舟山市20122013学年高一期末学科质量检测数

舟山市2012-2013学年高一期末学科质量检测数学试题

参考答案

一、选择题（每小题5分）

二、填空题（每小题4分）

11．

4

1 12. -1 13. 33π

15. 18 16. (0,2)

三、解答题 17.(本题满分6分)计算：03)8.9(27log 4lg 25lg -+-+

解：原式

分分1----235------123213

log 10lg 2332=+-=+-=

18.(本小题满分12分)已知集合}.0))(9(|{},06|{2<---=<--=m x m x x B x x x A

（1）当2=m 时，求;C B A R

（2）若,A B A = 求实数m 的取值范围。

解：（1）当2=m 时，分）（2------11,2),3,2(=-=B A

分2),11[]2,(----+∞-∞= B C R 所以分2]2,2(-----=B C A R

（2）

269322,,),9,(-≤≤-⇒⎩⎨⎧+≤≥-∴----⊆∴=+=m m m B A A B A m m B 分

所以m 的取值范围是分4]2,6[----------

19.(本题满分12分)已知函数4

3sin 23cos sin 23)(2+-⋅=x x x x f （1)求函数)(x f 的单调递增区间； （2)已知在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若,0)(=A f ,2,3==b a 求ABC ∆的面积S.

(1)由题知，f (x )＝32sin x cos x －32sin 2x ＋34＝34sin 2x ＋34cos 2x ＝32sin(2x ＋π3

)．-------4分 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2

，k ∈Z ，

得k π－5π12≤x ≤k π＋π12

，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递增区间为[k π－

5π12，k π＋π12]，k ∈Z.-----2分 (2)由(1)及f (A )＝0，得

32sin(2A ＋π3)＝0，解得A ＝π3或A ＝5π6. 又a

π3-------2分 .由a sin A ＝b

sin B ，得sin B ＝1，则B ＝π2，所以C ＝π6，-------2分 所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝32

.----------2分

20.(本题满分12分)已知正项数列}{n a 中，11=a ，点))(,*1N n a a n n ∈+（在函数12+=x y 的图象上，数列}{n b 的前n 项和n n b S -=2

（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）设,log 11

21++-=n n n b a c 求数列}{n c 的前n 项和n T

【解】 (1)∵点(a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在函数y ＝x 2＋1图象上，

∴a n ＋1＝a n ＋1，

∴数列{a n }是公差为1的等差数列．

∵a 1＝1，∴a n ＝1＋(n －1)＝n ，------------2分

∵S n ＝2－b n ，∴S n ＋1＝2－b n ＋1，

两式相减得：b n ＋1＝－b n ＋1＋b n ，----------2分

即b n ＋1b n ＝12

，由S 1＝2－b 1即b 1＝2－b 1，得b 1＝1. ∴数列{b n }是首项为1，公比为12

的等比数列， ∴b n ＝(12

)n －1.-------------------2分 (2)log 2b n ＋1＝log 2(12

)n ＝－n ， ∴C n ＝1n n ＋1 ＝1n －1n ＋1

，-------------2分 ∴T n ＝C 1＋C 2＋…＋C n

＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1n ＋1

) ＝1－1n ＋1＝n n ＋1

.----------------------4分 21.(本题满分14分) 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 、C 三点满足1233OC OA OB =+

. （1）求证：23

AC AB = ； (2)已知()1,cos A x 、()1cos ,cos 0,2B x x x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，记2()23f x OA OC m AB ⎛⎫=⋅-+⋅ ⎪⎝⎭

若)(x f 的最小值为32

-，求实数m 的值；

②当]1,0[∈m ，]2

,0[π∈x 时，存在],1,0[∈t 使得),(4)](1[42x f t x f t t ⋅≤-++求m 的最大值。 21.解：(1)由已知得()

23OC OA OB OA -=- 即23AC AB = ……………………………2分 （2）① 1233OC OA OB =+ ∴)cos ,cos 3

21(x x += ∵()cos ,0AB x = ，∴2()23f x OA OC m AB ⎛⎫=⋅-+⋅ ⎪⎝

⎭ 2221cos cos 2cos 33x x m x ⎛⎫=++-+ ⎪⎝

⎭…………………………………1分 ()22cos 1x m m =-+-……………………………………………………1分 ∵0,

2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴[]cos 0,1x ∈ .10当0m <，当且仅当cos 0x =时，

()f x 取得最小值为1（舍去）……………………………………………1分

.20当01m ≤≤时，当且仅当cos x m =时，()f x 取得最小值为21m -，

m =±（舍去）……………………………………………………1分 .30当1m >时，当且仅当cos 1x =时，()f x 取得最小值为22m -， 372224m m -=-

⇒=………………………………………………1分 综上74

m =……………………………………………………………1分 ②当],1,0[∈t )()

1(44)(4)](1[422x f t t t x f t x f t t ≤+++⇔⋅≤-++ 由题意得的最小值的最小值)()

1(442x f t t t ≤+++----------2分 而4

341)11412411141)1(442=-++≥-+++=+++t t t t t t t （-----------2分 由上可知当01m ≤≤时，当且仅当cos x m =时，()f x 取得最小值为21m -， ∴,21211432≤≤-⇒-≤m m 又]1,0[∈m ，∴210≤≤m ，即m 的最大值为21--2分