北师大版高中数学必修四教学案向量的加减法运算
北师大版数学高一-必修4学案 2.2向量的加法
§2 从位移的合成到向量的加法2.1 向量的加法问题导学1．利用向量的加法法则作图活动与探究1如图所示，已知向量a ，b ，c ，试求作和向量a ＋b ＋c ．迁移与应用如图中(1)(2)(3)所示，试作出向量a 与b 的和．(1)用三角形法则求和向量时，关键要抓住“首尾相接”，并且和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点；(2)用平行四边形法则求和向量时，应注意“共起点”； (3)在求多个向量的加法作图时，常利用向量的三角形法则． 2．向量的加法运算活动与探究2如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，化简下列向量：(1)OA →＋OC →； (2)BC →＋FE →；(3) OA →＋FE →．活动与探究3 化简下列各式：(1)PB →＋OP →＋OB →；(2)AB →＋MB →＋BO →＋OM →．迁移与应用 化简或计算． (1)CD →＋BC →＋AB →；(2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →； (3)AO →＋OB →＋OC →＋CA →＋BO →．两类向量加法运算问题的解法：(1)图形中向量的加法运算，要注重三角形法则和平行四边形法则的运用，必要时借助图形的几何性质进行向量的平移转换．(2)向量加法的化简，要先利用向量加法的交换律使各向量首尾相接，再利用结合律调整顺序，根据三角形法则或多边形法则得出结论．3．向量加法的综合应用活动与探究4一艘船从A 点出发以23km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水的流速为 2 km/h ，求船实际航行的速度的大小与方向．迁移与应用如图(1)，用两根绳子把重10 N 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠ACW ＝150°，∠BCW ＝120°，求A 和B 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．用向量加法解应用问题的方法：(1)与大小、方向有关的一类应用题，如力的合成与分解，速度的合成等，可利用向量加法的知识来求解．(2)解决此类问题的基本思路是结合图形，利用平行四边形法则，转化为求向量的模或方向，然后利用三角形知识求解．当堂检测1．若向量a 表示向东走1 km ，向量b 表示向南走1 km ，则向量a ＋b 表示( )． A ．向东南走 2 km B ．向东南走2 km C ．向东北走 2 km D ．向东北走2 km2．已知四边形ABCD 为菱形，则下列等式中成立的是( )．A ．AB →＋BC →＝CA →B ．AB →＋AC →＝BC →C ．AC →＋BA →＝AD →D ．AC →＋AD →＝DC →3．化简OP →＋PQ →＋PS →＋SP →的结果是__________．4．在矩形ABCD 中，若AB ＝3，BC ＝2，则|AB →＋BC →|＝__________．5．已知向量a ，b ，比较|a ＋b |与|a |＋|b |的大小．答案：课前预习导学【预习导引】1．(1)a与b的和预习交流1提示：三角形法则适用于任意两个非零向量的求和；而平行四边形法则只适用于两个不共线向量的求和．→(3)终点起点起点到终点的向量A0A n预习交流202．①b＋a②a＋b b＋c a预习交流3提示：不是．两个向量的和仍是向量，具有大小和方向，不但长度变化还有方向的变化．预习交流4 C课堂合作探究【问题导学】→＝a，接着作向量活动与探究1解：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA→＝c，则得向量OB→＝a＋c.然后作向量BC→＝b，则向量OC→＝a＋b＋c为所求．AB→＝a＋b.迁移与应用解：如下图中(1)(2)(3)所示三个图中OB→＋OC→＝OB→；活动与探究2解：(1)OA→＋FE→＝AD→；(2)BC→＋FE→＝0.(3)OA→＋OP→＋OB→＝(OP→＋P B→)＋OB→＝OB→＋OB→＝2OB→；活动与探究3解：(1)PB→＋M B→＋BO→＋OM→＝(AB→＋BO→)＋(OM→＋M B→)＝AO→＋OB→＝AB→.(2)AB→＋BC→＋CD→＝AD→；迁移与应用解：(1)原式＝AB→＋BC→＋CD→＋DF→＋FA→＝0；(2)原式＝AB→＋OC→)＋CA→＋(OB→＋BO→)＝AC→＋CA→＋0＝0.(3)原式＝(AO活动与探究4→表示船垂直于对岸的速度，AB→表示水流的速度，以AD，AB为邻边作解：如图，设AD平行四边形ABCD，则AC→就是船实际航行的速度．在Rt△ABC中，|AB→|＝2，|BC→|＝23，∴|AC→|＝|AB→|2＋|BC→|2＝4.＝3，∵tan∠CAB＝232∴∠CAB＝60°.→、CF→分别表示A、B所受的力，10 N的重力用CG→表迁移与应用解：如图(2)，设CE示，则CE →＋CF →＝CG →.易得∠ECG ＝180°－150°＝30°，∠FCG ＝180°－120°＝60°. ∴∠CEG ＝∠CFG ＝90°， ∴|CE →|＝|CG →|cos 30° ＝10×32＝53， |CF →|＝|CG →|cos 60°＝10×12＝5.∴A 处所受力的大小为5 3 N ，B 处所受力的大小为5 N. 【当堂检测】1．A 2．C 3．OQ →4．135．解：(1)当a ，b 至少有一个为零向量时，有|a ＋b |＝|a |＋|b |.(1)(2)①当a ，b 为非零向量，且a ，b 不共线时，如图(1)，有|a ＋b |＜|a |＋|b |. ②当a ，b 为非零向量，且a ，b 同向共线时，如图(2)，有|a ＋b |＝|a |＋|b |.(2)③当a，b为非零向量，且a，b异向共线时，如图(3)，有|a＋b|＜|a|＋|b|. 若|a|＞|b|，如图(3)．(3)若|a|＜|b|，如图(4)．(4)。
北师大版数学必修四：《向量的加法与减法》导学案(含解析)
第2课时向量的加法与减法1.理解向量加法的含义,掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则,会用向量加法的交换律与结合律进行向量运算.2.掌握向量的减法运算,并理解其几何意义,会作两个向量的差向量.理解相反向量的概念及向量加法与减法的逆运算关系.3.经历向量的概念、法则的建构过程,通过观察、实验、类比、归纳等方法培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.向量的运算能反映出一些物理规律,从而加深学科之间的联系,提高应用能力.长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输,一艘船从长江南岸出发,以大小为v1的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度向东,且大小为v2(v1>v2),那么船的实际速度的大小和方向怎么求呢?问题1:相反向量及其性质,向量的加、减法运算.的运算,叫作向量的加法,两个向量的和是向量(简称);长度相同、方向相反的两个向量互为相反向量,a与互为相反向量,-(-a)= ;零向量的相反向量是;任一向量与它的相反向量的和是,a+(-a)= ;如果a、b互为相反向量,则a= ,b= ,a+b= ;向量a加上b的相反向量,叫作a与b的差,即a-b=a+ ,求两个向量差的运算叫作向量的.问题2:向量加法法则.(1)三角形法则如图,在平面内任取一点A,作错误！未找到引用源。
=a,错误！未找到引用源。
=b,连接AC,则错误！未找到引用源。
=a+b.这种求向量和的方法,叫向量加法的三角形法则,它的特点是首尾相连,即从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段.(2)平行四边形法则如图,在平面内任取一点A,作错误！未找到引用源。
=a,错误！未找到引用源。
=b,以AB、AD为边作平行四边形ABCD,连接AC,则.这种求向量和的方法,叫向量加法的平行四边形法则.问题3:实数的加法满足交换律与结合律,向量的加法是否也满足?(1)交换律:a+b= ;(2)结合律:(a+b)+c=a+ =a+b+c.问题4:向量减法法则.若向量a与b有相同的起点,则a-b可以表示为从向量b的向量a的终点的向量.(1)三角形法则如图,作错误！未找到引用源。
高一数学教学案2.2向量的加减法运算北师大版必修4
年级高一 授课时间 学习重点
学习难点
教案、学案用纸
学科数学 课题 向量的加减法运算
撰写人
时间
用向量加减法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和 与差向量
理解向量加减法的定义.
⑴掌握向量加法的定义 学 ⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和 习 向量 目 ⑶理解向量加法的运算律
标
教 学过 程 一 自主学习
向量的三角形及平行四边形法则
向量的反向量
向量加法与减法的几何意义
二 师 生 互动
研卷知古今；藏书教子孙。
例 1 如图 5，O 为正六边形 A1 A2 A3 A4 A5 A6 的中心，试作出下列向量：
（1） OA1 OA3 ；（2） OA3 A6 A5 ； （3） A2 A3 A6 A5 ； （4） A1 A3 A4 A6 A3 A4 ； （5） A1 A2 A2 A3 A3 A4 A4 A5 A5 A6
D. AC DC AB BD
3.在 ABCD 中， BC DC BA 等于（ ）.
A. BC B. DA
C. AB D. AC
4. AB BC CD =
；
OA OC BO CO =
.
5. 已知向量 a 、 b 满足 a b b 且 b 1 ，则 a a b =
研卷知古今；藏书教子孙。
三巩固练习
1. 平行四边形 ABCD 中， AB a ， AD b ，则 AC BA 等于（ ）.
A. a B. b
C. 0 D. a b
2. 下列等式不正确的是（ ）.
A. a 0 a
【最新】2018-2019学年度高中数学北师大版数学必修四教学案：第二章2第1课时向量的加法
讲一讲
3．一条小船要渡过一条两岸平行的小河，河的宽度d＝100m，船的航行速度为v1＝4m/s，水流的速度为v2＝2m/s，试问当船头与水流方向的夹角θ为多大时，小船行驶到对岸所用的时间最少？此时小船的实际航行速度与水流方向的夹角的正切值是多大？
[尝试解答]设小船行驶到对岸所用的时间为t(s)，如图，设 表示水流的速度， 表示船的航行速度，以AD、AB为邻边作▱ABCD，则 就是船实际航行的速度．设∠BAC＝α，∠BAD＝θ，则 相对于垂直对岸的速度为v＝ sinθ，小船行驶到对岸所用的时间为t＝ ＝ ＝ ＝ ，θ∈(0，π)．
1．用三角形法则作两向量的和时，要注意两向量“首尾相接”；用平行四边形法则作两向量的和时，要注意保持两向量有公共起点．
2．求作共线向量或多个向量的和向量时，应首选三角形法则，注意和向量的方向是从起始向量的起点指向末尾向量的终点．
练一练
1．如图，已知向量a，b，c，d，求作a＋b＋c＋d.
解：(1)在平面内任取一点O，
作 ＝a，以A为起点，
作向量 ＝b，则 ＝a＋b；
(2)以B为起点作向量 ＝c，
再作 ＝d，连接OD.
则向量 ＝a＋b＋c＋d即为所求(如图)．
讲一讲
2．化简下列各式：
.
化简含有向量的关系式一般有两种方法：利用几何方法通过作图实现化简；利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序，有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量．
第1课时 向量的加法
[核心必知]
1．向量的加法法则
三角形法则
平行四边形法则
作法
已知向量a，b，在平面内任取一点A，作 ＝a， ＝b，再作向量 ，则向量 叫作向量a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝ ＋ ＝ .
北师大版高中数学必修四教学案向量的加减法运算
年级高一 授课时间 学习重点
学习难点
教案、学案用纸
学科数学 课题 向量的加减法运算
撰写人
时间
用向量加减法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和 与差向量
理解向量加减法的定义.
⑴掌握向量加法的定义 学 ⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和 习 向量 目 ⑶理解向量加法的运算律
.
6. 在 ABC 中， BC a,CA b ，则 AB 等于（ ）.
A. a b B. a b C. a b D. a b
7. 化简 OP QP PS SP 的结果等于（ ）.
A. QP B. OQ C. SP D. SQ
8. 在正六边形 ABCDEF 中， AE m ， AD n ，则 BA =
D. AC DC AB BD
3.在 ABCD 中， BC DC BA 等于（ ）.
A. BC B. DA
C. AB D. AC
4. AB BC CD =
；
OA OC BO CO =
.
5. 已知向量 a 、 b 满足 a b b 且 b 1 ，则 a a b =
做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。
三固练习
1. 平行四边形 ABCD 中， AB a ， AD b ，则 AC BA 等于（ ）.
A. a B. b
C. 0 D. a b
2. 下列等式不正确的是（ ）.
A. a 0 a
B. a b b a
C. a b c a b c
A5
A6 O
A4 图5 A3
北师大版高中数学高一必修4学案第二章2.1向量的加法
从位移的合成到向量的加法2．1 向量的加法预习课本P76～78，思考并完成以下问题1．向量的加法如何定义？2．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？3．向量加法的运算律有哪两条？[新知初探]1．向量的加法三角形法则已知向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，再作向量AC，则向量AC叫作向量a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC平行四边形法则已知向量a，b，在平面内任取一点A作AB＝a，AD＝b，再作平行于AD的BC＝b，连接DC，则四边形ABCD为平行四边形．向量AC叫作向量a与b的和，表示为：AC＝a＋b[点睛](1)两个向量的和仍是一个向量．(2)用三角形法则作两向量的和时，要注意保持两向量“首尾相接”，箭头从起点指向最后一个终点．(3)用平行四边形法则作两向量的和时，要注意保持两向量有公共起点．(4)两向量共线时用三角形法则求和．2．向量的加法满足交换律和结合律 a ＋b ＝b ＋a ；(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．[点睛] 首尾顺次相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)()m ＋a ＋()b ＋c ＝()a ＋b ＋()c ＋m ( ) (2)AB ＋BC ＋CA ＝0 ( ) (3)||a ＋b ＝||a ＋||b ( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)×2．对任意四边形ABCD ，下列式子中不等于BC 的是 ( ) A ．BA ＋AC B ．BD ＋DA ＋AC C ．AB ＋BD ＋DC D ．DC ＋BA ＋AD答案：C3．边长为1的正方形ABCD 中，|AB ＋BC |＝ ( ) A ．2 B. 2 C ．1 D ．2 2答案：B4．PQ ＋OM ＋QO ＋MQ ＝________.解析：PQ ＋OM ＋QO ＋MQ ＝PQ ＋QO ＋OM ＋MQ ＝PQ ＋OM ＋MQ ＝PQ . 答案：PQ向量求和[典例] 如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ， AC ，AB 的中点，化简下列三式：(1)BC＋CE＋EA；(2)OE＋AB＋EA；(3)AB＋FE＋DC.[解](1)BC＋OE＋EA＝BE＋EA＝BA.(2)OE＋AB＋EA＝(OE＋EA)＋AB＝OA＋AB＝OB.(3)AB＋FE＋DC＝AB＋BD＋DC＝AD＋DC＝AC.解决向量加法运算时应关注两点(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.[活学活用]如图所示，四边形ABCD是平行四边形，E，F，G，H分别是所在边的中点，点O是对角线的交点，则下列各式正确的是()①AE＋AH＝OC；②AH＋OF＝CG＋FB；③BE＋FC＝HD＋OH；④OG＋BE＝DO.A．①③B．②④C．②③D．①④解析：选A①AE＋AH＝OC，正确；②AH＋OF＝BF＋GC，故②不正确；③BE＋FC＝HD＋OH，正确；④OG＋BE＝OD，故④不正确.利用向量的加法法则作图[典例]若正方形ABCD的边长为1，AB＝a，AD＝b，AC＝c.试作出向量a＋b＋c，并求出其模的大小；[解]根据平行四边形法则可知，a＋b＝AB＋AD＝AC.延长AC，在AC 的延长线上作CE＝AC，则a＋b＋c＝AC＋AC＝AC＋CE＝AE(如图所示)．∴|a＋b＋c|＝|AE|＝212＋12＝2 2.利用向量加法的两种法则作图的方法法则作法三角形法则①把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示(其中后面向量的起点与其前面向量的终点重合即用同一个字母来表示)②由第一个向量的起点指向第二个向量终点的有向线段就表示这两个向量的和平行四边形法则①把两个已知向量的起点平移到同一点②以这两个已知向量为邻边作平行四边形③对角线上以两向量公共起点为起点的向量就是这两个已知向量的和[活学活用]如图，已知a，b，c，求作向量a＋b＋c.解：作法：在平面内任取一点O，如图所示，作OA＝a，AB＝b，BC＝c，则OC＝a＋b＋c.向量加法的应用[典例]一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度(保留小数点后1位数字)．[解]如图，OA表示水流速度，OB表示船垂直于对岸方向的速度，OC表示船实际航行的速度，其中∠AOC＝30°，|OB|＝5(km/h)．因为四边形OACB为矩形，所以|OC|＝|AC|tan 30°＝|OB|×3＝53≈8.7(km)，|OC|＝|OA|cos 30°＝5332＝10(km)．所以船的实际速度大小为10 km/h，方向与河岸成30°角，水流速度大小约为8.7 km/h.应用向量解决问题的基本步骤(1)表示：用向量表示相关的量，将所有解决的问题转化为向量的加法问题．(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则，进行相关运算．(3)还原：根据向量运算的结果，结合向量共线、相等概念回答原问题．[活学活用]如图所示，两个力F1和F2同时作用在一个点O上，且F1的大小为3 N，F2的大小为4 N，且∠AOB＝90°，试作出F1和F2的合力，并求出合力的大小．解：作出F1和F2的合力F，如图所示．在直角三角形AOC中，|F1|＝3，|AC|＝|F2|＝4，|F|2＝|F1|2＋|AC|2＝|F1|2＋|F2|2＝25，∴|F|＝5 N.层级一学业水平达标1．下列命题：①在△ABC中，必有AB＋BC＋CA＝0；②若AB＋BC＋CA＝0，则A，B，C为三角形的三个顶点；③若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．其中真命题的个数为() A．0 B．1C．2 D．3解析：选B①正确．对于②，当A，B，C三点共线时，不能构成三角形．对于③，应该为|a＋b|≤|a|＋|b|.2．若向量a表示向东走1 km，向量b表示向南走1 km，则向量a＋b表示() A．向东南走 2 km B．向东南走2 kmC．向东北走 2 km D．向东北走2 km解析：选A由向量加法的平行四边形法则，易得a＋b表示向东南走 2 km.3. 如图，正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0 B．BEC．AD D．CF解析：选D BA＋CD＋EF＝BA＋AF＋CB＝BF＋CB＝CF，所以选D. 4．下列命题错误的是() A．两个向量的和仍是一个向量B．当向量a与向量b不共线时，a＋b的方向与a，b都不同向，且|a＋b|＜|a|＋|b| C．当向量a与向量b同向时，a＋b，a，b都同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|D．如果向量a＝b，那么a，b有相同的起点和终点解析：选D根据向量的和的意义、三角形法则可判断A、B、C都正确；D错误，如平行四边形ABCD中，有AB＝DC，起点和终点都不相同．5．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足PA＋PB＝PC，则下列结论中正确的是()A．P在△ABC的内部B．P在△ABC的边AB上C．P在AB边所在的直线上D．P在△ABC的外部解析：选D PA＋PB＝PC，根据平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外部．6. 如图，在平行四边形ABCD中，(1)AB＋AD＝________；(2)AC＋CD＋DO＝________；(3)AB＋AD＋CD＝________；(4)AC＋BA＋DA＝________.解析：(1)由平行四边形法则可知为AC.(2)AC＋CD＋DO＝AD＋DO＝AO.(3)AB＋AD＋CD＝AC＋CD＝AD.(4)AC＋BA＋DA＝BA＋AC＋DA＝BC＋DA＝0.答案：(1)AC(2)AO(3)AD(4)07．已知正方形ABCD的边长为1，AB＝a，AC＝c，BC＝b，则|a＋b＋c|＝________.解析：|a＋b＋c|＝|AB＋BC＋AC|＝|AC＋AC|＝2|AC|＝2 2.答案：2 28. 如图，菱形ABCD的边长为1，它的一个内角∠ABC＝60°，AB＝a，AD＝b，则|a＋b|＝________.解析：因为四边形ABCD为菱形，所以|AB|＝|BC|＝1.连接AC(图略)，又∠ABC＝60°，所以△ABC 为等边三角形．因为AB ＋AD ＝AC ，所以|AB ＋AD |＝|AC |＝1， 即|a ＋b |＝1. 答案：19. 如图，E ，F ，G ，H 分别是梯形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，化简下列各式： ①DG ＋EA ＋CB ； ②EG ＋CG ＋DA ＋EB .解：①DG ＋EA ＋CB ＝GC ＋BE ＋CB ＝GC ＋CB ＋EB ＝GB ＋BE ＝GE . ②EG ＋CG ＋DA ＋EB ＝EG ＋GD ＋DA ＋AE ＝ED ＋DA ＋AE ＝EA ＋AE ＝0.10．在长江某渡口上，江水以2 km/h 的速度向东流，长江南岸的一艘渡船的速度为2 3km/h ，要使渡船渡江的时间最短，求渡船实际航行的速度的大小和方向．解：要使渡江的时间最短，渡船应向垂直于对岸的方向行驶，设渡船速度为v 1，水流速度为v 2，船实际航行的速度为v ，则v ＝v 1＋v 2，依题意作出平行四边形，如图．在Rt △ABC 中，|BC |＝|v 1|＝2 3. |AB |＝|v 2|＝2， ∴|AC |＝|v |＝|AB |2＋|BC |2＝22＋(23)2＝4.tan θ＝|BC ||AB |＝232＝ 3.∴θ＝60°.∴渡船实际航行的速度大小为4 km/h ，方向为东偏北60°.层级二 应试能力达标1. 如图，已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式中不正确的是()A．FD＋DA＝FAB．FD＋DE＋EF＝0C．DE,＋DA＝ECD．DA＋DE＝FD解析：选D由向量加法的平行四边形法则可知，DA＋DE＝DF≠FD.2. 如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则OP＋OQ＝()A．OH B．OGC．FO D．EO解析：选C设a＝OP＋OQ，利用平行四边形法则作出向量OP＋OQ，再平移即发现a＝FO.3．已知平行四边形ABCD，设AB＋CD＋BC＋DA＝a，且b是一非零向量，则下列结论：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|.其中正确的是() A．①③B．②③C．②④D．①②解析：选A∵在平行四边形ABCD中，AB＋CD＝0，BC＋DA＝0，∴a为零向量，∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴①③正确，②④错误．4．向量a，b均为非零向量，下列说法不正确的是() A．若向量a与b同向，则向量a＋b与a的方向相同B．若向量a与b同向，则向量a＋b与b的方向相同C．若向量a与b反向，且|a|＞|b|，则向量a＋b与a的方向相同D．若向量a与b反向，且|a|＜|b|，则向量a＋b与a的方向相同解析：选D对于D，向量a＋b与b的方向相同．5．化简：(AD＋MB)＋(BC＋CM)＝________.解析：原式＝AD＋MB＋BC＋CM＝AD＋(MB＋BC)＋CM＝AD＋MC ＋CM＝AD.答案：AD6. 如图，在正六边形ABCDEF中，O是其中心．则①AB＋CD＝________；②AB＋AF＋BC＝________；③OC＋OD＋EF＝________.解析：①AB＋CD＝AB＋AF＝AO.②AB＋AF＋BC＝AO＋BC＝AO＋OD＝AD.③OD＋OD＋EF＝OD＋OD＋OA＝OC.答案：①AO②AD③OC7. 如图所示，P，Q是三角形ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：AB＋AC＝AP＋AQ.证明：AB＝AP＋PB，AC＝AQ＋QC，∴AB＋AC＝AP＋PB＋AQ＋QC.∵PB与QC大小相等，方向相反，∴PB＋QC＝0，故AB＋AC＝AP＋AQ＋0＝AP＋AQ.8. 如图，已知向量a，b，c，d.(1)求作a＋b＋c＋d.(2)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值．解：(1)在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，BC＝c，CD＝d，则OD＝a＋b ＋c＋d.高中数学打印版精心校对版本(2)在平面内任取一点O ，作OA ＝a ，AB ＝e ， 则a ＋e ＝OA ＋AB ＝OB ，因为e 为单位向量，所以点B 在以A 为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知当点B 在点B 1时，O ，A ，B 1三点共线， 所以|OB |即|a ＋e |最大，最大值是3.。
2.2.1向量的加法2.2.2向量的减法教案高中数学必修四北师大版
2．1向量的加法2．2向量的减法●三维目标1．知识与技能(1)能熟练运用三角形法则和平行四边形法则，作出几个向量的和、差向量．(2)能结合图形进行向量计算．(3)能准确表达向量加法的交换律和结合律，并能熟练地进行向量计算．2．过程与方法由概念的形成过程和解题的思维过程，体验数形结合思想的指导作用．3．情感、态度与价值观通过阐述向量的减法运算可以转化为向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想．●重点难点重点：向量的加法、减法运算．难点：向量加法、减法的几何意义．(教师用书独具)●教学建议几何中的向量加法是用几何作图来定义的，教科书给出了两个向量求和的三角形法则和平行四边形法则，多个向量求和的多边形法则．教科书采用三角形法则来定义向量的加法，这种定义对两向量共线时同样适用，而当两个向量共线时，平行四边形法则就不适用了．当两向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的．当求两个或多个不共线向量的和时，和向量是从第一个向量的始点指向最后一个向量的终点．类比数的运算中减法是加法的逆运算，将向量的减法定义为向量加法的逆运算．教学时，要结合三角形法则认真体会其含义．两个向量的减法是把两个向量的始点放在一起，它们的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．●教学流程创设问题情境：对比实数的加法运算，如何求出两向量的和呢？⇒引导学生结合物理中力的合成，类比发现向量加法的定义及其运算性质．⇒引导学生探究向量减法的定义及向量减法的几何意义．⇒通过例1及变式训练，使学生熟练掌握向量的加、减运算．⇒通过例2及变式训练，使学生熟练掌握利用向量加、减法的几何意义作用．⇒通过例3及变式训练，掌握向量加、减法的综合应用．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正．一架飞机要从A 地经B 地运物资到C 地，问从A 地到B 地，与从B 地到C 地这两次位移之和是什么？【提示】 如图所示，这两次位移之和为AB →＋BC →，而实际位移为AC →. 由此可以看出AB →＋BC →＝AC →.向量AB →与向量BA →是一对特殊的向量，它们的长度和方向之间有什么关系？ 【提示】 向量AB →与向量BA →长度相等，但方向相反，即AB →＝－BA →.1．两个相反数的和为零，那么两个相反向量的和也为零向量吗？ 【提示】 是零向量．2．根据向量的加法，如何求作a －b?【提示】 先作出－b ，再按三角形或平行四边形法则作出a ＋(－b )．－b ，即a －b 表示为从向量(1)在平行四边形ABCD 中，AB →＋CB →－DC →＝( )A.BC →B.AC →C.DA →D.BD →(2)化简AB →＋DA →＋BD →－BC →－CA →＝________. 【思路探究】 (1)利用平行四边形法则和性质；(2)可用三角形法则，即所谓“首尾相连”；也可以引入空间一点O ，转化成以O 为起点的向量进行化简．【自主解答】 (1)在▱ABCD 中，AB →＝DC →，CB →＝DA →， ∴AB →＋CB →－DC →＝(AB →－DC →)＋CB →＝DA →. (2)法一 原式＝AB →＋BD →＋DA →－(BC →＋CA →) ＝0－BA →＝AB →.法二 在平面内任取一点O ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，则 原式＝(OB →－OA →)＋(OA →－OD →)＋(OD →－OB →)－(OC →－OB →)－(OA →－OC →) ＝OB →－OA →＋OA →－OD →＋OD →－OB →－OC →＋OB →－OA →＋OC →＝OB →－OA →＝AB →. 【答案】 (1)C (2)AB →1．求解这类问题，一定要灵活应用向量加法、减法的三角形与平行四边形法则，并注意向量的起点和终点，当向量首尾相连且为和时，用加法；运用向量减法的三角形法则时，一定有两向量起点相同．2．运用向量减法法则时，常考虑方法：(1)通过相反向量，把向量减法转化为加法；(2)引入点O ，将向量起点统一．化简：(1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)； (2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)． 【解】 (1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →) ＝CA →－CD →＝DA →.(2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →) ＝AC →＋BA →－DC →＋(DO →＋OB →) ＝AC →＋BA →－DC →＋DB →＝BC →－DC →＋DB → ＝BC →＋CD →＋DB → ＝BC →＋CB →＝0.图2－2－1如图2－2－1所示，O 为△ABC 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .求作b ＋c －a .【思路探究】 解答本题可用平行四边形法则作b ＋c ，再作b ＋c －a .【自主解答】 法一 以OB →、OC →为邻边作▱OBDC ，连接OD →、AD →，则OD →＝OB →＋OC →＝b ＋c ，AD →＝OD →－OA →＝b ＋c －a .。
北师大版高中必修42.1向量的加法教学设计
北师大版高中必修42.1向量的加法教学设计
1. 教学目标
通过此次课程的学习，学生将会：
•了解向量及向量的加法；
•掌握向量加法的运算方法；
•能够用向量加法解决实际问题；
•发展学生的逻辑思维和计算能力。
2. 教学内容
本课将涵盖以下内容：
•向量的概念
•向量的加法及加法法则
•实际问题中向量的应用
3. 教学过程
3.1 导入
通过预习内容和学生们的生活实例，提问“什么是向量？”，并引导学生思考向量的性质及其应用，以期达到吸引学生学习的效果。
3.2 自主学习及讨论
•让学生自主学习本节课所涉及的知识点，学习的内容如下：
–向量的定义及性质；
–向量的表示及加法的概念；
–向量的加法的几何解释；
1。
北师大版必修4高中数学第2章平面向量22.2向量的减法
自主预习 探新知
向量的减法 (1)相反向量
把与 a 长度_相__等__、方向_相__反__的向量，叫作 a 的相反向量， 定
记作_－__a__； 义
规定：零向量的相反向量仍是零向量
(1)零向量的相反向量仍是__零__向__量__，于是－0＝0；
性 (2)互为相反向量的两个向量的和为_0_，即 a＋(－a)＝(－a)
法二：原式＝A→B＋M→B＋B→O＋O→M ＝A→B＋(M→B＋B→O)＋O→M＝A→B＋M→O＋O→M ＝A→B＋0＝A→B. (2)法一：原式＝D→B－D→C＝C→B. 法二：原式＝A→B－(A→D＋D→C)＝A→B－A→C＝C→B.
化简向量的和差的方法 1如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算 的去掉括号. 2可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化 简. 3化简向量的差时注意共起点，由减数向量的终点指向被减数向 量的终点. 提醒：利用图形中的相等向量代入、转化是向量化简的重要技巧.
2．化简下列式子： (1)N→Q－P→Q－N→M－M→P； (2)(A→B－C→D)－(A→C－B→D)． [解] (1)原式＝N→P＋M→N－M→P＝N→P＋P→N＝N→P－N→P＝0. (2)原式＝A→B－C→D－A→C＋B→D ＝(A→B－A→C)＋(D→C－D→B)＝C→B＋B→C＝0.
向量加减法的综合应用
1．下列等式中，正确的个数是( )
①a＋b＝b＋a；
②a－b＝b－a；
③0－a＝－a；
④－(－a)＝a；
⑤a＋(－a)＝0.
A．1
B．2
C．3
D．4
C [由向量的加法及几何意义，可得：①a＋b＝b＋a，正确；由 向量的减法及其几何意义，得 a－b＝－(b－a)，即②错误；0－a＝－ a，③正确；根据相反向量的定义及性质得－(－a)＝a，④正确；而 a ＋(－a)＝0≠0，⑤错误．]
北师大版高中数学必修四向量的加法学案
第二教时 向量的加法目的：1、理解向量加法的意义2、理解向量加法三角形法则、平行四边形法则和多边形法则 作几个向量的和向量。
3、理解向量加法的运算律：交换律和结合律4、数形结合的数学思想方法。
学习重点：向量加法三角形法则、平行四边形法则和多边形法则学习难点：向量加法三角形法则、平行四边形法则和多边形法则及作图方法 学习过程：一、 情景导入：（3分钟）2003年春节探亲时，由于台湾和祖国大陆之间没有直达航班，某老先生只好从台北经过香港，再抵达上海，这两次位移之和是什么？ 二、学导结合 向量是否能进行运算？1． 某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：=+2． 若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ 3． 某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ 4． 船速为AB ，水速为BC ， 则两速度和：=+ 向量的加法 1． 定义：2．三角形法则（作图演示）：作图关键 ：平移向量使得两向量首尾相连 3．已知向量、，求作向量+及b +A BCA BCA B Cb作法：4．加法的交换律和平行四边形法则 上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 从而得到：1︒向量加法的平行四边形法则2︒向量加法的交换律：a +b =b +a问题1：两种求和法则有什么关系？向量加法的三角形法则与平行四边形法则是一致的，但两个向量共线时，三角形法则更有优势。
加法的结合律：(+) +=+ (+) 证：如图：从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。
6.向量加法的多边形法则问题2：如何求平面内n （n ＞3）个向量的和向量？112231n n OA A A A A A A -++++u u u r u u u u r u u u u r u u u u u u r L n OA =u u u u r问题3：若点O 与点An 重合，你将得出什么结论？例1：如图，一艘船从A 点出发以km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h 。
北师大版数学高一必修4教学设计向量的加法
教学设计2.1 向量的加法整体设计教学分析向量的加法是学生在认识向量概念之后首先要掌握的运算,英主要内容是运用向量的左义和向疑相等的左义得出向量加法的三角形法则、平行四边形法则，并对向量加法的交换律、结合律进行证明•同时运用它们进行相关计算,这可让学生进一步加强对向量几何意义的理解, 也为接下来学习向虽的减法奠泄基础，起到承上启下的重要作用•学生已经通过上节的学习，掌握了向量的概念、几何表示，理解了什么是相等向量和共线向量.在学习物理的过程中，已经知道位移、速度和力这些物理量都是向量，可以合成，而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则，这为本课题的引入提供了较好的条件.培养数学的应用意识是当今数学教育的主题，本节课的内容与实际问题联系紧密,更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识•在向量加法的概念中，由于涉及到两个向虽:有不平行和平行这两种情况，因此有利于渗透分类讨论的数学思想.而在猜测向量加法的运算律时，通过引导学生利用实数加法的运算律进行类比，则能培养学生类比、迁移等能力•在实际教学中，类比数的运算，向就也能够进行运算.运算引入后，向量的工具作用才能得到充分发挥•实际上, 引入一个新的疑后，考察它的运算及运算律，是数学研究中的基本问题•教师应引导学生体会考察一个量的运算问题，最主要的是认淸运算的左义及其运算律，这样才能正确、方便地实施运算.向量的加法运算是通过类比数的加法，以位移的合成、力的合力等两个物理模型为背景引入的•这样做使加法运算的学习建立在学生已有的认知基础上,同时还可以提醒学生注意, 由于向量有方向，因此在进行向量运算时,不但要考虑大小问题，而且要考虑方向问题,从而使学生体会向屋运算与数的运算的联系与区别•这样做,有利于学生更好地把握向量加法的特点. 因此本节的主要思想方法是类比思想、数形结合思想等.三维目标1.通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义•能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作岀已知两向量的和向量.2.在探究活动中，理解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意义.掌握有特殊位豊关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向虽、共终点向量等.3.通过本节内容的学习，使学生认识事物之间的相互转化，培养学生的数学应用意识，体会数学在生活中的作用•培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力,初步体会向量内容与英他知识的交汇特点.重点难点教学重点:向量加法的运算及其几何意义.教学难点:对向量加法法则左义的理解.课时安排1课时教学过程导入新课思路1・（复习导入）上一忙我们一起学习了向量的有关概念，明确了向量的表示方法，了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并掌握了这些槪念的辨析判断•另外，向量和我们熟悉的数一样也可以进行加减运算,这一节，我们先学习向量的加法.思路2.（问题导入）2004年大陆和台湾没有直航，因此春肖探亲，要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之和是什么？怎样列出数学式子？一位同学按以下的指令进行活动:向北上20米，再向西走15米，再向东走5米，最后向南走10米，怎样计算他所在的位置?由此导入新课.推进新课新知探究提出问题①数能进行运算,向量是否也能进行运算呢？类比数的加法，猜想向量的加法,应怎样定义向屋的加法？②猜想向量加法的法则是什么?与数的运算法则有什么不同？图1活动:向虽是既有大小、又有方向的量，教师引导学生回顾物理中位移的概念，位移可以合成,如图1 •任大型生产车间里，一重物被天车从A处般运到B处，它的实际位移丽•可以看作水平运动的分位移疋与竖直向上运动的分位移4万的合位移.由分位移求合位移，称为位移的合成•由物理学知识我们知道，位移合成遵循平行四边形法则，即AB是以AC.AD为邻边的OACBD的对角线.数的加法启发我们，从运算的角度看•而可以认为是疋与而的和，即位移、力的合成看作向虽:的加法.讨论结果:①向呈加法的左义：如图2,已知非零向量a、b•在平而内任取一点A,作AB =a. BC =b,则向量AC叫作a与b的和，记作a+b.即a+b= AB + BC = AC .图2 求两个向量和的运算，叫作向量的加法.②向量加法的法则：1。
北师大版高中数学必修四平面向量的加法运算课时学案
OAa aa bbb《§2.2.1 向量加法运算及其几何意义》学案学习目标：1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量；3、掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算。
学习重难点：向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
学习过程【自主学习】1、 复习：向量的定义以及有关概念。
2、情景设置：（1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和： 。
（2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ，则两次的位移和： 。
（3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ，则两次的位移和： 。
（4）船速为AB ，水速为BC ，则两速度和：_____________。
【重难点探究】1、向量加法的两个法则： （1）“三角形法则” 物理模型：位移的合成（2）“平行四边形法则” 物理模型：力的合成例1：已知向量a 、b ，求作向量a +b .C A B A B C A BCA B C2、a b +与a b +的大小关系： 一般地，有a b a b +≤+（1）当a 、b 不共线时，______a b a b ++； （2）当a 、b ___________________时，=a b a b ++；当a 、b ___________________时，=a b a b b a +-（或-）. 3、 向量加法的运算律：（1）交换律：____________________________________ （2）结合律：____________________________________。
2.2向量加法运算及其几何意义教学设计（北师大必修4）
2.2向量加法运算及其几何意义教学设计（北师大必修4）第一篇：2.2 向量加法运算及其几何意义教学设计 (北师大必修4)2.2.1向量加法运算及其几何意义一．教学内容和内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修4第二章《平面向量》第二节《平面向量的线性运算》的第一课时，内容是向量加法运算及其几何意义。
向量是数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数与几何的桥梁。
向量的加法运算是通过类比数的加法，以位移的合成、力的合力两个物理模型为背景引入的，主要内容是向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
教科书从几何角度具体给出了通过两个法则作两个向量和的方法，介绍了向量加法满足的运算率，最后举例说明生活中有向量，生活中用向量。
向量加法运算是学生对向量运算体系所进行的第一次探索和尝试，学好本节课将为后面学习向量的其他知识奠定基础，为用“数”的运算解决“形”的问题提供工具和方法。
因此，本节的教学重点是掌握用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和以及向量加法的运算率。
二．教学目标和目标分析（一)教学目标1.掌握用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和以及向量加法的运算律。
2.理解向量加法及其几何意义。
3.通过类比、观察、归纳等方法提高发现问题、分析问题、解决问题的能力。
（二）教学目标分析1.用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量时，体会在平面内任取一点O的依据，它体现了向量起点的任意性，用平行四边形法则作图时强调向量的起点放在一起，而用三角形法则作图则要求首尾相连。
2.通过对向量的大小、方向的探究，加深理解向量加法及其几何意义。
3.从位移的合成、力的合成总结出向量加法法则；从向量的大小与方向探究出向量加法性质；从实数加法的运算律类比向量加法的运算律。
三．教学问题诊断分析本节课学生在学习过程中可能遇到以下疑惑和困难：1.对三角形法则的理解，尤其是方向相反的两个向量的加法。
【教学设计新部编版】《向量的减法》(数学北师大高中必修4)
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《向量的减法》教学设计本课时编写：双辽一中张敏◆教材分析向量减法运算是加法的逆运算.学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算.因此,类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数),首先引进相反向量的概念,然后引入向量的减法(减去一个向量,等于加上这个向量的相反向量),通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则,结合一定数量的例题,深刻理解向量的减法运算.通过阐述向量的减法运算,可以转化为向量加法运算,渗透化归的数学思想,使学生理解事物之间的相互转化、相互联系的辩证思想,同时由于向量的运算能反映出一些物理规律,从而加强了数学学科与物理学科之间的联系,提高学生的应用意识.◆教学目标【知识与能力目标】通过探究活动,使学生掌握向量减法概念,理解两个向量的减法就是转化为加法来进行,掌握相反向量.【过程与方法目标】体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和创新意识。
【情感态度价值观目标】启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地解决问题.能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量.◆ 教学重难点【教学重点】向量的减法运算及其几何意义.【教学难点】对向量减法定义的理解.◆ 课前准备多媒体课件◆ 教学过程新课导入多媒体演示实例，学生探究：上周日杨恒从家骑车到八里河公园游玩, 然后再由八里河公园返回家中,我们把八里河公园记作B 点,杨恒家记作A 点,那么杨恒的位移是多少? 怎样用向量来表示呢?讨论：1.上述问题中AB⃗⃗⃗⃗⃗ 和BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 有什么关系？ 2.类比相反数的概念,我们如何定义上述两个向量的关系?根据学生的讨论，老师总结结论：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫作与a 相反向量，记做 - a ，a 和- a 互为相反向量. 规定：零向量的相反向量仍是零向量.３.类比相反数的性质,说明相反向量有哪些性质?总结：（1）-（- a ）=a（2） a +（- a ）=（- a ）+-a = 0⃗（3）如果 a ， b ⃗ 是互为相反的向量，则：a =−b ⃗ ，b ⃗ =−a ，a +b ⃗ = 0⃗最终得到向量加法的概念向量a 加上b ⃗ 的相反向量，叫作a 与−b ⃗ 的差. 即a +(−b ⃗ )=a −b ⃗ ，求两个向量差的运算，叫作向量的减法.课堂探究：向量减法已知向量a ， b ⃗ 如何作a − b⃗如图，作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ， OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，以 OA ,OB 为边作平行四边形OACB ，连接BA. 不难看出，向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示向量a 与 b ⃗ 的和，也就是向量a − b⃗ . 总结向量的减法法则：两个向量起点相同，则两个向量的差就是连接两向量终点，指向被减向量终点的向量.注 意: (1)起点相同；(2)由减向量的终点指向被减向量的终点；(3)向量的差仍是向量。
2017-2018学年高一数学北师大版必修四教学案：第二章 §2 第2课时 向量的减法
第2课时向量的减法[核心必知]1．相反向量(1)定义：与a长度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量．记作：－a．(2)相反向量的性质①－0＝0，－(－a)＝a；②a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；③如果a，b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0．2．向量的减法[问题思考]1．向量减法的实质是什么？提示：向量减法的实质是加法的逆运算，即a－b＝a＋(－b)．2．如何运用三角形法则进行向量的减法运算？提示：如已知向量a，b，求a－b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，连接AB，则BA＝a－b.讲一讲1．已知向量a，b，c求作向量a＋b－c.[尝试解答] 法一：在平面内任取一点O，作＝a，AB＝b，连接OB，则OB＝a＋b.再作＝c，连接BC，则CB＝－＝a＋b－c即为所求(如图)法二：在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，以OA，OB为邻边，作▱OACB，连接OC，则＝a＋b.再作＝c，连接CD.则＝－＝a＋b－c即为所求(如图)．法三：在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，连接OB，则OB＝a＋b.再作＝－c，连接OC.则OC＝OB＋BC＝a＋b－c即为所求(如图)．1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB＝BA就可以把减法化为加法．在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接两向量终点，箭头指向被减向量”即可．2．以向量AB＝a、AD＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为AC＝a＋b，BD＝b－a，DB＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．3．三角形法则和平行四边形法则对于向量的减法同样适用．练一练1．如图，已知正方形ABCD的边长等于1，AB＝a，BC＝b，AC＝c，试作向量a－b＋c.讲一讲2．化简下列各式：1．计算向量的加减法时应谨记以下口诀：(1)加法口诀：首尾相接，箭头从始点指向最后一个终点．(2)减法口诀：始点相同连接终点，箭头指向被减向量．2．多个向量作加减运算时，应把首尾相连的放在一起计算，起点相同的放在一起计算．必要时，可画出图形，结合图形观察，将使问题更为直观．练一练讲一讲3．已知▱ABCD中，∠ABC＝60°，设AB＝a，AD＝b，若|a|＝|a＋b|＝2，求|a－b|的值． [尝试解答]依题意，||＝|a ＋b |＝2， 而|AB |＝|a |＝2，∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形．∴BC ＝AB . ▱ABCD 为菱形，AC ⊥BD ， ∴|a |2＝(12|a ＋b |)2＋(12|a －b |)2即4＝1＋|a －b |24，∴|a －b |＝2 3.本题的解答是利用了向量加法与减法的几何意义，一般地，若a ，b 是两个不共线的向量，在平面内任取一点A 作AB ＝a ，AD ＝b ，以AB 、AD 为邻边作▱ABCD ，那么AC ＝a ＋b ，BD ＝a －b .恰当地构造平行四边形，寻找|a |，|b |，|a ±b |的关系，灵活运用平面图形的性质是解答本题的关键．练一练3．已知非零向量a ，b 满足|a |＝7＋1，|b |＝7－1，且 |a －b |＝4，求|a ＋b |的值． 解：所以△OAB是以∠AOB为直角的直角三角形，从而OA⊥OB，所以▱OACB是矩形．根据矩形的对角线相等有＝4，即|a＋b|＝4.如图，四边形ABCD为平行四边形，.试用a，b，c表示向量.[错解] ∵＝c＋b－a.[错因] 错误地使用了向量的减法法则，误认为，在应用三角形法则作向量减法时，应注意“连接两向量终点，箭头指向被减向量”．＝a－b＋c.1．在四边形ABCD中，设等于( ) A．a－b＋c B．a＋b＋cC．b－(a＋c) D．b－a＋c解析：选A＝－b＋a＋c.4．已知|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝5，则|a－b|＝________．解析：∵(5)2＝12＋22.∴以a，b为邻边的平行四边形为矩形，那么|a－b|＝|a＋b|＝ 5.答案： 55．给出下列运算：∴①，②正确，③不正确．答案：①②6．如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.再作＝c，则CB＝a＋b－c.法二：如图②，在平面内任取一点O，作＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.一、选择题A．①②B．②③C．③④ D．①④3．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )4．a与b是非零向量，下列结论正确的是( )A．|a|＋|b|＝|a＋b| B．|a|－|b|＝|a－b|C．|a|＋|b|>|a＋b| D．|a|＋|b|≥|a＋b|解析：选D当a，b共线时，若a，b同向，则|a＋b|＝|a|＋|b|，a，b反向时，|a＋b|<|a|＋|b|；当a，b不共线时，如图有：|a＋b|<|a|＋|b|.故|a|＋|b|≥|a＋b|.二、填空题5．若菱形ABCD的边长为2，则＝________.答案：26．若A、B、C、D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋其中所有正确的式子的序号是________．答案：②③7．在▱ABCD中，＝b，|a|＝|b|＝2，∠BAD＝120°，则|a－b|＝________.解析：如图，依题意▱ABCD是菱形，∴∠DAO＝60°，∴DO＝AD×sin 60°＝2×32＝3，故|a－b|＝|DB|＝2DO＝2 3.答案：2 38.如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝c，试用a，b，c表示＝________.＝a－b＋c.答案：a－b＋c三、解答题9．如图，在正五边形ABCDE中，若＝c，＝e，求作向量a－c＋b－d－e.解：a－c＋b－d－e＝(a＋b)－(c＋d＋e).如图，连接AC，并延长至点F，使CF＝AC，则.所以，即为所求作的向量a－c＋b－d－e.10. 如图，▱ABCD中，＝b，(1)用a、b表示；(2)当a、b满足什么条件时，a＋b与a－b的所在直线互相垂直？(3)当a、b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|.(4)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？解：(1)＝a－b.(2)由(1)知a＋b＝AC，a－b＝DB.a＋b与a－b的所在直线垂直，即AC⊥BD.又∵ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为菱形，即a、b应满足|a|＝|b|.(3)|a＋b|＝|a－b|，即|AC|＝|BD|.∵矩形的对角线相等．∴当a与b的所在直线垂直时，满足|a＋b|＝|a－b|.(4)不可能，因为▱ABCD的两对角线不可能平行，因此a＋b与a－b不可能为共线向量，也就不可能为相等向量．。
高中数学新北师大版精品教案《2.2向量的减法》
2.2向量的减法教学设计【教材分析】本节课是北师大版高中数学必修四第二章第二节内容，是平面向量线性运算的一种，是对上一节课内容的一个转换，通过类比数的减法，得到向量的减法及几何意义，培养了学生的化归思想和数形结合思想，也为后面学习向量的数乘运算及几何意义提供了指导性的思想。
【学情分析】任教班级学生数学基础较薄弱，但学生已经学习了平面向量的加法运算及几何意义，会用三角形和平行四边形法则求两个向量的和向量，具备了一定的作图能力，这为学习向量的减法运算打下了很好的基础。
类比数的减法运算时，应让学生注意对“被减数”的理解。
【教学目标】1、知识与技能（1）了解相反向量的概念及其在向量减法中的作用；（2）理解向量减法的定义，熟练掌握并运用向量减法的三角法则，会求两个向量的差。
2、过程与方法从学生所熟悉的实例出发，学生经过观察、分析，归纳及类比等方法概括出向量减法的概念，并且自然地得出向量减法满足三角形法则。
3、情感、态度与价值观通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物间可以相互转化的辩证思想。
【教学重难点】重点：向量减法的运算和几何意义难点：减法运算时差向量方向的确定【教学手段】采用“生本教育”教学模式1、学法：（1）课前个人独立思考先做；（2）课中先小组合作讨论，再全班共同研究，务求把问题弄懂弄透。
2、教学流程：（一）前置学习研究（课前）（二）小组合作探究（上课开始）：①学生对自学中发现的问题进行组内讨论，小组长进行督促和主持；②学生对前置学习中出现的错误及时订正；③老师进行巡视指导进而把握学情，控制讨论进程并及时调整原来的教学方案。
（三）学生上台展示（课中）：①知识梳理（5分钟），由学习小组派人完成，采用投影辅助；②错误分享（10分钟），由学生讲清错因，解决方法；③质疑解惑（15分钟），对在学习中共同存在的难题，由学生上台讲方法或思路，老师及时点评或引导；④当堂抽查，巩固知识，提升能力。
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D. AC DC AB BD
3.在 ABCD 中， BC DC BA 等于（ ）.
A. BC B. DA
C. AB D. AC
4. AB BC CD =
；
OA OC BO CO =
.
5. 已知向量 a 、 b 满足 a b b 且 b 1 ，则 a a b =
标
教 学过 程 一 自主学习
向量的三角形及平行四边形法则
向量的反向量
向量加法与减法的几何意义
二 师 生 互动
例 1 如图 5，O 为正六边形 A1 A2 A3 A4 A5 A6 的中心，试作出下列向量：
（1） OA1 OA3 ；（2） OA3 A6 A5 ； （3） A2 A3 A6 A5 ； （4） A1 A3 A4 A6 A3 A4 ； （5） A1 A2 A2 A3 A3 A4 A4 A5 A5 A6
.
6. 在 ABC 中， BC a,CA b ，则 AB 等于（ ）.
A. a b B. a b C. a b D. a b
7. 化简 OP QP PS SP 的结果等于（ ）.
A. QP B. OQ C. SP D. SQ
8. 在正六边形 ABCDEF 中， AE m ， AD n ，则 BA =
三巩固练习
1. 平行四边形 ABCD 中， AB a ， AD b ，则 AC BA 等于（ ）.
A. a B. b
C. 0 D. a b
2. 下列等式不正确的是（ ）.
A. a 0 a
B. a b b a
C. a b c a b c
.
9. 已知 a 、 b 是非零向量，则 a b a b 时，应满足条件
.
四课后反思
五课后巩固练习 1. 已知 O 是 ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交点，
若 AB a ， BC b ， OD c ， 试证明： c a b OB .
2. 在菱形 ABCD 中， DAB 60 ， AB 1，求 BC DC 的值.
A5
A6 O
A4 图5 A3
Hale Waihona Puke A1A2例 2 在 ABC 中， O 是重心， D 、 E 、 F 分别是 BC 、 AC 、 AB 的中点，化简下 列两式：
⑴ CB CE BA ； ⑵ OE OA EA
练习。设 AB a ， AD b ， BC c ，试用 a,b,c 表示 DC .
年级高一 授课时间 学习重点
学习难点
教案、学案用纸
学科数学 课题 向量的加减法运算
撰写人
时间
用向量加减法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和 与差向量
理解向量加减法的定义.
⑴掌握向量加法的定义 学 ⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和 习 向量 目 ⑶理解向量加法的运算律