数学规划导论和预备知识

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数学预备知识

1．实数由于经济数学基础这门课程主要是在实数范围内研究微积分、线性代数、概率统计等问题,因此,本节课主要复习与实数有关的一些基础知识.1.1 实数中的基本概念及运算(1) 实数按照以下方法分类，形成实数系表：实数由有理数和无理数组成．有理数——能表示为两个整数相除形式的数（包括整数、分数（或表示成有限小数、无限循环小数））；无理数——无限不循环小数，即不能表示为两个整数相除形式的数．(2) 基本概念自然数——表示现实世界中“物体的个数”，自然数从 0开始，一般记为0， 1，2，…，n，…，其中n表示任意一个自然数．在实际生活中仅有自然数是不够的．例如，某班学生中男生占全班人数的五分之二，经济数学基础某学期的平均及格率为百分之六十七点二四等等.这些问题用自然数是不能准确描述的，应该分别用分数25和百分数69.24%(或小数0.692 4)来表示．正数——由正整数、正分数和正小数组成，记作a．那么，a> 0．有时用正数也不能准确描述一件事情，例如，白天的最高气温为7︒C,晚上气温下降了10︒C，达到最低气温那么应该怎样描述晚上最低温度呢？负数——在正数前面添上“－”号的数，记作-a(a>0).那么，-a< 0．用负数就可以将晚上最低温度记为-3︒C．0 是一个特殊的数.它既不是正数，也不是负数，而是一个正、负数的分界数，是一个中性的整数．正数和0通常叫做非负数，即当x是非负数时，x≥0；相反，0和负数通常叫做非正数，即当y是非正数时，y≤ 0．在我们遇到的问题中，只用有理数来描述也是不够的.例如，一个两条等边长为1分米的等腰直角三角形，其第三条边的长度是2分米.又如,圆的周长与直径之比是一个常数，叫做圆周率，用符号π表示.这里的2和π是不能被表示成两个整数之比的，这些数被叫做无理数．无理数又分为正无理数和负无理数．(2) 实数的运算规则I加法、乘法运算规则加法交换律a + b = b + a加法结合律(a + b) + c = a + (b + c)乘法交换律a⨯b = b⨯a乘法结合律(a⨯ b)⨯ c = a⨯ (b⨯ c)分配律a⨯ (b + c) = a⨯ b + a⨯cII 括号规则a + (b - c) = a + b - ca - (b - c) = a - b + ca +b -c = a + (b - c)a -b +c = a - (b - c)III正负规则a⨯ (-b) = -( b⨯ a)(-a) ⨯ b = -( b⨯ a)(-a) ⨯ (-b) = b⨯aIV比例规则a bab=⋅1(b≠0)a bcda db cbd+=⋅+⋅(b≠0, d≠0)a bcda cb d⋅=⋅⋅(b≠0, d≠0)a b c d a b d c a d b c ÷=⋅=⋅⋅ (b ≠0, c ≠0, d ≠0) V 乘方规则正数的非 0 次幂是正数；负数的非 0 偶次幂是正数，奇次幂是负数； 0 的正数次幂等于 0，非 0 数的 0 次幂等于 1．例如， 25= 32， (-4)3= -64， (-1.3)2= 1.69， 0100= 0， a 0=1 (a ≠0)VI 开方规则正数的奇次方根是一个正数．正数的偶次方根有两个互为相反的数； 0 的n （n 为正整数）次方根是 0；负数的奇次方根是一个负数，在实数范围内，负数没有偶次方根．例如，3125= 5，38-= -2，53259±=，n 0= 0， (n 是正整数) 如果x 2=a ，那么，x 叫做a 的平方根．一个正数a (a >0)的平方根,是两个互为相反的数±a ，其中正的平方根a 叫做a 的算术平方根（或算术根）．如果x 3=a ，那么，x 叫做a 的立方根． 1.2 数轴与绝对值规定原点、正方向和长度单位的直线叫做数轴．数轴上的 O 表示原点，原点右边的点表示正数，原点左边的点表示负数．数轴上的点与全体实数是一一对应的．一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离，记a ．正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0．即a a a a a a =>=-<⎧⎨⎪⎩⎪0000例如，-19= 19, 256.= 2.56, 0= 0绝对值有以下性质：任何实数都有惟一的绝对值，且绝对值非负，即a≥0任何一个实数都不大于它的绝对值，且不小于它的绝对值的相反数，即a≤a≤a-互为相反的一对数，其绝对值相等，即-a=a两个实数乘积的绝对值等于两个实数绝对值的乘积，即ab=a b两个实数和的绝对值不大于两个实数绝对值之和，即+≤a+ba b两个实数差的绝对值不小于两个实数绝对值之差，即-≥a-ba b任何一个实数绝对值等于该实数平方后的算术平方根，即a=2．方程在工作和生活中，我们有时会遇到要用数学式子来表示几个量之间的关系，并要通过这些关系式来求未知量的数值．那么怎样求解呢？有哪些求解方法呢？这就是本节课要讨论的内容──方程及方程求解．2.1 方程中的基本概念用等号连接的两个式子叫做等式，含有未知量的等式叫做方程．含有n个未知量的方程叫做n元方程，未知量的最高次幂是m的方程叫做m次方程，其中‘元’就是指未知量．例如：2x-10 = 5 一元一次方程x2+ 4x-5 = 0 一元二次方程2x+ 3y=1 二元一次方程34520x y x y -=+=⎧⎨⎩ 二元一次方程组能够使方程成为恒等式的未知量的值叫做方程的解．含有一个未知量的方程的解也叫做方程的根．例如：x 1 = -5和x 2 = 1都是方程x 2+ 4x -5 =0 的解，也是该方程的两个根．求方程的解或确定方程无解的过程叫做解方程．两个解相同的方程叫做同解方程．性质1 方程两边都加上(减去)同一个数或同一个整式，所得方程与原方程是同解方程．性质2 方程两边都乘(除)以一个不等于 0的数，所得方程与原方程是同解方程．上述两个性质又叫做方程的变形规则. 解方程一般是利用这两个性质将原方程逐步变形，化简成便于求解的同解方程，然后求解． 2.2 一元一次方程只含有一个未知量,并且未知量的最高次幂是一次的整式方程叫做一元一次方程．一般式为ax + b = 0 (a ≠ 0)解法：通过同解变形（去分母、去括号、移项、合并同类项等）化成ax = -b (a ≠ 0)然后除以未知数的系数值a ，得到方程的解x = -ba ．2.3 一元二次方程只含有一个未知量，并且未知量的最高次幂是二次的整式方程叫做一元二次方程．一般式:ax 2 + bx + c = 0 （a ≠ 0）其中ax 2叫做二次项，a 叫做二次项的系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项的系数，c 叫做常数项．一元二次方程最基本的解法是公式法，有时也可以用配方法或因式分解法求解，尤其是当二次项系数a = 1，即原方程变为x bx c 20++=时．1. 公式法：利用求根公式x b b ac a =-±-242求方程的根（见例5）．一般先用判别式b ac 24-判断方程解的情况，在有解的情况下，再用求根公式求解．当b ac 240-≥时，方程有两个不同的实数解a acb b x 2421-+-=，a ac b b x 2422---=当042=-ac b 时，方程有两个相同的实数解212x a bx =-=当b ac 240-<时，方程无实数解．2．配方法：将方程中常数项移到等号右边，即ax 2 + bx = -c然后在等号的两边分别加上一次项系数一半的平方，得222)2()2()(b c b bx ax +-=++,44)2(22c b b ax -=+ 若b 2 - 4c ≥ 0（否则无解）再开方，即可求得方程的解（见例2）． 3．因式分解法：设方程可以写成两个一次项的乘积，即x bx c x p x q 2++=++()()由()()()x p x q x p q x pq ++=+++2即pq x q p x c bx x +++=++)(22比较等式两边x 的同次幂的系数，得到b p q =+，c pq =也就是说，将x bx c 2++因式分解时，只需找到两个数p 和q ，使它们满2．方程上节课我们讨论了一元一次方程、一元二次方程的求解方法．这节课将要讨论另一类方程——二元一次方程和二元一次方程组．在讨论二元一次方程（组）之前，先介绍直角坐标系的有关概念．2.4 直角坐标系一、直角坐标系在一平面上，两条数轴成直角相交，构成一个直角坐标系．规定：水平方向的数轴叫做x轴，垂直方向的数轴叫做y轴，两条数轴的交点叫做坐标原点（记为O），x轴的原点右边为正方向，y轴的原点上方为正方向．(见图)平面上点P (x,y)有序实数对x表示点P 到y轴的距离，叫做点P 的横坐标；y表示点P 到x轴的距离，叫做点P的纵坐标．坐标平面分为四个象限，每一个象限中点的横坐标和纵坐标的符号如下第一象限：(+, +)第二象限：(-, +)第三象限：(-, -)第三象限：(+, -)在x 轴上的点的纵坐标为0，即(x ,0)；在y 轴上的点的横坐标为 0，即(0,y )．二、两点之间的距离公式设点P 1的坐标为(,)x y 11，点P 2的坐标为(,)x y 22，则P 1, P 2两点之间的距离d 的计算公式为21221221)()(y y x x P P d -+-==两点之间的距离非负，而且只有在这两点位置相同的情况下，它们之间的距离才等于 0．距离公式的几何说明见右图． 2.5 直线方程二元一次方程——含有两个未知量，并且未知量的最高次幂是一次的方程．一般式为0=++c by ax其中a b ,是未知量的系数，c 是常数．满足二元一次方程的点 (,)x y 的轨迹是一条直线，因此，二元一次方程又叫做直线方程．画直线的两点法：当c =0时,先求满足直线方程的一点（原点除外），然后通过该点与原点画出直线方程所表示的直线．当c ≠0时,可先分别求直线在x 轴上的截距（令y = 0,得a cx -=）和直线在y 轴上的截距（令x =0，得b cy -=）, 然后在坐标轴上画出这两个点（a c -，0）和（0，b c-），并通过这两个点画出直线方程所表示的直线．画直线的点斜法：通过直线上一点与直线的斜率确定直线．直线的斜率表示直线的方向,可通过直线上任意两点的坐标计算斜率．设点(,)x y 11与(,)x y 22是直线l 上的两点，那么直线l 的斜率为k y y x x =--2121 ()x x 12≠当x x 12=时，直线l 的斜率没有定义，即直线l 垂直于x 轴．下面给出求直线方程的几种方法：1．如果点(x y 11,)和(x y 22,) 是直线上的两点，且x x 12≠，那么该直线的两点式方程为)(112121x x x x y y y y ---=-2．以k 表示两点式方程式中的斜率y y x x 2121--，那么该直线的点斜式方程为)(11x x k y y -=-即已知直线的斜率k 和直线上的一点(x y 11,)，就能写出直线方程．直线方程除两点式和点斜式外，还有以下几种形式：3．截距式方程 x a y b +=14．斜截式方程 y kx b =+ 5．铅垂式方程 x x =1 6．水平式方程 y y =1x,轴上的截距．其中，a b,分别是y2.6 直线方程组直线方程组——由几个一次方程组成，且含有两个未知数的方程组．直线方程组亦叫做二元一次方程组．设有两条直线l1，l2，那么，这两条直线间有以下三种关系：（1）l1与l2上的所有点相同，表示两条直线重叠，这两条直线对应的直线方程组有无穷多解；（2）l1与l2只有一个公共点，表示两条直线相交，它们交点的坐标是该方程组的惟一解；（3）l1与l2没有公共点，表示两条直线平行，它们对应的方程组无解．求解直线方程组常用的方法是加减消元法．用消元法求解方程组主要是进行以下两种变换:（I）用一个非 0 数乘某一个方程；（II）一个方程加上另一个方程的倍数．这两种变换叫做方程的初等变换．另外， “将两个方程的位置互换”也是一种初等变换．方程组经过初等变换，形式改变了，但是方程组的解是不变的，也就是说初等变换不改变方程组的解，变换后与变换前的方程组是同解方程组．3．不等式前几节课我们讨论的都是一种相等关系的问题．但在很多地方存在不等关系的问题，而且常常要求解含有未知量的不等关系．不等式——用大于号“>”、大于等于号“≥”、小于号“<”、小于等于号“≤” 等不等号将两个代数式连结起来的式子．不等式的解——能够使不等式成立的未知量的值．不等式具有下列性质，这些性质希望大家熟记．（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个表达式，不等号不变．即当b a >时，a c b c +>+，a c b c ->-．（2）不等式两边都乘（或除）以同一个正数，不等号不变．即当b a >，c >0时，ac bc >，a c bc >．（3）不等式两边都乘（或除）以同一个负数，不等号反向．即当b a >，c <0时，bc ac <，a c b c <．（4）不等式有传递性，即当b a >，c b >时，c a >． 3.1 一元一次不等式一元一次不等式——含有一个未知量，并且未知量的最高次幂是一次的不等式．一元一次不等式组——含有相同未知量的几个一元一次不等式所组成的不等式组．不等式组的解——同时满足不等式组中每一个不等式的解．注意：解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤类似；在不等式组的求解过程中，一般利用数轴确定它们的解，是一种比较方便的方法．下面通过例题说明．例1 解下列不等式17)10(2283--≤--x x x解去分母，即不等号两边同乘14，得1473841014x x x --≤--()()去括号，得 14440562114--≤+-x x x合并同类项，即将未知量的项移到不等号的一边，常数项移到不等号的另一边，然后合并，得 303-≤-x 不等号两边同除 –3，由性质(3)得 10≥x例2 解不等式组533235231()()()()x x x x ->--<-⎧⎨⎩解去掉第一个不等式中的括号，得96155->-x x 合并同类项，得 x <-6去掉第二个不等式中的括号，得 51033x x -<- 合并同类项，得 x <35.由右图知，不等式组的解，即同时满足不等式组中两个不等式的解为6-<x3.2 一元二次不等式一元二次不等式 ——含有一个未知量，并且未知量的最高次幂是二次的不等式．任何一个一元二次不等式，总可以写成下列两种形式中的一种02≥++c bx ax 或 ax bx c 20++≤ （a ≠0）如何求解一元二次不等式呢？我们通过例子介绍．例3 解不等式 x x 23100-->解将不等式左边分解因式，得()()x x +->250上式相当于下列不等式组x x +>->⎧⎨⎩2050 或 x x +<-<⎧⎨⎩2050由第一个不等式组得x >-2 且 x >5所以第一个不等式组的解为x >5．由第二个不等式组得x <-2 且 x <5所以第二个不等式组的解为x <-2．由此可得原不等式的解为x >5或x <-2，如右图． 3.3 二元一次不等式二元一次不等式 ——含有两个未知量，并且未知量的最高次幂是一次的不等式．二元一次不等式的一般形式是ax by c ++≥0 或 ax by c ++≤0其中 a b c ,,为常数，且a b ≠≠00,二元一次不等式组——由几个二元一次不等式组成的不等式组．求解二元一次不等式或二元一次不等式组的常用方法是图解法，下面通过例子介绍．例4 用图解法解不等式 230x y +≥解首先在直角坐标系中画直线(见右图) l 1：032=+y x ．由右图可知，直线l 1将坐标平面分成左下、右上两个半平面．然后在右上半平面中任取一点，如（1，1），代入不等式，得2x + 3y = 2⨯1 + 3⨯1= 5 > 0由此可知，右上半平面内的所有点都是不等式230x y +≥的解．显然，直线l 1 上的点也是230x y +≥的解．所以，原不等式的解是包含直线l 1的右上半平面内的全部点，如右图中的阴影部分．注意：二元一次不等式的解是直角坐标系中的半个平面．当不等号是“≤”或“≥”时，解的半平面包含直线，而当不等号是“<”或“>”时，解的半平面不含直线，在图中用虚线表示．例5 用图解法求解不等式组240210x y x y -+<++≥⎧⎨⎩解在直角坐标系中画直线(见右图)l 1: 42+-y x = 0 取点（0，0），代入直线方程得 2⨯0 - 0 + 4 = 4 > 0即点（0，0）不在240x y -+<表示的半平面内，因此240x y -+<的解是直线l 1的左上半平面．再画直线 l 2: 12++y x = 0取点（0，0），代入直线方程得 2⨯0 + 0 + 1 = 1 > 0即点（0，0）在2x + y + 1 ≥ 0表示的半平面内，因此2x + y + 1 ≥ 0的解是直线l 2的右上半平面．取两个半平面的重叠部分（在右图中用阴影表示），得到原不等式组的解．注意：由例5可知，求二元一次不等式组的解，就是在直角坐标系中分别画出不等式组中每一个不等式所对应的半平面．如果这些半平面有重叠的区域，不等式组就有解，且解的区域可能是无界区域，也可能是有界区域．如果这些半平面没有重叠的部分，则不等式组无解. 4. 集合与区间集合与区间是经济数学中基本的概念．在学习微积分和概率论中的一些章节的内容时，将涉及集合和区间的有关知识． 4.1 集合的基本概念集合——具有确切含义的若干事物的全体．元素——组成集合的事物．例如，某企业生产的一批全自动洗衣机组成一个集合，其中的任意一台洗衣机就是该集合的一个元素．坐标平面上所有的点组成一个集合，平面上的一点(,)x y ，就是该集合中的一个元素．用A , B , C , …表示集合，用a , b , c , …表示集合的元素．如N ——自然数集合 Z ——整数集合 Q ——有理数集合 R ——实数集合若a 是集合A 中的元素，则称a 属于A ，记作a ∈ A ；若a 不是集合A 中的元素，则称a 不属于A ，记作a ∉ A ．集合A 中元素的数目叫做A 的基数．有限集合——集合中的元素为有限数的集合．如一个专业全体学生的集合．无限集合——集合中的元素不是有限数的集合．如有理数集合．表示一个集合的方法：列举法——列出集合的所有元素，并用花括号括起来．例如， A = {a b c z ,,,, }描述法——将集合中元素的共同属性描述出来．例如 B = {12=-x x 且x ∈R }文氏图——用一个简单的平面区域代表一个集合，如右图．集合内的元素用区域内的点表示．注意：集合中的元素是彼此不同的，同一集合中不能重复出现同一元素．集合中的元素是无序的，可以任意列出．若集合B 中的每个元素都是集合A 中的元素，那么将B 叫做A 的子集，记作B ⊆A ．若B 不是A 的子集，记作例如 N ⊆ Q ⊆ R ，但若A ⊆B 且B ⊆A ，则称A 与B 相等，记作A =B ．若A 与B 不相等，记作A ≠B ．若B ⊆A ，且B ≠A ，则称B 为A 的真子集，记作 B ⊂A ．见右图．若B 不是A 的真子集，记作B ⊄A ．例如 N ⊂ Q ⊂ R 空集——不含任何元素的集合，记作∅．例如{x x 210+=且x ∈R }=∅．因为12+x =0无实数解，所以它的实数解集是空集．全集—— 在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子集，则称这个集合为全集，记作U ． 4.2 集合的运算并集A ⋃B ——所有属于A 或属于B 的元素组成的集合．即A ⋃B ={x ∣x ∈A 或x ∈B }交集A ⋂B ——既属于A 又属于B 的所有元素组成的集合．即A ⋂B ={x ∣x ∈A 且x ∈B }如果两个集合A 和B 没有公共元素，即A ⋂B =∅，集合A 与B 叫做不相交集．并集A ⋃B , 交集A ⋂B , A 与B 不相交的文氏图见下图(a )，(b ), (c )．差集A -B ——属于A 而不属于B 的所有元素组成的集合．即A -B ={x ∣x ∈A 且x ∉B }补集A ——由U 中所有不属于A 的元素组成的集合．即A ={x ∣x ∈U 且x ∉A }其中U 为全集，A ⊆U ．补集A 可以看作全集U 与集合A 的差集，即A =U -A ．差集A -B ，补集A 的文氏图表示见下图(d )，(e )．下面是集合运算的主要运算律，其中A ,B ,C 是任意集合，U 是全集． 1. 交换律 A ⋃B =B ⋃A A ⋂B =B ⋂A2. 结合律 (A ⋃B )⋃C =A ⋃(B ⋃C ) (A ⋂B )⋂C =A ⋂(B ⋂C )3. 分配律 A ⋃(⋂C )=(A ⋃B )⋂(A ⋃C ) A ⋂(B ⋃C )=(A ⋂B )⋃(A ⋂C )4. 吸收律 (A ⋃B )⋂A = A (A ⋂B )⋃A =A5. 摩根律 B A B A B A B A ⋃=⋂⋂=⋃4.3 区间设R 为实数集合，∈b a ,R 且a b <．有限区间为：开区间(,)a b ——满足不等式a x b <<的所有实数x 的集合，即(,){}a b x a x b =<<见右图(a )．闭区间[,]a b ——满足不等式a x b ≤≤的所有实数x 的集合，即 [,]{}a b x a x b =≤≤ 见由图(b )．半开区间(,]([,))a b a b 或——满足不等式a xb <≤(或a x ≤<b )的所有实数x 的集合，即(,]{}a b x a x b =<≤[,){}a b x a x b =≤< 见右图(c ),(d )．区间长度——有限区间右端点b 与左端点a 的差b a -．几何上表示点a 与点b 之间的线段长度，开区间不包括端点，闭区间包括端点．引入记号+∞(读作“正无穷大”)和-∞（读作“负无穷大”），可以有以下几种无限区间：(,){}a x a x +∞=< [,){}a x a x +∞=≤ (,){}-∞=<b x x b (,]{}-∞=≤b x x b}{),(+∞<<∞-=+∞-∞x x ，即实数集合．邻域(点x 0的δ邻域)——在数轴上以点x 0为中心，长度为2δ的开区间(,){,}x x x x x 0000-+=-<>δδδδ将(,)x x 00-δ和(,)x x 00+δ分别叫做点x 0的左邻域和右邻域．一般地，δ 是一个很小的正数．例如，x -<201.，是以点x 02=为中心，长度为0.2的邻域，也就是开区间(1.9, 2.1)． 5．排列与组合排列与组合是概率计数的基础，它们主要研究在某种条件下完成某件事的方法数. 这节课先介绍加法法则与乘法法则，然后介绍不重复排列和重复排列的概念，及其排列数的计算公式.5.1 加法法则与乘法法则加法法则——如果完成事件A ，必须且只须完成有关的事件A 1, A 2, …, A n 中的一个就算完成；设完成事件A 1, A 2, …, A n 的方法数分别为m 1, m 2, …, m n ，且其中任何两者方法都不相同，那么完成事件A 的方法数为m 1＋m 2＋…＋m n例如，从北京到济南可乘3种交通工具到达，每天火车有10个车次，飞机有3个航班，汽车有2个班次，那么一天内从北京到达济南共有10＋3＋2＝15种不同到达方式.乘法法则——如果完成事件A ，必须且只须依次完成有关的事件A 1, A 2, …, A n 后才算完成；设完成事件A 1, A 2, …, A n 的方法数分别为m 1, m 2, …, m n ，那么完成事件A 的方法数为m 1⋅m 2⋅…⋅m n例如，一个班里有15名男生，20名女生．要在该班选一名男代表和一名女代表，从15名男生中选一名代表，有15种选法；从20名女生中选一名代表，又有20种选法. 所以在该班选一名男代表和一名女代表可能有15×20=300种选举结果.5.2 排列从n 个不同元素中，不重复地任取m ( m ≤n )个元素，按照一定的顺序排成一行，称为从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列. 这样取出的所有排列的个数，称为从n 个不同元素中取出的m 元排列数，记作mn P . 显然，NP m n ∈.当m ＝n 时，称为全排列，简记P n .从n 个不同元素中取出的m 元排列数的计算公式为m n P =n (n －1)(n －2)…(n －m +1)当m ＝n 时P n = n (n -1)…2⋅1＝n ! (读作n 的阶乘)于是有P n r =n (n -1)(n -2)…(n - r +1)=n n r !()!-规定0!=1．对于n ≥0，规定P n 0=1.从n 个不同元素中，允许重复地任取m (m ≤n )个元素，按照一定的顺序排成一行，称为从n 个不同元素中取出的m 元可重复排列（简称重复排列）. 这样取出的重复排列的个数，称为m 元重复排列数.记作m n R . 有 m m n n R =5．排列与组合上节课介绍加法法则与乘法法则，以及排列的概念与排列数的计算公式. 这节课主要介绍组合概念及组合数的计算公式.5.3 组合从n 个不同元素中，不重复地任取m ( m ≤ n )个元素，组成一组，称为从n 个不同元素中取出的m 个元素的组合(简称m 元组合)，这样取出的所有m 元组合的个数，称为从n 个不同元素中取出的m 元组合数. 记作⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m n .例如，由矩形ABCD 的任意三个顶点所确定的三角形个数问题, 就是一个从4个不同元素中任取3个元素的组合问题. 显然所确定的三角形为∆ABC ，∆ABD ，∆ACD ，∆BCD共4个，即434=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛.注意，每个三角形由它的三个顶点惟一确定，与三顶点的顺序无关. 一般地，任意一个m 元组合只与它的m 个元素有关，而与元素之间的顺序无关. 可以证明)!(!!!m n m n m P m n m n -==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛于是，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m n m P m n !例1 10个人相约，每二人互通电话一次，并各通信一次，问共通话多少次？通信多少封？解二人互通电话没有顺序，是组合问题；而通信是有顺序的，是排列问题. 通话次数为：45!8!2!10210==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛通信封数：910210⨯=P ＝90由组合数的计算公式，容易推出组合数的下列性质：性质1：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m n n m n ；性质2：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+11m n m n m n .。

第1章高等数学规划预备知识

第1章预备知识§1.1 基本概念与术语1.1.1 数学规划问题举例例1 食谱（配食）问题● 假设市场上有n 种不同的食物，第j 种食物每个单位的销售价为),,2,1(n j c j 。

● 人体在正常生命活动过程中需要m 种基本的营养成分。

为了保证人体的健康，一个人每天至少需要摄入第i 种营养成分),,2,1(m i b i 个单位。

● 第j 种食物的每个单位包含第i 种营养成分ij a 个单位。

食谱（配食）问题就是要求在满足人体基本营养需求的前提下，寻找最经济的配食方案（食谱）。

建立食谱的数学模型引入决策变量i x ：食谱中第i 种食物的单位数量i ni i x c 1mins.t.m i b x a i j nj ij ,,2,1,1n j x j ,,2,1 ,0例2 选址与运输问题● 假设某大型建筑公司有m 个项目在不同的地点同时开工建设.记工地的位置分别为m i b a P i i i ,,2,1 ),,( .● 第i 个工地对某种建筑材料的日用量是已知的（比如水泥的日用量（单位：t ）为i D ）． ● 该公司准备分别在),(111y x T 和),(222y x T 两个地点建造临时料场，并且保证临时料场对材料的日储量（单位：t ）分别为1M 和2M ．如何为该公司确定临时料场的位置，并且制订每天的材料供应计划，使建筑材料的总体运输负担最小？建立选址与运输问题的数学模型引入决策变量：位置变量),(k k y x ,从临时料场向各工地运送的材料数量),,2,1 ;2,1(m i k z ki .21122)()(min k mi i k i k ki b y a x zs.t.2,1 ,1k M z k mi kim i D z i k ki ,,2,1 ,21m i k y x z k k ki ,,2,1,2,1 , R ),( ,02例3 生产计划问题● 某企业向客户提供一种机器，第1季度末需要交货1c 台，第2季度末需要交货2c 台，第3季度末需要交货3c 台．● 该企业最大生产能力是每季度生产b 台.● 若用x 表示该企业在某季度生产的机器台数，则生产费用（单位：元）可以用函数x a x a x f 21)( 来描述.● 企业需为每台机器在每个季度多支付p 元的存储费． ● 假设在第一个季度开始时无存货，不允许缺货.如何制订生产计划，确定在每个季度应该生产多少台机器，才能既履行交货合同，又使企业总体费用最少？建立生产计划的数学模型决策变量：用)3,2,1( i x i 表示企业在第i 个季度生产的机器数量．合同规定的总数量：321321c c c x x x每个季度生产数量要求：每个季度生产数量j x 不大于最大生产能力b ，不少于该季度末的交货量j c 与该季度初的库存量j I 之差.第j 个季度初库存量：3,2,1 ,)( j c x I ji i i j （1I =0）变量隐含要求：)3,2,1(0 j x j ，并且取整数．企业总费用：所有季度生产与存储费用之和3231)()(i i i i pI x f x F)2()))3(()(min 213121c c p x a x p i a x F i i is.t. 3131j j j j c x11c x2121c c x x3,2,1,,0 j Z x b x j j (Z 表示所有整数的集合)1.1.2 数学规划问题的模型与分类● 形成一个最优化问题的数学模型⏹ 首先需要辨识目标，确定优化标准，即待研究系统的性能定量描述，如成本、数量、利润、时间、能量等；⏹ 其次用合适的决策变量描述系统的特征量，并将目标表示成决策变量的函数（目标函数，objective function )；⏹ 此外需确定变量所受的范围限制，由若干个函数的等式或者不等式来定义（约束函数，constraint functions )．● 最优化问题指在决策变量所受限制范围内，对相关的目标函数进行极小化或者极大化.)(min nRx f x s.t. I i x g i ,0)(E j x h j ,0)(满足约束条件的点称为可行点（feasible point ) ，所有可行点的集合称为可行域（feasible region ) ，记为S .当nS R ，无约束优化问题;否则,约束优化问题．i g f ,和i h 都是线性函数，为线性规划（linear programming ，LP );否则为非线性规划（nonlinear programming, NLP ）.所有变量取整数，称为整数规划（integer programming );允许一部分变量取整数，另一部分变量取实数，为混合整数规划（mixed integer programming, MIP ）.从一个连通无限集合（可行域）中寻找最优解, 称为连续优化(continuous optimization )问题；从一个有限的集合或者离散的集合中寻找最优解，称为组合优化（combinatorial optimization)，或者离散优化（discrete optimization ）．存在多个目标，即目标函数)(x f 取一个向量值函数，称多目标规划（multi-objective programming)，或多目标优化．最优化问题中出现的参数是完全确定的，称为确定型优化（deterministic optimization ）问题;否则称为非确定型优化（uncertain optimization) 问题，包括了随机规划（stochastic programming ）、模糊规划（fuzzy programming ) 等特殊情形．1.1.3 最优解的概念定义: 设)(x f 为目标函数，S 为可行域，S x ，若对每个S x ，成立)()(x f x f ，则称x 为)(x f 在S 上的全局极小点。

高中数学必修一预备知识

高中数学必修一预备知识High school mathematics required course one preparatory knowledge 高中数学必修一预备知识To excel in the study of high school mathematics, it is crucial to have a solid foundation in prerequisite knowledge.要想在高中数学学习中取得优异成绩，拥有扎实的预备知识至关重要。

This includes a basic understanding of arithmetic operations, fractions, decimals, and percentages.这包括基本的算术运算、分数、小数和百分数的理解。

Familiarity with algebraic concepts such as variables, equations, and functions is also essential.熟悉代数概念，如变量、方程和函数，同样必不可少。

Moreover, a grasp of geometric principles like lines, angles, and shapes is vital for laying a strong foundation.此外，掌握几何原理，如线、角和形状，对于奠定坚实的基础至关重要。

Lastly, an understanding of basic statistics and probability is helpful in preparing for more advanced topics in the subject.最后，了解基本的统计和概率知识有助于为数学学科中更高级的主题做好准备。

By mastering these preparatory knowledge areas, students will be well-prepared to tackle the challenges that lie ahead in their high school mathematics journey.通过掌握这些预备知识领域，学生将为他们在高中数学旅程中面临的挑战做好充分准备。

高等数学预备知识

高等数学预备知识(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--高等数学预备知识1．不同三角函数间的关系αααcos sin tan =αααsin cos cot = ααcos 1sec = ααsin 1csc = 1cos sin 22=+αα 1tan sec 22=-αα 1cot csc 22=-αα2．加法公式（注意“±”与“ ”） βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=± αββαβαcot cot 1cot cot )cot(±=±3．和差化积2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- βαβαβαcos cos )sin(tan tan ±=±βαβαβαsin sin )sin(cot cot ±±=±βαβαβαsin cos )cos(cot tan ±=± （注意符号）4．积化和差)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=5．倍角公式ααααα2tan 1tan 2cos sin 22sin +== ααααααα222222tan 1tan 1sin 211cos 2sin cos 2cos +-=-=-=-= ααα2tan 1tan 22tan -= αααcot 21cos 2cot 2-=6．半角公式 2cos 12sinαα-±= 2cos 12cos αα+±= αααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12tan+=-=+-±= αααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cot-=+=-+±= 7．降幂公式 )2cos 1(21sin 2αα-=)2cos 1(21cos 2αα+= 8．反三角函数（1）反三角函数的定义域与主值范围（2）图像（附加）三角函数的图像1-1y=sinx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoyx1-1y=cosx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoyx y=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyxy=cotx3π2ππ22π-π-π2oyx （3）反三角函数的相互关系21arctanarccos2)arcsin(arcsinxxxxx-=-=--=π21arctanarcsin2)arccos(arccosxxxxx-=-=--=ππ21arcsincot23)arctan(arctanxxxarcxx+=-=--=π21arccosarctan 2)cot(cot xx x x arc x arc +=-=--=ππ9．数列（1）等差数列通项公式：d n a a n )1(1-+= 前n 项和：d n n na n a a S n n 2)1(2)(11-+=+= （2）等比数列通项公式：11-=n n q a a前n 项和：qqa a q q a S n n n --=--=11)1(11 （3）某些数列的和)1(21321+=++++n n n )1(2642+=++++n n n2)12(531n n =-++++)12)(1(613212222++=++++n n n n 23333)321(321n n ++++=++++ 10．乘法与因式分解2222)(b ab a b a +±=± 3223333)(b ab b a a b a ++±=± ))((22b a b a b a +-=- ))((2233b ab a b a b a +±=±))((122321-----+++++-=-n n n n n n n b ab b a b a a b a b a (n 为正整数) ))((122321------+-+-+=-n n n n n n n b ab b a b a a b a b a (n 为偶数) ))((122321-----+--+-+=+n n n n n n n b ab b a b a a b a b a (n 为奇数) 11．不等式（1）有关绝对值的不等式||||||b a b a +≤± ||||||||||b a b a b a +≤-≤-||||||||k b a k b a +++≤±±± （（2）有关三角函数、指数函数、对数函数的不等式)20(tan sin π<<<<x xx x )0(1sin cos π<<<<x xxx)0(1≠+>x x e x )0,1(11≠<-<x x xe x )0(1ln >-≤x x x )0,1(1)1ln(≠<-<--<x x xx x x)0,1(1)1(>>+>+x x x ααα（3）某些重要不等式 ① 222a b ab +≥，221()2ab a b ≤+；②1()2a b +≥12121()n n n a a a a a a n+++≥⋅⋅⋅；（0,0,0,1,2,,i a b a i n ≥≥≥=）③ ||||||||||a b a b a b -≤±≤+，11221122|()()()||||()||||()||||()|n n n n a f x a f x a f x a f x a f x a f x +++≤+++n a a a na a a n n2222121+++≤+++ na a a a a a nn n ++≤2121))(()(121221∑∑∑===≤ni i ni ini i i b a b a （柯西不等式）12．阶乘、排列、组合（1）阶乘n n ⋅⋅⋅⋅= 321! )12(531!2)!12(!)!12(+⋅⋅⋅⋅=+=+n n n n n （规定）1!0= 0!!0= )2(42!2!)!2(n n n n ⋅⋅⋅== （2）排列)1()2)(1()!(!+---=-=k n n n n k n n A kn123)2)(1(!⋅⋅--=== n n n n A P nn n（3）组合!)!(!!k k n n k A C kn kn-== （kn C 也记作⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n ） 13．二项式定理与多项式定理二项式定理：∑=-----=+++++=+nk kk n k n nnnn n nn nn nnnnb a C b C abCb aC b a C a C b a 011222110)( 多项式定理：s q p ns q p n k b a s q p n k b a ∑=++=+++!!!!)(14．指数运算nm nmaa a +=⋅ n m n ma aa -= mn n m a a =)( m m mb a ab =)( mm m b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛ m n n m n ma a a )(== m m a a 1=- )0(10≠=a a 15．对数运算01log =a 1log =a a y x xy a a a log log log +=y x yxa a alog log log -= x b x a b a log log = 对数恒等式：x a x a =log x a x a =log 换底公式：ayy b b a log log log =1log log =⋅a b b a 数学中常见基本初等函数和初等函数：①基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数这6类函数称为基本初等函数。

高等数学预备知识-新生自学内容

高等数学预备知识（新生自学内容）（一）数学归纳法1、适用范围：只适用于证明与正整数n 有关的命题.2、证明步骤：（1）证明当n 取第一个值0n （例如01n =或2 等）时,命题成立.（2）假设当k n =（0k N k n +∈≥且）时结论正确,证明当1k n +=时结论也成立. 由这两个步骤,就可以断定命题对于从0n 开始的所有正整数n 都成立. 3、注意：第一步是递推的基础,第二步是递推的根据,两步缺一不可.4、用途：（1）证明代数和或三角恒等式；（2）证明不等式；（3）证明整除性；（4）证几何命题等.数学归纳法的思想类似于多米诺骨牌玩法：第一,要求第一张骨牌被推倒；第二,假如某一张骨牌倒下,要求其后一张骨牌必须跟着倒下. 例1、用数学归纳法证明：)1n 2)(1n (n 61n 3212222++=++++ . 证明：（1）当1n =时,左边=112=,右边=132161=⋅⋅⋅,等式成立. （2）假设当k n =时,等式成立,即)1k 2)(1k (k 61k 3212222++=++++ ,那么222222)1k ()1k 2)(1k (k 61)1k (k 321++++=++++++)6k 7k 2)(1k (61)]1k (6)1k 2(k )[1k (612+++=++++=]1)1k (2][(1)1k )[(1k (61)3k 2)(2k )(1k (61+++++=+++=故当1k n +=时等式也成立.根据（1）、（2）可知等式对任何+∈N n 都成立.例2、设)1n (n 3221a n +++⨯+⨯= （+∈N n ）,求证：2)1n (a 2n +<.证明：（1）当1n =时,22)11(221a 21=+<=⨯=,不等式成立. (2 ) 假设当k n =时（1k ≥时）不等式成立,即有2)1k ()1k (k 3221a 2k +<+++⨯+⨯=那么,)2k )(1k (2)1k ()2k )(1k ()1k (k 3221a 21k ++++<++++++⨯+⨯=+2]1)1k [(2)2k (2)2k ()1k (2)1k (222++=+=+++++<, 即当1k n +=时不等式也成立.由（1）、（2）可知,不等式对任何+∈N n 都成立. 例3．设, ,11 ,11121 x x x x ++==) ,3 ,2(1111 =++=--n x x x n n n ,证明：{}n x 单调增加. 解：（1） ∵11=x ,且) ,3 ,2(1111=++=--n x x x n n n ,∴) ,3 ,2 ,1( 0 =>n x n .又∵0211111111112>=+=-++=-x x x x x x ,∴12x x >. （2）假设1->k k x x 成立,则)11()11( 111--+++-++=-k k k k k k x xx x x x 有 1111--+-+=k k k k x x x x 0)1)(1(11>++-=--k k k k x x x x ,由（1）、（2）可知, ) ,2 ,1( 1 =>+n x x n n ,从而{}n x 单调增加.（二）三角函数A 三角函数的积化和差公式由正弦加法定理的两式相加减和余弦加法定理的两式相加减可得：三角函数的积化和差公式:1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++- 1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--当αβ=时,即为倍角公式.例1、不查表,求sin512πcos π12的值. 解：sin512πcos π12＝12[sin (512π+π12)＋sin (512π-π12)]=12＋34. 或：sin512πcos π12＝sin (2π—12π)cos π12 ＝cos 2π12=12(1+cos 6π)=12＋34.练习: 2cos31︒sin 14︒; cos215πcos π5; sin 70︒cos20︒. 注：分析三角函数的积化和差公式的整体结构,记忆公式,从公式本身的结构特征上了解积化和差公式的作用.B 三角函数的和差化积在积化和差公式中,令α+β=θ,α—β=ϕ,则α=θϕ+2,β=θϕ-2所以有：sin θ+sin ϕ = 2sinθϕ+2cosθϕ-2sin θsin -ϕ = 2cosθϕ+2sinθϕ-2cos θ+cos ϕ = 2cosθϕ+2cosθϕ-2cos θ—cos ϕ = 2sin-θϕ+2sinθϕ-2叫做三角函数的和差化积公式1+cos α = 2cos 2α2,1－cos α = 2sin 2α2等都可看成和差化积的形式.例2、把sin 2α－sin 2β化成积的形式. 解：原式＝(sin α+sin β)(sin α－sin β) ＝2sinαβ+2cosαβ-2·2 cosαβ+2sinαβ-2＝sin (α+β)sin (α—β)例3、求.10cos 70cos 10sin 70sin+-解：s in s in cos cos cos s in cos cos 70107010240302403033-+==例4、化1+cot α+csc α 为积的形式.解：原式＝αααsin sin cos 1++= 222222cos sin 2cos sin 2cos 2ααααα+ =2222sin )cos(cos ααπα-+ = 44222cos cos()sin ππαα- =2cos(4π—2α) csc 2α练习：化1+sin α和1+cos α+cos β+cos(α+β)为积的形式. ( 1+sin α=2sin (4π+2α)cos(4π—2α), 1+cos α+cos β+cos(α+β)= 4cos αβ+2cos 2αcos 2β)在三角函数的计算和化简中,常要把a sin α+bcos α化为A sin (α+ϕ)的形式.如：sin α+3cos α＝2(12sin α+32cos α)=2(sin αcos π3+sin π3cos α)=2sin (α+π3) 一般地,设a ＝Acos ϕ,b=A sin ϕ,则a sin α+bcos α=A(sin α cos ϕ+sin ϕcos α) =A sin (α+ϕ),其中：A ＝a b 22+,ϕ所在象限由a ,b 的符号决定,由tan ϕ=ba可求出ϕ的值. （ϕ在(—π,—2π),(—2π,2π),（0,2π），(2π,π)内的值）例5、将下列各式化为Asin(α+ϕ)的形式.(1) 3sin x -4cosx ； (2) 3cosx -4sin x ；解：(1) A ＝5,tan ϕ＝b a =-43=-1 .3333 ,a >0,b <0,所以ϕ在第IV 象限,即ϕ=-53︒8'. 故3sin x -4cosx =5sin (x -53︒8'). (2) A ＝5,tan ϕ＝ba=-0 .75 ,a <0,b >0, 所以ϕ在第II 象限,即ϕ=180︒-36︒52'=143︒8',故3cosx -4sin x =5sin(x+143︒8').C 万能公式22222tan1tan 2tan222sin ;cos ;tan .1tan 1tan 1tan 222ααααααααα-===++-统称为万能公式它们的特点是统一用tan 2α来表示sin ,cos ,tan αααD 一个常用不等式当x 为锐角时，sin tan x x x <<即 sin tan x x x <<OACxB作单位圆，取圆心角x AOB =∠，∵AOB ∆的面积<扇形AOB 的面积AOC ∆<面积，∴x x x tan 2121sin 21<<，（三）复数A 复数的概念一、复数的定义1、虚数单位我们知道方程x 2＝－1在实数范围内无解,为了使它有解,我们引进一个新数i,规定i 2＝－1,且它能与实数一起进行四则运算.数i 叫做虚数单位.因为i 2＝－1,所以i 3＝—i,i 4＝1,i 5＝i,i 6＝－1,i 7＝—i,i 8＝1… 即i 4n ＝1,i 4n+1＝i,i 4n+2＝－1,i 4n+3＝－i （n ∈Z ）.(—i) 2＝－1,即i 和—i 是－1的两个平方根.我们规定：i 0=1,i－m＝mi1（m ∈Z ）.例如：i 2001＝i, i —5＝ii 115==—i. 2、纯虚数我们再来看x 2＝－4的解,可以看出有两个解2i 和－2i.数bi 叫做纯虚数,其中b ∈R,且b ≠0.3、虚数考察方程x 2+2x+10＝0的解,x 等于—1+3i 或—1—3i.数a+bi 叫做虚数,其中a 、b ∈R,且b ≠0.4、复数数a+bi 叫做复数,其中a 、b ∈R,其中a 叫做复数的实部,b 叫做复数的虚部.复数集通常用C 来表示.虚数集通常用I 来表示.C ＝R I.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⇒≠+⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧=+)0()0()0(a bi b bi a b a bi a 纯虚数虚数无理数分数整数有理数实数复数例题：实数m 为何值时,复数(m 2—3m —4)+ (m 2—5m —6)i 是（1）实数；（2）纯虚数？解：（1）当b ＝0时,复数为实数.即m 2—5m —6=0解得m=—1或6.（2）当a=0,且b ≠0时复数为纯虚数.即m 2—3m —4=0且m 2—3m —4≠0解得m=4. 5、复数相等的条件两个复数相等必须是它们的实部和虚部分别相等. 二、复数的几何表示法1、用复数直角平面内的点表示复数复数a+bi 是由一对有顺序的实数a 、b 构成,这与直角坐标平面的构成一样.我们规定：直角坐标平面内的横轴为实轴,单位为1,纵轴（不包括原点）为虚轴,单位为i,那么,复数a+bi 就可用这样的平面内的点M(a,b)来表示,其中,复数的实部a 和虚部b 分别是点M 的横坐标和纵坐标.我们把表示复数的平面叫做复数直角坐标平面.简称复平面. 例题：（1）用复平面内的点表示复数：—3+2i,3i,—2,0,－i,2—3i.（2）复平面内的点M(2 ,3) ;N(—3 ,—4) ;P(—3 ,0) ;Q(0 ,—2)各表示什么复数？解：略. 2、用向量表示复数如果复平面内的点M 表示复数a+bi,连结原点O 与M 点,并且把O看作线段OM 的起点,M 点作为终点,那么线段OM 就是一条有方向的线段,这样的一条线段叫做向量.记作OM .可以看出：复数a+bi ⇔点M(a,b) ⇔向量OM .向量OM 的长度叫做复数a+bi 的模,记作|a+bi |.显然|a+bi |=a b 22+.例如：|－1+3i | =2.由x 轴的正半轴到向量OM 的角θ叫做复数a+bi 的幅角.它指出了向量OM 的方向.一个不等于0的复数a+bi 的幅角有无穷多个,它们的弧度数彼此相差2π的整数倍,我们把幅角在[0 ,2π)内的值叫做幅角的主值，但在高等数学中，我们常用(,]ππ-范围内的角。

高等数学预备知识

高等数学预备知识
嘿，朋友们！今天咱来聊聊高等数学预备知识，这可太重要啦！就好比盖房子得先有牢固的地基一样，高等数学也得有扎实的预备知识呀！
比如说函数，那可真是高等数学里的大明星啊！像你去超市买东西，你买的东西数量和总价之间不就是一种函数关系嘛！每个人都在不知不觉中接触着函数呢。

再说集合，听起来好像很抽象，但其实就在我们身边呀！你们想想，一个班级的同学不就可以看作是一个集合嘛。

还有数列，这就像我们跑步，一步一步有规律地前进。

比如我们每年长高的高度，可能就近似形成了一个数列呢！这些预备知识看似平常，实际上在高等数学里那可是起大作用的哟！
几何图形也是不能少的呀！圆、正方形、三角形，这些我们从小就认识的图形，在高等数学里也有它们独特的意义和用途呢！难道不是吗？
极限呢，就好像你努力朝一个目标奔跑，虽然可能永远达不到那个绝对的点，但你可以无限接近呀，这多神奇！
高等数学预备知识不是枯燥无味的，它们是有趣的、好玩的，等着我们去发现它们的奥秘！我们可不能小瞧了这些基础知识，它们可是打开高等数学大门的钥匙呢！我们要带着好奇和热情去探索、去学习，相信自己一定能掌握好这些预备知识，为以后学习高等数学打下坚实的基础呀！所以，大家赶紧行动起来，投入到高等数学预备知识的奇妙世界中去吧！。

高中数学预备知识

高中数学预备知识
1、数的基本概念：数的定义、正数、负数、整数、有理数、无理数、绝对值。

2、因式分解：分解因式、合并因式。

3、分数：定义、运算、约分、真分数、假分数、分数的乘法、分数的除法。

4、指数：定义、运算、科学计数法、幂的乘法、幂的除法。

5、根式：定义、运算、合并根式、分解根式。

6、平方根：定义、运算、合并平方根、分解平方根。

7、立方根：定义、运算、合并立方根、分解立方根。

8、比例：定义、比例的运算、比例的等价。

9、比例的应用：比例的判断、比例的解决。

10、方程：定义、一元一次方程的解法、一元二次方程的解法。

11、不等式：定义、不等式的解法、不等式的应用。

12、函数：定义、函数的概念、函数的表示法、函数的性质、函数的图像。

13、直线：定义、直线的性质、直线的方程、直线的图像。

14、圆：定义、圆的性质、圆的方程、圆的图像。

15、概率：定义、概率的计算、概率的应用。

数学预备知识

如果发现公式打不开，请下载mathtype ，就可看到下载地址http://10.64.130.17:82/数学预备知识一、矢量1. 矢量定义：在三维欧几里德空间中，矢量是具有大小与方向且满足一定规则的实体用带箭头的字母表示a 。

矢量和满足以下规则：交换率：a b b a +=+结合律：()()a b c a b c ++=++ 2. 矢量的分量形式三维空间迪卡儿坐标系,,x y z 中，选择一组正交标准化基,,x y z e e e 分别为,,x y z 单位矢量。

x x y y z z a a e a e a e =++3. 矢量乘法在三维空间中定义了两个乘法操作。

点积：定义x x y y z z a b a b a b a b ⋅=++叉积：定义xy z xyzij k a b a a a b b b ⨯= 对于三个矢量，三维空间中定义了复合乘法操作三重标积（混合积）()x y z xy z xyza a a A B Cb b bc c c ⋅⨯= ()()()()()()A B C B C A C A BB AC C B A A C B⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯=-⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯三重矢积没有乘法交换率()()A B C A B C ⨯⨯≠⨯⨯ 4. 位置矢量，位移矢量，间距矢量，位置矢量位置矢量：x y z r xe ye ze =++ 距离：2r r r r x ==⋅=+r 方向的单位矢量r r e r=无限小位移矢量：x y z dl dr dxe dye dze ==++间距矢量：()()()''''x y z R r r x x e y y e z z e =-=-+-+-r 为场点（field point 观察点）的位置矢量，'r 为源点（source point ）的位置矢量。

(R x x =-二、,ij ijk δεij δ称为kronecker delta10ij i j if i je e if i jδ=⎧=⋅=⎨≠⎩性质：i ij jij ijij ijijijijA B Ae B e AB e e AB δ⋅=⋅=⋅=∑∑∑ijk ε称为Levi-civita symbol 或Levi-civita tensor1123231312()11322133210ijki j k if ijk e e e if ijk otherwiseε=⎧⎪=⋅⨯=-=⎨⎪⎩性质：()()()i ij jk kijk i j k i j k ijk i j k ijkijkijkA B C Ae B e C e A B C e e e A B C εε⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯=∑∑∑1. 简单表示右手系中基矢量的矢积：i j ijk kke e e ε⨯=∑2. 任意两个下标互换，差异负号，如ijk ikj εε=-3. 单重求和（对重复下标求和）im in ijk mnk im jn in jmjm jnδδεεδδδδδδ=-= 4. 两重求和32ijk mjk im jj in jm im im im εεδδδδδδδ=-=-=5. 三重求和26ijk ijk ii εεδ==三、场的微分运算所谓场，就是在空间不同点上会取不同志的一种物理量。

第1章高等数学规划预备知识-推荐下载

例 2 选址与运输问题假设某大型建筑公司有 m 个项目在不同的地点同时开工建设.记工地的位置分别为
Pi (ai ,bi ), i 1,2,, m . 第 i 个工地对某种建筑材料的日用量是已知的（比如水泥的日用量（单位：t）为 Di ）
．
该公司准备分别在 T1 (x1, y1) 和 T2 (x2, y2 ) 两个地点建造临时料场，并且保证临时
§1.1 基本概念与术语
1.1.1 数学规划问题举例
例 1 食谱（配食）问题
第 1 章预备知识
假设市场上有 n 种不同的食物，第 j 种食物每个单位的销售价为 c j ( j 1,2,, n) 。
人体在正常生命活动过程中需要 m 种基本的营养成分。为了保证人体的健康，一个人
每天至少需要摄入第 i 种营养成分 bi (i 1,2,, m) 个单位。第 j 种食物的每个单位包含第 i 种营养成分 aij 个单位。
函数，constraint functions)．最优化问题指在决策变量所受限制范围内，对相关的目标函数进行极小化或者极大化.
min f (x)
xR n
s.t. gi (x) 0, i I hj (x) 0, j E
满足约束条件的点称为可行点（feasible point ) ，所有可行点的集合称为可行域
3
j 1
min
F ( x)

3

i1
(a1
x1 c1 x1 x2 c1 c2 0 x j b, x j Z , j 1,2,3 (Z 表示所有整数的集合)
1.1.2 数学规划问题的模型与分类
形成一个最优化问题的数学模型

七年级下册预备篇的知识点

七年级下册预备篇的知识点随着初中生活的逐渐进入正轨，学生们开始接触更加深入的知识领域，其中预备篇也不例外。

预备篇作为初中数学中的一部分，为日后的学习奠定了坚实的基础。

本篇文章将带领大家深入了解七年级下册预备篇的知识点。

一、质因数分解质因数分解是预备篇的开篇章，学生们应该首先学习并掌握它。

质因数分解是将一个正整数表示成几个素数（质数）的乘积的形式，素数是只有1和它本身两个因数的数。

例如，60可以表示为2×2×3×5，这就是60的质因数分解式。

掌握质因数分解的方法对于后续数学学习至关重要。

二、公因数和最大公因数公因数是指两个或多个整数的公共因数，例如6和9的公因数有1、3，而2和4的公因数是1、2。

最大公因数指某几个数的所有公因数中最大的那个数。

例如，6和9的最大公因数是3，2和4的最大公因数是2。

掌握公因数和最大公因数的计算方法有助于在日常生活和数学学习中处理各种问题。

三、倍数和最小公倍数倍数指某个数的整倍数，例如3的倍数有3、6、9等等；最小公倍数指某几个数的公倍数中最小的那个数，例如4和6的最小公倍数是12。

对于做数学题和解决日常问题都有很大的帮助。

四、有理数有理数是整数和分数的集合，它可以表示为分数形式，其中分母不为0。

有理数可以分为正有理数、负有理数和零三类。

学习有理数不仅能够帮助学生更好地理解分数、小数和整数等概念，还能够为后续学习打下基础。

五、小数的运算小数是数学中常见的概念，学生们需要掌握小数的加、减、乘、除等运算方法。

小数的运算不仅仅是为了学习知识点，更是为了日后的实际应用打下基础。

例如在生活中，我们需要计算商品折扣后的价格，需要计算每月的工资等等，这些都与小数有关。

六、代数式的化简代数式是由数、代数符号（如x、y等）和运算符（如+、-等）组成的式子，例如3x+2y。

化简代数式是指将代数式通过各种运算规则化简为简化式，例如3x+2y可以化简为x(3+2y)。

小学数学知识使用前的预备知识梳理

小学数学知识使用前的预备知识梳理数学是一门需要逻辑思维和抽象能力的学科，而小学阶段是培养孩子数学思维和基础知识的关键时期。

在学习具体的数学知识之前，我们需要对一些预备知识进行梳理和准备，以帮助孩子更好地理解和应用数学知识。

一、基本的数学概念在学习数学之前，孩子需要掌握一些基本的数学概念，如数字、数量、大小等。

数字是数学的基础，孩子需要通过数数、认识数字的形状和大小，理解数字的含义和用途。

数量是指事物的多少，孩子需要通过比较、分类和计数等活动，培养对数量的感知和认知能力。

大小是指事物的大小关系，孩子需要通过比较大小、排序等活动，培养对大小关系的理解和判断能力。

二、基本的数学运算数学运算是数学学习的基础，包括加法、减法、乘法和除法。

在学习数学运算之前，孩子需要掌握基本的数学概念和计数能力。

加法是指将两个或多个数相加，减法是指从一个数中减去另一个数，乘法是指将两个或多个数相乘，除法是指将一个数分成若干等份。

孩子需要通过实际操作和练习，掌握数学运算的基本规则和方法。

三、基本的数学关系数学关系是指数与数之间的联系和相互作用。

在学习数学关系之前，孩子需要掌握基本的数学概念和数学运算。

数学关系包括大小关系、相等关系、包含关系等。

孩子需要通过比较大小、判断相等和分类等活动，培养对数学关系的理解和判断能力。

四、基本的图形认知图形认知是指对图形的形状、属性和关系的认知。

在学习图形认知之前，孩子需要掌握基本的数学概念和数学关系。

图形认知包括图形的形状、图形的属性和图形之间的关系。

孩子需要通过观察、比较和分类等活动，培养对图形的认知和理解能力。

五、基本的数据处理数据处理是指对数据的收集、整理、分析和表示。

在学习数据处理之前，孩子需要掌握基本的数学概念和图形认知。

数据处理包括数据的收集、数据的整理和数据的分析。

孩子需要通过观察、统计和绘制图表等活动，培养对数据的处理和分析能力。

六、基本的问题解决问题解决是指通过数学思维和方法解决实际问题。

第3章-数学规划基础

第3章数学规划基础所谓数学规划，是指系统在一定约束条件下使某一评价目标达到最优（极值）的一种决策方法。

数学规划的关键是从系统思想出发，在定性分析的基础上建立其数学模型。

数学规划模型的一般形式为．．．．．．．．．．．．：系统在满足条件jj j i j i D X D b X G ≤≤'≤)( （1）的情况下，使评价目标达到最优（最大或最小值），即 )(max (min)j X f Z = （2）其中，式（1）是系统必须满足的限制条件的数学描述，通常由等式或不等式组成，称为约束条件，简记为s.t.（subject to ，意为“受…的限制”）；式（2）是系统评价目标的数学描述，称为目标函数。

一、线性规划所谓线性规划，是指约束条件和目标函数均为线性的数学规划方法。

根据系统评价目标是单个还是多个，可将线性规划分为单目标线性规划和多目标线性规划。

（一）单目标线性规划 1. 问题的提出例1（生产管理问题）某工厂计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A 、B 两种原材料的消耗，如表所示。

该工厂每生产一件产品Ⅰ可获利2解源约束的可行的生产方案，以确保工厂能获得最大的利润值。

假设产品Ⅰ、Ⅱ的产量分别为x 1、x 2，则该工厂的获利值f = 2 x 1 + 3 x 2。

由于可行的生产方案需要考虑不能超出设备的有效台时数限制，即x 1+2 x 2≤8；同时，还要考虑满足A 、B 原材料资源的约束条件，即4x 1≤16，4x 2≤12。

因此，工厂的目标是在满足设备和原材料资源限制的条件下，如何确定两种产品的产量x 1、x 2，使工厂的获利最大。

综上所述，上述安排生产计划问题的数学模型为目标 2132m ax x x f +=满足约束条件（s.t.）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+012416482212121x x x x x x B A ，约束）（原材料约束）（原材料（设备约束）由此可见，将这类实际问题转换为数学模型的基本步骤可归纳如下：（1）确定决策变量；（2）确定所要追求的目标（目的）；（3）确定约束条件；例2（环保问题）靠近某河流有两个化工厂，流经工厂1的河水流量是5×106m 3/天，在两个工厂之间有一条流量为2×106m 3/天的支流，如图所示。

数学的预备知识

x4+x3+1=（x-α7）（x-α14）（x-α13）（x-α11）
x2+x+1=（x-α5）（x-α10）
x+1=( x-1)
例7GF(24)域的构造、特征和子域
GF(24)域元素的总数＝24
GF(24)域的特征是2，即最小子域是2个元素：0、1
2整除24
GF(24)域的子域是GF(22)，有4个元素：0，1，α5，α10
定理10.12：对于正整数m和GF(q)域，至少存在GF(q)上m阶本原多项式。
证明：
q是素数p的方幂，qm也是素数p的方幂。由定理10.11知必存在qm的有限域GF(qm),它的本原元记作
在GF(q)上的最小多项式必是GF(q)上m次本原多项式，即在GF(q)上，必存在有m阶的本原多项式。
定理10.13:设GF(q)的特征为p,GF(q)上的I阶多项式S(x) = 和正整数m满足
即
1
1
群：
群的陪集分解
环
整数环
多项式环
模q运算下的整数环
模p(x)运算下的多项式环
域
整数环上的有限域 {模p运算} Z/(p)
多项式环上的有限域 {模p(x)运算} F(x)/p(x)
1.2
GF(2)域上的4阶本原多项式：x4+x+1
它是GF(2)域上的4阶不可约多项式，
它的周期是24-1。
GF(24)域上的本原元α，以及元素的两种表示
（x-α5）（x-α10）( x-1) x
1.
基本概念
本原多项式
本原元
元素的阶
有限域的特征
元素的最小多项式
最小多项式的共轭类
分裂域
基本性质

数学未来的学习计划和措施

数学未来的学习计划和措施作为一个数学爱好者，我一直致力于深入学习数学知识，并在未来的学习中不断提升自己的数学能力。

在这篇文章中，我将探讨未来的数学学习计划和措施，以及我将如何更好地掌握数学知识和技能。

首先，我认为未来的数学学习计划应该包括以下方面：1. 深入学习基础数学知识：包括代数、几何、微积分、概率论等基础知识。

这些知识是数学学习的基础，对于掌握更高级的数学知识和技能非常重要。

2. 学习数学应用：数学知识不仅仅是纯理论，它还有很多实际的应用。

未来的数学学习计划应该包括学习数学在物理、工程、经济学等领域的应用，从而提升数学的实际运用能力。

3. 探索数学前沿：数学是一门充满挑战性和创新性的学科，未来的学习计划应该包括学习数学前沿的知识和技术，如机器学习、人工智能、密码学等领域。

4. 培养数学思维：数学思维是一种重要的思维方式，它可以帮助我们更好地解决问题、理清思路、提高逻辑推理能力。

未来的数学学习计划应该包括培养自己的数学思维，通过解题、思考、讨论等方式提升自己的数学思维能力。

在实现以上数学学习计划的过程中，我将采取以下措施：1. 深入学习基础数学知识：我将通过阅读相关的数学教材和参加数学课程来深入学习基础数学知识。

同时，我还会通过解题、讨论等方式巩固和加深对基础数学知识的理解。

2. 学习数学应用：我将积极参加一些关于数学应用的课程和讲座，了解数学在不同领域的实际运用。

同时，我还会通过阅读相关的文献、参与实际项目等方式加深对数学应用的理解。

3. 探索数学前沿：我将关注和学习一些关于数学前沿的知识和技术，如机器学习、人工智能、密码学等。

我也会积极参与一些相关的学术讨论和研究项目，从而拓展并深化自己的数学知识和技能。

4. 培养数学思维：我将通过解题、辅导、讨论等方式不断培养自己的数学思维。

同时，我还会积极参与一些数学竞赛和活动，锻炼和提升自己的数学思维能力。

除了以上的数学学习计划和措施，我还会注意以下几点：1. 注重数学知识的系统化和整合：数学知识之间是相互联系和相互依赖的，在未来的学习过程中，我将注重将不同领域的数学知识进行整合和系统化，从而更好地把握数学的本质和精髓。

数学规划导论和预备知识

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