切线与x轴的交点的横坐标。
在高考数学中，极点与极线通常指的是函数的极值点和临界点。
极点与极线的调和性是指在一定条件下，函数的极值点和临界点的位置之间存在一定的关系。
在高考数学中，通常会考察函数的单调性、最值等问题，这些问题都与极点与极线的调和性有关。
在高考数学中，最值问题是一个常见的题型。
利用极点与极线的调和性，可以将函数进行分解，从而得到函数的最小值或最大值。
例如，对于一个二次函数y=ax^2+bx+c，可以利用极点与极线的调和性求出其最小值或最大值。
不等式是高考数学中的另一个重要题型。
利用极点与极线的调和性，可以将不等式转化为函数的最值问题，从而得到不等式的解。
例如，对于一个不等式x^2+bx+c>0，可以利用极点与极线的调和性求出其解集。
方程是高考数学中的另一个重要题型。
利用极点与极线的调和性，可以将方程转化为函数的最值问题，从而得到方程的解。
例如，对于一个方程ax^2+bx+c=0，可以利用极点与极线的调和性求出其解。
极点与极线的调和性是高考数学中的一个重要概念。
它涉及到函数的最值、不等式、方程等问题，是高考数学中的难点之一。
考生需要熟练掌握极点与极线的定义、调和性、应用等方面，才能更好地理解和掌握这一概念。
考生还需要注意一些常见的错误和易错点，如忽视函数的定义域、不考虑函数的单调性等。
只有全面掌握这一概念，才能在高考数学中取得好成绩。
极点和极线是解析几何中的重要概念，它们对于描述和解决圆锥曲线问题具有重要的应用价值。
通过理解极点和极线的性质，我们可以更深入地理解圆锥曲线的性质和特点。
2023全国乙卷理科第20题 极点极线
2023全国乙卷理科第20题极点极线【导读】极点与极线是解析几何中的重要概念，它们在数学领域中有着广泛的应用。
本文将深入探讨极点与极线的定义、性质和应用，并共享对这一主题的个人理解。
【正文】一、极点与极线的定义1. 极点的定义极点是与给定圆的两条切线相交的一个点，这两条切线是从极点到圆上的两个不同点的切线。
在平面直角坐标系中，给定一点 P(x1, y1)，以及一个圆 C：(x - a)² + (y - b)² = r²。
点 P 是圆 C 的极点，当且仅当从 P 到圆 C 上的任意一点 Q 的斜率相等。
即∠OPQ为直角，其中O(a, b) 是圆 C 的圆心。
2. 极线的定义过给定点和给定圆的两条切线所确定的交点的轨迹叫做极线。
根据定义，极线是由圆 C 的所有极点所决定。
在平面直角坐标系中，假设圆的方程是(x - a)² + (y - b)² = r²，圆的极线可以表示为下面形式的方程：xx1 + yy1 = a(x + x1) + b(y + y1) + r²。
这里，(x1, y1) 是圆的极点。
二、极点与极线的性质1. 极点的性质（1）极点坐标的性质通过上述定义，可得到极点P(x1, y1) 的坐标对称形式是P′(-x1, -y1)。
意味着，极点 P 关于圆心 O 对称。
（2）极点的存在性对于给定圆 C，如果有直角坐标系中的点 P（x，y）满足OP⊥OQ，那么点 P 就是圆 C 的极点。
2. 极线的性质（1）极线的对称性已知圆 C 关于 X 轴和 Y 轴的极线方程为 a1x + b1y + c1 = 0 和 a2x + b2y + c2 = 0。
易得，关于 X 轴和 Y 轴的两条极线方程互为对称。
（2）极线的交点性质两条极线的交点坐标为(-ab/a1 - a2, -ab/b1 - b2, 非常重要)。
三、极点与极线的应用1. 应用一：极点极线在密码学中的应用极点极线广泛应用于密码学领域，尤其是在椭圆曲线密码学中。
漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景与解法
浙江省绍兴县鲁迅中学
本文源于两道高考压轴题 : 题 1( 2006 年全国Ⅱ卷题 21) 已知抛物线 x 2 = 4 y 的 焦点 为F , A 、 B 是抛物线 上的 两动 点 , B 两 且 AF = KFB ( K> 0 ) . 过 A 、 点分别 作抛 物线 的 切 线 , 设其 交 点为 P. ( 1) 证明 FP # AB 为定值 ; ( 2) 设 v A BP 的面积为 S , 写出 S = f ( K ) 的表达 式 , 并求 S 的最小值 . 题 2( 2005 年江西卷题 22) 设抛物 线 C: y = x 2 的 焦点 为 F, 动点 P 在直线 l: x - y - 2 = 0 上 运动 , 过 P 作 C 的 两 条 切 线 PA 、 PB , 且 与抛物线 C 分别相切于 A 、 B 两点 . ( 1) 求 v AP B 的重心 G 的轨迹方程 . ( 2) 证明 N PFA = N PFB . 这是一类解析几何常见题 , 两题 非常类 似 , 笔者还 发现它们含有相同的高等数学背 景 . 按射影 几何观 点 , 题中点 P 与直线 A B 称为圆锥曲线 相应的极点与极线 , 两者蕴涵了圆锥曲 线的 内在 特征 . 本文 拟以 极点 与极 线的两个命题给出 试题 统一 解法 , 并讨 论该 性质 在中 学数学中的现状及应用 . 1 1. 1 关于极点与极 线 极点与极线的定义与 作图 开. 虽然中学数学中没有提 到极点 与极线 , 但 事实上 , 它的身影随处可见 , 只是没有点破而已 . 下面利 用上 述两 个命题 , 给出 两考题 统一 简解 以 及该命题在教材、 竞赛等方面的应用 . 2 2. 1 中学数学中极点与极线知识的现状与应用 教材内改名换姓 , / 视0 而不/ 见0 双 曲线 程为 :
中学数学解析几何中极点与极线知识的现状与应用研究
2x + x + =0F a 2 b 2 a 2 b 2 Cy + E Cy + E解析几何中极点与极线知识的现状与应用研究王文彬极点与极线是圆锥曲线内在的几何特征，在解析几何中必然有所反映，有所体现 .现将 具体研究结果报告如下：§1.极点与极线的定义A1.1 几何定义如图， P 是不在圆锥曲线上的点，过 P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点 E, F , G , H ，连接 EH , FGFNEP交于 N ，连接 EG, FH 交于 M ，则直线 MN 为点 P 对应的极线.若 P 为圆锥曲线上的点，则过 P 点的切线即为极线.由图 1 可知，同理 PM 为点 N 对应的极线， PN 为点H BG M 所对应的极线. MNP 称为自极三点形.若连接 MN 交圆锥曲线于 M点 A, B ，则 P A, PB 恰为圆锥曲线的两条切线.事实上，图 1 也给出了两切线交点 P 对应的极线的一种作法.图 11.2 代数定义已 知 圆 锥 曲 线 Γ : Ax 2 + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 ， 则 称 点 P( x , y ) 和 直 线0 0l : A x +C y + y (D x ) + (E y) +y 是圆锥曲线 Γ 的一对极点和极线.0 0 0 0x + x事实上，在圆锥曲线方程中，以 x x 替换 x 2 ，以 0 替换 x (另一变量 y 也是如此)0 即可得到点 P( x , y ) 极线方程.特别地：(1)对于椭圆 x 2 y 2 + a 2 b 2 xx y y= 1 ，与点 P( x , y ) 对应的极线方程为 0 + 0 = 1；0 0(2)对于双曲线 x 2 y 2 - a 2 b 2 xx y y = 1 ，与点 P( x , y ) 对应的极线方程为 0 - 0 = 1；0 0(3)对于抛物线 y 2 = 2 px ，与点 P( x , y ) 对应的极线方程为 y y = p ( x + x) . 0 0§2.极点与极线的基本结论定理 1 (1)当 P 在圆锥曲线 Γ 上时，则极线 l 是曲线 Γ 在 P 点处的切线；(2)当 P 在 Γ 外时，则极线 l 是曲线 Γ 从点 P 所引两条切线的切点所确定的直线(即切点弦所在直线)；(3) 当 P 在 Γ 内时，则极线 l 是曲线 Γ 过点 P 的割线两端点处的切线交点的轨迹.证明：假设同以上代数定义，对 Γ : Ax 2 + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 的方程，两边求 Ax + D 导得 2 A x + 2Cyy ' + 2D + 2Ey ' = 0 ，解得 y ' = -，于是曲线 Γ 在 P 点处的切线斜率Cy + EAx + D Ax + D为 k =- ， 故 切 线 l 的 方 程 为 y - y =-0 0 0 0( x - x ) ， 化 简 得 0 Ax x + Cy y - Ax 2 - Cy 2 + Dx + Ey - Dx - Ey = 0 ， 又 点 P 在 曲 线 Γ 上 ， 故 有 00 0Ax 2 + Cy 2 + 2 D x + 2 E y + F = 0 ，从中解出 Ax 2 + Cy 2 ，然后代和可得曲线 Γ 在 P 点Mx + ) ) y y Ax m + Cy n + D( x + m ) + E ( y + n) + F = 0 ， P(x 0,y 0)Ax m + Cy n + D( x + m ) + E ( y + n) + F = 0 ，处的切线为 l : Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 .0 0 0 0(2)设过点 P 所作的两条切线的切点分别为M ( x , y ), N ( x , y ) ，则由 (1)知，在点1 12 2M , N 处 的 切 线 方 程 分 别 为 A x + C +y (y D x + ( x + E + 和 0=F1 1 1 1Axx + Cyy + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 ，又点2222P 在切线上，所以有Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 和 0 10 111Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 ，0 20 222P观察这两个式子，可发现点M ( x , y ), N ( x , y ) 都在直线1122 Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 上，N图 2又 两 点 确 定 一 条 直 线 ， 故 切 点 弦 MN 所 在 的 直 线 方 程 为Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 .(3)设曲线 Γ 过 P( x , y ) 的弦的两端点分别为 S ( x , y ), T ( x , y ) ，则由(1)知，曲线在1122这 两 点 处 的 切 线 方 程 分 别 为 Ax x + Cy y + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 和1111Ax x + Cy y + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 ，2 2 2 2 设两切线的交点为 Q(m , n ) ，则有T.1111Q(m,n)2222观察两式可发现S ( x , y ), T ( x , y ) 在直线1122Axm + Cyn + D( x + m ) + E ( y + n ) + F = 0 上，S图 3又两点确定一条直线，所以直线 ST 的方程为 Axm + Cyn + D( x + m ) + E ( y + n ) + F = 0 ， 又直线 ST 过点 P( x , y ) ，所以 Ax m + Cy n + D( x + m ) + E ( y + n) + F = 0 ，因而点0 0 0 0 0 0Q(m , n ) 在直线 Ax x + Cy y + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 上.0 0 0 0所以两切线的交点的轨迹方程是 Ax x + Cy y + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 .0 0 0 0定理 2 若圆锥曲线中有一些极线共点于点 P ，则这些极线相应的极点共线于点 P 相应的极线，反之亦然.PB点 P 的极线点 P 的极线PA图 4(1)即极点与极线具有对偶性.如图 4(1)(2)所示.图 4(2).) 22 a 2 b 2 c2y 2 y证明：由于 F ( ,0) , A( 1 , y ) ， B( 2 , y ) ，故 2 2 p 2 p 2 2 p 2 p 2 12 2 22 y y 2 - p 2 OC = y p ( , , ( )kOC = +py p py§3.极点与极线在教材中的体现极点与极线反映的是圆锥曲线的基本几何性质，所以在解析几何教材中必然有所体现 3.1 圆锥曲线的焦点与准线是一对特殊的极点与极线 如果圆锥曲线是椭圆 x 2 y 2 + a 2 b 2= 1 ， 当 P( x , y ) 为 其 焦 点 F (c , 0 时， 极 线 0 0x x y y a 2 x 2 y 20 + 0 = 1 变为 x = ，恰是椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线 - a b 2 c a b 2= 1 ，当x x y y a 2P( x , y ) 为其焦点 F (c,0) 时，极线 0 - 0 = 1变为 x = ，恰是双曲线的准线；如果0 0 p圆锥曲线是抛物线 y 2 = 2 px ，当 P( x , y ) 为其焦点 F ( ,0) 时，极线 y y = p ( x + x) 变0 0 0 0 p为 x =- ，恰是抛物线的准线.23.2 许多习题都有极点与极线的背景，均可借助极点与极线方法求解【例 1】过抛物线 y 2 = 2 px 的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为y , y ，求证： y y = - p 2 . 1 2 1 2三点对应的极线方程分别是p y 21 2Apy 2 y 2x =-， y y = p ( 1 + x) 和 y y = p ( 2 + x) ，12CO FBx由于 A, F , B 三点共线，根据定理 2 可知，对应的 p三条极线共点，将 x = -代入后面两式得2 图 51p 21 p2 y y 2 - p 2y y = y 2 - ， y y = y 2 - ，两式相除得 1 = 1⇒ y y = - p 2 . 12 1 222作为课本一习题，2001 年全国高考试卷 19 题以此为背景命制.利用本例结论可迅速证明这一高考题. 设抛物线 y 2 = 2 px 的焦点为 F ，过焦点 F 的直线交抛物线于两点 A, B ，点 C在抛物线的准线上，且 BC 平行于 x 轴，证明直线 AC 必过原点.简证：如图 5，设 Ax y )Bx, y)1 122p，则 C (- , y 22 ，从而 k O A = y 1 = x 12 py ，1 -22=-点.3.3 教材中涉及到直线与圆锥曲线位置关系的判定问题，均可化为极点与圆锥曲线的位置关系问题来解决【例 2】(1)已知抛物线的方程为 y 2 = 4 x ，直线 l 过定点 P(-2,1) ，斜率为 k ，问 k 为何值时，直线 l 与抛物线只有一个公共点，有两个公共点，没有公共点？(2)已知双曲线 x 2 -是线段 AB 的中点？y 2 2= 1 ，过点 P(1,1)能否作直线 l ，与双曲线交于 A, B 两点，且 Px + 0，故 ⎨， ⎩ 2ky + y = 2 x ⎪⎪ 0k 当 k ≠ 0 时， ⎨ ， 直 线 l 与 抛 物 线 有 两 个 公 共 点 ⇔ P( x , y ) 在 抛 物 线 外2⎪ y = ⎩⎪⎪ 0 2故 ⎨ ，两式相减得 4 x - 2 y = 2 ，即 2 x - 0 = 1 ，而 2 x - = 1 ⎪(2 - x )2 - (2 - y 0 )2 = 1 2 2⎪⎩ 2. 解：(1)设点 P( x , -1), A( x , y ), B( x , y ) ，A, B, F 三点共线，故相应的三极线共点于 P( x , -1) ，代入极线方程得 ⎨ 1 0 x x = 2( y - 1) ⎩ 2 0解： (1)直线 l 的方程为 y - 1 = k ( x + 2) ，即 y = kx + 2k + 1 . 设直线 l 对应的极点为P( x , y ) ，则相应的极线应为 y y = 2( x + x ) x ，即 y = 0 0 0 0 2 y 0y ⎧1 x = +2 0 0⎪ 0 k ⇔ y 2 > 4 x ⇔ 0 0 4 1 1 1> 4( + 2) ，解得 -1 < k < 且 k ≠ 0 ；同理可求得当 k = -1 或 k = k 2 k 2 21或 k = 0 时直线与抛物线只有一个公共点；当 k < -1 或 k > 时直线与抛物线没有公共点.2(2)设 A( x , y ) ，则由 P 是线段 AB 的中点得 B(2 - x , 2 - y ) ，而 A, B 在双曲线上， 0⎧ y 2 x 2 - 0 = 1 2 y 2 y 0 0 00 是点 (2, 2) 对应的极线，但点 (2, 2) 在双曲线内，故极线与双曲线相离，这和已知“直线与双曲线相交”矛盾，故这样的直线不存在.§4.极点与极线在各种考试中的深层体现4.1 高考试题中的极点与极线极点与极线作为具体的知识点尽管不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，当然也不属于高考考查的范围，但是极点与极线作为圆锥曲线的一种基本特征，在高考试题中必然 会有所反映.事实上，极点与极线的知识常常是解析几何高考试题的命题背景【例 3】(2006 年全国试卷 II21)已知抛物线 x 2 = 4 y 的焦点为 F ， A, B 是抛物线上的两动点，且yBAF = λ F B(λ > 0) ，过 A, B 两点分别作抛物线的切线，并设其交点为 P .F(1)证明 FP ⋅ AB 为定值；(2)设 ∆ABP 的面积为 S ，写出 S = f (λ ) 的表达式，并求 S 的最小值.AOPx0 1 12 2图 6F , A, B 三点对应的极线方程分别为y = -1 ， x x = 2( y + y) ， x x = 2( y + y) ，由于1 1220 ⎧ x x = 2( y - 1) 1 2，两式相减得 ( x - x ) x = 2( y - y ) .1212又 FP = ( x , -2), AB = ( x - x , y - y ) ，故 FP ⋅ AB = x ( x - x ) - 2( y - y ) = 0 . 021212121 (2)设 AB 的方程为 y = kx + 1 ，与抛物线的极线方程 x x = 2( y + y) 对比可知直线 AB对应的极点为 P(2k , -1) ，把 y = kx + 1 代入 x 2 = 4 y 并由弦长公式得 AB = 4(1+ k 2) ，所以2y + - 21 k 设 AB : y -2 = k ( x - ) ， 可 化 为 = x ， 故 直 线 AB 对 应 的 极 点 为2 = k k + ⎪⎪3 2⎪ k 2 - k + 4 + - 2 k 2 - + 2⎪ y = 22⎪⎩2 2 24 2 4 4FP ⋅ FA cos ∠AFP = = 24 4 = 4 4 = 1 2 4 . 1 FP ⋅ FA FPFP x 2 + ( x 2 - )24 41 1 x + xFP ⋅ FB 同理 cos ∠AFP = =S∆ABP = 1 2AB FP = 2(1+ k 2 ) 4(1+ k 2 ) .显然，当 k = 0 时， S 取最小值 4 .【例 4】(2005 江西卷 22)设抛物线 C : y = x 2 的焦点为 F ，动点 P 在直线 l : x - y - 2 = 0上运动，过 P 作抛物线的两条切线 P A, PB ，且与抛物线分别相切于 A, B 两点.(1)求 ∆APB 的重心 G 的轨迹方程； yB与 (2)证明 ∠PFA = ∠PFB .解：(1)设点 P( x , y ), A( x , y ), B( x , y ) ，0 0 1 1 2 2y + y0 = x x 对比知直线 l : x - y - 2 = 0 对应的0 A FOP lx1极点为 ( , 2) ， P 为直线 l 上的动点，则点 P 对应2图 71的极线 AB 必恒过点 ( , 2) .2k22 2 2k k k( , - 2 )， 将 直 线 AB 的 方 程 代 入 抛 物 线 方 程 得 x 2 - kx + - 2 = 0 ，由此得 2 2 2x + x = k , y + y = k ( x + x - 1) + 4 = k 2 - k + 4 ， ∆APB 的重心 G 的轨迹方程为121212⎧k ⎪ x =1 ⎨，消去 k 即得 y = (4 x 2- x + 2) . k k 3 =3 3k k k(2)由(1)可设点 P( , - 2) ， A ( x , x 2 ), B( x , x 2 ) ，且 x + x = k , x x = - 2 ，所以1 12 2 1 2 1 2 1 1 1 FA = ( x , x 2 - ) ， FP = ( 1 2 , x x - ) ， FB = ( x , x 2 - ) .1 1 12 2 2 x + x 1 1 1 1 1 1 2 x + ( x x - )( x 2 - ) ( x x + )( x 2 + ) x x +1 1 21 12 1 1 FP ( x 2 + ) 1x x +1 2FP ⋅ FB FP14 .所以有 ∠PFA = ∠PFB .评析：上述解法不仅简洁易懂，而且适用范围很广，很多解析几何试题，尤其是共点共线问题，往往都能起到事半功倍的效果.这里不再一一列举.4.2 竞赛试题中的极点与极线作为更高要求的数学竞赛，有关极点与极线的试题更是频频出现，而且越来越受到重视.A B2 a b 2 2ay )2 】(评析：该题实质上就是求椭圆 + 】( 点 评析：显然该定直线为点 M ( , ) 对应的极线： + = 1 ..【例 5】(2002 澳大利亚国家数学竞赛)已知 ∆ABC 为锐角三角形，以 AB 为直径的⊙ K分别交 AC, BC 于 P , Q ，分别过 A 和 Q 作⊙ K 的两条切线交于点 R ，分别过 B 和 P 作⊙ K 的两条切线交于点 S ，证明点 C 在线段 RS 上.RR (-a,y 2)yCCPQSPS (a,y 1)QK下面将圆加强为椭圆，并给出证明.A图 8K B x证明：以 AB 为 x 轴，线段 AB 为 y 轴建立直角坐标系，设椭圆方程为 x 2 y 2 + a b 2= 1 ，- x y y并设点 S (a, y ), R(-a, y ) ，则 R 点对应的极线 AQ : + 2 = 1 ，代入椭圆方程解得点1 2a( y 2 - b 2 ) 2b 2 y yQ( , 2 ) ， 直 线 B Q: = - 2 ( x - a， 同 理 我 们 可 以 得 到 直 线 y 2 + b 2 y 2 + b 2 a 2 2y y - y 2 y yAP : y = 1 ( x + a) ，将直线 BQ 的方程与 AP 的方程联立解得 C ( 2 1 a, 1 2 ) ，可验a y + y y + y1 2 1 2y - y证其坐标满足直线 RS : y - y = 12 ( x - a) 的方程，所以三点共线. 1 评析：原题用纯平面几何方法证明，难度较大【1 ，而用极点与极线方法证明不仅显得 简洁，而且此结论显然还可推广到其他圆锥曲线上.【例 6】《中等数学》2006 年第 8 期 P 42)过椭圆 x 2 y 2+ = 1 内一点 M (3,2) 作直线 AB 25 9与椭圆交于点 A, B ，作直线 C D 与椭圆交于点 C, D ，过 A, B 分别作椭圆的切线交于点 P ， 过 C, D 分别作椭圆的切线交于点 Q ，求 P , Q 连线所在的直线方程x 2 y 225 9= 1 内一点 M (3,2) 对应的极线方程，由定理 1立即可得答案为 3x 2 y+ = 1 .25 9【例 7 《中学数学》2006 年第 7 期新题征展 77)设椭圆方程为 x 2 1 1+ y 2 = 1 ， M ( , ) ，2 2 2过点 M 的动直线与椭圆相交于点 A, B ，点 A, B 处的切线相交于点 N ，求证点 N 的轨迹是一条定直线.1 1 x y2 2 4 2从例 6、例 7 可以看到，以极点与极线为背景的试题深受命题者的青睐2 mk m 评析：由定理 1 知，该定理中定点 M (m ,0) ，直线l : x = 即为一对极点与极线，从4.3 一些结论中的极点与极线圆锥曲线中有关极点与极线的性质，一直是人们探讨的热点，文【 】与文【3】所述的圆锥曲线性质都源于圆锥曲线中极点与相应的极线的性质.譬如【 定 理 】【 2 】线 段 PQ 是 过 椭 圆 x 2 y 2 + a 2 b 2= 1(a > b > 0) 长 轴 上 定 点M (m ,0)( m ≠ 0, m ≠ ±a) 的弦，S , T 是长轴上的两个顶点，直线 SP , SQ 与直线 l : x = a 2 m交于 A( x , y ), B( x , y ) 两 点 ， 并 且 直 线 PQ 的 斜 率 k 存 在 且 不 为 零 ， 则 有A AB B2b 2 m 2b 2 - a 2b 2y + y =- , y y = . A B A B 2这个定理在双曲线与抛物线中也成立.利用该定理还可证明文【5】至【13】中所述的结论.a 2m另一方面来说，该定理是【例 1】的推广形式，作者把它称为一个基础性定理，是因为该定 理可以证明很多圆锥曲线的性质.事实上，文【2】所述的圆锥曲线性质也都可以用极点与极 线的性质证明，文【3】则完全是定理 1 的一种特例.定理 1 和定理 2 反映极点与相应的极线的基本性质，应用非常广泛. 一点一线，阐述着数学的朴素之美，也是极致之美.参考文献【1】 史钞.几道数学竞赛题的简解.中等数学，2005.4 【2】 邱继勇.椭圆的一个基础性定理.数学通报，2005.6【3】 高绍央.圆锥曲线准线的一个有趣性质.中学教研.2005.3【4】 李凤华.圆锥曲线的极点与极线及其应用.数学通讯，2012.4 【5】 金美琴.二次曲线的定点弦.数学通报，2003.7【6】 熊光汉，谢东根.一道几何题的引申.数学通报，2003.5【7】 陈天雄.一道高考解析几何试题的引申及推广.数学通报，2002.6【8】 李原池.一道高考题引出的圆锥曲线的两个性质及推论.数学通报，2002.6 【9】 钮华柱.圆锥曲线的几个性质.数学通报，2000.8【10】 李康海.圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质.数学通报，2001.5 【11】 厉倩.圆锥曲线焦半径的一个性质.数学通报，2002.12【12】 丁振华. 圆锥曲线焦半径的一个性质.数学通报，2003.10【13】 邱昌银.圆锥曲线的准线切点焦点弦的相关性质.数学通报，2003.111 、数论是 人类 知识 最古 老的 一个 分支 ，然而 他的 一些 最深 奥 的秘 密与其 最平 凡的 真理 是 密切 相连 的。
极点极线10个二级结论
极点极线10个二级结论摘要：一、引言二、极点极线的概念1.极点2.极线三、10 个二级结论1.极点与极线的关系2.极点与极线的性质3.极点与极线的应用四、结论正文：【引言】极点极线是数学中的一个基本概念，它在几何学、微积分学等学科中都有着广泛的应用。
本文将详细介绍极点极线的概念以及10 个二级结论，帮助读者更好地理解和掌握这一重要概念。
【极点极线的概念】极点是数学中的一个点，它满足某个函数在此点处的导数等于零。
换句话说，极点是函数的局部最小值或最大值点。
极线是与极点相关的直线，它表示函数在极点处的切线。
【10 个二级结论】1.极点与极线的关系：极点处的切线就是极线。
极线是函数在极点处的局部性质，反映了函数在极点处的变化趋势。
2.极点与极线的性质：极点与极线是相互关联的，它们共同决定了函数在极点处的局部性质。
极点的性质包括局部最小值、局部最大值等，极线的性质包括切线的斜率、切线方程等。
3.极点与极线的应用：极点与极线在数学的许多分支中都有着广泛的应用。
例如，在微积分学中，极点与极线可以用来求解函数的极值；在几何学中，极点与极线可以用来分析图形的性质。
4.函数的极值与极点极线的关系：函数的极值点就是极点，函数在极值点处的导数值就是极线的斜率。
5.函数的单调性与极点极线的关系：函数的单调区间与极点极线密切相关。
在单调递增的区间，函数的导数大于零，极线是上升的；在单调递减的区间，函数的导数小于零，极线是下降的。
6.函数的凹凸性与极点极线的关系：函数的凹凸性决定了极点极线的性质。
在凹函数的区间，极点是局部最小值点，极线是下凸的；在凸函数的区间，极点是局部最大值点，极线是上凸的。
7.极点极线在微分方程中的应用：微分方程中的极点极线可以用来分析系统的稳定性和动态行为。
例如，在常微分方程中，极点可以表示系统的平衡状态，极线可以表示系统在平衡状态下的动态行为。
8.极点极线在数值分析中的应用：极点极线在数值分析中有着广泛的应用，例如在插值和拟合问题中，极点极线可以用来提高算法的收敛性和准确性。
圆锥曲线的极点与极线问题
圆锥曲线的极点与极线问题（原创版）目录一、引言二、圆锥曲线的极点与极线的定义与性质1.极点的定义与性质2.极线的定义与性质三、圆锥曲线中极点极线的应用1.极点极线在解析几何中的基础性应用2.极点极线与其他知识点的交集四、如何证明圆锥曲线中极点极线的性质1.极线的几何定义与方程推导2.极点极线的证明方法五、总结正文一、引言圆锥曲线是高中数学中一个重要的知识点，而极点与极线是圆锥曲线中一个非常有特色的概念。
本文将从极点与极线的定义与性质出发，探讨他们在圆锥曲线中的应用以及如何证明他们的性质。
二、圆锥曲线的极点与极线的定义与性质1.极点的定义与性质极点是指圆锥曲线上的某一点，该点到圆锥曲线的两个焦点的距离之和等于常数。
对于椭圆和双曲线，该常数为两焦点之间的距离；对于抛物线，该常数为焦点到准线的距离。
极点具有以下性质：在椭圆和双曲线上，极点是曲线上离两个焦点最远的点；在抛物线上，极点是曲线上离焦点最近的点。
2.极线的定义与性质极线是指过圆锥曲线上一点，且与该点到两个焦点连线垂直的直线。
极线具有以下性质：在椭圆和双曲线上，极线与焦点的连线平分极点；在抛物线上，极线通过焦点且与准线垂直。
三、圆锥曲线中极点极线的应用1.极点极线在解析几何中的基础性应用极点极线在解析几何中有广泛的应用，例如可以用极点极线求解圆锥曲线上的切线，切点弦方程，圆系方程以及二次曲线系等问题。
2.极点极线与其他知识点的交集极点极线与泰勒公式，切线，切点弦方程，圆系方程以及二次曲线系等知识点都有交集，深入理解极点极线的性质可以帮助我们更好地把握解析几何的整体知识结构。
四、如何证明圆锥曲线中极点极线的性质1.极线的几何定义与方程推导极线的几何定义较为直观，可以通过画图理解。
而极线的方程推导则需要运用到射影几何的知识，通过极线的几何定义，我们可以得到极线的方程。
2.极点极线的证明方法极点极线的证明方法通常采用代数方法，需要运用到一些高中数学的初等知识，如代数运算，方程求解等。
高中数学函数极点与极线探秘
221极点与极线探秘第一讲 极点和极线的定义及极点与极线的作图极点与极线是高等几何中的重要概念，虽然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景.作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律. 一 极点和极线的定义和性质在圆锥曲线方程中，以x x 0替换2x ，以20x x +替换x ，以0y y 替换2y ，以02y y +替换y ，即可得到点),(00y x P 的极线方程．已知圆锥曲线22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=，则称点00(,)P x y 和直线0000:()()0l Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=是圆锥曲线Γ的一对极点和极线.从定义我们共同思考和讨论几个问题:1．若点),(00y x P 在椭圆上，则其对应的极线是什么?椭圆的两个焦点对应的极线分别是什么?（1）对于椭圆()b a b y a x ≠=+12222，与点),(00y x P 对应的极线方程为12020=+b y y a x x ；当),(00y x P 为其焦点)0,(c F 时，极线12020=+b y y ax x 变成c a x 2=，恰是椭圆的右准线．（2）对于双曲线12222=-by a x ，与点),(00y x P 对应的极线方程为12020=+b y y a x x ；当),(00y x P 为其焦点)0,(c F 时，极线12020=-b y y a x x 变成ca x 2=，恰是双曲线的右准线．（3）对于抛物线22px y =，与点),(00y x P 对应的极线方程为)(00x x p y y +=．当),(00y x P 为其焦点)0,2(p F 时，极线)(00x x p y y +=变为2px -=，恰为抛物线的准线． 2.过椭圆上（外、内）任意一点),(00y x P ，如何作出相应的极线？ （1）当点P 在圆锥曲线Γ上时，其极线时曲线Γ在点P 点处的切线；（2）当点P 在Γ外时，其极线l 时曲线Γ从点P 所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在的直线）； （3）当点P 在Γ内时，其极线l 时曲线Γ过点P 的任一割线两端点处的切线交点的轨迹．为了表达方便，我们给出圆锥曲线内部和外部的定义．圆、椭圆是封闭图形其内部和外部很好界定，抛物线、双曲线不是封闭的是开的，对双曲线和抛物线的内部和外部给出如下定义：焦点所在的平面区域称为该曲线的内部，不含焦点的平面区域称为曲线的外部，曲线上的点既不在内部也不在外部．注意：证明书写过程请参考下一讲《抛物线切线与阿基米德三角形》中的“导、差、代、联”即可，这里不作详述。
第43期极点与极线的几何意义及应用
第43期极点与极线的几何意义及应用第43期极点与极线的几何意义及应用
极线的几何定义
但是上面定义仅适用于P点在此圆锥曲线外部的情况.实际上,在P 点在圆锥曲线内部的时候同样可以定义极线,这时我们可以认为极线是过P点做此圆锥曲线两条虚切线切点的连线.特别的，如果这个圆锥曲线是一个圆，我们同样有圆的极线和极点的概念。
极线的几何性质
对于圆锥曲线,两个点的切线的交点的极线即这两点的连线。
此外,过不在圆锥曲线上任意一点做两条和此曲线相交的直线得出四个点，那么这四个点确定的四边形的对角线交点在该点的极线。
我们也可以把这个性质作为圆锥曲线的极线的定义。
而当一个动点移动到曲线上,那么它的极线就退化为过这点的切线，所以，极点和极线的思想实际上是曲线上点和过该点切线的思想的一般化。
2025年解析几何知识点与应用剖析
2025年解析几何知识点与应用剖析在当今科技飞速发展的时代，数学作为基础学科的重要性愈发凸显。
解析几何作为数学的一个重要分支，不仅在理论研究中具有重要地位，而且在实际应用中也发挥着巨大的作用。
本文将对 2025 年解析几何的知识点与应用进行全面剖析。
一、解析几何的基本知识点1、坐标系坐标系是解析几何的基础，它为我们描述点的位置提供了一种精确的方法。
常见的坐标系有直角坐标系和极坐标系。
在直角坐标系中，通过横坐标和纵坐标来确定点的位置；而在极坐标系中，则通过极径和极角来描述点。
2、曲线方程曲线方程是解析几何的核心概念之一。
它将几何图形与代数方程联系起来，使得我们能够通过代数运算来研究几何图形的性质。
常见的曲线方程包括直线方程、圆的方程、椭圆方程、双曲线方程和抛物线方程等。
直线方程：一般式为 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0，其中 A、B 不同时为 0；点斜式为 y y₁＝ k(x x₁)，其中 k 为斜率，（x₁, y₁)为直线上一点。
圆的方程：标准式为（x a)²＋（y b)²＝ r²，其中（a, b) 为圆心坐标，r 为半径。
椭圆方程：标准式为 x²/a²＋ y²/b²＝ 1（焦点在 x 轴）或 y²/a²＋x²/b²＝ 1（焦点在 y 轴），其中 a 和 b 分别为椭圆的长半轴和短半轴。
双曲线方程：标准式为 x²/a² y²/b²＝ 1（焦点在 x 轴）或 y²/a² x²/b²＝ 1（焦点在 y 轴），其中 a 和 b 分别为双曲线的实半轴和虚半轴。
抛物线方程：标准式为 y²＝ 2px（焦点在 x 正半轴），y²＝－2px （焦点在 x 负半轴），x²＝ 2py（焦点在 y 正半轴），x²＝－2py（焦点在 y 负半轴），其中 p 为焦点到准线的距离。
极点极线结论过定点结论
极点极线结论过定点结论引言在解析几何中，极点极线结论是一个重要的定理，它描述了通过一点和一定条件下的定角相交的两条直线，所确定的交点将位于一条直线上的规律。
本文将详细探讨极点极线结论，并阐述其过定点结论的相关内容。
极点极线结论根据极点极线结论，当两条不相交直线通过一个点，且与一条直线相交的两个角的角度分别相等时，这两个交点将位于一条直线上。
极点极线结论的证明步骤一：给出问题假设有两条直线L1和L2，它们不相交，而且通过一个点O。
另外，有一条直线L3与L1和L2相交，且与L1和L2所成的两个角分别为∠A和∠B。
我们的目标是证明当∠A=∠B时，直线L1和L2的交点位于一条直线上。
步骤二：构造辅助线为了方便证明，我们需要构造一些辅助线。
首先，我们在点O处作垂直于L1和L2的线段，分别与L1和L2相交于点C和点D。
接下来，我们延长直线L3，使其与直线L1和L2相交于点E和点F。
步骤三：使用角度关系根据角度关系，我们可以得知∠OCE = ∠ACD，∠ODF = ∠BDC。
由于∠A = ∠B，所以∠ACD = ∠BDC。
步骤四：使用相似三角形进一步观察图形，我们可以发现三角形ACO与三角形BDO是相似三角形。
根据相似三角形的性质，我们可以得出OC/OD=AC/BD。
步骤五：应用极点极线结论由步骤四的结果可知，OC/OD=AC/BD，由此我们可以得出OC/AC=OD/BD。
根据极点极线结论，OC/AC=OD/BD表示点C、D、A、B四点共线。
步骤六：证明交点共线利用相似三角形的性质，我们可以得知∠ACO = ∠BDO。
因此，线段AE和线段FB在交点处的夹角相等，并且线段AE和线段FB在交点处的夹角等于线段AC和线段BD在交点处的夹角。
根据角度相等的性质，我们可以得知线段AE和线段FB 在交点处的延长线必然相交于一点，即点P。
综上所述，由于点P位于延长线AE和FB上，根据几何定理，我们可以得出结论：当∠A=∠B时，直线L1和L2的交点P必然位于一条直线上。
高考专题高中数学微课题研究性精品教程专题7.12：椭圆的极点和极线相关问题的研究与拓展.docx
专题7.12：椭圆的极点和极线相关问题的研究与拓展【问题提出】椭圆极点和极线的定义与作图：已知椭圆:C 12222=+by a x （a ＞b ＞0），则称点),(00y x P 和直线12020=+byy a x x 为椭圆的一对极点和极线.极点和极线是成对出现的. 从定义我们共同思考和讨论几个问题并写下你的思考: （1）若点),(00y x P 在椭圆上，则其对应的极线是什么? （2）椭圆的两个焦点对应的极线分别是什么?（3）过椭圆外（上、内）任意一点),(00y x P ，如何作出相应的极线？【探究拓展】探究1：在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F. 设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y .（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹； （2）设31,221==x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关） 解：（1）设点P （x ，y ），则：F （2，0）、B （3，0）、A （-3，0）。
由422=-PB PF ，得2222(2)[(3)]4,x y x y -+--+= 化简得92x =。
故所求点P 的轨迹为直线92x = （2）将31,221==x x 分别代入椭圆方程，以及0,021<>y y 得： M （2，53）、N （13，209-）直线MTA 方程为：0352303y x -+=+-，即113y x =+，直线NTB 方程为：032010393y x --=---，即5562y x =- 联立方程组，解得：7103x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以点T 的坐标为10(7,)3 （3）点T 的坐标为(9,)m 直线MTA 方程为：03093y x m -+=-+，即(3)12m y x =+， 直线NTB 方程为：03093y x m --=--，即(3)6my x =- 分别与椭圆15922=+y x 联立方程组，同时考虑到123,3x x ≠-≠， 解得：2223(80)40(,)8080m m M m m -++、2223(20)20(,)2020m mN m m --++ （方法1）当12x x ≠时，直线MN 方程为：222222222203(20)202040203(80)3(20)80208020m m y x m m m m m m m m m m -+-++=--+-++++ 令0y =，解得：1x =。
基于射影几何的极点和极线理论应用与研究
基于射影几何的极点和极线理论应用与研究陈方玉;曾昌涛【摘要】针对目前高考试题在解析几何题目的命制特点,提出从射影几何的高等数学观点下处理近年全国各地高考数学试题中的解析几何解答题的思路,发现试题命制的高等几何背景;利用极点和极线理论对中学解析几何的点、线关系进行高观点认知,借助极点、极线理论,如概念认知、配极原则等,加强解析几何问题中定点、定直线类问题的纵向探究.只有居高临下方能势如破竹地为中学教师在解析几何试题的命制和教学提供思路,为学生在处理类似问题时寻找破题的有力工具,引导教师平时注意挖掘高等数学在中学数学中的应用,思考高等数学在中学数学的指导意义.【期刊名称】《重庆工商大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(035)002【总页数】7页(P36-41,53)【关键词】解析几何;极点;极线;配极原则;试题背景【作者】陈方玉;曾昌涛【作者单位】重庆市第八中学校,重庆400030;重庆市第八中学校,重庆400030【正文语种】中文【中图分类】O123在此从1道重庆市2016年“一诊”考题说起，题目如下：引例 (重庆2016年“一诊”16题)如图1所示，过直线x+y=2上任意一点P向圆C:x2+y2=1作两条切线，切点分别为A，B，线段AB的中点为Q，则点Q到直线l的距离的取值范围为 .图1 引例圆C坐标图Fig.1 Coordinatc chart of Circle C of introductive example首先给出解析法：解答设点P(t，2-t)，则经过O，A，P，B4点的圆的方程为即x2-tx+y2-(2-t)y=0联立得两圆的相交弦AB方程为tx+(2-t)y=1(也可直接由切点弦方程的公式直接给出)，而直线OP方程：(2-t)x-ty=0联立得点则点Q到直线l的距离为∵t2-2t+2∈[1，+∞)，∴∴此题解析法关注点Q坐标的表示以及距离d的取值范围的求解，思路清晰，但计算比较繁琐，其实可以探求此题的射影几何背景.其本质上是一种繁衍变换，为了从这个角度来思考问题，下面先介绍一些相关的概念和性质.1 调和点列设两点C，D内分与外分同一线段AB成同一比例，即则称点C和点D调和分割线段AB，或称点C是点D关于线段AB的调和共轭点，A，B，C，D为调和点列. 性质1 共轭性若点A，B被点C，D调和分割，同时点C，D也被点A，B调和分割.性质2 调和性最左(右)侧点到同侧三点的线段成调和关系：性质3 等比性若AB中点为M，则有MB2=MC·MD.2 极点、极线2.1 定义(1) 给定二次曲线Γ和点P，Q(P，Q不在曲线Γ上)，若点P，Q关于二次曲线Γ调和共轭，即P，Q两点连线与Γ交于点M，N，且则称P，Q关于曲线Γ互为共轭点，二次曲线Γ上的点自共轭.特别地，点P对有心二次曲线(设其中心为O)的调和共轭点为Q，且PQ通过中心O，则称点P变到点Q的变换称为反演变换，O为反演中心，P，Q互为反点.显然由调和点列的等比性，若P，Q互为反点，有OP·OQ=OR2成立.结合完全四边形的性质，还可以得到一个有趣的结论：如图2所示，A，B是圆锥曲线C的一条对称轴l上的两点(不在C上)，若A，B关于C调和共轭，过B任作C的一条割线，交C于P，Q两点，则∠PAB=∠QAB.图2 圆锥曲线CFig.2 Diagrammatic sketch of Conic C(2) 不在二次曲线Γ上的定点P关于二次曲线的调和共轭点轨迹是一条直线，这条直线l叫做P关于此二次曲线的极线，P为这条直线l关于此二次曲线的极点.二次曲线Γ上的点P关于Γ的极线为二次曲线在P处的切线.2.2 圆锥曲线中极线的方程在周兴明等的《高等几何》中证明过：齐次坐标下，点P(p1，p2，p3)关于二阶曲线的极线方程为所以点P(x0，y0)关于二次曲线Γ:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的极线方程为即(2Ax0+By0+D)x+(Bx0+2Cy0+E)y+Dx0+Ey0+2F=0.特别地：(1) 对于椭圆与点P(x0，y0)对应的极线方程为(2) 对于双曲线与点P(x0，y0)对应的极线方程为(3) 对于抛物线y2=2px，与点P(x0，y0)对应的极线方程为y0y=p(x0+x).事实上，圆锥曲线方程中，以x0x替换x2，以替换x(另一变量y也是如此)，即可得到P(x0，y0)对应的极线方程.由此还可以看出：圆锥曲线的焦点与准线是一对特殊的极点与极线.2.3 配极原则如果点P的极线通过点Q，则点Q的极线也通过点P配极原则是一种特殊的对偶原则，规定了一个点列与其对应线束之间的一个射影对应.由配极原则，不难得到共线点的极线必共点，共点线的极点必共线.由此，可以解决文章开头提出的问题，解析如下：解析由题知，P，Q关于圆C:x2+y2=1互为反演点，在直线x+y=2上取特殊点P0(1，1)，P0的反演点为由配极原则知，直线x+y=2上任意一点P的极线AB 都经过Q0；显然如图3，AB的中点Q到直线x+y=2的距离取值范围为图3 引例解析坐标图CFig.3 Coordinate chart of analysis of introductive example2.4 极线的作图方法若一个三角形每一个顶点关于二次曲线的极线都是其对边(每边的极点也是其所对顶点)，则称三角形为自极三角形.内接于二次曲线Γ的完全四点形ABCD的对边三点形△PQR为自极三角形(如图4).由此，可以得到定点P关于二次曲线Γ的极线的作法：图4 自极三角形Fig.4 Self-polar triangle如图5(a)，P为不在二次曲线Γ上的点，过点P引两条割线依次交二次曲线于4点E，F，G，H，连接EH，FG交于N，连接EG，FH交于M，则MN为点P对应的极线.在图5中，还得到了过二次曲线Γ外一点P切线的作法：如图5(b)，事实上，连接MN交二次曲线Γ于A，B两点，则PA，PB恰为二次曲线的两条切线.(a) (b)图5 极线作法示意图CFig.5 The sketch of plotting method of polar line3 极点、极线理论的应用极点、极线理论虽然在高中课标内没有要求，但作为圆锥曲线的一种基本特征，无论是在教材中还是在各地的高考试题和模拟试题中以此为背景的题目屡见不鲜，一线教师了解一些极点、极线理论，可以以较高的观点去看待试题，有利于中学数学教学中的优生指导和试题研究.3.1 极点、极线的直接应用：判断直线与圆锥曲线的位置关系例1 (人教A选修2-1习题2.3 B组4题)已知双曲线过点P(1，1)能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点?解析设A(x0，y0)，则由P是线段AB的中点得B(2-x0，2-y0)，而A，B在双曲线上，故两式相减得4x0-2y0=2，即而是点(2，2)对应的极线，但点(2，2)在双曲线内，故极线与双曲线相离，这和已知“直线与双曲线相交矛盾”，故这样的直线不存在. 变式 (人教A选修2-1 2.4.2例6)已知抛物线的方程为y2=4x，直线l过定点P(-2，1)，斜率为k.k为何值时，直线l与抛物线y2=4x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？例2 (2016年全国新课标卷(文科)20题)如图6，在直角坐标系xOy中，直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px(p>0)于点P，点M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(I) 求除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由.图6 例2抛物线C坐标图Fig.6 Coordinate chart of parabola C of example 2 解析(I)问中，可计算出所以直线ON方程为恰好是M(0，t)点关于抛物线的极线，而MO为抛物线的一条切线，所以MH也定是抛物线过M的另一条切线，所以直线MH与C只有H一个公共点.3.2 极点、极线性质的深层体现例3 (2015年全国1卷理科20题)曲线 C:x2=4y与直线y=kx+a(a>0)交于M，N两点.(I) 当k=0时，分别求C在点M，N处的切线方程；(II) y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN，说明理由.解析 (I)略；在(II)中，直线y=kx+a与y轴的交点为Q(0，a)，它关于抛物线的共轭点是其关于顶点的对称点P(0，-a)，则根据调和共轭的性质知：P(0，-a)满足∠OPM=∠OPN.类似的，2015年福建文科第19题、2015年四川理科第20题都是利用本题中调和共轭点的这一性质进行命制的.例4 (2010年江苏文、理科18题)在平面直角坐标系xOy中，如图7，已知椭圆的左、右顶点为A，B，右焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA，TB与椭圆分别交于点M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中m>0，y1>0，y2<0.(I) 设动点P满足PF2-PB2=4，求点P的轨迹；(II) 设求点T的坐标；(III) 设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关).图7 例4椭圆坐标图Fig.7 Coordinate chart of ellipse of example 4解析对于(III)，当t=9时，T的坐标为(9，m)，连接MN，设直线AB，MN交点为K，根据极点、极线定义知，点T对应的极线经过K，又点T对应的极线方程为即此直线恒过x轴上的定点K(1，0)，从而直线MN也恒过定点K(1，0).例5 (2011年四川理科21题)如图8，椭圆两顶点A(-1，0)，B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.(I) 当时，求直线l的方程；(II) 当P异于A，B两点时，求证：为定值.图8 例5椭圆坐标图Fig.8 Coordinate chart of ellipse of example 5解析设点P的反点为M，则由反演性质知：OB2=OP·OM，即OP·OM=1，于是点M坐标为而Q恰在P对应的极线上，所以类似地，2008年安徽理科第22题、2011年山东文科第22题、2011年四川文科第21题、2012年北京理科第19题也是利用极点、极线的寻找或者性质为背景命制，另外，还可以看到极点、极线的理论在面对解析几何中定值、定点问题的处理时，往往会带来意想不到的解题思路或者突破口.例6 (1995年全国卷理科26题)如图9，已知椭圆直线是l上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=，当点P在直线l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.图9 例6椭圆C坐标图Fig.9 Coordinate chart of ellipse C of example 6解析由题，点P，Q互为反点，点Q是点P的极线与射线OP的交点.设P(12t，8-8t)，则点P的极线方程为即tx+(1-t)y=2，与射线联立消去t得2x2+3y2=4x+6y.此题其实是对反演变换的一种推广，广义反演变换把通过反演中心的直线仍然变为直线本身，把不通过反演中心的直线变成通过反演中心，对称轴与基椭圆的对称轴平行且与基椭圆相似的椭圆.类似地， 2015年北京理科第19题也是以反演变换和反演点性质为背景命制.例7 过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点纵坐标为y1，y2，求证：y1y2=-p2.证明由点对应的极线方程分别是由F，A，B3点共线，则对应的3条极线共点，将代入后面两式得两式相除得变式 (2006年全国2卷理科21题)已知抛物线x2=4y的焦点为F，A，B是抛物线的两动点，且过A，B两点分别作抛物线的切线，并设其交点为P.(I) 证明为定值；(II) 设△ABP的面积为S，写出S=f(λ)的表达式，并求S的最小值.相比例1—例4中以极点、极线为背景命制试题，例5及变式是对极点、极线中配极原则的应用. 如果用类似的处理方法解决2005年江西理科第22题，会使运算过程大幅度简化，也会给认识问题本质提供方向.当然以上解析直接作为解题的解答过程显然是不合适的，但上述分析过程可以帮助教师和高水平的学生理解试题的背景或者探求解题的方向. 我们一直相信：一个有科学精神的人，在研究一个问题的时候，第一件事就是遥望一下这个问题的结果！问题研究的过程，从来都是“大胆猜想，小心论证”的过程.4 结束语极点、极线理论在高等几何中对二次曲线描述是极为重要的一个基本特征. 教师可以通过对二次曲线在射影几何的观点下多加研究，引导学生用射影几何的方法处理中学解析几何问题. 这样既能帮助学生利用旧知识去理解新知识，反过来又能用新知识解决旧问题，使新旧知识结合起来，这无疑对于指导学生从更高层次理解中学数学内容，从而更深层次地把握几何知识的内在联系和本质有积极的意义.参考文献(References)：【相关文献】[1] 周兴和，杨明升. 高等几何(第三版)[M]. 北京：科学出版社，2015ZHOU X H，YANG M S. Advanced Geometry (Third Edition)[M]. Beijing: Science Press，2015[2] 沈文选，杨清桃. 高中数学竞赛解题策略几何分册[M]. 杭州：浙江大学出版社，2012SHEN W X， YANG Q T. Geometric Section of Problem Solving Strategy in Senior High School Mathematics Competition[M]. Hangzhou: Zhejiang University Press， 2012[3] 李三平. 高观点下的中学数学[M].西安：陕西师范大学出版社，2013LI S P. High School Mathematics under High Viewpoint[M]. Xi’an:Shaanxi Normal University Press， 2013[4] 苏步青.高等几何讲义[M].上海：上海科学技术出版社，1964SU B Q. Lectures on Advanced Geometry[M]. Shanghai: Shanghai Science and Technology Press， 1964[5] 单墫. 解析几何的解题技巧[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2009SHAN Z. Solving Skills of Analytic Geometry[M]. Hefei: University of Science & Technology China Press， 2009[6] 樊真美. 95年高考试题轨迹题的引申——广义反演变换[J]. 南京高师学报，1996(12):1-6 FAN Z M. The Extension of 95 Year College Entrance Examination Questions Generalized Inverse Transform [J]. Journal of Nanjing Normal University， 1996 (12) :1-6[7] 李凤华. 圆锥曲线的极点与极线及其应用[J]. 数学通讯，2012(4):41-45LI F H. 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极点和极线在高中数学中的应用
极点和极线是高中数学中常见的概念，它们在几何学中有着重要的应用。
极点是指在曲线上的一点，它的特点是曲线在该点的切线方向是恒定的。
极点可以用来描述曲线的形状，例如椭圆的极点可以用来描述椭圆的形状。
此外，极点也可以用来求解曲线上的极值问题，例如求解函数的极大值和极小值。
极线是指曲线上的一条直线，它的特点是曲线在该线上的切线方向是恒定的。
极线可以用来描述曲线的形状，例如椭圆的极线可以用来描述椭圆的形状。
此外，极线也可以用来求解曲线上的极值问题，例如求解函数的极大值和极小值。
总之，极点和极线在高中数学中有着重要的应用，它们可以用来描述曲线的形状，也可以用来求解曲线上的极值问题。
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解析几何中极点与极线知识的现状与应用研究王文彬极点与极线是圆锥曲线内在的几何特征，在解析几何中必然有所反映，有所体现.现将具体研究结果报告如下：§1.极点与极线的定义1.1 几何定义如图，P 是不在圆锥曲线上的点，过P 点引 两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,E F G H ，连接,EH FG 交于N ，连接,EG FH 交于M ，则直线MN 为点P 对应的极线.若P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线.由图1可知，同理PM 为点N 对应的极线，PN 为点M 所对应的极线.MNP 称为自极三点形.若连接MN 交圆锥曲线于 点,A B ，则,PA PB 恰为圆锥曲线的两条切线.事实上，图1也给出了两切线交点P 对应的极线的一种作法. 1.2 代数定义已知圆锥曲线22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=，则称点00(,)P x y 和直线0000:()()0l Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=是圆锥曲线Γ的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x 替换2x ，以02x x +替换x (另一变量y 也是如此)即可得到点00(,)P x y 极线方程.特别地：(1)对于椭圆22221x y a b +=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b+=；(2)对于双曲线22221x y a b -=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b -=；(3)对于抛物线22y px =，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00()y y p x x =+.§2.极点与极线的基本结论定理1 (1)当P 在圆锥曲线Γ上时，则极线l 是曲线Γ在P 点处的切线；(2)当P 在Γ外时，则极线l 是曲线Γ从点P 所引两条切线的切点所确定的直线(即切点弦所在直线)；(3) 当P 在Γ内时，则极线l 是曲线Γ过点P 的割线两端点处的切线交点的轨迹.证明：假设同以上代数定义，对22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=的方程，两边求导得22220Ax Cyy D Ey ''+++=，解得Ax Dy Cy E+'=-+，于是曲线Γ在P 点处的切线斜率为00Ax D k Cy E +=-+，故切线l 的方程为0000()Ax Dy y x x Cy E+-=--+，化简得220000000Ax x Cy y Ax Cy Dx Ey Dx Ey +--++--=，又点P 在曲线Γ上，故有220000220Ax Cy Dx Ey F ++++=，从中解出2200Ax Cy +，然后代和可得曲线Γ在P 点图1处的切线为0000:()()0l Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=.(2)设过点P 所作的两条切线的切点分别为1122(,),(,)M x y N x y ，则由(1)知，在点,M N 处的切线方程分别为1111()()0Axx Cyy D x x E y y F ++++++=和2222()()0Axx Cyy D x x E y y F ++++++=，又点P 在切线上，所以有01011010()()0Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=和 020220()Ax x Cy y D x x ++++20()0E y y F ++=，观察这两个式子，可发现点 1122(,),(,)M x y N x y 都在直线0000()()0Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=上，又两点确定一条直线，故切点弦MN 所在的直线方程为0000()()0Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=.(3)设曲线Γ过00(,)P x y 的弦的两端点分别为1122(,),(,)S x y T x y ，则由(1)知，曲线在这两点处的切线方程分别为1111()()0Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=和2222()()0Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=， 设两切线的交点为(,)Q m n ，则有1111()()0Ax m Cy n D x m E y n F ++++++=， 2222()()0Ax m Cy n D x m E y n F ++++++=，观察两式可发现1122(,),(,)S x y T x y 在直线()()0Axm Cyn D x m E y n F ++++++=上，又两点确定一条直线，所以直线ST 的方程为()()0Axm Cyn D x m E y n F ++++++=，又直线ST 过点00(,)P x y ，所以0000()()0Ax m Cy n D x m E y n F ++++++=，因而点(,)Q m n 在直线0000()()0Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=上.所以两切线的交点的轨迹方程是0000()()0Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=.定理2 若圆锥曲线中有一些极线共点于点P ，则这些极线相应的极点共线于点P 相应的极线，反之亦然.即极点与极线具有对偶性.如图4(1)(2)所示.图2Q (m,n )图3图4(1) 图4(2)§3.极点与极线在教材中的体现极点与极线反映的是圆锥曲线的基本几何性质，所以在解析几何教材中必然有所体现.3.1 圆锥曲线的焦点与准线是一对特殊的极点与极线如果圆锥曲线是椭圆22221x y a b+=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线00221x x y y a b+=变为2a x c =，恰是椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线22221x y a b -=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线00221x x y y a b-=变为2a x c =，恰是双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线22y px =，当00(,)P x y 为其焦点(,0)2p F 时，极线00()y y p x x =+变为2px =-，恰是抛物线的准线.3.2 许多习题都有极点与极线的背景，均可借助极点与极线方法求解【例1】过抛物线22y px =的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为12,y y ，求证：212y y p =-.证明：由于(,0)2pF ,211(,)2y A y p ，222(,)2y B y p ，故三点对应的极线方程分别是2px =-，211()2y y y p x p =+和222()2y y y p x p =+， 由于,,A F B 三点共线，根据定理2可知，对应的三条极线共点，将2px =-代入后面两式得2211122p y y y =-，2222122p y y y =-，两式相除得22112222y y p y y p-=⇒-212y y p =-. 作为课本一习题，2001年全国高考试卷19题以此为背景命制.利用本例结论可迅速证明这一高考题. 设抛物线22y px =的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于两点,A B ，点C 在抛物线的准线上，且BC 平行于x 轴，证明直线AC 必过原点.简证：如图5，设1122(,),(,)A x y B x y ，则2(,)2p C y -，从而1112OA y p k x y ==，22OC yk p =-22y p=-，故22121122()20OA OC y y y p p k k y p py +-=+==，所以OA OC k k =，即直线AC 过原点.3.3 教材中涉及到直线与圆锥曲线位置关系的判定问题，均可化为极点与圆锥曲线的位置关系问题来解决【例2】(1)已知抛物线的方程为24y x =，直线l 过定点(2,1)P -，斜率为k ，问k 为何值时，直线l 与抛物线只有一个公共点，有两个公共点，没有公共点？(2)已知双曲线2212y x -=，过点(1,1)P 能否作直线l ，与双曲线交于,A B 两点，且P 是线段AB 的中点？图5解：(1)直线l 的方程为1(2)y k x -=+，即21y kx k =++.设直线l 对应的极点为00(,)P x y ，则相应的极线应为002()y y x x x =+，即00022x y x y y =+，故0000222ky ky y x =⎧⎨+=⎩，当0k ≠时，00122x ky k ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，直线l 与抛物线有两个公共点⇔00(,)P x y 在抛物线外20024144(2)y x k k ⇔>⇔>+，解得112k -<<且0k ≠；同理可求得当1k =-或12k =或0k =时直线与抛物线只有一个公共点；当1k <-或12k >时直线与抛物线没有公共点.(2)设00(,)A x y ，则由P 是线段AB 的中点得00(2,2)B x y --，而,A B 在双曲线上，故2200220012(2)(2)12y x y x ⎧-=⎪⎪⎨-⎪--=⎪⎩，两式相减得00422x y -=，即002212y x -=，而2212y x -=是点(2,2)对应的极线，但点(2,2)在双曲线内，故极线与双曲线相离，这和已知“直线与双曲线相交”矛盾，故这样的直线不存在.§4.极点与极线在各种考试中的深层体现4.1 高考试题中的极点与极线极点与极线作为具体的知识点尽管不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，当然也不属于高考考查的范围，但是极点与极线作为圆锥曲线的一种基本特征，在高考试题中必然会有所反映.事实上，极点与极线的知识常常是解析几何高考试题的命题背景.【例3】(2006年全国试卷II21)已知抛物线24x y = 的焦点为F ，,A B 是抛物线上的两动点，且(0)AF FB λλ=>，过,A B 两点分别作抛物线的切线， 并设其交点为P .(1)证明FP AB ⋅为定值；(2)设ABP ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式， 并求S 的最小值.解：(1)设点01122(,1),(,),(,)P x A x y B x y -，,,F A B 三点对应的极线方程分别为1y =-，112()x x y y =+，222()x x y y =+，由于,,A B F 三点共线，故相应的三极线共点于0(,1)P x -，代入极线方程得1012022(1)2(1)x x y x x y =-⎧⎨=-⎩，两式相减得12012()2()x x x y y -=-.又02121(,2),(,)FP x AB x x y y =-=--，故02121()2()0FP AB x x x y y ⋅=---=. (2)设AB 的方程为1y kx =+，与抛物线的极线方程002()x x y y =+对比可知直线AB对应的极点为(2,1)P k -，把1y kx =+代入24x y =并由弦长公式得24(1)AB k =+，所以图6212(12ABP S AB FP k ∆==+显然，当0k =时，S 取最小值4.【例4】(2005江西卷22)设抛物线2:C y x =的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y --=上运动，过P 作抛物线的两条切线,PA PB ，且与抛物线分别相切于,A B两点.(1)求APB ∆的重心G 的轨迹方程； (2)证明PFA PFB ∠=∠.解：(1)设点001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y ， 与002y yx x +=对比知直线:20l x y --=对应的极点为1(,2)2，P 为直线l 上的动点，则点P 对应 的极线AB 必恒过点1(,2)2.设1:2()2AB y k x -=-，可化为2222k y k x +-=，故直线AB 对应的极点为(,2)22k k -，将直线AB 的方程代入抛物线方程得2202kx kx -+-=，由此得2121212,(1)44x x k y y k x x k k +=+=+-+=-+，APB ∆的重心G 的轨迹方程为222324222233k k k x k k k k k y ⎧+⎪==⎪⎪⎨⎪-++--+⎪==⎪⎩，消去k 即得21(42)3y x x =-+. (2)由(1)可设点(,2)22k k P -，221122(,),(,)A x x B x x ，且1212,22k x x k x x +==-，所以2111(,)4FA x x =-，12121(,)24x x FP x x +=-，2221(,)4FB x x =-.221211************111111()()()()244444cos 11()()4x x x x x x x x x x x FP FA AFP FP FA FP FP x FP x x ++--+++⋅∠====⋅++-.同理1214cos x x FP FB AFP FP FB FP+⋅∠==⋅. 所以有PFA PFB ∠=∠.评析：上述解法不仅简洁易懂，而且适用范围很广，很多解析几何试题，尤其是共点共线问题，往往都能起到事半功倍的效果.这里不再一一列举.4.2 竞赛试题中的极点与极线作为更高要求的数学竞赛，有关极点与极线的试题更是频频出现，而且越来越受到重视.图7【例5】(2002澳大利亚国家数学竞赛)已知ABC ∆为锐角三角形，以AB 为直径的⊙K 分别交,AC BC 于,P Q ，分别过A 和Q 作⊙K 的两条切线交于点R ，分别过B 和P 作⊙K 的两条切线交于点S ，证明点C 在线段RS 上.下面将圆加强为椭圆，并给出证明.证明：以AB 为x 轴，线段AB 为y 轴建立直角坐标系，设椭圆方程为22221x y a b+=，并设点12(,),(,)S a y R a y -，则R 点对应的极线22:1y yx AQ a b -+=，代入椭圆方程解得点22222222222()2(,)a y b b y Q y b y b-++，直线2:()y BQ y x a a =--，同理我们可以得到直线1:()yAP y x a a=+，将直线BQ 的方程与AP 的方程联立解得211212122(,)y y y y C a y y y y -++，可验证其坐标满足直线121:()2y y RS y y x a a--=-的方程，所以三点共线.评析：原题用纯平面几何方法证明，难度较大【1】，而用极点与极线方法证明不仅显得简洁，而且此结论显然还可推广到其他圆锥曲线上.【例6】(《中等数学》2006年第8期P 42)过椭圆221259x y +=内一点(3,2)M 作直线AB 与椭圆交于点,A B ，作直线CD 与椭圆交于点,C D ，过,A B 分别作椭圆的切线交于点P ，过,C D 分别作椭圆的切线交于点Q ，求,P Q 连线所在的直线方程评析：该题实质上就是求椭圆221259x y +=内一点(3,2)M 对应的极线方程，由定理1立即可得答案为321259x y +=. 【例7】(《中学数学》2006年第7期新题征展77)设椭圆方程为2212x y +=，点11(,)22M ，过点M 的动直线与椭圆相交于点,A B ，点,A B 处的切线相交于点N ，求证点N 的轨迹是一条定直线.评析：显然该定直线为点11(,)22M 对应的极线：142x y+=.从例6、例7可以看到，以极点与极线为背景的试题深受命题者的青睐.x4.3 一些结论中的极点与极线圆锥曲线中有关极点与极线的性质，一直是人们探讨的热点，文【2】与文【3】所述的圆锥曲线性质都源于圆锥曲线中极点与相应的极线的性质.譬如【定理】【2】线段PQ 是过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴上定点(,0)(0,)M m m m a ≠≠±的弦，,S T 是长轴上的两个顶点，直线,SP SQ 与直线2:a l x m=交于(,),(,)A A B B A x y B x y 两点，并且直线PQ 的斜率k 存在且不为零，则有2222222,A B A B b m b a b y y y y mk m -+=-=.这个定理在双曲线与抛物线中也成立.利用该定理还可证明文【5】至【13】中所述的结论.评析：由定理1知，该定理中定点(,0)M m ，直线2:a l x m=即为一对极点与极线，从另一方面来说，该定理是【例1】的推广形式，作者把它称为一个基础性定理，是因为该定理可以证明很多圆锥曲线的性质.事实上，文【2】所述的圆锥曲线性质也都可以用极点与极线的性质证明，文【3】则完全是定理1的一种特例.定理1和定理2反映极点与相应的极线的基本性质，应用非常广泛. 一点一线，阐述着数学的朴素之美，也是极致之美.参考文献【1】 史钞.几道数学竞赛题的简解.中等数学，2005.4 【2】 邱继勇.椭圆的一个基础性定理.数学通报，2005.6【3】 高绍央.圆锥曲线准线的一个有趣性质.中学教研.2005.3 【4】 李凤华.圆锥曲线的极点与极线及其应用.数学通讯，2012.4 【5】 金美琴.二次曲线的定点弦.数学通报，2003.7【6】 熊光汉，谢东根.一道几何题的引申.数学通报，2003.5【7】 陈天雄.一道高考解析几何试题的引申及推广.数学通报，2002.6【8】 李原池.一道高考题引出的圆锥曲线的两个性质及推论.数学通报，2002.6 【9】 钮华柱.圆锥曲线的几个性质.数学通报，2000.8【10】 李康海.圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质.数学通报，2001.5 【11】 厉倩.圆锥曲线焦半径的一个性质.数学通报，2002.12 【12】 丁振华. 圆锥曲线焦半径的一个性质.数学通报，2003.10【13】 邱昌银.圆锥曲线的准线切点焦点弦的相关性质.数学通报，2003.111、数论是人类知识最古老的一个分支，然而他的一些最深奥的秘密与其最平凡的真理是密切相连的。