初三数学培优辅导专题

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初三数学培优(提高班)(1)

初三数学培优：一次函数、反比例函数（提高班）一、选择题:（）1．在反比例函数y=2x的图象上的一个点的坐标是……………………………… A ．（2，1） B ．（－2，1） C ．（2，12） D ．（12，2）（）2．函数y=（a －1）x a是反比例函数，则此函数图象位于………………………………A ．第一、三象限B ．第二、四象限C ．第一、四象限D ．第二、三象限（）3．已知正比例函数y=（3k －1）x ，y 随着x 的增大而增大，则k 的取值范围是……… A ．k<0B ．k>0C ．k<13D ．k>13（）4．直线y=x －1与坐标轴交于A 、B 两点，点C 在坐标轴上，△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 最多有多少个 A ．4 B ．5C ．7D ．8（）5．在函数y=kx（k>0）的图象上有三点A 1（x 1，y 1），A 2（x 2，y 2），A 3（x 3，y 3），已知x 1<x 2<0<x 3，则下列各式中，正确的是…………………………………………（） A ．y 1<y 2<y 3 B ．y 3<y 2<y 1 C ．y 2<y 1<y 3D ．y 3<y 1<y 2（）6．函数y ax a =-+与(0)ay a x-=≠在同一坐标系中的图象可能是………………（）7．下列函数中，y 随x 增大而增大的是…………………………………………………… ①()02<=x xy ②x y 2-= ③12-=x y④ ()04>-=x xy ⑤x y 4-=A ．①②③⑤B ．②③④C ．③④D ．④（）8．在直线y=12x+12上，到x 轴或y 轴的距离为1的点有……………………… A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（）9．无论m 、n 为何实数，直线y=－3x+1与y=mx+n 的交点不可能在……………… A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限O Axy OCxy O DxyO Bxy（）10．如图，在ABC △中，2AB AC ==，20BAC ∠=．动点P Q ，分别在直线BC上运动，且始终保持100PAQ ∠=．设BP x =，CQ y =，则y 与x 之间的函数关系用图象大致可以表示为…………………………………………………………二、填空题:11．一次函数y=kx+b 中，y 随x 的增大而减小，且kb>0，则这个函数的图象一定不经过第______象限．12．如图，点A 在反比例函数y=kx的图象上，AB 垂直于x 轴，若S △AOB =4，•那么这个反比例函数的解析式为________ ． 13．如果点P （2，k ）在双曲线xy 6-=上，那么点P 到x 轴的距离为_________。

【中考冲刺】初三数学培优专题 12 三角函数(含答案)(难)

三角函数阅读与思考三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的重要体现，解三角函数相关问题时应注意以下两点：1．理解同角三角函数间的关系．（1）平方关系：1cos sin 22=+αα；（2）商数关系：αααcos sin tan =，αααsin cos cot =；（3）倒数关系：1cot tan =⋅αα．2．善于解直角三角形．从直角三角形中的已知元素推求其未知的一些元素的过程叫作解直角三角形．解直角三角形，关键是合理选用边角关系，它包括勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数的概念．许多几何计算问题都可归结为解直角三角形，常见的基本图形有：例题与求解【例1】在△ABC 中，BC ＝1992，AC ＝1993，AB ＝19931992+，则=C A cos sin ．（河北省竞赛试题）解题思路：通过计算，寻找BC 2，AC 2，AB 2之间的关系，判断三角形形状，看能否直接用三角函数的定义解题．【例2】某片绿地形状如图所示，其中∠A ＝600，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，AB ＝200m ，CD ＝100m ．求AD ，BC 的长．（精确到1m ，732.13≈）图2图1F EAE AABCDDC BDC B解题思路：本题的解题关键是构造直角三角形，构造的原则是不能破坏∠A ，所以连结AC 不行．延长AD 和BC 交于一点E （如图1），这样既构造出了直角三角形，又保全了特殊角∠A ；或过点D 作矩形ABEF （如图2）来求解．【例3】如图，已知正方形ABCD 中，E 为BC 上一点．将正方形折叠起来，使点A 和点E 重合，折痕为MN ．若31tan =∠AEN ，DC ＋CE ＝10．（1）求△ANE 的面积；（2）求ENB ∠sin 的值．解题思路：将31tan =∠AEN 与DC ＋CE ＝10结合起来，可求出相关线段的长，为解题铺平道路．【例4】如图，客轮沿折线A —B —C 从A 出发经B 再到C 匀速航行，货轮从AC 的中点D 出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮．两船同时起航，并同时到达折线A —B —C 上的某点E 处．已知AB ＝BC ＝200海里，∠ABC ＝900，客轮速度是货轮速度的2倍．（1）选择：两船相遇之处E 点（）A ．在线段AB 上 B ．在线段BC 上C ．可以在线段AB 上，也可以在线段BC 上（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？（结果保留根号）（南京市中考试题）解题思路：对于（2），过D 作DF ⊥CB 于F ，设DE =x ，建立关于x 的方程．【例5】若直角三角形的两个锐角A ，B 的正弦是方程02=++q px x 的两个根．（1）那么，实数p ，q 应满足哪些条件？（2）如果p ，q 满足这些条件，方程02=++q px x 的两个根是否等于直角三角形的两个锐角A ，B 的正弦？（江苏省竞赛试题）解题思路：解本例的关键是建立严密约束条件下的含不等式、等式的混合组，需综合运用一元二次方程，三角函数的知识与方法． C【例6】设a ，b ，c 是直角三角形的三边，c 为斜边，整数n≥3．求证：nn n c b a <+．（福建省竞赛试题）解题思路：由直角三角形的边可以转化为三角函数正余弦来解．其不等关系可以利用正弦、余弦的有界性来证明．能力训练A 级1．如图，D 是△ABC 的边AC 上一点，CD ＝2AD ，AE ⊥BC 于E ．若BD ＝8，43sin =∠CBD ，则AE ＝．2．已知00900≤≤α，则ααsin sin 45+-=y 的最大值是，最小值是．（上海市理科实验班招生考试试题）3．如图，在△ABC 中，∠C ＝900，∠BAC ＝300，BC ＝1，D 为BC 边上的一点，ADC ∠tan 是方程 2)1(5)1(322=+-+xx x x 的一个较大的根，则CD ＝．东第5题图第1题图第3题图BACAO4．已知△ABC 的两边长a ＝3，c ＝5，且第三边长b 为关于x 的一元二次方程042=+-m x x 的两个正整数根之一，则A sin 的值为．（哈尔滨中考试题） 5．如图，小雅家（图中点O 处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A 处）在她家北偏东600距离500m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是（） A ．250mB ．3250mC ．33500mD ．2250m6．如图，在△ABC 中，∠C ＝900，∠ABC ＝300，D 是AC 的中点，则DBC ∠cot 的值是（） A ．3B ．32C ．23D ．43 （大连市中考试题）7．一渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东600方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行．半小时后到B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东150方向，此时灯塔M 与渔船的距离是（）（黄冈市中考试题） A ．27海里B ．214海里C ．7海里D ．14海里8．如图，四边形ABCD 中，∠A ＝600，∠B ＝∠D ＝900，AD ＝8，AB ＝7，则BC ＋CD 等于（） A ．36B ．35C ．34D ．33第7题图第6题图第8题图东北BA OA9．如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图．已知真空集热管AB 与支架CD 所在直线相交于水箱横断面⊙O 的圆心，支架CD 与水平面AE 垂直，AB ＝150厘米，∠BAC ＝300，另一根辅助支架DE ＝76厘米，∠CED ＝600．（1）求垂直支架CD 的长度（结果保留根号）；（2）求水箱半径OD 的长度（结果保留三位有效数字，参考数据：73.13,41.12≈≈）．（扬州市中考试题）图2图1A10．若α为锐角，求证：4cos sin 1cos 1sin 1>⋅++αααα．（宁波市竞赛试题）11．如图，已知AB ＝CD ＝1，∠ABC ＝900, ∠CBD ＝300，求AC 的长．（加拿大数学奥林匹克竞赛试题）12．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝900，CD ⊥AB 于点D ，CD ＝1．若AD ，BD 的长是关于x 的方程 02=++q px x 的两根，且2tan tan =-B A ，求p ，q 的值并解此二次方程．ABDCB 级1．若0300<<θ，且31sin +=km θ（k 为常数，k ＜0），则m 的取值范围是． 2．设00450<<α，1673cos sin =⋅αα，则=αsin ．（武汉市选拔赛试题） 3．已知在△ABC 中，∠A ，∠B 是锐角，且2tan ,135sin ==B A ，AB ＝29cm ，则△ABC 的面积等于．（“祖冲之杯”邀请赛试题）4．如图，在正方形ABCD 中，N 是DC 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且MBC NMB ∠=∠，则有=∠ABM tan ．（全国初中数学联赛试题） 5．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝900, ∠CAB ＝300，AD 平分∠CAB ，则CDACCD AB -的值为（） A ．3B ．33C ．33-D ．326-（湖北省选拔赛试题）第4题图第5题图NBAB AMD6．如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AD ⊥CD ，BC ＝CD ＝2AD ，E 是CD 上一点，∠ABE ＝450，则AEB ∠tan 的值等于（）（天津市竞赛试题） A ．23B ．2C ．25D ．3 7．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝900, ∠CBD ＝300，则DCAD＝（） A ．33 B ．22 C ．12- D ．13-（山东省竞赛试题）第7题图第6题图BA BDE8．如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道是由两段互相平行并且与地面成370角的楼梯AD ，BE 和一段水平天台DE 构成．已知天桥高度BC ＝4. 8米，引桥水平跨度AC ＝8米．（1）求水平天台DE 的长度；（2）若与地面垂直的平台立柱MN 的高度为3米，求两段楼梯AD 与BE 的长度之比．（参考数据：取75.037tan ,80.037cos ,60.037sin 0===）（长沙市中考试题）NA9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，且c ＝35．若关于x 的方程0)35(2)35(2=-+++b ax x b 有两个相等的实根，又方程0sin 5)sin 10(22=+-A x A x 的两实数根的平方和为6，求△ABC 的面积．（武汉市中考试题）10．如图，EFGH 是正方形ABCD 的内接四边形，两条对角线EG 和FH 所夹的锐角为θ，且BEG ∠与CFH ∠都是锐角．已知,,l FH k EG ==四边形EFGH 的面积为S ．（1）求证：klS2sin =θ；（2）试用S l k ,,来表示正方形ABCD 的面积．（全国初中数学联赛试题）EGHF11．如图，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，∠A ＝900，BC ＝CD ＝10，54sin C ． (1) 求梯形ABCD 的面积；（2）点E ，F 分别是BC ，CD 上的动点，点E 从点B 出发向点C 运动，点F 从点C 出发向点D 运动．若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，连接EF ，求△EFC 面积的最大值，并说明此时E ，F 的位置．（济宁市中考试题）BCADEF12．如图，甲楼楼高16米，乙楼坐落在甲楼的正北面．已知当冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为300，此时，求：（1）如果两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？（2）如果甲楼的影子刚好落在乙楼上，那么两楼的距离应当是多少？（山东省竞赛试题）三角函数例1 AC 2－BC 2＝(1993＋1992)(1993－1992)＝1993＋1992＝AB 2，∴AC 2＝AB 2＋BC 2，得∠B ＝90°，故原式＝(19921993)2.例2 AD ＝227m ，BC ＝146m . 解法一:延长AD ，BC 交于点E ，如图1. 在Rt △ABE 中，AB ＝200m ，∠A ＝60°，∴BE ＝AB ·tanA ＝200 3 (m )，AE ＝AB cos 60°＝2000.5＝400(m ). 在Rt △CDE 中，CD ＝100m . ∠E ＝90°－∠A ＝30°，∴CE ＝2CD＝200(m . ∵cot ∠E ＝DECD ，DE ＝CD ·cot 30°＝100 3 (m )，∴AD＝AE －DE ＝400－1003≈227(m )，BC ＝BE －CE ＝2003－200≈146(m ). 解法二:如图2，过点D 作矩形ABEF . 设AD ＝x . 在Rt △AFD 中，∠DAF ＝90°－60°＝30°，∴DF ＝12AD ＝12x ，AF ＝32x ，在Rt △CED中，∠CDE ＝30°，∴CE ＝12CD ＝50(m )，DE ＝32CD ＝503(m )，∵DE ＋DF ＝AB . ∴503＋12x ＝200，解得x ＝400－100 3. ∴AD ＝400－1003≈227(m ). ∵BC ＋CE ＝AF ，∴BC ＝AF －CE ＝32(400－1003)－50＝2003－200≈146(m ).例3 ⑴103 ⑵35 提示：tan ∠AEN ＝tan ∠EAB ＝EBAB.例4 ⑴设DE ＝x (海里)，则客轮从A 点出发到相遇之处E 点的距离为2x 海里. 若2x <200，则x <100，即DE <12AB ，而从D 点出发，货轮到相遇点E 处的最短距离是100海里，所以x ≥100，即2x ≥200，故相遇处E 点应在CB 上，选B . ⑵设货轮从出发点D 到两船相遇处E 共航行了x 海里，如图，过D 作DF ⊥CB 于F ，连DE ，则DE ＝x ，AB ＋BE ＝2x ，DF＝100，EF ＝300－2x ，由x 2＝1002＋(300－2x )2，得x ＝200－10063(海里).例5 ⑴p ，q 应满足以下条件：⎩⎪⎨⎪⎧△＝p 2－4q ≥0sinA ＋sinB ＝－p sinA ·sinB ＝q0＜sinA ＜10＜sinB ＜1sin 2A ＋cos 2A ＝1. 由此推得⎩⎨⎧p <00<q ≤12p 2－2q ＝1 ,⑵先设方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根为α，β，若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧p 2－4q ≥0 ①0＜α＜1，0＜β＜1②α2＋β2＝1 ③，则α，β必定是直角三角形的两个锐角的正弦;若α，β不满足条件①②③式中任何一个，则结论是否定的.例6 设α为直角三角形一锐角，则sinα＝a c ，cosα＝bc . ∵0<sinα<1，0<cosα<1∴当n ≥3时，sin n α<sin 2α，a bA 级1. 9 2. 5 1 提示：用换元法. 3. 43－213 4. 116 5. A 6.B 7. A 8. B 9. ⑴在Rt △DCE 中，∠CED ＝60°，DE ＝76. ∵sin ∠CED ＝DC DE，∴DC ＝DE ·sin ∠CED ＝383(厘米). 故垂直支架CD 的长度为383厘米.⑵设水箱半径OD ＝x 厘米，则OC ＝(383＋x )厘米，AO ＝(150＋x )厘米. ∵Rt △OAC 中，∠BAC ＝30°，∴AO ＝2OC ，即150＋x ＝2(383＋x ），解得x ＝150－763≈18. 52≈18. 5(厘米). 故水箱半径OD 的长度为18. 5厘米.10. (1sinα－1)＋(1cosα－1)＋(1sinαcosα－2)＝1－sinαsinα＋1－cosαcosα＋1－2si nαcosαsinαcosα，∵0<sinα<1，0<cosα<1，于是有1－ sinα>0,1－ cosα>0,∴1－sinαsinα＋1－cosαcosα＋(sinα－cosα)2sinαcosα>0，即1sinα＋1cosα＋1sinαcosα>4. 11. 过C 作CE ∥AB 交BD 于E ，设AC ＝x ，则CB ＝21x -，CE ＝BC ·tan ∠CBE ＝213x -. 由△DCE ∽△DAB ，得CD CE AD AB =，即21113x x -=+，化简得（x ＋2）（x 3－2）＝0，解得x ＝32，即AC ＝32. 12. P ＝－22，q ＝1，x 1,2＝21±. 提示：tan A －tan B ＝()CD CD CD BD AD AD BD AD BD -=-⋅. B 级1. 1163m k k <<-2. 743. 145cm 24. 13提示：延长MN 交BC 的延长线于T ，设MB 的中点为O ，连接TO ，则△BAM ∽△TOB . 5. B 6. D 7. D8. （1）如图，延长线段BE ，与AC 相交于点F ，∴DE ＝AF ，∠BFC ＝∠A ＝37°. 在Rt △BCF 中，tan ∠BFC ＝BF CF ，∴CF ＝ 4.8 6.4tan 370.75BC ==︒（米），∴DE ＝AF ＝AC －CF ＝8－6. 4＝1. 6（米）. 故水平平台DE 的长度为1. 6米. （2）延长线段DE ，交BC 于点G . ∵DG ∥AC ，∴∠BGM ＝∠C ＝90°，∴四边形MNCG 是矩形，∴CG ＝MN ＝3（米）. ∵BC ＝4. 8（米），∴BG ＝BC －CG ＝1. 8（米）. ∵DG ∥AC ，∴ 1.834.88BE BG BF CB ===，∴53EF BE =，而AD ＝EF ，故53AD BE =.9. 18 提示：222a b c +=，3sin 5A =. 10. 提示：（1）S =S △EFG ＋S △FGH ＝1sin 2EG FH θ⋅. （2）过E ，F ，G ，H 分别作正方形ABCD 的垂线，得矩形PQRT . 设ABCD 的边长为a ，PQ ＝b ，QR ＝c ，则22b k a =-，22c l a =-. 由S △AEH ＝S △THE ，S △BEF ＝S △PEF ，S △GFC ＝S △QFG ，S △DGH ＝S △RGH ，得S ABCD第8题图＋S PQRT ＝2S EFGH ，∴a 2＋bc ＝2S ，即22a S =. ∴222222(4)4k l S a k l S +-=-，由（1）知22sin S kl S θ=>，∴2224k l kl S +≥>. 故22222244k l S a k l S -=+-. 11. （1）S 梯形ABCD ＝56. （2）E ，F 分别是BC ，DC 的中点，设运动时间为x 秒，则S △EFC ＝22224(5)1055x x x -+=--+，当x ＝5时，S △EFC 面积最大，最大值为10. 12. （1）折冬天太阳最低时，甲楼最高处A 点的影子落在乙楼的C 处，那么图中CD 的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度. 设CE ⊥AB 于点E ，则∠AEC ＝90°，∠ACE ＝30°，EC ＝20米，∴AE ＝EC tan ∠ACE ＝20tan30°≈11. 6（米），CD ＝EB ＝AB －AE ＝4. 4（米）.（2）设点A 的影子落在地面上某点C ，则∠ACB ＝30°，AB ＝16米，∴BC ＝AB cot30°≈27. 7（米），故要使甲楼的影子不影响乙楼，那么乙楼距离甲楼至少要27. 7米.。

【中考冲刺】初三数学培优专题 10 最优化(含答案)(难)

最优化阅读与思考数学问题中常见的一类问题是：求某个变量的最大值或最小值；在现实生活中，我们经常碰到一些带有“最”字的问题，如投入最少、效益最大、材料最省、利润最高、路程最短等，这类问题我们称之为最值问题，解最值问题的常见方法有：1．配方法由非负数性质得()02≥±b a ．2．不等分析法通过解不等式（组），在约束条件下求最值． 3．运用函数性质对二次函数()02≠++=a c bx ax y ，若自变量为任意实数值，则取值情况为：（1）当0>a ，a bx 2-=时，a b ac y 442-=最小值；（2）当0<a ，abx 2-=时，a b ac y 442-=最大值；4．构造二次方程利用二次方程有解的条件，由判别式0≥∆确定变量的取值范围，进而确定变量的最值．例题与求解【例1】当x 变化时，分式12156322++++x x x x 的最小值是．（全国初中数学联赛试题）解题思路：因分式中分子、分母的次数相等，故可将原分式用整式、真分式的形式表示，通过配方确定最小值．【例2】已知1≤y ，且12=+y x ，则223162y x x ++的最小值为（）A.719 B. 3 C. 727 D. 13 （太原市竞赛试题）解题思路：待求式求表示为关于x (或y )的二次函数，用二次函数的性质求出最小值，需注意的是变量x 、y 的隐含限制．【例3】()21322+-=x x f ，在b x a ≤≤的范围内最小值2a ，最大值2b ，求实数对(a ，b ). 解题思路:本题通过讨论a ，b 与对称轴0=x 的关系得出结论．【例4】（1）已知211-+-=x x y 的最大值为a ，最小值b ，求22b a +的值．（“《数学周报》杯”竞赛试题）（2）求使()168422+-++x x 取得最小值的实数x 的值．（全国初中数学联赛试题）（3）求使2016414129492222+-+++-++y y y xy x x 取得最小值时x ，y 的值．（“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试题）解题思路：解与二次根式相关的最值问题，除了利用函数增减性、配方法等基本方法外，还有下列常用方法：平方法、判别式法、运用根式的几何意义构造图形等．【例5】如图，城市A 处位于一条铁路线上，而附近的一小镇B 需从A 市购进大量生活、生产用品，如果铁路运费是公路运费的一半，问：该如何从B 修筑一条公路到铁路边，使从A 到B 的运费最低？（河南省竞赛试题）解题思路：设铁路与公路的交点为C ，AC ＝x 千米，BC ＝y 千米，AD ＝n 千米，BD ＝m 千米，又设铁路每千米的运费为a 元，则从A 到B 的运费()ay m y n a S 222+--=，通过有理化，将式子整理为关于y 的方程．【例6】（1）设r x ，1+r x ，…，k x （r k >），为k －r ＋1个互不相同的正整数，且x r ＋x r ＋1＋…＋x k ＝2003，求k 的最大可能值．（香港中学竞赛试题）（2）a ，b ，c 为正整数，且432c b a =+，求c 的最小值．（全国初中数学联赛试题）解题思路：对于(1)，因r ＝1，对k －r ＋1＝ k －1＋1＝k 个正整数x 1，x 2，…，x k ，不妨设x 1＜x 2＜…＜x k ＝2013，可见，只有当各项x 1，x 2，…，x k 的值愈小时，才能使k 愈大（项数愈多），通过放缩求k 的最大值；对于（2），从()()222b ac a c =+-入手．能力训练A 级1．已知三个非负数a ，b ，c ，满足3a ＋2b ＋c ＝5和2a ＋b －3c ＝1，若m ＝3a ＋b －7c ，则m 的最小值为___________，最大值为．2．多项式p ＝2x 2－4xy ＋5y 2－12y ＋13的最小值为．3．已知x ，y ，z 为实数，且x ＋2y －z ＝6，x －y ＋2z ＝3，那么x 2＋y 2＋z 2的最小值为．（“希望杯”邀请赛试题）4．若实数a ，b ，c ，满足a 2＋b 2＋c 2＝9，则代数式(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2的最大值为 ( )（全国初中数学联赛试题）5．已知两点A (3，2)与B (1，－1)，点P 在y 轴上且使P A ＋PB 最短，则P 的坐标是（）A. (0，21-) B. (0，0) C. (0，611) D. (0，41-)（盐城市中考试题）6．正实数x ，y 满足1=xy ，那么44411y x +的最小值为（） A.21 B. 85 C. 1 D. 45E. 2（黄冈市竞赛试题）7．某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y (件)与销售单价x (元/件)可近似看作一次函数b kx y +=的关系（如图所示）.（1）根据图象，求一次函数b kx y +=的解析式；（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为S 元． ①试用销售单价x 表示毛利润；②试问：销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销量是多少？（南通市中考试题）8．方程()()06122=-+-+m x m x 有一根不大于1-，另一根不小于1，（1）求m 的取值范围；（2）求方程两根平方和的最大值与最小值．（江苏省竞赛试题）9．已知实数a ，b 满足122=++b ab a ，求22b ab a +-的最大值与最小值．（黄冈市竞赛试题）10. 已知a ，b ，c 是正整数，且二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个不同的交点A ，B ，若点A ，B 到原点的距离都小于1，求a ＋b ＋c 的最小值．（天津市竞赛试题）11．某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示：该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x 天应付的养护与维修费为()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-500141x 元．（1）如果将设备从开始投入使用到报废所需的养护与维修费及购买设备费用的总和均摊到每一天，叫作每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗y （元）表示为使用天数x （天）的函数．（2）按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问：该设备投入使用多少天应当报废？（河北省竞赛试题）B 级1．a ，b 是正数，并且抛物线b ax x y 22++=和a bx x y ++=22都与x 轴有公共点，则22b a +的最小值是．2．设x ，y ，z 都是实数，且满足x ＋y ＋z ＝1，xyz ＝2，则z y x ++的最小值为． 3．如图，B 船在A 船的西偏北45°处，两船相距210km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离为 km ．（全国初中数学竞赛试题）4．若a ，b ，c ，d 是乘积为1的四个正数，则代数式a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋bc ＋ac ＋ad ＋bd ＋cd 的最小值为（）A. 0B. 4C. 8D. 10（天津市竞赛试题）5．已知x ，y ，z 为三个非负实数，且满足3x ＋2y ＋z ＝5，x ＋y －z ＝2. 若s ＝2x ＋y －z ，则s 的最大值与最小值的和为（）A. 5B.423 C. 427 D. 435（天津市选拔赛试题）6．如果抛物线()112----=k x k x y 与x 轴的交点为A ，B ，顶点为C ，那么△ABC 的面积的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 47．某商店将进货价每个10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出60个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每提高1元，则日销售量就减少5个；若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每降低1元，则日销量就增加10个，为获得每日最大利润，此商品售价应定为每个多少元？（“祖冲之杯”邀请赛试题）8．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是p （万元）和q （万元），它们与投入资金x （万元）的关系有经验公式：x q x p 53,51==. 今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得多大的利润？（绍兴市竞赛试题）9．已知为x ，y ，z 为实数，且5=++z y x ，3=++zx yz xy ，试求z 的最大值与最小值．10．已知三个整数a ，b ，c 之和为13，且bca b ，求a 的最大值和最小值，并求出此时相应的b 与c 值．（四川省竞赛试题）11．设x 1，x 2，…，x n 是整数，并且满足： ① －1≤x i ≤2，i ＝1，2，…，n ② x 1＋x 2＋…＋x n ＝19 ③ x 12＋x 22＋…＋x n 2＝99求x 13＋x 23＋…＋x n 3的最大值和最小值．（国家理科实验班招生试题）12．已知x 1，x 2，…，x 40都是正整数，且x 1＋x 2＋…＋x 40＝58，若x 12＋x 22＋…＋x 402的最大值为A ，最小值为B ，求A ＋B 的值．（全国初中数学竞赛试题）专题10 最优化例1. 4 提示：原式=112-62-+）（x . 例2. B 提示：由-1≤y ≤1有0≤x ≤1，则z =2x 2+16x +3y 2=14x 2+4x +3是开口向上，对称轴为71-=x 的抛物线.例3. 分三种情况讨论：①0≤a <b ，则f (x )在a ≤x ≤b 上单调递减，∴f (a )=2b ，f (b )=2a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=213222132222b a a b 解得⎩⎨⎧==31b a ②a <b ≤0，则f (x )在a ≤x ≤b 上单调递增，∴f (a )=2a ，f (b )=2b ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=213222132222b b a a 此时满足条件的（a ，b ）不存在. ③a <0<b ，此时f (x )在x =0处取得最大值，即2b =f (0)=213,b =413,而f (x )在x =a 或x =b 处取最小值2a . ∵a <0，则2a <0，又∵f (b )=f (413)=021341321-2>+⨯）（，∴f (a )=2a ，即2a =2132-2+a ，则⎪⎩⎪⎨⎧=--=413172b a 综上，（a ，b ）=(1，3)或（17-2-，413）例4. （1）121≤≤x ，y 2 = 21+216143-2+-）（x . 当x =43时，y 2取得最大值1，a =1；当21=x 或x =1时，y 2取得最小值21，b =22. 故a 2+b 2=23.(2) 如图，AB =8，设AC =x ，则BC =8- x ，AD =2，CD =42+x ，BE =4，CE =16)-8(2+x BF =AD =2.10)24(816)8(4222222=++=+=≥+=+-++EF DF DE CE CD x x当且仅当D ，C ，E 三点共线时，原式取最小值. 此时△EBC ∽△DAC ，有224===DA EB CA BC ,从而x =AC =3831=AB . 故原式取最小值时，x =38. (3)如图，原式=[]2222222)24()13()32()01(032--0y x y x -+-+-+-+-+）（）（=AB +BC +CD ≥AD ，其中A （-2,0），B （0，3x ）,C (1,2y ),D (3,4),并且当点B ，C 在线段AD 上时，原式取得最小值，此时5423=x ，5432=y .例5. 由S =ay m y n a 2)(22+--，得an -S +2ay =a 22n y -，两边平方，经整理得0)()(4322222=+-+-+m a S an y S an a y a . 因为关于y 的一元二次方程有实数解，所以[][]0)(34)(422222≥+-⨯--m a S an a S an a ，可化为2223-m a an S ≥）（.∵S >an ，∴am an S 3-≥，即am an S 3+≥，故S 最小=am an 3+.例6（1）设x 1≥1，x 2≥2，x k ≥k ，于是1+2+…+k ≤x 1+x 2+…+x k = 2003，即20032)1(≤+k k k (k +1)≤4006，∵62×63=3906<4006<4032=63×64，∴k ≤62. 当x 1=1，x 2=2，…x 61=61，x 62=112时，原等式成立，故k 的最大可能值为62.（2）若取⎩⎨⎧=+=-222ba cb ac ，则2)1(2+=b b c 由小到大考虑b ，使2)1(+b b 为完全平方数. 当b =8时，c 2=36，则c =6，从而a =28. 下表说明c 没有比6更小的正整数解. 显然，表中c 4-x 3的值均不是完全平方数，故A 级1．57- 111- 2．1 3．14 提示：y =5－x ,z =4－x ，原式=3(x －3)2+14． 4．A 提示：原式=27－(a +b +c )2． 5．D 6．C 7．(1)y =－x +1000(500≤x ≤800) (2)①S =(x －500)(－x +1000)=－x 2+1500x －500000(500≤x ≤800);②S －(x －750)2+62500,即销售单价定为750时，公司可获最大毛利润62500元，此时销量为250件． 8．（1）－4≤m ≤2 （2）设方程两根为x 1，x 2，则x 12+x 22=4(m －34)2+1034，由此得x 12+x 22最小值为1034，最大值为101． 9．设a 2－ab +b 2=k ，又a 2+ab +b 2=1②，由①②得ab =12(1－k )，于是有（a +b )2=12(3－k )≥0，∴k ≤3，从而a +b =．故a ，b 是方程t 2t +12k -=0的两实根，由Δ≥0，得133k ≤≤． 10．设A （x 1,0)，B （x 2，0)，其中 x 1，x 2是方程ax 2+bx +c =0的两根，则有x 1+x 2=b a -<0，x 1x 2=ca>0，得x 1<0，x 2<0，由Δ=b 2－4ac >0，得b >∵|OA |=|x 1|<1，|OB |=|x 2|<1，∴－1<x 1<0，－1<x 2<0，于是ca=x 1x 2<1，c <a ．由于a 是正整数，已知抛物线开口向上，且当x =－1时，对应的二次函数值大于0，即a －b +c >0，a +c >b ．又a ，b ，c 是正整数，有a +c ≥b ，从而a +c >2+1，则212>>>≥，于是a >4，即a ≥5，故b >2≥2=，即b ≥5．因此，取a =5，b =5，c =1，y =5x 2+5x +1满足条件，故a +b +c 的最小值为11． 11．（1）该设备投入使用x 天，每天平均损耗为y =11111[500000(0500)(1500)(2500)(500)]4444x x -+⨯++⨯++⨯++++=11(1)[500000500x ]42x x x -++⨯=500000749988x x ++． (2)y =500000749988x x ++7749999988≥=．当且仅当5000008xx =，即x =2000时，等号成立．故这台设备投入使用2000天后应当报废．B 级 1．20 提示：a 2－8b ≥0，4b 2－4a ≥0，从而a 4≥64b 2≥64a ，a ≥4，b 2≥4． 2．4 提示：构造方程． 3．提示：设经过t 小时后，A ，B 船分别航行到A 1，B 1，设AA 1=x ，则BB 1=2x ，B 1A 1 4．D 提示：a 2+b 2≥2ab ，c 2+d 2≥2cd ，∴a 2+b 2+c 2+d 2≥2(ab +cd )≥．∴ab +cd ≥2，同理bc +ad ≥2，ac +bd ≥2． 5．A 提示：x =s －2≥0,y =5－43s ≥0，z =1－13s ≥0，解得2≤s ≤3，故s 的最大值与最小值的和为5． 6．A 提示：|ABC (2125,24k k k -++-），ABC S =，而k 2+2k +5=(k +1)2+4≥4． 7．设此商品每个售价为x 元，每日利润为S 元．当x ≥18时，有S =[60－5（x －18)](x －10)=－5(x －20)2+500，即当商品提价为20元时，每日利润为500元；当x ≤18时，S =[60+10（18－x )](x －10)=－10(x －17)2+490，即当商品降价为17元时，每日利润最大，最大利润为490元，综上，此商品售价应定为每个20元． 8．设对甲、乙两种商品的资金投入分别为x ，(3－x )万元，设获取利润为s ，则s 15x =s －15x 两边平方，经整理得x 2+(9－10s )x +25s 2－27=0，∵关于x 的一元二次方程有实数解，∴（9－10s )2－4×（25s 2－27)≥0，解得1891.05180s ≤=，进而得x =0. 75（万元），3－x =2. 25(万元）．即甲商品投入0. 75万元，乙商品投入2. 25万元，获得利润1. 05万元为最大． 9．y =5－x －z ，代入xy ＋yx ＋zx =3，得x 2＋(z －5)x ＋(z 2－5z ＋3)=0．∵x 为实数，∴Δ=(z －5)2－4(z 2－5z ＋3)≥0，解得－1≤z ≤133,故z 的最大值为133，最小值为－1． 10．设b c x a b==，则b =ax ，c =ax 2，于是，a ＋b ＋c =13，化为a (x 2＋x ＋1)=13．∵a ≠0，∴x 2＋x ＋1－13a =0 ①．又a ，b ，c 为整数，则方程①的解必为有理数，即Δ=52a －3>0，得到1≤a ≤523，为有理数，故1≤a ≤16．当a =1时，方程①化为x 2＋x －12=0，解得x 1=－4，x 2=3．故a min =1，b =－4，c =16 或a min =1，b =3，c =9．当a =16时，方程①化为x 2＋x ＋316=0．解得x 1=－34，x 2=－14．故a min =16，b =－12，c =9；或a min =16，b =－4，c =1． 11．设x 1，x 2，…，x n 中有r 个－1，s 个1，t 个2，则219499r s t r s t -++=⎧⎨++=⎩，得3t ＋s =59，0≤t ≤19．∴x 13＋x 23＋…＋x n 3=－r ＋s ＋8t =6t ＋19．∴19≤x 13＋x 23＋…＋x n 3≤6×19＋19=133．∴在t =0，s =59，r =40时，x 13＋x 23＋…＋x n 3取得最小值19；在t =19，s =2，r =21时，x 13＋x 23＋…＋x n 3取得最大值133． 12．∵把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，∴x 12＋x 22＋…＋x 402的最大值和最小值存在．不妨设x 1≤x 2≤…≤x 40．若x 1>1，则x 1＋x 2=(x 1－1)＋(x 2＋1)，且(x 1－1)2＋(x 2＋1)2=x 12＋x 22＋2(x 2－x 1)＋2>x 12＋x 22．于是，当x 1>1时，可以把x 1逐步调整到1，此时，x 12＋x 22＋…＋x 402的值将增大．同理可以把x 2，x 3，…，x 39逐步调整到1，此时x 12＋x 22＋…＋x 402的值将增大．从而，当x 1，x 2，…，x 39均为1，x 40=19时，x 12＋x 22＋…＋x 402取得最大值，即A =22239111+++个＋192=400．若存在两个数x i ，x j ，使得x j －x i ≥2（1≤i ＜j ≤40），则（x i ＋1)2＋(x j －1)2=x i 2＋x j 2－2(x i －x j －1)<x i 2＋x j 2．这表明，在 x 1，x 2，…，x 40中，若有两个数的差大于1，则把较小的数加1，较大的数减1此时，x 12＋x 22＋…＋x 402的值将减小，因此，当x 12＋x 22＋…＋x 402 取得最小值时，x 1，x 2，…，x 40中任意两个数的差都不大于1．故当x 1=x 2=…=x 22=1，x 23=x 24=…=x 40=2时，x 12＋x 22＋…＋x 402取得最小值，即222111+++22个222222+++⋯+=94从而，A+B=494.。

初三数学培优专题（1）“平移后将军饮马”问题

初三培优专题（1） “平移后将军饮马”问题【引例】已知A （1，1）、B （4，2）．（1）P 为x 轴上一动点，求P A +PB 的最小值和此时P 点的坐标；点的坐标；（2）P 为x 轴上一动点，求PBPA 的值最大时P 点的坐标；点的坐标；（3）（平移后“将军饮马”）CD 为x 轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC +CD +DB 的最小值和此时C 点的坐标；点的坐标；方法：解决的关键还是抓不变的CD ，一抓其长度不变，将“三动线段”转化为“两动线段”；二抓CD 方向及长度不变，利用平移，构造平行四边形，将其转化为“两定一动”型“将军饮马”问题，在动点的数量上减少了1。

答案（答案（11）（）（22，0）（2）（）（-2-2-2，，0）（3）13+1 ，(53,0)yxBOA yxBOA yxBOA CD【例】（2013年成都中考）在平面直角坐标系中，已知抛物线21(2y x bx c b =-++，c 为常数）的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为(0,1)-，C 的坐标为(4,3)，直角顶点B 在第四象限．（1）如图，若该抛物线过A ，B 两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与AC 交于另一点Q ． ()i 若点M 在直线AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M 的坐标；()ii 取BC 的中点N ，连接NP ，BQ ．试探究PQNP BQ +是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）Q 等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为(0,1)-，C 的坐标为(4,3) ∴点B 的坐标为(4,1)-．Q 抛物线过(0,1)A -，(4,1)B -两点， ∴1116412c b c =-⎧⎪⎨-⨯++=-⎪⎩，解得：2b =，1c =-， ∴抛物线的函数表达式为：21212y x x =-+-．（2）方法一：)(0i A Q ，1)-，(4,3)C ，∴直线AC 的解析式为：1y x =-．设平移前抛物线的顶点为0P ，则由（1）可得0P 的坐标为(2,1)，且0P 在直线AC 上． Q 点P 在直线AC 上滑动，∴可设P 的坐标为(,1)m m -，则平移后抛物线的函数表达式为：21()12y x m m =--+-．解方程组：211()(1)2y x yx m m =-⎧⎪⎨=--+-⎪⎩，解得111x m y m =⎧⎨=-⎩，2223x m y m =-⎧⎨=-⎩ (,1)P m m ∴-，(2,3)Q m m --．过点P 作//PE x 轴，过点Q 作//QF y 轴，则(2)2PE m m =--=，(1)(3)2QF m m =---=． 022PQ AP ∴==．若以M 、P 、Q 三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况： ①当PQ 为直角边时：点M 到PQ 的距离为22（即为PQ 的长）．由(0,1)A -，(4,1)B -，0(2,1)P 可知，0ABP ∆为等腰直角三角形，且0BP AC ⊥，022BP =．如答图1，过点B 作直线1//l AC ，交抛物线21212y x x =-+-于点M ，则M 为符合条件的点．∴可设直线1l 的解析式为：1y x b =+， (4,1)B -Q ，114b ∴-=+，解得15b =-，∴直线1l 的解析式为：5y x =-．解方程组251212y x y x x =-⎧⎪⎨=-+-⎪⎩，得：1141x y =⎧⎨=-⎩，2227x y =-⎧⎨=-⎩ 1(4,1)M ∴-，2(2,7)M --．②当PQ 为斜边时：2MP MQ ==，可求得点M 到PQ 的距离为2．如答图2，取AB 的中点F ，则点F 的坐标为(2,1)-．由(0,1)A -，(2,1)F -，0(2,1)P 可知：0AFP ∆为等腰直角三角形，且点F 到直线AC 的距离为2．过点F 作直线2//l AC ，交抛物线21212y x x =-+-于点M ，则M 为符合条件的点．∴可设直线2l 的解析式为：2y x b =+， (2,1)F -Q ，212b ∴-=+，解得23b =-， ∴直线2l 的解析式为：3y x =-．解方程组231212y x y x x =-⎧⎨=-+-⎪⎩，得：111525x y ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，221525x y ⎧=-⎪⎨=--⎪⎩ 3(15M ∴+，25)-+，4(15M -，25)--．综上所述，所有符合条件的点M 的坐标为：1(4,1)M -，2(2,7)M --，3(15M +，25)-+，4(15M -，25)--．方法二：(0,1)A Q ，(4,3)C ， :1AC l y x ∴=-，Q 抛物线顶点P 在直线AC 上，设(,1)P t t -，∴抛物线表达式：21()12y x t t =--+-，AC l ∴与抛物线的交点(2,3)Q t t --，Q 以M 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形，(,1)P t t -，①当M 为直角顶点时，(,3)M t t -，212132t t t -+-=-，15t ∴=±，1(15M ∴+，52)-，2(15M -，25)--，②当Q 为直角顶点时，点M 可视为点P 绕点Q 顺时针旋转90︒而成，将点(2,3)Q t t --平移至原点(0,0)Q '，则点P 平移后(2,2)P '，将点P '绕原点顺时针旋转90︒，则点(2,2)M '-，将(0,0)Q '平移至点(2,3)Q t t --，则点M '平移后即为点(,5)M t t -，∴212152t t t -+-=-，14t ∴=，22t =-，1(4,1)M ∴-，2(2,7)M --，③当P 为直角顶点时，同理可得1(4,1)M -，2(2,7)M --，综上所述，所有符合条件的点M 的坐标为：1(4,1)M -，2(2,7)M --，3(15M +，25)-+，4(15M -，25)--．)PQii NP BQ+存在最大值．理由如下：由)i 知22PQ =为定值，则当NP BQ +取最小值时，PQNP BQ +有最大值．如答图2，取点B 关于AC 的对称点B '，易得点B '的坐标为(0,3)，BQ B Q ='．连接QF ，FN ，QB '，易得//FN PQ ，且FN PQ =， ∴四边形PQFN 为平行四边形． NP FQ ∴=．222425NP BQ FQ B Q FB ∴+=+''=+=…． ∴当B '、Q 、F 三点共线时，NP BQ +最小，最小值为25．∴PQ NP BQ +的最大值为2210525=．【变式1】（2019•沈阳）•沈阳）如图，如图，如图，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，抛物线抛物线22(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线经过点(2,3)D --和点(3,2)E ，点P 是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE 和抛物线的表达式；（2）在y 轴上取点(0,1)F ，连接PF ，PB ，当四边形OBPF 的面积是7时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，的条件下，当点当点P 在抛物线对称轴的右侧时，在抛物线对称轴的右侧时，直线直线DE 上存在两点M ，N （点M 在点N 的上方），且22MN =，动点Q 从点P 出发，沿P M N A →→→的路线运动到终点A ，当点Q 的运动路程最短时，请直接写出此时点N 的坐标．解：（1）将点D 、E 的坐标代入函数表达式得：34229322a b a b -=-+⎧⎨++=⎩，解得：1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故抛物线的表达式为：213222y x x =-++，同理可得直线DE 的表达式为：1y x =-⋯①；（2）如图1，连接BF ，过点P 作//PH y 轴交BF 于点H ，将点FB 代入一次函数表达式，同理可得直线BF 的表达式为：114y x =-+，设点213(,2)22P x x x -++，则点1(,1)4H x x -+，211131412221722224OBF PFBOBPF SS S PH BO x x x ∆∆⎛⎫=+=⨯⨯+⨯⨯=+-+++-= ⎪⎝⎭四边形，解得：2x =或32，故点(2,3)P 或3(2，25)8；（3）当点P 在抛物线对称轴的右侧时，点(2,3)P ，过点M 作//A M AN '，过作点A '直线DE 的对称点A ''，连接PA ''交直线DE 于点M ，此时，点Q 运动的路径最短，22MN =Q ，相当于向上、向右分别平移2个单位，故点(1,2)A '，A A DE '''⊥，则直线A A '''过点A '，则其表达式为：3y x =-+⋯②，联立①②得2x =，则A A '''中点坐标为(2,1)，由中点坐标公式得：点(3,0)A ''，同理可得：直线A P ''的表达式为：39y x =-+⋯③，联立①③并解得：52x =，即点5(2M ，3)2，点M 沿ED 向下平移22个单位得：1(2N ，1)2-．【变式2】（2019•深圳）如图抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0)A -，点(0,3)C ，且OB OC =．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D 、E 在直线1x =上的两个动点，且1DE =，点D 在点E 的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值．（3）点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3:5两部分，求点P 的坐标．解：（1）OB OC =Q ，∴点(3,0)B ，则抛物线的表达式为：22(1)(3)(23)23y a x x a x x ax ax a =+-=--=--，故33a -=，解得：1a =-，故抛物线的表达式为：223y x x =-++⋯①，函数的对称轴为：1x =；（2）ACDE 的周长AC DE CD AE =+++，其中10AC =、1DE =是常数，故CD AE +最小时，周长最小，取点C 关于函数对称点(2,3)C '，则CD C D ='，取点(1,1)A '-，则A D AE '=，故：CD AE A D DC +='+'，则当A '、D 、C '三点共线时，CD AE A D DC +='+'最小，周长也最小，四边形ACDE 的周长的最小值10110110113AC DE CD AE A D DC A C =+++=++'+'=++''=++；（3）如图，设直线CP 交x 轴于点E ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3:5两部分，又11:():():22PCB PCA C P C P S S EB y y AE y y BE AE ∆∆=⨯-⨯-=Q ，则:BE AE ，3:5=或5:3，则52AE =或32，即：点E 的坐标为3(2，0)或1(2，0)，将点E 、C 的坐标代入一次函数表达式：3y kx =+，解得：6k =-或2-，故直线CP 的表达式为：23y x =-+或63y x =-+⋯② 联立①②并解得：4x =或8（不合题意值已舍去），故点P 的坐标为(4,5)-或(8,45)-．【变式3】如图，二次函数24y x x =-的图象与x 轴、直线y x =的一个交点分别为点A 、B ，CD 是线段OB 上的一动线段，且2CD =，过点C 、D 的两直线都平行于y 轴，与抛物线相交于点F 、E ，连接EF ．（1）点A 的坐标为，线段OB 的长= ；（2）设点C 的横坐标为m①当四边形CDEF 是平行四边形时，求m 的值；②连接AC 、AD ，求m 为何值时，ACD ∆的周长最小，并求出这个最小值．解：（1）24y x x =-Q 中，令0y =，则204x x =-，解得10x =，24x =，(4,0)A ∴，解方程组24y x y x x =⎧⎨=-⎩，可得00x y =⎧⎨=⎩或55x y =⎧⎨=⎩，(5,5)B ∴，225552OB ∴=+=．故答案为：(4,0)，52；（2）①Q 点C 的横坐标为m ，且////CF DE y 轴，(,)C m m ∴，2(,4)F m m m -，又2CD =Q ，且CD 是线段OB 上的一动线段，(2D m ∴+，2)m +，(2E m +，2(2)4(2))m m +-+，2(4)CF m m m ∴=--，22[(2)4(2)]DE m m m =+-+-+， Q 当四边形CDEF 是平行四边形时，CF DE =，22(4)2[(2)4(2)]m m m m m m ∴--=+-+-+，解得52m =；②如图所示，如图所示，过点过点A 作CD 的平行线，的平行线，过点过点D 作AC 的平行线，的平行线，交于点交于点G ，则四边形ACDG是平行四边形，AC DG ∴=，作点A 关于直线OB 的对称点A '，连接A D '，则A D AD '=，∴当A '，D ，G 三点共线时，A D DG A G ''+=最短，此时AC AD +最短， (4,0)A Q ，2AG CD ==， (0,4)A '∴，(42G +，2)，设直线A G '的解析式为y kx b =+，则42(42)b k b =⎧⎪⎨=++⎪⎩，解得94274k b ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线A G '的解析式为94247y x -=-+，解方程组94247y x y x =⎧⎪⎨-=-+⎪⎩，可得12221222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，1(222D ∴+，122)2+， 2CD =Q ，且CD 是线段OB 上的一动线段，1(222C ∴-，122)2-， ∴点C 的横坐标1222m =-，由(4,0)A ，1(222C -，122)2-可得，2211(422)(022)322AC =-++-+=，由(4,0)A ，1(222D +，122)2+可得，2211(422)(22)322AD =--++=，又2CD =Q ，ACD∴∆的周长2338CD AC AD =++=++=，故当1222m =-时，ACD ∆的周长最小，这个最小值为8．【变式4】（2016年福建龙岩压轴）如图，在直角坐标系中，抛物线259()28y a x =-+与M e 交于A ，B ，C ，D 四点，点A ，B 在x 轴上，点C 坐标为(0,2)-．（1）求a 值及A ，B 两点坐标；（2）点(,)P m n 是抛物线上的动点，当CPD ∠为锐角时，请求出m 的取值范围；（3）点E 是抛物线的顶点，M e 沿CD 所在直线平移，点C ，D 的对应点分别为点C '，D '，顺次连接A ，C '，D '，E 四点，四边形AC D E ''（只要考虑凸四边形）的周长是否存在最小值？若存在，请求出此时圆心M '的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）Q 抛物线259()28ya x =-+经过点(0,2)C -，2592(0)28a ∴-=-+，12a ∴=-，2159()228y x ∴=--+，当0y =时，2159()0228x --+=，14x ∴=，21x =， A Q 、B 在x 轴上， (1,0)A ∴，(4,0)B ．（2）由（1）可知抛物线解析式为2159()228y x =--+，C ∴、D 关于对称轴52x =对称，(0,2)C -Q ， (5,2)D ∴-，如图1中，连接AD 、AC 、CD ，则5CD =，(1,0)A Q ，(0,2)C -，(5,2)D -，5AC ∴=，25AD =，222AC AD CD ∴+=， 90CAD ∴∠=︒，CD ∴为M e 的直径，∴当点P 在圆外部的抛物线上运动时，CPD ∠为锐角， 0m ∴<或14m <<或5m >．（3）存在．如图2中，将线段C A '平移至D F '，则5AF C D CD =''==，(1,0)A Q ，(6,0)F ∴，作点E 关于直线CD 的对称点E '，连接EE '正好经过点M ，交x 轴于点N ，Q 抛物线顶点5(2，9)8，直线CD 为2y =-， 5(2E ∴'，4141))8-，连接E F '交直线CD 于H ，AE Q ，C D ''是定值，AC ED ∴'+'最小时，四边形AC D E ''的周长最小，AC D E FD D E FD E D E F '+'='+'='+'''Q …，则当点D '与点H 重合时，四边形AC D E ''的周长最小，设直线E F '的解析式为y kx b =+，5(2E 'Q ，41)8-，(6,0)F ， ∴可得411232814y x =-，当2y =-时，19041x =， 190(41H ∴，2)-，5(2M Q ，2)-， 1901554141DD ∴'=-=， Q 51517524182-=， 175(82M ∴'，2)-【变式5】（2014广州中考数学）已知平面直角坐标系中两定点(1,0)A -、(4,0)B ，抛物线22(0)y ax bx a =+-≠过点A ，B ，顶点为C ，点(P m ，)(0)n n <为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标；（2）当APB ∠为钝角时，求m 的取值范围；（3）若32m >，当APB ∠为直角时，将该抛物线向左或向右平移5(0)2t t <<个单位，点C 、P 平移后对应的点分别记为C '、P '，是否存在t ，使得首位依次连接A 、B 、P '、C '所构成的多边形的周长最短？若存在，构成的多边形的周长最短？若存在，求求t 的值并说明抛物线平移的方向；的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，若不存在，若不存在，请说请说明理由．解：（1）Q 抛物线22(0)y ax bx a =+-≠过点A ，B ，∴2016420a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴抛物线的解析式为：213222y x x =--； 221313252()22228y x x x =--=--Q ， 3(2C ∴，25)8-．（2）如图1，以AB 为直径作圆M ，则抛物线在圆内的部分，能使APB ∠为钝角，3(2M ∴，0)，M e 的半径52=．P 'Q 是抛物线与y 轴的交点，2OP ∴'=，2252MP OP OM ∴'='+=，P ∴'在M e 上，P ∴'的对称点(3,2)-，∴当10m -<<或34m <<时，APB ∠为钝角．（3）方法一：存在；抛物线向左或向右平移，因为AB 、P C ''是定值，所以A 、B 、P '、C '所构成的多边形的周长最短，只要AC BP '+'最小；第一种情况：抛物线向右平移，AC BP AC BP '+'>+，第二种情况：向左平移，如图2所示，由（2）可知(3,2)P -，又3(2C Q ，25)8- 3(2C t '∴-，25)8-，(3,2)P t '--， 5AB =Q ，(2,2)P t ∴''---，要使AC BP '+'最短，只要AC AP '+''最短即可，点C '关于x 轴的对称点3(2C t ''-，25)8，设直线P C ''''的解析式为：y kx b =+， 2(2)253()82t k bt k b -=--+⎧⎨=-+⎪⎩，解得412841132814k b t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ ∴直线414113282814y x t =++，当P ''、A 、C ''在一条直线上时，周长最小， 4141130282814t ∴-++=1541t ∴=．故将抛物线向左平移1541个单位连接A 、B 、P '、C '所构成的多边形的周长最短．方法二：AB Q 、P C ''是定值，A ∴、B 、P '、C '所构成的四边形的周长最短，只需AC BP '+'最小， ①若抛物线向左平移，设平移t 个单位，3(2C t ∴'-，2525))8-，(2,2)P t ''---， Q 四边形P ABP '''为平行四边形， AP BP ∴''='，AC BP '+'最短，即AC AP '+''最短，C '关于x 轴的对称点为3(2C t ''-，25)8， C ''，A ，P ''三点共线时，AC AP '+''最短，AC AP K K'''=，2502831212t t +=-++-+， 1541t ∴=． ②若抛物线向右平移，同理可得1541t =-， ∴将抛物线向左平移1541个单位时，A 、B 、P '、C '所构成的多边形周长最短．。

【中考冲刺】初三数学培优专题 25 平面几何的最值问题(含答案)(难)

平面几何的最值问题阅读与思考几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值．求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证．2．几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理．3．数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等．例题与求解【例1】在Rt △ABC 中，CB =3，CA =4，M 为斜边AB 上一动点．过点M 作MD ⊥AC 于点D ，过M 作ME ⊥CB 于点E ，则线段DE 的最小值为．（四川省竞赛试题）解题思路：四边形CDME 为矩形，连结CM ，则DE = CM ，将问题转化为求CM 的最小值．【例2】如图，在矩形ABCD 中，AB =20cm ，BC =10cm ．若在AC ，AB 上各取一点M ，N ，使BM +MN 的值最小，求这个最小值．（北京市竞赛试题）ADMN解题思路：作点B 关于AC 的对称点B ′，连结B ′M ，B ′A ，则BM = B ′M ，从而BM +MN = B ′M +MN ．要使BM +MN 的值最小，只需使B ′M 十MN 的值最小，当B ′，M ，N 三点共线且B ′N ⊥AB 时，B ′M +MN 的值最小．【例3】如图，已知□ABCD ，AB =a ，BC =b (b a )，P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q ．求AP +BQ 的最小值．（永州市竞赛试题）PDA BQ解题思路：设AP =x ，把AP ，BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式以ab b a 222≥+或a +b ≥2ab（当且仅当a =b 时取等号）来求最小值．【例4】阅读下列材料：问题如图1，一圆柱的底面半径为5dm ，高AB 为5dm ，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到C 点的最短路线．小明设计了两条路线：图2图1摊平沿AB 剪开ACBBA路线1：侧面展开图中的线段AC ．如图2所示．设路线l 的长度为l 1，则l 12 =AC 2=AB 2 +BC 2 =25+(5π) 2=25+25π2．路线2：高线AB 十底面直径BC ．如图1所示．设路线l 的长度为l 2，则l 22 = (BC +AB )2=(5+10)2 =225．∵l 12 – l 22 = 25+25π2－225=25π2－200=25(π2－8)，∴l 12 ＞l 22 ，∴ l 1＞l 2 ．所以，应选择路线2．条路线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到C 点的路线最短．（衢州市中考试题）解题思路：本题考查平面展开一最短路径问题．比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便．比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．【例5】如图，已知边长为4的正方形钢板，有一个角锈蚀，其中AF =2，BF =1．为了合理利用这块钢板，将在五边形EABCD 内截取一个矩形块MDNP ，使点P 在AB 上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率．（中学生数学智能通讯赛试题）NME DAB解题思路：设DN =x ，PN =y ，则S =xy ．建立矩形MDNP 的面积S 与x 的函数关系式，利用二次函数性质求S 的最大值，进而求钢板的最大利用率．【例6】如图，在四边形ABCD 中，AD =DC =1，∠DAB =∠DCB =90°，BC ，AD 的延长线交于P ，求AB ·S △P AB 的最小值．（中学生数学智能通讯赛试题）1ABD解题思路：设PD =x (x >1)，根据勾股定理求出PC ，证Rt △PCD ∽Rt △P AB ，得到PCPACD AB ，求出AB ，根据三角形的面积公式求出y =AB ·S △P AB ，整理后得到y ≥4，即可求出答案．能力训练A 级1．如图，将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形．容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是．（烟台市中考试题）2．D 是半径为5cm 的⊙O 内一点，且OD =3cm ，则过点O 的所有弦中，最短的弦AB = cm ．（广州市中考试题）3．如图，有一个长方体，它的长BC =4，宽AB =3，高BB 1=5．一只小虫由A 处出发，沿长方体表面爬行到C 1，这时小虫爬行的最短路径的长度是．（“希望杯”邀请赛试题）DD 1第1题图第3题图第4题图第5题图4．如图，在△ABC 中，AB =10，AC =8，BC =6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB ，CA 分别相交于点E ，F ，则线段EF 长度的最小值是( ) （兰州市中考试题）A ．42B ．4. 75C ．5D ．4. 85．如图，圆锥的母线长OA =6，底面圆的半径为2．一小虫在圆锥底面的点A 处绕圆锥侧面一周又回到点A ，则小虫所走的最短距离为( ) （河北省竞赛试题） A ．12B ．4πC ．62D ．636．如图，已知∠MON = 40°，P 是∠MON 内的一定点，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上移动，当△P AB 周长最小时，∠APB 的值为( ) （武汉市竞赛试题） A ．80° B ．100° C ．120° D ．140° 7．如图， ⌒AD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周，P 为AD 上任意一点．若AC =5，则四边形ACBP 周长的最大值是( ) （福州市中考试题） A ．15B ．20C ．15+52D ．15+55NM NMAOPBDCBCA DBA PE第6题图第7题图第8题图 8．如图，在正方形ABCD 中，AB =2，E 是AD 边上一点（点E 与点A ，D 不重合），BE 的垂直平分线交AB 于M ，交DC 与N ．(1) 设AE =x ，四边形ADNM 的面积为S ，写出S 关于x 的函数关系式．(2) 当AE 为何值时，四边形ADNM 的面积最大？最大值是多少？（山东省中考试题）9．如图，六边形ABCDEF 内接于半径为r 的⊙O ，其中AD 为直径，且AB =CD =DE =F A ． (1) 当∠BAD =75°时，求⌒BC 的长； (2) 求证：BC ∥AD ∥FE ；(3) 设AB =x ，求六边形ABCDEF 的周长l 关于x 的函数关系式，并指出x 为何值时，l 取得最大值．10．如图，已知矩形ABCD 的边长AB =2，BC =3，点P 是AD 边上的一动点（P 异于A 、D ）．Q 是BC边上任意一点．连结AQ，DQ，过P作PE∥DQ交于AQ于E，作PF//AQ交DQ于F．(1) 求证：△APE∽△ADQ；(2) 设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？(3) 当Q在何处时，△ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必证明）（无锡市中考试题）B Q11．在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．动点M，N分别在两腰AB，AC上(M不与A，B重合，N不与A，C重合)，且MN∥BC．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P．(1)当MN为何值时，点P恰好落在BC上？(2)设MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式，当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（宁夏省中考试题）B CAB级1．已知凸四边形ABCD中，AB+AC+CD= 16，且S四边彤ABCD=32，那么当AC= ，BD= 时，四边形ABCD面积最大，最大值是．（“华杯赛”试题）2．如图，已知△ABC的内切圆半径为r，∠A=60°，BC=23，则r的取值范围是．（江苏省竞赛试题）DBAB CAA第2题图第3题图第4题图第5题图3．如图⊙O的半径为2，⊙O内的一点P到圆心的距离为1，过点P的弦与劣弧⌒AB组成一个弓形，则此弓形面积的最小值为．4．如图，△ABC的面积为1，点D，G，E和F分别在边AB，AC，BC上，BD＜DA，DG∥BC，DE ∥AC ，GF ∥AB ，则梯形DEFG 面积的最大可能值为．（上海市竞赛试题）5．已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A ，B 分别在平面直角坐标系的x 轴，y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连结OC ，则OC 的最大值是．（潍坊市中考试题）6．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当P A + PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为( ) （鄂州市中考试题）A ．17172B ．17174C ．17178D ．3QADBCA BDCPP第6题图第7题图第8题图7．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，点P 是BC 边上不与点B ，C 重合的任意一点，连结AP ，过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q ．设BP 的长为x cm ，CQ 的长为y cm ． (1) 求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值；(2) 当y =41cm 时，求x 的值．（河南省中考试题）8．如图，y 轴正半轴上有两点A (0，a )，B (0，b )，其中a >b >0．在x 轴上取一点C ，使∠ACB 最大，求C 点坐标．（河北省竞赛试题）9．如图，正方形ABCD 的边长为1，点M ，N 分别在BC ，CD 上，使得△CM N 的周长为2．求： (1) ∠MAN 的大小；(2) △MAN 的面积的最小值．（“宇振杯”上海市竞赛试题）10，如图，四边形ABCD 中，AD = CD ，∠DAB =∠ACB =90°，过点D 作DE ⊥AC 于F ，DE 与AB相交于点E ．(1) 求证：AB ·AF =CB ·CD ； (2)已知AB =15cm ，BC =9cm ，P 是射线DE 上的动点，设DP =x cm(x >0)，四边形BCDP 的面积为y cm 2． ①求y 关于x 的函数关系式；②当x 为何值时，△PBC 的周长最小？求出此时y 的值．（南通市中考试题）MNExCB第6题图第7题图第8题图第9题图11．如图，已知直线l ：k kx y 42-+=(k 为实数)．(1) 求证：不论k 为任何实数，直线l 都过定点M ，并求点M 的坐标；(2) 若直线l 与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，求△AOB 面积的最小值．（太原市竞赛试题）12．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =x ，点F 在边AB 上，点G ，H 在边BC 上，四边形EFGH 是一个边长为y 的正方形，且AE =AC ． (1) 求y 关于x 的函数解析式；(2) 当x 为何值时，y 取得最大值？求出y 的最大值．（上海市竞赛试题）平面几何的最值问题例1125提示：当CM ⊥AB 时，CM 值最小，CM ＝125AC BC AB ⋅= 例2 如图，B ′M ＋MN 的最小值为点B ′到AB 的距离B ′F ，BE ＝45AB BCAC⋅=cm ，BB ′＝85cm ，AE ＝()2222204585AB BE --=．在△ABB ′中，由12BB ′•AE ＝12AB •B ′F ，得B ′F ＝16cm ．故BM ＋MN 的最小值为16cm ．例3 由△APD ∽△BPQ ，得AP AD BP BQ =，即BQ ＝()b a x AD BP AP x-⋅=，∴AP ＋BQ ＝x ＋ab b x -．∵x ＋ab x ≥2ab x ab x ⋅=仅当x ＝abx即x ab ，上式等号成立．故当AP ab ，AP ＋BQ 最小，其最小值为ab－b ．例4 ⑴22125l π=+，22l ＝49，l 1＜l 2，故要选择路线l 较短． ⑵()2221l h r π=+，()2222l h r =+，()2221244l l r r h π⎡⎤-=--⎣⎦．当r ＝244h π-时，2212l l =，当r ＞244h π-时，2212l l >，当r ＜244hπ-时，2212l l <．例5 设DN ＝x ，PN ＝y ，则S ＝xy ，由△APQ ∽△ABF ，得()41242y x -=--即x ＝10－2y ，代入S ＝xy 得S ＝xy ＝y (10－2y )，即S ＝－2252522y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，因3≤y ≤4，而y ＝52不在自变量y 的取值范围内，所以y ＝52不是极值点，当y ＝3时，S (3)＝12，当y ＝4时，S (4)＝8，故S max ＝12．此时，钢板的最大利用率21214212-⨯⨯＝80%．例6 设PD ＝x (x ＞1)，则PC 21x -，由R t △PCD ∽△P AB ，得AB ＝21CD PA PC x ⋅=-y ＝AB •S △P AB ，则y ＝12AB ×P A ×AB ＝()()2121x x +-，求y 的最小值，有下列不同思路：①配方：y ＝21212242121x x x x --++=+--1221x x -=-x ＝3时，y 有最小值4．②运用基本不等式：y ＝122221x x -++≥- 321221x x -⋅-＋2＝4，∴当12x -＝21x -，即当x ＝3时，y 有最小值4. ③借用判别式，去分母，得x 2＋2（1－y ）x ＋1＋2y ＝0，由△＝4（1－y ）2－4（1＋2y ）＝4y （y －4）≥0，得y ≥4，∴y 的最小值为4. A 级1. 17 提示：当两张纸条的对角重合时，菱形周长最大.2. 83.74 4. D 5. D 6. B7. C 提示：当点P 与点D 重合时，四边形ACBP 的周长最大.8. （1）连结ME ，过N 作NF ⊥AB 于F ，可证明Rt △EB A ≌Rt △MNF ，得MF ＝AE ＝x. ∵ME 2＝AE 2＋AM 2，故MB 2＝x 2＋AM 2，即（2－AM ）2＝x 2＋AM 2，AM ＝1－14x 2，∴S ＝2AM DN +×AD ＝2AM AF+×2＝AM ＋AM ＋MF ＝2 AM ＋AE ＝2（1－14x 2）＋x ＝－12x 2＋x ＋2.（2）S ＝－12（x 2－2 x ＋1）＋52＝－12（x －1）2＋52. 故当AE ＝x ＝1时，四边形ADNM 的面积最大，此时最大值为52. 9. （1）BC 长为23rπ. （2）提示：连结BD . （3）过点B 作BM ⊥AD 于M ，由（2）知四边形ABCD为等腰梯形，从而BC ＝AD －2 AM ＝2r －2 AM . 由△BAM ∽△DAB ，得AM ＝2AB AD ＝22x r ，∴BC ＝2r－2x r . 同理，EF ＝2 r －2x r . l ＝4 x ＋2（2 r －2x r ）＝－xr（x －r ）2＋6 r （0＜x 2 r ）. . 当x ＝r时，l 取得最大值6 r .10. （1）∵∠APE ＝∠ADQ ，∠AEP ＝∠AQD ，∴△APE ∽△ADQ . （2）由△APE ∽△ADQ ，△PDF ∽△ADQ ，S △PEF ＝12S □PEQF ，得S △PEF ＝－13x 2＋x ＝－13（x －32）2＋34. 故当x ＝32时，即P 是AD 的中点时，S △PEF 取得最大值，（3）作A 关于直线BC 的对称点A′，连结DA′交BC 于Q ，则这个Q 点就是使△ADQ 周长最小的点，此时Q 是BC 的中点.11. （1）点P 恰好在BC 上时，由对称性知MN 是△ABC 的中位线，∴当MN ＝12BC ＝3时，点P 在BC 上. （2）由已知得△ABC 底边上的高h ＝225-3＝4. ①当0＜x ≤3时，如图1，连结AP 并延长交BC 于点D ，AD 与MN 交于点O .由△AMN ∽△ABC ，得AO ＝23x ，y ＝S △PMN ＝S △AMN ＝12·x ·23x ＝13x 2即y ＝13x 2. 当＝3时，y 的值最大，最大值是3. ②当3＜x ＜6时，如图2，设△PMN 与BC 相交于点E ，F ，AP 与BC 相交于D . 由①中知AO ＝23x ，∴AP ＝43x ，∴PD ＝AP －AD ＝43x －4，∵△PEF ∽△ABC . ，∴PEFABC S S ∆∆＝(PD AD )2＝(4434x -)2，即PEF ABC S S ∆∆＝2-3)9x （. ∵S △ABC ＝12，∴S △PEF ＝43（x －3）2. ∴y ＝S △AMN －S △PEF ＝13x 2－43（x －3）2＝－x 2＋8x －12＝－（x －4）2＋4. 故当x ＝4时，y 的最大值为4. 综上，当x ＝4时，y 的值最大，最大值为4. B 级1. 8 2 32 提示：当∠CAB ＝∠ACD ＝90°时，四边形ABCD 的面积达到最大值.2. 0＜r ≤1 提示：设BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，b ＋c ＝3（r ＋1），又12bc sin60°＝S △ABC ＝12（a ＋b ＋c ）r ，即12bc ·32＝12［33r ＋1）］r ，. bc ＝4r （r ＋2）. b ，c 为方程x 2－3r ＋1）x ＋4r （r ＋2）＝0的两个根，由△≥0，得（r ＋1）≤22. 因r ＞0，r ＋1＞0，故r ＋1≤2，即0＜r ≤1. 3.249π3提示：过P 作垂直于OP 的弦AB ，此时弓形面积最小. 4.13 提示：设AD AB ＝x ，则BD BA ＝1－x ＝CG CA ，ADGABCS S ∆∆＝x 2，BDE ABC S S ∆∆＝（1－x ）2＝CFG ABC S S ∆∆，S 梯形DEFG＝1―x 2―2（1－x ）2＝－3（x －23）2＋13.5. 312+a 提示：当OA ＝OB 时，OC 的长最大.6. C7. （1）由Rt △ABP ∽Rt △PCQ ，得BP CQ ＝AB CP ，即x y ＝44x -，y ＝－14（x －2）2＋1（0＜x ＜4）. 当x ＝2时, y 最大值＝1cm. （2）由14＝－14（x －2）2＋1，得x ＝（2＋3）cm 或（2－3）cm. 8. 当过A ，B 两点的圆与x 轴正半轴相切时，切点C 为所求. 作O′D ⊥A B 于D . ，O′D 2＝ O′B 2－BD 2＝2()2a b +－2()2a b -＝ab ，O′D ＝ab 故点C 坐标为（ab ，0）.9. （1）如图，延长CB 到L ，使BL ＝DN ，则Rt △ABL ≌Rt △ADN ，得AL ＝AN ，∠1＝∠2，又∵N ＝2―CN ―CM ＝DN ＋BM ＝BL ＋BM ＝ML ，且AM ＝AM ，∠NAL ＝∠DAB ＝90°. ∴△AMN ≌△AML ，故∠MAN ＝∠MAL＝902＝45°. （2）设CM ＝x ，CN ＝y ，MN ＝z ，则2222222,2,x y z x y z x y z x y z ++==--⎧⎧⇔⎨⎨+=+=⎩⎩，于是，（2―y ―z ）2＋y 2＝z 2. 整理得2y 2＋（2z －4）y ＋（4－4z ）＝0. ∵y ＞0，故△＝4（z －2）2－32（1－z ）≥0，即（z ＋2＋22）（z ＋2－22）≥0. 又∵z ＞0，故z ≥22－2，当且仅当x ＝y ＝2－2时等号成立. 由于S △AMN ＝S △AML ＝12·ML ·AB ＝12 MN ×1＝2z ，因此，△AMN 的面积的最小值为2－1.10. （1）提示：证明△ADF ∽△BAC . （2）①AB ＝15，BC ＝9，∠ACB ＝90°，∴AC 22AB BC -＝2215912-=，∴CF ＝AF ＝6，∴()()19632702y x x x =+⨯=+>．②∵BC ＝９（定值），∴△PBC 的周长最小，就是PB ＋PC 最小，由（1）知，点C 关于直线DE 的对称点是点A ，所以PB ＋PC ＝PB ＋P A ，故只要求PB ＋P A 最小．显然当P 、A 、B 三点共线时PB ＋P A 最小，此时DP ＝DE ，PB ＋P A ＝AB ．由（1），角∠ADF ＝∠F AE ，∠DF A ＝∠ACB ＝90°，得△DAF ∽△ABC ．EF ∥BC ，得AE ＝BE ＝12AB ＝152，EF ＝92．∴ AF ∶BC ＝AD ∶AB ，即6∶9＝AD ∶15，∴AD ＝10．Rt △ADF 中，AD ＝10，AF ＝6，∴DF ＝8．∴DE ＝DF ＋FE ＝8＋92＝252． ∴当x ＝252时，△PBC 的周长最小，此时y ＝1292． 11．（1）令k ＝1，得y ＝x ＋2；令k ＝2，得y ＝2x ＋6，联立解得x ＝4，y ＝2，故定点（4，2）．（2）取x ＝0，得OB ＝2－4k （k ＜0），取y ＝0，得OA ＝()420k k k-<．于是△ABO 的面积()()114224022k S OA OB k k k-==-<，化简得()28820k S k +-+=．由()28640S ∆=--≥得2160S S -≥，故S ≥16．将S ＝16代入上述方程，得k ＝12-．故当k ＝12-，S 值最小． 12．（1）如图，延长EF 交AC 于点D ，DF ∥BC ，Rt △ADF ∽Rt △ACB ，AE ＝AC ＝x ，()2222DE x x y xy y =--=-22xy y y x y x -+-=，2x －2y －xy ＝22x xy y -，两边平方整理得(x 2＋2x ＋2)y 2－(x 3＋2x 2＋4x )y ＋2x 2＝0．解得2222x y x x =++(y ＝x 舍去) ．（2）由（1）22122222y x x ==+++≤ ．当且仅当2x x =，即2x =，上式等号成立．故当2x =，y 去最大21．。

初中九年级数学培优训练专题

初中九年级数学培优训练（奥数）专题01 二次根式的化简与求值阅读与思考二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧.有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是：1、直接代入直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值.数学思想：数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展.=x , y , n 都是正整数）例题与求解【例1】当x =时，代数式32003(420052001)x x --的值是（） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、20032-（绍兴市竞赛试题）【例2】化简（1(ba bab b -÷-- （黄冈市中考试题）（2（五城市联赛试题）（3（北京市竞赛试题）（4（陕西省竞赛试题）解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.【例3】比6大的最小整数是多少？（西安交大少年班入学试题）解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y==想一想：设x=求432326218237515x x x xx x x--++-++的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题）的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.【例4】设实数x ，y 满足(1x y =，求x ＋y 的值.（“宗泸杯”竞赛试题）解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.【例5】（1的最小值.（2的最小值.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对于（1）为a ，b 的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），设y =A （x ，0），B (4，5)，C (2，3)相当于求AB ＋AC 的最小值，以下可用对称分析法解决.方法精髓：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.【例6】设2)m a =≤≤，求1098747m m m m m +++++-的值.解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.能力训练A级1.化简：7()3“希望杯”邀请赛试题）2.若x y x y+=-=，则xy＝_____(北京市竞赛试题)3.+（“希望杯”邀请赛试题）4.若满足0＜x＜y=x，y）是_______（上海市竞赛试题）5.2x－3，则x的取值范围是（）A.x≤1B. x≥2C. 1≤x≤2D. x＞06）A．1B C. D. 5（全国初中数学联赛试题）7．a，b，c为有理数，且等式a+=成立，则2a＋999b＋1001c的值是（）A．1999 B. 2000 C. 2001D. 不能确定（全国初中数学联赛试题）8、有下列三个命题甲：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ+-是无理数；乙：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ-+是无理数；丙：若α，β其中正确命题的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个（全国初中数学联赛试题）9、化简：（1（2（3（4（天津市竞赛试题）（5（“希望杯”邀请赛试题）10、设52x=，求代数式(1)(2)(3)(4)x x x x++++的值.（“希望杯”邀请赛试题）117x=，求x的值.12、设x x ==（n 为自然数），当n 为何值，代数式221912319x xy y ++的值为1985？B 级1.已知3312________________x y x xy y ==++=则. (四川省竞赛试题)2.已知实数x ，y 满足(2008x y =，则2232332007x y x y -+--＝＿＿＿＿（全国初中数学联赛试题）3.已知42______1x x x ==++2x 那么. （重庆市竞赛试题）4.a =那么23331a a a ++＝＿＿＿＿＿. （全国初中数学联赛试题）5. a ，b 为有理数，且满足等式142a +=++则a ＋b ＝（）A .2B . 4C . 6D . 8(全国初中数学联赛试题)6．已知1,2a b c ===，那么a ，b ，c 的大小关系是（）.Aa b c << B . b ＜a ＜c C . c ＜b ＜c D . c ＜a ＜b(全国初中数学联赛试题)7.=） A . 1a a -B .1a a - C . 1a a+ D . 不能确定 8. 若[a ]表示实数a 的整数部分，则等于（）A .1B .2C .3D . 4（陕西省竞赛试题）9．把(1)a - ）A .B C. D .（武汉市调考题）10、化简：（1 （“希望杯”邀请赛试题）（210099++（新加坡中学生竞赛试题）（3（山东省竞赛试题）（4 （太原市竞赛试题）11、设01,x << 1≤<.（“五羊杯”竞赛试题）12的最大值.13、已知a , b , c为有理数，证明：222a b c a b c ++++为整数.初中九年级数学培优训练（奥数）专题02 从求根公式谈起阅读与思考一元二次方程是解数学问题的重要工具，在因式分解、代数式的化简与求值，应用题，各种代数方程，几何问题、二次函数等方面有广泛的应用.初学一元二次方程，需要注意的是： 1、熟练求解解一般形式的一元二次方程，因式分解法是基础，它体现了“降次求解”的基本设想，公式法具有一般性，是解一元二次方程的主要方法，对于各项系数较大的一元二次方程，可以先从分析方程的各项系数特征入手，通过探求方程的特殊根来求解，常用的两个结论是：① 若0=++c b a ，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有一根为1. ② 若0=+-c b a ，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有一根为1-.2、善于变形解有些与一元二次方程相关的问题时，直接求解常给解题带来诸多不便，若运用整体思想，构造零值多项式，降次变形等相关思想方法，则能使问题获得简解.思想精髓一元二次方程的求根公式为1,2x =这个公式形式优美，内涵丰富：① 公式展示了数学的抽象性，一般性与简洁美； ② 公式包含了初中阶段所学过的全部六种代数运算；③ 公式本身回答了解一元二次方程的全部的三个问题，方程有没有实数根？有实根时共有几个？如何求出实根？例题与求解例1 阅读下列的例题解方程： 2||20x x --=解：①当x ≥0时，原方程化为220x x --=，解得122,1x x ==-(舍)① 当0<x 时，原方程化为220x x +-=，解得11=x (舍)，22-=x 请参照例题解方程：2|3|30x x ---=，则方程的根是＿＿＿＿（晋江市中考试题）解题思路：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解.例2 方程2|1|(42)x x -=-+的解的个数为（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个（全国初中数学联赛试题）解题思路：通过去绝对值，将绝对值方程转化为一元二次方程求解.例3 已知m ，n 是二次方程2199970x x ++=的两个根，求22+19986)(20008)m m n n +++（的值.（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：若求出m ，n 值或展开待求式，则计算繁难，由方程根的定义可得关于m ，n 的等式，不妨从变形等式入手.反思：一元二次方程常见的变形方法有：①把20(0)ax bx c a ++=≠变形为2ax bx c =--②把20(0)ax bx c a ++=≠变形为2ax bx c +=-③把20(0)ax bx c a ++=≠变形为cax b x+=- 其中①②体现了“降次”代换的思想；③则是构造倒数关系作等值代换. 例4 解关于x 的方程：2(1)(21)30m x m x m -+-+-=解题思路：因未指明关于x 的方程的类型，故首先分01=-m 及1-m ≠0两种情况，当1-m ≠0时，还考虑就24b ac -的值的三种情况加以讨论.例5 已知三个不同的实数a ，b ，c 满足3=+-c b a ,方程012=++ax x 和02=++c bx x ，有一个相同的实根，方程02=++a x x 和02=++b cx x 也有一个相同的实根，求a ，b ，c 的值.解题思路：这是一个一元二次方程有公共根的问题，可从求公共根入手.方法指导：公共根问题是一元二次方程常见问题，解这类问题的基本方法是： ①若方程便于求出简单形式的根，则利用公共根相等求解. ②设出公共根，设而不求，消去二次项.例6 已知a 是正整数，如果关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根.（全国初中数学联赛试题）解题思路：本题有两种解法，由方程系数特点发现1为隐含的根，从而将试题进行降次处理，或变更主元，将原方程整理为关于a 的较低次数的方程.能力训练 A 级1、已知方程062=+-q x x 可以配成()72=-p x 的形式，那么262=+-q x x 可以配成＿＿＿＿＿_________的形式.（杭州市中考试题）2、若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于＿＿＿＿.（天津市中考试题）3、设方程2199319940,x x +-=和2(1994)1993199510x x -⋅-=的较小的根分别为α，β，则βα⋅＝＿＿＿.4、方程2|45|62x x x +-=-的解应是＿＿＿＿（上海市竞赛试题） 5、方程23(1)1x x x ++-=的整数解的个数是＿＿＿＿.（山东省选拔赛试题）6、若关于x 的一元二次方程22(1)5320m x x m m -++-+=的常数项为0，则m 的值等于（） A 、1 B 、2 C 、1或2 D 、0（德州市中考试题）7、已知a , b 都是负实数，且1110a b a b +-=-，那么ba的值是（）A 、12+ B 、12- C 、12- D 、12+- （江苏省竞赛试题）8、方程2||10x x --=的解是（）A B C D 、9、已知a 是方程2199910x x -+=的一个根，求22199919981a a a -++的值.10、已知2410a a ++=且42321322a ma a ma a--=++，求m 的值. （荆州市竞赛试题）11、是否存在某个实数m ，使得方程220x mx ++=和220x x m ++=有且只有一个公共根？如果存在，求出这个实数m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由.12、已知关于x 的方程2(4)(8)(8012)320k k x k x ----+=的解都是整数，求整数k 的值.B 级1、已知α、β是方程2(2)10x m x +-+=的两根，则22(1)(1m )m ααββ++++的值为＿＿＿ 2、若关于x 的方程20x px q ++=与20x qx p ++=只有一个公共根，则1999(p q)+＝＿＿＿3、设a , b 是整数，方程20x ax b ++=，则b a +=_________(全国通讯赛试题)4、用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程22[]30x x --=解的个数为（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 5、已知1||1a a -=，那么代数式1||a a+=（）A B 、 C 、 D 6、方程||3||20x x x -+=的实根的个数为（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个7、已知2519910x x --=，则代数式42(2)(1)1(1)(2)x x x x -+----的值为（）A 、1996B 、1997C 、1998D 、19998、已知三个关于x 的一元二次方程2220,0,0ax bx c bx cx a cx ax b ++=++=++=恰有一个公共实根，则222a b c bc ca ab++的值为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3（全国初中数学联赛试题）9、已知x =，求4322621823815x x x x x x --++-+的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题）10、设方程2|21|40x x ---=，求满足该方程的所有根之和.（重庆市竞赛试题）11、首项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++= ①及222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++= ②（其中a ， b 为正整数）有一个公共根，求b ab aa b a b --++的值.（全国初中数学联赛试题）12、小明用下面的方法求出方程30=的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，初中九年级数学培优训练（奥数）专题04 根与系数关系阅读与思考根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在： 1．求方程中字母系数的值或取值范围； 2．求代数式的值；3．结合根的判别式，判断根的符号特征； 4．构造一元二次方程； 5．证明代数等式、不等式．当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0．例题与求解【例1】设关于x 的二次方程22(4)(21)10m x m x -+-+=(其中m 为实数)的两个实数根的倒数和为s ，则s 的取值范围是_________.【例2】如果方程2(1)(2)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m 的取值范围是_________.A ．01m ≤≤B ．34m ≥C ．314m <≤D ．314m ≤≤【例3】已知α，β是方程2780x x -+=的两根，且αβ>．不解方程，求223βα+的值．【例4】设实数,s t 分别满足22199910,99190s s t t ++=++=并且1st ≠，求41st s t++的值．【例5】（1）若实数,a b 满足258a a +=，258b b +=，求代数式1111b a a b --+--的值；（2）关于,,x y z 的方程组32236x y z axy yz zx ++=⎧⎨++=⎩有实数解(,,)x y z ，求正实数a 的最小值；（3）已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=，求432234x x y x y xy y ++++的值．【例6】 ,,a b c 为实数，0ac <0++=，证明一元二次方程20ax bx c ++=有大于1的根．能力训练A 级1．已知m ，n 为有理数，且方程20x mx n ++=2，那么m n += ．2．已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为． 3．当m = 时，关于x 的方程228(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数；当时，关于x 的方程22240x mx m -+-=的两根都是正数；当时，关于m 的方程23280x x m ++-=有两个大于2-的根．4．对于一切不小于2的自然数n ．关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两根记为,n n a b (2)n ≥则223320072007111(2)(2)(2)(2)(2)(2)a b a b a b +++=------ ．5．设12,x x 是方程222(1)(2)0x k x k -+++=的两个实根，且12(1)(1)8x x ++=，则k 的值为（） A ．31-或 B ．3- C ．1 D ．12k ≥的一切实数 6．设12,x x 是关于x 的一元二次方程22x x n mx ++-=的两个实数根，且1210,30x x x <-<，则（） A ．12m n >⎧⎨>⎩ B ．12m n >⎧⎨<⎩ C ．12m n <⎧⎨>⎩ D ．12m n <⎧⎨<⎩7．设12,x x 是方程220x x k +-=的两个不等的实数根，则22122x x +-是（）A ．正数B ．零C ．负数D ．不大于零的数8．如图，菱形ABCD 的边长是5，两对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，那么m 的值是（）A ．3-B ．5C ．53-或D ．53-或9．已知关于x 的方程：22(2)04m x m x --=．（1）求证：无论m 取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程的两个根是12,x x ，且满足212,x x =+求m 的值及相应的12,x x ．10．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程2430kx x +-=的两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）是否存在这样的实数k ，使12123222x x x x +-=成立？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．11．如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，过C 点作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝m ，BD ＝n ，且AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．DBAC12．已知,m n 是正整数，关于x 的方程2()0x mnx m n -++=有正整数解，求,m n 的值．B 级1．设1x ，2x 是二次方程032=-+x x 的两根，则3212419x x -+= ．2．已知1ab ≠，且有25199580a a ++=及28199550b b ++=则ab= ． 3．已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12,x x ，且221224x x +=，则4．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程22x ax a ++=的两个实数根，则1221(2)(2)x x x x --的最大值为．5．如果方程210x px ++=（p ＞0）的两根之差为1，那么p 等于（）A ．2B ．4CD 6．已知关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12,x x ，且22127x x +=，则212()x x -的值是 ( )A ．1B ．12C ．13D ．257．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是 ( ) A ．23 B ．25C ．5D ．2 8．设213a a +=，213b b +=且a b ≠，则代数式2211a b+的值为（） A ．5 B ．7 C ．9 D ．119．已知,a b 为整数，a b >，且方程233()40x a b x ab +++=的两个根,αβ满足关系式(1)(1)(1)(1)ααββαβ+++=++．试求所有整数点对(,)a b ．10．若方程2310x x ++=的两根,αβ也是方程620x px q -+=的两根，其中,p q 均为整数，求,p q 的值．11.设,a b 是方程2310x x -+=的两根，c ，d 是方程2420x x -+=的两根，已知a b c dM b c d c d a d a b a b c+++=++++++++．求证：（1）222277a b c d M b c d c d a d a b a b c +++=-++++++++；（2）33334968a b c d M b c d c d a d a b a b c+++=-++++++++．12．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的一元二次方程222(2)310x m x m m +-+-+=有两个不相等实数根12,x x ．（1）若22126x x +=，求m 的值；（2）求22121211mx mx x x +--的最大值．13．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值．初中九年级数学培优训练（奥数）专题06 转化与化归----特殊方程、方程组阅读与思考特殊方程、方程组通常是指高次方程（组）（次数高于两次）、结构巧妙而富有规律性的方程、方程组.降次与消元是解特殊方程、方程组的基本策略，而降次与消元的常用方法是： 1、因式分解； 2、换元； 3、平方； 4、巧取倒数；5、整体叠加、叠乘等.转化是解各类特殊方程、方程组的基本思想，而化归的途径是降次与消元，而化归的方向是一元二次方程，这也可以说是“九九归宗”.例题与求解【例1】已知方程组⎩⎨⎧=+=+233522y x y x 的两组解是),(11y x 与),(22y x ，则1221y x y x +的值是_______ （北京市竞赛题）解题思路：通过消元，将待求式用同一字母的代数式表示，运用根与系数的关系求值.【例2】方程组⎩⎨⎧=+=+2363yz xz yz xy 的正整数解的组数是（）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组解题思路:原方程组是三元二次，不易消元降次，不妨从分析常数的特征入手．【例3】解下列方程:（1） 42)113(1132=+-++-x xx x x x ；（“祖冲之杯”邀请赛试题）（2）121193482232222=+-++-++x x x x x x x x ；（河南省竞赛试题）（3） 1)1998()1999(33=-+-x x ；（山东省竞赛试题）（4） 222222)243()672()43(+-=+-+-+x x x x x x （“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：注意到方程左边或右边项与项的结构特点、内在联系，利用换元法求解.【例4】解下列方程组:（1） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+-+;612,331y y x y x y x （山东省竞赛试题）（2） ⎩⎨⎧=++=++;2454,144)53)(1(2y x x y x x x （西安市竞赛试题）（3） ⎩⎨⎧+-=+-=.23,23232232y y y x x x x y （全苏数学奥林匹克试题）解题思路：观察发现方程组中两个方程的特点和联系，用换元法求解或整体处理.【例5】若关于x 的方程xkx x x x x k 1122+=---只有一个解（相等的解也算一个）.试求k 的值与方程的解.（江苏省竞赛试题）【例6】方程02006322=+++-y x xy x 的正整数解有多少对？（江苏省竞赛试题）解题思路：确定主元，综合利用整除及分解因式等知识进行解题.能力训练A 级1．方程1)1(3)1(222=+-+xx x x 的实数根是_____________. 2．()()()22222224367243+-=+-+-+x xx x x x ，这个方程的解为x =_________________.3．实数z y x ,,满足⎩⎨⎧=+-+-=,0223,362z xy y x y x 则zy x +2的值为_______________.（上海市竞赛题） 4．设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0,0,01222b ax x a x bx bx ax 有实数解，则.________1=++b a（武汉市选拔赛试题）5．使得()()()()7823142222+-++=--x x x x x x 成立的x 的值得个数为（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个（“五羊杯”竞赛试题）6．已知方程组⎩⎨⎧=-=+1,22z xy y x 有实数根，那么它有（）A ．一组解B ．二组解C ．三组解D ．无数组解（“祖冲之杯”邀请赛试题） 7．设a a 312=+，b b 312=+且b a ≠，则代数式2211ba +的值为（）A ．5B ．7C ．9D ．118．已知实数y x ,满足20,922=+=++xy y x y x xy ，则22y x +的值为（）A ．6B ．17C ．1D ．6或179．已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧=-+=-222)(3,p y x p xy p y x 有整数解()y x ,，求满足条件的质数p .（四川省竞赛试题）10．已知方程组⎩⎨⎧=+-=++-01,022y x a y x 的两个解为⎩⎨⎧==,,11y y x x ⎩⎨⎧==,,22y y x x 且21,x x 是两个不等的正数.（1）求a 的取值范围；（2）若116832212221--=-+a a x x x x ，试求a 的值.（南通市中考试题）11．已知b a ,是方程012=--t t 的两个实根，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+.1,1y ayb x x b ya x（“祖冲之杯”邀请赛试题）12．已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为q p ,，且满足关系式()⎩⎨⎧=+=++,6,5122pq q p p q p 试求这个一元二次方程.（杭州市中考试题）B 级1．方程组⎪⎩⎪⎨⎧==++++=++43251z y x z y x z y x 的解是___________________.2．已知x x x x x 71357139722=+-+++，则x 的值为______________.（全国初中数学联赛试题）3．已知实数00,y x 是方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==11x y xy 的解，则._________00=+y x （全国初中数学联赛试题）4．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=3411,9y xxy 的解是_________________. （“希望杯”邀请赛试题）5．若二元二次方程组()⎩⎨⎧+-==-12,122x k y y x 有唯一解，则k 的所有可能取值为______________.（《学习报》公开赛试题）6．正数654321,,,,,x x x x x x 同时满足1165432=x x x x x x ，2265431=x x x x x x ，3365421=x xx x x x ，4465321=x x x x x x ，6564321=x x x x x x ，9654321=x xx x x x . 则654321x x x x x x +++++的值为________.（上海市竞赛试题）7．方程06623=+--x x x 的所有根的积是（）A ．3B ．-3C ．4D ．-6E ．以上全不对（美国犹他州竞赛试题）8．设y x ,为实数，且满足()()()()⎩⎨⎧=-+--=-+-,1119991,111999133y y x x 则=+y x （） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2（武汉市选拔赛试题）9．已知⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=,3,2,1222z y x z y x xyz 则111111-++-++-+y zx x yz z xy 的值为（）A ．1B ．21-C ．2D ．32-10．对于实数a ，只有一个实数值x 满足等式012211112=-++++-+-+x a x x x x x ，试求所有这样的实数a 的和.（江苏省竞赛试题）11．解方程a x x x x =--+-+1212，其中0>a ，并就正数a 的取值，讨论此方程解的情况.（陕西省竞赛试题）12．已知c b a ,,三数满足方程组⎩⎨⎧=+-=+,4828,82c c ab b a 试求方程02=-+a cx bx 的根. （全国初中数学联赛试题）13．解下列方程（组）：（1）()1639322=-+x x x ；（武汉市竞赛试题）（2）()()()6143762=+++x x x ；（湖北省竞赛试题）（3）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+,414,414,414222222x z z z y yy x x （加拿大数学奥林匹克竞赛试题）初中九年级数学培优训练（奥数）专题08 二次函数阅读与思考二次函数是初中代数的重要内容，既有着应用非常广泛的丰富性质，又是进一步学习的基础，主要知识与方法有：1.二次函数解析式c bx ax y ++=2的系数符号，确定图象的大致位置.2.二次函数的图象是一条抛物线，抛物线的形状仅仅与a 有关，a b 2-与（ab2-，a b ac 442-）决定抛物线对称轴与顶点的位置.3.二次函数的解析式通常有下列三种形式： ①一般式：c bx ax y ++=2； ②顶点式n m x a y +-=2)(：；③交点式：))((21x x x x a y --=，其中1x ，2x 为方程02=++c bx ax 的两个实根. 用待定系数法求二次函数解析式，根据不同条件采用不同的设法，可使解题过程简捷.例题与求解【例1】二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，现有以下结论：①0>abc ；②c a b +<；③024>++c b a ；④b c 32<；⑤()()1≠+>+m b am m b a .其中正确的结论有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个（天津市中考试题）解题思路：由抛物线的位置确定a ，b ，c 的符号，解题关键是对相关代数式的意义从函数角度理解并能综合推理.【例2】若二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（－1，0），则c b a S ++=的值的变化范围是（）A .0＜S ＜1B . 0＜S ＜2C . 1＜S ＜2D . －1＜S ＜1 （陕西省竞赛试题）解题思路：设法将S 表示为只含一个字母的代数式，求出相应字母的取值范围，进而确定S 的值的变化范围.【例3】某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）. 在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面3210米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会失误.（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为533米.此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由. （河北省中考试题）解题思路：对于（2），判断此次跳水会不会失误，关键时求出距池边的水平距离为533米时，该运动员与跳台的垂直距离.【例4】如图，在直角坐标xOy 中，二次函数图象的顶点坐标为C （4，3 ），且在x 轴上截得的线段AB 的长为6.（1）求二次函数的解析式；（2）在y 轴上求作一点P （不写作法），使P A ＋PC 最小，并求P 点坐标；（3）在x 轴的上方的抛物线上，是否存在点Q ，使得以Q ，A ，B 三点为顶点的三角形与△ABC 相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由. （泰州市中考试题）解题思路：对于（1）、（2），运用对称方法求出A ，B ，P 点坐标；对于（3），由于未指明对应关系，需分类讨论.【例5】如图，已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE ，其中AF ＝2，BF ＝1.试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积. （辽宁省中考试题）解题思路：设DN ＝PM ＝x ，矩形PNDM 的面积为y ，建立y 与x 的函数关系式. 解题的关键是：最值点不一定是抛物线的顶点，应注意自变量的取值范围.PMF E DNCBA【例6】将抛物线33:211+-=x y c 沿x 轴翻折，得抛物线2c ，如图所示.（1）请直接写出抛物线2c 的表达式.（2）现将抛物线1c 向左平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A ，B ；将抛物线2c 向右也平移移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D ，E .①当B ，D 是线段AE 的三等分点时，求m 的值；②在平移过程中，是否存在以点A ，N ，E ，M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由. （江西省中考试题）解题思路：把相应点的坐标用m 的代数式表示，由图形性质建立m 的方程. 因m 值不确定，故解题的关键是分类讨论.能力训练A 级1.已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，则a 的值为__________.2.已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于B ，C 两点，且BC ＝2，ABC S ∆＝3，则b＝（四川省中考试题）3.已知二次函数cbxaxy++=2的图象如图所示.（1）这个二次函数的解析式是y＝_________；（2）当x＝________时，3=y；（3）根据图象回答，当x_______时，0>y. （常州市中考试题）4.已知二次函数的图象经过原点及点（21-，41-），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为_______________. （安徽省中考试题）5.二次函数cbxaxy++=2与一次函数caxy+=在同一坐标系中的图象大致是（）A B C D6.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数cbxxy++=2的图象过点（1，0）……求证：这个二次函数的图象关于直线2=x对称，根据现有信息，题中的二次函数图象不具有的性质是（）A.过点（3，0）B.顶点是（2，－2）C.在x轴上截得的线段长度是2D.与y轴的交点是（0，3）（盐城市中考试题）7.如图，抛物线cbxaxy++=2与两坐标轴的交点分别是A，B，E，且△ABE是等腰直角三角形，AE ＝BE，则下列关系式不能总成立的是（）（大连市中考试题）A.0=b B. 2cSABE=∆C.1-=ac D.0=+ca第7题图第8题图8.如图，某中学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米处高各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（精确到0.1米，水泥建筑物厚度A .9.2米B .9.1米C .9米D .5.1米（吉林省中考试题）9.如图，是某防空部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图. 在地面O ，A 两个观测点测得空中固定目标C 的仰角分别为α和β，OA ＝1千米，tan α＝289, tan β＝83,位于O 点正上方35千米D 点处的直升机向目标C 发射防空导弹，该导弹运行到达距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米（即图中E 点）.（1）若导弹运行为一抛物线，求抛物线的解析式；（2）说明按（1）中轨道运行的导弹能否击中目标的理由.（河北省中考试题）10.如图，已知△ABC 为正三角形，D ，E 分别是边AC 、BC 上的点（不在顶点），∠BDE ＝60°. （1）求证：△DEC ∽△BDA ；（2）若正三角形ABC 的边长为6，并设DC ＝x ，BE ＝y ，试求出y 与x 的函数关系式，并求BE 最短时，△BDE 的面积.CEDBA11.如图，在平面直角坐标系中，OB ⊥OA 且OB ＝2OA ，点A 的坐标是（－1，2）. （1）求点B 的坐标；（2）求过点A ，O ，B 的抛物线的解析式；（3）连结AB ，在（2）中的抛物线上求出点P ，使ABO ABP S S ∆∆=.(陕西省中考试题)12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线n mx x y ++=2经过点A （3，0），B （0，－3）两点，点P 是直线AB 上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M .设点P 的横坐标为t ；（1）分别求直线AB 和这条抛物线的解析式；（2）若点P 在第四象限，连结BM ，AM ，当线段PM 最长时，求△ABM 的面积；（3）是否存在这样的点P ，使得以点P ，M ，B ，O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由. （南宁市中考试题）B 级1.已知二次函数c x x y +-=62的图象顶点与坐标原点的距离为5，则c ＝________.2.如图，四边形ABCD 是矩形，A ，B 两点在x 的正半轴上，C ，D 两点在抛物线x x y 62+-=上.设OA 的长为m (0＜m ＜3).矩形ABCD 的周长为l ，则l 与m 的函数解析式为__________________. （昆明市中考试题）第2题图第3题图第4题图3.如图，在⊙O 的内接△ABC 中，AB ＋AC ＝12，AD ⊥BC ，垂足为D （点D 在边BC 上），且AD ＝3，当AB 的长等于________时, ⊙O 的面积最大，最大面积为___________.4.如图，已知二次函数)0(21≠++=a c bx ax y 与一次函数)0(2≠+=k m kx y 的图象相交于点A （－2，4），B （8，2），则能使21y y >成立的x 的取值范围时______________. (杭州市中考试题)5.已知函数c bx ax y ++=2的图象如下图所示，则函数c ax y +=的图象只可能是（）（重庆市中考试题）A B C D6.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列6个代数式：ab ，ac ，c b a ++，c b a +-，b a +2，b a -2中，其值为正的式子个数为 ( )A .2个B .3个C .4个D .4个以上（全国初中数学联赛试题）7.已知抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）的对称轴是2=x ，且经过点P (3,0)则c b a ++的值为（） A .－1 B .0 C .1 D .2 8.已知二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的对称轴是2=x ，且当0,,2321===x x x π时，二次函数y 的值分别时321,,y y y ，那么321,,y y y 的大小关系是（）A . 321y y y >>B . 321y y y <<C . 312y y y <<D . 312y y y >>9.已知抛物线4)343(2++-=x m mx y 与x 轴交于两点A ，B ，与y 轴交于C 点，若△ABC 是等腰三角形，求抛物线的解析式. （“新世纪杯”初中数学竞赛试题） 10.如图，已知点M ，N 的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P 是抛物线241x y =上的一个动点. （1）判断以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1-=y 的位置关系；（2）设直线PM 与抛物线241x y =的另一个交点为Q ，连结NP ，NQ ，求证：∠PNM ＝∠QNM . （全国初中数学竞赛试题）。

【中考冲刺】初三数学培优专题 24 平面几何的定值问题(含答案)(难)

平面几何的定值问题【阅读与思考】所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内变化时，与它有关的元素的量保持不变（或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变）.几何定值问题的基本特点是：题设条件中都包含着变动元素和固定元素，变动元素是指可变化运动的元素，固定元素也就是“不变量”，有的是明显的，有的是隐含的，在运动变化中始终没有发生变化的元素，也就是我们要探求的定值. 解答定值问题的一般步骤是： 1. 探求定值； 2. 给出证明.【例题与求解】【例1】如图，已知P 为正方形ABCD 的外接圆的劣弧AD⌒上任意一点. 求证：PA PC PB为定值. 解题思路：线段的和差倍分考虑截长补短，利用圆的基本性质，证明三角形全等.P AB CD【例2】如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A ，B 两点）上移动时，点P （） A . 到CD 的距离保持不变 B . 位置不变C . 等分DB⌒ D . 随C 点的移动而移动（济南市中考试题）解题思路：添出圆中相关辅助线，运用圆的基本性质，用排除法得出结论.A【例3】如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足. 求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角.（加拿大数学奥林匹克试题）解题思路：不管ST 滑到什么位置，∠SOT 的度数是定值. 从探寻∠SPM 与∠SOT 的关系入手.B【例4】如图，扇形OAB 的半径OA =3，圆心角∠AOB =90°. 点C 是AB⌒上异于A ，B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E . 连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且DG =GH =HE .（1）求证：四边形OGCH 是平行四边形；（2）当点C 在AB ⌒上运动时，在CD ，CG ，DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；（3）求证：CD 2+3CH 2是定值. （广州市中考试题）解题思路：延长OG 交CD 于N ，利用题中的三等分点、平行四边形和三角形中位线的性质，实现把线段ON 转化成线段CH 的倍分关系，再以Rt △OND 为基础，通过勾股定理，使问题得以解决.BOACE HGD 【例5】如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，且C 为弧AE 的中点，AE 交y 轴于G 点. 若点A 的坐标为（-2，0），AE =8. （1）求点C 的坐标；（2）连接MG ，BC ，求证：MG ∥BC ；（3）如图2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P . 动点F 在⊙M 的圆周上运动时，PFOF的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律. （深圳市中考试题）解题思路：对于（3）从动点F 达到的特殊位置时入手探求定值.【例6】如图，已知等边△ABC 内接于半径为1的圆O ，P 是⊙O 上的任意一点. 求证：P A 2+PB 2+PC 2为定值.解题思路：当点P 与C 点重合时，P A 2+PB 2+PC 2=2BC 2为定值，就一般情形证明.A【能力训练】A 级1. 如图，点A ，B 是双曲线xy 3=上的两点，分别经过A ，B 两点向x 轴，y 轴作垂线段. 若S 阴影=1，则=+21S S _______.（牡丹江市中考试题）AABCDEF（第3题图）（第4题图）2. 从等边三角形内一点向三边作垂线段，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的面积是__________.（全国初中数学联赛试题）3. 如图，OA ，OB 是⊙O 任意两条半径，过B 作BE ⊥OA 于E ，又作OP ⊥AB 于P ，则定值OP 2+EP 2为_________.4. 如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，F 是DC 的中点，AF 的延长线交BC 的延长线于点E ，则直线BF 与直线DE 所夹的锐角的度数为（）A . 30°B . 40°C . 50°D . 60°（武汉市竞赛试题）5. 如图，在⊙O 中，P 是直径AB 上一动点，在AB 同侧作A A '⊥AB ，AB B B ⊥'，且A A '=AP ，B B '=BP . 连接B A ''，当点P 从点A 移动到点B 时，B A ''的中点的位置（）A ．在平分AB 的某直线上移动 B . 在垂直AB 的某直线上移动C . 在弧AMB 上移动D . 保持固定不移动AB'B（第5题图）（第6题图）6. 如图，A ，B 是函数xky图象上的两点，点C ，D ，E ，F 分别在坐标轴上，且分别与点A ，B ，O 构成正方形和长方形. 若正方形OCAD 的面积为6，则长方形OEBF 的面积是（） A . 3 B . 6 C . 9 D . 12（海南省竞赛试题））7. （1）经过⊙O 内或⊙O 外一点P 作两条直线交⊙O 于A ，B 和C ，D 四点，得到如图①~⑥所表示的六种不同情况. 在六种不同情况下，P A ，PB ，PC ，PD 四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来. 请你首先写出这个式子，然后只就如图②所示的圆内两条弦相交的一般情况给出它的证明.⑥⑤④③②①)P (B )PB（2）已知⊙O 的半径为一定值r ，若点P 是不在⊙O 上的一个定点，请你过点P 任作一直线交⊙O 于不重合的两点E ，F . PE ·PF 的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字叙述出来.（济南市中考试题）8. 在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A ，C 分别在y 轴，x 轴的正半轴上，点O 在原点，现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线x y =上时停止旋转. 旋转过程中，AB 边交直线x y =于点M ，BC 边交x 轴于点N .（1）求OA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN 与AC 平行时，求正方形OABC 旋转度数；（3）设△MBN 的周长为P ，在正方形OABC 旋转的过程中，P 值是否有变化？请证明你的结论.（济宁市中考试题）9. 如图，AB 是半圆的直径，AC ⊥AB ，AC =AB . 在半圆上任取一点D ，作DE ⊥CD ，交直线AB 于点E ，BF ⊥AB ，交线段AD 的延长线于点F .（1）设弧AD 是x °的弧，若要点E 在线段BA 的延长线上，则x 的取值范围是_______.（2）不论点D 取在半圆的什么位置，图中除AB ＝AC 外，还有两条线段一定相等. 指出这两条相等的线段，并予证明.（江苏省竞赛试题）（第9题图）（第10题图）（第11题图）10. 如图，内接于⊙O 的四边形ABCD 的对角线AC 与BD 垂直相交于点K ，设⊙O的半径为R . 求证：（1）2222DK CK BK AK +++是定值；（2）2222DA CD BC AB +++是定值.PD CB A A11. 如图，设P 是正方形ABCD 外接圆劣弧弧AB 上的一点，求证：DPCP BPAP ++的值为定值.（克罗地亚数学奥林匹克试题）B 级1.等腰△ABC 的底边BC 为定长2，H 为△ABC 的垂心. 当顶点A 在保持△ABC 为等腰三角形的情况下改变位置时，面积S △ABC ·S △HBC 的值保持不变，则S △ABC ·S △HBC =________.2. 已知A ，B ，C ，D ，E 是反比例函数xy 16=（x ＞0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是__________（用含π的代数式表示）.（福州市中考试题）折叠，使点A ，B 落在六边形ABCDEF 的内部，记∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝α，则下列结论一定正确的是（）A . ∠1＋∠2＝900°－2αB . ∠1＋∠2＝1080°－2αC . ∠1＋∠2＝720°－αD . ∠1＋∠2＝360°－21α （武汉市竞赛试题）（第3题图）（第4题图）4. 如图，正△ABO 的高等于⊙O 的半径，⊙O 在AB 上滚动，切点为T ，⊙O 交AO ，BO 于M ，N ，则12GF ED CHBAA . 在0°到30°变化B . 在30°到60°变化C . 保持30°不变D . 保持60°不变5. 如图，AB 是⊙O 的直径，且AB =10，弦MN 的长为8. 若MN 的两端在圆上滑动时，始终与AB 相交，记点A ，B 到MN 的距离分别为h 1，h 2，则∣h 1-h 2∣等于（）A . 5B . 6C . 7D . 8（黄石市中考试题）（第5题图）6. 如图，已知△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，AC =BC ，点A ，C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（m ＞0），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B ，D . （1）求点A 的坐标（用m 表示）（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连接PQ 并延长交BC 于点E ，连接BQ 并延长交AC 于点F . 试证明：FC （AC +EC ）为定值.（株洲市中考试题）7. 如图，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A ，B 的点M . 设直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N . 证明线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关.（湖北省选拔赛试题）（第7题图）（第8题图）B NKMB AC HCBA距离变小，这时乘积S △ABC ·S △HBC 的值变小、变大，还是不变？证明你的结论.（全国初中数学联赛试题）9. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线10941812--=x x y 与x 轴的交点为点A ，与y 轴的交点为点B . 过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连接AC . 现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动. 点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动. 线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于E ，射线QE 交x 轴于点F . 设动点P ，Q 移动的时间为t （单位：秒）. （1）求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点坐标；（2）当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形？请写出计算过程；（3）当290<<t 时，△PQF 的面积是否总是定值？若是，求出此值；若不是，请说明理由；（4）当t 为何值时，△PQF 为等腰三角形，请写出解答过程. （黄冈市中考试题）（第9题图）（第10题图）10. 已知抛物线C 1：12121+-=x x y ，点F （1,1）. （1）求抛物线C 1的顶点坐标；（2）若抛物线C 1与y 轴的交点为A ，连接AF ，并延长交抛物线C 1于点B ，求证：211=+BFAF . （3）抛物线C 1上任意一点P （x P ，y P ）（0＜x P ＜1），连接PF ，并延长交抛物线C 1于点 Q （x Q ，y Q ），试判断211=+QFPF 是否成立？请说明理由.11. 已知A ，B 是平面上的两个顶点，C 是位于AB 一侧的一个动点，分别以AC ，BC 为边在△ABC 外作正方形ACDE 和正方形BCFG . 求证：不论C 在直线AB 同一侧的任何位置，EG 的中点P 的位置不变.（四川省竞赛试题）平面几何的定值问题例 1 延长PC 至E ，使CE ＝AP ，连结BE ，则△BCE ≌△BAP ，及△PBE 为等腰直角三角形，故2PA PC CE PC PEPB PB PB++=== 例2 B 提示：连结AC ，BC ，可以证明P 为APB 的中点．例3 ∵SP ⊥OP ，OM ⊥ST ，∴S ，M ，O ，P 四点共圆，于是∠SPM ＝∠SOM ＝12∠SOT 为定角．例4 (1)连结OC 交DE 于M ，则OM ＝CM ， EM ＝DM ，而DG ＝ HE ，则HM ＝GM 故四边形OGCH 是平行四边形． (2)DG 不变．DE ＝OC ＝OA ＝3 . DG ＝13DE ＝13×3＝1． (3)设CD ＝x ，延长OG 交CD 于N ，则CN＝DN ＝12 x ，229CE x =- ， 2214DN x = . ∴22394ON x =-，而ON ＝32CH ，∴22143CH x =-．故CD 2＋3CH 2＝x 2＋3(4－13x 2)＝x 2＋12－x 2为定值．例5 ⑴C (0，4) ⑵先求得AM＝CM ＝5，连接MC 交AE 于N ，由△AO G ∽△ANM ，得OG AO MN AN =，O G ＝32，38OG OM OC OB ==，又∠BOC ＝∠G OM ，∴△G OM ∽△COB ，∠G MO ＝∠CBO ，得M G ∥BC ．⑶连结DM ，则DM ⊥PD ，DO ⊥PM ，DO 2＝OM •OP ，OP＝163．动点F 在⊙M 的圆周上运动时，从特殊位置探求OF PF的值．当F 与点A 重合时，2316523OF AO PF AP ===-；当点F 与点B 重合时，8316583OF OB PF PB ===+；当点F 不与点A ，B 重合时，连接OF 、PF 、MF ，∴DM 2＝MO •MP ，∴FM 2＝MO •MP ，即FM MPOM FM=，又∠OMP ＝∠FMP ，∴△MFO ∽△MPF ，35OF MO PF MF ==，故OF PF 的比值不变，比值为35．例6 ∠BPC ＝120°，在△BPC 中，由余弦定理得BC 2＝PB 2＋PC 2－2PB •PC ＝BC 2，又由上托勒密定理得BC •PA ＋PC •AB ，而AB ＝BC ＝AC ，∴PA ＝PB ＋PC ，从而PA 2＋PB 2＋PC 2＝(PB ＋PC )2＋PB 2＋PC 2＝2 (PB 2＋PC 2＋PB •PC )＝2BC 2＝2×23＝6．故PA 2＋PB 2＋PC 2为定值．A 级 1．4 提示：∵S 1＋S 阴＝ S 2＋S 阴＝xy ＝3，∴S 1＋S 2＝2xy －2S 阴＝6－2＝4．2．273提示：1＋3＋5＝9是等边三角形的高． 3．r 2 提示：先考查OB 与OA 垂直的情形．4．D 提示：延长BF 交DE 于点M ，连接BD ，则△BCD 为等边三角形，BF 平分∠CBD ．∵F 为CD 中点，且AD ∥CE ，∴△ADF 与△ECF 关于点F 中心对称．∴CE ＝AD ＝CD ，∴∠CEM=30°，∠DMF=60°，5．D 提示：A ′B′的中点均在⊙O 的上半圆的中点处． 6．B 提示：S 正方形OCAD ＝OD •OC ＝A A x y k =＝6，∴S OEBF ＝OE •OF ＝xB •y B k =＝6． 7．⑴略⑵当点P 在⊙O 内时，过P 作直径CD ，则PE •PF ＝PD •PC ＝r 2－OP 2为定值；当点P 在⊙O 外时，PE •PF 为定值22OP r -．结论：过不在圆上的一个定点任作一条直线与圆相交，则这点到直线与圆相交点的两条线段长的积为定值． 8．⑴2π⑵22. 5° ⑶P 值无变化．理由如下：如图，延长BA 交y 轴于E 点，可证明△OAE ≌△OCN ，得OE ＝ON ，AE ＝CN ，又∠MOE ＝∠MON ＝45°，OM ＝ON ，∴△OME ≌△OMN ，得MN ＝ME ＝AM ＋AE ＝AM ＋CN ．∴P ＝MN ＋BN ＋BM ＝AM ＋CM ＋CN ＋BN ＋BM ＝AB ＋AC ＝4．9．⑴0＜x ＜90 ⑵BE ＝BF 提示：连接BD ，可证明△BDF ∽△ADB ，△BDE ∽△ADC ． 10．⑴作OP ⊥BD 于P ，OQ ⊥AC 于Q ，连接AO ，则AO 2＝()()221122BK DK CK AK ⎡⎤⎡⎤-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，又AK •CK ＝BK •DK ，得AK 2＋BK 2＋CK 2＋DK 2＝4R 2为定值． ⑵作直径DE ，连接AE ，BE ，CE ，AB 2＋CD 2＝4R 2，AD 2＋BC 2＝4R 2，故AB 2＋BC 2＋CD 2＋DA 2＝8K 2为定值． 11．设正方形的边长为a ，根据托勒密定理，对于四边形APBC 和四边形APBD ，有CP •a ＝AP •a ＋BP 2a ，DP •a ＝BP •a ＋AP 2a ，两式相加并整理得(CP ＋DP )a ＝(AP ＋BP )(a 2a )，从而21AP BPCP DP++为定值．B 级1．1 提示：不妨设∠A 为锐角，AD ，BE ，CF 为△ABC 的三条高，H 为垂心，由AB ＝AC 知∠HBD ＝∠HCD ＝∠HAE ，∠HDC ＝∠CDA ＝90°，故R t △CHD ∽R t △ACD ．∴AD DC DC HD =，即AD •HD ＝DC 2＝14BC 2＝1．∴S △ABC •S △HBC ＝2111224BC AD BC HD BC ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1．当∠A ≥90°时，结论成立．2．13π－26 提示：∵A ，B ，C ，DE 是反比例函数y ＝16x(x ＞0)图象上五个整数点，由图象可知，这些点的横坐标分别为1，2，4，8，16．∴五个正方形的边长分别为1，3，4，2，1．∴这五人橄榄形的面积总和是2221111112211122222444424242πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝5π－10＋8π－16＝13π－26． 3．B 提示：如图，设FA 的延长线与CB 的延长线交于点P ，G A ′的延长线与HB ′的延长线交于点P ′．由对称性可知∠1＝2∠APP ′，∠2＝2∠BPP ′．∴∠1＋∠2＝2∠APB ．∵∠APB ＝540°－α，∴∠1＋∠2＝1080°－2α． 4．D 5．B 提示：如图，设AB 与MN 交于点C ，过点O 作OD ⊥MN 于D ，连接FO 并延长交EB 于G ．由垂径定理，得OD 2254-＝3．由△AFO ≌△B G O ，得AF ＝B G ，即h 1＝B G ．由AF ⊥MN ，BE ⊥MN ，得△FOD ∽△F G E ．∴12OD FO GE FG ==．∴E G ＝2OD＝6，∴12h h AF BE -=-＝E G ＝6． 6．⑴A (3－m ，0) ⑵y ＝x 2－2x ＋1⑶过点Q 作QM ⊥AC 于M ，过点Q 作QN ⊥BC 于N ，设Q 点的坐标为(x ，x 2－2x ＋1)，则QM ＝CN ＝(x －1)2，MC ＝QN＝3－x ．∵QM ∥CE ，∴PQM ∽△PEC ．∴QM PM EC PC =，即()2112x x EC --=，得EC ＝2(x －1)．∵QN ∥CF ，∴△BQN ∽△BFC ．∴QN BN FC BC =，即()24134x x FC ---=，得FC ＝41x +．又AC ＝4，∴FC (AC ＋EC )＝ ()44211x x +-⎡⎤⎣⎦+＝8为定值． 7．提示：易证△ABK ∽△BNA ，故AK •BN ＝AB 2为定值，即AK 与BN 的乘积与M 点的选择无关． 8．提示：S △ABC •S △HBC ＝116BC 4，由于BC 是不变的，所以当点A 至BC 的距离变小时，乘积S △ABC •S △HBC 保持不变． 9．⑴A (18，0)，B (0，－10)，顶点坐标为(4，－989) ⑵若四边形PQCA 为平行四边形，由于QC ∥PA ，故只要QC ＝PA 即可，而PA ＝18－4t ，CQ ＝t ，故18－4t ＝t ，得t ＝185． ⑶设点P 运动t s ，则OP ＝4t ，CQ ＝t ，0＜t ＜4. 5．说明P 在线段OA 上，且不与点O ，A 重合．由于QC ∥OP 知△QDC ∽△PDO ，故144QD QC t DP OP t ===．同理QC ∥AF ，故14QC CE AF EA ==，即14t AF =，∴AF ＝4t ＝OP ．∴PF ＝PA ＋AF ＝PA ＋OP ＝18．又点Q 到直线PF 的距离d ＝10，∴S △PQF ＝12•PF •d ＝12×18×10＝90．于是S △PQF 的面积总为定值90． ⑷由前面知道，P (4t ，0)，F (18＋4t ，0)，Q (8－t ，－10)，0≤t ≤4. 5．构造直角三角形后易得PQ 2＝(4t －8＋t )2＋102＝，FQ 2＝(18＋4t －8＋t )2＋102＝(5t ＋10)2＋100．①若FP ＝FQ ，即182＝(5t ＋10)2＋100，故25(t ＋2)2＝224，(t ＋2)2＝24425．∵2≤t ＋2≤6. 5，∴t ＋224441425=．∴t ＝ 4142． ②若QP ＝QF ，即(5t －8)2＋100＝(5t ＋10)2＋100，即(5t －8)2＝(5t ＋10)2，无0≤t ≤4. 5的t 满足． ③若PQ ＝PF ，即(5t －8)2＋100＝182，∴(5t －8)2＝22422415，又0≤5t ≤22. 5，∴－8≤5t －8≤14. 5，14. 52＝22984124⎛⎫= ⎪⎝⎭＜224．故没有t (0≤t ≤4. 5)满足此方程．综上所述，当t ＝4142时，△PQ R 为等腰三角形． 10．⑴C 1的顶点坐标为(1，12). ⑵略 ⑶作PM ⊥AB 于M ，作QN ⊥AB 交AB 延长线于N ，∴PM ＝1－y P ，FM ＝1－x P ．在R t △PMF 中，PF 2＝(1－y P )2＋(1－x P )2＝1－2y P ＋y P 2＋1－2x P ＋x P 2，又∵点P 在抛物线上，∴y P ＝12x P 2－x P ＋1，∴PF 2＝1－x P 2＋2x P －2＋y P 2＋1－2x P ＋x P 2＝y P 2，∴PF ＝y P ，同理，QF ＝y Q ，易证△PMF ∽△QNF ，则PM QN PF QF =，∴11Q P y y PF QF --=，即11PF QF PF QF --=，∴11PF QF+＝2． 11．先从特殊情况出发．当△ABC 是等腰直角三角形时，点P 与点C 重合，此时点P 的位置在AB 的中垂线上，且到AB 的距离为12AB ，如图①所示．下面就一般情况来证明上面的结论(结论②所示)．过C ，E ，G 分别作直线AB的垂线CH，EM，G N，垂足分别是H，M，N．容易证明△AEM≌△ACH，△B G N≌△BCH．从而有AM＝CH＝BN，EM＝AH，G N＝BH．这样，线段AB的中点O也是线段MN的中点，连接OP，则OP是梯形EMN G的中位线，从而OP⊥AB，OP＝12(EM＋G N)＝12(AH＋BH)＝12AB．∴无论点C在AB同一侧的位置如何，E G中点P的位置不变．。

初三数学培优专题(4) 托勒密定理巧解四边形对角互补问题

托勒密定理巧解四边形对角互补问题托勒密定理：四边形ABCD 内接于圆，求证：AC BD AD BC AB CD ⋅=⋅+⋅．证明：如图，在BD 上取一点P ，使其满足12∠=∠．∵34∠=∠，∴ACD BCP △∽△，AC ADBC BP=，即AC BP AD BC ⋅=⋅ ① 又ACB DCP ∠=∠，56∠=∠，∴ACB DCP △∽△，AB ACDP CD=，AC DP AB CD ⋅=⋅． ② ①+②，有．即()AC BP PD AD BC AB CD +=⋅+⋅，故AC BD AD BC AB CD ⋅=⋅+⋅．定理推广-托勒密不等式推广（托勒密不等式）：对于任意凸四边形ABCD ，AC ·BD ≤AB ·CD+AD ·BC证明：如图1，在平面中取点E 使得∠BAE=∠CAD ，∠ABE=∠ACD ，易证△ABE ∽△ACD ，∴AB:AC=BE:CD ，即AC ·BE=AB ·CD ①，D C A B D C126345P A B连接DE ，如图2，∵AB/AC=AE/AD ，∴AB/AE=AC/AD ，∠BAC=∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE=∠DAE ，∴△ABC ∽△AED ，∴AD/AC=DE/BC ，即AC ·DE=AD ·BC ②，将①+②得：AC ·BE+AC ·DE=AB ·CD+AD ·BC ，∴AC ·BD ≤AC(BE+DE)=AB ·CD+AD ·BC 即AC ·BD ≤AB ·CD+AD ·BC ，当且仅当A 、B 、C 、D 共圆时取到等号．下列四边形对角互补问题，题目均可巧解（自己试一试）【例1】（1）如图2-1，点P 为等边ABC △外接圆的BC 上一点，线段PA 、PB 、PC 间的数量关系为____．（2）如图2-2，AB 为⊙O 的直径，∠ABD =45°，点C 为ABD △外接圆的AB 上一点，线段CA 、CB 、CD 间的数量关系为____________．（3）如图2-3，30ABC ACB ∠=∠=︒，点D 为ABC △外接圆的BC 上一点，线段DA 、DB 、DC 间的数量关系为_____________．图2-1 图2-2 图2-3【解析】（1）PA PB PC =+；（2）CA CB +；（3）DB DC +=．ABCP ODAOC【例2】（2013成都中考）如图4-2，A ，B ，C 为O 上相邻的三个n 等分点，AB BC =，点E在弧BC 上，EF 为O 的直径，将O 沿EF 折叠，使点A 与A'重合，点B 与B'重合，连接EB'，EC ，EA'.设EB'b =，EC c =，EA'p =．先探究b ，c ，p 三者的数量关系：发现当3n =时，p b c =+．请继续探究b ，c ，p 三者的数量关系：当4n =时，p =__________；当12n =时，p =__________．（参考数据：sin15cos75︒=︒=cos15sin 75︒=︒=）图4-1 图4-2【解析】（1）A ；（2）p c =+；2p c =+．【例3】(2013成都27改)如图3，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，在ABC ∠内作射线BM ，作点C 关于BM 的对称点E ，连接AE 并延长交BM 于点F ，连接CE ，CF ． ①证明CEF ∆是等边三角形；②若5AE =，2CE =，求BF 的长．解：①证明：如图3中，作BH AE ⊥于H ，连接BE ．四边形ABCD 是菱形，120ABC ∠=︒， ABD ∴∆，BDC ∆是等边三角形，A'F AB OB'C E A BO P CBA BD BC ∴==，E 、C 关于BM 对称，BC BE BD BA ∴===，FE FC =， A ∴、D 、E 、C 四点共圆， 120ADC AEC ∴∠=∠=︒， 60FEC ∴∠=︒，EFC ∴∆是等边三角形，②解：5AE =，2EC EF ==， 2.5AH HE ∴==， 4.5FH =，在Rt BHF ∆中，30BFH ∠=︒， ∴cos30HF BF=︒，BF ∴==【例4】（2019•天门）已知ABC ∆内接于O ，BAC ∠的平分线交O 于点D ，连接DB ，DC ．（1）如图①，当120BAC ∠=︒时，请直接写出线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系式：；（2）如图②，当90BAC ∠=︒时，试探究线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图③，若5BC =，4BD =，求ADAB AC+的值．解：（1）如图①在AD 上截取AE AB =，连接BE ， 120BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线交O 于点D ，60DBC DAC ∴∠=∠=︒，60DCB BAD ∠=∠=︒，ABE ∴∆和BCD ∆都是等边三角形，DBE ABC ∴∠=∠，AB BE =，BC BD =， ()BED BAC SAS ∴∆≅∆， DE AC ∴=，AD AE DE AB AC ∴=+=+；故答案为：AB AC AD +=．（2）AB AC +=．理由如下：如图②，延长AB 至点M ，使BM AC =，连接DM ，四边形ABDC 内接于O ， MBD ACD ∴∠=∠，45BAD CAD ∠=∠=︒， BD CD ∴=，()MBD ACD SAS ∴∆≅∆，MD AD ∴=，45M CAD ∠=∠=︒，MD AD ∴⊥．AM ∴，即AB BM +，AB AC ∴+；（3）如图③，延长AB 至点N ，使BN AC =，连接DN ，四边形ABDC 内接于O ， NBD ACD ∴∠=∠， BAD CAD ∠=∠， BD CD ∴=，()NBD ACD SAS ∴∆≅∆，ND AD ∴=，N CAD ∠=∠，N NAD DBC DCB ∴∠=∠=∠=∠， NAD CBD ∴∆∆∽， ∴AN AD BC BD =， ∴AD BD AN BC=，又AN AB BN AB AC =+=+，5BC =，4BD =，∴45AD BD AB AC BC ==+．【例5】（2019•威海）（1）方法选择如图①，四边形ABCD 是O 的内接四边形，连接AC ，BD ，AB BC AC ==．求证：BD AD CD =+．小颖认为可用截长法证明：在DB 上截取DM AD =，连接AM ⋯小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DN AD=⋯请你选择一种方法证明．（2）类比探究【探究1】如图②，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD，BC是O的直径，AB AC=．试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，并证明你的结论．【探究2】如图③，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是O的直径，30∠=︒，ABC则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是．（3）拓展猜想如图④，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是O的直径，=，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是．::::BC AC AB a b c【解答】解：（1）方法选择：AB BC AC==，ACB ABC∴∠=∠=︒，60=，连接AM，如图①，在BD上截取DM AD∠=∠=︒，60ADB ACB∴∆是等边三角形，ADM∴=，AM ADABM ACD∠=∠，∠=∠=︒，AMB ADC120∴∆≅∆，ABM ACD AAS()∴=，BM CDBD BM DM CD AD∴=+=+；（2）类比探究：如图②，BC是O的直径，∴∠=︒，BAC90=，AB AC∴∠=∠=︒，ABC ACB45⊥交BD于M，过A作AM AD45∠=∠=︒，ADB ACB∴∆是等腰直角三角形，ADM∴=，45AM AD∠=︒，AMD∴=，DM∴∠=∠=︒，135AMB ADC∠=∠，ABM ACD()ABM ACD AAS ∴∆≅∆， BM CD ∴=，BD BM DM CD ∴=+=+；【探究2】如图③，若BC 是O 的直径，30ABC ∠=︒， 90BAC ∴∠=︒，60ACB ∠=︒，过A 作AM AD ⊥交BD 于M ， 60ADB ACB ∠=∠=︒， 30AMD ∴∠=︒， 2MD AD ∴=，ABD ACD ∠=∠，150AMB ADC ∠=∠=︒， ABM ACD ∴∆∆∽，∴BM AB CD AC==，BM ∴=，2BD BM DM AD ∴=++；故答案为：2BD AD +；（3）拓展猜想：c aBD BM DM CD AD b b=+=+；理由：如图④，若BC 是O 的直径， 90BAC ∴∠=︒，过A 作AM AD ⊥交BD 于M ， 90MAD ∴∠=︒， BAM DAC ∴∠=∠， ABM ACD ∴∆∆∽， ∴BM AB c CD AC b==， cBM CD b∴=，ADB ACB ∠=∠，90BAC MAD ∠=∠=︒， ADM ACB ∴∆∆∽， ∴AD AC b DM BC a==， aDM AD b∴=，c aBD BM DM CD AD b b ∴=+=+．故答案为：c aBD CD AD b b=+【例6】（2017•临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若60∠=∠=∠=∠=︒，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？ACB ACD ABD ADB经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE CD=，连接AE，证得=+．=，所以AC BC CD ABE ADC∆≅∆，从而容易证明ACE∆是等边三角形，故AC CE小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将ABC∆绕着点A逆时针旋转60︒，使AB与AD重合，从而容易证明ACF=，所以AC BC CD=+．∆是等边三角形，故AC CF在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图4，如果把“60∠=∠=∠=∠=︒”ACB ACD ABD ADB改为“45∠=∠=∠=∠=︒”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间ACB ACD ABD ADB有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．（2）小华提出：如图5，如果把“60ACB ACD ABD ADB∠=∠=∠=∠=︒”改为“ACB ACD ABD ADBα∠=∠=∠=∠=”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．【解答】解：（1）BC CD+=；理由：如图1，延长CD 至E ，使DE BC =，连接AE ， 45ABD ADB ∠=∠=︒，AB AD ∴=，18090BAD ABD ADB ∠=︒-∠-∠=︒， 45ACB ACD ∠=∠=︒， 90ACB ACD ∴∠+∠=︒， 180BAD BCD ∴∠+∠=︒， 180ABC ADC ∴∠+∠=︒， 180ADC ADE ∠+∠=︒， ABC ADE ∴∠=∠，在ABC ∆和ADE ∆中，AB AD ABC ADE BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC ADE SAS ∴∆≅∆，45ACB AED ∴∠=∠=︒，AC AE =， ACE ∴∆是等腰直角三角形，CE ∴，CE CD DE CD BC =+=+，BC CD ∴+=；（2）2cos BC CD AC α+=．理由：如图2，延长CD 至E ，使DE BC =， ABD ADB α∠=∠=，AB AD ∴=，1801802BAD ABD ADB α∠=︒-∠-∠=︒-， ACB ACD α∠=∠=， 2ACB ACD α∴∠+∠=， 180BAD BCD ∴∠+∠=︒， 180ABC ADC ∴∠+∠=︒， 180ADC ADE ∠+∠=︒， ABC ADE ∴∠=∠，在ABC ∆和ADE ∆中，AB AD ABC ADE BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC ADE SAS ∴∆≅∆，ACB AED α∴∠=∠=，AC AE =， AEC α∴∠=，过点A 作AF CE ⊥于F ，2CE CF ∴=，在Rt ACF ∆中，ACD α∠=，cos cos CF AC ACD AC α=∠=， 22cos CE CF AC α∴==， CE CD DE CD BC =+=+， 2cos BC CD AC α∴+=．【例7】（2016•淮安）问题背景：如图①，在四边形ADBC 中，90ACB ADB ∠=∠=︒，AD BD =，探究线段AC ，BC ，CD 之间的数量关系．小吴同学探究此问题的思路是：将BCD ∆绕点D ，逆时针旋转90︒到AED ∆处，点B ，C 分别落在点A ，E 处（如图②)，易证点C ，A ，E 在同一条直线上，并且CDE ∆是等腰直角三角形，所以CE =，从而得出结论：AC BC +=．简单应用：（1）在图①中，若AC =BC =CD = ．（2）如图③，AB 是O 的直径，点C 、D 在上，AD BD =，若13AB =，12BC =，求CD 的长．拓展规律：（3）如图④，90ACB ADB ∠=∠=︒，AD BD =，若A C m =，()BC n m n =<，求CD 的长（用含m ，n 的代数式表示）（4）如图⑤，90ACB ∠=︒，AC BC =，点P 为AB 的中点，若点E 满足13AE AC =，CE CA =，点Q 为AE 的中点，则线段PQ 与AC 的数量关系是．解：（1）由题意知：AC BC +，∴+=， 3CD ∴=；（2）连接AC 、BD 、AD ， AB 是O 的直径， 90ADB ACB ∴∠=∠=︒，AD BD =，AD BD ∴=，将BCD ∆绕点D 顺时针旋转90︒到AED ∆处，如图③，EAD DBC ∴∠=∠，180DBC DAC ∠+∠=︒，180EAD DAC ∴∠+∠=︒，E ∴、A 、C 三点共线，13AB =，12BC =，∴由勾股定理可求得：5AC =，BC AE =，17CE AE AC ∴=+=，EDA CDB ∠=∠，EDA ADC CDB ADC ∴∠+∠=∠+∠，即90EDC ADB ∠=∠=︒，CD ED =，EDC ∴∆是等腰直角三角形，CE ∴，CD ∴=；（3）以AB 为直径作O ，连接OD 并延长交O 于点1D ，连接1D A ，1D B ，1D C ，如图④由（2）的证明过程可知：1AC BC C +=，1D C ∴=，又1D D 是O 的直径， 190DCD ∴∠=︒，AC m =，BC n =，∴由勾股定理可求得：222AB m n =+， 22221D D AB m n ∴==+，22211D C CD D D +=，22222()()22m n m n CD m n +-∴=+-=， m n <，CD ∴=；（4）当点E 在直线AC 的左侧时，如图⑤，连接CQ ，PC ，AC BC =，90ACB ∠=︒，点P 是AB 的中点，AP CP ∴=，90APC ∠=︒，又CA CE =，点Q 是AE 的中点， 90CQA ∴∠=︒，设AC a =， 13AE AC =， 13AE a ∴=， 1126AQ AE a ∴==，由勾股定理可求得：CQ =，由（2）的证明过程可知：AQ CQ +=，∴16a =，∴=；当点E 在直线AC 的右侧时，如图⑥，连接CQ 、CP ，同理可知：90AQC APC ∠=∠=︒，设AC a =，1126AQ AE a ∴==，由勾股定理可求得：CQ =，由（3）的结论可知：)PQ CQ AQ =-，∴AC =．综上所述，线段PQ 与AC 16AC +=16AC -=．。

【中考冲刺】初三数学培优专题 18 圆的对称性(含答案)(难)

圆的对称性阅读与思考圆是一个对称图形．首先，圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条；同时，圆又是一个中心对称图形，圆心就是对称中心，圆绕其圆心旋转任意角度，都能够与本身重合，这是圆特有的旋转不变性．由圆的对称性引出了许多重要的定理：垂径定理及推论；在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、弦心距、弧之间的关系定理及推论．这些性质在计算和证明线段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面有广泛的应有．一般方法是通过作辅助线构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形相结合使用．熟悉以下基本图形和以上基本结论．我国战国时期科学家墨翟在《墨经》中写道：“圆，一中间长也．”古代的美索不达米亚人最先开始制造圆轮．日、月、果实、圆木、车轮，人类认识圆、利用圆，圆的图形在人类文明的发展史上打下了深深的烙印．例题与求解【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB ，ACBAC 度数为_______．（黑龙江省中考试题）解题思路：作出辅助线，解直角三角形，注AB 与AC 有不同位置关系．由于对称性是圆的基本特性，因此，在解决圆的问题时，若把对称性充分体现出来，有利于圆的问题的解决．【例2】如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB ，D C ，EF ．如果AB +D C =EF ，那么AB +CD 与EF 的大小关系是（）A ．AB +CD =EF B ．AB +CD >EFC ．AB +CD <EFD ．AB +CD 与EF 的大小关系不能确定（江苏省竞赛试题）解题思路：将弧与弦的关系及三角形的性质结合起来思考．ABCD【例3】⑴ 如图1，已知多边形ABDEC 是由边长为2的等边三角形ABC 和正方形BDEC 组成， ⊙O 过A ，D ，E 三点，求⊙O 的半径．⑵ 如图2，若多边形ABDEC 是由等腰△ABC 和矩形BDEC 组成，AB =AC =BD =2，⊙O 过A ，D ，E 三点，问⊙O 的半径是否改变？（《时代学习报》数学文化节试题）解题思路：对于⑴，给出不同解法；对于⑵，⊙的半径不改变，解法类似⑴．等边三角形、正方形、圆是平面几何图形中最完美的图形，本例表明这三个完美的图形能合成一个从形式到结果依然完美的图形．三个完美图形的不同组合可生成新的问题，同学们可参照刻意练习．【例4】如图，已知圆内接△ABC 中，AB >AC ，D 为BAC 的中点，DE ⊥AB 于E ．求证：BD 2-AD 2=AB AC ．（天津市竞赛试题）解题思路：从化简待证式入手，将非常规几何问题的证明转化为常规几何题的证明．圆是最简单的封闭曲线，但解决圆的问题还要用到直线形的有关知识和方法．同样，圆也为解决直线形问题提供了新的途径和方法，善于促成同圆或等圆中的弦、弦心距、弧、圆周角、圆心角之间相等或不等关系的互相转化，是解圆相关问题的重要技巧．ABCD E图1图2【例5】在△ABC 中，M 是AB 上一点，且AM 2+BM 2+CM 2=2AM +2BM +2CM －3．若P 是线段AC 上的一个动点，⊙O 是过P ，M ，C 三点的圆，过P 作PD ∥AB 交⊙O 于点D ．⑴ 求证：M 是AB 的中点；⑵ 求PD 的长．（江苏省竞赛试题）解题思路：对于⑴，运用配方法求出AM ，BM ，CM 的长，由线段长确定直线位置关系；对于⑵，促成圆周角与弧、弦之间的转化．【例6】已知AD 是⊙O 的直径，AB ，AC 是弦，且AB =AC ．⑴ 如图1，求证：直径AD 平分∠BAC ；⑵ 如图2，若弦BC 经过半径OA 的中点E ，F 是CD 的中点，G 是FB 的中点，⊙O 的半径为1，求弦FG 的长；⑶ 如图3，在⑵中若弦BC 经过半径OA 的中点E ，P 为劣弧上一动点，连结P A ，PB ，PD ，PF ，求证：PA PFPB PD++的定值．（武汉市调考试题）解题思路：对于⑶，先证明∠BP A =∠DPF =300，∠BPD =600，这是解题的基础，由此可导出下列解题突破口的不同思路：①由∠BP A ==∠DPF =300，构建直角三角形；②构造P A +PF ，PB +PD 相关线段；③取BD 的中点M ，连结PM ，联想常规命题；等等．本例实质是借用了下列问题：⑴如图1，P A +PBPH ； ⑵如图2，P A +PB =PH ；⑶进一步，如图3，若∠APB =α，PH 平分∠APB ，则P A +PB =2PHc o s2α为定值．图1A 600300300PHB PABH600 图2 PABH 图3C图1图2图3能力训练A 级1．圆的半径为5cm ，其内接梯形的两底分别为6cm 和8cm ，则梯形的面积为_______cm 2．2．如图，残破的轮片上，弓形的弦AB 长是40cm ，高CD 是5cm ，原轮片的直径是________cm ．第3题图第2题图C ABCDDO BA3．如图，已知CD 为半圆的直径，AB ⊥CD 于B ．设∠AOB =α，则BA BD ta n 2=_________．（黑龙江省中考试题）4．如图，在Rt △ABC 中，∠C =900，AC =2，BC =1，若BC =1，若以C 为圆心，CB 的长为半径的圆交AB 于P ，则AP =___________. （江苏省宿迁市中考试题）5．如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿OA —AB —BO 的路径运动一周. 设OP 长为s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与t 之间的关系是（）（太原市中考试题）6．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，AB =10cm ，CD =6cm ，那么AC 的长为（）A ．0. 5c mB ．1c mC ．1. 5c mD ．2c m7．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是弦．若AB =10cm ，CD =8cm ，那么A ，B 两点到直线CD 的距离之和为（）A ．12cmB ．10cmC ．8cmD ．6cmt sOAt sO BtsO CsO DA OCD AE CD FBABC DF EP （第6题图）APB C（第4题图）（第7题图）（第8题图）8．如图，半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD垂直相交于点P，连结OP．若OP=1，求AB2+CD2的值．（黑龙江省竞赛试题）9．如图，AM是⊙O的直径，过⊙O上一点B作BN⊥AM于N，其延长线交⊙O于点C，弦CD交AM于点E．⑴如果CD⊥AB，求证：EN=NM；⑵如果弦CD交AB于点F，且CD=AB，求证：CE2=EF•ED；⑶如果弦CD，AB的延长线交于点F，且CD=AB，那么⑵的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（重庆市中考试题）10．如图，⊙O的内接四边形ABMC中，AB>AC，M是BC的中点，MH⊥AB于点H．求证：BH=1 2（AB-AC）．（河南省竞赛试题）11．⑴如图1，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD，OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G．求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC面积的13．⑵如图2，若∠DOE保持0120角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的13．AB CDOEFM（第9题图）AHB MC（第10题图）图2图1D12．如图，正方形ABCD 的顶点A ，D 和正方形JKLM 的顶点K ，L 在一个以5为半径的⊙O 上，点J ，M 在线段BC 上．若正方形ABCD 的边长为6，求正方形JKLM 的边长．（上海市竞赛试题）B 级1．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，过A ，B 两点作CD 的垂线，垂足分别为E ，F ．若AB =10，AE =3，BF =5，则EC =__________．2．如图，把正三角形ABC 的外接圆对折，使点A 落在BC 的中点A ′上，若BC =5，则折痕在△ABC 内的部分DE 长为________．（宁波市中考试题）3．如图，已知⊙O 的半径为R ，C ，D 是直径AB 同侧圆周上的两点，AC 的度数为960，BD 的度数为360．动点P 在AB 上，则CP +PD 的最小值为__________．（陕西省竞赛试题）O A E CD FBABCDE A ′ABCDPO （第1题图）（第2题图）（第3题图）A D CB NOJ MK L（第12题图）4．如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径是（） ABC ．54D5．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆圆周上一点，M 是AC 的中点，MN ⊥AB 于N ，则有（）A ．MN =12AC B ．MN=2AC C ．MN =35AC D ．MN=3AC （武汉市选拔赛试题）第4题图第5题图A C O6．已知，AB 为⊙O 的直径，D 为AC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，且DE =3．求AC 的长度．7．如图，已知四边形ABCD 内接于直径为3的⊙O ；对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点为P ，AB =BD ，且PC =0. 6，求四边形ABCD 的周长．（全国初中数学联赛试题）AD O BE GFN ACBDO P（第7题图）（第6题图）C8．如图，已知点A ，B ，C ，D 顺次在⊙O 上，AB BD =，BM ⊥AC 于M ．求证：AM =DC +CM ．（江苏省竞赛试题）9．如图，在直角坐体系中，点B ，C 在x 轴的负半轴上，点A 在y 轴的负半轴上，以AC 为直径的圆与AB 的延长线交于点D ，CD AO =，如果AB =10，AO >BO ，且AO ，BO 是x 的二次方程0482=++kx x 的两个根．⑴ 求点D 的坐标；⑵ 若点P 在直径AC 上，且AP =14AC ，判断点(－2，10)是否在过D ，P 两点的直线上，并说明理由．（河南省中考试题）10．⑴如图1，已知P A ，PB 为⊙O 的弦，C 是劣弧AB 的中点，直线CD ⊥P A 于点E ，求证：AE =PE +PB ． ⑵如图2，已知P A ，PB 为⊙O 的弦，C 是优弧AB 的中点，直线CD ⊥P A 于点E ，问：AE ，PE 与PB 之间存在怎样的等量关系？写出并证明你的结论．x（第9题图）ABC D O M （第8题图）A图1CPBDEO A图2C PB D EO11．如图，已知弦CD 垂直于⊙O 的直径AB 于L ，弦AE 平分半径OC 于H ．求证：弦DE 平分弦BC 于M ． (全俄奥林匹克竞赛试题)12．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，且AD =DC +CB ，过D 作AC 的垂线交△ABC 的外接圆于M ，过M 作AB 的垂线MN ，交圆于N ．求证：MN 为△ABC 外接圆的直径．专题18 圆的对称性例1 15°或75° 提示：分AB 、AC 在圆心O 同侧、异侧两种情况讨论．例2 B例3 (1)解法一：如图，将正方形BDEC 上的等边△ABC 向下平移，使其底边与DE 重合，得等边△ODE ．∵A 、B 、C 的对应点是O 、D 、E ，∴OD ＝AB ，OE ＝AC ，AO ＝BD ．∵等边△ABC 和正方形BDEC 的边长都是2，∴AB ＝BD ＝AC ＝2，∴OD ＝OA ＝OE ＝2．∵A 、D 、E 三点确定一圆，O 到A 、D 、E 三点的距离相等．∴O 点为圆心，OA 为半径，∴该圆的半径为2．解法二：如图，将△ABC 平移到△ODE 位置，并作AF ⊥BC ，垂足为F ，延长交DE 于H ．∵△ABC 为等边三角形，∴AF 垂直平分BC ，∵四边形BDEC 为正方形，∴AH 垂直平分正方形边DE ．又∵DE 是圆的弦，∴AH 必过圆心，记圆心为O 点，并设⊙O 的半径为r ．在Rt △ABF 中，∵∠BAF ＝30°，∴AF ＝AB ·cos 30°＝2×32＝3，∴OH ＝AF ＋FH －OA ＝3＋2－r ．在Rt △ODH 中，OH 2＋DH 2＝OD 2，∴(32r +-)2＋12＝r 2，解得r ＝2．(2)⊙O 的半径不变，因为AB ＝AC ＝BD ＝2，此题求法和(1)一样，⊙O 的半径为2．例4 提示：BD 2－AD 2＝(BE 2＋ED 2)－(AE 2＋ED 2)＝(BE ＋AE )(BE －AE )＝AB (BE －AE )，只需要证明AC ＝AC O LE BDMH（第11题图）AC M N OD B（第12题图）BE －AE 即可．在BA 上截取BF ＝AC ．连DF 可证明△DBF ≌△DCA ，则DF ＝AD ，AE ＝EF ．例5 (1)由条件，得(AM －1)2＋(BM －1)2＋(CM －1)2＝0，∴AM ＝BM ＝CM ＝1．因此，M 是AB 中点，且∠ACB ＝90°． (2)由(1)知，∠A ＝∠PCM ，又PD ∥AB ，∴∠A ＝∠CPD ，∠PCM ＝∠CPD ，因此，,CD PM CPM DCP ==，于是有DP ＝CM ＝1．例6 (1)连结BD 、CD ，∵AD 是直径，所以∠ABD ＝∠ACD ＝90°，又∵AB ＝AC ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD ＝∠DAC ，∴AD 平分∠BAC ．(2)连结OB 、OC ，则OA ⊥BC ，又AE ＝OE ，得AB ＝BO ＝OA ＝OC ，△AOB ，△AOC 都为等边三角形，连结OG ，则∠GOF ＝90°，FG ＝2．(3)取BD 的中点M ，过M 作MS ⊥PA 于S ，MT ⊥PF 于T ，连AM ，FM ．∠BPM ＝∠DPM ＝30°，∠APM ＝∠FPM ＝60°，则MS ＝MT ，MA ＝MF ，Rt △ASM ≌Rt △FTM ，Rt △PMS ≌Rt △PMF ．∴PS ＝12PM ．∴PA ＋PF ＝2PS ＝2PT ＝PM ．同理可证：PB ＋PD ＝3PM ．∴13333PA PF PM PB PD PM +===+为定值．A 级 1．49或7 2. 85 3．1 4．335．C 6．D 7．D 8．过O 点作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ，连结OD ，OA ，则AE ＝BE ，CF ＝DF ，∵OE 2＝AO 2－AE 2＝(4214AB -)，OF 2＝OD 2－FD 2＝414-CD 2，∴OE 2＋OF 2＝(4214AB -)＋(4214CD -)＝PF 2＋OF 2＝OP 2＝12，即4214AB -＋4214CD -＝1，故AB 2＋CD 2＝28．得x 1＝－3(舍去)，x 2＝75，∴正方形JKLM 的边长为145.B 级1. 26－3 提示:作OM ⊥CD 于M ，则EC ＝12(EF －CD). 2. 103 3. 3R 提示:设D'是D 点关于直径AB 对称的点，连结CD'交AB 于P ，则P 点使CP ＋PD 最小，∠COD'＝120°，CP ＋PD ＝CP ＋PD'＝CD'＝3R. 4. D 提示：如图：，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋12＝r 2(2－a)2＋(12)2＝r 2 ，解得a ＝1316，r ＝51716 5. A 提示:连结OM ，则OM ⊥AC.6. 解法一:连结OD 交AC 于点F ，∵D 为的中点，∴AC ⊥OD ，AF ＝CF. 又DE ⊥AB ，∴∠DEO ＝∠AFO. ∴△ODE ≌△OAF. ∴AF ＝DE. ∵DE ＝3∴AC ＝6. 解法二:延长DE 交⊙O 于点G ，易证＝2＝＋＝，则DG ＝AC ＝2DE ＝6.7. 连结BO 并延长交AD 于H ，因AB ＝BD ，故BH ⊥AD ，又∠ADC ＝90°，则BH ∥CD ，从而△OPB∽△CPD ，得CD BO ＝CP PO ，即CD 1.5＝0.61.5－0.6，解得CD ＝1. 于是AD ＝AC 2－CD 2＝22，又OH ＝12CD ＝12，则AB ＝AH 2＋BH 2＝2＋4＝6，BC ＝AC 2－AB 2＝9－6＝ 3. ∴四边形ABCD 的周长为1＋22＋3＋ 6.8. 提示:延长DC 至N ，使CN ＝CM ，连结BN ，则∠BCN ＝∠BAD ＝∠BDA ＝∠BCA ，可证得△BCN ≌△BCM ，Rt △BAM ≌Rt △BDN.9. ⑴AO ＝8，BO ＝6，AB ＝BC ＝10，AD ＝CO ＝16，DB ＝AD －AB ＝6，过D 作DE ⊥BC 于E ，由Rt △DEB ∽Rt △AOB ，得DE ＝245，BE ＝185，EO ＝6＋185＝485. ∴D(－485，245). ⑵A(0，－8)，C(－16，0)，P(－4，－6)，经过D ，P 两点的直线为y ＝－2714x －967，点(2，－10)不在直线DP 上.10. ⑴在AE上截取AF＝BP，连结AC，BC，FC，PC，可证明△CAF≌△CBP，CF＝CP. 又CD⊥PA，则PE＝FE，故AE＝PB＋PE. ⑵AE＝PE－PB，在PE上截取PF＝PB，连结AC，BC，FC，PC，可证明△CPF≌△CPB，CF＝CB＝CA. 又CD⊥AP，则FE＝AE，故AE＝PE－PB.11. 连结BD，∠CBA＝∠DBA，CB＝BD，由∠AOC＝∠CBD，∠A＝∠BDE，得△AOH∽△DBM，∴OHOA＝BMBD＝12，即BM＝12BC.12. 延长AC至点E，使CE＝BC，连结MA，MB，ME，BE. ∵AD＝DC＋BC＝DC＋CE＝DE，又MD ⊥AE，∴MA＝ME，∠MAE＝∠MEA. ∵∠MAE＝∠MBC，，又由CE＝BC得∠CEB＝∠CBE，∴∠MEB＝∠MBE，得MA＝ME＝MB，即M为优弧的中点，而MN⊥AB，∴MN是⊙O的直径.。

人教版九年级数学培优辅导资料

九年级数学培优辅导资料第1、2讲一元一次方程与二元一次方程组一、目标要求：1．了解等式、方程、一元一次方程和二元一次方程(组)的概念，掌握等式的基本性质． 2．掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法． 3．会列方程(组)解决实际问题.二、课前热身1．方程2x-5=3的解是（）A ．x=4B ．x=-4C ．x=1D ．x=-12．某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在“6•1儿童节”举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元．若设铅笔卖出x 支，则依题意可列得的一元一次方程为（）A.1.2×0.8x+2×0.9（60+x ）=87B.1.2×0.8x+2×0.9（60﹣x ）=87C.2×0.9x+1.2×0.8（60+x ）=87D.2×0.9x+1.2×0.8（60﹣x ）=873．某单位组织34人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的人数是瑞金的人数的2倍多1人，求到两地的人数各是多少？设到井冈山的人数为x 人，到瑞金的人数为y 人．下面所列的方程组正确的是（）A ．3412x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．3421x y x y +=⎧⎨=+⎩C ．3421x y x y +=⎧⎨=+⎩D ．23421x y x y +=⎧⎨=+⎩4．方程组525x y x y =+⎧⎨-=⎩的解满足方程x ＋y －a=0，那么a 的值是（）A ．5B ．－5C ．3D ．－35．方程组的解是（）A ．B ．C ．D ．三、【基础知识重温】1．等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示关系的式子叫等式. ⑵ 性质：① 如果b a =，那么=±c a ；② 如果b a =，那么=ac ；如果b a =()0≠c ，那么=ca. 2. 方程、一元一次方程的概念⑴ 方程：含有未知数的叫做方程；使方程左右两边值相等的，叫做方程的解；求方程解的叫做解方程. 方程的解与解方程不同.⑵ 一元一次方程：在整式方程中，只含有个未知数，并且未知数的次数是，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为 ()0≠a . 3. 解一元一次方程的步骤：①去；②去；③移；④合并；⑤系数化为1.x y 60x 2y 30+=⎧⎨-=⎩x 70y 10=⎧⎨=-⎩x 90y 30=⎧⎨=-⎩x 50y 10=⎧⎨=⎩x 30y 30=⎧⎨=⎩5. 二元一次方程组：把具有相同未知数的两个合在一起，就组成了一个二元一次方程组.6．二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有个解.7．二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的，叫做二元一次方程组的解. 8. 解二元一次方程组的方法：消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有消元和消元法两种.四、例题分析题型一一元一次方程的解法例1. （2016·辽宁大连）方程2x+3=7的解是（）A ．x=5B ．x=4C ．x=3.5D ．x=2 【趁热打铁】1.已知关于x 的方程3a-x=4的解为2，求代数式(-a)2-2a+1的值.2．解方程：（1）53(2)8x x +-= （2）212143x x -+=-3．解方程：)21(25)2(34y y y --=+-题型二二元一次方程组的解法例2. （2016•新疆）解方程组⎩⎨⎧=-=+②8y 3x ①732y x ．例3. （2016•内蒙古通辽）已知a 、b 满足方程组23319a b a b -=⎧⎨+=⎩= ．【趁热打铁】1.已知是方程组的解，则a ﹣b 的值是（）A. B. C. D.2．方程组⎩⎨⎧=-=+32y x a y x 的解为⎩⎨⎧==by x 5，则a 、b 分别为（）A ．a ＝8，b ＝－2B ．a ＝8，b ＝2C ．a ＝12，b ＝2D ．a ＝18，b ＝8 3.方程组13x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是。

初三数学培优专题(1) “平移后将军饮马”问题

初三培优专题（1） “平移后将军饮马”问题【引例】已知A （1，1）、B （4，2）．（1）P 为x 轴上一动点，求P A +PB 的最小值和此时P 点的坐标；（2）P 为x 轴上一动点，求PB PA 的值最大时P 点的坐标；（3）（平移后“将军饮马”）CD 为x 轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC +CD +DB 的最小值和此时C 点的坐标；【例】（2013年成都中考）在平面直角坐标系中，已知抛物线21(2y x bx c b =-++，c 为常数）的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为(0,1)-，C 的坐标为(4,3)，直角顶点B 在第四象限．（1）如图，若该抛物线过A ，B 两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与AC 交于另一点Q ．()i 若点M 在直线AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M 的坐标；()ii 取BC 的中点N ，连接NP ，BQ ．试探究PQNP BQ+是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）Q 等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为(0,1)-，C 的坐标为(4,3) ∴点B 的坐标为(4,1)-．Q 抛物线过(0,1)A -，(4,1)B -两点，∴1116412c b c =-⎧⎪⎨-⨯++=-⎪⎩，解得：2b =，1c =-，∴抛物线的函数表达式为：21212y x x =-+-．（2）方法一：)(0i A Q ，1)-，(4,3)C ，∴直线AC 的解析式为：1y x =-．设平移前抛物线的顶点为0P ，则由（1）可得0P 的坐标为(2,1)，且0P 在直线AC 上． Q 点P 在直线AC 上滑动，∴可设P 的坐标为(,1)m m -，则平移后抛物线的函数表达式为：21()12y x m m =--+-．解方程组：211()(1)2y x y x m m =-⎧⎪⎨=--+-⎪⎩，解得111x m y m =⎧⎨=-⎩，2223x m y m =-⎧⎨=-⎩(,1)P m m ∴-，(2,3)Q m m --．过点P 作//PE x 轴，过点Q 作//QF y 轴，则(2)2PE m m =--=，(1)(3)2QF m m =---=．0PQ AP ∴==．若以M 、P 、Q 三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况： ①当PQ 为直角边时：点M 到PQ的距离为PQ 的长）．由(0,1)A -，(4,1)B -，0(2,1)P 可知，0ABP ∆为等腰直角三角形，且0BP AC ⊥，0BP =．如答图1，过点B 作直线1//l AC ，交抛物线21212y x x =-+-于点M ，则M 为符合条件的点．∴可设直线1l 的解析式为：1y x b =+， (4,1)B -Q ，114b ∴-=+，解得15b =-， ∴直线1l 的解析式为：5y x =-．解方程组251212y x y x x =-⎧⎪⎨=-+-⎪⎩，得：1141x y =⎧⎨=-⎩，2227x y =-⎧⎨=-⎩ 1(4,1)M ∴-，2(2,7)M --．②当PQ 为斜边时：2MP MQ ==，可求得点M 到PQ．如答图2，取AB 的中点F ，则点F 的坐标为(2,1)-．由(0,1)A -，(2,1)F -，0(2,1)P 可知：0AFP ∆为等腰直角三角形，且点F 到直线AC．过点F 作直线2//l AC ，交抛物线21212y x x =-+-于点M ，则M 为符合条件的点．∴可设直线2l 的解析式为：2y x b =+， (2,1)F -Q ，212b ∴-=+，解得23b =-， ∴直线2l 的解析式为：3y x =-．解方程组231212y x y x x =-⎧⎪⎨=-+-⎪⎩，得：1112x y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩2212x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩3(1M ∴+2-+，4(1M2--．综上所述，所有符合条件的点M 的坐标为：1(4,1)M -，2(2,7)M --，3(1M，2-，4(1M -，2-．方法二：(0,1)A Q ，(4,3)C ， :1AC l y x ∴=-，Q 抛物线顶点P 在直线AC 上，设(,1)P t t -，∴抛物线表达式：21()12y x t t =--+-，AC l ∴与抛物线的交点(2,3)Q t t --，Q 以M 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形，(,1)P t t -，①当M 为直角顶点时，(,3)M t t -，212132t t t -+-=-，1t ∴=±1(1M ∴2)，2(1M ，2-，②当Q 为直角顶点时，点M 可视为点P 绕点Q 顺时针旋转90︒而成，将点(2,3)Q t t --平移至原点(0,0)Q '，则点P 平移后(2,2)P '，将点P '绕原点顺时针旋转90︒，则点(2,2)M '-，将(0,0)Q '平移至点(2,3)Q t t --，则点M '平移后即为点(,5)M t t -，∴212152t t t -+-=-，14t ∴=，22t =-，1(4,1)M ∴-，2(2,7)M --，③当P 为直角顶点时，同理可得1(4,1)M -，2(2,7)M --，综上所述，所有符合条件的点M 的坐标为：1(4,1)M -，2(2,7)M --，3(1M ，2-，4(1M -，2-．)PQ ii NP BQ+存在最大值．理由如下：由)i 知PQ =为定值，则当NP BQ +取最小值时，PQNP BQ+有最大值．如答图2，取点B 关于AC 的对称点B '，易得点B '的坐标为(0,3)，BQ B Q ='．连接QF ，FN ，QB '，易得//FN PQ ，且FN PQ =， ∴四边形PQFN 为平行四边形． NP FQ ∴=．NP BQ FQ B Q FB ∴+=+''==…∴当B '、Q 、F 三点共线时，NP BQ +最小，最小值为∴PQNP BQ += 【变式1】（2019•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线经过点(2,3)D --和点(3,2)E ，点P 是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE 和抛物线的表达式；（2）在y 轴上取点(0,1)F ，连接PF ，PB ，当四边形OBPF 的面积是7时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P 在抛物线对称轴的右侧时，直线DE 上存在两点M ，N （点M 在点N 的上方），且MN =，动点Q 从点P 出发，沿P M N A →→→的路线运动到终点A ，当点Q 的运动路程最短时，请直接写出此时点N 的坐标．解：（1）将点D 、E 的坐标代入函数表达式得：34229322a b a b -=-+⎧⎨++=⎩，解得：1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故抛物线的表达式为：213222y x x =-++，同理可得直线DE 的表达式为：1y x =-⋯①；（2）如图1，连接BF ，过点P 作//PH y 轴交BF 于点H ，将点FB 代入一次函数表达式，同理可得直线BF 的表达式为：114y x =-+，设点213(,2)22P x x x -++，则点1(,1)4H x x -+，211131412221722224OBF PFB OBPF S S S PH BO x x x ∆∆⎛⎫=+=⨯⨯+⨯⨯=+-+++-= ⎪⎝⎭四边形，解得：2x =或32，故点(2,3)P 或3(2，25)8；（3）当点P 在抛物线对称轴的右侧时，点(2,3)P ，过点M 作//A M AN '，过作点A '直线DE 的对称点A ''，连接PA ''交直线DE 于点M ，此时，点Q 运动的路径最短，MN =Q 2个单位，故点(1,2)A '，A A DE '''⊥，则直线A A '''过点A '，则其表达式为：3y x =-+⋯②，联立①②得2x =，则A A '''中点坐标为(2,1)，由中点坐标公式得：点(3,0)A ''，同理可得：直线A P ''的表达式为：39y x =-+⋯③，联立①③并解得：52x =，即点5(2M ，3)2，点M 沿ED 向下平移1(2N ，1)2-．【变式2】（2019•深圳）如图抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0)A -，点(0,3)C ，且OB OC =．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D 、E 在直线1x =上的两个动点，且1DE =，点D 在点E 的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值．（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分，求点P的坐标．解：（1）OB OC=Q，∴点(3,0)B，则抛物线的表达式为：22(1)(3)(23)23y a x x a x x ax ax a=+-=--=--，故33a-=，解得：1a=-，故抛物线的表达式为：223y x x=-++⋯①，函数的对称轴为：1x=；（2）ACDE的周长AC DE CD AE=+++，其中AC=、1DE=是常数，故CD AE+最小时，周长最小，取点C关于函数对称点(2,3)C'，则CD C D='，取点(1,1)A'-，则A D AE'=，故：CD AE A D DC+='+'，则当A'、D、C'三点共线时，CD AE A D DC+='+'最小，周长也最小，四边形ACDE的周长的最小值111AC DE CD AE A D DC A C=++++'+'=+''=（3）如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分，又11:():():22PCB PCA C P C PS S EB y y AE y y BE AE∆∆=⨯-⨯-=Q，则:BE AE，3:5=或5:3，则52AE=或32，即：点E 的坐标为3(2，0)或1(2，0)，将点E 、C 的坐标代入一次函数表达式：3y kx =+，解得：6k =-或2-，故直线CP 的表达式为：23y x =-+或63y x =-+⋯② 联立①②并解得：4x =或8（不合题意值已舍去），故点P 的坐标为(4,5)-或(8,45)-．【变式3】如图，二次函数24y x x =-的图象与x 轴、直线y x =的一个交点分别为点A 、B ，CD 是线段OB 上的一动线段，且2CD =，过点C 、D 的两直线都平行于y 轴，与抛物线相交于点F 、E ，连接EF ．（1）点A 的坐标为，线段OB 的长= ；（2）设点C 的横坐标为m①当四边形CDEF 是平行四边形时，求m 的值；②连接AC 、AD ，求m 为何值时，ACD ∆的周长最小，并求出这个最小值．解：（1）24y x x =-Q 中，令0y =，则204x x =-，解得10x =，24x =，(4,0)A ∴，解方程组24y x y x x =⎧⎨=-⎩，可得00x y =⎧⎨=⎩或55x y =⎧⎨=⎩，(5,5)B ∴，OB ∴=故答案为：(4,0)，（2）①Q 点C 的横坐标为m ，且////CF DE y 轴， (,)C m m ∴，2(,4)F m m m -，又2CD =Q ，且CD 是线段OB 上的一动线段，(D m ∴m ，(E m +2(4(m m +-+，2(4)CF m m m ∴=--，2[(4(DE m m m =+-+， Q 当四边形CDEF 是平行四边形时，CF DE =，22(4)[(4(m m m m m m ∴--=+-，解得52m =；②如图所示，过点A 作CD 的平行线，过点D 作AC 的平行线，交于点G ，则四边形ACDG 是平行四边形，AC DG ∴=，作点A 关于直线OB 的对称点A '，连接A D '，则A D AD '=，∴当A '，D ，G 三点共线时，A D DG A G ''+=最短，此时AC AD +最短， (4,0)A Q ，2AG CD ==，(0,4)A '∴，(4G +，设直线A G '的解析式为y kx b =+，则4(4b k b =⎧⎪=+，解得4k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线A G '的解析式为947y x -=-+，解方程组947y x y x =⎧⎪⎨-=-+⎪⎩，可得22x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，(2D ∴，2+， 2CD =Q ，且CD 是线段OB上的一动线段，(2C ∴2，∴点C的横坐标2m =由(4,0)A，(2C2-可得，3AC =，由(4,0)A，(2D2+可得，3AD ，又2CD =Q ，ACD ∴∆的周长2338CD AC AD =++=++=，故当2m =ACD ∆的周长最小，这个最小值为8．【变式4】（2016年福建龙岩压轴）如图，在直角坐标系中，抛物线259()28y a x =-+与M e 交于A ，B ，C ，D 四点，点A ，B 在x 轴上，点C 坐标为(0,2)-．（1）求a 值及A ，B 两点坐标；（2）点(,)P m n 是抛物线上的动点，当CPD ∠为锐角时，请求出m 的取值范围；（3）点E 是抛物线的顶点，M e 沿CD 所在直线平移，点C ，D 的对应点分别为点C '，D '，顺次连接A ，C '，D '，E 四点，四边形AC D E ''（只要考虑凸四边形）的周长是否存在最小值？若存在，请求出此时圆心M '的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）Q 抛物线259()28y a x =-+经过点(0,2)C -，2592(0)28a ∴-=-+，12a ∴=-，2159()228y x ∴=--+，当0y =时，2159()0228x --+=，14x ∴=，21x =， A Q 、B 在x 轴上， (1,0)A ∴，(4,0)B ．（2）由（1）可知抛物线解析式为2159()228y x =--+，C ∴、D 关于对称轴52x =对称，(0,2)C -Q ， (5,2)D ∴-，如图1中，连接AD 、AC 、CD ，则5CD =，(1,0)A Q ，(0,2)C -，(5,2)D -，AC ∴=AD =， 222AC AD CD ∴+=， 90CAD ∴∠=︒，CD ∴为M e 的直径，∴当点P 在圆外部的抛物线上运动时，CPD ∠为锐角， 0m ∴<或14m <<或5m >．（3）存在．如图2中，将线段C A '平移至D F '，则5AF C D CD =''==，(1,0)A Q ，(6,0)F ∴，作点E 关于直线CD 的对称点E '，连接EE '正好经过点M ，交x 轴于点N ，Q 抛物线顶点5(2，9)8，直线CD 为2y =-， 5(2E ∴'，41)8-，连接EF '交直线CD 于H ，AE Q ，C D ''是定值，AC ED ∴'+'最小时，四边形AC D E ''的周长最小，AC D E FD D E FD E D E F '+'='+'='+'''Q …，则当点D '与点H 重合时，四边形AC D E ''的周长最小，设直线E F '的解析式为y kx b =+，5(2E 'Q ，41)8-，(6,0)F ， ∴可得411232814y x =-，当2y =-时，19041x =， 190(41H ∴，2)-，5(2M Q ，2)-， 1901554141DD ∴'=-=， Q 51517524182-=， 175(82M ∴'，2)-【变式5】（2014广州中考数学）已知平面直角坐标系中两定点(1,0)A -、(4,0)B ，抛物线22(0)y ax bx a =+-≠过点A ，B ，顶点为C ，点(P m ，)(0)n n <为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标；（2）当APB ∠为钝角时，求m 的取值范围；（3）若32m >，当APB ∠为直角时，将该抛物线向左或向右平移5(0)2t t <<个单位，点C 、P 平移后对应的点分别记为C '、P '，是否存在t ，使得首位依次连接A 、B 、P '、C '所构成的多边形的周长最短？若存在，求t 的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．解：（1）Q 抛物线22(0)y ax bx a =+-≠过点A ，B ，∴2016420a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴抛物线的解析式为：213222y x x =--； 221313252()22228y x x x =--=--Q ， 3(2C ∴，25)8-．（2）如图1，以AB 为直径作圆M ，则抛物线在圆内的部分，能使APB ∠为钝角，3(2M ∴，0)，M e 的半径52=．P 'Q 是抛物线与y 轴的交点，2OP ∴'=，52MP ∴'=， P ∴'在M e 上，P ∴'的对称点(3,2)-，∴当10m -<<或34m <<时，APB ∠为钝角．（3）方法一：存在；抛物线向左或向右平移，因为AB 、P C ''是定值，所以A 、B 、P '、C '所构成的多边形的周长最短，只要AC BP '+'最小；第一种情况：抛物线向右平移，AC BP AC BP '+'>+，第二种情况：向左平移，如图2所示，由（2）可知(3,2)P -，又3(2C Q ，25)8- 3(2C t '∴-，25)8-，(3,2)P t '--， 5AB =Q ，(2,2)P t ∴''---，要使AC BP '+'最短，只要AC AP '+''最短即可，点C '关于x 轴的对称点3(2C t ''-，25)8，设直线P C ''''的解析式为：y kx b =+， 2(2)253()82t k b t k b -=--+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得412841132814k b t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩∴直线414113282814y x t =++，当P ''、A 、C ''在一条直线上时，周长最小， 4141130282814t ∴-++= 1541t ∴=．故将抛物线向左平移1541个单位连接A 、B 、P '、C '所构成的多边形的周长最短．方法二：AB Q 、P C ''是定值， A ∴、B 、P '、C '所构成的四边形的周长最短，只需AC BP '+'最小， ①若抛物线向左平移，设平移t 个单位，3(2C t ∴'-，25)8-，(2,2)P t ''---， Q 四边形P ABP '''为平行四边形， AP BP ∴''='，AC BP '+'最短，即AC AP '+''最短，C '关于x 轴的对称点为3(2C t ''-，25)8， C ''，A ，P ''三点共线时，AC AP '+''最短，AC AP K K '''=，2502831212t t +=-++-+， 1541t ∴=． ②若抛物线向右平移，同理可得1541t =-， ∴将抛物线向左平移1541个单位时，A 、B 、P '、C '所构成的多边形周长最短．。

初三数学培优题

初三数学培优题Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998为您提供优质放心的教育服务数学培优题]孙老师第一讲（三角形、四边形及多边形）第二讲：（三角形、四边形及多边形）第三讲与圆有关的性质第四讲直线与圆的位置关系第五讲：与圆有关的比例线段+圆内接四边形第六讲:圆的综合运用第七讲:函数图像、性质的应用第八讲：二次函数-特殊三角形第九讲：二次函数-平行四边形第十讲二次函数（面积与计算）第十一讲:三角函数及综合第十二讲一次函数与反比例函数第一讲（三角形、四边形及多边形）★你了解直线型问题的中考方向吗所谓直线型问题，包括了直线、角、三角形、四边形及其多边形，这部分内容知识点多，题型变化多样，是中考重点考察内容之一。

成都市历年中考题中，这部分知识点约占25分。

分析近三年成都和全国其他省市的中考题，我们发现：这部分知识的考题一般设置为中档题，在A卷出现比较多些，有填空、选择、解答或证明，在B 卷中出现的题量和分值配备相对少些。

但是，当这部分知识与圆相结合或与函数图象结合，常常成为压轴题的重要组成部分。

★你必须记住的考点1、平行线的性质与判定；2、三角形的内角和定理；3、三角形三边之间的关系定理；★4、三角形全等（相似）的性质与判定；5、三角形（梯形）的中位线定理；6、三角形的“五心”；★7、特殊三角形（等腰三角形、直角三角形等）的性质与判定；★8、平行四边形（包括正方形、菱形、矩形）的性质与判定；9、多边形的内角和定理；★10、三角形中的重要线段（角平分线，中线，垂线，高）★你必须掌握的方法解决直线型问题最基本的方法就是法：面对复杂几何图形时，要从不同的角度去观察，学会辨认图形。

即要善于从复杂图形中寻找、分离出我们最熟悉的图形，从而利用熟悉图形的性质给予解答。

同时思考问题一定要快速、准确、全面，还要综合运用分类讨论法、方程等思想方法。

★全等、相似常见模型全等模型有：旋转型、对称型、叠合型、平移型；相似常见模型：（1）平行型：（A 型，X 型）（2）交错型（3）旋转型（4）母子三角形★ 中考考点分析、典例解析◆ 题型一------概念型【例1】如图：直线a,b,c 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站P ，要求它到三条公路的距离相等，则(1)可供选择的地址有（）A 、一处B 、二处C 、三处D 、四处（2）、若∠ABC=070,则∠APC=【例2】若三角形的三个角满足关系式：C B A ∠=∠=∠3121，则这个三角形是（）A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、直角三角形D 、等腰三角形◎ 目标训练11、等腰三角形一边长为5，另一边长为11，则其周长为（）A 、21B 、27C 、21或27D 、162、如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中ABC ∆相似的是（）◆ 题型二------计算、证明型【例3】已知关于x 的一元二次方程（a +c ）x 2+2bx +（a ﹣c ）=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．（1）如果x =﹣1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【例4】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．【例5】已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P 点处．（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、O A．①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；（3）如图2，，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．【例6】例如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥A C．（1）求证：BE=AF；（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF的面积．【例7】如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，点P为AB边上一动点，OP 交AC于点Q．（1）求证：△APQ∽△CDQ；（2）P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．①当t为何值时，DP⊥AC②设S △APQ +S △DCQ =y ，写出y 与t 之间的函数解析式，并探究P 点运动到第几秒到第几秒之间时，y 取得最小值．【例8】如图，已知直线l 1∥l 2，线段AB 在直线l 1上，BC 垂直于l 1交l 2于点C ，且AB =BC ，P 是线段BC 上异于两端点的一点，过点P 的直线分别交l 2、l 1于点D 、E （点A 、E 位于点B 的两侧），满足BP =BE ，连接AP 、CE ．（1）求证：△ABP ≌△CBE ；（2）连结AD 、BD ，BD 与AP 相交于点F ．如图2．①当=2时，求证：AP ⊥BD ；②当=n （n ＞1）时，设△PAD 的面积为S 1，△PCE 的面积为S 2，求的值．第二讲：（三角形、四边形及多边形）2一：知识点回顾1四边形性质2特殊四边形（平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形）的性质及差异 3特殊四边形的判定方法4四边形中常见的辅助线二：例题分析例1：如图，在平行四边形ABCD 中，∠C =60°，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，BC =2C D ．（1）求证：四边形MNCD 是平行四边形；（2）求证：BD =MN ．例2：如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AD 边上的中点，连接BE ，并延长BE 交CD 的延长线于点F ．（1）证明：FD =AB ；（2）当平行四边形ABCD 的面积为8时，求△FED 的面积．例3：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥AB 于点D ，BC =10cm ，AD =8cm ．点P 从点B 出发，在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动，与此同时，垂直于AD 的直线m 从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．例4：如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC的延长线上，连结EF与边CD相交于点G，连结BE与对角线AC相交于点H，AE=CF，BE=EG．（1）求证：EF∥AC；（2）求∠BEF大小；（3）求证：=．例5：如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M 顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系请说明理由．例6：如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，（1）的值为；（2）求证：AE=EP；（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．第三讲与圆有关的性质1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠P=35，求⊙O的直径．2.如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线．（2）求证：AF=CF．（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．B 3.如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于点D ，DE ⊥AC 于点E ，BE 交⊙O 于点F ，连接AF ，AF 的延长线交DE 于点P ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）求tan ∠ABE 的值；（3）若OA=2，求线段AP 的长．4.(2014年天津市，第21题10分)已知⊙O 的直径为10，点A ，点B ，点C 在⊙O 上，∠CAB 的平分线交⊙O 于点D ．（Ⅰ）如图①，若BC 为⊙O 的直径，AB =6，求AC ，BD ，CD 的长；（Ⅱ）如图②，若∠CAB =60°，求BD 的长．5.如图，AD 是△ABC 的角平分线，以点C 为圆心，CD 为半径作圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且∠B=∠CAE ，EF ：FD=4：3．（1）求证：点F 是AD 的中点；（2）求cos ∠AED 的值；（3）如果BD=10，求半径CD 的长．6.（2014襄阳，第25题10分）如图，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点，∠APC =∠BPC =60°，过点A 作⊙O 的切线交BP 的延长线于点D ．（1）求证：△ADP ∽△BDA ；（2）试探究线段PA ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若AD =2，PD =1，求线段BC 的长．7.如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，O 是BC 边上一点，以O 为圆心的半圆与AB 边相切于点D ，与AC 、BC 边分别交于点E 、F 、G ，连接OD ，已知BD=2，AE=3，tan ∠BOD=．（1）求⊙O 的半径OD ；（2）求证：AE 是⊙O 的切线；（3）求图中两部分阴影面积的和．8.已知：如图，ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CBA 的平分线交AC 于点F ，交 ⊙O 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连结AD ．（1）求证：∠DAC ＝∠DBA ；（2）求证：P 是线段AF 的中点；（3）若⊙O 的半径为5，AF ＝ 215，求tan ∠ABF 9.已知：如图，以矩形ABCD 的对角线AC 的中点O 0，⊙O 经过B 、D 两点，过点B 作BK ⊥AC ，垂足为K ．过D 作DH ∥KB ，DH 分别与AC 、AB 、⊙O 及CB 的延长线相交于点E 、F 、G 、H ．(1)求证：AE=CK；(2)如果AB=a，AD=13a (a为大于零的常数)，求BK的长；(3)若F是EG的中点，且DE=6，求⊙O的半径和GH的长．第四讲直线与圆的位置关系【知识点】※1. 直线和圆相交、相切相离的定义:(1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.(2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.(3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.※2. 直线与圆的位置关系的数量特征:设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；①d<r <===> 直线L和⊙O相交.②d=r <===> 直线L和⊙O相切.③d>r <===> 直线L和⊙O相离.※3. 切线的总判定定理:经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.※4. 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.※推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.※推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.※分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心.※5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形.※6. 三角形内心的性质:(1)三角形的内心到三边的距离相等.(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角.【例题分析】1.（2014德州，第22题10分）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．（1）求AC 、AD 的长；（2）试判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由．2. 如图，直线与⊙O 相切于点D ，过圆心O 作EF ∥交⊙O于E 、F 两点，点A 是⊙O 上一点，连接AE ，AF ，并分别延长交直线于B 、C 两点；（1）求证：∠ABC+∠ACB=90°；（2）若⊙O 的半径5=R ，BD=12，求tan ∠ACB 的值．3.如图，AB 为的直径，点C 在⊙O 上，点P 是直径AB 上的一点（不与A ，B重合），过点P 作AB 的垂线交BC 的延长线于点Q 。

【中考冲刺】初三数学培优专题 14 平行线分线段成比例(含答案)(难)

平行线分线段成比例阅读与思考平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，是研究比例线段及相似形的最基本、最重要的理论．运用平行线分线段成比例定理解题的关键是寻找题中的平行线．若无平行线，需作平行线，而作平行线要考虑好过哪一个点作平行线，一般是由成比例的两条线段启发而得．此外，还要熟悉并善于从复杂的图形中分解出如下的基本图形：例题与求解【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝a ，BC ＝b ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，且AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，则PQ 的长为＿＿＿＿．（上海市竞赛试题）解题思路：建立含PQ 的比例式，为此，应首先判断PQ 与AD （或BC ）的位置关系，关键是从复杂的图形中分解出基本图形，并能在多个成比例线段中建立联系．【例2】如图，在△ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，M 是AC 的中点，BM 交AD ，AE 于G ，H ，则BG ︰GH ：HM 等于（）A ．3︰2︰1B ．4︰2︰1C ．5︰4︰3D ．5︰3︰2（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：因题设条件没有平行线，故须过M 作BC 的平行线，构造基本图形．A BCDEGH MQA BCDEFP【例3】如图，□ABCD中，P为对角线BD上一点，过点P作一直线分别交BA，BC的延长线于Q，R，交CD，AD于S，T．求证：PQ•PT＝P R•PS．（吉林省中考试题）解题思路：要证PQ•PT＝P R•PS，需证PQPS＝PRPT，由于PQ，PT，P R，PS在同一直线上，故不能直接应用定理，需观察分解图形．【例4】梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC．（1）如图1，如果P，E，F分别是BC，AC，BD的中点，求证：AB＝PE＋PF；（2）如图2，如果P是BC上的任意一点（中点除外），PE∥AB，PF∥DC，那么AB＝PE＋PF这个结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．（上海市闵行区中考试题）解题思路：（1）不难证明；对于（2），先假设结论成立，从平行线出发证明AB＝PE＋PF，即要证明PEAB＋PFAB＝1，将线段和差问题的证明转化为与成比例线段相关问题的证明．AB CDEFP图2AB CDEFP图1QARBCDSP【例5】如图，已知AB ∥CD ，AD ∥CE ，F ，G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB ，AD ，CD ，CE 于点M ，N ，P ，Q ．求证：MN ＋PQ ＝2PN ．解题思路：考虑延长BA ，EC 构造平行四边形，再利用平行线设法构造有关的比例式．（浙江省竞赛试题）【例6】已知：△ABC 是任意三角形．（1）如图1，点M ，P ，N 分别是边AB ，BC ，CA 的中点，求证：∠MPN ＝∠A ；（2）如图2，点M ，N 分别在边AB ，AC 上，且AM AB ＝13，AN AC ＝13，点P 1，P 2是边BC 的三等分点，你认为∠MP 1N ＋∠MP 2N ＝∠A 是否正确？请说明你的理由；（3）如图3，点M ，N 分别在边AB ，AC 上，且P 1，P 2，…，P 2009是边BC 的2010等分点，则∠MP 1N ＋∠MP 2N ＋…＋∠MP 2009N ＝＿＿＿＿．（济南市中考试题）解题思路：本题涉及的考点有三角形中位线定理、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质．ABCM NP图1A BC MN1P 2P 图2A MNBC1P 2P 2009P 图3QABCDEFGMNP能力训练A 级1．设K ＝a b c c +-＝a b c b -+＝a b ca-++，则K ＝＿＿＿＿．（镇江市中考试题）2．如图，AD ∥EF ∥BC ，AD ＝15，BC ＝21，2AE ＝EB ，则EF ＝＿＿＿＿．3．如图，在△ABC 中，AM 与BN 相交于D ，BM ＝3MC ，AD ＝DM ，则BD ︰DN ＝＿＿＿＿．（杭州市中考试题）4．如图，ABCD 是正方形，E ，F 是AB ，BC 的中点，连结EC 交DB ，交DF 于G ，H ，则EG ︰GH ︰HC ＝＿＿＿＿．（重庆市中考试题）5．如图，在正△ABC 的边BC ，CA 上分别有点E ，F ，且满足BE ＝CF ＝a ，EC ＝F A ＝b （a ＞b ），当BF 平分AE 时，则ab 的值为（） ABCD6．如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF ︰FD ＝1︰5，连结CF 并延长交AB 于E ，则AE ︰EB 等于（）A ．1︰10B ．1︰9C ．1︰8D ．1︰77．如图，PQ ∥AB ，PQ ＝6，BP ＝4，AB ＝8，则PC 等于（） A ．4B ．8C ．12D ．168．如图，EF ∥BC ，FD ∥AB ，BD ＝35BC ，则BE ︰EA 等于（）A ．3︰5B ．2︰5C ．2︰3D ．3︰2A BCD E F 第2题ABCD M N第3题ABCDEFGH 第4题A BCEFG第5题ABCDE F第6题QABCP第7题AB CDEF 第8题9．（1）阅读下列材料，补全证明过程．已知，如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥BC 于E ，连结DE 交OC 于点F ，作FG ⊥BC 于G ．求证：点G 是线段BC 的一个三等分点．（2）请你依照上面的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点．（要求：保留画图痕迹，不写画法及证明过程）（山西中考试题）10．如图，已知在□ABCD 中，E 为AB 边的中点，AF ＝12FD ，FE 与AC 相交于G ．求证：AG ＝15AC ．11．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD ．（1）求证：OE ＝OF ；（2）求OE AD ＋OEBC的值；（3）求证：1AD ＋1BC ＝2EF．（宿迁市中考试题）ABCDE FGO第9题ABCDEG第10题ABCD EFO第11题12．如图，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上的一点，CE 的延长线与BC 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于点M ，MB 与AD 交于点N ．求证：∠AFN ＝∠DME ．（全国初中数学联赛试题）B 级1．如图，工地上竖立着两根电线杆AB ，CD ，它们相距15cm ，分别自两杆上高出地面4m ，6m 的A ，C 处，向两侧地面上的E ，D 和B ，F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度为＿＿＿＿m ．（全国初中数学联赛试题）2．如图，□ABCD 的对角线交于O 点，过O 任作一直线与CD ，BC 的延长线分别交于F ，E 点．设BC ＝a ，CD ＝b ，CF ＝c ，则CE ＝＿＿＿＿．（黑龙江省中考试题）3．如图，D ，F 分别是△ABC 边AB ，AC 上的点，且AD ︰DB ＝CF ︰F A ＝2︰3，连结DF 交BC 边的延长线于点E ，那么EF ︰FD ＝＿＿＿＿．（“祖冲之杯”邀请赛试题）4．如图，设AF ＝10，FB ＝12，BD ＝14，DC ＝6，CE ＝9，EA ＝7，且KL ∥DF ，LM ∥FE ，MN ∥ED ，则EF ︰FD ＝＿＿＿＿．（江苏省竞赛试题）ABCDEF M NP ABCDEF O第2题ABCD EF 第3题QABCD EF 第1题5．如图，AB ∥EF ∥CD ，已知AB ＝20，CD ＝80，那么EF 的值是（） A ．10B ．12C ．16D ．18（全国初中数学联赛试题）6．如图，CE ，CF 分别平分∠ACB ，∠ACD ，AE ∥CF ，AF ∥CE ，直线EF 分别交AB ，AC 于点M ，N ．若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，且c ＞a ＞b ，则EM 的长为（）A ．2c a- B ．2a b- C ．2c b- D ．2a b c+- （山东省竞赛试题）7．如图，在□ABCD 的边AD 延长线上取一点F ，BF 分别交AC 与CD 于E ，G ．若EF ＝32，GF ＝24，则BE 等于（）A ．4B ．8C ．10D ．12E ．16（美国初中数学联赛试题）8．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3CD ，E 是对角线AC 的中点，直线BE 交AD 于点F ，则AF ︰FD 的值是（）A ．2B ．53C ．32D ．1（黄冈市竞赛试题）9．如图，P 是梯形ABCD 的中位线MN 所在直线上的任意一点，直线AP ，BP 分别交直线CD 于E ，F ．求证：MN NP ＝1()2AE BFEP FP+．（宁波市竞赛试题）ABCD EFG第7题ABCDE F第8题A BCD E F MNP第9题A BCDE F第5题AB CD E F LKMN第4题AB CDEFM第6题10．如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，直线l 平行于BD 且与AB ，DC ，BC ，AD 及AC 的延长线分别交于点M ，N ，R ，S 和P ．求证：PM ·PN ＝P R ·PS ．（山东省竞赛试题）11．如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，B ，D 是垂足，AD 和BC 交于E ，EF ⊥BD 于F ．我们可以证明：11AB CD +＝1EF 成立（不要求证出）．以下请回答：若将图中垂直改为AB ∥CD ∥EF ，那么，（1）11AB CD+＝1EF 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．（2）请找出S △ABD ，S △BED 和S △BDC 的关系式，并给出证明．（黄冈市竞赛试题）ABCDEF第11题SA R BC DMN OPl第10题12．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，过D点的直线PQ交边AC于点P，交边AB 的延长线于点Q．（1）如图1，当PQ⊥AC时，求证：11AQ AP+；（2）如图2，当PQ不与AD垂直时，（1）的结论还成立吗？证明你的结论；（3）如图3，若∠BAC＝60°，其它条件不变，且11AQ AP+＝nAD，则n＝＿＿＿＿（直接写出结果）AQ B CDP图1AQB CDP图2AQB CDP图3专题14 平行线分线段成比例例1aba b+ 提示：由AP DQ a PF QF b ==,推得PQ ∥AD 。

【中考冲刺】初三数学培优专题 11 是偶然还是必然—概率初步(含答案)(难)

是偶然还是必然—概率初步阅读与思考统计学是一门研究如何收集、整理、分析数据，并在此基础上作出推断的学科．在自然界和人类社会中，严格确定性的现象十分有限，不确定性现象却是大量存在的，而概率正是对随机现象的一种数学描述．数学中用概率来表示事件发生的机会大小，概率是一个比值，用字母P 表示，计算公式是：事件发生的概率P =所有可能结果结果该事件发生的所有可能在具体的计算中，常用到树形图、列表、穷举等方法．统计与概率互为基础，概率这一概念是建立在概率这一统计量稳定性的基础上的，而推断、估计等统计方法的科学性有赖于概率理论的严密性．例题与求解【例1】一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8．同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数之和为7的概率是．（“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）解题思路：用列表法列出所有情形．【例2】一项“过关游戏”规定：在第n 关要掷一颗骰子n 次，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于43n ，则算过关；否则不算过关．现有下列说法：①过第一关是必然事件；②过第二关的概率是3635； ③可以过第四关；④过第五关的概率大于0．其中，正确说法的个数为（） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个解题思路：对于（2），在理解“过关”意义的基础上，逐步计算相关概率．【例3】如图，用红、蓝、黄三色将图中区域A ，B ，C ，D 染色，要求有公共边界的相邻区域不能染相同的颜色，则满足区域A 恰好染蓝色的概率为．解题思路：用树形图列出所有可能情形，或从整体考虑．【例4】小明准备给小陈打电话，由于保管不善，电话本上的小陈手机号码中，有两个数字已模糊不清．如果用x ，y 表示这两个看不清的数字，那么小陈的手机号码为139x 370y 580（手机号码由11个数字组成），小明记得这11个数字之和是20的整数倍．求小明一次拨对小陈手机号码的概率．解题思路：建立关于x ，y 的不定方程，由此可得x ，y 可能的对应值的所有情况．【例5】杨华与李红用五张相同规格的硬币纸片做拼图游戏．硬纸片正面如下图1所示，背面完全一致．将它们背面朝上洗匀后，同时抽出两张．图2图1小山房子小人点灯规则如下：当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，杨华得1分；当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，李红得1分；问题：游戏规则对双方公平吗？请说明理由；若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平？解题思路：游戏对双方公平是指双方积分相同．解题的关键是分别求出杨华、李红的得分．【例6】一个正三角形ABC 的每一个角各有一只蚂蚁，每只蚂蚁开始朝另一只蚂蚁做直线运动，目标角是随机选择．求蚂蚁不相撞的概率．（微软公司招聘面试试题）解题思路：三只蚂蚁在每个角上都有两种选择的方向（顺时针或逆时针），因每只蚂蚁选择的不确定性，故组成的各种情形似乎繁杂．出题用意就在于考查应试者摒除习惯因素的干扰、切中要害、化繁为简的能力．能力训练A 级1．如图1，图中有一个黑球，图2有3个同样大小的球叠成的图形，最下一层的2个球为黑色，其余为白色；图3为6个同样大小的球叠成德图形，最下一层的3个球为黑色，其余为白色；…则从第n 个图中随机取一个球，是黑球的概率为．（株洲市中考试题）2．有四张正面分别标有数字-3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将他们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a ，则使关于x 的分式方程xx ax -=+--21221有正整数解的概率为．（重庆市中考试题）3．小丁、小明、小倩在一起做游戏时，需要确定做游戏的先后顺序．他们约定用“剪刀、布、锤子”的方式确定．那么，在一个回合中三个人都出“布”的概率是．（海南省中考试题）4．对于平面内任意一个凸四边形ABCD ，现从以下四个关系式①AB=CD ；②AD=BC ；③AB//CD ；④ ∠A=∠C 中任取两个作为条件，能够得出这个四边形ABCD 是平行四边形的概率是．（广州市中考试题）5．在0，1，2三个数中任取两个，组成两位数，则在组成的两位数中是奇数的概率为（） A ．41 B ．61 C ．21 D ．43（泰安市中考试题）6．从分别写有数字1，2，3，4，5的五张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率为（） A ．51 B ．103 C ．52 D ．21（全国初中数学联赛试题）7．经过某十字路口的汽车，可能继续直行，也可能向左或向右转．若这三种可能性大小相同，则两汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为（） A ．31 B ．32 C ．91 D ．21（呼和浩特市中考试题）8．盒子里有十个球，每个球上写有1～10中的一个数字，不同的球上数字不同，其中两个球上的数字之和可能是3，4，…，19．现从盒中随意取两个球，这两个球上的数之和最有可能出现的是（） A ．2B ．10C ．11D ．209．一个口袋中有三个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，……不断重复上诉过程．小明共摸了100次，其中20次摸到黑球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有（） A ．18个B ．15个C ．12个D ．10个（青岛市中考试题）10．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．小亮同学随机地在大正方形及其内部区域投针．若直角三角形的两条直角边长分别是2和1，则针扎到小正方形（阴影）区域的概率是（） A ．31B ．41 C ．51 D ．55（临沂市中考试题）11．有四张卡片（背面完全相同），分别写有数字1，2，-1，-2．把它们背面朝上洗匀后，甲同学抽取一张，记下这个数字后放回洗匀，乙同学再从中抽出一张，记下这个数字．用字母b ，c 分别表示甲、乙两同学抽出的数字．（1）用列表法求关于x 的方程02=++c bx x 有实数解的概率；（2）求（1）中方程有两个相同实数解的概率．12．将背面完全相同，正面分别写有数字1，2，3，4的四张卡片混合后，小明从中随机地抽取一张，把卡片上的数字作为被减数；将形状、大小完全相同，分别标有数字1，2，3的三个小球混合后，小华从中随机地抽取一个，把小球上的数字作为减数，然后计算出这两个数的差．（1）请你用画树形图或列表的方法，求这两个数差为0的概率；（2）小明与小华做游戏，规则是：若这两数的差为非负数，则小明赢；否则，小华赢．你认为该游戏公平吗？请说明理由．如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平．（重庆市中考试题）B 级1．一只盒子中有红球m 个，白球10个，黑球n 个，每个球除颜色外都相同．从中任取一个球，取得是白球的概率与不是白球的概率相同．那么，m 与n 的关系是．（山东省竞赛试题）2．某广场地面铺满了边长为36cm 的正六边形地砖．现在向上抛掷半径为36cm 的圆碟，圆碟落地后与地砖间的间隙不相交的概率大约是．（太原市竞赛试题）3．甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100m 接力跑比赛．如果任意安排四位同学的跑步顺序，那么，恰好由甲将接力棒交给乙的概率是（） A ．41B ．61 C ．81 D ．121（浙江省竞赛试题）4．一条绳子被任意割成两段，较长的一段至少是较短的一段的x 倍的概率为（） A ．21 B ．x 2 C ．11+x D ．x 1 E ．12+x （美国高中数学考试题）5．把一颗六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数n mx x y ++=2的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（） A ．125B ．94 C ．3617 D ．21（全国初中数学竞赛试题）6．长为1，2，3，4，5的线段各一条，从这五条线段中任取三条，能构成钝角三角形的概率为（） A ．101B ．107 C ． 51 D ．527．一张数学游戏在两个同学甲、乙之间进行．裁判在黑板上先写出正整数2，3，…，2006，然后随意擦去一个数，接下来由乙、甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中的一个数，然后甲再擦去另一个数，如此下去）．若最后剩下的两个数互质，则判甲胜；否则，判乙胜．按照这种游戏规则，求甲获胜的概率．（四川省竞赛试题）8．任意选择一对有序整数(b ，c )，其中每一个整数的绝对值小于或等于5，每一对这样的有序整数被选择的可能性是相等的．求方程02=++c bx x 没有相异正实根的概率．（美国高中数学考试题）9．袋中有数字卡片九张，其数字分别为1～9．若随机一次抽出三张，求被抽出的卡的数字全是奇数的概率．（香港中学数学竞赛试题）10．将20个球放入两个袋中，每袋10个球，各袋中的球分别标上自然数1～10，其中一袋中的球全是白色，另一袋中的球全为黑色．若从两个袋中任意各取一个球，求白球上的数比黑球上的数大的概率．（香港中学生数学竞赛试题）11．如图，将三枚相同的硬币依次放入一个4×4的正方形格子中（每个正方形格子只能放一枚硬币）．求所放的三枚硬币中，任意两个都不同行且不同列的概率．（四川省竞赛试题）12．在一个口袋中有n 个小球，其中两个是白球，其余为红球，这些球的形状、大小、质地完全相同．在看不到球的情况下，从袋中随机地取出一个球．（1）若取出的是红球的概率为53，求n 的值；（2）在（1）的条件下，把这n 个球中的两个标号为1，其余分别标号为2，3，…，n-1，随机地取出一个小球后不放回，再随机地取出一个小球，请用列表法或树形图求第二次取出的小球标号大于第一次取出的小球标号的概率；（3）若第（2）问去掉“在（1）的条件下”，且第二次取出的小球标号大于第一次取出的小球标号的概率为4522，求n 的值．。

九年级数学培优教程篇全

第1讲二次根式的性质和运算考点·方法·破译1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进展辨析；2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进展化简；3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值〔或取值围〕.经典·考题·赏板【例１】〔荆州〕以下根式中属最简二次根式的是〔〕【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B中含分母，C、D含开方数4、9，应选A.【变式题组】1．⑴〔〕以下根式中不是最简二次根式的是〔〕x-=，当y＞0时，m的取值围是〔〕【例２】(黔东南)方程480A．0＜m＜1 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2【解法指导】此题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x－8＝0，x－y－m ＝0.化为y＝2－m，那么2－m＞0，应选C.【变式题组】2．〔〕假设实数x、y2y=，那么xy的值是__________.(03．2=+，那么x－y的值为〔〕x y()A．－1 B．1 C．2 D．3有意义的x的取值围是〔〕4．〔〕使代数式x-4A．x＞3 B．x≥3 C．x＞4 D．x≥3且x≠45.〔〕2a c--=，那么a－b－c＝________.2(4)0是同类二次根式的是〔〕A B C D【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一样. A=；B不能化简；=D=故此题应选D.【变式题组】6是同类二次根式，那么a＝________．7．在以下各组根式中，是同类二次根式的是〔〕ABCD8．最简二次根式ba＝_______，b＝______.【例４】以下计算正确的选项是〔〕A=B4=C=D．(11=【解法指导】正确运用二次根式的性质①2(0)a a=≥；②(0)0(0)(0)a aa aa a⎧⎪===⎨⎪-⎩＞＜；③0,0)a b=≥≥0,0)b a=≥＞进展化简计算，并能运用乘法公式进展计算.A、B中的项不能合并.D.2(111=-=-.故此题应选C.【变式题组】9. 〔聊城〕以下计算正确的选项是〔〕A．=B=C3=D3=-10．计算：200720074)(4⋅=_____________11．22-=_____________12．()a〕A．a B．－a C．－1 D．013．a＞b＞0，a＋b＝的值为〔〕A．2B．2 CD．12【例５】xy ＞0，化简二次根式〕A BC ．D ．【解法指导】先要判断出y ＜0，再根据xy ＞0知x ＜0. 故原式=选D. 【变式题组】14．a 、b 、c 为△AB C 三边的长，那么化简a b c --+_______.15===，算果中找出规律，并利用这一规律计算：1)2006++⋅=_________.16．，那么0＜x ＜1=_________.【例６】〔〕⑴先化简吗，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中a =，b =.⑵x =，y =值为________. 【解法指导】对于⑴，先化简代数式再代入求值；对于⑵，根据数的特征求xy 、x ＋y 的值，再代入求值.【解】⑴原式＝22()()()()ab a a b b a b a bab a b ab a b ab+++++==++，当12a =，12b =时，ab ＝1，a ＋b⑵由题意得：xy ＝1，x ＋y ＝10, 10199=-. 【变式题组】17．〔威海〕先化简，再求值：(a ＋b )2＋(a －b)(2a ＋b)－3a 2，其中2a =-2b =.18．〔〕a 是422224()()442a a a a a a a a a+-+⋅-+++的值为________.【例７】实数x 、y 满足(2008x y -=，那么3x 2－2y 2＋3x －3y －2007的值为〔〕A ．－2008B ．2008C ．－1D ．1..【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出a 、b 的关系，再代入求值.解:∵(2008x y -=，∴(x =y =+(y -=x =，由以上两式可得x ＝y .∴(2008x =, 解得x 2＝2008，所以3x 2－2y 2＋3x －3y －2007＝3x 2－2x 2＋3x －3x －2007＝x 2－2007＝1，应选D.【变式题组】19．假设a ＞0，b ＞0=.演练稳固·反响提高01．假设4m =，那么估计m 的值所在的围是〔〕A ．1＜m ＜2B ．2＜m ＜3C ．3＜m ＜4D ．4＜m ＜502．是正整数，那么实数n 的最大值为〔〕 A ．12 B ．11 C ．8 D ．3 03．〔〕以下根式中，不是．．最简二次根式的是〔〕04．〔贺州〕以下根式中，不是最简二次根式的是〔〕05．以下二次根式中，是最简二次根式的是〔〕06．〔〕设a ＝20， b ＝(－3)2, c =11()2d -=, 那么a 、b 、c 、d 、按由小到大的顺序排列正确的选项是〔〕 A ．c ＜a ＜d ＜b B ．b ＜d ＜a ＜c C ．a ＜c ＜d ＜bD ．b ＜c ＜a ＜d07．〔〕以下运算正确的选项是〔〕A ==C ．21)31=-D 53=-08．如果把式子(1a -根号外的因式移入根号，化简的结果为〔〕AC ．D ．09．2x -化简的结果为2x －3，那么x 的取值围是〔〕A ．x ≤1B ．x ≥2C ．1≤x ≤2D ．x ＞010．〔〕函数y =中自变量的取值围是________.11．〔湘西〕对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算a ※b ＝32=-那么12※4＝________.12．〔荆州〕先化简，再求值：22321121a a a a a a -+÷-+-，其中a =13．〔〕先化简，再求值：((6)a a a a --，其中12a =.培优升级·奥赛检测01．〔凉山州〕一个正数的平方根是3x －2和5x ＋6，那么这个数是________.02．a 、b 是正整数，且满足是整数，那么这样的有序数对〔a ，b 〕共有________对.03．〔全国竞赛〕设a =，那么5432322a a a a a a a +---+=-________. 04．〔全国竞赛〕设x =a 是x 的小数局部,b 是x 的小数部,那么a 3＋b 3＋3ab ＝________.05．〔竞赛〕2y =，那么x 2＋y 2＝________.06．〔全国竞赛〕1a =，a =2a =，那么a 、b 、c 的大小关系是〔〕A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b07．〔联赛〕y =x ，y 均为实数〕，那么y 的最大值与最小值的差为〔〕A 3B ．3C 3D08．〔全国竞赛〕非零实数a 、b 满足24242a b a -++=，那么a ＋b 等于〔〕 A ．－1B ．0C ．1D ．209．〔全国竞赛〕〕A ．5-B ．1C ．5D ．110．0(0,0)x y x y -=>> 〕A ．13 B ．12C ．23 D ．3411．152a b c +--，求a ＋b ＋c 的值.12．99a 和b ，求ab －3a ＋4b ＋8的值.第2讲二次根式的化简与求值考点·方法·破译1．会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.2．会进展二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值. 3．会化简复合二次根式，会在根式围分解因式.经典·考题·赏板【例１】2=的值等于__________ 【解法指导】通过平方或运用分式性质，把条件和待求式的被开方数都用1x x+表示或化简变形. 解：两边平方得，124x x ++=，12x x+= ，两边同乘以x 得，212x x += ，∵2315x x x ++=，29111x x x ++=，∴原式11- 【变式题组】1．假设14a a +=〔0＜a ＜1〕=________ 2=的值为〔〕 A ．1a a -B ．1a a -C ．1a a+D ．不能确定【例２】〔全国初中数学联赛〕满足等式＝2003的正整数对〔x ,y 〕的个数是〔〕A ．1B ．2C ．3D ．4【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解.0=，∴0=0>0=，那么xy ＝2003，且2003是质数，∴正整数对〔x ,y 〕的个数有2对，应选B . 【变式题组】3．假设a ＞0，b ＞0=.【例３】〔〕1)a =<<，求代数式22632x x x x x x +-+÷-. 【解法指导】视x －2，x 2-4x=平方，移项用含a 的代数式表示x －2，x 2-4x ，注意0＜a ＜1的制约.解：平方得，12x a a =++，∴12x a a -=+，2221442x x a a-+=++， 222142x x a a-=+-，∴化简原式＝(3)(2)(2)3x x x x x x +---+ ＝2211()1()211()a a a a a a a a a a a++-+-=++--【变式题组】4．〔〕32x x +=+35(2)242x x x x -÷----的值.5．〔五羊杯竞赛〕1m =1n =22(714)(367)8m m a n n -+--=，那么a 的值等于〔〕A ．－5B ．5C ．－9D ．9【例４】〔全国竞赛〕如图，点A 、C都在函数0)y x =>的图像上，点B 、D 都在x 轴上，且使得△OAB 、△BCD 都是等边三角形，那么点D 的坐标为________.【解法指导】解：如图，分别过点A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F .设OE=a ，BF=b ，那么，CF，所以，点A 、C 的坐标为〔a〕、〔2a ＋b〕，所以2(2)a b =+=，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，点D的坐标为〔,0〕【变式题组】6．〔〕阅读以下材料，然后答复以下问题. 在进展二次根式化简时，我们有时会碰上如1323235+，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 335333535=⨯⨯=；〔一〕 36333232=⨯⨯=；〔二〕 ()()()131313132132-=-+-⨯=+；〔三〕以上这种化简的步骤叫做分母有理化，132+还可以用以下方法化简：()()()13131313131313131322-=+-+=+-=+-=+；〔四〕〔1〕请你用不同的方法化简352+；①参照〔三〕试得：352+=_____________________________；〔要有简化过程〕②参照〔四〕试得：352+=_____________________________；〔要有简化过程〕〔22n ++【例５】〔五羊杯竞赛〕设a 、b 、c 、d 为正实数，a＜b ，c ＜d ，bc ＞ad，.【解法指导】虽然不能用面积公式求三角形面积(为什么?)a 、c 为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决.解：如图，作长方形ABCD ，使AB ＝b －a ，AD ＝c ，延长DA 至E ，使DE ＝d ，延长DC 至F ，使DF ＝b ，连结EF 、FB 、EB ，那么BF＝，EF＝，BE 从而知△BEF 就是题设的三角形，而S △BEF ＝S 长方形ABCD ＋S △BCF ＋S △ABE －S △DEF ＝(b －a )c ＋12(d －c )(b －a )－12bd ＝12(bc －ad )【变式题组】7．(竞赛)a 、b 均为正数，且a ＋b ＝2，求U演练稳固·反响提高01．x =，y =__________ 02．设1a =，那么32312612a a a +--＝〔〕A ． 24B ．25C ．10D．1203．〔XX 〕计算2001200019991)1)1)2001--+=__________ 04．〔竞赛〕假设有理数x 、y、z 1()2x y z =++，那么2()x yz -=__________05．〔竞赛〕正数m、n 满足430m n +-==__________06．〔竞赛〕假设1x=，那么32(2(15x x x -++的值是〔〕A ．2B ．4C ．6D ．807．实数a 满足2000a a -=，那么22000a -的值是〔〕A ．1999B ．2000C ．2001D ．200208．设a =b =，c =a 、b 、c 之间的大小关系是〔〕A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b09．1x =培优升级·奥赛检测01．〔信利杯竞赛〕1x =，那么2111242x x x +-=+--__________025==__________03．〔竞赛〕(2002x y ++=，那么2234x xy y --6658x y --+=__________04．7x =，那么x ＝__________05．(T 1杯联赛)x =，y =，那么22y x x y +=__________06．〔选拔赛〕如果a b +=a b -=，3333b c b c +=-，那么333a b c -的值为〔〕A ．．2001C ．1D ．007．〔竞赛〕当x =32003(420052001)x x --的值是〔〕 A ．0B ．－1C ．1D ．20032-08．〔全国联赛〕设a 、b 、c 为有理数，且等式a +=29991001a b c ++的值是〔〕 A ．1999B ．2000C ．2001D ．不能确定09．计算：〔1〔2〔34947+++〔410．实数a 、b 满足条件1b a b a -=<，化简代数式11()(1)a b a b---b 的形式.11．21(0)a x a a +=>12．〔奥林匹克竞赛〕自然数x 、y 、z 0，求x ＋y ＋z 的值.第3讲一元二次方程的解法考点·方法·破译1．掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；2．掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程； 3．会应用一元二次方程解实际应用题。

初三数学培优专题试卷

一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列选项中，不是二次方程的是（）A. x^2 - 5x + 6 = 0B. 2x^2 + 3x - 1 = 0C. x^3 - 2x^2 + 3x - 6 = 0D. 4x^2 - 4x + 1 = 02. 已知一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的两根为 x1 和 x2，那么下列选项中，正确的是（）A. x1 + x2 = -b/aB. x1 x2 = c/aC. x1^2 + x2^2 = b^2 - 4ac/aD. x1^2 - x2^2 = (x1 + x2)^2 - 4x1x23. 下列函数中，为反比例函数的是（）A. y = x^2 + 1B. y = 2x + 3C. y = 1/xD. y = 2/x^24. 已知等差数列 {an} 的首项为 a1，公差为 d，那么下列选项中，正确的是（）A. a1 + a2 + a3 = 3a1 + 3dB. a1 + a2 + a3 = 3a1 + 2dC. a1 + a2 + a3 = 3a1 + dD. a1 + a2 + a3 = 3a15. 下列选项中，不是等比数列的是（）A. 2, 4, 8, 16, ...B. 1, 2, 4, 8, ...C. 1, 3, 9, 27, ...D. 1, 3, 6, 9, ...二、填空题（每题5分，共25分）6. 已知一元二次方程 x^2 - 4x + 3 = 0，则其两根之和为 __________，两根之积为 __________。

7. 若反比例函数 y = k/x（k ≠ 0）的图象经过点（2，3），则 k = __________。

8. 等差数列 {an} 的首项为 2，公差为 3，那么第 10 项 an = __________。

9. 等比数列 {an} 的首项为 3，公比为 2，那么第 6 项 an = __________。