九年级数学上学期10月月考试卷(含解析) 苏科版4

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江苏省九年级10月份月考数学试卷(苏教版九年级数学上册10月份月考测试卷)

苏教版九年级数学上册10月份月考测试卷本卷满分 130分，用时 120 分钟一．选择题（每题3分，共24分）1．式子1x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ( ) A ．x ＜1 B.x≤1 C. x＞1 D.x ≥12. 用配方法解关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0，配方后的方程可以是 ( ) A ．（x ﹣1）2=4 B ．（x+1）2=4 C ．（x ﹣1）2=16 D ．（x+1）2=163、若方程()a x =-24有解，则a 的取值范围是（）A ．0≤aB ．0≥aC ．0>aD ．无法确定4．下列说法中，不正确的是 ( ) A.直径是弦，弦是直径 B.半圆周是弧C.圆上的点到圆心的距离都相等D.在同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长5.为落实“两免一补”政策，某市2011年投入教育经费2500万元，预计2013年要投入教育经费3600万元，已知2011年至2013年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，该增长率为 ( )A. 10%B.20 %C. 30%D.40%6. 如图1，△ABC 是⊙O的内接三角形，AC 是⊙O的直径，∠C=500，∠ABC的平分线BD 交⊙O于点D ，则∠BAD的度数是 ( )A.450B.850C.900D.9507、设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根, 则22a a b ++的值为（）A ．2006B ．2007C ．2008D ．20098.关于x 的方程a (x ＋m )2＋b ＝0的解是x 1＝－2，x 2＝1（a ，m ，b 均为常数，a ≠0），则方程 0)2(2=+++b m x a 解是 ( )A ．－2或1B ．－4或－1C ．1或3D ．无法求解(图1） (图2）二．填空题（本大题共有10小题，每空2分，共22分）9．在实数范围内分解因式：2a 2－6＝ . 10．64的算术平方根是 . 已知0xy >， 2yx x-= 11.如果关于x 的方程(m －3)x m 2－2m －1＋mx ＋1＝0是一元二次方程，则m 为 =12.对相等的两个实数a 、b ，定义运算※如下：a ※b =, 如3※2= , 那么8※12= ．13.若x 、y 为实数，且满足|x －3|＋y ＋3＝0，则(x y)2012的值是 .14．若关于x 的方程kx 2－2x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．15．已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简 22)1(a a +-＝ .16.如图2,在⊙O 中,直径AB⊥弦CD 于点M,AM=18,BM=8,则CD 的长为________.17.等腰三角形一边长是3，另两边长是方程的0452=+-x x 根，则这个三角形的周长为。

江苏省九年级10月单元测试月考数学试题(苏教版九年级数学上册10月份月考试卷)

苏教版九年级数学上册10月月考测试卷一．选择题（本大题共有８小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题纸相应位置上）1.若关于x 的一元二次方程的两个根为11x =，22x =，则这个方程是（）A.2320x x +-=B.2320x x -+=C.2230x x -+=D.2320x x ++=2．在统计中，样本的方差可以反映这组数据的（） A ．平均状态 B ．分布规律 C ．离散程度 D ．数值大小 3.已知⊙O 的半径是6cm ，点O 到同一平面内直线L 的距离为5cm ，则直线L 与⊙O 的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.无法判断 4.如图，在⊙O 中，∠ABC=52°，则∠AOC 等于（） A.52° B.80° C.90° D. 104°5．甲、乙两人在相同的条件下，各射靶10次，经过计算：甲、乙射击成绩的平均数都是8环，甲的方差是 1.2,乙的方差是1.8．下列说法中不一定正确的是（） A ．甲、乙射中的总环数相同 B ．甲的成绩稳定C ．乙的成绩波动较大D ．甲、乙的众数相同 6. 以2、4为两边长的三角形的第三边长是方程01072=+-x x 的根，则这个三角形的周长为（） A. 8 B.11 C. 11或8 D.以上都不对 7.如果关于x 的方程22(21)10k x k x -++=有实数根，那么k 的取值范围是（）A.14k ≥-B.k ＞14-且0k ≠C.k ＜14- D.14k ≥-且0k ≠8.在平面直角坐标系xoy 中，直线经过点A （－3，0），点B （0，3），点P 的坐标为（1，0），⊙P 与y 轴相切于点O ，若将⊙P 沿x 轴向左平移，平移后得到（点P 的对应点为点P ′）⊙P ′，当⊙P ′与直线相交时，横坐标为整数的点P ′共有（） A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题纸相应位置上） 9.方程042=-x x 的解是（（10.若一元二次方程0892=+-x kx 的一个根为1，则k= ， 11．数据-5，6，4，0，1，7，5的极差为（__ 12．数据11、12、13、14、15的方差是13.请给C 一个值，C= 时，方程x 2 -3x+C=0无实数根。

江苏省九年级10月单元测试月考数学试题(苏教版九年级数学上册10月份月考试卷)

江苏省无锡市九年级10月份月考数学试卷(苏教版九年级数学上册10月份月考测试卷)

（第7题） AB CDM 苏教版九年级数学上册10月份月考测试卷考试时间为120分钟试卷满分130分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分. 在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答卷纸上填写正确答案）1．下列各组二次根式中，可化为同类二次根式的是（）Ａ．5和3 Ｂ．32和23 Ｃ．2和8 Ｄ．8和122．要使二次根式1x +有意义，字母x 必须满足的条件是（） A ．x ＞1 B ．x >－1 C ．x ≥1 D ．x ≥－13．若1=x 是方程052=+-c x x 的一个根，则这个方程的另一个根是（）A ．－2B ．2C ．4D ．－5 4.用配方法解方程2250xx --=时，原方程应变形为（）A ．2(1)6x -=B ．2(1)6x +=C ．2(2)9x +=D ．2(2)9x -=5．若关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的常数项为0，则m 的值等于（）A ．1B ．2C ．1或2D ．06．顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD 一定是（）A ．菱形B ．对角线互相垂直的四边形C ．矩形D ．对角线相等的四边形 7．如图，△ABC 中， AB =AC ，∠A ＝36°，AB 的垂直平分线交AC 于D ，则下列结论：①∠C ＝72°；②BD 是∠ABC 的平分线； ③图中共有3个等腰三角形；④AD 2＝CD ·AC ，其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90B ∠=︒. 动点P 从点B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A 运动. 设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y . 把y 看作x 的函数，函数的图象如图2所示，则△ABC 的面积为…………………………………………………（）．（A ）10 （B ）16 （C ）18 （D ）329角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是……………（）．（A ）10 或8 （B ）54或172 （C ）10或54 （D ）10或172 10．如图，直线4+-=x y 分别与x 轴，y 轴交于B A 、两点，从点()0,2P 射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（） A. 102 B. 6 C ．33 D. 224+二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共20分. 不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答卷纸上相应的位置处） 11．化简：（1）=-2)4( ；（2）24÷3＝．12. 直接写出下列方程的解：（1）x 2＝2x ；（2）x 2－6x +9＝0 ．B x y O A P 第10题图 A BCD 第9题图3 2 第8题图图1 图213．已知关于x 的一元二次方程042=+-m x x 有两个相等实数根，则m 的值是． 14．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB 的长度为 mm .15．已知（=+=-++222222,12)4)(b a b a b a 则_______．16．某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为_______.17．如图，Rt △AOB 中，O 为坐标原点，∠AOB =90°，OA ∶OB ＝1∶2，如果点A 在反比例函数y =x1(x >0)的图像上运动，那么点B 在函数 _ (填函数解析式)的图像上运动．18．电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC ，AB ＝6，AC ＝7，BC ＝8．如果跳蚤开始时在BC 边的P 0处，BP 0＝2．跳蚤第一步从P 0跳到AC 边的P 1（第1次落点）处，且CP 1＝CP 0；第二步从P 1跳到AB 边的P 2（第2次落点）处，且AP 2＝AP 1；第三步从P 2跳到BC 边的P 3（第3次落点）处，且BP 3＝BP 2；……；跳蚤按上述规则一直跳下去，第n 次落点为P n （n 为正整数），则点P 2010与P 2013之间的距离为___ ___．三、解答题（本大题共10小题，共80分. 请在答卷纸上指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（每小题3分，共6分）计算：（1）631412⨯-)( （2）27021)(+-＋21322-⎛⎫--- ⎪⎝⎭第17题图20．（每小题3分，共6分）解方程：（1）01322=-+x x （2）()()3322-=-x x x21．（本题满分6分）先化简，再求值：235(2)362m m m m m -÷+---，其中m 是方程2310x x +-=的根．22．（本题满分6分）如图，△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，过点A 作AE∥BC ，过点D 作DE∥AB 与AC 、AE 分别交于点O 、点E ，连接EC ．求证：AD=EC . 23．（本题满分8分）无锡市积极开展“阳光体育进校园”活动，各校学生坚持每天锻炼一小时，某校根据实际，决定主要开设A ：乒乓球，B ：篮球，C ：跑步，D ：跳绳四种运动项目．为了解学生最喜欢哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下统计图．请你结合图中信息解答下列问题，（1）样本中最喜欢B 项目的人数百分比是____，其所在扇形图中的圆心角的度数是；（2）请把条形统计图补充完整；（3）已知该校有1200人，请根据样本估计全校最喜欢乒乓球的人数是多少？D B44℅ AD C B 28%8%24．（本题满分6分）四张小卡片上分别写有数字1、2、3、4．它们除数字外没有任何区别，现将它们放在盒子里搅匀．（1）随机地从盒子里抽取一张，求抽到数字2的概率；（2）随机地从盒子里抽取一张．不放回再抽取第二张．请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求抽到的数字之和为5的概率．（第25题图3）（第25题图2）26．（本题满分10分）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？ 27．（本题满分10分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ＝5cm ，AD ＝2cm ，AE ⊥BC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，AE ＝4cm ．（1）求梯形ABCD 的面积；（2）点M 、N 分别在线段AE 、DF 上，顺次连结B 、M 、N 、C ，线段BM 、MN 、NC 、CB 所围成的封闭图形记为P ，若点M 在线段AE 上运动时，点N 也随之在线段DF 上运动，使图形P 的形状发生改变，但图形P 的面积始终．．为15cm 2．设EM ＝x cm ，FN ＝y cm ，解答下列问题： ①求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；②当x 取何值时，图形P 成为等腰梯形？当x 取何值时，图形P 成为三角形？ ③直接写出线段MN 在运动过程中所能扫过的区域的面积．28．（本题满分12分）数学课上，张老师出示图1和下面框中条件：NMFE D C B A FE DCBA（备用图1）FE DCB A（备用图2）如图1，两块等腰直角三角板ABC 和DEF 有一条边在同一条直线l 上，∠ABC =∠DEF = 90°，AB = 1，DE = 2．将直线EB 绕点E 逆时针旋转45°，交直线AD 于点M ．将图1中的三角板ABC 沿直线l 向右平移，设C 、E 两点间的距离为x ．请你和小明同学一起尝试探究下列问题：（1）①当点C 与点F 重合时，如图2所示，可得AMDM的值为； ②在平移过程中，AMDM的值为（用含x 的代数式表示）；（2）小明同学将图2中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变．当点A 落在线段DF 上时，如图3所示，请你帮他补全图形，并计算AMDM的值；（3）小明同学又将图1中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转m 度，090m ≤，原题中的其他条件保持不变．请你计算AMDM的值（用含x 的代数式表示）．（第28题图1）（第28题图2）（第28题备用图）（第28题图3）。

苏科版10月九年级上第一次月考数学试卷含解析

九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（每题2分，共12分）1．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为( )A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根2．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若⊙A=40°，则⊙B的度数为( )A．80°B．60°C．50°D．40°3．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为( )A．（x+1）2=6B．（x+2）2=9C．（x﹣1）2=6D．（x﹣2）2=94．下列说法：①直径不是弦；②相等的弦所对的弧相等；③三角形的外心是三角形中三边垂直平分线的交点；④三角形的外心到三角形各边的距离相等．其中正确的个数有( )A．1个B．2个C．3个D．4个5．某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，投入万元，预计到共投入8000万元．设教育经费的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是( )A．（1+x）2=8000B．（1+x）+（1+x）2=8000C．x2=8000D．+（1+x）+（1+x）2=80006．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB，CD=10，AP：PB=5：1，⊙O的半径是( )A．6B．C．8D．二．填空题（每题2分，共20分）7．一元二次方程x2=3x的解是：__________．8．若实数a是方程x2﹣2x+1=0的一个根，则2a2﹣4a+5=__________．9．一元二次方程x2﹣3x+1=0的两根为x1、x2，则x1+x2﹣x1•x2=__________．10．小芳的衣服被一根铁钉划了一个呈直角三角形的洞，只知道该三角形有两边长分别为1cm和2cm，若用同色圆形布将此洞全部覆盖，那么这个圆布的直径最小应等于__________．11．写出一个以﹣3和7为根且二次项系数为1的一元二次方程__________．12．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，则k的取值范围是__________．13．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若⊙BAD=105°，则⊙DCE的大小是__________．14．将半径为2cm，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为__________cm．15．如图，点A，B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），连接AP，PB，过点O分别作OE⊙AP于E，OF⊙PB于F，则EF=__________．16．如图，⊙O的半径为3cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB=OA，动点P从点A 出发，以π cm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为__________s时，BP与⊙O相切．三、解答题（共11题，共88分）17．解方程：（1）2x2﹣5x+2=0．（2）2（x+3）2=x+3．18．（1）化简：（）2+|1﹣|﹣（）﹣1（2）解不等式组：．19．计算或化简：（1）﹣+；（2）先化简（﹣）÷，然后从，0，1，﹣1中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．20．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．（1）请写出该圆弧所在圆的圆心O的坐标__________；（2）⊙O的半径为__________（结果保留根号）；（3）求的长（结果保留π）．21．已知方程5x2+mx﹣10=0的一根是﹣5，求方程的另一根及m的值．22．如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊙AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．（1）若⊙AOD=52°，求⊙DEB的度数；（2）若OC=3，OA=5，求AB的长．23．如图，把长为40cm，宽30cm的长方形硬纸板，剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），将剩余的部分拆成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计）（1）长方体盒子的长、宽、高分别为多少？（单位：cm）（2）若折成的一个长方体盒于表面积是950cm2，求此时长方体盒子的体积．24．如图，在⊙ABC中，AC=BC，⊙ACB=120°．（1）求作⊙O，使：圆心O在AB上，且⊙O经过点A和点C（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．25．某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？26．已知，如图，AB、AC是⊙O得切线，B、C是切点，过上的任意一点P作⊙O的切线与AB、AC分别交于点D、E（1）连接OD和OE，若⊙A=50°，求⊙DOE的度数．（2）若AB=7，求⊙ADE的周长．27．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2﹣1≥﹣1，即：3a2﹣1就有最小值﹣1．只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值﹣1．同样，因为﹣3a2≤0．所以﹣3a2+1≤1，即：﹣3a2+1就有最大值1，只有当a=0时，才能得到这个式子的最大值1．（1）当x=__________时，代数式﹣2（x+1）2﹣1有最__________值（填“大”或“小”值为__________．（2）当x=__________时，代数式2x2+4x+1有最__________值（填“大”或“小”）值为__________．（3）矩形自行车场地ABCD一边靠墙（墙长10m），在AB和BC边各开一个1米宽的小门（不用木板），现有能围成14m长的木板，当AD长为多少时，自行车场地的面积最大？最大面积是多少？-学年江苏省南京市江宁区湖熟片九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（每题2分，共12分）1．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为( )A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根考点：根的判别式．专题：计算题．分析：先计算判别式得到⊙=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．解答：解：根据题意⊙=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：B．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式⊙=b2﹣4ac：当⊙＞0，方程有两个不相等的实数根；当⊙=0，方程有两个相等的实数根；当⊙＜0，方程没有实数根．2．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若⊙A=40°，则⊙B的度数为( )A．80°B．60°C．50°D．40°考点：圆周角定理．分析：由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得⊙C=90°，又由直角三角形中两锐角互余，即可求得答案．解答：解：⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙C=90°，⊙⊙A=40°，⊙⊙B=90°﹣⊙A=50°．故选C．点评：此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意直径所对的圆周角是直角定理的应用．3．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为( )A．（x+1）2=6B．（x+2）2=9C．（x﹣1）2=6D．（x﹣2）2=9考点：解一元二次方程-配方法．专题：方程思想．分析：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．解答：解：由原方程移项，得x2﹣2x=5，方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得x2﹣2x+1=6⊙（x﹣1）2=6．故选：C．点评：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．4．下列说法：①直径不是弦；②相等的弦所对的弧相等；③三角形的外心是三角形中三边垂直平分线的交点；④三角形的外心到三角形各边的距离相等．其中正确的个数有( )A．1个B．2个C．3个D．4个考点：三角形的外接圆与外心；圆的认识；圆心角、弧、弦的关系．分析：利用圆的有关性质和三角形外接圆以及外心的性质以及圆心角、弧、弦的关系分析判断即可．解答：解：①直径不是弦，错误，直径是圆内最长弦；②相等的弦所对的弧相等，必须在同圆或等圆中，故此选项错误；③三角形的外心是三角形中三边垂直平分线的交点，正确；④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，故错误．故其中正确的个数有1个．故选：A．点评：此题主要考查了圆的有关性质和三角形外接圆以及外心的性质以及圆心角、弧、弦的关系等知识，熟练掌握相关定义是解题关键．5．某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，投入万元，预计到共投入8000万元．设教育经费的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是( )A．（1+x）2=8000B．（1+x）+（1+x）2=8000C．x2=8000D．+（1+x）+（1+x）2=8000考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：增长率问题．分析：增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果教育经费的年平均增长率为x，根据投入万元，预计投入8000万元即可得出方程．解答：解：设教育经费的年平均增长率为x，则的教育经费为：×（1+x）万元，的教育经费为：3200×（1+x）2万元，那么可得方程：×（1+x）2=8000．故选A．点评：本题考查了一元二次方程的运用，解此类题一般是根据题意分别列出不同时间按增长率所得教育经费与预计投入的教育经费相等的方程．6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB，CD=10，AP：PB=5：1，⊙O的半径是( )A．6B．C．8D．考点：垂径定理；勾股定理．分析：连接OC，根据AP：PB=5：1可设PB=x，AP=5x，故OC=OB==3x，故OP=2x，由垂径定理可求出PC的长，根据勾股定理求出x的值，进而可得出结论．解答：解：连接OC，⊙AP：PB=5：1，⊙设PB=x，AP=5x，⊙OC=OB==3x，⊙OP=2x．⊙AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB，CD=10，⊙PC=5．⊙PC2+OP2=OC2，即52+（2x）2=（3x）2，解得x=，⊙OC=3x=3．故选D．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．二．填空题（每题2分，共20分）7．一元二次方程x2=3x的解是：x1=0，x2=3．考点：解一元二次方程-因式分解法．分析：利用因式分解法解方程．解答：解：（1）x2=3x，x2﹣3x=0，x（x﹣3）=0，解得：x1=0，x2=3．故答案为：x1=0，x2=3．点评：本题考查了解一元二次方程的方法．当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．8．若实数a是方程x2﹣2x+1=0的一个根，则2a2﹣4a+5=3．考点：一元二次方程的解．分析：首先由已知可得a2﹣2a+1=0，即a2﹣2a=﹣1．然后化简代数式，注意整体代入，从而求得代数式的值．解答：解：⊙实数a是方程x2﹣2x+1=0的一个根，⊙a2﹣2a+1=0，即a2﹣2a=﹣1，⊙2a2﹣4a+5=2（a2﹣2a）+5=2×（﹣1）+5=3．故答案为3．点评：本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．注意解题中的整体代入思想．9．一元二次方程x2﹣3x+1=0的两根为x1、x2，则x1+x2﹣x1•x2=2．考点：根与系数的关系．专题：方程思想．分析：根据一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=﹣\frac{b}{a}，x1•x2=c求得x1+x2和x1•x2的值，然后将其代入所求的代数式求值即可．解答：解：⊙一元二次方程x2﹣3x+1=0的二次项系数a=1，一次项系数b=﹣3，常数项c=1，⊙由韦达定理，得x1+x2=3，x1•x2=1，⊙x1+x2﹣x1•x2=3﹣1=2．故答案是：2．点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．解题时，务必弄清楚根与系数的关系x1+x2=﹣，x1•x2=c中的a、b、c所表示的意义．10．小芳的衣服被一根铁钉划了一个呈直角三角形的洞，只知道该三角形有两边长分别为1cm和2cm，若用同色圆形布将此洞全部覆盖，那么这个圆布的直径最小应等于cm或2cm．考点：三角形的外接圆与外心；勾股定理．专题：应用题．分析：该圆应是三角形的外接圆，则其直径应是直角三角形的斜边．当2是斜边时，则直径即是2；当2是直角边时，则斜边是，即直径是．解答：解：当2是斜边时，则直径即是2；当2是直角边时，则斜边是，即直径是．所以这个圆布的直径最小应等于cm或2cm．点评：首先能够把实际问题转化为数学问题，注意由于没有具体指明斜边，应分情况讨论．11．写出一个以﹣3和7为根且二次项系数为1的一元二次方程x2﹣4x﹣21=0．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：先计算﹣3与7的和与积，然后根据根与系数的关系求出满足条件的一元二次方程．解答：解：⊙﹣3+7=4，﹣3×7=﹣21，⊙以﹣3和7为根且二次项系数为1的一元二次方程为x2﹣4x﹣21=0．故答案为x2﹣4x﹣21=0．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．12．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，则k的取值范围是k≤1且k≠0．考点：根的判别式．专题：计算题．分析：根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．解答：解：⊙关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，⊙⊙=b2﹣4ac≥0，即：4﹣4k≥0，解得：k≤1，⊙关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0中k≠0，故答案为：k≤1且k≠0．点评：本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．13．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若⊙BAD=105°，则⊙DCE的大小是105°．考点：圆内接四边形的性质．分析：先根据圆内接四边形的性质求出⊙DCB的度数，再由两角互补的性质即可得出结论．解答：解：⊙四边形ABCD是圆内接四边形，⊙⊙DAB+⊙DCB=180°，⊙⊙BAD=105°，⊙⊙DCB=180°﹣⊙DAB=180°﹣105°=75°，⊙⊙DCB+⊙DCE=180°，⊙⊙DCE=⊙DAB=105°．故答案为：105°点评：本题考查的是圆内接四边形的性质，即圆内接四边形的对角互补．14．将半径为2cm，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为cm．考点：圆锥的计算．分析：利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得．解答：解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得2πr=，解得r=cm．故答案为：．点评：本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．15．如图，点A，B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），连接AP，PB，过点O分别作OE⊙AP于E，OF⊙PB于F，则EF=5．考点：垂径定理；三角形中位线定理．专题：压轴题；动点型．分析：根据垂径定理和三角形中位线定理求解．解答：解：点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），但不管点P如何动，因为OE⊙AP于E，OF⊙PB于F，根据垂径定理，E为AP中点，F为PB中点，EF为⊙APB中位线．根据三角形中位线定理，EF=AB=×10=5．点评：此题是一道动点问题．解答此类问题的关键是找到题目中的不变量．16．如图，⊙O的半径为3cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB=OA，动点P从点A 出发，以π cm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为1或5s时，BP与⊙O相切．考点：切线的判定；切线的性质；弧长的计算．专题：压轴题；动点型．分析：根据切线的判定与性质进行分析即可．若BP与⊙O相切，则⊙OPB=90°，又因为OB=2OP，可得⊙B=30°，则⊙BOP=60°；根据弧长公式求得长，除以速度，即可求得时间．解答：解：连接OP；⊙当OP⊙PB时，BP与⊙O相切，⊙AB=OA，OA=OP，⊙OB=2OP，⊙OPB=90°；⊙⊙B=30°；⊙⊙O=60°；⊙OA=3cm，⊙==π，圆的周长为：6π，⊙点P运动的距离为π或6π﹣π=5π；⊙当t=1或5时，有BP与⊙O相切．点评：本题考查了切线的判定与性质及弧长公式的运用．三、解答题（共11题，共88分）17．解方程：（1）2x2﹣5x+2=0．（2）2（x+3）2=x+3．考点：解一元二次方程-因式分解法．分析：（1）利用因式分解法求得方程的解即可；（2）移项，利用提取公因式法分解因式解方程即可．解答：解：（1）2x2﹣5x+2=0（2x﹣1）（x﹣2）=0x﹣2=0，2x﹣1=0，解得x1=2，x2=；（2）2（x+3）2=x+32（x+3）2﹣（x+3）=0（x+3）（2x+6﹣1）=0x+3=0，2x+5=0，解得x1=﹣3；x2=﹣．点评：此题考查用因式分解法解一元二次方程，掌握解方程的步骤与方法是解决问题的关键．18．（1）化简：（）2+|1﹣|﹣（）﹣1（2）解不等式组：．考点：实数的运算；负整数指数幂；解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：（1）原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．解答：解：（1）原式=3+﹣1﹣2=…（2），由①得：x≤3；由②得：x＞1，则不等式组的解集为1＜x≤3．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．计算或化简：（1）﹣+；（2）先化简（﹣）÷，然后从，0，1，﹣1中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．考点：分式的化简求值；二次根式的加减法．专题：计算题．分析：（1）原式各项化为最简二次根式，合并即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x=代入计算即可得到结果．解答：解：（1）原式=3﹣2+3=+3；（2）原式=•=，当x=时，原式==2．点评：此题考查了分式的化简求值，以及二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．（1）请写出该圆弧所在圆的圆心O的坐标（2，﹣1）；（2）⊙O的半径为2（结果保留根号）；（3）求的长（结果保留π）．考点：垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理；弧长的计算．专题：计算题．分析：（1）连接AB，BC，分别作出这两条弦的垂直平分线，两垂直平分线交于点D，即为所求圆心，由图形即可得到D的坐标；（2）由FD=CG，AF=DG，且夹角为直角相等，利用SAS可得出三角形ADF与三角形DCG全等，由全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再由同角的余角相等得到⊙ADC为直角，利用弧长公式即可求出的长．解答：解：（1）连接AB，BC，分别作出AB与BC的垂直平分线，交于点D，即为圆心，由图形可得出D（2，﹣1）；（2）在Rt⊙AED中，AE=2，ED=4，根据勾股定理得：AD==2；（3）⊙DF=CG=2，⊙AFD=⊙DGC=90°，AF=DG=4，⊙⊙AFD⊙⊙D GC（SAS），⊙⊙ADF=⊙DCG，⊙⊙DCG+⊙CDG=90°，⊙⊙ADF+⊙CDG=90°，即⊙ADC=90°，则的长l==π．故答案为：（1）（2，﹣1）；（2）2点评：此题考查了垂径定理，勾股定理，坐标与图形性质，以及弧长公式，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．21．已知方程5x2+mx﹣10=0的一根是﹣5，求方程的另一根及m的值．考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．分析：设方程的另一个根为t，先利用两根之积为﹣2求出t，然后利用两根之和为﹣可计算出m的值．解答：解：设方程的另一个根为t，根据题意得﹣5+t=﹣，﹣5t=﹣2，解得t=，则m=﹣25+5t=﹣23，即m的值为﹣23，方程的另一根为．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了一元二次方程解的定义．22．如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊙AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．（1）若⊙AOD=52°，求⊙DEB的度数；（2）若OC=3，OA=5，求AB的长．考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理．分析：（1）根据垂径定理，得到=，再根据圆周角与圆心角的关系，得知⊙E=⊙O，据此即可求出⊙DEB的度数；（2）由垂径定理可知，AB=2AC，在Rt⊙AOC中，OC=3，OA=5，由勾股定理求AC即可．解答：解：（1）⊙AB是⊙O的一条弦，OD⊙AB，⊙=，⊙⊙DEB=⊙AOD=×52°=26°；（2）⊙AB是⊙O的一条弦，OD⊙AB，⊙AC=BC，即AB=2AC，在Rt⊙AOC中，AC===4，则AB=2AC=8．点评：本题考查了垂径定理，勾股定理及圆周角定理．关键是由垂径定理得出相等的弧，相等的线段，由垂直关系得出直角三角形，运用勾股定理．23．如图，把长为40cm，宽30cm的长方形硬纸板，剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），将剩余的部分拆成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计）（1）长方体盒子的长、宽、高分别为多少？（单位：cm）（2）若折成的一个长方体盒于表面积是950cm2，求此时长方体盒子的体积．考点：一元二次方程的应用．专题：几何图形问题．分析：（1）根据所给出的图形可直接得出长方体盒子的长、宽、高；（2）根据图示，可得2（x2+20x）=30×40﹣950，求出x的值，再根据长方体的体积公式列出算式，即可求出答案．解答：解：（1）长方体盒子的长是：（30﹣2x）cm；长方体盒子的宽是（40﹣2x）÷2=20﹣x（cm）长方体盒子的高是xcm；（2）根据图示，可得2（x2+20x）=30×40﹣950，解得x1=5，x2=﹣25（不合题意，舍去），长方体盒子的体积V=（30﹣2×5）×5×=20×5×15=1500（cm3）．答：此时长方体盒子的体积为1500cm3．点评：此题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点是长方体的表面积和体积公式，关键是根据图形找出等量关系列出方程，要注意把不合题意的解舍去．24．如图，在⊙ABC中，AC=BC，⊙ACB=120°．（1）求作⊙O，使：圆心O在AB上，且⊙O经过点A和点C（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．考点：作图—复杂作图；直线与圆的位置关系．专题：作图题．分析：（1）作AC的垂直平分线交AB于点O，再以OA为圆心作⊙O即可；（2）连结OC，先利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出⊙A=⊙B=30°，则⊙OCA=⊙A=30°，于是可得到⊙OCB=⊙ACB﹣⊙OCA=90°，然后根据切线的判定定理可判断BC与⊙O相切．解答：解：（1）如图，⊙O为所求作；（2）BC与⊙O相切．理由如下：连接BC，如图，⊙AC=BC，⊙ACB=120°⊙⊙A=⊙B=30°，⊙OA=OC，⊙⊙OCA=⊙A=30°，⊙⊙OCB=⊙ACB﹣⊙OCA=120°﹣30°=90°，⊙OC⊙BC，⊙OC是半径⊙BC与⊙O相切．点评：本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直线与圆的位置关系．25．某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？考点：一元二次方程的应用．专题：销售问题．分析：（1）先求出每件的利润．在乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润；（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．解答：解：（1）由题意，得60（360﹣280）=4800元．答：降价前商场每月销售该商品的利润是4800元；（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元，由题意，得（360﹣x﹣280）（5x+60）=7200，解得：x1=8，x2=60⊙有利于减少库存，⊙x=60．答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．点评：本题考查了销售问题的数量关系利润=售价﹣进价的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键．26．已知，如图，AB、AC是⊙O得切线，B、C是切点，过上的任意一点P作⊙O的切线与AB、AC分别交于点D、E（1）连接OD和OE，若⊙A=50°，求⊙DOE的度数．（2）若AB=7，求⊙ADE的周长．考点：切线的判定与性质；切线长定理．分析：（1）连接OB，OC，OD，OP，OE，根据切线的性质和切线长定理得到OB⊙AB，OC⊙AC，OP⊙DE，DB=DP，EP=EC，AB=AC，于是求得⊙OBA=⊙OCA=90°，由于⊙A=50°，求出⊙BOC=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°，根据OB⊙AB，OP⊙DE，DB=DP，得到OD平分⊙BOP，同理得OE平分⊙POC，即可得到结论；（2）根据切线长定理得到DB=DP，EP=EC，AB=AC，由等量代换即可得到结果．解答：解：（1）连接OB，OC，OD，OP，OE，⊙AB，AC，DE分别与⊙O相切，OB，OC，OP是⊙O的半径，⊙OB⊙AB，OC⊙AC，OP⊙DE，DB=DP，EP=EC，AB=AC，⊙⊙OBA=⊙OCA=90°，⊙⊙A=50°，⊙⊙BOC=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°，⊙OB⊙AB，OP⊙DE，DB=DP，⊙OD平分⊙BOP，同理得：OE平分⊙POC，⊙⊙DOE=⊙DOP+⊙EOP=（⊙BOP+⊙POC）=⊙BOC=65°，（2）⊙DB=DP，EP=EC，AB=AC，⊙⊙ADE的周长=AD+DE+AE=AD+DP+EP+AE=AD+BD+AE+EC=AB+AC=2AB=14．点评：本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．27．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2﹣1≥﹣1，即：3a2﹣1就有最小值﹣1．只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值﹣1．同样，因为﹣3a2≤0．所以﹣3a2+1≤1，即：﹣3a2+1就有最大值1，只有当a=0时，才能得到这个式子的最大值1．（1）当x=﹣1时，代数式﹣2（x+1）2﹣1有最大值（填“大”或“小”值为﹣1．（2）当x=﹣1时，代数式2x2+4x+1有最小值（填“大”或“小”）值为﹣1．（3）矩形自行车场地ABCD一边靠墙（墙长10m），在AB和BC边各开一个1米宽的小门（不用木板），现有能围成14m长的木板，当AD长为多少时，自行车场地的面积最大？最大面积是多少？考点：配方法的应用．专题：几何图形问题．分析：（1）类比例子得出答案即可；（2）根据题意利用配方法配成（1）中的类型，进一步确定最值即可；（3）根据题意利用长方形的面积列出式子，利用（1）（2）的方法解决问题．解答：解：（1）因为（x+1）2≥0，所以﹣2（x+1）2≤0，即﹣2（x+1）2﹣1就有最大值﹣1．只有当x=﹣1时，才能得到这个式子的最大值﹣1．故答案是：﹣1，大，﹣1；（2）2x2+4x+1=2（x+1）2+1，所以当x=﹣1时，代数式2x2+4x+1有最小值为﹣1．故答案是：﹣1，小，﹣1；（3）设AD=x，S=x（16﹣2x）=﹣2（x﹣4）2+32，当AD=4m时，面积最大值为32m2．点评：此题考查配方法的运用，理解题意，类比给出的方法得出答案即可，渗透二次函数的最值．。

湖北荆州2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题(解析版)

2024年10月学情监测试卷九年级数学（本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B 铅笔或黑色签字笔．一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 方程224135x x x +−=+化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（）A. 2和1B. 2和7C. 1和6−D. 1和4 【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，根据()200ax bx c a ++=≠进行判定即可求解．【详解】解：根据题意，2243150x x +−−−=，整理得，2260x x +−=，∴二次项系数和一次项系数分别为21，，故选：A ．2. 若方程220x kx −+=的一个根是2−，则k 的值是（）A. 1−B. 1C. 3−D. 3 【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意，把2x =−代入计算即可求解．【详解】解：根据题意，把2x =−代入得，()()22220k −−−+=，解得，3k =−，故选：C ．3. 一元二次方程2530x x −+=的根的情况是（）A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 没有实数根D. 只有一个实数根【答案】B【解析】【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的系数结合根的判别式即可得出0∆>，从而得出方程有两个不相等的两个实数根，掌握“当0∆>时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键．【详解】解：∵方程2530x x −+=，∴()2Δ5413130=−−××=>，∴方程有两个不相等的两个实数根．故选：B ．4. 对于二次函数()22y x =−−，下列说法错误的是（）A. 它的图象的开口向下B. 它的图象的对称轴是直线2x =C. 当2x =时，y 取最大值D. 当2x >时，y 随x 的增大而增大【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，根据二次函数顶点式的解析式()2y a x h k =−+进行分析即可求解．【详解】解：已知二次函数顶点式()22y x =−−，10−<，图象开口向下，顶点坐标为()2,0，对称轴为xx =2， ∴A 、B 选项正确，不符合题意；当xx =2时，函数有最大值，最大值为0，故C 选项正确，不符合题意；当xx >2时，y 随x 的增大而减小，故D 选项错误，符合题意；故选：D ．5. 若抛物线()22110ya x a −−+经过原点，则a 的值是（） A. 1±B. 1C. 1−D. 0【答案】C【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，将()0,0代入解析式求出a 的值，再根据二次项系数不能为0对a 的值进行取舍，即可得出答案．【详解】解：抛物线()22110y a x a −−+经过原点()0,0，∴210a −+=，解得1a =±，当1a =时，二次项系数10a −=，不合题意，∴1a =−，故选C ．6. 用配方法解方程2640x x −+=时，变形结果正确的是（）A. ()2314x −=B. ()235x −=C. ()2640x −=D. ()2632x −= 【答案】B【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解本题的关键．先移项化为264x x −=−，可得2695x x −+=，再进一步求解即可．【详解】解：∵2640x x −+=，∴264x x −=−，∴2695x x −+=，∴()235x −=，故选：B ．7. 有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动，小智被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小智邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小智开始算起，转发两轮后共有111人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x 人，则可列出的方程为（）A. 2111x =B. 21111x +=C. 21111x x ++=D. ()21111x += 【答案】C的【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，根据从小智开始算起，转发两轮后共有111人被邀请参与该活动列出一元二次方程即可．【详解】解：设参与该活动后规定“@”x 人，则可列出的方程为：21111x x ++=，故选：C ．8. 某抛物线的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为()232y x =−−，则原抛物线的解析式为（）A. ()211y x =−+B. ()251y x =−+C. yy =(xx −1)2−5D. ()255y x =−− 【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据平移规律“左键右键，上加下减”即可求解．【详解】解：A 、()()22121332y x x =−−+−=−−，符合题意； B 、()()22521372y x x =−−+−=−−，不符合题意；C 、()()22125338y x x =−−−−=−−，不符合题意； D 、()(22525378y x x −−−−−−，不符合题意；故选：A ．9. 若a 是关于x 的方程22310x x −+=的一个根，则2202446a a −+的值是（）A. 2025B. 2026C. 2022D. 2023【答案】B【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值，求代数式的值等知识内容，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．依题意，把x a =代入22310x x −+=，得2231a a −=−，再把2231a a −=−代入()222024462024223a a a a −+=−−中计算，即可作答．【详解】解：∵a 是关于x 的方程22310x x −+=的一个根，∴把x a =代入22310x x −+=，得2231a a −=−，∴()()2220244620242232024212026a a a a −+=−−=−×−=，故选：B ．10. 二次函数()20y ax bx c a ++≠的图象与x 轴交于点()1,0A ，与y 轴的交点B 在()0,2与()0,3之间（不包括这两点），对称轴为直线2x =−．下列结论：①0abc >；②0a b c −+>；③若点11,2M y − 、点25,2N y −是函数图象上的两点，则12y y >；④3255a −<<−；其中正确的结论是（）A. ②③④B. ②③C. ①④D. ①②④【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次含图象的性质，根据图象与x 轴交于点()1,0A ，对称轴为直线2x =−，可得另一个交点为()5,0−，4b a =，根据二次函数与y 轴的交点B 在()0,2与()0,3之间（不包括这两点），可得23c <<，由此可得5c a =−，分别代入计算，再根据二次函数图象的增减性即可求解．【详解】解：二次函数()20y ax bx c a ++≠的图象与x 轴交于点()1,0A ，对称轴为直线2x =−， ∴另一个交点为()5,0−，22b x a=−=−， ∴4b a =，∴a b ，同号，即0ab >， ∵二次函数与y 轴的交点B 在()0,2与()0,3之间（不包括这两点）， ∴23c <<，∴0abc >，故①正确；当xx =1时，0y a b c =++=，且4b a =，∴50a c +=，则5c a =−，∵23c <<，∴253a <−<，则3255a −<<−，即0a <， ∵4580abc a a a a −+=−−=−>，∴0a b c −+>，故②，④正确；∵对称轴为2x =−，0a <，∴当2x <−时，y 随x 的增大而增大；当2x >−时，y 随x 的增大而减小；即离对称轴越远，值越小，∵()5113222222 −−−=−−−= ，， ∴12y y <，故③错误；综上所述，正确的有①②④，故选：D ．二、填空题（共5题，每题3分，共15分）11. 抛物线2(2)1y x =+−的顶点坐标为________．【答案】(2,1)−−【解析】【分析】根据二次函数的解析式的顶点式即可得．【详解】抛物线2(2)1y x =+−的顶点坐标为(2,1)−−，故答案为：(2,1)−−．【点睛】本题考查了求二次函数的顶点坐标，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．12. 已知方程2320x x −−=的两根分别为1x ，2x ，则1212x x x x ++的值为_________．【答案】1【解析】【分析】本题主要考查了根与系数的关系，对于()200ax bx c a ++=≠的两个根分别为12,x x ，则1212b c a x x x x a+=−=，．利用根与系数的关系得到12x x +，21x x 的值，然后代入计算即可．【详解】解：∵方程2320x x −−=的两个根分别为1x ，2x ，∴123x x +=，122x x =− ∴1212231x x x x =−++=+．故答案为：1．13. 加工爆米花时，爆开且不糊颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y 与加工时间x （单位：min ）满足函数表达式20.2 1.52y x x =−+−，则最佳加工时间为________min ．【答案】3.75的【解析】【分析】根据二次函数的对称轴公式2b x a=−直接计算即可．【详解】解：∵20.2 1.52y x x =−+−的对称轴为()1.5 3.75220.2b x a =−=−=×−（min ），故：最佳加工时间为3.75min ，故答案为：3.75．【点睛】此题主要考查了二次函数性质的应用，涉及求顶点坐标、对称轴方程等，记住抛物线顶点公式是解题关键． 14. 如图，某涵洞的截面是抛物线形状，抛物线在如图所示的平面直角坐标系中，对应的函数解析式为2516y x =-，当涵洞水面宽为12m 时，涵洞顶点O 至水面的距离为_________m ．【答案】454【解析】【分析】本题考查了二次函数的运用，根据题意，()()6,06,0A B −，，代入计算即可求解．【详解】解：根据题意，12AB =，∴()()6,06,0A B −，，把xx =6代入得，25456164y =−×=−， ∴顶点O 至水面的距离为45m 4，故答案为：454 ． 15. 已知关于x 的一元二次方程()()2530x x n −−−=的两个实数根为1x ，2x ，且213x x =，则n 的值为__________．【答案】【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，先化为一般形式，根据一元二次方程根与系数的关系可得128x x +=，21215x x n =−，结合已知条件得出122,6x x ==，进而根据21526n −=×，即可求解．【详解】解：()()2530x x n −−−= ∴228150x x n −+−=∴128x x +=，21215x x n =− 又∵213x x =∴148x =，∴122,6x x == ∴21526n −=×解得：n =故答案为：．三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16. 解下列方程：（1）2310x x −+=；（2）22150x x +−=．【答案】（1）1x =，2x =（2）15x =−，23x =【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，公式法和配方法是解题的关键．（1）运用公式法求解；（2）运用因式分解法求解．【小问1详解】解：∵1,3,1a b c ==−= ∴()2341150∆=−−××=>，∴x ，∴1x =2x = 【小问2详解】解：()()530x x +−=∴50x +=，30x −=， ∴15x =−，23x =.17. 已知关于x 的方程260x kx −+=有两个实数根α，β，其中3α=−，求另一个根β和k 的值．【答案】2β=−，5k =−【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程的两根12x x ，，1212b c x x x x a a+=−=，即可求解．详解】解：∵6αβ=，3α=−，∴2β=−，∵k αβ+=， ∴325k =−−=−．18. 已知函数231y x x =−−+．（1）该函数图象的开口方向是________；（2）求出函数图象的对称轴和顶点坐标；（3）当x 取何值时，y 随x 的增大而减小?【答案】（1）向下（2）对称轴是32x =−，顶点坐标是313,24 − （3）32x >−【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数开口方向，增减性，顶点坐标和对称轴是解题的关键．【（1）根据10a =−<，即可判定抛物线的开口方向；（2）根据1a =−，3b =−，1c =，结合顶点坐标公式进行求解即可；（3）根据0a <时，二次函数的增减性进行求解即可．【小问1详解】解：∵10a =−<，∴函数图象的开口方向是向下；小问2详解】解：∵1a =−，3b =−，1c =， ∴33222b a −−=−=−−， 244913444ac b a −−−==−， ∴函数图象的对称轴是32x =−，顶点坐标是313,24 − ；【小问3详解】解：∵开口向下， ∴当32x >−时，y 随x 的增大而减小． 19. 已知关于x 的一元二次方程()222120x k x k k −−+−=有两个实数根1x ，2x ．（1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得2212129x x x x +−=成立?若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）14k ≥−（2）存在，2k =【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，（1）根据一元二次方程有两个实数根可得240b ac ∆=−≥，由此即可求解；（2）运用一元二次方程根与系数的关系12b x x a +=−，12c x x a =，乘法公式的变形，代入求值即可．【小问1详解】【解：根据题意得()()2221420k k k ∆=−−−−≥ ，解得，14k ≥−；【小问2详解】解：根据题意得1221x x k +=−，2122x x k k =−， ∵2212129x x x x +−=， ∴()212121229x x x x x x +−−=，即()2121239x x x x +−=， ∴()()2221329k k k −−−=，整理得2280k k +−=， ∴()()240k k −+=，且14k ≥− 解得，12k =，24k =−（不符合题意，舍去）， ∴2k =．20. 阅读下列材料：为解方程4260x x −−=，可将方程变形为()22260x x −−=，然后设2x t =，则()222x t =，原方程化为260t t −−=①，解①得12t =−，23t =．当12t =−时，22x =−无意义，舍去；当23t =时，23x =，解得x =1x =2x =；这种方法称为“换元法”，则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用换元法解方程()()2227180x xx x −+−−=．【答案】12x =，21x =−【解析】【分析】本题考查的是利用换元法解一元二次方程，设2x x t −=，于是原方程化为27180t t +−=，求解t ，再进一步求解即可．【详解】解：设2x x t −=，于是原方程化为27180t t +−=，∴()()290t t −+=，解得12t =，29t =−；当2t =时，22x x −=，∴220x x −−=，∴()()210x x −+=，解得12x =，21x =−；当9t =−时，29x x −=−，∴290x x −+=，此时2(1)4190=−−××<△，方程无解，故原方程的解为12x =，21x =−．21. 如图，抛物线2y x bx c =++与直线1y x =−交于点()1,A m −和(),2B n ．（1）求抛物线的解析式；（2）根据图象直接写出不等式21x bx c x ++>−的解集．【答案】（1）24y x x =−−（2）1x <−或3x >【解析】【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，函数与不等式的关系等知识．（1）先求出点A 、B 的坐标为()1,2−−，()3,2，再代入2y x bx c =++即可求解；（2）根据函数与不等式的关系结合图象即可求解．【小问1详解】解：把()1,A m −和(),2B n 代入1y x =−，得112m =−−=−，21n =−，∴3n =，∴()1,2A −−，()3,2B ，把()1,2A −−，()3,2B 代入2y x bx c =++，得12932b c b c −+=− ++=，解得14b c =− =−， ∴抛物线的解析式为24y x x =−−；【小问2详解】解：求不等式21x bx c x ++>−的解集可以看作当抛物线24y x x =−−的图象位于直线1y x =−的上方时求自变量x 的取值范围，∴由图象得不等式21x bx c x ++>−的解集为1x <−或3x >．22. 羽毛球作为国际球类竞技比赛的一种，发球后羽毛球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，羽毛球从发出到落地的过程中竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()()20y a x h k a =−+≠．某次发球时，羽毛球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：请根据上述数据，解决问题：（1）直接写出羽毛球飞行过程中竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系()()20y a x h k a =−+≠；（2）已知羽毛球场的球网高度为1.55m ，当发球点距离球网5m 时，羽毛球能否越过球网？请说明理由．【答案】（1）()225042727y x =−−+，50 m 27（2）能，理由见解析【解析】【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意是解本题的关键；（1）先求解抛物线的对称轴与顶点坐标，再设设抛物线的关系式为()250427y a x =−+，再代入0x =，23y =即可得到答案；（2）把5x =代入()225042727y x =−−+可得169y =，再比较即可．【小问1详解】解：根据表格中的数据可知，当2x =时，149y =，当6x =时，149y =， ∴点142,9 与146,9关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线2642x +=，根据表格中的数据可知，当4x =时，5027y =， ∴抛物线的顶点坐标为504,27，即羽毛球飞行过程中竖直高度的最大值为50m 27；设抛物线的关系式为()250427y a x =−+，把0x =，23y =代入得：()225004327a =−+，解得：227a =−， ∴抛物线的关系式为()225042727y x =−−+．【小问2详解】解：把5x =代入()225042727y x =−−+得：225016(54)27279y =−−+=， ∵161.559>，∴羽毛球能越过球网．23. 一人一盔安全守规，一人一带平安常在!某摩托车配件店经市场调查，发现进价为80元的新款头盔每月的销售量y （件）与售价x （元）的相关信息如下：售价x （元）100 110 120 130 …销售量y（件）180160 140 120 … （1）试用你学过函数来描述y 与x 的关系，这个函数可以是_______（填“一次函数”或“二次函数”），直接写出这个函数解析式为______；（2）若物价局规定，该头盔最高售价不得超过140元，当售价为多少元时，月销售利润达到5600元? （3）若获利不得高于进价的60%，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大? 【答案】（1）一次函数，2380y x =−+ （2）120元（3）128元【解析】【分析】本题主要考查一次函数，二次函数，一元二次方程的运用，（1）根据表格信息可得当售价x 增大时，销售量y 逐渐减小，可得这个函数是一次函数，运用待定系数即可求解；（2）根据题意得()()8023805600x x −−+=，解一元二次方程，结合题意取值即可；（3）设利润为w 元，则2(80)(2380)254030400w x x x x =−−+=−+−，根据获利不得高于进价的60%，即获利不得高于808060%128+×=（元），可得80128x ≤≤，结合二次函数图象的性质即可求解．【小问1详解】解：根据表格信息，当售价x 增大10时，销售量y 减小20，∴这个函数是一次函数，设该一次函数解析式为()0y kx b k =+≠，把100180x y =，，110160x y =，代入得， 100180110160k b k b += +=，解得，2380k b =− =， ∴一次函数解析式为2380y x =−+，的当120x =时，2120380120y =−×+=，符合题意， ∴该函数是一次函数，解析式为2380y x =−+；【小问2详解】解：根据题意得()()8023805600x x −−+=，解得1120x =，2150x =，∵物价局规定，该头盔最高售价不得超过140元，∴150x =不合题意舍去，答：当售价为120元时，月销售利润达到5600元；【小问3详解】解：设利润为w 元，则2(80)(2380)254030400w x x x x =−−+=−+−， ∴当54013524b x a =−=−=−时，w 取最大值， ∵获利不得高于进价的60%，即获利不得高于808060%128+×=（元）， ∴80128x ≤≤，∵20−<，∴当135x ≤时，w 随x∴当128x =时，w 最大，答：售价定为128元时，月销售利润达到最大．24. 如图1，抛物线22y ax x c =−+与x 轴交于点()30A −,和B ，与y 轴交于点()0,3C ．（1）求该抛物线的解析式及顶点的坐标；（2）如图2，若P 是线段OA 上一动点，过P 作y 轴的平行线交抛物线于点H ，交AC 于点N ，设点P 的横坐标为t ，ACH 的面积为S ．求S 关于t 的函数关系式；当t 取何值时，S 有最大值，求出S 的最大值；（3）若P 是x 轴上一个动点，过P 作直线PQ BC ∥交抛物线于点Q ，随着P 点的运动，在x 轴上是否存在这样的点P ，使以B P Q C ，，，为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =−−+，()1,4−；（2）23922S t t =−−，32t =−时，S 有最大值，最大值是278；（3）存在，P 点坐标为()1,0−或()2−−或()2−+．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再把解析式转化为顶点式可得到顶点的坐标；（2）求出直线AC 的函数解析式，用含t 的式子表示出点N H 、的坐标，得出NH ，再根据12AHN CHN S S S HN OA =+=×× 求出S 关于t 的函数关系式，最后根据二次函数的性质解答即可求解；（3）求出B 点坐标，得到OB 的长，再分CQ BP ∥、点P 在点A 的左侧，CP BQ ∥和当点P 点A 的右侧，CP BQ ∥三种情况，画出图形解答即可求解．【小问1详解】解：把()3,0A −，()0,3C 代入22y ax x c =−+得，9603a c c ++= =，解得13a c =− = ， ∴该抛物线的解析式为223y x x =−−+， ∵()222314y x x x =−−+=−++，∴该抛物线的顶点坐标为()1,4−；【小问2详解】解：设直线AC 的函数解析式为y kx b =+，把()3,0A −，()0,3C 代入得， 033k b b=−+ = ，解得13k b = =， ∴直线AC 的函数解析式为3y x ，把x t =代入3y x 得，3y t =+，∴(),3N t t +，∵点P 的横坐标为t ，∴PH y ∥轴，∴点H 的横坐标为t ，∴()2,23H t t t −−+， ∴()222333HN t t t t t =−−+−+=−−， ∴()22211393327332222228AHN CHNS S S HN OA t t t t t =+=××=×−−×=−−=−++ ， ∵302−<， ∴当32t =−时，S 有最大值，最大值为278；【小问3详解】解：存在，理由如下：把0y =代入223y x x =−−+得，2023x x =−−+，解得13x =−，21x =，∴()1,0B ，∴1OB =，如图，当CQ BP ∥时，四边形BCQP 为平行四边形，∴CQ PB =，把3y =代入223y x x =−−+得，2233x x −−+=，解得10x =，22x =−，∴()2,3Q −，∴2CQ =，∴2BP =，∴211OP =−=，∴()1,0P −；如图，当点P 在点A 的左侧，CP BQ ∥时，四边形BCPQ 是平行四边形，过点Q 作QM x ⊥轴于M ，则90∠=∠=°QMP COB ， ∵四边形BCPQ 是平行四边形，∴PQ BC =，PQ BC ∥，∴QPM CBO ∠=∠， ∴()AAS QPM CBO ≌，∴1MP OB ==，3MQOC ==， ∴点Q 的纵坐标为3−，把=3y −代入223y x x =−−+得，2323x x −=−−+，解得11x =−21x =−（不符合，舍去），∴点P 的横坐标为2−−∴()2P −；如图，当点P 在点A 的右侧，CP BQ ∥时，四边形BCPQ 是平行四边形，过点Q 作QN x ⊥轴于N ，则90QNP COB ∠=∠=°，同理可得()2P −+；综上，点P 的坐标为()1,0−或()2−或()2−．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，求二次函数图象的顶点坐标，二次函数与几何图形，二次函数的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，正确画出图形并运用分类讨论思想解答是解题的关键．。

江苏南通启秀中学2024年九年级上学期上学期数学月考试卷(解析版)

江苏省南通市启秀中学2024~2025学年九年级第一学期数学月考试卷一．选择（共10小题，满分30分，每小题3分）1. 下列函数中，y 关于x 的二次函数是（） A. 2y ax bx c =++ B.()1y x x =− C 21y x =D. ()221y x x =−−【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的的定义．根据二次函数的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A 、当0a ≠时，2y ax bx c =++是y 关于x 的二次函数，故本选项不符合题意； B 、()21y x x x x =−=−是y 关于x 的二次函数，故本选项符合题意；C 、21y x=不是y 关于x 的二次函数，故本选项不符合题意； D 、()22121y x x x =−−=−+不是y 关于x 的二次函数，故本选项不符合题意；故选：B2. 二次函数261y x x =−−的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（） A. 1，6−，1− B. 1，6，1 C. 0，6−，1 D. 0，6，1−【答案】A 【解析】【分析】此题主要考查了二次函数的一般式，解题的关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．二次函数的一般式为：2y ax bx c ++（a 、b 、c 是常数，0a ≠）．其中，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项，根据定义作答即可．【详解】解：二次函数261y x x =−−，∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，6−，1−．故选：A ．3. 抛物线23(1)2y x =−−的顶点坐标是（） A. (1,2)− B. (1,2)− C. (1,2) D. (1,2)−−【答案】A 【解析】.【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题，写出相应的顶点坐标．根据题目中的抛物线，可以直接写出顶点坐标，本题得以解决．【详解】解：抛物线23(1)2y x =−−，∴该抛物线的顶点坐标为(1,2)−，故选：A ．4. 已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A. y ＝﹣3（x ﹣1）2+3B. y ＝3（x ﹣1）2+3C. y ＝﹣3（x +1）2+3D. y ＝3（x +1）2+3【答案】A 【解析】【分析】利用顶点式求二次函数的解析式：设二次函数y ＝a （x−1）2＋3，然后把（0，0）代入可求出a 的值．【详解】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，3），且过（0，0）点，设二次函数y ＝a （x−1）2＋3，把（0，0）代入得0＝a ＋3解得a ＝−3．故二次函数的解析式为y ＝−3（x−1）2＋3．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的图象：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的图象为抛物线，当a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x ＝2ba−；抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）．也考查了待定系数法求二次函数的解析式．5. 把抛物线y =﹣2x 2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（） A. y =﹣2（x +1）2+2 B. y =﹣2（x +1）2﹣2 C. y =﹣2（x ﹣1）2+2 D. y =﹣2（x ﹣1）2﹣2【解析】【详解】解：把抛物线y =﹣2x 2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为y =﹣2（x ﹣1）2+2，故选C ．6. 抛物线y=x 2﹣2x ﹣3与x 轴的交点个数是（） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【答案】C 【解析】【详解】试题分析：通过解方程x 2﹣2x ﹣3=0可得到抛物线与x 轴的交点坐标，于是可判断抛物线y=﹣x 2+3x ﹣2与x 轴的交点个数．解：当y=0时，x 2﹣2x ﹣3=0，解得x 1=﹣1，x 2=3．则抛物线与x 轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）．故选C ．考点：抛物线与x 轴的交点．7. 若二次函数 23y x bx =−−配方后为 ()21y x k =++，则b 、k 的值分别为（） A. 2−，4− B. 2−，5C. 4，4−D. 4−，2−【答案】A 【解析】【分析】本题考查了二次函数的三种形式，把顶点式化为一般式与23y x bx =−−比较可得答案．【详解】解：∵()22121y x k x x k =++=+++∴2,13b k −=+=−， ∴2,4b k =−=−．故选A ．8. 已知抛物线()2230y ax ax a =−+>，()11,A y −，()22,By ，()34,C y 是抛物线上三点，则1y ，2y ，3y 由小到大序排列是（）A. 123y y y <<B. 213y y y <<C. 312y y y <<D. 231y y y <<【答案】B【分析】先根据抛物线解析式得到抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．【详解】解：∵抛物线()2230y ax ax a =−+>的开口向上，对称轴为直线212ax a−=−=， ∴距离对称轴越远，函数值越大， ∵()11,A y −，()22,By ，()34,C y ，∴()112−−=，211−=，413−=， ∴213y y y <<，故选B【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，理解当二次函数的开口向上时，距离对称轴越远的点的函数值越大是解本题的关键．9. 如图，在等边三角形ABC 中，BC ＝4，在Rt △DEF 中，∠EDF ＝90°，∠F ＝30°，DE ＝4，点B ，C ，D ，E 在一条直线上，点C ，D 重合，△ABC 沿射线DE 方向运动，当点B 与点E 重合时停止运动．设△ABC 运动的路程为x ，△ABC 与Rt △DEF 重叠部分的面积为S ，则能反映S 与x 之间函数关系的图象是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】分三种情形∶ ①当0＜x ≤2时，重叠部分为△CDG ，②当2＜x ≤4时，重叠部分为四边形AGDC ，③当4＜x ≤8时，重叠部分为△BEG ，分别计算即可．【详解】解：过点A 作AM ⊥BC ，交BC 于点M ，在等边△ABC 中，∠ACB ＝60°，在Rt △DEF 中，∠F ＝30°， ∴∠FED ＝60°， ∴∠ACB ＝∠FED ， ∴AC ∥EF ，在等边△ABC 中，AM ⊥BC ，∴BM ＝CM ＝12BC ＝2，AM ＝∴S △ABC ＝12BC •AM ＝ ①当0＜x ≤2时，设AC 与DF 交于点G ，此时△ABC 与Rt △DEF 重叠部分为△CDG ，由题意可得CD ＝x ，DG∴S ＝12CD •DG 2； ②当2＜x ≤4时，设AB 与DF 交于点G ，此时△ABC 与Rt △DEF 重叠部分为四边形AGDC ，由题意可得：CD ＝x ，则BD ＝4﹣x ，DG （4﹣x ），∴S ＝S △ABC ﹣S △BDG ＝12×（4﹣x ）4﹣x ），∴S x 2﹣（x ﹣4）2，③当4＜x ≤8时，设AB 与EF 交于点G ，过点G 作GM ⊥BC ，交BC 于点M ，此时△ABC 与Rt △DEF 重叠部分为△BEG ，由题意可得CD ＝x ，则CE ＝x ﹣4，DB ＝x ﹣4， ∴BE ＝x ﹣（x ﹣4）﹣（x ﹣4）＝8﹣x ， ∴BM ＝4﹣12x在Rt △BGM 中，GM 4﹣12x ），∴S ＝12BE •GM ＝12（8﹣x ）4﹣12x ），∴S x ﹣8）2，综上，选项A 的图像符合题意，故选：A ．【点睛】本题考查了特殊三角形的性质，二次函数的图形等知识，灵活运用所学知识解决问题，利用割补法求多边形的面积是解题的关键．10. 抛物线y ＝−x 2+bx +3的对称轴为直线x ＝−1．若关于x 的一元二次方程−x 2+bx +3﹣t ＝0（t 为实数）在﹣2＜x ＜3的范围内有实数根，则t 的取值范围是（） A. −12＜t ≤3 B. −12＜t ＜4C. −12＜t ≤4D. −12＜t ＜3【答案】C 【解析】【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y ＝－x 2−2x ＋3，将一元二次方程－x 2＋bx ＋3−t ＝0的实数根看做是y ＝－x 2−2x ＋3与函数y ＝t 的交点，再由﹣2＜x ＜3确定y 的取值范围即可求解. 【详解】解：∵y ＝－x 2＋bx ＋3的对称轴为直线x ＝－1， ∴b ＝−2， ∴y ＝－x 2−2x ＋3，∴一元二次方程－x 2＋bx ＋3−t ＝0的实数根可以看做是y ＝－x 2−2x ＋3与函数y ＝t 的交点， ∵当x ＝−1时，y ＝4；当x ＝3时，y ＝－12，∴函数y ＝－x 2−2x ＋3在﹣2＜x ＜3的范围内－12＜y≤4， ∴－12＜t≤4，故选C ．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键．二．填空题（11~12每题3分）（共8小题，满分30分）11. 如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出①y=﹣3x 2，②y=﹣212x ，③y=﹣x 2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是______（填序号）【答案】① ③ ② 【解析】【详解】①y=−3x²，②y=−12x²，③y=−x²中,二次项系数a 分别为−3、−12、−1， ∵|−3|>|−1|>12−，∴抛物线②y=−12x²的开口最宽,抛物线①y=−3x²的开口最窄．故答案为①③②．点睛：本题考查了二次函数的图象与性质，关键是找到开口大小与a 的关系，对于二次函数，二次项系数|a|越大，其开口越小，反之越大．12. 如图，抛物线2y ax bx =+与直线y mx n =+相交于点(3,6)A −−，(1,2)B −，则关于x 的方程2ax bx mx n +=+的解为_______________ .【答案】x 1＝﹣3，x 2＝1 【解析】【分析】关于x 的方程ax 2+bx =mx +n 的解为抛物线y =ax 2+bx 与直线y =mx +n 交点的横坐标，由此即可得到答案．【详解】∵抛物线y =ax 2+bx 与直线y =mx +n 相交于点A （﹣3，﹣6），B （1，﹣2），∴关于x 的方程ax 2+bx =mx +n 的解为x 1=﹣3，x 2=1．故答案为x 1=﹣3，x 2=1．【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点问题：把求二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质． 13. 如图，抛物线()20y ax bx c a ++>的对称轴是直线1x =，且经过点()3,0P，则a b c −+的值为_____．【答案】0【解析】【分析】已知“对称轴是直线1x =，且经过点()3,0P ”，根据抛物线的对称性可知抛物线与x 轴的另一个交点是()1,0−，代入抛物线即可求解．【详解】由题意可知，抛物线的对称轴为1x =，且经过点()3,0P ，∴抛物线与x 轴的另一个交点是()1,0−，将()1,0−代入抛物线解析式()20y ax bx c a ++>中，得0a b c −+=．故答案为：0【点睛】本题考查了抛物线的对称性，熟知抛物线的图象关于对称轴对称是解决问题的关键．14. 如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽l 为6米，则当水面下降______米时，水面宽度为【答案】2 【解析】【分析】如图所示，建立平面直角坐标系，求出抛物线解析式，根据题意，令x = 【详解】解：如图所示，建立如下平面直角坐标系：设抛物线的解析式为2y ax =，将()3,3−代入解析式2y ax =得到39a −=，解得13a =−，∴213y x =−，根据题意，当x =时，2153y =−×=−，∴此时，水面下降532−=（米），故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数解决实际问题，读懂题意，建立平面直角坐标系求出抛物线解析式是解决问题的关键．15. 已知二次函数()2131y m x x =−+−与x 轴有交点，则m 的取值范围是________．【答案】54m ≥−且1m ≠ 【解析】【分析】根据二次函数()2131y m x x =−+−与x 轴有交点即方程()21310m x x −+−=有实数根，再结合二次函数的定义求解即可．【详解】解：∵二次函数()2131y m x x =−+−与x 轴有交点，∴()()22Δ=43411010b ac m m −=−−×−≥ −≠ ，解得54m ≥−且1m ≠，故答案为：54m ≥−且1m ≠．【点睛】本题主要考查了二次函数与x 轴的交点问题，二次函数的定义，熟知相关知识是解题的关键． 16. 已知二次函数()2y x m =−−，当3x ≤时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是___________________．【答案】3m ≥ 【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式得到二次函数开口向上，对称轴为直线x m =，则在对称轴左侧y 随x 的增大而减小，据此可得答案．【详解】解：∵二次函数解析式为()21y x m =−−， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线x m =， ∴在对称轴左侧y 随x 的增大而减小， ∵当3x ≤时，y 随x 的增大而减小， ∴3m ≥，故答案为：3m ≥．17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax ax a =−>与x 轴正半轴交于点C ，这条抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，以CD 为边作菱形ABCD ，若菱形ABCD 的顶点A ，B 在这条抛物线上，则菱形ABCD 的面积为___________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了二次函数综合，菱形的性质，勾股定理等等，先求出()4,0C ，再求出对称轴为直线2x =，则()2,0D ，即可得到2CD =，再由菱形的性质得到2,ABCD AD AB CD ===∥，则点A ､B 关于直线2x =对称，可得1AE BE ==，再利用勾股定理求出DE 的长即可利用菱形面积计算公式求出答案．【详解】解：设抛物线的对称轴交AB 于点E ，如解图，当0y =时，240ax ax −=，解得120,4x x ==， ∴()4,0C ， ∵抛物线的对称轴为直线422a x a−=−=， ∴()2,0D ， 422CD ∴=−=，∵四边形ABCD 为菱形，2,AB CD AD AB CD ∴===∥，∴点A ､B 关于直线2x =对称，∴1AE BE ==，Rt ADE中，由勾股定理得DE =，∴菱形ABCD的面积为2，故答案为：在18. 已知实数a ，b 满足1b a −=且4b ≥，则代数式2411a b −+的最小值是______．【答案】4【解析】【分析】将b 用a 表示，根据b 的范围求的a 范围，并将b 的代数式代入所求代数式中，使其仅含有未知数a 的二次函数，化为顶点式即可求得其最小值，本题主要考查二次函数的最值求解．【详解】解：∵1b a −=，4b ≥，∴1b a =+，3a ≥，则()()222241141114723a b a a a a a −+=−++=−+=−+，∵二次函数开口向上，∴2a ≥时随着a 的增大其函数值也增大，则当3a =时，代数式2411a b −+取得最小值为4．故答案为：4．三．解答题（共9小题，满分90分，每小题10分）19. 已知函数 ()221m m ym x +=+是关于x 的二次函数．求：（1）满足条件的m 的值；（2）m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？【答案】（1）1−（2）1m =−()0,0；当0x >时，y 随x 的增大而增大．【解析】【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的定义：（1）直接根据二次函数的定义进行求解即可；（2）二次函数有最低点，则二次项系数大于0，在对称轴右侧y 随x 的增大而增大，据此求解即可．【小问1详解】解：∵函数 ()221m m y m x +=+是关于x 的二次函数， ²2210m m m ∴+=+≠，，解得 1m =−±【小问2详解】解：∵抛物线有最低点，∴10m +>，由（1）可得1m =−∴1m =−+∴抛物线解析式为y =，∴抛物线顶点坐标为()0,0，对称轴为y 轴，且开口向上，∴当0x >时，y 随x 的增大而增大．20. 二次函数图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：（1）求这个二次函数的表达式；（2）在图中画出这个二次函数的图象；（3）当30x −<<时，直接写出y 的取值范围．【答案】（1）抛物线解析式为2y (x 1)4=+−（2）见解析（3）40y −≤<【解析】【分析】（1）设2(1)4y a x =+−，然后把(03)−，代入求出抛物线解析式；（2）利用描点法画函数图象；（3）结合函数图象，根据二次函数的性质写出对应的函数值的范围．【小问1详解】解：∵2x =−和0x =的函数值相同，都是3−，∴对称轴为直线1x =−，∴顶点为(14)−−，，设2(1)4y a x =+−，将(03)−，代入得43a −=−，解得1a =，∴抛物线解析式为2y (x 1)4=+−；【小问2详解】解：描点，连线，这个二次函数的图象如图，【小问3详解】解：当30x −<<时，y 的取值范围是40y −≤<．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 21. 如图，学校打算用长为16m 的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园一面靠墙（篱笆只需围三面，AB 为宽）．（1）写出长方形的面积y （单位： 2m ）与宽x （单位：m ）之间的函数解析式；（2）当x 为何值时，长方形的面积最大？最大面积为多少？【答案】（1）()221608y x x x =−+<< （2）当4x =时，长方形的面积最大，最大值为32【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用：（1）先表示出BC 的长，再根据长方形面积计算公式列出对应的关系式即可；（2）根据（1）所求关系式，利用二次函数的性质求解即可．【小问1详解】解：由题意得，()162m BC x =−，∴()()216221608y x x x x x =−=−+<<；【小问2详解】解：∵()222162432y x x x =−+=−−+，∴当4x =时，y 最大，最大值为32，∴当4x =时，长方形的面积最大，最大值为32．22. 已知二次函数y=a （x+m ）2的顶点坐标为（﹣1，0），且过点A （﹣2，﹣12）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点B （2，﹣2）在这个函数图象上吗？（3）你能通过左，右平移函数图象，使它过点B 吗？若能，请写出平移方案．【答案】（1）y=﹣12（x+1）2；（2）点B （2，﹣2）不在这个函数的图象上；（3）抛物线向右平移1个单位或平移5个单位函数，即可过点B ；【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可得出二次函数的解析式；（2）代入B （2，-2）即可判断；（3）根据题意设平移后的解析式为y=-12（x+1+m）2，代入B的坐标，求得m的植即可．【详解】解：（1）∵二次函数y=a（x+m）2的顶点坐标为（﹣1，0），∴m=1，∴二次函数y=a（x+1）2，把点A（﹣2，﹣12）代入得a=﹣12，则抛物线的解析式为：y=﹣12（x+1）2．（2）把x=2代入y=﹣12（x+1）2得y=﹣92≠﹣2，所以，点B（2，﹣2）不在这个函数的图象上；（3）根据题意设平移后的解析式为y=﹣12（x+1+m）2，把B（2，﹣2）代入得﹣2=﹣12（2+1+m）2，解得m=﹣1或﹣5，所以抛物线向右平移1个单位或平移5个单位函数，即可过点B．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及图象与几何变换．23. 某商店销售某种商品的进价为每件20元，这种商品在近30天中的日销售价与日销量的相关信息如表：时间：第x（天）（1≤x≤30，x为整数）122x≤≤2330x≤≤日销售价（元/件）0.525x+36日销售量（件）1202x−设该商品的日销售利润为w元．（1）求出w与x的函数关系式；（2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？【答案】（1）()()2506001223219202330x x x w x x −++≤≤ = −+≤≤（2）该商品在第22天的日销售利润最大，最大日销售利润是1216元【解析】【分析】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，列出函数表达式是解题的关键．（1）分122x ≤≤和2330x ≤≤两种情况利用“利润=每件的利润×销售量”列出函数关系式；（2）根据（1）解析式，由函数的性质分别求出122x ≤≤的函数最大值和2330x ≤≤的函数最大值，比较得出结果．【小问1详解】当122x ≤≤时，()()20.52520120250600w x x x x =+−−=−++，当2330x ≤≤时，()()36201202321920w x x =−−=−+， ∴w 与x 的函数关系式()()2506001223219202330x x x w x x −++≤≤ = −+≤≤，故答案为：()()2506001223219202330x x x w x x −++≤≤ = −+≤≤；小问2详解】当122x ≤≤时，()2250600251225w x x x =−++=−−+，∵10−<，∴当22x ＝时，w 有最大值，最大值为1216；当2330x ≤≤时，321920w x =−+，∵320−<，∴当23x ＝时，w 有最大值，最大值为322319201184−×+＝，∵12161184>，∴该商品在第22天的日销售利润最大，最大日销售利润是1216元．24. 已知二次函数2112y x bx =++．（1）若1b =−，求该二次函数图象的对称轴及最小值；【（2）若对于任意的02x ≤≤，都有1y ≥−，求b 的取值范围．【答案】（1）对称轴为1x =，最小值为12（2）2b ≥−【解析】【分析】本题考查二次函数图象与性质及二次函数的顶点式，（1）把二次函数解析式转化为顶点式即可求解；（2）先求得抛物线的对称轴，再根据抛物线的位置分类讨论：①对称轴在y 轴及其左侧时，②对称轴在0~2段内，③对称轴在直线2x =及其右侧时，由二次函数的性质求解即可．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．【小问1详解】解：当1b =−时，2112y x x =−+， ∴()2211111222y x x x =−+=−+， ∴对称轴为1x =， ∴当1x =时，函数值最小，最小值为12；【小问2详解】解： 2112y x bx =++， ∴对称轴为直线2bx b a =−=−，①当0b −≤，即对称轴y 轴及其左侧时，0b ≥当02x ≤≤时，y 随x 的增大而增大，∴当0x =时，y 最小，最小值为11>−，0b ∴≥；②当02b <−<时，即对称轴在0~2段内时，20b −<<，当x b =−时，y 最小，最小值为()()22111122b b b b ×−+×−+=−+，令1y ≥−，则21112b −+≥−，解得：20b −<<，∴20b −<<；在③当2b −≥，即对称轴在直线2x =及其右侧时，2b ≤−，当02x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，∴当2x =时，y 最小，最小值为21221232b b ×++=+，令1y ≥−，则231b +≥−，解得：2b ≥−， 2b ∴=−；综上所述，b 的取值范围为2b ≥−．25. 如图，抛物线212y x mx n =−++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知()1,0A −，()0,2C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点E 是线段BC 上的一个动点（不与B ，C 重合），过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时点E 的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为213222y x x =−++ （2）当E 点坐标为()2,1时，四边形CDBF 的面积最大，最大值为132 【解析】【分析】（1）根据待定系数法求抛物线解析式即可；（2）设直线BC 的解析式为y kx b =+，先根据待定系数法求直线BC 的解析式，再设()213,20422F x x x x −++<< ，则1,22E x x −+，然后根据四边形CDBF 的面积BCF BCD S S +求最大值即可．【小问1详解】解：将()1,0A −，()0,2C 代入抛物线解析式，得： 1022m n n −−+= = ，解得：322m n = = ，∴抛物线的解析式为213222y x x =−++；小问2详解】解：如图，抛物线的对称轴为：3321222x =−=−×，3,02D ∴，()4,0B ，设直线BC 的解析式为y kx b =+，将B ，C 点坐标代入得：402k b b += =，解得：122k b =− = ，∴直线BC 的解析式为122y x =−+，【设()213,20422F x x x x−++<< ，则1,22E x x −+， 2213112222222EF x x x x x ∴=−++−−+=−+， 221142422BCF S x x x x ∴=×−+=−+，四边形CDBF 面积221354244222BCF BCD S S x x x x =+=−++××−=−++ △△ ()21322x =−−+，当2x =时，四边形CDBF 的面积最大，最大值为132，此时E 点坐标为()2,1．【点睛】本题考查利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数中的面积问题，掌握二次函数的性质是解决问题的关键．26. 如图1，抛物线2y x bx =−+与x 轴交于点A ，与直线y x =−交于点(4,4)B −，点(0,4)C −在y 轴上．点P 从点B 出发，沿线段BO 方向匀速运动，运动到点O 时停止．（1）求抛物线2y x bx =−+的表达式；（2）当BP =时，请在图1中过点P 作PD OA ⊥交抛物线于点D ，连接PC ，OD ，判断四边形OCPD 的形状，并说明理由；（3）如图2，点P 从点B 开始运动时，点Q 从点O 同时出发，以与点P 相同的速度沿x 轴正方向匀速运动，点P 停止运动时点Q 也停止运动．连接BQ ，PC ，求CP BQ +的最小值．【答案】（1）23y x x =−+（2）平行四边形，理由见解析（3）【解析】【分析】（1）将点B 代入2y x bx =−+，可得b ；（2）作PD OA ⊥交x 轴于点H ，连接PC 、OD ，由点P 在y x =−上，可知OH PH ∴=，45POH ∠=°，连接BC ，得到OB =2OH PH ==，当2P x =时，4322p DH y ==−+×=，进而得出PD OC =，然后证明PD OC ∥，即可得到结论；（3）由题意得，BP OQ =，连接BC ，在OA 上方作OMQ ，使得45MOQ ∠=°，OM BC =，证明SAS CBP MOQ ≌（），根据CP BQ MQ BQ MB +=+≥（当M ，Q ，B 三点共线时最短），得到CP BQ +的最小值为MB ，利用勾股定理求得MB ，即可得到答案．【小问1详解】解：抛物线2y x bx =−+过点(4,4)B − 1644b ∴−+=−3b ∴=答：抛物线的表达式为23y x x =−+．【小问2详解】解：四边形OCPD 是平行四边形，理由如下：如图1，作PD OA ⊥交x 轴于点H ，连接PC 、OD ，点P 在y x =−上，OH PH ∴=，45POH ∠=°，连接BC ，4OC BC == ，BP ∴OP OB BP ∴=−=2OH PH ∴== 当2P x =时，4322p DH y ==−+×= 224PD DH PH ∴=+=+=(0,4)C − ，4OC ∴=， PD OC ∴=，OC x ⊥ 轴，PD x ⊥轴，PD OC ∴ ，∴四边形OCPD 是平行四边形．【小问3详解】解：如图2，由题意得，BP OQ =，连接BC ，在OA 上方作OMQ ，使得45MOQ ∠=°，OM BC =， 4OC BC == ，BC OC ⊥，45CBP ∴∠=°，CBP MOQ ∴∠=∠，BP OQ = ，CBP MOQ ∠=∠，BC OM =， SAS CBP MOQ ∴ ≌（），CP BQ MQ BQ MB∴+=+≥（当M，Q，B三点共线时最短），∴+的最小值为MB，CP BQ，∠=∠+∠=°+°=°454590MOB MOQ BOQ∴===MB+的最小值为即CP BQ+的最小值为．答：CP BQ【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．。

苏科版初三数学10月月考试题

名思教育集团暑期内部测试九年级数学试卷(本试卷共150分考试时间120分钟考试形式：闭卷)一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．3（x+1）2=2（x+1） B．C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=x2﹣12．方程x2=9的解是（）A．x1=x2=3 B．x1=x2=9 C．x1=3，x2=﹣3 D．x1=9，x2=﹣93．如图，已知A，B，C为⊙O上三点，若∠AOB=80°，则∠ACB度数为（）A．80°B．70°C．60°D．40°4．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，4），（5，4），（1，﹣2），则以A，B，C为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是（）A．（2，3） B．（3，2） C．（3，1） D．（1，3）5．如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC 并延长交AE于点D．若∠AOC=80°，则∠ADB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．20°6．如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）A．AD=BD B．OC=2CD C．∠CAD=∠CBD D．∠OCA=∠OCB二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）7．一元二次方程x2﹣2x=0的解为．8．关于x的方程kx2﹣4x﹣=0有实数根，则k的取值范围是．9．当x=时，代数式x2﹣3x比代数式2x2﹣x﹣1的值大2．10．如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA=cm．11．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB=cm时，BC与⊙A相切．12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=70°，△ABC的内切圆⊙O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，则∠DEF的度数为°．13．已知⊙O的半径为2，则其内接正三角形的面积为．14．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是．15．如图，将长为10cm的铁丝AB首尾相接围成半径为2cm的扇形，则S扇形= cm2．16．如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA=8，AB=10，点C在边OA上，AC=2，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y=（k ≠0）的图象经过圆心P，则k=．三、解答题（本大题共11小题，共102分）17．解下列方程：（1）3（x﹣2）2=x（x﹣2）（2）x2﹣5x+1=0（用配方法）．18．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．19．已知某等腰三角形的腰和底分别是一元二次方程x2﹣6x+5=0的两根，求此三角形的周长．20．已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．21．如图，要建一个面积为45m2的长方形养鸡场（分为两片），养鸡场的一边靠着一面长为14m的墙，另几条边用总长为22m的竹篱笆围成，每片养鸡场的前面各开一个宽1m的门、求这个养鸡场的长与宽．22．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED=EA．（1）求∠DOA的度数；（2）求证：直线ED与⊙O相切．23．如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．（1）用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC=8cm，腰AB=5cm，求圆片的半径R．24．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为4，∠C=22.5°，求阴影部分的面积．25．已知⊙O的直径AB的长为4cm，C是⊙O上一点，∠BAC=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，求CP的长．26．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状：；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．27．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作⊙O，交DC于D，G两点，AD分别与EF，GF 交于I，H两点．（1）求∠FDE的度数；（2）试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；（3）当G为线段DC的中点时，①求证：FD=FI；②设AC=2m，BD=2n，求m：n的值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．3（x+1）2=2（x+1） B．C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=x2﹣1【考点】A1：一元二次方程的定义．【分析】一元二次方程有四个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．（4）二次项系数不为0．【解答】解：A、3（x+1）2=2（x+1）化简得3x2+4x﹣4=0，是一元二次方程，故正确；B、方程不是整式方程，故错误；C、若a=0，则就不是一元二次方程，故错误；D、是一元一次方程，故错误．故选：A．2．方程x2=9的解是（）A．x1=x2=3 B．x1=x2=9 C．x1=3，x2=﹣3 D．x1=9，x2=﹣9【考点】A5：解一元二次方程﹣直接开平方法．【分析】利用直接开平方法求解即可．【解答】解：x2=9，两边开平方，得x1=3，x2=﹣3．故选C．3．如图，已知A，B，C为⊙O上三点，若∠AOB=80°，则∠ACB度数为（）A．80°B．70°C．60°D．40°【考点】M5：圆周角定理．【分析】根据圆周角定理得出∠ACB=∠AOB，代入求出即可．【解答】解：∵∠AOB=80°，∴∠ACB=∠AOB=40°，故选D．4．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，4），（5，4），（1，﹣2），则以A，B，C为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是（）A．（2，3） B．（3，2） C．（3，1） D．（1，3）【考点】MA：三角形的外接圆与外心；D5：坐标与图形性质．【分析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．【解答】解：根据垂径定理的推论，则作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，且坐标是（3，1）．故选C．5．如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC 并延长交AE于点D．若∠AOC=80°，则∠ADB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．20°【考点】MC：切线的性质．【分析】由AB是⊙O直径，AE是⊙O的切线，推出AD⊥AB，∠DAC=∠B=∠AOC=40°，推出∠AOD=50°．【解答】解：∵AB是⊙O直径，AE是⊙O的切线，∴∠BAD=90°，∵∠B=∠AOC=40°，∴∠ADB=90°﹣∠B=50°，故选B．6．如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）A．AD=BD B．OC=2CD C．∠CAD=∠CBD D．∠OCA=∠OCB【考点】M2：垂径定理；L9：菱形的判定．【分析】利用对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，进而求出即可．【解答】解：OC=2CD．理由如下：∵在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，∴AD=DB，∵OC=2CD，∴AD=BD，DO=CD，AB⊥CO，∴四边形OACB为菱形．故选B．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）7．一元二次方程x2﹣2x=0的解为x1=0，x2=2．【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．【解答】解：方程整理得：x（x﹣2）=0，可得x=0或x﹣2=0，解得：x1=0，x2=2．故答案为：x1=0，x2=28．关于x的方程kx2﹣4x﹣=0有实数根，则k的取值范围是k≥﹣6．【考点】AA：根的判别式；85：一元一次方程的解．【分析】由于k的取值不确定，故应分k=0（此时方程化简为一元一次方程）和k≠0（此时方程为二元一次方程）两种情况进行解答．【解答】解：当k=0时，﹣4x﹣=0，解得x=﹣，当k≠0时，方程kx2﹣4x﹣=0是一元二次方程，根据题意可得：△=16﹣4k×（﹣）≥0，解得k≥﹣6，k≠0，综上k≥﹣6，故答案为k≥﹣6．9．当x=﹣1时，代数式x2﹣3x比代数式2x2﹣x﹣1的值大2．【考点】A5：解一元二次方程﹣直接开平方法．【分析】代数式x2﹣3x比代数式2x2﹣x﹣1的值大2，即将两式相减值为2，即可得到关于x的方程，解方程可得出答案．【解答】解：由题意得：x2﹣3x﹣（2x2﹣x﹣1）=2∴可得：﹣x2﹣2x﹣1=0∴（x+1）2=0，故x=﹣1．10．如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA=5cm．【考点】MG：切线长定理．【分析】由于DA、DC、BC都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△PCD的周长转换为PA、PB的长，然后再进行求解．【解答】解：如图，设DC与⊙O的切点为E；∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；∴PA=PB；同理，可得：DE=DA，CE=CB；则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10（cm）；∴PA=PB=5cm，故答案为：5．11．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB=6cm时，BC与⊙A相切．【考点】MD：切线的判定．【分析】当BC与⊙A相切，点A到BC的距离等于半径即可．【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D．∵AB=AC，∠B=30°，∴AD=AB，即AB=2AD．又∵BC与⊙A相切，∴AD就是圆A的半径，∴AD=3cm，则AB=2AD=6cm．故答案是：6．12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=70°，△ABC的内切圆⊙O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，则∠DEF的度数为80°．【考点】MI：三角形的内切圆与内心．【分析】连接DO，FO，利用切线的性质得出∠ODA=∠OFA=90°，再利用三角形内角和以及四边形内角和定理求出∠DOF的度数，进而利用圆周角定理得出∠DEF的度数．【解答】解：连接DO，FO，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=70°∴∠A=20°，∵内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∴∠ODA=∠OFA=90°，∴∠DOF=160°，∴∠DEF的度数为80°．13．已知⊙O的半径为2，则其内接正三角形的面积为3．【考点】MM：正多边形和圆．【分析】连接OB、OC，作OD⊥BC于D，则∠ODB=90°，BD=CD，∠OBC=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出OD，由勾股定理求出BD，得出BC，根据△ABC的面积=3S△OBC计算即可．【解答】解：如图所示，连接OB、OC，作OD⊥BC于D，则∠ODB=90°，BD=CD，∠OBC=30°，∴OD=OB=1，∴BD==，∴BC=2BD=2，=3××BC×OD=3××2×1=3．∴△ABC的面积=3S△OBC14．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是3＜r＜5．【考点】M8：点与圆的位置关系．【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．【解答】解：在直角△ABD中，CD=AB=4，AD=3，则BD==5．由图可知3＜r＜5．故答案为：3＜r＜5．15．如图，将长为10cm的铁丝AB首尾相接围成半径为2cm的扇形，则S扇形= 6cm2．【考点】MO：扇形面积的计算．lr 【分析】扇形的周长等于AB的长，AB得长﹣2r求得扇形的弧长，再根据S扇形=计算即可．【解答】解：l+4=10，l=6，S扇形=lr=×6×2=6，故答案为6．16．如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA=8，AB=10，点C在边OA上，AC=2，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y=（k ≠0）的图象经过圆心P，则k=﹣5．【考点】MC：切线的性质；F8：一次函数图象上点的坐标特征；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，作CH⊥AB于H，如图，设⊙P的半径为r，根据切线的性质和切线长定理得到PD=PE=r，AD=AE，再利用勾股定理计算出OB=6，则可判断△OBC为等腰直角三角形，从而得到△PCD为等腰直角三角形，则PD=CD=r，AE=AD=2+r，通过证明△ACH∽△ABO，利用相似比计算出CH=，接着利用勾股定理计算出AH=，所以BH=10﹣=，然后证明△BEP∽△BHC，利用相似比得到即=，解得r=1，从而易得P点坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值．【解答】解：作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，作CH⊥AB于H，如图，设⊙P的半径为r，∵⊙P与边AB，AO都相切，∴PD=PE=r，AD=AE，在Rt△OAB中，∵OA=8，AB=10，∴OB==6，∵AC=2，∴OC=6，∴△OBC为等腰直角三角形，∴△PCD为等腰直角三角形，∴PD=CD=r，∴AE=AD=2+r，∵∠CAH=∠BAO，∴△ACH∽△ABO，∴=，即=，解得CH=，∴AH===，∴BH=10﹣=，∵PE∥CH，∴△BEP∽△BHC，∴=，即=，解得r=1，∴OD=OC﹣CD=6﹣1=5，∴P（5，﹣1），∴k=5×（﹣1）=﹣5．故答案为﹣5．三、解答题（本大题共11小题，共102分）17．解下列方程：（1）3（x﹣2）2=x（x﹣2）（2）x2﹣5x+1=0（用配方法）．【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；A6：解一元二次方程﹣配方法．【分析】（1）因式分解法求解可得；（2）配方法求解可得．【解答】解：（1）∵3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，∴（x﹣2）[3（x﹣2）﹣x]=0，即（x﹣2）（2x﹣6）=0，则x﹣2=0或2x﹣6=0，解得：x=2或x=3；（2）∵x2﹣5x=﹣1，∴x2﹣5x+=﹣1+，即（x﹣）2=，则x﹣=±，∴x=．18．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．【考点】AA：根的判别式；A3：一元二次方程的解；AB：根与系数的关系．【分析】（1）关于x的方程x2﹣2x+a﹣2=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．【解答】解：（1）∵b2﹣4ac=（2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，解得：a＜3．∴a的取值范围是a＜3；（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：，解得：，则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．19．已知某等腰三角形的腰和底分别是一元二次方程x2﹣6x+5=0的两根，求此三角形的周长．【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；K6：三角形三边关系；KH：等腰三角形的性质．【分析】利用因式分解法解方程得到x1=1，x2=5，利用三角形三边的关系得等腰三角形的腰为5，底为1，然后计算三角形的周长．【解答】解：（x﹣1）（x﹣5）=0，x﹣1=0或x﹣5=0，所以x1=1，x2=5，因为1+1=2＜5，所以等腰三角形的腰为5，底为1，所以三角形的周长为5+5+1=11．20．已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．【考点】M6：圆内接四边形的性质；KI：等腰三角形的判定．【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠A=∠BCE，根据等腰三角形的判定和性质定理证明．【解答】证明：∵A，B，C，D是⊙O上的四点，∴∠A=∠BCE，∵BC=BE，∴∠E=∠BCE，∴∠A=∠E，∴DA=DE，即△ADE是等腰三角形．21．如图，要建一个面积为45m2的长方形养鸡场（分为两片），养鸡场的一边靠着一面长为14m的墙，另几条边用总长为22m的竹篱笆围成，每片养鸡场的前面各开一个宽1m的门、求这个养鸡场的长与宽．【考点】&E：二元二次方程组．【分析】设鸡场的长为xm，宽为ym，根据鸡场的面积和周长列出两个等量关系，解方程组即可，注意鸡场的长小于围墙的长．【解答】解：设鸡场的长为xm，宽为ym，由题意可得：，且x＜14，解得y=3或5；当y=3，x=15；∵x＜14，∴不合题意，舍去；当y=5时，x=9，经检验符合题意．答：这个养鸡场的长为9m，宽为5m．22．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED=EA．（1）求∠DOA的度数；（2）求证：直线ED与⊙O相切．【考点】MD：切线的判定．【分析】（1）根据圆周角定理即可得到结论；（2）连接OE，通过△EAO≌△EDO，即可得到∠EDO=90°，于是得到结论．【解答】（1）解；∵∠DBA=50°，∴∠DOA=2∠DBA=100°，（2）证明：连接OE．在△EAO与△EDO中，，∴△EAO≌△EDO，∴∠EDO=∠EAO，∵∠BAC=90°，∴∠EDO=90°，∴DE与⊙O相切．23．如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．（1）用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC=8cm，腰AB=5cm，求圆片的半径R．【考点】M3：垂径定理的应用；KH：等腰三角形的性质．【分析】（1）作两弦的垂直平分线，其交点即为圆心O；（2）构建直角△BOE，利用勾股定理列方程可得结论．【解答】解：（1）作法：分别作AB和AC的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心；（2）连接AO、BO，AO交BC于E，∵AB=AC，∴AE⊥BC，∴BE=BC=×8=4，在Rt△ABE中，AE===3，设⊙O的半径为R，在Rt△BEO中，OB2=BE2+OE2，即R2=42+（R﹣3）2，R=，答：圆片的半径R为cm．24．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为4，∠C=22.5°，求阴影部分的面积．【考点】MC：切线的性质；KH：等腰三角形的性质；MO：扇形面积的计算．【分析】（1）连接OD，易得∠ABC=∠ODB，由AB=AC，易得∠ABC=∠ACB，等量代换得∠ODB=∠ACB，利用平行线的判定得OD∥AC，由切线的性质得DF⊥OD，得出结论；（2）连接OE，利用（1）的结论得∠ABC=∠ACB=67.5°，易得∠BAC=45°，得出∠AOE=90°，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论．【解答】解：（1）证明：连接OD，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ODB=∠ACB，∴OD∥AC，∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥OD，∴DF⊥AC．（2）解：连接OE，∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠BAC=45°，∵OA=OE，∴∠AOE=90°，∵⊙O的半径为4，=4π，S△AOE=8 ，∴S扇形AOE8．∴S阴影=4π﹣25．已知⊙O的直径AB的长为4cm，C是⊙O上一点，∠BAC=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，求CP的长．【考点】MC：切线的性质．【分析】连接OC，即可求得∠P=30°，从而求得OP的长，再根据勾股定理即可求CP的长．【解答】解：连接OC，∵OA=OC，∴∠BAC=∠ACO=30°，∴∠COB=60°，∵PC是切线，∴OC⊥PC，∴∠P=30°，∴OP=2OC=4cm，∴CP==2．26．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状：等边三角形；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．【考点】M5：圆周角定理；KD：全等三角形的判定与性质；KM：等边三角形的判定与性质；M2：垂径定理．【分析】（1）利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状；（2）在PC上截取PD=AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP=CD，即可证得；（3）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为的中点时，PE+CF=PC从而得出最大面积．【解答】证明：（1）△ABC是等边三角形．证明如下：在⊙O中∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，又∵∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形；（2）在PC上截取PD=AP，如图1，又∵∠APC=60°，∴△APD是等边三角形，∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，∴∠ADC=∠APB，在△APB和△ADC中，，∴△APB≌△ADC（AAS），∴BP=CD，又∵PD=AP，∴CP=BP+AP；（3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．过点C作CF⊥AB，垂足为F．=AB•PE，S△ABC=AB•CF，∵S△APB=AB•（PE+CF），∴S四边形APBC当点P为的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，∴此时四边形APBC的面积最大．又∵⊙O的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB=，=×2×=．∴S四边形APBC27．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作⊙O，交DC于D，G两点，AD分别与EF，GF 交于I，H两点．（1）求∠FDE的度数；（2）试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；（3）当G为线段DC的中点时，①求证：FD=FI；②设AC=2m，BD=2n，求m：n的值．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）直接利用圆周角定理得出∠FDE的度数；（2）利用平行四边形的判定方法，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，进而得出答案；（3）①利用圆周角定理可得出∠1=∠2，进而得到∠3=∠4，即可得出答案；②利用菱形的性质以及平行四边形的性质得出EF=FI+IE=FD+AE=3m，进而利用勾股定理得出答案．【解答】解：（1）∵EF是⊙O的直径，∴∠FDE=90°；（2）四边形FACD是平行四边形．理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴∠AEB=90°．又∵∠FDE=90°，∴∠AEB=∠FDE，∴AC∥DF，∴四边形FACD是平行四边形；（3）①连接GE，如图．∵四边形ABCD是菱形，∴点E为AC中点．∵G为线段DC的中点，∴GE∥DA，∴∠FHI=∠FGE．∵EF是⊙O的直径，∴∠FGE=90°，∴∠FHI=90°．∵∠DEC=∠AEB=90°，G为线段DC的中点，∴DG=GE，∴=，∴∠1=∠2．∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，∴∠3=∠4，∴FD=FI；②∵AC∥DF，∴∠3=∠6．∵∠4=∠5，∠3=∠4，∴∠5=∠6，∴EI=EA．∵四边形ABCD是菱形，四边形FACD是平行四边形，∴DE=BE=n，AE=EC=m，FD=AC=2m，∴EF=FI+IE=FD+AE=3m．在Rt△EDF中，根据勾股定理可得：n2+（2m）2=（3m）2，即n=m，∴m：n=：5．。

苏科版九年级上学期10月月考数学试题

江苏省无锡市惠山、玉祁、钱桥中学2020-2021学年苏科版九年级上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列方程为一元二次方程的是 ( )A ．x －2＝0B ．x 2－2x －3C ．xy ＋1＝0D ．x 2－4x －1＝0 2．若a 为方程230x x +-=的解，则21a a ++的值为（）A ．12B ．4C ．9D ．16 3．一元二次方程x 2－8x －1＝0配方后可变形为（）A ．（x ＋4）2＝17B ．（x ＋4）2＝15C ．（x －4）2＝17D ．（x －4）2＝15 4．在比例尺是1：8000的南京市城区地图上，太平南路的长度约为25cm ，它的实际长度约为( )A ．320cmB ．320mC ．2000cmD ．2000m 5．下列条件中可以判定△ABC ∽△A ＇B ＇C ＇的是（）A ．AB A B AC A C ''='' B ．AB A B AC A C ''='',∠B=∠B ＇ C ．AB A B AC A C ''='',∠A=∠A ＇ D ．AB AC A B A C ='''' 6．下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（）．A ．B ．C ．D ． 7．若Rt △ABC 的各边都扩大4倍，得到Rt △A ′B ′C ′，则锐角∠A 、∠A ′的正弦值的关系为( )A ．sin A ′＝sin AB ．4sin A ′＝sin AC ．sin A ′＝4sin AD ．不能确定8．某厂一月份生产产品150台，计划二、三月份共生产450台，设二、三月平均每月增长率为x ，根据题意列出方程是（）A ．2150(1)450x +=B ．2150(1)150(1)450x x +++=C ．2150(1)450x -=D ．2150(1)600x +=9．股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，要想在2天之后涨回到原价，试估计平均每天的涨幅（）A ．一定为5%B ．在5%～6%之间C ．在4%～5%之间D ．3%～4%之间10．如图，AOB 是直角三角形，90AOB ∠=，2OB OA =，点A 在反比例函数1y x =的图象上．若点B 在反比例函数k y x=的图象上，则k 的值为（）A ．2B ．-2C ．4D ．-4二、填空题 11．计算：tan45°=______.12．方程x 2=-x 的解是____________．13．线段2cm 、8cm 的比例中项为_____cm ．14．在实数范围内定义一种运算“﹡”，其规则为a ﹡b ＝a 2﹣b 2，根据这个规则，方程（x +1）﹡3＝0的解为_____．15．若关于x 的一元二次方程2210kx x ++=有两个实数根，则k 的取值范围是________．16．如图，在ABC ∆中，若DE BC ∥，12AD AB =，4DE cm =，则BC 的长为______cm .17．在正方形网格中，点A 、B 、C 在格点上，△ABC 的位置如图所示，则tan A 的值为_____．18．已知α，β是方程x 2+2017x +1＝0的两个根，则（α2+2018α+1）（β2+2018β+1）的值_____．三、解答题19．计算：（1+（10+4sin30°（2 20．解方程：(1)2(1)3(1)x x +=+；(2)23410x x +-=21．如图，D 是△ABC 的边AC 上的一点，连接BD ，已知∠ABD =∠C ，AB =6，AC =9．（1）试说明：△ABD ∽△ACB ；（2）求线段CD 的长．22．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝15，sin ∠A ＝35，求BC 的长和tan ∠B 的值．23．已知：△ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A （0，3）、B （3，4）、C （2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC 向下平移4个单位长度得到的△A 1B 1C 1，点C 1的坐标是；（2）以点B 为位似中心，在网格内画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且位似比为2：1，点C 2的坐标是；（3）△A 2B 2C 2的面积是平方单位．24．已知关于x 的方程（k ﹣1）x 2+（2k ﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2﹣4x+k=0与x 2+mx ﹣1=0有一个相同的根，求此时m 的值．25．问题：已知方程2x +x 1=0-，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y ，则y=2x ，所以y x=2把y x=2代入已知方程，得2y y +1=022⎛⎫- ⎪⎝⎭ 化简，得：2y +2y 4=0-故所求方程为2y +2y 4=0-这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化成一般形式）（1）已知方程2x +x 2=0-，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：；（2）已知关于x 的一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠有两个不等于零的实数根，求一个一元二方程，使它的根分别是已知方程的倒数．26．某宾馆拥有客房100间，经营中发现：每天入住的客房数y(间)与房价x(元)(180≤x≤300)满足一次函数关系，部分对应值如下表：(1)求y与x之间的函数表达式；(2)已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元；每间空置的客房，宾馆每日需支出各种费用60元．当房价为多少元时，宾馆当日利润最大？求出最大利润．(宾馆当日利润=当日房费收入-当日支出)27．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点．且满足AD＝AB，∠ADE ＝∠C．（1）求证：AB2＝AE•AC；（2）若D为BC中点，AE＝4，EC＝6，且tan B＝3，求△ABC的面积．28．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动．点P、Q分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为t秒．（1）当t＝2时，求线段PQ的长度；（2）当t为何值时，△PCQ的面积等于5cm2？（3）在P、Q运动过程中，在某一时刻，若将△PQC翻折，得到△EPQ，如图2，PE与AB能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．参考答案1．D【分析】根据一元二次方程定义即可解题.【详解】一元二次方程是指有一个未知数,并且未知数最高次数是2的整式方程.由此可以看出只有D 符合要求.【点睛】考查一元二次方程的概念,属于简单题.关键是熟悉一元二次方程的概念.2．B【解析】【分析】根据a 为方程230x x +-=的解，可以求得2a a +的值，从而可以求得题目中所求式子的值.【详解】a 为方程230x x +-=的解，∴230a a +-=，∴23a a +=，∴21314a a ++=+=.故选：B .【点睛】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程解的含义.3．C【分析】常数项移到方程的右边，再在两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得．【详解】解：∵2810x x --=，∴2816116x x -+=+，即2(4)17x -=，故选：C．【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的步骤和完全平方公式是解题的关键．4．D【分析】=，解首先设它的实际长度是xcm，然后根据比例尺的定义，即可得方程：1:800025:x此方程即可求得答案，注意统一单位.【详解】设它的实际长度是xcm，=，根据题意得：1:800025:xx=，解得：200000cm m=，2000002000∴它的实际长度为2000m.故选D.【点睛】此题考查了比例线段.此题难度不大，解题的关键是理解题意，根据比例尺的定义列方程，注意统一单位.5．C【解析】【分析】判定两个三角形相似，可用两个对应角相等，也可以是边长对应成比例，但必须夹角相等. 【详解】A、D中只有对应边成比例，角不确定，A、D错，B中B不是AB、AC的夹角，所以B错，C中对应边成比例，且夹角相等，所以C可判定其相似，C对.故选：C.【点睛】题中对应线段成比例，A、D中没有角的关系，而B中B不是AB、AC的夹角，做题时应注意.6．B【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可．【详解】解：设单位正方形的边长为1，．A、三角形三边分别是2，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；B、三角形三边2，4，B选项正确；C、三角形三边2，3C选项错误；D4，与给出的三角形的各边不成正比例，故D选项错误．故选：B．【点睛】此题考查了相似三角形的判定，注意三边对应成比例的两三角形相似．7．A【解析】【分析】根据相似三角形的判定和性质定理、正弦的定义判断即可．【详解】Rt△ABC的各边都扩大4倍,得到Rt△A′B′C′与Rt△ABC相似，∴∠A=A′，∴sinA′=sinA，故选：A.【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练的掌握锐角三角函数的定义与应用. 8．B【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设二、三月份每月的平均增长率为x，根据“计划二、三月份共生产450台”，即可列出方程.【详解】设二、三月份每月的平均增长率为x ，则二月份生产机器为：()1501x +，三月份生产机器为：()21501x +，又知二、三月份共生产450台，所以，可列方程：()()215011501450x x +++=.故选：B .【点睛】本题可根据增长率的一般规律找到关键描述语，列出方程，平均增长率问题，一般形式为()21a x b +=，a 为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量.9．B【解析】设平均每天涨x%，根据题意可得90%（1+x%）2 =1，解得x%≈5.4%．故选B ．点睛：本题考查一元二次方程的应用——增长率问题，这道题的关键在于理解：价格上涨x%后是原来价格的（1+x%）倍．10．D【分析】要求函数的解析式只要求出B 点的坐标就可以，过点A 、B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，分别于C 、D ，根据条件得到ACO ODB ~，得到：2BD OD OB OC AC OA===，然后用待定系数法即可.【详解】过点A 、B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，分别于C 、D ，设点A 的坐标是(),m n ，则AC n =，OC m =，90AOB ∠=︒，∴90AOC BOD ∠+∠=︒，90DBO BOD ∠+∠=︒，∴DBO AOC ∠=∠，90BDO ACO ∠=∠=︒，∴BDO OCA ~， ∴BD OD OB OC AC OA==， 2OB OA =，∴2BD m =，2OD n =，因为点A 在反比例函数1y x =的图象上，则1mn =，点B 在反比例函数k y x=的图象上，B 点的坐标是()2,2n m -， ∴2244k n m mn =-⋅=-=-.故选：D .【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式.11．1【解析】试题分析：tan45°=1．故答案为1．考点：特殊角的三角函数值．12．0或-1【解析】解：20x x +=，x （x +1）=0，∴x =0或x =-1．故答案为：0或-1．13．4【解析】设2和8的比例中项是x ，则：x 2=2×8，∴x=±4，比例中项是线段，应舍去负数，故线段2cm 与8cm 的比例中项为4cm ．14．x=2、-4【分析】先根据新定义得到()22130x +-=，再移项得()219x +=，然后利用直接开平方法求解.【详解】(x+1)﹡3＝0， ∴()22130x +-=，∴()219x +=， 13x +=±，所以2x =、4-.故答案为：2x =、4-.【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：如果方程化成2x p =的形式，那么可得x p =±，如果方程能化成()2nx m p +=（0p ≥）的形式，那么nx m p +=±.15．1k ≤且0k ≠【解析】【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b 2-4ac≥0，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围．还要注意二次项系数不为0．【详解】∵关于x 的一元二次方程kx 2+2x+1=0有两个实数根，∴△=b 2-4ac=4-4k≥0且k≠0，解得：k≤1且k≠0，故答案为k≤1且k≠0．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．16．8【分析】根据平行线证出三角形相似，得出对应边成比例，即可得出结果．【详解】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴12 DE AD BC AB==即412 BC=∴BC=8（cm）故答案是：8【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；根据平行线证出三角形相似是关键．17．1 3 .【分析】取格点D，连接CD，根据利用勾股定理可以求出CD、AD的长度，再根据正切函数的定义即可求出tan A的值．【详解】如图，取格点D，连接CD．∵∠DBC＝∠DCB＝45°，∴∠BDC＝90°∴CD⊥AB，由勾股定理得：CD，AD＝，∴tan A＝13 CDAD=．故答案为：13．【点睛】此题主要考查三角函数的求解，解题的关键是根据题意作出垂线进行求解.18．1．【分析】根据一元二次方程的解以及根与系数的关系即可得出α2+2017α＝﹣1、β2+2017β＝﹣1、αβ＝1，将（α2+2018α+1）（β2+2018β+1）转化为αβ代入数据即可得出结论．【详解】∵α、β是方程x2+2017x+1＝0的两根，∴α2+2017α＝﹣1，β2+2017β＝﹣1，αβ＝1，∴（α2+2018α+1）（β2+2018β+1）＝αβ＝1．故答案为：1．【点睛】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是根据题意得到两根之积的值.19．（1）+3；（2）1.【分析】（1）首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．（2）首先分别求出分子、分母的值各是多少；然后用分子除以分母即可．【详解】（1（1）0+4sin30°＝+1+4×1 2＝（2＝1【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知实数的性质.20．（1）x 1=-1，x 2=2；（2）12x x ==【解析】【分析】（1）利用提取公因式()1x +进行因式分解；（2）利用公式法求解即可.【详解】（1）()()21310x x +-+=， ()()1130x x ++-=，10x +=或130x +-=，解得11x =-，22x =.（2）23410x x +-=，3a =，4b =，1c =-，()224443128b ac =-=-⨯⨯-=，∴42233x --==⨯，∴123x -=，2x =. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法.21．（1）详见解析；（2）CD=5.【解析】试题分析：（1）根据已知角相等，再由公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得证；（2）由相似得比例，求出所求即可．试题解析：（1）证明：∵∠A=∠A，∠ABD=∠C，∴△ABD∽△ACB；（2）∵△ABD∽△ACB，∴AB：AC=AD：AB，即6：9=AD：6，解得：AD=4，∴CD=5．点睛：此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．22．BC＝9；tan∠B＝43．【分析】利用锐角三角函数的定义可得35BCAB=，再代入AB的值可得BC的值；再利用勾股定理计算出AC的长，然后再利用正切定义计算即可．【详解】∵sin∠A＝35，∴35 BCAB=，∵AB＝15，∴BC＝9；∴AC＝12，∴tan∠B＝12493 ACBC==.【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的应用. 23．（1）（2，﹣2）；（2）（1，0）；（3）10．【解析】试题分析：（1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标；（2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标；（3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积．试题解析：（1）如图所示：C1（2，﹣2）；故答案为（2，﹣2）；（2）如图所示：C2（1，0）；故答案为（1，0）；（3）∵=20，=20，=40，∴△A2B2C2是等腰直角三角形，∴△A2B2C2的面积是：××=10平方单位．故答案为10．考点：1、平移变换；2、位似变换；3、勾股定理的逆定理24．（1）k＜1312且k≠1时，方程有两个不相等的实数根；（2）m=154．【分析】（1）求出一元二次方程根的判别式，根据题意列出不等式，解不等式即可；（2）根据题意确定k的值，计算即可．【详解】（1）△=（2k﹣3）2﹣4×（k﹣1）（k+1）=4k2﹣12k+9﹣4k2+4=﹣12k+13，∵方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根，∴﹣12k+13＞0，解得：k＜1312，又k﹣1≠0，∴k＜1312且k≠1时，方程有两个不相等的实数根；（2）∵k是符合条件的最大整数，∴k=0，x2﹣4x=0，解得：x=0或4，①当x=0时，x2+mx﹣1=0无意义；②当x=4时，42+4m﹣1=0，解得：m=154 -．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．25．（1）y2－y－2=0（2）cy2+by+a=0（c≠0）【解析】解：（1）y2－y－2=0．（2）设所求方程的根为y，则1yx=（x≠0），于是1xy=（y≠0）．把1xy=代入方程2ax+bx+c=0，得211a+b+c=0y y⎛⎫⋅⋅⎪⎝⎭，去分母，得a+by+cy2=0．若c=0，有2ax+bx+c=0，可得有一个解为x=0，与已知不符，不符合题意．∴c≠0．∴所求方程为cy2+by+a=0（c≠0）．（1）设所求方程的根为y，则y=－x所以x=－y．把x=－y代入已知方程，得y2－y－2=0．（2）根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即得出所求的方程．26．（1）y=-0.5x＋190(180≤x≤300)；（2）当房价为210元时，宾馆当日利润最大，最大利润为8450元【解析】试题分析：（1）设一次函数表达式为y=kx+b（k≠0），由点的坐标（180，100）、（260，60）利用待定系数法即可求出该一次函数表达式；（2）设房价为x元（180≤x≤300）时，宾馆当日利润为w元，依据“宾馆当日利润=当日房费收入-当日支出”即可得出w关于x的二次函数关式，根据二次函数的性质即可解决最值问题．试题解析：(1)设一次函数的表达式为y=kx＋b，(k≠0),将(180，100)，(260，60)代入得：180100 26060k bk b+=⎧⎨+=⎩1，解得：0.5190 kb=-⎧⎨=⎩,∴y与x之间的函数表达式为：y=-0.5x＋190(180≤x≤300)．(2)设房价为x元(180⩽x⩽300)时，宾馆当日利润为w元，依题意得：w=y·x-100y-60(100-y)=x(-0.5x＋190)-100(-0.5x＋190)-60[100-(-0.5x＋190)]=-0.5x2＋210x－13600=-0.5(x-210)2＋8450，∴当x＝210时，w最大＝8450，答：当房价为210元时，宾馆当日利润最大，最大利润为8450元．27．（1）见解析；（2）S△ABC＝24【分析】（1）由题意可证△ADE∽△ACD，可得AD AEAC AD=，可得结论；（2）过点A作AH⊥BC，垂足为H，先求AB的长，由锐角三角函数可求AH，BH的长，即可求BD，BC的长，由三角形面积公式可求解．【详解】（1）∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD∴AD AE AC AD∵AB＝AD∴AB2＝AE•AC（2）过点A作AH⊥BC，垂足为H，∵AB2＝AE•AC∴AB＝在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，tan B＝3 ∴AH＝6，BH＝2∴BH＝DH＝2∴BD＝4∵D是中点∴BC＝8∴S△ABC＝12×BC×AH＝24【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意作出辅助线.28．（1）；（2）当t=1秒时，△PCQ的面积等于5cm2；（3）能垂直，理由见解析. 【详解】试题分析：（1）当t=2时，可求出CP，CQ的长，根据勾股定理即可求出线段即斜边PQ的长；（2）由三角形面积公式可建立关于t的方程，解方程求出t的值即可；（3）延长QE交AC于点D，若PE⊥AB，则QD∥AB，所以可得△CQD∽△CBA，由相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出DE=0.5t，易证△ABC∽△DPE，再由相似三角形的性质可得DE PEAC BC=，把已知数据代入即可求出t的值．解：（1）当t=2时，∵点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动，∴AP=2厘米，QC=4厘米，∴PC=4，在Rt△PQC中=（2）∵点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B 点以2厘米/秒的速度匀速移动，∴PC=AC﹣AP=6﹣t，CQ=2t，∴S△CPQ=CP•CQ=(6)252t t-⋅=，∴t2﹣6t+5=0解得t1=1，t2=5（不合题意，舍去）∴当t=1秒时，△PCQ的面积等于5cm2；（3）能垂直，理由如下：延长QE交AC于点D，∵将△PQC翻折，得到△EPQ，∴△QCP≌△QEP，∴∠C=∠QEP=90°，若PE⊥AB，则QD∥AB，∴△CQD∽△CBA，∴CQ QD BC AB=，∴2810t QD=，∴QD=2.5t，∵QC=QE=2t∴DE=0.5t易证△ABC∽△DPE，∴DE PE AC BC=∴0.5668t t-=，解得：t=185（0≤t≤4），综上可知：当t=185时，PE⊥AB．考点：相似形综合题．。

苏教九上数学10月月考试卷

第一学期阶段性检测九年级数学试题（时间：90分钟满分：140分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1、方程x 2=4x 的解是（ ▲ ）A ． 0B ．4C ． 0或﹣4D ． 0或42、要求设计4幅既是轴对称图形又是中心对称图形的图案，小明设计完成了下列4幅图案，其中符合要求的个数是（ ▲ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3、方程3x 2+4x ﹣2=0的根的情况是（ ▲ ）A ．两个不相等的实数根B ．两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定4、已知⊙O 的半径是6cm ，点O 到同一平面内直线l 的距离为5cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ▲ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法判断5、如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE 的大小是（ ▲ ）A ． 115°B ． l05°C ． 100°D ． 95°6、如图，⊙O 的半径为5，弦AB =8， M 是线段AB 上一个动点，则OM 的取值范围是（ ▲ ）A ．3≤OM ≤5B ．3≤OM ＜5C ．4≤OM ≤5D ．4≤OM ＜57、下列说法中，不正确的是（ ▲ ）A ．过圆心的弦是圆的直径B ．等弧的长度一定相等C ．周长相等的两个圆是等圆D ．同一条弦所对的两条弧一定是等弧8、如图，AD 、BC 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点P 从点O 出发，沿O →C →D →O 的路线匀速运动，设∠APB =y （单位：度），那么y 与点P 运动的时间x （单位：秒）的关系图是（ ▲ ）A OB M 第6题第5题第8题二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案填写在答题卡相应．．．．．位置．．上）9、一元二次方程3x(x－1)＝2(x＋2)化成一般形式为▲．10、请你写出一个有一根为1的一元二次方程：▲．11、如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠C=34°，则∠AOB的度数为▲ ．12、如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，已知AB=5，BC=3，则圆心O到弦BC的距离是▲．13、如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD．若∠A=25°，则∠C=▲度．14、直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆直径为▲．15、某药品原价每盒25元，经过两次连续降价后，售价每盒16元．则该药品平均每次降价的百分数是▲．16、若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，则6m+2n=▲．17、直角三角形的两直角边是3︰4，而斜边的长是15㎝，那么这个三角形的面积是▲ cm2．18、如图，每个正方形由边长为1的正方形组成，正方形中黑色、白色小正方形的排列规律如图所示，在边长为n（n≥1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，当偶数．．n= ▲时，P2=5P1．三、解答题（本大题共8小题，共计86分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出证明过程或演算步骤）19、（本题满分12分）（1）计算：120150)41()1(23-1-+---+）（；（2）解方程：（x+4）2=5（x+4）20、（本题满分8分）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作：（1）利用网格线．．．．．确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为▲；（2）利用网格线．．．．．过C点画出⊙D的切线。

江苏省苏州市吴江区实验初级中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试卷(含解析)

2023-2024学年江苏省苏州市吴江实验中学九年级第一学期月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．将一元二次方程3x2﹣1＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．3，5，﹣1B．3，5，1C．3，﹣5，﹣1D．3，﹣5，1 2．若关于x的方程x2﹣x+a＝0有实数根，则a的值可以是（）A．2B．5C．0.5D．0.253．用配方法将2x2﹣4x﹣3＝0变形，结果是（）A．2（x﹣1）2﹣4＝0B．C．D．（x﹣1）2﹣5＝04．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根5．下列说法中，正确的是（）A．相等的圆心角所对的弧相等B．相等的弧所对的圆周角相等C．三点确定一个圆D．三角形的内心到三角形各顶点的距离都相等6．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）A．点（0，3）B．点（2，3）C．点（5，1）D．点（6，1）7．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．80°C．100°D．130°8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，F是线段AC上一点，过点A的⊙F交AB 于点D，E是线段BC上一点，且ED＝EB，则EF的最小值为（）A．3B．2C．D．2二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．若关于x的方程（m﹣3）x|m|+2+2x﹣7＝0是一元二次方程，则m＝．10．若⊙O的直径是4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是．11．若关于x的一元二次方程x2+2ax+3b＝0的一个根为3，则2a+b＝．12．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为．13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝ °．14．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸（注：1尺＝10寸），则这块圆柱形木材的直径是寸．15．如图，在平面直角坐标系中，A（0，2），动点B、C从原点O同时出发，分别以每秒1个单位和每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，以点A为圆心，OB的长为半径画圆；以BC为一边，在x轴上方作等边△BCD．设运动的时间为t秒，当⊙A与△BCD的边BD所在直线相切时，t的值为．16．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，F是弦CD的中点，过点C作CE⊥AB于点E．若CD ＝5，AB＝6，当EF取得最大值时，CE的长度为．三、解答题（本大题共11小题，共82分）17．用适当的方法解下列方程：（1）（x﹣1）2﹣5＝0；（2）x（x+4）＝﹣3（x+4）；（3）2y2﹣5y+2＝0；（4）2m2﹣7m﹣3＝0．18．在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．（1）若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？（2）若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A 的半径r的取值范围是．19．已知关于x的方程x2+2x+3m﹣4＝0的一个根是2，求另一个根和m的值．20．已知3x2﹣2x﹣3＝0，求（x﹣1）2+x（x+）的值．21．已知：关于x的一元二次方程kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝0，其中k是整数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2，若x1，x2是斜边长为的直角三角形的两直角边，求k的值；22．“杂交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．23．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且＝，连接CD，交AB于点E，连接BC，BD．（1）若∠AOD＝130°，求∠BEC的度数；（2）∠ABD的平分线交CD于点F，求证：BC＝CF．24．【观察思考】：某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块Q 在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH＝8分米，PQ＝6分米，OP＝4分米．【解决问题】：（1）点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是分米；（2）如图3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？（3）：①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是分米；②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积的最大值．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC边于点D，交AC边于点E．过点D作⊙O的切线，交AC于点F，交AB的延长线于点G，连接DE．（1）求证：BD＝CD；（2）若∠G＝40°，求∠AED的度数．（3）若BG＝6，CF＝2，求⊙O的半径．26．阅读材料：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式；求解二元一次方程组，把它转化为元一次方程来解；求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验，遇到实际问题，还要考虑是否符合题意．以上解决新问题时，都用到了一个基本数学思想——转化，即把未学过的知识转化为已经学过的知识，从而找到解决问题的办法，也是同学们要掌握的数学素养．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．（1）问题：方程6x3+14x2﹣12x＝0的解是：x1＝0，x2＝，x3＝；（2）拓展：用“转化”思想求方程＝x的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝21m，宽AB＝8m，点P在AD上（AP＞PD），小华把一根长为27m的绳子一段固定在点B，把长绳PB段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求AP的长．27．定义：在等腰三角形中，若有一条边是另一条边的2倍，则称这个三角形为倍腰三角形．理解定义：若有一个倍腰三角形有一条边为2，求这个倍腰三角形的周长；性质探究：判断下列关于倍腰三角形的说法是否正确，正确的打“√”；错误的打“×”；（1）所有的倍腰三角形都是相似三角形（2）若倍腰三角形的底角为α，则tanα＝（3）如图1，依次连接倍腰三角形ABC各边的中点，则图1中共有4个倍腰三角形性质应用：如图2，倍腰三角形△ABC是⊙O的内接三角形，且AB＝AC，若⊙O的半径为1，求倍腰三角形△ABC的面积；拓展应用：如图3，⊙O是倍腰三角形△ABC的外接圆，直径BH⊥AF于点D，AF与BC相交于点E，AC与BH相交于点G，△ABE是倍腰三角形，其中AB＝AE，BE＝2．请直接写出CG的长．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．将一元二次方程3x2﹣1＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．3，5，﹣1B．3，5，1C．3，﹣5，﹣1D．3，﹣5，1【分析】先把方程化为一般式为3x2﹣5x﹣1＝0，然后确定二次项系数、一次项系数和常数项．解：方程化为一般式为3x2﹣5x﹣1＝0，所以二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，﹣5，﹣1．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的一般式，要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．2．若关于x的方程x2﹣x+a＝0有实数根，则a的值可以是（）A．2B．5C．0.5D．0.25【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于a的一元二次不等式，解之即可得出a的取值范围，再结合四个选项即可得出结论．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+a＝0有实数根，∴Δ＝（﹣1）2﹣4a≥0，解得：a≤，观察选项只有D选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”是解题的关键．3．用配方法将2x2﹣4x﹣3＝0变形，结果是（）A．2（x﹣1）2﹣4＝0B．C．D．（x﹣1）2﹣5＝0【分析】先将二次项系数化1，再方程的左边加和减一次项系数一半的平方，最后写成完全平方式即可．解：二次项系数化1，得，加一次项系数一半的平方，得，整理，得．故选：C．【点评】本题主要考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．4．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】先求出△的值，再根据Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ＝0⇔方程有两个相等的实数；Δ＜0⇔方程没有实数根，进行判断即可．解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．5．下列说法中，正确的是（）A．相等的圆心角所对的弧相等B．相等的弧所对的圆周角相等C．三点确定一个圆D．三角形的内心到三角形各顶点的距离都相等【分析】逐一分析每个选项即可．解：同圆或等圆，相等的圆心角所对的弧才相等，故选项A不符合题意；相等的弧所对的圆周角相等，故选项B符合题意；平面内，不共线的三点才能确定一个圆，故选项C不符合题意；三角形的内心到三角形各顶点的距离不一定相等，故选项D不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了圆的相关知识点，熟练掌握圆的性质定理是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可．6．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）A．点（0，3）B．点（2，3）C．点（5，1）D．点（6，1）【分析】根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，∠OBD+∠EBF ＝90°时F点的位置即可．解：连接AC，作AC，AB的垂直平分线，交格点于点O′，则点O′就是所在圆的圆心，∴三点组成的圆的圆心为：O′（2，0），∵只有∠O′BD+∠EBF＝90°时，BF与圆相切，∴当△BO′D≌△FBE时，∴EF＝BD＝2，F点的坐标为：（5，1），∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）．故选：C．【点评】此题主要考查了切线的性质以及垂径定理和坐标与图形的性质，得出△BOD≌△FBE时，EF＝BD＝2，即得出F点的坐标是解决问题的关键．7．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．80°C．100°D．130°【分析】首先根据圆周角与圆心角的关系，求出∠BAD的度数；然后根据圆内接四边形的对角互补，用180°减去∠BAD的度数，求出∠BCD的度数是多少即可．解：∵∠BOD＝100°，∴∠BAD＝100°÷2＝50°，∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝180°﹣50°＝130°故选：D．【点评】（1）此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，要熟练掌握．（2）此题还考查了圆内接四边形的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，F是线段AC上一点，过点A的⊙F交AB 于点D，E是线段BC上一点，且ED＝EB，则EF的最小值为（）A．3B．2C．D．2【分析】作FG⊥AB于G，EH⊥AB于H，FM⊥EH于M，则FM＝GH，由垂径定理得到AG＝DG＝AD，由等腰三角形三线合一﹣得到DH＝HB＝DB，从而得到GH＝DG+DH＝AB＝2，即FM＝2，再由EF≥FM，即可得到结论．解：作FG⊥AB于G，EH⊥AB于H，FM⊥EH于M，则四边形FGHM是矩形，FM＝GH，∵FG⊥AB，∴AG＝DG＝AD，∵ED＝EB，EH⊥AB∴DH＝HB＝DB，∴GH＝DG+DH＝AD+DB＝AB＝2∴FM＝2，∵EF≥FM，∴EF的最小值为2．故选：B．【点评】本题考查了线段的最小值，熟练掌握直角三角形的中线定理与矩形的判定等是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．若关于x的方程（m﹣3）x|m|+2+2x﹣7＝0是一元二次方程，则m＝　0　．【分析】根据一元二次方程的定义可得：|m|+2＝2，且m﹣3≠0，再解即可．解：由题意得：|m|+2＝2，且m﹣3≠0，解得：m＝0，故答案为：0．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．10．若⊙O的直径是4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是　相离　．【分析】先求出⊙O的半径，再根据圆心O到直线l的距离为3即可得出结论．解：∵⊙O的直径是4，∴⊙O的半径r＝2，∵圆心O到直线l的距离为3，3＞2，∴直线l与⊙O相离．故答案为：相离．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，d＞r时，圆和直线相离；d＝r时，圆和直线相切；d＜r时，圆和直线相交．11．若关于x的一元二次方程x2+2ax+3b＝0的一个根为3，则2a+b＝　﹣3　．【分析】把x＝3代入原方程得9+6a+3b＝0，然后2a+b的值．解：把x＝3代入方程x2+2ax+3b＝0，得9+6a+3b＝0，所以2a+b＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．12．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为　12　．【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．解：解方程x2﹣12x+35＝0，得x1＝5，x2＝7，∵1＜第三边＜7，∴第三边长为5，∴周长为3+4+5＝12．【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论．13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝　62　°．【分析】如图，连接BC，证明∠ACB＝90°，求出∠ABC，可得结论．解：如图，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝62°，∴∠D＝∠ABC＝62°，故答案为：62．【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．14．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸（注：1尺＝10寸），则这块圆柱形木材的直径是　26　寸．【分析】线段OC垂直且平分线段AB，在Rt△ADO中，OD的长为（R﹣1）寸．解：1尺＝10寸．根据题意可得AD＝AB＝5（寸）．设圆O的半径为R，（R﹣1）2+52＝R2，∴R＝13寸，∴这块圆柱形木材的直径是：13×2＝26（寸）．故答案为：26．【点评】此题考查的是垂径定理及勾股定理的应用，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．15．如图，在平面直角坐标系中，A（0，2），动点B、C从原点O同时出发，分别以每秒1个单位和每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，以点A为圆心，OB的长为半径画圆；以BC为一边，在x轴上方作等边△BCD．设运动的时间为t秒，当⊙A与△BCD的边BD所在直线相切时，t的值为　4+6　．【分析】作AH⊥BD于H，延长DB交y轴于E，如图，利用切线的性质得AH＝OB＝t，再利用等边三角形的性质得∠DBC＝60°，则∠OBE＝60°，所以OE＝OB＝t，AE＝2AH＝2t，从而得到2+t＝2t，然后解关于t的方程即可．解：作AH⊥BD于H，延长DB交y轴于E，如图，∵⊙A与△BCD的边BD所在直线相切，∴AH＝OB＝t，∵△BCD为等边三角形，∴∠DBC＝60°，∴∠OBE＝60°，∴∠OEB＝30°，在Rt△OBE中，OE＝OB＝t，在Rt△AHE中，AE＝2AH＝2t，∵A（0，2），∴OA＝2，∴2+t＝2t，∴t＝4+6．故答案为：4+6．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了等边三角形的性质．16．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，F是弦CD的中点，过点C作CE⊥AB于点E．若CD ＝5，AB＝6，当EF取得最大值时，CE的长度为．【分析】如图，延长CE交⊙O于H，连接DH．由三角形的中位线定理可知DH＝2EF，推出DH是直径时，EF的值最大．解：如图，延长CE交⊙O于H，连接DH．∵AB⊥CH，∴EC＝EH，∵CF＝FD，∴EF＝DH，∴当DH在直径时，EF的值最大，此时∠DCH＝90°，∴CH＝＝＝，∴CE＝，∴EF最大时，EC的长为，故答案为．【点评】本题考查圆周角定理，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共11小题，共82分）17．用适当的方法解下列方程：（1）（x﹣1）2﹣5＝0；（2）x（x+4）＝﹣3（x+4）；（3）2y2﹣5y+2＝0；（4）2m2﹣7m﹣3＝0．【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可；（3）利用因式分解法求解即可；（4）利用公式法求解即可．解：（1）（x﹣1）2﹣5＝0，（x﹣1）2＝5，∴x﹣1＝，∴x1＝1+，x2＝1﹣．（2）x（x+4）＝﹣3（x+4），x（x+4）+3（x+4）＝0，（x+4）（x+3）＝0，∴x+4＝0或x+3＝0，∴x1＝﹣4，x2＝﹣3；（3）2y2﹣5y+2＝0，（2y﹣1）（y﹣2）＝0，∴2y﹣1＝0或y﹣2＝0，∴y1＝，y2＝2；（4）2m2﹣7m﹣3＝0，这里a＝2，b＝﹣7，c＝﹣3，∴Δ＝（﹣7）2﹣4×2×（﹣3）＝49+24＝73＞0，∴m＝＝，∴m1＝，m2＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．18．在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．（1）若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？（2）若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A 的半径r的取值范围是　6cm＜r＜10cm　．【分析】（1）根据勾股定理求出AC的长，进而得出点B，C，D与⊙A的位置关系；（2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围．解：（1）如图，连接AC，∵AB＝6cm，AD＝8cm，∴AC＝10cm，∵⊙A的半径为6cm长，∴点B在⊙A上，点C在⊙A外，点D在⊙A外；（2）∵以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，∴⊙A的半径r的取值范围是6cm＜r＜10cm．故答案为：6cm＜r＜10cm．【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系．19．已知关于x的方程x2+2x+3m﹣4＝0的一个根是2，求另一个根和m的值．【分析】先把x＝2代入方程得m＝﹣，则方程化为x2+2x﹣8＝0，设方程的另一根为x2，利用根与系数的关系得到2+x2＝﹣2，然后求出t即可．解：把x＝2代入方程得4+4+3m﹣4＝0，解得m＝﹣，方程化为x2+2x﹣8＝0，设方程的另一根为x2，则2+x2＝﹣2，解得x2＝﹣4，即方程的另一个根为﹣4，m的值为﹣．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了一元二次方程的解的定义．20．已知3x2﹣2x﹣3＝0，求（x﹣1）2+x（x+）的值．【分析】直接利用整式的混合运算法则化简，进而合并同类项，再结合已知代入得出答案．解：原式＝x2﹣2x+1+x2+x＝2x2﹣x+1，∵3x2﹣2x﹣3＝0，∴x2﹣x＝1，∴原式＝2（x2﹣x）+1＝2×1+1＝3．【点评】此题主要考查了代数式求值，正确将原式变形是解题关键．21．已知：关于x的一元二次方程kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝0，其中k是整数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2，若x1，x2是斜边长为的直角三角形的两直角边，求k的值；【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到k≠0，再计算出判别式得到Δ＝（2k﹣1）2，根据k为整数和非负数的性质得到Δ＞0，则根据判别式的意义即可得到结论；（2）根据根与系数的关系得x1+x2，x1•x2，则根据完全平方公式变形得（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2，由于k为整数，则2﹣＞0，于是得到结论．【解答】（1）证明：根据题意得k≠0，∵Δ＝（4k+1）2﹣4k（3k+3）＝4k2﹣4k+1＝（2k﹣1）2，而k为整数，∴2k﹣1≠0，∴（2k﹣1）2＞0，即Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝0的两个实数根分别为x1，x2，∵x1+x2＝，x1•x2＝，∵k直角三角形的两直角边，∴+＝，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝，∴（）2﹣2×＝，∴k＝2或k＝﹣（不合题意舍去），∴k＝2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了一元二次方程的根的判别式．22．“杂交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．【分析】（1）设亩产量的平均增长率为x，根据第三阶段水稻亩产量＝第一阶段水稻亩产量×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）利用第四阶段水稻亩产量＝第三阶段水稻亩产量×（1+增长率），可求出第四阶段水稻亩产量，将其与1200公斤比较后即可得出结论．解：（1）设亩产量的平均增长率为x，依题意得：700（1+x）2＝1008，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：亩产量的平均增长率为20%．（2）1008×（1+20%）＝1209.6（公斤）．∵1209.6＞1200，∴他们的目标能实现．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且＝，连接CD，交AB于点E，连接BC，BD．（1）若∠AOD＝130°，求∠BEC的度数；（2）∠ABD的平分线交CD于点F，求证：BC＝CF．【分析】（1）连接AC，求出∠A＝∠ABC＝45°，由三角形外角的性质可得出答案；（2）由角平分线的定义得出∠EBF＝∠DBF，由圆周角定理得出∠ABC＝∠CDB，证得∠CBF＝∠CFB，则可得出结论．解：（1）连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵＝，∴∠A＝∠ABC＝45°，∵∠AOD＝130°，∴∠ACD＝65°，∵∠BEC是△ACE的外角，∴∠BEC＝∠A+∠ACD＝110°．（2）证明：∵BF平分∠ABD，∴∠EBF＝∠DBF，∵，∴∠ABC＝∠CDB，又∵∠CFB＝∠FBD+∠FDB，∠CBF＝∠ABC+∠EBF，∴∠CBF＝∠CFB，∴CF＝BC．【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．24．【观察思考】：某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块Q 在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH＝8分米，PQ＝6分米，OP＝4分米．【解决问题】：（1）点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是　12　分米；（2）如图3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？（3）：①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是　6　分米；②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积的最大值．【分析】（1）当O、P、Q在同一条直线上时，点Q与点O的距离最大，根据勾股定理求出HQ＝6分米，利用对称性，即可求出滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离；（2）当点Q滑动到点H的位置时，OP＝4分米，PQ＝6分米，OQ＝8分米，利用OP、PQ、OQ是否满足勾股定理，来判断PQ与⊙O是否相切；（3）①当点P到l的距离最大时，PQ⊥l，结合PQ的长即可得到答案；②当点P的l的距离最大时，OP将不再向下转动，设点P在右侧的最远位置为P，在左侧的最远位置为P′，连接P′P交OH于点D，易求得OD＝2分米，利用锐角三角函数可得cos∠DOP＝，得到∠DOP＝60°，则∠POP′＝120°，再利用扇形的面积公式计算即可．解：（1）当O、P、Q在同一条直线上时，点Q与点O的距离最大，此时，OQ＝OP+PQ＝4+6＝10（分米），点Q滑动到最左端时，在Rt△OHQ中，由勾股定理得HQ＝＝＝6（分米），同理可得：点Q滑动到最右端时，HQ＝6分米，∴点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是2HQ＝2×6＝12（分米）；故答案为：12；（2）不对，理由如下：当点Q滑动到点H的位置时，OP＝4分米，PQ＝6分米，OQ＝8分米，∵OP2+PQ2＝42+62＝52，OQ2＝82＝64，∴OQ2≠OP2+PQ2，即△OPQ不是直角三角形，则OP不与PQ垂直，∴PQ与⊙O不相切；（3）①∵PQ的长度固定，为6分米，∴当PQ⊥l时，点P到到l的距离最大，为6分米；故答案为：6；②由①知，在⊙O上存在点P的l的最大距离为6分米，此时，OP将不再向下转动，设点P在右侧的最远位置为P，在左侧的最远位置为P′，如图，连接P′P交OH于点D，∴OP在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是POP′，∵P′Q′⊥l，PQ⊥l，P′Q′＝PQ＝6分米，∴四边形PQQ′P′为矩形，∴QQ′∥PP′，∵OH⊥QQ′，∴OD⊥PP′，∴PD＝P′D，∵OD＝OH﹣DH＝8﹣6＝2（分米），在Rt△POD中，cos∠DOP＝＝＝，∴∠DOP＝60°，∴∠POP′＝120°，∴S扇形POP′＝＝（平方分米），即扇形面积的最大值平方分米．【点评】本题主要考查勾股定理、切线的判定、矩形的判定与性质、垂径定理、扇形的面积公式、解直角三角形，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC边于点D，交AC边于点E．过点D作⊙O的切线，交AC于点F，交AB的延长线于点G，连接DE．（1）求证：BD＝CD；（2）若∠G＝40°，求∠AED的度数．（3）若BG＝6，CF＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理得出AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得出即可；（2）连接OD，根据切线的性质求出∠ODG＝90°，求出∠BOD、∠ABC，根据圆内接四边形求出即可；（3）求出△ODG∽△AFG，得出比例式，即可求出圆的半径．【解答】（1）证明：连接AD，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD；（2）解：连接OD，∵GF是切线，OD是半径，∴OD⊥GF，∴∠ODG＝90°，∵∠G＝40°，∴∠GOD＝50°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝65°，∵点A、B、D、E都在⊙O上，∴∠ABD+∠AED＝180°，∴∠AED＝115°；（3）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∴△GOD∽△GAF，∴＝，∴设⊙O的半径是r，则AB＝AC＝2r，∴AF＝2r﹣2，∴＝，∴r＝3，即⊙O的半径是3．【点评】本题考查了切线的性质，圆内接四边形，相似三角形的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．26．阅读材料：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式；求解二元一次方程组，把它转化为元一次方程来解；求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解；。

九年级数学上学期10月月考试题(含解析)苏科版

2015-2016学年江苏省泰州市靖江市马桥中学九年级（上）月考数学试卷一、选择题（本题共有6小题，每小题3分，共18分．）1．下列各组数中，成比例的是（）A．﹣7，﹣5，14，5 B．﹣6，﹣8，3，4 C．3，5，9，12 D．2，3，6，122．在△ABC中，（tanA﹣）2+|﹣cosB|=0，则∠C的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．75°3．下列关于x的方程中一定有实数根的是（）A．x2﹣x+2=0 B．x2+x﹣2=0 C．x2+x+2=0 D．x2+1=04．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶（）A．0.5m B．0.55m C．0.6m D．2.2m5．某饲料厂一月份生产饲料500吨，三月份生产饲料720吨，若二、三月份每月平均增长的百分率为x，则有（）A．500（1+x2）=720 B．500（1+x）2=720 C．500（1+2x）=720 D．720（1+x）2=5006．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT=（）A．B．2 C．2 D．1二、填空题（本题共有10小题，每小题3分，共30分．）7．如果=，那么的值为___________．8．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，b=5，则∠A=___________．9．在一张比例尺为1：50000的地图上，如果一块多边形地的面积是320cm2，那么这块地的实际面积是___________cm2（用科学记数法表示）．10．已知（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，则a2+b2=___________．11．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x﹣1=0有实数根，则m的取值范围是___________．12．如图，已知两点A（6，3），B（6，0），以原点O为位似中心，相似比为1：3把线段AB缩小，则点A的对应点坐标是___________．13．已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=___________．14．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是___________．15．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿直线AD折叠后，点C落在E处，连接BE，若BE=4，则BC长=___________．16．如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在CB，CD上滑动，当CM=___________时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似．三、解答题（本大题共有10小题，共102分）17．①计算：（）﹣1﹣4sin60°++（3﹣π）0；②解方程：2x2﹣4x=1（用配方法）18．先化简，再求值：，其中a满足方程a2+4a+1=0．19．关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0．（1）求出方程的根；（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？20．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．（1）点A的坐标为___________，点C的坐标为___________．（2）将△ABC向左平移7个单位，请画出平移后的△A1B1C1．若M为△ABC内的一点，其坐标为（a，b），则平移后点M的对应点M1的坐标为___________．（3）以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△A2B2C2与△ABC对应边的比为1：2．请在网格内画出△A2B2C2，并写出点A2的坐标：___________．22．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？23．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨2元，月销售量就减少20kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．（2）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？24．如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q．（1）求证：△APQ∽△CDQ；（2）P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．①当t为何值时，DP⊥AC？②设S△APQ+S△DCQ=y，写出y与t之间的函数解析式，并探究P点运动到第几秒到第几秒之间时，y取得最小值．25．如图，在直角梯形OABC中，BC∥AO，∠AOC=90°，点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），点D为AB上一点，且BD=2AD，双曲线y=（k＞0）经过点D，交BC于点E．（1）求双曲线的解析式；（2）求四边形ODBE的面积．26．在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N．动点P从点B出发沿射线BA以每秒厘米的速度运动．同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ⊥MP设运动时间为t秒（t＞0）．（1）△PBM与△QNM相似吗？以图1为例说明理由；（2）探求BP2，PQ2，CQ2三者之间的数量关系，以图1为例说明理由．2015-2016学年江苏省泰州市靖江市马桥中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题（本题共有6小题，每小题3分，共18分．）1．下列各组数中，成比例的是（）A．﹣7，﹣5，14，5 B．﹣6，﹣8，3，4 C．3，5，9，12 D．2，3，6，12【考点】比例的性质．【专题】计算题．【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．【解答】解：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．答案中，只有B中，3×（﹣8）=﹣6×4，故选B．【点评】理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．本题要用绝对值最小的和最大的相乘，另外两条相乘．2．在△ABC中，（tanA﹣）2+|﹣cosB|=0，则∠C的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．75°【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．【分析】先根据非负数的性质求出tanA及cosB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的值，根据三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵（tanA﹣）2+|﹣cosB|=0，∴tanA﹣=0，﹣cosB=0，∴tanA=，cosB=，∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=75°，故选B．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．3．下列关于x的方程中一定有实数根的是（）A．x2﹣x+2=0 B．x2+x﹣2=0 C．x2+x+2=0 D．x2+1=0【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】根据根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以判断下列方程有无实数解．【解答】解：A、△=1﹣8=﹣7＜0，所以没有实数解，故本选项错误；B、△=1+8=9＞0，所以有实数解，故本选项正确；C、△=1﹣8=﹣7＜0，原方程没有实数解；故本选项错误；D、△=0﹣4=﹣4＜0，原方程有实数解，故本选项正确．故选B．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＜0，方程有两个相等的实数根；当△=0，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义．4．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶（）A．0.5m B．0.55m C．0.6m D．2.2m【考点】相似三角形的应用；比例的性质．【专题】应用题．【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．【解答】解：设小刚举起的手臂超出头顶是xm根据同一时刻物高与影长成比例，得，x=0.5．故选：A．【点评】能够根据同一时刻物高与影长成比例，列出正确的比例式，然后根据比例的基本性质进行求解．5．某饲料厂一月份生产饲料500吨，三月份生产饲料720吨，若二、三月份每月平均增长的百分率为x，则有（）A．500（1+x2）=720 B．500（1+x）2=720 C．500（1+2x）=720 D．720（1+x）2=500【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】由于某饲料厂一月份生产饲料500吨，三月份生产饲料720吨，若二、三月份每月平均增长的百分率为x，那么二、三月份分别生产500（1+x）吨、500（1+x）2，由此即可列出方程．【解答】解：依题意得500（1+x ）2=720．故选B ．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，是增长率的问题，解题的关键利用了增长率的公式a （1+x ）2=b ．6．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD 和CEFG 并排放在一起，连结BD 并延长交EG 于点T ，交FG 于点P ，则GT=（）A ．B ．2C ．2D ．1【考点】正方形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=∠CGE=45°，再求出∠GDT=45°，从而得到△DGT是等腰直角三角形，根据正方形的边长求出DG ，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍求解即可．【解答】解：∵BD 、GE 分别是正方形ABCD ，正方形CEFG 的对角线，∴∠ADB=∠CGE=45°，∴∠GDT=180°﹣90°﹣45°=45°，∴∠DTG=180°﹣∠GDT ﹣∠CGE=180°﹣45°﹣45°=90°，∴△DGT 是等腰直角三角形，∵两正方形的边长分别为4，8，∴DG=8﹣4=4，∴GT=×4=2．故选B ．【点评】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等腰直角三角形的判定与性质．二、填空题（本题共有10小题，每小题3分，共30分．）7．如果=，那么的值为．【考点】比例的性质．【分析】根据两內项之积等于两外项之积列式整理即可得解．【解答】解：∵ =，∴5x=3（x+y），∴2x=3y，∴=．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，熟记两內项之积等于两外项之积是解题的关键．8．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，b=5，则∠A= 30°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】直接根据特殊角的三角函数值即可得出结论．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，b=5，∴tan∠A==，∴∠A=30°．故答案为：30°．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．9．在一张比例尺为1：50000的地图上，如果一块多边形地的面积是320cm2，那么这块地的实际面积是8×1011cm2（用科学记数法表示）．【考点】比例线段．【分析】相似多边形的面积之比等于相似比的平方，据此求解，注意单位．【解答】解：设这个地区的实际面积是xcm2，由题意得，320：x=（1：50000）2，解得，x=8×1011，故答案是：8×1011【点评】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．10．已知（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，则a2+b2= 3 ．【考点】换元法解一元二次方程．【分析】将a2+b2看作一个整体，然后用未知数表示出a2+b2，通过解所得的一元二次方程即可求出a2+b2的值．【解答】解：设a2+b2=x，则有：x2﹣x﹣6=0，解得x1=3，x2=﹣2；由于a2+b2≥0，故a2+b2=x1=3．【点评】换元法就是解题过程中把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．11．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x﹣1=0有实数根，则m的取值范围是m≥且m≠1．【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】根据一元二次方程的定义以及△的意义得到m﹣1≠0且△≥0，即12﹣4（m﹣1）×（﹣1）≥0，然后解两个不等式求出它们的公共部分即可得到m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x﹣1=0有实数根，∴m﹣1≠0且△≥0，即12﹣4（m﹣1）×（﹣1）≥0，∴m≥且m≠1．故答案为m≥且m≠1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个，相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．12．如图，已知两点A（6，3），B（6，0），以原点O为位似中心，相似比为1：3把线段AB缩小，则点A的对应点坐标是（2，1）或（﹣2，﹣1）．【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】易得线段AB垂直于x轴，根据所给相似比把各坐标都除以3或﹣3即可．【解答】解：如图所示：∵A（6，3），B（6，0）两点，以坐标原点O为位似中心，相似比为，∴A′、A″的坐标分别是A′（2，1），A″（（﹣2，﹣1）．故答案为：（2，1）或（﹣2，﹣1）．【点评】此题主要考查了位似图形变换，用到的知识点为：各点到位似中心的距离比也等于相似比．13．已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n= 8 ．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【专题】常规题型．【分析】根据m+n=﹣=﹣2，m•n=﹣5，直接求出m、n即可解题．【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，∴mn=﹣5，m+n=﹣2，∵m2+2m﹣5=0∴m2=5﹣2mm2﹣mn+3m+n=（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n=10+m+n=10﹣2=8故答案为：8．【点评】此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m和n的值是解决问题的关键．14．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是 2 ．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．【专题】几何图形问题．【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP=1：3，即可得PF：CF=PF：BF=1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案．【解答】解：如图，连接BE，∵四边形BCED是正方形，∴DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BE⊥CD，∴BF=CF，根据题意得：AC∥BD，∴△ACP∽△BDP，∴DP：CP=BD：AC=1：3，∴DP：DF=1：2，∴DP=PF=CF=BF，在Rt△PBF中，tan∠BPF==2，∵∠APD=∠BPF，∴tan∠APD=2．故答案为：2．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．15．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿直线AD折叠后，点C落在E处，连接BE，若BE=4，则BC长= 4．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据题意可知DE为BC的垂直平分线，由翻折的性质可知：CD=DE，故此BD=DE，在Rt△BDE中，利用特殊锐角三角函数值可求得BD的长，然后可求得BC的长．【解答】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD．由翻折的性质可知：∠EDA=∠ADC=45°，CD=DE．∴∠BDE=90°，BD=DE．∴BD=sin45°BE==2．∴BC=2BD=2×2=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查的是翻折的性质、证得△BDE为等腰直角三角形的是解题的关键．16．如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在CB，CD上滑动，当CM= 或时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】动点型．【分析】根据题意不难确定Rt△AED的两直角边AD=2AE．再根据相似的性质及变化，可考虑Rt△MCN的两直角边MC、NC间的关系满足是或2倍．求得CM的长．【解答】解：设CM的长为x．在Rt△MNC中∵MN=1，∴NC=，①当Rt△AED∽Rt△CMN时，则，即，解得x=或x=（不合题意，舍去），②当Rt△AED∽Rt△CNM时，则，即，解得x=或（不合题意，舍去），综上所述，当CM=或时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似．故答案为：或．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质．解决本题特别要考虑到①当Rt△AED∽Rt△CMN时②当Rt△AED∽Rt△CNM时这两种情况．三、解答题（本大题共有10小题，共102分）17．①计算：（）﹣1﹣4sin60°++（3﹣π）0；②解方程：2x2﹣4x=1（用配方法）【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解一元二次方程-配方法；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】①原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项化为最简二次根式，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果；②方程整理后，利用完全平方公式配方后，开方即可求出解．【解答】解：①原式=2﹣4×+3+1=3+；②方程整理得：x2﹣2x=，配方得：x2﹣2x+1=，即（x﹣1）2=，开方得：x﹣1=±，解得：x1=1+，x2=1﹣．【点评】此题考查了实数的运算，以及解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．先化简，再求值：，其中a满足方程a2+4a+1=0．【考点】分式的化简求值．【专题】计算题．【分析】把原式括号里的第二项提取﹣1，然后把原式的各项分子分母都分解因式，找出括号里两项分母的最简公分母，利用分式的基本性质对括号里两项进行通分，然后利用同分母分式的减法运算法则：分母不变，只把分子相减，计算出结果，然后利用分式的除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，变形为乘法运算，约分后即可把原式化为最简分式，把a满足的方程变形后，代入原式化简后的式子中即可求出值．【解答】解：原式=====，（6分）∵a2+4a+1=0，∴a2+4a=﹣1，∴原式=．（10分）【点评】此题考查了分式的混合运算，以及多项式的运算．分式的化简求值题，应先对原式的分子分母分解因式，在分式的化简运算中，要通观全局，弄清有哪些运算，然后观察能否用法则，定律，分解因式及公式来简化运算，同时注意运算的结果要化到最简，然后再代值计算．19．（10分）（2013•南充）关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0．（1）求出方程的根；（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？【考点】解一元二次方程-公式法；一元二次方程的解．【分析】（1）利用求根公式x=解方程；（2）利用（1）中x的值来确定m的值．【解答】解：（1）根据题意，得m≠1．∵a=m﹣1，b=﹣2m，c=m+1，∴△=b2﹣4ac=（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）=4，则x1==，x2=1；（2）由（1）知，x1==1+，∵方程的两个根都为正整数，∴是正整数，∴m﹣1=1或m﹣1=2，解得m=2或3．即m为2或3时，此方程的两个根都为正整数．【点评】本题考查了公式法解一元二次方程．要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解．20．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．【考点】解直角三角形．【专题】计算题．【分析】根据tan∠BAD=，求得BD的长，在直角△ACD中由勾股定理得AC，然后利用正弦的定义求解．【解答】解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD==，∴BD=AD•tan∠BAD=12×=9，∴CD=BC﹣BD=14﹣9=5，∴AC===13，∴sinC==．【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．（1）点A的坐标为（2，8），点C的坐标为（6，6）．（2）将△ABC向左平移7个单位，请画出平移后的△A1B1C1．若M为△ABC内的一点，其坐标为（a，b），则平移后点M的对应点M1的坐标为（a﹣7，b）．（3）以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△A2B2C2与△ABC对应边的比为1：2．请在网格内画出△A2B2C2，并写出点A2的坐标：（1，4）或（﹣1，﹣4）．【考点】作图-位似变换；点的坐标；坐标与图形变化-平移．【专题】作图题．【分析】（1）直接根据图形即可写出点A和C的坐标；（2）找出三角形平移后各顶点的对应点，然后顺次连接即可；根据平移的规律即可写出点M平移后的坐标；（3）根据位似变换的要求，找出变换后的对应点，然后顺次连接各点即可，注意有两种情况．【解答】解：（1）A点坐标为：（2，8），C点坐标为：（6，6）；（2）所画图形如下所示，其中△A1B1C1即为所求，根据平移规律：左平移7个单位，可知M1的坐标（a﹣7，b）；（3）所画图形如下所示，其中△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为（1，4）或（﹣1，﹣4）．【点评】本题考查了旋转变换和位似变换后图形的画法，解题关键是根据变换要求找出变换后的对应点，难度一般．22．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？【考点】相似三角形的应用．【专题】应用题．【分析】如图，由于AC∥BD∥OP，故有△MAC∽△MOP，△NBD∽△NOP即可由相似三角形的性质求解．【解答】解：∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP，∴△MAC∽△MOP．∴，即，解得，MA=5米；同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5米，∴小明的身影变短了5﹣1.5=3.5米．【点评】解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题．23．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨2元，月销售量就减少20kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．（2）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？【考点】一元二次方程的应用．【专题】销售问题．【分析】（1）根据“销售单价每涨2元，月销售量就减少20千克”，可知：月销售量=500﹣（销售单价﹣50）×．由此可得出售价为55元/千克时的月销售量，然后根据利润=每千克的利润×销售的数量来求出月销售利润；（2）销售成本不超过10000元，即进货不超过10000÷40=250kg．根据利润表达式求出当利润是8000时的售价，从而计算销售量，与进货量比较得结论．【解答】解：（1）当销售单价定为每千克55元时，月销售量为：500﹣（55﹣50）×10=450（千克），所以月销售利润为：（55﹣40）×450=6750元；（2）由于水产品不超过10000÷40=250kg，定价为x元，则（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]=8000，解得：x1=80，x2=60．当x1=80时，进货500﹣10（80﹣50）=200kg＜250kg，符合题意，当x2=60时，进货500﹣10（60﹣50）=400kg＞250kg，舍去．答：商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为80元．【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，能正确表示出月销售量是解题的关键．24．如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q．（1）求证：△APQ∽△CDQ；（2）P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．①当t为何值时，DP⊥AC？②设S△APQ+S△DCQ=y，写出y与t之间的函数解析式，并探究P点运动到第几秒到第几秒之间时，y取得最小值．【考点】相似形综合题．【专题】压轴题；探究型．【分析】（1）求证相似，证两对角相等即可，由平行线的性质容易得出角相等．（2）①当垂直时，易得三角形相似，故有相似边成比例，由题中已知矩形边长，AP长已知，故t易知．②因为S△APQ+S△DCQ=y，故求S△APQ和S△DCQ是解决问题的关键，观察无固定组合规则图象，则考虑作高分别求取．考虑两高在同一直线上，且相加恰为10，故可由（1）相似结论得，高的比等于对应边长比，设其中一高为h，即可求得，则易表示y=，注意要考虑t的取值．讨论何时y最小，y=不是我们学过的函数类型，故无法用最值性质来讨论，观察题目问法“探究P点运动到第几秒到第几秒之间时”，＜1＞并不是我们常规的在确定时间最小，＜2＞时间为整数秒．故可考虑将所有可能的秒全部算出，再观察数据探究函数的变化找结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠QPA=∠QDC，∠QAP=∠QCD，∴△APQ∽△CDQ．（2）解：①当DP⊥AC时，∠QCD+∠QDC=90°，∵∠ADQ+∠QDC=90°，∴∠DCA=∠ADP，∵∠ADC=∠DAP=90°，∴△ADC∽△PAD，∴=，∴，解得 PA=5，∴t=5．②设△AQP的边AP上的高h，则△QDC的边DC上的高为（10﹣h）．∵△APQ∽△CDQ，∴==，解得 h=，∴10﹣h=，∴S△APQ==，S△DCQ==，∴y=S△APQ+S△DCQ=+=（0≤t≤20）．探究：t=0，y=100；t=1，y≈95.48；t=2，y≈91.82；t=3，y≈88.91；t=4，y≈86.67；t=5，y=85；t=6，y≈83.85；t=7，y≈83.15；t=8，y≈82.86；t=9，y≈82.93；t=10，y≈83.33；t=11，y≈84.03；t=12，y=85；t=13，y≈86.21；t=14，y≈87.65；t=15，y≈89.29；t=16，y≈91.11；t=17，y≈93.11；t=18，y≈95.26；t=19，y≈97.56；t=20，y=100；观察数据知：当0≤t≤8时，y随t的增大而减小；当9≤t≤20时，y随t的增大而增大；故y在第8秒到第9秒之间取得最小值．【点评】本题主要考查了三角形相似及相似图形性质等问题，（2）②是一道非常新颖的考点，它考察了考生对函数本身的理解，作为未知函数类型如何探索其变化趋势是非常需要学生能力的．总体来说，本题是一道非常好、非常新的题目．25．如图，在直角梯形OABC中，BC∥AO，∠AOC=90°，点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），点D为AB上一点，且BD=2AD，双曲线y=（k＞0）经过点D，交BC于点E．（1）求双曲线的解析式；（2）求四边形ODBE的面积．【考点】反比例函数综合题．【专题】综合题．【分析】（1）作BM⊥x轴于M，作DN⊥x轴于N，利用点A，B的坐标得到BC=OM=2，BM=OC=6，AM=3，再证明△ADN∽△ABM，利用相似比可计算出DN=2，AN=1，则ON=OA﹣AN=4，得到D点坐标为（4，2），然后把D点坐标代入y=中求出k的值即可得到反比例函数解析式；（2）根据反比例函数k的几何意义和S四边形ODBE=S梯形OABC﹣S△OCE﹣S△OAD进行计算．【解答】解：（1）作BM⊥x轴于M，作DN⊥x轴于N，如图，∵点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），∴BC=OM=2，BM=OC=6，AM=3，∵DN∥BM，∴△ADN∽△ABM，∴==，即==，∴DN=2，AN=1，∴ON=OA﹣AN=4，∴D点坐标为（4，2），把D（4，2）代入y=得k=2×4=8，∴反比例函数解析式为y=；（2）S四边形ODBE=S梯形OABC﹣S△OCE﹣S△OAD=×（2+5）×6﹣×|8|﹣×5×2=12．【点评】本题考查了反比例函数综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数k的几何意义和梯形的性质；理解坐标与图形的性质；会运用相似比计算线段的长度．26．在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N．动点P从点B出发沿射线BA以每秒厘米的速度运动．同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ⊥MP设运动时间为t秒（t＞0）．（1）△PBM与△QNM相似吗？以图1为例说明理由；（2）探求BP2，PQ2，CQ2三者之间的数量关系，以图1为例说明理由．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】（1）通过垂直的定义、直角三角形中的两个锐角互余以及等量代换，可以证得△PBM与△QNM中的两个角对应相等，所以这两个三角形一定相似；（2）PQ2=BP2+CQ2．作辅助线延长QM至点D，使MD=MQ．连接PD、BD构建平行四边形BDCQ．根据平行四边形的对边平行且相等推知BD∥CQ，BD=CQ；然后在直角三角形BPD中利用勾股定理求得PD2=BP2+BD2=BP2+CQ2；最后利用线段垂直平分线的性质知PQ=PD，所以由等量代换证得该结论．【解答】解：（1）△PBM∽△QNM．理由如下：如图1，∵MQ⊥MP，MN⊥BC（已知），∴∠PMB+∠PMN=90°，∠QMN+∠PMN=90°，∴∠PMB=∠QMN（等量代换）．∵∠PBM+∠C=90°（直角三角形的两个锐角互余），∠QNM+∠C=90°（直角三角形的两个锐角互余），∴∠PBM=∠QNM（等量代换）．∴△PBM∽△QNM；（2）PQ2=BP2+CQ2．证明如下：如图1，延长QM至点D，使MD=MQ．连接PD、BD，BQ，CD∵BC、DQ互相平分，∴四边形BDCQ为平行四边形，∴BD∥CQ，BD=CQ（平行四边形的对边平行且相等）；又∵∠BAC=90°，∴∠PBD=90°，∴PD2=BP2+BD2=BP2+CQ2，∵PM垂直平分DQ，∴PQ=PD，∴PQ2=BP2+CQ2．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及勾股定理的综合应用，解题的关键是熟练掌握垂直的定义、直角三角形中的两个锐角互余，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等知识点，综合性较强，难度较大．。

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