【名校】重庆市西南师大附中09-10学年高一下学期期中考试(数学)

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重庆市西南大学附属中学校2023-2024学年高一下学期定时检测(二)(期中)数学试题

重庆市西南大学附属中学校2023-2024学年高一下学期定时检测（二）（期中）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
A．16π
3
．ABC
a b c
V的三边,,法不正确的是（）
π
三、填空题
(1)求函数()f x 的单调递增区间，并写出函数()g x 的解析式；(2)关于x 的方程()cos 0g x x a +-=在[)0,2π内有两个不同的解12,q q ；
①求实数a 的取值范围；
②用a 的代数式表示()12
cos q q -的值．
19．炎炎夏日，上学路上若有一支冰淇淋该多么美妙啊！小明同学酷爱甜筒冰淇淋（图
1），他想动手做一个甜筒模型（图2），若根据设计稿已知
ABC V 为直角三角形，四边形
BDEC 为直角梯形，90ABC Ð=°，//BC DE ，曲线EF 是以D 为圆心的四分之一圆弧，
6AB =，2BC =，3BD =，5DE =，将平面图形AFEC 旋转一周得到小明设计的甜筒．
(1)求该甜筒的体积1
V ；
ö
÷-÷3
ø。

2023-2024学年重庆市高一下册期中联考数学试题(含解析)

2023-2024学年重庆市高一下册期中联考数学试题一、单选题1．已知i 是复数单位，求2023i =（）A ．1B ．i-C ．1-D ．i【正确答案】B【分析】由复数乘方运算化简即可.【详解】由20235054450533(i i i )i i ⨯+==⋅=-.故选：B 2．已知4sin 5α=，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 2α的值为（）A ．725B ．2425C ．2425-D ．725-【正确答案】D【分析】利用二倍角余弦公式可求得cos 2α的值.【详解】由题意知，2167cos 212sin 122525αα=-=-⨯=-，故选：D.3．已知平面向量(1,)a x = ，(2,2)b x =- ，且a //b →，则x =（）A ．12B ．23C ．1-D ．23-【正确答案】B【分析】根据向量平行的坐标表示列方程求参数即可.【详解】由题设22x x =-，则23x =.故选：B4．我国南宋著名数学家秦九韶（约1202—1261）提出“三斜求积”求三角形面积的公式．以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上．余四约之，为实．一为从隅开方得积．如果把以上这段文字写成公式，就是：S =在ABC 中，已知角A 、B 、C 所对边长分别为,,a b c ，其中,a c 为方程2320x x -+=的两根，π3B =，则ABC 的面积为（）A ．1B ．2CD ．12【正确答案】C【分析】由根与系数关系及三角形面积公式求ABC 的面积即可.【详解】由题意2ac =，则1sin 2ABC S ac B == .故选：C5．在ABC 中，已知角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，且满足5,7c b ==，D 为BC 的中点，5AD =，则=a （）A．B ．3C．D ．4【正确答案】C【分析】在ADB 和ADC △中，利用余弦定理求出cos ADB ∠和cos ADC ∠，再利用cos cos 0ADB ADC ∠+∠=建立关系式即可求出结果.【详解】因为5,7c b ==，D 为BC 的中点，5AD =，如图，在ADB 中，根据余弦定理可得，2222225254cos 220252a DB DA BA a ADB a DB DA a +-+-∠===⨯⨯，在ADC △中，根据余弦定理可得，222222549964cos 220252a DC DA CA a ADC a DC DA a +-+--∠===⨯⨯，又因为πADB ADC ∠+∠=，所以cos cos 0ADB ADC ∠+∠=故有222962*********a a a a a a--+==，得到22960a -=，即248a =，所以a =，故选：C.6．已知平面向量a ，b满足a = 2b = ，3a b ⋅=- ，则2a b += （）A ．2B ．4CD．【正确答案】A【分析】由222244a b a a b b +=+⋅+ 求解.【详解】解：因为a ，b满足a = 2b = ，3a b ⋅=- ，所以222244a b a a b b +=+⋅+ ，()434344=⨯+⨯-+=，所以22a b +=，故选：A7．已知函数()1sin2,(0)2f x x x ωωω=>，且()f x 的最小正周期为π，给出下列结论：①函数()f x 在区间π7π,212⎡⎤⎢⎣⎦单调递减；②函数()f x 关于直线π12x =对称；③把函数sin2y x =的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数()y f x =的图象.其中所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【正确答案】A【分析】先将函数()f x 化简为最简形式，然后利用周期求出ω的值，再利用正弦函数的性质进行判断即可求解.【详解】因为函数()1πsin2cos2sin(2)223f x x x x ωωω=+=+，且()f x 的最小正周期为π，所以1ω=，则()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为π7π212x <<，所以4ππ3π2332x ≤+≤，则函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在单调递减，故①正确；令ππ2π,32x k k +=+∈Z ，解得：ππ,212k x k =+∈Z ，所以直线π12x =是函数()f x 的一条对称轴，故②正确；将函数sin2y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度可得到2ππsin(2sin(233y x x =+≠+，故③错误，所以正确的结论序号为：①②，故选.A8．已知点A 在线段BC 上（不含端点），O 是直线BC 外一点，且20OA aOB bOC --=，则221a ba b b+++的最小值是（）A．2B．2-C2D．【正确答案】B【分析】根据向量共线定理推论得21,0,0a b a b +=>>，再利用基本不等式求最值.【详解】因为202OA aOB bOC OA aOB bOC--=∴=+uu r uu u r uuu r r uu r uu u r uuu r因为点A 在线段BC 上（不含端点），所以21,0,0a b a b +=>>222()(2)(2)()212222a b a b a b a b a b a b a b b a b a b a b a b+-++-+∴+=+=+++++++2()22222a b a b a b a b ++=+-≥-=++当且仅当2()22a b a ba b a b ++=++时取等号，故选：B本题考查向量共线定理推论、利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属较难题.二、多选题9．下列叙述中正确的是（）A ．若//,//a b b c，则//a cr r B ．若a b =，则32a b> C ．已知非零向量a 与b 且a //b ，则a 与b的方向相同或相反D ．对任一非零向量,aa a是一个单位向量【正确答案】CD【分析】A 注意0b =即可判断；B 根据向量的性质判断；C 由共线向量的定义判断；D 由单位向量的定义判断.【详解】A ：若0b = 时，//,//a b b c不一定有//a c r r ，错误；B ：向量不能比较大小，错误；C ：非零向量a 与b 且a //b ，则a 与b的方向相同或相反，正确；D：非零向量a ，则aa是一个单位向量，正确.故选：CD10．已知复数z=）A．复数z在复平面内对应的点在第三象限B．复数z的实部为12C．1zz=D．复数2z的虚部为2【正确答案】BC【分析】求解复数z，根据复数z的性质，依次判断各项正误.【详解】由题意得12z==，故复数z在复平面内对应的点为1,2⎛⎫⎪⎪⎝⎭，在第四象限，故A选项错误；易知复数z的实部为12，故B选项正确；因为21z z z⋅==，所以1zz=，故C选项正确；因为2211i22z⎛⎫==-⎪⎪⎝⎭，所以复数2z的虚部为，故D选项错误．故选：BC．11．在ABC中，角,,A B C所对的边分别为,,a b c，已知()()()::4:5:6b c c a a b+++=，则下列结论正确的是（）A．sin:sin:sin7:5:3A B C=B．0CA CB⋅<u u u r u u u rC．若6c=，则ABC的面积是15D．若8+=b c，则ABC【正确答案】AD【分析】设4b c t+=，5c a t+=，6a b t+=，0t>，求出72a t=，52b t=，32c t=，根据正弦定理可判断A正确；根据平面向量数量积和余弦定理可判断B不正确；根据余弦定理和三角形面积公式可判断C不正确；根据余弦定理和正弦定理可判断D正确.【详解】设4b c t +=，5c a t +=，6a b t +=，0t >，则72a t =，52b t =，32c t =，对于A ，753sin :sin :sin ::::222A B C a b c t t t ==7:5:3=，故A 正确；对于B ，CA CB ⋅ cos b a C =⋅⋅2222a b c ab ab+-=⋅222214925965()24448t t t t =+-=0>，故B 不正确；对于C ，若6c =，则4t =，14a =，10b =，所以22219610036cos 221410a b c C ab +-+-==⨯⨯1314=，所以sin C =，所以ABC的面积是11sin 141022ab C =⨯⨯=C 不正确；对于D ，若8+=b c ，则53822t t +=，则2t =，则7a =，5b =，3c =，所以2224925913cos 227514a b c C ab +-+-===⨯⨯，sin 14C ==，所以ABC外接圆半径为2sin 14cC=故D 正确.故选：AD12．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()()sin sin sin sin a b A B c C B +-=+，若角A 的内角平分线AD 的长为3，则4b c +的可能取值有（）A ．21B ．24C ．27D ．36【正确答案】CD【分析】由正弦定理和余弦定理得到2π3A =，结合三角形面积列出方程，得到1113b c +=，再由基本不等式求出最值，验证后得到答案.【详解】在ABC 中，()()()sin sin sin sin a b A B c C B +-=+，由正弦定理得()()()a b a b c c b +-=+，即222a b c bc =++，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==-，而0πA <<，则2π3A =，角A 的内角平分线AD 的长为3，由BAD CAD BAC S S S +=△△△得,111sin sin sin 222c AD BAD b AD CAD bc BAD ⋅∠+⋅∠=∠，即23sin3sin sin 33ππ3πc b bc +=，因此1113b c +=，则11443()(4)3(5)3(5)27c b b c b c b c b c +=++=++≥+=，当且仅当4c bb c=，即29c b ==时取等号，所以当29c b ==时，4b c +取得最小值27．若436b c +=，又1113b c +=，联立得到24451080b b -+=，因为()245441080∆=--⨯⨯>，结合韦达定理，得到两根之和，两根之积均大于0，故方程有正根，故满足要求.故选：CD三、填空题13．在ABC 中，E 是AB 的中点，点F 在BC 上，满足2BF FC =，设,AB a AC b == ，则EF =______________（用,a b 表示）．【正确答案】1263a b-+ 【分析】根据向量对应线段的位置及数量关系用,AB AC 表示出EF，即可得结果.【详解】如下图示，12121212()23236363EF EB BF AB BC AB BA AC AB AC a b =+=+=++=-+=-+ .故1263a b-+ 14．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC 的面积为__________.【正确答案】【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =解得c c ==-所以2a c ==11sin 22ABC S ac B ∆==⨯=本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．15．已知,αβ是锐角，且11sin )14ααβ=+=-，则sin β=___________．【分析】根据角的范围及正余弦值求得sin()14αβ+=、1cos 7α=，再由sin sin[()]βαβα=+-及差角正弦公式求值即可.【详解】由题设0παβ<+<，则sin()14αβ+=，而1cos 7α=，所以111sin sin[()]sin()cos cos()sin ()1471472βαβααβααβα=+-=+-+=--⨯=.16．（理）在直角坐标系x 、y 中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC |＝2，求OC的坐标为_____________________．【正确答案】(【分析】根据向量加法平行四边形法则以及菱形性质得OA OB OC t OA OB⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭,再根据|OC |＝2，求t,即得结果.【详解】由题意可设0OA OB OC t t OA OB ⎛⎫⎪=+> ⎪⎝⎭，，所以39(,)55t tOC =- ，因为|OC |＝2，所以253t =∴=,即OC 的坐标为⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.与a 共线的向量为a λ ，当0λ>时，为同向；当0λ<时，为反向；与a 共线的单位向量为||aa λ；与(,)a x y = 垂直的向量为(,)y x λ-.与AOB ∠平分线共线的向量为()||||OA OBOA OB λ+.四、解答题17．已知复数z =m （m +2）+（m 2+m -2）i ．(1)若z 是纯虚数，求实数m 的值；(2)若z 在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1)m =0(2)（0，1）【分析】（1）根据纯虚数的概念，让实部等于零，虚部不等于零，列方程求解即可；（2）根据复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，得到实部大于零，虚部小于零，列不等式求解即可.【详解】（1）若复数是纯虚数，则()22020m m m m ⎧+=⎨+-≠⎩，解得0m =或2m =-且1m ≠，2m ≠-，所以0m =.（2）复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，则()22020m m m m ⎧+>⎨+-<⎩，解得01m <<，故m 的取值范围为()0,1.18．已知函数()()2cos sin cos f x x x x =（1）求()f x 的最小正周期和()f x 的单调递减区间；（2）当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最小值及取得最小值时x 的值.【正确答案】（1）π；()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）当1112π=x 时，函数()y f x =取得最小值，最小值为2-．【分析】（1）利用二倍角降幂公式、辅助角公式可得出()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用周期公式可计算出函数()y f x =的最小正周期，解方程()23x k k Z ππ-=∈可得出函数()y f x =的对称中心坐标；解不等式()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，可得出函数()y f x =的单调递减区间；（2）由,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，计算出23x π-的取值范围，利用正弦函数的性质可得出该函数的最小值以及对应的x 的值.【详解】（1）()21cos 22sin cos sin 22xf x x x x x +=-=-sin 222sin 23x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以，函数()y f x =的最小正周期为22T ππ==.由()23x k k Z ππ-=∈，可得()26k x k Z ππ=+∈，函数()y f x =的对称中心为(),026k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭；解不等式()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解得()5111212k x k k Z ππππ+≤≤+∈.因此，函数()y f x =的单调递减区间为()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，252333x πππ≤-≤，当3232x ππ-=时，即当1112π=x 时，函数()y f x =取得最小值，最小值为2-．本题考查正弦型函数周期、对称中心、单调区间以及最值的求解，解题的关键就是要将三角函数解析式化简，借助正弦函数的基本性质求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19．已知向量()3,2a = ,(),1b x =-.(1)当()2a b b -⊥时,求2a b + ；(2)当()8,1c =-- ，()//a b c + ，求向量a 与b的夹角α.【正确答案】(1)5或13(2)4π【详解】（1）向量()3,2a = ,(),1b x =- ，则()26,5a b x -=- ，()232,0a b x +=+.由()2a b b -⊥,可得()20a b b -⋅= 即()()6,5,10x x -⋅-=，即2650x x -+=，解得1x =或5x =,当1x =,则,则()25,0a b +=,所以25a b += ，当5x =，()213,0a b +=，213a b += ，综上2513a b += 或.（2）由(8,1),(,1)c b x =--=- ,(3,2)a =,则(8,2)b c x +=-- 由//()a b c +,可得3(2)2(8)0x ⨯--⨯-=,解得5x =,所以|||a b = ,352(1)13a b ⋅=⨯+⨯-=,cos 2||||a b a b α⋅===⋅ 又[]0,απ∈,所以4πα=.20．如图，在ABC ∆中，3B π∠=，8AB =，点D 在BC 边上，且2CD =，1cos 7ADC ∠=.（1）求sin BAD ∠；（2）求,BD AC 的长.【正确答案】（1（2）7.【详解】试题分析：（I ）在ABD ∆中，利用外角的性质，得()sin sin BAD ADC B ∠=∠-∠即可计算结果；（II ）由正弦定理，计算得3BD =，在ABC ∆中，由余弦定理，即可计算结果．试题解析：（I ）在ADC ∆中，∵1cos 7ADC ∠=，∴sin 7ADC ∠=∴()sin sin 14BAD ADC B ∠=∠-∠=（II ）在ABD ∆中，由正弦定理得：sin 3sin AB BADBD ADB⋅∠==∠在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos 49AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=∴7AC =正弦定理与余弦定理．21．已知向量(cos sin ,sin )a x x x ωωω=-，(cos sin )b x x x ωωω=-- ，设函数()()f x a b x R λ=⋅+∈的图像关于直线πx =对称，其中ω，λ为常数，且1(2ω∈，1)．(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)若()y f x =的图像经过点π(4，0)，求函数()f x 在区间[0，3π]5上的取值范围．【正确答案】(1)6π5(2)[1-2-【分析】(1)通过两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数的解析式，再利用对称轴求出ω，求解函数的周期．(2)通过x 的范围求出相位的范围，利用三角函数的性质求解函数的最值即可．【详解】（1）向量(cos sin ,sin )a x x x ωωω=-，(cos sin b x x ωω=-- ，)x ω，函数()f x a b λ=⋅+，所以22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+⋅+cos 22x x ωωλ=-++π2sin(2)6x ωλ=-+，由直线πx =是()y f x =图像的一条对称轴，可得πsin(2π)16ω-=±，所以ππ2π(Z)62k k ωπ-=+∈，即1(Z)23k k ω=+∈．又1(2ω∈，1)，所以1k =时，56ω=．所以()f x 的最小正周期是6π5．（2）由(1)可知5π()2sin()36f x x λ=-+，若()y f x =的图像经过点π(4，0)，则5ππ2sin(0346λ⨯-+=，解得λ=所以5π()2sin()36f x x =-由3π05x ，得π5π5π6366x --，所以15πsin(1236x --，得5π12sin(236x --故函数()f x 在区间[0，3π]5上的取值范围为[1-2-．22．一个ABC ，它的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c.(1)如果这个三角形为锐角三角形，且满足22a b bc -=，求ab的取值范围；(2)若ABC 内部有一个圆心为P ，半径为1的圆，它沿着ABC 的边内侧滚动一周，且始终保持与三角形的至少一条边相切.现用21米的材料刚好围成这个三角形，请你设计一种ABC 的围成方案，使得P 经过的路程最大并求出该最大值.（说明理由）【正确答案】(1)(2)设计方案答案见解析，路程最大值为21-，理由见解析【分析】由22a b bc -=利用余弦定理消去参数2a ，化简得到2cos a B b c =+，再利用正弦定理把边化成角并化简得到sin sin()B A B =-，最后根据角的范围算出ab的取值范围；（2）数形结合得出P 经过的路程1111112()212()tantantantantantan222222L a b c A B C A B C =++-+=-++并进行三角恒等变化得到：111111tantantantantan tan 222222A B C A B C ++=⋅⋅，最后利用基本不等式得出P 经过的路程最大【详解】（1）由22a b bc -=（消2a 也可）222(2cos )a a c ac B bc⇒-+-=即22cos ()ac B bc c c b c =+=+所以2cos a B b c=+再由正弦定理，有：2sin cos sin sin sin sin()A B B C B A B =+=++所以sin 2sin cos sin()sin()B A B A B A B =-+=-因为三角形为锐角三角形，所以B A B =-，即2A B =得：sin sin 22sin cos 2cos sin sin sin a A B B BB b B B B====由,,0,2A B C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2A B =则20,2B 骣p ÷çÎ÷ç÷ç桫得：0,4B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭又3C B p -=，得：,63B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此可得：,64B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以(,64B ππ∈cos 2B ∴∈故2cos aB b=∈（2）1tan2AD AE A ==，1tan2BG BF B ==，1tan2CH CI C ==，P 的路程L 为：1111112()212(tantantantantantan222222L a b c A B C A B C =++-++=-++又sin cos sin 1tan tan 222122222tan 2cos tan tan sin tan cos 2222222222B C B C A B CA ABC B C B C B C ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++ ⎪- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭=====⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以tan tan tan tan tan tan 1222222A B B C C A ++=两边同时除以tan tan tan222A B C⋅⋅可得：111111tantantantantan tan 222222A B C A B C ++=⋅⋅,,0,2222A B C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 1110,0,0tan tan tan 222A B C∴>>111tantan tan 2223AB C ++∴，当且仅当3A B C π===，等号成立.即111tantan tan2223A B C ++≥故可得：111tantantan222A B C ++≥1111112()212()21tantantantantantan222222L a b c A B C A B C =++-++=-++≤故路程最大值为21-，此时围成的三角形为边长为7的等边三角形.。

西南师大附中高一下期中试题

西南师大附中2020┄2021学年度下期期中考试高一化学试题（总分：150分考试时间：120分钟）可能用到的相对原子质量：C 12 N 14 O 16 Na 23 Al 27 S 32 Ca 40 Fe 56 Zn 65注意事项：1．答卷前考生务必将自己的班级、姓名、学号和考试科目用钢笔、铅笔分别填在机读卡和第II卷密封线内。

2．第Ⅰ卷答案涂在机读卡上，第II卷用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。

3．考试结束，将机读卡和第II卷上交（第I卷自己保留好，以备评讲）第Ⅰ卷（选择题共76分）一、选择题（本题包括10小题，每小题4分，共40分。

每小题只有一个．．选项符合题意）1．下列说法中不符合科学的是（）A．可用食醋除去水壶中的水垢B．CO气体有毒，在生有炉火的居室中多放几盆水可吸收COC．用双氧水（H2O2）清洗伤口可以杀菌消毒D．臭氧层的破坏对人类健康有害2．下列说法错误的是（）A．制造水泥和玻璃都用到的原料是石灰石B．为了调节水泥的硬化速度，制造水泥时需要加入石膏。

C．普通玻璃能经受温度剧变且能抵抗碱的腐蚀。

D．玻璃、陶瓷、水泥容器都不能贮存氢氟酸3．下列材料中属于新型无机非金属材料的是（）A．陶瓷B．钢化玻璃C．石英玻璃D．光导纤维4．右图为周期表中短周期的一部分，若a原子的最外层上有5个电子，则下列说法中不正确的是（）A．d单质可跟b的氢化物的水溶液反应B．原子半径a > b > dC．c的氢化物比a的氢化物稳定D．a的最高价氧化物的水化物比b的最高价氧化物的水化物酸性强5．有Na2SO3、Na2SO4、Na2CO3、Na2SiO3四瓶标签已脱落的溶液，只用一种试剂一步即可鉴别，该试剂是（）A．NaHCO3溶液B．NaOH溶液C．HCl溶液D．BaCl2溶液6．某无色溶液能与镁粉作用产生氢气，此溶液中可能大量存在的离子是下列哪一组（）A．H+、Na+、Cl—、SO42—B．K+、S2—、SO32—、CO32—C．A13＋、Fe3＋、I—、SO42—D．Ca2＋、H＋、Cl—、NO3—7．把一定量SO2分别通入下列溶液中，预计不能观察到沉淀产生的溶液是（）A．BaCl2溶液B．Ba（NO3）2溶液C．溶有氨的BaCl2溶液D．溶有H2S的BaCl2溶液8．下列物质中都既有离子键又有共价键的一组是（）A．NaOH、H2O、NH4Cl B．KOH、Na2O2、（NH4）2SC．MgO、CaBr2、NaCl D．Al2O3、HCl、MgCl29．根据下列反应，判断有关物质还原性由强到弱的顺序是（）H2SO3 + I2 + H2O = 2HI + H2SO42FeCl3 + 2HI = 2FeCl2 + 2HCl + I22H2S + H2SO3 = 3S↓+ 3H2OA．H2S>H2SO3 > I—> Fe2＋B．I—> Fe2+ > H2SO3 > H2SC．Fe2＋> I—> H2SO3 > H2S D．H2S > Fe2＋> H2SO3 > I—10．下列操作或处理方法不会导致空气污染的是（）A ．用盐酸处理有毒的Cr 2O 72—B ．用热的浓NaOH 溶液洗掉粘在试管内壁上的单质硫C ．废浓硫酸与氢硫酸同时倒入废液缸里D ．ZnS 和废盐酸同时倒入废液缸里二、选择题（本题包括9小题，每小题4分，共36分。

西南师范大学附属中学数学高一下期中习题(含答案)

一、选择题1．(0分)[ID ：12426]已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（） A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 2．(0分)[ID ：12421]设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 3．(0分)[ID ：12413]已知,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的体积为（）A ．48πB ．24πC ．16πD ．323π4．(0分)[ID ：12412]一正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点，过点P 将木块锯开，使截面平行于棱VB 和AC ，则下列关于截面的说法正确的是（）．A ．满足条件的截面不存在B ．截面是一个梯形C ．截面是一个菱形D ．截面是一个三角形5．(0分)[ID ：12409]如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．202π+B ．203π+C ．242π+D ．243π+ 6．(0分)[ID ：12407]下列命题正确的是（）A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．四边形确定一个平面7．(0分)[ID ：12378]已知平面//α平面β，直线m α，直线n β，点A m ∈,点B n ∈，记点A 、B 之间的距离为a ,点A 到直线n 的距离为b ,直线m 和n 的距离为c ,则A ．b a c ≤≤B ．a c b ≤≤C ． c a b ≤≤D ．c b a ≤≤8．(0分)[ID ：12358]如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是( )A ．30B ．60C ．90D ．1209．(0分)[ID ：12351]已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（）A ．3πB ．23πC ．43πD ．12π10．(0分)[ID ：12340]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．3011．(0分)[ID ：12419]陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗，北方叫做“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成.如图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（）A ．1073πB ．32453π+C ．16323π+D ．32333π+ 12．(0分)[ID ：12402]如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列说法错误．．的是( )A ．MN 与1CC 垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行D ．MN 与11A B 平行 13．(0分)[ID ：12335]已知平面αβ⊥且l αβ=，M 是平面α内一点，m ，n 是异于l 且不重合的两条直线，则下列说法中错误的是（）. A ．若//m α且//m β，则//m lB ．若m α⊥且n β⊥，则m n ⊥C ．若M m ∈且//m l ，则//m βD ．若M m ∈且m l ⊥，则m β⊥ 14．(0分)[ID ：12361]如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=12．则下列结论中正确的个数为①AC ⊥BE ；②EF ∥平面ABCD ；③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值；④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等，A ．4B ．3C ．2D ．115．(0分)[ID ：12362]如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 是异面直线以上四个命题中，正确命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题16．(0分)[ID ：12524]已知一束光线通过点()3,5A -，经直线l ：0x y +=反射，如果反射光线通过点()2,5B ，则反射光线所在直线的方程是______.17．(0分)[ID ：12486]以(3,2)a =-方向向量的直线平分圆2220x y y =++，直线l 的方程为________.18．(0分)[ID ：12485]三棱锥P ABC -中，5PA PB ==2AC BC ==AC BC ⊥，3PC =，则该三棱锥的外接球面积为________.19．(0分)[ID ：12483]已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC △是边长为2正三角形，,E F 分别是,PA AB 的中点，90CEF ︒∠=，则球O 的体积为_________________。

2016-2017年重庆市西南大学附中高一(下)期中数学试卷含解析

2016-2017学年重庆市西南大学附中高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）化简sin690°的值是（）A．0.5B．﹣0.5C．D．﹣2．（4分）已知α为第二象限角，则所在的象限是（）A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限3．（4分）=（）A．B．2C．D．﹣24．（4分）已知，若=，=，则=（）（用，表示）A．﹣+B．﹣C．+D．+5．（4分）已知sin（﹣x）=，则cos（x+）=（）A．B．C．﹣D．﹣6．（4分）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度7．（4分）下列命题正确的是（）A．向量与是两平行向量B．若都是单位向量，则C．若=，则A、B、C、D四点构成平行四边形D．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同8．（4分）已知f（x）=2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的表达式为（）A．B．C．D．9．（4分）在边长为1的正方形ABCD中，M为BC中点，点E在线段AB上运动，则的取值范围是（）A．[，2]B．[0，]C．[，]D．[0，1] 10．（4分）已知sinθ+cosθ=2sinα，sin2θ=2sin2β，则（）A．cosβ=2cosαB．cos2β=2cos2αC．cos2β+2cos2α=0D．cos2β=2cos2α二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）=．12．（4分）已知，，且，则实数k=．13．（4分）已知＜α＜π，0＜β＜，tanα=﹣，cos（β﹣α）=，则sinβ的值为．14．（4分）设是两个非零的平面向量，则下列说法正确的是．①若，则有；②；③若存在实数λ，使得，则；④若，则存在实数λ，使得．15．（4分）如图，在△ABC中，=，P是BN上的一点，若=m+，则实数m的值为．三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）16．（10分）化简求值（1）已知，求sin2α的值；（2）化简．17．（10分）已知两向量，的夹角为120°，||=1，||=3，（Ⅰ）求|5﹣|的值（Ⅱ）求向量5﹣与夹角的余弦值．18．（10分）设函数x．（1）求f（x）的最小正周期及其图象的对称中心；（2）求函数f（x）的单调递增区间．19．（10分）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．附加题（本大题共1小题，第1，2小题各5分，第3题10分，共20分）20．（5分）已知非零向量，满足（+）•=0，且•=，则△ABC的形状是（）A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰（非等边）三角形D．等边三角形21．（5分）sin6°sin42°sin66°sin78°=．22．（10分）已知向量=（cos x，sin x），=（cos x，﹣sin x），且x∈[0，]．求：（Ⅰ）及；（Ⅱ）若f（x）=﹣2λ的最小值是﹣，求λ的值．2016-2017学年重庆市西南大学附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）化简sin690°的值是（）A．0.5B．﹣0.5C．D．﹣【解答】解：sin690°=sin（720°﹣30°）=﹣sin30°=﹣0.5，故选：B．2．（4分）已知α为第二象限角，则所在的象限是（）A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限【解答】解：∵α是第二象限角，∴k•360°+90°＜α＜k•360°+180°，k∈Z，则k•180°+45°＜＜k•180°+90°，k∈Z，令k=2n，n∈Z有n•360°+45°＜＜n•360°+90°，n∈Z；在一象限；k=2n+1，n∈z，有n•360°+225°＜＜n•360°+270°，n∈Z；在三象限；故选：C．3．（4分）=（）A．B．2C．D．﹣2【解答】解：∵若tanα=﹣3，即=﹣3，得sinα=﹣3cosα，∴==2．故选：B．4．（4分）已知，若=，=，则=（）（用，表示）A．﹣+B．﹣C．+D．+【解答】解：∵==，化为==．故选：D．5．（4分）已知sin（﹣x）=，则cos（x+）=（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵﹣x+x+=，∴cos（x+）=sin（﹣x）=．故选：A．6．（4分）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：将函数=sin2（x+）的图象向左平移个单位长度，可得函数y═sin2（x++）=sin（2x+）的图象，故选：C．7．（4分）下列命题正确的是（）A．向量与是两平行向量B．若都是单位向量，则C．若=，则A、B、C、D四点构成平行四边形D．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同【解答】解：A．因为，所以向量与是两平行向量，正确．B．单位向量的长度相等但方向不一定相同，所以B错误．C．当A、B、C、D四点不共线时，结论成立，当四点共线时，结论不成立，所以C错误．D．两向量相等，对应向量方向相同，长度相等，与向量的起点和终点无关，所以D错误．故选：A．8．（4分）已知f（x）=2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的表达式为（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数的周期为T==，∴ω=又∵函数的最大值是2，相应的x值为∴=，其中k∈Z取k=1，得φ=因此，f（x）的表达式为，故选：B．9．（4分）在边长为1的正方形ABCD中，M为BC中点，点E在线段AB上运动，则的取值范围是（）A．[，2]B．[0，]C．[，]D．[0，1]【解答】解：（如图）以AB、AD分别为x、y轴建立坐标系，进而可得C（1，1），M（1，），设E（x，0）（0≤x≤1）∴=（1﹣x，1），=（1﹣x，）∴=（1﹣x）（1﹣x）+1×=x2﹣2x+∵0≤x≤1，∴当x=1时，有最小值为；当x=0时，有最大值为，由此可得的取值范围是[，]故选：C．10．（4分）已知sinθ+cosθ=2sinα，sin2θ=2sin2β，则（）A．cosβ=2cosαB．cos2β=2cos2αC．cos2β+2cos2α=0D．cos2β=2cos2α【解答】解：∵sinθ+cosθ=2sinα，sin2θ=2sin2β，∴1+sin2θ=4sin2α，即1+2sin2β=4sin2α，即1+2•=4•，化简可得2cos2α=cos2β，故选：D．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）=1．【解答】解：．故答案为：1．12．（4分）已知，，且，则实数k=﹣6．【解答】解：=（﹣3，3+2k），﹣=（5，9﹣k）．∵，∴﹣3（9﹣k）﹣5（3+2k）=0，解得k=﹣6．故答案为：﹣6．13．（4分）已知＜α＜π，0＜β＜，tanα=﹣，cos（β﹣α）=，则sinβ的值为．【解答】解：∵＜α＜π，tanα=﹣，∴cosα=﹣=﹣，sinα==，∵0＜β＜，可得：﹣π＜β﹣α＜0，又∵cos（β﹣α）=＞0，可得：﹣＜β﹣α＜0，∴sin（β﹣α）=﹣=﹣，∴sinβ=sin[（β﹣α）+α]=sin（β﹣α）cosα+cos（β﹣α）sinα=（﹣）×（﹣）+×=．故答案为：．14．（4分）设是两个非零的平面向量，则下列说法正确的是①④．①若，则有；②；③若存在实数λ，使得，则；④若，则存在实数λ，使得．【解答】解：对于①，当时，=，∴，①正确；对于②，|•|=|||×||×cos＜，＞|≤||||，∴②错误；对于③，当实数λ＜0时，若，则|+|=|（λ+1）|=|（λ+1）|•||＜（|λ|+1）•||=||+||，③错误；对于④，若，则+2•+=﹣2||×||+，∴•=﹣||×||，∴、共线且反向，即存在实数λ＜0，使得，④正确；综上，正确的命题序号是①④．故答案为：①④15．（4分）如图，在△ABC中，=，P是BN上的一点，若=m+，则实数m的值为．【解答】解：∵P是BN上的一点，设，由，则=====∴m=1﹣λ，解得λ=，m=故答案为：三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）16．（10分）化简求值（1）已知，求sin2α的值；（2）化简．【解答】解：（1）由，两边平方得：，即sin2α=；（2）==．17．（10分）已知两向量，的夹角为120°，||=1，||=3，（Ⅰ）求|5﹣|的值（Ⅱ）求向量5﹣与夹角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）依题意，得…（2分）=，…．（4分）∴=7 …..（5分）（Ⅱ）依题意，得（5﹣）•==5×12﹣1×3×cos120°=…..（7分）===…..10分18．（10分）设函数x．（1）求f（x）的最小正周期及其图象的对称中心；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）==，所以f（x）的最小正周期为．令，求得x=+，可得函数的图象对称中心为．（2）令，解得，所以f（x）的单调递增区间为．19．（10分）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．【解答】解：（1）∵f（x）=sinx﹣cosx+cosx+sinx=sinx，所以f（α）=sinα=，所以sinα=．又α∈（0，），所以cosα=，所以g（α）=2sin2=1﹣cosα=．（2）由f（x）≥g（x）得sinx≥1﹣cosx，所以sinx+cosx=sin（x+）≥．解2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，求得2kπ≤x≤2kπ+，k∈z，所以x的取值范围为[2kπ，2kπ+]k∈z．附加题（本大题共1小题，第1，2小题各5分，第3题10分，共20分）20．（5分）已知非零向量，满足（+）•=0，且•=，则△ABC的形状是（）A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰（非等边）三角形D．等边三角形【解答】解：∵（+）•=0，，分别为单位向量，∴∠A的角平分线与BC垂直，∴AB=AC，∵cosA=•=，∴∠A=，∴∠B=∠C=∠A=，∴三角形为等边三角形．故选：D．21．（5分）sin6°sin42°sin66°sin78°=．【解答】解：sin6°sin42°sin66°sin78°=sin6°cos48°cos24°cos12°=======．故答案为：．22．（10分）已知向量=（cos x，sin x），=（cos x，﹣sin x），且x∈[0，]．求：（Ⅰ）及；（Ⅱ）若f（x）=﹣2λ的最小值是﹣，求λ的值．【解答】解：（Ⅰ）=cos2x﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）=∵x∈[0，]，∴cosx＞0，∴=2cosx．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）f（x）=cos2x﹣4λcosx=2cos2x﹣1﹣4λcosx，设t=cosx，则∵，∴t∈[0，1]即y=f（x）=2t2﹣4λt﹣1=2（t﹣λ）2﹣1﹣2λ2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）①λ＜0时，当且仅当t=0时，y取最小值﹣1，这与已知矛盾﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）②当0≤λ≤1时，当且仅当t=λ时，y取得最小值﹣1﹣2λ2，由已知得，解得λ=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）③当λ＞1时，当且仅当t=1时，y取得最小值1﹣4λ．由已知得，解得λ=，这与λ＞1相矛盾．综上λ=为所求．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）。

西南师大附中下学期高一数学理科期中考试卷

西南师大附中下学期高一数学理科期中考试卷（总分：150分考试时间：120分钟）第I 卷（共74分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1． sin3π的值是（）A ．12 B ．12-C 3D ．3 2．设2θ是第三象限的角，则（）A ．sin04θ> B ．cos04θ> C ．tan04θ> D ．cot04θ<3．函数sin3y x =的图象可由sin (3)4y x π=+的图象（）A ．向左平移12π个单位得到 B ．向右平移12π个单位得到 C ．向左平移4π个单位得到D ．向右平移4π个单位得到4．下列不等式成立的是（）A ．sin123cos1tan2︒>>B ．sin123tan2cos1︒>>C ．cos1sin123tan2>︒>D ．cos1tan2sin123>>︒5．若3sin ()65πα-=，且α是负锐角，则cos ()12πα+的值等于（）A ．35-B ．45C 2D 72106．若2αβπ+=，则cos 4sin y βα=-的值域是（）A ．[53-，]B ．[33-，]C ．[35-，]D ．[55-，]7．已知[)1cos 3x x ππ=∈，，2，则x 是（）A ．1arccos ()3-B ．1arccos3π+ C ．12arccos3π- D ．31arccos 23π- 8．函数22cos ()sin ()11212y x x ππ=-++-是（）A ．周期为2π的奇函数B ．周期为π的奇函数C ．周期为2π的偶函数D ．周期为π的偶函数9．函数1()sin (2)2f x x θ=+的图象关于y 轴对称的充要条件是（）A ．2k πθπ=+（k Z ∈） B ．22k πθπ=+（k Z ∈）C ．k θππ=+（k Z ∈）D ．2k θππ=+（k Z ∈）10．以下各图分别是1234|tan |tan tan tan ||y x y x y x y x ===-=，，，在区间33()22ππ-，内的大致图象，那么由左至右的各图对应的函数应该是（）A ．y 1，y 2，y 3，y 4B ．y 1，y 4，y 3，y 2C ．y 4，y 2，y 3，y 1D ．y 1，y 2，y 4，y 3二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填写在答题卷相应的位置上．） 11．计算：cos82.5cos52.5cos7.5cos37.5︒︒+︒︒=_______________． 12．已知扇形所对的圆心角为56rad π，其半径为30cm ，则扇形的面积是_____________cm 2． 13．函数2lg sin 9y x x =+-的定义域是_______________． 14．设αβ、为锐角，且1tan 7α=，1tan 3β=，则2αβ+= _______________弧度． 15．已知：7sin cos 13θθ+=，[0]θπ∈，，则tan θ=_______________． 16．若(sin )sin3f θθ=，则(cos15)f ︒=_______________．第II 卷（共76分）三、解答题（本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（满分12分）求cos10(tan10tan60)sin50︒︒-︒︒的值。

重庆市西南大学附属中学高一数学下学期期中考试

西南大学附中2011—2012学年度下期期中考试高一数学试题（总分：150分考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若R,a b c a b ∈>、、，则下列不等式成立的是（）A ．11a b< B ．22a b > C ．22(1)(1)a c b c +>+ D ．||||a c b c >2．已知集合2{|2},{|230}M x x N x x x =<=--<，则集合MN =（）A ．{|2} x x <-B ．{3}x|x >C ．{12} x|x -<<D ．{23}x|x <<3．在等比数列{}n a 中，若0n a >且3764a a =，则5a 的值为（）A ．2B ．4C ．6D ．84．设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若S 7 = 35，则a 4 的值为（）A ．8B ．5C ．6D ．75．等差数列{}n a 中，已知14739a a a ++=，25833a a a ++=，则369a a a ++的值是（）A ．30B ．27C ．24D ．216．在△ABC 中，60A ∠=︒，2AB =，且△ABC 的面积ABC S ∆=BC 的长为（）A B ．3C D ．77．设函数()f x 满足(1)()2n f n f n +=+（n ∈N *）且f (1) = 2，则f (20)为（） A ．95B ．97C ．105D ．1928．在等比数列{}n a 中，15415,10a a S -=-=-，则4a 等于（）A ．– 1B ．1C ．– 2D ．29．化简221(1)2(2)2222n n n S n n n --=+-⨯+-⨯++⨯+的结果是（）A ．12n n +-B ．122n n +-+C ．22n n --D ．122n n +--10．在△ABC 中，已知2222()sin ()()sin ()a b A B a b A B +-=-+，则△ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形二、填空题（每小题5分，共25分）11． sin15cos75cos15sin105︒︒+︒︒等于_______________．12．已知△ABC 中，a b =60B ∠=︒，那么A ∠等于_______________． 13．不等式|21||2|0x x ---<的解集为_______________．14．若230ax ax a +++>对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是_______________．15．已知函数f (x )满足：f ( p + q ) = f ( p ) f (q )，f (1) = 3，则2[(1)](2)(1)f ff ++2[(2)](4)(3)f f f ++2[(3)](6)(5)f f f ++2[(4)](8)(7)f f f ++2[(5)](10)(9)f f f +的值为_______________．三、解答题（共75分） 16． (13分) 解不等式25123x x x -≥--．17． (13分) 已知tan 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且α为锐角．(1) 求tan α的值；(2) 求sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．18． (13分) 已知等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝128．(1) 求通项a n ；(2) 若b n = log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n = 360，求n 的值．19． (12分) 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且274sin cos222B C A +-=， (1) 求A ∠的度数；(2)若a =3b c +=，求b 和c 的值．20． (12分) 设数列{}n a 的前n 项和为22n S n =，{}n b 为等比数列，且112211,()a b b a a b =-=．(1) 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2) 设22(4log )n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．21． (12分) 函数()f x 对任意x R ∈都有1()(1)2f x f x +-=． (1) 求12f ⎛⎫⎪⎝⎭和11 ()n f f n N *n n -⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； (2) 数列{}n a 满足：121(0)(1)n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，数列{a n }是等差数列吗？请给予证明；(3) 在第(2)问的条件下，若数列{}n b 满足16b =-，211164(3)220n n n n n n a b b a b b ++---+++=，试求数列{}n b 的通项公式．西南大学附中2011—2012学年度下期期中考试高一数学试题参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）1．C 2．C 3．D 4．B 5．B 6．A 7．B 8．D 9．D 10．D 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．112．45°13．（– 1，1）14．[ 0，+∞)15．30三、解答题（共75分）16．解：原不等式等价于322322--+-x x x x ≤0 ··················· 4分⇔)1)(3()1)(2(+---x x x x ≤0 ························· 8分⇔⎩⎨⎧≠+-≤---+.0)1)(3(,0)3)(2)(1)(1(x x x x x x由数轴穿根法可知原不等式解集为{x |-1＜x ≤1或2≤x ＜3} ······················ 13分17．解：(1) tantan 1tan 4tan()41tan 1tantan 4παπααπαα+++==-- ················ 4分由tan()34πα+=，得：1tan 31tan αα+=-，解得1tan 2α= ········· 6分(2) ∵α为锐角，∴sin α=cos α=············· 10分∴1sin 62πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭············ 13分18．解：(1) 设公比为q ，由a 2＝2，a 5＝128及a 5＝a 2q 3得 128＝2q 3，∴q ＝4 ∴a n ＝a 2·qn —2＝2·4n —2＝22n —3··············· 6分(2) b n ＝log 222n －3＝2n －3 ····················· 8分∴数列{b n }是以－1为首项，2为公差的等差数列 ∴S n ＝n (－1)＋(1)22n n -＝n 2－2n················ 11分令n 2－2n ＝360得 n 1＝20，n 2＝－18（舍）故n ＝20为所求 ························· 13分19．解：(1) 272[1cos()](2cos 1)2B C A -+--=由已知得 ············ 2分 ∵cos(B + C ) =－cos A ，∴4cos 2A －4cos A + 1 = 0 ········· 4分 ∴(2cos A －1)2= 0，即cos A =12∴A = 60° ··························· 6分 (2) ∵a 2= b 2+ c 2－2bc cos A = b 2+ c 2－bc = ( b + c )2－3bc ······ 9分∵3a b c =+=∴393bc =-，∴2bc = ······················ 11分 321212b c b b bc c c +===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩由,解之得或 ················· 12分20．解：(1) 当111,2;n a S ===时2212,22(1)42,n n n n a S S n n n -≥=-=--=-当时故142,{}2,4n n a n a a d =-==即是公差的等差数列. ·········· 3分设{b n }的公比为111,,4,.4q b qd b d q ==∴=则故13211122.4n nn n b b q ---==⨯=···················· 6分(2) 由(1)得，42n a n =-，322n n b -=∴1111(21)(21)22121n c n n n n ⎡⎤==-⎢⎥-+-+⎣⎦∴1111335(21)(21)n T n n =+++⨯⨯-+111111123352121n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥-+⎣⎦11122121nn n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭ ···················· 12分21．解：(1) 因为11111()(1)()()22222f f f f +-=+=．所以11()24f =． ······· 2分令1x n=，得111()(1)2f f n n +-=，即111()()2n f f n n -+=． ······· 4分(2)11(0)()()(1)n n a f f f f n n-=++++ 又11(1)()()(0)n n a f f f f nn-=++++两式相加得1112[(0)(1)][()()][(1)(0)]2n n n a f f f f f f n n -+=++++++=．所以1,*4n n a n N +=∈，又11111444n n n n a a ++++-=-=．故数列{}n a 是等差数列． ····················· 8分(3) 由(2)知，14n n a +=，代入211164(3)220nn n n n n a b b a b b ++---+++= 整理得1(3)(2)(3)n n nb n b n n +=++++ 两边同除以(1)(2)(3)n n n n +++，得 11(1)(2)(3)(1)(2)(1)n n b b n n n n n n n n +=+++++++令(1)(2)n n b c n n n =++，则11(1)n n c c n n +=++，且111123b c ==-⨯⨯累加得1n c n=-，∴(1)(2)n b n n =-++ ················ 12分。

重庆西南师大附中-度下学期高一数学期中试卷

西南师大附中2008—2009学年度下期期中考试高一数学试题（满分：150分时间：120分钟）一、选择题（10×5分＝50分）1．已知：向量 a 、b ，满足a ∥b ，则（） A ．a 、b 一定至少有一个为零向量 B ．a 、b 的方向一定相同 C ．a =b 一定成立 D ．a 、b 一定共线2．sin210°=（）A B ．C ．12 D ．12-3．已知cos θ·tan θ<0，那么角θ 是（）A ．第一或第二象限角B ．第二或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角4．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A ．/2B ．2sin1C ．2sin1D ．sin25．为了得到函数2sin 36x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R 的图像，只需把函数y =2sin x ，x ∈R 的图像上所有的点（）A ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）B ．向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）C ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D ．向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）6．函数y =A sin(ωx +ϕ)（ω >0，||2πϕ<，x ∈R ）的部分图象如图所示，则函数表达（）A ．4sin 84y x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭B ．4sin 84y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．4sin 84y x ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D ．4sin 84y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7．命题p ：若a 、b ∈R ，则|a |+|b |>1是|a +b|>1的充分而不必要条件；命题q ：函数y 的定义域是(-∞，-1]∪[3，+ ∞)，则（）A ．“p 或q ”为假B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．“p 且q ”为真8．已知函数()sin 12f x x ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则下列命题正确的是（）A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数 9．命题“对任意的x ∈R ，x 3-x 2+1≤ 0”的否定是（）A ．存在x ∈R ，x 3-x 2+1>0B ．存在x ∈R ，x 3-x 2+1≤ 0C ．不存在x ∈R ，x 3-x 2+1≤ 0D ．对任意的x ∈R ，x 3-x 2+1>010．已知函数()1cos 22g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（02πϕ<<）的图象过点(1，2)，若有4个不同的正数x i ，满足g (x i )=M ，且x i <8（i =1，2，3，4），则x 1+x 2+x 3+x 4等于（） A ．12 B ．20 C ．12或20D ．无法确定二、填空题（6×4分＝24分）11．如图，四边形ABCD 是平行四边形，则AB AD +=________．12．arccos ⎛ ⎝⎭=_________________．13．若2cos 3α=，α 是第四象限角,则sin(α-2π)+sin(-α-3π)cos(α-3π)=______________．14．若tan α=2，则sin 2α+2sin αcos α+3cos 2α=______________．15．设f (x )是定义域为R ，最小正周期为32π的周期函数，若()cos ,02sin ,0x x f x x x ππ⎧-≤≤⎪=⎨⎪<≤⎩，则154f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭______________．16．下列命题正确的是______________（填序号）．①3sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 上单调递增；②3tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在5,1212k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z 上单调递增；③3cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期是-π；④3cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位可得3cos 23y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象；⑤3tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位可得3tan 23y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象：西南师大附中2008—2008学年度下期期中考试高一数学试题答题卷一、选择题（每小题5分，共50分）二、填空题（每小题4分，共24分） 11．_______________ 12．_______________ 13．_______________ 14．_______________ 15．_______________16．_______________三、解答题（共76分）17．（13分）利用“五点法”画出函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，9,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的简图．／／／／／／／／／／／／不能在密封线内答题／／／／／／／／／／／／／／／／／／／／／／／／／―――密――――――――――――封―――――――――――线―――――――――――――――――18．（1）（7分）解不等式：1cos 2θ≤（要求画出解题过程中所用的图形）．（2）（7分）计算：cos40(1)︒︒．19．（12分）已知3sin 5α=，1sin()3αβ+=，0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,24ππβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin β 的值．20．（13分）已知函数1()sin 2sin 1244f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（1）求函数f (x )的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）求函数f (x )的单调递减区间；（3）求函数f (x )在区间70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．21．（12分）已知函数f (x ) = A sin(ωx +ϕ)（A >0，ω >0，||2πϕ<）的图象在y 轴上的截距为1，在相邻两最值点(x 0，2)，03,22x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭（x 0>0）上f (x )分别取得最大值和最小值，（1）求f (x )的解析式；（2）若函数g (x )= af (x )+b 的最大和最小值分别为6和2，求a ，b 的值．22．（12分）已知函数5sin12()22sin2xf x x =-，（1）将f (x )表示成cos x 的整式；（2）若y = f (x )与y = g (x ) = cos 2x + a (1+cos x ) +cos x -3的图象在(0，π)内至少有一个公共点，试求a 的取值范围．西南师大附中2008—2008学年度下期期中考试高一数学试题参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）二、填空题（每小题4分，共24分）11．AC ； 12．56π； 13． 14．115； 15 16．（4）；三、解答题（共76分）――――――――――――――――密―――――――――――封―――――――――――――线――／／／／／／／／／／／／／／／／／／／／／／／／／不能在密封线内答题／／／／／／／／／／／列表7分，图6分 18．（1）解：2(21)3k k ππθπ+≤≤+，k ∈Z 图形正确4分，结果3分（2）解：原式=cos 40︒2分2sin(1030)cos40sin10︒+︒=︒⋅︒………………5分 cos801sin10︒==︒………………7分 19．解：∵0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,24ππβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴,2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭………………2分∴4cos 5α=，cos()αβ+=8分∴sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α………………12分20．（1）f (x ) 1sin 22x x x x x ⎫=+⎪⎪⎭⎝⎭221sin 2sin )12x x x =-+1sin 2212x x =+sin 213x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭…………4分 22T ππ==周期，由232x k πππ-=+得，对称轴方程为：5212k x ππ=+………………6分（2）由3222232k x k πππππ+≤-≤+得，f (x )的单调递减区间为：511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ………………9分（3）由70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得52,336x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则sin 216x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，所以函数f (x )在区间70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为12⎡⎤⎢⎥⎣⎦………………13分 21．解：（1）依题意，得0033222T x x =+-=，∴23T πω==，∴23πω=，…………2分∵最大值为2，最小值为－2，∴A =2∴22sin 3y x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，………………4分 ∵图象经过(0，1)，∴2sin ϕ=1，即1sin 2ϕ=又2πϕ<∴6πϕ=，………………6分∴()22sin 36f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭………………7分（2）∵()22sin 36f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，∴-2≤ f (x ) ≤ 2 ∴2622a b a b -+=⎧⎨+=⎩或2226a b a b -+=⎧⎨+=⎩解得，14a b =-⎧⎨=⎩或14a b =⎧⎨=⎩………………12分22．解：（1）sin cos2cos sin 2122()22sin 2x xx xf x x +=-222cos 112cos cos 222x x x -=+⋅-=2cos 2x +cos x -1………………5分（2）要使图象至少有一公共点，须使f (x )=g (x )在上至少有一解，令t =cos x ，∵x ∈(0，π) ∴x 与t 一一对应，且t ∈(-1，1)，即方程2t 2+t -1 = t 2+(a +1)t + (a -3)在(-1，1)上至少有一解，………………7分整理得：t 2-at +(2-a )=01°一解：f (1)·f (-1)=(3-2a )·3<0，解得：32a >………………9分 2°两解（含重根的情形）：2(1)320480112f a a a a⎧=-≥⎪⎪∆=+-≥⎨⎪⎪-<<⎩，解得：322222a a a a ⎧≤⎪⎪⎪≤--≥-+⎨⎪-<<⎪⎪⎩或322a -+≤……11分综上所述：2a ≥-+12分。

重庆市西南师大附中09-10学年高一下学期期中考试(数学)

西南师大附中2009—2010学年度下期期中考试高一数学试题（总分：150分考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数tan(2)4y x π=+的最小正周期为（）A ．4π B ．2π C ．π D ．2π2．已知角α的终边上有一点（– 1，2），则cos α的值为（）A．BC ．12-D ．– 23．若cos 0sin 20θθ<>，，则角θ的终边所在象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．设[02]sin cos x x x π∈-，，且，则（）A ．0x π≤≤B ．322x ππ≤≤C ．744x ππ≤≤D ．544x ππ≤≤5．函数cos()(0)y x ωϕϕπ=+≤≤的图象如图，则（）A ．344ππωϕ==， B ．44ππωϕ==，C ．22ππωϕ==，D ．2πωϕπ==，6．下列命题错误．．的是（） A ．非零向量//////a b c a b b c a c ，，，若，，则 B ．零向量与任意向量平行C ．已知////0a b a c b c c =，不共线，且，，则D ．平行四边形ABCD 中，AB CD =7．函数cos()3y x πϕ=++是奇函数，则ϕ的一个可能取值为（）A ．3π-B ．2π-C ．6π D ．23π 8．要得到函数y x =的图象，只需将函数)4y x π=+的图象上所有的点的（）A ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度B ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度 C ．横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度D ．横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度9．已知函数sin cos tan 1()()()tan()cos sin 1tan 4x x x f x g x h x x x x x π++===+--，，，下列是同一函数的是（） A ．()f x 与()g x B ．()f x 与()h x C ．()g x 与()h xD ．()f x ，()g x 与()h x10．对任意锐角αβ、，下列不等式中正确的是（）A ．sin()sin sin αβαβ+>+B ．sin()cos cos αβαβ+>+C ．cos()cos cos αβαβ+<+D ．cos()sin sin αβαβ+<+二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上． 11．化简：AB CD BC ++=_________________．12． △ABC 中，sin 2A =，则角A = _________________． 13．函数sin cos y x a x =+的图象关于直线6x π=对称，则实数a = _________________．14．函数12log cos(2)4y x π=+的减区间为_________________．15．当06x π<≤时，函数22cos ()cos sin sin xf x x x x =-的最小值为_________________．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． (本小题满分13分)已知αβ、为锐角，35cos sin()513ααβ=-=且，，求cos β的值．17． (本小题满分13分)已知3sin()sin()()441042ππππααα+-=-∈，，，求22sin tan cot 1ααα+--的值．18． (本小题满分13分)已知函数2()2sin cos f x x x x =+ (1) 求函数()f x 的最小正周期； (2) 求函数()f x 的递增区间；(3) 当[]36x ππ∈-，时，求()f x 的值域．19． (本小题满分12分)已知函数()(cos sin )(cos sin )cos (0)f x x x x x x x t ωωωωωωω=+-++>，若()f x 的图象上相邻两条对称轴之间的距离为32π，且当[0]x π∈，时，函数()f x 的最大值为1．(1) 求函数()f x 的表达式；(2) 在△ABC 中，若()1f C =，且22sin cos cos()B B A C =+-，求sin A 的值．20． (本小题满分12分)已知函数22()4sin sin (cos sin )(cos sin )4xf x x x x x x π+=++-．(1) 化简()f x ；(2) 已知常数0ω>，若函数()y f x ω=在区间2[]23ππ-，上是增函数，求ω的取值范围；(3) 若方程()(sin 1)0f x x a -+=有解，求实数a 的取值范围．21． (本小题满分12分)已知函数1sin 2sin cos 1()242y x a x a x a x ππ=+----≤≤的最大值为2，求实数a 的值．（命题人：陈体英审题人：赖立新）西南师大附中2009—2010学年度下期期中考试高一数学试题参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．B 2．A 3．C 4．D 5．B 6．D 7．C 8．A 9．B 10．C 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．AD 12．344ππ或13．3(]88k k k Z ππππ--∈， 15．4 三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．解：∵ 22ππαβ<<<<0，0 ∴ 22ππαβ-<-<·························· 1分∴4sin 5α== ·················· 3分12cos()13αβ-== ·············5分 ∴ cos cos[()]βααβ=-- ······················ 7分cos cos()sin sin()ααβααβ=-+- ·············· 10分12354135135=+5665=···················· 13分 17．解：由已知得3cos()sin()4410ππαα--=- 即13sin(2)2210πα-=-∴ 13cos2210α=-∴ 3cos25α=- ························ 5分又 ()42ππα∈， ∴ 2()2παπ∈，∴ 4sin 25α== ·············· 7分cos23cot 2sin 24ααα==-····················· 8分 ∴ 原式22sin cos cos sin cos2cos2cos sin sin cos αααααααααα-=-+-=--cos 2cos 2cos 22cot 21sin 22ααααα=--=-- ········· 12分33215210=+= (13)分 18．解：2()2sin cos f x x x x =+21)sin 2x x =-+sin 2x x =+2sin(2)3x π=+ ·························· 5分 (1) ()f x 的最小正周期T π= ····················· 7分 (2) 由52222321212k x k k x k k Z πππππππππ-≤+≤+-≤≤+∈解得， ∴ ()f x 的递增区间为5[]1212k k k Z ππππ-+∈，， ·········· 10分 (3) ∵ 36x ππ-≤≤∴ 22333x πππ-≤+≤∴ sin(2)13x π≤+≤ ∴ 2sin(2)23x π≤+≤∴ ()f x 的值域为[2] ···················· 13分19．解：(1) 22()cos sin 2f x x x x t ωωω=-++cos22x x t ωω=+2sin(2)6x t πω=++······················ 4分由题意有322T π=∴ 232T ππω== ∴ 13ω= ········· 5分 ∵ 0x π≤≤ ∴256366x πππ≤+≤∴ max ()21f x t =+= ∴ 1t =- ················ 6分∴ 2()2sin()136x f x π=+-····················· 7分 (2) ∵2()2sin()1136C f C π=+-= ∴ 2sin()136C π+=又 0C π<< ∴ 256366C πππ<+<∴ 2362C ππ+= ∴ 2C π= ··················9分 ∴ 2B A π=-∴ 原方程可化为222cos sin sin sin sin 10A A A A A =++-=即解得sin A =∵ 0sin 1A <<∴ sin A ························ 12分20．解：(1) 22()2[1cos()]sin cos sin 2f x x x x x π=-++-2(22sin )sin 12sin x x x =++-2sin 1x =+ ·························4分 (2) ∵ ()2sin 1f x x ωω=+由22222222k k k x k x k Z πππππππωπωωωω-≤≤+-≤≤+∈得，∴ ()f x ω的递增区间为22[]22k k k Z ππππωωωω-+∈，，∵ ()f x ω在2[]23ππ-，上是增函数∴ 当k = 0时，有2[][]2322ππππωω-⊆-，，∴ 022223ωππωππω>⎧⎪-≤-⎪⎨⎪⎪≥⎩ 解得 304ω<≤ ∴ ω的取值范围是3(0]4， ····················· 8分(3) 解一：方程()(sin 1)0f x x a -+=即为(2sin 1)(sin 1)0x x a +-+=从而问题转化为方程22sin sin 1a x x =-++有解，只需a 在函数22sin sin 1y x x =-++的值域范围内∵ 22192sin sin 12(sin )48y x x x =-++=--+当max 19sin 48x y ==时，；当min sin 12x y =-=-时，∴ 实数a 的取值范围为9[2]8-， ··············· 12分解二：原方程可化为22sin sin 10x x a -+-=令sin x t =，则问题转化为方程2210t t a -+-=在［– 1，1］内有一解或两解，设2()21g t t t a =-+-，若方程在［– 1，1］内有一个解，则(1)0(1)0(1)(1)0(1)0(1)0g g g g g g -==⎧⎧-<⎨⎨<-<⎩⎩或或解得20a -≤<若方程在［– 1，1］内有两个解，则 2(1)8(1)01114(1)0(1)0a g g ⎧∆=---≥⎪⎪-≤≤⎪⎨⎪-≥⎪≥⎪⎩ 解得908a ≤≤ ∴ 实数a 的取值范围是［– 2，98］21．解：令2sin cos sin 21x x t x t -==-，则 ··················· 1分∴ 222211111()22242a a y t at a t at a t a =-+--=-+-=--+- ········ 2分∵ sin cos )4t x x x π=-=-由42244x x πππππ-≤≤≤-≤得-∴ 1t ≤≤ ···························· 3分(1) 当max 1)222a a t y a <<-==--由18)221)27a a --===->-解得 ···6分(2) 当2max 112242a a a y a ≤≤≤=-，即-时，由22122802442a a a a a a -=--==-=得解得或（舍） ······· 9分 (3) 当12a >，即a > 2时，在t = 1处max 12ay =-由 122a-=得a = 6因此，a = – 2 或a = 6 ······················ 12分。

重庆市西南师大附中09-10学年高一上学期期中考试(数学)

西南师大附中2009—2010学年度上期期中考试高一数学试题（满分：150分时间：120分钟）一、选择题（每小题5分，共50分）1.设全集U = { 1，2，3，4 }，A = { 1，2 }，B = { 1，3 }，则()U A B u ð=（）A ．2B ．{ 2 }C ．1，2，4D ．{ 1，2，4 } 2、不等式11x>的解集为（） A ．（-∞，1）B ．（1，+∞）C ．（0，1）D ．（-∞，1）（1，+∞） 3、已知（x ，y ）在映射f 下的象是（x + y ，x – y ），则（1，2）在f 下的原象是（）A ．（52，32）B ．（3，– 1）C ．（32，12-）D ．（32，12） 4、已知(0)()1(0)x x f x x x -<⎧=⎨+≥⎩，则[(1)]f f -的值为（） A ．– 1 B ．0 C ．1 D ．25、函数y （）A ．在（2，+∞）上单调递增B ．在（2，+∞）上单调递减C ．在（-∞，+∞）上单调递增D ．在（-∞，+∞）上单调递减6、函数y x =+ ）A ．(,1]-∞B ．1(,]2-∞C ．［12，1］D ．[1,)+∞7、函数2()25f x x mx =++在(,2]-∞-上为单调减函数，则(1)f 的取值范围是（）A ．(1)15f ≥B ．(1)15f ≤C ．(1)11f ≥D ．(1)11f ≤8、已知函数()f x 在R 上为单调增函数，它的图象过点A （0，– 1）和B （2，1），则不等式2[()]1f x ≥的解集为（）A ．(,2]-∞B ．[2,)+∞C ．［0，2］D ．(,0][2,)-∞+∞9、关于x 的不等式220kx x k -+≤的解集为∅的一个充分不必要条件是（）A ．1k ≥B ．k > 1C ．k > 2D ．k < – 110、定义在R 上的函数()f x 、()g x 均有反函数，且1(1)(2)f x g x -+-与的图象关于y = x 对称，若(15)2009g =，则(16)f 的值为（）A ．2012B ．2011C ．2010D ．2009二、填空题（每小题5分，共25分）11、若集合2{|40}x x x m ++=的元素只有一个，则m 的值为______________．12、函数0y =的定义域为_______________．13、若函数()y f x =（x R ∈）为偶函数，且在[0,)+∞上为增函数，则(2)f ________(3)f -（填“>”或“<”）．14、若不等式|1||2|x x a +--<的解集是∅，则实数a 的取值范围是______________．15、下列命题中：①“若0x y +=，则220x y +=”的逆命题②若()f x 为R 上的奇函数，x > 0时()21f x x =+，则0x <时，()21f x x =-+③若()f x x =，[1,4]x ∈，则函数2()2()y f x f x =+的最大值是36其中正确的命题是___________________．西南师大附中2009—2010学年度上期期中考试高一数学试题答题卷二、填空题（每小题5分，共25分）11．___________________ 12．___________________ 13．___________________14．___________________ 15．___________________三、解答题（共75分）(13分) 解不等式：(32|1|)(2)0x x --+>．(13分) 设{|||3}A x x a =-<，2{|2}1x B x x +=≥-，若A B A =，求实数a 的取值范围． (13分) 已知二次函数()f x 满足：若(1)2()f x x f x +=+，(0)1f =，求()f x 的解析式；若(2)(2)f x f x -=+，()f x 最大值为5，(0)1f =，求()f x 的解析式． (12分) 已知函数2()21f x x x a =+--（a 为实数）()()g x f x a =+（1x ≥），求()g x 的反函数并写出其定义域；若()0f x <对[2,1]x ∈-恒成立，求a 的取值范围．(12分) 函数()f x 对任意实数x ，y 都有()()()1f x y f x f y +=+-，且当x < 0时，()1f x <，求(0)f ；求证：()f x 在R 上为增函数；若(4)7f =，解不等式2()4f x x +<．(12分) 函数1()|1|f x x=-（x > 0）求()f x 的单调减区间并证明；是否存在正实数m ，n （m < n ），使函数()f x 的定义域为［m ，n ］时值域为［6m ，6n ］？若存在，求m ，n 的值；若不存在，请说明理由．（命题人：黄祥奎审题人：梁学友）西南师大附中2009—2010学年度上期期中考试高一数学试题参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）1．B 2．C 3．C 4．D 5．A 6．A 7．B 8．D 9．C 10．B二、填空题（每小题5分，共25分）11． 4 12．(1,0)(0,)-+∞ 13．< 14．3a ≤- 15．①三、解答题（共75分）16．解：原不等式化为11[32(1)](2)0[32(1)](2)0x x x x x x ≥<⎧⎧⎨⎨--+>+-+>⎩⎩或 ····················· 4分解之，得11512222x x x x x ≥<⎧⎧⎪⎪⎨⎨-<<>-<-⎪⎪⎩⎩或或 ······························································· 8分 ∴ 5111222x x x ≤<-<<<-或或 ··········································································· 12分∴ 原不等式的解集为15{|2}22x x x -<<<-或 ··················································· 13分17．解：由||3x a -<，得33x a -<-< ·················································································· 2分∴ {|33}A x a x a =-<<+ ······················································································ 4分由221x x +≥-，得22(1)01x x x +--≥- 401x x -≤- ······················································· 7分 ∴ {|14}B x x =<≤ ·································································································· 8分 ∵ A B A =∴ B A ⊆ ····················································································································· 9分∴ 3431a a +>⎧⎨-≤⎩··············································································································· 11分∴ 14a <≤ ················································································································· 13分18．解：(1) 设2()f x ax bx c =++（0a ≠） ············································································· 1分∵ (0)1f = ∴ c = 1 ··························································································· 2分 ∵ (1)2()f x x f x +=+∴ 22(1)(1)121a x b x x ax bx ++++=+++ ························································ 3分整理，得22ax a b x ++= ······················································································ 4分∴ 220a a b =⎧⎨+=⎩········································································································· 5分 ∴ 11a b =⎧⎨=-⎩·············································································································· 6分 ∴ 2()1f x x x =-+ ······························································································· 7分(2) 由(2)(2)f x f x -=+，得()f x 对称轴是x = 2 ·················································· 8分设2()(2)5f x a x =-+ (10)分由(0)1f =，得2(02)51a ⨯-+= ∴ a = – 1 (12)分∴ 2()(2)5f x x =--+ (13)分19．解：(1) 2()21g x x x =+-（1x ≥） ···················································································· 1分∵()g x 对称轴为x = – 1∴()g x 在[1,)+∞上递增得()g x 的值域为[2,)+∞ ····················································································· 3分由221y x x =+-，得2(1)2x y +=+∵ 10x +> ∴ 1x +=∴ 1x = ··································································································· 6分∴ 1()1g x -=-（2x ≥） ·········································································· 8分(2) ∵ ()f x 对称轴为x = – 1∴ ()f x 在［– 2，– 1］上递减，在(1,1]-上递增∴ max ()(1)2f x f a ==- (10)分∴ 20a -< (11)分得a > 2 (12)分20．解：(1) 由(00)(0)(0)1f f f +=+-，得(0)1f = ···························································· 3分(2) 任取12,x x R ∈，且21x x < ·················································································· 4分由题意，有2211121()()()()1f x f x x x f x f x x =-+=+-- ·································· 6分 ∵ 210x x -<∴ 21()1f x x -< ···································································································· 7分 ∴ 21()()f x f x < ··································································································· 8分 ∴ ()f x 在R 上为增函数 ······················································································ 9分(3) ∵ (22)(2)(2)1f f f +=+-∴ (2)4f = (10)分又∵ ()f x 在R 上递增∴ 22x x +< (11)分∴ 不等式解集为{|21}x x -<< (12)分21．解：(1) ()f x 的单调减区间为(0,1] ··············································································· 2分任取12,(0,1]x x ∈且12x x < ··············································································· 3分则121211()()|1||1|f x f x x x -=--- ······································································ 4分 21120x x x x -=> ················································································ 6分 ∴ 12()()f x f x >∴ ()f x 在(0,1]上为减函数 ············································································· 7分(2) ①若,(0,1]m n ∈，则()()f m f n > ∴11()|1|166611()|1|1666n n n f m m m m m m f n n n ⎧⎧⎧=-=-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪⎪=-=-=⎪⎪⎪⎩⎩⎩即即两式相减，得6n m n m mn --=不可能成立 ....................................................... 9分 ②若(0,1]m ∈，[1,)n ∈+∞，则()f x 的最小值为0，不合题意 (10)分③若,[1,)m n ∈+∞，则()()f m f n <∴ 1()|1|661()|1|66m m f m m n n f n n ⎧⎧=-=⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩即 ∴116116m m nn ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ∴ m ，n 为116x x -=的不等实根 ∴3m =，3n =综上，存在3m =，3n = (12)分。

重庆市高一下学期期中数学试题(解析版)

高一下期期中考试数学试题注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数，则复数在复平面内对应的点在（） 3i z =+4(1i)z ⋅+A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限2. 中，是角的对边，，则此三角形有ABC A ,,a b c ,,A B C 2,30b c C === （） A. 一个解 B. 2个解C. 无解D. 解的个数不确定3. 下列几组空间向量中，不能作为空间向量基底的是（）A. ()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1a b c ===B. ()()()1,1,0,1,0,1,0,1,1a b c ===C. ()()()1,1,2,1,1,0,1,0,1a b c ===D.()()()1,1,1,1,0,1,1,2,1a b c ===4. 已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为a b ()2a b b +⋅= 1b = ab （） A. 1B.C.D.1-bb -5. 设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为、和，则（） 1V 2V 3V A.B.C.D.123V V V <<213<<V V V 312V V V <<321V V V <<6. 如图，直角梯形中，，，，梯形绕ABCD 3AB CD =30ABC ∠= 4BC =ABCD 所在直线旋转一周，所得几何体的外接球的表面积为（）ADA.B. C. D.112π348π128π208π7. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度2π用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（）A. B. C. D.2π4π6π8π8. 中，，，是角，，的对边，，其外接圆半径ABC A a b c A B C ()12ABC S c a b =-A，且，则（）2R =())224sin sin sin A B b B -=-()()1sin 1sin A B +-=A. 1 B.C.D.563423二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设为直线，，为两个不同平面，则下列命题中正确的是（）l αβA. 若，则 //,//l l αβ//αβB. 若，则 //,//l αβα//l βC. 若，则 ,l l αβ⊥⊥//αβD 若，则 //,l αβα⊥l β⊥10. 已知函数在上单调，且函数图像关于()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()y f x =点对称，则（） π,03⎛⎫-⎪⎝⎭A. 是的一个周期 2π()f xB. 的图像关于对称 ()f x 2π3x =C. 将的图像向右平移个单位后对应函数为偶函数 ()f x π3D. 函数在上有2个零点 ()910y f x =-[]0,π11. 中，是角的对边，，则（）ABC A ,,a b c ,,A B C 22b a ac =+A. 若，则π2B =π4A =B. 若，则的面积为,2π6A a ==ABC AC. 若，则角的角平分线,2π6A a ==B BD =D. 若为锐角三角形，，则边长ABC A 2a =(b ∈12. 已知正方体的棱长为2，点，分别为面，的1111ABCD A B C D -E F 11BB C C 11CC D D 中心，点是的中点，则（） G 11A B A. DE BG ⊥B. 面AF ∥1BC GC. 直线与平面AB 1BC GD. 过点且与直线垂直的平面F DE α+三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知正为水平放置的的直观图，若，则的面积为A B C '''A ABC A 2A B ''=ABC A __________.14. 已知复数满足，则__________. z 24i z z +=+z =15. 中，为边上一点，若，则__________. ABC A π3A =D BC 2CD AD BD ==sin C =16. 已知平面向量满足，则的最大值为__________. ,,a b c2,1a a b a c =-=-= b c ⋅ 四､解答题（共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）.17. 已知向量.()()2,2,1,a b k ==-（1）若，求实数的值；()2a a b ⊥+ k （2）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.abk 18. 如图所示，在四棱锥中，四边形为等腰梯形，P ABCD -ABCD .,2,4,AB CD AD CD AB AC PC ===⊥∥（1）证明：平面：AC ⊥PBC（2）若到平面的距离. ,PB BC PB ⊥=D PBC 19. 在中，对应的边分别为的外接ABC A ,,A B C ∠∠∠2π,,,,5,3,3a b c A b c ABC ===A 圆面积为. O S （1）求的值；S （2）若点在上，且直线平分角，求线段的长度. D AC BD ABC ∠BD 20. 如图所示，已知四边形和四边形都是矩形.平面平面ABCD ADEF ABCD ⊥分别是对角线上异于端点的动点，且,333,,ADEF AD AF AB M N ===,BD AE .BM AN =（1）求证：直线平面； MN A CDE （2）当时，用向量法求平面与平面夹角的余弦值. 12AN NE =AMN DMN 21. 如图，在三棱台中侧面为等腰梯形，111ABC A B C -11BCC B 为中点.底面为等腰三角形，为1118,4,BC B C CC M ===11B C ABC A 5,AB AC O ==的中点.BC（1）证明：平面平面；ABC ⊥AOM （2）记二面角的大小为. 1A BC B --θ①当时，求直线与平面所成角的正弦值. π6θ=1BB 11AAC C ②当时，求直线与平面所成角的正弦的最大值.ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1BB 11AAC C 22. 在中，对应的边分别为，ABC A ,,A B C ∠∠∠,,a b c)2222sin sin sin sin sin sin A B C B C A =+-（1）求；A （2）奥古斯丁.路易斯.柯西（Augustin Louis Cauchy ，1789年-1857年），法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若是内一点，过作垂线，垂足分别为2,a P =ABC A P ,,AB BC AC ，借助于三维分式型柯西不等式：,,D E F ()2222123312123123123,,,x x x x x x y y y R y y y y y y +++∈++≥++当且仅当时等号成立.求的最小值. 312123x x x y y y ==4AB BC AC T PD PE PF=++秘密★启用前[考试时间：5月12日14：30-16：30]重庆一中高2025届高一下期期中考试数学试题注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数，则复数在复平面内对应的点在（） 3i z =+4(1i)z ⋅+A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C 【解析】【分析】由复数代数形式的四则运算化简，再由复数的几何意义得结果. 【详解】由，则有3i z =+， ()()()()24223i 3i 3i (412i (1i)(1i)2i)4z ⎡⎤=+=+=+⨯-=⎣+⎦+-⋅-所以复数在复平面内对应的点的坐标为，在第三象限. 4(1i)z ⋅+()12,4--故选：C.2. 中，是角的对边，，则此三角形有ABC A ,,a b c ,,A B C 2,30b c C === （） A. 一个解 B. 2个解C. 无解D. 解的个数不确定【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理得，进而利用三角形内角和进行判断即可． sin sin b CB c=【详解】∵中，，ABCA 2,30b c C === ∴根据正弦定理，得sin sin b c B C=sin sin b C B c ===∵B 为三角形的内角，，则有或， b c >60B = 120B = ∴三角形的解有两个．故选：B ．3. 下列几组空间向量中，不能作为空间向量基底的是（）A. ()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1a b c ===B. ()()()1,1,0,1,0,1,0,1,1a b c ===C. ()()()1,1,2,1,1,0,1,0,1a b c ===D.()()()1,1,1,1,0,1,1,2,1a b c ===【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可.【详解】对于A ，设，无解，即不共面，故可以作()()()1,0,00,1,00,0,1λμ=+,,a b c为空间向量一个基底，故A 错误；对于B ，设，无解，即不共面，故可以作为空间向量()()()1,1,01,0,10,1,1λμ=+,,a b c一个基底，故B 错误；对于C ，设，无解，即不共面，故可以作为空间向量()()()1,1,21,1,01,0,1λμ=+,,a b c一个基底，故C 错误；对于D ，设，解得，所以共面，故不可以()()()1,1,11,0,11,2,1λμ=+12λμ==,,a b c作为空间向量一个基底，故D 正确. 故选：D4. 已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为a b ()2a b b +⋅= 1b = a b （） A. 1 B.C.D.1-bb -【答案】C 【解析】【分析】由已知可求得，然后根据投影向量的公式，即可得出答案.1a b ⋅= 【详解】因为，，1b = ()22a b b a b b +⋅=⋅+= 所以，1a b ⋅=所以，向量在向量上的投影向量为. a b 111a b b b b bb ⋅⋅=⋅= 故选：C ．5. 设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为、和，则（） 1V 2V 3V A.B.C.D.123V V V <<213<<V V V 312V V V <<321V V V <<【答案】B 【解析】【分析】设正方体棱长为，正四面体棱长为，球的半径为，面积为.表示出3个几a b R S 何体的表面积，得出，进而求出体积的平方，比较体积的平方大小，然后得出答案. ,,a b R 【详解】设正方体棱长为，正四面体棱长为，球的半径为，面积为. a b R S 正方体表面积为，所以， 26S a =26S a =所以，； ()()3232321216S V aa ===如图，正四面体，为的中点，为的中心，则是底-P ABC D AC O ABC A PO -P ABC 面上的高.ABC 则，，所以， BD AC ⊥12AD b=BD ==所以，21122ABC S AC BD b =⨯⨯=⨯=A 所以，正四面体的表面积为，所以. -PABC 24ABC S S ==A 2b =又为的中心，所以. O ABCA 23BO BD ==又根据正四面体的性质，可知， PO BO ⊥所以，PO ==所以，22213ABC V S PO ⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭A 2213⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭363117272b S ⎫==⨯=⎪⎪⎭；球的表面积为，所以， 24πS R =24πSR =所以，.2233341π336πV R S ⎛⎫== ⎪⎝⎭因为， 3333311136π144216S S S >>>=所以，，222312V V V >>所以，.213<<V V V 故选：B.6. 如图，直角梯形中，，，，梯形绕ABCD 3AB CD =30ABC ∠= 4BC =ABCD 所在直线旋转一周，所得几何体的外接球的表面积为（）ADA. B. C. D.112π348π128π208π【答案】D【解析】【分析】由题意可知，旋转一周得到的几何体为圆台，可知外接球的球心一定在线段AD 或的延长线上.取圆台的轴截面，分情况讨论，作图，分别根据几何关系求出球的半AD 径，即可得出答案.【详解】由题意可知，旋转一周得到的几何体为圆台.取圆台的轴截面由题意知，球心一定在线段或的延长线上 O AD AD如图1，当球心在线段上时.O AD过点作于点，则， C CEAB ⊥E sin 302CE BC == cos30BE BC ==所以，CD =AB =设球的半径为，，，R ()02OA x x =≤≤2OD x =-则由勾股定理可得，，即， 222222R OD CD R OA AB ⎧=+⎨=+⎩()22222327R x R x ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩整理可得，解得（舍去）；50x +=5x =-如图2，当球心在的延长线上时.O DA 过点作于点，则，C CEAB ⊥E sin 302CE BC ==cos30BE BC == 所以，CD =AB =设球的半径为，，则，R ()0OA x x =>2OD x =+则由勾股定理可得，，即， 222222R OD CD R OA AB ⎧=+⎨=+⎩()22222327R x R x ⎧=++⎪⎨=+⎪⎩整理可得，解得.50x -=5x =所以，，227352R =+=所以，圆台外接球的表面积为.24π208πR =故选：D.7. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度2π用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（）A.B. C. D.2π4π6π8π【答案】B【解析】【分析】利用正八面体的面积和减去六个顶点的曲率和可得结果.【详解】正八面体每个面均为等比三角形，且每个面的面角和为，该正面体共个顶π6点，因此，该正八面体的总曲率为.62π8π4π⨯-=故选：B.8. 中，，，是角，，的对边，，其外接圆半径ABC A a b c A B C ()12ABC S c a b =-A，且，则（） 2R =())224sin sin sin A B b B -=-()()1sin 1sin A B +-=A. 1B. C. D. 563423【答案】A【解析】【分析】由已知可得，，进而可得，，可求a 4()ab a b =-a b ．(1sin )(1sin )A B +-【详解】由正弦定理得，即，，24sin sin sin a b c R A B C====4sin a A =4sin b B =， 4sin c C =又，则， 224(sin sin ))sin A B b B -=-2216sin 16sin )4sin A B b B -=-则，即，得①， 22)a b b b -=-2a =a 因为，则， 1()2ABC S c ab =-A 11sin ()22ab C c a b =-则，即②， 1()4abc c a b =-4()ab a b =-结合①②解得，， b =1)a =则， 1sin 1114a A +=+=+-=1sin 1114b B -=-=-=所以．(1sin )(1sin )1A B +-=故选：A ．【点睛】本题考查了正弦定理，重点考查了三角形的面积公式，属中档题．二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设为直线，，为两个不同平面，则下列命题中正确的是（）l αβA. 若，则//,//l l αβ//αβB. 若，则//,//l αβα//l βC. 若，则,l l αβ⊥⊥//αβD. 若，则//,l αβα⊥l β⊥【答案】CD【解析】【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案.【详解】若，则与可能平行，可能相交，A 选项错误；//,//l l αβαβ若，则或，B 选项错误；//,//l αβα//l βl β⊂若，根据垂直于同一直线的两个平面平行，则，C 选项正确； ,l l αβ⊥⊥//αβ若，一条直线垂直与两个平行平面中的一个，则一定垂直与另一个，则//,l αβα⊥l β⊥，D 选项正确.故选：CD.10. 已知函数在上单调，且函数图像关于()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()y f x =点对称，则（） π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭A. 是的一个周期2π()f x B. 的图像关于对称 ()f x 2π3x =C. 将的图像向右平移个单位后对应函数为偶函数 ()f x π3D. 函数在上有2个零点 ()910y f x =-[]0,π【答案】BD【解析】【分析】由题意，利用正弦函数的图像和性质，先求出函数的解析式为，从而可判断其周期、轴对称、变换后的解析式，即可判断A ，B ，()πsin 26x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ；依题意求得函数在上与有两个交点，进而即可判断D ． ()y f x =[]0,π910y =【详解】由函数在上单调，则，得()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12πππ22ω⨯≥+． 203ω<≤又函数图像关于点对称，则，，得． ()y f x =π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭πππ36k ω-+=k ∈Ζ132k ω=-+所以，即． 12ω=()πsin 26x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故有的最小正周期为，故A 错误；()f x 2π4π12=又为最大值，可得的图像关于对称，故B 正2ππππsin sin 13362f ⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 2π3x =确；将的图像向右平移个单位后对应函数为，是一个奇函数，故C 错误； ()f x π3sin 2x y =由，则，则， []0,πx ∈ππ2π,2663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()π1sin ,1262x f x ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦又，， π1sin 62=2πsin 3=9110<<所以函数在上与有两个交点，即函数在上有2()y f x =[]0,π910y =9()10y f x =-[]0,π个零点，故D 正确．故选：BD ．11. 中，是角的对边，，则（）ABC A ,,a b c ,,A B C 22b a ac =+A. 若，则 π2B =π4A =B. 若，则的面积为,2π6A a ==ABC AC. 若，则角的角平分线 ,2π6A a ==B BD =D. 若为锐角三角形，，则边长ABC A 2a =(b ∈【答案】ABD【解析】【分析】根据题意并结合余弦定理可得，由正弦2222cos b a c ac B =+-2cos a c a B =-定理以及三角恒等变换可得，即可判断AB 正确；由等面积2B A =可知，即C 错误；根据三角形形状可得，ABC ABD BCD S S S =+△△△BD =ππ,32B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即可确定，可解得，所以D 正确. ()28,12b ∈(b ∈【详解】根据题意由，结合余弦定理可得， 22b a ac =+2222cos b a c ac B =+-，又因为，所以；22cos ac c ac B =-0c ≠2cos a c a B =-利用正弦定理可得，sin sin 2sin cos A C A B =-再由可得，，()sin sin C A B =+()sin sin 2sin cos A A B A B =+-即，所以； sin sin cos cos sin 2sin cos A A B A B A B =+-()sin sin A B A =-又因为，所以，即；(),0,πA B ∈A B A =-2B A =对于A ，若，则，故A 正确； π2B =4π2B A ==对于B ，若，则，由可得， ,2π6A a ==3π2B A ==2cos a c a B =-4c =所以的面积为，即B 正确； ABC A 1sin 2ABC S ac B ==△对于C ，如下图所示：由等面积可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△由选项B 可得，所以， 3π4,c B ==π6ABD CBD ∠=∠=即，解得，所以C 错误；1π1πsin sin 2626ABC S c BD a BD =⋅⋅+⋅⋅=A BD =对于D ，若为锐角三角形，，则可得， ABC A 2a =2cos 24cos c a aB B =+=+且，即，解得，所以 π0,2π0,2π0,2A BC ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎩π022π02π0π22B B B B ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<--<⎪⎩ππ,32B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1cos 0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭又，所以，因此，即D 正确. 2288cos b a ac B =+=+()28,12b∈(b ∈故选：ABD12. 已知正方体的棱长为2，点，分别为面，的1111ABCD A B C D -E F 11BB C C 11CC D D 中心，点是的中点，则（）G 11A B A.DE BG ⊥B. 面AF ∥1BC G C. 直线与平面AB 1BC G D. 过点且与直线垂直的平面FDE α+【答案】ACD【解析】【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量的性质，利用是否等于D DE BG ⋅u u u r u u u r零，即可判断A ；求出平面的法向量，与是否垂直，即可判断B ；根据直线1BC G AF 与平面所成的角的余弦值可先求出与平面的法向量的余弦值，再根据AB 1BC G AB1BC G 角的关系求出所要求的结果，即可判断C ；做出过点且与直线垂直的平面的截面F DE α图，根据几何关系即可求出其周长，即可计算出D ．【详解】以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立坐标D DA DC 1DD x y z 系，如图所示，则，，，，，，()0,0,0D ()1,2,1E ()2,2,0B ()2,1,2G ()2,0,0A ()0,1,1F ()10,2,2C ，，()2,1,2G 对于A ，由，，则，所(1,2,1)DE = (0,1,2)BG =-u u u r 102(1)120DE BG ⋅=⨯+⨯-+⨯= 以，故A 正确；DE BG ⊥ 对于B ，设平面的法向量为， 1BC G 111(,,)n x y z =由，，，1(2,0,2)BC =-u u u r (0,1,2)BG =-u u u r (2,1,1)AF =-u u u r 则即，令，则，，则， 100BC n BG n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 111122020x z y z -+=⎧⎨-+=⎩11z =11x =12y =(1,2,1)n = 又，所以与平面不平行，故B 错误； (2)1121110AF n ⋅=-⨯+⨯+⨯=≠ AF 1BC G 对于C ，设直线与平面所成的角为，AB 1BC G α又，结合选项B 得所以(0,2,0)AB = πsin cos()2AB n AB n αα⋅=-===⋅，故C 正确； cos α==对于D ，结合C 选项得，则平面，n DE = DE ⊥1BC G 取，的中点为，，， 11A D 1AA X T 112WD CV AU ===由几何关系可知，，，则组成一个平面，WX U ∥V WV TU ∥WXTUV 由，，，均在平面内，BG TU ∥1BC TX ∥TU TX WXTUV 则平面，即过点且与直线垂直的平面，截该正方体所得截面如DE ⊥WXTUV F DE α图所示平面，WXTUV 则截面的周长为 WXTUVWX XT TU UV VW ++++=+=，故D 正确．故选：ACD ．【点睛】本题考查了立体几何的综合应用，属于难题．三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知正为水平放置的的直观图，若，则的面积为A B C '''A ABC A 2A B ''=ABC A __________.【答案】【解析】【分析】求出正的面积，再利用直观图与原图形面积间的关系计算作答.A B C '''A【详解】依题意，正的面积， A B C '''A 221πsin 223A B C S A B '''''===A所以的面积ABC A A ABC B C S '''==A A故答案为：14. 已知复数满足，则__________.z 24i z z +=+z =【答案】34i --【解析】【分析】根据已知条件，结合复数模公式，复数的四则运算，共轭复数的定义，即可求解【详解】设，()i ,R z a b a b =+∈∵，24iz z +=+，即，解得， i 24ia b ++=+24a b ==⎪⎩34a b =-⎧⎨=⎩则有，.34i z =-+34z i =--故答案为：.34i --15. 中，为边上一点，若，则__________. ABC A π3A =D BC 2CD AD BD ==sin C =【答案】1【解析】【分析】设，有，，在π,0,3BAD ∠θθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭π3DAC θ∠=-2π3ACD θ∠=-ACD A 中，由正弦定理求出，得到，可求.θC ∠sin C 【详解】如图所示，设，由，则， π,0,3BAD ∠θθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭AD BD =ABD θ∠=所以，，， 2ADC θ∠=π3DAC θ∠=-2π3ACD θ∠=-在中，由正弦定理可得， ACD A 2ππsin sin 33AD DC θθ=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以， 2AD CD =2ππsin 2sin 33θθ⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得，即， 1sin sin 2θθθθ-=+tan θ=π6θ=，. 2π2πππ3362C θ∠=-=-=sin 1C =故答案为：116. 已知平面向量满足，则的最大值为__________.,,a b c2,1a a b a c =-=-= b c ⋅ 【答案】12 【解析】【分析】根据向量加减法的几何意义作出图形，观察和以及两个向量夹角的变化，b c判断取最大值的位置.b c ⋅【详解】设，则,,OA a OB b OC c ===,BA a b CA a c =-=- 由，则，B 点在以A 为圆心2为半径的圆周上，C 点在2,1a a b a c =-=-=2OA = 以A 为圆心1为半径的圆周上，如图所示，，由图可知，当三点共线，在如图所示的位置，cos b c OB OC OB OC ⋅=，,,A B C有最大值4，有最大值3，此时取最大值1，OBOC cos ,OB OC 所以的最大值为12.b c ⋅故答案为：12.四､解答题（共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）.17. 已知向量.()()2,2,1,a b k ==- （1）若，求实数的值；()2a a b ⊥+k （2）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. abk 【答案】（1）1-（2） (,1)(1,1)-∞-⋃-【解析】【分析】（1）根据题意求得，结合向量垂直的数量积的表示，列出方程，22a b k ⋅=-+即可求解；（2）根据题意，利用且与不共线，结合向量的坐标表示和数量积的运算，即0a b ⋅< a b可求解. 【小问1详解】解：由向量，可得，()()2,2,1,a b k ==- 22a b k ⋅=-+因为，可得，解得.()2a a b ⊥+ ()2228440a a b a a b k ⋅+=+⋅=-+= 1k =-【小问2详解】解：由（1）知，，解得，220a b k ⋅=-+<1k <又由向量与不共线，可得，解得，a b22(1)k ⨯≠⨯-1k ≠-所以实数的取值范围是k (,1)(1,1)-∞-⋃-18. 如图所示，在四棱锥中，四边形为等腰梯形，P ABCD -ABCD .,2,4,AB CD AD CD AB AC PC ===⊥∥（1）证明：平面：AC ⊥PBC（2）若到平面的距离. ,PB BC PB ⊥=D PBC 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）由勾股定理证明所以，又，可证平面.ACBC ⊥AC PC ⊥AC ⊥PBC （2）由，利用体积法求点到平面的距离. D PBC P BCD V V --=D PBC 【小问1详解】四边形为等腰梯形，， ABCD //,2,4AB CD AD CD AB ===过点C 作于E ，如图所示，CEAB ⊥则，可知，1BE =60ABC ∠= 由余弦定理知， 2222cos 164812AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠=+-=则，所以，222AC BC AB +=ACBC ⊥又，平面，， AC PC ⊥,PC BC ⊂PBC PC BC C ⋂=所以平面. AC ⊥PBC 【小问2详解】连接BD ，如图所示,由（1）可知平面，平面，所以平面平面， AC ⊥PBC AC ⊂ABCD ABCD ⊥PBC 平面平面，平面，，平面， ABCD ⋂PBC BC =PB ⊂PBC PB BC ⊥PB ⊥ABCD又，， 2sin 60CE == 12BCD S CE CD =⋅=A所以， 11433P BCD BCD V S PB -=⨯⋅==A在中，由，得PBC A PB BC ⊥12PBC S PB BC =⋅=A设点到平面的距离为d ，则，D PBC 13D PBC V -=⨯，解得到平面D PBC P BCD V V --=d =D PBC 19. 在中，对应的边分别为的外接ABC A ,,A B C ∠∠∠2π,,,,5,3,3a b c A b c ABC ===A 圆面积为. O S （1）求的值；S （2）若点在上，且直线平分角，求线段的长度. D AC BD ABC ∠BD 【答案】（1） 49π3S =（2） BD =【解析】【分析】（1）由余弦定理可求得，再利用正弦定理计算可得外接圆半径为，7a =R =即可求出； 49π3S =（2）利用角平分线定理可得，再由余弦定理计算可得. 32AD =BD =【小问1详解】由，利用余弦定理可得 2π,5,33A b c ===，所以；22212cos 259253492a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭7a =因此的外接圆的半径为，ABC AO 112sin 2a R A =⨯==所以的外接圆的面积 ABC A O 249ππ3S R ==【小问2详解】如下图所示：由直线平分角，利用角平分线定理可得， BD ABC ∠37AD AB DC BC ==又，所以， 5b AC ==33102AD AC ==因此在中，由余弦定理可得ABD △，222931632cos 9234224BD AB AD AB AD A ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭所以，即线段BD =BD 20. 如图所示，已知四边形和四边形都是矩形.平面平面ABCD ADEF ABCD ⊥分别是对角线上异于端点的动点，且,333,,ADEF AD AF AB M N ===,BD AE .BM AN =（1）求证：直线平面； MN A CDE （2）当时，用向量法求平面与平面夹角的余弦值. 12AN NE =AMN DMN 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）利用线面平行的性质与判定定理结合条件直接证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解二面角夹角余弦值. 【小问1详解】过N 作NG DE 与AD 交于G 点，连接MG ，因为NG 平面CDE ，平面CDE ，A ⊄DE ⊂所以NG 平面CDE ，因为NG DE ，所以， A A AN NG AGAE DE AD==因为，，所以，所以MG AB CD ， BM NA =AE BD =AG BMGD MD=A A 因为MG 平面CDE ，平面CDE ，所以平面CDE ， ⊄DC ⊂MG A 因为，平面MNG ，平面MNG ，⋂=MG NG G MG ⊂NG ⊂所以平面MNG 平面CDE ，因为平面MNG ，所以直线MN 平面CDE ； A MN ⊂A 【小问2详解】因为平面平面，平面平面，ABCD ⊥ADEF ABCD ⋂ADEF AD =又平面ADEF ，，所以平面ABCD ，AF ⊂AF AD ⊥AF ⊥则以A 为原点，分别以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标，如图，可得，，，，(0,0,0)A (0,3,0)D 2(,1,0)3M 1(0,1,3N所以，，1(0,1,3AN = 2(,1,0)3AM = 设平面AMN 的法向量为，则，所以，(,,)n x y z = 0AM n AN n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 203103x y y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令，可得，，3x =(3,2,6)n =-设平面MND 的法向量为，，，(,,)m a b c = 1(0,2,3DN =- 2(,2,0)3DM =- 则，所以，令，可得， 0DM m DN m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 22031203a b b c ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩3a =(3,1,6)m = 所以，cos ,m n ==所以平面与平面夹角的余弦值.AMN DMN cos ,m n ==21. 如图，在三棱台中侧面为等腰梯形，111ABC A B C -11BCC B 为中点.底面为等腰三角形，为1118,4,BC B C CC M ===11B C ABC A 5,AB AC O ==的中点.BC（1）证明：平面平面；ABC ⊥AOM （2）记二面角的大小为. 1A BC B --θ①当时，求直线与平面所成角的正弦值. π6θ=1BB 11AAC C ②当时，求直线与平面所成角的正弦的最大值.ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1BB 11AAC C 【答案】（1）证明见解析；（2，②最大值为35【解析】【分析】（1）由三棱台性质及其边长即可证明平面，利用面111ABC A B C -BC ⊥AOM 面垂直的判定定理即可证明平面平面；ABC⊥AOM （2）①由题意可知即为二面角的平面角，，以为坐AOM ∠1A BC B --=AOM θ∠O 标原点建立空间直角坐标系，可得，平面的一个()12,,BB θθ=-11AACC 法向量为，把代入可得直线与平面所成角的3,n ⎛=- ⎝ π6θ=1BB 11AAC C ；②当时，，利用的范围即ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦sin α=θ可求得直线与平面所成角的正弦的最大值为. 1BB 11AAC C 35【小问1详解】因为为等腰三角形，为的中点，所以， ABC A O BC BC AO ⊥又因为侧面为等腰梯形，为的中点，所以，11BCC B M 11B C BC MO ⊥又平面， ,,AO MO O MO AO ⋂=⊂AOM 因此平面，BC⊥AOM 平面，所以平面平面BC ⊂ABC ABC ⊥AOM 【小问2详解】在平面内，作， AOM ON OA ⊥由（1）中平面平面，ABC⊥AOM 且平面平面，平面，可得平面； ABC ⋂AOM OA =ON ⊂AOM ON ⊥ABC 以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所示：,,OB OA ON x yz又因为，，BC MO ⊥BC AO ⊥所以即为二面角的平面角，所以， AOM ∠1A BC B --=AOM θ∠在中，，易知， ABC A 8,5BC AB AC ===4,3OB OA ==又，可得； 1114,O B B C CC C M =⊥=OM =所以()()()()()10,3,0,4,0,0,4,0,0,0,,,2,,A B C M B θθθθ-，；()12,,C θθ-即，()12,,BB θθ=- ()()14,3,0,2,,CA CC θθ==设平面的一个法向量为，11AAC C (),,n x y z =所以，143020n CA x y n CC x y z θθ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+⋅+⋅=⎪⎩可令，则，即； 3x =-4,y z ==3,n ⎛=- ⎝①当时，，，π6θ=(1BB =-(3,4,n =-- 设直线与平面所成角的为， 1BB 11AAC C α所以111sin cos ,BB n BB n BB n α⋅====即时，直线与平面. π6θ=1BB 11AAC C ②当时， ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦111sin cos ,BB n BB n BB nα⋅====设，则在恒成立，ππ(),42f θθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦()0f θ'=>ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以在上单调递增，， ()f θππ,42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f θ∈-，所以；[]20,3∈时，， 0=()max3sin 5α=所以当时，直线与平面所成角的正弦的最大值为. ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1BB 11AAC C 3522. 在中，对应的边分别为，ABC A ,,A B C ∠∠∠,,a b c)2222sin sin sin sin sin sin A B C B C A =+-（1）求；A （2）奥古斯丁.路易斯.柯西（Augustin Louis Cauchy ，1789年-1857年），法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若是内一点，过作垂线，垂足分别为2,a P =ABC A P ,,AB BC AC ，借助于三维分式型柯西不等式：,,D E F ()2222123312123123123,,,x x x x x x y y y R y y y y y y +++∈++≥++当且仅当时等号成立.求的最小值. 312123x x x y y y ==4AB BC AC T PD PE PF=++【答案】（1）3π（2【解析】【分析】（1）先用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可以解出.A （2）将构造出符合三维分式型柯西不等式左边的形式，然后用三维分式型柯西不等式T 结合余弦定理可解.【小问1详解】由正弦定理得即)2222sin bcA b c a =+-sin A=由余弦定理有，sin A A =若，等式不成立，则， cos 0A =cos 0A ≠所以. tan A =因为， ()0,πA ∈所以. π=3A 【小问2详解】.222444=AB BC ACa a T PD PE PF PD P c E PF c PD a PEb b P b Fc =++++=++又， 111,,,222PAB PBC PAC PAB PBC PAC ABC S c PD S a PE S b PF S S S S ===++=A A A A A A A.2ABC c PD a PE b PF S ∴++=A由三维分式型柯西不等式有. ()222224422ABC b c b c T c PD a PE b PF S ++⨯=++≥=A 当且仅当即时等号成立. 112PD PE PF===2=2PE PD PF 由余弦定理得， 222=2cos a b c bc A +-224=c b b c +-所以即，则()243b c bc +-=()24=3b c bc +-2T ≥令，则4t b c =++2128T t t≥=因为解得，当且仅当时等号成立.()224=322b c b c bc b c a ⎧+-+⎛⎫≤⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+>=⎩2+4b c <≤b c =所以.则. 68t <≤11186t ≤<令，则在上递减， 2212811111233y t t t ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭21111233y t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,86111t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭当即时，有最大值，此时118t==2b c =y 316T 【点睛】要能仿照三维分式型柯西不等式的形式进行构造，找到所求要素与柯西不等式的内在联系，再结合余弦定理和基本不等式等知识进行求解，属于难题.。

2021-2022学年重庆市西南大学附属中学校高一下学期期中数学试题(解析版)

2021-2022学年重庆市西南大学附属中学校高一下学期期中数学试题一、单选题1．若复数z 满足1i 1i 2z -=-，则z =（）A ．11i 2+B ．12i 2-C ．11i 2--D ．31i 2-【答案】A【分析】根据复数的加法法则计算可得；【详解】解：因为1i 1i 2z -=-，所以111i i 1i 22z =-+=+；故选：A2．已知向量(3,1),(1,1),a b c a kb ===+．若a c ∥，则k =（） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】B【分析】根据平面向量的坐标运算以及向量平行的坐标表示即可求出．【详解】因为()()()3,1,3,1c a kb k k k k =+=+=++，而a c ∥，所以()()31130k k ⨯+-⨯+=，解得0k =．故选：B ．3．在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，则sin B =（）A B C D 【答案】C【分析】先利用余弦定理求出AB ，由同角平方关系求sin C ，然后结合正弦定理即可求解.【详解】2cos 3C =，4AC =，3BC =，由余弦定理得： 22222cos 16924393AB AC BC AC BC C =+-⋅=+-⨯⨯⨯= 3AB ∴=，2cos 3C =sin C ∴=，由正弦定理得：sin sin AC AB B C = 43sin 3B ∴== 故选：C.4．已知角α终边上一点的坐标为()3,1，则2sin 22cos 1αα+-的值为（） A ．75-B ．15C ．15-D ．75【答案】D【分析】由角α终边上一点的坐标可知1010sin α=，310cos 10α=，结合二倍角公式可得sin 2α，进而求解即可. 【详解】由题，22110sin 1031α==+，223310cos 1031α==+，因为103103sin 22sin cos 210105ααα==⨯⨯=，所以2233107sin 22cos 1215105αα⎛⎫+-=+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，故选：D5．下列说法正确的是（）A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B ．一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥C ．棱锥的所有侧面都是三角形D ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台【答案】C【解析】根据棱柱、圆锥、棱锥和棱台的概念分别判断命题，可得答案．【详解】如图，两个三棱柱合在一起，仍然满足有两个面平行，其余各面都是四边形，但它不是棱柱，A 错；一个直角三角形绕其一个直角边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥，B 错；根据棱锥的定义，C 正确；用一个与底面平行的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体才叫棱台，不是任意平面都能截出棱台的，D 错；故选：C【点睛】方法点睛：本题考查柱锥台的结构特征，归纳如下：1.棱柱的特征：有两个面互相平行；其余各面都是平行四边形；每相邻两个四边形的公共边互相平行；2.棱锥的特征：有一个面是多边形；其余各面都是有一个公共点的三角形；3.棱台的特征：两底面互相平行；侧棱延长线相交于一点；4.圆柱的特征：由矩形绕直角边旋转一周形成；5.圆锥的特征：由直角三角形绕一条直角边旋转一周形成；6.圆台的特征：由直角梯形绕其直角边旋转一周形成；7.球的特征：由半圆绕其直径旋转一周形成．6．已知函数()1π2sin 128f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，下列结论错误的是（）A ．()f x 的值域为[]3,1-B ．()f x 的图象关于直线5π4x =-对称 C ．()f x 的图象关于点7π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()f x 的图象可由函数π2sin 18y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到【答案】C【分析】直接求出正弦函数的值域即可判断选项A ；利用代入验证法即可判断选项B 、C ；根据三角函数的平移伸缩变换即可判断选项D.【详解】A ：因为1sin()[1,1]28x π+∈-，所以12sin()1[3,1]28x π+-∈-，即()f x 的值域为[3,1]-，故A 正确； B ：当54π=-x 时，15()2sin()1=3248f x ππ=-⨯+--为最小值，故函数()f x 的图象关于54π=-x 对称，故B 正确； C ：若函数()f x 的图象关于7(,0)4π对称，由2412T ππ==，得其一条对称轴为73444T x ππ=-=，当34x π=时，3()14f π=，不是最值，所以34x π=不是函数()f x 的对称轴，即函数不关于7(,0)4π对称，故C 错误；D ：将函数2sin()18y x π=+-图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到12sin()128y x π=+-，故D 正确.故选：C7．如图，正四棱锥P ABCD -，M ，N 为棱P A ，PC 的中点，平面BMN 与棱PD 交于点Q ，则下列说法正确的是（）A ．四边形MBNQ 是菱形B ．四边形MBNQ 对角线MN 中点也是四棱锥P ABCD -高线的中点C ．MNQ MNB △△∽D ．90MBN ∠=︒ 【答案】B【分析】如图连接MN ，AC 、BD ，设ACBD O =，连接OP ，设MN OP H =，即可得到//MN AC ，从而判断B 正确，延长BH 交PD 于点G ，连接GM 、GN ，即可判断G 为PD 上靠近P 的三等分点，从而得到A 、C 错误，因为侧棱与底面边长关系无法确定，从而MBN ∠无法判断；【详解】解：如图连接MN ，AC 、BD ，设ACBD O =，连接OP ，设MN OP H =，因为M ，N 为棱P A ，PC 的中点，所以//MN AC ，则H 为OP 的中点，根据正四棱锥的性质可知PO 即为四棱锥P ABCD -的高，故B 正确；延长BH 交PD 于点G ，连接GM 、GN ，则11112224DH DP DO DP DB =+=+，因为G 、H 、B 三点共线，所以3142DG DP =，即32DP DG =，所以G 为PD 上靠近P 的三等分点，显然GM GN =，BM BN =但是GM BM ≠，故四边形MBNQ 不是菱形，且MNQ △与MNB 不相似，故A 、C 错误；因为正四棱锥的侧棱与底面边长关系无法得知，故MBN ∠无法确定，故D 错误；故选：B8．已知ABC 是边长为4的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且AE EB =，3AD DC =，BD 与CE 交于点G ，则GA GB GC ++是（）A 43B 3C 83D 3【答案】C【分析】以BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，然后根据题意求出各个向量的坐标，从而可求得答案【详解】如图，以BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，因为ABC 是边长为4的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且AE EB =，3AD DC =，所以33(2,0),(2,0),(0,23),(3),2B C A E D ⎛-- ⎝⎭,则73,,(2,3)22BD BA ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭设()G x y ,，则(2,)BG x y =+，(2,)CG x y =-，因为BD 与BG 共线，所以732)2y x +，因为AE EB =，所以CG BA ⊥,所以0CG BA ⋅=，所以2(2)230x y -+=，所以解得423,55x y ==，即423,55G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以4831423623,,,,,555555GA GB GC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以1243,55GA GB GC ⎛⎫++=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以22124383555GA GB GC ⎛⎫⎛⎫++=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：C9．设函数()()cos f x x ωϕ=+，其中0>ω，若对任意的,64ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x 在[]0,2π上有且仅有4个零点，则下列ω的值中不满足条件的是（） A ．136ω=B ．116ω=C ．54ω=D ．34ω=【答案】B【分析】利用换元思想转化为cos y t =在[ϕ，2]πωϕ+上有4个零点，则需满足79222ππωϕπ+<，进而根据ϕ的取值范围得到ω的取值范围即可．【详解】解：设t x ωϕ=+，则2t ϕπωϕ+，所以cos y t =在[ϕ，2]πωϕ+上有4个零点，可知79222ππωϕπ+<，所以974242ϕϕωππ-<-，又[,]64ππϕ∈，所以97644224ππωππ-<-，即53817ω<，满足的只有B ，故选：B．二、多选题10．下列说法错误的是（）A．//CB DA就是AB所在的直线平行于CD所在的直线B．长度相等的向量叫相等向量C．零向量的长度等于0D．0++=AB CA BC【答案】AB【分析】对于A，利用平行向量的定义即可判断；对于B，利用相等向量的定义即可判断；对于C，根据零向量的定义即可判断；对于D，根据向量的加法即可求解.【详解】对于A，若//CAB CD的方向相同或相反，AB所在的直线与CD所在A，则,B D的直线平行或在同一直线上，故A不正确；对于B，长度相等且方向相同的向量叫相等向量，故B不正确；对于C，长度为0的向量为零向量，故C正确；对于D，0++=++=+=，故D正确.AB CA BC AB BC CA AC CA故选：AB.11．已知等腰梯形ABCD，现绕着它的较长底CD所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（）A．一个圆台B．两个圆锥C．两个圆台D．一个圆柱【答案】BD【分析】根据旋转体的形成原理即可判断.【详解】如图，形成的旋转体为两个圆锥中间夹了一个圆柱：故选：BD.12．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，下列叙述正确的是（） A ．若sin sin a bB A= 则△ABC 为等腰三角形 B ．若cos cos a bB A= 则△ABC 为等腰三角形 C ．若ta ta a 0n n A t n B C ++>则△ABC 为锐角三角形 D ．若sin cos a b C c B =+，则∠C 4π=【答案】ACD【解析】根据正余弦定理、三角形内角和性质，结合三角恒等变换有：A 可得a b =，B 可得A B =或2A B π+=，C 可得tan tan tan tan tan 0tanA B C A B C ++=>，D 中cos sin C C =，即可判断各选项正误.【详解】A ：sin sin a b B A =有a bb a=，即22a b =，故△ABC 为等腰三角形，正确. B ：cos cos a bB A=有sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，0,A B π<<，所以A B =或2A B π+=，△ABC 不一定为等腰三角形，错误.C ：sin sin 11cos cos cos cos costan tan sin ()sin sin cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos tanA C C C A B A B C C C C A B C A B C A B C A+++=+=⋅+=⋅=⋅，所以△ABC 为锐角三角形，正确.D ：sin cos a b C c B =+知：sin sin()sin sin sin cos A B C B C C B =+=+，所以cos sin C C =，0C π<<，有∠C 4π=，正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：应用正弦定理边角互化及三角形内角和A B C π++=，两角和差公式等转化条件确定三角形形状.三、填空题13．已知正三棱锥O ABC -的底面边长为4，高为2，则此三棱锥的体积为___________【分析】根据题意条件，计算出底面积，然后再利用'13O ABC ABCV SOO -=⨯⨯，计算可求解出体积.【详解】如图，过O 点作底面ABC 的投影'O ，连接'OO ，取BC 的中点D ，连接AD ，在正三棱锥O ABC -中，底面ABC 为正三角形，边长为4，所以23AD =1432ABCSAD BC =⨯⨯=，而'OO 为该正三棱锥O ABC -的高，长为2，所以'1833O ABC ABCV SOO -=⨯⨯=83. 14．已知复数z 满足3i 2z -=，则z 的最大值为___________. 【答案】5【分析】设i z a b =+，a ，b R ∈，由已知条件求出复数i z a b =+对应的点(),a b 的轨迹为圆，根据复数模的几何意义和圆的性质即可求解. 【详解】设i z a b =+，a ，b R ∈，因为3i 2z -=，所以()3i 2a b +-=()2232a b +-，即()2234a b +-=，所以复数i z a b =+对应的点(),a b 的轨迹是以()0,3A 为圆心，半径2r =的圆，而z 表示复数z 对应的点到坐标原点O 的距离，所以z 的最大值就是325OA r +=+=，故答案为：515．如图所示，A ，B ，N 在同一水平面上，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高600m BC =，则山高MN =_____________m .【答案】900【分析】利用锐角三角函数定义，结合正弦定理进行求解即可. 【详解】如图所示：在直角三角形ABC 中，600sin 600222BC CAB AC AC ∠=⇒==，在MAC △中，因为75MAC ∠=︒，60MCA ∠=︒，所以180756045AMC ∠=︒-︒-︒=︒，由正弦定理可知：60026003sin sin 3222MA AC MA MA ACM CMA =⇒=⇒=∠∠，在直角三角形AMN 中，3sin 60039002MN MAN MN AM ∠=⇒=⨯=，故答案为：90016．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美.如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为4，则该半正多面体的表面积为_____________.【答案】16348483+【分析】由题可求出半正多面体的棱长，从而可求出其表面积【详解】一个棱数为24的半正多面体有12 个顶点，14个面，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且顶点是正方体各棱的中点，因为正方体的棱长为4，所以半正多面体的棱长为22，由图可知半正多面体由8个全等的等边三角形和6个全等的正方形组成，所以半正多面体的表面积为 ()()223822622163484⨯⨯+⨯=+，故答案为：16348+四、解答题17．m R ∈，复数()2221i z m m m =+-+-在复平面内对应的点Z .(1)点Z 位于第二象限，求m 的取值范围； (2)复数z 是纯虚数，求m 的值. 【答案】(1)(2,1)-- (2)2m =-【分析】（1）由题意可得222010m m m ⎧+-<⎨->⎩，解不等式组可求出m 的取值范围；（2）由题意可得222010m m m ⎧+-=⎨-≠⎩，从而可求出m 的值【详解】(1)因为复数()2221i z m m m =+-+-在复平面内对应的点Z 位于第二象限，所以222010m m m ⎧+-<⎨->⎩，即2111m m m -<<⎧⎨-⎩或，解得21m -<<-，即m 的取值范围为(2,1)-- (2)因为复数z 是纯虚数，所以222010m m m ⎧+-=⎨-≠⎩，解得2m =-，所以当2m =-时，复数z 是纯虚数18．已知向量()sin cos ,1a x x =+，()2cos ,1b x =（其中x ∈R ），函数()f x a b =⋅. (1)求()f x 的解析式和()f x 的单调递增区间；(2)若()f x =（其中3,88x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭），求x 的值.【答案】(1)())24f x x π=++；单调递增区间为388k x k ππππ-≤≤+(2)12x π=-或3x π=【分析】(1)利用向量数量积的坐标运算，再利用倍角公式和辅助角公式进行化简即可求解；(2)根据题意，直接代入化简可得sin(2)4x π+=可计算求解. 【详解】(1)()22cos (sin cos )1sin 22cos 1f x a b x x x x x =⋅=++=++sin 2cos 22)24x x x π=++=++，要求()f x 的单调递增区间，可令222242k x k πππππ-≤+≤+，解得，388k x k ππππ-≤≤-.综上，解析式为())24f x x π++，()f x 的单调递增区间为388k x k ππππ-≤≤+(2)()f x =)24x π++=sin(2)4x π+=，22412x k πππ∴+=+或1122412x k πππ+=+()k ∈Z ，整理得12x k ππ=-+或3x k ππ=+()k ∈Z ，又因为3,88x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以， 12x π=-或3x π=19．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2cos a b C =，点A 在边BC 上的垂足为点D . (1)判断ABC 的形状；(2)如图，若2BAC ABC ∠=∠，1EB CD ==且3cos 5EBC ∠=-，求AE 的值.【答案】(1)等腰三角形 (2)655【分析】（1）利用正弦定理作边化角，结合()sin sin A B C =+即可判断ABC 的形状；（2）由2BAC ABC ∠=∠，则ABC 是等腰直角三角形，根据1EB CD ==，可得AB 的长，在ABE △中，结合余弦定理求解即可.【详解】(1)由题，因为2cos a b C =，所以sin 2sin cos A B C =，因为()sin sin A B C =+，所以sin cos cos sin 2sin cos +=B C B C B C ，即sin cos cos sin 0B C B C -=，则()sin 0B C -=，所以在ABC 中，B C =，所以ABC 是等腰三角形.(2)由（1），因为2BAC ABC ∠=∠，则2BAC π∠=，4ABC π∠=，因为1EB CD ==，所以22BC CD ==，2AB =，因为3cos 5EBC ∠=-，所以4sin 5EBC ∠=，所以()32422cos cos 525210ABE EBC ABC ∠=∠-∠=-⨯+⨯=，在ABE △中，22652cos 5AE AB EB AB EB ABE =+-⋅⋅∠=. 20．如图，直三棱柱111ABC A B C -有外接圆柱1OO ，点O ，1O 分别在棱AB 和11A B 上，4AB =.(1)若AC BC =，且三棱柱111ABC A B C -有一个内切球，求三棱柱111ABC A B C -的体积； (2)若14AA =，连接1A C ，1B C ，将三棱柱的侧面11ACC A 和11BCC B 展开成一个平面图形111BCAAC B ，求展开图形中11ACB △面积的取值范围.【答案】(1)()1621-(2)(882⎤⎦，【解析】(1)O ，1O 是圆锥的上下底面圆心，而且点O ，1O 分别在棱AB 和11A B 上，由此可知ABC是AB 为斜边的直角三角形. 4,22AB AC BC =∴==,112222422ABCSAC BC =⋅=⨯⨯= 设ABC 的内切圆的半径为r ，则由等面积法，可知:()1122AB BC AC r AC BC ++⋅=⋅,()8221442r ∴==-+，故三棱柱111ABC A B C -的内切球的半径也是()221-，故三棱柱的高()2421h r ==-，进而三棱柱111ABC A B C -的体积()()44211621ABCV Sh =⋅=⨯-=-.(2)三棱柱的侧面11ACC A 和11BCC B 展开成一个平面图形111BCAAC B , 设,AC b BC a ==，则2216a b +=，()11111122A CB SA B CC a b =⋅=+，22>422a b a b a b ++≤+且4<42a b ∴+≤，所以()(1128,82A CB S a b ⎤=+∈⎦.21．如图，已知四边形ABDE 为平形四边形，12AB BC =，13AM AD =，设AE a =，DC b =.(1)用向量a ，b 表示ED ；(2)若点P 是线段CM 上的一动点，AP xa yb =+（其中,x y R ∈），求2x y -的最小值.【答案】(1)1122a b +(2)118【分析】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得；（2）首先用向量a ，b 表示出AM 、AC ，再根据平面向量共线定理的推论及平面向量基本定理得到323423x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，最后代入2x y -利用二次函数的性质计算可得；【详解】(1)解：依题意AE ED AD +=，AC AD DC -=，33AC AB ED ==，所以()3ED AE ED DC -+=，所以()111222ED AE DC a b =+=+； (2)解：因为()()111111113333226261A E AE M AD A D E ED AE C A a D C b ==+=+⨯+++== ()133333322222AC ED AE DC AE DC a b ==⨯+=+=+ 因为P 在线段MC 上，即M 、P 、C 三点共线，所以存在实数t ，[]0,1t ∈，使得()1AP t AM t AC =+- ()332211126t a t b a b ⎛⎫+ ⎪⎛⎫=++- ⎪⎝⎭⎝⎭323423t b a t ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又AP xa yb =+，所以323423x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以2222345351233461832x y t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为[]0,1t ∈，所以当56t =时2x y -取得最小值118；22．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2cos Aa b c C-=，3a =.(1)求A ；(2)若ABC 是等边三角形，圆O 是ABC 的内切圆，圆O 与ABC 的切点分别为D ，E ，F ，如图，若点P 是劣弧EF 上的一点，点Q 是线段DC 上的一点，求PB PQ ⋅的最大值. 【答案】(1)3A π=(2)214【分析】①根据正弦定理，实现边角互化即求解.②建立直角坐标系，得到点的坐标以及圆的方程，然后根据距离公式，求PB PC ⋅的最大值，然后再转化成PB PQ ⋅. 【详解】(1)co 2s cos Aa b c C-=，由正弦定理可得：sin cos s 2in sin cos A CB C A-=,cos cos s 2s in cos si )i (n n sin B A A C A C C A +==+2sin cos sin B A B ∴=,()0,,sin 0B B π∈∴≠, 故1cos 2A =，又()0,,3A A ππ∈∴=.(2)建立如图所示的直角坐标系，设(),P x y ，ABC 的内切圆半径为r ，则133=tan 30tan 30222r a ==，则P 满足:2234x y +=，又因为P 在劣弧EF 上，所以可知：3333-44x y ≤≤≤≤33,,,22B C ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭,22222393153=32444PB x y x x y x ⎛⎛⎫∴=++=++++++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，同理:222315-=-324PC x y x ⎛⎛⎫∴=+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.故:()22221515153-33444PB PC x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，20,4x y ≥≤≤，()22222151515213=4444x ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-≤≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故当0,x y ==()222max214PB PC ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，从而可得()max 214PB PC ⋅=.又因为点Q 是线段DC 上的一点，所以PB PQ PB PC ⋅≤⋅, PB PQ ∴⋅的最大值为214.。

重庆市西南大学附中2020-2021学年高一下学期期中数学试题答案和解析

【详解】
，
因此，只需将函数的图象向左平移个单位即可得出函数的图象.
故选：A.
【点睛】
本题考查三角函数图象变换，解题时要将两个三角函数化为同名函数，同时要注意左右平移指的是在自变量上变化了多少，考查推理能力，属于基础题.
5．D
【分析】
与非零向量方向相反的单位向量为，进而可求得结果.
【详解】
，，，则，
7．已知单位向量、的夹角为，且满足，则的最小值为（）
A． B． C． D．
8．已知两不共线的向量，，则下列说法一定正确的是（）
A．与的夹角为 B．的最大值为
C． D．
9．已知的最小正周期为，对任意都有，则（）
A． B． C． D．
10．已知，，则（）
A． B． C． D．
A． B． C． D．
4．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
5．已知点，，则与向量方向相反的单位向量是（）
A． B． C． D．
6．在中，内角、、所对的边分别为、、，，，，则（）
A． B． C． D．
故选：B.
【点睛】
本题考查利用平面向量的模求夹角余弦值的最值，涉及双勾函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
8．D
【分析】
由向量夹角的范围可判断A选项的正误；计算出，利用余弦函数的值域以及已知条件可判断B选项的正误；利用平面向量模的三角不等式可判断C选项的正误；计算的值可判断D选项的正误.综合可得出结论.
3．B
【分析】

重庆高一高中数学期中考试带答案解析

重庆高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.函数的最小正周期为（）A．B．C．D．2.已知角的终边上有一点（– 1，2），则的值为（）A．B．C．D．– 23.若，则角的终边所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4.设，则（）A．B．C．D．5.函数的图象如图，则（）A．B．C．D．6.下列命题错误的是（）A．非零向量B．零向量与任意向量平行C．已知D．平行四边形ABCD中，7.函数是奇函数，则的一个可能取值为（）A．B．C．D．8.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度C．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度D．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度9.已知函数，下列是同一函数的是（）A．与B．与C．与D．，与10.对任意锐角，下列不等式中正确的是（）A．B．C．D．11.函数的最小正周期为（）A．B．C．D．12.已知角的终边上有一点（– 1，2），则的值为（）A．B．C．D．– 213.若，则角的终边所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14.设，则（）A．B．C．D．15.函数的图象如图，则（）A．B．C．D．16.下列命题错误的是（）A．非零向量B．零向量与任意向量平行C．已知D．平行四边形ABCD中，17.函数是奇函数，则的一个可能取值为（）A．B．C．D．18.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度C．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度D．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度19.已知函数，下列是同一函数的是（）A．与B．与C．与D．，与20.对任意锐角，下列不等式中正确的是（）A．B．C．D．二、填空题1.化简：________________2.△ABC中，，则角A = _________________．3.函数的图象关于直线对称，则实数a = _________________．4.函数的减区间为_________________．5.当时，函数的最小值为_________________．6.化简：________________7.△ABC中，，则角A = _________________．8.函数的图象关于直线对称，则实数a = _________________．9.函数的减区间为_________________．10.当时，函数的最小值为_________________．三、解答题1.(本小题满分13分)已知为锐角，，求的值．2.(本小题满分13分)已知，求的值．3.(本小题满分13分)已知函数．(1)求函数的最小正周期；(2)求函数的递增区间；(3)当时，求的值域．4.(本小题满分12分)已知函数，若的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，且当时，函数的最大值为1．(1)求函数的表达式；(2)在△ABC中，若，且，求的值．5.(本小题满分12分)已知函数．(1)化简；(2)已知常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围；(3)若方程有解，求实数a的取值范围．6.(本小题满分12分)已知函数的最大值为2，求实数a的值．7.(本小题满分13分)已知为锐角，，求的值．8.(本小题满分13分)已知，求的值．9.(本小题满分13分)已知函数．(1)求函数的最小正周期；(2)求函数的递增区间；(3)当时，求的值域．10.(本小题满分12分)已知函数，若的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，且当时，函数的最大值为1．(1)求函数的表达式；(2)在△ABC中，若，且，求的值．11.(本小题满分12分)已知函数．(1)化简；(2)已知常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围；(3)若方程有解，求实数a的取值范围．12.(本小题满分12分)已知函数的最大值为2，求实数a的值．重庆高一高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.函数的最小正周期为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】此题考查正切函数的周期解:由得,所以.选B.答案：B.2.已知角的终边上有一点（– 1，2），则的值为（）A．B．C．D．– 2【答案】A【解析】由三角函数定义，.3.若，则角的终边所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】因为，且，则，由三角函数定义可知角的终边在第三象限.4.设，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，可知，又，由三角函数图象可得5.函数的图象如图，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】本题考查三角函数的性质由图可知，，则，故，则由图象过点，则有，则所以因为，所以令即得即故正确答案为B6.下列命题错误的是（）A．非零向量B．零向量与任意向量平行C．已知D．平行四边形ABCD中，【答案】D【解析】此题考查向量共线和相等向量解: 非零向量，A正确；零向量与任意向量平行，B正确；假设，若，则，矛盾，故C正确；平行四边形ABCD中，,故D错.选D.答案：D7.函数是奇函数，则的一个可能取值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，，函数为奇函数，满足题意.8.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度C．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度D．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度【答案】A【解析】令，当函数图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）时，函数为，若图象再向左平行移动个单位长度，则函数为，于是选A.9.已知函数，下列是同一函数的是（）A．与B．与C．与D．，与【答案】B【解析】略10.对任意锐角，下列不等式中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】为锐角，则，，，所以，。