箱梁理论七

∫ θ ′ = M p (1− coshkc) + 1
GIT
GIT
b a
mp (1− cosh
kξ )dξ
−
kBp GIT
sinh
kd
∫ B
=
−EIωθ ′′
=
μ k
M
p
sinh
kc
+
μ k
b a
mp
sinh
kξdξ
+
Bp
cosh
kd
（7-39）（7-29） （7-40）（7-30）
∫ MT = GITφ′ − EIωθ ′′ = M p +
φ0 = c1 + c4 φ0′ = c2 + kc3 B0 = −c4GIT MT 0 = c2GIT
（7-23）
c1 = φ0 + B0 / GIT c2 = MT 0 / GIT
c3
=
1 k
(φ0′
−
MT0 GIT
)
c4
=
B0 GIT
将其代入式（7-19）～（7-22），便得到以初参数φ0、φ0′、B0及MT 0 表达的φˆ 、φˆ′ 、 Bˆ
故由式（7-10）有：
θ ′′＝φ′′－ mT μ GIρ μ
⎫ ⎪ ⎪
θ ′′′ =
φ ′′′ μ
−
mT′ GIρ μ
⎪⎪ ⎬ ⎪
θ ′′′′ = φ′′′′ −
mT′′
⎪ ⎪
μ GIρ μ ⎪⎭
（7-17）
第三节 扭转角微分方程的初参数解法
扭转角微分方程式（7-3）及式（7-15）为四阶常系数（等截面）非齐次线性方程，其 解由齐次解和特解两部分组成，齐次解将有四个积分常数，由问题的边界条件确定。
mpsinhkξdξ
+
Bpcoshkd
（7-30）
∫ MT = GITφ′ − EIωφ′′′ = M p +
b a
m
p
dξ
（7-31）
微分方程的通解则为：
φ = φˆ + φ
φ′ = φˆ′ + φ′ B = Bˆ + B
（7-32）
MT = Mˆ T + M
将式（7-24）～（7-27）及式（7-28）～（7-31）代入式（7-32），即得到开口薄壁杆件 扭转变形的最后解答式。
第-77 –页
时式中的系数 k 取式（7-16）的形式。
φˆ
= φ0
+
μθ
′
0
sinhkz k
+
B0 GIT
(1− coshkz) +
μMT0 kGIT
(kz
− sinhkz)
（7-34）（7-24）
θˆ′
=
φˆ′ μ
= θ0′coshkz
−
B0k μGIT
sinhkz
+
MT0 GIT
(1− coshkz)
（7-22）
式中积分常数 c1 、 c2 、 c3 、 c4 可表达为杆件在坐标原点处（ z =0）的扭转角（φ0 ）、
扭转角的变化率（φ′ ）、双力矩（ B0 ）及扭矩（ MT 0 ）的 函数。将 z =0 代入式（7-19）、
（7-20）、（7-21）及（7-22）有：
第-75 –页
解此方程得：
开口截面 M z + Mω = MT
（7-1-1）
闭口截面 M T + M ω = M T
（7-1-2）
τz Mz
a) 自由扭转
τω Mω
b) 约束扭转
图 7-1
τ =τz +τω
MT
c) 组合扭转
第一节 开口薄壁杆件组合扭转的微分方程
对于开口薄壁截面杆件自由扭转和约束扭转，分别取式（5-19）和式（6-27）代入式（5-1）
二、闭口薄壁杆件扭转角微分方程的初参数解法
对于闭口薄壁杆件，由于其扭转角微分方程式（7-15）与开口薄壁杆件扭转角微分方程 式（7-3）相似，在数学问题上属于同一类问题，故式（7-15）的齐次解，与开口薄壁杆件
的具有相同的形式。由于闭口薄壁杆件的纵向位移、双力矩、扭矩等都与函数θ 的导数有关
（见式（6-31）、（6-34）、（6-44））,因此，对应于式（7-29）～（7-31），引入闭口薄壁杆件
由开口薄壁杆件的对应齐次解，以θ ′ 代替φ′ 得到。
对于图 7-2 所示各种荷载形式的特解，上述代换也是适用的，故有：
∫ φ = M p (c − μ sinh kc) + 1
GIT
k
GIT
b a
m
p
(ξ
−
μ k
sinh kξ )dξ
+
Bp GIT
(1− cosh kd )
（7-38）（7-28）
有
GITφ′ − EIωφ′′′ = MT
（7-2）
上式对 z 求导（见图 7-2a）），两边同时除以 EIω ，得：
φ′′′′ − k 2φ′′ = − mT EIω
此式即为开口薄壁杆件扭转角微分方程。
（7-3）
式中：
k = GIT EIω
称为薄壁截面的弯扭特征。即截面自由扭转刚度和约束扭转刚度之比。
第七讲 薄壁杆件的组 合扭 转
上二讲分别讨论了薄壁杆件的自由扭转和约束扭转，建立了相应的扭转角微分方程。而
实际工程中的杆件受扭时，扭转角应该是自由扭转和约束扭转的综合变形。即作用在截面上
的扭矩 M T（图 7-1）为自由扭转剪应力（τ z ）形成的扭矩 M Z 及约束扭转剪应力（τω或τω ）
形成的扭矩 Mϖ （或 Mϖ ）的组合，亦即τ T = τ z + τ ω （或τT = τ z +τω ）以及
+
MT0 k
shkz
（7-26）（7-21）
Mˆ T = MT 0
（7-27）-（7-22）
式中 φ0、φ0′、B0、MT 0 仍为未定常数，可根据初始值的物理意义，由起始点（ z =0）
边界条件直观确定。
微分方程的特解，可根据作用在杆件上的扭转荷载系数法求得。对于常见的荷载（图 7-2）包括集中双力矩 Bp ，集中力矩 M p ，分布扭
故
θ ′ = GIρφ′ − MT G(Iρ − IT )
或
θ′ = φ′ − MT μ μGIρ
其中： μ = 1 − IT 。 Iρ
（7-13） （b）
（c） （d） （e）
若 M T 为 z 的二次或二次以下的函数，即有 M T′′ ，则由式（7-10）可得：
θ ′′′′ = φ′′′′ μ
（7-14）（7-10）
b a
mp
dξ
（7-41）（7-31）
同样，微分方程式的通解则为：
φ = φˆ + φ
θ = θˆ +θ ′ B = Bˆ + B
（7-42）（7-32）
MT = Mˆ T + M
第四节 边界条件
则式（7-8）的第一项
∂w = −θ ′ ∂ω
∂s
∂s
有式（6-13）有：
∫ ω =
s
(
ρ0
−
2
qi t
)ds
第-73 –页
（a）
将其代入式（a）得：
∂w ∂s
=
−θ
′(ρ0
−
2
qi t
]
)
将式（7-13）代入式（7-8）有：
τT
=
G[−θ ′(ρ0
−2
qi ]) + t
ρ0φ ′]
又截面内剪应力τ 与内力 M T 有如下关系：
及 Mˆ T 的解析式：
φˆ
= φ0
+ φ0′
shkz k
+
B0 GIT
(1− chkz) +
MT0 kGIT
(kz
− shkz)
（7-24）（7-19）
φˆ′
=
φ0′chkz
−
k GIT
B0shkz +
MT0 GIT
(1 − chkz)
（7-25）（7-20）
Bˆ
=
−φ0′
GIT k
shkz
+
B0chkz
q
=
τT
t
=
Gγt
=
Gt (
∂w ∂s
+
∂ξ ∂z
)
或
q
=
Gt (
∂w ∂s
+
ρ 0φ
′)
（7-8）
而
w = −θ ′ω + w0
（7-9）（6-15）
上式对 s 求导后代入式（7-8），再将式（7-8）代入式（7-7），积分化简得：
θ′ = φ′ − MT μ μGIρ
（7-10）
其中：
μ =1− IT Iρ
而
mT
=
dM T dz
mT 为扭矩沿杆长的分布集度。
（7-4） （7-5）
第-72 –页
第二节 闭口薄壁杆件组合扭转的微分方程
对于闭口薄壁杆件，仍从式（7-1）出发，此时约束扭转力矩 M ω 以待定函数θ 表示，
即用式（6-44）代入，于是组合扭转微分方程可表达为：
EIωθ ′′′′ − GI Tφ ′′ = −mT
将其代入式（7-6），便得出闭口薄壁杆件的扭转变形微分方程
φ ′′′′ − k 2φ ′′ = − mT EI ω μ
（7-15）（7-6）
其中：