不定积分
通俗易懂的不定积分
不定积分是微积分中的一个重要概念，用于求解函数的原函数。以下是一些通俗易懂的不 定积分的例子：
1. 常数函数：对于一个常数函数f(x) = C，其中C为常数，它的不定积分就是Cx + Kቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ其 中K为常数。因为常数函数的导数等于0，所以不定积分就是原函数。
2. 幂函数：对于幂函数f(x) = x^n，其中n不等于-1，它的不定积分就是 (1/(n+1))x^(n+1) + K。这里的K仍然是常数。
这些是一些常见的函数的不定积分的例子，它们可以通过基本的积分规则和公式来求解。 需要注意的是，不定积分的结果通常是一个函数加上一个常数，这个常数是积分常数，因为 在求导的过程中常数项会被消去，所以在不定积分时需要加上这个常数项。
通俗易懂的不定积分
3. 指数函数：对于指数函数f(x) = e^x，它的不定积分就是e^x + K，其中K为常数。指 数函数的导数是它本身，所以不定积分就是原函数。
4. 三角函数：对于三角函数，如正弦函数f(x) = sin(x)和余弦函数f(x) = cos(x)，它们的不 定积分分别是-cos(x) + K和sin(x) + K，其中K为常数。这是因为三角函数的导数是它的负函 数，所以不定积分就是原函数。
不定积分的四则运算公式
不定积分的四则运算公式
不定积分是求导的反向运算，是解决微积分问题的重要方法之一，而四则运算则是数学中最基本的运算方法之一。
在进行不定积分的过程中，我们也需要运用四则运算的相关公式，以便更加高效地解决问题。
下面是不定积分的四则运算公式：
1. 常数倍法则：∫ k*f(x) dx = k*∫ f(x) dx （k为常数）
2. 和差法则：∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx；
∫ [f(x) - g(x)] dx = ∫ f(x) dx - ∫ g(x) dx
3. 积法公式：∫ f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - ∫ g(x)f'(x) dx
4. 倒代换公式：∫ f(g(x))g'(x) dx = ∫ f(u) du （其中 u = g(x)）
通过掌握这些不定积分的四则运算公式，我们可以更加轻松地进行不定积分的计算，提高我们的数学解题能力。
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常见的不定积分
不定积分（indefinite integral）是一种数学运算，它是反向求导的过程。
不定积分可以帮助我们求出函数的原函数。
常见的不定积分有如下几种：基本不定积分：基本不定积分是最常见的不定积分，它是指对函数求不定积分的过程。
例如，对函数f(x)求不定积分的表达式为：∫f(x)dx逆不定积分：逆不定积分是指将函数的不定积分反过来求导的过程。
例如，对函数f(x)求逆不定积分的表达式为：d/dx∫f(x)dx常数乘法不定积分：常数乘法不定积分是指在不定积分过程中乘上一个常数的过程。
例如，对函数f(x)乘上常数c求不定积分的表达式为：c∫f(x)dx常数加法不定积分：常数加法不定积分是指在不定积分过程中加上一个常数的过程。
例如，对函数f(x)加上常数c求不定积分的表达式为：∫f(x)dx + c分部不定积分：分部不定积分是指对函数的不同部分分别求不定积分的过程。
例如，对函数f(x)的x∈[a,b]部分求不定积分的表达式为：∫f(x)dx|x∈[a,b]多项式不定积分：多项式不定积分是指对多项式求不定积分的过程。
例如，对多项式ax^2+bx+c求不定积分的表达式为：(ax^3)/3 + (bx^2)/2 + cx指数函数不定积分：指数函数不定积分是指对指数函数求不定积分的过程。
例如，对指数函数f(x)=a^x求不定积分的表达式为：(a^x)/ln(a)对数函数不定积分：对数函数不定积分是指对对数函数求不定积分的过程。
例如，对对数函数f(x)=ln(x)求不定积分的表达式为：xln(x) - x这些是常见的不定积分类型。
不定积分在数学中有着广泛的应用，可以用来求解很多复杂的数学问题。
常见的不定积分公式大全
常见的不定积分公式大全一、基本积分公式。
1. ∫ kdx = kx + C（k为常数）- 例如，∫ 3dx = 3x + C。
2. ∫ x^n dx=frac{x^n + 1}{n+1}+C(n≠ - 1)- 如∫ x^2dx=frac{x^3}{3}+C，∫ x^(1)/(2)dx=(2)/(3)x^(3)/(2)+C。
3. ∫(1)/(x)dx=lnx+C- 注意这里绝对值的作用，当x>0时，∫(1)/(x)dx=ln x + C；当x<0时，∫(1)/(x)dx=ln(-x)+C。
4. ∫ e^x dx = e^x+C- 例如，∫ 2e^x dx = 2e^x + C。
5. ∫ a^x dx=(a^x)/(ln a)+C(a>0,a≠1)- ∫ 2^x dx=(2^x)/(ln 2)+C。
6. ∫sin xdx =-cos x + C- 例如，∫ 3sin xdx=- 3cos x + C。
7. ∫cos xdx=sin x + C- 如∫ 5cos xdx = 5sin x+C。
8. ∫(1)/(cos^2)xdx=tan x + C- 因为(d)/(dx)(tan x)=sec^2x=(1)/(cos^2)x。
9. ∫(1)/(sin^2)xdx =-cot x + C- 由于(d)/(dx)(-cot x)=(1)/(sin^2)x。
二、换元积分法相关公式（凑微分法）1. ∫ f(ax + b)dx=(1)/(a)∫ f(u)du（令u = ax + b）- 例如，∫sin(2x + 1)dx，令u = 2x+1，则du=2dx，所以∫sin(2x +1)dx=(1)/(2)∫sin udu=-(1)/(2)cos u + C=-(1)/(2)cos(2x + 1)+C。
2. ∫ x^n - 1f(x^n)dx=(1)/(n)∫ f(u)du（令u = x^n）- 如∫ x^2sin(x^3)dx，令u = x^3，du = 3x^2dx，则∫ x^2sin(x^3)dx=(1)/(3)∫sin udu=-(1)/(3)cos u + C=-(1)/(3)cos(x^3)+C。
不定积分的四则运算公式
不定积分的四则运算公式
不定积分是微积分中的重要概念之一，而四则运算也是基本的数学运算。
在对不定积分进行计算时，常常需要运用四则运算。
以下是不定积分的四则运算公式：
1. 和的不定积分等于各部分不定积分的和。
∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx
2. 差的不定积分等于各部分不定积分的差。
∫(f(x)-g(x))dx=∫f(x)dx-∫g(x)dx
3. 乘积的不定积分可以通过积分分部法来求得。
∫f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-∫g(x)f'(x)dx
4. 商的不定积分可以通过换元积分法来求得。
∫f(x)/g(x)dx=∫[f(g(x))/g(x)]g'(x)dx
在实际计算中，不定积分的四则运算常常需要与其他的积分技巧和公式相结合，才能得到最终的结果。
因此，对于不定积分的学习和掌握，需要不断地进行练习和实践。
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不定积分的四则运算公式
不定积分的四则运算公式在数学中，不定积分是一种求解函数的原函数的操作。
也就是说，当对一个函数进行不定积分后，得到的是一个包含任意常数的函数集合。
不定积分的四则运算公式是指对不定积分进行加减乘除的操作规则。
一、加法公式：对于两个函数的和的不定积分，有以下公式：∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx二、减法公式：对于两个函数的差的不定积分，有以下公式：∫(f(x) - g(x))dx = ∫f(x)dx - ∫g(x)dx三、乘法公式：对于两个函数的乘积的不定积分，有以下公式：∫f(x)g(x)dx = ∫u(x)dv(x) = u(x)v(x) - ∫v(x)du(x)其中，u(x)和v(x)是函数f(x)和g(x)的原函数。
此公式是通过积分部分法得到的。
四、除法公式：对于两个函数的商的不定积分，有以下公式：∫f(x)/g(x)dx = ∫[u(x) + v(x)]/g(x)dx = ∫u(x)/g(x)dx +∫v(x)/g(x)dx其中，u(x)和v(x)是函数f(x)和g(x)的原函数。
此公式是通过将除法转化为乘法再应用乘法公式得到的。
需要注意的是，在进行乘法和除法的不定积分时，对被积函数进行合适的变换或引入中间变量来简化计算。
五、分配律公式：在不定积分的四则运算中，也可以应用分配律。
对于表达式的不定积分，有以下公式：∫(f(x) + g(x))h(x)dx = ∫f(x)h(x)dx + ∫g(x)h(x)dx这个公式可以用于将一个积分问题拆分为多个较简单的积分问题，以简化计算过程。
六、合并同类项公式：在计算积分过程中，有时会遇到求解多个相同形式的不定积分。
可以使用合并同类项的公式进行简化。
如下所示：∫(a f(x) + b f(x))dx = (a + b) ∫f(x)dx这个公式将多个相同形式的函数合并成一个函数，并在常数项上进行求和运算。
以上是不定积分的四则运算公式，这些公式是对不定积分进行运算时常用的规则。
不定积分的形式
不定积分的形式不定积分的形式及其应用在微积分学中，不定积分是求解函数积分的一种方法。
它在工程、物理、经济学等领域中拥有广泛的应用。
本文从不定积分的形式以及应用两个方面进行探讨，并按类别进行划分。
一、不定积分的形式（1）幂函数积分对于幂指函数，例如f(x) = xn，则其不定积分可以表示为：∫xn dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C其中C为任意常数。
举个例子，对于f(x) = x^2，则其不定积分为：∫x^2 dx = (1/3)x^3 + C（2）三角函数积分对于三角函数，例如f(x) = sinx和f(x)=cosx，则其不定积分可以表示为：∫sinxdx = -cosx + C∫cosxdx = sinx + C其中C为任意常数。
（3）指数函数积分对于指数函数f(x) = e^x，则其不定积分可以表示为：∫e^xdx = e^x + C其中C为任意常数。
二、不定积分的应用（1）计算函数值对于一些特定函数，通过求解其不定积分，可以得到函数在某一点的值。
例如，对于f(x) = (1/x)，我们在x=a处的函数值为：f(a) = ∫(1/x)dx(从1到a)= ln(a) - ln(1)= ln(a)（2）计算曲线下面积不定积分还可以用来计算曲线下面的面积。
假设我们有一条函数曲线y=f(x)，且在区间[a,b]上是连续的，则该曲线下面的面积可以表示为：∫b[a]f(x)dx举个例子，对于y=x^2，在[a,b]上的曲线下面的面积可以表示为：∫b[a]x^2dx = (1/3)x^3(b) - (1/3)x^3(a)（3）求解微分方程不定积分可以用于求解微分方程的解。
例如，对于微分方程y'=3x^2，则其的通解可以表示为：y = ∫3x^2dx + C= x^3 + C其中C为任意常数。
综上所述，不定积分的形式和应用十分广泛。
无论是在求解特定函数的函数值，计算曲线下面积，还是在解微分方程时，不定积分都扮演着重要的角色。
不定积分基本概念
不定积分基本概念数学中的积分是微积分的重要概念之一。
在求解函数的不定积分时，我们会遇到一些基本概念，本文将对这些概念进行详细介绍。
1. 不定积分的定义不定积分是求解一个函数的原函数的过程。
若函数F(x)在区间[a, b]上可导，且对于该区间上任意一点x，都有F'(x) = f(x)，则F(x)就是函数f(x)在区间[a, b]上的一个原函数。
我们将F(x)称为原函数，而f(x)称为被积函数。
不定积分表示为∫f(x)dx，其中∫表示积分运算。
2. 不定积分的性质不定积分具有如下几个重要的性质：- 线性性质：对于任意的常数a和b，有∫(af(x)+bg(x))dx = a∫f(x)dx +b∫g(x)dx。
即不定积分具有可分配律。
- 求导与积分的关系：若F(x)是f(x)的一个原函数，则F'(x) = f(x)，同时也可以推出f(x)是F(x)的一个原函数。
- 积分的逆运算：对于连续函数f(x)，如果它在区间[a, b]上的一个原函数存在，那么∫(f'(x))dx = f(x) + C，其中C表示常数项。
3. 常见的不定积分公式在求解不定积分时，我们常常会用到一些常见的不定积分公式，下面列举一些常见的例子：- 常数函数的不定积分：∫kdx = kx + C，其中k为常数，C为常数项。
- 幂函数的不定积分：∫x^ndx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n不等于-1，C为常数项。
- 正弦函数的不定积分：∫sinxdx = -cosx + C，其中C为常数项。
- 余弦函数的不定积分：∫cosxdx = sinx + C，其中C为常数项。
4. 换元积分法换元积分法是求解复杂函数不定积分的一种常用方法。
它通过引入一个新的变量，将原函数转化为更容易求解的形式。
换元积分法的基本步骤是：- 选择适当的变量代换，将不定积分转化为新变量的积分表达式。
- 对新变量进行积分运算，得到结果。
(完整版)不定积分
例3 求经过点(1,3)，且其切线的斜率为2x的曲线方程。 解：由曲线切线斜率为2x且不定积分定义可知
2xdx x2 C
得曲线簇 y=x2+C, 将x=1,y=3代入，得 C=2 所以 y=x2+2
三、不定积分的基本公式和运算法则
1、不定积分的基本公式
(sin x) cos x
sin x 是cos x 的一个原函数.
(sin x 1) cos x
sin x 1 是cos x 的一个原函数.
(sin x C) ?
定理：若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有原 函数都可以表示成F(x)+C（C为任意常数）。
３.函数f(x)的任意两个原函数之间有什么关系？ 定理 函数f(x)的任意两个原函数的差是一个常数。
当x<0时， (ln | x |)' [ln( x)]' ( 1)(x)' 1
x
x
所以
1 x
dx
ln
|
x
|
C
(x
0)
关于不定积分，还有如下等式成立：
1. [ f ( x)dx]' f ( x) 或 d f ( x)dx f ( x)dx 2. f '(x)dx f (x) C 或 df (x) f (x) C
解： (1) (sinx)'= cos x cos xdx sin x C
(2)
1
x4
x3
4
(3)
ex ex
x3dx
1 4
x4
C
e x e x C
例2 验证等式：
cos(2
不定积分的公式
不定积分的公式
1 不定积分的概念
不定积分是积分的一种，也是微积分的研究的重要内容。
它的特点在于由于它的正文函数为不定函数，无法求出它的定积分。
最著名的不定积分就是椭圆积分，它是求解椭圆方程和其他几何问题的重要工具。
2 不定积分的公式
不定积分具体的公式表示为：∫f (x)dx=F (x)+C。
其中，f (x)是正文函数，F (x)是f (x)的一阶微分，C是任意常数，表示以原点为X轴横坐标，以f (x)的值为Y轴纵坐标构成的空间曲线围起来的区域的面积的积分。
3 解决不定积分的方法
利用几何意义解决不定积分的问题是一种比较有效的方法，这种方法首先要把不定积分的问题转化为几何问题，然后利用几何图形的几何规律，求解问题的结果，这样就可以解决不定积分的问题。
4 椭圆积分
椭圆积分是十分具有代表性的不定积分，它是求解椭圆方程和其他几何问题的重要工具，椭圆积分的正文函数类型是具有一个参数的一元余弦函数和余切函数，其椭圆积分的公式为：
∫(a+bcosx)dx=asinx+b/2sinx。
总之，不定积分是微积分的研究很重要的内容之一，它的正文函数通常是不定函数，其公式为∫f (x)dx=F (x)+C，可以利用几何意义来解决不定积分问题，而椭圆积分是十分具有代表性的不定积分。
高数大一知识点不定积分
高数大一知识点不定积分高数大一知识点：不定积分不定积分是高等数学中的一个重要概念，也是微积分学的基础知识之一。
它是对函数进行求积的过程，与导数的概念相对应。
在大一的高等数学课程中，学生通常会接触到不定积分的概念和基本的求积方法。
本文将介绍不定积分的定义、性质以及常见的求积方法。
一、不定积分的定义不定积分，也称为原函数，是函数的一个重要性质。
如果函数F(x)在区间[a, b]上具有导数f(x)，那么在该区间上的任意一点x，F(x)都是f(x)的一个不定积分。
不定积分用符号∫f(x)dx表示，其中f(x)为被积函数，dx表示自变量。
不定积分的结果可以表示为F(x) + C，其中C为常数。
二、不定积分的性质1. 线性性质：对于任意常数a、b，以及可积函数f(x)和g(x)，有∫(af(x) + bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。
2. 基本积分表：大部分常见的函数的不定积分都有对应的基本积分表。
例如，∫xdx = 1/2x^2 + C，∫s in(x)dx = -cos(x) + C，∫e^xdx = e^x + C等。
3. 牛顿-莱布尼兹公式：如果函数F(x)是函数f(x)在[a, b]区间上的一个原函数，那么∫f(x)dx在区间[a, b]上的积分为F(b) - F(a)。
三、常见的求积方法1. 代入法：通过选择适当的变量代换，将被积函数转化为求解简单的不定积分。
例如，∫2x(1 + x^2)^3dx，可以通过代入u = 1 + x^2，将原积分转化为∫2(u)^3du，然后再进行求积。
2. 分部积分法：通过对乘积的导数进行积分，可以将被积函数转化为求解简单的不定积分。
分部积分法的公式为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx。
例如，∫x*sin(x)dx，可以选择u = x，dv = sin(x)dx，然后再根据公式进行计算。
不定积分
第一节 第二节
不定积分
不定积分的概念及性质 不定积分的积分方法
第一节
不定积分的概念及性质
一、不定积分的概念 二、基本积分公式
三、不定积分的性质
一、不定积分的概念
1．原函数的概念
定义 1 设 f ( x ) 是 定 义 在 某 区 间 的 已 知 函 数 ，若 存
F ( x ) f ( x ) 或 d F ( x ) f ( x ) d x ,
（1） 1 x
2
dx； (2) x xdx ； (3)
1 x
2
dx 2 gx
．
1 x C.
解 （１）
2 1 5 2 2 （２） x xdx x 2 dx x C . 5
3
dx
x dx
2
x
21
C
（３）
dx 2 gx
1 2g
dx 1 2
1 cos x 2
dx
x
sin x C.
例 7
设 f sin
2
x cos
2
x,求 f
x ．
2
解 所以
由于 f sin
2
x cos
2
x 1 sin
x，
f x 1 x ,故知 f ( x ) 是1 x 的原函数 ，
所 以 F (x) G (x) C ， 或 者 G (x) F (x) C ， 这 就 是 说
f (x)的 任 一 个 原 函 数 G (x) 均 可 表 示 成 F (x) C 的 形 式 ．
这 样 就 证 明 了 f (x) 的 全 体 原 函 数 刚 好 组 成 函 数 族
不定积分的表达方式
不定积分的表达方式
不定积分的表达方式有几种：
1. 使用小写字母表示原函数：常见的表示方式是使用小写字母f(x)，其中 f 表示原函数，x 表示自变量。
2. 使用符号∫ 表示积分：∫ f(x)dx 表示对函数 f(x) 进行积分，其中 dx 表示自变量x。
3. 使用上下限表达区间：∫[a,b] f(x)dx 表示对函数 f(x) 在区间[a,b] 上进行积分，其中 a 和 b 表示积分区间的下限和上限。
4. 使用定义式表示积分：∫ f(x)dx = F(x) + C，表示函数 F(x) 是f(x) 的一个原函数（即 F'(x) = f(x)），C 是常数项，因为不同的原函数之间相差一个常数。
需要注意的是，不定积分只给出了一个原函数的集合，而没有具体的数值。
求出一个函数的原函数后，可以通过给定的区间来计算具体的定积分值。
不定积分(公式大全)
所以 x2、x2＋1、x2－1、x2＋C (C为任意常数)
都是函数f(x)＝2x的原函数。
[定理5.1] 设F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数，
C是一个任意常数，那么， ⑴ F(x)＋C也是f(x) 在该区间I上的原函数 ⑵ f(x)该在区间I上的全体原函数可以表示
为F(x)＋C 证明：
于是有 ∫u(x)·v'(x)dx＝u(x)·v(x)－∫u'(x)·v(x)dx
或表示成 ∫u(x)dv(x)＝u(x)·v(x)－∫v(x)du(x)
这一公式称为分部积分公式。
二、讲解例题
例1 求∫xexdx
解:令 u(x)＝x，v'(x)＝ex 则原式为∫u(x)·v'(x)dx的形式
∵(ex)'＝ex ∴v(x)＝ex，
x 1 1
元，令u
x
1
则原式＝
u
1
1
dx，再反解x＝u2＋1，
得dx＝2udu，代入
x
1 1
1
dx
2
u
u
1
du
2
(1
u
1 )du 1
2[u ln u 1] C 2 x 1 2ln | x 1 1| C
这就是第二换元积分法。
例 求 sin x x dx
dx
(
1 )dx arccos x C 1 x2
两式都是本题的解
[注意] 不能认为 arcsinx＝－arccosx，他们之间
的关系是 arcsinx＝π ／2－arccosx
四、 不定积分的性质 ⑴ [∫f(x)dx]'＝f(x) 该性质表明，如果函数f(x)先求不定积分再求导，
不定定积分
不定定积分不定定积分积分是高等数学中的一个重要概念，可以用来计算曲线下的面积、求解微分方程的通解以及求解函数与函数之间的面积、体积等问题。
其中，不定定积分是积分中最常见的一种形式。
在本文中，我们将对不定定积分进行讲解。
一、定义不定积分也称原函数或反导函数，其定义如下：若F'(x)=f(x)，则称函数F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数。
在这个定义中，F(x)是f(x)的一个不定积分，记作∫f(x)dx=C，其中C是一个任意常数。
二、基本公式不定积分有许多基本公式，其中最基本的是积分的线性性质：如果f(x)和g(x)都有原函数，则有：1.∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx2.∫k⋅f(x)dx=k⋅∫f(x)dx，其中k为常数此外，不定积分还有其他一些常见的基本公式：1. ∫xⁿdx=1/(n+1)⋅x^(n+1)+C，其中n≠-12. ∫eˣdx=eˣ+C3. ∫aˣdx=1/(lna)⋅aˣ+C，其中a>0且a≠14. ∫sinxdx=-cosx+C，∫cosxdx=sinx+C5. ∫sec²xdx=tanx+C，∫csc²xdx=-cotx+C6. ∫1/(1+x²)dx=arctanx+C7. ∫1/(√(1-x²))dx=arcsinx+C三、积分换元法有时候，如果要求解的不定积分不是按照上面的基本公式来求解的，就需要使用积分换元法。
积分换元法的基本思想是：将积分函数中的一部分分解出来，然后做一个变量代换，最后求解出新的积分式。
例如，对于∫2x⋅(x²+1)³dx，我们可以让u=x²+1，即可将原函数变成∫(u-1)³du。
然后便可以使用基本公式进行求解。
四、分部积分法分部积分法是求解不定积分中的另一种方法。
分部积分法基本思想是：将积分函数分解成两部分，其中一部分作为被积函数，另一部分作为求微分的函数。
不定积分的四则运算公式
不定积分的四则运算公式
不定积分是求导的逆运算，它是数学中重要的基本概念之一。
在进行不定积分运算时，经常需要使用一些四则运算公式，下面介绍一些常用的不定积分四则运算公式：
1. 求和公式
①∫(u+v)dx=∫udx+∫vdx
②∫(ku)dx=k∫udx
其中，u和v是任意可导函数，k为常数。
2. 分解公式
①∫u′vdx=uv∫uv′dx
②∫uv′dx=uv∫u′vdx
其中，u和v都是任意可导函数。
3. 代换公式
①∫f(φ(x))φ′(x)dx=∫f(u)du
其中，u=φ(x)。
②∫f(ax+b)dx=1/a∫f(u)du
其中，u=ax+b。
4. 分部积分公式
∫uv′dx=uv∫u′vdx
其中，u和v都是任意可导函数。
以上是不定积分的四则运算公式，它们在不定积分中被广泛应用，是求解复杂函数积分的重要工具。
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第四章不定积分1学习指导1.基本要求⑴正确理解原函数与不定积分的概念，熟悉原函数与不定积分的关系；⑵掌握并能推证不定积分的性质，牢记并能熟练运用基本积分公式；⑶熟练掌握求简单函数不定积分的直接方法；⑷掌握不定积分的换元积分法与分部积分法；⑸了解有理函数、简单无理函数、三角函数有理式的不定积分；⑹掌握求典型初等函数不定积分的方法；⑺掌握积分表的使用方法。
2.重点与难点重点不定积分的概念，基本积分公式，换元积分法，分部积分法；难点换元积分法。
3.学习方法⑴不定积分与微分互为逆运算，“积分法”是在“微分法”的基础上建立起来的。
由初等函数的微分法可推出求不定积分的法则。
如由复合函数的求导法则可以得到换元积分公式，由乘积的求导法则可以得到分部积分公式。
⑵求不定积分的方法是，设法将所求的积分化为基本积分表中已有的积分形式，以便运用公式求不定积分，具体转化时，可以利用积分性质、换元积分法、分部积分法及代数三角恒等变形等方法。
常用的三角恒等式包括平方和（差）等于1、倍角的正弦及余弦公式、和差化积及积化和差公式。
下面列出常用的求不定积分的方法。
①直接积分法这种方法是将被积函数作代数、三角恒等变形，直接利用基本积分公式或不定积分的线性运算性质进行求解。
②第一类换元积分法（凑微分法）这类积分法主要解决被积函数为复合函数的积分。
求不定积分()⎰dx x g ，关键是将被积表达式()dx x g 凑成复合函数的微分()()()dx x x f 'ϕϕ的形式，再由()()x d dx x ϕϕ='得()()()()()⎰⎰⎰==du u f dx x x f dx x g 'ϕϕ，即将积分()⎰dx x g 转化为()du u f ⎰，若能求得()u f 的原函数，就得到了()x g 的不定积分，因此熟悉常见的凑微分形式非常重要。
应注意，利用第一类换元法求不定积分时，有时不必写出换元积分变量，而将()x ϕ视为整体变量μ直接计算。
常见的第一类换元积分类型如下：()()()⎰⎰++=+-b ax d b ax f na dx x b ax f n nn n 11 （n 为自然数）；()()⎰⎰=xxxxde e f dx e e f ； ()()()⎰⎰=x d x f dx xx f ln ln 1ln ；()()⎰⎰=x d x f xdx x f sin sin cos sin ，用于求积分⎰-xdx x n m12cos sin（n m ,是自然数）()()⎰⎰-=x d x f xdx x f cos cos sin cos ，用于求积分⎰-xdxx n m cos sin 12（n m ,是自然数）()()⎰⎰=x d x f xdx x f tan tan sec tan 2，用于求积分⎰xdx x n m 2sec tan（n m ,是自然数）()()⎰⎰=x d x f xdx x x f sec sec tan sec sec ，用于求积分⎰-xdx x n m sec tan12（n m ,是自然数）()()⎰⎰=-x d x f dx xx f arcsin arcsin 11arcsin 2；()()⎰⎰=+x d x f dx x x f arctan arctan 11arctan 2； ()()⎰⎰++=++22221111x dx fdx xxx f；()()⎰⎰=x d x f dx x x f21；⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛xd x f dx x x f 11112。
③第二类换元积分法第二类换元积分主要处理带根式的不定积分问题，关键是作一个适当的变量代换()t x ϕ=将根号去掉，使被积函数为()()()t t f 'ϕϕ，整理化简成()t g ，而函数()t g 的原函数容易求出，这里()t x ϕ=的选择与被积函数中根式的表达形式有关，代换时注意符号的讨论，求出原函数后则应注意回代积分变量，特别是作三角代换计算不定积分后，应借助于辅助三角形进行变量还原，常见的第二类换元有下列类型：()⎰-dx x a x f 22, （令t a x sin =）；()⎰+dx x a x f 22, （令t a x tan =）； ()⎰-dx a x x f 22,（令t a x sec =）；()⎰++dx c bx ax x f 2,，将被积函数配方，化成上述三种形式之一，再作变量代换；()⎰+dx b ax x f n,（令t b ax n =+）；()⎰++dx b ax b ax x f m n ,,（令t b ax p=+，p 是m ，n 的最小公倍数）；⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++dx d cx b ax x f n , （令t d cx b ax n =++）； 当被积函数含有nx 1时，常用变换t x 1=化简被积表达式。
④分部积分法当被积函数可视为()x u 和()x v '的乘积，即()()()x v x u x f '=时，常用分部积分公式⎰⎰-=vdx u nv dx uv ''计算不定积分。
使用分部积分公式求不定积分，关键是正确选择u 及'v ，选择',v u 应遵循如下原则：01 由'v 或dv 容易求出v ； 02⎰vdx u '要比dx uv '⎰容易积分（即u 求导后形式更简单）。
选择v u ,的一般方法是，将被积函数看成两函数之积，按反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数顺序，排在前面的取为u ，后面的取为'v .⑤有理函数的积分有理函数的积分，可归结为多项式和真分式的积分，而真分式可分解为部分分式之和，因此求有理函数不定积分的步骤是：将被积函数进行分解，使被积函数=多项式+部分分式（其中部分分式的分母为一次或二次不可约因式，分解部分分式所用的方法是待定系数法），然后分别求各部分的不定积分。
理论上，任何有理函数都可以求出其不定积分，但将真分式化成部分分式有时十分困难，因此在解有理函数的积分时，应全面分析被积函数的特点，寻求其他简便方法。
⑥三角有理式与简单无理式的积分某些无理根式及三角有理式的不定积分，经过变量代换常可化成有理函数的不定积分，无理根式的常见换元类型见本目③.对三角有理式()x x R cos ,sin ，经万能代换2tan xu =，有212sin u u x +=， 2211cos u u x +-=， 212u du dx +=，从而()⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=du u u u u u R dx x x R 22221211,12cos ,sin是有理函数的积分，原则上应用万能代换可计算任意一个三角有理式的积分，但计算往往繁杂，因此，仅当没有更简便方法时才用此方法求解。
⑶许多不定积分的计算需要综合运用上述各种方法，一般从被积表达式的形式可以决定先用哪种方法，后用哪种方法。
求不定积分往往不止一种方法，用多种方法求解，可以培养灵活的思维能力，也可以比较解法之联系，从中选取最简解法。
应注意，对不定积分用不同的方法求的结果，形式可能不完全相同，但它们的导数都等于被积函数。
⑷注意，并非所有的连续函数都能求出其不定积分，原因是它们的原函数不是初等函数。
如2x e ，2sin x ，xx sin ，x ln 1，31x +，x k 22sin 1-()10<<k 等。
2 解题指导1.基本积分法例1 求下列不定积分：⑴⎰+dx x x xsin cos 2cos ； ⑵dx x x x ⎰+++1133224； ⑶dx x x x ⎰-)11(2； ⑷⎰-dx x x x )tan (sec sec . 解题思路 此类积分形式比较简单，只需经过三角恒等变形或代数运算，就可利用基本公式求解。
解⑴⎰⎰⎰-=+-=+dx x x dx x x xx dx x x x )sin (cos sin cos sin cos sin cos 2cos 22C x x ++=cos sin ⑵C x x dx x dx x dx x x x ++=++=+++⎰⎰⎰arctan 1131133322224 ⑶C x x dx x dx x dx x x x ++=-=---⎰⎰⎰414745432474)11(⑷⎰⎰⎰+-=-=-C x x xdx x xdx dx x x x sec tan tan sec sec )tan (sec sec 2 例2 计算⎰-dx x 2.解题思路 被积函数是绝对值函数或分段函数，求其不定积分，应先分别求函数在各段上相应区间内的不定积分，然后利用原函数的连续性，确定各任意常数间的关系，最后用一个任意常数表示其不定积分。
解 因为⎩⎨⎧≥-<-=-=.2,2,2,22)(x x x x x x f于是⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<+-=-=⎰.2,221,2,2122)(1222x C x x x C x x dx x x F 由被积函数的连续性，有)2()02()02(F F F =-=+，即412-=C C ，所以⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<-+-=-⎰.2,221,2,421221212x C x x x C x x dx x 2.第一类换元积分法 例3 求下列不定积分：⑴⎰xdx x sec tan 3； ⑵⎰xdx x 43cos sin ；⑶dx x x x ⎰++22/31)(arctan ； ⑷⎰+dx x x )4(13； ⑸dx x x⎰-cos 1cos ； ⑹dx x x x ⎰+2)ln (ln 1. 解题思路 使用第一类换元法的关键是“凑”出函数的微分，方法是利用一些常见函数的微分形式。
但如果不易直接得到，则可应用拆项、加项、减项、同乘除因子、三角恒等变形等方法将被积函数变形，化简成简单函数后再求不定积分；也可以从被积函数中取出部分表达式，求其导数后寻找规律，再确定如何凑微分。
解 ⑴注意到x d xdx x sec sec tan =，且1sec tan 22-=x x ，所以 ⎰⎰=x xd xdx x sec tan sec tan 23⎰-=x d x sec )1(sec 2C x x +-=sec sec 313 ⑵降幂法与化同名三角函数是求解形如⎰xdx x n m cos sin 形式不定积分的基本方法。
一般地，若两个函数都是偶次幂，则通过半角公式降幂；若至少有一个函数为奇次幂，则将奇次幂分为一次幂与偶次幂的乘积，化为同名三角函数求解。
对本题，由于x 3sin 是奇次幂，且x x 22cos 1sin -=，故原积分可以化成⎰)(cos )(cos x d x f 形式，所以x xd x xdx x cos cos )cos 1(cos sin 4243⎰⎰--=C x x ++-=75c o s 71c o s 51.⑶将被积函数分成两部分，第一项凑微分得)1(212+=x d xdx ，第二项凑微分得x d dx xarctan 112=+，则⎰⎰⎰+++=++dx x x dx x x dx x x x 223222/31)(arctan 11)(arctan C x x +++=252)(arctan 52)1ln(21.⑷这是一个有理函数的积分，但将被积函数分解为部分分式很麻烦，若将分子的1写成44，再加一个因式，同时减去该因式，可与分母的两项联系起来；若注意到分母次数高于分子次数，作倒代换tx 1=，也可简化被积表达式。