3.3.1 平行、相交、重合
3.3.1平行、相交、重合
展开理想的翅膀
1、下面几组图形中互为平行线的是
④
(填写序号).
①
②
③
P
④
⑤
⑥
2、判断正误,正确的打“√”,错误的打“×”。 (1)两条不相交的直线就是平行线(
×
)
)
(2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行( (3)如果直线a//b,a//c,则b//c(
(2)与AB平行的有
、
AB与B1C1所在的直 分别记为 线没有交点,它们是 AB//A1B1 、 AB//CD 、AB//C1D1。 平行线吗?为什么?
请同学们想一想: 我们日常生活中有哪些可以 近似看作为平行线?
公路上的部分双黄线 两段笔直的铁轨 保驾护航的斑马线 小区里健身的双杠 垂直于地面的旗杆 栅栏里的竖条
如果没有特别说明,两条直线重合时只当作一条。 如果两条直线只有一个公共点,就说这两条直线相交 , 该公共点叫做这两条直线的交点。 在同一平面内,两条直线的位置关系是 平行 或 相交 。
D
A D1 A1 B1 B
C
如图所示的正方体中
(1)与AA1平行的有 BB1
、 CC1
、 DD1
、
C1
分别记为 AA1//BB1 、 AA1//CC1 、AA1//DD1; A1B1 、 CD C 1D 1 、
×
)
√
(4)说两条线段或射线平行是指它们所在的直线 平行(√ )
3、a、b、c为同一平面上任意三条直线,交点可能有
(
B
)
A.1个或2个或3个 C.1个或2个
B.0个或1个或2个或3个
空间几何直线与平面的位置关系与夹角
空间几何直线与平面的位置关系与夹角空间几何中,直线和平面是两种常见的几何图形。
它们在空间中的位置关系以及它们之间的夹角是几何学中的重要概念。
本文将探讨直线与平面的位置关系以及它们之间的夹角。
一、直线与平面的位置关系在空间几何中,直线与平面有以下三种位置关系:平行、相交、重合。
1. 平行:当直线与平面没有交点时,它们被认为是平行的。
平行的直线与平面永远不会相交。
2. 相交:当直线与平面有一个交点时,它们被认为是相交的。
相交的直线与平面在该交点处有唯一的交点。
3. 重合:当直线完全位于平面上时,它们被认为是重合的。
重合的直线与平面完全重合,无法区分。
二、直线与平面的夹角夹角是两条直线或两个平面之间的角度。
在空间几何中,夹角可分为以下三种情况:直线与直线的夹角、平面与平面的夹角、直线与平面的夹角。
1. 直线与直线的夹角:直线与直线之间的夹角可以通过它们的方向余弦来计算。
夹角的大小介于0度和180度之间,可以是锐角、直角或钝角。
2. 平面与平面的夹角:平面与平面之间的夹角可以通过它们的法线向量来计算。
夹角的大小介于0度和90度之间,可以是锐角或直角。
3. 直线与平面的夹角:直线与平面之间的夹角可以通过直线在平面上的投影长度和直线与平面法线的夹角来计算。
直线与平面的夹角大小介于0度和90度之间。
三、应用案例直线与平面的位置关系以及夹角在实际应用中有广泛的应用。
以下为两个具体案例:1. 建筑设计:在建筑设计中,直线与平面的位置关系与夹角的概念被广泛应用。
例如,建筑师需要考虑墙体与地板的夹角以及天花板与墙体的夹角等,以确保建筑物的结构和外观符合设计要求。
2. 机械工程:在机械工程中,直线与平面的位置关系与夹角的概念被用于设计机器零件的装配。
例如,螺栓与螺母之间的夹角需要合适,以确保机器零件的连接牢固。
总结:直线与平面的位置关系与夹角是空间几何中重要的概念。
通过理解它们的定义和计算方法,我们可以更好地理解和应用几何学原理。
两直线的位置关系
两直线的位置关系
两直线的位置关系是指两条直线所占据的空间上的关系。
它可以概括为两直线的位置的具体描述,通常用来描述一条直线如何与另一条直线相对立。
一般来说,两直线的位置关系有六种:相交,平行,重合,相离,垂直,截距。
1.相交意味着两条直线相遇,它们有一个公共点,这个点可以使两条直线成为一条新的直线。
2.平行意味着两条直线一直是看着彼此,而没有公共点,也没有交叉点,因此对任意一点而言,这两条直线之间的距离保持不变。
3.重合意味着两条直线完全重合,即它们位于同一条直线上,有无穷多个交点,一旦给出一个点,就可以推断两条直线交于此点。
4.相离意味着这两条直线分别位于间隔较远的两个不同平面上,彼此不再任何关系,不存在公共点,也不能以任何方式成为一条表示其他直线的新直线。
5.垂直意味着这两条直线虽然是共点,但是它们的斜率垂直,一直不会相遇,也不可能在某一点有公共点,但是它们一直都可以在同一个垂线上。
6.截距意味着这两条直线没有公共点,但是它们都跟同一垂线有一个公共截距,也就是说这两条直线有满足某些条件时会碰到它们的截距。
以上就是关于两直线的位置关系的六中情况的介绍,每种情况都有特定的描述,以便给出解决满足条件的特定解决方案。
直线与平面的关系
直线与平面的关系直线和平面是几何学中的基本概念,它们之间的关系对于研究几何学以及应用数学都有着重要的意义。
本文将从不同角度介绍直线与平面之间的关系,并探讨它们在几何学中的应用。
一、直线在平面内的位置关系在平面内,直线与平面可以有三种不同的位置关系,即相交、平行和重合。
1. 相交:当一条直线与平面有且只有一个交点时,我们称该直线与平面相交。
2. 平行:当直线和平面没有交点时,我们称该直线与平面平行。
3. 重合:当直线完全位于平面上时,我们称该直线与平面重合。
二、直线与平面的交集与垂直关系当直线与平面相交时,交点处的直线与平面垂直。
这个垂直关系可以进一步扩展到直线与平面的斜截关系。
1. 隐含的垂直关系:当直线与平面相交时,我们可以隐含地认为直线在交点处与平面垂直。
2. 线面垂直关系的判断:我们可以利用向量知识来判断直线与平面之间是否垂直。
具体方法是计算直线上的向量与平面上的法向量的点积,如果点积为零,则表明直线与平面垂直。
三、直线与平面的应用1. 直线与平面的交点计算:在三维几何中,我们可以利用线面交点的坐标计算方法来求解直线与平面的交点。
这个方法基于向量和参数方程的知识,通过联立方程组计算出交点的坐标。
2. 直线与平面的垂直线判断:在空间解析几何中,我们经常需要判断一条直线是否垂直于一个给定的平面。
通过求解直线上的向量与平面上的法向量的点积,如果点积为零,则可以得出直线与平面垂直的结论。
3. 直线与平面的平行线判断:与垂直判断类似,我们也可以利用向量的知识来判断直线是否平行于一个给定的平面。
如果直线上的向量与平面上的法向量平行,则可以得出直线与平面平行的结论。
综上所述,直线与平面之间的关系在几何学以及应用数学中都具有重要意义。
通过了解直线与平面的位置关系和垂直关系,我们可以更好地应用这些概念解决实际问题。
同时,利用线面交点计算和直线与平面的垂直平行判断方法,可以在空间解析几何中快速解决相关问题。
直线与平面的关系是几何学中的基础,对于建立空间模型和解决实际问题都具有重要意义。
3.3.1 两条直线的交点坐标与两条平行线间距离
3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离[学习目标]1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系. 3.掌握两点间距离公式并会应用. [知识链接]直线的方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式,它们的表现形式分别为y -y 0=k (x -x 0)、y =kx +b 、y -y 1y 2-y 1=x -x 1x 2-x 1、x a +yb=1及Ax +By +C =0. [预习导引] 1.两条直线的交点已知两条直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0;l 2:A 2x +B 2y +C 2=0.若两直线的方程联立,得方程组⎩⎨⎧A 1x +B 1y +C 1=0A 2x +B 2y +C 2=0.若方程组有唯一解,则两条直线相交;若方程组无解,则两条直线平行.若方程组有无穷多个解,则两条直线重合.2.过定点的直线系方程已知直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0与直线l 2:A 2x +B 2y +C 2=0交于点P (x 0,y 0),则方程A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0表示过点P 的直线系,不包括直线l 2.3.两点间的距离平面上的两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的距离公式 |P 1P 2|=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2. 4.两点间距离的特殊情况(1)原点O (0,0)与任一点P (x ,y )的距离|OP |=x 2+y 2. (2)当P 1P 2∥x 轴(y 1=y 2)时,|P 1P 2|=|x 2-x 1|. (3)当P 1P 2∥y 轴(x 1=x 2)时,|P 1P 2|=|y 2-y 1|.要点一 两直线的交点问题例1 求经过两直线l 1:3x +4y -2=0和l 2:2x +y +2=0的交点且过坐标原点的直线l 的方程.解 法一 由方程组⎩⎨⎧3x +4y -2=0,2x +y +2=0,解得⎩⎨⎧x =-2,y =2,即l 1与l 2的交点坐标为(-2,2).∵直线过坐标原点, ∴其斜率k =2-2=-1. 故直线方程为y =-x ,即x +y =0.法二 ∵l 2不过原点,∴可设l 的方程为3x +4y -2+λ(2x +y +2)=0(λ∈R ),即(3+2λ)x +(4+λ)y +2λ-2=0.将原点坐标(0,0)代入上式,得λ=1,∴直线l 的方程为5x +5y =0,即x +y =0.规律方法 (1)法一是常规方法,思路自然,但计算量稍大,法二运用了交点直线系,是待定系数法,计算简单,但要注意判断原点(0,0)不能在直线2x +y +2=0上.否则,会出现λ的取值不确定的情形.(2)过直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0交点的直线系有两种:①λ1(A 1x +B 1y +C 1)+λ2(A 2x +B 2y +C 2)=0可表示过l 1、l 2交点的所有直线;②A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0不能表示直线l 2.跟踪演练1 求经过直线l 1:x +3y -3=0,l 2:x -y +1=0的交点且平行于直线2x +y -3=0的直线方程.解 法一 由⎩⎨⎧ x +3y -3=0,x -y +1=0,得⎩⎨⎧x =0,y =1,∴直线l1与l2的交点坐标为(0,1),再设平行于直线2x+y-3=0的直线方程为2x+y+c=0,把(0,1)代入所求的直线方程,得c=-1,故所求的直线方程为2x+y-1=0.法二设过直线l1、l2交点的直线方程为x+3y-3+λ(x-y+1)=0(λ∈R),即(λ+1)x+(3-λ)y+λ-3=0,由题意可知,λ+1λ-3=-2,解得λ=53,所以所求直线方程为83x+43y-43=0,即2x+y-1=0.要点二两点间距离公式的应用例2已知△ABC三顶点坐标A(-3,1)、B(3,-3)、C(1,7),试判断△ABC 的形状.解法一∵|AB|=(3+3)2+(-3-1)2=213,|AC|=(1+3)2+(7-1)2=213,又|BC|=(1-3)2+(7+3)2=226,∴|AB|2+|AC|2=|BC|2,且|AB|=|AC|,∴△ABC是等腰直角三角形.法二∵k AC=7-11-(-3)=32,k AB=-3-13-(-3)=-23,则k AC·k AB=-1,∴AC⊥AB.又|AC|=(1+3)2+(7-1)2=213,|AB|=(3+3)2+(-3-1)2=213,∴|AC|=|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形.规律方法 1.判断三角形的形状,要采用数形结合的方法,大致明确三角形的形状,以确定证明的方向.2.在分析三角形的形状时,要从两方面考虑:一是要考虑角的特征,主要考查是否为直角或等角;二是要考虑三角形边的长度特征,主要考查边是否相等或是否满足勾股定理.跟踪演练2已知△ABC的三个顶点坐标为A(-3,1)、B(3,-3)、C(1,7).(1)求BC边上的中线AM的长;(2)证明△ABC为等腰直角三角形.(1)解设点M的坐标为(x,y),因为点M为BC的中点,所以x=3+12=2,y=-3+72=2,即点M的坐标为(2,2).由两点间的距离公式得|AM|=(-3-2)2+(1-2)2=26,所以BC边上的中线AM的长为26.(2)证明根据题意可得,|AB|=(-3-3)2+(1+3)2=213,|BC|=(1-3)2+(7+3)2=226,|AC|=(-3-1)2+(1-7)2=213,所以|AB|=|AC|,且|AB|2+|AC|2=|BC|2,所以△ABC为等腰直角三角形.要点三坐标法的应用例3证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.证明如图所示,以顶点A为坐标原点,AB边所在的直线为x轴,建立直角坐标系,有A(0,0).设B(a,0),D(b,c),由平行四边形的性质得点C的坐标为(a+b,c),因为|AB|2=a2,|CD|2=a2,|AD|2=b2+c2,|BC|2=b2+c2,|AC|2=(a+b)2+c2,|BD|2=(b-a)2+c2.所以|AB|2+|CD|2+|AD|2+|BC|2=2(a2+b2+c2),|AC|2+|BD|2=2(a2+b2+c2).所以|AB|2+|CD|2+|AD|2+|BC|2=|AC|2+|BD|2.规律方法坐标法解决几何问题时,关键要结合图形的特征,建立平面直角坐标系.坐标系建立的是否合适,会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有两点:①让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算;②如果条件中有互相垂直的两条线,要考虑将它们作为坐标轴;如果图形为中心对称图形,可考虑将中心作为原点;如果有轴对称性,可考虑将对称轴作为坐标轴.跟踪演练3已知:等腰梯形ABCD中,AB∥DC,对角线为AC和BD.求证:|AC|=|BD|.证明如图所示,建立直角坐标系,设A(0,0),B(a,0),C(b,c),则点D的坐标是(a-b,c).∴|AC|=(b-0)2+(c-0)2=b2+c2,|BD|=(a-b-a)2+(c-0)2=b2+c2.故|AC|=|BD|.1.直线x+2y-2=0与直线2x+y-3=0的交点坐标是()A .(4,1)B .(1,4) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43,13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13,43 答案 C解析 由方程组⎩⎨⎧x +2y -2=0,2x +y -3=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =43,y =13.即直线x +2y -2=0与直线2x +y -3=0的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫43,13.2.已知M (2,1),N (-1,5),则|MN |等于( ) A .5 B.37 C.13 D .4 答案 A解析 |MN |=(2+1)2+(1-5)2=5.3.经过直线2x -y +4=0与x -y +5=0的交点,且垂直于直线x -2y =0的直线的方程是( )A .2x +y -8=0B .2x -y -8=0C .2x +y +8=0D .2x -y +8=0 答案 A解析 首先解得交点坐标为(1,6),再根据垂直关系得斜率为-2,可得方程y -6=-2(x -1),即2x +y -8=0.4.已知两条直线l 1:ax +3y -3=0,l 2:4x +6y -1=0,若l 1与l 2相交,则实数a 满足的条件是________.答案 a ≠2解析 l 1与l 2相交则有:a 4≠36,∴a ≠2.5.设点A 在x 轴上,点B 在y 轴上,AB 的中点是P (2,-1),则|AB |等于________.答案 25解析 设A (x,0),B (0,y ),∵AB 中点P (2,-1), ∴x 2=2,y2=-1,∴x =4,y =-2,即A (4,0),B (0,-2), ∴|AB |=42+22=2 5.1.方程组⎩⎨⎧A 1x +B 1y +C 1=0A 2x +B 2y +C 2=0有唯一解的等价条件是A 1B 2-A 2B 1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2-A 2B 1≠0.直线A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(λ∈R )是过直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0与l 2:A 2x +B 2y +C 2=0交点的直线(不含l 2).2.解析法又称为坐标法,它就是通过建立直角坐标系,用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法.3.两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的距离公式|P 1P 2|=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2与两点的先后顺序无关,其反映了把几何问题代数化的思想.一、基础达标1.已知A (-1,0),B (5,6),C (3,4),则|AC ||CB |的值为( ) A.13 B.12 C .3 D .2答案 D解析 由两点间的距离公式, 得|AC |=[3-(-1)2]+(4-0)2=42,|CB |=(3-5)2+(4-6)2=22,故|AC ||CB |=4222=2.2.两直线2x +3y -k =0和x -ky +12=0的交点在y 轴上,那么k 的值为( )A .-24B .6C .±6D .24答案 C解析 在2x +3y -k =0中,令x =0得y =k 3,将⎝ ⎛⎭⎪⎫0,k 3代入x -ky +12=0,解得k =±6.3.以A (5,5),B (1,4),C (4,1)为顶点的三角形是( ) A .直角三角形 B .等腰三角形 C .等边三角形 D .等腰直角三角形答案 B解析 ∵|AB |=17,|AC |=17,|BC |=32, ∴三角形为等腰三角形.故选B.4.已知直线mx +4y -2=0与2x -5y +n =0互为垂直,垂足为(1,p ),则m -n +p 为( )A .24B .20C .0D .-4 答案 B解析 由垂直性质可得2m -20=0,m =10.由垂足可得⎩⎨⎧10+4p -2=0,2-5p +n =0,得⎩⎨⎧p =-2,n =-12.∴m -n +p =20.5.已知点A (-2,-1),B (a,3),且|AB |=5,则a 的值为________. 答案 1或-5解析 由题意得(a +2)2+(3+1)2=5, 解得a =1或a =-5.6.若直线l :y =kx -3与直线2x +3y -6=0的交点位于第一象限,则k 的取值范围是________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫33,+∞解析 由⎩⎨⎧y =kx -3,2x +3y -6=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =33+62+3k ,y =6k -232+3k .由于交点在第一象限,故x >0,y >0,解得k >33.7.在直线l :3x -y +1=0上求一点P ,使点P 到两点A (1,-1),B (2,0)的距离相等.解 法一 设P 点坐标为(x ,y ),由P 在l 上和点P 到A ,B 的距离相等建立方程组 ⎩⎨⎧3x -y +1=0,(x -1)2+(y +1)2=(x -2)2+y 2, 解得⎩⎨⎧x =0,y =1,所以P 点坐标为(0,1).法二 设P (x ,y ),两点A (1,-1)、B (2,0)连线所得线段的中垂线方程为x +y -1=0.①又3x -y +1=0,②解由①②组成的方程组⎩⎨⎧ 3x -y +1=0,x +y -1=0,得⎩⎨⎧x =0,y =1,所以所求的点为P (0,1). 二、能力提升8.两直线3ax -y -2=0和(2a -1)x +5ay -1=0分别过定点A ,B ,则|AB |的值为( )A.895B.175C.135D.115 答案 C解析 直线3ax -y -2=0过定点A (0,-2),直线(2a -1)x +5ay -1=0,过定点B ⎝⎛⎭⎪⎫-1,25,由两点间的距离公式,得|AB |=135. 9.直线x +ky =0,2x +3y +8=0和x -y -1=0交于一点,则k 的值是( )A.12 B .-12 C .2 D .-2答案 B解析 由方程组⎩⎨⎧2x +3y +8=0x -y -1=0得直线2x +3y +8=0与x -y -1=0的交点坐标为(-1,-2)代入直线x +ky =0得k =-12.10.若动点P 的坐标为(x,1-x ),x ∈R ,则动点P 到原点的最小值是________. 答案 22解析 由距离公式得x 2+(1-x )2=2x 2-2x +1=2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+12,∴最小值为12=22.11.(1)求过两直线3x +y -1=0与x +2y -7=0的交点且与第一条直线垂直的直线方程.(2)求经过直线3x +2y +6=0和2x +5y -7=0的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.解 (1)法一 由⎩⎨⎧3x +y -1=0,x +2y -7=0,得⎩⎨⎧x =-1,y =4,即交点为(-1,4). ∵第一条直线的斜率为-3,且两直线垂直, ∴所求直线的斜率为13. ∴由点斜式得y -4=13(x +1), 即x -3y +13=0.法二 设所求的方程为3x +y -1+λ(x +2y -7)=0, 即(3+λ)x +(1+2λ)y -(1+7λ)=0, 由题意得3(3+λ)+(1+2λ)=0,∴λ=-2,代入所设方程得x -3y +13=0.(2)设直线方程为3x+2y+6+λ(2x+5y-7)=0,即(3+2λ)x+(2+5λ)y+6-7λ=0.令x=0,得y=7λ-6 2+5λ;令y=0,得x=7λ-6 3+2λ.由7λ-62+5λ=7λ-63+2λ,得λ=13或λ=67.直线方程为x+y+1=0或3x+4y=0.三、探究与创新12.求函数y=x2-8x+20+x2+1的最小值.解原式可化为y=(x-4)2+(0-2)2+(x-0)2+(0-1)2.考虑两点间的距离公式,如图所示,令A(4,2),B(0,1),P(x,0),则上述问题可转化为:在x轴上求一点P(x,0),使得|P A|+|PB|最小.作点A(4,2)关于x轴的对称点A′(4,-2),由图可直观得出|P A|+|PB|=|P A′|+|PB|≥|A′B|,故|P A|+|PB|的最小值为|A′B|的长度.由两点间的距离公式可得|A′B|=(4-0)2+(-2-1)2=5,所以函数y=x2-8x+20+x2+1的最小值为5.13.某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1,2),B(4,0),一条河所在直线方程为l:x+2y-10=0,若在河边l上建一座供水站P使之到A,B两镇的管道最省,问供水站P应建在什么地方?此时|P A|+|PB|为多少?解如图所示,过A 作直线l 的对称点A ′,连接A ′B 交l 于P ,因为若P ′(异于P )在直线l 上,则|AP ′|+|BP ′|=|A ′P ′|+|BP ′|>|A ′B |.因此,供水站只能在点P 处,才能取得最小值.设A ′(a ,b ),则AA ′的中点在l 上,且AA ′⊥l ,即⎩⎪⎨⎪⎧ a +12+2×b +22-10=0,b -2a -1·⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=-1,解得⎩⎨⎧ a =3,b =6,即A ′(3,6).所以直线A ′B 的方程为6x +y -24=0,解方程组⎩⎨⎧ 6x +y -24=0,x +2y -10=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =3811,y =3611. 所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3811,3611.故供水站应建在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3811,3611处,此时|P A |+|PB |=|A ′B |=(3-4)2+(6-0)2 =37.。
平面几何中的相交关系
平面几何中的相交关系在平面几何中,相交是一个重要的概念。
相交关系涉及到直线、线段、射线和平面之间的交集,对于研究平面图形的性质和特点非常关键。
本文将以直线和线段为例,探讨平面几何中的相交关系。
一、直线的相交关系直线的相交关系主要有三种情况:相交、平行和重合。
1. 相交:当两条直线在平面上有一个公共点时,我们称它们相交。
相交的直线可以交于一点,形成一个交点,也可以交于无数个点,形成一条共线的直线。
两条相交的直线所在的平面不一定是同一个平面。
2. 平行:如果两条直线在平面上没有任何一个公共点,那么它们是平行的。
平行的直线在平面上永远不会相交,它们的斜率相等但不相交。
平行直线所在的平面平行于它们。
3. 重合:如果两条直线所在的直线重合,那么它们是重合的。
换句话说,它们是同一条直线,有无数个公共点。
重合的直线在平面上完全重合,没有任何的区别。
二、线段的相交关系线段相交的关系也存在相交、平行和重合三种情况。
1. 相交:当两个线段在平面上有一个公共点时,我们称它们相交。
相交的线段可以交于一个点,也可以交于一部分,形成一条交叉线段。
2. 平行:如果两个线段在平面上没有任何一个公共点,那么它们是平行的。
平行的线段在平面上永远不会相交,它们的长度可能相等也可能不等。
3. 重叠:如果两个线段在平面上的某一部分完全重合,那么它们是重叠的。
重叠的线段长度完全相等。
除了相交、平行和重合,线段还可以存在其他特殊的相交关系。
1. 内含:当一个线段完全包含在另一个线段内部时,我们称它们为内含关系。
被包含的线段称为内线段,包含的线段称为外线段。
2. 交叉:当两个线段互相交叉,但没有一个线段完全包含另一个线段时,我们称它们为交叉关系。
3. 相离:当两个线段没有任何公共点时,我们称它们为相离关系。
通过研究直线和线段的相交关系,我们可以推导出平面几何中更复杂图形的相交关系。
平面几何的相交关系对于解决几何问题和证明几何定理都具有重要意义。
人教版高中数学必修二《3.3.1 两条直线的交点坐标》
x 0y+10=0和3x+4y-2=0的交点坐标为(0,2) 又因为所求直线过点(2,1)
所以所求直线方程为x+2y-4=0
法二:设经过两直线交点的直线方程为:
当直线斜率不存 在时,如何判断?
( 1 )k1 k 2 , b1 b2
(2)k1 k 2 , b1 b2
l1 // l2
l1与l 2 重合
l1与l2相交
(3)k1 k 2
二、新课讲授
y P(a,b)
直线l : 2 x y 3 0
(1)点15 , 在直线上吗? (2)点 2, 7 在直线上吗? (3)点3, 8 在直线上吗?
点P(a,b)在直线l上,那么 P(a,b)满足直线l的方程 即2a-b+3=0
l : 2x y 3 0
x
l1:A1x+B1y+C1=0 l2:A2x+B2y+C2=0 y
l1
y
l2
y A(a,b)
l1
A(a,b) x l1:A1x+B1y+C1=0 A1a+B1b+C1=0
A(a,b)
(3)l1:3x+4y-5=0, l2:6x+8y-10=0 x-y=0 解( : 1)解方程组 3x+3y-10=10 x= 5 得: 3 所以l1与l2相交, 5 y= 3 5 5 交点坐标为( 3 ,3 ).
3x y 4 0, (2) 解方程组 6 x 2 y 1 0,
问题4:方程组 两条直线的位置关系有何关系?
高中数学第三章直线与方程3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离课件新人教A版必修
2
3
C. + =1
答案:C
1
3
1
D.y=- x+4
3
B.y=- x-12
)
S 随堂练习
UITANG LIANXI
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1
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
2
2.两点间的距离公式
已知平面上两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离为|P1P2|,则
-1
2-1
=
-(-3)
,
2-(-3)
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探究一
探究二
探究三
探究四
J 基础知识 Z 重点难点
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探究五
探究四坐标法的应用
将几何问题代数化,即用代数的语言描述几何要素及其关系,并最终解决几
何问题,这种处理问题的方法叫作坐标法(或解析法),通过这种方法,把点与
坐标、曲线与方程联系起来,实现空间形式与数量关系的结合.
坐标法解决几何问题时,关键要结合图形的特征,建立平面直角坐标系.
坐标系建立的是否合适,会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有
两点:
①让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算;②如果条件中有互相
垂直的两条线,要考虑将它们作为坐标轴;如果图形为中心对称图形,可考虑
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探究五
解:(1)设所求直线方程为 x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0.
立体几何中的相交关系 → 空间几何中的相交关系
立体几何中的相交关系→ 空间几何中的相交关系介绍在几何学中,相交关系是指两个或多个几何体之间的交叉或重叠关系。
在空间几何中,我们研究的是三维空间中的几何体相交关系。
本文将介绍一些常见的空间几何中的相交关系。
平面与平面的相交关系两个平面可以有三种相交关系:相交、平行和重合。
1. 相交:当两个平面有一条公共的直线时,我们称它们相交。
相交:当两个平面有一条公共的直线时,我们称它们相交。
2. 平行:当两个平面没有公共的直线时,我们称它们平行。
平行:当两个平面没有公共的直线时,我们称它们平行。
3. 重合:当两个平面完全重合时,我们称它们重合。
重合:当两个平面完全重合时,我们称它们重合。
直线与平面的相交关系一条直线与平面可以有三种相交关系:相交、平行和垂直。
1. 相交:当一条直线与平面有一点同时在两者上时,我们称它们相交。
相交:当一条直线与平面有一点同时在两者上时,我们称它们相交。
2. 平行:当一条直线与平面没有任何公共点时,我们称它们平行。
平行:当一条直线与平面没有任何公共点时,我们称它们平行。
3. 垂直:当一条直线与平面相交,并且与平面上的任意一条直线都垂直时,我们称它们垂直。
垂直:当一条直线与平面相交,并且与平面上的任意一条直线都垂直时,我们称它们垂直。
直线与直线的相交关系两条直线在空间中可以有三种相交关系:相交、平行和共面。
1. 相交:当两条直线在空间中有且只有一个交点时,我们称它们相交。
相交:当两条直线在空间中有且只有一个交点时,我们称它们相交。
2. 平行:当两条直线位于不同平面上,并且在空间中没有任何交点时,我们称它们平行。
平行:当两条直线位于不同平面上,并且在空间中没有任何交点时,我们称它们平行。
3. 共面:当两条直线位于同一个平面上时,我们称它们共面。
共面:当两条直线位于同一个平面上时,我们称它们共面。
空间几何中的其他相交关系除了以上介绍的基本相交关系,空间几何中还存在其他一些特殊情况的相交关系。
空间几何中的平面与平面的位置关系
空间几何中的平面与平面的位置关系在空间几何中,平面是一个基本的几何概念,而研究平面与平面之间的位置关系更是几何学中的重要内容。
本文将探讨平面与平面之间的几种常见位置关系,包括平行、交叉、相交和重合。
一、平行关系两个平面如果永远不相交,它们被称为平行的。
平行关系是最简单的一种平面位置关系。
例如,在一个立方体中,底面和顶面是平行的,它们永远不会相交。
二、交叉关系两个平面如果有交点,但交点不在任何一个平面上,它们被称为交叉的。
交叉关系可以分为两种情况:交叉于一点和交叉于一线。
1. 交叉于一点当两个平面相交于一个点时,它们被称为交叉于一点的。
例如,一对相交直线的垂直平分线与它们所在的平面相交于同一个点。
2. 交叉于一线当两个平面相交于一条线时,它们被称为交叉于一线的。
例如,两个相交的墙面所在的平面相交于一条线。
三、相交关系两个平面如果有公共部分,它们被称为相交的。
相交关系可以分为两种情况:相交于一点和相交于一线。
1. 相交于一点当两个平面相交于一个点时,并且交点同时存在于两个平面上,它们被称为相交于一点的。
例如,两个平面的法向量相互垂直,它们相交于一点。
2. 相交于一线当两个平面相交于一条线时,并且交线不在任何一个平面上,它们被称为相交于一线的。
例如,两个相交墙面的交线并不在任何一个墙面上。
四、重合关系如果两个平面重合,它们被称为重合的。
两个重合的平面完全相同,它们所有的点都重合在一起。
例如,两张完全相同的平桌面重合在一起。
总结:空间几何中,平面与平面之间的位置关系可以归纳为四种主要关系:平行、交叉、相交和重合。
平行的平面永远不会相交,交叉的平面有交点但不共面,相交的平面有公共部分且可能共面,而重合的平面完全相同。
通过研究平面与平面之间的位置关系,我们可以更好地理解和应用空间几何中的概念,例如在建筑设计、制图和几何证明中的应用。
掌握平面与平面的位置关系有助于我们在解决几何问题时更加准确和高效。
空间几何中的平面关系是几何学中重要的基础知识,对于提升我们的几何思维能力和解决实际问题都有着积极的影响。
§3.3.1两条直线的位置关系(平行、垂直、相交)【2课时】
12//l l 2121b b k k ≠=⇔且1k k l l 2121-=⋅⇔⊥ §3.3.1两条直线的位置关系(平行、垂直、相交)【两课时】 姓名:_________ 授课日期:________ 顺序编号:_______学习目标1.会利用直线的方程判断两条直线的位置关系(平行、垂直、相交).2.掌握两条直线垂直、平行、相交的判定..学习过程一、课前准备1.(预习教材103102P -,找出疑惑之处)2.已知直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+则二、新课导学※探索新知探究1:利用两直线方程所组成的方程组判断两直线的位置关系:①已知两直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如何判断这两条直线的关系? ②如果两条直线相交,怎样求交点坐标?交点坐标与二元一次方程组有什关系?③解下列方程组(由学生完成):如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系?讨论结果:(1)教师引导学生先从点与直线的位置关系入手,看下表,并填空.(2)学生进行分组讨论,教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组的关系.设两条直线的方程是1l :A 1x+B 1y+C 1=0, 2l :A 2x+B 2y+C 2=0,如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l 1和l 2的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0,0222111C y B x A C y B x A 是否有唯一解.①若二元一次方程组有唯一解,则l 1与l 2相交;②若二元一次方程组无解,则l 1与l 2平行;③若二元一次方程组有无数解,则l 1与l 2重合.(3)引导学生观察三组方程对应系数比的特点: (1)23≠14;(2)21316312=--=;(3)16312--=≠211. 探究2:我们可以先解由两直线方程联立的方程组⎩⎨⎧=++=++).2( 0C y B x A ),1( 0C y B x A 222111 ①×B 2-②×B 1,得(A 1B 2-A 2B 1)x+B 2C 1-B 1C 2=0.当A 1B 2-A 2B 1≠0时,得x=12211121B A B A B C C B --;再由①×A 2-②×A 1,当A 1B 2-A 2B 1≠0时,可得y=12212112B A B A C A C A --.因此,当A 1B 2-A 2B 1≠0时,方程组有唯一一组解x 、y.这时两条直线相交,交点的坐标就是(x ,y).因此这两条直线相交时,系数满足的关系为A 1B 2-A 2B 1≠0. ★两条直线的位置关系判断:【0B A 0B A ≠⋅≠⋅】方程判断方法位置关系222111b x k y :l b x k y :l +=+= 0C y B x A :l 1111=++ 0C y B x A :l 2222=++ 平行 1212,k k b b =≠ ,B A B A 1221=并且1221C B C B ≠(验证)重合 21,21b b k k == ,B A B A 1221=并且1221C B C B =垂直 121-=⋅k k 0B B A A 2121=+(不可用分式)相交21k k ≠联立两直线的方程,解方程组求其公共解 ★★①直线21l l 与平行<≠>它们的斜率相等 ②直线21l l 与垂直⇐≠>它们的斜率 ※典型例题【例1】求下列两直线的交点坐标,l 1:3x+4y-2=0,l 2:2x+y+2=0.变式训练(1)求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程.l 1:x-2y+2=0,l 2:2x-y-2=0.探究3:当t 变化时,方程:3x+4y-2+t(2x+y+2)=0表示什么图形?图形有何特点?【阅读109P 面第4题】【例2】已知直线l 经过两直线02y x 03y 3x 2=++=--与的交点,求满足下列条件的直线l 的方程:(1)l 与直线01y x 3=-+平行;(2)l 与直线01y x 3=-+垂直。
3.3.1两条直线的交点坐标
3.3.1 两条直线的交点坐标【教学目标】1.掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系,并且会通过直线方程系数判定解的情况,2.当两条直线相交时,会求交点坐标.3.学生通过一般形式的直线方程解的讨论,加深对解析法的理解,培养转化能力.【重点难点】教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点.教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解.【教学过程】导入新课问题1.作出直角坐标系中两条直线,移动其中一条直线,让学生观察这两条直线的位置关系.课堂设问:由直线方程的概念,我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系,那如果两直线相交于一点,这一点与这两条直线的方程有何关系?你能求出它们的交点坐标吗?说说你的看法.问题2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标?这节课我们就来研究这个问题.新知探究提出问题①已知两直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如何判断这两条直线的关系?②如果两条直线相交,怎样求交点坐标?交点坐标与二元一次方程组有什关系?③解下列方程组(由学生完成):(ⅰ)⎩⎨⎧=++=-+022,0243y x y x ; (ⅱ)⎪⎩⎪⎨⎧+==+-2131,0362x y y x ; (ⅲ)⎪⎩⎪⎨⎧+==-2131,062x y y x .如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系?④当λ变化时,方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形,图形有什么特点?求出图形的交点坐标.讨论结果:①教师引导学生先从点与直线的位置关系入手,看下表,并填空.几何元素及关系代数表示点A A(a ,b)直线l l :Ax+By+C=0点A 在直线上直线l 1与l 2的交点A②学生进行分组讨论,教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组的关系.设两条直线的方程是l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l 1和l 2的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0,0222111C y B x A C y B x A 是否有唯一解.(ⅰ)若二元一次方程组有唯一解,则l 1与l 2相交;(ⅱ)若二元一次方程组无解,则l 1与l 2平行;(ⅲ)若二元一次方程组有无数解,则l 1与l 2重合.即直线l 1、l 2联立得方程组⎪⎩⎪⎨⎧⇔⎪⎩⎪⎨⎧.,,212121平行重合相交无解无穷多解唯一解转化、l l 、l l 、l l (代数问题) (几何问题)③引导学生观察三组方程对应系数比的特点:(ⅰ)23≠14;(ⅱ)21316312=--=;(ⅲ)16312--=≠211.一般地,对于直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0(A 1B 1C 1≠0,A 2B 2C 2≠0),有方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⇔≠=⇔⇔==⇔⇔≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧=++=++.,,002121212121212121212121222111平行无解重合无穷多解相交唯一解l l C CB B A A l lC C B B A A l l B B A A C y B x A C y B x A .注意:(a)此关系不要求学生作详细的推导,因为过程比较繁杂,重在应用.(b )如果A 1,A 2,B 1,B 2,C 1,C 2中有等于零的情况,方程比较简单,两条直线的位置关系很容易确定.④(a)可以用信息技术,当λ取不同值时,通过各种图形,经过观察,让学生从直观上得出结论,同时发现这些直线的共同特点是经过同一点.(b)找出或猜想这个点的坐标,代入方程,得出结论.(c)结论:方程表示经过这两条直线l 1与l 2的交点的直线的集合.应用示例例1 求下列两直线的交点坐标,l 1:3x+4y-2=0,l 2:2x+y+2=0.解:解方程组⎩⎨⎧=++=-+,022,023y x y x 得x=-2,y=2,所以l 1与l 2的交点坐标为M(-2,2).变式训练求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程.l 1:x-2y+2=0,l 2:2x-y-2=0.解:解方程组x-2y+2=0,2x-y-2=0,得x=2,y=2,所以l 1与l 2的交点是(2,2).设经过原点的直线方程为y=kx,把点(2,2)的坐标代入以上方程,得k=1,所以所求直线方程为y=x.点评:此题为求直线交点与求直线方程的综合运用,求解直线方程也可应用两点式.例2 判断下列各对直线的位置关系.如果相交,求出交点坐标.(1)l 1:x-y=0,l 2:3x+3y-10=0.(2)l 1:3x-y+4=0,l 2:6x-2y-1=0.(3)l 1:3x+4y-5=0,l 2:6x+8y-10=0.活动:教师让学生自己动手解方程组,看解题是否规范,条理是否清楚,表达是否简洁,然后再进行讲评.解:(1)解方程组⎩⎨⎧=-+=-,01033,0y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.35,35y x 所以l 1与l 2相交,交点是(35,35).(2)解方程组⎩⎨⎧=--=+-)2(,0126)1(,043y x y x ①×2-②得9=0,矛盾,方程组无解,所以两直线无公共点,l 1∥l 2.(3)解方程组⎩⎨⎧=-+=-+)2(,01086)1(,0543y x y x ①×2得6x+8y-10=0.因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l 1与l 2重合.变式训练判定下列各对直线的位置关系,若相交,则求交点.(1)l 1:7x+2y-1=0,l 2:14x+4y-2=0.(2)l 1:(3-2)x+y=7,l 2:x+(3+2)y-6=0.(3)l 1:3x+5y-1=0,l 2:4x+3y=5.答案:(1)重合,(2)平行,(3)相交,交点坐标为(2,-1).例3 求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程.思路解析:根据本题的条件,一种思路是先求出交点坐标,再设所求直线的点斜式方程求出所要求的直线方程;另一种思路是利用直线系(平行系或过定点系)直接设出方程,根据条件求未知量,得出所求直线的方程.解:(方法一)由方程组⎩⎨⎧=++=0,2y x 0,3-3y -2x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.57,53y x∵直线l 和直线3x+y-1=0平行,∴直线l 的斜率k=-3.∴根据点斜式有y-(57-)=-3[x-(53-)],即所求直线方程为15x+5y+16=0.(方法二)∵直线l 过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点,∴设直线l 的方程为2x-3y-3+λ(x+y+2)=0, 即(λ+2)x+(λ-3)y+2λ-3=0.∵直线l 与直线3x+y-1=0平行,∴1321332--≠-=+λλλ.解得λ=211.从而所求直线方程为15x+5y+16=0.点评:考查熟练求解直线方程,注意应用直线系快速简洁解决问题。
七年级数学下册 3.3.1平行、相交、重合学案(无答案)湘教版
3.3.1平行、相交、重合(学案)姓名一【导入新课】1、经过一点可以画几条直线?经过两点呢?经过三点呢?2、线段AB=CD,CD=EF,那么AB与EF的关系怎样?二【学习目标】1.理解平行线的意义,了解同一平面内两条直线的位置关系;2.理解并掌握平行公理及其直线平行关系的传递性的内容;3.会根据几何语句画图,会用直尺和三角板画平行线;三【自学自测】自学指导:1.自学时间:6分钟。
2.自学内容: 51到53页。
3.自学要求:找出知识点自测:一、平面内两条直线的位置关系:观察P52的图形说出这些直线的不同的位置关系有:画图说明:二、平行线概念、表示和画法:1.在同一内,没有的两条直线叫做平行线。
画图说明:2.直线AB与CD平行,记作,读作。
3.说一说:生活中的平行线的实例。
4.用三角板画平行线AB∥CD。
方法为:一“落”(三角板的一边落在已知直线上),二“靠”(用直尺紧靠三角板的另一边),三“移”(沿直尺移动三角板,直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点),四“画”(沿三角板过已知点的边画直线)。
A B三、平行公理和平行传递性:1.做一做:任意画一条直线a,并在直线a外任取一点A,通过点A画直线a的平行线,看能画出几条?Aa归纳平行公理:。
2.平行传递性:设a、b、c是三条直线,如果a∥b,b∥c,那么。
应用: abc四讨论更正合作探究五小结:你学会了什么?六达标训练1、填空:(1)在同一平面内,两条直线可能的位置关系是。
(2)在同一平面内,三条直线的交点个数可能是。
(3)如果同一平面内的两条直线有两个交点,那么它们的的位置关系是。
2.下列说法正确的是()A.经过一点有且只有一条直线与已知直线平行。
B.经过一点有无数条直线与已知直线平行。
C.经过一点有一条直线与已知直线平行。
D.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行3、画直线AB,再画直线外一点P,然后画直线CD,使CD∥AB。
PA B。
轴线规律名词解释
轴线规律名词解释
轴线规律是指在某个图形中存在一条或多条轴线,通过对称、平行或者重合等方式与图形的其他元素产生一种规律性的关系。
轴线在图形中具有特定的位置和方向,通过与其他元素的关系,能够使整个图形呈现出一种和谐、平衡的状态。
轴线规律可以出现在各种各样的图形中,包括平面图形、立体图形和抽象图形等。
常见的轴线规律有以下几种:
1. 对称轴线规律:图形中存在一条或多条对称轴线,这些轴线将图形划分为两个或多个对称的部分。
当图形的各个部分在对称轴线两侧呈现对称关系时,就产生了对称轴线规律。
2. 平行轴线规律:图形中存在一条或多条平行轴线,这些轴线与图形的其他元素呈现平行关系,使整个图形具有一种平衡感和统一感。
3. 重合轴线规律:图形中存在一条或多条重合的轴线,这些轴线可以是相互平行或相交的,通过重合轴线的存在,使整个图形具有一种统一的结构和形态。
4. 中轴线规律:图形中存在一条或多条中轴线,这些轴线可以是水平轴线、垂直轴线或者斜轴线,通过中轴线的存在,使图形呈现出一种平衡、稳定的状态。
轴线规律在设计、美术、建筑等领域中起着重要的作用。
通过合理运用轴线规律,可以使设计作品更加有序、美观,同时也能够提升观众的感知体验。
轴线规律的运用还可以增加图形的稳定性,使其更具有视觉冲击力。
因此,对于从事相关领域的人士来说,掌握轴线规律的概念和运用方法是非常重要的。
平面几何中的直线与直线的位置关系
平面几何中的直线与直线的位置关系直线是平面几何中最基本的几何元素之一,而研究直线与直线之间的位置关系,对于我们理解平面几何的性质和应用有着重要的意义。
本文将从不同的角度来探讨直线与直线的位置关系,包括平行、相交和重合等情况。
一、平行直线的性质平行是指在同一平面内的两条直线,它们永远不会相交,并且具有以下性质:1. 平行直线的方向相同,即它们在无限远处也不会相交。
2. 平行直线之间的距离是始终相等的,且它们的任意一点到另一条直线的垂直距离都相等。
3. 平行直线的斜率相等,即两条平行直线的斜率都是相同的。
二、相交直线的性质相交是指在同一平面内的两条直线,它们在某一点上交叉,并且具有以下性质:1. 相交直线必定有且只有一个公共点。
2. 如果两条直线相交,那么它们的交点一定是它们的公共点。
3. 直线相交的角度可以是钝角、直角、锐角或其它各种角度。
注意:当两条直线相交时,它们可以是平面内的任意两点相连形成的线段,而不仅仅限于直线。
三、重合直线的性质重合是指在同一平面内的两条直线完全重合,它们具有以下性质:1. 重合直线上的所有点都是相同的,它们的位置和性质完全一致。
2. 重合直线的斜率相等,即两条重合直线的斜率都是相同的。
总结:直线与直线的位置关系主要包括平行、相交和重合三种情况。
平行直线具有相同的方向、等距离以及相等的斜率;相交直线在某一点上交叉,形成角度;重合直线完全重合,所有点都一致。
研究直线与直线的位置关系有助于我们理解几何形状的特性,应用于实际生活和工作中的几何问题。
通过学习直线与直线的位置关系,我们可以更好地理解平面几何的基本性质,并能够应用于解决实际问题。
在建筑设计、地理测量、计算机图形学等领域,对于直线与直线的位置关系的准确理解和运用都是非常重要的。
因此,掌握直线与直线的位置关系是平面几何学习的基础,对于提高我们的几何分析和解决问题的能力具有重要的意义。
以上是关于平面几何中直线与直线的位置关系的讨论,通过对平行、相交和重合三种情况的性质描述,我们可以更好地理解直线在平面几何中的重要性和应用。
空间几何中的平面与平面的位置关系知识点
空间几何中的平面与平面的位置关系知识点平面与平面的位置关系知识点在空间几何中,平面与平面的位置关系是一个重要的知识点。
理解和掌握平面与平面之间的位置关系,对于解决几何问题和应用于实际生活中的空间建模具有重要意义。
本文将介绍平面与平面的四种位置关系:平行、相交、重合和异面,并探讨它们的特性和应用。
1. 平行关系:当两个平面不存在交点时,它们被称为平行平面。
平行平面的特点是:它们的法向量垂直且相等。
简单来说,如果一个平面的法向量与另一个平面的法向量垂直且长度相等,那么这两个平面是平行的。
平行平面在实际问题中的应用非常广泛,例如建筑设计中的墙面或屋顶。
2. 相交关系:当两个平面存在且仅存在一条交线时,它们被称为相交平面。
相交平面的特点是:它们的法向量不相等。
相交平面可以形成各种不同的几何形状,如平行四边形、直角梯形等。
相交平面的研究有助于我们理解空间中不同几何体的关系,例如研究两个交叉的墙面如何构成室内空间的结构。
3. 重合关系:当两个平面的所有点完全重合时,它们被称为重合平面。
重合平面的特点是:它们的法向量相等且共线。
重合平面意味着这两个平面没有任何区别,它们在空间中完全重合。
在实际问题中,判断平面是否重合对于确定物体的位置和形状至关重要,例如在机械设计中,确保两个零件的平面配合要求是一致的。
4. 异面关系:当两个平面不存在任何交线时,它们被称为异面平面。
异面平面的特点是:它们的法向量不相等且不共线。
异面平面在几何学中是最常见的情况,例如地球表面上的各个大陆就可以看作是一组异面平面的集合。
异面平面的研究帮助我们理解空间中不同平面的分布和相对位置。
总结起来,平面与平面的位置关系涉及四种情况:平行、相交、重合和异面。
通过研究和理解这些位置关系,我们可以更准确地描述和解决空间几何问题。
在实际应用中,我们可以利用这些知识点来进行建模、设计和分析,例如建筑设计中的空间布局、机械设计中的零件配合等。
因此,掌握平面与平面的位置关系知识是学习几何学的重要一步,也对我们的日常生活具有实际应用的意义。
第3章 3.3.1两条直线的交点坐标
§3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标【课时目标】 1.掌握求两条直线交点的方法.2.掌握通过求方程组解的个数,判定两直线位置关系的方法.3.通过本节的学习初步体会用代数方法研究几何问题的解析思想.1.两条直线的交点已知两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0;l 2:A 2x +B 2y +C 2=0.若两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A 1x +B 1y +C 1=0A 2x +B 2y +C 2=0有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x =x 0y =y 0,则两直线______,交点坐标为________.2一、选择题1.直线l 1:(2-1)x +y =2与直线l 2:x +(2+1)y =3的位置关系是( ) A .平行 B .相交 C .垂直 D .重合2.经过直线2x -y +4=0与x -y +5=0的交点,且垂直于直线x -2y =0的直线的方程是( )A .2x +y -8=0B .2x -y -8=0C .2x +y +8=0D .2x -y +8=03.直线ax +2y +8=0,4x +3y =10和2x -y =10相交于一点,则a 的值为( ) A .1 B .-1 C .2 D .-2 4.两条直线l 1:2x +3y -m =0与l 2:x -my +12=0的交点在y 轴上,那么m 的值为( ) A .-24 B .6 C .±6 D .以上答案均不对5.已知直线l 1:x +m 2y +6=0,l 2:(m -2)x +3my +2m =0,l 1∥l 2,则m 的值是( ) A .m =3 B .m =0C .m =0或m =3D .m =0或m =-16.直线l 与两直线y =1和x -y -7=0分别交于A ,B 两点,若线段AB 的中点为M (1,-1),则直线l 的斜率为( )A .32B .23C .-32D .-23二、填空题7.若集合{(x ,y )|x +y -2=0且x -2y +4=0}{(x ,y )|y =3x +b },则b =________. 8.已知直线l 过直线l 1:3x -5y -10=0和l 2:x +y +1=0的交点,且平行于l 3:x +2y -5=0,则直线l 的方程是______________.9.当a 取不同实数时,直线(2+a )x +(a -1)y +3a =0恒过一个定点,这个定点的坐标为________.三、解答题10.求经过两直线2x +y -8=0与x -2y +1=0的交点,且在y 轴上的截距为x 轴上截距的两倍的直线l 的方程.11.已知△ABC的三边BC,CA,AB的中点分别是D(-2,-3),E(3,1),F(-1,2).先画出这个三角形,再求出三个顶点的坐标.能力提升12.在△ABC中,BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,∠A的角平分线所在直线的方程为y=0,若点B的坐标为(1,2),求点A和点C的坐标.13.一束平行光线从原点O(0,0)出发,经过直线l:8x+6y=25反射后通过点P(-4,3),求反射光线与直线l的交点坐标.1.过定点(x0,y0)的直线系方程y-y0=k(x-x0)是过定点(x0,y0)的直线系方程,但不含直线x=x0;A(x-x0)+B(y-y0)=0是过定点(x0,y0)的一切直线方程.2.与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+D=0(D≠C).与y=kx+b平行的直线系方程为y=kx+m(m≠b).3.过两条直线交点的直线系方程:过两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程是A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但此方程中不含l2;一般形式是m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(m2+n2≠0),是过l1与l2交点的所有直线方程.§3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标答案知识梳理1.相交 (x 0,y 0) 2.无 1 无数 作业设计1.A [化成斜截式方程,斜率相等,截距不等.]2.A [首先解得交点坐标为(1,6),再根据垂直关系得斜率为-2,可得方程y -6=-2(x -1),即2x +y -8=0.]3.B [首先联立⎩⎪⎨⎪⎧4x +3y =102x -y =10,解得交点坐标为(4,-2),代入方程ax +2y +8=0得a =-1.]4.C [2x +3y -m =0在y 轴上的截距为m 3,直线x -my +12=0在y 轴上的截距为12m,由12m =m3得m =±6.] 5.D [l 1∥l 2,则1·3m =(m -2)·m 2, 解得m =0或m =-1或m =3. 又当m =3时,l 1与l 2重合, 故m =0或m =-1.]6.D [设直线l 与直线y =1的交点为A (x 1,1),直线l 与直线x -y -7=0的交点为B (x 2,y 2),因为M (1,-1)为AB 的中点,所以-1=1+y 22即y 2=-3,代入直线x -y -7=0得x 2=4,因为点B ,M 都在直线l 上,所以k l =-3+14-1=-23.故选D .]7.2解析 首先解得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x +y -2=0x -2y +4=0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x =0y =2,代入直线y =3x +b 得b =2.8.8x +16y +21=0 9.(-1,-2)解析 直线方程可写成a (x +y +3)+2x -y =0,则该直线系必过直线x +y +3=0与直线2x -y =0的交点,即(-1,-2).10.解 (1)2x +y -8=0在x 轴、y 轴上的截距分别是4和8,符合题意. (2)当l 的方程不是2x +y -8=0时, 设l :(x -2y +1)+λ(2x +y -8)=0, 即(1+2λ)x +(λ-2)y +(1-8λ)=0. 据题意,1+2λ≠0,λ-2≠0.令x =0,得y =-1-8λλ-2;令y =0,得x =-1-8λ1+2λ.∴-1-8λλ-2=2·⎝ ⎛⎭⎪⎫-1-8λ1+2λ解之得λ=18,此时y =23x .∴所求直线方程为2x +y -8=0或y =23x .11.解如图,过D ,E ,F 分别作EF ,FD ,DE 的平行线,作出这些平行线的交点,就是△ABC 的三个顶点A ,B ,C .由已知得,直线DE 的斜率 k DE =1+33+2=45,所以k AB =45.因为直线AB 过点F ,所以直线AB 的方程为y -2=45(x +1),即4x -5y +14=0.①由于直线AC 经过点E (3,1),且平行于DF , 同理可得直线AC 的方程 5x -y -14=0.②联立①,②,解得点A 的坐标是(4,6).同样,可以求得点B ,C 的坐标分别是(-6,-2),(2,-4). 因此,△ABC 的三个顶点是A (4,6),B (-6,-2),C (2,-4). 12.解如图所示,由已知,A 应是BC 边上的高线所在直线与∠A 的角平分线所在直线的交点.由⎩⎪⎨⎪⎧ x -2y +1=0y =0,得⎩⎪⎨⎪⎧y =0x =-1, 故A (-1,0).又∠A 的角平分线为x 轴,故k AC =-k AB =-1,(也可得B 关于y =0的对称点(1,-2). ∴AC 方程为y =-(x +1), 又k BC =-2, ∴BC 的方程为 y -2=-2(x -1),由⎩⎪⎨⎪⎧ y =-(x +1)y -2=-2(x -1),得⎩⎪⎨⎪⎧x =5y =-6, 故C 点坐标为(5,-6).13.解 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ,b ),由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得⎩⎨⎧b a ·⎝⎛⎭⎫-43=-18×a 2+6×b2=25,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =4b =3,∴A 的坐标为(4,3).∵反射光线的反向延长线过A (4,3),又由反射光线过P (-4,3),两点纵坐标相等,故反射光线所在直线方程为y =3. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =38x +6y =25,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =78y =3,∴反射光线与直线l 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫78,3.。
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平 行 的 定 义
平 行 的 表 示 方 法
平 行 线 的 画 法
平 行 公 理
平 行 公 理 的 推 论
观察
小明家客厅的窗户由两扇塑钢玻璃窗页组成, 图3-36为两扇窗页全关、半开的状态.当我们把两扇 窗页近似地看成在同一平面内,并且考虑每扇窗页 的四条塑钢边所在的直线时,这些直线的相互位置 有哪些关系?
图1
图1
AD和AB,EH和EF 的位置是怎样的?
相交!
图1
AD和EH,BC和FG 呢? 重合!
图1
AB和DC,AD和BC 呢?
既不相交, 也不重合!
由此可见,同一平面上的两条直线,可能相交,可 能重合,还可能既不相交,也不重合.
!注意:
如果两条直线有两个交点,则这两条直线一定重 合,今后如果没特别说明,两条重合的直线只当时作 一条。
答:假设EF∥CD, 则因AB∥CD, 所以根据平行线的传递性, 便有AB∥EF. 与AB和EF相交于P点矛盾, 所以EF与CD不平行.
图3-40
小结
1、在同一平面内,直线的位置关系: 相交、重合、平行
2、平行线的定义: 在同一个平面内,没有公共点(或者说不相交) 的两条直线叫做平行线。
2、平行线的表示方法:
(1)、在同一平面内,两条平行的直线有且只有一个交点 (2)、两直线的位置关系只有相交与平行 (3)、在同一平面内,不相交的两条线段平行。 (4)、在同一平面内,不相交的两条射线平行。 (5)、没有公共点的两条直线叫平行线。 (6)、在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线。
A、0
B、1
C、2
D、4
平行用符号“‖”表示. “// ” 读作“平行于
平行公理的推论:
如果两条直线都和第三条直线平行,那么这 两条直线也互相平行。简写成:平行于同一条直 线的两条直线平行。
用几何语言表达为: ∵(因为)a∥c,b ∥c (已知) ∴(所以) a ∥b(平行于同一条直 线的两条直线平行)
a
c b
练习
1. 如图3-40,在同一平面内,若AB∥CD,EF与 AB相交于点P,EF能与CD平行吗?为什么?
”
如果直线AB与直线CD平行,记做AB‖CD, 读作AB平行于CD. B
A
· ·
C
· ·
D
如果用a、b表示这两条直线,那么a与b平行 , 记作a∥b。读作a平行于b.
说一说
说一说生活中平行线的例子.
双杠、梯子、操场 上的跑道.
平行线的画法: 一落、二靠、三移、四画
(1)落:(三角板的一边 落在已知直线上) (2)靠:(用直尺紧靠 三角板的另一边) (3)移: (沿直尺移动三角板, 直至落在已知直线上的三 角板的一边经过已知点 ) (4)画:(沿三角板过已知点的 边画直线)
·
A
做一做
如图,任意画一条直线a,并在直线a外任取一 点A.每个同学画一条通过A点且与a平行的直线.你能 画出几条这样的直线?
结论
人们根据长期的实践经验抽象出一个结论:
经过一条直线外一点有且只有一条直线 与已知直线平行.
说明:人们在长期实践中总结出来的结论 叫基本事实,也称为公理,它可以作为以 后推理的依据.
复习导入: 1、什么样的两条直线是相交直线? 如右图: 如果两条直线有一个且只有一个公共点, 称这两条直线相交。其中这个公共点叫做它 们的交点。
.o
2、大家看到的直线,是不是只有相交的直线呢?
不是
本节内容 4.1
平面上两条直线的位置关系
——4.1.1 相交与平行
执教:雷春清
本节需掌握的知识 平面上直线的位置关系 相交 即不相交,也不重合 重合
铁路上的两条铁轨, 一排挺立的电杆, 栅栏里的竖条, 都给我们以两条直线既不重合也不相交的形象.这样的 两条直线没有公共点.
结论
同一平面内没有公共点(或者说不 相交)的两条直线叫做平行线.
判断两条直线平行的条件:
一个前提:对两条直线而言。
两个关键:(1)同一平面内;
(2)没有公共点。
练习11、下列说法正确的个数是 Nhomakorabea B )